TEMA 3 DESCUENTO SIMPLE

TEMA 3:
EL DESCUENTO SIMPLE Y EQUIVALENCIA DE
CAPITALES
1.- INTRODUCCIÓN
El descuento es una operación financiera muy utilizada en el ámbito mercantil. Las
empresas cuando se ven con dificultades de liquidez pueden acudir al descuento de efectos
comerciales. Los efectos que frecuentemente son objeto de descuento son la letra de
cambio y el pagaré.
Estas operaciones son realizadas por las entidades financieras. Los bancos abonan el
importe del efecto comercial menos cierta cantidad en concepto de interés y gastos
diversos. El banco cobra después el efecto el día de su vencimiento.
Las entidades financieras no pueden aplicar un tipo de descuento arbitrario, sino el fijado
por el poder público; en nuestro caso, el Banco de España.
Los bancos poseedores de efectos, que previamente han descontado a sus clientes, pero
que aún no han vencido, pueden acudir al Banco de España para que éste, a su vez, les
anticipe el importe, previa entrega de los efectos. A esta operación se la denomina
redescuento.
2.-EL DESCUENTO
Son operaciones de descuento aquellas en las que conocido un capital que vence en el futuro
tratamos de calcular su capital equivalente, de acuerdo a una ley financiera, en un momento
anterior. A ese capital futuro le llamamos en estas operaciones nominal (N), y al capital
equivalente en el momento anterior efectivo (E)
E < N y la diferencia se llama cantidad descontada o descuento (D), de forma que:
D=N–E
Por tanto:
E =N - D
En las operaciones de descuento se suele conocer el nominal y lo que interesa es calcular o
la cantidad descontada o el efectivo a pagar
Gestión Financiera
1
Reyes F.F.
3.- DESCUENTO SIMPLE COMERCIAL O BANCARIO
Es aquel en el que la cantidad descontada se calcula sobre el nominal de la operación:
· · En esta expresión:
Dc: es la cantidad descontada comercialmente
N: es el nominal de la operación
dc: tanto de descuento comercial en tanto por uno
n: duración de la operación
Como vemos, en este tipo de operaciones los intereses se calculan sobre el capital futuro.
En ellas se suele conocer el nominal y lo que interesa es calcular:
•
•
La cantidad descontada (importe del descuento Dc)
El efectivo a pagar E
El efectivo de la operación será
· · 1 · EJEMPLOS RESUELTOS:
1. Calcula el Dc de un efecto de 72.482,30€ al que se aplica un tipo de descuento comercial del
8% anual y que vence dentro de 60 días
· · 72.482,30 ·
60
· 0,08 966,43
360
72.482,30 966,43
71.515,86
2. Sabiendo que el descuento comercial de un efecto fue de 508,03€, que faltan 45 días (año
civil) para el vencimiento y que se aplicó el 9% anual de descuento comercial, ¿a cuánto
ascendió el nominal?
· · 508,03 Gestión Financiera
508,03
45.785,419
45
· 0.09
365
2
Reyes F.F.
3. Calcula el efectivo resultante de aplicar a un nominal de 44.444,44, que vence el 27
de septiembre, un descuento comercial del 7% anual. El descuento se efectúa el 31
de marzo:
(31)
MARZ
(30)
ABR
30 +
(31)
(30)
(31)
MAY
JUN
JUL
31 +
30 +
31 +
TOTAL= 180 días
(31)
AG
31 +
(30)
SEP
27
44.444,44 1 · · 180
· 0,07
365
1 · 42.910,193€
4.- DESCUENTO SIMPLE RACIONAL O MATEMÁTICO:
Recibe este nombre aquel descuento simple en el que los intereses a descontar se calculan
sobre el efectivo y no sobre el nominal, como hemos visto antes, de ahí el nombre de
racional (parece más lógico que los intereses se calculen sobre el efectivo que sobre la
cantidad futura Cn, que, a efectos de descuento llamamos nominal.
· · Podemos decir, por tanto, que el descuento simple coincide
interés simple.
cuantitativamente con el
Al igual que ocurría con el descuento comercial:
Dr = N − E
(1)
Y por tanto: De donde · · Y simplificando, en descuento racional:
1 · Si lo que queremos conocer es el efectivo, sólo hemos de despejarlo de la expresión
anterior:
Gestión Financiera
1 · 3
Reyes F.F.
Si en la expresión (1) sustituimos E por su valor, podremos calcular el valor del descuento
matemático en función del nominal:
Que simplificando:
· · !" #$!: 1 · 1 · ·
&'
()&' ·*
·
5.- RELACIÓN ENTRE EL DESCUENTO COMERCIAL Y EL RACIONAL
Dr = N ⋅
DC = N ⋅ d c ⋅ n
Observando ambas expresiones, es evidente que Dc
> Dr
dr
⋅n
1 + d r .n
porque:
+
&'
()&' ·*
Podemos decir, por tanto, que el valor efectivo obtenido, teniendo en cuenta el
descuento comercial es menor que el obtenido teniendo en cuenta el racional.
Veamos ahora la relación que existe entre el descuento comercial y el racional,
comparándolos por:
•
•
Cociente
Diferencia.
5.1.- RELACIÓN POR DIFERENCIA:
Si aplicamos el mismo tanto de descuento “d”, la relación por diferencia entre ambos tipos
de descuento será:
Dc − Dr = N ⋅ d ⋅ n − N ⋅
=
d
⋅n
1+ n ⋅ d
N ⋅ d ⋅ n ⋅ (1 + n ⋅ d ) − N ⋅ d ⋅ n N ⋅ d ⋅ n + N ⋅ d ⋅ n ⋅ d ⋅ n − N ⋅ d ⋅ n
=
1+ n ⋅ d
1+ n ⋅ d
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4
(2)
Reyes F.F.
La diferencia de descuentos es igual a dos cosas, según coloquemos la expresión
anterior:
Es decir, la diferencia de descuentos es
igual al descuento racional del descuento
comercial:
d
Dc − Dr = N ⋅ d ⋅ n ⋅ .
⋅n
1+ n ⋅ d
·
·
1·
Es decir, la diferencia de descuentos es
igual al descuento comercial del descuento
racional:
N ⋅d ⋅n
Dc − Dr =
⋅n⋅d
1+ n ⋅ d
· · 5.1.- RELACIÓN POR COCIENTE:
Tal como antes, seguimos aplicando el mismo tanto de descuento “d” en ambos descuentos,
racional y comercial.
Dc
N ⋅ n ⋅ d N ⋅ n ⋅ d (1 + n ⋅ d )
=
=
N ⋅n⋅d
Dr
N ⋅n⋅d
1+ n ⋅ d
De forma que:
Dc
= 1+ n ⋅ d
Dr
Podemos decir, por tanto que:
Dc = Dr (1 + n ⋅ d )
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Dr =
y
5
Dc
1+ n ⋅ d
Reyes F.F.
5.1.- RELACIÓN POR PRODUCTO:
· · · · · ·
·
1·
····
1·
Si miras la expresión número (2), en la relación por
diferencia, verás que es lo mismo que tienes aquí
Por tanto podemos decir que:
· · Lo cual nos es útil para calcular el valor del nominal, conocidos los dos descuentos:
· Lo cual resulta útil para calcular el nominal, una vez conocidos ambos descuentos, el racional
y el comercial.
EJEMPLOS RESUELTOS:
1. RELACIÓN POR DIFERENCIA:
La diferencia entre el descuento comercial y racional de un efecto es de 12,22€. ¿Cuál es el
descuento comercial, si el periodo de descuento es de 90 días y el tipo de descuento aplicado
es un 7,7% anual? (año civil)
Si revisamos la relación por diferencia entre los descuentos comercial y racional:
· ·
·
12,22 ·
·
1·
·
1·
,·1,122
./0
,()./0·1,1122
655,84
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6
Reyes F.F.
2. RELACIÓN POR COCIENTE:
Calcula el Dc que corresponde a un Dr de 27.430€. El efecto vence el 7 de julio y se aplica un
descuento anual de 5,72%. Fecha de descuento el 7 de mayo
Desde 07/05 hasta 07/07, van 61 días
Si observamos el apartado del la relación por cociente:
1 61
· 0,0572
365
27.692,21
6.- CAPITALES EQUIVALENTES
Cualquier operación financiera implica unas prestaciones y unas contraprestaciones, que
será preciso comparar.
Así, por ejemplo, en un préstamo, se compara el capital que recibe el prestatario, con el
montante que tendrá que entregar al prestamista o, en una operación de compra-venta se
puede comparar el importe de la operación al contado con el importe de la operación a
plazos.
Como normalmente se tratará de prestaciones y contraprestaciones de cuantías y
vencimientos diferentes, habrá que valorarlos todos en un mismo momento y a un mismo
tipo de interés, para poderlos comparar.
Cuando el valor actual de un capital es igual al valor actual de otro u otros
capitales, diremos que son equivalentes financieramente.
EJEMPLO:
Dado un capital de 13.000 u.m., que vence dentro de 3 años, y otro de 15.000, que vence dentro de 5
años, comprobar que son equivalentes en el momento cero, si tenemos en cuenta un tipo de valoración
del 10%.
13.000
0
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15.000
3
5
7
Reyes F.F.
Si actualizamos, tendremos:
31 13.000
1 0,10 · 34( 10.000 5! 6$#7$8
31 15.000
1 0,10 · 54( 10.000 . 5! 6$#7$8
Como el valor en cero, en ambos casos, es idéntico, podemos decir que ambos capitales: 13.000 en el
momento 3 y 15.000, en el momento 5, son equivalentes en cero. Pero sólo en ese momento., si hacéis
la comprobación para el momento 2 en lugar de cero, por ejemplo, veréis que no existe equivalencia.
Vamos a comprobar si estos dos capitales siguen siendo equivalentes en MOMENTO 2:
13.000
0
2
15.000
3
5
31 13.000
1 0,10 · 14( 11.818,18 5! 6$#7$8
31 15.000
1 0,10 · 34( 11.538,46 . 5! 6$#7$8
En capitalización simple, cuando dos capitales son equivalentes en
un momento, no son equivalentes en ningún otro.
Si en lugar de dos capitales, hablamos de un conjunto de capitales que queremos sustituir
por otro conjunto con distintos vencimientos a los primeros, deberemos tener en cuenta lo
siguiente:
Para que una serie de capitales C1, C2, …Ct, con sus respectivos vencimientos
en n1, n2, …, nt, sea equivalente a otro conjunto de capitales C1’, C2’, …, Ct’,
con vencimientos en n1’, n2’, …, nt’, deberá ocurrir que la suma de los valores
actuales del primer conjunto sea igual que la suma de los valores actuales del
segundo conjunto.
Gestión Financiera
8
Reyes F.F.
GRAFICAMENTE:
C0t
C’0t
….
….
C02
C’02
C01
C’01
0
C1
C2
n1
n2
Ct
C’1
0
nt
n’1
C’2
C’t
n’2
n’t
;
;
9 3=1:
9 31:
:<(
:<(
Si llamamos C0t al valor actual (en el momento cero) del capital Ct
Si llamamos C’0t al valor actual (en el momento cero) del capital C’t
La equivalencia de los dos conjuntos de capitales implica que:
31( 31> … . 31; 3=1( 3=1> … 3=1;
Es decir:
∑;:<( 31: ∑;:<( 3=1:
(3)
En la práctica mercantil, para hacer los cálculos de equivalencia se
utiliza el descuento comercial. Es por ello que podemos decir que se
ha de producir igualdad de los valores efectivos de ambas
propuestas.
EJEMPLO:
Comprobar si los capitales de cuantía 100€ y 200€, con vencimiento dentro de 60 y 80 días
respectivamente, son equivalentes a los capitales 80€ y 223€, que vencen hoy y dentro de 139 días, si
se negocian a un tanto de descuento del 12% anual. Usaremos el año comercial para efectuar los
cálculos
Recuerda que hemos dicho que vamos a usar el descuento comercial para efectuar los
cálculos, según el cual el valor efectivo o actual (en el momento del descuento) sería:
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Reyes F.F.
· · 1 · VALOR ACTUAL DEL PRIMER CONJUNTO DE CAPITALES:
31( 31> 100 1 0,12
0,12
· 60 200 1 · 80 292,67
360
360
VALOR ACTUAL DEL SEGUNDDO CONJUNTO DE CAPITALES
A=1( 3=1> 80 223 1 0,12
· 139 292,67
360
Como ambos conjuntos de capitales tienen el mismo valor en el momento cero, podemos decir que
ambas propuestas son equivalentes.
Cuando se ha efectuado una operación de compra-venta y se ha acordado una forma de
pago puede ocurrir que el comprador proponga al vendedor el cambio de las letras o pagos
pendientes por otra u otras de vencimientos y cuantías diferentes. El vendedor sólo
aceptará el cambio si financieramente la primera opción de pago es equivalente a la
segunda.
Esa equivalencia se da cuando la suma de los valores efectivos de la primera opción es igual
a la suma de los valores efectivos de la segunda, tal y como expresa el gráfico de la página
7 y la expresión (3)
Sean C1, C2 ..... Ct los nominales de las letras con vencimientos en n1, n2 .... nt
Queremos sustituirlas por otras de nominal C1’, C2’ ... Ct’, y vencimientos n1’, n2’ .. nt’
Para que ambas propuestas sean equivalentes, deberá ocurrir que la suma de los valores
actuales (efectivos) de los primeros capitales sea igual a la suma de los de la segunda
propuesta, como ya se explicó en la página anterior:
;
;
:<(
:<(
9 31: 9 3=1:
3( · 1 · 3> · 1 · > B 3; · 1 · ; 5 (
5
5
3=( · 1 · =( 3=> · 1 · > B 3=; · 1 · ; 5
5
5
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Reyes F.F.
3( 3( · · (
3> · · >
3; · · ;
3> … . 3; 5
5
5
3=( · · 3=> · · ;
3=; · · ;
3=( 3=> B 3=; 5
5
5
Para hacer la expresión anterior un poco más fácil, podemos trabajar con el divisor fijo
5C7 , tal y como hemos aprendido en la unidad anterior. Usando el divisor fijo, la
expresión anterior quedaría de la siguiente forma:
3( 3( · (
3> · >
3; · ;
3> B 3; 3=( · (
3=> · >
3=; · =;
3=( 3=> B . 3=; Partiendo de esa igualdad se pueden solucionar muchos casos, como:
a.
b.
c.
d.
Buscar el importe de un capital que sustituye a un conjunto de ellos
Buscar el vencimiento de un nuevo pago, conociendo el resto de las variables.
Calcular la cuantía de algún pago concreto.
Buscar el tanto que hace equivalentes las dos opciones.
6.1.- SUSTITUCIÓN DE UN CONJUNTO DE CAPITALES POR UN ÚNICO
CAPITAL:
Tal y como hemos dicho anteriormente, deberá cumplirse que el capital a sustituir sea
equivalente al conjunto de capitales sustituidos, para lo cual sus valores en el momento
actual (valores efectivos pues recordemos que vamos a utilizar el descuento mercantil para
este tipo de cálculos), deberán ser iguales, es decir:
;
3=1D 9 31:
:<(
3 E D · 1 El valor efectivo del capital sustituto, ha de ser igual a la
suma de los valores efectivos de los capitales sustituidos.
E
· D 3( · 1 · ( 3> · 1 · > B 3; · 1 · ; 5
5
5
5
Que usando el divisor fijo, tal y como hemos visto anteriormente:
3=D Gestión Financiera
3=D · =D
3( · (
3> · >
3; · ;
3( 3> B 3; 11
Reyes F.F.
3=D F1 3( · ( 3> · >
3; · ;
=D
…
G 3( 3> … 3; ;
∑;:<( 3: · :
=D
3=D F1 G 9 3: :<(
3=D ∑;:<( 3: · :
· ∑;:<( 3: ∑;:<( 3: · :
=
=D
1 D
∑;:<( 3; · ∑;:<( 3: ∑;:<( 3: · :
3=D =D
EJEMPLO:
Deseamos sustituir el pago de 4 capitales de 1.500, 2.000, 750 y 3.200 euros, con vencimiento los
días 24 de mayo, 15 de junio, 12 de julio y 25 de agosto, por uno único el día 30 de junio. ¿Cuál será el
valor de ese único pago que sustituye a los 4, si se aplica el tipo de descuento del 5% a la operación y
la fecha de la operación es el día 1 de mayo? (año civil)
¿ I=J ?
EPOCA
1.500
24/05
2.000
15/06
01/05
3.200
750
12/07
25/08
30/06
Lo primero que debemos hacer es contar los días que median entre la fecha de la operación (EPOCA)
y las fechas de vencimiento de los respectivos capitales.
1º L/C
2º L/C
3º L/C
4º L/C
L/C a sustituir
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MY (31)
EP: 01/05
23 +
30 +
30 +
30 +
30 +
JN (30)
JL (31)
AG (31)
15
30 +
30 +
30 +
12
31 +
25
12
TOTAL
DIAS
23
45
72
116
60
Reyes F.F.
A continuación planteamos la igualdad de valores efectivos entre las dos opciones propuestas:
a. Cuatro letras de distintos importes con vencimientos en mayo, junio, julio y agosto
b. Una única letra con vencimiento el 30 de junio y cuyo nominal desconocemos y es lo que
debemos calcular
3 E D 1 0,05
0,05
0,05
0,05
· 60 1500 1 · 23 2000 1 · 45 750 1 · 72
365
365
365
365
3200 1 3 E D 1 0,05
· 116
365
60
1500 · 23
2000 · 45
750 · 72
1500 2000 750 3200 3=D 3200 · 116
549700
60
1
7450 3
E
D
L7 ! 365
7300
0,05
549700
7300
60
1
7300
7450 7.435,81 MNOL P #á 8 # R !57$R R$ S$ R 6#$ 88676T $ R$8 4 R$ "#75 #$ !"A7ó "$V!
Claro que si prefieres aprender la fórmula de memoria, en lugar de entender y aplicar el
concepto de equivalencia de capitales, también podrías haber hecho:
3=D 3=D · ∑;:<( 3: ∑;:<( 3: · :
=D
7300 · 7450 549700
7.435,81 #!8
7300 60
Cosa que podría hacer cualquiera que tuviera esa fórmula anotada, aunque no tuviera ni la más
remota idea de lo significa la equivalencia de capitales.
Se memoriza mejor aquello que se COMPRENDE. Comprender es
explicarse la lógica de por qué una cosa es así y no de otra
manera, es decir, qué sentido tiene. Sin comprender, memorizar
es más difícil
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13
Reyes F.F.
6.2.- VENCIMIENTO COMÚN
El vencimiento común se define como el momento en que un capital es equivalente a
otro conjunto de capitales.
Para que ese cambio sea posible, deberá cumplirse:
3 E D · 1 E
· D 3( · 1 · ( 3> · 1 · > B 3; · 1 · ; 5
5
5
5
3=D F1 =D
3( · ( 3> · >
3; · ;
…
G 3( 3> … 3; ;
∑;:<( 3: · :
3=D · =D
3=W 9 3: :<(
;
∑;:<( 3: · :
3=D · =D
3=D 9 3: :<(
;
3=D · =D X3=D 9 3: :<(
=D ∑;:<( 3: · :
Y
∑;:<( 3: · :
3=D
3=D ∑;:<( 3: Aún podemos simplificar la expresión anterior, de la siguiente forma:
3=D ∑;:<( 3: ∑;:<( 3: · :
=D 3=D
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14
Reyes F.F.
EJEMPLO:
Los días 28 de los meses de abril, mayo y junio vencen 3 efectos de nominal 50.000 euros cada uno. Si
queremos sustituirlos por un único pago de 150.170,16 euros, ¿en qué fecha lo haríamos?. Debes tener
en cuenta que usamos año civil y el tipo de descuento aplicado es el 4,25% anual. La operación se
realiza el 1 de abril:
150.170
EPOCA
50.000
28/04
50.000
50.000
08/05
28/06
¿ =D ?
01/04
Lo primero que hacemos será calcular los días desde la fecha en que se realiza la operación (época)
hasta el vencimiento de cada efecto
1º L/C
2º L/C
3º L/C
3=D 150.170,16 AB (30)
MY (31)
JN (30)
27
29 +
29 +
28
31 +
28
TOTAL
DÍAS
27
57
88
3=D · =D
3( · (
3> · >
3; · ;
3( 3> … . 3; 150.170,16 · =D
50.000 · 27
50.000 · 57
50.000 · 88
50.000 50.000 50.000 L7 !
5
8.588,23
0,0425
150.170,16 17,4855 · =D 150.000 8.600.000
8.588,23
17,4855 · =D 150.170,16 150.000 E D 8.600.000
8.588,23
1.171,53
66,99 Z 67 í$8
17,4855
67 días a partir del día 1 de abril es el 7 de junio
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15
Reyes F.F.
6.2.- VENCIMIENTO MEDIO:
Se trata de un caso especial del vencimiento común, que se da cuando:
;
3=W 9 3:
:<(
El vencimiento común determina el momento en que debe sustituirse los efectos
;
3( , ( , 3> , > , … … .., por otro de nominal 3=D , cuando 3=W \ ∑:<( 3:
El vencimiento medio es un caso especial del vencimiento común, para cuando sucede que:
;
3=W 9 3:
:<(
Pues bien, teniendo en cuenta TODO lo dicho, si tomamos la expresión que nos permite
calcular el vencimiento común y trabajamos sobre ella, sustituyendo 3=D por su valor,
tenemos:
=D =D 3=D ∑;:<( 3: ∑;:<( 3: · :
3=D
∑;:<( 3: ∑;:<( 3: ∑;:<( 3: · :
∑;:<( 3:
· 0 ∑;:<( 3: · :
∑;:<( 3:
∑;:<( 3: · :
=D 3=D
De todo esto podemos deducir en este caso particular del vencimiento común, que es el
vencimiento medio, el tiempo
=D :
1. Es independiente de del tanto de interés
2. La suma de los números comerciales a sustituir es igual a la del nuevo
comercial:
número
;
3=D · =D 9 3: · :
:<(
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16
Reyes F.F.
EJEMPLO:
Quedando 4 letras para concluir el pago de una máquina nueva de 1.000, 2.000, 3.000 y 4.000 euros,
con vencimientos a 45, 65, 78 y 100 días respectivamente, se desean sustituir por una única cuyo
importe sea igual a la suma de los nominales, ¿en qué fecha debería hacerse, si la operación se realiza
el 8% de descuento anual?.
;
3=D · =D 9 3: · :
:<(
10.000 · =D 1.000 · 45 2.000 · 65 3.000 · 78 4.000 · 100
10.000 · =D 809.000
=D 809.000
80,9 Z ]^ _í`a
10.000
Cuando, además sucede que TODOS los capitales sean de igual cuantía, ocurrirá:
∑;:<( 3: · :
3 · ( 3 · > B 3 · ; 3 · ∑;:<( :
=D 3=D
3=D
6·3
∑;:<( :
=D 6
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17
Reyes F.F.