Mapas de Karnaugh - Facultad de Ingeniería

Departamento de Electrónica
Electrónica Digital
Diseño combinacional (Parte #2)
Mapas de Karnaugh
Facultad de Ingeniería
Bioingeniería
Universidad Nacional de Entre Ríos
Procedimiento de diseño de un circuito combinacional
Determinación de la función lógica
1. Forma canónica de suma de productos
Expresión algebraica de una función lógica como la suma de los minitérminos de la
función.
• Considera únicamente las combinaciones de entrada que hacen 1 la función
• Cada variable aparece complementada si su valor es 0 y sin complementar si es 1
2. Forma canónica de producto de sumas
Expresión algebraica de una función lógica como el producto de los
maxitérminos de la función.
• Considera únicamente las combinaciones de entrada que hacen 0 la
función (salida)
• Cada variable aparece complementada si su valor es 1 y sin complementar
si es 0
Simplificación
Simplificación por mapas de Karnaugh (mapas K)
 Método gráfico para simplificar funciones
 Es una representación matricial de una tabla de verdad:
• una celda del mapa = una fila de la tabla de verdad
 Muy práctico para funciones de no más de 4 ó 5 variables
Ejemplo de mapa de 2 variables
B
A 0
0
1
1
0
2
1
3
Principales características del mapa K
 Cada celda se corresponde con un minitérmino ó maxitérmino de la función
 En cada celda se escribe el valor de la salida de la función lógica para ese
minitérmino/maxitérmino.
 Cada celda difiere de la adyacente en solo una variable.
 La numeración de las filas/columnas es en código Gray
 Las filas/columnas externas son adyacentes entre sí
Ejemplo de mapa de 4 variables
numeración en
código continuo
variables de entrada
DC
BA 00
00
número de minitérmino
01
celdas adyacentes
11
10
celdas adyacentes
01 11 10
0
4
12
8
1
5
13
9
3
7
15
11
2
6
14
10
Reglas de aplicación
1. Agrupar todas las celdas con el mismo valor, en uno o más grupos
de celdas adyacentes
2. La cantidad de celdas en un grupo debe ser potencia de 2 (2, 4, 8)
3. Maximizar la cantidad de celdas en cada grupo
4. Minimizar la cantidad de grupos
5. Superponer grupos siempre que sea posible (una celda puede estar
en uno o más grupos), si eso conduce a cumplir 2, 3 y 4.
Fundamento del método
En celdas adyacentes, sólo cambia el valor de una de las variables entre los dos
términos representado por cada celda  aplicando álgebra de Boole se elimina la
variable que cambia de valor.
C
B
A
Z
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
Z1 = A’B’C’ + A’BC’ = A’C’ (B’ + B) = A’C’
Z2 = A’CB’ + ACB’ = CB’ (A’ + A) = CB’
Z = Z1 + Z2 = A’C’ + CB’
CB
A 00 01 11 10
0 1
1
1 0
0
0
1
Z =A’C’ + CB’
0
1
Simplificación por unos lógicos (mapa K de minitérminos)
 Agrupar las celdas de valor 1 (minitérminos)
 Cada grupo representa a un término producto
 Un grupo de 2k celdas elimina k variables del término resultante
 Grupo de 2 celdas: elimina 1 variable
 Grupo de 4 celdas: elimina 2 variables
 Grupo de 8 celdas: elimina 3 variables
A = 0/1,
B = 1,
A se elimina
A = 1,
B = 0/1,
B se elimina
B
A 0 1
0
2
0
1
1 1
1
1
3
Z=A+B
BIEN
B
A 0 1
0
2
0
1
1 1
1
1
3
Z = A + A’ B = A + B
MAL
paso adicional
Ejemplos
CB
A 00 01 11 10
MAL
CB
A 00 01 11 10
0 1
1 1
0
1
1
1
2
3
0
0
6
7
1
0
0 1
1
1 1
1
1
Z = C’ + A’B’C = C’ + A’B’
4
5
CB
A 00 01 11 10
BIEN
0 1
1
1 1
1
1
Z = C’ + A’B’
CB
A 00 01 11 10
CB
A 00 01 11 10
0 1
1 1
0
1
1
1
2
3
1
1
6
7
0
0
4
0 1
1
1
1 1
1
1
MAL
Z = C’ + BC
5
CB
A 00 01 11 10
0 1
1
1
1 1
1
1
MAL
CB
A 00 01 11 10
0 1
1
1
1 1
1
1
Z = C’ + B
BIEN
DC
BA 00 01 11 10
0
4
12
8
00
1
01
11 1
10
1
1
3
1
2
5
13
1 1
7
15
1
6
DC
BA 00 01 11 10
0
4
12
8
00
1
9
01
11
11 1
14
1
10
10
1
3
1
1
2
DC
BA 00 01 11 10
0
4
12
8
00 1 1
11 1
10 1
1
3
2
1
5
13
7
15
6
14
13
9
15
11
14
10
1 1
7
1
6
1
• Identificar primero las celdas que
solo tienen una posibilidad de
agrupación (y agruparlas).
BIEN
MAL
01 1
5
1
9
11
10
1
DC
BA 00 01 11 10
0
4
12
8
00 1 1
01 1
11 1
10 1
1
3
2
1
5
13
7
15
6
14
1
9
11
10
1
• Continuar con el resto de las
celdas.
Más ejemplos
DC
BA 00 01 11 10
0
4
12
8
00
1 1
01
11
10
1
1
5
13
9
15
11
14
10
1
3
1
7
1
2
1
6
1
DC
BA 00 01 11 10
0
4
12
8
00 1 1 1
1
5
1
3
1
2
01
1 1
11
10
13
9
7
15
11
6
14
10
1
Caso especial
DC
BA 00 01 11 10
0
4
12
8
00 1 1 1 1
01
11
10
DC
BA 00 01 11 10
0
4
12
8
00 1
1
1
5
13
9
01
3
7
15
11
11
1 1
1
2
6
14
10
Z = B’D’ + A’B’ + ABC’D
10
1
1
5
13
9
3
7
15
11
2
6
14
10
1
Z = A’C’
= A’B’C’D’ + A’B’C’D + A’BC’D’ + A’BC’D
= A’B’C’ + A’BC’ = … = A’C’
Simplificación por ceros lógicos (mapa K de maxitérminos)
 Agrupar las celdas de valor 0 lógico.
 Cada grupo representa un término suma.
 Un grupo de 2k celdas elimina k variables del término resultante.
A = 0/1, se elimina
B = 0,
C = 1, se complementa
CB
A 00 01 11 10
0 1
1 1
0
1
1
1
2
3
1
1
6
7
0
0
4
5
ZM = (C’ + B)
Si se agrupara por minitérminos:
CB
A 00 01 11 10
0 1
1 1
0
1
1
1
2
3
1
1
6
7
0
0
4
5
Zm = C’ + B
Ejemplos
DC
BA 00 01 11 10
00
01
11
10
0
4
12
1
5
13
0
0
3
0
7
0 0
2
0
6
0 0
00
8
9
15
11
14
10
Z = (B’ + C’).(D’ + C)
00
0
01
0
11
0
10
0
01
0
11
4
12
1
5
13
3
7
15
2
6
14
Z=C
00
10
0
0
8
9
11
0
10
0
00
01
11
10
01
0
11
4
10
12
8
0
1
5
13
9
0
3
2
0
0
7
6
15
11
14
10
0 0
0 0
Funciones con combinaciones indiferentes
(no importa - don’t care)
Combinaciones de entrada para las que no importa el valor de la salida.
– Porque no se ha especificado el comportamiento del circuito
– Porque son imposibles
 En la tabla de verdad y en los mapas K, la salida para estas
combinaciones se indica con una letra X o d.
 En la simplificación por mapas K, estas celdas se toman como si
tuvieran valor 1 ó 0, según conveniencia.
 Usarlas para maximizar el tamaño de los grupos
 No agrupar celdas que solamente contengan X
 Implicancias del uso de X en un diseño.
minitérminos
maxitérminos
DC
BA 00 01 11 10
0
4
12
8
00
X
01
DC
BA 00 01 11 10
0
4
12
8
00 0 0 x 0
1
5
3
7
1 1
2
6
1 x
01
0 x
11
x 1
10
0 x
13
9
15
11
14
10
1 x
MAL
11
10
1
X
3
X 1
2
X
5
13
9
15
11
14
10
1 X
7
1 1
6
1 X
DC
BA 00 01 11 10
0
4
12
8
00
X
BIEN
01
11
10
1
X
3
X 1
2
X
5
13
9
15
11
14
10
1 X
7
1 1
6
1 X
DC
BA 00 01 11 10
0
4
12
8
00 0 0 X 0
1
5
13
3
7
15
2
6
14
01
0 X
11
X
10
0 X
X
9
11
10
X
DC
BA 00 01 11 10
0
4
12
8
00 0 0 X 0
1
5
13
3
7
15
2
6
14
01
0 X
11
X
10
0 X
X
9
11
10
X
Ejemplo: detector de números BCD pares
DC
BA 00 01 11 10
0
4
12
8
00 1 1
1
01
11
10
1
5
13
9
3
7
15
11
2
6
14
10
1 1
Z = D/A/ + A/B/C/
#compuertas: 7
#CIs: 3 (1 INV, 1 AND 3i, 1 OR 2i)
Z = [(D+A)/ + (A+B+C)/]// (todo NOR)
#compuertas: 4
#CI: 2 (1 NOR 2i, 1NOR 3i)
Usando las condiciones no importa:
DC
BA 00 01 11 10
0
4
12
8
00 1 1 X 1
01
11
10
1
5
3
7
X X
2
6
X X
1 1
13
9
15
11
14
10
X
Z = A’
SW: KarnaughMap
Ejemplo de diseño #1: circuito para encender un display
de 7 segmentos
a
f
g
b
e
d
c
¿Qué código de entrada usaría el circuito?
¿Cuántas E y S tendría el circuito?
4 (BCD)
Circuito
combinacional
7
Diseño
Diseño
1. Número de entradas y salidas
Entradas: 4 - código BCD (ALSB, B, C, D)
Salidas: 7 (a, b, ...,g)
Función de múltiples salidas
3. Obtención de las funciones
7 funciones  7 mapas de 4 variables
Criterio de diseño:
¿Qué desventaja tiene usar X en
este caso?
¿Qué valor le daría a las X?
2. Tabla de verdad
Diseño
Ejemplo de diseño #2: conversión electrónica de binario a Gray
Entradas: 4 (binario natural)
Salidas: 4 (Gray)
B3B2
B1B0 00 01 11 10
00
01
11
10
0
4
1
5
3
7
1 1
2
6
1 1
B3B2
00
B1B0
12
8
13
9
01
15
11
11
14
10
10
1 1
1 1
G3 = B3
00
01
0
1
1
1
11
4
12
5
13
10
1
1
3
1
7
15
1
2
1
6
14
1
8
9
11
10
G2 = B3B2/+ B3/B2
= B3  B2
Diseño
B1
G1
B2
G2
B3
G3
Conversor binario-Gray de 3 bits
Generalizando para n bits:
Gn = Bn
Gi = Bi xor Bi+1
para i entre 1 y n-1
Mapas K de 5 y 6 variables
30/04/2013
Tips finales acerca del diseño combinacional
 Más de 6 variables de entrada: no se puede usar mapas K
 La minimización es importante… pero más lo es el diseño correcto!
Algoritmo de Quine-McCluskey
•
Funciones de hasta 8-12 variables
Programas heurísticos (p.e., Espresso, Minilog)
•
Usados en casos de problemas grandes
 Programas para manipular las expresiones y minimizar
o PALASM, ABEL, CUPL (para PLDs Programmable Logic Devices)
o VHDL, Verilog, para ASICs Application-Specific IC)
FIN