Breve introducción al grupo de Rubik

Breve introducción al grupo de Rubik
1. Introducción
El cubo de Rubik es un puzle secuencial en tres dimensiones caracterizado
por 26 piezas: 6 centros, 12 aristas (numeradas de A a L) y 8 vértices
(numerados de 1 a 8), los cuales son capaces de girar y de cambiar de
posición.
En el presente texto utilizaremos la siguiente notación para el giro de
caras; en el sentido de las agujas del reloj:
•
•
•
•
•
•
•
Cara superior: U
Cara inferior: D
Cara izquierda: L
Cara derecha: R
Cara frontal: F
Cara trasera: B
Cara intermedia paralela a R: M
Para un giro en el sentido contrario de las agujas del reloj, se adscribe una
prima: R’, U’, …
El conjunto de todas las transformaciones que se pueden realizar sobre el
cubo recibe el nombre G. Si ahora se define sobre este conjunto la
operación de composición, caracterizada por las siguientes propiedades:
i)
ii)
iii)
iv)
∀ ܷଵ , ܷଶ , ܷଷ ∈ ‫ܩ‬
ܷଵ ܷଶ ∈ ‫ܩ‬
ሺܷଵ ܷଶ ሻܷଷ = ܷଵ ሺܷଶ ܷଷ ሻ
∃ ॴ ∈ ‫ܷ ∶ ܩ‬ଵ ॴ = ॴܷଵ = ܷଵ
∃ ܷଵᇱ ∶ ܷଵ ܷଵᇱ = ॴ
(clausura)
(asociatividad)
(elemento neutro)
(elemento inverso)
Lo que obtenemos es un grupo matemático, conocido como grupo de
Rubik. Este grupo, no obstante, no cumple la propiedad conmutativa, por
lo que no es abeliano. En concreto, es parcialmente conmutativo, ya que
v)
∃ ܷଵ , ܷଶ ∶ ܷଵ ܷଶ = ܷଶ ܷଵ
Lo cual ocurre con el giro de caras paralelas.
Ahora bien, si tenemos además el conjunto de todas las combinaciones
posibles de piezas B, es decir, el número de estados del cubo, es posible
demostrar que existe una aplicación biyectiva entre ambos conjuntos, con
la condición de tomar un valor de referencia. Lo usual en este caso es
asignar la identidad ॴ a la posición definida como resuelta.
Teorema 1:
∃ ݂: ‫ܤ ⟶ ܩ‬
∃ ݂ ିଵ : ‫ܩ ⟶ ܤ‬
Es relativamente sencillo obtener el cardinal del conjunto B mediante
teoría de grupos y combinatoria, y, debido al teorema 1, este es idéntico
al cardinal de G. El argumento es el siguiente:
“Por una parte podemos combinar entre sí de cualquier forma todos los
picos lo que da lugar a 8! posibilidades. Con las aristas pasa lo mismo, es
decir, que podemos combinarlos como queramos lo que da lugar a 12!
posibilidades, pero la permutación total de vértices y aristas debe de ser en
total par lo que nos elimina la mitad de las posibilidades. Por otra parte,
podemos rotar todos los vértices como queramos salvo uno sin cambiar nada
más en el cubo. La orientación del último vértice vendrá determinada por la
que tenga los otros siete y esto nos crea 3^7 posibilidades. Con las aristas
pasa lo mismo, es decir, nos aparecen 2^11 posibilidades más.”
Es decir,
8! 12! 3଻ 2ଵଵ
cardሺ‫ܩ‬ሻ =
= 43.252.003.274.489.856.000 ≈ 4,3 × 10ଵଽ
2
2. Matrices de rotación
Nuestro interés en esta asignatura sobre el grupo G consiste en
caracterizar cada elemento mediante operadores. En concreto,
emplearemos matrices de rotación de tres dimensiones. Como cada
operación consiste en un giro de ߨ/2 de todas las piezas de esa cara,
podemos emplear las siguientes matrices (en la base canónica):
0 1 0
ܷ = ൭−1 0 0൱ ,
0 0 1
0 −1
ܷ = ൭1 0
0 0
1 0 0
‫ = ܨ‬൭0 0 1൱ ,
0 −1 0
1 0
‫ ܨ‬ᇱ = ൭0 0
0 1
ᇱ
0 0 −1
ܴ = ൭0 1 0 ൱ ,
1 0 0
0
ܴ =൭ 0
−1
ᇱ
0
0൱
1
0 1
1 0൱
0 0
0
−1൱
0
Estas matrices caracterizan cada giro por su aplicación sobre un elemento
de esa cara. Si tenemos un cubo centrado en el origen, y de arista dos
unidades, caracterizamos cada pieza mediante los vectores de posición,
que en la posición resuelta tienen la forma:
a) Centros:
b) Aristas:
0
‫ݔ‬௕ = ൭0൱ ,
1
−1
‫ݔ‬௔௭ = ൭ 0 ൱ ,
0
0
‫ݔ‬௔ = ൭ 0 ൱ ,
−1
1
‫ݔ‬௩ = ൭0൱
0
0
0
‫ݔ‬௡ = ൭−1൱ , ‫ݔ‬௥ = ൭1൱
0
0
1
‫ݔ‬஺ = ൭0൱ ,
1
0
‫ݔ‬஻ = ൭−1൱ ,
1
−1
‫ݔ‬஼ = ൭ 0 ൱ ,
1
1
‫ݔ‬ூ = ൭ 0 ൱ ,
−1
0
‫ݔ‬௃ = ൭−1൱ ,
−1
−1
‫ݔ‬௄ = ൭ 0 ൱ ,
−1
1
‫ݔ‬ா = ൭−1൱ ,
0
c) Vértices:
1
‫ݔ‬ଵ = ൭−1൱ ,
1
−1
‫ݔ‬ி = ൭−1൱ ,
0
1
‫ݔ‬ଶ = ൭1൱ ,
1
0
‫ݔ‬஽ = ൭1൱
1
1
‫ = ீݔ‬൭1൱ ,
0
−1
‫ݔ‬ு = ൭ 1 ൱
0
−1
‫ݔ‬ଷ = ൭ 1 ൱ ,
1
−1
‫ݔ‬ସ = ൭−1൱
1
0
‫ݔ‬௅ = ൭ 1 ൱
−1
1
‫ݔ‬ହ = ൭−1൱ ,
−1
1
‫ = ଺ݔ‬൭ 1 ൱ ,
−1
−1
‫ = ଻ݔ‬൭ 1 ൱ ,
−1
−1
‫ = ଼ݔ‬൭−1൱
−1
El conjunto de las matrices U, R, F y las generadas a partir de ellas, junto
con la operación producto matricial, conforma también un grupo
matemático, el cual tampoco es conmutativo, pues, en general:
∀ ܷଵ , ܷଶ ∈ ॼ
ሾܷଵ , ܷଶ ሿ ≠ 0
Estas matrices, junto con la identidad, sirven para representar operadores
que se relacionan con los elementos de G. La actuación de estos
operadores depende del vector al que se aplican, pues el elemento U
modifica las piezas de la cara superior, pero claramente deja intactos
aquellos de la cara inferior; así, tenemos:
෡‫ݔ‬ଵ = ‫ݔ‬ସ ሺmatriz ܷሻ
ܷ
෡‫ݔ‬ହ = ‫ݔ‬ହ ሺidentidadሻ
ܷ
෡ ᇱ ‫ݔ‬ସ = ‫ݔ‬ଵ ሺmatriz ܷᇱ ሻ
ܷ
෡ ‫ݔ‬ହ = ‫ ଺ݔ‬ሺmatriz ܷ ᇱ ሻ
‫ܦ‬
෡ ‫ݔ‬ଵ = ‫ݔ‬ଵ ሺidentidadሻ
‫ܦ‬
෡ ′‫ݔ = ଺ݔ‬ହ ሺmatriz ܷሻ
‫ܦ‬
Etc. Además, una propiedad de estas matrices, que es evidente
observando el giro de caras, es la siguiente:
ܷ ଶ = ሺܷ ᇱ ሻଶ
ܷ ଷ = ܷ′
ܷସ = ॴ
Pues, tras un giro de 2ߨ, todas esas piezas vuelven a su estado original.
Cabe mencionar que estas matrices no son autoadjuntas, pues teniendo
coeficientes reales no son simetricas, aunque sí que son unitarias, ya que
ܷ † = ܷ ᇱ = ܷ ିଵ
Es importante el hecho de que sean unitarias para conservar la norma de
los vectores.
3. Ciclos
El grupo de Rubik es típicamente un grupo permutativo, ya que hemos
observado que es posible permutar las piezas. Los ciclos son secuencias
que, aplicadas un cierto número de veces, dejan el cubo intacto:
ሺ‫ܥ‬ሻ݊ = ॴ
Posiblemente el ciclo más conocido es RUR’U’, que resulta ser el elemento
identidad al repetirlo 6 veces:
ሺܴܷܴ ᇱ ܷᇱ ሻ6 = ॴ
Podemos entenderlo con las matrices de rotación. Para las piezas ‫ݔ‬ଶ , por
ejemplo:
1 0
‫ = ܴܷܴܷܴܷ = ܥ‬൭0 1
0 0
0
0൱
1
Donde hemos cancelado términos debido a que algunos movimientos se
comportan como la identidad.
Los ciclos de especial interés son los 2-ciclos y 3-ciclos.
Los 2-ciclos permutan dos piezas entre sí, aunque siempre se presentan
por pares, siendo imposible (por justificaciones de teoría de grupos) tener
un único 2-ciclo. Una propiedad fundamental y evidente de los 2-ciclos es
que dejan el cubo intacto al aplicarse dos veces:
‫ܥ‬ଶ = ॴ
Lo que refleja que los operadores asociados a 2-ciclos son además
autoadjuntos.
Un sencillo ejemplo es el par de 2-ciclos ‫ܬ‬, que se define como el ciclo (2 3)
(A D) (es decir, intercambia la arista A con la D y el vértice 2 con el 3), y
que puede venir dado por la secuencia:
‫ ܴܷܴ = ܬ‬ᇱ ‫ ܨ‬ᇱ ܴܷܴ ᇱ ܷᇱ ܴᇱ ‫ܴܨ‬2ܷ′ܴ′ܷ′
Por ejemplo, para el caso de ‫ݔ‬ଵ :
0 −1 0 1
−1
‫ݔܬ‬ଶ = ሺܷ′‫ܨ‬′ܴ′ܷܴሻ‫ݔ‬ଶ = ൭1 0 0൱ ൭1൱ = ൭ 1 ൱ = ‫ݔ‬ଷ
0 0 1 1
1
Un 3-ciclo, en cambio, permuta tres piezas, las tres o bien aristas, o bien
vértices. Un ejemplo de 3-ciclo es (A D B), el cual puede generarse
únicamente por movimiento de las caras superior y derecha:
ܹ = ܴܷ ᇱ ሺܴܷሻ2ܴܷ ᇱ ܴ ᇱ ܷᇱ ܴ2
Una propiedad fundamental de los tres ciclos es la siguiente:
ܹ ଶ = ܹ′
ܹଷ = ॴ
Lo cual demuestra que estos operadores son adjuntos de su inverso.
Por ejemplo, para la pieza A tenemos:
෡ ‫ݔ‬஺ = ܷ ᇱ ‫ݔ‬஺ = ‫ݔ‬஽
ܹ
Y para un vértice, por ejemplo ‫ݔ‬ଶ :
෡ ‫ݔ‬ଶ = ‫ݔ‬ଶ
ܹ
No obstante, cabe enfatizar en que no es posible encontrar una expresión
matricial para un operador actuando sobre una pieza cualquiera.
4. El problema de la orientación
Podemos preguntarnos si existe otra aplicación biyectiva entre estos
operadores y los elementos de G. la respuesta es negativa, ya que en
ningún momento hemos tenido en cuenta la orientación de las piezas. Por
ejemplo, el elemento:
‫ = ܨ‬ሺ‫ܷܯ‬ሻ4ሺ‫ܯ‬ᇱ ܷሻ4
Devuelve a todas las piezas a su posición, pero claramente no es la
identidad ya que desorienta las piezas.
La orientación de una pieza depende de la forma en que es llevada a su
nueva posición. Por ejemplo, la arista A puede pasar a la posición D
haciendo U’ o bien FR, estando desorientada en el último caso. La regla
para la orientación de aristas es la siguiente:
i)
ii)
Si ha rotado un número par de veces en las caras F, B su
orientación es +
Si ha rotado un número impar de veces en las mismas, su
orientación es –
La orientación de vértices es más complicada, ya que acepta tres
orientaciones distintas. La regla es:
i)
ii)
iii)
iv)
Un giro en las caras U, D no cambia su orientación
Un giro en las caras L, R suma 1 a su orientación
Un giro en las caras F, B resta 1 a su orientación
Se considera bien orientado si su orientación es un múltiplo de 3
Con estas reglas podemos generalizar el uso de los operadores de rotación
para poder definir correctamente los estados del cubo.
Se podría decir que, mientras que hay 3 grados de libertad, hay 4
coordenadas generalizadas, con lo cual el sistema es claramente no
holónomo. Para tener en cuenta la orientación, se puede generalizar los
operadores anteriores incluyendo una dimensión más:
Entonces, para aristas, el signo de ‫ ݔ‬ସ determina su orientación. Para
vértices, además, ‫ ݔ‬ସ = ݅ determina la orientación correcta. Por ejemplo,
tenemos:
Con:
0
෩ = ൮−1
ܷ
0
0
1
0
0
0
෩‫ݔ‬ଶ = ‫ݔ‬ଵ
ܷ
0
0
1
0
0
0
൲,
0
1
1
1
‫ݔ‬ଶ = ൮ ൲
1
1
Si estas matrices siguen siendo unitarias, se podría hablar de una rotación
en ℝସ .
Daniel E. Borrajo Gutiérrez