estabilidad en el sentido de Lyapunov

Transcripción

CAPITULO 4
ESTABILIDAD
Ing. Diego Alejandro Patiño G. M. Sc., Ph. D.
Estabilidad

Cada punto donde la bola se puede detener es un punto de equilibrio.
A y F: puntos inestables: un cambio infinitesimal en la posición lleva a lo bola a otra
posición final.
E y G: puntos estables: un cambio infinitesimal en la posición aleja a la bola pero
retorna a la misma posición original.
C: un cambio infinitesimal en la posición lleva a la bola a una nueva posición de
equilibrio: es un punto neutralmente estable
2
Estabilidad

Cuando las perturbaciones son infinitesimales se define
Estabilidad Local. Cuando son grandes se define
Estabilidad Global
Para el punto E un desplazamiento amplio puede llevar
a la bola a otro punto de equilibrio: la estabilidad
depende del tamaño del disturbio.
Si la superficie S cambia con el tiempo es necesario
evaluar la estabilidad para cada t.
Si la superficie S no cambia con el tiempo se puede
evaluar la estabilidad uniforme para todo t.
3
Estabilidad
La estabilidad de un sistema puede pensarse como una continuidad
en su comportamiento dinámico. Si se presenta un cambio pequeño
en las entradas o condiciones iniciales, un sistema estable presentará
modificaciones pequeñas en su respuesta perturbada. Por otro lado,
en un sistema inestable cualquier perturbación, por pequeña que sea,
llevará a los estados y/o las salidas a crecer sin límite o hasta que el
sistema se salga de rango dinámico, se desintegre o se queme.
La estabilidad es un requerimiento
básico de los sistemas dinámicos
destinados a realizar operaciones o
procesar señales, y es lo primero que
debe garantizarse en el diseño de un
sistema de control.
4
Estabilidad
Como la respuesta de los sistemas dinámicos lineales se descompone
en la respuesta a estado cero y respuesta a entrada cero, se puede
hablar de dos “tipos” de estabilidad:
● Estabilidad Interna, se refiere a la estabilidad del sistema
autónomo (sin entradas). La estabilidad interna describe el efecto de
perturbaciones en las condiciones iniciales sobre comportamiento
dinámico de los estados del sistema.
● Estabilidad Externa, o Entrada/Salida, se refiere a la estabilidad
del sistema con condiciones iniciales nulas. La estabilidad externa
describe el efecto de perturbaciones en las entradas sobre el
comportamiento dinámico de la salida del sistema.
5
Estabilidad
La estabilidad interna del sistema depende únicamente de las
condiciones iniciales x(0) = x0 . No se aplica entrada externa.
La estabilidad interna describe las propiedades de convergencia de las
trayectorias seguidas por los estados del sistema hacia puntos de
operación o de equilibrio del sistema.
En general se estudiará la estabilidad interna de sistemas descritos
por la ecuación dinámica de estado:
x& (t ) = f ( x(t ), u (t ), t )
6
Estabilidad
Punto de Equilibrio: Un punto de equilibrio xe de un sistema es un
vector constante tal que si x(0) = xe y u(t) = 0, entonces x(t) = xe para
todo t ≥ 0.
El punto de equilibrio es la solución en estado estable de la ecuación
dinámica.
x& (t ) = 0 = f ( xe ,0, t )
Para sistemas lineales la ecuación es estado estable:
x& (t) = 0 = Ax e
excepto cuando la matriz A tenga valores propios nulos, existe un
solo punto de equilibrio: el origen. Otros puntos de equilibrio están
en el espacio nulo de A
7
Estabilidad
Ejemplo. El sistema
La matriz A tiene un valor propio nulo y otro en 10. Se puede verificar
que η(A) está generada por el vector
xe = [-3 1]T
Como la matriz A tiene un valor propio nulo, existen múltiples
puntos de equilibrio a lo largo de la línea definida por el vector xe .
Este es un conjunto de puntos de equilibrio no aislados
8
Estabilidad
La dirección definida por xe es
entonces un conjunto de
equilibrios, es decir que hay
infinitos puntos de equilibrio,
en particular no aislados. El
retrato de fase indica que
cualquier condición inicial
que no esté exactamente sobre
la
recta
de
equilibrios
generada por el vector [-3 1]T
dará origen a una trayectoria
que
crecerá
en
forma
ilimitada con t. Condiciones
iniciales sobre la recta de
equilibrios darán origen a
trayectorias invariantes.
9
Estabilidad
La definición de punto de equilibrio también es válida
para sistemas no lineales, donde pueden existir varios
puntos.
El sistema no lineal:
Haciendo x´(t) = - sen(xe) = 0, se obtiene xe = kπ, donde k
= 0, ± 1, . . .
Hay infinitos puntos de equilibrio aislados.
10
Estabilidad
Este tipo de estabilidad interna recibe el nombre del científico ruso
Alexander Mikhailovich Lyapunov, quien realizó estudios pioneros
en el tema a fines del siglo 19. Lyapunov introdujo por primera vez
métodos que permiten determinar la estabilidad de sistemas de
ecuaciones diferenciales sin necesidad de calcular explícitamente las
soluciones.
La estabilidad en el sentido de
Lyapunov hace hincapié en las
propiedades de los puntos de
equilibrio, y se basa en una
generalización matemática del
concepto de “energía” de sistemas
mecánicos. Los métodos de
Lyapunov pueden aplicarse a
sistemas no lineales y no
estacionarios.
11
Estabilidad en el Sentido de Lyapunov.
El (equilibrio del) sistema x´(t) = Ax(t) es estable en el sentido de
Lyapunov, o simplemente estable, si toda condición inicial finita
origina una trayectoria acotada.
Un punto de equilibrio del sistema x´(t) = Ax(t) es estable en el
sentido de Lyapunov (ESL) si para cualquier ε > 0 existe un valor
δ(t0, ε) >0 tal que:
x(t0 ) − xe < δ ⇒ x(t ) − xe < ε
independiente de t ∀t > t 0
El punto de equilibrio es uniformemente estable en el sentido de
Lyapunov (ESL) si δ(t0, ε) = δ(ε): la constante δ no depende del tiempo
inicial t0
12

En un sistema ESL un disturbio en la condición inicial
menor de δ produce un vector de estado x(t) confinado a
una distancia máxima ε de xe: para estabilidad el estado
debe permanecer en las vecindades del punto de
equilibrio.
Cuando
x(t ) − xe → 0 cuando t → ∞
Se dice que el punto de equilibrio es asintóticamente
estable.
13

Dependiendo del valor de δ se puede hablar de:
Estabilidad local: δ pequeño
Estabilidad global: δ grande.
Si un punto de equilibrio es asintóticamente estable la trayectoria
desde cualquier condición inicial tiende asintóticamente hacia ese
punto.
Para sistemas lineales todos los puntos de equilibrio son globales: o
son puntos aislados o son subespacios invariantes
Para sistemas no lineales existen múltiples puntos aislados y se
pueden definir regiones de atracción alrededor de “atractors”
14
Además de la estabilidad asintótica también se define exponencialmente
Estable:
x(t ) − xe ≤ γe − λ (t −t0 ) x(t0 ) − xe
Sistema LIT que es asintóticamente estable también es exponencialmente
Estable. No es necesariamente cierto para variantes y no lineales.
15

Teorema: para un sistema descrito por: x& (t ) = A (t )x(t )
La respuesta homogénea es ESL si y sólo si existe una
constante
κ (t0 ) < ∞ tal que ∀ t ≥ t 0
la matriz de transición de estados φ(t,t0) satisface la
relación:
Φ (t , t0 ) ≤ κ (t0 )
Si la constante κ no depende de t0 el punto de equilibrio
es uniformemente estable.
16
El adjetivo uniforme se refiere a que no debe depender de la elección
del tiempo inicial.
Ejemplo. La ecuación x´(t) = [4tsen(t) - 2t]x(t), x(t0) = x0 puede
verificarse que tiene la solución
17
Es fácil ver que para un t0 fijo, existe un γ tal que x(t) es acotada por
γ||x0|| para todo t ≥ t0, dado que el término -t2 domina en el exponente
cuando t crece.
Sin embargo, la ecuación de estado no es uniformemente estable. Con
un estado inicial x0 fijo, la secuencia t0 = 2kπ, con k=0,1,2,. . ., y los
valores de las correspondientes soluciones evaluadas π segundos más
tarde:
Claramente, no hay cota del factor exponencial independiente de k, o
sea que γ va a depender forzosamente de k, y así del tiempo inicial t0.
18

Teorema: el origen del sistema descrito por
x&(t) =A(t)x(t) es uniforme y asintóticamente estable
si y sólo si existen dos constantes κ1 > 0 κ2 > 0
tal que:
−κ ( t −t )
Φ (t , t0 ) ≤ κ1e

2
0
Una vez establecidos los teoremas para el caso
general, el caso estacionario o invariante es más
sencillo.
19
El adjetivo uniforme se refiere a que κ1 > 0 κ2 > 0 son independientes
de t0:
20
Estabilidad – Invariantes

Teorema: El punto de equilibrio del sistema x´(t) = Ax(t)
es estable en el sentido de Lyapunov si y sólo si todos los
valores propios de A tienen parte real no positiva, y
aquellos con parte real cero son raíces simples del
polinomio mínimo de A

Teorema: El punto de equilibrio del sistema x´(t) = Ax(t)
es asintóticamente estable si y sólo si todos los valores
propios de A tienen parte real negativa.
21
Ejemplo. Sea el sistema
Tiene un valor propio doble en 0 y uno simple en - 1.
La ecuación característica es :
λ2 (λ + 1) = 0
El polinomio mínimo es:
λ (λ + 1) = 0
por lo tanto se concluye que el sistema es estable en el
sentido de Lyapunov.
22
Por su parte, el sistema
aunque tiene los mismos valores propios, pero esta vez el valor
propio nulo está asociado a un bloque de Jordan de orden 2, y por lo
tanto el sistema es inestable.
23
Estabilidad – Variantes
Ejemplo. Sea el sistema no estacionario
El polinomio característico de A(t) es
por lo que A(t) tiene dos valores propios en λ = -1 para todo t.
24
Estabilidad Variantes.
Puede verificarse que la matriz
satisface la condición
y es por lo tanto la matriz de transición de estados del sistema. Como
el parámetro a12(t) de A(t) crece en forma ilimitada con t, el sistema
no puede ser asintóticamente o Lyapunov estable.
A diferencia del caso estacionario, los valores propios de A(t) no son
útiles para verificar la estabilidad.
25

No se pueden hacer conclusiones basadas en la ubicación
de los valores propios en un tiempo determinado:
1.
Valores propios congelados en un t dado tienen todos
parte real negativa: el sistema no necesariamente es
estable.
2.
Si los valores propios de A(t) + AT(t) tienen siempre
parte real negativa el sistema es asintóticamente estable.
Condición suficiente pero no necesaria.
3. Si todos los valores propios de A(t) + AT(t) tienen
siempre parte real positiva el sistema es inestable.
26
4.
5.
Si algunos valores propios de A(t) tienen parte real positiva,
el sistema no necesariamente es inestable.
Si los valores propios tienen parte real tal que:
Re(λ ) < γ < 0 ∀ λ´s y ∀ t
6.
y el sistema es suficientemente lento entonces es
asintóticamente estable.
Si el sistema es suficientemente lento y tiene un valor propio
positivo que nunca cruza el eje imaginario es inestable
Suficientemente lento significa que
& (t) ≤ ν
∃ ν tal que A
27
Método directo de Lyapunov

Parte del principio de conservación de energía y disipación.
En un sistema aislado la respuesta depende únicamente de la
energía inicial almacenada: si esta energía es decreciente el
sistema es estable.
Como no todos los estados de un sistema están asociados a
energía el concepto se debe extender a una cantidad abstracta
no negativa.
Es una forma alternativa de verificar la estabilidad asintótica
de
x´(t) = Ax(t). En su forma general permite estudiar la
estabilidad de sistemas no estacionarios o no lineales.
28

Teorema: el origen de un sistema lineal variante con el tiempo
descrito por:
x& (t ) = f ( x(t ), t )
Es estable en el sentido de Lyapunov si existe una función
variante con el tiempo V(x,t) tal que se satisfacen:
1ra condición:
V ( x, t ) ≥ γ 1 ( x) > 0∀ x ≠ 0 y ∀ t
V(x, t) = 0 solamente cuando x = 0
La función γ1(x) debe ser función del estado x, no de t
explícitamente, continua, no decreciente y debe ser igual a cero
cuando x = 0
29
2da Condición
V& ( x, t ) ≤ −γ 2 ( x) < 0∀ x ≠ 0 y ∀ t
donde :
∂V ( x, t )
∂V ( x, t )
&
f ( x, t ) +
V ( x, t ) =
∂t
∂x
explícitamente, continua, no decreciente y debe ser igual a cero
cuando x = 0
30
Teorema: el origen del sistema es uniformemente estable en el
sentido de Lyapunov si además de las dos condiciones 1 y 2
anteriores existe:
γ 3 ( x ) ≥ V ( x, t ) ∀ x ≠ 0 y ∀ t
explícitamente, continua, no decreciente y debe ser igual acero
cuando x = 0
31
Teorema: el origen del sistema es globalmente estable en el
sentido de Lyapunov si además de las dos condiciones 1 y 2
anteriores si:
V ( x, t ) es ilimitada cuando x → ∞
Teorema: el origen del sistema es asintóticamente estable si
además de la condición 1 , la condición 2 se establece como
Condición 2a:
V& ( x, t ) < −γ 2 ( x) < 0∀ x ≠ 0 y ∀ t
32

Condición 1 es equivalente a que la función V(x,t) sea
Positiva definida.
Condición 2 es equivalente a que la función V’(x,t) sea
Negativa semi- definida.
Condición 3 es equivalente a que la función V’(x,t) sea
Negativa definida.
Para sistemas lineales estos términos se usan en el
mismo sentido de las formas cuadráticas ya definidas.
33

Para sistemas invariantes con el tiempo:

Toda la estabilidad es uniforme.
Las funciones se clasifican como:
V(ξ) es positiva definida si V(ξ) > 0 para todo ξ diferente de cero y
V(0) = 0.
V(ξ) es positiva semi definida si V(ξ) ≥ 0 para todo ξ diferente de
cero y V(0) = 0.
Una función V(ξ) es negativa definida si -V(ξ) es positiva definida
Una función V(ξ) es negativa semi definida si -V(ξ) es positiva
semi definida
34

Teorema: El origen de un sistema lineal e invariante con el tiempo es
ESL si existe una función V(x) positiva definida tal que su derivada:
dV ( x) dx dV ( x)
V& ( x) =
=
f ( x)
dx dt
dx
Es negativa semi definida. Si V’(x) es negativa definida, el origen
es asintóticamente estable.
Para sistemas discretos la derivada se reemplaza por la primera
diferencia:
ΔV ( x, k ) = V ( x(k + 1), k + 1) − V ( x(k ), k )
35

Cuando V(x) y V’(x) existen se llaman funciones de
Lyapunov.
Los teoremas no definen las funciones, solamente las
condiciones que deben cumplir.
Sistemas lineales: generalmente son formas cuadráticas
Sistemas no lineales: se plantean funciones candidatas y
se verifican las condiciones. Es un proceso de prueba y
error.
36

Teorema de LaSalle: dentro de la región del
espacio de estado para el cual la derivada de la
función de Lyapunov candidata es tal que V´(x)
≤ 0; sea Z el subconjunto del espacio de estado
en el cual V’(x) = 0. Dentro de Z, sea M el mayor
subespacio invariante. Entonces todo estado
inicial se aproxima a M, aún si V es no positiva
definida.
37
No requiere que V(x,t) sea positiva
definida.
Pero al ser positiva definida se asegura la
definición del conjunto Z.

Para sistemas lineales las formas cuadráticas satisfacen
los requisitos de las funciones de Lyapunov.
Para sistemas lineales la estabilidad es global y las
formas cuadráticas cumplen con V(x) no limitado
cuando x → ∞
Dado el sistema LIT descrito por:
x& = Ax
y la función candidata de Lyapunov :
V ( x) = xT Px
con P simetrica positiva definida
39

La condición sobre la derivada:
V& ( x) = x& T Px + x T Px&
= (Ax)T Px + x T P(Ax)
= x T A T Px + x T PAx
= x T (A T P + PA)x

Para satisfacer el teorema se necesita que la matriz:
(A P + PA)
T
Sea negativa definida para estabilidad asintótica y
negativa semi definida para ESL
40

Para alguna matriz Q positiva (semi) definida es
suficiente demostrar que:
AT P + PA = −Q

Si la matriz es no negativa nada ha sido
demostrado.
El teorema establece que si se encuentra la
función de Lyapunov el sistema es estable.
41

El teorema no establece que si la función falla el
sistema es inestable.
Si se escoge P positiva definida y se obtiene una
Q indefinida NADA HA SIDO DEMOSTRADO.
Pero si Q es negativa definida se puede
demostrar inestabilidad
Entonces se selecciona una Q positiva (semi)
definida y se resuelva la ecuación para P
42
Teorema: el origen de un sistema lineal invariante con el tiempo es
asintóticamente estable si y solo si dada una matriz Q positiva
definida, la ecuación matricial de Lyapunov tiene una solución P
positiva definida:
AT P + PA = −Q
Cómo asegurar que el origen es estable en sentido de Lyapunov?
Para ello se necesita que al escoger una matriz Q positiva semi
definida, la ecuación matricial de Lyapunov tenga una solución P
positiva definida:
43

El origen del sistema es estable en el sentido de
Lyapunov si y solo si dada una matriz Q positiva semi
definida , tal que
x TQx
No es idéntica a cero cuando se evalúa sobre una
trayectoria no nula de x’ = Ax, la ecuación matricial de
Lyapunov tiene una solución P positiva definida.
44
Estabilidad
Corolario. Todos los valores propios de la matriz A tienen parte
real negativa si y sólo sí para cualquier matriz N m × n con m < n y la
propiedad
la ecuación de Lyapunov
A T P + PA = − N T N = −Q
tiene una solución única simétrica y definida positiva P.
Estabilidad
Un resultado importante que se emplea en la demostración del
Teorema de Lyapunov es el siguiente:
Teorema. Si todos los valores propios de A tienen parte real negativa
entonces la ecuación de Lyapunov
A T P + PA = −Q
tiene una solución única para cada Q que puede ser expresada como
∞
P = ∫e
0
AT t
Qe A t dt

Teorema: el origen el sistema lineal variante es INESTABLE si existe
una función V(x,t) y una función del estado únicamente, continua y
no decreciente, γ(x), tal que:
γ ( x) > V ( x, t )∀ x y t
y se cumplen:
1. V(0,t)= 0 para t≥ t0
2. V(x,t0 ) > 0 para cualquier punto arbitrariamente cercano
al origen
3. V& ( x, t ) Es positiva definida en una región arbitraria
alrededor de origen
47
Estabilidad
Invariancia frente a transformaciones de equivalencia
En el caso estacionario las propiedades de estabilidad, determinadas
por los valores propios de A, son invariantes frente a
transformaciones de equivalencia. En el caso no estacionario sabemos
que esta propiedad no se conserva, ya es posible llevar la matriz A(t)
a una matriz constante arbitraria Â mediante una transformación de
equivalencia no estacionaria P(t). No obstante, para ciertas P(t), es
posible hacer que las propiedades de estabilidad sean también
invariantes en el caso no estacionario.
Transformación de Lyapunov. Una matriz n×n P(t) que es
continuamente diferenciable e invertible en cada t se llama
transformación de Lyapunov si existen constantes ρ y η tales que para
todo t
48
Estabilidad
Una condición equivalente a la anterior es la existencia de una
constante ρ tal que para todo t
Teorema (Equivalencia y Estabilidad en Sistemas No
Estacionarios).
Supongamos que P(t) es una transformación de Lyapunov. Entonces
la ecuación lineal
es uniformemente (exponencialmente) estable si y sólo si la ecuación
de estado
es uniformemente (exponencialmente) estable.
49
Estabilidad discretos
Para sistemas discretos el punto de equilibrio es el vector xe tal
que:
x(k + 1) = x(k ) = x e
Para el sistema discreto
En este sistema los equilibrios están definidos por los x tales que
x[k + 1] = x[k],
es decir, (A - I)xe = 0. Como la matriz (A - I) es no singular, el único
equilibrio posible es el origen, xe = [0 0]T.
50
Estabilidad discretos
Sistemas Discretos:
Las definiciones de estabilidad en el sentido de Lyapunov y
asintótica son las mismas para sistemas en tiempo discreto:
Teorema (Estabilidad Lyapunov para Sistemas Discretos). El
sistema x[k + 1] = Ax[k] es:
● estable en el sentido de Lyapunov si y sólo si todos los valores
propios de A tienen magnitud no mayor que 1, y aquellos con
magnitud igual a 1 son raíces simples del polinomio mínimo de A.
● asintóticamente estable si y sólo si todos los valores propios de A
tienen magnitud menor que 1.
51
Estabilidad Discretos

Para el sistema discreto
x(k + 1) = Ax

La función candidata:
V (k ) = xT (k ) Px(k )
ΔV ( x, k ) = V (k + 1) − V (k )
= xT (k + 1) Px(k + 1) − xT (k ) Px(k )
(
)
= xT (k ) AT PA − P x(k )
52

Para que la forma cuadrática V(k) sea una función válida
la matriz:
AT PA − P

Debe ser negativa definida.
La ecuación discreta de Lyapunov es:
AT PA − P = −Q
La función MATLAB lyap calcula la solución de la
ecuación de Lyapunov continua, mientras que la función
dlyap calcula la discreta.
53
Teorema (Solución de la Ecuación de Lyapunov Discreta). Si todos
los valores propios de la matriz A tienen magnitud menor que 1,
entonces la ecuación de Lyapunov
AT PA − P = −Q
tiene solución única para cada Q, y la solución puede expresarse en
la forma
m
P = ∑ (AT ) QAm
∞
m =0
Aún cuando A tuviera valores propios con magnitud mayor que 1, la
ecuación de Lyapunov tiene solución si se cumple
pero no puede expresarse en la forma anterior.
54
Estabilidad Externa
Sea un sistema lineal, causal , relajado, estacionario , descrito por la
ecuación de estado:
x& (t ) = A(t )x(t ) + B(t )u(t )
y (t ) = C(t )x(t ) + D(t )u(t )
Se estudia la estabilidad externa del sistema con respecto a la familia
de señales de entrada acotadas. Una señal de entrada dada u(t) se
dice acotada si existe una constante positiva Mu tal que
Ejemplos de señales acotadas son u(t) = sen(wt), u(t) = te-t, o u(t) = -2.
55
Estabilidad Externa
La estabilidad BIBO se refiere a una propiedad del sistema que sólo
considera los efectos de la entrada sobre la salida, es decir, el
comportamiento externo del sistema, independientemente de lo que
pase con los estados.
Un sistema es BIBO estable si para cualquier entrada limitada u(t),
u (t ) ≤ M y para cualquier condición inicial x(t0 ) existe una
constante finita N(M,x0 t0 ) tal que
y (t ) ≤ N ∀t ≥ t 0
Un sistema es BIBS estable si para cualquier entrada limitada u(t),
u (t ) ≤ M y para cualquier condición inicial x(t0 ) existe una
constante finita N(M,x0 t0 ) tal que
x(t ) ≤ N ∀t ≥ t 0
56
Estabilidad Externa
Teorema Un sistema es estable BIBO si y sólo si su respuesta
impulso h(t) es absolutamente integrable en el intervalo [0,∞), es
decir, existe una constante NH ≥ 0 tal que
t
∫
H (t ,τ ) dτ ≤ N H
−∞
La matriz de respuestas impulso está dada por:
H (t ,τ ) = C(t )Φ(t ,τ )B(τ ) + δ (t − τ )D(τ )
La norma de la matriz de respuestas impulso
empleando una de las definiciones ya estudiadas.
se debe calcular
57
Estabilidad Externa
Una función absolutamente integrable no necesariamente es acotada
y puede no ir a cero cuando t → ∞. Un ejemplo de una función que es
absolutamente integrable y no va a cero cuando t → ∞ es
El Teorema de Estabilidad BIBO es útil para una clase general de
sistemas lineales. Sin embargo, para utilizarlo se debe tener la
respuesta impulso del sistema para poder evaluar si es absolutamente
integrable. Esta prueba puede no ser fácil de realizar.
58
Estabilidad Externa
Para un sistema invariante ( o estacionario) la matriz de respuestas
impulso se evalúa como:
H (t ,τ ) = Ce A( t −τ ) B + δ (t − τ )D
Aplicando el teorema anterior:
t
∫
H (t ,τ ) dτ =
−∞
t
∫
Ce A( t −τ ) B + δ (t − τ ) D dτ ≤ N H
−∞
Si D es finita la integral del termino δ(t-τ)D es limitada y su
contribución a la integral completa es simplemente aditiva.
t
⎛
⎞
A ( t −τ )
A ( t −τ )
∫−∞ Ce B dτ = C ⎜⎜⎝ −∫∞ e dτ ⎟⎟⎠ B ≤ N H
t
59
Estabilidad Externa
La norma de la matriz de transición de estados también se emplea
para estudiar la estabilidad en el sentido de Lyapunov.
Pero estabilidad BIBO y ESL NO son equivalentes: no se pueden
despreciar los efectos de las matrices C y B: Si
⎛ t − A( t −τ )
⎞
⎜∫ e
dτ ⎟⎟ B ∈ Null (C )
⎜
⎝ −∞
⎠
Independiente del tamaño de la integral, al premultiplicarse por C el
resultado será limitado:
Un sistema que NO es ESL puede ser BIBO estable.
Lo contrario si es cierto: un sistema asintóticamente estable es BIBO
estable.
60
Estabilidad Externa
Un sistema es BIBS si para toda entrada limitada, existe una
constante Ns finita tal que:
⎛t
⎞
⎜ ∫ Φ (t − τ ) B(τ ) dτ ⎟ ≤ N s ∀ t
⎜
⎟
⎝ −∞
⎠
Para sistemas causales, de dimensión finita y LIT la
aproximación en el domino de la frecuencia es más sencilla:
e At = L−1{(sI − A) }
−1
La demostración de acotamiento se puede hacer sobre:
CL−1{(sI − A) }B
−1
Para que esta expresión sea acotada los polos deben estar en el
semiplano izquierdo cerrado.
61
Estabilidad Externa
Pero como pueden existir entradas acotadas con frecuencias
características imaginarias conjugadas, los polos de la expresión
anterior deben estar en el semiplano izquierdo abierto.
H ( s ) = C ( sI − A) −1 B + D
Corolario: Estabilidad BIBO
para Funciones Racionales y
Propias. Un sistema SISO con
una
función
transferencia
racional y propia h(s) es BIBO
estable si y sólo si todos los
polos de h(s) tienen parte real
negativa.
62
Estabilidad Externa
El criterio de Routh – Hurwitz determina la estabilidad BIBO.
La estabilidad del sistema queda determinada por los polos de la
función transferencia, siendo la región de estabilidad el semiplano
izquierdo (abierto) del plano complejo. Este tipo de estabilidad sólo
tiene en cuenta el comportamiento externo del sistema, ignorando el
efecto de condiciones iniciales, que se asumen nulas.
La estabilidad BIBO es la base del clásico concepto de respuesta en
régimen permanente (estado estacionario) de un sistema lineal
estacionario. Esta es la respuesta del sistema una vez extinguidos los
transitorios originados en el momento que se aplica la señal de
entrada.
63
Estabilidad Externa
Teorema (Estabilidad BIBO y Respuesta en Régimen Permanente).
Si un sistema con respuesta impulso h(t) es estable BIBO, entonces
cuando t → ∞
● La salida correspondiente a una entrada constante u(t) = a, para
t ≥ 0, tiende a la constante
y ss (t ) = h(0)a
● La salida correspondiente a una entrada senoidales u(t) = sen(w0t),
para t ≥ 0, tiende a la senoidal
yss (t ) = h( jw0 ) sen(ω0t + ∠h( jω0 ))
El teorema anterior especifica la respuesta de un sistema BIBO a
señales constantes y senoidales una vez que los transitorios se
extinguen.
64
Estabilidad Externa
Para analizar sistemas que no tienen una función transferencia
racional y propia, se debe apelar al teorema original.
Ejemplo. Sea un sistema con realimentación positiva que incluye un
retardo unitario, T = 1, y una ganancia estática de valor a.
El sistema es de dimensión infinita, puesto que incluye un retardo, y
no tiene función transferencia racional.
65
Estabilidad Externa
Cuando la entrada es un impulso, u(t) = δ(t), la salida está dada por
h(t)
Considerando los impulsos como positivos:
El sistema es BIBO estable si y sólo sí ||a|| < 1.
66
Estabilidad Externa
Caso MIMO: Los resultados de estabilidad BIBO para sistemas
MIMO son una generalización de los de sistemas SISO, ya que una
matriz transferencia será BIBO estable si y sólo sí cada una de sus
entradas son BIBO estables.
Las pruebas del Teorema de Estabilidad BIBO de Sistemas SISO y el
Corolario correspondiente deben realizarse sobre cada elemento de la
respuesta al impulso o matriz transferencia del sistema.
Un sistema multivariable con matriz de respuestas impulso G (t ) = [ g ij (t )]
es BIBO estable si y sólo sí cada gij (t) es absolutamente integrable en
[0,∞ )
Un sistema multivariable con matriz de funciones de transferencia
racionales y propias G ( s) = [g ij ( s)] es BIBO estable si y sólo sí todos los
polos de todos los gij (s) tienen parte real negativa
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Estabilidad Externa
Ejemplo: Dado el sistema
El sistema NO es estable en el sentido de Lyapunov: tiene un valor
propio con parte real positiva en λ = 1
El sistema es estable BIBO, dado que su función transferencia es
y tiene un único polo en -1.
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Estabilidad Externa
Caso Discreto:
Para el sistema descrito por
donde g[k] es la secuencia respuesta a un impulso discreto aplicado
en el instante k = 0.
Teorema (Estabilidad BIBO Discreta). Un sistema discreto MIMO
con matriz respuesta al impulso G[k] = gij[k] es estable BIBO si y sólo
si cada gij[k] es absolutamente sumable, es decir, existe una constante
M > 0 tal que
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Estabilidad Externa
A diferencia del caso de tiempo continuo, en el caso de tiempo
discreto, si g[k] es absolutamente sumable entonces debe
necesariamente ser acotada y aproximarse a 0 cuando k → ∞.
El siguiente corolario establece una prueba para la estabilidad
externa para sistemas discretos descritos por matrices de
transferencia racionales y propias.
Corolario (Estabilidad BIBO para
Funciones Discretas Racionales y
Propias). Un sistema discreto
MIMO con matriz transferencia
racional y propia G(z) = [gij(z)] es
estable BIBO si y sólo si todo polo
de gij(z) tienen magnitud menor
que 1.
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Estabilidad Externa
Teorema (Respuesta en Régimen Permanente Discreta). Si un
sistema discreto con respuesta al impulso g[k] es estable BIBO,
entonces, cuando k → ∞,
● La salida excitada por u[k] = a, para k ≥ 0, tiende a g(1)a.
● La salida excitada por u[k] = sen(wok), para k ≥ 0, tiende a
g(z) es la transformada Z de g[k],
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Estabilidad Externa
Ejemplo. Sea un sistema discreto estacionario con respuesta al
impulso
g[k] = 1/k, para k ≥ 1, y g[0] = 0. Analizamos si g[k] es
absolutamente sumable,
La secuencia de la respuesta al impulso es acotada pero no sumable,
por lo tanto el sistema no es estable BIBO.
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Estabilidad
Relaciones entre Estabilidad Externa e Interna.
La relación entre estabilidad externa y estabilidad interna se puede
resumir en el siguiente diagrama
Pueden existir sistemas estables para entrada cero (ESL) pero
inestables con entrada externa aplicada (no estables BIBO)
Pueden existir sistemas no estables para entrada cero (no ESL)
pero estables cuando sólo se mira la salida (estables BIBO)
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Estabilidad
Por definición, estabilidad exponencial implica estabilidad asintótica y
estabilidad asintótica implica estabilidad en el sentido de Lyapunov.
Por otro lado, como todo polo de la matriz transferencia del
sistema debe ser un valor propio de A, estabilidad interna
asintótica implica estabilidad BIBO.
Sin embargo, no todo valor propio de A aparecerá como polo de G(s),
ya que puede haber cancelaciones de ceros y polos. Por lo tanto,
estabilidad BIBO no implica estabilidad interna; es decir, un sistema
puede ser BIBO estable pero no Lyapunov o asintóticamente estable.
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Estabilidad
Ejemplo. El sistema descrito por la ecuación diferencial
La función transferencia no tiene ningún polo con parte real no
negativa, entonces el sistema es BIBO estable.
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Estabilidad
Una representación en variables de estado es:
Los valores propios de la matriz A son λ = 1, λ = -2, entonces el
sistema no es internamente estable, ni asintóticamente, estable en el
sentido de Lyapunov, ya que tiene un autovalor con parte real
positiva.
Este sistema es BIBO estable pero no asintóticamente estable.
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Estabilidad
Resumen:
• Se introdujeron los conceptos de estabilidad de sistemas
estacionarios, comenzando por la estabilidad externa BIBO: entradaacotada/salida- acotada.
• Un sistema es BIBO estable si y sólo si
° su respuesta al impulso es absolutamente integrable (sumable,
para sistemas discretos), o
° si su función transferencia g(s) (en discreto g(z)) es racional y
propia, todos los polos de g(s) tienen parte real negativa (los
polos de g(z) tienen magnitud menor que 1).
•
Los sistemas MIMO son BIBO estables si y sólo si todos los
subsistemas SISO que conectan las diferentes entradas y salidas son
BIBO estables.
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Estabilidad
• La respuesta en régimen permanente de un sistema BIBO a una
entrada sinusoidal de frecuencia w0 es sinusoidal de la misma
frecuencia, y con magnitud y fase dadas por la magnitud y fase de la
función transferencia del sistema evaluada en s = jw0 (z = ejw0 en
sistemas discretos).
• Para un sistema con entradas nulas se definen la estabilidad
interna, la estabilidad según Lyapunov, y la estabilidad asintótica.
• La condición necesaria y suficiente para estabilidad según
Lyapunov es que la matriz A en x´ = Ax no tenga valores propios con
parte real positiva, y para aquellos valores propios con parte real
nula, que no estén asociados a un bloque de Jordan de dimensión
mayor que 1.
• La condición necesaria y suficiente para estabilidad asintótica es
que todos los autovalores de A tengan para real negativa78
Estabilidad
• Un método alternativo de verificar si la matriz A tiene todos sus
autovalores con parte real negativa es verificar la existencia de
solución de una ecuación de Lyapunov.
• El teorema de Lyapunov para sistemas discretos, que vincula la
existencia de solución de la ecuación M - ATMA = N con la propiedad
de que A tenga todos sus valores propios dentro del círculo unitario.
• Para la estabilidad de sistemas lineales no estacionarios, se empleó
el método de Lyapunov..
• Una nota importante es que los autovalores de A(t) en general no
determinan la estabilidad en sistemas lineales no estacionarios.
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REFERENCIAS
1.
2.
BAY J.S. Fundamentals of Linear State
Space Systems. New York: McGraw Hill
International Edition. 1999.
CHEN Chi- Tsong. Linear Systems Theory
and Design. 3rd Edition. New York:
Oxford University Press. 1999.
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estabilidad en el sentido de Lyapunov

Transcripción

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