PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE INSTITUTO DE

Transcripción

ISSN:0716-7334
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
INSTITUTO DE ECONOMIA
Oficina de Publicaciones
Casilla 274 - V, Correo 21, Santiago
MODELOS DE OPTIMIZACION*
Gonzalo Edwards **
Trabajo Docente Nº 57
Marzo, 1994
* Este trabajo es una publicación conjunta del Instituto de Economía (Trabajo Docente Nº 57), y de
la Escuela de Administración (Trabajo Docente 194-01). Pontificia Universidad Católica de
Chile.
** Profesor Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas, Pontificia Universidad Católica
de Chile.
INDICE
Página
CAPITULO 1:
INTRODUCCION AL PROCESO DE
OPTIMIZACION
1
CAPITULO 2:
PROGRAMACION MATEMATICA:
ALGUNOS CONCEPTOS BASICOS
15
CAPITULO 3:
OPTIMIZACION SIN RESTRICCIONES
23
CAPITULO 4:
OPTIMIZACION CON RESTRICCIONES
DE NO NEGATIVIDAD
30
CAPITULO 5:
OPTIMIZACION CON RESTRICCIONES
DE IGUALDAD Y DESIGUALDAD
35
CAPITULO 6:
SUFICIENCIA DE CONDICIONES DE
KUHN-TUCKER
52
CAPITULO 7:
PROBLEMAS ADICIONALES DE
PROGRAMACION NO LINEAL
65
CAPITULO 8:
PROGRAMACION LINEAL:
INTRODUCCION
79
CAPITULO 9:
PROGRAMACION LINEAL Y EL
COMPUTADOR
93
CAPITULO 10:
PROBLEMAS ADICIONALES DE
PROGRAMACION LINEAL
107
CAPITULO 11:
VARIABLES BINARIAS
128
REFERENCIAS
157
NOTA INTRODUCTORIA
El propósito de este trabajo es servir de material complementario para aquellos
cursos que persiguen formar la capacidad de modelamiento matemático en las áreas de
economía y administración.
El texto presenta el instrumental matemático utilizado en el análisis de
optimización de manera comprensible, tratando de desarrollar la intuición, sin mayor
énfasis en el rigor formal. Por otra parte, el énfasis no está en la solución de problemas
de optimización claramente definidos, sino que en el planteamiento de los mismos.
Para desarrollar la capacidad de plantear problemas se presentan en el texto
numerosos ejemplos, a la vez que se proponen, al final de cada capítulo, problemas
adicionales para la ejercitación del alumno.
El trabajo puede dividirse en tres partes: Programación No Lineal, donde lo
principal es el planteamiento de problemas y la comprensión de las condiciones de
Kuhn-Tucker. La segunda parte, de Programación Lineal, que es un caso particular de
Programación No Lineal, presenta múltiples ejemplos de este tipo de modelos,
destacando los análisis gráficos y los problemas de planteamiento. En esta parte, se
hace uso de programas computacionales tales como el LINDO y el QSB+. Por último,
en la tecera parte, se enfatizan los problemas que requieren en su planteamiento el uso
de variables binarias.
Se debe destacar que se han dejado fuera varios temas en las áreas descritas
por razones de espacio y tiempo que en todo caso están bien tratados en otros libros.
Entre estos temas excluidos se encuentran: a) El dual; b) El método Simplex de
Programación Lineal y otros algoritmos de solución de distintos tipos de problemas de
Programación Matemática. Asimismo, se ha decidido excluir los problemas de
optimización en condiciones de incertidumbre, y los problemas de optimización
dinámica.
Por último, como este trabajo surge de mis apuntes de clase en el
Departamento de Economía Agraria y en la Facultad de Ciencias Económicas y
Administrativas de la Pontificia Universidad Católica de Chile durante los últimos diez
años, quiero agradecer, aunque no recuerde sus nombres, a todos los alumnos que he
tenido y en especial a todos los ayudantes. De manera particular, deseo agradecer a
Guillermo Donoso, Frantz Kroeger, Oscar Melo, Guillermo Ortiz, Sol Reyna y María
Isabel Vial.
Modelos de Optimización
1
CAPITULO 1
INTRODUCCION AL PROCESO DE OPTIMIZACION
El objetivo principal de este texto es aprender a plantear y resolver problemas de
optimización. Para lograr este objetivo es conveniente expresar el problema de optimización
típico en términos de las siguientes etapas:
Entendimiento del Problema: Esta etapa consiste en entender las características esenciales
del problema. Si bien esta etapa puede parecer obvia, muchas veces el problema radica
justamente en el hecho que el problema no se entiende. En general, esta etapa no se expresa
en lenguaje matemático.
Definición de Variables: Las variables en juego deben ser definidas en forma clara. Por
ejemplo, cuando se define una variable X como tomates, debe quedar claro si se refiere a
kilos de tomates, hectáreas de tomates, etc.
Definición de Función Objetivo: Esta etapa consiste en definir, en términos matemáticos,
qué se quiere lograr. Por ejemplo, el objetivo puede ser maximizar ganancias, minimizar
costos, minimizar el riesgo de quiebra, etc.
Definición del Conjunto de Restricciones: Esta etapa consiste en definir, nuevamente en
términos matemáticos, el espacio de lo posible. Por ejemplo, ¿cuántas hectáreas se pueden
sembrar como máximo con los distintos cultivos? ¿de cuánto dinero se dispone para llevar a
cabo la empresa? ¿qué capacidad se tiene para manejar inventarios? etc.
Cabe advertir que muchas veces esta etapa se confunde, erradamente, con la etapa de
búsqueda de la solución. El conjunto de restricciones se refiere al espacio de lo posible y no
a un espacio restringido donde se espera que esté el óptimo. Si bien muchas veces puede
parecer preferible trabajar con un espacio más restringido para encontrar la solución, en la
práctica es común que dichas restricciones dejen de hecho fuera del espacio a la verdadera
solución óptima, sobre todo en problemas complejos.
Búsqueda de Solución: Esta etapa representa el problema matemático propiamente tal. Las
etapas anteriores se refieren al problema de planteamiento del problema en términos
matemáticos, mientras que esta etapa se refiere a la búsqueda del valor o de los valores de las
variables que optimizan la función objetivo dentro del conjunto de valores posibles que éstas
pueden tomar.
Interpretación de Resultados: Esta etapa, que parece obvia, muchas veces es
olvidada por los analistas. Un modelo no entrega resultados. Es el analista quien
se debe hacer responsable de los mismos y entregarlos. Por ejemplo, si los
2
resultados "entregados" por el modelo o por el computador son contrarios a todo
lo que el analista siempre ha creido, es posible que el analista deba revisar sus
teorías. Sin embargo, lo más probable es que el modelo tenga algún problema en
el planteamiento o en el sistema de búsqueda de solución que obligue a revisar lo
realizado. El modelo es una herramienta que permite al analista entender un
determinado problema. No es más, aunque tampoco menos que eso.
A continuación se presentan varios ejemplos de planteamiento con el objeto de
introducir algunos de los elementos anteriores a problemas prácticos. Se
excluyen de esta introducción las etapas de búsqueda de soluciones y de
interpretación de resultados.
Ejemplo 1.1:
Suponga que Ud. tiene un fundo con las siguientes características:
8.
1.
El fundo tiene 120 hectáreas.
2.
Ud. está considerando la posibilidad de poner trigo, porotos, o una
combinación de ambos cultivos.
3.
Ud. no dispone de trabajadores permanentes y debe contratarlos a 700
pesos por jornada.
4.
El trigo requiere de 5 jornadas hombre por hectárea, mientras que los
porotos requieren de 10 jornadas hombre por hectárea.
5.
Ud. dispone de un tractor y no puede tomar en arriendo ni dar en arriendo el
tractor. Esto le impone un máximo de 300 jornadas-tractor para todo el
año. El trigo requiere de 3 JT/há, y los porotos 5 JT/há.
6.
Los costos variables por hectárea, sin contar la mano de obra, son de 50.000
pesos en el caso del trigo y 35.000 pesos en el caso de los porotos.
7.
El precio por quintal de trigo es de 3.000 pesos y por quintal de porotos,
4.000.
El rendimiento esperado por hectárea de trigo es de 60 quintales y por hectárea de
porotos es de 40 quintales.
El problema es determinar cuántas hectáreas sembrar con cada cultivo.
3
Lo primero que hay que hacer es plantear el problema en términos matemáticos. En
este ejemplo, lo que se quiere es que las ganancias sean lo más grandes posible. Esto se
expresa en términos matemáticos como:
Maximizar Ganancias = Ingresos Totales - Costos Totales = IT - CT
donde:
IT
=
3.000 x 60 x T + 4.000 x 40 x P
T, P =
Número de hectáreas a sembrar de trigo y porotos respectivamente.
CT =
50.000 x T + 35.000 P + 700 (5 T + 10 P)
Así, la función a maximizar es
Función Objetivo
f(T, P) = 126.500 T + 118.000 P
El problema son las restricciones. Como sólo se cuenta con 120 hectáreas, debe
cumplirse que:
T + P ≤ 120
Restricción 1
Por otra parte, como se cuenta sólo con 300 jornadas tractor como máximo, se debe
cumplir que:
3T + 5P ≤ 300
Restricción 2
4
Por último, están las restricciones de no negatividad. Estas se refieren al hecho
que no se pueden sembrar cantidades negativas. Matemáticamente,
T ≥ 0, P ≥ 0
Restricciones de no negatividad
Esta última restricción se debe poner a pesar de ser obvia. En un planteamiento
matemático, nada es obvio si no se explicita.
En resumen, el problema anterior se expresa como:
Maximizar f (T,P) = 126.500 T + 118.000 P
sujeto a:
T + P ≤ 120
3T + 5P ≤ 300
T ≥ 0; P ≥ 0
El modelo anterior es una simplificación de una situación típica. No incorpora,
por ejemplo, el hecho de que los rendimientos y los precios son aleatorios.
Tampoco incorpora posibles restricciones de dinero o problemas de tasas de
interés. Excluye, asimismo, toda consideración de disponibilidad de agua de
riego. Adicionalmente, no incluye posibles restricciones impuestas por el tamaño
de los potreros (suponga, por ejemplo, que no se desea sembrar más de un cultivo
en un potrero determinado). Dicho de otra forma, en un modelo sólo se puede ver
lo que éste incorpora. No se puede ver lo mucho que no incorpora.
Ejemplo 1.2:
Ud. está dedicado a la producción de dos productos cuyas funciones de
producción son las siguientes:
Y1 = X10,7
Y2 = X10, 2 X 02,8
5
donde Xi e Yj se refieren a las cantidades de insumos y productos
respectivamente. Ud. sabe además que PY1 = 10, PY2 = 15, PX1 = 2, PX2 = 3.
El problema es plantear un modelo de optimización que, una vez resuelto, le
permita decidir cuánto producir de cada producto a fin de maximizar las
utilidades. Como dato adicional, Ud. sólo dispone de 150 pesos para la compra
de insumos, y por razones técnicas de almacenaje, Y1 no puede ser mayor al 30%
de Y2.
Nuevamente el objetivo es la maximización de utilidades. Tal como se dijo
anteriormente, el primer paso es la definición de las variables en forma clara. En
este ejemplo, existen dos opciones: 1) trabajar directamente con las cantidades de
insumos, 2) trabajar simultáneamente con las cantidades de producto y de
insumos. Así, el problema se podría plantear, aunque erradamente por razones
que se verán más adelante, de cualquiera de las dos formas siguientes:
Planteamiento 1:
Maximizar 10 X 0,71 + 15 X 10, 2 X 02,8 − 2X 1 − 3X 2
sujeto a:
2 X1 + 3X2 ≤ 150
0
X 10,7 ≤ 0,3 X 10, 2 2;1 X 02,8
X 1, X 2 ≥ 0
Planteamiento 2:
Maximizar 10Y1 + 15 Y2 - 2 X1 - 3X2
sujeto a:
2X1 + 3X2 ≤ 150
Y1 ≤ 0,3 Y2
Y1 = X 10,7
Y2 = X 10,2 X 02,8
Y1, Y2, X1, X2 ≥ 0
6
De los dos planteamientos anteriores, el primero tiene la ventaja de trabajar con
dos variables en lugar de cuatro, lo que resulta más fácil en términos de la
búsqueda de la solución. El segundo, por otra parte, tiene la ventaja que su
solución entrega directamente las cantidades a producir y las cantidades de
insumos por utilizar. En este sentido, en términos del planteamiento del
problema, parece preferible el segundo, mientras que en términos del problema
matemático de resolución es preferible el primero.
¿Cuál es el error en ambos planteamientos anteriores? El problema es que la
cantidad del primer insumo, X1, se plantea como utilizable en ambos productos
simultáneamente. En la realidad, una parte se puede utilizar para un producto y el
resto en el otro. No se puede usar el total de insumo en la producción de un
producto y el total también en la producción del otro.
De lo anterior, surge la necesidad de distinguir entre las cantidades del insumo
que van a uno y otro producto. Es así como los planteamientos anteriores se
reescriben como:
Planteamiento 1:
0, 7
0, 2
Maximizar 10 X 11
+ 15 X 12
X 02,8 - 2 (X11 + X12) - 3X2
sujeto a:
2(X11 + X12) + 3 X2 ≤ 150
0, 7
0, 2
X 11
≤ 0,3 X 12
X 02,8
X11, X12, X2 ≥ 0
Planteamiento 2:
Maximizar
10 Y1 + 15 Y2 - 2 (X11 + X12) - 3 X2
sujeto a:
2(X11 + X12) + 3 X2 ≤ 150
Y1 ≤ 0,3 Y2
0,7
Y1 = X11
0, 2
Y2 = X 12
X 02,8
X11, X12, X2, Y1, Y2 ≥ 0
7
Ejemplo 1.3:
En un feedlot de engorda de novillos, se ha decidido alimentarlos con heno de
alfalfa y maíz grano, que cuestan 8 y 12 pesos por kilo respectivamente. El heno
tiene, por kilo, 1,8 mkcal, 160 gramos de proteína, 20 gramos de calcio y 160
gramos de fósforo. A su vez, el maíz tiene 3 mkcal, 90 gramos de proteína, 3
gramos de calcio y 2 gramos de fósforo por kilo. Los requerimientos de cada
novillo por día son de 12 mkcal, 1,2 kilos de proteína, 100 gramos de calcio y 50
gramos de fósforo.
El problema es plantear un modelo de optimización que, una vez resuelto, permita
minimizar el costo de engorda diario por novillo suponiendo que por razones
técnicas, la relación calcio:fóforo debe estar entre 1:1 y 2:1.
Definiendo H y M como las cantidades, en kilos, de heno y maíz respectivamente,
el problema se puede plantear como sigue:
Minimizar f (H,M) = 8H + 12 M
sujeto a:
1,8 H + 3 M ≥ 12
160 H + 90 M ≥ 1,2
20 H + 3 M ≥ 100
160 H + 2 M ≥ 50
cantidad de calcio
1 ≤ cantidad de fósforo
H, M ≥ 0
(calorías)
(proteínas)
(calcio)
(fósforo)
20 H + 3 M
= 160H+ 2 M
≤ 2
Ejemplo 1.4:
Se dispone de 50 unidades de un bien para vender en 2 mercados independientes.
En cada mercado, las demandas están dadas por las ecuaciones P1 = 40 - X1 y P2
= 50 - 2 X2, donde Pi representa el precio de venta unitario en el mercado i, y Xi
la cantidad vendida en dicho mercado. El problema es plantear el problema de
optimización correspondiente.
Las variables de decisión en este caso son las cantidades que se deben enviar a
los distintos mercados. El problema se puede plantear de cualquiera de las
siguientes formas:
8
Planteamiento 1:
Maximizar P1 X1 + P2 X2
sujeto a:
X1 + X2 ≤ 50
P1 = 40 - X1
P2 = 50 - 2 X2
P1, P2, X1, X2 ≥ 0
Planteamiento 2:
Maximizar (40 - X1 ) X1 + (50 - 2X2 ) X2
sujeto a:
X1 + X2 ≤ 50
X1, X2 ≥ 0
El segundo planteamiento reemplaza las ecuaciones de demanda en la función objetivo.
Cabe señalar que ambos planteamientos no son equivalentes desde el punto de vista
matemático. La razón es que en el segundo planteamiento, si bien se sustituyen los
precios en la función objetivo, no se sustituyeron en las restricciones de no negatividad
originales (P1 ≥ 0, P2 ≥ 0).
Dicho de otra forma, al segundo planteamiento faltó agregar:
40 - X1 ≥ 0
50 - 2X2 ≥ 0
Ejemplo 1.5:
Ud. es dueño de una planta agroindustrial que produce tomates, peras y duraznos en
conserva. Ud. debe planificar la producción del próximo mes de tal forma de
maximizar los ingreso netos.
Los costos de materia prima son 10, 15 y 20 pesos por kilo en los 3 productos
respectivamente si se abastece del abastecedor A y 15, 20 y 10 pesos por kilo si se abastece
9
del abastecedor B. El abastecedor A no le presenta ningún problema para venderle las
cantidades que Ud. quiera. Sin embargo, el abastecedor B lo obliga a comprar por lo menos
1 kilo de peras por cada dos kilos que le compre de duraznos y un máximo de 1 kilo de
duraznos por cada kilo de tomates que le compre.
La producción Ud. la puede vender a la cadena de supermercados X o a la cadena Y (o a
ambos). Las demandas de X vienen dadas por las siguientes ecuaciones, donde los precios
son por kilo de materia prima equivalente:
X
Ptomates = 2.000 - 2 Qtomates
Pperas
X
= 1.000 - 4 Qperas
Pduraznos =
X
850 - 3 Qduraznos
A Y, por otro lado, le gustaría que le vendiera sólo a él, por lo cual le ofrece
menos precio a mayor cantidad que le envíe a X. Las demandas de Y vienen
dadas por las siguientes ecuaciones:
Y
X
Ptomates = 2.500 - 2Qtomates - Qtomates
Pperas
Y
X
= 2.000 - 3Qperas - Qperas
Y
X
Pduraznos = 3.000 - Qduraznos - Qduraznos
En este caso, se deberá decidir acerca de cuánto comprar de cada producto a
cada abastecedor, y cuánto vender de cada producto en conserva a cada
supermercado. De aquí surge la siguiente definición de variables:
i
i
=
precio y cantidad de producto j (j = tomates, peras, duraznos)
comprada al abastecedor i (i = A, B).
l
l
=
precio y cantidad de producto j (j = tomates, peras, duraznos)
vendido al supermercado l (l = X, Y).
Pj , Qj
Pj , Qj
Se supondrá, en un primer análisis, que se debe cobrar el mismo precio a ambos
supermercados. Así el problema se puede plantear como:
10
Maximizar
X
X
X
X
X
X
Y
Y
Ptomates Qtomates + Pperas Qperas + Pduraznos Qduraznos
Y
Y
Y
Y
+ Ptomates Qtomates + Pperas Qperas + P duraznos Qduraznos
A
A
B
B
A
- 10 Qtomates - 15 Qperas - 20 Qduraznos
B
- 15 Qtomates - 20 Qperas - 10 Qduraznos
sujeto a:
B
Qperas
B
B
≥ 0,5 Qduraznos
B
Qduraznos ≤ Qtomates
X
= 2.000 - 2 Qtomates
Y
= 2.500 - 2 Qtomates - Qtomates
X
= 1.000 - 4 Qperas
Ptomates
Ptomates
Pperas
Y
Pperas
X
Y
X
X
Y
X
= 2.000 - 3 Qperas - Qperas
X
X
Pduraznos = 850 - 3 Qduraznos
Y
Pduraznos
X
Ptomates
X
Pperas
X
Y
X
= 3.000 - Qduraznos - Qduraznos
Y
= Ptomates
Y
= Pperas
Y
Pduraznos = Pduraznos
Todas las variables mayores o iguales a cero.
Las tres últimas restricciones son las que aseguran que se cobre un mismo precio
a ambos supermercados. Si se puede cobrar distintos precios a ambos
supermercados, se deben omitir estas restricciones.
11
Problemas Propuestos
1.1.
Ud, que es administrador de un fundo de 150 hectáreas, debe programar su
producción para el próximo año. Los productos a considerar son trigo, maíz y
remolacha.
Los coeficientes técnicos de producción y las disponibilidades de los distintos
recursos son lo que a continuación se señalan:
trigo maíz remolacha disponibilidad
Mano de obra
(JH/há)
15
25
85
3.000
Capital
(JM/há)
14
4
2.000
12
Suponiendo que los beneficios netos unitarios (expresados en términos de pesos
por hectárea) son 500, 800 y 950 pesos para el trigo, maíz y remolacha
respectivamente, plantee el problema de optimización correspondiente.
1.2.
En un taller se elaboran tres productos A, B, C cuyas demandas son
respectivamente 90, 110, 120 unidades semanales. En la tabla se indican las
capacidades del taller para cada método y las ganancias asociadas con cada
producto y método de fabricación.
Método
1
2
3
Capacidad Producto
160
120
140
Ganancia/unidad
1
2
3
A
139 140
B
201 207
C
254 255
137
210
255
Plantee el problema de optimización correspondiente definiendo claramente las
variables, función objetivo y restricciones.
1.3.
Una fábrica de muñecas debe decidir cuántas muñecas de cada tipo
producir para maximizar las ganancias. Cuenta con dos tipos de muñecas,
tipo 1 y tipo 2. El tipo 1 llora y requiere 15 minutos de fabricación y 15
12
minutos de acabado a mano, el tipo 2 necesita 30 minutos para su
fabricación y 3/9 horas para el acabado a mano.
La ganancia por muñeca tipo 1 es de $ 8 y la de la otra es de $ 12. La
producción está limitada a 10 horas en el departamento de fabricación
diariamente y el acabado a mano 8 horas/día.
Se pide:
Plantee el problema de optimización correspondiente.
1.4.
Ud. acaba de recibir por equivocación un animal exótico del Africa con la
siguiente nota colgada a su cuello:
Me llamo TIMBO, como nada más que carne de lagartija y maíz, necesito un
mínimo de 80 grs. de proteína y 6.000 calorías diarias. Soy un animal simpático
siempre que me den las proteínas y calorías que pido. Cúidenme.
Depués de hacer las averiguaciones del caso, Ud. aprende que por cada kilo de
carne de lagartija, obtiene 40 grs. de proteína y 4.000 calorías. Por cada kilo de
maíz, obtiene un total de 30 grs. de proteínas y 3.500 calorías. El precio del maíz
es de 100 pesos por kilo mientras que el precio unitario de la carne de lagartija
depende de cuanto compre Ud. al día. Su carnicero amigo le dice que cada día
está más difícil conseguirla por lo que le especifica la siguiente función para el
precio:
P = 50 + 200 X
donde
P = precio por kg. de la carne de lagartija
X = cantidad de carne comprada (en kgs. por día)
Se pide:
a)
1.5.
Formule el modelo de optimización que le permita minimizar el costo de la
ración diaria.
Para cada una de las siguientes afirmaciones escriba la o las restricciones
correspondientes definiendo claramente todas las variables.
a) La relación calcio:fósforo en una ración debe estar entre 3:1 y 4:1
13
b) Por cada tractor que compre, debe haber por lo menos 6 trabajadores
permanentes en el fundo.
c) Juanita me ha pedido que la llame por lo menos 6 veces por cada 5 que
llame a Francisca.
d) Para hacer una cazuela, por cada papa se debe poner al menos 2 pedazos
de zapallo.
e) Por cada hectárea de maíz, se necesitan 2 jornadas-hombre (JH) al año, y
por cada hectárea de trigo se requieren 4. Se dispone de 25 JH en total para el
año.
f) Un agricultor desea sembrar el doble de hectáreas de arroz que de maíz y
el triple que de porotos.
g) Del total de trigo que se produzca, la mitad se debe mandar a Santiago, no
más de un tercio a Valparaíso, y el resto a Concepción.
h) En una fonda han dedicido regalar 2 dulces por cada litro de chicha que les
compren.
i) Un agricultor tiene 10 kg. de semilla de un cultivo super especial. Cada
kg. produce al final de la estación 2,5 kg. de producto que puede ser
consumido o usado como semilla para la temporada siguiente. El producto en
sí no puede ser almacenado de un año para otro. Este agricultor desea tener
por lo menos 16 kg. para consumir luego de la primera cosecha y por lo menos
12 para consumir luego de la segunda. De ahí para adelante la semilla ya no le
interesa.
1.6.
Ud es dueño de un restaurant y dispone para el día de hoy de 100 lechugas,
200 tomates, 35 aceitunas, 180 betarragas y 100 choclos. En su menú, Ud. ha
decidido poner lo siguiente:
ENSALADAS DE HOY
LECHUGAS A LA NAPOLITANA
(1 lechuga, 2 tomates, 1 choclo)
450 pesos
BETARRAGAS A LA VIENESA
(2 lechugas, 3 betarragas, 1 aceituna)
300 pesos
CHOCLOS A LA CHILENA
650 pesos
14
(3 choclos, 1 aceituna, 4 tomates)
Se pide: Plantee un modelo que le permita maximixar sus ingresos (suponga que
lo que haga lo vende, pero que debe preparar los platos antes que lleguen
los clientes).
Se recomienda definir:
X1 = Nº de platos de Lechugas a la Napolitana.
X2 = Nº de platos de Betarragas a la Vienesa.
X3 = Nº de platos de Choclos a la Chilena.
1.7.
Suponga que Ud. se quedó después del 18 de septiembre, día en que puso
una fonda, con 1.000 litros de chicha y 600 litros de vino. Ud. tiene la
posibilidad de guardarlos, total o parcialmente, hasta el próximo año y
venderlos en las fondas a un precio de 100 pesos y 150 pesos por litro de
chicha y de vino respectivamente, o venederlos hoy a un precio de 50 y 85
pesos respectivamente a una botillería. Ud. no tiene problemas con la tasa
de interés directamente, pero necesita hoy 50.000 pesos para pagar una
deuda pendiente. Por último, el señor de la botillería le exige que por cada
litro de chicha que le venda debe venderle por lo menos 2 litros de vino.
Se pide: Plantee el problema de optimización correspondiente definiendo
claramente las variables.
15
CAPITULO 2
PROGRAMACION MATEMATICA: ALGUNOS CONCEPTOS BASICOS
Los problemas vistos en el capítulo anterior son todos problemas de
Programación Matemática (PM). Formalmente, en un problema de PM se trata
de encontrar el vector x = (x1 , x2 , ..., xn ) que, perteneciendo a un conjunto X,
llamado conjunto de oportunidades y subconjunto a su vez de Rn , o conjunto de
los números reales en n dimensiones, maximice una función objetivo f(x1 , x2 ,
..., xn ).
Dicho de otra forma, el conjunto X no es más que el conjunto de todos los valores
que pueden tomar las distintas variables, mientras que la función objetivo
representa aquello que se desea maximizar.
En términos del ejemplo 1.1, el set X es el conjunto de todos los valores de T y P
que satisfacen las restricciones
T + P ≤ 120
3T + 5P ≤ 300
T ≥ 0; P ≥ 0
y la función objetivo es
f (T,P) = 126.500 T + 118.000 P
Cabe señalar que el planteamiento de un problema de Programación Matemática
como uno de maximización, en lugar de uno de minimización, es sólo por
conveniencia. Es obvio que existen muchos problemas donde lo que se desea es
minimizar y no maximizar una función objetivo. Afortunadamente, todo
problema de minimización se puede escribir como uno de maximización ya que el
vector que minimiza a f(x) es el mismo que maximiza - f(x).
Dos importantes casos especiales de PM lo constituyen la Programación No
Lineal y la Programación Lineal. En el primero, el conjunto de oportunidades X
está caracterizado por
X = {x | g(x) ≤ b, x ≥ 0}
en que
17
de cómo transformar ciertos problemas de PM que no son estrictamente de PNL o
PL en problemas que caigan dentro de estas últimas categorías.
Ejemplo 2.1:
Considérese el problema
Maximizar 3X1 + 2X2
sujeto a:
X1 ≤ 100
2X1 + 3 X2 ≥ 10
X1 , X2 ≥ 0
En este caso, la segunda restricción no es de "menor o igual" con lo cual el
problema no debe, según la definición anterior, considerarse como de PL. Sin
embargo, esta restricción puede reescribirse como
-2 X1 - 3 X2 ≤ - 10
sin cambiar para nada las implicancias de la restricción.
Ejemplo 2.2:
Maximizar X1 + X2
sujeto a:
X1 = 100
X1 + 2 X2 ≤ 200
X1 , X2 ≥ 0
El problema en este caso lo presenta la primera restricción, que es de igualdad.
Esta restricción se puede descomponer en dos partes:
X1 ≥ 100
X1 ≤ 100
18
Obviamente, estas restricciones implican que X1 = 100. Este sistema lleva, sin
embargo, a tratar el problema de "mayor o igual" de la misma manera que en el
ejemplo 2.1 Así, el problema de PM se puede reescribir como el siguiente
problema de Programación Lineal:
Maximizar X1 + X2
sujeto a:
- X1 ≤ - 100
X1
≤ 100
X1 + 2 X2 ≤ 200
X1 , X2 ≥ 0
Ejemplo 2.3
Considérese el problema:
3
Maximizar X1 + X2
sujeto a:
2 X1 + X2 ≤ 100
X1 ≥ 0
En este caso, la variable X2 no tiene restricción de nonegatividad. Como en
Programación No Lineal todas las variables deben ser nonegativas, y
reconociendo que todo número real, (positivo, negativo, o cero) puede expresarse
como la diferencia entre dos números nonegativos, lo que se hace es reescribir la
variable X2 como
X2 = X21 - X22
donde X21 y X22 son mayores o iguales a cero. Así, el problema original se
puede reescribir como el siguiente problema de Programación No Lineal:
19
3
Maximizar X1 + X21 - X22
sujeto a:
2X1 + X21 - X22 ≤ 100
X1 , X21 , X22 ≥ 0
Los tres ejemplos anteriores han permitido transformar problemas de PM, que no
son problemas de PNL o de PL, en problemas que sí son de PNL o PL. La
ventaja de esto es que en general, mientras más acotada está una clase de
problemas, más específicos se puede ser en su caracterización y resolución.
Dicho de otra forma, todo lo que se pueda decir de los problemas de PM es válido
para problemas de PNL o PL, pero no viceversa. Esto quiere decir que al
transformar, por ejemplo, un problema de PM, no PL, en uno de PL, todo lo que
es válido para la clase de problemas de PM sigue siendo válido para el problema
transformado, y, además, todo lo que es válido para problemas de PL pasa a ser
válido luego de la transformación.
En todo caso, se debe destacar que no siempre es posible hacer este tipo de
transformaciones, como lo demuestra el ejemplo siguiente:
Ejemplo 2.4:
Maximizar 3X1 + 2X2
sujeto a:
X1 < 40
X2 ≤ 20
X1 , X2 ≥ 0
El problema en este caso es la desigualdad estricta en la primera restricción.
*
*
Podría pensarse que el óptimo es X1 = 39,9 y X2 = 20. Sin embargo, una
*
*
solución mejor sería X1 = 39,99 o mejor aún X1 = 39,999. En este caso no se
puede encontrar el óptimo, con lo cual ya no se puede maximizar de acuerdo con
la definición del proceso de maximización dada al comienzo de este capítulo.
20
Máximos Locales y Máximos Globales
Un punto x* es un máximo global si f(x*) ≥ f(x) para todo x, x* ∈ X. Por otro
lado, x* es un máximo global estricto si f(x*) > f(x) para todo x, x* ∈ X.
Asimismo, x* es un máximo local si x* ∈ X y f(x*) ≥ f(x) para todo x,
que perteneciendo a X, se encuentre en una vecindad de x*. Si f(x*) > f(x),
entonces x* es un máximo local estricto. El carácter geométrico intuitivo de estas
definiciones es inmediato como lo ilustra la figura siguiente:
f(x)
x*1
x2*
x3*
x*4
x*5
x*6
x
x
*
*
*
X1 es un máximo local estricto, X2 es un mínimo global estricto, X3 es un
*
máximo local estricto y un máximo global (no estricto), X4 es un mínimo local
*
*
estricto, X5 es un máximo global (no estricto), X6 es un mínimo local (en un
borde del conjunto de oportunidades).
21
2.1.
Considere los siguientes problemas de optimización:
Maximizar X1 + 3 X2
sujeto a:
X1 + 2 X2 ≤ 8
2X1 + 3 X2 ≥ 15
X1 + X2 = 6
X1 , X2 ≥ 0
Mininizar 3X1 + 2 X2
sujeto a:
X1 + 2 X2 ≤ 10
X1 ≥ 0
Minimizar 3 X2 + Y
sujeto a:
X + Y ≤ 10
2X + Y ≥ 15
X + 3Y = 10
X ≥ 0, Y ≥ 0
Se pide: Transforme estos problemas en problemas de Programación
Lineal o No Lineal según corresponda.
2.2.
Considere el siguiente problema de optimización.
Minimizar P1 X1 + P2 X2
sujeto a:
P1 = 100 - X1
P2 = 200 - X2
X1 + X2 ≤ 20
P1, P2, X1, X2 ≥ 0
22
Se pide: Transforme este problema en un problema de Programación No
Lineal sin sustituir las variables P1 y P2 en la función objetivo.
23
CAPITULO 3
OPTIMIZACION SIN RESTRICCIONES
Este capítulo tiene por objeto caracterizar el óptimo cuando el problema no tiene
restricciones. Es decir, cuando el conjunto de oportunidades es igual al conjunto
de los números reales en n dimensiones, Rn. En primer lugar se verá el caso de
una función objetivo de una variable para luego generalizar al caso de una
función de varias variables.
Función objetivo de una variable
En este caso, se desea maximizar una función f(x). Si se supone que f(x) es
diferenciable, entonces la condición de primer orden es que
df
dx = 0
y la condición de segundo orden es que
d2f
dx2
< 0
cuando se evalúa la segunda derivada en el punto donde la primera derivada es
cero. Si un punto satisface estas condiciones, entonces dicho punto es un máximo
local.
Se debe destacar que la condición de segundo orden es suficiente pero no
necesaria, ya que la segunda derivada podría ser cero en el máximo, como lo
demuestra el caso de la función
f(x) = - x2
En este ejemplo la primera derivada es cero en el punto x* = 0, y la segunda
derivada evaluada en dicho punto también es cero. El punto x* = 0, sin embargo,
es un máximo.
Si se sustituye la condición de segundo orden por
d2f
dx2
≤ 0
24
se obtiene una condición necesaria pero no suficiente, ya que una segunda
derivada igual a cero puede corresponder a un máximo, mínimo, o punto de
inflexión.
Para ver este punto se sugiere estudiar las funciones
a) f(x) = - x2
b) f(x) = x2
c) f(x) = x3
En los tres casos, la primera derivada es cero cuando x* = 0, y la segunda
derivada es cero también cuando se evalúa en dicho punto El caso a) corresponde
a un máximo, b) corresponde a un mínimo, y c) corresponde a un punto de
inflexión.
Para saber si un punto crítico (punto en el cual la primera derivada es cero) es un
máximo, mínimo, o punto de inflexión, se debe en primer lugar evaluar la
segunda derivada en dicho punto. Si dicha derivada es cero, se debe seguir
derivando hasta encontrar la primera derivada no cero cuando se evalúa en el
punto crítico. Supóngase que la enésima derivada es la primera derivada distinta
de cero; entonces si n es impar, se trata de un punto de inflexión; si n es par y
dfn
dfn
es
mayor
que
cero,
se
trata
de
un
mínimo;
y
si
es
par
y
es menor que
dxn
dxn
cero, se trata de un máximo.
Para finalizar el análisis de funciones de una variable, considérese la función
f(x) = 3x
df
En este caso, dx = 3, con lo cual f(x) no tiene punto crítico. En este caso no se
puede maximizar ya que el máximo es infinito, el cual no es un número real.
27
Ejemplo 3.1:
Considérese la matriz
 -3 1 2 
 1 -4 -1 


 2 -1 -7 
Esta matriz es negativa definida ya que
det (H1) = f11 = -3 < 0
f11 f12
-3 1
det (H2) = det  f f  = det  1 -4  = 11 > 0
 21 22 
 -3 1 2 
det (H3) = det  1 -4 -1  = - 62 < 0.
 2 -1 -7 
Matriz positiva definida: Una matriz es positiva definida si los determinantes
de sus submatrices no alternan de signo, con el primer determinante mayor que
cero. En otras palabras, si det (H1) > 0, det (H2) > 0, det (H3) > 0, y así
sucesivamente.
Matriz semidefinida: Para que una matriz sea negativa semidefinida o positiva
semidefinida, los requisitos de menor o mayor que cero descritos pasan a ser de
menor o igual o de mayor o igual.
Otras Matrices: Si el Hessiano evaluado en el punto crítico, es decir el punto
donde la primera derivada es cero, no corresponde a ninguna de las definiciones
anteriores, entonces el punto crítico es un punto de inflexión.
En relación con el Hessiano, se debe destacar que, tal como se pide mostrar en el
problema propuesto 3.2., el requisito que este sea negativo definido en el caso de
un máximo obliga a que todos los miembros de la diagonal sean negativos. Esto
es equivalente a decir que el punto crítico debe ser un máximo en todas las
direcciones definidas por los ejes de las ordenadas. La razón para exigir que
además el Hessiano sea negativo definido, lo cual implica considerar las segundas
derivadas cruzadas, es que puede darse el caso que siendo un máximo en el
sentido de X1, X2, ... no lo sea en el sentido de una combinación de las variables.
Este punto debería quedar claro al resolver el problema propuesto 3.3.
En este punto, es conveniente destacar que si el Hessiano es semidefinido
positivo o semidefinido negativo en el punto crítico, en teoría dicho punto puede
28
ser un máximo, mínimo, o punto de inflexión. En el caso de una variable, para
determinar a cuál caso correspondía, se debía seguir derivando hasta llegar a la
primera derivada no cero cuando se evaluaba en el punto crítico. En el caso de
varias variables, ello significa derivar el Hessiano con respecto a cada una de las
variables; luego dicho conjunto de derivadas respecto nuevamente a cada una de
las variables, y así sucesivamente. Hacer ésto, aparte de ver que significa ser
positivo o negativo en dichos conjuntos, está claramente fuera del alcance de este
texto.
Finalmente, se debe señalar que la caracterización del óptimo basada en las
primeras y segundas derivadas se refiere a óptimos locales, no necesariamente
globales. Sin embargo, si la segunda derivada, o el Hessiano, tiene un signo
único para cualquier valor de la o las variables, entonces el óptimo local es
también global. Por otra parte, el hecho que una función tenga una segunda
derivada negativa, por ejemplo, para cualquier valor de la variable, no significa
que dicha función tenga necesariamente un máximo local y en consecuencia
global. Tal sería el caso de una función que converge asintóticamente a un valor
dado.
3.1
Considere la función
f(X,Y,Z) = -2X2 -XY - Y2 - Y Z - Z2 + 6X+7Y+8Z - 9
a)
Encuentre un punto crítico.
b)
¿Es éste un máximo, mínimo o ninguno de los dos? Use las
condiciones de segundo orden.
3.2
Considere cualquier función f(X1, X2). Muestre que para que el Hessiano
∂2f(x1, x2)
sea negativo definido, es necesario que fii =
sea menor que
∂xi2
cero para i = 1, 2.
3.3
Considere la función
f(X,Y) = - 2X2 - Y2 - a XY
donde "a" es un parámetro que puede tomar cualquier valor.
Se pide:
29
a)
Demuestre que el punto (X,Y) = (0, 0) es un punto crítico.
b)
Encuentre un valor cualquiera de "a" tal que dicho punto crítico sea
un máximo.
c)
Para el valor de "a" encontrado, encuentre el valor de f(0, 0); f(0, 1);
f(1, 0); f(0, 1); f(-1, 0); f(1, 1); f(-1; -1). Trate de imaginar la forma
de la función.
d)
Encuentre un valor cualquiera de "a" tal que el punto crítico sea un
punto de inflexión.
e)
Para el valor de "a" encontrado en la parte anterior, encuentre el valor
de f(0, 0); f(0, 1); f(1, 0); f(0, 1); f(-1, 0); f(1, 1); f(-1; 1).
Nuevamente, trate de imaginar la forma de la función.
30
CAPITULO 4
OPTIMIZACION CON RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD
En este capítulo, el objetivo es caracterizar el óptimo cuando se impone la
condición que las variables sean no negativas. En economía, esta es la situación
normal. Los precios no pueden ser negativos, las cantidades a producir o
almacenar no pueden ser negativas, las cantidades de insumos tampoco, etc. Por
otra parte, como se vio en el capítulo 2, en Programación No Lineal, el problema
se define con la restricción que todas las variables sean mayores o iguales a cero.
Al igual que en el capítulo anterior, se verá en primer lugar el caso de funciones
de una variable para luego ver el caso de funciones de diversas variables.
Función objetivo de una variable
El problema en este caso se puede escribir como
Maximizar f(x)
sujeto a:
x≥ 0
En relación con este problema, el óptimo puede ser mayor o igual a cero. Si es
estrictamente mayor que cero, entonces las condiciones derivadas para el caso sin
restricciones se mantienen. Si el óptimo se encuentra donde x* es igual a cero,
entonces la derivada de la función evaluada en dicho punto debe ser menor o
igual a cero (nunca mayor que cero por cuanto ello implicaría que existe un punto
mejor dentro de los valores positivos de la variable). El gráfico siguiente muestra
las distintas situaciones posibles.
31
f(x)
f(x)
x*
x
(a)
x*
x
(b)
f(x)
x
x*
(c)
La situación (a) ocurre cuando x* > 0. En este caso el óptimo se encuentra en un
punto interior del conjunto de oportunidades con lo que f'(x*) debe ser
necesariamente igual a cero. Las condiciones de segundo orden serían las
mismas que en el caso sin restricciones visto en el capítulo anterior.
La situaciones (b) y (c) ocurren cuando el óptimo se encuentra en el borde del
conjunto de oportunidades. Es decir, cuando x* = 0. En el caso (b), f'(x*) < 0;
mientras que en (c), f'(x*) = 0.
Lo anterior se puede resumir en las siguientes condiciones de primer orden:
(1) Si x* > 0, entonces f'(x*) = 0
(2) Si x* = 0, entonces f'(x*) ≤ 0
(3) x* ≥ 0
Estas condiciones se pueden sustituir por
32
(1')
f' (x*) ≤ 0
(2')
x* f' (x*) = 0
(3')
x* ≥ 0
La razón para ello es que (1), (2) y (3) implican que necesariamente se cumple
(1'), (2') y (3'); y además (1'), (2'), y (3') implican que necesariamente se cumple
(1), (2), y (3). Son por lo tanto expresiones igualmente válidas para representar
las condiciones de primer orden en el caso de una variable con restricción de no
negatividad. De aquí en adelante se trabajará con las condiciones (1'), (2') y (3').
Hasta aquí no se han discutido las condiciones de segundo orden para el caso en
que x* = 0.
Si f'(x* = 0) es igual a cero, el punto crítico x* puede ser un máximo o un
mínimo en el borde tal como se observa en el gráfico siguiente. De aquí que las
condiciones de segundo orden presentadas para el caso sin restricciones se deban
mantener.
f(x)
f(x)
x
x
Por otra parte, si f'(x*=0) es estrictamente menor que cero, entonces
necesariamente se trata de un máximo local, independiente del valor de la
segunda derivada, tal como lo muestran los gráficos siguientes
33
f(x)
f(x)
x
f''(x*) < 0
x
f''(x*) > 0
Función objetivo de varias variables
El problema en este caso se representa como
Maximizar f(x1, ....., xn)
sujeto a:
xi ≥ 0 para todo i = 1, ..., n
Las condiciones de primer orden son análogas a aquellas presentadas para el caso
de una variable restringida a ser no negativa. Es así como debe cumplirse que
∂f
1) ∂x
i
≤ 0; i = 1,...., n
∂f
2) ∂x xi
i
= 0; i = 1,...., n
3) xi ≥
0;
i = 1,...., n
34
4.1.
Sea Q la cantidad producida de un cierto producto. El precio unitario de
venta está dado por P = 20 - Q (función demanda) y el costo total de
producción por
C = Q2 + 8Q + 2
a) ¿Qué cantidad Q maximiza la utilidad neta y a qué precio?
b) ¿Qué cantidad Q maximiza el ingreso total por ventas y a qué precio?
35
CAPITULO 5
OPTIMIZACION CON RESTRICCIONES DE IGUALDAD Y
DESIGUALDAD
Este capítulo persigue caracterizar el máximo de un problema cuando existen
distintos tipos de restricciones, para terminar con el caso general de
Programación No Lineal. En primer lugar, se verá el caso de restricciones de
igualdad, luego se verá el caso de restricciones de desigualdad, y finalmente se
caracterizará el máximo en el caso general de Programación No Lineal.
Restricciones de igualdad
El problema en este caso se presenta como
Maximizar f(x1, ....., xn)
sujeto a:
g1(x1, ... , xn) = b1
.
.
.
.
.
.
gm(x1, ... , xn) = bm
Para caracterizar el óptimo se hace uso del Lagrangeano, que en este caso es igual
a
£ = f(x1, ... , xn) +
m
∑
λi (bi - gi(x1, ... ,xn))
i =1
donde λi, (i = 1,.....,m), son variables auxiliares. La ventaja de usar el
Lagrangeano es que éste transforma un problema con n variables y m
restricciones de igualdad en un problema con n + m variables, pero sin
restricciones.
Las condiciones de primer orden, como en el caso sin restricciones, son
36
∂£
∂xi = 0 para i = 1, ... , n
∂£
= 0 para j = 1, ... , m
∂λj
Ejemplo 5.1:
Suponga el problema
2
2
Maximizar - x1 - x2
sujeto a
2 x1 + x2 = 6
El Lagrangeano en este caso es
2
2
£ = - x1 - x 2
+ λ (6 - 2 x1 - x2 )
Las condiciones de primer orden para este problema son
∂£
∂x1 = - 2x1 - 2λ = 0
∂£
∂x2 = - 2x2 - λ = 0
∂£
= 6 - 2 x1 - x 2 = 0
∂λ
Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene
*
x1 = 2,4
*
x2 = 1,2
λ* = -2,4
*
*
f(x1 ; x2 ) = f(2,4; 1,2) = -7,2.
Significado de λ
37
Para entender el significado de la variable λ, a continuación se desarrolla, por
conveniencia como se verá más adelante, nuevamente el ejemplo anterior
alterando sólo el lado derecho de la restricción.
Ejemplo 5.2:
Suponga el problema
2
2
Maximizar - x1 - x2
sujeto a
2 x1 + x2 = b
donde b es un parámetro. El Lagrangeano sería simplemente
2
2
£ = - x1 - x 2
+ λ (6 - 2 x1 - x2 )
Las condiciones de primer orden son
∂£
∂x1 = - 2x1 - 2λ = 0
∂£
∂x2 = - 2x2 - λ = 0
∂£
= b - 2 x1 - x 2 = 0
∂λ
Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene
*
2b
5
*
b
x2 =
5
x1 =
λ* = - −
2b
5
*
*
b2
2b b
f(x1 ; x2 ) = f( 5 ; 5 ) = - 5
38
Lo que se ha hecho con este ejemplo es obtener el valor de las variables en el
óptimo y el valor de la función objetivo en el óptimo como función del lado
derecho de la restricción. Si éste varía, es fácil obtener la nueva solución óptima.
El punto importante, sin embargo, surge del hecho que en el óptimo, se cumple
que
∂f*
∂b
-b2
∂( 5 )
= ∂b
= λ*
Este resultado es válido cualquiera sea el número de variables en la función
objetivo y cualquiera sea el número de restricciones1. El resultado general se
expresa como
*
∂f*
λi = ∂b
i
A modo de ejemplo, si f(x1,......, xn) representa el ingreso de una firma y bi la
*
disponibilidad de insumo i, entonces λi representa cuanto cambian los ingresos
en el óptimo por unidad adicional de recurso i que se utilice.
Como las restricciones son de igualdad este valor puede ser positivo, negativo, o
cero. Por ejemplo, una unidad adicional de agua puede ser beneficiosa,
perjudicial, o no tener ningún efecto sobre la producción si se obliga a utilizarla
(restricción de igualdad), dependiendo del nivel de agua que se utiliza
inicialmente.
Programación No Lineal
El problema de Programación No Lineal, tal como se definiera en el capítulo 2, es
Maximizar f(x1, ... , xn)
sujeto a:
1 En rigor, es necesario señalar que para poder encontrar el óptimo usando el método del
Lagrangeano, es necesario que las restricciones cumplan con ciertas condiciones de regularidad
que permitan despejar el óptimo de las condiciones de primer orden. Estas condiciones, puede
decirse, son de interés teórico más que práctico por lo que no se analizan en este texto. El lector
interesado puede consultar las referencias al final de este texto.
39
g1(x1, ... , xn) ≤ b1
.
.
.
.
.
.
gm(x1, ... , xn) ≤ bm
x1, x2, ..., xn ≥ 0
Para derivar las condiciones de primer orden, se hace uso nuevamente del
Lagrangeano donde
£ = f(x1,...., xn) +
m
∑
λi (bi - gi(x1, ... ,xn))
i =1
La única diferencia entre este Lagrangeano y el anterior es que el término que
acompaña a λi, (bi - gi(x1, ... , xn)), debe ahora ser mayor o igual que cero en
lugar de igual a cero. Ello, debido a que las restricciones son ahora de
desigualdad.
Así, el problema es
m
Maximizar £ = f(x1, ... , xn) + ∑ λi (bi - gi(x1, ... ,xn))
i =1
sujeto a
x1, ... , xn ≥ 0
En otras palabras, el problema de Programación No Lineal se puede expresar
como un problema con n + m variables con restricciones de no negatividad para
algunas de ellas.
A continuación se presentan las condiciones de primer orden para este problema,
dejando para después de dicha presentación la explicación de las mismas.
40
∂£
1) ∂x
≤ 0;
i
∂£
2) ∂x xi = 0;
i
∂£
3)
≥ 0;
∂λj
∂£
4)
λ = 0;
∂λj j
5) xi, λj ≥ 0;
i = 1, ... , n
i = 1, ... , n
j = 1, ... , m
j = 1, ... , m
i = 1, ... , n; j = 1, ... , m
Estas condiciones se conocen como condiciones de Kuhn-Tucker.
Las condiciones (1) y (2) son análogas a aquellas presentadas anteriormente para
el caso con restricciones de no negatividad. La condición (3) es simplemente otra
forma de escribir la restricción que
gi(x1, ... , xn) ≤ bi
*
La condición (4) es análoga a la condición (2) referida a λi . Esta dice que si no
*
*
se usa todo el recurso, entonces λi = 0, y que si λi es mayor que cero es porque
se usa todo el recurso.
La condición de no negatividad para xi era parte de las restricciones originales.
Por último, la condición que λi ≥ 0 se deriva del hecho que λi es en el óptimo, al
igual que antes, igual a
*
∂f*
λi = ∂b
i
Si aumenta la disponibilidad de recurso i, el valor de la función objetivo en el
óptimo debe aumentar, o bien quedar igual. No puede empeorar la situación si
se aumenta la disponibilidad de un recurso. Este resultado es distinto de aquel
presentado para el caso con restricciones de igualdad, donde bi no representaba
disponibilidad sino que uso efectivo.
λi se conoce como precio sombra del recurso e indica cuánto es lo máximo que
se está dispuesto a pagar en términos de las unidades en que esté expresada la
función objetivo, por una unidad adicional de recurso2.
2
Al igual que en el caso de restricciones de igualdad, es necesario que las restricciones cumplan
41
A continuación se presentan algunos ejemplos de caracterización del óptimo en el
caso general de Programación No Lineal.
Ejemplo 5.2:
2
Maximizar 3X1 + 2X2
sujeto a
2 X1 + X2 ≤ 6
X1, X2 ≥ 0
En este caso, el Lagrangeano se puede escribir como
2
£ = 3X1 + 2X2 + λ (6 - 2X1 - X2)
Las condiciones de Kuhn-Tucker en este caso son
∂£
1) ∂X = 6X1 - 2 λ ≤ 0
1
∂£
2) ∂X X1 = 0
1
∂£
3) ∂X = 2 - λ ≤ 0
2
∂£
4) ∂X X2 = 0
2
5)
∂£
∂λ
= 6 - 2X1 - X2 ≥ 0
6)
∂£
λ= 0
∂λ
7) X1, X2, λ ≥ 0
Con esto, se ha caracterizado el óptimo. Sin embargo, lo dificil es encontrar el
óptimo a partir de dicha caracterización. Las ecuaciones (2), (4) y (6) definen un
sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Una solución inmediata es X1 = X2 =
λ = 0. Sin embargo, esta solución no satisface la condición (3), con lo que debe
buscarse otra solución al sistema de ecuaciones.
con ciertas condiciones de regularidad, que es lo mismo que decir que estén bien comportadas,
para que el óptimo se pueda caracterizar por las condiciones de Kuhn Tucker sañaladas. El lector
interesado puede consultar las referencias al final de este texto.
42
Si se supiera cuáles variables son iguales a cero y cuáles son estrictamente
mayores que cero en el óptimo, entonces el sistema se podría resolver más
fácilmente, ya que o la variable sería igual a cero o bien el término entre
paréntesis sería igual a cero. De aquí se desprende la necesidad de evaluar los
siguientes 8 casos:
Caso
1
2
3
4
5
6
7
8
X1
0
+
0
0
+
+
0
+
X2
0
0
+
0
+
0
+
+
λ
0
0
0
+
0
+
+
+
Por la condición (3), λ debe ser mayor o igual a 2 con lo que se descartan los
casos 1, 2, 3, y 5 de la tabla anterior. A continuación se analizarán los casos
restantes.
Caso 4: ( X1 = X2 = 0; λ > 0)
En este caso se debe cumplir que
(1')
(2')
(3')
(4')
(5')
(6')
(7')
-2 λ ≤ 0
(-2 λ) • 0 = 0
2-λ ≤ 0
(2 - λ) = 0
6≥ 0
6λ = 0
X1, X2, λ ≥ 0
La condición (6') implica que λ = 0 lo cual contradice la condición (3').
Caso 6 (X1 > 0; X2 = 0; λ > 0)
43
6 X1 - 2λ = 0
(2 - λ) ≤ 0
6 - 2 X1 = 0
De aquí se desprende que
X1 = 3; λ = 9; X2 = 0
Esta solución satisface todas las condiciones de Kuhn-Tucker.
Caso 7: (X1 = 0; X2 > 0; λ > 0)
2-λ = 0
6 - X2 = 0
De aquí se desprende que λ = 2; X2 = 6; X1 = 0. Esta solución cumple además
con todas las otras condiciones de Kuhn-Tucker.
Caso 8: (X1 > 0 ; X2 > 0 ; λ > 0)
6 X1 - 2λ = 0
2-λ= 0
6 - 2 X1 - X2 = 0
2
14
De aquí se desprende que λ = 2; X1 = 3 ; X2 = 3 . Esta solución satisface
todas las condiciones de Kuhn-Tucker.
El problema es ahora determinar cuál de los tres puntos que satisfacen las
condiciones de Kuhn-Tucker es el óptimo del problema. Para determinarlo, basta
reemplazar en la función objetivo:
f(3, 0) = 27
44
f(0, 6) = 12
2 14
2
f( 3 , 3 ) = 10 3
En consecuencia, el óptimo es
*
*
x1 = 3; x2 = 0; λ* = 9
*
*
f(x1 ; x2 ) = 27
Para terminar, es importante destacar que el número de casos por analizar es igual
a 2n+m, donde n es igual al número de variables y m es el número de restricciones
(cada restricción implica considerar una variable λi). Asimismo, se debe señalar
que las derivadas pueden ser expresiones no lineales en las variables, con lo que
la resolución de los sistemas de ecuaciones se dificulta aún más.
Ejemplo 5.3:
Supóngase que las líneas aéreas tienen una dimensión máxima para las maletas,
expresada en términos de la suma del largo, ancho y alto. Suponga que un
fabricante de maletas ha decidido producir la Super Maleta, que maximiza el
volumen cumpliendo la restricción de las líneas que de la suma anterior no debe
exceder 120 cm.
En términos matemáticos, el problema se puede plantear como
Maximizar xyz
sujeto a:
x + y + z ≤ 120
x, y, z ≥ 0
donde x, y, z representan el largo, ancho y alto respectivamente.
El Lagrangeano de este problema es
£ = x y z + λ (120 - x - y - z)
45
Las condiciones de Kuhn-Tucker son:
∂£
1) ∂x = y z - λ ≤ 0
∂£
2) ∂x • x = (y z - λ) x = 0
∂£
3) ∂y = x z - λ ≤ 0
∂£
4) ∂y • y = (x z - λ) y = 0
∂£
5) ∂x = x y - λ ≤ 0
∂£
6) ∂z • z = (x y - λ) z = 0
∂£
7)
= 120 - x - y - z ≥ 0
∂λ
∂£
8)
• λ = (120 - x - y - z) λ = 0
∂λ
9) x, y, z, λ ≥ 0
En este problema, en teoría se debe evaluar 24 = 16 casos, ya que n = 3 y m = 1.
Sin embargo, es claro que en el óptimo la maleta no puede tener ninguna
dimensión igual a cero. Por otra parte, dado que en el óptimo se debe cumplir
*
∂f*
que λi = ∂b y que obviamente si se permitiera una mayor suma de los lados,
i
se podría aumentar el volumen, λ debe ser estrictamente mayor que cero en el
óptimo. De lo anterior se desprende que se debe evaluar sólo un caso donde
todas las variables son estrictamente positivas. Así, las condiciones de KuhnTucker se pueden expresar como
yz-λ= 0
xz-λ= 0
xy-λ= 0
120 − x - y - z = 0
De aquí se desprende de que x* = y* = z* = 40; λ∗ = 1600.
46
5.1.
El problema es determinar las dimensiones de un tarro de conserva
cilíndrico de base circular y de volumen dado, tal que se emplee el
mínimo de hojalata.
5.2.3
Se desea determinar las dimensiones para un estanque cilíndrico
refrigerado de capacidad 1.000 m3, de modo que su costo sea mínimo.
Los componentes del costo son
Metales de los extremos
Metal de la pared cilíndrica
Costo de la refrigeración
(sobre la vida útil de estanque)
$ 1,00 por m2
$ 0,50 por m2
$ 5,00 por m2 de superficie
Por razones de diseño, el diámetro no puede excederse de 10 mts.
5.3.
a)
Formule el problema de PM correspondiente empleando el largo L
y el diámetro D como variables de decisión.
b)
Escriba las condiciones de Kuhn-Tucker y derive una solución a
partir de éstas.
Suponga que Ud, es el único abastecedor en Concepción de peras
deshidratadas. Ud. tiene dos plantas deshidratadoras, en Temuco y
Rancagua, cuyos costos en materia prima, procesamiento y transporte
están dados a continuación.
Planta
Costo Materia Costo
Transporte
Prima
Procesamiento Concepción
(pesos/kg.)
(pesos/kg.)
(pesos/kg.)
Temuco
30
20 + X
30
Rancagua
20
2X
10 + X
Nota: Los costos está expresados por kg. de producto final equivalente.
Ud. debe ofrecer por lo menos 100 unidades a un precio unitario de 200
pesos por kg. Ud. puede vender cuanto quiera por encima de dichas 100
unidades. Se pide:
3
Bruno Philippi: "Introducción a la Optimización de Sistemas". Ediciones Universidad
Católica de Chile, 1982.
5.4.
47
a)
Plantee el problema de programación no lineal que le permita
decidir cuánto debe producir en cada planta.
b)
Resuelva las condiciones de Kuhn-Tucker justificando claramente
su procedimiento.
En relación con el ejemplo 5.3, suponga que la Super Maleta no se vende
por problemas de precio. Los clientes no están dispuestos a pagar más de
3.500 pesos por la maleta. Si los únicos costos pertinentes son:
i)
1 peso por cm2 de cuero.
ii) 4 pesos por cm2 de fondo (hay que poner un refuerzo para que no se
desfonde)
iii) 2.000 pesos por maleta por concepto de ganancias, pago al trabajo,
etc.
Se pide:
Plantee y resuelva el nuevo problema de optimización.
5.5.
Con el fin de permitir el intercambio entre dos poblados aislados se ha
decidido construir la infraestructura de transporte necesaria para
comunicarlos.
En un primer análisis del problema, se ha definido la situación como
sigue:
El poblado A está ubicado en una isla a 200 km. del continente y a 500
km. del poblado B que se encuentra tierra adentro, a 100 km. de la costa.
El proyecto contempla la construcción de 2 puertos, en la isla y en el
litoral, además de una carretera entre el poblado B y el puerto del litoral.
Suponga que el costo variable por tonelada-kilometro en el transporte
terrestre es de 30 pesos, mientras que dicho costo es de 12 pesos en el
caso del transporte marítimo. Se estima que habría 5000 viajes de ida y
vuelta al año con un promedio de carga de 1,5 toneladas, y que el costo
del camino terrestre es de 500.000 pesos por km.
Adicionalmente, suponga una tasa de interés de 10% anual y que el
camino durará 10 años.
48
El problema es plantear el problema de optimización correspondiente.
Gráficamente la situación se puede representar como sigue
LITORAL
200 km
B
A
400 km
100 km
El problema es dónde ubicar el puerto del litoral. En términos del gráfico
siguiente se trata de determinar X, de modo tal de minimizar el costo de
transporte entre A y B.
49
A
LITORAL
200 km
X
B
100 km
Se pide
Plantee el problema de optimización correspondiente y resuelva.
5.6
Ud. tiene un fundo de 100 hectáreas y desea saber cuántas hectáreas poner
con trigo y maíz. Ud. sabe que la función de producción de trigo es:
Q = 20 H L0,2
donde:
Q = producción ( en qq)
L = Nº de trabajadores ( en jornadas hombre)
H = Nº de Hectáreas
En el caso del maíz, la función de producción es:
Q = 10 H0,8L0,4
50
El precio por quintal de trigo es de 3.000 y por quintal de maíz es 3.200, el
precio por jornada hombre es de 1.000 pesos en horario normal y 1.500 en
horario extra. Ud. puede contratar un máximo de 20 jornadas a horario
normal y un máximo de 1.000 en horario extra. Finalmente, suponga que
por cada hectárea de maíz que siembre Ud. quiere sembrar un mínimo de
3 hectáreas de trigo.
Se pide:
a)
Plantee el problema de optimización correspondiente, definiendo
claramente la función objetivo y restricciones.
b) Plantee sin resolver las condiciones de Kuhn-Tucker del problema.
5.7
Considere el problema:
Maximizar (X1 + X2)
sujeto a:
2X1 + X2 ≤ 2
X1 + X2 ≤ 3
X1, X2 ≥ 0
a) Dibuje el set de oportunidades.
b) ¿Cuál es el óptimo? ( justifique mediante figuras)
5.8
Considere el problema
Maximizar X1+X2
sujeto a:
X1 - 2X2 = 2
X1
≤3
X2
≤4
a) Escriba las condiciones de Kuhn-Tucker para este problema.
b) Resuelva el problema.
5.9
51
Considere el problema:
Minimizar X12 - X1X2 + 0,5X22 - X1 - X2
sujeto a:
X1 +X2 ≤ 3
3X1 + 2X2 ≥ 6
X1 ≥ 0, X2 ≥ 0
a)
Escriba las condiciones de Kuhn-Tucker para este problema.
b)
Encuentre un punto óptimo en el caso en que no se consideran las
restricciones del problema (ninguna de ellas).
c)
Encuentre una solución óptima para el problema original (con
restricciones). Indicación: verifique si el punto encontrado en a)
satisface las restricciones del problema, estudie la convexidad o
concavidad de la función f(X1, X2), y utilice esta información al
buscar una solución para las condiciones de Kuhn-Tucker.
52
CAPITULO 6
SUFICIENCIA DE CONDICIONES DE KUHN-TUCKER
En el capítulo anterior se vieron las condiciones de Kuhn-Tucker con el objeto de
caracterizar el óptimo. Para encontrarlo a partir de dichas condiciones fue
necesario probar todas las posibilidades. Como cada variable podría ser mayor o
igual a cero, se probaron 2n+m casos, donde n era el número de variables y m el
número de restricciones ( sin contar las de no negatividad).
Como demostró el ejemplo 5.2., el hecho que un punto satisfaga las condiciones
de Kuhn-Tucker, no implica que dicho punto sea un máximo ni siquiera local. En
otras palabras, las condiciones de Kuhn-Tucker son condiciones necesarias pero
no suficientes.
El propósito ahora es ver condiciones suficientes para garantizar que si un punto
satisface todas las condiciones de Kuhn-Tucker, entonces es también un máximo
global (no sólo local). Para hacerlo, es necesario hablar de funciones cóncavas y
convexas y de conjuntos convexos, ya que el principal resultado es que si la
función objetivo es cóncava y las restriciones representan un conjunto convexo,
entonces todo punto que satisfaga las condiciones de Kuhn-Tucker es un máximo
global (i.e. no es necesario seguir buscando puntos críticos para maximizar).
Funciones cóncavas
Una función es cóncava si para cada par de puntos X1 y X2 y 0 ≤ α ≤ 1 se cumple
que
f(αX1+ (1-α) X2 ) ≥ αf(X1) + (1-α) f(X2)
El término
αX1+ (1-α) X2
es solamente un promedio ponderado de X1 y X2.
Por otra parte
f(αX1 + (1-α)X2)
53
es la función valorada en dicho punto. Suponiendo que la función es de una
variable, lo anterior se puede graficar como
f(x)
f(α X1 +(1−α) X2 )
X1 α X1 +(1−α) X 2
X2
x
En relación con el lado derecho
αf(X1) + (1-α)f(X2)
es un promedio ponderado de f(X1) y f(X2). Graficamente
f(x)
2
f(X )
f(α X1+(1- α )X2)
α f(X1 )+(1-α)f(X2 )
f(X1 )
X1
α X1+(1- α )X2
X2
x
Lo que se requiere para que una función sea cóncava es por lo tanto que la
función no pase nunca por debajo de la recta que une cualesquiera dos puntos.
Los siguientes gráficos muestran casos de funciones cóncavas.
54
f(x)
f(x)
x
x
f(x)
f(x)
x
x
Si la función es diferenciable, la definición de concavidad se puede hacer en
términos de la primera derivada de la función. En el caso de funciones de una
variable, la función f(x) es cóncava si para cualquier par de puntos X1 y X2 se
cumple que
f(X2) ≤ f(X1) + f'(X1) (X2 - X1)
Gráficamente,
f(x)
f(X1 )+f'(X1 )(X2 -X1 )
f(X2 )
f(X1 )
X1
X2
x
55
En otras palabras, para que una función diferenciable sea cóncava, se requiere
que la recta tangente en cualquiera de sus puntos no esté nunca por debajo de la
función.
Si la función diferenciable es de varias variables, para que ésta sea cóncava se
requiere que para cualquier par de puntos X1 y X2, se cumpla que
n
f(X2) ≤ f(X1) +
∑ fi(X1) (Xi - Xi )
2
1
i=1
donde fj(X1) es la derivada parcial de la función respecto a xj evaluada en el
punto X1. Esto quiere decir que el plano tangente a la función en cualquiera de
sus puntos no puede estar nunca por debajo de la función.
Por último, si la función es doblemente diferenciable, entonces se requiere que el
Hessiano sea negativo semidefinido para que ésta sea cóncava o negativo
definido para que sea estrictamente cóncava.
Ejemplo 6.1:
Supóngase la función
2
2
f(x1,x2) = - 3 x1 - 2 x2 + x1 x2
El Hessiano de esta función es
-6 1
H =  1 -4 
el cual es negativo definido.
cóncava.
Esto implica que la función es estrictamente
En relación con este ejemplo, a continuación se comprobará que también se
cumple la condición de concavidad basada en la primera derivada. Supóngase, a
modo de ejemplo, los puntos X1 = (2,3) y X2 = (5,1). En este caso,
f(X1) = -3.22 - 2.32 + 2.3 = -24
f(X2) = -3.52 - 2.12 + 5.1 = -72
56
Las primeras derivadas de la función respecto de x1 y x2 son
f1(x1,x2) = -6x1 + x2
f2(x1,x2) = -4x2 + x1
las cuales evaluadas en el punto X1 son iguales a
f1(X1) = -6.2 + 3 = -9
f2(X1) = -4.3 + 2 = -10
Por último,
2
1
2
1
X1 - X1 = 5 - 2 = 3
X2 - X2 = 1 - 3 = -2
Reemplazando en la condición de concavidad basada en la primera derivada, se
debe cumplir que
1
2
2
1
f(X2) ≤ f(X1) + f1(X1) (X1 - X1 ) + f2(X1) (X2 - X2 )
-72 ≤ -24 + (-9) ( 5 - 2 ) + ( -10) ( 1 - 3 )
-72 ≤ -31
Como esta desigualdad se cumple, se ha comprobado que la función
2
2
f(x1,x2) = - 3 x1 - 2 x2 + x1 x2
es estrictamente cóncava.
Funciones convexas
Una función es convexa si para cada par de puntos X1 y X2 y 0 ≤ α ≤ 1 se
cumple que
f(αX1+ (1-α ) X2) ≤ α f(X1) + (1-α) f(X2)
Si la función es diferenciable, para que ésta sea convexa se requiere que para
cualquier par de puntos X1 y X2, se cumpla que
57
n
f(X2) ≥ f(X1) +
∑ fi(X1) (Xi - Xi )
2
1
i=1
donde fj(X1) es la derivada parcial de la función respecto a xj evaluada en el
punto X1. Esto quiere decir que el plano tangente a la función en cualquiera de
sus puntos no puede estar nunca por encima de la función.
Por último, si la función es doblemente diferenciable, entonces se requiere que el
Hessiano sea positivo semidefinido para que ésta sea convexa o positivo definido
para que sea estrictamente convexa.
Los gráficos siguientes muestran distintas funciones convexas.
f(x)
f(x)
x
f(x)
x
f(x)
x
x
Claramente, la línea recta es cóncava y convexa a la vez. Por otra parte, la
función normal usada en estadística, por ejemplo, no es ni cóncava ni convexa.
58
Conjuntos convexos:
Definición: El conjunto C perteneciente a los números reales se dice convexo si
para cada par de puntos x1, x2 que pertenezcan al conjunto y cada número real
α con 0 < α < 1, el punto
X= αX1 + (1-α) X2
también pertenece al conjunto.
Geométricamente el conjunto C es convexo si para cada par arbitrario de puntos
del set, la línea que los une también pertenece al set. Gráficamente, a
continuación se ilustra un conjunto convexo y uno no convexo
1
X
X2
2
X
X1
CONJUNTO CONVEXO
CONJUNTO NO CONVEXO
Ejemplo 6.1:
Considérese el hiperplano
X = {x / ax = b}
donde ax = a1x1 + a2x2 + ... + anxn. A continuación se demostrará que este es un
conjunto convexo.
Sea x1, x2 un par de puntos que pertenezcan al conjunto y 0 < α < 1. Luego, se
debe cumplir que
ax1 = b
59
ax2 = b
Sea el punto
x = αx1 + (1-α) x2
Esto implica que
ax = a(αx1+(1-α)x2) = αax1+ (1-α)ax2 = ab+(1-a)b = b.
con lo cual el punto x = αx1 + (1-α) x2 también satisface la condición que
ax = b
De aquí se desprende que
X = {x/ax = b}
es efectivamente un conjunto convexo.
Ejemplo 6.2:
Considérese el semiespacio
X = {x / ax ≤ b}
Este conjunto también es convexo, como se demuestra a continuación.
Sea x1, x2 un par de puntos que pertenezcan al conjunto y 0 < α < 1. Luego, se
debe cumplir que
ax1 ≤ b
ax2 ≤ b
Sea el punto
x = αx1 + (1-α) x2
Esto implica que
60
aX = a (αx1 + (1-α) x2) = αaX1 + (1-α) aX2
Como el promedio ponderado de dos números menores o iguales a b es también
menor o igual a b, quiere decir que el conjunto
X = {x/ ax ≤ b}
es también un conjunto convexo.
Ejemplo 6.3:
Considérese el conjunto
X = {x / g(x) ≤ b}
donde se impone el requisito que g(x) sea una función convexa. Este conjunto
también es convexo como se demostrará a continuación. Si g(x) es una función
convexa entonces para cualquier par de puntos X1, X2 y 0 ≤ α ≤ 1, se debe
cumplir que
g(αX1+(1-α)X2) ≤ α g( X1) + (1-α) g( X2)
(1)
Por otra parte, para que X sea un conjunto convexo, se requiere que para cada par
de puntos X1 y X2 que satisfagan
g(X1) ≤ b
g(X2) ≤ b
se cumpla que
g(x) = g(α X1 + (1 - α) X2) ≤ b
Ello efectivamente se cumple ya que el lado derecho de (1) es menor o igual a b
con lo que el lado izquierdo también debe serlo.
La importancia de este último resultado es que si las gi(x) en las restricciones de
un problema de Programación No Lineal son todas funciones convexas, el
conjunto de oportunidades X sería la interseción de varios conjuntos convexos y
por lo mismo sería convexo también.
62
uno de los puntos (en este caso, como se trata de curvas de nivel, el promedio es
simplemente el valor de la función en dicha curva (i.e.A)).
Ahora bien, como el set X es convexo se tiene que
x2
A>B>C
(x1*,x2*)
f(x1,x2) = C
f(x1,x2) = B
f(x1,x2) = A
x1
x2
A>B>C
(x1*,x2*)
f(x1,x2) = A
f(x1,x2) = B
f(x1,x2) = C
x1
En ambos casos, todo óptimo local será global.
Un caso especial de lo anterior se muestra en el gráfico siguiente.
63
x2
A>B>C
f(x1,x2) = A
f(x1,x2) = B
f(x1,x2) = C
x1
Aquí, X es un conjunto convexo, y la función objetivo es cóncava (la función
lineal es la única función cóncava y convexa a la vez). En este caso todo óptimo
local es global aunque no estricto. Sin embargo, para maximizar, basta encontrar
un máximo global para quedar satisfecho.
Ahora, la pregunta es ¿por qué se necesita que el conjunto X sea convexo? El
gráfico siguiente ilustra la respuesta.
x1
A
B
x2
64
El punto A es máximo local al igual que B. A es el máximo global. Lo que pasa
es que X no es un conjunto convexo. En este caso, habría que probar los 2n+m
casos y comparar todos aquellos puntos que satisfagan las condiciones de KuhnTucker.
Por último es necesario destacar que el resultado es que si la función objetivo es
una función cóncava y X es un conjunto convexo, todo punto que satisfaga las
condiciones de Kuhn-Tucker es un máximo global. Sin embargo, podría darse el
caso, desafortunado por cierto, que ningún punto satisfaga las condiciones de
Kuhn-Tucker. En este caso no se puede encontrar el máximo. A modo de
ejemplo, suponga el siguiente problema
Maximizar x
sujeto a:
x≥0
En este caso, ningún punto satisface las condiciones de Kuhn-Tucker. Este
problema no tiene punto crítico; el máximo se logra cuando x es igual a infinito,
que no es un número real.
65
CAPITULO 7
PROBLEMAS ADICIONALES DE PROGRAMACION NO LINEAL
Este capítulo presenta algunos ejemplos adicionales de planteamiento de
problemas de Programación No Lineal en el convencimiento de que sólo la
práctica permite avanzar en este campo. Por esta razón, se han dejado varios
problemas como Problemas Propuestos.
Ejemplo 7.1:4
Suponga que una empresa distribuidora cuenta con 250 unidades de un cierto
producto en Concepción, 100 unidades en Los Angeles y 325 unidades en
Valparaíso. Por otra parte debe abastecer con 140 unidades a Santiago, 220
unidades a Rancagua y 185 unidades a Teno.
Los costos de flete entre las distintas ciudades, en miles de pesos por unidad se
presentan a continuación:
Desde:
Santiago
Concepción
Los Angeles
Valparaíso
14
30
5
Hacia:
Rancagua
6
12
7
Teno
5
11
8
Por convenios sindicales en Concepción, la empresa ha decidido que lo que se
envía desde dicha ciudad a Santiago debe ser al menos el doble que lo que se
envía desde dicha ciudad a Rancagua. Asimismo, en Santiago, se exige que como
máximo el 30% de lo que llegue provenga de Concepción.
Para plantear el Problema de Programación No Lineal correspondiente, se
procederá en etapas:
Definición de Variables:
4
La forma de plantear y resolver problemas de optimización no siempre es única. En este
capítulo sólo se presenta una forma adecuada de hacerlo. Por otra parte, en este capítulo nos
olvidaremos de los requisitos de que en un problema de Programación No Lineal se debe
maximizar y que las restricciones deben ser de menor o igual, salvo cuando sea necesario usar las
condiciones de Kuhn-Tucker para resolver.
66
Desde:
Santiago
Concepción
Los Angeles
Valparaíso
XCS
XLS
XVS
Hacia:
Rancagua
XCR
XLR
XVR
Teno
XCT
XLT
XVT
Función Objetivo:
El objetivo es minimizar los costos totales de transporte, con lo cual la función
objetivo es
Minimizar
14XCS + 6XCR + 5XCT
+ 30XLS + 12XLR + 7XLT
+ 5XVS + 7XVR + 8XVT
Restricciones de Oferta:
XCS + XCR + XCT ≤ 250
XLS + XLR + XLT ≤ 100
XVS + XVR + XVT ≤ 325
Restricciones de Demanda:
XCS + XLS + XVS ≥ 140
XCR + XLR + XVR ≥ 220
XCT + XLT + XVT ≥ 185
Otras Restricciones:
XCS ≥ 2XCR
XCS ≤ 0,3 (XCS + XLS + XVS)
Todas las variables mayores o iguales a cero
Ejemplo 7.2:
67
Hoy es 1 de abril de 1994. Ud. está solo en una isla desierta bien grande donde puede
sembrar trigo. Asimismo, tiene 80 quintales de trigo que se pueden usar como semilla
o consumir. Su consumo anual normal de trigo es de 20 quintales.
Gracias a un diario de vida dejado por un náufrago anterior, Ud. aprende que en esta
isla, el trigo se siembra a principios de abril y se cosecha a fines de marzo del año
siguiente. Por cada quintal de trigo que se siembra, se requieren 5 días de trabajo
durante el año, y se cosechan tres quintales.
Por otra parte, Ud. sabe que en dos años más (1 de abril de 1996) pasará un barco que
le cobrará 220 quintales de trigo por el pasaje a tierra firme, lugar donde Ud. ha
decidido volver. En dicho barco Ud. no puede transportar trigo para su consumo en
tierra firme, ya que la capacidad del barco es limitada.
Ud. puede trabajar normalmente 180 días cada año como máximo. Para aumentar la
disponibilidad de trabajo, es decir para disponer de más de 180 días, Ud. deberá
consumir 0,2 quintales de trigo por cada día de exceso (para recuperar la energía
adicional requerida).
El trigo disponible a comienzos de cada año puede ser usado para: a) sembrar a
comienzos del año; b) consumir durante el año; c) ser almacenado hasta el final del
año.
Por último, suponga que su único objetivo es minimizar el número de días trabajados
en exceso de los 180 días de trabajo normal anuales.
Para plantear el Problema de Programación No Lineal correspondiente, se procederá
nuevamente en etapas.
Definición de Variables:
TCi
TSi
TAi
THi
TFi
Ei
=
=
=
=
=
=
Trigo consumido en año i, en quintales.
Trigo sembrado en año i, en quintales.
Trigo que se almacena en año i, en quintales.
Trigo cosechado a fines del año i, en quintales.
Trigo disponible a fines del año i, en quintales.
Días trabajados en exceso de los 180 días
normales en el año i.
Función Objetivo:
68
El objetivo es minimizar los días trabajados en exceso de los 180 días normales.
Matemáticamente, esto significa que la función objetivo es
Minimizar E1 + E2
Restricciones:
TC1 = 20 + 0,2 E1
Consumo año 1.
TC2 = 20 + 0,2 E2
Consumo año 2.
TC1+TS1+TA1 = 80
Disponibilidad inicial.
TA1+TH1 = TF1
Disponibilidad a fines año 1.
TH1 = 3 TS1
Cosecha año 1.
TC2+TS2+TA2 = TF1
Uso de trigo en año 2.
TA2+TH2 = TF2
Disponibilidad a fines año 2.
TH2 = 3 TS2
Cosecha año 2.
TF2 ≥ 150
Pasaje barco.
5 TS1 ≤ 180 + E1
Requerimiento mano de obra en
año 1.
5 TS2 ≤ 180 + E2
Requerimiento mano de obra en
año 2.
Todas las variables mayores o
iguales a cero.
Ejemplo 7.3:
Una empresa productora de Tarros en Conserva tiene una función de producción
del tipo Cobb-Douglas
X= 30 K0,5 L0,4
donde
69
X = número de tarros producidos.
K = número de unidades de capital en horas máquina.
L = número de trabajadores (en hrs.hombre)
El productor enfrenta una curva de demanda por su producto igual a:
Px
= 1.000 - 2X
y una curva de oferta de trabajo igual
PL
= 10 + 0,5 L
Por último, el productor puede disponer de a lo más 100 unidades de capital a 5
pesos por unidad.
En este caso, la función objetivo es
Maximizar PX X - PL L - PK K =
= (1.000-2(30 K0,5 L0,4)) (30 K0,5 L0,4) - (10+ 0,5 L)L - 5K
sujeto a:
K ≤ 100
K,L ≥ 0
7.1.
Hoy es 1º de septiembre y Juan Pérez no sabe cuántas hectáreas de maíz
sembrar en su fundo de 20 hectáreas. El maíz es el único cultivo posible
aunque podría dejar parte de la tierra sin cultivar. Asímismo, el maíz requiere
de 5 jornadas hombre por hectáreas al año y Ud. cuenta con sólo 70 jornadas
hombre al año.
El problema se complica por el siguiente aspecto:
Hoy Juan Pérez tiene 20 bolsas de una semilla especial de maíz que puede usar
ahora o el próximo año. No va a poder conseguir más el próximo año. Esta semilla
tiene un rendimiento de 95 qq/ha. y se requiere de una bolsa por ha. Si decide
guardar parte de esta semilla, tiene una pérdida del 10% de las bolsas que guarde.
70
Por otra parte, Juan Pérez puede comprar una semilla corriente tanto este año como
el próximo a 8.000 pesos por bolsa a un rendimiento de 60 qq/ha. El maíz que
produzca este año no puede ser utilizado como semilla el próximo y debe venderse
este año (no se puede almacenar). Suponga además que el precio del maíz este año
es de $ 2.000 y el próximo año será de $ 3.000 por quintal.
Finalmente, suponga que en todo lo demás los costos son iguales para ambos tipos
de semilla (15.000 pesos por hectárea de maíz, ambos años).
Se pide:
Plantee, sin resolver, el problema de programación matemática correspondiente
que le permita determinar cuánto sembrar con cada tipo de semilla cada uno de
los dos años.
7.2
Ud. ha sido nombrado por la Dirección del Metro para determinar la distancia
óptima entre las distintas estaciones del nuevo recorrido Plaza Italia-La Florida.
Para ello Ud. cuenta con los siguientes antecedentes.
1)
La distancia entre Plaza Italia y La Florida es de 10.000 metros.
2)
La velocidad promedio de los trenes cuando están andando es de 600
mts/min (36km/hr).
3)
El tren se detiene en cada estación 4 minutos.
4)
Los trenes pasarán cada 10 minutos independiente de la distancia entre
paraderos. Esto significa que en promedio los pasajeros demorarán 5
minutos desde que llegan a la estación hasta que parte el tren. Ellos no
saben a qué hora pasan los trenes.
5)
La distancia entre estaciones no afecta el costo de la vía, ya que la
distancia total es una sola. Sin embargo, afecta el número de estaciones,
las cuales cuestan 1.000.000 de dólares cada una de construcción y duran
20 años. Suponga que no tienen costo de mantención.
6)
El tiempo que demoran, en promedio, los pasajeros en llegar desde su casa
hasta la estación más próxima se estima en 10(x/1000)1,5 minutos, donde x
es la distancia en metros entre las estaciones. Lo mismo se demoran desde
la estación hasta su lugar de destino. El recorrido en tren, promedio por
pasajero, se estima en 3.500 metros. Se debe destacar que este es un
supuesto simplificador, ya que obviamente el recorrido promedio en tren
depende de la distancia entre paraderos.
7)
71
Por último, al Metro se suben 100.000.000 pasajeros al año
(independientemente de la distancia entre paraderos) cuyo costo
alternativo es de 0,02 dólares por minuto.
Se pide:
Suponiendo una tasa de interés de 15%, desechando el costo de los trenes
(que debería variar según la distancia enre estaciones), y olvidando que el
número de estaciones debe ser entero, plantee el problema de optimización
correspondiente y resuelva.
7.3
Una empresa productora de sillas tiene la siguiente función de producción:
S = 400 K 0,6 L0,3
donde S es el número de sillas producidas por mes; K es el número de
unidades de maquinaria, en horas máquina; y L es el número de
trabajadores
El productor enfrenta una curva de demanda por sus sillas igual a:
Ps = 10.000 - 2S
y una curva de oferta de trabajo igual a
PL=3+L
Por último, este fabricante de sillas puede disponer de a lo más 150 horas
máquina por mes a 5 pesos por unidad.
Se pide:
a)
Plantee el problema de programación matemática de la
empresa.
b)
Escriba, SIN RESOLVER, las condiciones de KuhnTucker del problema.
7.4
Una panadería ofrece, entre otros productos, empanadas de queso y
empanadas de pino. El panadero desea programar la producción dominical
de ambos productos. La experiencia le ha enseñado que las demandas por
ambos tipos de empanadas se ajustan bastante bien a las relaciones
72
P1 = 40 - 0,1x1 - 0,03x2
P2 = 70 - 0,03x1 - 0,2x2
donde
Pi = precio unitario empanada tipo i (i = 1 (queso), i = 2 (pino)).
Xi = producción dominical de empanadas tipo i.
Dentro de sus posibilidades de producción el panadero sabe que el costo
unitario de producir una empanada de queso es de $10 y una de pino es de
$15.
Se pide:
7.5.
a
Formule un modelo que permita al panadero maximizar el beneficio
neto derivado de la venta de empanadas.
b)
Sin exigir que el número de empanadas a fabricar debe ser entero,
resuelva su modelo y determine la producción óptima.
En relación con el ejemplo 7.1, encuentre una solución factible cualquiera
del problema, indicando el costo total de transporte asociado.
Nota: Por solución factible se entiende una solución que satisface todas
las restricciones.
7.6.
Ud. ha decidido viajar a Talca en su camioneta todo terreno por la
Carretera Panamericana.
El problema es que debe pasar a buscar un encargo a una casa que queda a
5.000 metros de la carretera pero sin camino que las una, con lo que debe
decidir en que punto salirse de la carretera y en que punto volver a la
misma.
Gráficamente,
73
A TALCA
C.
P
A
N
A
M
E
R
I
C
A
N
A
5.000 m.
A SANTIAGO
El tiempo que demora en carretera es de 1.200 metros por minuto,
mientras que en el trayecto fuera de carretera, su velocidad se reduce a 500
metros por minuto.
Se pide:
7.7.
a)
Suponiendo que su problema es llegar a Talca lo más rápido posible,
plantee el problema de optimización correspondiente. Suponga que la
casa del encargo está a mitad de camino y que la distancia entre
Santiago y Talca es de 300 kilometros.
b)
Resuelva el problema anterior.
La empresa agroindustrial SUPERARIZ es dueña de una parcela de 20
hectáreas y de una planta de alimento para pollos.
En la parcela se ha sembrado típicamente maíz para ser entregado a la planta,
que la usa como materia prima. El problema es que el agrónomo encargado de
la parcela, que es evaluado de acuerdo al ingreso neto que genera la parcela, ha
comenzado a alegar porque dice tener cultivos más rentables.
Por otra parte, el ingeniero a cargo de la planta de alimentos, que es evaluado
según los ingresos netos que deja la planta, alega que si la parcela deja de
74
producir maíz, él tendría que comprarlo fuera con el consiguiente costo
"altísimo" de flete.
En este punto, el agrónomo argumenta que el alimento bien podría tener más
harina de pescado, que sale relativamente más barato que el maíz comprado
fuera, pero algo más caro que el propio. Obviamente, el ingeniero contraataca
diciendo que si bien algo se puede hacer en esa línea , no es mucho, ya que los
pollos a quienes va el alimento, tendrían gusto a pescado.
El director de SUPERARIZ decidió contratarlo a usted para que analice la
situación y determine lo que es mejor para la compañía como un todo.
Para efectuar su labor, Ud solicitó antecedentes de la parcela y de la
planta. Ellos son:
PARCELA
Cultivos posibles: maíz, porotos
Matriz de requerimientos y disponibilidad
Maíz
Mano de obra
(J/ha)
Maquinaria
(J/ha)
Rendimiento
(qq./ha.)
Ingreso Neto
(pesos/ha.)
Porotos
Disponibilidad
2
1
25
1
2
28
100
100
100
400
PLANTA
Materias primas posibles: Maíz, Harina de Pescado.
Precio de venta del alimento: $6 por kilo.
Capacidad máxima de la planta: 4.000 kilos de alimento al año.
75
Restricción técnica: A lo más puede usarse un 50% de harina de pescado
en el alimento.
Matriz de requerimientos
Maíz
Calorías
(Mcal./Kg.)
Proteínas
(Grs./Kg.)
Precio
($/Kg.)
Harina de
Pescado
Estándar Mínimo
por Kg.
1.000
800
900
100
200
120
1-4
2
Nota: El precio del maíz es de $1 por Kilo si viene de la parcela y $4 si
viene de fuera.
Se pide:
En base a lo anterior formule un modelo de optimización que le permita
desempeñar bien su tarea en su nuevo trabajo.
Nota: Cualquier antecedente que pudiera faltarle, invéntelo.
7.8.
El Sr. Pedro Pérez dispone de 200 hectáreas donde puede plantar tomates,
cebollas o porotos. Asimismo, tiene la alternativa de comprar vacas a
comienzos de temporada con el objeto de producir leche y luego venderlas
a fines de temporada. Las vacas requieren de 0,5 hectáreas cada una.
El problema es determinar cuánto plantar de cada cultivo y cuántas vacas
comprar a comienzos de temporada.
Para resolver el problema, Ud. cuenta con los siguientes antecedentes
adicionales:
a)
Ud. dispone de 1.000 m3 de agua para la temporada. Los tomates
requieren por hectárea el doble de agua que las cebollas, y éstas
requieren el triple que los porotos. Los porotos requieren 6 m3 de
agua por hectárea. La tierra dedicada a las vacas requiere de 1 m3 por
hectárea mientras que la tierra no dedicada a nada requiere de 0,1 m3
por hectárea.
76
b)
Las vacas producen 150 litros de leche por vaca al año, la cual se
vende a 100 pesos por litro. El precio de compra es de 80.000 pesos
por vaca a comienzos de temporada, mientras que el precio de venta
es de 78.500 pesos a fines de temporada. Suponga una tasa de
descuento igual a cero.
c)
El siguiente cuadro presenta información que puede ser útil para
resolver su problema.
Tomates Cebollas Porotos
Rendimiento
(en kg./ha.)
Costos Unitarios
(en $/ha.)
Precio de venta
(en $/kg.)
50
120
140
22.000
17.000
22.000
390
240
280
Se pide:
7.9.
a)
Formule el problema de optimización correspondiente.
Explícite cualquier supuesto adicional que estime necesario.
Nota:
b)
Sin resolver el problema, ¿puede dar una buena recomendación al Sr.
Pérez que sea al menos factible?
La empresa MMM necesita determinar cuánto producir de un producto en
cada uno de los siguientes dos períodos para maximizar sus ingresos
totales.
Para resolver el problema Ud. cuenta con los siguientes antecedentes:
a)
El costo medio unitario de producción en el primer período es de 200
pesos mientras que en el segundo período, este sube a 550 pesos.
b)
La demanda para el primer período está dada por
P1 = 1.600 - 2 X1
77
c)
El costo de almacenamiento es de 100 pesos por unidad por mes. El
problema del almacenamiento es que el producto se deteriora y se
puede vender a sólo 800 pesos por unidad en el siguiente período.
d)
La demanda para el segundo período para el producto no almacenado
se puede representar como
P2 = 2.500 - 3 X2
siempre que no se venda producto almacenado.
El problema es que el producto almacenado y no almacenado son en
alguna medida sustitutos. El precio de demanda para el producto no
almacenado reacciona de igual forma ante cambios en la cantidad de
producto no almacenado com ante cambios en la cantidad de producto
almacenado.
Se pide: Plantee el problema de optimización correspondiente.
7.10. La empresa "Deshidratados, S.A." dispone de 800 cajas de manzanas
deshidratadas para vender en 2 mercados independientes. En cada
mercado, las demandas por este producto están dadas por las siguientes
ecuaciones:
P1 = 1.200 - X1 (Mercado Interno)
P2 = 1.500 - 3 X2 (Mercado de Exportación)
donde Pi = precio de venta por caja en el mercado i; Xi = cantidad, en
cajas, vendida en el mercado i.
Por razones de embalaje y razones comerciales, en las ventas al mercado
de exportación, sólo caben 2 alternativas excluyentes: mandar 150 cajas o
mandar 300 cajas.
Se pide:
a)
Encuentre las cantidades que la empresa debe enviar a cada mercado.
b)
¿Cuánto pagaría como máximo la empresa por una caja adicional de
manzanas deshidratadas?
78
Nota: En esta pregunta, tanto en la parte a) como en la parte b), puede
usar el sistema que quiera para resolver, siempre que explicite claramente
su razonamiento.
7.11. Considere el siguiente problema de Programación No Lineal:
Maximizar - 3 x2 + xy - 2 y2 + 50 x + 60 y
sujeto a:
2 x + y ≤ 30
x, y ≥ 0
Se pide:
a)
Escriba las condiciones de Kuhn-Tucker del este problema.
b)
Resuelva el problema justificando el carácter global de la solución.
7.12. Ud. ha decidido correr una triatlón, que consiste en 2 km. de natación, 30
km. de ciclismo y 15 km. de trote. Su objetivo es llegar en el mínimo
tiempo posible, para lo cual debe decidir la velocidad en que correrá cada
etapa. Al respecto, Ud. ha decidido que lo peor es cambiar el paso en la
mitad de una etapa porque se agota más rápido.
Se Pide:
Plantee su problema de optimización definiendo y explicando claramente
las variables, función objetivo y restricciones.
Notas:
a)
Cuidado con cansarse en la mitad del trayecto, ya que de ahí en
adelante no le quedaría más que llegar con paso de tortuga.
b)
Recuerde que mientras más rápido se corre o se nada, más rápido se
cansa.
79
CAPITULO 8
PROGRAMACION LINEAL: INTRODUCCION
La Programación Lineal se definió como aquel caso de Programación No
Lineal, en el cual la función objetivo y las restricciones son lineales. Esto
significa que cualquier problema de Programación Lineal debe poder
expresarse como
Maximizar c1X1 + c2X2 + ... + cnXn
sujeto a:
a11X1 + a12X2 + ... + a1nXn ≤ b1
a21X1 + a22X2 + ... + a2nXn ≤ b2
.
.
.
am1X1 + am2X2 + ... + amnXn ≤ bm
X1, X2 ..., Xn ≥ 0
Ejemplo 8.1 1:
Se debe programar la producción de dos productos, X1 y X2, de manera tal de
maximizar las utilidades. El siguiente cuadro resume los principales
antecedentes de este problema.
Tipo de
Máquina
Producto 1
(en hrs/unid.)
1
2
3
Precio Unitario
Costo Unitario
1
2
1
1
70
30
Producto 2
Disponibilidad
(en hrs/unid.) (en hrs/semana)
1
1
3
70
40
90
120
60
Adaptado del libro de B. Philippi: "Introducción a la Optimización de Sistemas".
Ediciones Universidad Católica de Chile. 1982.
80
Matemáticamente, este problema se puede plantear como:
Maximizar 40X1 + 60X2
sujeto a:
(1)
(2)
(3)
(4)
2X1 + X2 ≤ 70
X1 + X2 ≤ 40
X1 + 3X2 ≤ 90
X1, X2 ≥ 0
Este problema se puede resolver de varias maneras, algunas de las cuales se verán
a continuación.
Método Gráfico
Por ser el problema anterior de dos variables es posible resolverlo en forma
gráfica.
En primer lugar, se representará gráficamente el conjunto de oportunidades definido
por las restricciones. Las restricciones de no-negatividad indican que se puede
trabajar sólo dentro del cuadrante no-negativo.
La primera restricción, 2X1 + X2 ≤ 7 0, se puede representa rcomo
X
2
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
A
10 20 30 40 50 6
0 70 80 90 100
X1
81
El área A define el conjunto de puntos donde se satisfacen
simultáneamente las restricciones de no-negatividad y la primera
restricción.
El gráfico siguiente presenta el conjunto de oportunidades, que es cuando
se consideran todas las restricciones.
X
2
100
90
80
70
60
50
40
30
*
(X * , X ) = (15, 25)
2
1
20
10
10 20 30 40 50 6 0 70 80 90 100
X
1
f = 2100
f =1800
f = 1200
Las líneas punteadas representan conjuntos de puntos donde el valor de la función
objetivo es el mismo. Se conocen también como curvas de nivel o curvas de isoutilidad.
En programación lineal estas curvas son siempre rectas y paralelas entre sí.
La curva de nivel, que contiene al menos un punto dentro del conjunto de oportunidades
y que hace máximo el valor de la función objetivo, es aquella donde f = 2.100. Este es
el máximo valor alcanzable de la función objetivo. Dicho valor se alcanza cuando X1
= 15 y X2 = 25.
82
Es conveniente hacer notar que en dicho punto las restricciones activas, es decir, que se
cumplen con igualdad, son las restricciones (2) y (3).
Método de Kuhn-Tucker
Si bien las condiciones de Kuhn-Tucker persiguen caracterizar el óptimo más que encontrarlo, es
posible usarlas para encontrar la solución. Por otra parte, dado que en cualquier problema de
Programación Lineal la función objetivo es cóncava y las restricciones forman un conjunto
convexo, cualquier punto que satisfaga las condiciones de Kuhn-Tucker es un óptimo global.
En el problema anterior el Lagrangeano por maximizar es:
£ = 40x1+60x2+λ1(70-2x1-x2)+λ2(40-x1-x2)+λ3(90-x1-3x2)
y las condiciones de Kuhn-Tucker son:
∂£
1) ∂x
= 40 - 2λ1 - λ2 - λ3 ≤ 0
1
∂£
2) ∂x x1 = (40 - 2λ1 - λ2 - λ3) x1 = 0
1
∂£
3) ∂x
= 60 - λ1 - λ2 - 3λ3 ≤ 0
2
∂£
4) ∂x x2 = (60 - λ1 - λ2 - 3λ3) x2 = 0
2
∂£
5) ∂λ
= 70 - 2x1 - x2
≥ 0
1
∂£
6) ∂λ λ1 = (70 - 2x1 - x2) λ1 = 0
1
∂£
7) ∂λ
= 40 - x1 - x2 ≥ 0
2
∂£
8) ∂λ λ2 = (40 - x1 - x2) λ2 = 0
2
∂£
9) ∂λ
= 90 - x1 - 3x2 ≥ 0
3
∂£
10)∂λ λ3 = (90 - x1 - 3x2) λ3 = 0
3
11)x1, x2, λ1, λ2, λ3 ≥ 0
83
En este caso se deben analizar 25 = 32 casos, los que se resumen a
continuación:
Caso
x1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
0
+
0
0
0
0
+
+
+
+
0
0
0
0
0
0
+
+
+
+
+
+
0
0
0
0
0
+
+
+
+
+
x2
0
0
+
0
0
0
+
0
0
0
+
+
+
0
0
0
+
+
+
0
0
0
+
+
+
0
+
0
+
+
+
+
λ1
0
0
0
+
0
0
0
+
0
0
+
0
0
+
+
0
+
0
0
0
+
+
+
+
0
+
+
+
0
+
+
+
λ2
0
0
0
0
+
0
0
0
+
0
0
+
0
+
0
+
0
+
0
+
0
+
+
0
+
+
+
+
+
0
+
+
λ3
0
0
0
0
0
+
0
0
0
+
0
0
+
0
+
+
0
0
+
+
+
0
0
+
+
+
+
+
+
+
0
+
Analizar 32 casos es bastante largo, con lo cual es conveniente tratar de descartar
algunos casos antes de emprender la tarea. Para ello, se analizará la función objetivo y
restricciones del problema.
84
sujeto a:
(1)
(2)
(3)
(4)
2X1 + X2 ≤ 70
X1 + X2 ≤ 40
X1 + 3X2 ≤ 90
X1, X2 ≥ 0
Del análisis se puede desprender que:
a)
Dado que x1 y x2 tienen un coeficiente positivo en la función objetivo, ambos no
pueden ser iguales a cero en el óptimo.
b)
Si x1 es cero, x2 podría ser como máximo igual a 30, por la tercera restricción.
En este caso la función objetivo tomaría un valor de 1.800.
Por otra parte, si x2 es cero, x1 podría ser como máximo igual a 35, por la
primera restricción. En este caso la función objetivo tomaría un valor de 1.400.
De aquí se desprende que x2 no puede ser igual a cero.
Por último, si x1 = 1 (cualquier valor positivo pero chico), x2 puede ser como
máximo igual a ¡Error!, por la restricción 3, con lo cual la función objetivo
tomaría un valor de 1.820, mayor que 1.800. De aquí se desprende que tanto x1
como x2 deben ser positivos en el óptimo.
Del análisis anterior se desprende que la tabla con los distintos casos se puede
simplificar de la siguiente forma:
Caso
7
17
18
19
29
30
31
32
λ1
0
+
0
0
0
+
+
+
λ2
0
0
+
0
+
0
+
+
λ3
0
0
0
+
+
+
0
+
Por otra parte, las condiciones de Kuhn-Tucker se pueden reescribir
como:
85
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
d£
= 40 - 2λ1 - λ2 - λ3 = 0
dx1
d£
= 60 - λ1 - λ2 - 3λ3 = 0
dx2
d£
= 70 - 2x1 - x2 ≥ 0
dλ1
d£
λ
= (70 - 2x1 - x2 ) λ1 = 0
dλ1 1
d£
= 40 - x1 - x2 ≥ 0
dλ2
d£
λ
= (40 - x1 - x2 ) λ2 = 0
dλ2 2
d£
= 90 - x1 - 3x2 ≥ 0
dλ3
d£
λ
= (90 - x1 - 3x2 ) λ3 = 0
dλ3 3
x1 , x2 , λ1 , λ2 , λ3 ≥ 0
A continuación se analiza cada uno de los casos anteriores:
Caso 7: (x1, x2, λ1, λ2, λ3) = (+, +, 0, 0, 0)
No puede ser por condición 1).
Caso 17: (x1, x2, λ1, λ2, λ3) = (+, +, +, 0, 0)
No puede ser por condiciones 1) y 2).
Caso 18: (x1, x2, λ1, λ2, λ3) = (+, +, 0, +, 0)
Caso 19: (x1, x2, λ1, λ2, λ3) = (+, +, 0, 0, +)
Caso 29: (x1, x2, λ1, λ2, λ3) = (+, +, 0, +, +)
86
Las condiciones 1) y 2) implican λ2 = 30 y λ3 = 10. A su vez,
las condiciones 6) y 8) implican x1 = 15, x2 = 25. Como este
punto satisface todas las condiciones de Kuhn-Tucker, se
concluye que el óptimo es
* * * * *
(x1 , x2 , λ1 , λ2 , λ3 ) = (15, 25, 0, 30, 10)
Una vez más, es claro que, como método, el uso directo de las
condiciones de Kuhn-Tucker es deficiente para encontrar la solución a
problemas de optimización.
Análisis de Sensibilidad para los Coeficientes de la Función Objetivo:
El análisis de sensibilidad para los coeficientes de la función objetivo se
refiere a cuánto puede variar cada uno de dichos coeficientes,
manteniendo los demás constantes, sin que cambie la solución óptima.
Si se varía un coeficiente de la función objetivo, cambia la pendiente de
las curvas de nivel o de isoutilidad. En el ejemplo, mientras la pendiente
de la curva de nivel esté entre las pendientes de las restricciones (2) y (3),
que son las restricciones activas en el óptimo, no cambiará la solución
óptima.
A continuación se realiza el análisis de sensibilidad para c1 coeficiente
asociado a la variable x1 en la función objetivo.
La función objetivo, parametrizando c1, es
c1 x1 + 60 x2
La pendiente de las curvas de nivel en este caso es -c1/60. Por otra parte,
1
las pendientes de las restricciones (2) y (3) son -1 y - 3 respectivamente.
El rango de sensibilidad es por tanto
-c1
1
-1 ≤ 60 ≤ - 3
o bien
20 ≤ c1 ≤ 60
87
Esto quiere decir que mientras c1 esté en el rango (20; 60) el óptimo
*
seguirá siendo ( x1 , x* ;2 )= (15, 25).
El rango de sensibilidad para c2 se obtiene en forma análoga. En este
caso,
-40
1
-1 ≤ c
≤ -3
2
o bien
40 ≤ c2 ≤ 120
Se debe hacer notar que si bien la solución óptima no cambia mientras los
coeficientes varían dentro del rango de sensibilidad, el valor de la función objetivo
en el óptimo sí varía.
Análisis de Sensibilidad para bj
El rango de sensibilidad para bj se refiere a cuánto puede variar la disponibilidad,
bj, de un recurso sin que varíen los precios sombra, l's, de los distintos recursos.
La importancia de este tipo de análisis radica en que permite saber, por ejemplo,
cuántas unidades de recurso es conveniente vender (comprar) a un determinado
precio. Por ejemplo, en el caso del recurso (2), se vio que l2 = 30. Ello quiere decir
que el máximo precio que se está dispuesto a pagar por una unidad adicional de este
recurso es 30 pesos. El problema es ahora determinar cuántas unidades se está
dispuesto a comprar a dicho precio máximo. El análisis de sensibilidad permite
encontrar la respuesta.
Si bien es posible derivar los rangos de sensibilidad para los distintos bj en forma
gráfica en el caso de dos variables, este se verá para el caso general con n variables
en el capítulo 9, donde se muestra el programa computacional LINDO.
8.1.Use el método gráfico para encontrar los valores de X1 y X2 que
maximizan la función objetivo, f(x1, x2) en cada uno de los siguientes
casos:
88
a)
b)
c)
d)
f(x1, x2) = 3x1 + 2x2
f(x1, x2) = 5x1 + 2x2
f(x1, x2) = 2x1 + 3x2
f(x1, x2) = 3x1 + 3x2
Las restricciones en todos los casos son:
2x1 + 3x2 ≤ 12
4x1 + 2x2 ≤ 16
x1, x2 ≥ 0
8.2.
Use el método gráfico para resolver el siguiente problema:
Minimizar f(x1, x2) = -x1 - x2
sujeto a:
x1 + 3x2 ≤ 6
-x1 + x2 ≤ 1
-2x1 + x2 ≥ -4
x1, x2 ≥ 0
8.3.
Suponga el siguiente problema de optimización:
Maximizar
4X1 + 3X2
sujeto a:
2X1 + X2 ≤ 20
X1 + X2 ≤ 12
X1, X2 ≥ 0
Se pide:
8.4.
a)
Resuelva gráficamente.
b)
¿Cuánto está dispuesto a pagar por una unidad adicional de
recurso uno? Explique su respuesta. Nota: Puede usar las
condiciones de Kuhn-Tucker, pero no es necesario.
Ud. tiene un fundo de 20 hectáreas donde puede producir trigo y/o
maíz. Los requerimientos de agua para el año son de 10 mil y
89
cinco mil metros cúbicos por hectárea de trigo y maíz
respectivamente. Ud. cuenta con 180 mil metros cúbicos para el
año.
Por otra parte, de su análisis económico de ambos rubros Ud.
obtiene la siguiente estructura de costos:
Fertilizantes
Pesticidas
Mano de Obra
Maquinaria
Rendimiento
Precio por quintal
Precio
Unitario
Requerimientos
(uds./ha.)
100
150
100
400
5
2
4
3
30
120
15
4
3
3
40
160
Se pide:
8.5.
a)
Plantee el problema de Programación Lineal correspondiente.
b)
Usando análisis gráfico, ¿cuántas hectáreas sembraría con cada
cultivo? ¿qué restricciones son activas? ¿inactivas?
c)
Si el precio de la mano de obra sube de 100 a 200 pesos por
unidad, ¿cómo cambiaría su respuesta anterior? Use nuevamente
análisis gráfico.
d)
¿Cuánto pagaría como máximo por poder arrendar una hectárea
adicional? Suponga el precio original de 100 pesos por unidad de
mano de obra.
Para una encuesta telefónica, una empresa de marketing necesita contactar
150 señoras (esposas), 120 señores (esposos), 100 adultos solteros de sexo
masculino y 110 adultos solteros de sexo femenino. El costo de una llamada
en la mañana es de $2 y se alcanzan los siguientes resultados:
30% de los llamados en la mañana contactan una señora.
10% de los llamados en la mañana contactan un señor.
25% de los llamados en la mañana contactan un soltero.
35% de los llamados en la mañana contactan una soltera.
90
Debido al costo de mano de obra, cuesta $5 hacer un llamado en
las tardes. Los resultados de los llamados en la tarde son los
siguientes:
30% de los llamados en la tarde contactan una señora.
30% de los llamados en la tarde contactan un señor.
20% de los llamados en la tarde contactan un soltero.
20% de los llamados en la tarde contactan una soltera.
Se pide:
8.6.
a)
Suponiendo que a lo más la mitad de los llamados se pueden
hacer en la tarde, formule un modelo de Programación Lineal
que pueda ser usado para minimizar el costo de esta encuesta.
b)
Resuelva gráficamente el problema anterior.
Ud. es dueño de una fábrica de hamburguesas que produce 3 tipos de
hamburguesas:
Precio
por kg.
Extra
Estándar
Rasca
1.000
800
400
Cont. Grasa
Máximo
4%
10%
30%
Para producir las hamburguesas, Ud. puede comprar 4 tipos de carne, cuyos precios y
contenidos de grasa se señalan a continuación.
Precio
por kg.
Filete
Posta Rosada
Punta de Ganso
Cazuela
450
400
250
220
Cont. Grasa
(porcentaje)
1%
4%
15%
45%
Adicionalmente, Ud. ha decidido que, por razones de imagen, no
debe producir más de un 15% de hamburguesas tipo Rasca.
91
Finalmente, por problemas de capacidad, Ud. no puede producir
más de 1.000 kg. de hamburguesas a la semana.
Se pide:
Plantee el Problema de programación lineal correspondiente.
8.7.
Suponga el siguiente problema de optimización:
Maximizar
30X1 + 40X2
sujeto a:
X1 + X2 ≤ 60
2X1 + 3X2 ≤ 120
X1 + 5X2 ≤ 60
3X1 + X2 ≤ 80
X1, X2 ≥ 0
(máquina 1)
(máquina 2)
(máquina 3)
(máquina 4)
Se pide:
8.8.
a)
Resuelva gráficamente.
b)
Encuentre los precios sombra de cada una de las restricciones.
Use las condiciones de Kuhn-Tucker y su respuesta a la parte
a).
c)
¿Cuánto puede cambiar el coeficiente asociado a X1 en la
función objetivo sin que cambie el programa óptimo de
producción?
Dado el siguiente modelo de programación lineal:
sujeto a:
3X1 + 2X2 ≤ 36(departamento de ensamble)
X1 + 2X2 ≤ 20(departamento de pintura)
X2 ≤ 9 (departamento de marketing)
X1, X2 ≥ 0
92
Se pide:
I.
El valor de X2 en el óptimo es:
a)
b)
c)
d)
e)
II.
4
6
8
9
12
El valor de la función objetivo en el óptimo es:
a)
b)
c)
d)
e)
128
124
90
96
Ninguna de las anteriores.
III. El precio sombra en el departamento de pintura es:
a)
b)
c)
d)
e)
1
11
-1
0
IV. Asuma que el coeficiente de X2 no cambia, ¿Qué cambio en
el coeficiente de X1 determinará que en la solución óptima
sólo se produzca X2?
a)
b)
c)
d)
e)
Infinito
0
8
1
93
CAPITULO 9
PROGRAMACION LINEAL Y EL COMPUTADOR
El programa LINDO2
El programa LINDO permite resolver problemas de programación lineal
en forma efectiva. Aparte de entregar la solución óptima, entrega los
análisis de sensibilidad tanto para los coeficientes de la función objetivo
como de los bj.
En la página siguiente se presenta el listado de salida del LINDO, para el
ejemplo desarrollado en los capítulos anteriores. En relación con los
resultados puede verse que:
1)
*
*
En el óptimo x1 = 15; x2 = 25
2)
Los costos reducidos son cero en ambos casos. Estos costos se
refieren a cuánto cambiaría la función objetivo si la restricción xi
≥ 0, se reemplaza por xi ≥ 1. En rigor el costo reducido se refiere
al cambio en la función objetivo por unidad infinitesimal de
cambio en la restricción xi ≥ 0.
3)
En el óptimo, existe una holgura de 15 unidades en la restricción
(1) ("Row" 2 se refiere a la primera restricción ya que la función
objetivo es considerada la "Row" 1). No hay holgura en las demás
restricciones ya que son activas en el óptimo.
4)
5)
*
*
*
Los precios sombra son λ1 = 0, λ2 = 30, λ3 = 10.
Los rangos de sensibilidad para los coeficientes de la función
objetivo son:
40 + 20 ≥ c1 ≥ 40 - 20
60 + 60 ≥ c2 ≥ 60 - 20
2
Se debe hacer notar que existen además otros programas relativamente fáciles de usar
para resolver problemas de programación lineal. Uno de ellos es el programa QSB+,
cuya salida se muestra a través de ejemplos en los problemas propuestos al final de este
capítulo. En cualquier caso, se recomienda al lector leer bien los manuales de tal forma
de aprovechar al máximo los programas.
94
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
2100.00000
VARIABLE
VALUE
x1
15.000000
x2
25.000000
ROW
2)
3)
4)
REDUCED COST
.000000
.000000
SLACK OR SURPLUS
15.000000
.000000
.000000
NO. ITERATIONS =
DUAL PRICES
.000000
30.000000
10.000000
2
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF
INCREASE DECREASE
x1 40.000000
20.000000
20.000000
x2 60.000000
60.000000
20.000000
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT
ALLOWABLE
ALLOWABLE
RHS
INCREASE
DECREASE
2
3
4
70.000000
40.000000
90.000000
INFINITY
6.000001
30.000000
15.000000
10.000000
30.000000
Los rangos que aquí se dan se deben interpretar por separado. Así,
por ejemplo, el rango para c2 supone que c1 se mantiene en su
valor original de 40.
6)
Los rangos de sensibilidad para bj son
70 + ∞ ≥ b1 ≥ 70 - 15
40 + 6 ≥ b2 ≥ 40 - 10
90 + 30 ≥ b3 ≥ 90 - 30
Estos rangos se deben también interpretar en forma separada. A
modo de ejemplo, b1 puede variar entre 55 e infinito sin que
varíen los precios sombra. El precio sombra λ1, es igual a cero
95
con lo cual la disponibilidad puede aumentar hasta infinito sin que
cambie su precio sombra de cero. Si b1 disminuye a 55, esta
restricción comienza a ser activa (recordar que la holgura era igual
a 15).
9.1.
Una empresa produce 3 bienes X, Y y Z, cada uno de los cuales es
fabricado utilizando 4 tipos de materias primas L, P, K y T. La
información acerca de la materia prima necesaria para producir
una unidad de producto X, Y y Z se ha resumido en el siguiente
cuadro:
L
P
K
T
X
Y
Z
2
3
1
4
5
6
0
2
1
2
3
1
Los costos por unidad de las materias primas son $2 para L, $1
para P, $1 para K y $0 para T. Además, existen otros costos de
fabricación equivalentes a $2, $3 y $2 por unidad producida de X,
Y y Z respectivamente.
No es posible adquirir en el mercado más de 30, 60, 20 y 50
unidades de materia prima L, P, K y T respectivamente por mes.
Los bienes X, Y y Z pueden ser vendidos a $12, $22 y $10. Para
decidir cuánto producir de cada bien, la empresa ha diseñado el
siguiente modelo de optimización, el cual maximiza los beneficios
netos.
Maximizar 2X + 3Y + 2Z
sujeto a:
2X + 5Y + Z
3X + 6Y + 2Z
X
+ 3Z
4X + 2Y + Z
X, Y, Z ≥ 0
≤ 30
≤ 60
≤ 20
≤ 50
96
Utilizando el "LINDO" se obtuvieron los resultados que se
presentan en la página siguiente.
Se pide:
a)
Explique cómo se obtuvieron los coeficientes de la función
objetivo en el planteamiento original.
b)
¿Cuál es la política de producción óptima? ¿Cuáles son los
requerimientos de materias primas?
c)
¿Desde qué valor el dueño de la empresa debería esta
dispuesto a arrendarla?
d)
¿Cuál o cuáles materias primas no han sido utilizadas en su
totalidad según las posibilidades del mercado de materias
primas? ¿Qué significa esto? ¿Es material que se pierde?
e)
¿Cuánto debería estar dispuesto a pagar el dueño de la
empresa por adquirir q unidad más de cada una de las
materias primas consideradas por separado?
f)
¿Cuánto debería estar dispuesto a pagar por obtener 5
unidades más de la materia prima T?
g)
Por alguna razón tecnológica, los costos de fabricación (sin
considerar los costos de materias primas) del producto Z son
eliminados. ¿Qué sucede con el plan de producción y las
utilidades percibidas por la empresa?
97
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
28.22222
VARIABLE VALUE
REDUCED COST
X
11.333333
0.000000
Y
0.888889
-0.000000
Z
2.888889
-0.000000
ROW
2)
3)
4)
5)
SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
0.000000
0.511111
14.888889
0.000000
0.000000
0.088889
0.000000
0.222222
NO. ITERATIONS =
3
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT
COEF
X 2.000000
Y 3.000000
Z 1.000000
ALLOWABLE ALLOWABLE
INCREASE DECREASE
1.333333 0.666667
2.000000 2.090909
2.000000
0.250000
ROW CURRENT ALLOWABLE
ALLOWABLE
RHS
INCREASE
DECREASE
2
3
4
5
30.000000
60.000000
20.000000
50.000000
12.884615
INFINITY
20.000000
8.000000
3.636364
14.888889
8.125000
34.000000
98
h)
Suponga que el gerente de la empresa está considerando la
posibilidad de fabricar un nuevo producto W. Una unidad de
producción de W requiere 2, 3, 1 y 2 unidades de materia
prima L, P, K y T respectivamente. ¿A qué precio (mínimo)
de venta debería venderse la primera unidad de este producto
para que valga la pena producirlo?
i)
Suponga que el mercado de materias primas crece
permitiendo que las restricciones para la compra de materias
primas se amplíen. Concretamente en la nueva situación no
es posible abastecerse de más de 33 unidades de L, 70 de P,
30 de K y 52 de T.
¿Cambia la política de producción?
¿Cuáles son los nuevos beneficios mensuales obtenidos en la
empresa?
9.2.
Nico tiene una pequeña empresa en la cual produce tres tipos de
fertilizantes para jardín mezclando, en distintas proporciones, tres
ingredientes básicos A, B y C. ( Para proteger el negocio de Nico
no se revelarán estos tres ingredientes). Las especificaciones
técnicas de cada mezcla son las siguentes:
Mezcla
Máximo
% de A
1
2
3
50%
15%
5%
Mínimo
% de C
25%
65%
50%
El precio de venta por kilo de mezcla 1, 2 y 3 es de $10, $8 y $6
respectivamente. Nico estima que puede vender todo lo que
produzca de cada una de las mezclas.
El costo por kilo de A, B y C es de $3, $2 y $1 respectivamente, y
la disponibilidad de B y C está limitada a 2.850 y 1.300 kilos
semanales respectivamente. Por otra parte, Nico sólo tiene $
10.000 semanales para adquirir estos ingredientes básicos para
preparar sus mezclas.
99
Si se define XIJ = kilos de ingrediente i en la mezcla j (i = A, B,
C; j = 1, 2, 3)
el problema de Nico puede formularse como
Maximizar
7 XA1 + 8 XB1 + 9 XC1 + 5 XA2 + 6 XB2 + 7 XC2 + 3 XA3 + 4
XB3 + 5 XC3
sujeto a:
0,5 XA1 - O,5 XB1 - 0,5 XC1 ≤ 0
0,25 XA1 + 0,25 XB1 - 0,75 XC1 ≤ 0
0,85 XA2 - 0,15 XB2 - 0,15 XC2 ≤ 0
0,65 XA2 + 0,65 XB2 - 0,35 XC2 ≤ 0
0,95 XA3 - 0,05 XB3 - 0,05 XC3 ≤ 0
0,5 XA3 + 0,5 XB3 - 0,05 XC3 ≤ 0
XB1 + XB2 + XB3 ≤ 2850
XC1 + XC2 + XC3 ≤ 1300
3 XA1 + 2 XB1 + XC1 + 3 XA2
+ 2 XB2 + XC2 + 3 XA3 + 2 XB3 + XC3 ≤ 10000
Los resultados, usando el programa LINDO, fueron los siguientes:
1)
OBJETIVE FUNCTION VALUE
41500.0000
VARIABLE
VALUE
REDUCED COST
XA1
1000.000000 .000000
XB1
2850.000000 .000000
XC1
1300.000000 .000000
XA2
.000000 2.000000
XB2
.000000 2.000000
XC2
.000000 2.000000
XA3
.000000 4.000000
XB3
.000000 4.000000
XC3
.000000 4.000000
100
ROW
SLACK OR SURPLUS
DUAL PRICES
2)
1575.000000 .000000
3)
12.500000 .000000
4)
.000000 .000000
5)
.000000 .000000
6)
.000000 .000000
7)
.000000 .000000
8)
.000000 3.333333
9)
.000000 6.666667
10)
.000000 2.333333
NO. INTERATIONS = 3
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
XA1
XB1
XC1
XA2
XB2
XC2
XA3
XB3
XC3
7.000000 5.000000
8.000000 INFINITY
9.000000 INFINITY
5.000000 2.000000
6.000000 2.000000
7.000000 2.000000
3.000000 4.000000
4.000000 4.000000
5.000000 4.000000
2.000000
2.000000
2.000000
INFINITY
INFINITY
INFINITY
INFINITY
INFINITY
INFINITY
ROW
2
3
4
5
6
7
8
9
10
CURRENT
RHS
.000000
.000000
.000000
.000000
.000000
.000000
2850.000000
1300.000000
10000.000000
ALLOWABLE ALLOWABLE
INCREASE DECREASE
INFINITY
1575.000000
INFINITY
12.500000
INFINITY
.000000
INFINITY
.000000
INFINITY
.000000
INFINITY
.000000
150.000000 1890.000000
3000.000000 15.000000
150.000000 3000.000000
101
9.3.
a)
¿Cuál es la solución óptima? ¿Cuál es la utilidad semanal?
b)
¿Cuáles son los porcentajes de cada ingrediente básico en la
mezcla óptima?
c)
¿Es una solución única? Si no lo es, indique ( no calcule) cuál
sería una solución alternativa.
d)
El proveedor ofrece venderle 140 kilos adicionales de
ingrediente B a un precio mayor que el usual, ¿hasta cuánto
estaría usted dispuesto a pagar?
e)
El proveedor, por otros compromisos, decide disminuir en 10
kilos la entrega de ingrediente C y para no tener problemas
con usted ofrece devolverle los $10 de su costo, ¿Es esto
conveniente para Nico? Comente brevemente su respuesta.
f)
Mirando los resultados ¿le recomendaría usted a Nico pedir
dinero prestado para adquirir más ingredientes? ¿Qué
ingrediente podría adqurir? ¿Cuánto debería estar dispuesto a
pagar por cada peso prestado? ¿Hasta cuánto dinero podría
solicitar a este precio? Comente brevemente.
g)
Si el precio de venta de la mezcla 2 aumenta en un peso por
kilo ¿cambia su programa de producción? ¿Y si aumenta en
tres pesos?
h)
¿Puede decir algo de la solución óptima si el costo del
ingrediente A baja a $ 2,5 por kilo?.
La Gerencia de Desarrollo de Winston-Salem está tratando de
completar sus planes de inversión para los próximos tres años. En
la actualidad la empresa cuenta con $2.000 para inversiones. En
períodos de seis meses, durante los próximos tres años, la empresa
espera poder contar con los siguientes ingresos provenientes de
inversiones anteriores: $500 (en 6 meses más), $400, $380, $360,
$340 y $300 (a fines del tercer año). Los tres proyectos de
inversión considerados son los siguientes:
102
Flujos de caja por semestre
1
2
3
4
5
6
Valor al final
del tercer año
PROYECTOS
Foster City
Housing
Disney
- $ 3.000
- $ 1.000
- $ 1.800
$ 400
$ 1.800
$ 1.800
- $2.000
- $2.000
- $1.800
$1.000
$1.000
$1.000
$ 5.500
- $1.000
- $2.000
- $ 500
$1.500
$1.500
$1.500
$ 200
$6.000
Si la empresa invierte un porcentaje del total, el retorno de la
inversión corresponde al mismo porcentaje. Es posible conseguir
fondos a una tasa del 3.5% semestral, pero a lo más se pueden
pedir $ 2.000 cada vez ( el principal de la deuda no puede ser
mayor que $ 2.000). Por otro lado, puede invertir los excesos de
fondos a una tasa del 3% semestral. Lo que se desea es maximizar
el ingreso neto al final del tercer año. Para lograr el plan de
inversiones la empresa formuló el siguiente modelo de
programación lineal donde las variables de decisión utilizadas
fueron:
F = porcentaje de participación en el proyecto Foster City
M = porcentaje de participación en el proyecto Housing
D = porcentaje de participación en el proyecto Disney
Bi = monto solicitado como préstamo en el período i
Li = monto invertido (al 3%) en el período i
103
Maximizar 1Z
sujeto a:
1) 3000F + 2000M + 2000D - 1B1 + 1L1 = 2000
2) 1000F + 500M + 2000D + 1,035B1 - 1,03L1 - 1B2 + 1L2 = 500
3) 1800F - 1500M + 1800D + 1,035B2 - 1,03L2 - 1B3 + 1L3 = 400
4) - 400F - 1500M - 1000D + 1,035B3 - 1,03L3 - 1B4 + 1L4 = 380
5) - 1800F - 1500M - 1000D + 1,035B4 - 1,03L4 - 1B5 + 1L5 = 360
6) - 1800F - 200M - 1000D + 1,035B5 - 1,03L5 - 1B6 + 1L6 = 340
7) 1Z - 5500F + 1000M - 6000D + 1,035B6 - 1,03L6 = 300
8) 1B1 ≤ 2000
9) 1B2 ≤ 2000
10) 1B3 ≤ 2000
11) 1B4 ≤ 2000
12) 1B5 ≤ 2000
13) 1B6 ≤ 2000
14) 1F ≤ 1
15) 1M ≤ 1
16) 1D ≤ 1
Los resultados, usando el programa QSB+, son los siguientes:
104
No Var Solution
Cost
1
Z +7665.1787
2
F +.71434140
3
M +.63720959
4
D 0
5
B1 +1417.4434
6
L1 0
7
B2 +2000.0000
8
L2 0
9
B3 +2000.0000
10 L3 0
11 B4 +448.44897
12 L4 0
13 B5 0
14 L5 +2137.4841
15 B6 0
16 L6 +3954.8650
Opportunity Objective
Minimum
Maximum
Coefficient Obj. Coeff. Obj. Coeff.
0
1.0000000 0
+INFINITY
0
0
- 454.59485 +3043.7207
0
0
- 583.69208 +644.82007
+452.38162
0
-INFINITY +452.38162
0
0
-.40969697
+.00882163
+.00878849
0
-INFINITY +.00878849
0
0
-.32740423
+INFINITY
+.33431387
0
0
0
-.24546637
+INFINITY
+.25095651
0
0
0
-.16248728
+.00530449
+.00530449
0
+.00515000
0
0
0
-.22211158
+.00515000
+.00500000
0
0
0
-.22786446
+.00500000
Maximized OBJ = 7665.179
Const. Status
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Tight
Tight
Tight
Tight
Tight
Tight
Tight
Loose
Tight
Tight
Loose
Loose
Loose
Loose
Loose
Loose
RHS
Shadow
Slack or
Price
Surplus
=+2000.00 +1.819220 0
=+500.000 +1.757701 0
=+400.000 +1.381929 0
=+380.000 +1.098031 0
=+360.000 +1.060900 0
=+340.000 +1.030000 0
=+300.000 +1.000000 0
<+2000.00 0 +582.5566+1417.443
<+2000.00 +.3274042
0
<+2000.00 +.2454664
0
<+2000.00 0 +1551.551+448.4490
<+2000.00 0 +2000.000 0 +Infinity
<+2000.00 0 +2000.000 0 +Infinity
<+1.00000 0 +.2856586+.7143414
<+1.00000 0 +.3627904+.6372097
<+1.00000 0 +1.000000 0 +Infinity
Minimum Maximum
RHS
RHS
-526.2444
+3415.854
-1387.037
+1275.555
-542.7526
+1598.599
-1171.551
+828.4490
-1777.484
+Infinity
-3614.865
+Infinity
-7365.179
+Infinity
+Infinity
+863.9908 +2561.718
+1703.148 +3027.054
+Infinity
+Infinity
+Infinity
Se pide:
a)
¿Qué representa Z en la función objetivo?
b)
¿Cuánto es lo que se obtendría con el plan de inversiones?
105
9.4.
c)
¿Cuál es el flujo de caja esperado del proyecto "Housing"?
d)
¿Qué tendría que suceder para que fuera conveniente invertir
en el período 3?
e)
¿Qué sucedería si la tasa a la cual se puede pedir prestado
baja al 3,2% trimestral?
f)
¿Cuánto estaría la empresa dispuesta a pagar por contar con $
800 adicionales para inversión a comienzos del período 2?
g)
¿Sería conveniente para la empresa una política que
permitiera pedir prestados $1200 adicionales durante el
período 4?
Considere el siguiente problema de programación lineal resuelto
usando el programa QSB+. En 10 lugares marcados con las letras
"XXXX(.)" se ha borrado lo que aparecía en el listado original.
En cada uno de los 10 casos, escriba lo que aparecía.
Maximizar 40X1 + 20X2 + 33X3 + 87X4
sujeto a:
1)
2)
3)
4)
5)
1X1 + 1X2 + 1X3 + 1X4 ≤ 200
1X2 + 3X3 + 7X4 ≤ 450
1X1 + 4X2 + 2X3 + 5X4 ≤ 600
2X1 + 3X2 + 1X3 + 1X4 ≥ 100
2X1 + 1X2 + 1X3 + 1X4 ≤ 300
No Var Solution
Cost
1
X1 +117.85714
2
X2 0
3
X3 0
4
X4 XXXX(4)
Opportunity Objective
Minimum
Maximum
Coefficient Obj. Coeff. Obj. Coeff.
0
+40.0000
+17.666666 +174.00000
+9.5714293 +20.0000
+XXXX(1) XXXX(2)
XXXX(3) +33.0000
-Infinity
+48.714287
0
+87.0000
+50.333332 +Infinity
Maximized OBJ = XXXX(5)
106
Const. Status
1
2
3
4
5
Loose
Tight
Loose
Loose
Tight
RHS
Shadow
Price
<+200.00
0
<+450.000 +9.571429
<+600.000 XXXX(7)
>+100.000 0 XXXX(9)
<+300.000 XXXX(10)
Slack or
Minimum Maximum
Surplus
RHS
RHS
+17.8571 XXXX(6)
+Infinity
0
0
+700.0000
+160.714 +439.2857 XXXX(8)
-Infinity
+300.0000
0
+100.0000 +335.7143
107
CAPITULO 10
PROBLEMAS ADICIONALES DE PROGRAMACION LINEAL
Este capítulo presenta algunos ejemplos adicionales de Programación Lineal. Al
igual que en el capítulo 7, se han dejado varios ejercicios como Problemas
Propuestos en el convencimiento que sólo el enfrentamiento con nuevos
problemas permite el desarrollo de la habilidad de plantear en términos
matemáticos las situaciones que se presentan en la realidad.
Ejemplo 10.1:
Una empresa agroindustrial controla 2 parcelas, 3 plantas de proceso y 2 unidades
distribuidoras. Considérese uno de los productos de la empresa: sopa de tomates.
Los tomates pueden cultivarse en cualquiera de las dos parcelas a un costo de 200
y 150 pesos por tonelada respectivamente. Desde cualquier parcela es posible
enviar la producción a cualquiera de las plantas procesadoras. Los costos de
transporte por tonelada se presentan en la Tabla Nº 1.
Tabla Nº 1: Costos de transporte desde distintas parcelas a distintas
plantas procesadoras. En pesos por tonelada.
Parcela
Planta Procesadora
1
2
3
1
2
5
15
8
6
Capacidad Parcela
(en toneladas)
11
2
290
400
Suponga que con 0,1 toneladas de tomates es posible producir una caja de sopa de
tomates. Los costos variables de procesar una caja de sopa de tomates en las
distintas plantas están dados en la Tabla Nº 2.
Tabla Nº 2: Costos variables y capacidad de procesamiento en 3
plantas alternativas
Planta
Procesadora
1
2
3
Costos de Procesamiento
Procesamiento
(en pesos por caja)(en cajas)
25
34
17
Capacidad
Planta
800
1.500
3.000
108
Desde cualquier planta de proceso es posible enviar la producción a cualquier
unidad distribuidora. Los costos de transporte desde las plantas procesadoras a las
unidades distribuidoras están dadas en la Tabla Nº 3.
Tabla Nº 3: Costos de transporte desde distintas plantas
procesadoras a distintas unidades distribuidoras. En pesos por
caja.
Planta
1
2
3
Requerimientos por
Unidad Distribuidora
(en cajas)
Distribuidora
1
2
8
15
4
6
20
2
3.000
800
Con el objeto de formular el problema de optimización correspondiente, se seguirán
las siguientes etapas:
Definición de variables:
Vi
Wj
Yk
Producción de la parcela i, en toneladas (i=1,2)
Producción de la planta j. En cajas (j=1,2,3)
Producción distribuída por la unidad k.
En cajas (k=1,2)
Zij
Cantidad de tomates producidos en i para ser procesados
en la planta j. En toneladas.
Mjk
Cantidad procesada por la planta j y distribuída por la
unidad k. En cajas.
Función objetivo:
El problema es minimizar los costos totales cuyos componentes son:
109
COMPONENTES COSTOS TOTALES
Costo Producción
Parcelas
Costo Transporte
Parcelas a Plantas
Costo Procesam.
Plantas
Costo Transporte
Plantas a Distrib.
200V1+ 150V2
5Z11+8Z12+11Z13+15Z21+6Z22+2Z23
25W1+34W2+17W3
8M11+15M12+4M21+6M22+20M31+2M32
Restricciones:
V1 ≤ 290
V2 ≤ 400
Z11 + Z12 + Z13 ≤ V1
Z21 + Z22 + Z23 ≤ V2
W1 ≤ 10 Z11 + 10 Z21
W2 ≤ 10 Z12 + 10 Z22
W3 ≤ 10 Z13 + 10 Z23
W1 ≤ 800
W2 ≤ 1.500
W3 ≤ 3000
W1 ≥ M11 + M12
W2 ≥ M21 + M22
W3 ≥ M31 + M32
Y1 ≤ M11 + M21 + M31
Y2 ≤ M12 + M22 + M32
Y1 ≥ 3.000
Y2 ≥ 1.800
Todas las variables ≥ 0
Capacidad parcelas.
Lo que las parcelas envían a las
plantas debe ser menor o igual a
lo que producen.
Se puede procesar en las plantas,
a lo más, lo que llega desde las
parcelas.
Capacidad plantas.
Las plantas envían a las
distribuidoras, a lo más, lo que
producen.
Las unidades distribuidoras
pueden distribuir, a lo más lo
que les llega desde las plantas
procesadoras.
Requerimientos Distribuidoras.
Restricciones de no negatividad.
Para resolver este problemas, se utilizó el programa de computación
LINDO.
El programa óptimo de producción, procesamiento y
distribución se resume en la Figura 1.
110
Figura 1
Programa de producción, procesamiento y distribución óptimo
PROCESADORA
PARCELA
1
80
Ton
80 Ton.
1
800
Cajas
DISTRIBUIDORES
800 cajas
1
1000cajas
2
100 Ton
2
400
Ton
1.000
cajas
3.000 cajas
1200 cajas
2
300 Ton
1.800 cajas
3
3.000
cajas
1800 cajas
Ejemplo 10.2:
Ud. es dueño de un fundo de 35 hectáreas que puede sembrar con trigo
y/o porotos. Los coeficientes técnicos, en jornadas por hectárea y las
disponibilidades de los distintos recursos se presentan a continuación:
Trigo
Porotos
Disponibilidad
Sem.1 Sem.2
Sem.1 Sem.2
Sem.1 Sem.2
M. de Obra
Maquinaria
Agua
(m3/ha.)
Ut. Neta
(pesos/ha.)
2
3
3
1
2.000 3.000
4
1
2
5
3.000 5.000
40.000
35.000
60
50
70
80
200.000 50.000
111
Adicionalmente, Ud. puede almacenar agua en un tranque desde el primer
semestre hasta el segundo semestre a un costo de $3 por metro cúbico.
Para plantear este problema de inventarios, se procederá en etapas.
Definición de variables:
T = Número de hectáreas de trigo.
P = Número de hectáreas de porotos.
A = Cantidad de agua almacenada desde el primer
semestre al segundo, en metros cúbicos.
Función objetivo:
Maximizar 40.000 T + 35.000 P - 3 A
Restricciones:
2T + 4P ≤ 60
Mano de obra, semestre 1.
3T + 1P ≤ 50
Mano de obra, semestre 2.
3T + 2P ≤ 70
Maquinaria, semestre 1.
1T + 5P ≤ 80
Maquinaria, semestre 2.
2.000T+3.000P ≤ 200.000-A
Agua, semestre 1.
3.000T+5.000P ≤ 50.000+A
Agua, semestre 2.
T, P, A ≥ 0
Ejemplo 10.3:
El matadero municipal de una ciudad tiene tres centros principales de
trabajo :
1.
Recepción, inspección y preparación del ganado.
2.
Matanza y preparación de la carne.
3.
Congelación y almacenaje intermedio.
112
El centro número 2 puede variar su capacidad mediante el uso de horas
extraordinarias, aumentándola hasta en un 15 por ciento.
El centro número 3 no presenta flexibilidad en su capacidad, ya que la
restricción está en las instalaciones de congelación y el horario de trabajo
abarca las 24 horas del día cualquiera sea su producción.
Género
Productividad (TM/Hora)
Centro Nº 2
Vacuno
Cordero
Cerdo
Centro Nº 3
5,0
4,0
5,0
1,6
2,0
1,0
172
720
Capacidad
(horas/mes
normal)
La utilización de inventarios con el fin de adaptar la capacidad instalada
total a la demanda, escencialmente estacional, significa grandes costos
por capital invertido, almacenaje en frío, transporte intermedio y pérdidas
de peso del género. Estos inventarios sólo pueden ser de productos
terminados, ya que es necesario que el género se encuentre ya congelado
para almacenarlo en frío. En la tabla siguiente se indican los costos
involucrados en la producción en pesos.
Costos
Género Prod.
Mano de obra
Inv.Prod. Term.
($/TM) Centro nº 2 ($/TM/Mes Almacen.)
($/Hora normal)
Vacuno
Cordero
Cerdo
26
22
20
12
12
12
7,0
6,5
6,0
El costo de mano de obra en los centros número 1 y 3 son independientes
de la cantidad producida, por lo cual forman parte del costo fijo del
matadero. El costo de horas extraordinarias en el centro número 2 es un
50 por ciento mayor al costo de tiempo normal en ese mismo centro.
113
Las cantidades demandadas (fijas) para los próximos 2 meses, y los
inventarios al inicio del primer período son los que se muestran en el
cuadro siguiente:
Género
Vacuno
Cordero
Cerdo
Demanda (TM/Mes)
Período 1
Período 2
420
200
280
Inventario
Inicial (TM)
570
140
410
80
30
30
Para plantear este problema, es conveniente definir:
Xit
=
Cantidad producida de producto i (vacuno, cordero,
cerdo) en el período t, en toneladas métricas.
Ii
=
Inventario de producto i terminado al final del
primer período.
Lt
=
Horas "normales" trabajadas en el centro número 2
en el período t.
Et
=
Horas "extra" trabajadas en el centro número 2 en
el período t.
A partir de estas definiciones, es posible deducir el siguiente modelo de
Programación Lineal:
Función Objetivo:
El objetivo es minimizar los costos totales. Estos incluyen los costos de
producción, los costos de mano de obra en el centro No. 2 y los costos de
mantener inventarios.3 En términos matemáticos, dichos costos se
pueden expresar como:
Costos de prod. = 26(X11+X12)+22(X21+X22)+20(X31+X32)
Costos mano de obra Centro No.2 = 12(L1+L2) + 18(E1+E2)
Costo Inventarios = 7 I1 + 6,5 I2 + 6 I3
3Se
excluyen los costos de mano de obra en los centros Nos. 1 y 3 por ser
independientes de los volúmenes de producción.
115
Programa Optimo de Producción para el Matadero Municipal
Vacuno
340
570
Mes 1
Mes 2
Inventario al
final del Mes 1
0
Cordero
236,33
73,67
Cerdo
333,08
326,92
66,33
83,08
Nota: Este programa implica un uso de 21,7 y 25,8 horas
extraordinarias en el Centro No. 2 durante el primer y segundo mes
respectivamente. El mínimo costo para satisfacer las distintas
demandas es de 49.592,67 dólares.
10.1.3 Una planta reductora de aluminio produce dos tipos de aluminio, los cuales
se venden a $ 285 y $ 320 la tonelada, respectivamente. La compañía
dispone de dos fuentes de bauxita con las siguientes características y costos
por tonelada.
CONTENIDO DE
Bauxita
1
2
A
40%
10%
B
C
Costo/ton
30%
70%
30%
20%
$ 15
$ 20
La planta tiene una capacidad para tratar 200 tons. de bauxita a la semana. Por
contratos pendientes debe adquirir de la fuente Nº 1 un mínimo de 50 tons. a la
semana y de la fuente Nº 2 un mínimo de 65 tons. semanales.
El aluminio de $ 285 debe contener por lo menos 30% de A, no más de 20% de
B y no más de 25% de C. El aluminio de $ 320 debe contener un mínimo de
40% de B, no más de 30% de A y no más de 25% de C. En el proceso de
fabricación se pierde un 30% de A, un 90% de B y un 85% de C.
3 Ver Philippi, B.: op. cit.
116
¿Qué cantidades de bauxita tipo 1 y 2 deben emplearse para maximizar las
utilidades de la planta? Formule el modelo de programación lineal
correspondiente.
10.2. La línea aérea de carga "SLOW AIR" dispone de un solo avión con tres
compartimientos. La capacidad máxima, en peso y volumen, de cada
compartimiento es la siguiente:
Compartimiento
Peso (toneladas)
1 (adelante)
2 (centro)
3 (atrás)
9
13
8
Volumen
(metros cúbicos)
150
240
100
Para mantener el balance del avión es necesario que la relación entre el peso
de la carga en cada compartimiento, y la capacidad máxima (en peso) de
dicho compartimiento, sea la misma en los tres compartimientos.
"SLOW AIR" tiene solicitudes para transportar las siguientes cuatro cargas,
con el mismo destino y, con las características que se indican:
1
2
3
4
Peso
(toneladas)
15
10
20
8
Densidad
(m3/ton)
15
25
20
12
Beneficio neto
($)
100
150
115
80
La empresa puede escoger transportar sólo parte de una de estas
cargas, y desea determinar cuánto debe aceptar de cada una, y
cómo debe cargar el avión, de modo de maximizar el beneficio
neto derivado del vuelo.
Formule un modelo de Programación Lineal que permita a SLOW
AIR resolver su problema, indique claramente cuáles son las
restricciones y la función objetivo. ¿Cuántas restricciones son?
¿Cuántas variables?
10.3. Un restaurant de Pomaire prepara dos tipo de cazuela, extra y
corriente. Los costos y precios de venta unitarios de cada tipo
son:
117
Costo unitario
Precio venta
Extra
150
170
Corriente
85
100
Para preparar una cazuela extra los cocineros trabajan el doble que
para una cazuela tipo corriente. Si todas las cazuelas fueran tipo
corriente, la capacidad de los cocineros sería de 1.000 cazuelas al
mes (como éste es un restaurant de mala muerte, el producto se
almacena fácilmente).
Para el próximo mes, el restaurant dispone de papas suficientes
como para hacer 800 platos de cazuela. Dispone además de 400
trozos de filete, apropiados para la cazuela extra y 700 huesos
apropiados para la cazuela corriente.
Se pide:
a)
Con los datos disponibles, formule un modelo de
Programación Lineal que permita determinar el programa de
producción mensual que maximice los beneficios.
b)
Gráficamente determine el conjunto de oportunidades y
encuentre el programa óptimo de producción.
c)
¿Cuáles son las restricciones activas e inactivas?
10.4. La compañía XYZ fabrica un producto cuya demanda se ha
pronosticado para los próximos cuatro meses en 1.800, 2.200,
3.400 y 2.800 unidades respectivamente. Debido a las variaciones
en la demanda, los administradores de XYZ han encontrado que
en algunos meses existe producción en exceso, lo cual ocasiona
grandes costos de manejo y almacenaje; en tanto que en otros
meses la compañía no está en posibiliddes de cubrir la demanda.
La compañía puede fabricar 2.400 unidades por mes en turnos
normales. Utilizando tiempo extra es posible fabricar 800
unidades mensuales adicionales. Debido a los mayores costos de
mano de obra en tiempo extra, se produce un aumento de $7 por
culquier unidad que no se produzca en tiempo normal. Los
administradores han estimado que se incurre en un costo mensual
de almacenamiento de $3 por cualquier unidad que se fabrique en
un mes determinado y que no se venda durante el mismo.
118
Se pide:
Formule un modelo de Programación Lineal que le permita a XYZ
determinar un programa óptimo de producción que minimice los
costos totales de producción y almacenamiento y considere las
ventas estimadas de los próximos cuatro meses. Nota: Explicite
cualquier supuesto adicional que necesite.
10.5. Un agricultor debe comprar las siguientes cantidades de
fertilizantes:
Tipo de fertilizante
1
2
3
4
5
Cantidad requerida
(Toneladas)
185
50
50
200
185
Estas cantidades las puede comprar en 4 cooperativas distintas,
sujeto a las siguientes restricciones de tonelaje máximo que puede
comprar en cada cooperativa.
Cooperativa Nº
Tonelaje Máximo
(suma de las toneladas de todos
los fertilizantes comprados)
1
350
2
225
3
195
4
275
El precio de los fertilizantes por cooperativa está dado en la
siguiente tabla:
Precio por tonelada de fertilizante
Tipo
Cooperativa
1
2
3
4
1
4,5
1,39
2,90
3,19
2
4,25
1,78
3,10
3,50
3
4,75
1,99
2,40
3,25
4
4,13
1,25
3,12
2,98
Formule un P.P.L. que resuelva el problema a mínimo costo.
5
0,99
1,23
1,24
1,10
119
10.6. El administrador de un fundo de 50 hectáreas cerca de Santiago le
ha pedido asesoría para decidir qué sembrar el próximo año. Los
cultivos posibles son trigo y maíz. Los coeficientes técnicos de
producción y las disponibilidades de los distintos recursos se
presentan en el cuadro siguiente:
Mano de obra
Capital
Riego
(jor.hombre/há.) (jor.máq./há) (m3/há)
Trigo
Otoño
Invierno
Primavera
Verano
3
2
1
4
2
1
1
3
30
40
20
30
Maíz
Otoño
Invierno
Primavera
Verano
0
0
3
6
0
0
4
2
0
0
45
50
Disponibilidad
Otoño
Invierno
Primavera
Verano
80
80
80
80
160
100
60
80
1200
1300
1000
1000
El margen neto (en miles de pesos por há) es de 100 en el caso del
trigo y 120 en el caso del maíz.
Se pide:
(a) Formule
el
problema
correspondiente.
de
Programación
Lineal
(b) Como el maíz usa la tierra sólo en primavera y verano, a Ud.
se le ha ocurrido estudiar la posibilidad de poner una hortaliza
de invierno (betarraga) que tiene un margen neto de 60 mil
pesos por hectárea, requiere de 4 jornadas hombre/há. en
invierno, 8 jornadas maquinaria/há., y 30 m3/há, también en
invierno.
120
Plantee nuevamente el problema de Programación Lineal
definiendo claramente las variables, función objetivo y
restricciones.
(c) Dé una solución factible, no necesariamente básica u óptima,
al problema planteado en (b) que implique producir tanto
trigo como maíz como betarragas.
10.7. Hoy, 1º de abril de 1996, Ud. dispone de 300 novillos que debe
vender durante el próximo año. Las fechas posibles de venta son:
1º de abril 1996 (t=0)
1º de agosto 1996 (t=1)
1º de diciembre 1996 (t=2)
1º de abril 1997 (t=3)
Los pesos de los novillos se presentan junto a los respectivos
precios en el Cuadro Nº 1.
CUADRO Nº 1: Distribución de los pesos de 300 novillos al
1º de abril de 1996 (en Kgs.)
Peso
300
350
400
450
Categoría
según peso
1
2
3
4
Número de
novillos
150
100
50
0
Precio por
novillo
3.000
4.000
5.000
8.000
Ud. sabe que los novillos aumentan 50 kgs. cada 4 meses. En
otras palabras, suben 1 categoría entre las distintas fechas de
entrega.
Los novillos de 450 kgs. deben ser vendidos al matadero al
instante que alcanzan dicho peso. Suponga que también puede
vender novillos "chicos" (categorías 1, 2, 3) en las fechas
señaladas, a los precios indicados.
Los requerimientos y disponibilidad de forraje se presentan en el
Cuadro Nº 2.
121
CUADRO Nº 2: Requerimientos (en Kgs.) de forraje por
animal, y disponibilidad de forraje (kgs.) por período
Categoría
Novillo
1
2
3
Período
Período
1/4/96-1/8/96 1/8/96-1/12/96
100
200
350
Disponibilidad 30.000
150
250
300
Período
1/12/96-1/4/97
220
220
290
50.000 25.000
Nota: No se puede almacenar forraje de un período a otro.
a)
Plantee el modelo de programación lineal que le permita
decidir cuántos animales de cada peso debe vender en cada
fecha para maximizar los ingresos totales. (Nota: Suponga
que no puede comprar animales).
b) Repita lo anterior suponiendo que puede comprar forraje a 0,5
pesos/kg. hasta un máximo de 1.000 kgs. cada período.
(Suponga que no puede vender forraje).
Se recomienda definir:
Xij
= Stock de animales de categoría i en la fecha de venta j. (i
= 1, 2, 3, 4) (j = 0, 1, 2, 3) Expresada en número de
novillos. (Definir como stock antes de las ventas de la
misma fecha).
Vij
= Venta de novillos de categoría i en la fecha de venta j.
Expresada en número de novillos.
10.8. Ud. ha sido nombrado Gerente de una empresa de auditoría que
tiene 20 auditores que puede trabajar 200 horas al mes cada uno,
dando un total de 4.000 horas-mes disponibles por mes, para
desempeñar labores de auditoría propiamente tal y labores de
entrenamiento. Hoy es 10 de Diciembre y Ud., sabe que Enero,
Febrero y Marzo son meses de gran actividad. De hecho, Ud. ya
sabe que en Enero requerirá de 5.000 horas de auditoría
propiamente tal, en Febrero de 6.000 y en Marzo de 8.000. En
Diciembre sólo se requieren 2.500 horas de este tipo pudiendo
122
usarse las 1.500 horas restantes en el entrenamiento de los
auditores nuevos.
Por cada individuo nuevo que se contrate es necesario que un
auditor antiguo (o ya entrenado) dedique 100 horas
(exclusivamente) a su entrenamiento. Dicho entrenamiento dura
un mes con lo cual hay que contratar con, al menos, un mes de
anticipación.
Ud. sabe que al final del mes de entrenamiento el 50% de los
nuevos dejan su trabajo. Por otra parte el 5% de los auditores
antiguos se retiran cada mes. Si el costo mensual de un auditor
regular es de 50.000 pesos y el de un auditor en entrenamiento es
de 30.000, formule el problema de programación lineal que le
permita determinar cuántos auditores contratan al comienzo de
cada mes.
Nota: Ud. no puede echar a nadie una vez contratado hasta el final
del período (1º de abril), en que los echa a todos.
10.9. Una planta productora de salchichas produce dos tipos de
salchichas las cuales se venden a 285 y 320 pesos por kilo
respectivamente. La compañía dispone de dos abastecedores de
materia prima con las siguientes características y costos por kilo.
Abastecedor
1
2
Carne
(kg.)
Grasa
(kg.)
Otros
(kg.)
0,4
0,1
0,3
0,7
0,3
0,2
Costo
($/kg.)
200
150
La planta tiene una capacidad para tratar 200 kgs. de materia
prima a la semana. Por contratos pendientes debe adquirir de la
fuente Nº 1 un mínimo de 60 kgs.
Las salchichas de 285 pesos no deben contener más de un 50% de
grasa. Las salchichas de 320 pesos deben contener un mínimo de
30% de carne y no más de 25% de "otros".
123
Suponiendo que en el proceso de fabricación no se pierde materia
prima, formule un modelo lineal apropiado para maximizar las
utilidades de la planta. (Ayuda: defina Xij = cantidad de materia
prima comprada al abastecedor i para producir salchicas tipo j).
10.10. Ud. está a cargo de una planta de leche que produce leche en
polvo y queso. Para producir un kilo de leche en polvo se
requieren 6 litros de leche y para producir un kilo de queso se
requieren 9 litros de leche. La leche le cuesta 20 pesos por litro si
le compra al abastecedor A, el cual le puede entregar como
máximo 200 litros diarios, y 23 pesos si le compra al abastecedor
B, el cual le puede entregar como máximo 400 litros diarios.
Adicionalmente, Ud., tiene un maestro quesero que puede
producir como máximo 30 kgs. de queso diarios y una máquina
deshidratadora que puede producir como máximo 20 kgs. diarios
de leche en polvo.
Por otra parte, Ud. cuenta con 2 mayoristas a los cuales les puede
vender su producción. El mayorista 1 le paga 500 pesos por kilo
de leche en polvo y 350 pesos por kilo de queso, exigiendo que
por cada kilo de queso que le vende, le venda también 2 kg. de
leche en polvo. El mayorista 2 le paga 400 pesos por kilo de leche
en polvo y 390 pesos por kilo de queso. Este mayorista no puede
comprarle más de 30 kgs. diarios en total (tiene un almacén
chico).
Se pide:
Formule el problema de Programación Lineal correspondiente.
10.11. Ud. es un agricultor que posee 100 hectáreas que puede sembrar
con trigo, maíz y/o porotos. Los requerimientos de maquinaria y
mano de obra por hectárea por rubro son los siguientes.
Trigo Maíz
Maquinaria
(jornadas/há)
Trabajo
(jornadas/há)
Rendimiento
(qq/há)
2
Porotos
3
1
1
4
5
30
40
25
124
Ud. dispone de 100 jornadas de maquinaria y puede contratar
hasta un máximo de 90 jornadas-hombre a un salario de 20 pesos
por jornada. Puede pagar sobre tiempo (a $30 por jornada) hasta
un máximo de 15 jornadas adicionales.
Ud. tiene en principio dos posibilidades de comercialización de su
producto: 1) directo a público, 2) a una planta procesadora.
En ambos mercados los precios son de 100, 70 y 100 pesos por
quintal de trigo, maíz y porotos, respectivamente.
La planta procesadora sin embargo, le acepta comprar además
"porogos", mezcla de trigo con porotos en partes iguales a un
precio de $110 por quintal (esta industria hace porotos con riendas
en conservas).
Se pide:
Plantee el problema de optimización lineal para maximizar los
ingresos netos del predio en la próxima temporada.
10.12.Un agricultor desea saber cuántas hectáreas de trigo y maíz
sembrar este año en su fundo de 50 hectáreas. Los requerimientos
de los distintos factores y los márgenes por hectárea se presentan a
continuación.
Trigo
Maíz Disponibilidad
Mano de obra
(en JH por há.)
4
7
230
Maquinaria
(en JT por há.)
6
3
140
8.000
10.000
Margen neto
(en pesos por há.)
El problema se complica por el siguiente problema de agua:
125
Trigo Maíz Disponibilidad
Requerimiento en invierno
(en m3 por há.)
100
300
12.000
Requerimiento en verano
(en m3 por há.)
80
120
4.000
Hoy estamos a principios de invierno, que es cuando se siembra
para cosechar a fines del verano (son dos estaciones en el año no
más). Ud. puede almacenar en un tranque el agua que no use en
invierno para usarla en el verano. Por ejemplo, si el tranque tiene
1.000 m3 a comienzos del verano o, Ud. tendría una disponibilidad
de 5.000 m3 para usar en el verano. El tranque tiene una
capacidad máxima de 4.000 m3, y hoy (principio de invierno)
tiene 2.500 m3. Claramente, el agua que no use en invierno y que
no almacene debe dejarla correr.
Se pide: Plantee, sin resolver, el problema de optimización
correspondiente.
10.13. Una empresa está planificando su plan de producción del producto
ABC para los siguientes cuatro meses. La demanda puede ser
satisfecha por: a) la producción del mes, b) inventario de períodos
anteriores y c) entregas atrasadas en un mes (esto significa que es
posible entregar un pedido atrasado sólo en un mes). La
capacidad de producción mensual es de 650 unidades, la demanda
mensual es de 400, 600, 500, y 750 unidades respectivamente. El
costo de producción mensual es de $5, $6,5, $7,25 y $9
respectivamente. El costo de mantención de inventario es igual al
20% del costo de producción en el mes y el costo de entregar un
pedido atrasado es de $1. Por último, se dispone de 100 unidades
de inventario, a comienzos del período 1.
Se pide:
Formule un modelo de Programación Lineal que represente este
problema.
10.14. Una fábrica de conservas lo acaba de contratar para la
planificación de su producción de espárragos y arvejas en
126
conserva de los próximos 4 meses. Por estudios de mercado, Ud.
sabe que la demanda es estacional. Los precios a los que podrá
vender la producción son los siguientes:
PRECIO
(En pesos por Kg. de materia prima equivalente)
Producto
Nov. Dic.
Espárragos en conserva
Arvejas en conserva
35
28
Enero Feb.
50
37
60
100
40
80
La materia prima (espárragos y arvejas) se debe procesar en el
mes en que se compra ya que son productos perecibles. Los
costos de dicha materia prima son también estacionales. A
continuación se presenta la evolución de dichos costos.
PRECIO
(En pesos por Kg.)
Materia Prima
Nov.
Dic.
Espárragos
Arvejas
10
20
15
30
Enero
28
55
Feb.
30
60
Adicionalmente, Ud. sabe que el costo de almacenar los productos
en conserva es de 10 pesos por Kg. de materia prima equivalente
por mes en cualquiera de los dos productos.
Por último, Ud. sabe que los espárragos en conserva requieren de
dos horas-máquina por Kg. de materia prima procesada y que las
arvejas requieren de 1 hora-máquina por Kg. de materia prima
procesada. La disponibilidad de horas-máquina es de 600 horas
por mes. Dicha disponibilidad se puede aumentar hasta en un
máximo de 50 horas por mes a un costo de 4 pesos por hora.
Se pide: Plantee, sin resolver, el problema de programación lineal
correspondiente.
10.15.Ud. ha sido contratado recientemente en una sucursal de
Almacenes París para determinar la contratación de vendedores
para el período previo a la Navidad. A continuación se presentan
las necesidades de vendedores por horario de trabajo.
127
Horario
Número de vendedores
9:00 A.M. - 12:00 A.M.
12:00 A.M. - 15:00 P.M.
15:00 P.M. - 18:00 P.M.
18:00 P.M. - 21:00 P.M.
21:00 P.M. - 24:00 P.M.
30
110
35
140
50
Por otra parte, Almacenes París ha decidido operar en base a
turnos de 9 horas de trabajo, los cuales se presentan a
continuación.
Turno
1
2
3
4
5
Horario
9:00 A.M.-18:00 A.M.
12:00 A.M.-21:00 P.M.
15:00 P.M.-24:00 P.M.
9:00 P.M.-12:00 P.M.; 15:00 P.M.-21:00 P.M.
12:00 A.M.-15:00 P.M.; 18:00 P.M.-24:00 P.M.
Se pide:
Formule, sin resolver, el problema de Programación Lineal que le
permita minimizar el número de vendedores contratado.
Nota: No se preocupe del hecho que los números de vendedores
deben ser enteros.
128
CAPITULO 11
VARIABLES BINARIAS
Las variables binarias son variables que sólo pueden tomar el valor de cero o el valor
de uno. El propósito de este capítulo es ver, a través de varios ejemplos, distintos
usos que tiene este tipo de variables. Debe señalarse que la mayoría de los
programas de computación para resolver problemas de Programación Lineal,
incluído el LINDO y el QSB+, puede trabajar con este tipo de variables en
problemas que en todo lo demás son de Programación Lineal.
Ejemplo 11.1:
Ud. tiene un fundo de 100 hectáreas, donde puede sembrar trigo y maíz. Al
considerar sus distintas restricciones, Ud. ha decidido plantear el problema de la
siguiente forma:
Max 20 T + 30 M
sujeto a:
2 T + 3M ≤ 220
(Horas tractor)
T + M ≤ 100
(Hectáreas)
T, M ≥ 0
El problema se complica por el siguiente aspecto. Su vecino le ha ofrecido su
tractor por una semana a un costo de 350 pesos que Ud. puede tomar o dejar. Una
semana equivale a 48 HT.
En otras palabras, el tomar en arriendo el tractor del vecino le implicaría a Ud.
contar con 268 HT en lugar de 220, pero tendría que pagar 350 pesos por el
arriendo.
Usando variables binarias1, este problema se puede expresar como:
Max 20 T + 30 M - 350 H
1
En el programa LINDO, este tipo de variables se conoce con el nombre de "integer", mientras que
en el programa QSB+, se llaman simplemente "binarias". Por otra parte, en este último programa, las
variables "integer" son aquellas que pueden tomar valores enteros (0, 1, 2, 3, ... ).
129
sujeto a:
2 T + 3M ≤ 220 + 48 H
(Horas tractor)
T + M ≤ 100
(Hectáreas)
T, M ≥ 0
Binarias: H
Si no conviene tomar en arriendo el tractor, H será igual a cero en el óptimo. En
caso contrario, la variable H tomará un valor de uno.
Ejemplo 11.2:
Ud. dispone de 2 barras de aluminio de 10 y 15 metros respectivamente. Por otra
parte, Ud. sabe que puede vender hasta un máximo de 5 barras de 1,7 metros a un
precio de $500 cada una. Asimismo, Ud. puede vender las siguientes barras:
Tipo de
barra
1
2
3
4
Largo
Demanda
en metros Máxima
2,1
1,7
1,3
0,4
2
5
11
20
Precio
Unitario
800
500 (1)
390
60
(1) Se refiere a la demanda del párrafo anterior.
Para plantear el problema de tal forma que pueda ser resuelto usando variables
binarias, es conveniente definir las siguientes variables:
Xi1 =
Número de barras tipo i (i = 1, 2, 3, 4) a partir de la barra de 10
metros.
Xi2 =
Número de barras tipo i (i = 1, 2, 3, 4) a partir de la barra de 15
metros.
Con estas definiciones, el problema se puede plantear como:
Maximizar
800 (X11 + X12) + 500 (X21 + X22) + 390 (X31 + X32)
130
+ 60 (X41 + X42)
sujeto a:
X11 + X12 ≤ 2
X21 + X22 ≤ 5
X31 + X32 ≤ 11
X41 + X42 ≤ 20
2,1X11 + 1,7X21 + 1,3X31 + 0,4X41 ≤ 10
2,1X12 + 1,7X22 + 1,3X32 + 0,4X42 ≤ 15
Xij ≥ 0 para todo i,j.
Enteras: Xij para todo i,j.
Ejemplo 11.3:
Usted ha decidido hacer una comida en su casa obviamente al mínimo costo. Como
restricciones usted tiene que darles un mínimo de 10.000 calorías y un mínimo de 1.950
grs. de proteínas en total. Los productos por considerar, junto con sus composiciones
unitarias, están dados a continuación:
Calorías
Carne (en Kgs.)
Papas (en Kgs.)
Arroz (en Kgs.)
Tomates (en Kgs.)
Huevos (en unidades)
2.000
4.000
3.000
500
80
Proteínas
Precio
600
20
40
200
30
600
80
60
150
10
Adicionalmente, suponga que:
a)
Si les da carne no debe darles huevos.
b)
Si les da carne, debe darles un mínimo de 2 kgs. de tomates.
c)
Usted sabe que a sus invitados les carga el arroz con huevo.
d)
Si les da papas, debe darles como mínimo 2 Kgs.
En primer lugar se definirá:
C=
P=
A=
T=
H=
131
Cantidad de carne, en kgs.
Cantidad de papas, en kgs.
Cantidad de arroz, en kgs.
Cantidad de tomates, en kgs.
Cantidad de huevos, en unidades.
Para plantear este tipo de problemas, es conveniente nuevamente usar variables
binarias. A continuación se verá cómo plantear cada uno de los supuestos
adicionales presentados.
El supuesto "si les da carne no debe darles huevos" se puede plantear como:
C ≤ 100.000 A1
H ≤ 100.000 A5
A1 + A5 ≤ 1
Binarias: A1, A5
La variable A1 tomará el valor de 1 si C es estrictamente mayor que cero, mientras
que la variable A5 tomará el valor de 1 si H es estrictamente mayor que cero. La
restricción que la suma de A1 más A5 sea menor o igual a 1 significa, en
consecuencia, que ambas variables no pueden ser estrictamente positivas en forma
simultánea.
El supuesto "si les da carne, debe darles un mínimo de 2 kgs. de tomates" se puede
plantear como:
T ≥ 2A1
La variable A1 tomará, tal como se vio más arriba, el valor de 1 si C es estrictamente
mayor que cero. En dicho caso, T tendría que tomar como mínimo un valor de dos.
Se debe hacer notar que si A1 toma el valor de cero, con lo cual C sería igual a cero,
T podría tomar cualquier valor positivo.
Por otra parte, el supuesto "usted sabe que a sus invitados les carga el arroz con
huevo", lo obliga a plantear, por razones análogas a aquellas presentadas en relación
con el supuesto "si les da carne no debe darles huevos", las siguientes restricciones
adicionales:
A ≤ 100.000 A3
A3 + A5 ≤ 1
132
Binarias: A3
Por último, el supuesto "si les da papas, debe darles como mínimo 2 Kgs." se puede
plantear como:
2A2 ≤ P ≤ 100.000 A2
Binarias: A2
Si A2 es igual a cero, entonces P puede tomar sólo el valor de cero. Por otra parte, si A2 es
igual a uno, entonces P puede tomar cualquier valor entre 2 y 100.000.
En resumen, este problema se puede plantear como:
Minimizar 600C + 80P + 60A + 150T + 10H
sujeto a:
2.000C + 4.000P + 3.000A + 500T + 80H ≥ 10.000
600C + 20P + 40A + 200T + 30H ≥ 1.950
C ≤ 100.000 A1
H ≤ 100.000 A5
A1 + A5 ≤ 1
2A1 ≤ T
A ≤ 100.000 A3
A3 + A5 ≤ 1
2A2 ≤ P ≤ 100.000 A2
Todas las variables mayores o iguales a cero.
Binarias: A1, A2, A3, A5
Ejemplo 11.4:
Usted tiene una verdulería y tiene 2 proveedores a los que puede comprar tomates,
lechugas y repollos. El costo de ir y volver a cada uno de los proveedores es el
siguiente:
Prov. 1:
Prov. 2:
$5.000
$3.000
133
Los precios a los que usted puede vender, los precios de los distintos proveedores y
la demanda máxima son:
Tomate
Lechugas
Repollos
Precio
venta
Prov. 1
Prov. 2
Demanda
Máxima
200
150
300
150
100
50
100
40
200
100
200
200
Para plantear el problema, nuevamente se usan variables binarias. Defínase:
Ti =
Li =
Ri =
Cantidad de tomates comprados al proveedor i (i=1,2).
Cantidad de lechugas comprados al proveedor i.
Cantidad de repollos comprados al proveedor i.
El problema en este caso se puede plantear como sigue:
Maximizar
200(T1 + T2) + 150(L1 + L2) + 300(R1 + R2)
- 150T1 -100L1 - 50 R1 - 100T2 - 40L2 - 200R2
- 5.000 A1 - 3.000 A2
sujeto a:
T1 + T2 ≤ 100
L1 + L2 ≤ 200
R1 + R2 ≤ 200
T1 + L1 + R1 ≤ 100.000 A1
T2 + L2 + R2 ≤ 100.000 A2
Ti, Li, Ri ≥ 0
Binarias: A1, A2
Si Ti, Li, o Ri es positivo, entonces Ai sería necesariamente igual a 1, con lo cual
habría que asumir el costo de ir y voler donde el proveedor i. El valor de 100.000 en
las restricciones correspondientes es un valor arbitrario pero suficientemente alto
como para no restringir el valor que puedan tomar, en caso de ser positivas, las
variables Ti, Li, o Ri.
134
Programación Cuadrática
La Programación Cuadrática se usa cuando la función objetivo es cuadrática. Es
decir, cuando la función objetivo se puede expresar como:
2
∑ ci Xi + ∑ ai Xi + ∑ ∑ bij Xi Xj
En todo lo demás, el problema es igual a los problemas de Programación Lineal. A
continuación se verá cómo resolver este tipo de problemas usando variables binarias.
Ejemplo 11.5:
Supóngase el siguiente problema de optimización:
2
2
Maximizar: 10X1 + 2X2 - 2X1 - 3X2 + X1 X2
sujeto a:
X1 + X2 ≤ 20
2 X1 + 3 X2 ≤ 40
X1, X2 ≥ 0
El Lagrangeano de este problema es:
£ =
2
2
10X1 + 2X2 - 2X1 - 3X2 + X1 X2 + λ1(20 - X1 - X2)
+ λ2 (40 - 2X1 - 3X2)
Por otra parte, las condiciones de Kuhn-Tucker son:
135
∂£
∂£
1)∂X = 10 - 4X1 + X2 - λ1 - 2λ2 2) ∂X X1 = 0
1
1
≤ 0
∂£
∂£
3) ∂X = 2 - 6X2 + X1 - λ1 - 3λ2 4) ∂X X2 = 0
2
2
≤ 0
5)
∂£
∂λ1
= 20 - X1 - X2 ≥ 0
6)
∂£
∂λ1
7)
∂£
∂λ2
= 40-2X1 - 3X2 ≥ 0
8)
∂£
λ = 0
∂λ2 2
λ1 = 0
9) X1, X2, λ1 , λ2 ≥ 0
Las condiciones (1), (3), (5), (7) y (9) son restricciones típicas de un problema de
Programación Lineal.
Por otra parte, las condiciones (2), (4), (6) y (8) se pueden imponer usando
variables binarias. A modo de ejemplo, la condición (2) se puede expresar como:
10 - 4X1 + X2 - λ1 - 2λ2 + Y1 = 0
Y1 ≤ 100.000 A1
X1 ≤ 100.000 A2
A1 + A2 ≤ 1
Y1 ≥ 0
Binarias: A1, A2
Se debe hacer notar que estas restricciones incluyen la restricción (1) por el hecho
que la variable auxiliar Y1 debe ser mayor o igual que cero.
Lo anterior significa que las condiciones de Kuhn-Tucker se pueden escribir como:
136
10 - 4X1 + X2 - λ1 - 2λ2 + Y1 = 0
Y1 ≤ 100.000 A1
X1 ≤ 100.000 A2
A1 + A2 ≤ 1
2 - 6X2 + X1 - λ1 - 3λ2 + Y2 = 0
Y2 ≤ 100.000 A3
X2 ≤ 100.000 A4
A3 + A4 ≤ 1
20 - X1 - X2 - Y3 = 0
Y3 ≤ 100.000 A5
λ1 ≤ 100.000 A6
A5 + A6 ≤ 1
40 - 2X1 - 3X2 - Y4 = 0
Y4 ≤ 100.000 A7
λ2 ≤ 100.000 A8
A7 + A8 ≤ 1
X1, X2, Y1, Y2, Y3, Y4, λ1, λ2 ≥ 0
Binarias: A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8
Si un punto cumple con todas estas restricciones, entonces cumple además con todas
las condiciones de Kuhn-Tucker del problema original. Por otra parte, la función
objetivo del problema es cóncava, por cuanto el Hessiano, que es igual a:
-4 1
H =  1 -6 
es negativo definido. Esto quiere decir, tal como se viera en el capítulo 6, que
cualquier punto que satisfaga las condiciones de Kuhn-Tucker es un máximo global.
Todo lo anterior significa que cualquier punto que cumpla con el conjunto de
restricciones anterior, será un máximo global del problema original. El único
problema es que no se tiene función objetivo para poner este conjunto de
restricciones en un problema de Programación Lineal con variables binarias. Para
ello se utiliza una función objetivo auxiliar del tipo:
137
Minimizar J
donde J es una variable cualquiera.
11.1. Usted está planeando su última gira como candidato presidencial, para lo cual
dispone de 3 días: domingo 10, lunes 11, martes 12. Usted ha decidido
reducir su lista de posibles lugares a 4: Puerto Montt, Valdivia, Temuco, y
Concepción. Usted estima que el número de personas que puede convencer
está dado por la siguiente tabla:
Domingo
Puerto Montt
Valdivia
Temuco
Concepción
1.000
3.000
800
2.000
Lunes
800
5.000
800
3.000
Martes
500
1.000
820
2.500
Así, si realiza, por ejemplo, una concentración el día martes en Temuco,
usted estima que aumentará su votación en 820 votos. Adicionalmente, usted
considera que no debe hacer 2 concentraciones en el mismo lugar por razones
de imagen. Por último, dados los problemas de traslado, usted no puede estar
en Concepción el lunes si ha ido a Temuco el día anterior.
Se pide: Plantee el problema de optimización correspondiente, de tal forma
que pueda ser resuelto usando el programa LINDO o QSB+.
11.2. Suponga que el dueño de una fábrica química recibe el encargo de determinar
una mezcla de 1.000 kilos que contenga cobre, estaño y calcio. Le dicen
además que la mezcla debe tener a lo más 380 kilos de cobre, por lo menos
200 kilos de estaño, y por lo menos 100 kilos de calcio. Los costos de cada
componente son 2, 3, y 4 pesos por kilo respectivamente.
Se pide:
a)
Formule el problema de Programación Lineal correspondiente.
b)
Suponga que le imponen la restricción que las cantidades de cada uno de
los componentes deben estar expresadas en cientos (100, 200, ...).
Replantee el problema de tal forma que pueda ser resuelto con el
programa LINDO o QSB+.
138
11.3. Usted tiene una lechería que produce 100.000 litros de leche a la semana.
Debe decidir si venderlos como leche a planta A, a la planta B, o bien
venderlos como queso a público directamente. (Estas alternativas no son
excluyentes).
Por cada 10 litros de leche, usted puede producir 1 Kg. de queso. Para
producir queso, sin embargo, debe contratar a un maestro quesero que le
cuesta 450.000 pesos por semana. Los precios de los distintos productos son
los siguientes:
Queso:
3.000 pesos por Kg.
Leche:
Planta A: 340 pesos por litro.
Planta B: 280 pesos por litro.
Adicionalmente, usted sabe que el gerente de la planta A es un mañoso y que
si le manda leche, le debe mandar entre 25 y 30 mil litros por semana.
Se pide:
a)
Plantee el problema de optimización correspondiente de tal forma de
poder resolverlo con el programa LINDO o QSB+.
b)
Ahora suponga que la planta B está dispuesta a comprar hasta 90.000
litros siempre que no le venda a la planta A. En caso contrario, está
dispuesta a comprarle un máximo de 45.000 litros. Cómo incorporaría
estos puntos en el planteamiento del problema.
c)
Suponga que el maestro quesero ha decidido que él pide 450 mil pesos
por cualquier cantidad inferior a 4.000 Kg. de queso, pero que su precio
sube a 480 mil si le piden producir más de 4.000 Kg. Como incorporaría
este punto en el planteamiento del problema.
11.4. Ud. ha decidido presentarse a una propuesta pública para abastecer de
alimentos a los escolares de la ciudad de Pelarco durante todo el próximo
año. Las bases de la propuesta señalan lo siguiente:
139
1.
Cada ración consiste de un guiso (excluye pan, postre, etc.).
2.
Se deberá dar raciones a 1.000 niños todos los días (5.000 raciones
semanales, ya que se excluyen sábados y domingos).
3.
Ningún guiso podrá ser entregado más de 2 veces durante la semana.
4.
Al menos 1 vez a la semana se deberá dar pescado.
5.
Se podrá dar guisos diferentes a los distintos escolares en un día
determinado.
6.
Se deberá entregar por lo menos 2,5 millones de calorías por semana al
total de niños (equivale a 500 calorías diarias prmedio por alumno) y por
lo menos 125 kilos de proteína (equivale a 25 grs. promedio por día por
alumno).
7.
Los requisitos son mínimos. En la adjudicación se dará especial
importancia a la cantidad de proteínas totales suministradas.
8.
Al cabo de un año, habrá una nueva licitación.
En caso de ganar la propuesta Ud. ha dedicido considerar sólo los siguientes
guisos cuya composición de calorías y proteínas se presenta en el Cuadro 1.
Cuadro 1: Aportes Nutritivos de Guisos Seleccionados
Nombre
Calorías Proteínas
(por ración)(grs/ración) variable
unit.(1)
1
2
3
4
5
6
7
(1)
Charquicán
Pollo a la jardinera
Lentejas
Pescado con puré
Tallarines con carne
Arroz con salchicha
Salpicón de verduras
500
650
800
200
700
600
300
Costo
30
20
45
20
200
10
20
100
300
50
250
100
200
150
Incluye costos de materia prima y preparación,
excluye inversiones que Ud. tendría que hacer.
140
Se pide:
a)
Plantee un modelo de programación matemática que le ayude en la
presentación a la propuesta. Defina claramente las variables, función
objetivo y restricciones.
b)
Resuelva usando el programa LINDO o QSB+ y preséntese a la
propuesta en forma realista indicando, entre otras cosas, el precio (un
número en pesos) que Ud. cobraría por ración el cual quedaría fijo por el
año completo.
Recuerde que Ud. se presenta a esta propuesta como parte de un negocio
que debe ser rentable; que hay varias empresas presentándose (que
pueden tener otra estructura de costos); que hay inversiones que hacer;
que los costos de la materia prima pueden cambiar a lo largo del año; que
si gana la propuesta, la inversión puede o no servirle para la licitación
del próximo año (sobre todo cuando se considera que puede no ganarla
de nuevo); etc. Considere estos elementos cuando determine el precio
que va a cobrar por el año.
Nota: Haga todos los supuestos adicionales que estime convenientes.
11.5. Una fábrica de galletas tiene 1800 libras de galletas de chocolate, 100 libras
de galletas de almendras y 50 libras de galletas de coco. La fábrica envasa
tres tipos de latas de 5 libras cada una, que contienen estas galletas en las
siguientes cantidades.
Lata 1: 3 libras de chocolate, 1 libra de almendras y 1 libra de coco.
Lata 2: 4 libras de chocolate, 0,5 libras de almendras y 0,5 libras de
coco.
Lata 3: 5 libras de chocolate.
El precio de venta es de 500, 400, y 600 pesos/lata respectivamente.
Se pide:
a)
Plantee el problema de Programación Lineal correspondiente.
b)
Suponga que quiere producir a lo más 2 tipos de lata por convenios con
los distribuidores. Plantee nuevamente el problema.
141
11.6. Ud. ha decidido instalar una botillería con los siguientes productos:
Bebidas:
Margen Neto
($/Bot.)
Coca Cola
Pepsi Cola
Limón Soda
Demanda Semanal
(Máx.)
10
12
15
250
100
400
20
10
180
130
Vinos:
Santa Rita
Casillero
Su problema es determinar qué comprar al comienzo de la semana si sabe que
no puede comprar más de 650 botellas en total.
Se pide:
a)
b)
¿Cómo incorporaría el hecho que sus abastecedores le exigen quedarse
con Pepsi o con Coca Cola?
c)
Adicionalmente, ¿cómo incorporaría el hecho que Santa Rita exige que
por cada botella que compre de Casillero, le compre a ellos (como
mínimo) dos botellas de Santa Rita?
d)
¿Cómo incorporaría el hecho que Limón Soda exige para venderle, que
no le compre más de 60 botellas a Coca Cola?
11.7. La empresa AGRINDUS S.A. le ha pedido a Ud. que la asesore en la
planificación de las compras y producción semanal. La empresa produce 3
productos. Ud. cuenta con la siguiente información:
1.
Los productos son:
a)
Duraznos en conserva: precio = 1.000 pesos/tarro, ingredientes: 0,3 Kg.
de duraznos/tarro.
142
b)
Tutti-Frutti en conserva, precio = 1.200 pesos/tarro, ingredientes: 0,1 Kg.
de duraznos/tarro y 0,2 kg. de peras por tarro.
c)
Ciruelas conserva, precio 800 pesos/tarro, ingredientes: 0,35 kg. de
ciruelas/tarro.
2.
AGRINDUS cuenta con dos abastecedores de fruta cuyos precios (en
pesos/kg.) son:
Abastecedor A
Duraznos
Peras
Ciruelas
1.600
1.200
1.300
Abastecedor B
1.400
1.600
1.500
3.
AGRINDUS puede procesar como máximo 200 kgs. de fruta por
semana.
4.
El abastecedor B le ofrece, para cada producto un descuento de 20%
sobre todo exceso por encima de los 10 kgs. que le compre. Ejemplo: si
le compra 14 kgs. de duraznos, deberá pagar
1.400 * 10 + 1.400 * 0.8 * 4 = 18.420 pesos
5.
El abastecedor A le exige, para venderle a Ud. cualquier producto, que le
compre al menos 20 kgs. de duraznos.
6.
Ud. ha decidido, por razones de imagen, producir como mínimo 30 y
como máximo 90 tarros de cada producto.
Se pide:
Plantee el problema de optimización correspondiente, definiendo claramente
las variables.
11.8. Para distribuir uno de los diversos productos que fabrica, una empresa desea
utilizar sólo 2 de los 3 depósitos de su propiedad.
En la tabla siguiente se resume cierta información relativa a los costos de
distribución y capacidad de cada depósito.
Depósito
A
B
C
143
Mercado 1 Mercado 2 Capacidades
$/ton.
$/ton. ton/mes
5
7
4
8
3
10
50
30
80
Se pide:
Formule un problema de programación matemática que le permita identificar
los depósitos a utilizar y el programa óptimo de distribución de acuerdo con
los antecedentes presentados y considerando que los mercados 1 y 2
requieren de 40 y 30 toneladas mensuales, respectivamente.
11.9. Ud. tiene dos parcelas de 10 y 20 hectáreas cada una, las que puede sembrar
con trigo y maíz. Los requerimientos de mano de obra y maquinaria son:
Trigo Maíz
Mano de obra
(en jornadas/há)
Maquinaria
(en jornadas/há)
Rendimiento parcela 1
(en qq/há)
Rendimiento parcela 2
(en qq/há)
Margen neto unitario
(en pesos/qq)
5
10
15
20
30
60
40
60
10.000
10.000
Ud. puede disponer de 40 jornadas-hombre y 100 jornadas-maquinaria para el
año en la parcela 1, y de 60 jornadas-hombre y 150 jornadas-máquina en la
parcela 2. Adicionalmente, Ud. podría mandar a 1 trabajador por 10 días (10
jornadas) de la parcela 1 a la parcela 2 a un costo total de 3.000 pesos. Por
último, Ud. puede no sembrar nada, en cuyo caso se evitaría el costo de
contratar un administrador que sirve para las 2 parcelas y que le cobrar
1.000.000 de pesos al año (si siembra, debe contratarlo).
Se pide:
Formule un modelo de programación matemática, que pueda ser resuelto con
el LINDO o el QSB+, y que permita determinar:
144
i)
cuánto producir en cada parcela;
ii)
si mandar o no a una persona de la parcela 1 a la 2;
iii) si contrata o no a una persona de la parcela 1 a la 2;
iv) si contrata o no al administrador.
11.10.La empresa constructora "Los Sauces" está pensando construir un condominio
en un terreno de 3000 m2, de su propiedad. Este número de metros es neto de
los espacios reservados para jardines. El problema consiste en determinar el
número óptimo de casas tipo I y de casas tipo II, de tal forma de maximizar
utilidades.
Para resolver el problema Ud. cuenta con los siguientes antecedentes:
Casas
Tipo I Tipo II
Costo de construcción (UF/casa)
Tiempo de construcción (días/casa)
Terreno requerido (en mts2/casa)
Precio de venta (U.F./casa)
1.500
40
600
1.900
1.700
60
300
2.000
Adicionalmente, Ud. sabe que por problemas del terreno, no se puede
construir más de 6 casas tipo II. Asimismo, Ud. sabe que las casas deben
construirse una después de la otra, y que el tiempo máximo no puede ser
superior a 400 días. Por último Ud., obviamente, sabe que el número de
casas debe ser entero.
Se pide:
a)
b)
Use el método gráfico para resolver el problema. ¿Cuántas casas
construiría de cada tipo? ¿Cuál es el valor de la función objetivo en el
óptimo?
c)
Determine gráficamente el rango en que puede variar el coeficiente
asociado al número de casas tipo II sin que cambie el número de casas a
construir de cada tipo en el óptimo.
145
11.11. Ud. es dueño de un fundo que produce 20 mil cajas de manzanas todos los
años. El huerto está en plena producción y se espera que dure otros 5 años.
Las manzanas son de exportación en un 75%.
Su problema es decidir si poner su propio packing, que vale 50.000 dólares y
que dura exactamente 5 años, a un costo operacional anual de 1.000 dólares
independientes de la cantidad de fruta, más 0,5 dólares por caja.
En caso de poner su propio packing, éste tendría capacidad para 35 mil cajas
al año, con lo que podría servir a terceros a un precio de 1,2 dólares la caja.
Los precios de venta en este caso serían de 3,8 y 3,2 dólares por caja para la
fruta de exportación y no de exportación, respectivamente.
Si no pone packing, Ud. tiene 3 posibilidades excluyentes:
1)
Vender sus manzanas a un exportador a un precio de 3 dólares la caja.
En este caso, ellos se encargarían de separar la fruta de exportación, con
lo que el precio anterior es válido para toda la fruta que Ud. le entregue
de su huerto (la exportadora se pone desagradable si le manda fruta de
terceros).
2)
Vender la fruta clasificada por Ud. mismo a un precio de 3,5 dólares la
caja de exportación y de 2,8 dólares la caja no de exportación. El
problema es que en esta alternativa Ud. puede vender un máximo de
11,000 cajas de exportación y el sobrante de exportación lo tendría que
vender a otra exportadora a un precio de 2,9 dólares por caja. El costo
de clasificar es de 0,1 dólares la caja, más un costo fijo anual de 1000
dólares.
3)
Vender 10.000 kilos de manzanas, sin clasificar, a una planta de jugos a
un precio de 2.95 dólares la caja, y vender el resto de la misma manera
que en la alternativa 2.
Se pide:
Plantee el modelo de optimización correspondiente del tal forma que pueda
ser resuelto con el LINDO o QSB+. Si necesita más supuestos, invéntelos.
Nota: El modelo no puede incorporar parte o partes de la solución. Del
LINDO o QSB+ debería poder salir qué alternativa seguir, etc.
146
11.12. Imagínese en la siguiente situación: Ud. tiene un fundo que produce 20 mil
kg. de limones al año y desea saber si seguir vendiéndolos a granel sin
clasificar a un precio de 100 pesos por kilo o si clasificarlos en primera y
segunda clase antes de venderlos. Obviamente, si clasifica ya no puede
venderlos a granel.
Todo el proceso de clasificación cuesta 200 mil pesos en total y Ud. sabe que
6.000 kilos de la producción son de primera y los 14 mil kilos restantes son
de segunda.
El problema se complica por los siguientes aspectos: los limones de primera
Ud. los puede vender a una firma exportadora que le paga 130 pesos por kilo
hasta un máximo de 4.000 kilos, mientras que los limones de segunda puede
venderlos a un mayorista que le paga 100 pesos por kilo hasta un máximo de
3 mil kilos y/o a una verdulería que le compra hasta un máximo de 12 mil kg.
a un precio de 105 por kilo.
Por último, una empresa agroindustrial está dispuesta a pagar 104 pesos por
kilo por todos los limones que Ud. desee venderle independiente de la
clasificación, pero siempre y cuando vengan ya clasificados. Le exige, sin
embargo, que en el caso de venderle algo, le venda un mínimo de 15 mil
kilos.
Se pide:
Plantee el problema de tal forma que pueda ser resuelto por el LINDO o
QSB+. El programa debe permitirle a Ud. determinar si le conviene o no
clasificar, y además cómo vender su producción.
11.13. Hoy es 1º de mayo, comienzos del año agrícola, y usted está planificando qué
producir el próximo año en su fundo de 200 hás. Para ello ha decidido limitar
las posibilidades a trigo, maíz, frejol y remolacha.
El fundo está dividido en tres potreros de 20, 140, y 40 hás., no pudiendo
sembrar más de 2 cultivos en cualquiera de ellos (puede producir por ejemplo
trigo y maíz en un potrero y maíz y frejoles en otro).
En el invierno usted no tendrá problemas de agua, y los requerimientos en
primavera y verano son los siguientes:
147
Requerimientos de agua en mt3 por há.
Trigo Maíz Frejol Remolacha Disponib.
Primavera 2.000
Verano
1.000
4.000 3.000
3.000 2.000
5.000
1.000
400.000
300.000
Los ingresos netos por hectárea son los siguientes:
Trigo:
Maíz:
Frejol:
Remolacha:
200.000
300.000
380.000
530.000
Se pide:
a)
Plantee el problema de optimización de tal forma que pueda ser resuelto
con el LINDO o QSB+.
b)
Suponga que usted ha decidido que cualquier cultivo que siempre debe
tener por lo menos 5 hectáreas (puede no sembrar).
c) Suponga que para vender, en caso que usted decida vender, debe pagar
una comisión fija al corredor de $200.000 en el caso del trigo, y para la
remolacha de $180.000 (estas comisiones se pagan una sola vez,
independiiente del volumen de producción).
11.14.Ud., que es administrador de un fundo de 150 hectáreas, debe programar su
producción para el próximo año. Los productos a considerar son trigo, maíz
y remolacha.
Los coeficientes técnicos de producción y las disponibilidades de los distintos
recursos son los que a continuación se señalan.
trigo maíz remolacha Disponibilidad
148
Mano de obra
(en j.h./há.)
Capital
(en j.m./há)
15
25
85
3.000
12
14
4
2.000
Se pide:
a)
Suponiendo que los beneficios netos unitarios (expresado en términos de
pesos por hectárea) son 500, 800 y 950 pesos para el trigo, maíz y
remolacha respectivamente, plantee el problema de optimización
correspondiente.
b)
Ahora suponga que tiene 3 potreros de 55, 65 y 30 hectáreas cada uno, y
que en un potrero específico no puede sembrar más de un cultivo (puede
no sembrarlo con nada), ¿cómo cambiaría su respuesta anterior?
Nota: Se recomienda definir Xij = cantidad de potreros tipo i sembrado
con el cultivo j.
c)
Suponga que si produce trigo, no puede producir remolacha y sí debe
producir maíz. Plantee nuevamente el problema.
11.15.La empresa "FLETES, S.A." tiene 4 camiones ubicados en Rancagua y
Concepción (2 en cada ciudad). La capacidad de los distintos camiones se
presenta a continuación:
Camión Capacidad Ubicación
(en m3)
1
2
3
4
5
9
12
14
Rancagua
Rancagua
Concepción
Concepción
La Municipalidad de Talca acaba de llamar a propuesta para trasladar 22,5
m3 de alimentos desde Talca al pueblo "Los Sauces" que queda a 45 km. de
Talca (viaje de ida y vuelta).
FLETES, S.A. lo ha contratado a Ud. para decidir cuál es el mínimo precio
que debe cobrar para que le convenga participar en la propuesta. Para
realizar su tarea, Ud. cuenta además con los siguientes antecedentes:
149
1)
Los camiones que envíe a Talca para traladar alimentos a Los Sauces
deben finalmente volver a la ciudad donde se encuentran hoy los
camiones. A modo de ejemplo, si envía el camión 1, éste tendría que
seguir la siguiente ruta: Rancagua - Talca - Los Sauces - Talca Rancagua.
2)
La distancia entre Rancagua y Talca es de 80 km. (ida y vuelta), mientras
que entre Concepción y Talca la distancia es de 100 km.
3)
El costo de combustible, desgaste, etc. es de 50 pesos por km.
independiente del camión.
4)
Ningún camión alcanza a hacer más de un viaje entre Talca y Los
Sauces.
Se pide:
a)
Plantee, sin resolver, el problema de optimización correspondiente.
b)
Ahora suponga que el camión 1 alcanza a hacer hasta 2 viajes entre
Talca y Los Sauces. En este caso, la ruta sería Rancagua - Talca - Los
Sauces - Talca - Los Sauces - Talca - Rancagua. Nuevamente, plantee,
SIN RESOLVER, el problema de optimización correspondiente.
11.16. Para cada una de las siguientes afirmaciones escriba la o las restricciones
correspondientes definiendo claramente todas las variables. Estas deben ser
escritas de tal forma que se puedan entender en el LINDO o QSB+.
a)
Por cada 3 kilos de maíz que ponga en una dieta de pollos, debo poner al
menos 2 kilos de harina de pescado.
b)
Por cada kilo de galletas de chocolate se usan 800 grs. de harina, y por
cada kilo de galletas de gengibre se usan 650 gramos de harina. Se
dispone de 6.000 grs. de harina en total.
c)
Un proveedor de tomates (proveedor A) exige que si le compro, le
compre como mínimo 15 kilos.
d)
El número de hectáreas sembradas de maíz debe ser igual a 10, 15 o 20.
Son las únicas tres posibilidades.
e)
Un agricultor ha decidido que si produce trigo, no puede producir maíz,
y sí debe producir porotos.
150
f)
Deseo producir exactamente 3 productos de 5 posibles.
g)
SAVORY ha decidido regalar 3 calcomanías por cada 10 helados que le
compren.
h)
Se requieren 2 jornadas-hombre (JH) por hectárea de maíz y 3 JH por
hectárea de porotos. Se dispone de un máximo de 120 JH en horario
normal y de 30 JH en horario extraordinario.
i)
El abastecedor A está dispuesto a venderle como máximo 30 unidades si
Ud. le compra al abastecedor B. Si no le compra al abastecedor B,
entonces está dispuesto a venderle cualquier cantidad hasta 55 unidades.
11.17.Ud. es administrador de un fundo de 120 hectáreas y debe programar su
producción para el próximo año. Los productos posibles son porotos, arvejas
y tomates. Los coeficientes técnicos de producción, las disponibilidades de
los distintos recursos, los precios y rendimientos se presentan a continuación.
Porotos
Mano de obra
(en JH/há.)
Maquinaria
(en JM/há)
Rendimiento
(en qq/há)
Precio neto (2)
(en pesos/qq.)
Arvejas
Tomates Disponibilidad
3
5
9
(1)
6
2
9
550
60
50
30
2.000 3.000
8.000
Notas:
(1)
La disponibilidad máxima es de 400 JH en horario normal y
300 JH en horario extraordinario.
(2)
Se refiere a neto de insumos tales como semillas, fertilizantes,
etc.
Ud. sabe además que el precio por JH en horario normal es de 2.000 pesos
por jornada trabajada, y en horario extraordinario de 2.800 pesos por jornada
trabajada.
Se pide:
151
a)
Plantee, SIN RESOLVER, el problema de optimización correspondiente.
b)
Asigne valores numéricos en forma arbitraria a los precios sombra
asociados a la(s) restricción(es) de mano de obra, y explique claramente
qué significan en la práctica dichos números.
c)
Suponga que ha decidido sembrar como máximo 2 de los cultivos.
¿Cómo incorporaría esta restricción?
d)
Ahora suponga que si decide no sembrar nada, el administrador del
fundo del lado le ofrece 400.000 pesos por arrendárselo durante un año.
Replantee, sin resolver, el problema de optimización correspondiente.
11.18.Usted acada de ser nombrado Gerente de Programaciones de LADECO. Su
primer trabajo, donde debe demostrar sus habilidades, consiste en programar
exactamente "un vuelo" desde Santiago a cada una de las siguientes ciudades:
Arica, Temuco y Puerto Montt.
Las horas disponibles de salida son: 8 AM y 6 PM.
LADECO no puede programar más de dos vuelos en una misma hora de
salida.
Los datos de demanda sugieren las siguientes contribuciones a la utilidad
esperada, en función de la hora de salida:
Hora de salida
8 AM 6 PM
Destino
Arica
Temuco
Puerto Montt
10
13
15
8
9
23
Se pide:
Formule el modelo de optimización correspondiente de tal forma que pueda
ser resuelto usando el programa LINDO.
152
11.19.Suponga el siguiente problema de optimización:
Maximizar 220 T + 300 P + 150 M + 195 C
donde T, P, M, C, representan las hectáreas a sembrar de trigo, porotos, maíz,
y cebollas, respectivamente.
Las restricciones son:
T + P + M + C ≤ 200
(hectáreas)
2T + 4P + 3M + 5C ≤ 500 (maquinaria, en jornadas)
Se pide:
¿Cómo incorporaría las siguientes restricciones adicionales?
a)
Por una peste extraña, si siembra trigo, no puede sembrar más de 2
hectáreas de cebollas.
b)
Si siembra cualquier cultivo, debe sembrar mínimo 3 hectáreas.
c)
Puede contratar horas extra de maquinaria a un precio de 10 pesos por
jornada, pero debe pagar el costo del transporte hasta su predio que
asciende a 1.000 pesos.
d)
Si siembra porotos, debe sembrar un máximo de 100 hectáreas en el total
de los demás cultivos.
e)
Si siembra los 4 cultivos debe contratar a un segundo ingeniero
agrónomo por 10.000 pesos.
f)
En relación con el problema original, si gana más de 80.000 pesos
brutos, debe pagar un impuesto adicional de 1.500 pesos, aunque se pase
por 1 solo peso.
11.20.Los localidades se abastecen de dos centros mayoristas. Los costos medios de
transporte son los que a continuación se señalan:
Mayorista
1
2
Localidad
1
3 + 2X
6+X
2
4+X
3X
Oferta
200
130
Demanda
153
110
120
donde X representa la cantidad que se transporta entre cada centro de origen
y cada centro de consumo.
Se pide:
Plantee el problema de minimización de costo de transporte de tal forma que
pueda ser resuelto con variables binarias.
11.21.Suponga que Ud. está sentado en este minuto frente a 100.000 melones de 1
kilo cada uno de su propiedad en su fundo en Melipilla.
Tiene la posibilidad de mandarlos ya sea a San Antonio, donde el precio de
venta es de 28 pesos, o a Santiago donde el precio de venta es de 26 pesos por
unidad.
Debido al reciente terremoto, existe un fuerte problema de transporte entre
Melipilla y San Antonio por lo que las autoridades han decidido restringir los
flujos entre ambas ciudades que no sean de emergencia (medicamentos y
materiales de construcción). Para lograrlo, han decidido poner un impuesto
unitario por kilo que transporte cualquier productor o empresa, creciente. Es
decir, mientras más kilos Ud. decida transportar a San Antonio mayor será el
impuesto unitario que Ud. deberá pagar. El impuesto unitario promedio al
cual estará sujeto es:
T = 0,0001 X
donde X es el número de kilos transportados entre Melipilla y San Antonio y
T es el impuesto promedio por unidad transportada expresado en pesos.
Suponga asimismo un costo de transporte unitario, excluído el impuesto, de 5
pesos por melón, que pesan 1 kilo cada uno, entre Melipilla y San Antonio y
de 4 pesos por melón entre Melipilla y Santiago.
Se pide:
a)
Plantee el problema de programación cuadrática correspondiente.
b)
Escriba las condiciones de Kuhn Tucker correspondientes.
154
c)
Determine cuánto debe enviar a cada mercado.
d)
Un vecino suyo le ofrece un melón en 23 pesos.
Justifique.
¿Se lo compra?.
11.22.Considere el siguiente problema de optimización:
Maximizar - X1 - 2X2 + 3X1 + X2
sujeto a:
X1 + X2 ≤ 8
X1, X2 ≥ 0
a)
Demuestre si la función objetivo es cóncava, convexa, o ninguna de las
dos.
b)
Plantee el problema de Programación Cuadrática correspondiente.
11.23.Ud. es el único productor en Chile de trigo de color verde y de maíz colorado.
Este es un mercado muy especial, que tiene la característica que hay miles de
consumidores (es decir, Ud. es un monopolista que NO enfrenta un poder
monopsónico por el lado de la demanda). Las demandas que Ud. enfrenta
son :
Ptv = 100 - Qtv
Pmc = 200 - 2Qmc
donde Ptv, Pmc, Qtv, Qmc son lo precios y cantidades vendidas de trigo de
color verde y de maíz colorado respectivamente.
Los costos totales de producción se pueden expresar como:
CT = 10 + 2Qtv + 3Qmc
Por último, Ud. sabe que no puede producir más de 30 unidades considerando
ambos productos.
Se pide:
Plantee el problema de Programación Cuadrática correspondiente.
155
11.24.Ud. tiene una verdulería y tiene 3 proveedores a los que puede comprar
tomates, lechugas, repollos, y zanahorias.
Los precios a los que Ud. puede vender, los precios que cobran los distintos
proveedores, junto con las cantidades máximas que puede comprarle a cada
uno, se presentan a continuación:
Precio Prov. 1
de venta P
Q
máx.
máx.
Tomates
Lechugas
Repollos
Zanahorias
200
150
300
400
150
100
50
260
Prov. 2
P
Q
máx.
40 100
100
40
5 150
35 300
30
40
10
20
Prov. 3
P
Q
80 50
200 30
60 20
40 10
Adicionalmente, Ud. sabe que no podrá vender a esos precios más de 80, 270,
400 y 38 Kg. de tomates, lechugas, repollos, y zanahorias respectivamente.
Se pide:
a)
Plantee el problema de programación lineal correspondiente de tal forma
de maximizar sus ingresos netos.
b)
Si el costo de ir y volver donde cada proveedor es el siguiente:
Proveedor 1:
Proveedor 2:
Proveedor 3:
1.500
6.000
12.000
¿Cómo incorporaría este hecho en su planteamiento, de tal manera que
pueda ser resuelto con el LINDO?
c)
Ahora suponga que al proveedor 1 le carga el proveedor 2 por lo que
exige que si Ud. decide comprarle a él (proveedor 1) entonces le debe
comprar al menos el triple que al 2 en términos de kilos totales. ¿Cómo
incorporaría este hecho en su planteamiento LINDO?
d)
En relación con el problema planteado en (a), suponga que los tomates
del proveedor 1 son de un tipo especial donde Ud. es un monopolista que
enfrenta la siguiente curva de demanda:
156
Precio = 80 - 2Q
Plantee nuevamente el problema de tal forma que pueda ser resuelto con
el LINDO.
157
REFERENCIAS
Chiang, Alpha C.: Fundamental Methods of Mathematical Economics, 2da. Edición,
Mc Graw-Hill Book Company 1974.
Edwards, Gonzalo: Matemáticas y Estadística en Economía, Serie Docente No. 52,
Instituto de Economía, P. Universidad Católica de Chile, 1992.
Hillier, F. y G.J. Lieberman: Introduction to Operations Research, 3a. Edición,
Holden-Day, San Francisco, 1980.
Intrilligator, M.D.: Mathematical Optimization and Economic Theory, PrenticeHall, New Jersey, 1971.
Philippi, Bruno: Introducción a la Optimización de Sistemas,
Universidad Católica de Chile, 1982.
Ediciones

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE INSTITUTO DE

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