Modelado multidimensional de sistemas viscoelásticos

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INGENIERÍA MECÁNICA
TECNOLOGÍA Y DESARROLLO
Vol. 2 No. 1 (2005) 6 - 12
Modelado multidimensional de sistemas
viscoelásticos
Juan C. Jáuregui Correa, Leonardo Urbiola Soto,
Carlos Díaz Díaz, Fernando Aboites Dávila
CIATEQ A.C.
Aguascalientes, Ags.
[email protected]
ABSTRACT
A multidimensional finite element model of a viscoelastic sliding bearing is presented. The model consisted on two independent
matrices, one represents the stiffness behavior and the other represents a damping matrix. These matrices are independent from
each other since the viscoelastic material properties are assumed to be a Kelvin type material. Kelvin type materials are approximated
as a linear combination of an elastic modulus and a viscous coefficient. This simple model describes accurately almost any rubber
found in several machine components.
The model combines the linearity of the Kelvin type material plus the finite element interpolation scheme. Thus, the advantages of
the finite element method can be applied to any geometry.
In order to obtain Kelvin´s coefficients, a test rig was built. Material properties were experimentally determined and the model was
validated. Afterwards, a discretized model was developed for a radial support bearing with an embedded rubber band. From this
model, it was possible to analyze bearing stiffness and damping properties. Then, damping and stiffness coefficients were input into
a rotordynamic system. This system consisted on a single-mass rotor with a slender shaft. Thus, imbalance response characteristics
were obtained applying the viscoelastic sliding bearings. This procedure allows the designer to evaluate alternative damping
mechanisms that can be added to sliding bearings.
RESUMEN
En este trabajo se presenta el desarrollo de un modelo multidimensional de elementos mecánicos construidos con materiales
viscoelásticos, cuyo comportamiento se aproxima al de un material tipo Kelvin. El modelo multidimensional se construye a partir de
una formulación variacional y los campos de desplazamiento y deformación se aproximan con polinomios similares a los que se
utilizan en el método de los elementos finitos. La combinación del modelo lineal de Kelvin con la discretización de elementos
finitos, permite analizar cualquier sistema viscoelástico sin importar la complejidad geométrica del mismo.
Para poder obtener los coeficientes del modelo de Kelvin, se desarrolló un instrumento de medición que determina estos valores
de manera directa. El instrumento está fundamentado en el principio de vibración libre y el algoritmo de cálculo asegura una baja
incertidumbre.
El método desarrollado en este trabajo, se utilizó para diseñar un cojinete con amortiguamiento viscoelástico integrado. Con este
modelo fue posible encontrar la rigidez y el amortiguamiento de un anillo de neopreno que se montó como un elemento de
amortiguamiento adicional en una chumacera hidrodinámica. De esta manera, se puede modificar la capacidad de amortiguamiento,
manteniendo las mismas condiciones de lubricación y de operación. Para validar el modelo, los coeficientes de rigidez y de
amortiguamiento que se calcularon con este proceso se utilizaron para analizar un modelo rotodinámico y se probaron con un
rotor experimental.
Los resultados obtenidos, tanto en el modelo rotodinámico, como en las pruebas de banco coinciden con las predicciones calculadas
con el método de los elementos finitos.
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los Díaz Díaz, F
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C.. Jáur
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ea,, Leonar
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Soto,, Car
Carlos
Fernando
INGENIERÍA MECÁNICA TECNOLOGÍA Y DESARROLLO
Palabras clave: Viscoelasticidad multidimensional, Material tipo
Kelvin, Elementos Finitos, Chumaceras, Rigidez,
Amortiguamiento.
NOMENCLATURA
F
t
M
C
K
u
x, y
σ
E
ε
µ
γ
V
B
A
µ’
k
c
m
l
Ac
Fuerza externa de excitación, N
Tiempo, s
Matriz de masa, kg
Matriz de amortiguamiento, N-s/m
Matriz de rigidez, N/m
Vector de desplazamiento nodal
Coordenadas cartesianas
Esfuerzo de tensión, N/m2
Módulo de elasticidad, N/m2
Tensor de deformación
Viscosidad dinámica, Pa-s
Tensor de deformación cortante
Volumen, m3
Función de interpolación para términos elásticos
Función de interpolación para términos viscosos
Coeficiente viscoso, Pa-s
Rigidez, N/m
Amortiguamiento, N-s/m
Masa, kg
Longitud de la chumacera, m
Sección transversal, m2
ζ
P
f
∆
a
w
n
p-p
Coeficiente de amortiguamiento, F / 2 NP
Periodo, s
Frequencia, Hz
Decremento logarítmico
Longitud de onda, m
Número de decremento de onda
Contador
Amplitud pico a pico
•
()
i, j
Derivada con respecto al tiempo
Subíndice(=1,2,...n)
INTRODUCCIÓN
Existe una gran cantidad de estudios que describen el
comportamiento de materiales viscoelásticos o de sus
aplicaciones en ingeniería. Sobre el comportamiento
viscoelástico se han desarrollado diversos modelos que
describen las relaciones constitutivas del material, y se
resuelven con diferentes aproximaciones. La complejidad de
estos modelos depende del número de variables con las que
se define el comportamiento del material, las cuales incluyen:
el comportamiento elástico, la rapidez de deformación, la
energía disipada, etc.
Muchos de estos estudios se describen en los artículos que se
incluyen en las referencias (Hilton y Yi, 1999), (Lozano, López,
Jáuregui y Fawcett,1991), (Lozano, López y Jáuregui,1995),
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(Fung y Yau, 2003) y (Chen y Wang, 2003), dentro de los
estudios que describen el comportamiento multidimensional,
se destacan aquellos que modelan el comportamiento
viscoelástico a partir de una aproximación del tipo NewtonEuler y el modelo se resuelve utilizando un esquema de
diferencias finitas.
En el trabajo de Raju P. y Richa (2003) se reporta un método
para evaluar la energía absorbida por una pared delgada
compuesta por tres capas, donde el material intermedio es
una espuma polimérica. La solución a su modelo la obtuvieron
a partir de una formulación no lineal de elementos finitos. En
sus resultados demuestran que se pueden obtener la rigidez
y el amortiguamiento de la espuma polimérica. La dificultad
de su modelo está en la solución al problema no lineal y
presenta discrepancias cuando el espesor de la espuma es
significativamente grande con respecto al espesor de las otras
dos paredes.
La mayoría de los trabajos relacionados con el análisis de
sistemas torsionales resuelven las ecuaciones utilizando
esquemas de diferencias finitas. Fernandez y Sofonea (2004)
desarrollaron un modelo multidimensional basado en un
material con una relación constitutiva tipo Kelvin-Voigt y
resolvieron el problema asumiendo deformaciones
infinitesimales. Para ello desarrollaron dos operadores
asociados con la rigidez y el amortiguamiento. Otro trabajo
similar fue presentado por Mesquita y Coda (2003), quienes
desarrollaron un método basado en formulaciones de
elementos finitos, y de manera similar a lo que se presenta
en este trabajo, ellos separan la parte viscosa de la parte
elástica. Para demostrar su método lo aplicaron a algunos
ejemplos teóricos. La diferencia fundamental del trabajo
presentado por Mesquita y Coda (2003), y el que aquí se
describe, radica en que se considera que los componentes
viscosos afectan sólo a los términos del esfuerzo cortante, en
forma similar a los fluidos newtonianos. Otra diferencia es el
uso de la interpolación polinomial y la discretización de
elementos finitos.
Así, se puede modelar cualquier pieza que esté formada por
la combinación de materiales rígidos y materiales viscoelásticos
como los elastómeros. Este tipo de combinaciones de materiales
se encuentran en diferentes aplicaciones, sobre todo en
aquellas en las que se busca aislar las vibraciones de un equipo
dinámico. Y en este caso se quiere desarrollar un método de
diseño que permita, a partir de un rango de frecuencia a
absorber, determinar las características geométricas y las
propiedades del elastómero que se utilizará como elemento
de absorción. Para demostrar la validez del método, éste se
aplicó a una chumacera hidrodinámica a la que se le insertó
un anillo de material elastomérico como se muestra en la Fig.
1. De esta manera, cuando se necesita modificar el coeficiente
de amortiguamiento de una chumacera, se le puede agregar
una banda de material viscoelástico que modifique el
comportamiento dinámico del rotor. Con el método presentado
Ingeniería Mecánica
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potencial. Al minimizar la energía total del sistema en los
puntos de interpolación (nodos), se obtiene un sistema lineal
con un número discreto de ecuaciones cuya solución es directa:
••
•
0 X + & X + . X = ) (W )
LM
LM
LM
LM
LM
(1)
LM
Con esta formulación, se pueden determinar los términos
elásticos independientemente de los viscosos y se pueden
asociar a los conceptos tradicionales de rigidez y
amortiguamiento de los sistemas lineales. Esta formulación
permite modelar sistemas con geometrías complejas, que con
esquemas de solución tipo diferencias finitas es muy
complicado.
Figura 1. Chumacera combinada.
A partir de suponer que la relación constitutiva del material
es del tipo Kelvin, se tiene que:
•
σ = (ε + µ ε
en este trabajo, se pueden determinar, tanto las características
geométricas, como las propiedades del material y sintonizar
el rotor dentro del rango de frecuencias deseado.
(2)
En el caso de un sistema multidimensional, la ecuación 2 se
expresa como:
•
MODELO MATEMÁTICO
El modelo matemático parte de la asunción de que el material se comporta como un material tipo Kelvin (ecuación 2).
Esto es válido para los elastómeros que más se utilizan en la
industria (Fig. 2). Para hacer la formulación multidimensional
y pasar del modelo simple unidimensional al modelo completo,
se asumen dos condiciones especiales: el comportamiento
elástico está determinado por los términos de la deformación
volumétrica, mientras que el comportamiento viscoso está
afectado únicamente por los términos de la deformación
cortante, de manera similar que en los fluidos newtonianos.
Así, el comportamiento elástico está asociado a un modelo
de la mecánica de sólidos y el comportamiento viscoso está
asociado a un modelo de mecánica de fluidos.
σ = ( ε +µ γ
LM
LM
LM
LM
(3)
LM
Donde Eij representa el modulo elástico, εij representa el
•
tensor de deformación, γ el tensor de rapidez de deformación
cortante y µij los términos viscosos. Siguiendo la formulación
de elementos finitos, la energía de deformación se expresa
como
LM
7
Π = ∫ ε LQ σ LM G9
(4)
9
Si se utiliza una interpolación polinomial para definir los
campos de desplazamiento y velocidad, los tensores de
deformación y rapidez de deformación se pueden aproximar
como un conjunto discreto de ecuaciones de la forma
ε =% X
LM
LM
•
LM
•
γ =$ X
LM
LM
(5)
LM
donde uij representa el vector de desplazamientos nodales,
Bij es la matriz de forma, que incluye los términos de
interpolación polinomial, Aij es la matriz de forma asociada al
•
comportamiento newtoniano de los términos viscosos y X es
el vector de velocidades nodales.
LM
Figura 2. Modelo de kelvin.
El modelo de elementos finitos se inicia con la interpolación
polinomial de los campos de desplazamiento y velocidad, y
se construye el modelo variacional de las energias cinética y
Las ecuaciones de equilibrio se encuentran al minimizar los
términos de la energía de deformación en función de los
desplazamientos nodales. De esta manera, las fuerzas
asociadas con la deformación elástica y la disipación viscosa
se expresan matricialmente como:
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•
) =. X +& X
LM
LM
LM
LM
LM
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(6)
donde Kij es la matriz de rigidez y Cij es la matriz que
comprende los términos de disipación viscosa de la energía.
Así, se separan los efectos elásticos de los efectos viscosos y
se pueden tratar independientemente cada uno de ellos. Los
términos de la matriz de rigidez se obtienen de manera similar que en el caso de un problema elástico lineal, mientras
que los términos de la matriz de amortiguamiento se obtienen
al resolver la siguiente ecuación.
&LM = ∫9
µ’
3 $F 2
$7ML $LM G9
(7)
Así, se pueden encontrar las características dinámicas de un
sistema de múltiples masas suspendidas que interactúan con
elementos continuos (Shabana,1998), como en el caso de la
chumacera que se describe en este trabajo.
Figura 4. Diagrama del dispositivo para determinar
las propiedades viscolásticas del material.
Aplicando el procedimiento anterior, se obtienen las
propiedades viscoelásticas como:
(=
MEDICIÓN DE LOS PARÁMETROS VISCOELÁSTICOS
Para determinar los valores viscoelásticos de materiales tipo
Kelvin, se desarrolló un dispositivo de medición (Rubio y
Jáuregui, 2004) como el que se muestra en las Figs. 3 y 4. El
principio de medición se basa en la vibración libre que
produce una probeta del material a caracterizar. La probeta,
cuya forma es un prisma rectangular, se fija en un extremo al
dispositivo y en el otro extremo se le une una masa de prueba.
A través de un mecanismo se libera la masa de prueba y se
mide el desplazamiento como función del tiempo. Para lograr
la mayor exactitud en la medición, se utiliza un sensor de
proximidad de alta resolución y a través de un sistema de
adquisición de datos se procesa la señal del sensor y se calculan
los parámetros viscoelásticos del material.
NO
$F
(8)
P(O
$F
(9)
y
µ = 2ζ
En la Fig. 5 se muestra la medición de una muestra y los
valores de rigidez y decremento logarítmico se calculan
utilizando la norma ASTM D-5992-96 (American Society for
Testing Materials, 1997).
Figura 5. Gráfica de resultados experimentales.
Figura 3. Dispositivo de pruebas para determinar
las propiedades viscoelasticas del material.
El sistema formado por el espécimen de prueba y la masa
suspendida se puede representar como un sistema lineal de
vibración libre como se indica en la Fig. 4.
N=
4π 2P
= 4π 2 I 2P
32
∆=
1
D
ln Z
Q DZ + Q
(10)
(11)
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Los resultados de la medición y los valores de E y de µ se
incluyen en la Tabla 1.
Tabla 1. Propiedades del material tipo Kelvin.
Rigidez, N
4834 ± 21 Nm-1
Decremento logarítmico, ∆
0.765 ± 0.02
Módulo elástico, (
5.0753 ± 0.0225 MPa
Módulo viscoso, µ
17648 ± 475 Pa-s
APLICACIONES EN ROTODINÁMICA
El uso de elastómeros como aislantes de vibración es una
práctica muy común en el diseño de maquinaria. En este caso,
se propone utilizar un elastómero como un elemento que
permita sintonizar una chumacera hidrodinámica que ya esté
en operación, en particular esta aplicación no ha sido
reportada. El principio se basa en el aislamiento que se logra
en aplicaciones como en poleas de motores o en sistemas
para absorber vibraciones torsionales en ejes motrices. El diseño
consiste en agregar una banda de hule entre el buje donde
se forma la película de aceite y el cuerpo que soporta la
chumacera (Fig. 1), de tal forma que no exista contacto entre
el aceite y el hule. Las dimensiones del anillo de hule y las
propiedades del material se determinan a partir de los datos
de frecuencia que se quieren reducir o de los coeficientes de
rigidez y amortiguamiento que se desean obtener.
La chumacera se modela como se muestra en la (Fig. 6). Como
la rigidez de las partes metálicas es mucho mayor que la del
hule (mayor al 96%), se puede modelar el sistema
considerando que el metal actúa como una masa suspendida.
De esta manera se puede simular la chumacera como un
sistema discreto de masas suspendidas (Fig. 7).
Figura 7. Modelo de los coeficientes rotodinámicos.
MODELO ROTODINÁMICO
Para verificar el efecto de material viscoelástico en el
comportamiento dinámico del rotor, se construyó un modelo
rotodinámico, utilizando los coeficientes equivalentes mostrados
en la Fig. 8.
Se comparó la respuesta dinámica de un rotor en tres
condiciones: soportado por chumaceras de metal, hule y una
combinación hule-metal. El modelo de la chumacera combinada
se muestra en la Fig. 6, para efectos de interpretación, se
muestran en rojo los elementos que representan al hule y en
verde los elementos que representan al metal. De este modelo
se obtuvieron en forma paramétrica los coeficientes de rigidez
y amortiguamiento. Los valores correspondientes a la
chumacera de hule se presentan en la Tabla 2. Los valores
correspondientes a los anillos metálicos se muestran en la Tabla
3 y los efectos combinados se resumen en la Tabla 4.
Los coeficientes de rigidez y amortiguamiento se extraen del
modelo de elementos finitos y se utilizan para realizar la
simulación rotodinámica (Fig. 7). De este modelo se obtienen
tanto los coeficientes directos como los coeficientes cruzados
Kxx, Kyy, Kxy, Kyx, Cxx, Cyy, Cx, y Cyx,.
Figura 8. Coeficientes equivalentes de la chumacera combinada
Tabla 2. Coeficientes rotodinámicos del anillo de hule.
.[[
1P
3.53E+04
.[\
1P
2634
.\[
1P
.\\
1P
-2634 3.53E+04
&[[
1VP
92
&[\
1VP
25
&\[
1VP
25
&\\
1VP
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Figura 6. Modelo Elementos Finitos de la chumacera combinada.
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Tabla 3. Coeficientes rotodinámicos del anillo de aluminio.
.[[
1P
.[\
1P
1.50E+05
.\[
1P
0
.\\
1P
0 1.50E+05
&[[
1VP
&[\
1VP
25
&\[
1VP
0
&\\
1VP
0
25
Tabla 4. Coeficientes rotodinámicos de la chumacera combinada.
.[[
1P
.[\
1P
.\[
1P
.\\
1P
&[[
1VP
&[\
1VP
&\[
1VP
&\\
1VP
2.84E+04 1852.032 -1528.667 2.84E+04 60.20932 14.49017 17.59695 60.20932
Con estos coeficientes se modeló un eje delgado con una
masa concentrada y se calculó la respuesta al desbalanceo
(Fig. 9). Las dimensiones del eje son: longitud 0.5 m, diámetro
0.010 m, desbalanceo 0.8 gr-mm. El disco central tiene una
longitud de 0.0254 m, un diámetro exterior de 0.0762 y una
masa de 0.8 kg.
Figura 10. Resultados del modelo rotodinámico.
MEDICIONES DE UN SISTEMA ROTODINÁMICO
Figura 9. Modelo rotodinámico.
En la Fig. 10 se muestran los resultados de las simulaciones en
tres condiciones. La primera considera que el eje sólo está
soportado por el hule, esta simulación se realizó como
referencia ya que físicamente es totalmente impráctico. El
segundo caso analiza al eje soportado sobre las chumaceras
metálicas y el tercer caso corresponde con la simulación de la
chumacera combinada.
Comparando los resultados de la chumacera metálica con los
resultados de la chumacera combinada, se observan dos
características importantes: en primer lugar, la frecuencia crítica
del eje disminuye de 2000 rpm a 1600 rpm, y en segundo
lugar, la amplitud de la vibración máxima se reduce de 0.59
mm p-p a 0.31 mm p-p. Al observar el comportamiento del
eje soportado sólo en una chumacera de hule se puede concluir
que la chumacera combinada está dominada por las
condiciones dinámicas que impone el anillo de hule. Es
importante resaltar que la chumacera combinada tiene una
menor rigidez, lo que causa que la frecuencia crítica del rotor
disminuya.
Una vez que se determinó teóricamente que la chumacera
combinada mejora el amortiguamiento de un sistema
rotodinámico, se construyeron dos chumaceras experimentales
y se montaron en un banco de pruebas como el que se muestra
en la Fig. 11. Se realizaron dos tipos de mediciones, la primera
se realizó con el eje montado en chumaceras sólidas y la
segunda con el eje montado en las chumaceras combinadas.
El eje se hizo girar desde el reposo pasando por la primera
velocidad crítica y se elevó la velocidad hasta que la amplitud
de vibración se estabilizó.
Figura 11. Montaje de la chumacera combinada
en el banco de pruebas.
162
11
En la Fig. 12 se muestran el comportamiento de los dos sistemas
rotodinámicos. En este caso se puede observar cómo la
amplitud de vibración disminuye más de un 30% debido al
amortiguamiento que produce el material viscoelástico. Por
otro lado la observa que la frecuencia natural disminuye
debido a la disminución en la rigidez de las chumaceras.
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anillo, se construyó un dispositivo que a partir de la frecuencia
y la amplitud de vibración determina de manera directa las
propiedades viscoelásticas de los elastómeros.
La correlación que se encontró entre el modelo teórico y los
resultados experimentales, demuestran que el método puede
ser aplicado en otras geometrías.
REFERENCIAS
1.4
1.2
1.183
American Society for Testing Materials (ASTM) 1997, Standard
guide for dynamic testing of vulcanized rubber and rubberlike materials using vibratory methods, ASTM D-5992-96
1
0.86
0.848
0.8
6/
,0
0.71
0.748
0.7
0.722
Chen, L., Wang, H., Axisymmetric Vibration and Damping
Analysis of Rotating Annular Plates with Constrained Damping
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0.64
0.6
0.55
0.471 0.483
0.4
0.39
0.388
0.312
0.26
0.52
0.33
0.281
0.212
0.15
0.2
0.201
0.04
0
0
500
1000
1500
2000
2500
530
Figura 12. Resultados de la medición de la vibración
en el banco de pruebas.
CONCLUSIONES
El método que se desarrolló en este trabajo ofrece la
oportunidad de diseñar sistemas para aislar las vibraciones a
partir de los requisitos de rigidez y amortiguamiento, o a
partir de las frecuencias que se quieren disipar. El método
permite calcular las dimensiones y las propiedades de los
elastómeros a partir de condiciones teóricas sin necesidad de
desarrollar pruebas iterativas con prototipos físicos.
Las propiedades del material se pueden estimar a partir de
los módulos elástico y viscoso. Como se demostró en los
resultados, la linealidad de las propiedades de los materiales
viscoelásticos tipo Kelvin y su formulación multidimensional a
partir de modelos de elementos finitos, son lo suficientemente
exactas para poder hacer modelados en computadora.
Con este trabajo, se demostró también que la formulación
multidimensional presenta mayores ventajas de modelado que
las formulaciones a partir de diferencias finitas, ya que se
pueden utilizar modelados con formulaciones de elementos
finitos. De esta forma, se puede aplicar el método a piezas
de diseño sofisticado, que en el caso de las diferencias finitas
requieren un gran esfuerzo computacional y de modelado.
Una de las aplicaciones que no ha sido muy explotada, es el
hecho de diseñar chumaceras en las que se combine metales
con materiales viscolásticos. En este caso, se puede modificar
la frecuencia natural y el amortiguamiento de un rotor,
simplemente añadiendo el aislante entre los elementos rígidos
de la chumacera.
Para determinar las propiedades del elastómero que se
utilizará como aislante de vibración y las dimensiones del
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