Resortes mecánicos helicoidales

Transcripción

Resortes Mecánicos
helicoidales
Ing. Carlos Gerez
[email protected]
Buenos Aires
Octubre de 2014
Ing. Carlos Gerez
Contenido
Introducción, (3)
Características de los resortes helicoidales, (4)
Materiales, (5)
Tipos de Carga, (7)
Carga Estática, (7)
Carga variable, (8)
Principales tipos de resortes helicoidales, (9)
Resortes de Tracción o extensión, (9)
Resortes de Compresión, (10)
Estabilidad en los Resortes de Compresión, (13)
Cálculo de tensiones en resortes de tracción-Compresión, (14)
Planteo del problema. (14)
Primera aproximación. (16)
Cálculo aproximado de tensiones, considerando la curvatura del alambre. (18)
Cálculo de tensiones para secciones de alambre no circulares. (24)
Sección Cuadrada (24)
Sección rectangular (24)
Sección elíptica (25)
Cálculo de deflexión en resortes de tracción-Compresión, (25)
ANEXO I
Tabla de Aceros para resortes de alto Carbono y aleación, (28)
Bibliografía, (29)
2
Ing. Carlos Gerez
Introducción
Un resorte mecánico, es un elemento de máquina que posee la capacidad de acumular
energía mecánica para liberarla oportunamente con el fin de ejercer fuerza, brindar
flexibilidad o reducir vibraciones
La variedad de sus formas es muy amplia y sus aplicaciones que van desde un simple
interruptor eléctrico hasta la suspensión de un transbordador espacial o el mecanismo
antivibratorio del telescopio de Monte Palomar, son innumerables.
Los resortes mecánicos, como puede observarse en la Figura 1, pueden tener formas
especiales o bien pueden estar constituídos por láminas metálicas planas o por alambre
Figura 1: Distintos tipos de resortes
Asimismo, los resortes de alambre pueden tener secciones circulares, elípticas, cuadradas
o rectangulares y distintas configuraciones geométricas
De estas posibles configuraciones, dada la universalidad de sus aplicaciones, nos interesa
estudiar el arrollamiento de un alambre (usualmente de sección circular) sobre un cilindro
base de modo que el eje longitudinal del alambre conforma un helicoide de inclinación ,
paso p y diámetro proyectado D (figura 2.a). A los resortes mecánicos de alambre así
constituídos, se los denomina helicoidales cilíndricos o simplemente, Resortes helicoidales.
En la figura 2.b puede observarse el desarrollo de una espira de este tipo de resorte.
3
Ing. Carlos Gerez
a. Helicoide cilíndrico
p
D
p
b. Desarrollo de
una espira
d
D
a
p .D
Figura 2: Helicoide cilíndrico (a) y desarrollo de
una espira de resorte helicoidal (b)
Características de los resortes helicoidales
Las principales características de estos resortes son:





Material del alambre
Diámetro del alambre, d
Diámetro proyectado del helicoide, D
Inclinación del helicoide, 
Cantidad de espiras, N
4
p
Ing. Carlos Gerez
Figura 3: Corte de resorte helicoidal
Otros elementos que caracterizan a los resortes helicoidales son:



Tipo de terminación en los extremos del resorte para permitir su montaje.
Tratamientos térmicos
Acabado superficial del alambre

Longitud del alambre,

Paso de la Hélice, p = p
L= p
.D.N
.D . tg a
(Válido para pequeños valores de a)
~ p
.D . sen a
(si a es pequeño)
 Índice del resorte,


Longitud Libre, L0
Longitud Sólida, LS
Materiales
Usualmente, los resortes experimentan grandes deformaciones ante una carga dada, por
lo que en la posición de deflexión debe acumularse una cantidad relativamente grande de
energía.
Dado que la deformación o deflexión (f) y la carga (P), en la mayoría de los resortes son
proporcionales a la tensión y que la energía es proporcional al producto f x P, se deduce
que la energía almacenada es proporcional al cuadrado de la tensión. Esto explica porque
los resortes trabajan a tensiones mucho más altas que la mayoría de los elementos de
máquina y porque sus materiales suelen tener altos valores de resistencia tensil
(resistencia ultima del ensayo de tracción).
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Ing. Carlos Gerez
El material más ampliamente utilizado en la fabricación de resortes, es el acero.
Para pequeños diámetros de alambre (d), se emplean aceros de 0,8%C a 0,9%C
conformados en frío a partir de alambres pre templados (este tipo de material, se denomina
“alambre de instrumento musical”) a los que luego de conformados se les aplica un
tratamiento térmico de revenido para aliviar las tensiones del pre tensado y el conformado
del alambre.
Las resistencias ténsiles de estos alambres van de los 230.000 PSI a los 400.000 PSI,
dependiendo del valor d.
En caso que las condiciones de operación del resorte lo permita, estos pueden construirse
con alambres de acero de menor contenido de Carbono y, consecuentemente, menor
costo de materia prima.
Para diámetros mayores, suele utilizarse aceros de 1%C y los resortes son conformados
en caliente y posteriormente templados y revenidos. Sus resistencias varían entre 200000
PSI y 240000 PSI.
Para resortes que operarán en medios corrosivos, se utilizan alambres de aceros
inoxidables (por ejemplo de 18% Cr, 0,8% Ni y 0,8% a 1%C) con resistencias de entre
180.000 PSI a 280.000 PSI.
En general, los materiales de resortes deben tener altos valores de Resistencia tensil y
Resistencia a la fatiga, deben ser dúctiles pero resistentes al efecto creep y con altos
valores de resiliencia.
La selección del material, también depende del tipo de servicio que va a prestar el resorte,
pudiéndose distinguir tres tipos de servicio::
Servicio Severo, implica que el resorte está sometido a altas cargas variables de alta
frecuencia como en el caso de resortes de válvulas de motores a explosión.
Servicio Medio, Incluye el mismo tipo de tensiones que en el caso severo, pero sólo en
forma intermitente. como en el caso de suspensión automotriz.
Servicio liviano, incluye resortes sujetos a cargas estáticas o que varían con poca
frecuencia como en el caso de válvulas de seguridad.
En la Tabla adjunta en el Anexo I pueden observarse distintos materiales para resortes y
sus principales aplicaciones
Nota con respecto a las unidades: los resultados de resistencias presentados en el presente
trabajo, están expresados en unidades inglesas por ser ampliamente utilizadas en la bibliografía,
estudios y páginas web,.
Para su conversión a unidades en el sistema internacional, la equivalencia es:
-3
1 PSI = 6.894,76 Pa = 6,849476 . 10 MPa
donde PSI significa “Pound per Square Inch” (“libra por pulgada cuadrada”),
1 Inch = 1” = 0,0254 m
1 Pound = 1 LB = 4,4452 N
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Ing. Carlos Gerez
Tipos de Carga
Carga Estática
En varias de sus aplicaciones, los resortes están sujetos a una carga o deformación que
es constante en el tiempo y dicho estado, eventualmente varía muy pocas veces durante la
vida útil del resorte. Se dice que estos resortes están estáticamente cargados.
Los resortes utilizados en válvulas de seguridad como el mostrado en la figura 4,
constituyen un ejemplo clásico de resortes sujetos a este tipo de carga,
Figura 4: Válvula de Seguridad
Durante la vida útil de un resorte estáticamente cargado, es importante que el mismo
mantenga su calibración dentro de un margen que permita la operación de diseño.
En tal sentido, es importante que estos resortes la carga aplicada no decaiga a lo largo del
tiempo mas allá de un pequeño porcentaje, pues pude producirse un fenómeno conocido
como relajación del material, que en el caso de las válvulas de seguridad, provoca su
activación a presiones inferiores de las de operación.
En el diseño de resortes estáticamente cargados, suele sugerirse el uso de materiales
ligeramente más dúctiles que para resortes sometidos a cargas variables.
Para temperaturas de operación de hasta 180 ºC y entornos no corrosivos se indica el uso
de aceros al carbono, mientras que para temperaturas superiores a los 200 ºC se
recomienda la utilización de aceros inoxidables
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Ing. Carlos Gerez
Carga variable
En muchas de las aplicaciones de los resortes, las cargas aplicadas sobre ellos, varían con
el tiempo.
En la figura 5 se muestran dos ejemplos típicos de estas aplicaciones.
a. Conjunto de suspensión automotriz
b. Válvulas de motor a explosión
Figura 5
En ambos casos, durante los períodos de operación, los resortes están solicitados en
forma variable, sus tensiones varían entre un máximo y un mínimo y están expuestos a
fatiga, pero mientras en el ejemplo de los resortes de suspensión automotriz (Figura 5.a)
las tensiones varían cíclicamente con amplitud variable (Figura 6.a) y en el caso de los
resortes de válvulas (Figura 5.b), las tensiones varían cíclicamente con amplitud
aproximadamente uniforme (Figura 6.b)
a. de amplitud variable
b. de amplitud uniforme
Figura 6: Ciclos de tensiones
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Ing. Carlos Gerez
Principales tipos de resortes helicoidales
Resortes de Tracción o extensión
Estos resortes, sometidos a cargas de tracción, se caracterizan por tener un ángulo de
inclinación a muy pequeño de modo que al estar descargados sus espiras suelen estar en
contacto y porque deben contar con un elemento que permita transmitir la carga desde el
soporte hasta el cuerpo del resorte.
Este problema inicial de diseño puede resolverse colocando un dispositivo externo en los
extremos del resorte como ser un tapón roscado o un gancho giratorio, pero de esta forma
en el proceso de fabricación se incrementaría considerablemente el costo del producto
terminado, por lo que habitualmente se fabrica un gancho fijo en los extremos del resorte
con el mismo alambre de las espiras extremas según alguno de las formas indicadas en la
Figura 7.
Figura 7: Tipos de extremos en resortes de tracción
En caso de diseñar un resorte con extremo de gancho fijo, debe considerarse el efecto de
concentración de tensiones en el doblez del mismo.
En las figuras 8.a y 8.b se muestran uno de los métodos más utilizados para el diseño de
ganchos fijos.
Dado que la concentración de tensiones debida a un doblez muy agudo imposibilita diseñar
el gancho con una resistencia similar a la del cuerpo, se han experimentado varias
alternativas para reducir este efecto.
En las Figuras 8.c y 8.d se presenta un diseño mejorado por la reducción progresiva del
diámetro de las espiras para generar el doblez del gancho muy cerca del eje del resorte y
consecuentemente disminuir notablemente el brazo de palanca de la carga P sobre el
mismo.
9
Ing. Carlos Gerez
Figura 8: Extremos de resortes de tracción
Resortes de Compresión
Los resortes helicoidales sometidos a cargas de compresión, se caracterizan por tener un
ángulo de inclinación a diseñado de modo que durante la operación sus espiras no entren
en contacto y porque a diferencia de los resortes de tracción, eventualmente pueden fallar
por pandeo y no necesariamente deben contar con un elemento adicional que permita
transmitir la carga desde el soporte hasta el cuerpo del resorte.
En la figura 9, se muestran distintos estados de un resorte de compresión. Cuando el
mismo está descargado, L0 indica la longitud libre.
Al ser sometido a una carga P, el resorte se deforma o deflecta una longitud f y con Lc se
indica la longitud comprimida:
Lc = L0 - f
Cuando la deformación es máxima, de modo que cada espira del resorte está en contacto
con la siguiente, entonces la longitud comprimida se denomina Longitud Sòlida y se indica
con LS.
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Ing. Carlos Gerez
Figura 9: Resorte de compresión
En la figura 10, se muestran los cuatro tipos de extremos que habitualmente se utilizan en
resortes de compresión.
Los extremos simples, se obtienen sencillamente al cortar el resorte en dos puntos
(Fig.10.a). Este método presenta la ventaja de su bajo costo de producción pero tiene la
desventaja que apoya sólo un punto del extremo en el soporte con un ángulo de inclinación
a por lo que la transferencia de carga, no es óptima.
Para solucionar esta desventaja funcional, puede doblarse la espira libre hasta un ángulo
de inclinación de cero grados.
A este tipo de extremo se lo llama escuadrado o cerrado (Fig. 10.b)
Otra forma de mejorar la transferencia de carga consiste en aplanar por maquinado (con
una amoladora por ejemplo) la espira libre, obteniendo un extremo simple amolado
(Fig.10.c)
Al tipo de extremo que combina las dos soluciones anteriores (Fig.10.d) se lo denomina
escuadrado amolado.
Figura 10: Tipos de extremos de resortes de compresión
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El tipo de extremo utilizado, genera espiras muertas o inactivas en los extremos del resorte
Para obtener el número de espiras activas (Na), debe restarse al número total de espiras
(Nt) el número de espiras inactivas (N0):
Na = Nt – N0
En la Tabla 1, se muestra como varían distintas características de los resortes de
compresión de acuerdo al tipo de extremo, considerando en cada caso que ambas
terminaciones del resorte son iguales.
Tabla 1: Características del resorte por tipo de extremo
Estabilidad de los resortes de Compresión
Se comprobó experimentalmente que un resorte helicoidal de compresión con una longitud
libre (L0) mayor que cuatro veces el diámetro del resorte (D), se comporta como una
columna esbelta y puede fallar por pandeo a cargas relativamente bajas como se observa
en la figura 10 para resortes con extremos fijos (fig.10.a) y extremos pivotados (fig 10.b).
Figura 10: Pandeo en resortes helicoidales de compresión
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Ing. Carlos Gerez
La carga crítica de pandeo, puede calcularse con la siguiente fórmula:
PCR = K . KP . L0
Donde:
K = constante del resorte = P/f
L0 = Longitud Libre
KP = Factor de Pandeo que depende de la relación L0/D (Tabla 2)
L0/D
1
2
3
4
5
6
7
8
Apoyo de extremos
Fijos
0.72
0.71
0.68
0.63
0.53
0.38
0.26
0.19
Pivotados
0.72
0.63
0.38
0.20
0.11
0.07
0.05
0.04
Tabla 2: Factor de Pandeo, KP
Otra forma práctica de determinar la posibilidad de pandeo en un resorte de compresión se
consigue utilizando el gráfico empírico de la Figura 11 donde se observan curvas que
indican cuando puede producirse pandeo en resortes helicoidales de compresión con los
extremos escuadrados y amolados. La curva A es para resortes con un extremo fijo y el
otro pivotado, mientras que la curva B es para resortes con ambos extremos fijos.
Figura 9: Zonas de Pandeo
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Ing. Carlos Gerez
La posibilidad de falla por pandeo, puede corregirse si se monta el resorte sobre una barra
redonda o sobre un tubo, como se indica en la figura 12, previendo en ambos casos un
huelgo de d/2
Figura 12: Corrección de pandeo
Cálculo de tensiones en resortes helicoidales de tracción-compresión
Planteo del problema
En esta sección, se calculará en forma aproximada la distribución de tensiones en una
sección del alambre de un resorte helicoidal sometido a una carga axial P, que
consideraremos colineal al eje del resorte (figura 13)
La teoría para este cálculo es esencialmente la misma para resortes de tracción que para
resortes de compresión e independientemente que en las figuras de análisis se utilicen
resortes de compresión, los resultados obtenidos son válidos para ambos tipos de
resortes.
Figura 13:
Resorte de compresión de
pequeño ángulo de inclinación
a, cargado con una fuerza P
colineal a su eje
Para el desarrollo del cálculo, se asume que la inclinación del helicoide a, es
suficientemente pequeña para considerar que la carga transferida al resorte es colineal a
su eje.
14
Ing. Carlos Gerez
Para estudiar el efecto de esta carga sobre una sección del alambre del resorte, mediante
el artificio de considerar aplicadas en el centro de masa de la sección dos fuerzas P’ y P’’,
ambas de igual módulo (P), igual dirección (paralelas al eje del resorte) pero de sentido
contrario de modo que su suma vectorial sea nula, se pone de manifiesto (Figura 14) que
en la sección en estudio, actúan un Momento Torsor formado por la cupla de las fuerzas
P y P’’ de magnitud:
MT = P . D / 2
y un esfuerzo de corte producido por la fuerza P’ de magnitud P.
En la figura 15 se muestran las esfuerzos resultantes en la sección en estudio, donde el
Momento Torsor, constituye la solicitación predominante.
Figura 14:
Análisis de esfuerzos para la
sección de alambre del resorte
en estudio
Figura 15:
Esfuerzos resultantes en la
sección de alambre del resorte
en estudio
15
Ing. Carlos Gerez
Primera aproximación
Para el problema planteado en el apartado anterior, en una primera aproximación para
calcular las tensiones que las solicitaciones actuantes producen en la sección en estudio,
se considerará que esta se comporta como si perteneciera a una barra cilíndrica recta
sometida a un momento torsor MT = P . D/2 y a un esfuerzo de corte P. Como se verá más
adelante, este supuesto sólo es aproximadamente válido para resortes de índices grandes.
Se comenzará analizando el efecto del Momento Torsor sobre un elemento diferencial de
la barra cilíndrica recta de longitud dx y diámetro d (figura 16), considerando que al aplicar
el Momento Torsor, las secciones circulares extremas del elemento rotan una con respecto
a la otra un ángulo dQ, denominado ángulo de torsión, asumiéndose también que el eje
de rotación coincide con el eje longitudinal de la barra y que las secciones normales a
dicho eje permanecen paralelas entre sí en todo momento.
Figura 16: Elemento diferencial de barra cilíndrica
recta sometido a Momento Torsor
En la Figura 16, también se observa que el segmento ab marcado sobre la superficie del
elemento y paralelo al eje del cilindro luego de la rotación relativa de ambas secciones, giró
a la posición ac, formando un ángulo g, denominado distorsión.
En estas condiciones, la distribución de tensiones debidas al Momento torsor aplicado en
la sección, está dada por:
Donde,
, es la tensión tangencial debida al momento torsor,
, es el momento de inercia polar y
r
es la coordenada polar con origen en centro de masa de la sección
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Como puede observarse en la Figura 17, el valor máximo de la tensión
para r = d/2:
tMT , se produce
=
Por lo que:
(I)
Figura 17: Distribución de tMT
Analizando ahora, sólo el efecto del esfuerzo de corte P en la sección en estudio, se
observa (Figura 18) una distribución uniforme de tensión
, debida a este esfuerzo:
donde A= Área de la sección,
Por lo que:
(2)
Figura 18: Distribución de tC
Superponiendo los efectos de ambas solicitaciones, se obtiene la tensión máxima en la
periferia de la sección, sumando las ecuaciones (1) y (2):
(3)
Considerando al índice del resorte C = D / d y operando, la ecuación (3) puede expresarse:
17
Ing. Carlos Gerez
(4)
En la figura 19, se grafican las distribuciones de tensiones correspondientes a los efectos
individuales del Momento Torsor (Fig.19.a), del Esfuerzo de Corte (Fig.19.b) y a la
superposición de ambos efectos (Fig.19.c), asumiendo que el alambre se comporta como
si fuera una barra cilíndrica recta.
Figura 18: Superposición de efectos
A partir del análisis realizado, se puede cuantificar la preponderancia de la tensión máxima
producida por el momento torsor por sobre la del esfuerzo de corte mediante la relación
tMTmáx /tc
. Dividiendo miembro a miembro las ecuaciones (1) y (2) y operando, se
obtiene:
tMTmáx = 2 . C . tc
Dado que el valor de C=D/d varía entre 3 y 12, en función del índice del resorte, la tensión
tangencial máxima producida por el momento torsor es entre 6 y 24 veces mayor que la
tensión producida por el esfuerzo de corte.
Cálculo aproximado de las tensiones considerando la curvatura del alambre
En la década de 1940, A. M. Wahl desarrolló en su libro Mechanical Springs (Resortes
Mecánicos) la teoría aproximada para el cálculo de tensiones en resortes helicoidales de
tracción-compresión considerando un pequeño ángulo a de inclinación del helicoide y un
índice del resorte C, variable entre 3 y 12.
Dentro de sus límites de aplicación, las fórmulas obtenidas por Wahl tienen un error del
orden del 2% con respecto a los valores más precisos que brinda la teoría de la elasticidad.
Por este bajo nivel de error y por la sencillez de su formulación, estas expresiones son
utilizadas en la mayoría de las aplicaciones prácticas y en las principales fuentes
bibliográficas de ingeniería.
18
Ing. Carlos Gerez
Para comenzar el análisis del efecto de la curvatura del alambre, en la Figura 19, puede
observarse una típica fractura por fatiga en un resorte helicoidal pesado.
Figura 19: Falla típica por fatiga
La superficie mas pulida del área de fractura, indica que la falla comenzó en el interior de la
espira, cercana al punto a’ indicado en la Figura 20 y se propagó en un ángulo de 45ª con
respecto al eje longitudinal de la espira. La ocurrencia de este tipo de falla, pone de
manifiesto que las tensiones en el interior de la espira, son superiores a las del exterior.
Figura 20:
Resorte helicoidal pesado,
cargado axialmente
19
Ing. Carlos Gerez
Este fenómeno, puede explicarse sencillamente analizando la rotación relativa dQ de dos
secciones normales al eje del alambre, la que contiene a los puntos a a’ y la que contiene a
los puntos b b’ (Figura 20).
En la figura 21, puede observarse que al producirse la rotación, el punto interior b’ pasa a
la posición c’ y el punto exterior b pasa a la posición c y aunque el ángulo de torsión es el
mismo para todos los puntos de la sección, debido a la curvatura de la barra, la distorsión
es mayor en el interior que en el exterior de la espira:
g’ > g
Donde:
g=Distorsión exterior
g’=Distorsión interior
Figura 21:
Distorsiones en una barra
curva sometida a torsión
Como las tensiones por torsión son proporcionales a la distorsión, entonces las tensiones
en el interior de la espira deberán ser mayores que en el exterior de la misma:
tINT
= G.g’ >
tEXT
= G.g
Donde G es el Módulo de elasticidad transversal que para el acero vale 81.000 MPa.
Considerando solamente el efecto del momento Torsor MT=P.D/2, A. M. Wahl, basándose
en la teoría de torsión de barras curvas (S. Timoshenko, Resistencia de materiales tomo II)
2
demostró que el centro de rotación real está desplazado una distancia d=d /(8.D) del
centro de masas de la sección en estudio (Figura 22) y que la distribución de tensiones
debidas a esta solicitación esta dada por:
(5)
20
Ing. Carlos Gerez
Donde r, es la coordenada con origen en el centro real de rotación O’, por lo tanto el valor
máximo correspondiente al punto a’ en el interior de la espira, se obtendrá para r = d/2 - d
y el mínimo para r = - (d/2 + d) correspondiente al punto a:
r
Figura 22: Diagrama real de tensiones en una
sección sometida sólo a torsión
Reemplazando estos valores en la expresión (5) y recordando que c = D/d:
(6)
y
(7)
Estas expresiones indican (Tabla 3) que, dependiendo del valor del índice del resorte y
dentro del campo de aplicación de las mismas (se considera que C varía entre 3 y 12), las
tensiones debidas a torsión en la zona interna de las espiras pueden ser desde un 13% a
un 69% mayores que en la zona externa.
c
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
tMTmáx / tMTmin 1,69 1,47 1,36 1,29 1,24 1,21 1,18 1,16 1,15 1,13
Tabla 3: Relación tMTmáx / tMTmin en función del índice del resorte C
21
Ing. Carlos Gerez
Considerando solamente el esfuerzo de corte P en barras cilíndricas curvas, S.
Timoshenko obtuvo que la tensión vale:
(8)
Si se superponen los efectos del Momento torsor y del esfuerzo de corte sumando la
expresión (8) a la (6) y operando, se obtiene la tensión tangencial máxima en la sección en
estudio:
(9)
Análogamente, restando la expresión (8) a la (7) y operando, se obtiene la tensión
tangencial mínima en la sección en estudio:
( 10 )
La expresión (9), que es la más utilizada en la bibliografía técnica y en la mayoría de los
casos prácticos para obtener la tensión máxima en la sección en estudio, difiere de la
fórmula (4) obtenida en la primera aproximación en el factor que afecta a
y suele
escribirse:
(9)
Donde:
( 11 )
KW, es el factor de corrección de tensiones de Wahl, compuesto por el término
indica la corrección por la curvatura del alambre y el término
que
que da la corrección
por el esfuerzo de corte.
En la Figura 23 se grafica el factor de Wahl en función del índice del resorte.
Observando los valores de la tabla 4, se se infiere que los valores de la teoría básica
expresados en la fórmula (4) tienen un menor error para altos índices del resorte.
22
Ing. Carlos Gerez
Figura 23: Factor de Wahl
c
1-1/2.c
KW
Error % de la
teoría básica
3
0,83
1,58
47%
4
0,88
1,40
38%
5
0,90
1,31
31%
6
0,92
1,25
27%
7
0,93
1,21
23%
8
0,94
1,18
21%
9
0,94
1,16
19%
10
0,95
1,14
17%
11
0,95
1,13
16%
12
0,96
1,12
14%
Tabla 4: Comparación de la teoría básica con el cálculo aproximado de tensiones
23
Ing. Carlos Gerez
Cálculo de tensiones para secciones de alambre no circulares
Para resortes helicoidales de alambre secciones no circulares, sometidos a tensiones
esfuerzos de tracción o compresión, Saint Venant, desarrolló la siguiente expresión general
para el cálculo de la tensión máxima:
( 12 )
Donde:
P = Carga aplicada
D = Diámetro del resorte
A = área de la sección transversal del alambre
K’ = Coeficiente de Saint Venant, depende del tipo de sección del alambre
KW = Factor de corrección de Wahl
Sección Cuadrada
Para un alambre de sección cuadrada (figura 24):
K’ = 0,208
A=a
2
Reemplazando valores en la (12):
( 13 )
Figura 24: Sección cuadrada
Sección Rectangular
Para un alambre de sección rectangular, el valor de K’ se obtiene de la siguiente tabla:
a/b
2
5
10
50
K'
0,174
0,130
0,099
0,047
A = a . b, Reemplazando valores en la (12):
Figura 25: Sección rectangular
( 14 )
24
Ing. Carlos Gerez
Sección Elíptica
Para un alambre de sección Elíptica:
A = 0,25 . p . a . b
Reemplazando valores en la (12):
( 15 )
Figura 26: Sección elíptica
Cálculo de deflexión en resortes de tracción-Compresión
Desde los primeros cursos de física, hemos observado que en la mayoría de los resortes la
deformación o deflexión de los mismos que denominamos f e indica un alargamiento
cuando el resorte está sometido a una carga de tracción (Figura 27) o un acortamiento o
longitud comprimida cuando está sometido a una carga de compresión (Figura 9), es
proporcional a la carga aplicada P:
P=K.f
(16)
Figura 27:
Deflexión en un resorte de tracción
En la expresión (16) por lo general se desconoce el valor de la constante de
proporcionalidad que eventualmente puede obtenerse en forma empírica.
Para resolver el problema general desde un punto de vista teórico, se asumirán las
siguientes hipótesis:
1. El resorte se considera como una barra cilíndrica recta de longitud L = p . Na . D,
2. Se considera un elemento de la barra cilíndrica (Figura 28) en cuya superficie, se ha
marcado un segmento ab paralelo al eje longitudinal de la barra. Luego de la
deformación se asume las secciones circulares del elemento permanecieron planas
y paralelas entra sí, que tuvieron una rotación relativa dQ (ángulo de torsión) y que
25
Ing. Carlos Gerez
el punto b del segmento marcado, se desplazó hasta la posición c formando el
ángulo de distorsión g.
3. La solicitación que se considera para el cálculo es momento Torsor MT = P . D / 2
Figura 28:
Elemento de barra cilíndrica
sometida a torsión
Bajo las hipótesis asumidas, la tensión en el punto b esta dada por:
(17)
Además, geométricamente la distorsión g, el ángulo de torsión dQ y la deflexión df,
(figuras 28 y 29) están relacionadas por:
(18)
y
(19)
Despejando dQ de (18) y (19):
Figura 29:
Deflexión elemental por torsión
(20)
Despejando de la expresión (17) el valor de la distorsión g y reemplazándolo en la
ecuación (20) , se obtiene:
(21)
26
Ing. Carlos Gerez
La ecuación (21), expresa el desplazamiento diferencial df del elemento de alambre en
estudio en función de sus características y carga aplicada, que permanecen constantes
durante la deformación y en función de la longitud diferencial dx.
Integrándola para toda la longitud de la barra, se obtiene la deflexión del resorte:
(22)
Y finalmente:
(23)
La fórmula (23), a pesar de las limitaciones que imponen las hipótesis planteadas para su
obtención y a diferencia de lo que ocurre para el cálculo de tensiones bajo las mismas
condiciones, es muy precisa incluso para resortes de pequeños índices y relativamente
grandes ángulos de inclinación del helicoide.
En la expresión (23) se observa además que el factor
es una constante que
depende de la geometría del resorte, de la sección del alambre y de su material, por lo que
la constante del resorte de la fórmula (16), puede expresarse:
(24)
Donde:
K = Constante del resorte = P / f
d = diámetro del alambre
D = Diámetro del resorte
Na = Número de espiras activas del resorte
G = Módulo de elasticidad transversal del alambre del resorte
27
Ing. Carlos Gerez
ANEXO I
Tabla de Aceros para resortes de alto Carbono y aleación
Material
Alambre
estirado en frío
(estirado duro)
(0.60 -0.70 C)
Designaciones
UNS G10660,
AISI/SAE 1066,
ASTM A227-47
Descripción
Es el acero de resorte de uso general de menor costo.
Se usa cuando la exactitud, la deformación y la duración
no son muy importantes (no es adecuado para cargas
variables o de impactó). Diámetros de 0.8mm a16mm.
Rango de temperaturas 0ºC a120°C.
Alambre
revenido en
aceite (0.60 0.70 C)
UNS G10650,
AISI/SAE 1065,
ASTM A229-41
Mayor costo que el del SAE 1066 pero menor que el del
SAE 1085. No es adecuado para cargas variables o de
impacto. Diámetros de 3mm a 16mm.Rango de
temperaturas 0ºC a 180ºC.
Alambre para UNS G10850,
cuerda musical AISI/SAE 1085,
(0.80 -0.95 C) ASTM A228-51
Es el mejor, más resistente a la tracción, más resistente
a la fatiga, más tenaz, y más utilizado para resortes
pequeños. Diámetros de 0.10mm a 6.5mm. Rango de
temperaturas 0ºC a 120°C.
Alambre
revenido en
aceite
AISI/SAE 1070,
ASTM A230
Calidad de resorte de válvula. Adecuado para cargas
variables
Al cromovanadio
UNS G61500,
AISI/SAE 6150,
ASTM A231-41
Es el acero aleado más utilizado para aplicaciones con
esfuerzos más elevados que los que soportan los aceros
duros al carbono, y aquellas donde se necesiten altas
resistencias a la fatiga y durabilidad. Soportan cargas de
impacto. Ampliamente utilizado en válvulas de motores
de avión. Diámetros de 0.8 a 12mm. Temperaturas
hasta 220°C.
Al cromo-silicio UNS G92540,
AISI/SAE 9254,
ASTM A401
Acero
inoxidable
Es excelente para aplicaciones con altos esfuerzos, en
las que se requiera tenacidad y gran duración. El
segundo más resistente después del alambre para
cuerda musical. Dureza Rockwell aproximadamente
entre C 50 y C 53. Diámetros de 0.8 a 12 mm.
Temperaturas hasta 220ºC/250°C.
SAE 30302,
Adecuado para carga variable y entornos corrosivos.
ASTM A313 (302)
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Ing. Carlos Gerez
Bibliografía
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A. M Wahl, Mechanical Springs. Penton Publishing Company, Cleveland, Ohio 1944
(Original from Unuversity of California)

Joseph E. Shigley, Larry D. Mitchell. Diseño en Ingeniería Mecánica. Cuarta
edición Mc Graw Hill

Budynas−Nisbett: Shigley’s Mechanical Engineering Design, Eighth Edition
Mc Graw Hill

Khurmi, R. S. and J. K. Gupta. Machine Design. Eurasia Publishing House
New Delhi

Ing. E. H. Lauría – Ing. O. A. Falco. Mecanismos. Tomos I y II . Centro de
Estudiantes de Ingeniería “La Línea Recta”. Buenos Aires 1985

Apuntes de Mecanismos. Centro de Estudiantes de Ingeniería “La Línea Recta”.
Buenos Aires 1973

Ing. Omar E. Mayer. Resortes Helicoidales. Facultad de Ingeniería Universidad de
Buenos Aires 2001

S. Timoshenko. Resistencia de materiales. Tomos I y II. Editorial Espasa-Calpe.
Madrid 1978
29

Resortes mecánicos helicoidales

Transcripción

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