I ) Calcula todas las matrices diagonales de orden dos que

I ) Calcula todas las matrices diagonales de orden dos que

IES Mediterráneo de Málaga
Solución Junio 2000
Juan Carlos Alonso Gianonatti
1.-
I ) Calcula todas las matrices diagonales de orden dos que coinciden con su inversa
II ) Si A es una de estas matrices, calcula su cuadrado
I)
a b
⎛ a − b⎞
⎛a b⎞
⎛a c⎞
1
⎟⎟ ⇒ adj A t = ⎜⎜
⎟⎟
⎟⎟ ⇒ A =
A = ⎜⎜
= a 2 − bc ⇒ A −1 =
⋅ adj A t ⇒ A t = ⎜⎜
c a
A
⎝− c a ⎠
⎝c a⎠
⎝b a⎠
b ⎞ ⎧
⎛ a
a 2 − bc = 1
−
⎜
⎟
2
2
⎛ a − b⎞
⎛a b⎞
1
a − bc ⎟ ⇒ ⎪b = −b ⇒ 2b = 0 ⇒ b = 0
⎟⎟ ⇒ A −1 = A ⇒ ⎜⎜
⎟⎟ = ⎜ a − bc
A −1 = 2
⋅ ⎜⎜
⎨
c
a
a − bc ⎝ − c a ⎠
⎟ ⎪
⎝ c a ⎠ ⎜⎜ −
⎟
c = − c ⇒ 2c = 0 ⇒ c = 0
a 2 − bc ⎠ ⎩
⎝ a 2 − bc
(
)
⎧
⎛ 1 0⎞
⎟
⎪ a = 1 ⇒ A = ⎜⎜
0 1 ⎟⎠
⎪
2
⎝
a − 0 =1⇒ a = ± 1 ⇒ ⎨
⎪a = −1 ⇒ A = ⎛⎜ − 1 0 ⎞⎟
⎜ 0 − 1⎟
⎪⎩
⎝
⎠
II )
⎧
⎛1 0⎞
⎛1 0⎞ ⎛1 0⎞ ⎛1 0⎞
⎟⎟ ⇒ A 2 = ⎜⎜
⎟⋅⎜
⎟=⎜
⎟
A = ⎜⎜
⎪
0 1⎠
0 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 1 ⎟⎠
⎪
⎝
⎝
Si ⎨
⎪ A = ⎛⎜ − 1 0 ⎞⎟ ⇒ A 2 = ⎛⎜ − 1 0 ⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ − 1 0 ⎞⎟ = ⎛⎜ 1 0 ⎞⎟
⎜ 0 − 1⎟
⎜ 0 − 1⎟ ⎜ 0 − 1⎟ ⎜ 0 1 ⎟
⎪⎩
⎝
⎠
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠
1
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Juan Carlos Alonso Gianonatti
⎛ 1 α ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛1 − β ⎞
⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟
2.- Se considera el sistema de ecuaciones ⎜⎜
⎝β 1 ⎠ ⎝ y⎠ ⎝ α ⎠
I ) Calcula los valores de α y β sabiendo que el punto P(2 , -1) satisface la primera
ecuación y el punto Q(2 , 0) satisface la segunda
II ) ¿Es compatible y determinado el sistema que resulta al sustituir los valores de
α y β calculados?. Justifica las respuestas.
I)
⎛ x + α y ⎞ ⎛1 − β ⎞ ⎧ x + α y = 1 − β
⎧2 + α (− 1) = 1 − β
⎧− α + β = −1
⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ ⇒ ⎨
⇒⎨
⇒⎨
⇒ − β = −1 ⇒ β = 1 ⇒
⎝ βx + y ⎠ ⎝ α ⎠ ⎩ βx + y = α
⎩ 2β + 0 = α
⎩ α − 2β = 0
α − 2.1 = 0 ⇒ α = 2
II )
⎛1 2 ⎞
⎟⎟
= 1 − 2 = −1 ⇒ ⎜⎜
1 1
⎝1 1 ⎠
1 2
⎛1 2 ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝1 1 ⎠
−1
=
−1
t
t
t
⎡
⎛ 1 2 ⎞ ⎤ ⎛1 2 ⎞ ⎛ 1 1⎞
⎛1 2 ⎞ ⎛ 1 − 2 ⎞
⎟ ⎥⇒⎜
⎟ =⎜
⎟ ⇒ adj ⎜⎜
⎟ =⎜
⎟
=
⋅ ⎢adj ⎜⎜
1 2 ⎢
1 1 ⎟⎠ ⎥ ⎜⎝1 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 1⎟⎠
1 1 ⎟⎠ ⎜⎝ − 1 1 ⎟⎠
⎝
⎝
⎣
⎦
1 1
1
1 ⎛ 1 − 2⎞ ⎛ −1 2 ⎞
⎟=⎜
⎟
⋅⎜
(− 1) ⎜⎝ − 1 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 − 1⎟⎠
−1
⎛1 2 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 1 2 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ − 1 2 ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎛ x⎞ ⎛ 4 ⎞
⎜⎜
⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒⇒ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 1 1 ⎠ ⎝ y ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ y ⎠ ⎝ 1 1 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ y ⎠ ⎝ 1 − 1⎠ ⎝ 2 ⎠
⎝ y ⎠ ⎝ − 2⎠
Sistema Compatible Deter min ado ⇒ Solución(4 , − 2 )
2
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Juan Carlos Alonso Gianonatti
3.- Sea f : ℜ → ℜ( x ) verificando f ' (x ) > 0 ∀x ∈ ℜ
( )
I ) Analiza el crecimiento de la función g ( x ) = f e x
II ) ¿Tiene algún extremo relativo la función h( x ) = e − f ( x )
I)
( )
( )
⎧ f e x > 0 ⇒ Creciente
g ' (x ) = f e x ⋅ f ' (x ) ⇒ Como f ' (x ) > 0 ⇒ Si ⎨
x
⎩ f e < 0 ⇒ Decreciente
( )
II )
h' ( x ) = −e
− f (x )
⋅ f ' ( x ) = (− 1) ⋅
1
e f (x)
⎧ − 1 < 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ
⎪
⋅ f ' ( x ) ⇒ ⎨e − f ( x ) > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ ⇒ Decreciente ⇒⇒ ∀x ∈ ℜ
⎪ f ' ( x ) ⇒ ∀x ∈ ℜ
⎩
No hay extremos relativos
3
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4.- Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la parábola de ecuación
y 2 = x y el segmento cuyos extremos son los puntos P(1 , -1) y Q(4 , 2)
2 − (− 1) 2 − y
3 2− y
=
⇒ =
⇒ 2 − y = 4 − x ⇒ y = −2 + x ⇒ Punto de corte eje OX ⇒ x = 2
4 −1
4− x
3 4− x
Punto de corte entre funciones
( x − 2 )2 = x ⇒ x 2 − 4 x + 4 = x
⎧
⎧ y=2
5+3
= 4 ⇒ y2 = 4 ⇒ y = ± 4 ⇒ ⎨
⎪x =
5± 9
2
⎪
⎩ y = −2
⇒⎨
x 2 − 5 x + 4 = 0 ⇒ Δ = 25 − 16 = 9 > 0 ⇒ x =
2
⎪ x = 5 − 3 = 1 ⇒ y 2 = 1 ⇒ y = ± 1 ⇒ ⎧⎨ y = 1
⎪⎩
2
⎩ y = −1
Y
3
2
1
X
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
-1
-2
-3
III )
4
1
A = ∫ x dx + ∫ −
0
0
4
A=
1
3
2
( x ) dx + ∫ (x − 2) dx − ∫ (x − 2) dx
1
⎡ 3⎤
⋅ ⎢x 2 ⎥ − ∫ −
⎣ ⎦0 0
2
4
0
2
( x ) dx − ∫ (x − 2) dx − ∫ (x − 2) dx = 23 ⋅ ⎛⎜⎜ 4
1
2
4
0
2
⎝
3
2
3
2
4
⎞ 1
− 0 2 ⎟⎟ + ∫ x dx − ∫ (x − 2) dx − ∫ (x − 2) dx
0
2
⎠ 0
3
3
3
4
⎞ 1
2
2 ⎡ ⎤
16 2 ⎛ 2
+ ⋅ ⎜⎜1 − 0 2 ⎟⎟ − ⋅ x 2
A = ⋅ 4 4 + ⋅ ⎢ x 2 ⎥ − ∫ ( x − 2 ) dx =
3
3 ⎣ ⎦0 0
3 3 ⎝
⎠ 2
18
A = − 2 + 16 = 14 + 6 = 20 u 2
3
[ ]
4
0
+ 4 ⋅ [x ]0 =
4
16 2 1
+ − ⋅ (4 − 0) + 4 ⋅ (4 − 0)
3 3 2
4
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5.- Los puntos P(2 , 1 , 2) y Q(0 , 5 , 4) son dos vértices opuestos de un cuadrado
contenido en el plano x + y – z = 1
I ) Determina las coordenadas de los otros dos vértices
II ) Calcula la ecuación de la recta que contiene al origen de coordenadas y es paralela a
la que contiene los puntos P y Q
I) Los vértices R y S pedidos están en la otra diagonal RS, perpendicular a PQ y a una
distancia del punto medio O, de esta, igual a la mitad de la longitud de la diagonal.
Llamando π ≡ x + y − z = 1 ⇒ vπ = (1 , 1 , − 1)
⎧ PQ = (0 , 5 , 4) − (2 , 1 , 2 ) = (− 2 , 4 , 2) ≡ (− 1 , 2 , 1) ⇒ d = PQ = (− 2)2 + 4 2 + 2 2 = 24 = 2 6 u
⎪
⎪⎪
⎧
i
j k
⇒
⎪⎪v RS ⊥ v PQ
⎨
⇒ v RS = v PQ × vπ ⇒ v RS = − 1 2 1 = −2i + j − k − 2k − i − j = −3i − 3k
⎪
⎨
⎪
⎪ v RS ⊥ vπ
1 1 −1
⎪⎩
⎪⎩
v RS = (− 3 , 0 , − 3) ≡ (1 , 0 , 1) ⇒
2+0
⎧
⎪x = 2
⎧ x =1+ λ
⎪⎪
1+ 5
⎪
⇒ O(1 , 3 , 3) ⇒ rs ≡ ⎨ y = 3 + 0λ = 3 ⇒
Punto medio ⇒ O ⎨ y =
2
⎪
⎪ z =3+λ
+
2
4
⎩
⎪z =
2
⎩⎪
d
2
2
2
d O , R = = 6 ⇒ ± 6 = (1 + λ − 1) + (3 − 3) + (3 + λ − 3) ⇒ ± 6 = λ2 + λ2 ⇒ 6 = 2λ2 ⇒ λ2 = 3 ⇒
2
⎧ ⎧x =1 + 3
⎪ ⎪
⎪R ⎨ y = 3 ⇒ R 1 + 3 , 3 , 3 + 3
⎪ ⎪z = 3 + 3
⎪
λ =± 3⇒⎨ ⎩
⎪ ⎧x =1 − 3
⎪ S ⎪⎨ y = 3 ⇒ S 1 − 3 , 3 , 3 − 3
⎪ ⎪
⎪⎩ ⎩ z = 3 − 3
(
)
(
)
II )
⎧ x = 0 − μ = −μ
⎪
PQ = (− 1 , 2 , 1) ⇒ t ≡ ⎨ y = 0 + 2 μ = 2 μ
⎪ z=0+μ =μ
⎩
5
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6.- Sean Q(-1 , 0) y R(3 , 0)
I ) Determina la ecuación del lugar geométrico de los puntos P del plano para los que el
producto escalar PQ y PR es 5
II ) Identifica la cónica resultante y sus elementos característicos.
I)
⎧⎪QP = (x , y ) − (− 1 , 0) = ( x + 1 , y )
⇒ QP ⋅ RP = 5 ⇒ ( x + 1 , y ) ⋅ ( x − 3 , y ) = 5 ⇒
⎨
⎪⎩ RP = ( x , y ) − (3 , 0) = ( x − 3 , y )
(x + 1) ⋅ (x − 3) + y 2 − 5 = 0 ⇒ x 2 − 2 x − 3 − 5 + y 2 = 0 ⇒ x 2 + y 2 − 2 x − 8 = 0
II )
Es una circunferecia
⎧
⎪
− 2 a = −2 ⇒ a = 1
⎪
− 2b = 0 ⇒ b = 0
⎨
R=3
⎧
⎪ 2
2
2
2
2
2
2
2
⎪a + b − R = −8 ⇒ 1 + 0 − R = −8 ⇒ − R = −9 ⇒ R = 9 ⇒ R = ± 9 ⇒ ⎨ R = −3 ( No solución )
⎩
⎩
⎧Centro (1 , 0)
⎨
⎩ Radio = 3
6