Apunte de Pandeo Local en Perfiles de Paredes Delgadas

Apunte de Pandeo Local en Perfiles de Paredes Delgadas

Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de La Plata
ESTRUCTURAS IV
PANDEO LOCAL EN SECCIONES DE
PAREDES DELGADAS
Autores:
Ing. Julián J. Rimoli
Ing. Marcos D. Actis
Ing. Alejandro J. Patanella
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TENSIONES DE PANDEO LOCAL EN SECCIONES
DELGADAS
Introducción
Sabemos que las chapas son ineficientes para tomar cargas de compresión debido a que
sus tensiones de pandeo son relativamente bajas. Sin embargo, esta falla o debilidad puede ser
mejorada en gran medida mediante la creación, partiendo de una chapa, de secciones ángulos,
canales, zetas, etc. Dichas secciones pueden ser creadas también mediante un proceso de
extrusión. Debido a que los miembros doblados y extrudados son ampliamente usados en
estructuras aeronáuticas surge la necesidad de implementar un método de cálculo para
determinar su resistencia a la compresión.
Tensiones De Pandeo Para Elementos Con Alas Iguales
La forma más simple con alas iguales que se puede crear es la sección ángulo. Otras
formas de éste tipo son las secciones T y la cruciforme, como se ve en la Figura 1.
Figura 1.- Perfiles de ala iguales
Estos tipos de secciones pueden ser consideradas como un grupo de alas largas como se
muestra en la Figura 2 para la sección ángulo. Debido a que las alas con las cuales se conforma
la sección son iguales cada una de ellas debería la misma tensión de pandeo. Debido a esto
podemos asumir que cada ala no puede restringir a las otras, y por consiguiente podemos asumir
que cada una de ellas se encuentra simplemente apoyada a lo largo del eje que la une a las demás
como se muestra en la Figura 2.
Figura 2.- Despiece de una sección L
2
La tensión de pandeo para una chapa larga es,
π2 ⋅ k c ⋅ E ⎛ t ⎞2
σ cr =
⋅⎜ ⎟
12 ⋅ 1 − μ 2 ⎝ b ⎠
(
)
Siendo k c = 0,43 , entonces
σ cr =
2
π 2 ⋅ 0,43 ⋅ E ⎛ t ⎞
⎛t⎞
⋅ ⎜ ⎟ = 0,388 ⋅ E ⋅ ⎜ ⎟
⎝ b⎠
12 ⋅ 1 − 0,3 2 ⎝ b ⎠
(
)
2
Si las tensiones de pandeo se encuentran por encima del límite proporcional del material
hay que contemplar el efecto plástico, corrigiendo las tensiones criticas.
Para los ángulos doblados el ancho del ala b se extiende hasta la línea media del ala
adyacente, mientras que para los extrudados el mismo se extiende hasta el eje interior del ala
adyacente.
Tensión De Pandeo Para Elementos Del Tipo Ala-Alma
Las formas estructurales más comunes de éste tipo son las secciones tipo C, Z y U. Sobre estos
perfiles, el ala posee un borde libre, pero no ocurre lo mismo con el alma, por lo cual tenemos
una restricción desconocida en el límite entre el ala y el alma. La
Figura 3 muestra la descomposición de una sección Z en dos elementos (chapas) del tipo ala y
uno del tipo alma.
Figura 3.- Despiece de una sección Z
La tensión de pandeo del ala y del alma depende de la condición de borde (restricción)
existente entre ellas. Si esta condición fuera conocida se podrían utilizar los coeficientes de
pandeo para chapas con distintas rigideces de apoyos. Una vez calculadas las tensiones de
pandeo de todos los elementos, la tensión de pandeo crítica será la menor de todas. Igualmente
hay que tener en cuenta que la carga critica basada en la tensión de pandeo no es la carga de falla
de la sección, ya que la misma puede seguir tomando carga incluso después de ocurrido el
pandeo en las alas y almas.
Muchos estudios han determinado los factores de restricción entre alas y almas para
secciones simples como U, Z, H, tubos cuadrados, utilizando el método de distribución de
3
momentos o procedimientos de análisis paso a paso. Como consecuencia de estos estudios se han
desarrollado gráficos de diseño para ese tipo de secciones, ver Figuras 4 a 7.
Gráficos De Diseño Para Tensiones De Pandeo Local En Algunas
Secciones Del Tipo Ala-Alma
Las siguientes figuras muestran los gráficos para determinar las tensiones de pandeo local de
secciones tipo U, Z, H, tubos cuadrados y omegas. Para las secciones dobladas el ancho b se
extiende entre las líneas centrales de los elementos adyacentes, mientras que para las secciones
extrudadas el mismo se considera entre los ejes interiores de los elementos adyacentes.
σ cr =
π2 ⋅ k w ⋅ E ⎛ t w
⋅ ⎜⎜
12 ⋅ 1 − μ 2 ⎝ b w
(
)
⎞
⎟⎟
⎠
2
Figura 4.- Secciones tipo Z y C
4
σ cr =
π2 ⋅ k w ⋅ E ⎛ t w
⋅ ⎜⎜
12 ⋅ 1 − μ 2 ⎝ b w
Figura 5.- Secciones doble T
σ cr =
(
)
⎞
⎟⎟
⎠
π2 ⋅ k h ⋅ E ⎛ t h ⎞
⋅⎜ ⎟
12 ⋅ 1 − μ 2 ⎝ h ⎠
(
)
2
2
Figura 6.- Secciones tubo rectangular
5
π2 ⋅ k T ⋅ E ⎛ t ⎞
⎟⎟
⋅ ⎜⎜
12 ⋅ 1 − μ 2 ⎝ b T ⎠
t = tf = t w = tT
σ cr =
Figura 7.- Secciones omega
(
2
)
6
Problemas Ilustrativos Sobre El Empleo De Los Gráficos
Problema 1
La sección Z mostrada en la Figura 8 fue creada doblando una chapa de aluminio 2024T3. Se desea determinar la tensión critica de pandeo de la misma.
Figura 8
Las características geométricas de la sección son,
b w = 1,5 − 0,064 = 1,436
b f = 0,75 − 0,032 = 0,718
bf
0,718
=
= 0,5
b w 1,436
t w 0,064
=
=1
tf
0,064
De la Figura 4 obtenemos que k w = 2,9 , entonces la tensión critica será
π2 ⋅ k w ⋅ E ⎛ t w ⎞
⎟⎟
σ cr =
⋅ ⎜⎜
12 ⋅ 1 − μ 2 ⎝ b w ⎠
(
2
)
2,9 ⋅ (3,14 )2 ⋅10700000 ⎛ 0,064 ⎞
σ cr =
⋅⎜
⎟ = 56100psi
⎝ 1,436 ⎠
12 ⋅ 1 − 0,3 2
2
(
)
Como la tensión obtenida se encuentra por encima del límite proporcional del material, es
necesario realizar una corrección por plasticidad. De la Figura 4 puede observarse que el pandeo
ocurre en sobre el ala de la sección, por lo tanto la corrección debe realizarse para una placa que
posea tres bordes simples y un borde libre (Figura 9)
Los datos necesarios para realizar la corrección por plasticidad para el aluminio 2024-T3
son σ 0,7 = 39000psi y n = 11,5 .
Para la corrección por plasticidad de las secciones tipo C y Z, se puede usar la tabla
correspondiente a una chapa cuyas condiciones de con un borde simplemente apoyado y el otro
libre. El parámetro de entrada para la corrección es la tensión critica dividida por σ 0,7 , es decir,
7
56100
= 1,44
39000
Usando este valor y n = 11,5 obtenemos:
σ cr
= 1,02
σ 0, 7
Por lo tanto, la tensión critica de pandeo local será:
σ cr = 39000 ⋅1,02 = 39800psi
Figura 9
Problema 2
Determinar cuál sería la tensión de pandeo del miembro del problema 1 si el mismo es
sometido a una temperatura de 300°F durante 2 horas.
En este caso, al existir una temperatura mas elevada, hay que obtener las propiedades del
material a esa temperatura,
8
σ 0,7 = 35700psi
E = 10300000psi
n = 15
σ cr (elastico)
k w ⋅ π2 ⋅ E
=
σ 0.7
12 ⋅ 1 − μ 2 ⋅ σ 0,7
(
)
⎛t
⋅ ⎜⎜ w
⎝ tf
⎞
2,9 ⋅ (3,14)2 ⋅10300000 ⎛ 0,064 ⎞
⎟⎟ =
⋅⎜
⎟ = 1,51
12 ⋅ 1 − 0,3 2 ⋅ 35700 ⎝ 1,436 ⎠
⎠
2
2
(
)
Corrigiendo por plasticidad se tiene entonces,
σ cr
= 1,03
σ 0,7
Por lo tanto:
σ cr = 1,03 ⋅ 35700 = 36800psi
Problema 3
Resolver el Problema 1 pero adoptando como material Titanio Ti-8Mn.
Siguiendo el mismo procedimiento del problema anterior, se buscan las propiedades del material
para el titanio,
σ 0,7 = 119500psi
E = 15500000psi
n = 13,7
Con lo cual obtenemos:
2,9 ⋅ (3,14)2 ⋅15500000 ⎛ 0,064 ⎞
σ cr =
⋅⎜
⎟ = 81200psi
⎝ 1,436 ⎠
12 ⋅ 1 − 0,3 2
2
(
)
Debido a que esta tensión se encuentra cerca del límite proporcional del material, la
corrección por plasticidad debería introducir un cambio despreciable, por lo cual no la haremos.
Problema 4
Un tubo rectangular tiene las dimensiones mostradas en la Figura 10. El mismo fue
extrudado de una aleación de aluminio 2014-T6. Determinar su tensión de pandeo local.
Figura 10
Los datos geométricos son:
9
b = 1 − 0,08 = 0,92
h = 2 − 0,08 = 1,92
b 0,92
=
= 0,479
h 1,92
tb
=1
th
De la Figura 6 se tiene k h = 5,2 por lo cual:
5,2 ⋅ (3,14)2 ⋅10700000 ⎛ 0,04 ⎞
σ cr =
⋅⎜
⎟ = 21900psi
⎝ 1,92 ⎠
12 ⋅ 1 − 0,3 2
2
(
)
Como se puede observar en la Figura 6 el pandeo ocurre en el lado “h” del tubo. La
tensión calculada se encuentra por debajo del límite proporcional, por lo cual no es necesario
realizar una corrección por plasticidad.
Problema 5
Resolver el problema anterior pero cambiando el espesor del lado “h” a 0,072”. En este
caso los datos geométricos de la sección son,
b = 1 − 0,144 = 0,856
h = 2 − 0,08 = 1,92
b 0,856
=
= 0,446
h 1,92
tb
0,04
=
= 0,555
t h 0,072
De la Figura 6 se tiene que k h = 4,3 por lo cual:
4,3 ⋅ (3,14 )2 ⋅10700000 ⎛ 0,072 ⎞
σ cr =
⋅⎜
⎟ = 58600psi
⎝ 1,92 ⎠
12 ⋅ 1 − 0,3 2
2
(
)
Como esta tensión está más allá del límite proporcional del material es necesario corregir
por plasticidad. En este caso la corrección debe realizarse para una placa con cuatro bordes
simples (ver Figura 11). No se han encontrado valores para la corrección para estas condiciones
de borde pero se recomienda hacerlo considerando una chapa empotrada de gran longitud, lo
cual es moderadamente conservativo. Esta corrección puede ser aplicada también para las
secciones tipo omega contempladas por la Figura 7.
Corrigiendo por plasticidad para un material con propiedades σ 0,7 = 53000psi y n = 18,5 , se
obtiene,
σ cr = 0,91 ⋅ 53000 = 48100psi
10
Es decir, cambiando el espesor del lado largo del tubo de 0,04” a 0,072”, la tensión critica
de pandeo aumentó desde 21900 psi hasta 48100 psi.
En el diseño de tubos rectangulares el diseñador debe establecer los espesores de los
lados cortos y largos de manera tal que el pandeo ocurra en ambos lados a la vez, con lo cual se
obtiene la sección más liviana si diseñamos a pandeo.
Como se mencionó anteriormente, la carga que produce el pandeo en un miembro no es
necesariamente la carga de falla del mismo. Debido a que el pandeo puede ocurrir en el rango
plástico, las deformaciones no desaparecerán completamente una vez retirada la carga. Debido a
que las cargas límites aplicadas a la estructura deben ser tomadas sin deformación permanente es
muy importante poder determinar cuando se inicia el pandeo local. Para los mísiles y aeronaves
no tripuladas el factor de seguridad en las cargas límites es considerablemente menor que el
utilizado en aeronaves tripuladas. Es por ello que se hace importante poder determinar la
separación existente entre las tensiones de falla y de pandeo local.
Figura 11
11
Pandeo Local En Paneles Reforzados
En aeronaves es importante que la piel, particularmente en el ala, no pandee en
condiciones de vuelo debido a que una superficie pandeada puede afectar sensiblemente las
características aerodinámicas de la misma. Debido a esto es importante saber cuándo se inicia el
pandeo tanto en la piel como en sus refuerzos, para de este modo poder hacer un diseño que evite
la ocurrencia del pandeo en condiciones de vuelo.
Gallaher y Boughan y Boughan y Baab determinaron los coeficientes de pandeo local
para paneles reforzados con Z y T. Las figuras 10 a 14 se muestran los resultados de sus
estudios. La tensión inicial de pandeo local para la chapa o los larguerillos viene dada por:
2
ks ⋅ π2 ⋅ E ⎛ ts ⎞
σs =
⋅ ⎜⎜ ⎟⎟
12 ⋅ 1 − μ 2 ⎝ b s ⎠
Si la tensión de pandeo se encuentra encima del límite proporcional del material, debe
efectuarse una corrección por plasticidad como en los casos anteriores.
(
)
Figura 12.- Coeficientes de pandeo local para compresión de placas infinitamente anchas
12
Figura 13.- Refuerzos de perfiles Z con tw/ts=0.50 y 0.79
Figura 14.- Refuerzos de perfiles Z con tw/ts=0.63 y 1.00
13
Figura 15.- Refuerzos de perfiles T con tw/tf=1.0, bf/tf>10, bw/bs>0.25
Figura 16.- Refuerzos de perfiles T con tw/tf=0.7, bf/tf>10, bw/bs>0.25
14
A continuación se muestra la resolución de un problema tipo para aclarar el uso de los
gráficos en estos casos:
La Figura 17 muestra una placa con refuerzos Z idealizados. El material es 2024-T3.
Determinar su tensión de pandeo local.
Figura 17
Las propiedades geométricas de la sección son,
bf
0,5
=
= 0,333
b w 1,5
b w 1,5
=
= 0,375
bs
4
t w 0,0625
=
= 0,5
ts
0,125
Usando los valores mostrados arriba y utilizando la Figura 14 obtenemos el valor del
coeficiente k s = 4,2 . Sustituyendo el mismo en la ecuación para paneles reforzados obtenemos:
σcr =
4,2 ⋅ (3,14)2 ⋅ 10700000 ⎛ 0,125 ⎞
⋅⎜
⎟ = 39800psi
⎝ 4 ⎠
12 ⋅ 1 − 0,32
(
)
2
Como esta tensión se encuentra encima del límite proporcional se realizará una
corrección por plasticidad, siendo entonces la carga critica corregida,
σcr = 0,86 ⋅ 39000 = 33600psi
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