Geometría. Selectividad CCNN. Castilla y León.
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Geometría. Selectividad CCNN. Castilla y León.
Geometría Selectividad CCNN Castilla y León MasMates.com Colecciones de ejercicios 1. [2014] [EXT-A] Sea el punto A(1,1,3) y la recta de ecuación r x-y+2 = 0 . z=2 a) Calcular el plano perpendicular a la recta r que pase por A. b) Calcular la distancia del punto A a la recta r. 2. [2014] [EXT-B] a) Dados el punto A(3,5,1), la recta r x-1 = y+2 = z+1 y el plano 3x-2y+z+5 = 0, determinar el punto B de 2 tal que la recta AB sea paralela a la recta r. b) Hallar las coordenadas de un vector de módulo 1, que sea perpendicular a los vectores PQ y PR, siendo P(1,3,-1), Q(2,0,1) y R(-1,1,0). 3. [2014] [JUN-A] Sea el plano que pasa por los puntos A(1,-1,1), B(2,3,2), C(3,1,0) y r la recta dada por r x-7 y+6 z+3 = = . -1 2 2 a) Calcular el ángulo que forman la recta r y el plano . b) Calcular los puntos de r que distan 6 unidades del plano . 4. [2014] [JUN-B] Calcular la recta contenida en el plano 1 x+y+z = 3, paralela al plano 2 x = 0, y que pasa por el punto simétrico de B(-1,1,1) respecto de 2. 5. [2013] [EXT-A] Sea el plano x+y+z = 0, la recta r x = y = z y el punto A(3,2,1). a) Hallar la recta que pasa por A, es paralela a y corta a r. b) Hallar los puntos de r que equidistan de A y de . 6. [2013] [EXT-B] Sean las rectas r x = -y = z-1 y s x-2 = y = z-m. a) Determinar m para que las rectas sean coplanarias. b) Para m = 2, calcular la distancia entre las rectas. 7. [2013] [JUN-A] Sean los puntos A(1,2,-1), P(0,0,5), Q(1,0,4) y R(0,1,6). a) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A, es paralela al plano que pasa por los puntos P, Q y R, y tal que la primera componente de su vector director es doble que la segunda. b) Hallar la distancia del punto A al plano que pasa por P, Q y R. x=1 . y-z = 4 a) Hallar la ecuación del plano que pasa por P, por un punto R de la recta r y es perpendicular a la recta que pasa por Q y por R. b) Hallar el ángulo que forman la recta r y el plano x-y-3 = 0. 8. [2013] [JUN-B] Sean los puntos P(1,4,-1), Q(0,3,-2) y la recta r y+2 = z-1 y s 2 a) Hallar la ecuación de la recta que pasa por A y corta a r y s. b) Hallar la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por A. 9. [2012] [EXT-A] Dados el punto A(2,1,1) y las rectas r x = x+y = 0 , se pide: x+z = 2 x = 3+2t y = -1-t . z=1 a) Hallar la ecuación de la recta r que pasa por el punto P(1,0,5) y corta perpendicularmente a la recta s. b) Hallar la ecuación del plano que contiene a r y a s. 10. [2012] [EXT-B] Sea s la recta de ecuaciones paramétricas x-2 y z+1 x y-1 z-3 = = ; s = = . -2 2 3 1 -1 1 a) Justificar razonadamente que ambas rectas se cruzan. 11. [2012] [JUN-A] Se consideran las rectas: r 17 de julio de 2015 Página 1 de 6 Geometría Selectividad CCNN Castilla y León MasMates.com Colecciones de ejercicios b) Hallar la perpendicular común y que corta a las dos rectas. 12. [2012] [JUN-B] Un cuadrado tiene dos vértices consecutivos en los puntos P(2,1,3) y Q(1,3,1); los otros dos sobre una recta r que pasa por el punto R(-4,7,-6). a) Calcular la ecuación de la recta r. b) Calcular la ecuación del plano que contiene al cuadrado. c) Hallar las coordenadas de uno de los otros vértices. 13. [2011] [EXT-A] Sean la recta r x+y = 1 y el plano x+(m+1)y+mz = m+1. Estudiar la posición relativa de la recta y el plano my+z = 0 según los valores de m. 14. [2011] [EXT-B] a) Calcular un vector unitario y ortogonal a los vectores v = (1,2,0) y w = (-1,0,1). x y+3 y+1 = 0 b) Calcular el plano que contiene a las rectas r y s = = z-2. x+z = 1 -1 0 15. [2011] [JUN-A] a) Determinar la posición relativa de la recta r y-x = 1 y el plano x-y = 0. z-2x = 0 b) Hallar el plano perpendicular a que contiene a r. 16. [2011] [JUN-B] a) Hallar la recta que pasa por el punto A(1,-1,0), está contenida en el plano x+y = 0 y corta a la recta s x = y = z. b) Hallar la distancia del punto B(2,-2,2) a la recta s. 17. [2010] [EXT-A] a) Determinar las ecuaciones de los planos paralelos al plano 12x+3y-4z = 7 que distan 6 unidades del mismo. b) Probar que el punto P(1,1,2) pertenece a , y calcular la recta perpendicular a que pasa por P. 18. [2010] [EXT-B] Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2,-1,1) y corta perpendicularmente a la recta x-2 y-1 = = z. r 2 2 x-y+az = 0 , con a , y el plano x+y+z-2 = 0. ay-z = 4 a) Hallar los valores de a para los que r es paralela a . b) Para a = 2, hallar la distancia de r a . c) Para a = 1, hallar la distancia de r a . 19. [2010] [JUN-A] Se consideran la recta r 20. [2010] [JUN-B] Dados el punto P(1,1,-1), la recta r x = y+6 = z-3 y el plano 6x+6z-12 = 0, se pide: 4 a) Hallar el punto simétrico de P respecto del plano . 1 b) Hallar los puntos Q de r que distan unidades de longitud de . 2 x-1 y-2 = = z y el punto P(1,8,2). 2 3 a) Hállese el punto A de r tal que el vector AP es perpendicular a r. b) Determínese el plano que es paralelo a r, pasa por B(5,1,0) y por el simétrico de P respecto de r. 21. [2009] [EXT-A] Se considera la recta r 22. [2009] [EXT-A] Determinar el ángulo que forman la recta r 17 de julio de 2015 x y+1 = = z y el plano x+y-z = 4. 3 2 Página 2 de 6 Geometría Selectividad CCNN Castilla y León MasMates.com Colecciones de ejercicios 2x+y+z = 4 x-ay+z = a . 3x+2z = 5 b) Interpretar la discusión realizada en a) en términos de la posición relativa de los planos dados por cada una de las ecuaciones del sistema. 23. [2009] [EXT-B] a) Discutir, según el valor del parámetro real a, el siguiente sistema de ecuaciones: 24. [2009] [EXT-B] Sea 0 un número real, y las rectas de ecuaciones r z x =y= ,s 2 x = 1+4 y = 2 . z = 3-2 Para el valor de para el que r y s son paralelas, hallar el plano que las contiene. 25. [2009] [JUN-A] Sea r la recta que pasa por los puntos A(1,1,1) y B(3,1,2), y sea s la recta de ecuaciones s x-2z = 1 . Se pide: y-2 = 0 a) Estudiar su posición relativa. b) Si fuera posible, calcular su punto de intersección. c) Calcular, si existe, un plano que las contenga. 26. [2009] [JUN-A] Hallar la distancia desde el punto P(1,3,-2) a la recta s 27. [2009] [JUN-B] Calcular la distancia entre las rectas de ecuaciones r 28. [2008] [EXT-A] Hallar la distancia entre el punto A(2,1,4) y la recta r x = 2+3 y = -1+ z = 1-2 y-2 z-3 3x-y = -1 y s x-2 = = . 7x-z = -4 3 4 z x-1 = y+1 = . 3 2 29. [2008] [EXT-B] Se consideran las rectas r y s de ecuaciones respectivas r y=1 ,s z=0 x=0 . z=2 a) Estudiar la posición relativa de r y s. b) Determinar la recta que corta perpendicularmente a r y s. c) Hallar la distancia entre r y s. 30. [2008] [EXT-B] Hallar el seno del ángulo formado por la recta r y el plano dados por: r x=z ; x+y = z. 2y+z = 3 x+y+2z = 2 . x+2y-z = 3 a) Determinar los valores de a para los cuales la recta y el plano son paralelos. b) Para a = 2, calcular la recta que pasa por P(1,0,-1), es paralela al plano y se apoya en la recta r. 31. [2008] [JUN-A] Se considera el plano x+ay+2az = 4 y la recta r 32. [2008] [JUN-A] Sabiendo que tres de los vértices de un paralelogramo son A(1,1,2), B(1,1,4) y C(3,3,6), hallar el área del mismo. 33. [2008] [JUN-B] Dada la recta r 2x+y = 2, calcular el punto P de la recta r tal que la perpendicular a r por P pase por el punto 1,-1 . 34. [2007] [EXT-A] Determinar el punto simétrico de P(4,0,3) respecto del plano de ecuación x = y. 35. [2007] [EXT-B] De una recta r se sabe que está contenida en el plano de ecuación x-y = 0, que A 0,0,0 pertenece a r, y que el vector que une A y B 1,0,-1 es perpendicular a r. Determinar la recta r, y calcular la distancia entre r y el plano paralelo a que 17 de julio de 2015 Página 3 de 6 Geometría Selectividad CCNN Castilla y León MasMates.com Colecciones de ejercicios pasa por B. 36. [2007] [JUN-A] Sea el plano x+y-2z-5 = 0 y la recta r x=y=z. Se pide: a) Calcular la distancia de la recta al plano. b) Hallar un plano que contenga a r y sea perpendicular a . c) Hallar el punto simétrico de P(-1,3,3) respecto a . 37. [2007] [JUN-B] Dadas las rectas r x+y-z = 0 y s x+2y = 7 x=2 , hallar un punto de cada una de ellas, de tal forma, que el vector que y = -5 los una sea perpendicular a ambas. x-y+2z = 1 y el plano ax-y+z+1 = 0 son paralelos. 2x+y-5z = 2 b) Para a = 2, calcúlese la ecuación del plano que contiene a r y es perpendicular a , y hállese la distancia entre r y . 38. [2006] [EXT-A] a) Hállese el valor de a para el que la recta r 39. [2006] [EXT-A] Hállense las ecuaciones de la recta que pasa por P(2,1-1), está contenida en el plano x+2y+3z = 1, y es x = 2z-3 . perpendicular a la recta r y = z+4 2x-y = m , s z+2y = 3 a) Hállese el valor de m para que ambas rectas se corten. b) Para m = 1, hállese la ecuación del plano que contiene a r y s. 40. [2006] [JUN-A] Sean r y s las rectas dadas por : r x+y = 2 . x+2z = 3 x = -2+2 41. [2006] [JUN-A] Calcúlese la distancia del punto P 1,1,1 a la recta r y = 0 z = - 42. [2006] [JUN-B] Hállese la distancia entre el plano , que pasa por los puntos A 2,0,-1 , B 0,0,0 y C 1,1,2 , y el plano de ecuación x-5y+2z-6 = 0. 43. [2005] [EXT-A] (a) Calcúlense los valores de a para los cuales las rectas r 3x+ay-6az+1 = 0 y s -x+y+3z-3 = 0 x = -1- y = 3+ son perpendiculares. z = 1+a (b) Para a = 1, calcúlese la recta que pasa por (1,1,1) y se apoya en r y s. 44. [2005] [EXT-A] Calcúlese el simétrico del punto P(1,1,1) respecto del plano x+y+z = 0. 45. [2005] [EXT-B] Calcúlese el volumne del tetraedro de vértices A(1,1,1), B(1,2,3), C(2,3,1), D(3,1,2). 46. [2005] [JUN-A] Calcúlese la distancia del origen al plano que pasa por A(1,2,0) y contiene a la recta r 47. [2005] [JUN-B] (a) Determínese el simétrico de A(-3,1,-7) respecto de la recta r x+1 = x+2 y-1 = = z. 3 2 y-3 z+1 = . 2 2 (b) Hállese la distancia entre A y r. 48. [2005] [JUN-B] Dados el punto A(3,5,-1) y la recta r 17 de julio de 2015 z+1 x-1 = y+2 = , hállese el punto B perteneciente a r tal que el vector de 4 2 Página 4 de 6 Geometría Selectividad CCNN Castilla y León MasMates.com Colecciones de ejercicios extremos A y B es paralelo al plano de ecuación 2x-2y+z+5 = 0. 49. [2004] [EXT-A] Sea m un número real y sean r y la recta y el plano dados respectivamente por: 2x-my+z = 2-m ; 3x+2z = 2-m r x+2y+z = 0 a) Estúdiese la posición relativa de r y en función del valor de m. b) Para el valor m = 1, hállese la ecuación del plano que pasa por el punto de corte de r y y es perpendicular a la recta t x = y = z. 50. [2004] [EXT-A] Calcúlese la distancia entre las rectas r y s de ecuaciones: r x = 1+2 x y-3 z-2 ,s = = . y=0 -1 1 -1 z = - 51. [2004] [EXT-B] Hállese la ecuación general del plano que pasa por los puntos A(2,2,-1), B(4,0,2) y es perpendicular al plano x-5y+2z-6 = 0. x+y+1 = 0 2x-z+3 = 0 a) Escríbase la recta r en forma paramétrica. b) Para cada P de r, determínese la ecuación de la recta que pasa por P y corta perpendicularmente al eje OZ. 52. [2004] [JUN-A] Sea la recta r 53. [2004] [JUN-A] Determínese si el plano 2x+3y-4 = 0 corta o no al segmento de extremos A(2,1,3) y B(3,2,1). 54. [2004] [JUN-B] Hállese la ecuación del plano que contiene a la recta r x = y = z y es perpendicular al plano x+y-z-1 = 0. x+y = 5 x-2z = 0 , s x+2z = a y-z = 2 a) hallar el valor de a para que ambas rectas estén en el mismo plano. b) Hallar la ecuación de dicho plano. 55. [2003] [EXT-B] Dadas las rectas r y s: r 56. [2003] [EXT-B] ¿Cuál es el ángulo que forma la recta x = y = z con el eje OX? 57. [2003] [EXT-B] Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (3,5) y es tangente a la recta 4x+3y-2 = 0. 2x-y+z = 3 58. [2003] [JUN-A] a) Hallar el valor del parámetro a para que los planos de ecuaciones x-y+z = 2 se corten en una recta r. 3x-y+az = 4 b) Obtener la ecuación del plano que pasa por el punto P(2,3,1) y contiene a la recta r del apartado anterior. 1 3 2 y= + 3 z= x= 59. [2003] [JUN-A] Hallar la distancia del punto P(2,1,1) a la recta r 60. [2003] [JUN-B] Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1,2,-1), es paralela al plano 2x+y-z-3 = 0 y y-1 z-4 perpendicular a la recta r x = = . -1 3 17 de julio de 2015 Página 5 de 6 Geometría Selectividad CCNN Castilla y León MasMates.com Colecciones de ejercicios 61. [2003] [JUN-B] ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia de centro (3,2) que es tangente al eje OX? Soluciones x=1 10. a) y = 0 b) x+2y-1 = 0 11. b) (x,y,z) = z = 5+ m{0,1}: secante. 14. a) x = 2+ y = -1-2 z = 1+2 18. 2 -1 2 , , 3 3 3 19. a) -1, 2 b) -91 20 8 , , +(0,1,1) 12. a) (x,y,z) = (-4,7,-6)+(-1,2,-2) b) 2x-y-2z+3 = 0 c) (-1,1,0) 13. m = 0: contenida; m = 1: pralela; 98 7 7 b) 2x+y+2z-1 = 0 15. a) paralela b) x+y-z+1 = 0 16. a) x= y= ; z= 30 42. 5 1 b) x = 1-30k y = 13k z = -1+5k 39. x+2y+3z = 1 2x+y+z = 4 40. a) 1 b) 10x+7y+6z-23 = 0 48. -7 -11 -23 , , 3 3 3 49. a) m = 2, r contenida en ; a 2: se cortan b) x+y+z = 0 50. 7 2 9 , , 5 5 5 33. 17. a) 12x+3y-4z+71 = 0; 12+3y-4z-85 = 0 b) 7 -4 , 5 5 34. 8,-4,3 41. 35. 6 2 2 36. a) 3 10 2 27. 10 2 28. 5 6 b) x-y = 0 c) 3,-1,3 6 43. (a) 3 (b) 6 14 7 x-y-3z+3 = 0 x+y-2 = 0 133 7 29. a) se cruzan b) 37. 44. (-1,-1,-1) 5,1,6 , 2,-5,6 x=0 y = 1 c) 2 z= 30. 3 9 31. a) 38. a) 2 b) 4x+y-7z-4 = 0; 6 2 3 5 59 46. 47. (a) (-3,-3,-3) (b) 2 2 2 59 x= x= - y = -1- b) y = -1- + (+1) 53. corta en z = 3+2 z = 3+2 x = 1+2 3 60. y = 2-7 61. (x-3)2+(y-2)2 = 4 45. 51. 11x-y-8z-28 = 0 52. a) 54. x-y = 0 55. a) 4 b) x+4y-6z-8 = 0 56. 54º44'8'' 57. (x-3)2+(y-5)2 = 25 58. a) 1 b) 3x-y+z-4 = 0 59. 17 de julio de 2015 x = 1+12 y = 1+3 z = 2-4 2 3 c) 0 20. a) (3,1,1) b) (0,-6,3), (-1,-10,2) 21. a) (4,4,1) b) x+3y-9z-7 = 0 22. 38º6'47'' 23. a) a=1: c.i.; a1: c.d. b) se cortan: 3 a=1, recta; a1, punto 24. = -1, 3x-7y-z = 0 25. a) paralelas c) x-2y-2z+3 = 0 26. 32. 4 2 x=k 2 6 y = -k b) 3 z=0 z = -1-3 Página 6 de 6