Formato - Investigación

Estructuras y teorı́as O-minimales
Walther Muete
Miguel Sandoval
Estudiantes Universidad Sergio Arboleda
Jesús Hernando Pérez
Profesor Universidad Sergio Arboleda
Resumen
Se presenta una panoramica de uno de los temas centrales de la denominada “matemàtica
moderada”. Con esta expresión se pretende calificar a todas aquellas teorı́as que en algún
sentido, no muy claro, son “manejables”, como serı́a el caso de las estructuras y teorı́as
o-minimales
Palabras Clave: Teorı́as y estructuras minimales, teorı́as y estructuras o-minimales,
espacios de Tarski, triangulación, lenguajes de primer orden, cuerpo real cerrado.
Introducción
Una forma útil de clasificar estructuras matemáticas consiste en asociarles, mediante procedimientos explı́citos, números o estructuras numéricas. El ejemplo más conocido es aquel
mediante el cuál es posible determinar la dimensión de un espacio vectorial de dimensión
finita. Esta asignación permite trabajar con tuplas ordenadas y con matrices y en esta forma
los cálculos se vuelven, en principio, más sencillos. Esta idea de dimensión esta asociada a
conceptos fundamentales como el de generador lineal, conjunto linealmente independiente
y base. Tal búsqueda se puede resumir en la esperanza de encontrar teoremas del estilo
siguiente:
Dos estructuras del mismo tipo M y N (por ejemplo, dos espacios vectoriales sobre un
mismo campo K) son isomorfas si y solo si:
dim(M ) = dim(N )
En esta forma, las estructuras del tipo en cuestión quedarı́an clasificadas mediante este
procedimiento de asignación de “una dimensión.a cada estructura, siempre y cuando dicha
dimensión sea un conjunto de números y pueda determinarse explı́citamente.
Jesús Hernando Pérez, Miguel Sandoval, Walther Muete
Infortunadamente, tal procedimiento de clasificación no es aplicable a tipos de estructuras
cualesquiera; ni siquiera a las llamadas estructuras elementales, es decir, aquellos tipos de
estructuras axiomatizables en lenguajes de primer orden.
El programa de investigación consistente en encontrar procedimientos de clasificación para
las estructuras matemáticas, es tan antiguo como la propia matemática. De hecho, fue la
escuela pitagórica la primera que planteó esta idea en forma universal mediante el muy
conocido aforismo “Todo es número”. A lo largo de toda la historia de nuestra disciplina,
esta búsqueda ha sido permanente; de hecho, para muchos casos, intentar asociarle a una
estructura un único número no es suficiente, a veces se necesitan tuplas de números. Un
ejemplo sencillo es el que se resume a continuación.
Considérese el siguiente tipo de estructura: las funciones lineales entre espacios vectoriales
reales de dimensión finita, es decir, triplas de la forma:
(V, f, W )
donde V y W son espacios vectoriales reales de dimensión finita y f : V → W es una función
lineal.
Un homomorfismo de la función lineal (V1, f1 , W1), en la función lineal (V2, f2, W2) es una
pareja (f, g) de funciones lineales.
V1
f1
- W1
g
f
?
V2
f2
?
- W2
f : V1 → V2 y g : W1 → W2 tales que g ◦ f1 = f ◦ f2 (ver ilustración).
Para estas estructuras, un isomorfismo será, entonces, una pareja (f, g) de funciones lineales
de tal manera que tanto f como g son isomorfismos.
En esta situación, la dimensión de una estructura no es un número sino, una tripla de
números: dim(V, f, W ) = (n, r, m), donde n es la dimensión del espacio V , m la del espacio
W y r el rango de f .
En estas notas se presentarán algunas de las ideas más generales sobre ciertos procedimientos
y técnicas utilizadas para la clasificación de estructuras a través de la asignación de números.
1.
Estructuras y teorı́as minimales
Un primer ejemplo de minimalidad es el siguiente: Considérese un lenguaje de primer orden
L y una estructura elemental M en la cual todos los sı́mbolos especı́ficos de L pueden
ser interpretados. Un conjunto definible D de M n (n ≥ 1) se dice minimal en M si y solo
si, todo subconjunto definible Y de D es o bien finito o su complemento en D es finito.
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Estructuras y Teorı́as O-minimales
Sı́ ϕ(x1, x2, . . . , xn , a1, a2, . . ., am ) es la fórmula que define a D (los parámetros a1 , . . ., am
pertenecen a M) entonces ϕ se dice “fórmula minimal”.
Se dice que D y ϕ son “fuertemente minimales”, si D es minimal en toda extensión elemental
de M. Una teorı́a T en L se dice fuertemente minimal, si la fórmula x = x es fuertemente
minimal. Un ejemplo interesante es el siguiente:
Considérese L el lenguaje con un único sı́mbolo especı́fico de relación binario E y sea T la
teorı́a constituida por las sentencias:
∀x xEx
∀x∀y(xEy ⊃ yEx)
∀x∀y∀z(((xEy) ∧ (yEz)) ⊃ (xEz))
Es decir la teorı́a que establece que E es una relación de equivalencia. Considérese ahora
un modelo M de T en el cual se tiene que:
1. No existen clases de equivalencia infinitas.
2. Para cada n = 1, 2, . . . existe una única clase de equivalencia con n elementos.
M es definible mediante la formula x = x y si Y ⊆ M es definible, entonces, Y es finito o
co-finito. De otra parte, si M es una subestructura elemental de N y en N existe una clase
de equivalencia infinita, entonces, la formula xEa , donde a ∈ N pertenece a la clase infinita
en cuestión, define un conjunto infinito y co-infinito. Esto último significa que M , siendo
minimal, no es fuertemente minimal.
Un resultado fundamental sobre las teorı́as fuertemente minimales es el siguiente: Supóngase
que T es una teorı́a fuertemente minimal y sea C la clase de todas las estructuras elementales
que son modelos de T . Existe entonces, un procedimiento explicito que asigna a cada uno
de los modelos M en C un número natural dim(M), de tal manera que dim(M) = dim(N)
si y solo si M ≈ N.
En otras palabras, los modelos de una teorı́a fuertemente minimal son clasificables mediante
números cardinales [MD, Pág. 211].
Este último resultado ha dado origen a un gran proyecto investigativo formulado explı́citamente, por primera vez, por Lou van den Dries en 1.984 [DvdL2]. En los parágrafos que
siguen, se abordarán algunos tópicos aclarados por los investigadores dentro de este programa.
2.
Estructuras O-Minimales
Supongamos ahora que en el lenguaje L existe un sı́mbolo < de relación binaria y que las
teorı́as a considerar contienen las sentencias:
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Jesús Hernando Pérez, Miguel Sandoval, Walther Muete
∀x∀y((x < y) ⊃ (¬(x = y) ∧ ¬(y < x)))
∀x∀y((x < y) ∨ (x = y) ∨ (y < x))
∀x∀y∀z(((x < y) ∧ (y < z)) ⊃ (x < z))
Es decir, en las teorı́as a considerar se incluyen afirmaciones que garantizan que < es el
nombre de una relación de orden estricto y total.
Bajo tales circunstancias, si M = (M, <, . . .) es un modelo de la teorı́a entonces, además de
los conjuntos finitos y co-finitos, también son definibles los intervalos, es decir los conjuntos
de la forma:
M
{x ∈ M | x < a},
{x ∈ M | b < x},
{x ∈ M | (x < a) ∨ (x = a)},
{x ∈ M | (b < x) ∨ (x = b)},
{x ∈ M | (a < x) ∧ (x < b)},
{x ∈ M | ((a < x) ∧ (x < b)) ∨ (x = a)},
{x ∈ M | ((a < x) ∧ (x < b)) ∨ (x = b)},
{x ∈ M | ((a < x) ∧ (x < b)) ∨ ((x = a) ∧ (x = b))},
donde a, b son parámetros y a < b. Dependiendo de los sı́mbolos que se incluyan en el
lenguaje L otros sub-conjuntos de M serán definibles; de manera que si estipulamos que
únicamente los conjuntos finitos, los intervalos y las uniones finitas de intervalos y de puntos
sean los definibles de M, tendremos nuevos ejemplos de estructuras minimales y de teorı́as
fuertemente minimales.
Lo anterior se puede generalizar un poco recordando el siguiente teorema:
Teorema 2.1. Si L es un lenguaje de primer orden y M = (M, . . .) es una estructura en
la cual se pueden interpretar todos los sı́mbolos de L entonces:
1. Los subconjuntos definibles de M n (n ≥ 1) forman un álgebra de Boole de subconjuntos de M n .
2. Los subconjuntos de la forma {(x1, . . . , xi, . . . , xj , . . . , xn ) ∈ M n | xi = xj } son claramente definibles.
3. Si πn,n+1 : M n+1 → M n es la función πn,n+1 (x1, . . . , xn , xn+1 ) = (xi, . . . , xn ) , y si
A ⊆ M n+1 es definible, entonces, πn,n+1 (A) es un subconjunto definible de M n .
200
Estructuras y Teorı́as O-minimales
4. Si A ⊆ M n y B ⊆ M m son definibles, entonces, A × B ⊆ M n × M m = M n+m es
definible.
5. Si f es un sı́mbolo operacional en el lenguaje L el gráfico de la función correspondiente
en la estructura M es definible.
6. Si R es un sı́mbolo relacional en el lenguaje L la relación correspondiente en la estructura M es un subconjunto definible.
En consideración al anterior teorema, se introduce la siguiente definición:
Definición 2.2 (Espacios de Tarski.). Un espacio de Tarski es una pareja ordenada
(X, (Sn)n≥1 ) donde X es un conjunto no vacı́o y Sn es una familia de subconjuntos de X n
de tal manera que:
1. Para cada (n ≥ 1), Sn es un álgebra de Boole de subconjuntos de X n .
2. Si A ∈ Sn entonces X × A y A × X pertenecen a Sn+1 .
3. Si A ∈ Sn+1 y πn,n+1 : X n+1 → X n es la proyección canónica, entonces
πn,n+1 (A) ∈ Sn .
4. Los conjuntos de la forma {(x1 , . . ., xi , . . ., xj , . . . , xn) ∈ M n | xi = xj } pertenecen a
Sn . Si además, en X existe una relación <, de orden estricto y lineal, se incluye el
axioma {(x, y) | x < y} ∈ S2 .
5. Sı́ a lo expresado en el último axioma se añade que los elementos de S1 son exactamente las uniones finitas de puntos e intervalos, entonces, el espacio de Tarski se dice
o-minimal.
Casos particulares de espacios de Tarski son los que se obtienen a partir de los lenguajes de
primer orden que contengan un sı́mbolo <, el cual nombra una relación de orden total.
Un primer tópico que aparece como objeto de estudio es considerar los espacios de Tarski
como objetos de una categorı́a; en tal caso, las preguntas iniciales serian: ¿Qué es un morfismo entre espacios de Tarski?, ¿Existen en esta categorı́a las construcciones que son usuales
en otras? Por ejemplo, ¿existen en esta categorı́a productos cartesianos?
Veamos ahora algunos ejemplos:
Considérese el conjunto R de los números reales y para cada n ≥ 1 , considérese Sn el
conjunto constituido por las uniones finitas de conjuntos que son intersecciones finitas de
conjuntos de la forma:
{(x1, . . . , xn) | a1 x1 + · · · + an xn = a},
{(x1, . . ., xn ) | a1x1 + · · · + an xn > a},
donde a1 , . . ., an ∈ R, a ∈ R.
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Jesús Hernando Pérez, Miguel Sandoval, Walther Muete
La relación de orden usual en R pertenece a S2 pues {(x, y) | x < y} = {(x, y) | x − y < 0}.
Claramente, los elementos de S1 son uniones finitas de puntos e intervalos. Por lo tanto,
este espacio de Tarski es una estructura o-minimal.
El siguiente teorema cuya demostración aparece en [MD, Pág. 99] muestra una familia muy
numerosa de estructuras o-minimales.
Teorema 2.3. La teorı́a de los cuerpos real cerrados es fuertemente o-minimal (o simplemente o-minimal).
Esto significa que todos los modelos de esta teorı́a son estructuras o-minimales en el lenguaje
de los cuerpos ordenados (de hecho, en el lenguaje de los anillos ordenados). Vale la pena
recordar aquı́ la definición de cuerpo real cerrado y de paso, formular una observación
fundamental.
Definición (A). Un cuerpo (K, +, −, 0, 1) es real cerrado si y solo si:
1. Todo elemento a ∈ K es un cuadrado o bien el opuesto −a es un cuadrado.
2. Todo polinomio de grado impar con coeficientes en K tiene al menos una raı́z en K.
Definición (B). (K, +, −, <, 0, 1) es un cuerpo real cerrado si y solo si:
1. a < 0 si y solo si a 6= 0 y a es un cuadrado.
2. Para todo polinomio con coeficientes en K, si a < b y p(a) < 0 < p(b), existe c,
a < c < b y p(c) = 0.
Aunque estas dos definiciones son equivalentes, desde el punto de vista lógico son diferentes
pues en los lenguajes que se utilizan para formular A y B los sı́mbolos especı́ficos no son los
mismos; en la definición A, no se usa el sı́mbolo <. Sin embargo, la relación <, en este caso,
es definible mediante la proposición x < y ≡ (y − x) 6= 0 y existe z tal que z 2 = (y − x). La
búsqueda de estructuras y de teorı́as o-minimales ha sido uno de los problemas centrales en la
teorı́a matemática que estamos presentando y que empieza a llamarse matemática moderada
(Tame mathematics). En los siguientes parágrafos mostraremos otras de las razones que
justifican este nombre.
3.
Propiedades Básicas De Las Estructuras O-Minimales
Teorema 3.1. Supóngase que (R, (Sn)n≥1 ) es un espacio de Tarski o-minimal y supóngase
que existe una operación binaria • sobre R de tal manera que la gráfica de • pertenece a S2
y es tal que, (R, •, <) es un grupo ordenado, donde < es el orden estricto lineal del espacio
de Tarski; entonces, (R, •) es un grupo abeliano divisible y sin torsión. [DvdL1]
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Estructuras y Teorı́as O-minimales
Demostración. Paso 1: Los únicos subgrupos de (R, •) que pertenecen a S1 son {1} y {R},
(1 es el elemento neutro del grupo).
a) Dado un subgrupo G de R que pertenece a S1 , G es convexo, es decir, si a, b ∈ G y
a < c < b entonces c ∈ G. Suponiendo lo contrario, existen g ∈ G y r ∈ R − G tales que
1 < r < g. Multiplicando sucesivamente por g, se obtiene
1 < r < g < rg < g 2 < rg 2 < g 3 < . . .
(1)
Como g ∈ Sn y la estructura (R, (Sn)n≥1 ) es minimal y G es un subgrupo, entonces:
i) g n ∈ G;
n
n = 1, 2 . . .
ii) rg ∈ R − G;
n = 1, 2 . . .
iii) G es la unión de un conjunto finito de intervalos y de puntos.
Esto último es contradictorio con las condiciones (1).
b) Supóngase que G 6= {1} y considérese s ∈ G, s 6= 1, 1 < s pues por la tricotomı́a, si
s < 1 se utiliza un argumento análogo al que se da a continuación: s−1 < 1 y s−1 ∈ G;
en consecuencia, el intervalo, (s−1 , s) es un subconjunto de G, dado que G es convexo.
Como 1 < s, multiplicando sucesivamente por s y por s−1 , se obtiene: S
. . . < s−2 < s−1 < 1 < s < s2 < . . .; y dado que G es convexo entonces
(s−n , sn ) ⊆ G.
n≥1
Por otro lado G es definible y entonces, debe ser una unión finita de intervalos o de
S −N N
puntos. Tal cosa solo es posible si G = R =
(s , s ).
N ≥1
Paso 2: Para r ∈ R, Cr = {x ∈ R | rx = xr} es un subgrupo definible de R con el
parámetro r en consecuencia, Cr = R y ası́, R es abeliano. Por otra parte, para n > 0,
{xn | x ∈ R} es, también, un grupo definible y por lo tanto igual a R; con ello, queda claro
que R es divisible. Finalmente, todo grupo ordenado es libre de torsión.
Teorema 3.2. Si (R, (Sn)n≥1 ) es un espacio de Tarski o-minimal y existen operaciones
binarias + : R2 → R, • : R2 → R cuyas gráficas pertenecen a S3 y tales que (R, <, +, •) es
un anillo ordenado, entonces, (R, +, •) es un cuerpo real cerrado.
El reciproco también es cierto: Si (K, <, +, •, 0, 1) es un cuerpo real cerrado, entonces, la
estructura determinada por el lenguaje de primer orden con el tipo τ = {<, +, •, 0, 1} es
una estructura o-minimal [MD].
El ejemplo tı́pico de un cuerpo real cerrado es el cuerpo de los números reales.
Limitémonos, por un momento, al espacio Tarskiano R de los conjuntos definibles, reales,
para el lenguaje de primer orden cuyo tipo es τ = {<, +, •, 0, 1}, es decir, el lenguaje de los
anillos ordenados (τ = aor).
Introducimos las siguientes definiciones:
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1. Un subconjunto A ⊆ Rn se dice moderado si es definible en Laor .
f
2. Una función A −
→ B, A ⊆ Rn , B ⊆ Rm se dice moderada, si y solo si, la gráfica de f
es un conjunto moderado: {(x, f (x)) | x ∈ A} ∈ Sn+m .
Proyectando m veces, se concluye que A ∈ Sn y proyectando n veces resulta que Im(f ) ∈ Sm .
En esta forma, es posible suponer que A ∈ Sn , y B ∈ Sm .
Teorema 3.3. Si la función f : (a, b) → R es moderada existen entonces a = a0 < a1 <
. . . < an = b tales que f es, en cada (ai, ai+1 ) intervalo , o bien una función constante o una
función estrictamente creciente o estrictamente decreciente y continua (para la topologı́a
usual de R o lo que es lo mismo en el sentido usual del cálculo).
En el anterior teorema se aceptan las opciones a = −∞ b = +∞, simultáneamente o una
sola de ellas. ¿Cuales son, si es que existen, los conjuntos moderados más simples? Para
el caso n = 1, como la estructura es o-minimal los conjuntos de la forma {r}, r ∈ R y
(a, b), a, b ∈ R ∪ {−∞, +∞} a b son los conjuntos moderados “atómicos”, es decir,
cualquier conjunto moderado en R es unión finita de conjuntos moderados atómicos.
Se introduce, entonces, el siguiente concepto: Conjuntos moderados atómicos o células.
1. En R, los conjuntos moderados atómicos o células son los de la forma:
{r}, r ∈ R; (a, b), a < b a, b ∈ R ∪ {−∞, +∞}
2. Si A ⊆ Rn es un conjunto moderado atómico y f, g : A → R son funciones moderadas
continuas y tales que f < g en A, entonces:
(f, g) = {(x, r) | x ∈ A, r ∈ R, f (x) < r < g(x)}
,
es un conjunto moderado atómico (como f y g son funciones moderadas, (f, g) es
necesariamente moderado).
3. Si A ⊆ R es un conjunto moderado atómico y f : A → R una función moderada
continua, entonces,
Γ(f ) = gráfica de f
(−∞, f ) = {(x, r) | x ∈ A, r < f (x)}
(f, +∞) = {(x, r) | x ∈ A, f (x) < r}
Son conjuntos moderados atómicos.
Se tiene el siguiente teorema fundamental.
204
Estructuras y Teorı́as O-minimales
Teorema 3.4. Cada conjunto moderado A ⊆ Rn es una unión finita (no necesariamente
única) de conjuntos moderados atómicos, dos a dos disjuntos. Y si f : A → R es una función
moderada, la partición puede escogerse de tal manera que f restringida a cada célula que
forma parte de A, sea una función continua.
Como las células se definen inductivamente, se puede definir la dimensión de una célula en
la siguiente forma:
1. dim({r}) = 0, r ∈ R dim((a, b)) = 1, a, b ∈ R(Se incluye el caso a = −∞, b = −∞).
Si A es una célula y A ⊆ Rn , dim(A) = r y si f : A → R es una función moderada
continua, entonces dim(Γ(f )) = dim(A), dim((−∞, f )) = r+1 y dim((f, +∞)) = r+1.
2. Si A ⊆ Rn es una célula, dim(A) = r y si f, g : A → R son funciones moderadas
continuas, con f < g en A, entonces, dim((f, g)) = r + 1.
También es posible definir la dimensión de un conjunto moderado particionandolo en células:
Si A = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Ap , donde A1 , A2, . . ., Ap son células dos a dos disjuntas, entonces
dim(A) = máx{dim(A1), · · · , dim(Ap )}. De hecho, si A = B1 ∪B2 ∪· · ·∪Bq es otra partición
de A en células, entonces:
máx{dim(A1 ), · · · , dim(Ap)} = máx{dim(B1 ), · · · , dim(Bq )}
Para completar la definición, se conviene en lo siguiente: dim(∅) = −∞. También es posible
definir la caracterı́stica de Euler de un conjunto moderado A en la siguiente forma: Si
A = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Ap, donde A1 , A2, . . . , Ap es una partición finita de A en células,
p
P
entonces E(A) =
(−1)dim(Ai ) .
i=1
Este número entero tampoco depende de la partición. Los números dim(A) y E(A) tienen
propiedades muy útiles como las siguientes:
Teorema 3.5. i) Si X ⊆ Y ⊆ Rn son subconjuntos moderados entonces
dim(X) 6 dim(Y ) 6 n.
ii) Si X ⊆ Rn , Y ⊆ Rm son subconjuntos moderados y si existe una biyección moderada
entre X e Y entonces, dim(X) = dim(Y ).
iii) Si X, Y ⊆ Rn son moderados entonces dim(X ∪ Y ) = máx{dim(X), dim(Y )}.
iv) Si A ⊆ Rn , es moderado, entonces cl(A) también es moderado y dim(cl(A)) = dim(A).
v) Si A ⊆ Rn , B ⊆ Rm son moderados y si existe una biyección moderada entre A y B,
entonces E(A) = E(B).
vi) Dos conjuntos moderados A, B son moderadamente isomorfos si y solo si
dim(A) = dim(B) y E(A) = E(B).
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Jesús Hernando Pérez, Miguel Sandoval, Walther Muete
Esto último significa que los conjuntos moderados son clasificados mediante dos números.
Una consecuencia importante de la última propiedad es la siguiente:
No existe ningún conjunto moderado A ni una función moderada α : A → A tales que la estructura (A, α) sea isomorfa a (N, siguiente). En otras palabras, la estructura (N, siguiente)
no puede “simularse”en el espacio (R, (Sn)n≥1 ). De hecho, suponiendo que existe tal pareja
(A, α) escogiendo a ∈ A el elemento inicial, entonces (A − {a}, α/A − {a}) es otra pareja
moderada isomorfa a la estructura (N, siguiente).
La biyección A → A − {a} es moderada. Esto último no es posible pues E(A) 6= E(A −
a 7→ α(a)
{a}) . Una manera “simpática”de reformular este último resultado es el siguiente: En la
matemática moderna no existen números naturales ni sucesiones.
Entre los resultados básicos de la matemática moderada, tal y como lo deseaba Alexander
Grothendieck, uno es el siguiente:
Teorema 3.6 (Teorema de Triangulación.). Para todo A ⊆ Rn , subconjunto moderado,
existe un complejo simplicial K tal que A y |K| son moderadamente homeomorfos.
En otras palabras en tanto que espacios topológicos, los conjuntos moderados reales son
“poliedros”; en este sentido, es posible afirmar que la “topologı́a moderada”, no es otra
que la topologı́a de los espacios topológicos poliédrales. Terminamos este parágrafo con el
siguiente ejemplo: En R2, la formula de Euler que se ha introducido en estas notas coincide
con la fórmula de Euler usual. Considérese, a manera de ilustración, el siguiente poliedro
plano, es decir en R2 :
A:
Visto como conjunto moderado las celdas de este poliedro son: siete celdas de dimensión
cero, nueve celdas de dimensión uno y cuatro celdas de dimensión dos.
E(A) = 7 · (−1)0 + 9 · (−1)1 + 4 · (−1)2 = 2
.
Como ilustración final veamos el siguiente teorema:
Teorema 3.7. Si A ⊆ Rn es un conjunto moderado, entonces cl(A) ⊆ Rn también es un
conjunto moderado.
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Estructuras y Teorı́as O-minimales
P
Demostración. x ∈ cl(A) si y solo si ∀(( > 0) ⊃ ∃y(φ(y) ∧ (xi − yi )2 < )), donde φ es
la formula o proposición que define el conjunto A; en otras palabras, el conjunto cl(A) esta
definido por la proposición:
X
ψ(x) ≡ ∀(( > 0) ⊃ ∃y(φ(y) ∧
(xi − yi )2 < ))
.
Conclusión
La matemática moderada es, en la actualidad, una rama muy activa de la matemática; son
bastante numerosos e interesantes los temas que allı́ se investigan. Un tema particular, que
ilustra muy bien la dinámica de este ámbito de investigación, es el siguiente:
Dados, un grupo (G, ·, ()−1, e) y un espacio de Tarski (X, (Sn)n∈N ), ¿Existen A ⊆ X n , · :
A×A → A, ()−1 : A → A, e ∈ A, todos moderados y tales que (G, ·, ()−1, e) ≈ (A, ·, ()−1, e)?
más generalmente, dado un grupo (G, ·, ()−1, e) y un cuerpo real cerrado K ¿Existe un grupo
H definible en K tal que
(G, ·, ()−1, e) ≈ H
. Invitamos a los amables lectores a vincularse a este magnifico programa de investigación.
Referencias
[DvdL1] Lou van den Dries. TAME Topology and o-minimal structures, Cambridge University Press, The united Kingdon, 1.998.
[DvdL2] Lou van den Dries. Remarks on Tarski’s problem · · · , in ”logic colloquium 82”, G.
Lod, G. Longo and A. Mareja, eds, North-Holland, 1984, pp 97-121.
[MD]
David Marker. Model Theory: An introduction, springer-Verlag, New York, Berlin,
Heidelberg, 2002.
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