Concurso de primavera 13-14. Nivel III. SOLUCION 39
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Concurso de primavera 13-14. Nivel III. SOLUCION 39
Concurso de primavera 13-14. Nivel III. SOLUCION Semana XX - Soluciones - 2012-primera fase - no 2 39 Cada mochuelo en su olivo, pero hay un mochuelo que no tiene olivo. Si se colocan dos mochuelos en cada olivo queda un olivo sin mochuelo. ¿Cuántos olivos hay? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 Puede resolverse tanteando, pero también planteando una ecuación. Llamemos x al número de mochuelos. Ası́, el número de olivos sera x − 1. Si se colocan dos mochuelos en cada olivo y queda un olivo sin mochuelo, podemos escribir el x número de olivos como + 1. 2 x La ecuación es: x − 1 = + 1 2 Multiplicando ambos miembros por dos: 2x − 2 = x + 2 Despejando x obtendremos el número de mochuelos: x=4 El número de olivos es 4 − 1 = 3 SOLUCION - 2012 segunda fase - no 24 40 Si x < 0, ¿cuál de los siguienes números es positivo? A) x |x| B) −x2 C) −2x D) −x−1 (1 − x) E) √ 3 x Los números −x2 y −2x son negativos para cualquier valor de x. Los números √ 3 xy x tendrán el signo de x, en este caso son negativos pues x es negativo. |x| Sólo queda −x−1 (1 − x). Podemos comprobar que si x es negativo el número anterior es positivo: −x−1 (1 − x) = −1 x(1 − x) 1 − x es positivo pues x es negativo y restar un número negativo a uno positivo da positivo. El producto x(1−x) es el producto de un número negativo por uno positivo, por lo tanto es negativo. Ası́ −x−1 (1 − x) = −1 es el cociente de dos números negativos, por lo tanto positivo. x(1 − x)