EcDifOrdOrdNReduccio..

Hallar el tiempo que necesita un cuerpo para caer a la tierra desde una altura
de 400,000 km, si la altura se mide desde el centro de la tierra y el radio de la
misma es de 6400 km aproximadamente. Despreciar los efectos de la atmósfera.
Solución:
La ecuación diferencial que soluciona este problema se deriva de la segunda
ley de Newton y de la ley de la gravitación universal. En efecto, tenemos
GmM
d2 r
m 2 =
dt
r2
reduciendo y poniendo k = GM obtenemos
d2 r
k
=
dt2
r2
que es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden no lineal.
Como la variable independiente, t, no aparece, podemos reducir el orden de
la ecuación en 1 mediante la sustitución
dr
v=
dt
Haciendo eso tenemos
2
d r
d dr
d
dv dr
dv
=
= v=
=v
dt2
dt dt
dt
dr dt
dr
y la ecuación queda
k
dv
=
v
dr
r2
que ya es de primer orden y de variables separables.
La integramos
dr
vdv = k 2
r
R
R dr
vdv = k
r2
k
1 2
v = + c1
2
r
de donde r
p
1
v=
2k
+ c2
r
Debemos hacer ahora que
r se cumplan las condiciones iniciales
p
1
2k
v (r = r0 ) = 0 =
+ c2
r0
donde r0 es la distancia a la cual se suelta el cuerpo. Tenemos entonces
1
c2 =
r0
y la velocidad
r es
p
1
1
v=
2k
r
r0
Ahora como
dr
v=
dt
tenemos
r
p
dr
1
v=
=
2k
dt
r
1
r0
1
Separando las variables,
p
dr
r
=
2kdt
1
1
r
r0
e integrando
p R
R
dr
r
=
2k dt
1
1
r
r0
La integral del lado izquierdo
2 s nos da
R
1 3=2
r
dr
r
r
= r0 4 2
2
r0
r0
1
1
r
r0
así que
2 s
p
1 3=2
r
r
2kt + c = r0 4 2
2
r0
r0
2
3
r
+ arc sin 2
r0
2
+ arc sin 2
1 5
3
r
r0
1 5
Debemos …jar ahora la otra condición inicial, que es que al tiempo t = 0, el
cuerpo se hala en la posición r0 = 400; 000 km. Poniendo t = 0 en la ecuación y
r = r0 obtenemos
3=2
c = r0
4
Así que la solución
3
2 s …nal es
3=2
t=
1 r0 4
p
2
2 2k
r
r0
r
r0
2
+ arc sin 2
r
r0
1
2
5
Para encontrar el tiempo que tarde en caer desde r0 = 400; 000 km hasta
r = R = 6; 378 km, sustituimos estos valores en la ecuación anterior.
Tenemos
r
6378
=
= 1:59 10 2
r0
400000
q
6:378 106
1
2
t= p
2 1:59 10 2 (1:59 10 2 ) + arc sin 2 1:59
2 2 (6:67 10 11 ) (5:97 1024 )
449; 909:54 s
que son como 123. 5 días
2
10
2
1