Nivel 1 Juvenil

Sociedad
Ecuatoriana de
Matemática
ETAPA INTERNA-SOLUCIONARIO
VII Olimpiada Matemática de la Sociedad Ecuatoriana
de Matemática
Primer Nivel Juvenil
Febrero de 2010
1. Organizas una reunión en casa con tus amigos. En la nevera hay mantequilla y mayonesa, jamón
y mortadela, queso fresco y queso mozarella, tomate y lechuga. Tú vas a preparar sánduches
untando ambas rebanadas de pan con la misma sustancia y de manera que en su interior tengan un
embutido, un queso y un vegetal. ¿Cuántos tipos diferentes de sánduches tendrás en tu reunión?
a) 8
b) 12
c) 16
d) 20
e) 24
Solución: c)
Como hay cuatro tipos de componentes que deben ir obligatoriamente en el sánduche, y hay dos
opciones para cada uno de los componentes, el número de sánduches diferentes está dado por
2 × 2 × 2 × 2 = 16.
2. Si la rueda delantera de tu bicicleta tiene 4 metros de circunferencia y la trasera, 5 metros,
¿cuántas vueltas daría la rueda delantera más que la trasera si recorrieras 200 metros con tu
bicicleta?
a) 5
b) 10
c) 20
e) Menor número
d) 0
Solución: b)
Ambas ruedas recorrieron una distancia de 200 metros. Como la rueda delantera tiene una circunferencia de 4 metros habrá dado 50 vueltas en total, (4x50=200), mientras que la rueda trasera,
que tiene una circunferencia de 5 metros, habrá dado 40 vueltas en total (5x40=200). Por tanto,
la rueda delantera dio 10 vueltas más que la trasera.
3. ¿Cuál de estos números es el mayor?
a) 100 + 0, 01
b) 100 × 0, 01
c)
100
0, 01
d)
0, 01
100
e) 100 − 0, 01
Solución: c)
Se tiene que 100 + 0, 01 = 100, 01;
1
= 1;
100 × 0, 01 = 100 × 100
100
0,01
=
100
1
100
= 100 × 100 =
100
1
10000; 0,01
100 es el inverso de 0,01 , es decir es 10000 = 0, 0001; finalmente, 100 - 0,01 es menor que
100
.
100. En consecuencia, el número mayor es 0,01
1
4. La balanza de la figura está en equilibrio. Sobre el plato izquierdo, hay 5 sacos de arena y 4
pelotas; en el plato derecho, dos sacos de arena y diez pelotas. Los pesos de las pelotas son todos
iguales entre sí y lo mismo ocurre con los pesos de los sacos: todos son iguales entre sí. ¿Al peso
de cuántas pelotas es igual el peso de un saco de arena?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Solución: b)
Solución 1: Dado que la balanza está en equilibrio, el peso del plato de la derecha es igual al peso
del plato de la izquierda. Si x es el peso de los sacos de arena y y representa el peso de cada
pelota se cumple entonces que:
5x + 4y = 2x + 10y
de donde: 3x = 6y y x = 2y. Es decir, el peso de un saco de arena es igual al peso de 2 pelotas.
Solución 2: Considerando que la balanza está en equilibrio, se puede retirar la misma cantidad de
peso en cada uno de sus platos y el equilibrio se mantendrá. Así, si se retiran dos sacos de arena
y cuatro pelotas de cada plato quedan 3 sacos de arena en el plato de la izquierda y 6 pelotas
en el plato de la derecha. Se deduce entonces que el peso de un saco de arena es igual al de dos
pelotas.
5. El lenguaje de una tribu utiliza el alfabeto español consistente de las 26 letras latinas y de la
letra “Ñ”:
A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z.
Cada palabra de este lenguaje está formada por dos letras: una consonante y una vocal, en
cualquier orden. ¿Cuántas palabras distintas posee el lenguaje de esta tribu?
a) 54,
b) 100,
c) 110,
d) 200,
e) 220.
Solución: e)
En el abecedario existen cinco vocales y 22 consonantes de manera que, si se forma una palabra
cuya primera letra sea una consonante, se tendrán 110 palabras. Por otro lado, si una palabra
empieza con una vocal se obtienen 110 palabras más. Así, en total, existen 220 palabras.
6. 1616 + 1616 + 1616 + 1616 es igual a:
a) 1664 ,
b) 1632 ,
c) 464 ,
d) 433 ,
e) 432 .
Solución: d)
1616 + 1616 + 1616 + 1616 = 4 × 1616 = 4 × (42 )16 = 4 × 432 = 433 .
7. Por su aniversario, una ferretería da un descuento del 35 % sobre el precio de venta al público
en cada uno de sus artículos. Al adquirir un artículo cuyo precio de venta al público es de 120
dólares, ¿cuánto se pagará por el artículo?
a) 35
b) 42
c) 78
d) 94
2
e) Más de 100
Solución: c)
El descuento del 35 % correspondiente a una venta de 120 dólares es de 42 dólares. Por tanto, el
comprador debe cancelar 120 - 42 =78 dólares.
8. ¿Cuál es el mayor número de 6 dígitos que se puede obtener mediante la supresión de 9 de los
dígitos del número 758257260669103 si se mantiene el orden de los dígitos no suprimidos?
a) 758256,
b) 782569,
c) 879103,
d) 986103,
e) 987776.
Solución: c)
El mayor número de 6 dígitos será aquel que tenga el mayor dígito posible en cada una de sus
seis posiciones. Así, el mayor dígito en el número original es el 9, mas el número que se busca no
puede iniciar con 9 ya que sólo restan 3 números luego del mismo. Se observa que el número si
puede iniciar con el dígito 8; el mayor dígito que le sigue y es posible de elegir es el número siete,
para la tercera posición se escoge al número nueve y se termina con los tres dígitos finales 1, 0 y
3. Entonces, el mayor número que se puede obtener es el 879103.
9. Un edredón cuadrado de color blanco y negro se hace con cuadrados y con triángulos isósceles.
Qué porcentaje de la manta es de color blanco?
a) 36 %
b) 40 %
c) 45 %
d) 50 %
e) 60 %
Solución: e)
El edredón está formado por 5 × 5 = 25 cuadrados. Los cuadrados son todos iguales. Los triángulos, en cambio, son de dos tipos: el tipo I que corresponde a medio cuadrado y el tipo II
que corresponde a 14 de un cuadrado. La parte blanca se compone de 8 triángulos del tipo I, 8
triángulos de tipo II y 9 cuadrados, es decir:
( 8 triángulos de tipo I ) + ( 8 triángulos de tipo II ) + 9 cuadrados = 15 cuadrados.
|
{z
}
|
{z
}
4 cuadrados
2 cuadrados
Luego, la fracción correspondiente a la parte blanca es:
15
60
=
= 60 %.
25
100
10. El diseño de la planta de una casa, cuyo piso es rectangular, tiene la distribución que se señala
en la figura. Si el área del menor de los cuadrados es de 1 m2 , ¿cuál es el área total del piso en
metros cuadrados?
2
3
1
4
5
6
3
7
a) 42,
b) 44,
c) 45,
d) 48,
e) 49.
Solución: c)
H
I
G
1
C
B
2
A
J
F
2
D
E
Como los cuadrados menores tienen
de área, cada uno de ellos tiene lado igual a 1m. De la
figura se concluye que BC = 2m y BH = 3m.
1m2
Como ABCD es un cuadrado, se sigue que BC = CD = AD = AB = 2m. Además, CDEF
también es un cuadrado, por tanto, CD = DE = 2m. Volviendo a la figura se observa que
AH = AB +BH = 2+3 = 5 , JE = JA+AD+DE y JA = AH. Entonces, JE = 5+2+2 = 9m.
Como EG = AH = 5m, las dimensiones del terreno son 9m de ancho por 5m de largo. Por tanto,
su área es 9 × 5 = 45m2 .
4