Matemáticas Tropicales. Jacob Mostovoy

Matemáticas Tropicales.
Jacob Mostovoy
Consideremos dos operaciones sobre los números usuales (enteros, racionales o reales): la
“suma tropical” con la que al “sumar” dos números el resultado es el mínimo de los dos, y
la “multiplicación tropical” que no es otra cosa que la suma usual. Resulta, y es fácil ver,
que estas dos operaciones satisfacen las mismas propiedades que la suma y la
multiplicación usuales. Ambas son conmutativas y asociativas, lo que es obvio no sólo para
la suma (o, sea, el producto tropical), sino también para el mínimo:
min(a,b)=min(b,a) y min(min(a,b),c)=min(a,min(b,c)),
y satisfacen la propiedad de la distributividad
a+min(b,c)=min(a+b,a+c).
El cero juega el papel de la unidad para la multiplicación tropical, e incluso habrá unidad
para la suma tropical, si uno agrega el infinito como un número.
El único defecto de este “sistema numérico” es el hecho de que uno no puede restar
tropicalmente: por ejemplo, existe una cantidad infinita de números x para los cuales
min(a,x)=a. Sin embargo, muchas construcciones de las matemáticas no involucran
sustracción, y en estos casos la suma y el producto usuales se pueden sustituir por sus
análogos tropicales. El resultado se llama “matemáticas tropicales”.
El primer ejemplo de una construcción tropical es el producto tropical de matrices. En lugar
de definir el producto de dos matrices Aij y Bij como
(AB)ij = Σ Aik Bkj
lo definimos usando las operaciones tropicales
(AB)ij = min (Aik + Bkj).
El producto tropical de matrices se puede utilizar para encontrar la longitud del camino más
corto entre dos vértices en una gráfica métrica. Dada una gráfica métrica simple con n
vértices formemos la matriz n×n de distancias D definiendo Dij como la longitud de la
arista que conecta los vértices número i y número j. Si estos dos vértices no se conectan por
una arista pongamos Dij = ∞. Ahora, tomemos la potencia n-1, en el sentido tropical, de la
matriz D. La entrada en la i-ésima fila y la j-ésima columna será exactamente la longitud
del camino más corto entre los vértices i y j. Esto es fácil de ver desde la definición del
producto tropical de matrices. (Para ser justos, aclaremos que este algoritmo, conocido
como el algoritmo de Floyd-Warshall-Roy, fue inventado hace más de 50 años, antes de
que se comenzó a hablar de la matemáticas tropicales).
Un problema clásico que impulsó el desarrollo general de las matemáticas es la solución de
ecuaciones polinomiales. Mientras las ecuaciones de grado 5 en una sola variable ya no se
pueden resolver sin recurrir a funciones especiales, las ecuaciones polinomiales tropicales
se resuelven fácilmente en cualquier grado. Un polinomio tropical en una variable se
construye de la misma manera que un polinomio usual con las operaciones tropicales en
vez de las usuales; un polinomio de grado n es una función de la forma
min (an + nx, an-1 + (n-1)x, …, a1 + x, 0).
En lugar de los ceros, tenemos que buscar los puntos donde la gráfica de la función se
quiebra. Estos puntos son las raíces de un polinomio tropical. Para encontrarlas, solo
necesitamos resolver ecuaciones lineales.
Resolviendo ecuaciones en más de una variable llegamos al estudio de la geometría
tropical. Por ejemplo, la figura geométrica más sencilla de dimensión uno es la recta; una
recta en el plano (x,y) se da con la ecuación
ax + by + c = 0.
Una recta tropical será el conjunto donde la gráfica de la función
min (a+x, b+y, c)
se quiebra, o sea donde esta función no es diferenciable. Este conjunto se ve así:
El aspecto de las rectas tropicales puede parecer algo extraño, pero estas tienen propiedades
familiares. Por ejemplo, dos rectas tropicales o se interceptan en un solo punto, o bien,
tienen un número infinito de puntos en común, aunque a diferencia del caso usual esto no
implica que las rectas coincidan. Los análogos tropicales de elipses, hipérbolas y parábolas,
o sea curvas de grado 2, se pueden ver, por ejemplo, así:
Noten que la intersección de una de estas curvas con una recta tropical consiste, en el caso
típico, de dos puntos. En general, existe una versión tropical del teorema de Bezout, que
dice que dos curvas típicas de grados p y q se intersectan en pq puntos (como suele suceder,
el enunciado preciso contiene “letra pequeña” que no vamos a aclarar aquí).
Teoremas más sofisticados de geometría algebraica también se extienden al mundo de la
geometría tropical, pero este juego, por divertido que sea, tendría poca importancia si no
tuviera relación con problemas de geometría clásica. Esta relación, por supuesto, existe y
conecta la geometría tropical con la geometría compleja.
La ameba de un conjunto en el plano complejo es su imagen en el plano real bajo la función
(x,y) → (- logt |x|, - logt |y|)
para alguna base de logaritmo t. Por ejemplo, la ameba de una recta en el plano complejo se
ve así:
Si la base de logaritmo t tiende al infinito, la ameba “adelgaza” y su forma se acerca a la de
una recta tropical. Más generalmente, curvas tropicales de grados mas altos también son
límites de amebas de curvas complejas.
Esta conexión entre la geometría tropical y la geometría clásica es muy profunda y permite
calcular invariantes enumerativos de la geometría algebraica usando geometría tropical.
También, existen interpretaciones tropicales de varios fenómenos físicos. Resumiendo, se
puede decir que las matemáticas tropicales dan un punto de vista nuevo y muy útil sobre las
matemáticas clásicas.
Y por cierto, el adjetivo "tropical" se debe al hecho que uno de los fundadores del campo,
Imre Simon, era de Brasil.