congruencia y semejanza de triángulos

Transcripción

I.E.P. MARÍA DE NAZARET Piensa en grande, piensa en ti.
TERCER GRADO – GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
PARA SER TRABAJADO DEL 09 DE MAYO AL 06 DE JUNIO 2011
CONGRUENCIA Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN
Discrimina los criterios de congruencia de triángulos.
COMUNICACIÓN MATEMÁTICA
Utiliza gráficos para solucionar problemas con triángulos
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Resuelve problemas que involucran la congruencia y semejanza de triángulos.
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Dos triángulos son congruentes cuando tienen la misma
forma, el mismo tamaño pero diferente posición.
B
Q
Q
B


A



A





R
P
ABC  PQR
R
P
C
C
CASO 3: LADO, LADO, LADO (L.L.L.)
ABC  PQR
E
B
* ABC es congruente al PQR.

CASOS DE CONGRUENCIA:
A
N
CASO 4: ÁNGULO, LADO, LADO
B

A



C
M

MARITZA DOLORES SOTO VÉLIZ
(A,L,L mayor)
N
c
a

CASO 2: LADO, ÁNGULO, LADO (L.A.L.)
mayor
c
Q
A
ABC  MNQ
F
ABC  DEF
CASO 1: ÁNGULO, LADO, ÁNGULO (A.L.A.)
B
D
C
a

C
ABC  MNP

P
M
ca
APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA DE
TRIÁNGULOS:
TEOREMA DE LOS PUNTOS MEDIOS:
(BASE MEDIA)
B
TEOREMA DE LA BISECTRIZ
Todo punto que pertenece a la bisectriz de un
ángulo, se encuentra a igual distancia de los lados.
M
N
Q


O
A
P
Si: AM = BM y
R
Si:
C
OP es bisectriz del QOR; PQ = PR.

MN // AC .
MN 
BN = NC
AC
2
 POQ  POR
TEOREMA
TEOREMA DE LA MEDIATRIZ
DE
LA
MENOR
MEDIANA
EN
UN
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Todo punto que pertenece a la mediatriz de un
En todo triángulo rectángulo la longitud de la
segmento, se encuentra a igual distancia de los
mediana relativa a la hipotenusa, es igual a la mitad de la
extremos del segmento.
longitud de la hipotenusa.
B
P
A
A

L es mediatriz de AB ; PA = PB.

C
B
M

L
Si:
M
PAM  PBM
Si:
BM mediana relativa a la hipotenusa.

BM 
AC
2
APLICO LO QUE APRENDÍ
5.
* En cada una de las figuras, indica el caso de
congruencia de triángulos:
1.
6.
120°
60°
2.
3.
7.
8.
D
AB = DE
B
A
4.
9.
C
E
10.
* En los siguientes gráficos, calcula la medida de “x”:
15.
7
11.
x


16.
12.
2x – 1

13.
8–x

17.
9
B
14.
D
C
AB = AD
A
E
x
18.
22.
3x – 4
x+6
12
x
23.
19.
9
18
x
x
24.
20.
x
x
12
14
25.
21.
x
3x
x+2
9–x
1. En la figura, calcula “x”:
b–2
a+b

x

a+6
a) 2
b) 4
d) 6
e) 8
c) 5
8
6
x
a) 12
b) 13
d) 15
e) 16
c) 14
x–4
x–2
a) 2
b) 4
d) 8
e) 10
c) 6
4. Del gráfico, calcula “x”:
x+4
a) 2
b) 4
d) 5
e) 6
c) 3
6x
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos respectivamente congruentes y si sus lados homólogos son
proporcionales. (Lados homólogos son los opuestos a ángulos iguales ) Es decir:
C
b
C’
a
a’
b’
A
B
c
A’
c’
 ABC   A’B’C’ ( triángulo ABC es semejante al triángulo A’B’C’) si y sólo si :
i)
ii)
Ejemplo :
 A =  A’ ;  B =  B’ ;  C =  C’
a
b
c
=
=
a'
b'
c'
Los triángulos siguientes son semejantes :
B
10
6
C
B’
5
3
C’
4
8
A
A’
En efecto :
 A =  A’ ;  B =  B’ ;  C =  C’
a
b
c
=
= =2
a'
b'
c'
B’
CASOS DE SEMEJANZA
1. Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos
ángulos respectivamente iguales.(Ángulo-ángulo)
Ejemplo 01:
70º
40º
3.
70º
40º
Dos triángulos que tiene sus tres lados proporcionales
son semejantes (lado – lado - lado).
Ejemplo 01:¿Son semejantes los triángulos ?
5
6
12
10
Ejemplo 02:
18
AB // DE ,
Según la figura, si
9
 ABC   DCE ?
¿ es
A
B
Ejemplo 02: ¿ Son semejantes los triángulos ?
C
como
D
15 12

10
8
E
Entonces
Si AB // DE , entonces
D=B
(Alternos internos entre paralelas)
y
y ademas
 CRJ   LBQ
 E =  A ( alternos internos entre paralelas)
Por lo tanto :
36
C
15
 ABC   DCE
4
27
36
35º
R
2. Dos triángulos que tienen un ángulo igual comprendido
por lados proporcionales son semejantes (lado-ángulo
lado).
Ejemplo
12
 R =  B = 35º
N
10
9
35
B
5
5
º
0
5
8
2
I
12
J
UTILIZAMOS LO APRENDIDO
1.
C
E
D
Los lados de un triángulo miden 24 m., 18m. y 36 m.,
respectivamente. Si los lados de otro triángulo miden
12m., 16 m. y 24 m., respectivamente. Determina si
son o no semejantes, justificando tu respuesta.
2.
A
Si los triángulos ABC y A’B’C’ tienen iguales los
ángulos marcados del mismo modo, establece la
3.
8.
B
F
Las dimensiones de una fotografía son 6,5 cm. por
proporcionalidad de sus lados.
2,5 cm. Se quiere ampliar de manera que el lado
Los lados de un triángulo miden 36 m., 42 m. y 54
mayor mida 26 cm. ¿Cuanto medirá el lado menor?
m., respectivamente. Si en un triángulo semejante a
éste, el lado homólogo del primero mide 24 m., hallar
4.
9.
Se desea hacer un plano de un terreno de 100m de
los otros dos lados de este triángulo.
largo por 300m de ancho usando una escala de 1:500
La razón de semejanza del triángulo ABC con el
¿Cuáles serán las dimensiones del dibujo del terreno?
triángulo A’B’C’ es 3:4. Si los lados del primero son
18, 21 y 30, determina los lados del segundo.
5.
cm. Construye, sobre un segmento de 2,5 cm..
y 10 m. respectivamente. ¿Cuánto medirán los
homólogo del primer lado de este triángulo, un
catetos de un triángulo semejante al primero si su
triángulo semejante a aquel.
hipotenusa mide 15 m.?
6.
10. Los lados de un triángulo miden 2 cm., 1,5 cm. y 3
Los lados de un triángulo rectángulo miden 6 m., 8 m.
J
Según la fig.
11. Si AE = 12, EB = 28, CE = 15, AC = 18, determinar
ED y BD.
NK  JL ; ML  JL
NK = 4 , ML = 6 ,
JM = 15 , JN =?
N
K
L
7.
a)
b)
c)
d)
¿ En qué casos el
AB
DE
AB
BC
BC
EF



BC
EF
DE
EF

CA
FD
B=E
;
AC
DF
 A=D
 ABC   DEF
B=D
,
,
C=E
M
?
1.
Los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes. Si a = 25 cm., b = 10 cm., c = 30 cm., a’ = 30 cm., y b’ = 12 cm.
Determina c’.
C
C’
a
b
A
b’
B
c
a
A’
B’
C’
2.
¿Son semejantes todos los triángulos isósceles? Justifica tu respuesta.
3.
Los triángulos de la figura son semejantes. Escribir la proporcionalidad de sus lados homólogos.
C
A
4.
F



B
D



E
Los lados de un triángulo miden 36 cm., 42 cm., y 54 cm. Si en un triángulo semejante a este, el lado homólogo del
primero mide 6 cm. Hallar la medida de los otros dos lados de este triángulo.
5.
Los lados de un triángulo rectángulo miden 6 cm., 8 cm. y 10 cm., respectivamente. ¿Cuánto medirán los catetos de
un triángulo semejante al primero, si su hipotenusa mide 20 cm?
SEMEJANZA EN LA VIDA REAL
1. El profesor de arte te pide hacer una copia del
cuadro "La Mona Lisa" de Leornardo Da Vinci. El
cuadro original tiene las medidas que se muestran
en el dibujo.
¿Cuál de las siguientes cartulinas tiene el tamaño
exacto que te sirve para hacer una reducción del
cuadro original manteniendo sus proporciones?
A. 38,5 cm. x 26,5 cm.
B. 70 cm. x 53 cm.
C. 71,5 cm. x 47,5 cm.
D. 77cm. x 77 cm.
2. ¿Qué altura tiene el faro, de acuerdo a la información entregada?
A.
9,3 m
B.
13,3 m
C.
18 m
D.
21 m
3. Se desea hacer un plano de un terreno de 200m de largo por 600m de ancho usando una escala de 1:500 ¿Cuáles serán
las dimensiones del dibujo del terreno
A.
40m por 120m
B.
40 cm. por 60cm
C.
40cm. por 120 cm.
D.
400 cm. por1200 cm.
4. En una fotografía de Juan y Pedro ambos aparecen de pie. Juan mide 1,5m y en la foto aparece de 10 cm. ¿Cuánto mide
Pedro si la foto lo muestra de 11cm?
A.
0,73 m
B.
1,36 m
C.
1,65 m
D.
1,71 m

congruencia y semejanza de triángulos

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