Ejercicio nº 1

Ejercicio nº 1.Resuelve las siguientes operaciones con números enteros:
a) 12 − 9 + 3 − 6 + 7 + 4
b) 5 − 10 + 8 − 9 + 3
Solución:
a) 12 − 9 + 3 − 6 + 7 + 4 = 12 + 3 + 7 + 4 − 9 − 6 = 11
b) 5 − 10 + 8 − 9 + 3 = 5 + 8 + 3 − 10 − 9 = 16 − 19 = −3
Ejercicio nº 2.Calcula los siguientes productos y divisiones de números enteros:
a) (+7) · (−2) · (+4)
b) (+5) · (−2) · (−11)
c) (−600) : (−30)
d) (−72) : (+6)
Solución:
a) (+7) · (−2) · (+4) = −56
b) (+5) · (−2) · (−11) = 110
c) (−600) : (−30) = 20
d) (−72) : (+6) = −12
Ejercicio nº 3.Resuelve escribiendo el proceso paso a paso:
a) (−7) · [(+3) + (+4) − (2 + 5 − 1)]
b) (−7) · (+1) − [(−5) + (−2) − (−3)] · (−2)
Solución:
a) (−7) · [(+3) + (+4) − (2 + 5 − 1)] = (−7) · (7 − 6) = (−7) · 1 = −7
b) (−7) · (+1) − [(−5) + (−2) − (−3)] · (−2) = (−7) · (+1) − (−4) · (−2) = (−7) − (+8) = −15
Ejercicio nº 4.Las temperaturas máxima y mínima de ayer fueron +20 °C y −3 °C. ¿Cuál fue la máxima
diferencia de temperaturas de ayer?
Solución:
20 + 3 = 23 °C fue la máxima diferencia de temperaturas
Ejercicio nº 5.Justifica las siguientes afirmaciones:
a) Si a un múltiplo de 6 le sumamos 12, obtenemos otro múltiplo de 6.
b) Si sumamos dos múltiplos de 5, el resultado es también múltiplo de 5.
Solución:
a) La suma de dos múltiplos de un número es otro múltiplo de ese número.
b) La suma de dos múltiplos de un número es múltiplo del número.
Ejercicio nº 6.Calcula:
a) m.c.m. (20, 24, 36)
b) M.C.D. (48, 72, 84)
Solución:
a) 20 = 22 ⋅ 5
24 = 23 ⋅ 3
36 = 22 ⋅ 3 2
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
b) 48 = 2 4 ⋅ 3
72 = 23 ⋅ 3 2
84 = 22 ⋅ 3 ⋅ 7
m.c.m. (20, 24, 36 ) = 23 ⋅ 3 2 ⋅ 5 = 360
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
M.C.D. (48, 72, 84 ) = 22 ⋅ 3 = 12
Ejercicio nº 7.Un granjero ha recogido de sus gallinas 24 huevos morenos y 36 huevos blancos. Quiere
envasarlos en cajas con la mayor capacidad posible y con el mismo número de huevos (sin
mezclar los blancos con los morenos). ¿Cuántos huevos debe poner en cada caja?
Solución:
24 = 23 ⋅ 3 ⎫⎪
M.C.D. ( 24, 36 ) = 22 ⋅ 3 = 12 huevos en cada caja
2
2⎬
36 = 2 ⋅ 3 ⎪⎭
Ejercicio nº 8.Silvia visita a su abuela cada 8 días y su hermano Alberto, cada 14 días. Hoy han coincidido
en la visita. ¿Cuándo volverán a coincidir? ¿Cuántas visitas habrá hecho cada uno a su
abuela?
Solución:
8 = 2 3 ⎪⎫
3
⎬ m.c.m. (8, 14 ) = 2 ⋅ 7 = 56 días
14 = 2 ⋅ 7 ⎪⎭
Volverán a coincidir dentro de 56 días.
En ese tiempo, Silvia hará a su abuela 56 : 8 = 7 visitas.
Y Alberto le hará 56 : 14 = 4 visitas.
Ejercicio nº 9.Resuelve escribiendo el proceso paso a paso:
a) (−3) · [(+3) + (+5) − (5 + 4 − 2)]
b) (−6) · (+2) − [(−4) + (−3) − (−3)] · (−2)
Solución:
a) (−3) · [(+3) + (+5) − (5 + 4 − 2)] = (−3) · (8 − 7) = (−3) · 1 = −3
b) (−6) · (+2) − [(−4) + (−3) − (−3)] · (−2) = (−6) · (+2) − (−4) · (−2) = −12 − 8 = −20
Ejercicio nº 10.Por ocho horas de trabajo un obrero recibe 120 euros. ¿Cuánto ganará por 40 horas de
trabajo?
Solución:
120 : 8 = 15 euros por hora
15 · 40 = 600 euros
Ganará 600 euros por 40 horas.
Ejercicio nº 11.Anaximandro, filósofo y matemático griego, nació en el año 611 a. C. y murió en el año
547 a. C. ¿Qué edad tenía al morir?
Solución:
611 − 547 = 64 años
Ejercicio nº 12.Justifica las siguientes afirmaciones:
a) El número 4 es divisor de 16, y también es divisor de todos los múltiplos de 16.
b) Si un número es múltiplo de 12, también es múltiplo de 6.
Solución:
a) Si c es divisor de b, entonces c también es divisor de los múltiplos de b.
b) Si a es múltiplo de b y b es múltiplo de c, entonces a es múltiplo de c.
Ejercicio nº 13.Calcula:
a) m.c.m. (30, 60, 90)
b) M.C.D. (8, 16, 24)
Solución:
a) 30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5
60 = 2 2 ⋅ 3 ⋅ 5
90 = 2 ⋅ 3 2 ⋅ 5
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
m.c.m. (30, 60, 90 ) = 2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 5 = 180
b) 8 = 23
16 = 2 4
24 = 23 ⋅ 3
⎫
⎪
3
⎬ M.C.D. (8, 16, 24 ) = 2 = 8
⎪
⎭
Ejercicio nº 14.En un albergue coinciden tres grupos de excursión de 40, 56 y 72 personas cada grupo. El
camarero quiere organizar el comedor de forma que en cada mesa haya igual número de
comensales y se reúna el mayor número de personas posible sin mezclar los grupos.
¿Cuántos comensales sentará en cada mesa?
Solución:
40 = 23 ⋅ 5
56 = 23 ⋅ 7
72 = 23 ⋅ 3 2
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
M.C.D.
( 40, 56, 72) = 23 =
8 comensales en cada mesa
Ejercicio nº 15.Un cometa es visible desde la Tierra cada 24 años y otro, cada 36 años. El último año que
fueron visibles conjuntamente fue en 1944. ¿En qué año volverán a coincidir?
Solución:
24 = 2 3 ⋅ 3 ⎫⎪
3
2
⎬ m.c.m. (24, 36 ) = 2 ⋅ 3 = 72 años
2
2
36 = 2 ⋅ 3 ⎪⎭
Los cometas coinciden cada 72 años, y 1944 + 72 = 2016.
Los cometas volverán a coincidir en el año 2016.
Ejercicio nº 16.Resuelve escribiendo el proceso paso a paso:
a) (−2) · [(+6) + (+4) − (3 + 7 − 1)]
b) (−2) · (+7) − [(−2) + (−8) − (−4)] · (−3)
Solución:
a) (−2) · [(+6) + (+4) − (3 + 7 − 1)] = (−2) · (10 − 9) = (−2) · 1 = −2
b) (−2) · (+7) − [(−2) + (−8) − (−4)] · (−3) = (−2) · (+7) − (−6) · (−3) = (−14) − 18 = −32
Ejercicio nº 17.Armando tiene 15 euros, pero debe 7 a su hermana. Su abuelo le da 8 euros de paga, y se
gasta 13 euros en una cinta de música. ¿Cuánto le queda?
Solución:
15 − 7 + 8 − 13 = 15 + 8 − 7 − 13 = 23 − 20 = 3 euros
Le quedan 3 euros.
Ejercicio nº 18.Justifica las siguientes afirmaciones:
a) Si un número es múltiplo de 8, también es múltiplo de 2.
b) La suma de dos múltiplos de 4, es otro múltiplo de 4.
Solución:
a) Si a es múltiplo de b y b es múltiplo de c, entonces a es múltiplo de c.
b) La suma de dos múltiplos de un número a es otro múltiplo de a.
Ejercicio nº 19.Calcula:
a) m.c.m. (12, 24, 36)
b) M.C.D. (60, 72, 84)
Solución:
a) 12 = 22 ⋅ 3
24 = 23 ⋅ 3
36 = 22 ⋅ 3 2
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
b) 60 = 22 ⋅ 3 ⋅ 5
72 = 23 ⋅ 3 2
84 = 22 ⋅ 3 ⋅ 7
m.c.m. (12, 24, 36 ) = 23 ⋅ 3 2 = 72
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
M.C.D. (60, 72, 84 ) = 22 ⋅ 3 = 12
Ejercicio nº 20.Un electricista tiene tres rollos de cable de 96, 120 y 144 metros de longitud. Desea cortarlos
en trozos iguales de la mayor longitud posible, sin que quede ningún trozo sobrante. ¿Qué
longitud deberá tener cada trozo?
Solución:
⎫
⎪
⎪
120 = 23 ⋅ 3 ⋅ 5 ⎬ M.C.D. ( 96, 120, 144 ) = 23 ⋅ 3 = 24 metros cada trozo
⎪
144 = 2 4 ⋅ 3 2 ⎪⎭
Ejercicio nº 21.El autobús de la línea A pasa por cierta parada cada 12 minutos, el de la línea B pasa cada
18 minutos y el de la línea C, cada 24 minutos. Si todos coinciden a las 10 de la mañana, ¿a
qué hora vuelven a coincidir?
96 = 25 ⋅ 3
Solución:
12 = 2 2 ⋅ 3 ⎫
⎪⎪
18 = 2 ⋅ 3 2 ⎬ m.c.m. (12, 18, 24 ) = 2 3 ⋅ 3 2 = 72 minutos = 1 h 12 m
⎪
24 = 2 3 ⋅ 3 ⎪
⎭
Los autobuses coinciden cada 72 minutos = 1 h 12 min.
10 h + 1 h 12 min = 11 h 12 min
Los autobuses volverán a coincidir a las 11 h 12 min.
Ejercicio nº 22.Resuelve escribiendo el proceso paso a paso:
a) (−6) · [(+5) + (+3) − (3 + 5 − 1)]
b) (−3) · (+2) − [(−4) + (−4) − (−5)] · (−4)
Solución:
a) (−6) · [(+5) + (+3) − (3 + 5 − 1)] = (−6) · (8 − 7) = (−6) · 1 = −6
b) (−3) · (+2) − [(−4) + (−4) − (−5)] · (−4) = (−3) · (+2) − (−3) · (−4) = (−6) − 12 = −18
Ejercicio nº 23.Ramón ha pagado 4 euros por un refresco y una hamburguesa, y Marta ha pagado 5 euros
por dos refrescos y una hamburguesa. ¿Cuánto vale un refresco? ¿Y una hamburguesa?
Solución:
5 euros → 2 refrescos y 1 hamburguesa
−4 euros → 1 refresco y 1 hamburguesa
1 euro
→ 1 refresco
Refresco = 1 euro
4 − 1 = 3 euros una hamburguesa
Ejercicio nº 24.Justifica las siguientes afirmaciones:
a) El número 2 es divisor de todos los múltiplos de 8.
b) Si un número es múltiplo de 6, también es múltiplo de 2.
Solución:
a) Si c es divisor de b, también es divisor de todos los múltiplos de b.
b) Si a es múltiplo de b y b es múltiplo de c, entonces a es múltiplo de c.
Ejercicio nº 25.Calcula:
a) m.c.m. (15, 16, 18)
b) M.C.D. (32, 40, 48)
Solución:
a) 15 = 3 ⋅ 5
16 = 2 4
18 = 2 ⋅ 3 2
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
m.c.m. (15, 16, 18 ) = 2 4 ⋅ 3 2 ⋅ 5 = 720
⎫
⎪⎪
⎬
⎪
4
48 = 2 ⋅ 3 ⎪
⎭
5
b) 32 = 2
40 = 2 3 ⋅ 5
M.C.D. (32, 40, 48 ) = 2 3 = 8
Ejercicio nº 26.Un carpintero dispone de tres listones de madera de 30, 45 y 60 cm de longitud,
respectivamente. Desea dividirlos en trozos iguales y de la mayor longitud posible sin
desperdiciar nada. ¿Qué longitud debe tener cada trozo?
Solución:
30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5
45 = 3 2 ⋅ 5
60 = 22 ⋅ 3 ⋅ 5
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
M.C.D.
( 30, 45, 60 ) = 3 ⋅ 5 = 15
cm cada trozo
Ejercicio nº 27.Una rana corre dando saltos de 30 cm, perseguida por un gato que da saltos de 45 cm.
¿Cada cuántos centímetros coinciden las huellas del gato y las de la rana?
Solución:
30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⎫⎪
2
⎬ m.c.m. (30, 45 ) = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 90 cm
2
45 = 3 ⋅ 5 ⎪⎭
Las huellas coinciden cada 90 cm.