MATEM´ATICAS ESPECIALES I - Curso 2015 PR´ACTICA 4
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MATEM´ATICAS ESPECIALES I - Curso 2015 PR´ACTICA 4
MATEMÁTICAS ESPECIALES I - Curso 2015 PRÁCTICA 4 Funciones elementales - Funciones multivaluadas 1. Probar que (a) ez 6= 0 ∀z ∈ C I (b) ez̄ = ez , (c) e z1 +z2 (d) Si ez ∀z ∈ C I z1 z2 =e e , = ew ∀z ∈ C I entonces existe k, número natural, tal que z = w + 2kπi. (e) cos(z) = cos(−z), sen(z) = −sen(−z), (f) cos(iz̄) = cos(iz), ∀z ∈ C I (g) seniz̄ = sen(iz), ∀z ∈ C I si y solo si z = nπi, n número entero (h) |sh(y)| ≤ |sen(z)| ≤ ch(y), |sh(y)| ≤ | cos(z)| ≤ ch(y), (i) sen(z) y cos(z) se anulan solo en puntos del Eje real. (j) sen(iz) = ish(z), cos(iz) = ch(z), (k) sh(−z) = −sh(z), ch(−z) = ch(z), (l) sh(z + iπ) = −sh(z), (m) |sh(z)|2 2 = sh (x) + ∀z ∈ C I ∀z ∈ C I ∀z ∈ C I ch(z + iπ) = −ch(z) sen2 (y), |ch(z)|2 = sh2 (x) + cos2 (y) (n) sh(z) y ch(z) se anulan solo en puntos del Eje imaginario. 2. Encontrar todas las raı́ces de las ecuaciones siguientes. (a) ez = 1 − i (b) e2iπz = 1 (c) cos(z) = √ 2 (d) sen(z) = 2 (e) sh(z) = i (f) ch(z) = 1/2 3. Probar que | tanh 1 + i 4 π| = 1. 4. Probar que (a) ez es holomorfa en C I y ez̄ no es holomorfa en C. I (b) sen(z̄) y ch(z̄) no son holomorfas en C I 5. Hallar el dominio de definición y derivabilidad de z+2 +i−1 sen(z) (b) f (z) = 1 − cos(πz) (a) f (z) = (c) f (z) = ez z2 + 4 ch(z) 1 (d) f (z) = ez + 2 sh(z) 6. Sea w3 = z. Supóngase que para el valor particular z = z1 se obtiene w = w1 . (a) Si se parte de z1 en el plano z y se recorre un cı́rculo completo alrededor del origen en sentido antihorario manteniendo continuo su argumento, muestre que cuando se retorna a z1 , w toma el valor w1 e2πi/3 . (b) ¿Cuáles son los valores de w cuando se retorna a z1 después de 2, 3, · · · circuitos completos alrededor del origen? √ (c) Explique por qué podemos considerar a w = 3 z como un conjunto de tres funciones monovaluadas de la variable z. 7. (a) Muestre que z = 0 es un punto ramal de w = ln(z). (b) Probar que ln(z − a) tiene un punto ramal en z = a. 8. Evaluar las siguientes operaciones. En caso de ser multivaluadas, expresar todos los resultados posibles. (a) ln(1 + i) (b) Ln (−ei) (c) Ln (1 − i) (d) ln(−1) √ (e) ln( i) 9. Comprobar las siguientes afirmaciones para la rama elegida de ln z. (a) ln(i2 ) = 2 ln(i), si (b) ln(i2 ) 6= 2 ln(i), si 9π π <θ≤ 4 4 11π 3π <θ≤ 4 4 10. Demostrar que: (a) la función f (z) = ln r + iθ es analı́tica en el dominio r > 0, −π < θ < π. Hallar su derivada. (b) la función Ln (z − i) es holomorfa en todas partes, salvo en la semi-recta x ≤ 0, y = 1. Ln (z + 4) (c) la función es holomorfa en todas partes, salvo en la semi-recta x ≤ −4, y = 0 z2 + i 1−i y en los puntos ± √ . 2 11. (a) Si z = reiθ , analizar la multivaluación de z i . (b) Si z es un punto sobre el cı́rculo centrado en el origen de radio 1, pruebe que z i representa infinitos valores reales. ¿Cuál es su valor principal? (c) Encontrar el valor principal de ii . 2