CONTEO DE FIGURAS

Raz. Matemático
OBJETIVOS
“Siempre es más valioso
tener el respeto que la admiración
de las personas”
Jean Jacques Rousseau
CONTEO DE FIGURAS
Mecanismo que consiste en determinar la máxima cantidad de figuras de cierto tipo, que se encuentran presentes
en una figura dada.
MÉTODOS DE CONTEO .-
*
Conteo Mediante Inducción (Fórmula) :
Consiste en analizar casos particulares a la figura dada
(figuras análogas), tratando de encontrar una ley de
formación coherente, para luego poder generalizar
(encontrar la fórmula)
¿Cuántos triángulos hay en :
* Conteo Directo :
1. Método de Schoenk :
Consiste en asignar números y/o letras a todas las figuras simples, posteriormente se procede al conteo
creciente y ordenado, de figuras de 1 número; al unir
2 números, al unir 3 números, ... etc.
Casos particulares :
Para n = 3
6
5

1
1 2

3
1 2 3

6
4
• De 1 número : ninguno
• De 2 números : 12; 23; 34; 45; 56; 61
• De 3 números : 123; 234; 345; 456; 561; 612

Total de cuadriláteros :
2 números
6+6=2
3 números
Número de triángulos
1
Resolución :
3
Para n = 1
Para n = 2
Figura será
2
12
Resolución :
¿Cuántos cuadriláteros hay en :
1
2 3 .........
1
Ley de Formación :
1
(para 1 espacio)
1+2
(para 2 espacios)
1 + 2 + 3 (para 3 espacios)

Para “n” espacios :
Raz. Matemático
04.¿Cuántos ángulos agudos hay?
Número de triángulos :
n(n+1)
2



1+ 2+ 3+…+ n =
1
2
ver sumatorias
3
Este método nos sirve para contar también “segmentos”; “cuadriláteros”; “ángulos agudos”; “sectores circulares”; “hexágonos”; “trapecios”; “letras” ... etc.
50
Resolución :
“Por el método práctico”
2. Método Práctico :
El número de figuras está dado por : «La mitad de la
multiplicación de número de espacios y el consecutivo del número de espacios».
Número de ángulos agudos 
50•51
 1275
2
05.¿Cuántos sectores circulares hay en :
Por Ejemplo :
1 2
01.¿Cuántos triángulos hay en :
3
n
Resolución :
“Método práctico”
Resolución :
Número de sectores circulares 
“Método Práctico” :
5• 6
# de s 
=15
2
1 2
3
n(n  1)
2
06.¿Cuántos hexágonos hay en :
4 5
02.¿Cuántos segmentos hay en :
Resolución :
• Contando encontramos 6 espacios.
Luego :
Resolución :
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Número de hexágonos 
6•7
 21
2
“Método Práctico”
Número de segmentos =
9•10
 45
2
07.¿Cuántos triángulos hay en :
1
2
03.¿Cuántos cuadriláteros hay en :
3
4
1 2 3 …… 18 19 20
6
Resolución :
Resolución :
“Método práctico” :
Como hay 20 espacios, luego :
Número de cuadriláteros 
5
20•21
 210
2
Analizando casos particulares nos daremos cuenta que
cumple con el “método práctico”
 Número de triángulos 
6•7
 21
2
Raz. Matemático
09. ¿Cuántos cuadriláteros hay en :
08.¿Cuántos cuadriláteros hay en :
Resolución :
Contando directamente, encontraremos 18, pero el
método más rápido sería :
Resolución :
“Por el método práctico”
x
3
+
+
6
+
10=
Número de cuadriláteros : 3 • 6 = 18
En general :
4• 5
=
2
+
4
3
2
1
2
3
+
4
n
….
5
3
2
1 2 3 .................. n
Númerode n(n1) m(m1)

•
Cuadriláteros 
2
2

 


horizontal
vertical
x
5• 6
=15
2
Número de cuadriláteros = 10 • 15 = 150
10.¿Cuántos paralelepípedos hay en :
3
2
n
.....
..
.
P
..
2
1
1
1 2 3 4
2
3
4
5
1 2..... m
1
2
Resolución :
Por el método práctico :
Número de
5•6 4•5 3•4

•
•
 900
Paralelepípedos
2
2
2
Nú m ero de
n(n  1) m(m 1) P(P  1)

•
•
P aralelepipedos
2
2
2
Raz. Matemático
Trabajo Práctico Nº01
1.
Calcular el número de segmentos que hay en la
siguiente figura.
T
R
I
U
N
F
7.
¿Cuántos triángulos hay?
A
Rpta: ............................................................
2.
Hallar el total de triángulos en la figura:
Rpta: ............................................................
8.
1
2
3
4 5
Hallar el número de octágonos en la figura mostrada.
6
Rpta: ............................................................
3.
Hallar el número total de triángulos en:
Rpta: ............................................................
9.
1
2 3
19 20
¿Cuántos trapecios circulares y cuántos sectores
circulares hay en la figura en total?
Rpta: ............................................................
4.
¿Cuál es el número total de hexágonos?
Rpta: ............................................................
10. ¿Cuántos trapecios hay en la figura?
Rpta: ............................................................
5.
Cuántos cuadriláteros se pueden hallar en:
1 2
2
3
4
3 4
5 6
7
8
Rpta: ............................................................
5
Rpta: ............................................................
6.
11. Si por cada segmento que ubiques en la siguiente
figura se te reconoce S/.1. ¿Cuánto recibirás?.
Cuántos paralelepípedos hay en:
3
2
1
1 2 3 4 5
2
3
4
Rpta: ............................................................
Rpta: ............................................................
Raz. Matemático
12. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?
Rpta: ............................................................
13. Cuántos triángulos hay en:
17. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura?
Rpta: ............................................................
18. Hallar el máximo número de triángulo en:
Rpta: ............................................................
19. Hallar el número de cuadrados en:
Rpta: ............................................................
14. Hallar el número de hexágonos en la figura
mostrada:
Rpta: ............................................................
Rpta: ............................................................
15. ¿Cuántas diagonales se podrá trazar en la figura
mostrada?.
20. Recto:
Calcule la diferencia entre el número total de
exágonos y el número total de pentágonos existentes
en la siguiente figura.
Rpta: ............................................................
16. Cuántos sectores circulares hay en:
Rpta: ............................................................
Rpta: ............................................................