Teoría y problemas
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Teoría y problemas
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Ingeniería de Caminos, CURSO 2005-2006 Ángeles Carmona y Andrés M. Encinas Departamento de Matemática Aplicada III E.T.S.E.C.C.P.B. Febrero de 2009 [email protected] [email protected] Índice general 1. Conceptos Básicos 7 1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Un ejemplo de modelización: Sistemas de calor/frío . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3. Ecuaciones lineales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4. Ecuaciones de variables separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4.1. El caso en el que no existen soluciones de equilibrio . . . . . . . . . . 23 1.4.2. El caso en el que existe una única solución de equilibrio . . . . . . . . 26 1.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2. Modelización con EDO de Primer Orden 35 2.1. Problemas geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2. Problemas de Mezclas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3. Desintegración radiactiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3.1. Datación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.2. Desintegración en cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.4. Reacciones Químicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.4.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3 4 ÍNDICE GENERAL 2.5. Caída de Cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.5.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.6. Propagación de rumores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.6.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.7. Modelos de Poblaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.7.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3. Sistemas Lineales 55 3.1. Sistemas de calor/frío con varios compartimentos . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2. Derivación e integración de funciones matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.3. Teoría general de sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4. La función de Green de un sistema lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.5. Dependencia de los datos y Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.6. El Sistema Adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.6.1. El Teorema Fundamental de Curvas Planas . . . . . . . . . . . . . . 78 3.6.2. El Teorema Fundamental de Curvas Espaciales . . . . . . . . . . . . . 80 3.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4. Métodos de Solución de Sistemas Lineales 85 4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.2. La exponencial de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.2.1. Las Fórmulas de Rodrigues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.3. Cálculo de la exponencial de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.4. Estabilidad de los sistemas de coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . 111 4.5. Sistemas de coeficientes variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.5.1. Aplicación al Teorema Fundamental de Curvas Planas . . . . . . . . 117 4.5.2. Aplicación al Teorema Fundamental de Curvas Espaciales . . . . . . . 119 4.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Índice general 5. Ecuaciones Lineales de Orden superior 5 133 5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 5.2. Teoría general para ecuaciones de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5.3. La función de Green de una ecuación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5.4. Ecuaciones lineales con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 5.5. Estabilidad de las ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.5.1. Estabilidad de las ecuaciones con coeficientes constantes . . . . . . . 154 5.6. Ecuaciones lineales no explícitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 5.6.1. Ecuaciones lineales no explícitas con coeficientes constantes . . . . . . 160 5.7. Ecuaciones de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 5.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 TEMA 1.1. 1 CONCEPTOS BÁSICOS Introducción En esta sección desarrollaremos una aproximación a la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias, partiendo de ejemplos simples que están encuadrados en el contexto del Cálculo Infinitesimal o si se prefiere del Análisis Matemático de funciones de una variable. En términos sencillos, una ecuación diferencial ordinaria, EDO en lo sucesivo, es una identidad en la que aparecen involucradas una función de una sola variable, que es la incógnita a determinar, y sus derivadas sucesivas. Por tanto, la carta de naturaleza de una ecuación diferencial ordinaria está determinada por la presencia de la derivada o las derivadas de una función de una variable. Así pues, la situación más sencilla será aquella en la que en la ecuación sólo aparezca la derivada de la función incógnita, es decir una expresión del tipo ¡ ¢ F t, x(t), x0 (t) = 0. (1.1) Como en esta expresión sólo aparece involucrada una derivada de la función incógnita convendremos en denominar a (1.1) Ecuación Diferencial Ordinaria de Primer Orden. El que x sea la incógnita de la ecuación anterior significa que el problema que planteamos consiste en encontrar las funciones derivables que en su intervalo de definición satisfacen la identidad (1.1). La cuestión fundamental que se plantea al estudiar la ecuación (1.1) no es otra que la de establecer la existencia de soluciones así como discutir su posible unicidad. A pesar de lo afirmado, la expresión anterior aún no es la más simple posible puesto que si bien una ecuación diferencial requiere la presencia de la o las derivadas de la incógnita, no precisa que también aparezca dicha función. Por tanto, la ecuación diferencial más sencilla 7 8 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Conceptos básicos que puede plantearse tendrá la expresión F (t, x0 (t)) = 0. (1.2) Naturalmente, la ecuación (1.2) puede resultar aun muy complicada dependiendo de la forma de la función ¡F , como por ejemplo en el caso F (t, x) = t2 + sen x + ex , que da lugar a ¢ 0 la ecuación t2 + sen x0 (t) + ex (t) = 0. Una pequeña reflexión sobre la ecuación (1.2), lleva a la conclusión de que sin duda la forma más sencilla de ecuación diferencial ordinaria está dada por la identidad x0 (t) = f (t), (1.3) problema clásico en los cursos básicos de análisis matemático y que no es otro que el del cálculo de primitivas. Así pues el cálculo de primitivas es un ejemplo de ecuación diferencial ordinaria (1.4) Precisamente utilizaremos este problema, que es objeto de un tratamiento extensivo en los cursos básicos, para presentar de manera informal algunos de los aspectos relativos a la teoría de EDO. En todos los casos, y en aras a realizar una presentación lo más simple posible, supondremos que todas las funciones involucradas tienen a R como su dominio de definición y son, al menos, continuas en él. Cuando f es una función continua, las cuestiones esenciales planteadas en el problema (1.3), es decir la existencia y/o unicidad de soluciones, quedan contestadas por dos de los resultados fundamentales del Análisis Matemático de una variable: Por una parte, el Teorema Z t f (s)ds es una solución del Fundamental del Cálculo establece que la función x(t) = 0 problema. Por otra parte, como dos funciones son primitivas de la misma función si y sólo si la derivada de su diferencia es nula, el Teorema del Valor Medio determina que dos funciones que sean solución del problema deben diferir en una constante. Así pues, la solución general de (1.3) está dada por la identidad Z t x(t) = c + f (s)ds, c ∈ R. (1.5) 0 El anterior resultado es característico de las ecuaciones diferenciales. Los problemas planteados tienen infinitas soluciones y en el caso de (1.3), que es una EDO es de primer orden, el conjunto de sus soluciones depende de un parámetro. Para determinar unívocamente c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Introducción 9 una de tales soluciones hemos de fijar su valoren un punto concreto. Así, nos preguntamos si fijados t0 , x0 ∈ R existirá alguna solución de (1.3) tal que x(t0 ) = x0 . Para responder a esta pregunta basta imponer a la solución general (1.5) que satisfaga dicha condición. Como Z t0 x0 = x(t0 ) = c + f (s)ds, 0 Z t0 resulta que c = x0 − f (s)ds y por tanto 0 Z t x(t) = x0 + f (s)ds, (1.6) t0 es la única solución de (1.3) que verifica que x(t0 ) = x0 . Podemos plantearnos ahora el problema x00 (t) = f (t), (1.7) que convendremos en denominar ecuación diferencial ordinaria de segundo orden y que sin lugar a dudas, representa el ejemplo más sencillo de ecuaciones de este tipo. Es posible resolver la ecuación anterior empleando las técnicas relativas a las ecuaciones de primer orden. Para ello, consideraremos la función y(t) = x0 (t). Entonces x es solución de (1.7) si y sólo si y es solución Zde (1.3), es decir si y sólo si y 0 (t) = f (t), y por tanto, Z teniendo t t en cuenta (1.5), y(t) = c1 + f (s)ds, c1 ∈ R. Si consideramos ahora F (t) = f (s)ds, 0 0 entonces x es solución de (1.7) sii es solución de la ecuación de primer orden x0 (t) = c1 +F (t), lo que aplicando nuevamente (1.5), implica que Z x(t) = c0 + Z t t [c1 + F (s)]ds = c0 + c1 t + 0 F (s)ds, c0 , c1 ∈ R. 0 Por otra parte, si aplicamos la técnica de Integración por Partes y teniendo en cuenta que F 0 = f resulta que Z t 0 Z t Z t Z t ¯t Z t ¯ sf (s)ds = tF (t) − sf (s)ds = t f (s)ds − sf (s)ds F (s)ds = sF (s)¯ − 0 0 0 0 0 c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 10 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Conceptos básicos y en definitiva que Z t x(t) = c0 + c1 t + (t − s)f (s)ds, (1.8) c0 , c1 ∈ R. 0 Como vemos la solución de una ecuación de segundo orden depende de dos parámetros que se determinarán de forma unívoca Zsi fijamos el valor de x y de x0 en un punto concreto t t0 . Específicamente, como x0 (t) = c1 + f (s)ds, resulta que 0 Z Z t0 x0 = x(t0 ) = c0 + c1 t0 + (t0 − s)f (s)ds t0 0 y x1 = x (t0 ) = c1 + f (s)ds 0 0 lo que implica que Z t0 c 1 = x1 − f (s)ds, 0 Z Z t0 c0 = x0 − x1 t0 − t0 f (s)ds − 0 Z t0 t0 (t0 − s)f (s)ds = x0 − x1 t0 + 0 sf (s)ds 0 y por tanto que Z Z t0 x(t) = x0 − x1 t0 + Z t0 sf (s)ds + x1 t − t t f (s)ds + 0 0 (t − s)f (s)ds. 0 En definitiva, la única solución de (1.7) que verifica que x(t0 ) = x0 y x0 (t0 ) = x1 está dada por la identidad Z t x(t) = x0 + x1 (t − t0 ) + (t − s)f (s)ds. (1.9) t0 1.2. Un ejemplo de modelización: Sistemas de calor/frío Si bien el sencillo ejemplo que hemos tratado en la introducción podría ser suficiente para motivar el estudio de ecuaciones diferenciales más generales, no cabe duda de que el c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Sistemas de calor/frío. El caso de un compartimento 11 tratamiento que se ha efectuado no requiere más técnicas que las conocidas en los cursos básicos de cálculo. Es por ello que, previamente a la introducción más sistemática de los conceptos y problemas fundamentales de la teoría, estimamos conveniente plantear un problema de la vida cotidiana cuya modelación matemática conduce a una ecuación diferencial ordinaria que no puede ser resuelta sin la introducción de nuevas técnicas. Desde el punto de vista físico, el fenómeno subyacente al problema que planteamos es el de la difusión de calor, que está regido por una ley experimental denominada ley de Newton. Además el modelo utilizado permitirá plantear problemas con una sola incógnita y problemas con múltiples incógnitas, cuyos valores aparecen interrelacionados. Analizaremos de momento el caso que conduce a plantear problemas con una sola incógnita, que físicamente corresponde a un único compartimento. Consideremos un edificio con un solo compartimento, por ejemplo una nave industrial, y sean respectivamente x(t) y T (t) las temperaturas interior y exterior del edificio en el instante t. La Ley de Newton del Enfriamiento establece que la variación de la temperatura interior debida a la temperatura exterior es proporcional a la diferencia entre ambas, con una constante de proporcionalidad que depende sólo de las características físicas del edificio tales como su aislamiento, el número de ventanas, etc. Además, es un hecho experimental que el calor fluye de las zonas calientes a las frías, de forma que si la temperatura exterior es inferior a la interior entonces ésta debe disminuir mientras que si ocurre lo contrario, la temperatura interior debería incrementarse. En términos matemáticos, esta propiedad determina que si T (t) ≥ x(t), entonces x0 (t) ≥ 0, mientras que si T (t) ≤ x(t), entonces x0 (t) ≤ 0. Por tanto, la Ley de Newton debe expresarse como ¡ ¢ x0 (t) = k T (t) − x(t) , k ≥ 0. (1.10) Naturalmente, el valor k = 0 hace referencia a que el interior del edificio está completamente aislado del exterior, de forma que la variación de temperatura es nula. En este caso, es claro que la temperatura interior debe ser constante, lo que físicamente corresponde a un estado de equilibrio. Si cuando k > 0 nos planteamos la posibilidad de que existan temperaturas de equilibrio, es decir temperaturas que permanezcan constantes en el tiempo, observamos que para que esto ocurra debe satisfacerse que si x̂ es tal valor de la temperatura, necesariamente ¡ ¢ 0 = k T (t) − x̂ , para cada t ∈ R, y como k > 0, necesariamente T (t) = x̂ para cada t ∈ R. Así pues, tenemos que sólo existen temperaturas de equilibrio si la temperatura exterior es constante, y en este caso el valor de la temperatura exterior es precisamente el de la temperatura de equilibrio, resultado por otra parte intuitivo desde la interpretación física del problema. c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 12 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Conceptos básicos En cada instante t, la variación de temperatura interior también está afectada por otros factores como el calor producido por las máquinas que están funcionando en ese momento, las personas presentes en el edificio en ese instante, etc, incremento que será denotado por H(t). Por último, la variación de temperatura interior también se verá afectada por el calor o frío que proporciona un sistema de aire acondicionado (caliente/frío) instalado en el edificio. Este sistema puede estar activado por un termostato que haga funcionar la calefacción o la refrigeración dependiendo de que la temperatura interior sea inferior o superior a una temperatura deseada x∗ . En este caso, la variación de temperatura interior estará determinada por U (t, x(t)), donde U : R × R −→ R debe verificar que para cada t, U (t, x) > 0 si x < x∗ , U (t, x∗ ) = 0 y U (t, x) < 0 cuando x > x∗ . El sistema de aire acondicionado se denomina lineal si U (t, x) = α(t)(x∗ − x) donde α es una función continua y α(t) > 0. En definitiva, la ecuación diferencial que determina la variación de temperatura interior con la presencia de un sistema lineal de aire acondicionado está dada por la igualdad ¡ ¢ ¡ ¢ x0 (t) = k T (t) − x(t) + α(t) x∗ − x(t) + H(t), k ≥ 0, α(t) > 0, para cada t. (1.11) Observar que si no tenemos en cuenta la influencia de máquinas, personas, etc, es decir si H = 0, y el edificio está aislado del exterior, es decir k = 0, entonces x∗ es precisamente una temperatura de equilibrio, lo que de nuevo resulta intuitivo desde la interpretación física. Tanto la identidad (1.10) como su generalización (1.11) son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden que, a diferencia del problema del cálculo de primitivas, involucra tanto a derivada de la función incógnita como a la propia función. Por otra parte, la experiencia del ejemplo del cálculo de primitivas sugiere que nuevamente la solución del problema debe depender de una constante, que podrá determinarse unívocamente si en un instante dado es conocida la temperatura del edificio. Así pues, el problema que plantearemos es el de si el conocimiento de la temperatura en un instante concreto, digamos que t0 , es suficiente para determinar la evolución de la temperatura a lo largo del tiempo. En términos matemáticos, si el valor de la temperatura en t0 se sabe igual a x0 grados, la cuestión que planteamos es si el problema ¡ ¢ ¡ ¢ x0 (t) = k T (t) − x(t) + α(t) x∗ − x(t) + H(t), x(t0 ) = x0 (1.12) tiene una única solución. 1.3. Ecuaciones lineales de primer orden Los problemas que estudiaremos en este apartado presentan la particularidad de que su propia estructura permite concluir que cada problema de valores iniciales tiene solución c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Ecuaciones lineales de primer orden 13 global única, con lo que queda así completamente contestado el problema fundamental. Otra ventaja adicional es que las propiedades cualitativas y cuantitativas de las ecuaciones y de los sistemas lineales generales ya están presentes en este caso, que por supuesto es el más sencillo que podemos plantear. En lo sucesivo, con la expresión intervalo no trivial designaremos a un intervalo de R que ni es vacío ni se reduce a un punto y que por tanto es o bien un subconjunto de la forma (a, b), (a, b], [a, b), [a, b] donde a, b ∈ R con a < b, o bien de la forma (−∞, a), (−∞, a], (a, +∞), [a, +∞) con a ∈ R o bien de la forma (−∞, +∞) = R. Datos para una EDO lineal • Intervalo no trivial: I ⊂ R. • Término Fuerza: f : I −→ R continua. • Coeficiente: a : I −→ R continua. Fijados estos datos, una EDO lineal de primer orden consiste en encontrar todas funciones x ∈ C 1 (I), es decir todas las funciones x : I −→ R derivables y con derivada continua que para cada t ∈ I satisfacen la identidad: x0 (t) = a(t)x(t) + f (t). (1.13) Cada función x ∈ C 1 (I) que satisfaga la anterior identidad se denomina solución de la EDO. Observar que cuando la función coeficiente a es nula, el problema planteado coincide con el del cálculo de las primitivas del término fuerza f . Por otra parte, la elección a(t) = k y f (t) = kT (t) corresponde a la EDO (1.10) que describe variación de temperatura en un edificio, mientras que la elección a(t) = k + α(t) y f (t) = kT (t) + H(t) + α(t)x∗ , corresponde a la EDO (1.11) donde se tienen en cuenta la presencia de máquinas, personas y la actuación de un aire acondicioneado lineal de característica α y programado a temparatura x∗ . Supongamos ahora que x e y son dos soluciones de la EDO (1.13) y consideremos la función z : I −→ R definida como z(t) = x(t) − y(t) para cada t ∈ I. Entonces, para cada t ∈ I se tiene que ¡ ¢ z 0 (t) = x0 (t) − y 0 (t) = a(t)x(t) + f (t) − a(t)y(t) − f (t) = a(t) x(t) − y(t) = a(t)z(t), de manera que z es solución de la EDO lineal de primer orden x0 (t) = a(t)x(t), (1.14) c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 14 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Conceptos básicos que en atención a que su término fuerza es nulo, se denomina homogénea. Recíprocamente, es sencillo comprobar que si y, z : I −→ R son respectivamente soluciones de las EDO (1.13) y (1.14), entonces la función x : I −→ R definida como x(t) = y(t) + z(t) para cada t ∈ I, es nuevamente solución de la EDO (1.13). En definitiva, si y es una solución concreta de la EDO lineal x0 (t) = a(t)x(t) + f (t), entonces cualquier otra solución se expresa como x = z + y donde z es una solución de la EDO homogénea z 0 (t) = a(t)z(t). (1.15) Este resultado es compatible con la fórmula (1.5) que determina la expresión de las Z t primitivas de f : x(t) = f (s) ds con t0 ∈ I es una solución concreta de la EDO, mientras t0 que z es una solución de la EDO homogénea z 0 (t) = 0 sii z(t) = c, c ∈ R. En el caso de la EDO homogénea z 0 (t) = a(t)z(t) es posible describir todas sus soluciones empleando recursos básicos de cálculo diferencial e integral de una variable. Comenzaremos observando que Z si α : I −→ R es una primitiva de a en el intervalo I, por ejemplo podríamos t tomar α(t) = a(s) ds para t0 ∈ I, entonces la EDO homogénea puede expresarse como t0 z 0 (t) − α0 (t)z(t) = 0, de manera que, multiplicando ambos términos de la anterior identidad por la función e−α(t) , resulta que ¡ ¢0 e−α(t) z 0 (t) − α0 (t)e−α(t) z(t) = 0 =⇒ e−α(t) z(t) = 0 =⇒ e−α(t) z(t) = c, c ∈ R. En definitiva, las soluciones de (1.14) pueden caracterizarse de la manera siguiente: Si α es una primitiva de la función coeficiente a, el conjunto de las soluciones de la EDO homogénea z 0 (t) = a(t)z(t) se expresa mediante la igualdad z(t) = c eα(t) , (1.16) c ∈ R. La búsqueda de una solución concreta de la EDO x0 (t) = a(t)x(t) + f (t), con la que según (1.15) completaríamos de describir el conjunto de soluciones de la EDO en cuestión, puede obtenerse a partir de una sencilla, aunque quizá artificiosa y poco intuitiva, técnica denominada método de variación de las constantes o método de Lagrange y que consiste en buscar una función c ∈ C 1 (I) de manera que y(t) = c(t) eα(t) sea solución de (1.13). Para que esto ocurra debe satisfacerse que c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Ecuaciones lineales de primer orden 15 a(t) y(t) + f (t) = y 0 (t) = a(t) c(t) eα(t) +c0 (t) eα(t) =⇒ c0 (t) = e−α(t) f (t), | {z } y(t) de manera que c : I −→ R debe ser una primitiva de la función e−α(t) f (t). Así pues, teniendo en cuenta (1.15), las soluciones de (1.13) pueden caracterizarse de la manera siguiente: Si α es una primitiva de la función coeficiente a, y c es una primitiva de la función e−α(t) f (t), el conjunto de las soluciones de la EDO lineal x0 (t) = a(t)x(t) + f (t) se expresa mediante la igualdad £ ¤ x(t) = eα(t) c + c(t) , c ∈ R. (1.17) Como vemos la solución general (1.17) de la EDO (1.13) posee un grado de libertad, la aconstante c, que intentaremos quede unívocamente determinado fijando el valor de la solución en un punto concreto. En otros términos lo que nos planteamos ahora es el análisis de los denominados Problemas de Valor Inicial x0 (t) = a(t)x(t) + f (t), x(t0 ) = x0 , donde t0 ∈ I y x0 ∈ R. (1.18) Como la valoración en t0 de la solución general de (1.13) determina que £ ¤ x0 = x(t0 ) = eα(t0 ) c + c(t0 ) =⇒ c = x0 e−α(t0 ) − c(t0 ) resulta que el valor de c queda unívocamente determinado por la condición inicial y además £ ¤ £ ¤ x(t) = eα(t) x0 e−α(t0 ) + c(t) − c(t0 ) = x0 eα(t)−α(t0 ) + eα(t) c(t) − c(t0 ) . (1.19) Observar que la expresión anterior determina que cada problema de valores iniciales planteado para la EDO lineal (1.13) tiene solución única. Más aún, un análisis un poco más detallado de la fórmula (1.19) que determina tal solución, permite representarla explícitamente en términos de los datos del problema, es decir los iniciales t0 y x0 y también la función coeficiente, del término fuerza. Para ello no hemos más que observar que aunque α es una primitiva cualquiera de a, α(t) − α(t0 ) representa la única primitiva de a que se anula en t0 y análogamente c(t) − c(t0 ) representa la única primitiva de e−α(t) f (t) que se anula en t0 y por tanto, Z t Z t R − s a(u) du α(t) − α(t0 ) = a(s) ds y c(t) − c(t0 ) = e t0 f (s) ds. (1.20) t0 t0 En definitiva, tenemos el siguiente resultado: c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 16 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Conceptos básicos Fórmula de Lagrange Fijados I ⊂ R un intervalo no trivial y el coeficiente a ∈ C(I), entonces para cada t0 ∈ I, cada x0 ∈ R y cada f ∈ C(I), el problema de valores iniciales x0 (t) = a(t)x(t) + f (t), x(t0 ) = x0 , tiene solución única que además está dada por la identidad Z t Z s Z a(u) du a(u) du t − x(t) = e t0 e t0 f (s) ds . x0 + t0 La Fórmula de Lagrange puede expresarse también como Z t Z a(u) du x(t) = x0 e Z + t0 t a(u) du t e s (1.21) f (s) ds, t0 de manera que x(t) = z(t) + xp (t) donde Z t Z a(u) du z(t) = x0 e y t0 Z t a(u) du t xp (t) = e s f (s) ds. t0 Es fácil comprobar que z es la única solución del problema de valor inicial z 0 (t) = a(t)z(t), z(t0 ) = x0 , mientras que a su vez el segundo es la única solución del problema de valor inicial u0 (t) = a(t)u(t) + f (t), u(t0 ) = 0. Esta descomposición de la única solución del problema de valor inicial x0 (t) = a(t)x(t) + f (t), x(t0 ) = x0 como superposición (suma) de dos funciones y la peculir expresión del segundo sumando, motiva la siguiente definición: Función de Green Si I ⊂ R es un intervalo no trivial y a ∈ C(I) denominaremos Función de Green de la EDO x0 (t) = a(t)x(t) a g : I × I −→ R Z (t, s) −→ e t a(u) du s c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Ecuaciones lineales de primer orden 17 Observar que la función de Green de la EDO x0 (t) = a(t)x(t) depende únicamente del coeficiente a y además Z t g(t, s) f (s) ds, es la para cada t0 ∈ I y cada f ∈ C(I), la función xp (t) = 0 t0 (1.22) única solución del problema de valor inicial x (t) = a(t)x(t) + f (t), x(t0 ) = x0 , es decir, la Fórmula de Lagrange tiene la siguiente manera alternativa de expresarse: Para cada t0 ∈ I, x0 ∈ R y cada f ∈ C(I), la única solución del problema de valor inicial x0 (t) = a(t)x(t) + f (t), x(t0 ) = x0 está determinada por la identidad Z t x(t) = g(t, t0 ) x0 + g(t, s) f (s) ds, t0 Z donde g(t, s) = e (1.23) t a(u) du s es la Función de Green de la EDO homogénea. Si definimos K : I ×µI −→ f (t) resulta µ s) = ¶ R como K(t, ¶ g(t, s) f (s), entonces K(t, t)Z = t ∂g ∂K a(u) du. Por que a(t)g(t, s) f (s) = f (s) = , puesto que g(t, s) = ∂t (t,s) ∂t (t,s) s tanto, Z x0p (t) Z tµ t = a(t)xp (t) + f (t) = a(t) g(t, s) f (s) ds + f (t) = t0 t0 ∂K ∂t ¶ ds + K(t, t). (t,s) Aunque en este caso el valor x0p ha sido hallado directamente por ser g conocida, en el resto del curso será útil el siguiente resultado que generaliza la situación anterior. Regla de Leibnitz de derivación bajo el signo ∂K : I × I −→ R, entonces ∂t Z ψ(t) 1 para cada φ, ψ ∈ C (I) la función x : I −→ R definida como x(t) = K(t, s) ds Si K : I × I −→ R es continua y existe y es continua φ(t) es de clase C 1 (I) y además Z 0 ψ(t) x (t) = φ(t) µ ∂K ∂t ¶ ¡ ¢ ¡ ¢ ds + K t, ψ(t) ψ 0 (t) − K t, φ(t) φ0 (t). (t,s) c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 18 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Conceptos básicos Para la demostración de la Regla de Leibnitz, puede consultarse, por ejemplo el Teorema 12.8 del texto Apostol, T., Análisis Matemático, Ed. Reverté. Cuando el coeficiente de la EDO (1.13) es constante, es decir a(t) = a para cada t ∈ R, entonces Fórmula de Lagrange con coeficiente constante g(t, s) = ea(t−s) es la Función de Green de la EDO x0 (t) = ax(t) y dados t0 ∈ I, x0 ∈ R y f ∈ C(I), el problema de valores iniciales x0 (t) = a x(t) + f (t), x(t0 ) = x0 , tiene como única solución a la función Z x(t) = x0 e a(t−t0 ) t + ea(t−s) f (s) ds. t0 1.4. Ecuaciones de variables separables Las ecuaciones lineales de primer orden abordadas en la sección anterior proporcionan un marco teórico suficientemente rico como para describir explícitamente la solución de numerosos procesos físicos, cuyas propiedades pueden por tanto determinarse a partir de las dichas soluciones. No obstante, en muchas ocasiones tales sistemas físicos muestran un comportamiento no lineal, es decir no se satisface el principio de superposición, de manera que las ecuaciones lineales no representan más que aproximaciones de las ecuaciones diferenciales que determinan el estado del sistema. El objetivo de esta sección es describir un método elemental de resolución de algunas EDO de primer orden, concretamente las que denominaremos de variables separables, para poder disponer así de más ejemplos concretos de EDO cuyas soluciones pueden ser obtenidas explícitamente. Como veremos, las EDO de variables separables representan una generalización al caso no lineal de las EDO lineales homogéneas y su técnica de resolución se reduce en esencia al cálculo de primitivas, si bien con un proceso algo más elaborado que el desarrollado en la Introducción y que ya quedó esbozado en la resolución de las EDO lineales homogéneas. La diversidad de situaciones que pueden presentarse en las EDO de variables separables, configuran un panorama lo suficientemente rico como para poder mostrar la profundidad de las cuestiones planteadas en el marco de lo que hemos denominado problema fundamental, sin que por ello se necesiten para su análisis más que recursos básicos del Cálculo Infinitesimal. Nos preocuparemos de determinar bajo qué condiciones los problemas de valor inicial tienen c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Ecuaciones de variables separables 19 solución única . Como veremos, para esta cuestión será decisiva la presencia o no de soluciones de equilibrio y el comportamiento de la función que define la EDO en torno a dichos puntos. Aunque el concepto de EDO en variables separables puede definirse en un contexto ligeramente más general, ver por ejemplo [?], el problema que analizaremos en esta sección es el que corresponde a tomar los datos siguientes: Datos para EDO de variables separables • Los intervalos no triviales I, J ⊂ R. • Las funciones continuas y no nulas g : I −→ R y f : J −→ R. Fijados estos datos, una EDO de primer orden de variables separables consiste en encontrar ˆ donde Iˆ ⊂ I es un subintervalo no trivial, que para cada t ∈ Iˆ todas funciones x ∈ C 1 (I), satisfacen la identidad: ¡ ¢ x0 (t) = g(t) f x(t) . (1.24) ˆ Iˆ ⊂ I, que satisfaga la anterior identidad se deNuevamente, cada función x ∈ C 1 (I), nomina solución de la EDO. Observar que cuando f (x) = k para cada x ∈ R, k ∈ R, es decir si f es una función constante, (1.24) no es más que el problema de cálculo de primitivas de la función k g(t), mientras que si f (x) = x para cada x ∈ R, es decir si f es la función identidad, entonces (1.24) no es más que la EDO lineal homogénea de primer orden con coeficiente g(t). En estos casos sabemos que todas las soluciones de la EDO están definidas en el intervalo I, pero esta propiedad no tiene porqué ser cierta en otras situaciones, lo que justifica la definición de solución que hemos introducido. Ilustraremos esta particularidad con algunos ejemplos en los cuales siempre tenemos I = J = R Ejemplo 1: La ecuación x0 (t) = −x2 (t), donde g(t) = 1 y f (x) = −x2 , tiene como soluciones x(t) = 0 y las funciones de la forma xc (t) = 1 , t−c c ∈ R. (1.25) Es claro que el intervalo de definición de x es R. Respecto del resto de soluciones, hay que señalar que si bien para cada c ∈ R la función xc está definida en el conjunto H = R \ {−c} y satisface que x0 (t) = −x2 (t) para cada t ∈ H, no es solución de la EDO en H. El motivo es que cada solución de una EDO debe tener como dominio de definición un intervalo y c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 20 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Conceptos básicos obviamente H no lo es. De hecho, las funciones x− c : x+ c : (−∞, c) −→ t R, 1 −→ t−c (c, +∞) −→ t R 1 −→ t−c (1.26) son soluciones de la EDO. En la Figura 1.1 se representan las soluciones de la EDO correspondientes a distintos valores de la constante c. En el semiplano superior aparecen las de la − forma x+ c , mientras que en el semiplano inferior se representan las de la forma xc . c=-4 c=-3 c=-2 c=-1 x c=0 x(t)=0 c=-4 c=1 c=2 c=3 c=4 0 c=-3 c=-2 c=-1 c=0 t c=1 c=2 c=3 c=4 Figura 1.1: Soluciones de la EDO x0 (t) = −x2 (t). Con este ejemplo hemos comprobado que es preciso determinar el dominio de definición de las funciones para que éstas sean consideradas como soluciones y que una ley de asignación no tiene porqué describir una solución sino que, como ha ocurrido aquí, varias soluciones pueden estar definidas por la misma ley. Por otra parte, hemos comprobado también que dos soluciones diferentes tienen intervalos de definición distintos. Ejemplo 2: La ecuación x0 (t) = 2tx2 (t), donde g(t) = 2t y f (x) = x2 , tiene como soluciones 1 x(t) = 0 y las funciones de la forma xc (t) = , c ∈ R. (1.27) c − t2 c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Ecuaciones de variables separables 21 Es claro que el intervalo de definición de x es R y si c < 0, xc está asimismo definida en R. 1 − + Si c = 0, las funciones x− 0 : (−∞, 0) −→ R dada por x0 (t) = − 2 y x0 : (0, +∞) −→ R t 1 dada por x+ 0 (t) = − 2 son también soluciones de la EDO. t √ 1 − Finalmente, si c > 0, las funciones x− , c : (−∞, − c) −→ R dada por xc (t) = c − t2 √ √ √ 1 x0c : (− c, c) −→ R determinada por x0c (t) = y x+ k : ( c, +∞) −→ R definida 2 c−t 1 como x+ son soluciones de la EDO. Obsérvese que en este caso, la misma ley c (t) = c − t2 determina tres soluciones diferentes. En la Figura 1.2 se representan las soluciones de la EDO correspondientes a distintos valores de la constante c: En el semiplano superior aparecen las − de la forma x+ c , mientras que en el semiplano inferior se representan las de la forma xc . x c=1 c=4 c=9 c=16 x(t)=0 t 0 c=-4 c=-1 c=16 c=9 c=4 c=1 c=0 c=1 c=4 c=9 c=16 Figura 1.2: Soluciones de la EDO x0 (t) = 2tx2 (t). Ejemplo 3: La ecuación x0 (t) = 1 + x2 (t), donde F (t, x) = 1 + x2 , tiene como soluciones xc (t) = tg (t − c), c ∈ R. (1.28) ¡ ¢ Para cada c ∈ R, la función xc : c − π2 , c + π2 −→ R definida como xc (t) = tg (t − c) es solución de la EDO. En la Figura 1.3 se representan las soluciones de la EDO correspondientes a distintos valores de la constante c. c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 22 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Conceptos básicos c=-4 c=-3 c=-2 x c=-1 c=0 c=1 c=2 0 c=3 c=4 t Figura 1.3: Soluciones de la EDO x0 (t) = 1 + x2 (t). A diferencia de los anteriores, este ejemplo muestra que una misma ley puede definir infinitas soluciones. Hemos comprobado mediante los ejemplos anteriores que, aunque el dominio de definición de la función que determina una EDO tenga establecido un intervalo de referencia, el que describe la banda, no podemos aspirar en general a que las soluciones estén definidas en tal intervalo, puesto que el concepto de solución es intrínsecamente local. No obstante en muchos casos, pensemos en aquéllos en los que como el analizado en la Sección ??, la EDO describe el comportamiento de un determinado sistema, físico, químico, biológico, etc., es importante poder comparar entre sí los valores de diferentes soluciones, para lo que debe asegurarse que tales funciones comparten el mismo intervalo de definición. En otras ocasiones es importante describir el comportamiento a largo plazo de los sistemas, es decir de las soluciones de las EDO, para lo que es preciso que las soluciones están definidas en un intervalo de la forma (a, +∞), lo que hemos comprobado no está asegurado por el mero hecho de que el intervalo que determina la EDO sea de esa forma. La estructura de las EDO de variables separables permite caracterizar fácilmente sus soluciones de equilibrio, es decir sus soluciones constantes, caso de que existan: ¡ ¢ x0 es una solución de equilibrio de la EDO x0 (t) = g(t) f x(t) si y sólo si f (x0 ) = 0. (1.29) En los ejemplos 1 y 2 anteriores x0 = 0 es el único equilibrio de la EDO, mientras que en el ejemplo 3 no existen soluciones de equilibrio. Nuestro estudio de la EDO de variables c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Ecuaciones de variables separables 23 separables (1.24) se basará en la existencia o no de soluciones de equilibrio. En aras de la simplicidad nos limitaremos exclusivamente a analizar el caso en el que la EDO o bien no tiene soluciones de equilibrio o bien tiene una única solución de equilibrio. Los razonamientos efectuados en esta última situación pueden extenderse sin demasiadas dificultades al caso en el que la EDO tiene una cantidad finita de equilibrios, o incluso a cuando existe una cantidad infinita numerable de equilibrios aislados. 1.4.1. El caso en el que no existen soluciones de equilibrio Tal y como hemos mostrado en (1.29) la EDO no presenta soluciones de equilibrio sii la función f no se anula en J. Como f es una función continua, el Teorema de Bolzano implica que f tiene signo constante y no existe pérdida de generalidad si se supone que ¡ ¢ f (x) > 0 para 0 cada x ∈ J pues en otro caso cambiaríamos en la EDO x (t) = g(t) f x(t) la función f por −f y la función g por −g para dar lugar a la misma EDO con la hipótesis de positividad para el segundo dato. Por tanto, a lo largo de este apartado ¡ ¢ supondremos que f (x) > 0 para 0 cada x ∈ R. Con esta hipótesis, la EDO x (t) = g(t) f x(t) es equivalente a la identidad x0 (t) ¡ ¢ = g(t), f x(t) t ∈ I, (1.30) lo que como veremos a continuación reduce su resolución al cálculo de primitivas. Concreta1 mente, si consideremos G : I −→ R una primitiva de g y H : J −→ R una primitiva de , f entonces la identidad (1.30) es equivalente a la igualdad ¡ ¢ H 0 x(t) = G0 (t), t ∈ I, (1.31) de manera que las soluciones de la EDO (1.24) quedan determinadas implícitamente por la fórmula ¡ ¢ H x(t) = G(t) + c, para todo t ∈ I, donde c ∈ R. (1.32) Nuestro próximo objetivo es despejar x(t) en la anterior identidad para así obtener una expresión explícita de las soluciones de la EDO y más concretamente de cada problema de valores iniciales ¡ ¢ x0 (t) = g(t) f x(t) , x(t0 ) = x0 , t0 ∈ I, x0 ∈ J. (1.33) c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 24 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Conceptos básicos Como fijados t0 ∈ I y x0 ∈ J, si x es solución del problema de valores iniciales (1.33), necesariamente debe verificar (1.32), obtenemos que c = H(x0 ) − g(t0 ), de forma que la expresión implícita de la o las soluciones de (1.33) está dada por ¡ ¢ H x(t) − H(x0 ) = g(t) − g(t0 ). Teniendo en cuenta que Gt0 (t) = g(t) − g(t0 ) es la única primitiva de g que se anula en 1 t0 y que Hx0 (x) = H(x) − H(x0 ) es asimismo la única primitiva de que se anula en x0 , f Z t Z x dz resulta que Gt0 (t) = , para cada x ∈ J y por g(s) ds, para cada t ∈ I, Hx0 (x) = t0 x0 f (z) tanto, la o las soluciones de (1.33) están determinadas implícitamente por la igualdad Z x(t) x0 dz = f (z) Z t (1.34) g(s) ds. t0 Consideremos ahora a = ı́nf{J} y b = sup{J}, de manera que o bien J = (a, b), o bien J = (a, b], o bien J = [a, b) o bien J = [a, b] y no se excluye que a = −∞ o b = +∞. Como 1 Hx0 0 (z) = > 0, tenemos que Hx0 es estrictamente creciente, lo que implica que tienen f (z) sentido los valores Z αx0 = − x0 a dz = lı́m f (z) x→a+ Z x x0 dz f (z) Z y βx0 = b x0 dz = lı́m f (z) x→b− Z x x0 dz f (z) y que además se satisface que ¢−∞ ≤ αx0 < 0 < βx0 ≤ +∞, Hx0 : (a, b) −→ (αx0 , βx0 ) es ¡ 1 biyectiva y Hx−1 ∈ C (α , x0 βx0 ) . 0 Por otra parte, como Gt0 es continua y satisface que Gt0 (t0 ) = 0 ∈ (αx0 , βx0 ), existe un ˆ Si It0 x0 ⊂ I es el intervalo Iˆ ⊂ I tal que t0 ∈ Iˆ y además Gt0 (t) ∈ (αx0 , βx0 ) para cada t ∈ I. mayor intervalo, en el sentido de la inclusión, con la propiedad anterior, entonces la función definida como µZ t ¶ −1 (1.35) x(t) = Hx0 g(s) ds , t ∈ It0 x0 t0 es la única solución del problema de valores iniciales (1.33). En general, It0 x0 , el intervalo de definición de la solución del problema anterior, no tiene porqué coincidir con I. Por ejemplo, de manera que las soluciones maximales serán soluciones locales. Esto es lo que ocurre en el Ejemplo 3 anterior: En este caso, I = R, g(t) = 1 y c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Ecuaciones de variables separables 25 f (x) = 1 + x2 , lo que implica que Gt0 (t) = t − t0 y Hx0 (x) = arctg(x) − arctg(x0 ), donde ¡ π π´ arctg(x) es la rama principal de esta función es decir, la definida en el intervalo − 2 , 2 . Por tanto tenemos que αx0 = − π − arctg(x0 ), 2 β x0 = π − arctg(x0 ) 2 ¡ ¢ Hx−1 (x) = tg x + arctg(x0 ) . 0 y ¡ ¢ ¡ ¢ Entonces, t−t0 ∈ − π2 −arctg(x0 ), π2 −arctg(x0 ) sii t ∈ t0 +arctg(x0 )− π2 , t0 +arctg(x0 )+ π2 , lo que implica que ¡ ¢ ¡ ¢ x : t0 + arctg(x0 ) − π2 , t0 + arctg(x0 ) + π2 −→ R dada por x(t) = tg t − t0 + arctg(x0 ) es la única solución del problema de valores iniciales x0 (t) = 1 + x2 (t), x(t0 ) = x0 . Por tanto, para poder garantizar que It0 x0 = I, debemos imponer condiciones adicionales sobre las funciones g y f y más concretamente sobre sus primitivas Gt0 y Hx0 , respectivamente. Así, si se verifica que αx0 < ı́nf Gt0 (t) ≤ sup Gt0 (t) < βx0 , entonces Gt0 (t) ∈ (αx0 , βx0 ) t∈I t∈I para cada t ∈ I y por tanto Jt0 x0 = I. En particular, las anteriores desigualdades están garanZ b Z c dz dz = = +∞, donce tizadas para cada t0 ∈ I y cada x0 ∈ J si se satisface que c f (z) a f (z) c ∈ J. En resumen, tenemos el siguiente resultado que describe la solución del problema de valor inicial (1.33): Si f (x) > 0 para cada x ∈ R, entonces ¡ ¢para cada t0 ∈ I y cada x0 ∈ J el problema de valores iniciales x0 (t) = g(t) f x(t) , x(t0 ) = x0 tiene una única solución que Z x(t) Z t dz está determinada implícitamente por la identidad = g(s) ds. La f (z) x0 t0 solución está definida en I si además se satisface que Z t Z b Z x0 Z t dz dz g(s) ds ≤ ≤ ı́nf g(s) ds ≤ sup . − f (z) t∈I t0 t∈I t0 x0 f (z) a Z c En particular, esto ocurre si fijado c ∈ J, a Z t dz = f (z) Z b c (1.36) dz = +∞. f (z) Z t Observar que en el Ejemplo 3, ı́nf g(s) ds = −∞ y sup g(s) ds = +∞, mientras t∈I t t∈I t0 0 Z 0 Z +∞ π dz π dz = lı́m arc tg x = y = − lı́m arc tg x = − , lo que hace que que x→+∞ x→+∞ f (z) 2 2 −∞ f (z) 0 no se satisfaga la hipótesis que asegura que las soluciones están definidas en I = R, que en ese caso es el intervalo de referencia. c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 26 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Conceptos básicos 1.4.2. El caso en el que existe una única solución de equilibrio En este apartado abordaremos el¡ estudio ¢ de los problemas de valor inicial para la EDO en variables separables x0 (t) = g(t) f x(t) con la hipótesis adicional de que existe una única solución de equilibrio, o después de la caracterización de tales soluciones (1.29), bajo la hipótesis de que la función f tiene un único cero en J que denotaremos como x∗ . Observar que ésta es la situación de las EDO lineales y homogéneas de primer orden y también de los dos primeros ejemplos anteriores en los que además x∗ = 0. Por tanto, en este apartado supondremos que f (x∗ ) = 0 y que f (x) 6= 0 para cada x ∈ R con x 6= x∗ . A diferencia del estudio efectuado en la sección precedente, en lugar de describir primero todas las soluciones de la EDO y posteriormente la de cada problema de valor inicial, en este caso describiremos directamente la o las soluciones de cada problema de valores iniciales. Consideremos pues fijados t0 ∈ I, x0 ∈ R y el problema de valores iniciales ¡ ¢ x0 (t) = g(t) f x(t) , Z Consideremos también Gt0 (t) = x(t0 ) = x0 . (1.37) t g(s) ds, la única primitiva de g en el intervalo I que Z x dz está definida en R \ {x∗ } y se anula en t0 . Además, si x0 6= x∗ la función Hx0 (x) = x0 f (z) 1 si x0 < x∗ su restricción a (−∞, x∗ ) es la única primitiva de en (−∞, x∗ ) que se anula en f 1 x0 , mientras que si x0 > x∗ su restricción a (x∗ , +∞) es la única primitiva de en (x∗ , +∞) f que se anula en x0 . Siguiendo los razonamientos efectuados en el apartado anterior, resulta que si x0 6= x∗ , la expresión Z t0 x(t) x0 dz = f (z) Z t g(s) ds (1.38) t0 define implícitamente una solución del problema de valores iniciales planteado y tal que si Iˆ ⊂ I es su intervalo de definición, entonces x : Iˆ −→ (−∞, x∗ ) si x0 < x∗ mientras que x : Iˆ −→ (x∗ , +∞) si x0 > x∗ . Al igual que en el caso en el que no existen equilibrios podemos tomar It0 x0 ⊂ I el mayor intervalo, en el sentido de la inclusión tal que x(t) ∈ (−∞, x∗ ) cuando x0 < x∗ o tal que x(t) ∈ (x∗ , +∞) cuando x0 > x∗ . Analizaremos la situación solamente cuando x0 < x∗ , pues un estudio análogo puede hacerse para describir el comportamiento de la o las soluciones cuando x0 > x∗ y nuevamente consideraremos los valores a = ı́nf{J} y b = sup{J}. Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que f (z) > 0 para cada z ∈ (a, x∗ ) lo que implica que Hx0 es estrictamente creciente en dicho intervalo, que existen los valores c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Ecuaciones de variables separables Z x0 Z x∗ dz y que además −∞ ≤ αx0 < 0 < βx0 ≤ +∞. Como a x0 f (z) µZ t ¶ −1 Hx0 : (−∞, x∗ ) −→ (αx0 , βx0 ) es biyectiva, la función x(t) = Hx0 g(s) ds , t ∈ It0 x0 es αx0 = − dz , βx0 = f (z) 27 t0 solución del problema de valores iniciales (1.37). Tenemos ahora los siguientes resultados: Z t • Si para cada t ∈ I se satisface que g(s) ds < βx0 , entonces la función x(t) definida t0 anteriormente es la única solución de (1.37). En particular esto ocurre si βx0 = +∞. Z t • Si βx0 ∈ R y existe t ∈ I tal que g(s) ds = βx0 , podemos tomar t0 ½ Z t1 = ı́nf t ∈ I : t0 Z ¾ t g(s) ds = βx0 . t1 Entonces t1 ∈ I y satisface que t0 < t1 e g(s) ds = βx0 , es decir es el menor valor µZ t ¶ −1 de I tal que tiene esta propiedad, t1 = sup It0 x0 y la función x(t) = Hx0 g(s) ds t0 t0 satisface que x(t) 6= x∗ si t ∈ It0 x0 y además lı́m x(t) = x∗ . Si ahora consideramos el t→t1 intervalo Iˆ = It0 x0 ∪ {t ∈ I : t ≥ t1 } y la función z : Iˆ −→ R definida como z(t) = x(t) si t ∈ It0 x0 y como z(t) = x∗ si t ≥ t1 , entonces aplicando el resultado de prolongación de soluciones resulta que z es una solución de (1.37) a x. Esto implica ¡ ¢que prolonga 0 ∗ que el problema de valores iniciales x (t) = g(t) f x(t) , x(t1 ) = x tiene al menos dos soluciones distintas. Como consecuencia del primero de los dos resultados anteriores, resulta que si f ∈ C 1 (J), entonces como f 0 ∈ C(J) y [x0 , x∗ ] ⊂ J para cada x0 < x∗ , existe M > 0 tal que f (z) = |f (z)| = |f (z) − f (x∗ ) | ≤ M |z − x∗ | = M (z − x∗ ), | {z } para cada z ∈ [x0 , x∗ ], 0 Z x∗ Z x∗ 1 dz dz lo que implica que +∞ = ≤ , de manera que βx0 = +∞. Haciendo ∗ M x0 z − x x0 f (z) el mismo razonamiento para x0 > x∗ , obtenemos que Si f ∈ C 1 (J), entonces ¡ para ¢ cada t0 ∈ I y cada x0 ∈ J el problema de valores iniciales x0 (t) = g(t) f x(t) , x(t0 ) = x0 tiene una única solución. (1.39) c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 28 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Conceptos básicos Comprobaremos con un ejemplo como si no se satisface la anterior hipótesis de regularidad par ala función f , entonces pueden existir problemas de valor inicial con múltiples soluciones: p p Ejemplo 4: La ecuación x0 (t) = 2 |x(t)|, donde I = J = R, g(t) = 1 y f (x) = 2 |x|, tiene como soluciones −(t − c)2 , si t < c, 0, si t = c, x(t) = 0 y las funciones xc (t) = (t − c)2 , si t > c, donde c ∈ R. (1.40) Las soluciones descritas en (1.40) no determinan todas las soluciones posibles de la EDO. Por ejemplo, la función −(t − c)2 , si t < c, 0, si c ≤ t ≤ ĉ, xĉc (t) = 2 (t − ĉ) , si t > ĉ, donde c ≤ ĉ (1.41) es también solución de la EDO. Así, si tomamos t0 , x0 ∈ R, y consideramos el problema de valores iniciales p x0 (t) = 2 |x(t)|, x(t0 ) = x0 , (1.42) entonces si x0 > 0, para cada c ≤ t0 − xc (t) = √ x0 , las funciones −(t − c)2 , si t < c, √ si c ≤ t ≤ t0 − x0 , ¡t − t + √x ¢2 , si t > t − √x , 0 0 0 0 0, (1.43) son todas las √ soluciones del problema de valor inicial (1.42), mientras que si x0 < 0, para cada c ≥ t0 + −x0 , las funciones ¡ ¢2 √ √ − t − t0 − −x0 , si t < t0 + −x0 , √ xc (t) = 0, si t0 + −x0 ≤ t ≤ c, ¡ t − c)2 , si t > c, (1.44) son todas las soluciones del problema de valor inicial (1.42) y finalmente si x0 = 0, entonces x(t) = 0 y las funciones xĉc definidas en (1.41) y donde donde ĉ ≤ t0 ≤ c, son todas las c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Ejercicios 29 soluciones del problema de valor inicial (1.42). En la Figura 1.4 se representan las soluciones de la EDO correspondientes a distintos valores de la constante c y también tres soluciones diferentes para el mismo problema de valor inicial. c=-4 x c=-3c=-2 c=-1 c=0 c=1 c=2 . (t0,x0) c=3 c=4 t 0 x(t)=0 p Figura 1.4: Tres soluciones del PVI x0 (t) = 2 |x(t)|, x(t0 ) = x0 . 1.5. Ejercicios Problema 1. (S) Sean I ⊂ R un intervalo, n ∈ N∗ y f : I −→ R una función continua. Si t0 ∈ I y x0 , . . . , xn ∈ R, demostrar que la única solución del problema de valores iniciales xn+1) (t) = f (t), x(t0 ) = x0 , . . . , xn) (t0 ) = xn está determinada por la identidad 1 xn (t − t0 )n + x(t) = x0 + x1 (t − t0 ) + · · · + n! n! Z t (t − s)n f (s) ds. t0 c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 30 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Conceptos básicos Problema 2. Sean I ⊂ R un intervalo, a, f : I −→ R funciones continuas y consideremos la EDO lineal x0 (t) = a(t) x(t) + f (t). Demostrar que si x1 , x2 , x3 son soluciones de la EDO, x1 − x2 una función constante. distintas entre sí, entonces su razón simple, es decir x1 − x2 Problema 3. Sean I ⊂ R un intervalo, t0 ∈ I, x0 ∈ R, a, f, g : I −→ R funciones continuas y consideremos x y z las únicas soluciones de los problemas de valores iniciales lineales x0 (t) = a(t) x(t) + f (t), x(t0 ) = x0 y z 0 (t) = a(t) z(t) + g(t), z(t0 ) = x0 . Si f (t) ≥ g(t) para cada t ∈ I, demostrar que x(t) ≥ z(t) para cada t ≥ t0 y que x(t) ≤ z(t) para cada t ≤ t0 . Problema 4. Supongamos que a, f : R → R son continuas y periódicas de periodo T > 0. Demostrar que si x es una solución solución de la EDO lineal x0 (t) = a(t)x(t) + f (t), entonces la función y definica como y(t) = x(t + T ) para cada t ∈ R es también solución de la EDO. Concluir que x es periódica de período T si y sólo si x(0) = X(T ). Problema 5. Supongamos que a : R → R es continua y periódica de periodo T > 0 y Z 1 T consideremos k = a(s)ds, el valor medio de a. T 0 Demostrar que si x es una solución solución de la EDO lineal x0 (t) = a(t)x(t), entonces x(t + T ) = x(t)eT k para cada t ∈ R. Demostrar también que existe una función p ∈ C 1 (R), periódica de periodo T y tal que x(t) = p(t)ekt para cada t ∈ R. Concluir que si k = 0 toda solución de x0 (t) = a(t)x(t) es periódica y por tanto acotada, si k > 0, lı́m |x(t)| = +∞ y si k < 0, lı́m x(t) = 0. t→+∞ t→+∞ Problema 6. Supongamos que a, f : R → R son continuas y periódicas de periodo T > 0 y Z s Z Z T − a(u) du 1 T consideremos k = a(s)ds, el valor medio de a y α = e 0 f (s) ds. T 0 0 Demostrar que si k 6= 0, entonces la EDO lineal x0 (t) = a(t)x(t) + f (t) tiene una única solución de período T . Demostrar que si k = 0 y además α = 0, entonces toda solución de la EDO lineal x0 (t) = a(t)x(t) + f (t) es periódica de período T . Demostrar que si k = 0 y además α 6= 0, entonces ninguna solución de la EDO lineal x0 (t) = a(t)x(t) + f (t) es periódica de período T . c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Ejercicios 31 Problema 7. Sean el intervalo I ⊂ R y las funciones a, f : I −→ R tales que a es continua y f es continua excepto en los puntos t1 , . . . , tk , con discontinuidad de primera especie. Se denomina solución generalizada de la EDO x0 (t) = a(t)x(t) + f (t) a toda función x : I −→ R continua en I, derivable en I \ {t1 , . . . , tk } y tal que satisfaga la identidad x0 (t) = a(t)x(t) + f (t), t ∈ I \ {t1 , . . . , tk }. Demostrar para cada t0 ∈ I y cada x0 ∈ R la función Z t Z s Z t − a(s) ds a(u) du x(t) = e t0 e t0 f (s) ds , t ∈ I x0 + t0 es solución generalizada de la EDO que además la única que satisface que x(t0 ) = x0 . Concluir que el problema de valores iniciales para una EDO lineal tiene una única solución generalizada que además es una función seccionalmente derivable. Problema 8. (S) Si k ≥ 0, resolver el problema de valor inicial ¡ ¢ x0 (t) = k T (t) − x(t) , x(0) = x0 y demostrar que si T1 y T2 son los valores extremos de la temperatura exterior, es decir T1 ≤ T (t) ≤ T2 para cada t ≥ 0, entonces T1 + (x0 − T1 )e−kt ≤ x(t) ≤ T2 + (x0 − T2 )e−kt . Si además se verifica que T1 ≤ x0 ≤ T2 , concluir que T1 ≤ x(t) ≤ T2 , para cada t ≥ 0. En particular, si la temperatura exterior permanece constante e igual al valor T , comprobar que lı́m x(t) = T . t→+∞ Problema 9. (S) Analizar las cuestiones planteadas en el problema anterior cuando además se tiene en cuenta la influencia que sobre la temperatura interior ejercen la presencia de personas o el funcionamiento de las máquinas, es decir cuando la ecuación que determina la variación de la temperatura interior está dada por ³ ´ x0 (t) = k T (t) − x(t) + H(t). k > 0. ¿Qué relación deben satisfacer T y H para que la temperatura interior sea constante? c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 32 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Conceptos básicos Problema 10. (S) Supongamos que en (1.11) el sistema de aire acondicionado está regulado por un termostato lineal independiente del tiempo, es decir U (x) = α(x∗ − x) donde α > 0 es una constante característica del termostato. Si consideramos f (t) = k T (t) + H(t) + αx∗ , concluir que (1.11) es la siguiente ecuación lineal x0 (t) = −(k + α) x(t) + f (t). Demostrar que si tanto T como H son funciones constantes, entonces es posible mantener constante la temperatura interior y determinar el valor x̂ de tal temperatura. Discutir también si para mantener la temperatura interior al valor x̂ el aire acondicionado debe estar permanente activo o siempre inactivo y hallar cuando ocurre cada una de las posibilidades. Cuando el aire acondicionado esté activo determinar si actúa enfriando o calentando el compartimento. Problema 11. (S) Hallar todas las soluciones de las EDO x0 (t) = e−x(t) y x0 (t) = e−|x(t)| . Comprobar que cada problema de valores iniciales tiene unicidad de soluciones. Problema 12. (S) Hallar todas las soluciones de la EDO x0 (t) = 1 − x(t)2 y comprobar que cada problema de valores iniciales tiene unicidad de soluciones. Problema 13.(S) Si α ≥ 1 hallar todas las soluciones de la EDO x0 (t) = |x(t)|α y comprobar que cada problema de valores iniciales tiene unicidad de soluciones. ( xα , si x ≥ 0, Problema 14. (S) Si α ≥ 1 y fα (x) = hallar todas las soluciones de las x, si x ≤ 0, ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ EDO x0 (t) = fα x(t) , x0 (t) = 2t fα x(t) y x0 (t) = −2t fα x(t) . Comprobar que, en los tres casos, cada problema de valores iniciales tiene unicidad de soluciones. Problema 15. (S) Si 0 < α < 1, hallar todas las soluciones de la EDO x0 (t) = |x(t)|α . Comprobar que si x0 6= 0, para cada t0 ∈ R el problema de valores iniciales x0 (t) = |x(t)|α , x(t0 ) = x0 tiene infinitas soluciones. c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Ejercicios 33 p Problema 16. Hallar todas las soluciones de la EDO x0 (t) = 4t |x(t)| y para cada x0 ∈ R p las del problema de valor inicial x0 (t) = 4t |x(t)|, x(0) = x0 . Determinar qué problemas tienen unicidad de soluciones. ( xα , si x ≥ 0, Problema 17. Si 0 < α < 1 y f (x) = hallar todas las soluciones de las x, si x ≤ 0, ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ EDO x0 (t) = fα x(t) , x0 (t) = −2t f x(t) y x0 (t) = 2t f x(t) y para cada t0 , x0 ∈ R las de los problemas de valor inicial x(t0 ) = x0 . Determinar qué problemas tienen unicidad de soluciones. En particular, concluir que el problema de valores iniciales x(0) = 0 tiene solución única en el segundo caso e infinitas soluciones en el primero y tercero. c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 34 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Conceptos básicos c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° TEMA 2.1. 2 MODELACIÓN CON EDO DE PRIMER ORDEN Problemas geométricos En esta sección determinaremos las funciones que están caracterizadas por alguna propiedad que involucra o bien a la recta tangente en cada punto de la gráfica de la función, o bien al área de la región limitada por la gráfica de la función y el eje de abscisas, o bien la longitud de la gráfica entre los puntos t0 y t1 , o bien el volumen de los sólidos generados por revolución de la gráficas respecto del eje de abscisas o respecto del eje de ordenadas. 1 Recordemos que si z : I −→ R es una función ¡ de ¢clase C (I), entonces para cada t ∈ I, la recta tangente a la gráfica de la función, { s, z(s) : s ∈ I}, en el punto (t, x(t) está dada por y = z(t) + z 0 (t) (x − t), x ∈ R. (2.1) Por otra parte, el área del recinto limitado por la gráfica de la función y eje de abscisas entre los puntos t0 y t1 es Z t1 f (s) ds, (2.2) t0 la longitud de la gráfica de la función entre los puntos t0 y t1 es Z t1 q ¡ ¢2 1 + f 0 (s) ds, (2.3) t0 mientras que el volumen de los sólidos generados por revolución, respecto del eje de abscisas y del de ordenadas, del recinto limitado por el eje de abscisas y la gráfica comprendida entre 35 36 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Modelación los puntos t0 y t1 , están dados respectivamente por Z t1 π f (s) ds t0 2.1.1. Z 2 y t1 2π s f (s) ds. (2.4) t0 Ejercicios Problema 1.(S) Determinar las funciones tales que la pendiente de cada punto de su gráfica es igual a la suma de las coordenadas de dicho punto. Problema 2. (S) Determinar todas las funciones x tales que para cada t la recta tangente en t corta al eje de abscisas en el punto t − 1. Problema 3.(S) Determinar las funciones tales que en todo punto de su gráfica la pendiente de su tangente es doble que la de la recta que une dicho punto con el origen de coordenadas. Problema 4. Determinar las funciones tales que en todo punto de su gráfica el segmento formado con el punto de corte de la tangente con el eje de ordenadas es cortado por el eje de abscisas en su punto medio. Problema 5. (S) Determinar las funciones tales que en todo punto de su gráfica la tangente y la recta que pasa por dicho punto y el origen de coordenadas forman con el eje de abscisas un triángulo isósceles. Problema 6. Determinar las funciones tales que en todo punto de su gráfica el triángulo formado por la tangente, el eje de abscisas y la perpendicular al eje de abscisas desde el punto de tangencia tiene área constantemente igual a A > 0. Problema 7. Determinar las funciones tales que fijado t0 , para cualquier t el área del recinto limitado por la gráfica y el eje de abscisas entre t0 y t es proporcional a la diferencia entre las ordenadas de dichos puntos con constante de proporcionalidad igual a k > 0. c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Problemas de Mezclas 37 Problema 8. Determinar las funciones tales que fijado t0 , para cualquier t el cociente entre el área del recinto limitado por la gráfica y el eje de abscisas entre t0 y t y la longitud de la gráfica entre t0 y t es constantemente igual a k > 0. Problema 9. (S) Determinar las funciones cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas y tales que para cualquier t el volumen del sólido generado por revolución, respecto del eje de abscisas, de la gráfica comprendida entre los puntos t0 y t1 coincide con el volumen del sólido generado por revolución, respecto del eje de ordenadas, del recinto limitado por el propio eje de ordenadas y la gráfica comprendida entre los puntos t0 y t1 . 2.2. Problemas de Mezclas En una disolución cuyo contenido se renueva y donde se supone que en cada instante la distribución del soluto en la mezcla es uniforme, la concentración de la mezcla está controlada por los flujos de entrada y salida. Si en cada instante t, x(t) denota la cantidad de soluto presente la disolución, su variación, x0 (t), está determinada por la diferencia entre la cantidad de soluto que entra en el recipiente, xe (t), y la que sale del mismo, xs (t), es decir x0 (t) = xe (t) − xs (t). (2.5) En cada instante t son conocidos el volumen de la disolución, V (t), la concentración del soluto en la disolución entrante, ce (t), la cantidad de disolución que entra en el recipiente, fe (t), y también la cantidad de disolución que sale del recipiente, fs (t). La cantidad de soluto entrante en el recipiente es el producto de su concentración en la disolución entrante con la cantidad de disolución de entrada, es decir xe (t) = ce (t)fe (t). Análogamente, la cantidad de soluto que sale del recipiente se obtiene multiplicando la concentración de soluto en la disolución por la cantidad de disolución que sale del recipiente. Como la concentración de soluto es la cantidad del mismo por unidad de volumen, es decir x(t) , resulta que la cantidad de soluto que sale de la disolución está dada por la expresión V (t) x(t) vs (t) = fs (t). En definitiva, la cantidad de soluto en la disolución está determinada por V (t) la ecuación diferencial x0 (t) = ce (t)fe (t) − fs (t) x(t). V (t) (2.6) c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 38 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Modelación Obsérvese que los datos fe , fs y V no son independientes entre sí ya que la variación de volumen es justamente la diferencia entre las cantidades de entrada y salida de la disolución, es decir V 0 (t) = fe (t) − fs (t). 2.2.1. Ejercicios Problema 1. Si consideramos las funciones a, f : R −→ R y F : R × R −→ R dadas por fs a = − , f = ce fe y F (t, x) = a(t)x + f (t), demostrar que la EDO (2.6) se expresa como V x0 (t) = F (t, x(t)) y es por tanto una ecuación lineal de primer orden. Determinar la condición necesaria y suficiente para que la ecuación sea autónoma e interpretarla en términos de los datos del problema, es decir de V , fs , fe y ce . Demostrar que el sistema tiene a lo sumo un equilibrio y hallarlo explícitamente cuando exista. Problema 2. Si en un instante dado t0 se conoce el volumen de la disolución, demostrar que el volumen en cada instante t ≥ t0 está determinado por la expresión Z th V (t) = V (t0 ) + i fe (z) − fs (z) dz. t0 Concluir que el volumen de la disolución es constante sii la cantidades de entrada y salida de la disolución coinciden en cada instante. Problema 3. En un tanque que contiene 1000` de agua, comienza a introducirse una solución de salmuera a una velocidad constante de 6`/min. Dentro del tanque la solución se mantiene bien agitada y fluye hacia el exterior del mismo a una velocidad de 6`/min. (i) Si la concentración de sal en la salmuera que entra en el tanque es de 1kg/`, determinar cuando la concentración de sal en el tanque será de 0, 5kg/`. (ii) Determinar la concentración de sal en el tanque si ahora suponemos que la salmuera sale de él a una velocidad constante de 5`/min. Problema 4. Una alberca cuyo volumen es de 45m3 contiene agua con cloro en una proporción de 0, 01 %. Se bombea dentro de la alberca, agua que contiene el 0, 001 % de cloro a razón de 22`/min y el agua de la alberca fluye hacia el exterior a la misma velocidad. ¿Cuál es el porcentaje de cloro en la alberca al cabo de una hora? ¿Cuándo tendrá el agua de la alberca un 0, 002 % de cloro? c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Desintegración radiactiva 39 Problema 5. La corriente sanguínea lleva un medicamento hacia el interior de un órgano a razón de 3cm3 /seg y sale de él a la misma velocidad. El órgano en cuestión tiene un volumen de líquido de 125cm3 . Si la concentración del medicamento en la sangre que entra en el órgano es de 0, 2g/cm3 , ¿cuál es la concentración del medicamento en el órgano en el instante t si inicialmente no había vestigio alguno del medicamento? ¿Cuándo la concentración del medicamento en el órgano será del 0, 1g/cm3 ? Problema 6. La proliferación de granjas dedicadas a la explotación porcina generó una contaminación por purinas en la cuenca del río Ter, cuya concentración, medida en las aguas del pantano de Sau, alcanzó niveles alarmantes. Esta situación generó una actividad legislativa que produjo normativas reguladoras del tamaño de las explotaciones y estableció la obligatoriedad del tratamiento de las purinas. Como consecuencia de la aplicación de las disposiciones establecidas, las aguas que entran en el pantano dejaron de estar contaminadas a partir de cierto momento, que denotaremos por t0 . Supondremos para simplificar que tanto el volumen de agua en el pantano como su flujo de entrada son constantes y mediremos el volumen en metros cúbicos y la concentración de purinas en gramos por metro cúbico. Encontrar la ecuación diferencial que satisface la concentración de purinas a partir del instante t0 . Determinar el tiempo que ha de transcurrir para que el nivel de contaminación se reduzca un 5 %. ¿Cuánto tiempo ha de pasar para que se reduzca a la mitad? ¿Quedará limpio el pantano en un tiempo finito? 2.3. Desintegración radiactiva La ley que gobierna la desintegración radiactiva establece que el número de átomos de una sustancia radiactiva que se desintegra por unidad de tiempo, la tasa de desintegración, depende exclusivamente del número de átomos existentes en ese momento, y que además la cantidad de átomos decrece con el tiempo. Por tanto, si x(t) es la masa de la sustancia, que es directamente proporcional al número de átomos y T (x) es la tasa de desintegración, entonces la variación de la masa debe satisfacer la ecuación diferencial x0 (t) = −T (x(t)). (2.7) Es razonable suponer que la tasa de desintegración es una función continua T : R −→ R que además satisface que T (0) = 0 y que T (x) > 0, si x 6= 0. Observar que el modelo sólo tiene sentido cuando x(t) ≥ 0, aunque desde el punto de vista matemático la ecuación (2.7) es válida para cualquier valor de x(t). Diremos que la sustancia se desintegra en tiempo finito c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 40 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Modelación si existe t0 > 0 tal que x(t0 ) = 0, mientras que diremos que la sustancia se desintegra en tiempo infinito si lı́m x(t) = 0. t→∞ Es claro que los diferentes modelos de desintegración estarán determinados por la correspondiente tasa de desintegración. El más usual es el denominado lineal, en el que la tasa de desintegración es proporcional al número de átomos existentes, es decir T (x) = k x, donde k > 0. La constante k recibe el nombre de constante de desintegración radiactiva y es un parámetro propio de cada sustancia. Así pues en el modelo de desintegración lineal, la ecuación diferencial que determina la variación de la masa de una sustancia radiactiva está dada por x0 (t) = −k x(t), k > 0. (2.8) Un parámetro importante asociado a cada elemento radiactivo lineal es su semivida, τ , que es el tiempo necesario para que la masa de la sustancia se reduzca a la mitad. La relación entre la semivida y la constante de desintegración k está dada por la identidad kτ = ln 2, (2.9) permite calcular uno de los dos parámetros conocido el otro. Normalmente, la semivida de una sustancia se determina en un laboratorio mediante medidas experimentales. En muchas ocasiones el modelo lineal no es capaz de describir adecuadamente el proceso de descomposición de una sustancia, por lo que debe recurrirse a modelos asociados a tasas de desintegración diferentes de la lineal y que se denominan genéricamente modelos no lineales. El tipo más utilizado es el que corresponde a tasas de crecimiento de la forma Tα (x) = k |x|α , donde k, α > 0. (2.10) Observar que cuando α = 1 el modelo corresponde básicamente al caso lineal. 2.3.1. Datación El hecho de que la constante de desintegración de una sustancia radiactiva no varíe a lo largo del tiempo, permite elaborar métodos para determinar fechas de sucesos que ocurrieron hace miles o incluso millones de años. Así, si para una sustancia radiactiva que se desintegra según el modelo lineal (2.8) se sabe que en los instantes t1 y t2 la masa de la sustancia, o el número de átomos de la misma, es x1 > 0 y x2 > 0, respectivamente, o bien son conocidas las tasas de desintegración de la sustancia, por ejemplo T1 y T2 , respectivamente, entonces la semivida está determinada por la expresión τ= (t2 − t1 ) ln 2 (t2 − t1 ) ln 2 = . ln x1 − ln x2 ln T1 − ln T2 (2.11) c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Desintegración radiactiva 41 Observar que la importancia de las igualdades anteriores se encuentra en el hecho que conociendo τ , x1 y x2 , o bien T1 y T2 , podemos determinar t2 − t1 , es decir conociendo la semivida de una substancia y la cantidad presente en dos momentos concretos, o las tasas de desinteración en dos momentos concretos, entonces se puede determinar el lapso de tiempo transcurrido entre ambos. A este proceso se le denomina datación. Alrededor de 1950, el químico estadounidense Willard F. Libby (1908-1980) inventó un método que emplea el carbono radiactivo para determinar las edades aproximadas de los fósiles y que le valió el Premio Nobel de Química en 1960. La teoría de la datación con radiocarbono se basa en que el isótopo Carbono 14, cuya semivida es de aproximadamente 5570 años, se produce en la atmósfera por acción de la radiación cósmica sobre el nitrógeno. Dicho isótopo es muy inestable y se desintegra rápidamente, incorporándose al dióxido de carbono, con lo que se desplaza por la atmósfera para ser absorbido por los vegetales, de donde pasan a los animales cuando éstos los ingieren. En los tejidos vivientes, la tasa de ingestión de C 14 está en equilibrio con la tasa de desintegración. Cuando el organismo muere, cesa la incorporación de C 14 , de manera que la concentración del mismo empieza a decrecer. La suposición fundamental de este método es que la tasa de bombardeo de la atmósfera por rayos cósmicos es constante en el tiempo, lo que implica que la tasa actual de desintegración de C 14 en los organismos vivos es idéntica a la que se produjo en cualquier instante anterior. Así por ejemplo, si un fragmento antiguo de madera tiene la mitad de C 14 que un árbol vivo, procede un árbol talado hace 5570 años, mientras que si tiene la cuarta parte de C 14 el árbol del que fue extraída vivió hace 11140 años. Este método de datación fue usado, por ejemplo, para fechar los muebles de madera en las tumbas egipcias y las envolturas de lino en los rollos del Mar Muerto. Pese a algunas dificultades técnicas,1 el método se considera actualmente capaz de dar una precisión razonable en períodos de tiempo superiores a 200 años e inferiores a los 40 millones años. 2.3.2. Desintegración en cadena Es habitual que un elemento radiactivo origine al desintegrarse una nueva sustancia radiactiva y que está a su vez se desintegre en otra, formando lo que se denomina una desintegración en cadena, que concluye cuando se llega a una sustancia estable no radiactiva. Por tanto, para conocer la cantidad de una sustancia radiactiva presente en una muestra, ha de tenerse en cuenta no sólo la cantidad que se desintegra sino también la que aporta cualquiera de los elementos que aparecen por encima de él en la cadena radiactiva. Así pues, si una sustancia S1 origina al desintegrarse una sustancia S2 que se desintegra a su vez y denominamos x1 (t) y x2 (t) a las cantidades de sustancias S1 y S2 , respectivamente, entonces 1 Por ejemplo, la hipótesis fundamental debe ser refinada, debido a que los numeros ensayos con armas nucleares realizados a partir de los años 50, han incrementado notablemente la cantidad de C 14 en la atmósfera. c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 42 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Modelación la variación de ambas sustancias esta determinada por las identidades x01 (t) = −T1 (x1 (t)) y x02 (t) = −T2 (x2 (t)) + T1 (x1 (t)). (2.12) Más generalmente, si tenemos una cadena de n sustancias radiactivas S1 , . . . , Sn de manera que para cada j = 1, . . . , n−1, Sj se desintegra en Sj+1 y cuyas tasas de desintegración están descritas respectivamente por las funciones T1 , . . . , Tn , entonces si para cada j = 1, . . . , n, xj (t) es la cantidad de sustancia Sj , su variación está determinada por la identidad x01 (t) = −T1 (x1 (t)) y x0j (t) = −Tj (x2 (t)) + Tj−1 (xj−1 (t)), j = 2, . . . , n, (2.13) que describe por tanto un sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. En particular, si para cada j = 1, . . . , n la sustancia Sj se desintegra según el modelo lineal con constante de desintegración kj , entonces la variación de cada sustancia está determinada por el sistema lineal de primer orden x01 (t) = −k1 x1 (t) x02 (t) = −k2 x2 (t) + k1 x1 (t) .. . (2.14) x0n (t) = −kn xn (t) + kn−1 xn−1 (t). En [?, pg. 14] puede encontrarse la cadena del Uranio 238 que tiene 14 eslabones y que concluye en el Plomo 206 que es una sustancia no radiactiva. 2.3.3. Ejercicios Problema 1. Demostrar que la ecuación (2.7) posee un único estado de equilibrio, concretamente x∗ = 0. Demostrar también que cualquier solución de la EDO (2.7) es decreciente. Concluir que si una sustancia no se desintegra en tiempo finito, entonces la función, x, que determina su masa es estrictamente decreciente y por tanto existe lı́m x(t) ≥ 0. ¿Qué valor t→∞ tiene este límite? Problema 2. Justificar en el modelo de desintegración lineal la relación (2.9) entre la constante de desintegración y la semivida y las fórmulas (2.11) para la semivida. Problema 3. Una sustancia radiactiva que se desintegra según el modelo lineal, por ejemplo el Torio 234, tiene una semivida de 24 días. ¿Cuánto tardará en desintegrarse el 95 % de dicha sustancia ? c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Desintegración radiactiva 43 Problema 4. Calcular la semivida de una sustancia radiactiva que se desintegra según el modelo lineal y que en 25 años ha descompuesto el 1, 1 % de su masa inicial. Problema 5. La fisión nuclear produce neutrones en una pila atómica a un ritmo proporcional al número de neutrones presentes en cada instante. Si inicialmente existen n0 neutrones y en los instantes t1 y t2 existen n1 y n2 neutrones respectivamente, demuéstrese la identidad µ n1 n0 ¶t2 µ = n2 n0 ¶t1 . Problema 6. El C 14 se desintegra en la madera viva a un ritmo de 15, 3 desintegraciones por minuto (dpm) y gramo de carbono. Hacer una estimación sobre la edad de cada uno de los objetos cuyos resultados en el análisis radiactivo, efectuado en el año 2005, son los siguientes: i) Un fragmento de una talla de madera en la tumba de Tutankhamon, 10, 09 dpm. ii) Un trozo de viga de la techumbre de una casa de Babilonia construída durante el reinado de Hammurabi, 9, 57 dpm. iii) Una flecha de madera encontrada en el yacimiento de Atapuerca, 6, 34 dpm. Problema 7. Con motivo de unas obras de mejora de los accesos a la parte externa de la muralla de Girona, realizadas a mediados del año 2005, se ha descubierto una fosa común con huesos de aproximadamente 500 esqueletos humanos. Los cadáveres se encontraron sin ropas que permitieran identificar su procedencia, pues aparecieron cubiertos por algún tipo de tosco sudario, prácticamente desecho por la acción del tiempo. La disposición de los cadáveres y el haberse encontrado relativamente cerca del yacimiento algunos restos de lo que parece un campamento que albergó una milicia, hace pensar en un enterramiento apresurado de soldados, víctimas de algún tipo de epidemia. Un análisis del C 14 de los huesos encontrados determina una tasa de desintegración de 6, 108 dpm. Sabiendo que la tasa de desintegración del C 14 en los huesos de un organismo vivo es de 6, 68 dpm, ¿que grado de verosimilitud tiene afirmar que los soldados eran franceses? c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 44 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Modelación Problema 8. (Modelos no lineales de desintegración). Sea x(t) la masa de una sustancia radiactiva que se desintegra según la ley x0 (t) = −k |x(t)|α , donde k, α > 0 (2.15) y suponer que en el instante t = 0 la masa de la sustancia es x0 > 0. (i) Si α > 1, demostrar que podemos determinar unívocamente la masa de la sustancia para cada t ∈ [0, +∞). Concluir que en este caso la sustancia se desintegra en tiempo infinito. (ii) Si 0 < α < 1, demostrar que la sustancia se desintegra en tiempo finito t0 > 0 y determinar t0 . Comprobar también que la masa de la sustancia está unívocamente determinada en el intervalo [0, t0 ]. (iii) Si τα es el tiempo necesario para que la masa de sustancia se reduzca a la mitad, es x0 decir a , demostrar que 2 kτα = ³ x ´1−α · 2α−1 − 1 ¸ 0 2 α−1 . Calcular también lı́m kτα e interpretar el resultado obtenido. α→1 (iv) Supóngase que se conoce además que en los instantes t1 y t2 la masa de la sustancia, o el número de átomos de la misma, es x1 > 0 y x2 > 0, respectivamente. Demostrar que ³ x ´1−α (t − t ) (1 − 2α−1 ) 0 2 1 τα = , 1−α 2 x1 − x1−α 2 calcular el límite de la expresión anterior e interpretar el resultado obtenido. Problema 9. Considérese el sistema lineal x01 (t) = −k1 x1 (t) x02 (t) = −k2 x2 (t) + k1 x1 (t) .. . x0n (t) = −kn xn (t) + kn−1 xn−1 (t) c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Reacciones Químicas 45 determinado por la descomposición en cadena, según el modelo lineal, de n sustancias radiactivas. Hallar la masa de cada una de las sustancias en cada instante de tiempo sabiendo que la correspondiente en el instante inicial es xj (0) = xj > 0, j = 1, . . . , n. ¿Qué interpretación puede darse a las condiciones xj (0) = 0, j = 2, . . . , n? 2.4. Reacciones Químicas Una reacción química es un proceso en el que una o más sustancias denominadas reactivos se combinan o separan para formar otras sustancias denominadas productos. En las reacciones que consideraremos aquí supondremos que la masa se conserva y que se absorbe o disipa energía. La reacción se denomina irreversible si el producto no se separa en sus constituyentes una vez formado. Este tipo de procesos serán los que trataremos a continuación. Para un análisis de las reacciones reversibles puede consultarse por ejemplo [?]. Una reacción química en la que m ≥ 2 reactivos R1 , . . . , Rm se combinan para dar lugar a un producto P , de manera que para formar γ moléculas de P son precisas αj ≥ 0 moléculas de la sustancia Rj , j = 1, . . . , m, se denomina reacción de orden m y suele representarse mediante la notación2 α1 R1 + · · · + αm Rm −→ γP, (2.16) donde la conservación de la masa implica que m X αj = γ. j=1 El tipo más elemental de reacción química es la reacción de primer orden en la cual las moléculas de un reactivo se transforman en moléculas de un producto a un ritmo que no es afectado por la presencia de otras sustancias. Por tanto, es natural esperar que el número de moléculas que se descomponen por unidad de tiempo sea proporcional a la cantidad de reactivo presente. Cuando el producto se forma a partir de una reacción de orden m, es decir a partir de m reactivos, el proceso se produce por colisión e interacción entre las sustancias, lo que implica que que cuanto mayor sea la cantidad de cada una de ellas mayor será el número de colisiones y por tanto habrá mayor número de combinaciones por unidad de tiempo. La rapidez con la que se transforman los reactivos en productos está descrita por la denominada Ley de Masas que establece que dicha velocidad es proporcional al producto de las cantidades de los reactivos presentes, ya que este producto es un indicador de la posibilidad de encuentros 2 La unidad habitual en química es el mol. Cada mol equivale N moléculas o átomos de sustancia, donde N = 6, 024 × 1024 es el número de Avogrado. Si se utilizan moles en lugar de moléculas como unidad de medida, la reacción de orden m puede expresarse diciendo que αj moles de la sustancia Rj , j = 1, . . . , m, reaccionan para formar γ moles de P . c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 46 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Modelación entre las moléculas. En particular, la Ley de Masas establece que la reacción antes descrita puede formularse de manera equivalente como α1 αm R1 + · · · + Rm −→ P, γ γ donde en este caso final. (2.17) αj representa la proporción, concentración, de sustancia Rj en el producto γ En el caso de una reacción de primer orden se tiene que R −→ P , de manera que si para cada t, y(t) denota la cantidad de reactivo en el instante t, el proceso queda descrito por la ecuación diferencial y 0 (t) = −k y(t), k > 0. (2.18) Observar que como en este caso todo el reactivo se transforma en producto, si R es la concentración inicial de reactivo, entonces x(t) = R − y(t) es la cantidad de producto en el instante t. Esto significa que si en lugar de tomar como incógnita la cantidad de reactivo, consideramos la cantidad de producto en cada instante, entonces se satisface que ³ ´ 0 x (t) = k R − x(t) , (2.19) donde k es la misma constante que en (2.18). En el caso de reacciones de orden m, la Ley de Masas establece que si para cada t denotamos por x(t) a la cantidad de producto P en el instante t, entonces x0 (t) = k m Y Cj (t), donde k > 0. (2.20) j=1 donde para cada j = 1 . . . , m, Cj (t) es la cantidad del reactivo j-ésimo que queda en el instante t. Si para cada j = 1, . . . , m, Rj denota la cantidad inicial de reactivo j-ésimo, αj resulta que Cj (t) = Rj − x(t). Por tanto, resulta que x satisface la ecuación diferencial γ x0 (t) = k m ³ Y j=1 Rj − ´ αj x(t) , donde k > 0, γ (2.21) o, de manera equivalente, m ³ m ´ Y k Y Rj ∗ x (t) = k̂ xj − x(t) , donde k̂ = m αj y x∗j = γ , j = 1, . . . , m, γ j=1 αj j=1 0 (2.22) c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Reacciones Químicas 47 que cuando m = 1 se reduce a (2.19), ya que en este caso α1 = γ. En la identidad (2.22), el valor x∗j representa para cada j = 1, . . . , m, la cantidad de compuesto necesaria para agotar todo el reactivo j-ésimo. No existe pérdida de generalidad si en lo sucesivo suponemos que x∗1 ≤ x∗2 ≤ · · · ≤ x∗m , lo que no excluye que x∗j = x∗j+1 para algún j = 1, . . . , m. Por tanto si x0 es la cantidad inicial de producto, la hipótesis de que P está compuesto solamente de los reactivos implica que 0 ≤ x0 ≤ x∗m , aunque desde el punto de vista matemático x0 podría tomar cualquier valor. Por otra parte, si x0 ≥ x∗i que à x0 ≥ m i 1X 1X para algún i = 1, . . . , m, como 1 = αj ≥ αj , resulta γ j=1 γ j=1 i 1X αj γ j=1 ! i i i X 1X 1X ∗ x0 ≥ αj x0 ≥ αj xj ≥ Rj , γ j=1 γ j=1 j=1 es decir el producto P contiene total la cantidad posible de los primeros i reactivos. En definitiva, en lo sucesivo consideraremos fijada la siguiente ecuación diferencial que determina la velocidad de una reacción irreversible de orden m ≥ 1 x0 (t) = k m ³ Y ´ x∗j − x(t) , donde k > 0 y 0 < x∗1 ≤ · · · ≤ x∗m . (2.23) j=1 2.4.1. Ejercicios Problema 1. Demostrar que la ecuación (2.23) posee m estados de equilibrio, concretamente x∗1 , . . . , x∗m . Concluir también que cada problema de valores iniciales tiene unicidad de soluciones. Problema 2. Consideremos x : J −→ R la única solución del problema de valores iniciales ´ m ³ Q x0 (t) = k x∗j − x(t) , x(0) = x0 , donde k > 0 y 0 < x∗1 ≤ · · · ≤ x∗m . j=1 Demostrar que si x0 < x∗1 , entonces x es estrictamente creciente y x0 < x(t) < x∗1 para cada t ∈ J. Concluir que [0, +∞) ⊂ J y que además lı́m x(t) = x∗1 . t→+∞ c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 48 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Modelación Demostrar que si x∗j < x0 < x∗j+1 , entonces x es estrictamente creciente o decreciente dependiendo de si m − j es par o impar y además x∗j < x(t) < x∗j+1 para cada t ∈ J. Concluir que lı́m x(t) = x∗j+1 si m − j es par mientras que lı́m x(t) = x∗j si m − j es impar. t→+∞ t→+∞ Demostrar que si x0 > x∗m , entonces x es estrictamente creciente o decreciente dependiendo de si m es par o impar y además x∗m < x(t) para cada t ∈ J. Concluir que si m es impar, entonces [0, +∞) ⊂ J y además lı́m x(t) = x∗m . t→+∞ Problema 3. Si x es la solución del problema (2.23) y por tanto determina la cantidad αi de producto, entonces para cada i = 1, . . . , m, la función Ci (t) = Ri − x(t) describe la γ cantidad del reactivo i-ésimo. Despejar x(t) en la anterior igualdad y utilizar la ecuación (2.20) para determinar la siguiente ley dinámica para Ci : Ci0 (t) = −k̂ Ci (t) m ³ Y x∗j − j=1 j6=i xi∗ m ´ γ k Y + Ci (t) , donde k̂ = m αj . αi γ j=1 Problema 4. Resolver los problemas de valor inicial correspondientes a las reacciones químicas irreversibles de segundo orden, es decir, resolver el problema de valores iniciales ³ ´³ ´ x0 (t) = k x∗1 − x(t) x∗2 − x(t) , x(0) = x0 , x∗1 donde 0 < x∗1 ≤ x∗2 . Concluir que si x∗1 < x∗2 sólo el primer reactivo se agota en la reacción, mientras que si = x∗2 los dos reactivos se consumen completamente. Una vez conocida la función x, para cada instante t determinar la cantidad de cada reactivo en cada instante. Hallar directamente cada uno de estos valores a partir de su ecuación dinámica. 2.5. Caída de Cuerpos Supongamos que un cuerpo de masa m > 0 cae verticalmente hacia la Tierra. Si para cada t, v(t) denota la velocidad del cuerpo, las Leyes del Movimiento de Newton establecen que el producto de la masa por la aceleración es igual a la fuerza externa F ejercida sobre c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Caída de Cuerpos 49 el cuerpo. Esta fuerza incluye el efecto de la gravedad sobre el cuerpo, peso del cuerpo, y el de la resistencia ofrecida por el aire. Si suponemos que la altura a la que cae el cuerpo es pequeña en comparación con el radio de la Tierra, entonces el efecto de la gravedad está dado por m g, donde g es la aceleración debida a la gravedad. Por otra parte, es razonable suponer que el amortiguamiento R depende exclusivamente de la velocidad y está descrito por una función continua R : R −→ [0, +∞) tal que R(0) = 0 y creciente en el intervalo [0, +∞), de manera que la ecuación que determina la velocidad de caída de un cuerpo está dada por m v 0 (t) = m g − R(v(t)). (2.24) Naturalmente sólo serán de interés físico las soluciones no negativas de la anterior EDO. El amortiguamiento R se denomina viscoso cuando es una función lineal y newtoniano cuando es cuadrática. En el primer caso R(v) = kv y en el segundo R(v) = kv 2 , donde k ≥ 0 se denomina coeficiente de amortiguamiento. En particular, si el coeficiente de amortiguamiento es nulo, entonces no existe rozamiento y el movimiento se denomina de caída libre. 2.5.1. Ejercicios Problema 1. Demostrar que las soluciones de equilibrio no negativas de la ecuación (2.24) corresponden a velocidades de caída constantes y por tanto a movimientos uniformes. Problema 2. Supongamos que en la ecuación (2.24), el amortiguamiento R es estrictamente creciente en [0, +∞) y satisface que lı́m R(v) = +∞. Demostrar que existe un único v→+∞ movimiento uniforme posible, cuyo valor se denotará por v ∗ . Determinar la expresión de v ∗ , tanto para el caso viscoso como para el newtoniano. Problema 3. Determinar el tiempo que tarda en llegar al suelo un objeto en caída libre, situado a una altura h0 > 0 y que tiene una velocidad inicial igual a v0 ≥ 0. Problema 4. Un paracaidista de masa m se lanza de un avión y abre el paracaídas a una altura h0 del suelo cuando ha adquirido en caída libre una velocidad v0 . Si al lanzarse, el paracaidista tenía velocidad nula, ¿a qué altura estaba el avión en el momento del lanzamiento? Determinar la expresión de la velocidad adquirida por el paracaidista si se supone que el amortiguamiento es viscoso, y también si se supone que el amortiguamiento es newtoniano. En este caso la constante de amortiguamiento depende de la forma y tamaño del paracaídas. c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 50 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Modelación Demostrar que en ambos casos lı́m v(t) = v ∗ , donde v ∗ es la velocidad de equilibrio, y t→+∞ determinar también la expresión del espacio recorrido por el paracaidista. Problema 5. Supongamos que en la ecuación (2.24) que determina la velocidad de caída de un cuerpo, el amortiguamiento satisface que R ∈ C 1 (R). i) Demostrar que cada problema de valores iniciales tiene una única solución. ii) Si además R0 (v) > 0 para v ≥ 0 y R no es acotada, demostrar que existe un único movimiento uniforme posible, cuya velocidad es v ∗ > 0. Demostrar que si 0 ≤ v0 la solución del problema de valores iniciales m v 0 (t) = m g − R(v(t)), v(0) = v0 es estrictamente creciente si 0 ≤ v0 < v ∗ y estrictamente decreciente si v0 > v ∗ . Concluir que la solución del anterior problema de valores iniciales está definida en [0, +∞) y que además lı́m v(t) = v ∗ . v→+∞ 2.6. Propagación de rumores Suponemos que en una pequeña comunidad en la que todos los individuos se conocen, una noticia se transmite de boca a oreja. Se supone además que la noticia no se olvida y que el número de personas que se enteran de ella por primera vez en un instante dado depende primero de la posibilidad de encuentro entre los individuos que la conocen y los que no la conocen y también de la intención de transmitir el rumor por parte del individuo informado así como del interés por oírlo por parte del no informado. Si T es el tamaño de la población y denotamos por x(t) a la cantidad de individuos informados en el instante t, la probabilidad de encontrar un individuo informado y la de x(t) T − x(t) encontrar uno desinformado son y , respectivamente y por tanto la probabilidad T T ³ ´ 1 de encuentro de tal tipo de individuos está dada por 2 x(t) T − x(t) . Agruparemos la T constante T −2 en un parámetro que recoja también el resto de consideraciones planteadas para la difusión del rumor. Así pues la ecuación que determina el número de individuos informados está dada por ³ ´ x0 (t) = k x(t) T − x(t) , k > 0. (2.25) En este caso si planteamos resolver un problema de valores iniciales con x(0) = x0 , aunque matemáticamente tiene sentido tomar cualquier valor de x0 , para que el problema no pierda significado debe satisfacerse que 0 ≤ x0 ≤ T . c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Modelos de Poblaciones 51 La ecuación diferencial (2.25) recibe el nombre de Ecuación Logística y como veremos ella o cualquiera de sus múltiples variantes aparecen en muchos procesos que tratan poblaciones. 2.6.1. Ejercicios Problema 1. Determinar las soluciones de equilibrio de la ecuación (2.25) y hallar sus soluciones. Comprobar que si 0 < x0 < T , entonces 0 < x(t) < T para cada t ∈ R y justificar que con el tiempo suficiente, cualquier rumor se difunde entre toda la población. Problema 2. Justificar que un rumor se propaga cada vez más deprisa hasta que ha sido informada la mitad de la población y a partir de ese momento se propaga con menor velocidad. Problema 3. El 2 % de los alumnos de la asignatura Ampliación de Matemáticas difunden a las 12h de un lunes el rumor de que el martes a las 11h tendrá lugar un examen sorpresa de ecuaciones diferenciales ordinarias. Sabiendo que el lunes a las 14h la noticia es conocida por el 5 % de los alumnos, ¿cuál es el porcentaje de alumnos que a la hora de comienzo de la clase del martes conocen la noticia? 2.7. Modelos de Poblaciones Se supone que una población está aislada, es decir no son relevantes fenómenos de emigración o inmigración. Si x denota la cantidad de individuos en la unidad de tiempo, que generalmente se toma como un año, se define la Tasa de Crecimiento T como la diferencia entre las Tasa de Natalidad Tn y la Tasa de Mortalidad Tm , que por supuesto, dependen del número de individuos de la población. Así pues, xTn y xTm representan el número total de nacimientos y muertes en la unidad de tiempo y la tasa de crecimiento es la variación neta de la población por unidad de tiempo, dividida por la población total al comienzo del periodo. Si el tamaño de la población es suficientemente grande, es razonable suponer que la cantidad de individuos varía de forma continua e incluso diferenciable con el tiempo. Entonces, la tasa de crecimiento dependerá continuamente de la población y la tasa de crecimiento x0 (t) . En definitiva, el tamaño de instantánea estará determinada por la relación T (x(t)) = x(t) una población está regido por la ecuación diferencial x0 (t) = T (x(t)) x(t). (2.26) c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 52 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Modelación Es claro que los diferentes modelos de crecimiento estarán determinados por la elección de la tasa de crecimiento instantánea. En este tipo de modelos no está contemplada la condición, contrastada por la experiencia, de que para una población pueda sobrevivir es necesario que su tamaño supere un valor, que denominaremos umbral de subsistencia y que denotaremos por x∗ . La incorporación de este umbral al modelo anterior conduce a la ecuación diferencial ¡ ¢ x0 (t) = T x(t) (x(t) − x∗ ), x∗ ≥ 0. (2.27) En particular, si la población umbral se toma como cero recuperamos el modelo inicial (2.26). Observar que si la tasa de crecimiento es no negativa, entonces él tamaño de la población disminuye para valores inferiores a la población umbral. El modelo más simple de evolución de una población es el determinado por la denominada Ley de Malthus, que supone que la tasa de crecimiento es constante, positiva o negativa, es decir no depende del tamaño de la población y por tanto da lugar a la ecuación diferencial x0 (t) = k (x(t) − x∗ ), k ∈ R, x∗ ≥ 0. (2.28) En un modelo más elaborado, es razonable tener en cuenta que en tamaños suficientemente grandes de poblaciones aparecen problemas de conflictividad social tales como superpoblación, escasez alimentos y por tanto competencia por los mismos, etc, que deben conducir por tanto a una modificación de la Ley de Malthus. Diremos que f : R −→ [0, +∞) es una función de conflictividad social si es continua, estrictamente creciente en [0, +∞) y satisface además que f (0) = 0 y lı́m f (x) = +∞. x→+∞ Observar que las propiedades de esta función responden al hecho en ausencia de población no existe conflictividad, y también a que la conflictividad aumenta con el tamaño de la población. En la corrección del modelo malthusiano conocido como Ley de Verhults, la tasa de crecimiento de la población tiene en cuenta los fenómenos de conflictividad social y está determinada por la expresión T (x) = k−f (x), donde k > 0 y f es una función de conflitividad que satisface que f (x∗ ) < k, lo que significa que la conflictividad es moderada en el entorno de la población umbral. Así pues el tamaño de una población que evoluciona según la Ley de Verhults es solución de la ecuación diferencial ³ ´ ¡ ¢´ ³ 0 x (t) = k − f x(t) x(t) − x∗ , k > 0, x∗ ≥ 0, con f (x∗ ) < k, (2.29) donde f es una función de conflictividad. Observar que desde este punto de vista el modelo malthusiano correspondería a considerar constante la conflictividad social, aunque naturalmente la función nula no satisface los requerimientos impuestos a una función de conflictividad. c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Modelos de Poblaciones 53 Uno de los modelos más utilizados corresponde al caso en el se supone que la conflictividad es directamente proporcional al tamaño de la población, es decir f (x) = εx, donde ε > 0 recibe el nombre de coeficiente de conflictividad, que debe satisfacer que εx∗ < k. En este caso particular el modelo de Verhults recibe el nombre de Modelo Logístico, y se expresa mediante la ecuación diferencial ´³ ´ x (t) = k − εx(t) x(t) − x∗ 0 ³ k > 0, ε > 0, x∗ ≥ 0 con εx∗ < k. (2.30) que cuando x∗ = 0 resulta ser un tipo de Ecuación Logística, similar a la que ya apareció al modelar la propagación de rumores. 2.7.1. Ejercicios Problema 1. Determinar las soluciones de equilibrio de la ecuación (2.27). Si además la tasa de crecimiento satisface que T ∈ C 1 (R), concluir que cada problema de valores iniciales tiene solución única. Problema 2. Supongamos que la tasa de crecimiento de una población está determinada por la función T y que x∗ es el umbral de subsistencia. Consideremos también la función T̂ (y) = T (y + x∗ ). Demostrar que x es solución de la ecuación (2.27) si y sólo si la función y(t) = x(t) − x∗ satisface que y 0 (t) = T̂ (y(t)) y(t). Concluir que desde el punto de vista cualitativo, el efecto del umbral de subsistencia es poco relevante. Problema 3. Demostrar que si una población se ajusta a la Ley de Malthus entonces tiene una única población de equilibrio y determinarla. Determinar la evolución de una población cuya tasa de crecimiento corresponde a la ley de Malthus. Concluir que si la tasa de crecimiento es negativa o la población inicial no supera el umbral, entonces la población se extingue en tiempo finito y hallar el instante de la extinción. Concluir también que si la tasa de crecimiento es positiva y la población inicial supera el umbral de subsistencia entonces crece ilimitadamente. Puede aceptarse como válido el modelo de Malthus para grande tamaños de población? Problema 4. Consideremos el modelo de Verhults ³ ´ ¡ ¢´ ³ x0 (t) = k − f x(t) x(t) − x∗ , k > 0, x∗ ≥ 0, con f (x∗ ) < k, c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 54 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Modelación donde f ∈ C(R) es continua, estrictamente creciente y no acotada en [0, +∞) y verifica además que f (0) = 0. i) Demostrar que además de la población umbral, existe otra población de equilibrio x∗ de tamaño x∗ superior al umbral. ii) Demostrar que si en un instante la población es inferior a x∗ o superior a x∗ entonces debe decrecer, mientras que si se sitúa entre estos dos valores entonces crece. Concluir que si en un instante el tamaño de la población es inferior al umbral, entonces desaparece en tiempo finito. iii) Si además f ∈ C 1 (R), demostrar que cada problema de valores iniciales tiene solución única. Concluir que si x > x∗ la solución maximal del problema de valores iniciales ³ ¡ ¢´ ¡ 0 ¢ 0 x (t) = k − f x(t) x(t) − x∗ , x(0) = x0 está definida en [0, +∞) y satisface que lı́m x(t) = x∗ . t→+∞ Problema 5. Demostrar que las dos únicas poblaciones de equilibrio para el modelo logístico (2.30) son x∗ y x∗ = ε−1 k. Demostrar que el modelo logístico la tasa de crecimiento es proporcional a la diferencia entre la población y la población de equilibrio x∗ . Problema 6. Determinar el tamaño de una población que en el instante inicial tiene x0 ≥ 0 individuos y cuya evolución se ajusta al modelo logístico (2.30). Si x0 < x∗ , concluir que la población desaparece en tiempo finito y determinar el momento en el que se produce su extinción. Si x∗ = ε−1 k y x∗ < x0 < x∗ , concluir que el tamaño de la población se mantiene siempre por debajo del valor x∗ pero su tamaño crece hasta tener x∗ individuos en tiempo infinito, mientras que si x0 > x∗ , entonces la población se mantiene siempre por encima del valor x∗ y su tamaño decrece hasta tener x∗ individuos en tiempo infinito. c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° TEMA 3.1. 3 SISTEMAS LINEALES Sistemas de calor/frío con varios compartimentos En la sección 1.2 tratamos el problema de determinar la temperatura en un edificio que consta de un solo compartimiento, como podría ser un nave industrial. Nos preocuparemos ahora de modelizar una generalización de este problema partiendo de los mismos principioc físicos. Supongamos que el edificio consta de varios compartimentos C1 , ..., Cm comunicados o no entre sí. Para cada j = 1, ..., m denotaremos por xj (t) la temperatura en el compartimento Cj y consideremos Hj (t) el efecto en el cambio de xj (t) debido a las personas, a las máquinas que están funcionando y por Uj (t, xj ) el efecto en el cambio de xj (t) debido a un sistema de aire acondicionado de tipo lineal con cararterística constante αj ≥ 0 instalado en Cj . En este caso, supondremos que para cada j = 1, . . . , m existen un valor positivo x∗j ∈ R Uj (t, xj ) = αj (x∗j − xj ), para cada cada t. Si kj > 0 y kji ≥ 0 son las constantes de proporcionalidad que, según la ley de Newton regulan, el cambio de xj debido a la temperatura exterior y a la del compartimento Ci , i 6= j, respectivamente, entonces para cada j = 1, ..., m, xj (t) satisface la ecuación diferencial: x0j (t) ¡ ¢ = kj T (t) − xj (t) + m X ¢ ¡ ¡ ¢ kji xi (t) − xj (t) + αj x∗j − xj (t) + Hj (t). (3.1) i=1 i6=j Observar que en este caso, el concepto de solución del problema planteado debe involucrar los valores de las funciones incógnitas x1 , . . . , xm , que en vista de la experiencia es razonable suponer que cada una de ellas depende de una constante. También parece razonable que tales constantes queden unívocamente determinadas si en un instante dado es conocida la 55 56 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Sistemas Lineales temperatura de cada uno de los compartimentos o salas del edificio. En términos matemáticos, esto significa que si en el instante t0 el valor de la temperatura en cada sala es conocido, por ejemplo igual a Tj grados, j = 1, . . . , m, la cuestión que planteamos es si el problema x0j (t) m ¢ X ¢ ¢ ¡ ¡ = kj T (t) − xj (t) + kji xi (t) − xj (t) + αj x∗j − xj (t) + Hj (t), ¡ i=1 i6=j (3.2) xj (t0 ) = Tj , j = 1, . . . , m tiene una única solución. Si para cada j = 1, . . . , n definimos la función fj (t) = Hj (t)+kj Tj (t)+αj x∗j y la constante m P kjj = −kj − αj − kji , entonces las igualdades (3.1) se expresan como i=1 i6=j x01 (t) k11 · · · k1m x1 (t) f1 (t) .. .. .. .. + .. .. . = . . . . . 0 xm (t) km1 · · · kmm xm (t) fm (t) y es por tanto un sistema de m ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Obsérvese que a diferencia de los sistemas (2.13) y (2.14) que describen procesos, no lineal y lineal respectivamente, de desintegración en cadena, el anterior es un acoplado, esto es las incógnitas x1 , . . . , xm no pueden ser determinadas sino conjuntamente. Si ahora consideramos el vector x0 = (T1 , . . . , Tm )T , las funciones x, f : I −→ Rm cuyas componentes son las funciones incógnitas x1 , . . . , xm y los datos f1 , . . . , fm y la matriz K = (kij ), entonces las identidades (3.1) y más concretamente (3.2) pueden representarse de manera equivalente como el problema de valor inicial x0 (t) = Kx(t) + f (t), x(t0 ) = x0 análoga a (1.12) que corresponde al caso de un único compartimento, pero que ahora involucra funciones vectoriales. Por tanto, de los problemas relativos a sistemas de calor/frío tratados hasta ahora, (1.3) y (1.11) son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, mientras que (3.1) es un sistema de m ecuaciones del mismo tipo. Además todas las situaciones pueden expresarse de manera unificada mediante la notación x0 (t) = Kx(t) + f (t), donde el carácter vectorial de las funciones involucradas determina que tratamos con un sistema de ecuaciones. c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Motivación 57 Un ejemplo importante del caso de varios compartimentos lo constituye el siguiente problema: Se considera una barra homogénea de longitud ` cuyos extremos están en contacto con medios cuyas temperaturas están reguladas por sistemas térmicos que las mantiene controladas según las funciones T0 y T` , respectivamente. Se supone que la barra está dividida en m partes iguales, donde m ≥ 2 y denotaremos por xj , j = 1, . . . , m, a la temperatura del segmento j-ésimo de la barra. La aplicación de (3.1) determina las siguientes identidades ´ = k10 T0 (t) − x1 (t) + k12 x2 (t) − x1 (t) , k10 , k12 ≥ 0, ³ ´ ³ ´ x0j (t) = kjj−1 xj−1 (t) − xj (t) + kjj+1 xj+1 (t) − xj (t) , kjj−1 , kjj+1 ≥ 0, 2 ≤ j ≤ m − 1, ³ ´ ³ ´ 0 xm (t) = kmm−1 xm−1 (t) − xm (t) + kmm+1 T` (t) − xm (t) , kmm−1 , kmm+1 ≥ 0. x01 (t) ³ ´ ³ Como el material de la barra es homogéneo y todos los segmentos tienen la misma longitud, se satisface que existe c ≥ 0 tal que kjj−1 = kjj+1 = c para cada j = 1, . . . , m. Además, se sabe que la constante c es inversamente proporcional al cuadrado de la longitud de cada segmento k y por tanto c = 2 , donde k es una constante característica del material, básicamente se h ` trata de su conductividad térmica, y h = . Finalmente, si suponemos que en el segmento m j-ésimo existe una fuente de calor que aporta una cantidad de calor igual a Fj , resulta que las variaciones de temperaturas en cada segmento están descritas por las igualdades k h2 k x0j (t) = 2 h k x0m (t) = 2 h x01 (t) = ³ ´ ´ k ³ T0 (t) − x1 (t) + 2 x2 (t) − x1 (t) + F1 (t), h ³ ´ ´ k ³ xj−1 (t) − xj (t) + 2 xj+1 (t) − xj (t) + Fj (t), 2 ≤ j ≤ m − 1, h ³ ´ ´ k ³ xm−1 (t) − xm (t) + 2 T` (t) − xm (t) + Fm (t). h (3.3) Para que el problema anterior esté correctamente formulado, es preciso también considerar la temperatura inicial de cada segmento de la barra, es decir suponer que están dados los valores xj (0) = uj , donde uj ∈ N∗ , j = 1, . . . , m. El proceso descrito responde a una discretización de un problema de difusión de calor en una barra homogénea en cuyas ecuaciones de equilibrio se expresan mediante el siguiente problema: c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 58 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Sistemas Lineales Encontrar u : [0, +∞) × [0, `] −→ R que satisfaga las identidades µ ¶ µ 2 ¶ ∂u ∂ u −k = F (t, x) ∂t (t,x) ∂x2 (t,x) u(t, 0) = T0 (t), u(t, `) = T` (t) u(0, x) = u0 (x) En esta situación, para cada (t, x), el valor u(t, x) representa la temperatura del punto x ∈ [0, `] de la barra en el instante t ≥ 0 y en particular, u0 es la temperatura inicial de la barra, mientras que F (t, x) representa la densidad de una fuente de calor aplicada a la barra. Naturalmente, la continuidad de la función u exige que se satisfagan las condiciones de compatibilidad u0 (0) = T0 (0) y u0 (`) = T` (0). Si para cada j = 1, . . . , m consideramos rj = j h, entonces u0 (rj ) = uj , j = 1, . . . , m. Observar que la condición de compatibilidad requiere en este caso que u1 = T0 (0) y que Z ` um = T` (0). Por otra parte, Q(t) = F (t, x) dx es el calor total aportado por la fuente en 0 Z rj el instante t ≥ 0, mientras que para cada j = 1, . . . , m, Fj (t) = F (t, x) dx representa la aportación neta de calor en el segmento j-ésimo. 3.2. rj−1 Derivación e integración de funciones matriciales En la sección anterior hemos modelizado problemas que requieren el uso del lenguaje vectorial y en particular de matrices que ese caso actuan de coefientes. Procederemos a continuación a presentar la definición de función matricial. Dados n, m ∈ N∗ y para cada i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m la función aij : I −→ R, la función matricial de coeficientes aij , es la aplicación A¢: I −→ Mn×m (R) determi¡ nada para cada t ∈ I por la asignación A(t) = aij (t) . Además, para cada r ∈ N, diremos que A es de clase C r (I) si y sólo si todas las funciones coeficientes son de clase C r (I). Si A es de clase C r (I) con r ≥ 1, denominaremos derivada de orden k, 0 ≤ k ≤ r, de A a la aplicación matricial Ak) cuyas funciones componentes son las derivadas de orden k de las funciones componentes ¡ k)de A, ¢ es decir a la aplicación k) matricial determinada por la asignación A (t) = aij (t) , para cada t ∈ I. (3.4) Supongamos que las aplicaciones matriciales A : I −→ Mn×m (R) y B : I −→ Mm×k (R) tienen como coeficientes a las funciones aij y bj,l , i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m, l = 1, . . . , k, c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Derivación e integración de funciones matriciales 59 respectivamente. Si C : I −→ Mn×k (R) es la aplicación matricial determinada por la asignación C(t) = A(t)B(t), para cada t ∈ I, entonces las funciones coeficientes de C están m P determinadas por la igualdad cil (t) = aij (t)bjl (t), i = 1, . . . , n, l = 1, . . . , k. j=1 Por tanto, si A y B son ambas de clase C 1 (I), entonces cil ∈ C 1 (I) para i = 1, . . . , n y m m P P a0ij (t)bjl (t) + aij (t)b0jl (t). En definitiva tenemos que cada l = 1, . . . , k y además c0il (t) = j=1 j=1 Si A : I −→ Mn×m (R) y B : I −→ Mm×k (R) son funciones matriciales de clase C 1 (I), entonces su producto es una función matricial de clase C 1 (I) y además (AB)0 = A0 B + AB 0 . (3.5) Así pues, la regla de derivación de un producto de aplicaciones matriciales es idéntica a la de derivación de funciones escalares. Sin embargo, en general no podemos concluir que se satisfagan otras propiedades que sí verifica la derivación de funciones escalares. Por ejemplo, si A : I −→ Mm (R) es declase C 1 (I), entonces (A2 )0 = A0 A + AA0 y en general esta suma es 0 diferente de 2AA0 y de 2A0 A, puesto que las matrices A ¸ y A no tienen por qué conmutar. · Para ¸ · 1 t 1 t 2 , lo que implica que A (t) = , convencerse de ello basta considerar A(t) = 0 0 0 0 · ¸ 0 1 0 que A (t) = y también que 0 0 · 0 2A(t)A (t) = 0 2 0 0 ¸ · ¸ · ¸ 0 1 0 0 6 = 6= = 2A0 (t)A(t). 0 0 0 0 | {z } ¡ ¢0 A2 (t) Supongamos que A : I −→ Mm (R) es una aplicación matricial cuyas funciones componentes son aij , i, j = 1, . . . , m. Como para cada t ∈ I la matriz A(t) es cuadrada, tiene sentido considerar su determinante. Podemos pues definir la aplicación det A : I −→ R, que para cada t ∈ I está dada por la identidad det A(t) = X (−1)i(σ) a1σ(1) (t) · · · amσ(m) (t), σ∈Sm donde Sm es el grupo de las permutaciones de {1, . . . , m} e i(σ) es el índice de la permutación σ. De la expresión anterior se deduce inmediatamente que si A es clase C r (I) con r ≥ 0, entonces det A también es de clase C r (I). En particular, si A es de clase C 1 (I), utilizando la c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 60 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Sistemas Lineales Regla de derivación de un producto 0 Si f1 , . . . , fn ∈ C(I), entonces (f1 · · · fn ) = n X f1 · · · fj0 · · · fn (3.6) j=1 obtenemos que ¡ X ¡ ¢0 ¢0 (−1)i(σ) a1σ(1) (t) · · · amσ(m) (t) det A(t) = σ∈Sm = = X i(σ) (−1) σ∈Sm m X X m X a1σ(1) (t) · · · a0jσ(j) (t) · · · amσ(m) (t) j=1 (3.7) (−1)i(σ) a1σ(1) (t) · · · a0jσ(j) (t) · · · amσ(m) (t). j=1 σ∈Sm En definitiva tenemos que si A : I −→ Mm (R) es una función matricial de clase C 1 (I), entonces su determinante es una función escalar de clase C 1 (I). Además, si para cada j = 1, . . . , m consideramos Aj : I −→ Mm (R) la aplicación matricial cuyas funciones componentes son las mismas que las de A, excepto las correspondientes a la fila j-ésima m ¡ ¢0 P det Aj . que se han sustituido por sus derivadas, entonces det A = (3.8) j=1 De manera análoga a como hemos introducido el concepto de derivada de una aplicación matricial podemos definir el de integral de una aplicación matricial. Concretamente, Dados n, m ∈ N∗ , para cada i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m la función aij ∈ C(I) y A = (aij ) la aplicación matricial continua de coeficientes aij . Fijado t0 ∈ I, Z t Z t definimos A(s) ds como la aplicación matricial de componentes aij (s) ds. t0 (3.9) t0 Z t Con estas notaciones, si B(t) = A(s) ds es claro que se satisfacen el Teorema Fundat0 mental del Cálculo, es decir B ∈ C 1 (I) y además B 0 (t) = A(t) para Z t cada t ∈ I, así como la A0 (s) ds, para cada t ∈ I. Regla de Barrow, es decir, si A ∈ C 1 (I), entonces A(t) − A(t0 ) = t0 c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Teoría general de sistemas lineales 3.3. 61 Teoría general de sistemas lineales El objetivo de esta sección es el estudio de los problemas de valor inicial cuando la EDO, o más exactamente el sistema de EDO, es lineal y de primer orden. Datos para un sistema lineal de EDO • El número natural no nulo m ∈ N∗ y el intervalo no trivial I ⊂ R. • Término Fuerza: f : I −→ Rm continua de componentes f1 , . . . , fm . • Coeficientes: aij : I −→ R continuas, i, j = 1, . . . , m. ¡ ¢ • Matriz de Coeficientes: A : I −→ Mm (R), A(t) = aij (t) . Fijados estos datos, un sistema de m ecuaciones diferenciales ordinarias lineales o sistema lineal de EDO consiste en encontrar funciones x1 , . . . , xm : I −→ R de clase C 1 (I) que para cada t ∈ I satisfagan la siguientes identidades x01 (t) = a11 (t) x1 (t) + · · · + a1m (t) xm (t) + f1 (t) x02 (t) = a12 (t) x1 (t) + · · · + a2m (t) xm (t) + f2 (t) .. . (3.10) x0m (t) = am1 (t) x1 (t) + · · · + amm (t) xm (t) + fm (t) Las conjunto de funciones x1 , . . . , xm que satisfagan las propiedades anteriores se denominarán soluciones del sistema. En general cabe esperar que el conjunto de soluciones del sistema anterior posea m grados de libertad, de maner que hemos de imponer condiciones adicioneales para determinarlos. Así, fijados t0 ∈ y z1 , . . . , zm ∈ R podemos plantear el siguiente Problema de valores inciales x01 (t) = a11 (t) x1 (t) + · · · + a1m (t) xm (t) + f1 (t), x1 (t0 ) = z1 , x02 (t) = a12 (t) x1 (t) + · · · + a2m (t) xm (t) + f2 (t), .. . x1 (t0 ) = z2 , x0m (t) = am1 (t) x1 (t) + · · · + amm (t) xm (t) + fm (t), xm (t0 ) = zm , que plantea la búsqueda de aquélla o aquéllas soluciones del sistema que satisfacen además las condiciones fijadas. c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 62 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Sistemas Lineales De forma equivalente, si x : I −→ Rm es una función de clase C 1 (I) el anterior sistema puede expresarse como la EDO x0 (t) = A(t)x(t) + f (t), (3.11) y en este caso x : I −→ Rm se denomina solución de la EDO. Análogamente, si consideramos x0 = (z1 , . . . , zm )T ∈ Rm el anterior problema de valores iniciales se expresa como x0 (t) = A(t)x(t) + f (t), x(t0 ) = x0 . (3.12) Observar que al mismo problema lo estamos denominando sistema si lo expresamos con la notación de (3.10) o ecuación si lo expresamos como (3.11). Esta ambigüedad en la terminología que denomina sistema o ecuación al mismo problema, dependiendo solamente de su presentación, no debe en la práctica inducir a error ninguno. Cuando m = 1, la identidad anterior es una genuina EDO de primer orden, mientras que si m > 1, es decir si tanto f como x son funciones vectoriales de una variable real y A una aplicación matricial, la identidad representa un sistema a pesar de que se denomine ecuación. Es por tanto el contexto de cada problema el que determinará si tratamos una sola ecuación o un sistema de ellas. Observar también que si expresamos el problema como (3.11), entonces x es solución si y sólo si sus componentes son solución del problema expresado como (3.10). Es claro que cuando m = 1, el sistema (3.11) se reduce simplemente a la EDO lineal escalar estudiada en el Tema 1, que en cierta forma nos servirá de guía para reproducir en el caso general los resultados allí obtenidos. Para ello, necesitamos asumir como cierto un resultado relativo a la existencia y unicidad de solución de cada problema de valor inicial. Existencia y unicidad Cada problema de valores iniciales para el sistema lineal x0 (t) = A(t)x(t) + f (t) tiene solución única. Cuando analizamos las propiedades de la ecuación lineal escalar la que entonces denominamos ecuación homogénea asociada jugó un importante papel. Generalizaremos ahora este concepto al caso que nos ocupa. Denominamos sistema homogéneo asociado al sistema x0 (t) = A(t)x(t) + f (t), al sistema lineal x0 (t) = A(t)x(t). (3.13) c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Teoría general de sistemas lineales 63 Como vimos en el caso escalar, las soluciones de la ecuación homogénea y las de ecuación completa están relacionadas entre sí. Concretamente si x e y son soluciones de la EDO (3.11), entonces z(t) = x(t)−y(t) es una solución de la ecuación homogénea (3.13) y recíprocamente si a una solución concreta de (3.11) le sumamos una solución de la ecuación homogéa (3.13) el resultado es una nueva solución de (3.11). en definitiva, tenemos que si y es una solución concreta del sistema lineal x0 (t) = A(t)x(t) + f (t), entonces cualquier otra solución se expresa como x = z + y donde z es una solución del sistema homogéneo z 0 (t) = A(t)z(t). (3.14) Por otra parte, la unicidad de solución de cada problema de valores iniciales permite expresar la propiedad anterior con más precisión, innecesaria en el caso de ecuaciones escalares: Principio de superposición Fijado m ∈ N∗ , para cada aplicación matricial continua A : I −→ Mm (R), el conjunto de soluciones del sistema homogéneo x0 (t) = A(t)x(t) es un espacio vectorial real de dimensión m y para cada función continua f : I −→ Rm , el conjunto de soluciones del sistema x0 (t) = A(t)x(t) + f (t) tiene estructura de espacio afín cuya variedad lineal subyacente es el espacio vectorial de soluciones de la ecuación homogénea. Además, {x1 , . . . , xm } es base de soluciones del sistema homogéneo si y sólo si existe t0 ∈ I tal que {x(t0 ), . . . , xm (t0 )} es base de Rm y cuando esto ocurre, {x1 (t), . . . , xm (t)} es base de Rm para todo t ∈ R. La estructura de espacio vectorial para el conjunto de las soluciones del sistema homogéneo y la espacio afín para el de las soluciones del sistema completo no son más que una lectura geométrica de la propiedad (3.14), por lo que sólo resta demostrar que la dimensión de tales espacios es precisamente m. La clave de todo el razonamiento estriba en el sencillo hecho siguiente: Como la función nula es solución del sistema homogéneo y cada problema de valores iniciales tiene una única solución, si x : I −→ Rm es una solución de x0 (t) = A(t)x(t) y x(t0 ) = 0 para algún t0 ∈ I, entonces x(t) = 0 para cada t ∈ I. (3.15) Consideremos ahora x1 , . . . , xk , k soluciones del sistema homogéneo x0 (t) = A(t)x(t) y fijemos t0 ∈ I y también los vectores vj = xj (t0 ) ∈ Rm , j = 1, . . . , k. Si v1 , . . . , vk son linealmente independientes, entonces las funciones x1 , . . . , xk son linealmente independientes, ya que si existen α1 , . . . , αk ∈ R tales que α1 x1 (t) + · · · + αk xk (t) = 0, c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 64 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Sistemas Lineales para cada t ∈ I, es decir tales que la función x(t) = α1 x1 (t) + · · · + αk xk (t) es idénticamente nula, como x(t0 ) = α1 v1 + · · · + αm vm = 0, la independencia lineal de v1 , . . . , vk implica que α1 = · · · = αk = 0. Recíprocamente, si las funciones x1 , . . . , xk son linealmente independientes y existen α1 , . . . , αk ∈ R tales que α1 v1 + · · · + αk vk = 0, entonces x(t) = α1 x1 (t) + · · · + αk xk (t) es solución del sistema homogéneo y como x(t0 ) = α1 v1 + · · · + αk vk = 0, (3.15) implica que x es la función nula. La independencia lineal de x1 , . . . , xk determina que α1 = · · · = αk = 0 y, en definitiva, que los vectores v1 , . . . , vk son linealmente independientes. El razonamiento anterior muestra que si x1 , . . . , xk son soluciones del sistema homogéneo, entonces son linealmente independientes si y sólo si existe t0 ∈ I tal que los vectores x1 (t0 ), . . . , xk (t0 ) son linealmente independientes y que esto ocurre si y sólo si los vetores x1 (t), . . . , xk (t) son linealmente independientes para cada t ∈ I. (3.16) Como en Rm no puede haber sistemas de vectores linealmente independientes con más de m vectores, este resultado implica que que la dimensión del espacio de soluciones del sistema homogéneo ha de ser menor o igual a m. Por otra parte, de la conclusión anterior también se deduce que si {v1 , . . . , vm } es una base de Rm y consideramos t0 ∈ I y para cada j = 1, . . . , m la única solución del problema de valores iniciales x0 (t) = A(t)x(t), x(t0 ) = vj , entonces {x1 , . . . , xm } son linealmente independientes y por tanto base del espacio de soluciones del sistema homogéneo, ya que son m elementos linealmente independientes en un espacio vectorial cuya dimensión es m a lo sumo. (3.17) El resultado anterior concluye la demostración del principio de superposición y determina además un método para construir bases de soluciones del sistema homogéneo: basta seleccionar una base de Rm , un punto t0 ∈ I y resolver los m problemas de valor inicial a los que estos datos dan lugar. Naturalmente la importancia de las bases de soluciones del sistema homogéneo radica en que cada una de ellas es suficiente para determinar todas las soluciones de del sistema homogéneo. Concretamente, si {x1 , . . . , xm } es una base del espacio de soluciones del sistema homogéneo, entonces el espacio vectorial de las soluciones del sistema homogéneo está determinado por la identidad © ª x(t) = c1 x1 (t) + · · · + cm xm (t) : c1 , . . . , cm ∈ R . (3.18) c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Teoría general de sistemas lineales 65 Como comentábamos al comienzo de esta sección, nuestra intención es reproducir en la medida de lo posible los resultados obtenidos para el caso escalar. Para ello, será cómodo introducir la siguiente notación matricial que recupera, al menos formalmente la situación unidimensional: Consideremos x1 , . . . , xk : I −→ Rm funciones de clase C 1 (I) y definamos la aplicación matricial Φ : I −→ Mm×k (R) dada por x11 (t) · · · x1k (t) .. .. ... Φ(t) = , . . xm1 (t) · · · xmk (t) para cada t ∈ I. Entonces, es sencillo comprobar que si las funciones x1 , . . . , xk son simultáneamente soluciones del sistema homogéneo x0 (t) = A(t)x(t) entonces la aplicación matricial Φ satisface la identidad Φ0 (t) = A(t)Φ(t). Recíprocamente, si Φ : I −→ Mm×k (R) es una aplicación matricial de clase C 1 (I) que satisface la identidad Φ0 (t) = A(t)Φ(t) para cada t ∈ I, entonces sus k columnas de son soluciones del sistema homogéneo x0 (t) = A(t)x(t). Una aplicación matricial Φ : I −→ Mm (R) de clase C 1 (I) se denomina matriz fundamental del sistema homogéneo x0 (t) = A(t)x(t) si y sólo si sus columnas son base de soluciones del espacio de soluciones de tal sistema. (3.19) Los resultados anteriores y el principio de superposición establecen las condiciones para que una aplicación matricial de clase C 1 (I) sea fundamental: La aplicación matricial de clase C 1 (I), Φ : I −→ Mm (R), es fundamental para el sistema homogéneo x0 (t) = A(t)x(t) si y sólo si satisface la identidad Φ0 (t) = A(t)Φ(t) para cada t ∈ I y además existe t0 ∈ I tal que detΦ(t0 ) 6= 0, o equivalentemente si y sólo si detΦ(t) 6= 0, para cada t ∈ I. (3.20) Del principio de superposición se desprende que si Φ : I −→ Mm (R) una aplicación matricial de clase C 1 (I) que satisface que Φ0 (t) = A(t)Φ(t) para cada t ∈ I, entonces o bien detΦ(t) = 0 para cada t ∈ I o bien detΦ(t) 6= 0 para cada t ∈ I, dependiendo de que Φ sea fundamental o no. De hecho, como detΦ(t) ∈ C(I), si se verifica la segunda propiedad, entonces o bien detΦ(t) > 0 para cada t ∈ I o bien detΦ(t) < 0 para cada t ∈ I, lo que significa geométricamente que para cada t ∈ I, las columnas de Φ(t) son una base con la misma orientación que la base canónica de Rm o con orientación opuesta a ésta, respectivamente. c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 66 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Sistemas Lineales Como comprobaremos a continuación, es posible determinar exactamente la expresión del determinante de una aplicación matricial cuyas columnas son solución del sistema homogéneo x0 (t) = A(t)x(t). Consideremos Φ : I −→ Mm (R) una aplicación matricial de clase C 1 (I) que satisface que Φ0 (t) = A(t)Φ(t) para cada t ∈ I y definamos la función w(t) = det Φ(t). Entonces, aplicando (3.8), obtenemos que x11 (t) · · · .. . m P w0 (t) = det Φ0j (t), Φ0j (t) = x0j1 (t) · · · j=1 .. . xm1 (t) · · · x1k (t) .. . x0jm (t) , j = 1, . . . , m, t ∈ I. .. . xmk (t) Como las columnas de Φ son solución del sistema homogéneo, para cada j, i = 1, . . . , m m P y cada t ∈ I, se satisface que x0ji (t) = ajs (t)xsi (t) y por tanto sustituyendo estos valores s=1 en la expresión anterior y utilizando las propiedades básicas del cálculo de determinantes, obtenemos que x11 (t) · · · .. m . X 0 det Φj (t) = ajs (t)det xs1 (t) · · · .. s=1 . xm1 (t) · · · En definitiva, w0 (t) = m ¡P x1k (t) .. . xsm (t) = ajj (t)w(t). .. . xmk (t) ¢ ¡ ¢ ajj (t) w(t), es decir w0 (t) = tr A(t) w(t), para cada t ∈ I, j=1 donde tr A denota la traza de la matriz A. Esta ecuación es escalar y homogénea y puede por tanto integrarse explícitamente, según los resultados obtenidos en el Tema 1. Lema de Abel-Liouville Fijados m ∈ N∗ , I un intervalo no trivial, t0 ∈ I y la aplicación matricial continua A : I −→ Mm (R), para cada aplicación matricial Φ : I −→ Mm (R) de clase C 1 (I) tal que Φ0 (t) = A(t)Φ(t), para cada t ∈ I se satisface que Z t trA(s) ds det Φ(t) = det Φ(t0 ) e t0 c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Teoría general de sistemas lineales 67 El hecho de que las columnas de una matriz fundamental constituyan una base del espacio de soluciones del sistema homogéneo permite obtener una expresión equivalente a (3.18) en los siguientes términos: Si Φ : I −→ Mm (R) es una matriz fundamental del sistema homogéneo x0 (t) = A(t)x(t), entonces el espacio vectorial de las soluciones de tal sistema está determinado por la identidad (3.21) {x(t) = Φ(t) c : c ∈ Rm }. La expresión anterior para el espacio de soluciones del sistema homogéneo, permite ahora determinar fácilmente la única solución de cada problema de valores iniciales: Si dados t0 ∈ I y x0 ∈ Rm planteamos el problema de valor inicial x0 (t) = A(t)x(t), x(t0 ) = x0 , entonces x(t) = Φ(t)c para algún c ∈ Rm . Como además x0 = x(t0 ) = Φ(t0 )c, teniendo en cuenta que Φ(t0 ) es una matriz invertible, resulta que c = Φ−1 (t0 )x0 . En definitiva, hemos demostrado que si Φ : I −→ Mm (R) es una matriz fundamental del sistema homogéneo x0 (t) = A(t)x(t), entonces para cada t0 ∈ I y cada x0 ∈ Rm la única solución del problema de valores iniciales x0 (t) = A(t)x(t), x(t0 ) = x0 , está dada por la identidad x(t) = Φ(t)Φ−1 (t0 ) x0 . (3.22) Supongamos que ahora consideramos f : I −→ Rm continua y que nos planteamos las soluciones del sistema x0 (t) = A(t)x(t) + f (t). Supuesta conocida Φ, una aplicación fundamental del sistema homogéneo, según el principio de superposición, para describir todas las soluciones del problema anterior es suficiente encontrar una solución particular del mismo. Siguiendo nuevamente los pasos del caso escalar planteamos ahora la técnica de variación de las constantes que reformulada al caso no escalar consiste en buscar una función c : I −→ Rm de clase C 1 (I) tal que xp (t) = Φ(t)c(t) sea solución del sistema x0 (t) = A(t)x(t) + f (t). Para que esto ocurra debe satisfacerse que £ ¤0 A(t) Φ(t)c(t) + f (t) = φ(t)c(t) = Φ0 (t) c(t) + Φ(t)c0 (t) =⇒ c0 (t) = Φ(t)−1 f (t), | {z } A(t)Φ(t) c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 68 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Sistemas Lineales de manera que c : I −→ Rm debe ser una primitiva de la función Φ(t)−1 f (t). Así pues, las soluciones del sistema x0 (t) = A(t)x(t) + f (t) están determinadas por la expresión £ ¤ x(t) = Φ(t) c + α(t) , c ∈ Rm (3.23) 0 donde Φ es matriz fundamental del sistema homogéneo x (t) = A(t)x(t) y la función α : I −→ Rm satisface que α0 (t) = Φ−1 (t)f (t). Si ahora fijamos t0 ∈ I y x0 ∈ Rm , para identificar en la expresión (3.23) a la única solución del sistema que satisface estas condiciones iniciales procederemos £ ¤ como en el caso escalar, valorando en el punto t0 : Como x0 = x(t0 ) = Φ(t0 ) c + α(t0 ) , necesariamente c = Φ−1 (t0 )x0 − α(t0 ), lo que implica que h ¤ £ ¤ x(t) = Φ(t) Φ−1 (t0 )x0 − α(t0 ) + α(t) = Φ(t)Φ−1 (t0 )x0 + Φ(t) α(t) − α(t0 ) . Como α(t) − α(t0 ) es la única primitiva de Φ−1 (t)f (t) que se anula en t0 , resulta que Z t α(t) − α(t0 ) = Φ−1 (s)f (s) ds. t0 En definitiva hemos demostrado el resultado fundamental de este Tema: Fórmula de Lagrange Fijados m ∈ N∗ , I un intervalo no trivial y A : I −→ Mm (R) una aplicación matricial continua, si Φ : I −→ Mm (R) es una matriz fundamental del sistema homogéneo x0 (t) = A(t)x(t), entonces para cada t0 ∈ I, cada x0 ∈ Rm y cada f : I −→ Rm continua, la función Z t −1 x(t) = Φ(t)Φ (t0 )x0 + Φ(t) Φ−1 (s)f (s) ds, t0 es la única solución global del problema de valores iniciales x0 (t) = A(t)x(t) + f (t), x(t0 ) = x0 . Observemos que la Fórmula de Lagrange expresa la única solución del problema de valores iniciales x0 (t) = A(t)x(t)+f (t), x(t0 ) = x0 como superposición de Φ(t)Φ−1Z(t0 )x0 , la única t solución del problema de valores iniciales x0 (t) = A(t)x(t), x(t0 ) = x0 con Φ(t) Φ−1 (s)f (s) ds, t0 la única solución del problema de valores iniciales x0 (t) = A(t)x(t) + f (t), x(t0 ) = 0. c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° La función de Green de un sistema lineal 3.4. 69 La función de Green de un sistema lineal Tanto en la identidad (3.22) como en el caso más general de la Identidad de Lagrange las expresiones que determinan la única solución de cada problema de valores iniciales para los sistemas lineales, homogéneos en el primer caso y generales en el segundo, están ligadas a la elección previa de una matriz fundamental del sistema homogéneo, o lo que es equivalente a la elección de una base del espacio de soluciones de tal sistema. Naturalmente, la unicidad de soluciones implica que el resultado final no puede depender de la base inicialmente fijada. Esta cuestión motiva que nos preocupemos de analizar la relación entre diferentes bases de soluciones del sistema homogéneo o, lo que es equivalente, entre dos matrices fundamentales. Supongamos que A : I −→ Rm es una aplicación matricial continua y que Φ : I −→ Rm es una matriz fundamental del sistema x0 (t) = A(t)x(t). Consideremos también Ψ : I −→ Mm (R) una aplicación matricial de clase C 1 (I) y tal que Ψ0 (t) = A(t)Ψ(t), para cada t ∈ I. Si y1 , . . . , ym : I −→ Rm son las columnas de Ψ, entonces son soluciones del sistema lineal x0 (t) = A(t)x(t) y por tanto, teniendo en cuenta (3.21), para cada j = 1, . . . , m debe existir pj ∈ Rm tal que yj (t) = Φ(t)pj , para todo t ∈ I. Si consideramos P ∈ Mm (R) la matriz cuyas columnas son p1 , . . . , pm , resulta que Ψ(t) = Φ(t)P , para cada t ∈ I. Recíprocamente, dada P ∈ Mm (R) la aplicación matricial Ψ : I −→ Mm (R) definida para cada t ∈ I como Ψ(t) = Φ(t)P satisface que es de clase C 1 (I) y además que Ψ0 (t) = Φ0 (t)P = A(t)Φ(t)P = A(t)Ψ(t), para cada t ∈ I. Por otra parte, teniendo en cuenta que det Ψ(t) = det Φ(t) det P , resulta que si A : I −→ Rm es una aplicación matricial continua y Φ : I −→ Rm es una matriz fundamental del sistema x0 (t) = A(t)x(t), entonces una aplicación matricial Ψ : I −→ Mm (R) de clase C 1 (I) satisface que Ψ0 (t) = A(t)Ψ(t) si y sólo si existe P ∈ Mm (R) tal que Ψ(t) = Φ(t)P , para cada t ∈ I. En particular, Ψ es fundamental del sistema si y sólo si P es no singular, es decir si y sólo si det P 6= 0. (3.24) En definitiva el resultado anterior muestra que dos matrices fundamentales, del mismo sistema difieren en una matriz no singular. Esto significa que si Φ y Ψ son fundamentales y para cada t ∈ I consideramos las bases de Rm determinadas por las columnas de Φ(t) y de Ψ(t), entonces la matriz de cambio de una base a otra es independiente de t. En particular, como Ψ(t) = Φ(t)P para cada t ∈ I, si existe s ∈ I tal que Ψ(s) = Φ(s), entonces como c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 70 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Sistemas Lineales Ψ(s) = Φ(s)P y Φ(s) es invertible, necesariamente P = I y por tanto Ψ = Φ. Así pues, si Φ y Ψ son matrices fundamentales del sistema x0 (t) = A(t)x(t) y Φ(s) = Ψ(s) para algún s ∈ I, entonces Φ(t) = Ψ(t) para todo t ∈ I. En particular, para cada s ∈ I existe una única matriz fundamental Φ : I −→ Mm (R) tal que Φ(s) = I. (3.25) Después de las propiedades anteriores, resulta que si Φ : I −→ Mm (R) es una matriz fundamental del sistema x0 (t) = A(t)x(t), entonces fijado s ∈ I, como Φ(s) es no singular tiene sentido Φ−1 (s) y la aplicación matricial Ψ : I −→ Mm (R) definida como Ψ(t) = Φ(t)Φ−1 (s), para cada t ∈ I es también fundamental y como Ψ(s) = I, es la única matriz fundamental con esta propiedad. Así pues, si Φ y Ψ son dos matrices fundamentales del mismo sistema, entonces para cada s ∈ I se satisface que Φ(t)Φ−1 (s) = Ψ(t)Ψ−1 (s), para cada t ∈ I, (3.26) propiedad que permite introducir el concepto fundamental de esta sección: Función de Green Si I ⊂ R es un intervalo no trivial, m ∈ N∗ y A : I −→ Rm es una aplicación matricial continua, denominaremos Función de Green del sistema x0 (t) = A(t)x(t) a la aplicación matricial G : I × I −→ Mm (R) (t, s) −→ Φ(t)Φ−1 (s), donde Φ : I −→ Rm es cualquier matriz fundamental del sistema. Así pues la función de Green se construye tomando en cada s ∈ I el valor de la única matriz fundamental que en s coincide con la identidad. En particular, esto significa que fijado s ∈ I, para cada j = 1, . . . , n la columna j-ésima de G(t, s) es la única solución del problema d evalores iniciales x0 (t) = A(t)x(t), x(s) = ej , donde ej es el j-ésimo vector de la base canónica de Rm . Como las componentes de Φ−1 (s) están determinadas por cocientes de determinantes de matrices con componentes de clase C 1 (I), continuas, resulta que Φ−1 (s) es de clase C 1 (I) y por tanto, la función de Green es de clase C 1 (I × I) y en particular continua en I × I. Por otra parte, es inmediato comprobar que la función de Green satisface también las siguientes propiedades: G(s, s) = I, para cada s ∈ I, G(s, t) = G−1 (t, s), para cada t, s ∈ I, G(t, s)G(s, τ ) = G(t, τ ), (3.27) para cada t, s, τ ∈ I. c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Dependencia de los datos y Estabilidad de un Sistema Lineal 71 Es patente que la función de Green del sistema x0 (t) = A(t)x(t) depende exclusivamente de la matriz de coeficientes A(t). Además la fórmula de Lagrange puede reescribirse en términos de la función de Green como sigue: Fórmula de Lagrange-Green Fijados m ∈ N∗ , I un intervalo no trivial y A : I −→ Mm (R) una aplicación matricial continua, si G : I × I −→ Mm (R) es la función de Green del sistema homogéneo x0 (t) = A(t)x(t), entonces para cada t0 ∈ I, cada x0 ∈ Rm y cada f : I −→ Rm continua, la función Z t x(t) = G(t, t0 )x0 + G(t, s)f (s) ds, t0 es la única solución global del problema de valores iniciales x0 (t) = A(t)x(t) + f (t), x(t0 ) = x0 . Si nuevamente apelamos a la interpretación de la solución de cada problema de valores iniciales x0 (t) = A(t)x(t) + f (t), x(t0 ) = x0 en términos de la respuesta a la perturbación externa f de un sistema físico, mecánico, químico, biológico, etc., y cuyas características están recogidas en la matriz de coeficientes y cuyo estado en el instante t0 es conocido, x0 , resulta que la función de Green aparece como una propiedad intrínseca del sistema físico, mecánico, químico o biológico, que depende exclusivamente de sus características, una especie de caja negra del sistema, capaz de proporcionar la información sobre el estado del mismo a partir de las perturbaciones introducidas en él. De hecho, el primer sumando en la fórmula de Lagrange-Green representa la evolución del estado del sistema, no sometido a acciones externas, a partir del conocimiento del estado en un instante dado, mientras que el segundo sumando representa la evolución del estado del sistema que en el instante t0 se hallaba en reposo y que está sometido a la acción externa f . Es importante observar que en la determinación del estado del sistema en un instante t sólo intervienen los valores de las acciones externas comprendidas entre t0 y t cuando t > t0 o entre t y t0 cuando t < t0 . Por otra parte, la relación sistema-función de Green es aún más estrecha: no sólo las características del sistema determinan la función de Green, si no que ésta determina a su vez aquéllas, es decir conocida la función de Green de un sistema, es posible determinar explícitamente dicho sistema. Para comprobar esta propiedad basta observar que fijado s0 ∈ I y considerada G(t, s0 ) como función de t, resulta que G0 (t, s0 ) = A(t)G(t, s0 ) y por tanto, G0 (t, s0 )G(s0 , t) = A(t), para cada t ∈ I, (3.28) donde se ha tenido en cuenta que G−1 (t, s) = G(s, t). c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 72 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Sistemas Lineales 3.5. Dependencia de los datos y Estabilidad Fijados los datos de un sistema lineal, la Fórmula de Lagrange determina la única solución de cada problema de valor inicial propuesto y deja clara la influencia de esos datos iniciales en dicha solución. Nos planteamos en esta sección determinar cómo varía la solución respecto de la modificación de los datos iniciales. Comenzaremos con la siguiente definición si I ⊂ R es un intervalo no trivial, A : I −→ Mm (R) es continua y f : I −→ Rm es continua denominamos Flujo del sistema x0 (t) = A(t)x(t) + f (t) a la aplicación ϕ: I × I × Rm −→ Rm (t, s, x) −→ valor en t de la única solución de problema de valores iniciales x0 (t) = A(t)x(t) + f (t), x(s) = x (3.29) La Fórmula de Lagrange establece una expresión explícita para el fujo de un sistema lineal, concretamente, si Φ es una matriz fundamental del sistema x0 (t) = A(t)x(t), entonces para cada f : I −→ Rm continua el flujo del sistema x0 (t) = A(t)x(t) + f (t) está dado por la identidad Z t −1 ϕ(t, s, x) = Φ(t)Φ (s)x + Φ(t)Φ−1 (u)f (u) du. (3.30) s Nuestro propósito es por tanto estudiar la regularidad de la función anterior respecto de sus argumentos. Para ello observemos primero que como detΦ es una función de clase C 1 (I) y no nula, la aplicación matricial Φ−1 es también de clase C 1 (I). Además, de la identidad Id = Φ(t)Φ−1 (t) para cada t ∈ I, resulta que £ ¤0 0 = Id0 (t) = Φ(t)Φ−1 (t) = Φ0 (t)Φ−1 (t) + Φ(t)(Φ−1 )0 (t), lo que implica que (Φ−1 )0 (t) = −Φ−1 (t)Φ0 (t)Φ−1 (t) = −Φ−1 (t)A(t)Φ(t)Φ−1 (t) = −Φ−1 (t)A(t). De los razonamientos anteriores, deducimos ahora que ϕ ∈ C 1 (I × I × Rm ). En particular, esto implica que la solución de cada problema de valor inicial para un sistema lineal varía no sólo c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Dependencia de los datos y Estabilidad de un Sistema Lineal 73 continuamente sino diferencialmente respecto de los datos iniciales. Nuestro siguiente propósito es determinar las derivadas parciales del flujo, lo que podremos hacer fácilmente a partir de µ ¶T ∂ϕ ∂ϕ1 ∂ϕm su expresión. Para comenzar, si = ,..., , resulta que ∂t ∂t ∂t ∂ϕ = Φ0 (t)Φ−1 (s)x + Φ0 (t) ∂t Z t Φ−1 (u)f (u) du + Φ(t)Φ−1 (t)f (t) s Z t −1 = A(t)Φ(t)Φ (s)x + A(t)Φ(t) Φ−1 (u)f (u) du + f (t) = A(t)ϕ(t, s, x) + f (t), s lo que era previsible ya que para s y x fijos ϕ es solución del sistema x0 (t) = A(t)x(t) + f (t). µ ¶T ∂ϕ ∂ϕm ∂ϕ1 Por otra parte, si , = ,..., ∂s ∂s ∂s ¡ ¢0 ∂ϕ = Φ(t) Φ−1 (s) x − Φ(t)Φ−1 (s)f (s) = −Φ(t)Φ−1 (s)A(s)x − Φ(t)Φ−1 (s)f (s) ∂s £ ¤ = −Φ(t)Φ−1 (s) A(s)x + f (s) . ∂ϕ Finalmente, si = ∂x µ ¶ ∂ϕj , i, j = 1, . . . , m, resulta que ∂xi ∂ϕ = Φ(t)Φ−1 (s). ∂x µ En definitiva, si consideramos ¶ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ , , , hemos demostrado que ∂t ∂s ∂x si ϕ es el flujo del sistema lineal x0 (t) = A(t)x(t) + f (t), entonces ϕ es de clase C 1 (I × I × Rm ) y además µ ¶ ³ ´ (3.31) £ ¤ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ −1 −1 , , = A(t)ϕ(t, s, x)+f (t), −Φ(t)Φ (s) A(s)x+f (s) , Φ(t)Φ (s) . ∂t ∂s ∂x Supongamos ahora fijados t0 ∈ I y x0 ∈ Rm y consideremos x la única solución del problema de valor inicial x0 (t) = A(t)x(t) + f (t), x(t0 ) = x0 . Con las notaciones anteriores, x(t) = ϕ(t, t0 , x0 ) y la continuidad del flujo en el punto (t0 , t0 , x0 ) establece que c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 74 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Sistemas Lineales fijado ε > 0 existe δ > 0 tal que si |t − t0 | ≤ δ y ||x0 − y|| ≤ δ, entonces ||ϕ(t, t0 , x0 ) − ϕ(t, t0 , y)|| ≤ ε Las desigualdades anteriores, que son consecuencia de la continuidad del flujo, implican que si en instante t0 consideramos dos condiciones iniciales “próximas”, las correspondientes soluciones permanecen “próximas” en un intervalo de tiempo. En muchos problemas prácticos interesa que esa “proximidad” entre las soluciones se mantenga a lo largo del tiempo. Naturalmente para que ello sea posible es imprescindible que el intervalo de definición de las soluciones permita considerar tiempos arbitrariamente largos, o en otras palabras que no sea acotado por la derecha, lo que implica que o bien I = R o bien debe ser de la forma I = (a, +∞) o I = [a, +∞) con a ∈ R. La búsqueda de la propiedad descrita conduce a la siguiente noción: Estabilidad de una solución Supongamos que el intervalo I no está acotado a la derecha y consideremos t0 ∈ I y x0 ∈ Rm . • Diremos que ϕ(t, t0 , x0 ) es estable si dado ε > 0 existe δ > 0 tal que para cada x ∈ Rm con ||x − x0 || ≤ δ, entonces ||ϕ(t, t0 , x) − ϕ(t, t0 , x0 )|| ≤ ε para todo t ≥ t0 . • Diremos que ϕ(t, t0 , x0 ) es asintóticamente estable si es estable y existe δ > 0 tal que para cada x ∈ Rm con ||x − x0 || ≤ δ, entonces lı́m ||ϕ(t, t0 , x) − ϕ(t, t0 , x0 )|| = 0 t→∞ • Diremos que ϕ(t, t0 , x0 ) es inestable si no es estable Así pues, si x es la única solución del problema de valores iniciales x0 (t) = A(t)x(t)+f (t), x(t0 ) = x0 , para determinar si x es estable, fijado ε > 0, debemos encontrar, si ello es posible, δ > 0 tal que si ||y0 − x0 || ≤ δ, e y es la única solución del problema de valores iniciales y 0 (t) = A(t)y(t) + f (t), y(t0 ) = y0 entonces ||y(t) − x(t)|| ≤ ε para cada t ≥ t0 . Si consideramos ahora la función z 0 (t) = y(t) − x(t), entonces si z0 = z(t0 ) = y0 − x0 , la cuestión de la estabilidad de x puede plantearse de manera equivalente como dado ε > 0, encontrar, si es posible, δ > 0 tal que si ||z0 || ≤ δ, entonces ||z(t)|| ≤ ε para cada t ≥ t0 . Por otra parte, como el sistema considerado es lineal, el principio de superposición establece que z es la única solución del problema de valores iniciales z 0 (t) = A(t)z(t), z(t0 ) = z0 . Ahora bien, si tomamos w(t) = 0, la función nula es claro que w es la única solución del problema de valores iniciales w0 (t) = A(t)w(t), w(t0 ) = w0 = 0 y además la estabilidad de x puede establecerse de manera equivalente como dado ε > 0, encontrar, si es posible, δ > 0 c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Dependencia de los datos y Estabilidad de un Sistema Lineal 75 tal que si ||z0 || = ||z0 − w0 || ≤ δ, entonces ||z(t)|| = ||z(t) − w(t)|| ≤ ε para cada t ≥ t0 . en otras palabras x es estable si y sólo si w es estable. Naturalmente, podemos realizar el mismo razonamiento para establecer que la estabilidad asintótica de x es equivalente a la estabilidad asintótica de w como solución del sistema homogéneo. Así pues las cuestiones de estabilidad, estabilidad asintótica o inestabilidad, de una solución concreta del sistema x0 (t) = A(t)x(t) + f (t) son equivalentes a las mismas cuestiones planteadas para la solución nula del sistema homogéneo, así que son independientes del término fuerza. Además como las cuestiones de estabilidad, estabilidad asintótica o inestabilidad son equivalentes a la verificación de dichas propiedades para la solución nula del sistema homogéneo, resulta que todas las soluciones de una EDO lineal tienen el mismo comportamiento. En resumen, hemos demostrado el siguiente resultado: Una solución del sistema lineal x0 (t) = A(t)x(t) + f (t) es estable, asintóticamente estable o inestable si y sólo si todas las soluciones son estables, asintóticamente estables o inestables, respectivamente y además la condición necesaria y suficiente para que esto ocurra es que la solución nula del sistema homogéneo asociado x0 (t) = A(t)x(t) sea estable, asintóticamente estable o inestable, respectivamente. (3.32) Después del resultado obtenido tienen sentido las siguientes denominaciones: Diremos que la aplicación matricial continua A : I −→ Rm es estable, asintóticamente estable o inestable si la solución nula del sistema homogéneo x0 (t) = A(t)x(t) es estable, asintóticamente estable o inestable, respectivamente. (3.33) Fijado el sistema lineal x0 (t) = A(t)x(t) + f (t), la próxima cuestión que nos debemos plantear es la caracterizar la estabilidad de la aplicación matricial A(t). Supongamos que la aplicación matricial A(t) es estable y fijemos t0 . Dado ε = 1, debe existir δ > 0 tal que cuando ||x0 || ≤ δ, si z es la única solución del problema de valores iniciales x0 (t) = A(t)x(t), entonces ||x(t)|| ≤ 1, para cada t ≥ t0 . Consideremos z una solución arbitraria del sistema z 0 (t) = A(t)z(t). Si ||z(t0 )|| ≤ δ, entonces ||z(t)|| ≤ 1, para cada t ≥ t0 . Si ||z(t0 )|| > δ, entonces x0 = ||z(tδ0 )|| z0 ∈ Rm satisface que ||x0 || = δ. Como x(t) = ||z(tδ0 )|| z(t) es la única solución del problema de valores iniciales x0 (t) = A(t)x(t), x(t0 ) = x0 , resulta que ||x(t)|| ≤ 1, para cada t ≥ t0 , lo que implica que ||z(t)|| ≤ ||z(tδ0 )|| , para cada t ≥ t0 . En definitiva, hemos demostrado que si A(t) es estable, fijado t0 ∈ I, cada solución del sistema homogéneo x0 (t) = A(t)x(t) debe estar acotada a la derecha de t0 . Recíprocamente, si toda solución del sistema x0 (t) = A(t)x(t) está acotada, consideremos x1 , . . . , xm la base de soluciones del sistema x0 (t) = A(t)x(t) tal que xj (t0 ) = ej , j = 1, . . . , m, c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 76 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Sistemas Lineales donde {e1 , . . . , em } es la base canónica de Rm . Como las funciones anteriores están acotadas, podemos tomar M1 , . . . , Mm > 0 tales que ||xj (t)|| ≤ Mj , para cada t ≥ t0 , j = 1, . . . , m y considerar M = máx {Mj }. j=1,...,m Dado x0 = (x01 , . . . , x0m )T ∈ Rm , entonces la única solución del problema de valores iniciales x0 (t) = A(t)x(t), x(t0 ) = x0 está dada por x(t) = x01 x1 (t) + · · · + x0m xm (t) y por m P √ tanto ||x(t)|| ≤ M |x0j | ≤ M n ||x0 ||, para cada t ≥ t0 . Por tanto, dado ε > 0, basta tomar δ = ε√ M n j=1 para concluir que si ||x0 || ≤ δ, entonces ||x(t)|| ≤ ε, para cada t ≥ t0 . Las mismas técnicas demuestran un resultado análogo para el caso de la estabilidad asintótica. En resumen, hemos demostrado el siguiente resultado: La aplicación matricial A : I −→ Mm (R) es estable o asintóticamente estable si y sólo si para cada t0 ∈ I toda solución del sistema homogéneo x0 (t) = A(t)x(t) está acotada para t ≥ t0 o satisface que lı́m ||x(t)|| = 0, respectivamente. t→+∞ En particular, si Φ : I −→ Mm (R) es una matriz fundamental, entonces A es estable o asintóticamente estable si y sólo si fijado t0 ∈ I existe M > 0 tal que s m P Φ2ij (t) ≤ M , para cada t ≥ t0 ó lı́m Φ(t) = 0, respectivamente, donde 0 (3.34) t→+∞ i,j=1 denota la matriz nula y el límite se efectúa componente a componente. 3.6. El Sistema Adjunto Consideremos A : I −→ Mm (R) una aplicación matricial continua y Φ : I −→ Mm (R) una aplicación fundamental del sistema lineal x0 (t) = A(t)x(t). Entonces es claro que ΦT ∈ C(I) y que (ΦT )0 = (Φ0 )T . Por otra parte, en la sección anterior hemos demostrado que la aplicación matricial Φ−1 es también de clase C 1 (I) y que además (Φ−1 )0 (t) = −Φ−1 (t)A(t), lo que finalmente implica que (Φ−T )0 (t) = −A(t)Φ−T (t). (3.35) c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° El Sistema Adjunto 77 Las identidades anteriores motivan la siguiente definición: Se denomina Sistema Adjunto de x0 (t) = A(t)x(t) a y 0 (t) = −AT (t)y(t) (3.36) Como es claro que el adjunto del sistema y 0 (t) = −AT (t)y(t) es x0 (t) = A(t)x(t), resulta que un sistema coincide con su adjunto si y sólo si su matriz de coeficientes satisface que A(t) = −AT (t), para cada t ∈ I, es decir si y sólo si la matriz de coeficientes es antisimétrica. Un sistema con esta propiedad se denomina autoadjunto. £ ¤−1 Si tenemos en cuenta que cuando Φ(t) es no singular, det Φ−T (t) = det Φ−1 (t) = det Φ(t) , la identidad (3.35) implica que Φ es matriz fundamental del sistema x0 (t) = A(t)x(t) si y sólo si Φ−T es matriz fundamental de y 0 (t) = −AT (t)y(t) (3.37) Consideremos Φ matriz fundamental de x0 (t) = A(t)x(t) y Ψ : I −→ Mm (R) una aplicación matricial cde clase C 1 (I). Entonces, teniendo en cuenta que Φ−T es fundamental para el problema adjunto y aplicando (3.24) resulta que Ψ0 (t) = −AT (t)Ψ(t) para cada t ∈ I si y sólo si existe P ∈ Mm (R) tal que Ψ(t) = Φ−T (t)P lo que implica que ΨT (t)Φ(t) = P T , cada t ∈ I. Además Ψ es fundamental para el sistema adjunto si y sólo si P es no singular. Por tanto, Si Φ es matriz fundamental del sistema x0 (t) = A(t)x(t), entonces Ψ es matriz fundamental del sistema adjunto si y sólo si existe M ∈ Mm (R) no singular tal que para cada t ∈ I se satisface ΨT (t)Φ(t) = M . (3.38) Supongamos que x, y : I −→ Rm son soluciones del sistema x0 (t) = A(t)x(t) y de su adjunto y 0 (t) = −AT (t)y(t). Como Φ es matriz fundamental del primer sistema y Ψ lo es de su adjunto, entonces existen x0 , y0 ∈ Rm tales que x(t) = Φ(t)x0 e y(t) = Ψ(t)x0 . Si para cada t ∈ I, consideramos los vectores x(t) e y(t), entonces el resultado anterior tiene una interpretación geométrica inmediata: y(t)T x(t) = y0T ΨT (t)Φ(t)x0 = y0T M x0 , para cada t ∈ I y por tanto, el producto escalar entre los vectores x(t) e y(t) permanece constante. Si ahora particularizamos estos resultados al caso de sistemas autoadjuntos, obtenemos c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 78 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Sistemas Lineales que si A = −AT y Φ es matriz fundamental del sistema x0 (t) = A(t)x(t), entonces existe M ∈ Mm (R) simétrica y definida positiva tal que para cada t ∈ I se satisface ΦT (t)Φ(t) = M . En particular, si Φ(s) es ortogonal para algún s ∈ I, entonces Φ(t) es ortogonal para todo t ∈ I. (3.39) Como consecuencia, si x e y son soluciones del sistema autoadjunto anterior, entonces los vectores x(t) e y(t) tienen longitud constante y el ángulo entre ellos también es constante. 3.6.1. El Teorema Fundamental de Curvas Planas Sean I ⊂ R un intervalo no trivial y c : I −→ R2 una curva regular, es decir tal que c0 (s) 6= 0 para cada s ∈ I, y parametrizada por la longitud de arco, es decir, tal que ||c0 (s)|| = 1 para cada s ∈ I. El vector tangente a c es t : I −→ R2 , definido como t(s) = c0 (s), para cada s ∈ I. En estas condiciones sabemos que Existe n : I −→ R2 de clase C 1 (I), denominada vector normal a c tal que para cada s ∈ I, {t(s), n(s)} es base ortonormal de R2 , positivamente orientada, es decir tal que det [t(s), n(s)] = 1. Además, existe k ∈ C(I), denominada curvatura de c tal que t0 (s) = k(s)n(s) y n0 (s) = −k(s)t(s), para cada s ∈ I. Si t1 , t2 son las componentes del vector tangente y n1 , n2 las del vector normal, las identidades anteriores implican que · t01 (s) n01 (s) t02 (s) n02 (s) ¸ · = t1 (s) n1 (s) t2 (s) n2 (s) ¸· 0 −k(s) k(s) 0 ¸ o expresado de manera equivalente, · t01 (s) t02 (s) n01 (s) n02 (s) ¸ · = 0 k(s) −k(s) 0 ¸· t1 (s) t2 (s) n1 (s) n2 (s) ¸ Por tanto, si consideramos la aplicación matricial Φ : I −→ M2 (R) definida para cada s ∈ I como Φ(s) = [t(s), n(s)]T , entonces se satisfacen las c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° El Sistema Adjunto 79 Ecuaciones de Frenet · 0 Φ (s) = 0 k(s) −k(s) 0 ¸ Φ(s), para cada s ∈ I · 0 es decir Φ es una matriz fundamental de x (t) = A(t)x(t), donde A(t) = 0 k(s) −k(s) 0 ¸ se denomina matriz de Frenet. Recíprocamente, sean k ∈ C(I) · y la matriz¸ de Frenet determinada por ella es decir, 0 k(s) la aplicación matricial A(s) = . Si fijamos s0 ∈ I y consideramos Φ la −k(s) 0 única matriz fundamental del sistema x0 (s) = A(s)x(s) tal que Φ(s0 ) = Id, entonces como A(s) = −AT (s)¸el resultado (3.39) asegura que ΦT (s)Φ(s) = Id, para cada s ∈ I. Si Φ(s) = · ¡ ¢T ¡ ¢T t1 (s) t2 (s) y consideramos t(s) = t1 (s), t2 (s) y n(s) = n1 (s), n2 (s) , entonces n1 (s) n2 (s) Z s la función c(s) = t(u) du, s ∈ I, es una curva parametrizada por arco cuya tangente y s0 normal son t y n, respectivamente y cuya curvatura es k. Supongamos ahora que bc : I −→ R2 es otra curva parametrizada por arco · cuya curvatura ¸ b b t (s) t (s) 1 2 es k. Si btb n son los vectores tangente y norma a bc y consideramos Ψ(s) = , n b1 (s) n b2 (s) entonces Ψ es matriz fundamental del sistema x0 (s) = A(s)x(s) y además ΨT (s)Ψ(s) = Id y detΨ(s) = 1, para cada s ∈ I. Como Φ y Ψ son matrices fundamentales del mismo sistema autoadjunto, (3.38) implica que existe una matriz M tal que ΨT (s)Φ(s) = M , para cada s ∈ I. Además, la matriz M satisface que M T M = ΦT (s) Ψ(s)ΨT (s) Φ(s) = ΦT (s)Φ(s) = Id y detM = detΨT (s)detΦ(s) = 1. | {z } Id Por otra parte, como ΨT (s)Φ(s) = M y Φ es ortogonal, necesariamente ΨT (s) = M ΦT (s), lo que implica que bt(s) = M t(s), para cada s ∈ I, es decir bc 0 (s) = M c0 (s), para cada s ∈ I. Por tanto, fijado s0 ∈ I, si consideramos el vector v = bc(s0 ) − M c(s0 ), entonces tal que Z s bc(s) = bc(s0 ) + Z 0 s bc (u) du = bc(s0 ) + M s0 c0 (u) du = M c(s) + v, para cada s ∈ I. s0 Los resultados anteriores constituyen el contenido del c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 80 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Sistemas Lineales Teorema Fundamental de Curvas Planas Si k : I −→ R es continua, existe una curva regular parametrizada por arco que tiene a k como curvatura, única salvo movimiento propio de sólido rígido, es decir, si c1 , c2 : I −→ R2 son dos curvas regulares parametrizadas por arco que tienen a k como curvatura, entonces existen M ∈ M2 (R) tal que M T M = Id y det M = 1 y v ∈ R2 de manera que c2 (s) = M c1 (s) + v, para cada s ∈ I. 3.6.2. El Teorema Fundamental de Curvas Espaciales Sean I ⊂ R un intervalo no trivial y c : I −→ R3 una curva regular, es decir tal que c0 (s), c00 (s) 6= 0 para cada s ∈ I, y parametrizada por la longitud de arco, es decir, tal que ||c0 (s)|| = 1 para cada s ∈ I. El vector tangente a c es t : I −→ R3 , definido como t(s) = c0 (s), para cada s ∈ I. En estas condiciones sabemos que Existen n, b : I −→ R2 de clase C 1 (I), denominadas vectores normal y binormal a c tales que para cada s ∈ I, b(s) = t(s) × n(s) y por tanto, {t(s), n(s), b(s)} es base ortonormal de R3 , positivamente orientada, es decir tal que det [t(s), n(s), b(s)] = 1. Además, existen k, τ ∈ C(I), denominadas curvatura y torsión de c tales que k(s) > 0 y t0 (s) = k(s)n(s), n0 (s) = −k(s)t(s) − τ (s)b(s) y b0 (s) = τ (s)n(s), para cada s ∈ I. Si t1 , t2 , t3 son las componentes del vector tangente, n1 , n2 , n3 las del vector normal y b1 , b2 , b3 las del vector binormal, las identidades anteriores implican que t01 (s) t02 (s) t03 (s) 0 k(s) 0 t1 (s) t2 (s) t3 (s) n01 (s) n02 (s) n03 (s) = −k(s) 0 −τ (s) n1 (s) n2 (s) n3 (s) b01 (s) b02 (s) b03 (s) 0 τ (s) 0 b1 (s) b2 (s) b3 (s) Por tanto, si consideramos la aplicación matricial Φ : I −→ M2 (R) definida para cada s ∈ I como Φ(s) = [t(s), n(s), b(s)]T , entonces se satisfacen las Ecuaciones de Frenet 0 k(s) 0 Φ0 (s) = −k(s) 0 −τ (s) Φ(s), 0 τ (s) 0 para cada s ∈ I, c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Ejercicios 81 0 k(s) 0 es decir Φ es matriz fundamental de x0 (t) = A(t)x(t), donde A(t) = −k(s) 0 −τ (s) 0 τ (s) 0 se denomina matriz de Frenet. El mismo razonamiento del caso plano, adaptado ahora al caso espacial permite concluir con el Teorema Fundamental de Curvas Espaciales Dadas las funciones k, τ ∈ C(I) con k > 0, existe una curva regular parametrizada por arco que tiene a k como curvatura y a τ como torsión, única salvo movimiento propio de sólido rígido, es decir, si c1 , c2 : I −→ R3 son dos curvas regulares parametrizadas por arco que tienen a k como curvatura y a τ como torsión, entonces existen M ∈ M3 (R) tal que M T M = Id y det M = 1 y v ∈ R3 de manera que c2 (s) = M c1 (s) + v, para cada s ∈ I. 3.7. Ejercicios Problema 1. Supongamos que en los problemas de mezclas abordados en la Sección 2.2, en lugar de un único recipiente, tenemos un sistema S formado por m recipientes R1 , ..., Rm , intercomunicados entre sí y con el exterior de S. Para cada j = 1, ..., m y en cada instante t, son conocidos Vj (t), el volumen de la disolución en Rj , fej (t) la cantidad de disolución que entra en Rj desde el exterior de S, fsjj (t) la cantidad de disolución que sale desde Rj hacia al exterior de S, y para cada i 6= j, fsij (t) la cantidad de disolución que sale de Rj hacia el recipiente Ri . Por supuesto, si fej es nulo, esto significa que en Rj no entra disolución desde el exterior de S y se pueden hacer interpretaciones análogas a la posible anulación de fsj y fsij . Si para cada j = 1, . . . , n, denotamos por xj (t) a la cantidad de soluto presente en Rj en el instante t, demostrar que x1 , . . . , xm deben satisfacer el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden: x0j (t) = cje (t)fej (t) + m X f ji (t) k=1 i6=j 1 s xi (t) − Vi (t) Vj (t) à m X ! fsij (t) xj (t), j = 1, . . . , m. i=1 Concluir que si para cada i, j = 1, . . . , m definimos las funciones aji (t) = n fsji (t) si i 6= j, Vi (t) 1 X ij f (t) y fj (t) = cje (t)fej (t), entonces la ecuación anterior se expresa como Vj (t) i=1 s el sistema lineal ajj (t) = − c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 82 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Sistemas Lineales f1 (t) x01 (t) a11 (t) · · · a1m (t) x1 .. .. .. .. .. .. . = . + . . . . . 0 xm (t) am1 (t) · · · amm (t) xm fm (t) Determinar las condiciones para que el sistema tenga equilibrios y en ese caso hallarlos todos. Problema 2. El plomo es un componente presente en muchos objetos de la vida cotidiana como tuberías de agua, pinturas, utensilios de vidrio, etc. Sin embargo es tóxico y las concentraciones altas en sangre y tejidos da lugar a un serio deterioro de las capacidades mentales y motrices de los individuos. El plomo entra en el cuerpo humano por medio de alimentos, aire y agua, con una tasa de entrada que podemos suponer que es una función continua f , y se acumula en la sangre desde donde se transfiere a los tejidos y huesos con tasas k21 , k31 ≥ 0, respectivamente. Por otra parte, el plomo acumulado en tejidos y huesos se transfiere a la sangre con tasas k12 , k13 ≥ 0, respectivamente, y no existe ninguna transferencia entre huesos y tejidos. Finalmente, el plomo acumulado en la sangre es expulsado por medio de la orina con una tasa k01 ≥ 0, el acumulado en los tejidos se expulsa por medio del cabello, las uñas y el sudor con una tasa k02 ≥ 0, mientras que el plomo acumulado en los huesos no se expulsa directamente sino a través de su transferencia a la sangre. Si denominamos x(t), y(t) y z(t) a la cantidad de plomo en la sangre, los tejidos y huesos, respectivamente, demostrar que dichas funciones son solución del sistema lineal x0 (t) = −(k01 + k21 + k31 ) x(t) + k12 y(t) + k13 z(t) + f (t), y 0 (t) = k21 x(t) − (k02 + k12 ) y(t), z 0 (t) = k31 x(t) − k13 z(t). Si f es constante y todas las constantes de transferencia son estrictamente positivas, demostrar que que el sistema anterior tiene una única solución de equilibrio y hallarla. Concluir que si la entrada f se reduce, también lo hace en el mismo porcentaje la solución de equilibrio. Supongamos que reducimos la ingesta de plomo a αf donde 0 < α < 1, y que mediante medicamentos aumentamos la expulsión de plomo por orina y sudor, es decir sustituimos k01 y k02 por βk01 y γk02 donde β, γ > 1. ¿Cuál es el efecto en la solución de equilibrio? c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Ejercicios 83 Problema 3. Considérese A : I −→ Mm (R) una aplicación matricial de clase C 1 (I) tal que A y A0 conmutan. Demostrar que (Ak )0 = kAk−1 A0 = kA0 Ak−1 para cada k ∈ N∗ . Problema 4. Sean I ⊂ R un intervalo, A : I −→ Mm (R) continua y Φ una matriz fundamental para la EDO x0 (t) = A(t)x(t). ¿Puede existir B : I −→ Mm (R) continua tal que Φ0 (t) = B(t)φ(t) y B 6= A? Problema 5. Sean I ⊂ R un intervalo no trivial y A : I −→ Mn (R) tal que A ∈ C 1 (I). Determinar la condición necesaria y suficiente para que siendo x(t) solución del sistema x0 (t) = A(t)x(t), x0 (t) también lo sea. Demostrar que en este caso x ∈ C ∞ (I) y que además para cada k ∈ N, la función xk) (t) es también solución del sistema. Problema 6. Consideremos la aplicación matricial Φ : R −→ M2 (R) definida por · 2 3 ¸ t t Φ(t) = t t2 ¿Existe alguna aplicación matricial continua A : R −→ Mn (R) tal que Φ0 (t) = A(t)φ(t) para cada t ∈ R ? Problema 7. Sean I ⊂ R un intervalo no trivial y A : I −→ Mm (R) una aplicación matricial continua cuyos coeficientes satisfacen que aii = amm y ai,i+1 6= 0, para cada i = 1, . . . , m − 1, mientras que aij = 0, para cada i, j = 1, . . . , m tales que j 6= i, i + 1. Hallar una matriz fundamental del sistema homogéneo x0 (t) = A(t)x(t). Problema 8. Sea A : R −→ Mm (R) una aplicación matricial continua y periódica de período τ . Demostrar que si x es solución del sistema x0 (t) = A(t)x(t), entonces y(t) = x(t+τ ) también es solución. Concluir que si Φ es fundamental entonces Φ(t) = Φ(t + τ ) es también fundamental y por tanto existe P ∈ Mm (R) una matriz no singular y tal que Φ(t + τ ) = Φ(t)P , para cada t ∈ R. Problema 9. Se consideran m ∈ N∗ , I ⊂ R un intervalo no trivial A : I −→ Mm (R) una aplicación matricial continua y x1 , . . . , xm : I −→ Rm soluciones del sistema homogéneo x0 (t) = A(t)x(t). Para cada t ∈ I, consideremos P (t) el paralelepípedo que tiene al origen de coordenadas como uno de sus vértices y a los vectores x1 (t), . . . , xm (t) como lados (aquí se permiten las situaciones degeneradas en las que por ejemplo algún lado se sitúa sobre otro lado o incluso tiene longitud nula). Para cada t ∈ I, determinar vol P (t), el volumen de P (t), y concluir que el volumen es constante si y sólo si tr A(t) = 0, para cada t ∈ I. c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 84 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Sistemas Lineales Problema 10. Si consideremos la aplicación matricial continua A : I −→ Mm (R) y G la ∂G ∂G función de Green del sistema x0 (t) = A(t)x(t), determinar y . ∂t ∂s Problema 11. Sea A : I −→ Mn×m (R) una aplicación matricial continua y G(t, s) la función de Green del sistema x0 (t) = A(t)x(t). Demostrar que GT (s, t) es la función de Green del sistema adjunto. Problema 12. Demostrar que todas las soluciones de la EDO x0 (t) = 0 son estables pero no asintóticamente estables. Problema 13. Demostrar que todas las soluciones de la EDO x0 (t) = −x(t) son asintóticamente estables. Problema 14. Se considera el sistema lineal x0 (t) = A(t)x(t) + f (t) definido en un intervalo I no acotado a la derecha. Demostrar que si para cada t0 ∈ I todas sus soluciones están acotadas para t ≥ t0 , entonces el sistema es estable. Recíprocamente, si el sistema es estable y una solución es acotada para t ≥ t0 , demostrar que entonces todas las soluciones del sistema están acotadas para t ≥ t0 . Problema 15. Determinar un ejemplo de ecuación lineal no homogénea estable y otro asintóticamente estable y cuyas soluciones no estén acotadas. Problema 16. Consideremos I un intervalo o bien de la forma (a, +∞) o [a, +∞) o bien I = R y la aplicación matricial continua A : I −→ Mn (R). Utilizar la continuidad del determinante y la Fórmula de Abel-Liouville para demostrar las siguientes afirmaciones: Z t i) Si A es estable, entonces para cada t0 ∈ I la función trA(s) ds está acotada supet0 riorente en [t0 , +∞). Concluir que si existen t0 ∈ I y a > 0 tales que trA(t) ≥ a para cada t ≥ t0 , entonces A es inestable. Z t trA(s) ds = −∞. ii) Si A es asintóticamente estable, entonces para cada t0 ∈ I, lı́m t→+∞ t0 Concluir que si existe t0 ∈ I tal que trA(t) ≥ 0 para cada t ≥ t0 , entonces A no es asintóticamente estable. c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° TEMA 4 4.1. MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES Introducción En el tema anterior hemos demostrado que para conocer todas las soluciones de un sistema lineal de primer orden es suficiente disponer de una matriz fundamental del sistema homogéneo. En este tema nos preocuparemos precisamente de describir condiciones bajo las cuales es posible calcular explícitamente una matriz fundamental del sistema homogéneo x0 (t) = A(t)x(t). De hecho, mostraremos que esto es siempre posible cuando la matriz de coeficientes es constante y posteriormente nos preocuparemos de generalizar las técnicas de este caso a situaciones en las que la matriz de coeficientes tiene como componentes funciones no constantes. Consideremos por tanto A ∈ Mm (R) una matriz de orden m y el correspondiente sistema homogéneo de coeficientes constantes x0 (t) = Ax(t). Nuestra intención es obtener métodos de cálculo de una matriz fundamental de dicho sistema y para ello serán de utilidad las herramientas provenientes del Álgebra Lineal. Supongamos primero que la matriz A es diagonalizable, es decir que existen dos matrices P, D ∈ Mm (R) con P no singular y D diagonal tales que A = P DP −1 . Entonces x es solución del sistema x0 (t) = Ax(t) si y sólo si satisface que x0 (t) = P DP −1 x(t), es decir si y sólo si P −1 x0 (t) = DP −1 x(t). Si ahora consideramos y : R −→ Rm definida como y(t) = P −1 x(t) para cada t ∈ R, es claro que y ∈ C 1 (R) y que x es solución del sistema x0 (t) = Ax(t) si y sólo si y 0 (t) = Dy(t), que es un sistema totalmente desacoplado de m ecuaciones lineales λ1 ... escalares de primer orden cuya solución es inmediata: Si D = , entonces λm ¡ tλ ¢T tλ y(t) = c1 e 1 , . . . , cm e m , lo que implica que 85 86 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Métodos de solución de Sistemas Lineales x(t) = P y(t) = P etλ1 c1 .. . , cm .. . e tλm c1 , . . . , cm ∈ R. Así pues, si la matriz A es diagonalizable y P, D ∈ Mm (R) con P no singular y D diagonal son tales que A = P DP −1 , entonces una matriz fundamental del sistema lineal x0 (t) = Ax(t) está dada por etλ1 λ1 .. .. Φ(t) = P . , donde D = . . tλ1 e λm (4.1) De los resultados básicos del Álgebra Lineal, conocemos que no toda matriz de orden m es diagonalizable, pues la condición necesaria y suficiente para que esto ocurra es que todas las raíces del polinomio característico de A sean reales y además ¶ µ sus multiplicidades 1 0 , que tiene a algebraica y geométrica coincidan. Por ejemplo esto no ocurre si A = 1 1 λ = 1 como raíz doble de su polinomio característico con multiplicidad geométrica igual a 1, de hecho el espacio de autovectores asociado es el generado por el segundo vector de la base canónica de R2 . No obstante, el cálculo explícito de una matriz fundamental puede aún realizarse por métodos elementales, que involucran sólo resolver ecuaciones lineales escalares de primer orden, cuando la matriz de coeficientes triangula, es decir, existen P, T ∈ Mm (R) con P no singular y T triangular tales que A = P T P −1 . Nuevamente, x es solución del sistema x0 (t) = Ax(t) si y sólo si y : R −→ Rm definida como y(t) = P −1 x(t) para cada t ∈ R, satisface que y 0 (t) = T y(t) y este sistema puede ser resuelto fácilmente de forma progresiva si T es triangular inferior ¡ ¢ o regresiva si T es triangular superior. De hecho, siempre podemos suponer que T = tij es triangular inferior, es decir tij = 0 cuando 1 ≤ i < j ≤ m, pues el paso de una triangular inferior a una superior supone simplemente una permutación de las columnas de P . En este caso, si para cada j = 1, . . . , m, λj = tjj , tenemos que y10 (t) = λ1 y1 (t) y yj0 (t) = λj yj (t) + tjj−1 yj−1 (t) + · · · + tj1 y1 (t), j = 2, . . . , m. Es claro que y1 (t) = etλj c1 , c1 ∈ R y supuestas conocidas las funciones y1 , . . . , yj−1 la función yj se obtiene resolviendo la EDO lineal de primer orden no homogénea, c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Introducción 87 yj0 (t) = λj yj (t) + fj (t), donde fj (t) = tjj−1 yj−1 (t) + · · · + tj1 y1 (t), t ∈ R. Así pues, teniendo en cuenta el método de variación de las constantes, resulta que si la matriz A es triangulable y P, T ∈ Mm (R) con P no singular y T triangular inferior son tales que A = P T P −1 , entonces una matriz fundamental del sistema lineal x0 (t) = Ax(t) está dada por etλ1 h21 (t) etλ2 Φ(t) = P , .. . . . . tλm hm1 (t) ··· e (4.2) donde las funciones hij deben calcularse de forma progresiva. La identidad anterior tiene como limitación el que no es posible disponer a priori de una expresión general para las funciones hij involucradas, que sólo pueden ser obtenidas una vez calculadas hrj con r < i, aunque en cada caso concreto el método determina una matriz fundamental. Una limitación más importante la constituye el hecho de que como sabemos de la teoría básica del Álgebra Lineal, no toda matriz cuadrada es triangulable, pues la condición necesaria y suficiente para que esto seaµposible es ¶ que las raíces del polinomio característico 1 1 , entonces A no es triangulable puesto que de A sean reales. Por ejemplo, si A = −1 1 las raíces de su polinomio característico son 1 ± i. Acabamos de comprobar que existe una estrecha relación entre propiedades algebraicas de la matriz de coeficientes A y las soluciones del sistema lineal x0 (t) = Ax(t). Profundizaremos un poco más en este tipo de propiedades. Supongamos que λ ∈ R es un autovalor de A y que v ∈ Rm es un autovector correspondiente a λ. Si consideramos la función x(t) = et λ v, resulta que x0 (t) = λ et λ v = et λ λ v = et λ Av = Ax(t), es decir, x(t) es solución del sistema. Más generalmente, tenemos que Si λ1 , . . . , λk ∈ R son autovalores de A y v1 , . . . , vk ∈ Rm son autovectores correspondientes a ellos y linealmente independientes, entonces las funciones x1 (t) = etλ1 v1 , . . . , xk (t) = etλk vk son soluciones linealmente independientes de ª © ª © x0 (t) = Ax(t) ya que x1 (0), . . . , xk (0) = v1 , . . . , vk . c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 88 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Métodos de solución de Sistemas Lineales En el resultado anterior no importa que algunos autovalores sean iguales. En particular podría ocurrir que λ1 = · · · = λk ya que lo importante es la independencia lineal de los autovectores. Si tenemos en cuenta que una matriz de orden m diagonaliza si y sólo si existe una base de Rm formada por autovectores, el resultado (4.1) no es más que aplicar el razonamiento anterior, ya que las columnas de P son precisamente las componentes de los autovectores correspondientes a λ1 , . . . , λn . Supongamos ahora que λ = a + i b con a, b ∈ R y b 6= 0 es un autovalor complejo de A y consideremos u = v + i w con v, w ∈ Rm un autovector complejo correspondiente. Entonces v y w son linealmente independientes y además se satisface que ½ Au = λu, es decir A(v + iw) = (a + ib)(v + iw), lo que implica que Av = av − bw, Aw = bv + aw. Si siguiéramos los pasos efectuados cuando λ ∈ R, la función z(t) = et λ u debería ser solución compleja del sistema x0 (t) = Ax(t). Vamos a comprobar que en esencia esto es así. Para ello tendremos en cuenta la definición de exponencial para números complejos si z = a + ib con a, b ∈ R, entonces ez = ea+ib = ea (cosb + i sen b), (4.3) lo que implica que ¡ ¢ ¡ ¢ z(t) = et λ u = eta+itb (v +iw) = eat cos(bt) v − sen(bt) w +i eat cos(bt) w +sen(bt) v . La anterior expresión motiva que consideremos las funciones x, y : I −→ Rm definidas como " # x(t) " ¡ " # ¢# eat cos(bt) v − sen(bt) w cos(bt) sen(bt) = at ¡ ¢ = eaj t [v, w] y(t) − sen(bt) cos(bt) e cos(bt) w + sen(bt) v donde [v, w] ∈ Mm,2 (R) es la matriz cuyas columnas son las componentes de los vectores v y w. Resulta entonces que ¡ ¢ x0 (t) = eat acos(bt) v − a sen(bt) w − b sen(bt) v − bcos(bt) w ³ ´ ³ ´ = eat cos(bt) [av − bw] − sen(bt) [bv + aw] = eat cos(bt) Av − sen(bt) Aw = Ax(t) ¡ ¢ y 0 (t) = eat acos(bt) w + a sen(bt) v − b sen(bt) w + bcos(bt) v ³ ´ ³ ´ = eat cos(bt) [aw + bv] + sen(bt) [av − bw] = eat cos(bt) Aw + sen(bt) Av = Ay(t) c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Introducción 89 es decir x e y son soluciones del sistema y además linealmente independientes puesto que x(0) = v e y(0) = w. Más generalmente tenemos el siguiente resultado: Sean λ1 , . . . , λr ∈ R autovalores de A ∈ Mm (R) y u1 , . . . , ur ∈ Rm autovectores correspondientes y linealmente independientes. Sean también a1 + ib1 , . . . , as + ibs con b1 , . . . , bs 6= 0 autovalores de A y v1 + iw1 , . . . , vs + iws autovectores correspondientes y linealmente independientes. Entonces las funciones zk (t) = etλk uk , k = 1, . . . , r · ¸ · ¸ xj (t) cos(bj t) sen(bj t) = eaj t [vj , wj ] , j = 1, . . . , s yj (t) − sen(bj t) cos(bj t) (4.4) son soluciones linealmente independientes de x0 (t) = Ax(t) En particular, Si A ∈ Mm (R) diagonaliza en C y λ1 , . . . , λm ∈ R y a1 ± ib1 , . . . , as ± ibs ∈ C, con b1 , . . . , bs 6= 0, son los autovalores y u1 , . . . , ur ∈ Rm y v1 ± iw1 , . . . , vs ± iws ∈ Cm los autovectores correspondientes, entonces el sistema {u1 , . . . , ur , v1 , w1 , . . . , vs , ws } es base de Rm . Si consideramos P = [u1 , . . . , ur , v1 , w1 , . . . , vs , ws ] ∈ Mm (R), entonces una matriz fundamental del sistema x0 (t) = Ax(t) es Φ(t) = P eλ1 t .. , . λm t e ea1 t E1 (t) ... (4.5) eas t Es (t) · donde Ej (t) = cos(bj t) sen(bj t) − sen(bj t) cos(bj t) ¸ En definitiva, si la matriz A diagonaliza, tanto si tiene todos sus autovalores reales como si los tiene complejos, entonces la fórmula (4.5) determina una matriz fundamental que se expresa en términos de la parte real y de la parte imaginaria de los autovalores y asimismo de la parte real e imaginaria de los autovectores. Si la matriz no diagonaliza, pero tiene todos sus autovalores reales, es decir si triangula como mariz de coeficientes reales, entonces (4.2) describe un método para encontrar una matriz fundamental. Es importante remarcar que (4.2) no determina explícitamente la expresión de tal matriz fundamental sino que sólo describe un procedimiento para determinarla. De hecho, debemos encontrar una base donde la matriz c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 90 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Métodos de solución de Sistemas Lineales triangula y depués resolver progresiva o regresivamente ecuaciones escalares de primer orden. En la práctica, incluso para matrices de tamaño relativamente pequeño ambos procesos involucran un esfuerzo de cálculo considerable. Por otra parte, si la matriz tiene autovalores complejos para los cuales no diagonaliza, cano recemos de métodos para determinar matrices fundamentales. En definitiva, salvo cuando la matriz A diagonalice, no tenemos métodos elementales para determinar fácilmente matrices fundamentales del sistema x0 (t) = Ax(t) y por tanto, deberemos recurrir a resultados más profundos. Concretamente, utilizaremos una combinación de técnicas analíticas con otras provenientes del Álgebra Lineal, referentes al tratamiento de matrices de coeficientes reales. 4.2. La exponencial de una matriz La estrategia que seguiremos para resolver los sistemas con matriz de coeficientes constante, será similar a la que hicimos valer en el tratamiento de la teoría general y que no es otra que reproducir, en la medida de lo posible, las técnicas y resultados del caso escalar, es decir del caso m = 1. Como en esta situación las matrices se identifican con escalares, las técnicas referidas no deben involucrar, de momento, ningún recurso del Álgebra Lineal. En esta situación, A ∈ R y además sabemos que todas las soluciones de la EDO están dadas por la expresión x(t) = eAt c con c ∈ R, o de forma equivalente la función Φ(t) = eAt es una matriz fundamental y de hecho la única tal que Φ(0) = 1. Más aún la función de Green de la EDO es G(t, s) = eA(t−s) . Utilizando ahora la definición de la función exponencial, o si se prefiere, su desarrollo en serie de potencias en torno al origen, resulta que e tA k ∞ X tn n X tn n t2 2 tn n = 1 + tA + A + · · · + A + · · · = lı́m A = A k→∞ 2 n! n! n! n=0 n=0 y por tanto, la anterior matriz fundamental para la EDO se expresa como Φ(t) = ∞ X tn n=0 n! An , (4.6) Las propiedades de derivación de las series de potencias determinan que la derivada de una función que se expresa de este modo es la serie de potencias obtenida derivando la serie original término. Por tanto, c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° La exponencial de una matriz 0 Φ (t) = ∞ µ n X t n=0 91 ¶0 n n! A = ∞ X n=1 ∞ X tn−1 tn n n A =A A = AΦ(t), t ∈ R. (n − 1)! n! n=0 Así pues, la justificación de que Φ(t) = eAt sea una matriz fundamental de la EDO x0 (t) = Ax(t) cuando A ∈ R descansa en el hecho de que la derivada de etA es igual a AetA , propiedad que es consecuencia de la definición de la función etA como suma de la serie de ∞ k X X tn n tn n potencias A , es decir como límite de la sucesión de sumas parciales lı́m A . k→∞ n! n! n=0 n=0 A la vista de las expresiones anteriores parece natural preguntarse si dichos desarrollos tendrán vigencia en el caso general m > 1 o, en otras palabras, si podemos sustituir en las anteriores identidades el escalar A por una matriz de orden m. La respuesta es afirmativa, pero antes de formularla de manera rigurosa, es conveniente hacer algunas precisiones y definiciones: Si i, j = 1, . . . , m consideramos la sucesión reales © para ªcada ¡ de números ¢ ∞ aij (n) n=0 y para cada n ∈ N la matriz An = aij (n) , la notación ¡ ¢ lı́m An = A donde A = aij ∈ Mm (R) expresa el hecho de que para cada n→∞ i, j = 1, . . . , m, la sucesión aij (n) converge hacia aij , o de forma equivalente que para cada j = 1, . . . , n la sucesión formada por las columnas j-ésimas converge hacia la columna j-ésima de A. (4.7) Observar que en las condiciones anteriores lı́m An = A si y sólo si para cada v ∈ Rm la n→∞ sucesión de vectores An v converje hacia el vector Av. Más generalmente, se satisface que si {An }∞ n=1 es una sucesión de matrices de orden m tal que An → A, entonces, para cada k ∈ N∗ , cada B ∈ Mk×m (R) y cada C ∈ Mm×k (R) se satisface que BAn → BA y que An C → AC. Supongamos que A = (aij ) ∈ Mm (R) y consideremos v = (v1 , . . . , vm )T ∈ Rm , w = Av y m P w = (w1 , . . . , wm )T . Entonces, para cada i = 1, . . . , m tenemos que wi = aij vj y aplicando j=1 la Desigualdad de Schwarz, resulta que v v v u m uX uX u m 2 u m 2 uX 2 t t aij vj = ||v|| t aij , |wi | ≤ j=1 j=1 j=1 c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 92 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Métodos de solución de Sistemas Lineales donde || · || es la norma euclídea en Rm . De la desigualdad anterior concluimos que 2 ||w|| = m X wi2 ≤ ||v|| i=1 2 m X a2ij , i,j=1 de manera que si definimos v uX u m 2 ||A|| = t aij (4.8) i,j=1 entonces ||Av|| ≤ ||A|| ||v||, para cada v ∈ Rm , (4.9) que implica que ||A2 v|| ≤ ||A|| ||Av|| ≤ ||A||2 ||v|| y más generalmente que ||Ak v|| ≤ ||A||k ||v||, para cada k ∈ N∗ . Si A ∈ Mm (R), A0 se define como la matriz identidad I. Además, si k ∈ N∗ la expresión k 1 2 1 k X 1 n Sk = I +A+ A +· · ·+ A = A determina una matriz de orden m. Si consideramos 2 k! n! n=0 ahora v ∈ Rm , resulta que si j ≤ k, aplicando la desigualdad triangular de la norma euclídea, es decir que ||v1 + · · · + vk || ≤ ||v1 || + · · · ||vk ||, para cada v1 , . . . , vk ∈ Rm , ¯¯Ã ! ¯¯ à k ! k k k ¯¯ X X X 1 1 1 n ¯¯¯¯ X 1 ¯¯ A v¯¯ ≤ ||An v|| ≤ ||A||n ||v|| = ||A||n ||v|| ¯¯ ¯¯ ¯¯ n! n! n! n! n=j n=j n=j Como la serie de números positivos ∞ X ||A||n j=0 n! n=j es convergente, de hecho su suma es igual a e||A|| , su sucesión de sumas parciales es de Cauchy, lo que teniendo à k en cuanta ! la última deX 1 An v es de Cauchy sigualdad, implica que para cada v ∈ Rm la sucesión de vectores n! n=0 k X 1 n A converge a en R y por tanto convergente, lo que prueba que la sucesión de matrices n! n=0 ∞ X 1 n una matriz de orden m que denotaremos por A . Los razonamientos anteriores motivan n! n=0 la siguiente definición: m c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° La exponencial de una matriz 93 Exponencial de una matriz ∞ X 1 n A . n! n=0 Si A ∈ Mm (R), se denomina exponencial de A a la matriz eA = En particular, si A = 0, entonces eA = I. Por otra parte, para cada t ∈ R, tiene sentido la ∞ X tn n tA matriz e = A . Como cada componente de etA es una serie de potencias, es derivable n! n=0 y la derivada se obtiene derivando la serie término a término. Esta propiedad implica que ¡ ∞ ³ n ∞ ∞ X X ¢ t n ´0 X tn−1 tn−1 tA 0 n e = A = A =A An−1 = n! (n − 1)! (n − 1)! n=0 n=1 n=1 Ã∞ X n−1 ! t An−1 A (n − 1)! n=1 ¡ ¢0 y por tanto que etA = AetA = etA A. Los razonamientos anteriores muestran que Si A ∈ Mm (R), entonces la aplicación matricial Φ : R −→ Mm (R) definida como Φ(t) = etA para cada t ∈ R, es una matriz fundamental del sistema x0 (t) = Ax(t) y de hecho la única matriz fundamental tal que Φ(0) = I. En particular, aplicando la fórmula de Abel-Liouville, det etA = et trA , para cada t ∈ R. Observar que (4.10) significa que la aplicación matricial Φ(t) = ∞ X tn (4.10) An satisface que n! Φ (t) = AΦ(t) para cada t ∈ R y que además Φ(0) = I, con lo que recuperamos la situación (4.6) del caso escalar, donde m = 1 y A ∈ R, de manera que la definición de exponencial de una matriz aparece como una generalización de la de exponencial de un número real y tiene las mismas propiedades en cuanto a su derivación. No obstante, no todas las propiedades de la exponencial de números reales tienen su análogo en la caso matricial. La diferencia básica entre la exponencial de una matriz y la exponencial de un número real consiste en que si bien ea+b = ea eb = eb ea para cada a, b ∈ R, en general no se verifica que si A, B ∈ Mm (R) entonces eA+B = eA eB , como muestra el siguiente ejemplo: µ ¶ µ ¶ 0 0 0 a Sea a 6= 0 y consideramos las matrices A = yB= . a 0 0 0 n=0 0 Entonces An = B n = 0 para n ≥ 2, lo que implica que µ A e =I +A= 1 0 a 1 ¶ µ y B e =I +B = 1 a 0 1 ¶ . c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 94 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Métodos de solución de Sistemas Lineales µ Por otra parte, A + B = µ 2n (A + B) 2n =a 0 a a 0 1 0 0 1 ¶ µ =a 0 1 1 0 ¶ , lo que implica que para cada n ∈ N∗ , µ ¶ y (A + B) 2n−1 =a 2n−1 0 1 1 0 ¶ y por tanto que e A+B ∞ X 1 = (A + B)n = n! n=0 ∞ X a2n (2n)! n=0 ∞ X a2n−1 n=1 (2n − 1)! ∞ X a2n−1 (2n − 1)! n=1 ∞ X a2n n=0 ¶ µ ch a sh a . = sh a ch a (2n)! Ahora es claro que como a 6= 0, tenemos que ch a > 1 y por tanto µ eA+B = ch a sh a sh a ch a ¶ µ 6= eA eB = 1 a a 1 + a2 ¶ µ 6= eB eA = 1 + a2 a a 1 ¶ . La razón de que la exponencial de una suma de números reales coincida con el producto de las correspondientes exponenciales y que esta propiedad no sea válida para matrices de orden superior a 1 radica en el hecho de que dos números reales siempre conmutan mientras que esta propiedad no es cierta para dos matrices de orden mayor que 1. Supongamos ahora que A, B ∈ Mm (R), satisfacen que AB = BA. Entonces, para cada k ∈ N∗ tenemos que # " k # " k # " k # " k X 1 X 1 X 1 X 1 Ak = BAk = Ak B = Ak B, B n! n! n! n! n=0 n=0 n=0 n=0 y tomando límites cuando k → ∞, resulta que BeA = eA B. Por tanto, si consideremos ahora la aplicación matricial Φ(t) = etA etB , entonces ¡ ¡ ¢0 Φ0 (t) = etA etB + etA etB )0 = AetA etB + etA BetB = (A + B)etA etB = (A + B)Φ(t) c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° La exponencial de una matriz 95 es decir Φ es fundamental para el sistema x0 (t) = (A + B)x(t). Como además Φ(0) = I, resulta que Φ es la única matriz fundamental del sistema x0 (t) = (A + B)x(t) cuyo valor en t = 0 es la matriz identidad, lo que implica que Φ(t) = et(A+B) . Recíprocamente, si et(A+B) = etA etB , para cada t ∈ R, entonces, derivando a ambos lados de la identidad obtenemos que (A + B)et(A+B) = AetA etB + etA BetB , para cada t ∈ R, y derivando nuevamente a ambos lados de la igualdad, (A + B)2 et(A+B) = A2 etA etB + 2AetA BetB + etA B 2 etB , para cada t ∈ R. Si ahora tomamos t = 0 en la identidad anterior, obtenemos que (A+B)2 = A2 +2AB+B 2 y como (A + B)2 = A2 + AB + BA + B 2 , resulta finalmente que AB = BA. Finalmente, aplicando la fórmula de Abel-Liouville a t = 1, obtenemos que para cada A ∈ Mm (R), det eA = etr A , lo que en particular implica que eA es una matriz invertible. Más aún, como conmutan y e0 = I, tenemos que I = e0 = eA−A = eA e−A y por ¡ A ¢−1A y −A tanto que e = e−A . En definitiva, la exponencial de una matriz verifica las siguientes propiedades, que son la generalización de las correspondientes a la exponencial de números reales: i) Si A ∈ Mm (R), entonces Φ(t) = etA satisface que Φ0 (t) = AΦ(t), para cada t ∈ R y además que Φ(0) = e0 = I. ii) Si A, B ∈ Mm (R) son tales que AB = BA, entonces BeA = eA B y además eA+B = eA eB = eB eA . iii) Si A, B ∈ Mm (R), entonces AB = BA si y sólo si et(A+B) = etA etB , para cada t ∈ R. (4.11) iv) Si A ∈ Mm (R), entonces AeA = eA A y det eA = etr A . ¡ ¢−1 = e−A . v) Si A ∈ Mm (R), entonces eA Teniendo en cuenta que la propiedad (i) anterior establece que para cada A ∈ Mm (R) la aplicación matricial Φ(t) = etA es fundamental para el sistema x0 (t) = Ax(t), obtenemos la siguiente reformulación de la Fórmula de Langrange-Green para el caso de sistemas con coeficientes constantes: c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 96 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Métodos de solución de Sistemas Lineales Fórmula de Lagrange-Green para coeficientes constantes Fijados m ∈ N∗ y A ∈ Mm (R) entonces la aplicación matricial G : R × R −→ Mm (R) definida como G(t, s) = e(t−s)A es la función de Green del sistema x0 (t) = A(t)x(t). Por tanto, para cada intervalo no trivial I ⊂ R, cada función continua f : I −→ Rm , cada t0 ∈ I y cada x0 ∈ Rm la función Z t (t−t0 )A x(t) = e x0 + e(t−s)A f (s) ds, t ∈ I, t0 es la única solución global del problema de valores iniciales x0 (t) = A(t)x(t) + f (t), x(t0 ) = x0 . Como vemos, anterior Fórmula de Langrange-Green permite concluir que la función de Green de sistemas lineales con coeficientes constantes depende exclusivamente de la diferencia entre sus argumentos. Como veremos a continuación esta propiedad caracteriza a los sistemas lineales con coeficientes constantes. Para comenzar, es fácil comprobar que si x ∈ C 1 (R) es una solución del sistema con coeficientes constantes x0 (t) = Ax(t), entonces para cada s ∈ R la función y : R −→ Rm definida como y(t) = x(t − s) satisface que y 0 (t) = x0 (t − s) = Ax(t − s) = Ay(t) de manera que es también solución del sistema. Por tanto, si A ∈ Mm (R) y Φ : R −→ Mm (R) es matriz fundamental del sistema x0 (t) = Ax(t), entonces para cada s ∈ R, Ψ : R −→ Mm (R) definida como Ψ(t) = Φ(t − s) es también fundamental. En particular, si Φ es la única matriz fundamental tal que Φ(0) = I, entonces Φ(t − s) es la única matriz fundamental cuyo valor en s coincide con I, es decir G(t, s) = Φ(t − s). Recíprocamente, sea A : R −→ Mm (R) continua y supongamos que la función de Green del sistema lineal de primer orden x0 (t) = A(t)x(t) satisface que G(t, s) = Φ(t − s) para cada t, s ∈ R. Entonces, tomando s = 0, obtenemos que Φ(t) = G(t, 0) y por tanto, Φ es la única matriz fundamental del sistema anterior tal que Φ(0) = G(0, 0) = I, lo que en particular implica que Φ0 (t) = A(t)Φ(t) para cada t ∈ R. En consecuencia, para cada s ∈ R fijado, Φ0 (t − s) = A(t − s)Φ(t − s), para cada t ∈ R. Por otra parte, como fijado s ∈ R la aplicación matricial Ψ(t) = G(t, s) es la única matriz fundamental tal que Ψ(s) = I, tenemos que Ψ0 (t) = A(t)Ψ(t) y como la hipótesis inicial establece que Ψ(t) = Φ(t − s), obtenemos que Φ0 (t − s) = A(t)Φ(t − s). En conclusión para cada s ∈ R fijado tenemos que A(t)Φ(t − s) = A(t − s)Φ(t − s), es decir A(t) = A(t − s) ya que Φ(t − s) es invertible. Por tanto, dado t ∈ R, si tomamos s = t, la identidad anterior implica que A(t) = A(0) de forma que la aplicación matricial A es constante. Naturalmente en esta situación se satisface que G(t, s) = e(t−s)A . En definitiva, en esta sección hemos caracterizado los sistemas lineales de primer orden con matriz de coeficientes constante y además hemos expresado la solución de cada problema c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° La exponencial de una matriz 97 de valores iniciales, o equivalentemente la función de Green del sistema, en términos de la aplicación exponencial, obteniendo así una expresión análoga a la conseguida en el primer tema para el caso escalar. No obstante, el problema de determinar explícitamente la solución de cada problema de valores iniciales, o si se prefiere la función de Green del sistema, aún no ha sido resuelto ya que determinar explícitamente la solución de un problema de valores iniciales significa expresar cada una de sus componentes, que son funciones reales de variable real, en términos de funciones elementales de variable real. El problema de determinar la expresión de las soluciones de un sistema lineal con coeficientes constantes queda reducido al cálculo de exponenciales de matrices, concretamente si A es la matriz de coeficientes a las exponenciales de las matrices tA con t ∈ R. Ahora bien, el cálculo de este tipo de matrices requiere la evaluación de las potencias sucesivas de la matriz A y posteriormente la suma de todas ellas multiplicadas en cada caso por un factor tk de la forma . k! Para tener una idea de la complicación que puedeµsuponer¶el realizar todas estas opera1 0 ciones, es suficiente intentar calcular etA donde A = . Primeramente, observamos µ ¶ µ ¶3 2 1 0 1 0 que A2 = , A3 = , de manera que podemos proponer 3(1 + 2) 22 3(1 + 2 + 22 ) 23 que 1 0 P n k . Ak = k−1 (4.12) 2 2 3 n=0 Claramente la anterior expresión es cierta para k = 1, y también para k = 2. Supuesta cierta para k, calculemos Ak+1 : Ak+1 = 3 1 k−1 P 0 2n 2k µ 1 0 3 2 ¶ = 1 32k + 3 n=0 0 k−1 P 2n 2k+1 = n=0 En definitiva, la fórmula (4.12) es correcta. Además, como 3 1 k P 0 2n 2k+1 . n=0 k P 2n = 2k+1 − 1, para cada n=0 k ∈ N, resulta que µ k A = 1 0 k 3(2 − 1) 2k ¶ , para cada k ∈ N. (4.13) c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 98 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Métodos de solución de Sistemas Lineales Por tanto, tA e = ∞ P ∞ n X n=0 tn n! t n n=0 A = P ∞ n ∞ P n! t n 3 (2 − 1) n! n=0 n=0 0 tn n! 2n = µ ¶ et 0 2t t 3(e − e ) e2t . (4.14) Observar que en este caso A es triangular y por tanto, el sistema x0 (t) = Ax(t) puede resolverse directamente sin apelar a la construcción de etA . Si denotamos por x1 y x2 a las componentes de la solución, obtenemos que x01 (t) = x(t) y que x02 (t) = 3x1 (t) + 2x2 (t) y por tanto que x1 (t) = et c1 y x02 (t) = 2x2 (t) + 3et c1 , con c1 ∈ R. Utilizando la fórmula de variación de las constantes, resulta que Z 2t t 2t x2 (t) = e c2 + 3c1 e e−2s es ds = e2t c2 − 3et c1 , donde c1 , c2 ∈ R, 0 que, expresado en términos matriciales, se reescribe como µ x1 (t) x2 (t) ¶ µ = et 0 t −3e e2t ¶µ c1 c2 ¶ , donde c1 , c2 ∈ R. (4.15) µ ¶ et 0 La anterior identidad implica que Φ(t) = es matriz fundamental del sist 2t µ ¶ −3e e µ ¶ 1 0 1 0 0 −1 tema x (t) = Ax(t). Como Φ(0) = , Φ (0) = , lo que implica que −3 1 3 1 µ −1 Φ(t)Φ (0) = et 0 t −3e e2t ¶µ 1 0 3 1 ¶ µ = et 0 2t t 3(e − e ) e2t ¶ , (4.16) es la única matriz fundamental cuyo valor en t = 0 coincide con I, es decir etA . En el ejemplo analizado queda patente que es más complicado determinar directamente la aplicación etA que indirectamente a partir de la obtención de todas las soluciones del sistema x0 (t) = Ax(t). Por tanto, aparentemente es más competitivo el uso de métodos ad hoc para resolver un sistema lineal de primer orden con matriz de coeficientes constante que el cálculo de la exponencial de dicha matriz, que sabemos proporciona siempre la función de c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° La exponencial de una matriz 99 Green del sistema. Si la lectora o el lector aún no estuviera convencida/o de la veracidad de la anterior afirmación, seráµentonces ¶ instructivo que se plantee la solución del sistema lineal a b x0 (t) = Ax(t), donde A = , con a, b, c ∈ R. Observar que en este caso la matriz A b c diagonaliza, puesto que es simétrica, de manera podemos encontrar fácilmente una matriz fundamental en la forma (4.1), mientras que la obtención de etA resulta extremadamente intrincada, excepto en el caso particular a = c en el que probablemente el cálculo de la exponencial sea más sencillo que diagonalizar la matriz. ¿Por qué? 4.2.1. Las Fórmulas de Rodrigues La primera dificultad en el cálculo explícito de la exponencial de una matriz aparece en la dificultad de obtener una expresión de las potencias sucesivas de la matriz. No obstante, para solventar esta dificultad aún podríamos apoyarnos en resultados concoidos del álgebra lineal. Concretamente, si A ∈ Mm (R) y p(x) = xm + am−1 xm−1 + · · · + a0 es su polinomio característico, el Teorema de Cayley-Hamilton establece la identidad matricial p(A) = 0, es decir que Am = −am−1 Am−1 − · · · − a0 I, lo que implica que todas las potencias An con n ≥ m pueden obtenerse de manera recurrente a partir del conocimiento de las potencias An con n ≤ m − 1. En la práctica este resultado sigue siendo ineficaz excepto en ejemplos muy concretos que incluyen los casos m = 2, 3 cuando A = −AT , que serán los que analizaremos a continuación. ¸ · 0 a con a ∈ R, cuyo polinomio característico es Supongamos pues que A = −a 0 p(x) = x2 + a2 , lo que según el Teorema de Cayley-Hamilton implica que A2 = −a2 I. Esta igualdad implica a su vez que A3 = −a2 A y finalmente que A4 = −a2 A2 = a4 I. Procediendo por inducción, obtenemos fácilmente que para cada n ∈ N se verifica que · 2n A n = (−1) I y que A 2n+1 n 2n n 2n+1 = (−1) a A = (−1) a K, donde K = ¸ 0 1 . −1 0 Por tanto, la exponencial de A se calcula fácilmente a partir de las igualdades c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 100 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Métodos de solución de Sistemas Lineales ∞ ∞ ∞ X 1 n X 1 2n X 1 A = A + A2n+1 e = n! 2n! (2n + 1)! n=0 n=0 n=0 A ∞ X 2n na ∞ X a2n+1 =I (−1) +K (−1) = (cosa)I + (sen a)K = 2n! (2n + 1)! n=0 n=0 · n cosa sen a − sen a cosa ¸ . Aplicando este resultado a las matrices tA cuando t ∈ R, obtenemos Fórmula de Rodrigues · Dados a ∈ R y A = ¸ · ¸ 0 a cos(at) sen(at) tA , entonces e = , para cada t ∈ R. −a 0 − sen(at) cos(at) 0 a b 0 c con a, b, c ∈ R, cuyo polinomio característico Supongamos ahora que A = −a −b −c 0 √ 3 2 es p(x) = −x − θ x, donde θ = a2 + b2 + c2 . El Teorema de Cayley-Hamilton implica que A3 = −θ2 A, igualdad que implica a su vez que A4 = −θ2 A2 . Procediendo por inducción, obtenemos fácilmente que para cada n ∈ N se verifica que A2n = (−1)n−1 θ2(n−1) A2 , si n ≥ 1 y A2n+1 = (−1)n θ2n A si n ≥ 0. Podemos suponer que θ > 0, pues si θ = 0, entonces a = b = c = 0 y por tanto A = 0, lo que implica que eA = I. Así pues, si θ > 0, la exponencial de A se calcula fácilmente a partir de las igualdades ∞ ∞ ∞ X 1 n X 1 2n X 1 e =I+ A = A + A2n+1 n! 2n! (2n + 1)! n=1 n=0 n=0 A ∞ ∞ 2n 1 X sen θ (1 − cosθ) 2 1 2X θ2n+1 nθ + A (−1)n =I+ A+ A. =I− 2A (−1) θ 2n! θ n=0 (2n + 1)! θ θ2 n=1 Aplicando este resultado a las matrices tA cuando t ∈ R, obtenemos la versión más conocida del resultado que perseguimos en esta sección: c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Cálculo de la exponencial de una matriz 101 Fórmula de Rodrigues 0 a b 0 c , entonces Dados a, b, c ∈ R, θ = a2 + b2 + c2 y A = −a −b −c 0 ¡ ¢ 1 − cos(θt) 2 sen(θt) tA e =I+ A para cada t ∈ R. A+ θ θ2 √ 4.3. Cálculo de la exponencial de una matriz En los ejemplos considerados en la sección anterior, la dificultad para obtener directamente la exponencial de una matriz reside fundamentalmente en la falta de una expresión sencilla para las potencias sucesivas de tal matriz, aunque naturalmente esto depende de cada matriz considerada. Es obvio que cuantas más componentes nulas tenga una matriz tanto más sencillo será el cálculo de sus potencias sucesivas. El caso más extremo es el de una casi inmediata. De hecho, si cálculo de manera matriz diagonal, que permite este n λ1 λ1 . .. n .. A= , entonces A = , para cada n ∈ N y por tanto, . n λm λm etA P ∞ (tλ1 )n n=0 n! = ... ∞ P n=0 (tλm )n n! etλ1 ... = . tλ1 e Observar que en este caso, el cálculo de la exponencial es inmediato, pero que también era inmediato resolver el sistema directamente, tal y como se efectuó en la Introducción de este tema. Allí comprobamos también cuando la matriz de coeficientes del sistema no es diagonal pero es diagonalizable, el sistema es equivalente a otro con matriz de coeficientes diagonal y por tanto resolubre de manera inmediata. Comprobaremos a continuación que en este caso el cálculo de la exponencial es también inmediato. Para ello nos basaremos en la siguiente propiedad de comprobación inmediata: Si P ∈ Mm (R) £ es no¤nsingular, entonces para cada A ∈ Mm (R) se tiene que P AP −1 = P An P −1 , para cada n ∈ N, c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 102 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Métodos de solución de Sistemas Lineales Por tanto, para cada k ∈ N y cada t ∈ R k X tn n=0 definitiva etP M P −1 n! (P M P k £X tn n ¤ −1 ) = P M P y en n! n=0 −1 n = P etM P −1 , para cada t ∈ R. (4.17) Si suponemos ahora que la matriz A diagonaliza, es decir existen P, D ∈ Mm (R) con P λ1 .. no singular, D = y tales que A = P DP −1 , la identidad (4.17) anterior . λm permite concluir que Si A ∈ Mm (R) diagonaliza y P, D ∈ Mm (R) son tales que P es invertible, D diagonal y A = P DP −1 , entonces para cada t ∈ R se tiene que etλ1 λ1 −1 −1 .. .. etA = etP DP = P P , donde D = , . . tλm e λm (4.18) resultado que coincide básicamente con la identidad (4.1), teniendo en cuenta que como Φ(0) = P , etA = Φ(t)Φ−1 (0). ¶ µ 1 0 es la matriz considerada en el ejemplo de la sección En particular si A = 3 2 anterior, A tiene a λ1 = 1 y λ2 = 2 como autovalores, de¶manera que A diagonaliza en µ ¶ una µ 1 0 1 0 , entonces P −1 = y si base de autovectores. Concretamente, si P = 3 1 −3 1 µ ¶ 1 0 definimos D = , resulta que A = P DP −1 . Teniendo en cuenta la identidad (4.18), 0 2 resulta que µ tA e tD = Pe P −1 = 1 0 −3 1 ¶µ et 0 0 e2t ¶µ 1 0 3 1 ¶ µ = et 0 2t t 3(e − e ) e2t ¶ . Naturalmente, el resultado (4.18) no puede aplicarse a una matriz arbitraria A ∈ Mm (R) con m > 1, pues es bien conocido que no toda matriz es diagonalizable. Sin embargo si admite una generalización en el siguiente sentido: c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Cálculo de la exponencial de una matriz 103 Si A ∈ Mm (R) diagonaliza por bloques, es decir existen P ∈ Mm (R) y matrices Aj ∈ Mmj (R), 1 ≤ m . , r con m = m1 + · · · + mr , tales que P j ≤ m, j = 1, . . A1 −1 .. es invertible y A = P P , entonces para cada t ∈ R se tiene . (4.19) Ar que etA = P etA1 .. −1 P . . etAm Observar que si la matriz ∈ Mm (R) diagonaliza, entonces podemos escoger r = m y Aj = λj , para cada j = 1, . . . , m, de manera que efectivamente (4.19) s una generalización de (4.18). Por otra parte, el resultado anterior tiene una utilidad de índole práctica, ya que permite en muchos casos reducir el cálculo de la exponencial de una matriz de gran tamaño al de las exponenciales de matrices de menor orden, aunque su aplicabilidad se basará en que una matriz arbitraria pueda ser diagonalizada por bloques. No obstante, a la vista de los ejemplos de la sección anterior esta reducción puede aún ser ineficaz si las submatrices A1 , . . . , Ar no tienen la estructura suficientemente sencilla como para que el cálculo de su exponencial sea viable. En definitiva, para cada matriz A ∈ Mm (R), el cálculo de etA podrá llevarse a cabo si tenemos garantía de que A es equivalente a una matriz para la cual la obtención de su exponencial sea viable, que según nuestra experiencia significa que la expresión de la matriz equivalente tenga la mayor cantidad de ceros posible, o expresado de otra forma que el sistema lineal equivalente al sistema algebraico Az = b o al sistema de EDO x0 (t) = Ax(t) sea lo más descoplado posible. Desde el punto de vista del Álgebra Lineal, esto significa que si consideramos la aplicación lineal asociada a A ∈ Mm (R), es decir aquella que transforma el j-ésimo vector de la base canónica de Rm en el vector cuyas componetes en dicha base son los elementos de la j-ésima columna de A, entonces nos planteamos encontrar una nueva base tal que la imagen por la aplicación lineal de cada uno de sus vectores tenga el mayor número de componentes nulas en dicha base. Puede quizá resultar sorprendente que un resultado como el pretendido, la búsqueda para cada matriz A ∈ Mm (R) de una matriz equivalente cuya expresión sea lo más desacoplada posible, tenga contestación afirmativa, lo que constituye uno de los teoremas más profundos del Álgebra Lineal, que naturalmente tiene multitud de aplicaciones. Recordemos que si A ∈ Mm (R) y p(x) es su polinomio característico, entonces la expresión de p en factores irreducibles es p(x) = r Q (x − λi )mi i=1 s Q (x2 − 2aj x + a2j + b2j )nj , j=1 c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 104 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Métodos de solución de Sistemas Lineales donde λ1 , . . . , λr ∈ R y b1 , . . . , bs 6= 0. Cuando p sólo tenga raíces complejas, en cuyo caso necesariamente m ha de ser par, tomaremos r = 0 en la expresión anterior, mientras que si todas las raíces de p son reales, entonces tomaremos s = 0. En el ámbito del Álgebra lineal, el conjunto σ(A) = {λ1 , . . . , λr , a1 ± ib1 , . . . , as ± ibs } se denomina espectro de A y sus elementos son los autovalores de A considerada como matriz de coeficientes complejos. Además mi y nj se denominan las multiplidades algebraicas de los autovalores λi y aj ± ibj respectivamente, mientras que sus multiplidades geométricas están definidas como los números di = dim ker [A − λi I] y dˆj = dim ker [A − (aj ± ibj )I], respectivamente. Observar que siempre r s X X se satisface que m = mi +2 nj . Por otra parte, de los cursos de Álbebra lineal sabemos i=1 j=1 que 1 ≤ di ≤ mi , 1 ≤ dˆj ≤ nj y que la matriz no diagonaliza respecto del autovalor λi , respectivamente respecto de aj + ibj si y sólo si di < mi , respectivamente dˆj < nj , es decir si A diagonaliza respecto a un autovalor, real o complejo, si y sólo si la multiplidad geométrica y la algebraica de ese autovalor coinciden. Forma Canónica de Jordan Sean A ∈ Mm (R) y σ(A) = {λ1 , . . . , λr , a1 ± ib1 , . . . , as ± ibs }, donde λi ∈ R, i = 1, . . . , r y bj 6= 0, j = 1, . . . , s todas las raíces, reales y complejas, del polinomio característico de A, con multiplicidades m1 , . . . , mr y n1 , . . . , ns , respectivamente. Si di = dim ker [A − λi I], i = 1, . . . , r y dˆj = dim ker [A − (aj ± ibj )I], j = 1, . . . , s, entonces existen P ∈ Mm (R) no singular, Ji ∈ Mmi (R), i = 1, . . . , r y Lj ∈ M2nj (R), j = 1, . . . , s, tales que A = P JP −1 , donde J es la matriz diagonal por bloques que está constituida por los r + s bloques J1 , . . . , Jr , L1 , . . . , Ls . Además, para cada i = 1, . . . , r, Ji es diagonal por bloques, λi 1 λi ques y cada uno de ellos es de la forma Jil = .. .. . . consta de di blo , l = 1, . . . , di , 1 λi mientras que para cada, j = 1, . . . , s, Lj es diagonal por bloques, consta de dˆj bloques Cj .. . I y cada uno de ellos es de la forma Ljl = , l = 1, . . . , dˆj , con . . . Cj I Cj ¶ µ ¶ µ 1 0 a j bj eI= . Cj = −bj aj 0 1 Para una demostración del resultado anterior, pueden consultarse [?] y especialmente [?]. c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Cálculo de la exponencial de una matriz 105 Con las notaciones utilizadas en el resultado anterior, la matriz J se denomina forma canónica de Jordan de A, mientras que la base de Rm formada los vectores cuyas coordenadas en la base canónica están dadas por las columnas de P se denomina base de Jordan de Rm determinada por A. (4.20) En el resultado anterior no se excluye que o bien s = 0 o bien r = 0. En el primer caso sólo tendrán sentido los bloques de la forma Ji , mientras que en el segundo sólo lo tendrán los bloques del tipo Lj . Recordar que cuando r = 0, entonces todas las raíces del polinomio característico de A son complejas lo que implica que el orden de la matriz, es decir m, debe ser par. Caracterización de la Base de Jordan Sean A ∈ Mm (R), F : Rm −→ Rm la aplicación lineal descrita por A, es decir F (x) = Ax para cada x ∈ Rm y B la base de Jordan determinada por A, es decir © ª n1 mr ns 1 B = {u1n }m n=1 , . . . , {urn }n=1 , {v1n , w1n }n=1 , . . . , {vsn , wsn }n=1 . Si para cada i = 1, . . . , r consideremos ki0 = 0 y para cada l = 1, . . . , di , kil el orden del bloque Jil correspondiente a λi , entonces ki1 + · · · + kidi = m1 y además F (uin ) = λi uin + uin+1 , si l−1 P kil < n < z=0 F (uin ) = λi uin , si n = l P l P kil , l = 1, . . . , di , z=0 kil , l = 1, . . . , di . z=0 Si para cada j = 1, . . . , s consideremos k̂j0 = 0 y para cada l = 1, . . . , dˆi , 2kjl el orden del bloque Ljl correspondiente a aj ± i bj λi , entonces k̂j1 + · · · + k̂j dˆj = 2nj y además F (vjn ) = aj vjn − bj wjn + vjn+1 , si F (wjn ) = bj vjn + aj wjn + wjn+1 , si l−1 P z=0 l−1 P k̂jl < n < k̂jl < n < z=0 F (vjn ) = aj vjn − bj wjn , F (wjn ) = bj vjn + aj wjn , si n = si n = l P z=0 l P z=0 l P z=0 l P k̂jl , l = 1, . . . , dˆi , k̂jl , l = 1, . . . , dˆi , z=0 k̂il , l = 1, . . . , dˆi , k̂il , l = 1, . . . , dˆi . Observar que para cada i = 1, . . . , r y cada l = 1, . . . , di de entre los vectores de la base c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 106 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Métodos de solución de Sistemas Lineales il de Jordan que corresponden al bloque de Jordan Jil , es decir {uin }βn=α donde αil = il +1 y βil = l P z=0 l−1 P kil z=0 kil , uβil es el único autovector correspondiente al autovalor λi . Análogamente, para cada j = 1, . . . , s y cada l = 1, . . . , dˆi de entre los vectores l de la βjl base de Jordan que corresponden al bloque de Jordan Ljl , es decir {vjn , wjn }n=α donde jl +1 l−1 l P P αjl = k̂il y βjl = k̂il , vβjl + iwβjl es el único autovector complejo correspondiente al z=0 z=0 autovalor a+ i bj , mientras que vβjl − iwβjl es el único autovector complejo correspondiente al autovalor aj − i bj . En general, la forma canónica de Jordan de una matriz representa la matriz equivalente a ella más desacoplada posible, o en otras palabras la forma más desacoplada de expresar la aplicación lineal determinada por tal matriz. En particular, si A es diagonalizable, entonces su forma canónica de Jordan, J, es una matriz diagonal. Por otra parte, si A es triangulable, entonces todas las raíces del polinomio característico de A son reales, lo que implica que s = 0, de manera que la forma canónica de Jordan de A es su forma triangular más desacoplada posible. Ahora, la posibilidad de calcular etA queda reducida a la posibilidad de calcular etJil , i = 1, . . . , r y etLjl , j = 1, . . . , s. λ 1 λ Consideremos pues la matriz J ∈ Mk (R) dada por J = . Claramente . . . . . . 1 λ 0 1 0 J = λ I + N , donde I es la matriz identidad de order k y N = . Como . . . . . . 1 0 λ I y N conmutan, la propiedad (iii) de (4.11) implica que etJ = etλ I etN = etλ etN , t ∈ R, ya que como tλ I es diagonal, entonces etλ I = etλ .. = etλ I. Por otra parte, es . etλ fácil verificar que c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Cálculo de la exponencial de una matriz N2 = 107 0 0 1 .. . 0 0 .. . 0 .. . .. 0 ··· 1 0 k−1 = , . . . , N . 0 0 0 0 .. . . . . 1 ··· ... 0 y N k = 0, 0 lo que implica que etN = 1 t 2 k−1 t t n 2 k−1 N = I + tN + N + · · · + N = n! 2 (k − 1)! ∞ X tn n=0 t2 2 .. . tk−1 (k−1)! 1 t .. . ··· 1 .. . t2 2 .. t . . 1 En definitiva, hemos demostrado que λ 1 λ Si J = .. .. . . 1 λ etJ = etλ ∈ Mk (R), entonces 1 t t2 2 .. . tk−1 (k−1)! 1 t .. . 1 .. ··· t2 2 . .. t , . (4.21) t ∈ R. 1 C I C Consideremos ahora la matriz L ∈ M2k (R) dada por L = , donde . . . . . . I C µ ¶ µ ¶ a b 1 0 C = eI = . Es claro que L = D + N donde D, N ∈ M2k (R) están −b a 0 1 0 C I 0 . . definidas como D = y = es la matriz nula de yN = . . . . . . . C I 0 orden 2. Como D y N conmutan, la propiedad (iii) de (4.11) implica nuevamente que c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 108 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Métodos de solución de Sistemas Lineales etL = etD etN = etC .. tN e , t ∈ R. . etC Nuevamente, es sencillo verificar que N = 2 0 0 I .. . 0 0 .. . 0 .. . 0 ··· I , . . . , N k−1 = .. . 0 0 0 0 0 .. . . . . I ··· .. 0 . y N k = 0, 0 lo que implica que etN t2 2 tk−1 = I + tN + N + · · · + N k−1 = 2 (k − 1)! I tI t2 I 2 .. . I tI ... tk−1 (k−1)! I ··· I ... ... t2 2 tI I I y por tanto, etL = etD etN = etC tetC t2 tC e 2 .. . tk−1 (k−1)! etC tetC .. . etC ··· etC .. .. . . t2 tC e tetC etC 2 . (4.22) En conclusión, para concluir el cálculo de etL es necesario determinar etC . µ ¶ a b Como C = , resulta inmediato comprobar que C = aI + bK, donde I es la −b a µ ¶ 0 1 identidad de orden 2 y K = , y es claro que ambas matrices conmutan, por lo −1 0 que · e tC taI tbK =e e ta tbK =e e =e ta cos(bt) sen(bt) − sen(bt) cos(bt) ¸ , t ∈ R, c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Cálculo de la exponencial de una matriz 109 donde hemos tenido en cuenta que etaI = eta I y la Fórmula de Rodrigues para matrices antisimétricas de orden 2. Teniendo en cuenta la identidad (4.22), hemos demostrado que C I Si L = C .. . .. ∈ M2k (R) con C = . I µ a b −b a ¶ µ eI= 1 0 0 1 ¶ , C entonces para cada t ∈ R se satisface que e tL E(t) tE(t) t2 2 E(t) .. . = eta tk−1 (k−1)! B(t) tE(t) .. . E(t) E(t) .. . t2 2 ··· .. (4.23) µ ¶ sen(tb) cos(tb) , E(t) = . − sen(tb) cos(tb) . E(t) tE(t) E(t) En conclusión, el resultado buscado es el siguiente: Expresión de la exponencial de una matriz Sean A ∈ Mm (R) y σ(A) = {λ1 , . . . , λr , a1 ± ib1 , . . . , as ± ibs } todas las raíces, reales y complejas, del polinomio característico de A, con multiplicidades algebraicas m1 , . . . , mr y n1 , . . . , ns , y multiplicidades geométricas d1 , . . . , dr y dˆ1 , . . . , dˆs , respectivamente. Consideremos J la forma canónica de Jordan de A, J1 , . . . , Jr , L1 , . . . , Ls los bloques de Jordan y P ∈ Mm (R) no singular no singular tal que A = P JP −1 . Entonces, etA etJil = etλi = P 1 t t2 2 .. . k−1 t (k−1)! etLjl taj =e t (k−1)! .. −1 P donde para cada i = 1, . . . , r, . etJr etL1 .. . etLs 1 t .. . ··· Ej (t) tEj (t) t2 2 Ej (t) .. . k−1 etJ1 Ej (t) 1 .. . .. 2 t 2 , mientras que para cada j = 1, . . . , s, . t 1 Ej (t) tEj (t) .. . ··· Ej (t) .. . 2 t 2 Ej (t) .. . µ ¶ sen(tbj ) cos(tbj ) , E(t) = . − sen(tbj ) cos(tbj ) tEj (t) Ej (t) c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 110 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Métodos de solución de Sistemas Lineales El resultado anterior, muestra que conocida J, la forma canónica de Jordan de A, la determinación de etJ es directa y no requiere efectuar ningún cálculo adicional. Para completar el cálculo de la exponencial de la matriz original, es preciso determinar la base de Jordan correspondiente, es decir la matriz P y también la inversa de P . Por lo que respecta al cálculo de P , éste se realiza simultáneamente al de la forma canónica, mientras que en la práctica la evaluación de P −1 es la etapa del proceso que involucra un mayor número de operaciones. Como veremos, podemos evitar esta última etapa del proceso, es decir el cálculo de P −1 , si renunciamos a determinar la única matriz fundamental que en t = 0 toma como valor la identidad, es decir etA y nos contentamos con determinar una matriz fundamental, es decir una base de soluciones, sin la propiedad anterior. Para ello, observemos que con las notaciones anteriores, como etA es una matriz fundamental del sistema lineal x0 (t) = Ax(t) y P es no singular, entonces la aplicación matricial Φ(t) = etA P = P etJ es también fundamental y esta aplicación puede determinarse directamente a partir del conocimiento de J y de P . Base de soluciones del sistema x0 (t) = Ax(t) © ª n1 mr ns 1 Sean A ∈ Mm (R) y B = {u1n }m la n=1 , . . . , {urn }n=1 , {v1n , w1n }n=1 , . . . , {vsn , wsn }n=1 base de Jordan determinada por A. Para cada i = 1, . . . , r, consideremos ki0 = 0 y para cada l = 1, . . . , di , kil el orl l−1 P P kil , mientras que para cada kil y βil = den del bloque Jil correspondiente a λi , αil = z=0 z=0 j = 1, . . . , s, consideremos k̂j0 = 0 y para cada l = 1, . . . , dˆi , 2kjl el orden del bloque Ljl l l−1 P P kil . kil y β̂il = correspondiente a aj ± i bj , α̂il = z=0 z=0 Entonces, las funciones definidas como · tλi xin (t) = e uin + tuin+1 + · · · + ¸ tβil −n uiβ , (βil − n)! il si i = 1, . . . , r, l = 1, . . . , di y αil < n ≤ βil y como ¸ · ¢ tβjl −n ¡ taj cos(tbj )vjβjl − sen(tbj )wjβjl , yjn (t) = e cos(tbj )vjn − sen(tbj )wjn + · · · + (βjl − n)! · ¸ ¢ tβjl −n ¡ taj zjn (t) = e sen(tbj )vjn + cos(tbj )wjn + · · · + sen(tbj )vjβjl + cos(tbj )wjβjl , (βjl − n)! si j = 1, . . . , s, l = 1, . . . , dˆi y α̂il < n ≤ β̂il es una base de soluciones de x0 (t) = Ax(t). Observar que para cada i = 1, . . . , r y cada l = 1, . . . , di y para cada j = 1, . . . , s y cada c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Estabilidad de los sistemas de coeficientes constantes 111 l = 1, . . . , dˆj las expresiones anteriores determinan las funciones xiβil (t) = etλi uiβil , £ ¤ yjn (t) = etaj cos(tbj )vjβjl − sen(tbj )wjβjl , £ ¤ zjn (t) = etaj sen(tbj )vjβjl + cos(tbj )wjβjl . que ya fueron obtenidas en la identidad (4.4) de la primera sección de este Tema. 4.4. Estabilidad de los sistemas de coeficientes constantes Teniendo en cuenta que etA es una matriz fundamental del sistema x0 (t) = Ax(t), de acuerdo con las nociones y los resultados de la Sección 3.5 y más concretamente de acuerdo con (3.34), la determinación de estabilidad, estabilidad asintótica o inestabilidad de las soluciones de los sistemas x0 (t) = Ax(t) + f (t), o equivalentemente, la estabilidad, estabilidad asintótica o inestabilidad de la matriz A, se reduce a comprobar cuándo fijado t0 , todas las componentes de etA son funciones acotadas para t ≥ t0 , tienden a 0 cuando t → +∞, o alguna de las componentes es una función no acotada, respectivamente. Supongamos pues que A ∈ Mm (R) y que P y J son respectivamente una base de Jordan y su forma canónica Jordan. Entonces para cada t ∈ I, se tiene que etA = P etJ P −1 , de manera que las componentes de etA están acotadas para t ≥ t0 o tienden a 0 cuando t → +∞ si y sólo si las componentes de etJ tienen el mismo comportamiento. En definitiva, concluimos que una matriz cuadrada es estable, asintóticamente estable o inestable si y sólo si su forma canónica de Jordan es estable, asintóticamente estable o inestable, respectivamente. (4.24) Recordemos que si A ∈ Mm (R) y σ(A) = {λ1 , . . . , λr , a1 ±ib1 , . . . , as ±ibs }, donde λi ∈ R, i = 1, . . . , r y bj 6= 0, j = 1, . . . , s tienen multiplicidades algebraicas m1 , . . . , mr y n1 , . . . , ns y multiplicidades geométricas d1 , . . . , dr y dˆ1 , . . . , dˆs , respectivamente, entonces etJ = etJ1 .. , . etJr etL1 .. . etLs c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 112 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Métodos de solución de Sistemas Lineales donde etJj = etJj1 .. ∈ Mmj (R), . etLk = etLj1 .. ∈ M2nk (R) . tLkdˆ etJjdj e k para j = 1, . . . , r y k = 1, . . . , s. A la vista de las identidades anteriores, resulta que J es estable o asintóticamente estable dˆj dj , j = 1, . . . , r y {Ljk }k=1 , j = 1, . . . , s son estables o si y sólo si todas las matrices {Jjk }k=1 asintóticamente estables, respectivamente. Por otra parte, si alguna de las matrices anteriores es inestable, entonces J también lo será. Además, fijado t0 ∈ R, la estabilidad o estabilidad asintótica de cualquiera de las matrices anteriores es equivalente a que todas sus componentes están acotadas para t ≥ t0 o tiendan a 0 cuando t → +∞, respectivamente, mientras que la inestabilidad es equivalente a que alguna de sus componentes no sea acotada para t ≥ t0 . Fijemos t0 ∈ R y consideremos j = 1, . . . , r y k = 1 . . . , mj . Entonces, etJjk 1 t = etλj t2 2 .. . tk−1 (k−1)! 1 t .. . 1 .. ··· t2 2 . .. t , . 1 de manera que si λj > 0, entonces las componentes diagonales de etJjk son no acotadas. Por otra parte, si λj < 0, entonces es claro que lı́m etJjk = 0. Finalmente si λj = 0, entonces la t→+∞ única posibilidad para que etJjk tenga componentes acotadas para t ≥ t0 es que se reduzca a la diagonal, y por tanto Jjk debe ser una matriz de orden 1. Si ahora, fijado t0 consideramos j = 1, . . . , s y k = 1 . . . , nj , entonces, etLjk taj =e Ej (t) tEj (t) t2 Ej (t) 2 .. . tk−1 (k−1)! Ej (t) Ej (t) tEj (t) .. . ··· Ej (t) .. .. . . 2 t Ej (t) tEj (t) Ej (t) 2 , c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Cálculo de la exponencial de una matriz µ donde E(t) = cos(tbj ) sen(tbj ) − sen(tbj ) cos(tbj ) 113 ¶ . Nuevamente, si aj > 0, entonces las componentes diagonales de etLjk son no acotadas. Por otra parte, si aj < 0, entonces es claro que lı́m etLjk = 0 y finalmente si aj = 0, entonces la t→+∞ única posibilidad para que etLjk tenga componentes acotadas para t ≥ t0 es que se reduzca al bloque diagonal, y por tanto Ljk debe ser una matriz de orden 2. Recapitulando los resultados obtenidos, tenemos las siguientes conclusiones: • La matriz A ∈ Mm (R) es asintóticamente estable si y sólo si la parte real de todas las raíces de su polinomio característico son estrictamente negativas. • La matriz A ∈ Mm (R) es estable si y sólo si la parte real de todas las raíces de su polinomio característico son negativas y la multiplicidad geométrica de cada raíz con parte real nula coincide con su multiplicidad algebraica. (4.25) • La matriz A ∈ Mm (R) es inestable si y sólo si su polinomio característico tiene o bien una raíz con parte real estrictamente positiva o bien una raíz con parte real nula cuya multiplicidad geométrica es estrictamente menor que la algebraica. Como acabamos de comprobar el signo de la parte real de las raíces del polinomio característico proporciona una información que en muchos casos puede ser suficiente para determinar la inestabilidad, la estabilidad asintótica e incluso la estabilidad. Sin embargo, la aplicación del criterio anterior pasa precisamente por calcular las raíces de dicho polinomio, tarea que puede resultar de enorme dificultad si el orden de la matriz es suficientemente alto. No obstante el simple análisis del polinomio característico permite obtener un criterio negativo tanto de estabilidad como de estabilidad asintótica que puede resultar de gran utilidad en las aplicaciones. Supongamos que p(x) = det (xI − A) = xm + c1 xm−1 + · · · + cm . Como p(x) = r Y j=1 (x − λj ) mj s Y (x2 − 2aj x + a2j + b2j )nj , bj 6= 0, j = 1, . . . , s j=1 resulta que si A es estable, entonces −λj ≥ 0, j = 1, . . . , r y −aj ≥ 0, j = 1, . . . , s, de manera que necesariamente c1 , . . . , cm ≥ 0, mientras que cuando A es asintóticamente estable, el mismo razonamiento muestra que c1 , . . . , cm > 0. En definitiva hemos demostrado el siguiente criterio: Consideremos A ∈ Mm (R) y p(x) = det (xI − A) = xm + a1 xm−1 + · · · + am . Si existe j = 1, . . . , m tal que aj < 0, entonces A es inestable y si existe j = 1, . . . , m tal que aj = 0, entonces A no puede ser asintóticamente estable. (4.26) c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 114 4.5. Ecuaciones diferenciales ordinarias. Métodos de solución de Sistemas Lineales Sistemas de coeficientes variables Después de analizada la solución efectiva de los sistemas lineales con coeficientes constantes, surge de forma natural la pregunta de si los desarrollos anteriores son válidos para el caso de sistemas lineales generales. Concretamente, nos Z preguntamos si dada la aplicación t A(s) ds matricial continua A : I −→ Mm (R), entonces Φ(t) = e es una matriz fundamental del sistema x0 (t) = A(t)x(t). Naturalmente cuando esto ocurra, entonces Φ es la única matriz fundamental tal que Φ(t0 ) = Id. Por ejemplo, esto es cierto en el caso escalar, es decir cuando m = 1. Más generalmente, si existen una función continua h : I −→ R y una matriz A ∈ Mm (R) tales que A(t) = h(t)A, para cada t ∈ R, entonces laµmisma técnica ¶ Z t0 t h(s) ds A que la utilizada en el caso de coeficientes constantes muestra que Φ(t) = e t0 es matriz fundamental del sistema x0 (t) = A(t)x(t). De hecho, el caso de coeficientes constantes analizado en la sección anterior corresponde a¶ tomar h = 1. Observar que en esta µZ t h(s) ds A situación la determinación explícita de e depende fundamentalmente de la forma canónica de Jordan de A, y de hecho basta sustituir de etA la función µZ ten la expresión ¶ Z t h(s) ds A t por h(s) ds. En particular, resulta que si Φ(t) = e t0 , entonces Φ ∈ C 1 (I) t0 µZ t ¶ h(s) ds A y además Φ0 (t) = h(t)Ae t0 , para cada t ∈ I. t0 A la vista del resultado Zanterior parece plausible concluir que si A : I −→ Z t Mm (R) es t A(s) ds A(s) ds 0 t t 0 0 continua, entonces Φ(t) = e es derivable y además Φ (t) = A(t)e . El siguiente ejemplo muestra que, en general, el resultado anterior es falso: · ¸ 1 0 , para cada t ∈ R. Entonces, Consideremos A : R −→ M2 (R) dada por A(t) = 2t 0 ¸ µZ t ¶n · · ¸ Z t t − t0 0 1 0 n y por tanto A(s) ds = (t − t0 ) A(s) ds = , para cada t2 − t20 0 t + t0 0 t0 t0 n ∈ N∗ y en definitiva, Z t " A(s) ds Φ(t) = e t0 = et−t0 0 (t + t0 )(et−t0 − 1) 1 # , mientras que c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Cálculo de la exponencial de una matriz " Φ0 (t) = 115 et−t0 e t−t0 0 # " 6= A(t)Φ(t) = (t + t0 + 1) − 1 0 Z et−t0 2te t−t0 0 0 # . t A(s) ds La razón de que Φ(t) = e no defina en general una matriz fundamental del sistema x0 (t) = A(tx(t) reside nuevamente en la no conmutatividad del producto de matrices. Z t0 t De hecho, si definimos B(t) = A(s) ds y suponemos que A(t)B(t) = B(t)A(t) para cada t0 ¡ ¢0 ¡ ¢n−1 t ∈ I, entonces B(t)n = nA(t) B(t) , lo que implica que ¡ ¢ B(t) 0 e = ¶0 ∞ µ X B(t)n n=0 n! = ∞ X A(t) n=1 B(t)n−1 = A(t)eB(t) . (n − 1)! y en definitiva si existe t0 ∈ Iµtal continua A : I −→ Mm (R) satis¶ µZ matricial ¶ Z tque la aplicación t face que A(t) A(s) ds = A(s) ds A(t) para cada t ∈ I, entonces, t t 0 0 Z t A(s) ds Φ(t) = e t0 es matriz fundamental del sistema x0 (t) = A(t)x(t) (4.27) En el ejemplo analizado anteriormente la condición de que A conmute con su primitiva que se anula en t0 , no se satisface para ningún t0 ∈ I ya que µZ ¶ · A(s) ds = t A(t) t0 t − t0 0 2t(t − t0 ) 0 ¸ · 6= t − t0 0 t2 − t20 0 µZ t Una condición sencilla que asegura que A(t) ¸ µZ t = ¶ A(s) ds A(t). t0 ¶ µZ t ¶ A(s) ds = A(s) ds A(t) para t0 t0 cada t0 ∈ I y cada t ∈ I, es que se verifique que A(s)A(t) = A(t)A(s) para cada t, s ∈ I, ya que si esta condición se satisface, entonces fijado t ∈ I, resulta que µZ t A(t) t0 ¶ Z t µZ t ¶ Z t A(s) ds = A(t)A(s) ds = A(s)A(t) ds = A(s) ds A(t) t0 t0 t0 c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 116 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Métodos de solución de Sistemas Lineales Además, si se satisface la propiedad de conmutación entre las matrices coeficientes, entonces también se verifica que µZ ¶ µZ t A(u) du A(τ ) dτ t0 ¶ s Z tZ s = A(τ )A(u) dτ du t0 t0 t0 Z sZ µZ t = A(u)A(τ ) du dτ t0 t0 ¶ µZ s A(u) du t0 ¶ t A(τ ) dτ . t0 En definitiva, teniendo presentes las propiedades (4.11) de la exponencial de una matriz y también la fórmula de Lagrange-Green obtenemos que si A : I −→ Mm (R) satisface que A(t)A(s) = A(s)A(t), t, s ∈ I entonces, la función de Green del sistema x0 (t) = A(t)x(t) está determinada por la identidad Z t A(τ ) dτ , t, s ∈ I. G(t, s) = e s Por tanto, para cada función continua f : I −→ Rm , cada t0 ∈ I y cada x0 ∈ Rm , la única solución del problema de valores iniciales x0 (t) = Ax(t) + f (t), x(t0 ) = x0 está dada por la expresión Z t Z s Z A(τ ) dτ A(τ ) dτ t − x(t) = e t0 e t0 f (s) ds . x0 + (4.28) t0 A pesar de que el resultado anterior describe las soluciones de un sistema lineal de EDO con matriz de coeficientes no necesariamente constantes, sino verificando una propiedad de conmutación, el cálculo efectivo de tales soluciones aún no está asegurado puesto que para determinar una matriz fundamental es preciso hallar la exponencial de una cantidad infinita de matrices. No obstante, comprobaremos que la propiedad de conmutación de la matriz de coeficientes, es decir que se satisfaga que A(t)A(s) = A(s)A(t), para cada t, s ∈ I, permite reducir la situación al cálculo de una cantidad finita de exponenciales. Para ello recurriremos una vez más a técnicas propias del Álgebra Lineal: Fijaremos previamente un producto interno en el espacio vectorial Mm (R), por ejemplo hB, Ci = tr C T B y consideremos V = sg{A(t) : t ∈ I}, es decir el subespacio de Mm (R) generado por las matrices coeficientes. Es claro que si A : I −→ Mm (R) no es la aplicación nula, entonces V no se reduce a la matriz nula y por tanto 1 ≤ k = dim V ≤ m2 = dimMm (R), lo que implica que existen A1 , . . . , Ak ∈ V tales que {A1 , . . . , Ak } es base ortonormal de V. c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Cálculo de la exponencial de una matriz 117 Para cada t ∈ I, como A(t) ∈ V, resulta que A(t) = h1 (t)A1 + · · · + hk (t)Ak , donde hj (t) = hA(t), Aj i para cada j = 1, . . . , k. Como A : I −→ Mm (R) es continua, las funciones hj : I −→ R, j = 1, . . . , k son también continuas. Por tanto, si para cada t0 ∈ I y cada Z t j = 1, . . . , k consideramos la función Hj (t) = hj (s) ds, entonces satisface que t0 Z t A(s) ds = H1 (t)A1 + · · · + Hk (t)Ak , para cada t ∈ I. t0 Finalmente, como cualquier matriz del subespacio V es combinación lineal de matrices que conmutan entre sí, si B, C ∈ V entonces BC = CB, lo que implica que las matrices A1 , . . . , Ak conmutan entre sí y por tanto, Z µZ t t A(s) ds e t0 =e ¶ h1 (s) ds A1 t0 Z µZ ··· e ¶ t hn (s) ds Ak t0 , para cada t ∈ I, (4.29) t A(s) ds de manera que el cálculo de e t0 se reduce a cálculo de las k exponenciales eHj (t)Aj , j = 1, . . . , k, cada una de las cuales depende de la forma canónica de Jordan de la matriz Aj correspondiente. 4.5.1. Aplicación al Teorema Fundamental de Curvas Planas Recordemos que, según el desarrollo efectuado en la Sección 3.4.1, el Teorema Fundamental de Curvas Planas establece que · ¸ 0 k(s) Si k : I −→ R es continua, definimos A(s) = , fijamos s0 ∈ I −k(s) 0 y consideramos Φ la única matriz fundamental del sistema x0 (s) = A(s)x(s) que Z s satisface Φ(s0 ) = Id y t la primera fila de Φ, entonces la función c(s) = t(u) du, s0 s ∈ I, es una curva parametrizada por arco cuya curvatura es k. Además, cualquier otra curva regular con estas propiedades tiene la expresión bc(s) = M c(s) + v, para cada s ∈ I, donde M ∈ M2 (R) es tal que M T M = Id y det M = 1 y v ∈ R2 . Es fácil comprobar que A(t)A(s) = A(s)A(t) paraZcada s, t ∈ I y por tanto si considera· ¸ Z s s 0 1 k(u) du y H = A(u) du = K(s)H y Φ(s) = eH(s)H mos K(s) = , entonces −1 0 s0 s0 c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 118 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Métodos de solución de Sistemas Lineales es matriz fundamental del sistema x0 (s) = A(s)x(s). Como además K(s)H es una matriz antisimétrica de segundo orden, podemos aplicar la Fórmula de Rodrigues correspondiente a este caso para concluir que " Φ(s) = ¡ ¢ ¡ ¢ # cos K(s) sen K(s) ¡ ¢ ¡ ¢ − sen K(s) cos K(s) y por tanto µZ s c(s) = ¡ ¢ cos K(u) du, s0 Z s ¡ ¢ sen K(u) du ¶T . s0 · ¸ m11 m12 Por otra parte, M = satisface la identidad M T M = Id si y sólo si se verifica m21 m22 que m211 +m221 = m212 +m222 = 1 y m11 m12 +m21 m22 = 0. La última identidad implica que existe λ ∈ R tal que m12 = λm21 y m22· = −λm11 y como 1 = m212 +· m222 = λ2 (m221¸+ m211 ) = λ2 , ¸ m11 m21 m11 −m21 resulta que λ = ±1 y o bien M = o bien M = , pero sólo la m21 −m11 m21 m11 T segundamatriz tiene determinante · igual a 1. Así ¸ pues M ∈ M2 (R) satisface que M M = Id m11 −m21 y detM = 1 si y sólo si M = , donde m211 + m222 = 1. Si esto ocurre, existe m21 m11 un único ϕ ∈ [0, 2π) tal que m11 = cosϕ y m21 = sen ϕ, es decir, T M ∈ M·2 (R) satisface que ¸ M M = Id y detM = 1 si y sólo cosϕ − sen ϕ si M = , donde ϕ ∈ [0, 2π), es decir M es la sen ϕ cosϕ matriz de un giro de ϕ radianes efectuado en sentido antihorario. Resulta entonces que Z ¢¤ · ¸ s cosϕcos K(u) − sen sen K(u) du cosϕ − sen ϕ 0 c(s) = Z s sen ϕ cosϕ £ ¡ ¢ ¡ ¢¤ sen ϕcos K(u) + cosϕ sen K(u) du s £ ¡ ¢ ¡ s0 Z ¡ ¢ s cos K(u) + ϕ du 0 = Z s , £ ¡ ¢ sen K(u) + ϕ du s s0 c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Cálculo de la exponencial de una matriz 119 y tenemos la versión definitiva del Teorema Fundamental de curvas planas: Sean I ⊂ R un intervalo no trivial Z uy k : I −→ R una función continua. Entonces, fijado s0 ∈ I, si K(u) = k(τ ) dτ , todas las curvas planas regulares s0 parametrizadas por arco que tienen a k como curvatura están determinadas por la identidad µ ¶ Z s Z s ¡ ¢ ¡ ¢ c(s) = v1 + cos ϕ + K(u) du, v2 + sen ϕ + K(u) du , s ∈ I, s0 (4.30) s0 donde ϕ ∈ [0, 2π) y v1 , v2 ∈ R. 4.5.2. Aplicación al Teorema Fundamental de Curvas Espaciales Recordemos que, según el desarrollo efectuado en la Sección 3.4.1, el Teorema Fundamental de Curvas Planas establece que Si k, τ : I −→ R son continuas y además k(s) > 0 para cada s ∈ I, definimos 0 k(s) 0 A(s) = −k(s) 0 −τ (s) , fijamos s0 ∈ I y consideramos Φ la única matriz 0 τ (s) 0 fundamental del sistema x0 (s) = A(s)x(s) que satisface Φ(s0 ) = Id y t la primera Z s fila de Φ, entonces la función c(s) = t(u) du, s ∈ I, es una curva parametrizada s0 por arco cuyas curvatura y torsión son k y τ , respectivamente. Además, cualquier otra curva regular con estas propiedades tiene la expresión bc(s) = M c(s) + v, para cada s ∈ I, donde M ∈ M3 (R) es tal que M T M = Id y det M = 1 y v ∈ R3 . Para poder determinar explícitamente curvas regulares con curvatura y torsión dadas, es preciso encontrar una matriz fundamental del sistema x0 (s) = A(s)x(s), pero para ello sabemos que es preciso exigir propiedades adicionales a la matriz de coeficientes, concretamente que se satisfaga la propiedad de conmutación A(t)A(s) = A(s)A(t) para cada t, s ∈ I. Como k(t)k(s) 0 k(t)τ (s) , 0 k(t)τ (s) + k(s)τ (t) 0 A(t)A(s) = − τ (t)k(s) 0 τ (t)τ (s) resulta que A(t)A(s) = A(s)A(t) para cada t, s ∈ I si y sólo si k(t)τ (s) = k(s)τ (t) para cada t, s ∈ I. En particular, si se satisface la anterior propiedad y fijamos s0 ∈ I, entonces c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 120 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Métodos de solución de Sistemas Lineales k(t)τ (s0 ) = k(s0 )τ (t) para cada t ∈ I y como k(s0 ) > 0, la anterior identidad es equivalente τ (s0 ) a que τ (t) = a k(t) para cada t ∈ I, donde a = . Recíprocamente si τ (t) = a k(t) para k(s0 ) cada t ∈ I, entonces k(t)τ (s) = k(s)τ (t) para cada t, s ∈ I. En definitiva, hemos demostrado que Si A(s) es la matriz de Frenet de una curva regular parametrizada por arco c, entonces A(t)A(s) = A(s)A(t) para cada t, s ∈ I si y sólo si existe a ∈ R tal que τ (t) = ak(t) para cada t ∈ I, es decir la torsión es un múltiplo de la curvatura. Las curvas que satisfacen esta propiedad se denominan hélices. Sean ahora a ∈ R, k : I −→ R continuay tal que k(s) > 0 para cada s ∈ I y consi0 1 0 deremos la aplicación matricial A(s) = k(s) −1 0 −a . Si fijamos s0 ∈ I y tomamos 0 a 0 Z s √ θ = 1 + a2 y K(s) = k(u) du, entonces aplicando la Fórmula de Rodrigues para matrices s0 antisimétricas de orden 3, la aplicación fundamental del sistema x0 (s) = A(s)x(s) cuyo valor en s0 es la matriz identidad es £ ¡ ¢ 0 1 ¡ ¢¤ 1 0 a 1 0 0 0 sen θ K(s) 1 − cos θ K(s) −1 0 −a − 0 θ 0 Φ(t) = 0 1 0 + θ θ2 0 0 1 0 a 0 a 0 a2 y por tanto una hélice cuya curvatura es k y cuya torsión es τ = ak está dada por c(s) = 1 θ2 µ Z a2 (s − s0 ) + s ¡ ¢ cos θK(u) du, θ s0 Z s ¡ ¢ sen θK(u) du, a s0 Z s ¡ ¢ cos θK(u) du − a(s − s0 ) ¶T . s0 1 0 a 1 0 , entonces M T M = Id, detM = 1 Si consideramos ahora la matriz M = 0 θ θ a 0 −1 y además 1 M c(s) = θ µZ s s0 ¡ ¢ cos θK(u) du, Z s ¶T ¢ sen θK(u) du, a(s − s0 ) . ¡ (4.31) s0 que es la expresión habitual para una hélice de curvatura k y torsión τ = ak. c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Ejercicios 4.6. 121 Ejercicios Problema 1. Determinar todas las funciones x, y : R −→ R de clase C 1 (R) que, en cada caso, satisfacen las identidades que se indican. i) x0 (t) = x(t), y 0 (t) = y(t). ii) x0 (t) = −x(t), y 0 (t) = 2y(t). iii) x0 (t) = 6x(t) + 3y(t), y 0 (t) = 3x(t) + 4y(t). iv) x0 (t) = y(t), y 0 (t) = 2x(t) + y(t). v) x0 (t) = x(t) + y(t), y 0 (t) = −2x(t) + y(t). vi) x0 (t) = x(t) + y(t), y 0 (t) = −4x(t) − y(t). Problema 2. Determinar todas las funciones x, y, z : R −→ R de clase C 1 (R) que satisfacen las identidades x0 (t) = −x(t) + e−t , y 0 (t) = 2x(t) − y(t), z 0 (t) = −x(t) − 3y(t) − z(t). Problema 3. Determinar todas las funciones x, y : R −→ R de clase C 1 (R) que satisfacen las identidades x01 = 2x1 + 4x2 + 3x02 + 3et cos(t) − 2et sin(t), x002 + x1 + 2x2 + 2x02 = et sin(t). Problema 4. Demostrar que el sistema lineal homogéneo es autónomo si y sólo si la matriz de coeficientes es constante. Problema 5. Determinar todas las soluciones del sistema x0 (t) = Ax(t), con A ∈ Mm (R), que se expresan de la forma x(t) = h(t)v donde h ∈ C 1 (R) y v ∈ Rm . a 1 0 0 0 −a 0 1 Problema 6. Sean a ∈ R, Aa la matriz definida como Aa = 1 1 a 0 y el 0 1 0 −a 0 sistema lineal x (t) = Ax(t). Determinar los valores de a para los cuales existen soluciones de equilibrio no triviales, es decir no nulas y determinar el número de ellas linealmente independientes. Hallar también una base de soluciones del sistema. c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 122 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Métodos de solución de Sistemas Lineales Problema 7. Sean A ∈ Mm (R) y el sistema lineal homogéneo x0 (t) = Ax(t). Caracterizar las soluciones de equilibrio del sistema y determinar el número de soluciones de equilibrio linealmente independientes que existen. Problema 8. Resolver los sistemas lineales homogéneos x0 (t) = A1 x(t) y x0 (t) = A2 x(t) donde µ A1 = 2 1 −1 4 ¶ µ y A2 = 3 5 −5 3 ¶ . Problema 9. Resolver los sistemas lineales homogéneos x0 (t) = A1 x(t) y x0 (t) = A2 x(t) donde 3 −1 1 0 2 −3 A1 = 2 0 1 y A2 = 0 −2 4 . 1 −1 2 0 1 2 Problema 10. Resolver los sistemas lineales homogéneos x0 (t) = A1 x(t), x0 (t) = A2 x(t) y x0 (t) = A3 x(t) donde 1 0 A1 = 0 0 1 1 0 6 0 1 1 0 0 1 1 2 2 0 , A2 = 3 3 0 1 4 4 1 2 3 4 1 0 0 1 0 2 y A3 = 1 0 3 4 0 −1 0 0 0 1 0 1 . 1 0 Problema 11. Resolver los problemas de valor inicial µ µ x0 (t) y 0 (t) x0 (t) y 0 (t) ¶ µ = ¶ µ = 1 1 4 1 ¶µ 1 −3 −2 2 x(t) y(t) ¶µ ¶ µ , x(t) y(t) ¶ µ , x(0) y(0) x(0) y(0) ¶ µ = ¶ µ = 2 3 0 5 ¶ , ¶ . c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Ejercicios 123 Problema 12. Hallar las funciones x, y, z ∈ C 1 (R) que verifican las identidades x0 (t) = 3x(t) − y(t) + 2e−2t , x(0) = 0, y 0 (t) = − x(t) + 3 y(t), y(0) = 0, z 0 (t) = 2 x(t) + 2 y(t) + 2 z(t) − 2, z(0) = 1. Problema 13. Resolver los problemas de valor inicial x0 (t) y 0 (t) = z 0 (t) 0 x (t) y 0 (t) = z 0 (t) 0 x (t) y 0 (t) = z 0 (t) 0 x (t) y 0 (t) = z 0 (t) 3 1 −1 x(t) 1 3 −1 y(t) , 3 3 −1 z(t) 1 −1 0 x(t) 1 2 1 y(t) , 1 10 2 z(t) −3 0 2 x(t) 1 −1 0 y(t) , −2 −1 0 z(t) −21 19 −20 x(t) 19 −21 −20 y(t) , 40 −40 −40 z(t) x(0) y(0) = z(0) x(0) y(0) = z(0) x(0) y(0) = z(0) x(0) y(0) = z(0) −2 0 , 3 −1 −4 , 13 0 −1 , −2 0 1 . −1 Problema 14. Resolver los problemas de valor inicial x0 (t) y 0 (t) = z 0 (t) 0 x (t) y 0 (t) = z 0 (t) 0 x (t) y 0 (t) = z 0 (t) 3 −1 1 2 0 1 1 −1 2 2 0 1 1 0 1 1 −2 0 3 0 0 0 1 5 0 −5 1 x(t) y(t) + z(t) x(t) y(t) + z(t) x(t) y(t) + z(t) t 0 , 0 t2 0 , 1 0 , 1 sen(5t) x(0) y(0) = z(0) x(0) y(0) = z(0) x(0) y(0) = z(0) 0 0 , 1 −1 −4 , 13 0 0 . 0 c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 124 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Métodos de solución de Sistemas Lineales Problema 15. Hallar la solución del problema de valores iniciales −t x0 (t) 0 −1 8 x(t) e y 0 (t) = 1 −2 −2 y(t) + e−t , z 0 (t) 0 0 4 z(t) 0 x(0) 1 y(0) = 1 . z(0) 0 Problema 16. Resolver el problema de valor inicial x0 (t) 0 2 0 0 y 0 (t) −2 0 0 0 0 z (t) = 0 0 0 −3 w0 (t) 0 0 3 0 x(t) y(t) z(t) , w(0) x(0) 1 y(0) 1 z(0) = 1 w(0) 0 Problema 17. Fijado a ∈ R con a 6= 0, hallar todas las funciones x, y, z, u ∈ C 1 (R) que satisfacen las identidades x0 (t) = ax(t) + y(t), y 0 (t) = z(t) + 1 y(t), z 0 (t) = az(t) + y(t), u0 (t) = y(t) + au(t). a Problema 18. Dados los escalares a, b, c, d, e ∈ R, resolver el sistema lineal x0 (t) = ax(t) + bz(t) y 0 (t) = cy(t) z 0 (t) = dy(t) + ez(t) Problema 19. Dados a, b, c ∈ R, determinar todas las soluciones del sistema lineal x0 (t) a b 0 x(t) a y 0 (t) = c a b y(t) + b z 0 (t) 0 c a z(t) c c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Ejercicios 125 Problema 20. Consideremos los escalares a, b, c ∈ R con b 6= 0, θ = a b c A = b a 0 y la aplicación f : (0, +∞) −→ R3 definida como c 0 a √ b2 + c2 , la matriz √ √ £ ¤ f (t) = eta 2tθsh(tθ), − 2cln (t) + 2btch(tθ), 2bln (t) + 2ctch(tθ) . Resolver el sistema lineal x0 (t) = Ax(t) + f (t), t > 0. Problema 21. Fijado t0 ∈ R, hallar las únicas funciones x, y, z, u ∈ C 1 (R) que satisfacen las identidades x0 (t) = 4 x(t), x(t0 ) = 1, y 0 (t) = x(t) + 4 y(t), y(t0 ) = 1, 0 z(t0 ) = 1, 0 u(t0 ) = 1. z (t) = −y(t) + 4 z(t) + u(t), u (t) = x(t) + 4 u(t), Problema 22. Fijado t0 ∈ R, hallar las únicas funciones x, y, z, u ∈ C 1 (R) que satisfacen las identidades x0 (t) = −2 x(t), x(t0 ) = 2, y 0 (t) = x(t) − y(t) − u(t) + e−2t , y(t0 ) = 0, z 0 (t) = x(t) − y(t) − 2 z(t) + u(t), z(t0 ) = 1, u0 (t) = y(t) − 3 u(t) + e−2t , u(t0 ) = 0. Problema 23. Si a, b ∈ R, hallar las únicas funciones x, y ∈ C 1 (R) que satisfacen las identidades x0 (t) = a x(t) + b y(t) + teat , 0 2 at y (t) = x(t) + a y(t) + t e , x(0) = a, y(0) = a. c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 126 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Métodos de solución de Sistemas Lineales Problema 24. Dados a, b ∈ R, resolver el problema de valores iniciales x0 (t) = a x(t) − b z(t) + (1 + b2 ) eat , x(0) = 0, y 0 (t) = a y(t) + z(t) + b (1 + b2 ) eat , y(0) = 0, z 0 (t) = b x(t) − y(t) + a z(t), z(0) = 1 + b2 . Problema 25. Dados a, b, t0 ∈ R, hallar las únicas funciones x, y, z ∈ C 1 (R) que satisfacen las identidades x0 (t) = a x(t) + b y(t), y 0 (t) = b x(t) + a y(t) + b z(t), x(t0 ) = a, √ y(t0 ) = b 2, z 0 (t) = b y(t) + a z(t), z(t0 ) = −a, Problema 26. Para cada a ∈ R, resolver el problema de valores iniciales x0 (t) = (a + 1) x(t) − y(t) + 1, x(0) = −1 y 0 (t) = x(t) + (a − 1) y(t) + 1, y(0) = −1 1 z(0) = − 9 z 0 (t) = 3z(t) + t, Problema 27. Hallar la única solución del problema de valores iniciales x0 (t) 5 0 2 x(t) −1 y 0 (t) = −2 3 −2 y(t) + 2 t e3 t 1 ; z 0 (t) 0 2 1 z(t) 1 x(0) 1 y(0) = −1 z(0) 1 Problema 28. Hallar las únicas funciones x1 , x2 , x3 : R −→ R de clase C 1 (R) que satisfacen las identidades x01 (t) = x1 (t) + x2 (t) + 3x3 (t) x02 (t) = 2x1 (t) + 2x2 (t) − 3x3 (t) x03 (t) = −2x1 (t) + x2 (t) + 6x3 (t) + e3t c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Ejercicios 127 y también que x1 (0) = 0, x2 (0) = 1 y x3 (0) = 0. Problema 29. Dados los escalares a, b, x0 , y0 , z0 , u0 ∈ R determinar las únicas funciones de clase C 1 (R), x, y, z, u : R −→ R, que satisfacen las identidades x0 (t) = a x(t) + y(t) + b eat , x(0) = x0 , y 0 (t) = a y(t) − b u(t) − b2 eat sen(bt), y(0) = y0 , h i z 0 (t) = x(t) + y(t) + a z(t) + eat sen(bt) + bcos(bt) , z(0) = z0 , u0 (t) = b y(t) + a u(t) + b2 eat cos(bt), u(0) = u0 . Problema 30. Hallar las funciones xj ∈ C 1 (R), j = 1, . . . , 6, que satisfacen las identidades x01 (t) = 2x1 (t) − x2 (t) + t, x02 (t) = 2x2 (t) − 1, x03 (t) = x3 (t) + x4 (t) + cos(t), x04 (t) = −x3 (t) + x4 (t) − sen(t), x05 (t) = −x3 (t) + x5 (t) + x6 (t) − cos(t), x06 (t) = −x4 (t) − x5 (t) + x6 (t) + sen(t). De entre todas ellas determinar las que verifican que xj (1) = 0, j = 1, . . . , 6 y también las que verifican que x1 (1) − x4 (1) = x2 (1) − x6 (1) = x3 (1) = x5 (1) = 0. 0 a b √ Problema 31. Sean a, b, c ∈ R, θ = a2 + b2 + c2 y la matriz A = −a 0 c . −b −c 0 Demostrar que θ es el módulo de los autovalores complejos de A y que v = (c, −b, a)T es un autovector correspondiente al autovalor 0. Si I ⊂ R es un intervalo no trivial y h ∈ C(I) concluir que para cada t0 ∈ I µ Z t ¶ · µ Z t ¶¸ 1 1 h(s) ds A + 2 (1 − cos θ h(s) ds A2 Φ(t) = Id + sin θ θ θ t0 t0 c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 128 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Métodos de solución de Sistemas Lineales es una matriz fundamental del sistema x0 (t) = h(t)Ax(t) y también que µ Z t ¶ · µ Z t ¶¸ 1 1 G(t, s) = Id + sin θ h(u) du A + 2 (1 − cos θ h(u) du A2 θ θ s s es la función de Green de dicho sistema. 0 1 0 Problema 32. Si τ ∈ R y A = −1 0 −τ , hallar Φ, la única matriz fundamental del 0 τ 0 sistema x0 (t) = 3t2 Ax(t) que satisface Φ(0) = Id. Problema 33. Dados a, b ∈ R, determinar todas las funciones x, y, z ∈ C 1 (R) que verifican las identidades x0 (t) = a y(t) + b z(t) + b, x(0) = 0, y 0 (t) = −a x(t), y(0) = a, z 0 (t) = −b x(t), z(0) = b. Problema 34. Dados a, b, t0 , ∈ R y θ = que satisfacen las identidades √ 1 + b2 , hallar las únicas funciones x, y, z ∈ C 1 (R) x0 (t) = a x(t) + b y(t) + b cos(θt), y 0 (t) = −b x(t) + a y(t) − z(t) + θ sen(θt), z 0 (t) = y(t) + a z(t) + cos(θt), x(t0 ) = 1, y(t0 ) = θ, z(t0 ) = −b. Problema 35. Obtener todas las curvas planas cuya curvatura es constante e igual a k ∈ R. Problema 36. Sean I ⊂ R un intervalo no trivial, f, g : I −→ R funciones continuas con f no nula, B, C ∈ Mm (R) y consideremos la aplicación matricial A : I −→ Mm (R) definida como A(t) = f (t)B + g(t)C. Demostrar que A(t)A(s) = A(s)A(t), para cada t, s ∈ I si y sólo si c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Ejercicios 129 ¡ ¢¡ ¢ f (t)g(s) − f (s)g(t) BC − CB = 0, para cada t, s ∈ I, y por tanto si y sólo si o bien B y C conmutan o bien existe α ∈ R tal que g(t) = αf (t) para cada t ∈ I. · ¸ f 0 Problema 37. Sean I ⊂ R un intervalo no trivial, f, g ∈ C(I) y A = . Fijado f g t0 ∈ I, hallar Φ la única matriz fundamental del sistema x0 (t) = A(t)x(t) tal que Φ(t0 ) = I. · ¸ 1 0 . Dado t0 ∈ I, se f 0 Problema 38. Sean I ⊂ R un intervalo no trivial, f ∈ C(I) y A = Z t A(s)ds define Φ(t) = e t0 ¿Qué explicación tiene que Φ0 (t) 6= A(t)Φ(t)? Resolver el sistema 0 x (t) = A(t)x(t). Problema 39. Encontrar una matriz fundamental del sistema x0 (t) = A(t)x(t) donde · A(t) = e2t + e−t e2t − e−t e2t − e−t e2t + e−t ¸ . Problema 40. Fijados I ⊂ R un intervalo no trivial, las funciones f, g ∈ C(I) y la aplicación f + 9g f − 3g −2f − 3g f + 9g −2f − 3g , resolver el matricial A : I −→ M3 (R) dada por A = f − 3g −2f − 3g −2f − 3g 4f + 9g sistema x0 (t) = A(t)x(t). Problema 41. Fijados I ⊂ R un intervalo no trivial, " las #funciones a, b, c, d ∈ C(I) y la a b aplicación matricial A : I −→ M2 (R) dada por A = , hallar la condición necesaria c d y suficiente para que A(t)A(s) = A(s)A(t) para cada t, s ∈ I y en ese caso resolver el sistema x0 (t) = A(t)x(t). c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 130 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Métodos de solución de Sistemas Lineales Problema 42. Fijados I ⊂ R un intervalo no trivial, las funciones α, β, γ ∈ C(I) y la α β γ aplicación matricial A : I −→ M3 (R) dada por A = β α 0 , hallar la condición γ 0 α necesaria y suficiente para que A(t)A(s) = A(s)A(t) para cada t, s ∈ I y en ese caso resolver el sistema x0 (t) = A(t)x(t). Problema 43. Fijados I ⊂ R un intervalo no trivial, las funciones a, b, c, d ∈ C(I) y la apli a b c a d , determinar la condición cación matricial A : I −→ M3 (R) dada por A = −b −c −d a necesaria y suficiente para que A(t)A(s) = A(s)A(t) para cada t, s ∈ I y en ese caso resolver el sistema x0 (t) = A(t)x(t). Cuando la anterior propiedad se satisfaga, dados t0 ∈ I, x0 ∈ R3 y la función f : I −→ R definida como Z t Z t ³ ¡ ¢ ¡ ¢´ f (t) = b(t)e (t) 1, cos β(t) , sen β(t) , donde α(t) = a(s) ds, β(t) = b(s) ds, α t0 t0 resolver el problema de valores iniciales x0 (t) = A(t)x(t) + f (t), x(t0 ) = x0 . ¡ ¢T T Problema 44. Demostrar que si A ∈ Mm (R) entonces eA = eA . Concluir que si A es normal, es decir si AAT = AT A, entonces eA es normal y más concretamente si A es simétrica, entonces eA también lo es. Demostrar también que si A es antisimétrica, entonces eA es una matriz de rotación, es decir ortogonal con determinante igual a 1. Problema 45. Si A ∈ Mm (R), utilizar la forma canónica de Jordan de A para determinar cuándo eA = I. Concluir que si todos los autovalores de A son reales, entonces eA = I si y sólo si A = 0, pero que esto no es cierto si A tiene autovalores complejos. Utilizar estos resultados para caracterizar aquéllas matrices B que conmutan con A y satisfacen además que eA = eB . Problema 46. Si R ∈ Mm (R) es una matriz de rotación, demostrar que existe A ∈ Mm (R) antisimétrica y tal que eA = R. ¿Es única la matriz A? c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Ejercicios 131 Problema 47. Si A ∈ Mn (R), demostrar las siguientes afirmaciones: i) Si A es estable, entonces trA ≤ 0. Concluir que si trA > 0, entonces A es inestable. ii) Si A es asintóticamente estable, entonces trA < 0. Concluir que si trA = 0, entonces A no es asintóticamente estable. · Problema 48. Determinar los valores de a, b, c ∈ R para los cuales la matriz A = a b 0 c ¸ es estable o asintóticamente estable. Problema 49. Estudiar la estabilidad y estabilidad asintótica de las matrices 3 0 0 −1 0 0 0 0 0 1 5 , A2 = 0 −3 1 y A3 = 0 4 4 . A1 = 0 0 −5 1 0 0 −3 0 1 1 Problema 50. Estudiar los valores de a ∈ R para los cuales el sistema x0 (t) = y(t), y 0 (t) = (a − 1)x(t) + ay(t) es estable o asintóticamente estable. Problema 51. Consideremos · ¸la aplicación matricial A : R −→ M2 (R) determinada por la −1 e2t asignación A(t) = , para cada t ∈ R. Demostrar que para cada t ∈ R la matriz 0 −1 A(t) es asintóticamente estable pero que sin embargo la aplicación matrical A no es estable. Problema 52. Si r ≥ 0, determinar los valores de θ ∈ R para los cuales la matriz · Aθ = r cos θ r sen θ −r sen θ r cos θ ¸ c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 132 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Métodos de solución de Sistemas Lineales es estable o asintóticamente estable. Problema 53. Considerar A ∈ Mn (R) y suponer que A es antisimétrica. Demostrar que A es estable pero no asintóticamente estable. Problema 54. Considerar A ∈ Mn (R) y suponer que A es simétrica. Demostrar que A es estable sii es semidefinida negativa y asintóticamente estable sii es estrictamente definida negativa. Problema 55. Considerar A ∈ Mn (R) y suponer que A es normal, es decir AAT = AT A. Demostrar que A es estable o asintóticamente estable sii su parte simétrica, es decir la matriz 1 (A + AT ), es estable o asintóticamente estable, respectivamente. 2 c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° TEMA 5.1. 5 ECUACIONES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR Introducción Nuestro propósito en este capítulo es abordar el estudio de las ecuaciones lineales de orden superior, es decir de orden mayor que 1. El único ejemplo de esta situación que hemos analizado hasta ahora corresponde a la generalización del problema del cálculo de primitivas. Concretamente en la Introducción del primer tema planteamos la EDO de segundo orden x00 (t) = f (t) y para resolverla planteamos la siguiente estrategia que la reducía a dos ecuaciones de primer orden: Si consideramos la función auxiliar y(t) = x0 (t), entonces y 0 (t) = f (t). Aunque en aquel momento no precisamos más, realmente lo que hicimos fue convertir la EDO en el siguiente sistema x0 (t) = y(t) y 0 (t) = f (t) que resolvimos de manera regresiva. De forma equivalente, podemos expresar el sistema anterior como " x0 (t) y 0 (t) # " = 0 1 #" 0 0 x(t) y(t) 133 # " + 0 f (t) # . 134 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Ecuaciones lineales de orden superior De manera más general si, como propusimos en el primer problema del Tema 1, pretendemos resolver la EDO de orden n + 1 xn+1) (t) = f (t) podemos hacerlo planteando el sistema de primer orden con n + 1 ecuaciones e incógnitas x01 (t) .. . = x0 (t) n 0 xn+1 (t) x1 (t) 1 ··· 0 .. .. . . .. . . . . 0 0 ··· 1 xn (t) xn+1 (t) 0 0 ··· 0 0 .. . 0 .. . + 0 , donde x1 (t) = x(t). f (t) y resolverlo de manera regresiva. Los mismos argumentos concluyen también que el problema de valores iniciales xn+1) (t) = f (t), x(t0 ) = z0 , . . . , xn) (t0 ) = zn es equivalente al siguiente problema de valores iniciales x01 (t) .. . = x0 (t) n 0 xn+1 (t) 1 ··· 0 x1 (t) .. . . .. .. . . . . 0 0 ··· 1 xn (t) 0 0 ··· 0 xn+1 (t) 0 .. . + 0 .. . 0 f (t) , x1 (t0 ) z0 .. .. . . = x (t ) z n 0 n−1 xn+1 (t0 ) zn , situación en la que nuevamente la incógnita inicial x es igual a la función x1 . Como veremos a continuación esta estrategia de reformular la EDO xn+1 (t) = f (t) como un sistema de primer orden no es exclusiva del cálculo de primitivas y puede generalizarse a todas las situaciones que nos plantearemos. 5.2. Teoría general para ecuaciones de orden superior El objetivo de esta sección es el estudio de los problemas de valores iniciales asociados a las ecuaciones lineales escalares, es decir a las ecuaciones lineales de orden n ≥ 1. El caso c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Teoría general para ecuaciones de orden superior 135 particular n = 1 fue completamente descrito y resuelto en el primer tema, de hecho sirvió de guía para el desarrollo del Tema 4, de manera que nuestro interés se centrará en analizar el caso n > 1, lo que justifica la denominación de orden superior que hemos adoptado para describir el contenido del presente capítulo. De acuerdo con las notaciones establecidas en el primer tema tenemos la siguiente nomenclatura: Datos de una EDO lineal de orden superior • El número natural no nulo n y el intervalo no trivial I ⊂ R. • Término fuerza: f : I −→ R continua. • Coeficientes: aj : I −→ R continuas, j = 1, . . . , n, Los datos anteriores determinan la EDO xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = f (t), (5.1) que cuando n = 1 es equivalente a la EDO lineal x0 (t) = a(t)x(t)+f (t), donde a(t) = −a1 (t), que fue analizada y resuelta en el primer tema. La identidad (5.1) plantea el problema de buscar las funciones x ∈ C n (I) tales que para cada t ∈ I satisfagan la identidad descrita. cada una de tales funciones será denominada solución de la EDO. Es razonable esperar que el conjunto de soluciones de la EDO (5.1) dependa de n constantes y que éstas puedan ser determinadas imponiendo que la solución verifique condiciones adicionales. Así, denominaremos Problema de valores iniciales al consistente en fijados t0 ∈ I y x0 , . . . , xn−1 ∈ R, determinar la/s solución/es de la EDO (5.1) que además satisfacen que x(t0 ) = x0 , x0 (t0 ) = x1 , . . . , xn−1 (t0 ) = xn−1 . Representaremos tal problema en la forma siguiente: Problema de valores iniciales xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = f (t) x(t0 ) = x0 , x0 (t0 ) = x1 , . . . , xn−1) (t0 ) = xn−1 Por las mismas razones que ya fueron descritas en el estudio de los sistemas de lineales de EDO, que abordamos en los temas anteriores, para describir el conjunto de soluciones de la EDO (5.1) será de gran importancia el análisis de la EDO que tiene los mismos coeficientes y donde el término fuerza es nulo. Denominamos ecuación homogénea asociada a (5.1) a la EDO lineal de orden n xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0. (5.2) c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 136 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Ecuaciones lineales de orden superior Como comentamos en la introducción de este tema, es posible reducir el análisis de una EDO lineal de orden n al de un sistema lineal, que denominaremos sistema equivalente. Concretamente, demostraremos que si A : I −→ Mn (R) y f ∗ : I −→ Rn están definidas como 0 1 ··· 0 0 .. .. .. ... .. . . . A(t) = , f ∗ (t) = . 0 0 0 ··· 1 f (t) −an (t) −an−1 (t) · · · −a1 (t) , (5.3) entonces dados t0 ∈ I y x0 , . . . , xn−1 ∈ R, x : I −→ R es una solución del problema de valores iniciales xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = f (t), x(t0 ) = x0 , . . . , xn−1 (t0 ) = xn−1 , si y sólo si z : I −→ Rm definida co¡ ¢T mo z(t) = x(t), . . . , xn−1) (t) , es solución del problema de valores iniciales ¡ ¢T z 0 (t) = A(t)z(t) + f ∗ (t), z(t0 ) = x0 , . . . , xn−1 ∈ Rn . En particular, x es solución de la ecuación homogénea xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0 si y sólo si z es solución del sistema homogéneo z 0 (t) = A(t)z(t). ¡ ¢T Supongamos que z = z1 (t), . . . , zn (t) es de clase C 1 (I). Entonces, tenemos que A(t)z(t) + f ∗ (t) = 0 .. . 1 .. . ··· .. . 0 .. . z1 (t) .. . z 0 0 ··· 1 n−1) (t) −an (t) −an−1 (t) · · · −a1 (t) zn (t)(t) + z2 (t) .. . = zn (t) 0 .. . 0 f (t) f (t) − an (t)z1 (t) − · · · − a2 (t)zn−1 (t) − a1 (t)zn (t)(t) de manera que z 0 (t) = A(t)z(t) + f ∗ (t) si y sólo si zj0 (t) = zj+1 (t), para cada j = 1, . . . , n − 1 zn0 + a1 (t)zn (t)(t) + a2 (t)zn−1 (t) + · · · + an (t)z1 (t) = f (t). c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Teoría general para ecuaciones de orden superior 137 Como z1 (t) = z2 (t) y z20 (t) = z3 (t), resulta que z100 (t) = z3 (t). Si suponemos que para cada k) k < n − 1 se satisface que z1 (t) = zk+1 (t), entonces k+1) z1 ¡ k) ¢0 0 (t) = z1 (t) = zk+1 (t) = zk+2 (t). lo que implica que k) z1 (t) = zk+1 (t), para cada k = 1, . . . , n − 1. ¡ ¢T Por tanto, hemos demostrado que si z(t) = z1 (t), . . . , zn (t) es una solución del sistema z 0 (t) = A(t)z(t) + f ∗ (t) necesariamente zj (t) = z j−1) (t) para cada j = 2, . . . , n. Teniendo estas identidades en cuenta, resulta que f (t) = zn0 (t) + a1 (t)zn (t) + a2 (t)zn−1 (t) + · · · + an (t)z1 (t) ¡ n−1) ¢0 n−1) n−2) = z1 (t) + a1 (t)z1 (t) + a2 (t)z1 (t) + · · · + an (t)z1 (t) n) n−1) = z1 (t) + a1 (t)z1 n−2) (t) + a2 (t)z1 (t) + · · · + an (t)z1 (t) es decir z1 es una solución de (5.1). Recíprocamente si x es una solución de (5.1), siguiendo ¡ ¢T los pasos anteriores, es inmediato comprobar que z(t) = x(t), . . . , xn−1) (t) es una solución del sistema z 0 (t) = A(t)z(t) + f ∗ (t). El resto de afirmaciones de (5.3) son ahora inmediatas de verificar. Después de este resultado, resulta que las propiedades fundamentales de las soluciones de las EDO lineales de orden superior aparecen como consecuencia inmediata de las propiedades de las soluciones de los sistemas lineales, que fueron desarrolladas en los temas precedentes. En particular, del Teorema de existencia y unicidad de solución de cada problema de valor inicial para sistemas lineales se deduce inmediatamente que cada problema de valor incial para la la EDO lineal xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = f (t) (5.4) tiene solución única. De manera análoga a la situación que se presenta para sistemas lineales, el hecho de que todas las soluciones de la ecuación lineal sean globales, permite superponer soluciones. Tenemos así la siguiente transcripción del principio de superposición: c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 138 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Ecuaciones lineales de orden superior Principio de superposición para ecuaciones lineales Dados n ∈ N∗ y a1 , . . . , an ∈ C(I), el conjunto de soluciones de la EDO lineal homogénea xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0 es un espacio vectorial real de dimensión n y para cada función continua f ∈ C(I), el conjunto de soluciones de la EDO lineal xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = f (t) tiene estructura de espacio afín cuya variedad lineal subyacente es el espacio vectorial de soluciones de la ecuación homogénea. Además, {x1 , . . . , xn } es base de soluciones del sistema homogéneo si y sólo si existe t0 ∈ I tal que x (t ) x (t ) n 0 1 0 .. .. , . . . , . . n−1) n−1) x1 (t0 ) xn (t0 ) es base de Rn y esto ocurre si y sólo si x1 (t) xn (t) .. .. ,..., . . n−1) n−1) x1 (t) xn (t) es base de Rn para todo t ∈ I. La primera parte del anterior principio de superposición corresponde a la siguiente lectura de (3.14) aplicada a EDO lineales de orden superior: Si xp es una solución de xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = f (t), entonces cualquier otra solución se expresa como x = xp + z donde z es una solución de la ecuación homogénea z n) (t) + a1 (t)z n−1) (t) + · · · + an (t)z(t) = 0. (5.5) Como el principio de superposición establece que la dimensión del espacio de soluciones de la EDO (5.2) es n, resulta que si {x1 , . . . , xn } es una base del espacio de soluciones de la EDO homogénea (5.2), entonces el espacio vectorial de las soluciones de (5.2) está determinado por la identidad n o x(t) = c1 x1 (t) + · · · + cn xn (t) : c1 , . . . , cn ∈ R . (5.6) Otra consecuencia importante del principio de superposición es que para encontrar una base del espacio de soluciones de la EDO lineal homogénea (5.2), es suficiente escoger t0 ∈ I y {u1 , . . . , un } una base de Rn y resolver los n problemas de valor inicial cuyos datos están determinados por las componentes de cada uno de los vectores de la base. c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Teoría general para ecuaciones de orden superior 139 Por otra parte, es conveniente disponer de algún argumento que permita dilucidar si n soluciones de la EDO homogénea son base de soluciones de la misma. Para ello, será útil la siguiente noción: Dadas las funciones g1 , . . . , gn ∈ C n−1 (I), se denomina wronskiano de g1 , . . . , gn a la función w[g1 , . . . , gn ] : I −→ R definida como g1 (t) · · · gn (t) .. .. ... w[g1 , . . . , gn ](t) = det , para cada t ∈ I. . . n−1) g1 (t) · · · n−1) gn (5.7) (t) Teniendo presente la relación existente entre las soluciones de la EDO homogénea de orden superior (5.2) y las del sistema homogéneo equivalente a ella z 0 (t) = A(t)z(t), resulta que dadas x1 , . . . , xn ∈ C n (I) y la aplicación matricial Φ : I −→ Mn (R) definida como ··· xn (t) .. .. Φ(t) = . , . n−1) n−1) x1 (t) · · · xn (t) x1 (t) .. . para cada t ∈ I, (5.8) entonces las funciones x1 , . . . , xn son simultáneamente soluciones de la EDO homogénea xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0 si y sólo si la aplicación matricial Φ satisface la identidad Φ0 (t) = A(t)Φ(t). Además, es claro que, después de la definición de wronskiano, det Φ(t) = w[x1 , . . . , xn ](t), para cada t ∈ I, de manera que, si tenemos en cuenta que la traza de la matriz de coeficientes del sistema lineal equivalente a la EDO (5.2) es −a1 resulta la siguiente consecuencia del correspondiente resultado para sistemas homogéneos: Lema de Abel-Liouville para ecuaciones lineales Fijados n ∈ N∗ , I un intervalo no trivial y las funciones a1 , . . . , an ∈ C(I), entonces si x1 , . . . , xn son soluciones de la EDO xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0, para cada t0 ∈ I se satisface que Z t − a1 (s) ds t0 w[x1 , . . . , xn ](t) = w[x1 , . . . , xn ](t0 ) e , para cada t ∈ I. Además, {x1 , . . . , xn } son base del espacio de soluciones de la EDO homogénea si y sólo si existe t0 ∈ I tal que w[x1 , . . . , xn ](t0 ) 6= 0 o, de forma equivalente, si y sólo si w[x1 , . . . , xn ](t0 ) 6= 0, para cada t ∈ I. c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 140 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Ecuaciones lineales de orden superior Teniendo ahora en cuenta la relación expresada en (5.3) entre las soluciones de la EDO (5.2) y el sistema de primer orden asociado, la identidad 5.6) puede expresarse de manera equivalente como si {x1 , . . . , xn } es una base del espacio de soluciones de la EDO homogénea (5.2) y Φ : I −→ Mn (R) es la aplicación matricial definida como x1 (t) · · · xn (t) .. .. .. Φ(t) = . , para cada t ∈ I, . . n−1) x1 (t) · · · n−1) xn (t) (5.9) entonces x es solución de (5.2) si y sólo si existe c ∈ Rn tal que x(t) = [Φ(t)c]1 = primera componente de Φ(t)c. La expresión anterior para el espacio de soluciones del sistema homogéneo, permite ahora determinar fácilmente la única solución de cada problema de valores iniciales: Si dados t0 ∈ I y x0 ∈ Rm planteamos el problema de valores iniciales xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0, x(t0 ) = x0 , . . . , xn−1) (t0 ) = xn−1 , entonces x(t) = [Φ(t)c]1 para algún c ∈ Rn . Como además, aplicando (5.3), para cada k = 1, . . . , n − 1 tenemos que xk) (t) = [Φ(t)c]k = k-ésima componente de Φ(t)c, resulta que si definimos el vector z0 = (x0 , . . . , xn−1 )T ∈ Rn , entonces z0 = Φ(t0 )c y en definitiva, hemos demostrado que si {x1 , . . . , xn } es una base del espacio de soluciones de la EDO homogénea (5.2) y Φ : I −→ Mn (R) es la aplicación matricial definida como x1 (t) · · · xn (t) .. .. ... Φ(t) = , para cada t ∈ I, . . n−1) x1 (t) · · · n−1) xn (t) entonces para cada t0 ∈ I y cada z0 = (x0 , . . . , xn−1 ) ∈ Rn la única solución del problema de valores iniciales xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0, (5.10) x(t0 ) = x0 , . . . , xn−1) (t0 ) = xn−1 , está dada por la identidad ¤ £ x(t) = Φ(t)Φ−1 (t0 ) z0 1 = primera componente de Φ(t)Φ−1 (t0 ) z0 . c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Teoría general para ecuaciones de orden superior 141 Una vez resuelto completamente el problema de valores iniciales para la (5.2), podemos considerar f : I −→ R continua plantearnos resolver los problemas de valores iniciales asociados a la EDO no homogénea (5.1). Como las soluciones de la EDo homogénea (5.2) sonn conocidas, después de (5.5), para conocer todas las soluciones de la EDO (5.1) es suficiente determinar una solución particular xp . Por otra parte, teniendo nuevamente en cuenta la equivalencia entre la EDO (5.1) y el sistema asociado, basta considerar la primera componente de una solución particular para este último, que como sabemos puede determinarse a partir del Método de variación de las constantes. Supongamos pues que {x1 , . . . , xn } es una base del espacio de soluciones de la EDO homogénea (5.2) y consideremos la aplicación matricial determinada por ella, es decir, x1 (t) · · · xn (t) .. .. ... Φ(t) = , para cada t ∈ I. . . n−1) x1 (t) · · · n−1) xn (t) £ ¤ Entonces, si α : I −→ Rn es una primitiva de Φ−1 (t)f ∗ (t), resulta que xp (t) = Φ(t)α(t) 1 es una solución particular de la EDO (5.1). En definitiva, tenemos la siguiente reformulación de (3.23): Si {x1 , . . . , xn } es una base de soluciones de la ecuación lineal homogénea xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0, entonces para cada f ∈ C(I),todas las soluciones de la ecuación lineal xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = f (t), están determinadas por la expresión x(t) = [c1 + α1 (t)]x1 (t) + · · · + [cn + αn (t)]xn (t), ¡ ¢ donde c1 , . . . , cn ∈ R y la función α : I −→ Rn dada por α(t) = α1 (t), . . . , αn (t) satisface que α0 (t) = Φ−1 (t)f ∗ (t), o de forma equivalente, £ ¤ £ ¤ £ ¤ x(t) = Φ(t)c + Φ(t)α(t) 1 = Φ(t)c 1 + Φ(t)α(t) 1 , c ∈ Rn . (5.11) Si ahora fijamos t0 ∈ I y x0 , . . . , xn−1 ∈ R, para identificar en la expresión (5.13) a la única solución de la EDO xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = f (t), que satisface estas condiciones iniciales podemos proceder directamente valorando la función obtenida en (5.13) y sus derivadas hasta el orden n − 1, en el punto t0 , o también indirectamente aprovechando que la equivalencia (5.3) entre la EDO y el sistema asociado se mantiene para los problemas de valor inicial. Así, si z0 = (x0 , . . . , xn−1 )T , entonces £ ¤ £ ¤ £ ¤ x(t) = Φ(t)c + Φ(t)α(t) 1 = Φ(t)c 1 + Φ(t)α(t) 1 , c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 142 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Ecuaciones lineales de orden superior donde Φ(t0 )c + Φ(t0 )α(t0 ) = z0 . Aplicando la Fórmula de Lagrange para sistemas lineales, obtenemos · Z −1 t ¸ −1 ∗ Φ (s)f (s) ds x(t) = Φ(t)Φ (t0 )z0 + Φ(t) t 0 1 Z t £ ¤ ¤ £ −1 −1 ∗ = Φ(t)Φ (t0 )z0 1 + Φ(t)Φ (s)f (s) 1 ds. t0 Por otra parte, para cada t, s ∈ I, la primera componente del vector Φ(t)Φ−1 (s)f ∗ (s) resulta de multiplicar la primera fila de la matriz Φ(t)Φ−1 (s) con el vector£ f ∗ (s). Como ¤ este último −1 tiene sus primeras n − 1 componentes nulas, si denotamos por Φ(t)Φ (s) 1,n al primer elemento de la columna n-ésima de la matriz Φ(t)Φ−1 (s), resulta que £ ¤ £ ¤ Φ(t)Φ−1 (s)f ∗ (s) 1 = Φ(t)Φ−1 (s) 1,n f (s). En definitiva, tenemos la siguiente adaptación de la Fórmula de Lagrange para el caso de EDO lineales de orden superior: Fórmula de Lagrange para ecuaciones lineales Fijados n ∈ N∗ , I un intervalo no trivial y a1 , . . . , an ∈ C(I), si {x1 , . . . , xn } es una base del espacio de soluciones de la EDO xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0, entonces para , cada t0 ∈ I, cada x0 , . . . , xn−1 ∈ R y cada f ∈ C(I), la función Z t £ ¤ £ ¤ −1 x(t) = Φ(t)Φ (t0 )z0 1 + Φ(t)Φ−1 (s) 1,n f (s) ds, t0 x1 (t) · · · xn (t) x0 .. .. ... donde z0 = ... y Φ(t) = , es la única solución . . n−1) n−1) xn−1 x1 (t) · · · xn (t) del problema de valores iniciales xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = f (t), x(t0 ) = x0 , . . . , xn−1) (t0 ) = xn−1 . Observemos que al igual que en el caso de sistemas lineales, la Fórmula de Lagrange para ecuaciones lineales expresa la única solución del problema de valores iniciales xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = f (t), x(t0 ) = x0 , . . . , xn−1) (t0 ) = xn−1 c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° La función de Green de una ecuación lineal £ −1 como superposición de Φ(t)Φ (t0 )z0 143 Z ¤ 1 t con t0 £ ¤ Φ(t)Φ−1 (s) 1,n f (s) ds las únicas soluciones, respectivamente, de los problemas de valores iniciales xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0, x(t0 ) = x0 , . . . , xn−1) (t0 ) = xn−1 , xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = f (t), x(t0 ) = 0, . . . , xn−1) (t0 ) = 0. 5.3. (5.12) La función de Green de una ecuación lineal Las expresiones obtenidas en la sección anterior tanto para la única solución de un problema de valores iniciales para la EDO homogénea (5.2) como para la ecuación completa (5.1) depende de la base del espacio de soluciones de la EDO homogénea, fijada a priori. Sin embargo, como ocurría para el caso de los sistemas lineales, dicha dependencia es de hecho inexistente pues tal y como muestra la Fórmula de Lagrange para ecuaciones lineales, la expresión de la solución se determina en términos de G(t, s) = Φ(t)Φ−1 (s), la función de Green del sistema equivalente a la EDO, que como sabemos caracteriza el sistema y es independiente de la elección de la base de partida. Además, la Fórmula de Lagrange para EDO lineales de orden superior sugiere como introducir el concepto análogo al de función de green para sistemas lineales Función de Green de una ecuación Si I ⊂ R es un intervalo no trivial, n ∈ N∗ y a1 , . . . , an ∈ C(I), denominaremos Función de Green de la EDO lineal xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0 a la g : I × I −→ R £ ¤ (t, s) −→ G(t, s) 1,n , donde G es la función de Green del sistema lineal equivalente a ecuación anterior. Como la función de Green del sistema equivalente a la EDO depende exclusivamente de los coeficientes de la matriz A definida en (5.3), es decir de los coeficientes de la EDO (5.2), resulta que la función de Green de la EDO de orden n depende sólo de los coeficientes de la EDO. Nuevamente, la fórmula de Lagrange puede reescribirse en términos de la Función de Green como sigue: c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 144 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Ecuaciones lineales de orden superior Fórmula de Lagrange-Green para ecuaciones lineales Fijados n ∈ N∗ , I un intervalo no trivial y a1 , . . . , an ∈ C(I), si g : I × I −→ R es la función de Green de la EDO xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0, entonces para cada t0 ∈ I, cada x0 , . . . , xn−1 ∈ R y cada f : I −→ R continua, la función Z t x(t) = G(t, t0 )z0 + g(t, s)f (s) ds, t0 donde G es la función de Green del sistema equivalente a la EDO y z0 = (x0 , . . . , xn−1 )T , es la única solución del problema de valores iniciales xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = f (t), xk) (t0 ) = xk , k = 0, . . . , n − 1. Observar que la Fórmula de Green-Lagrange permite en particular concluir que Z t si f ∈ C(I) y consideramos la función xp (t) = n tonces xp ∈ C (I) y además, k) xp (t0 ) g(t, s) f (s) ds, ent0 (5.13) = 0, para cada k = 0, . . . , n − 1. Por otra parte, de la definición de la función G, se deducen las siguientes propiedades para la función de Green de una EDO de orden n: Se verifica que g ∈ C 1 (I × I) y además, para cada s ∈ I fijado, la función xs : I −→ R definida como xs (t) = g(t, s) satisface que xs ∈ C n (I) y está caracterizada como la única solución del problema de valores iniciales n) xs (t) + n−1) a1 (t)xs (t) (5.14) + · · · + an (t)xs (t) = 0, para cada t ∈ I, n−2) xs (s) = x0s (s) = · · · = xs n−1) (s) = 0, xs (s) = 1. Naturalmente, este resultado podría haber obtenido haciemdo uso de la Fórmula de Leibniz de derivación bajo el signo y de las propiedades de la función de Green expresadas en (5.14). Si nuevamente apelamos a la interpretación de la solución de cada problema de valores iniciales para la EDO xn) (t)+a1 (t)xn−1) (t)+· · ·+an (t)x(t) = f (t) en términos de la respuesta a la perturbación externa f de un sistema físico, mecánico, químico, biológico, etc., y cuyas características están recogidas en la matriz de coeficientes y cuyo estado en el instante t0 es conocido, resulta que la función de Green aparece como una propiedad intrínseca del sistema físico, mecánico, químico o biológico, que depende exclusivamente de sus características y capaz de proporcionar la información sobre el estado del mismo a partir de las perturbaciones introducidas en él. De hecho, el primer sumando en la fórmula de Lagrange-Green representa c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Ecuaciones lineales con coeficientes constantes 145 la evolución del estado del sistema, no sometido a acciones externas, a partir del conocimiento del estado en un instante dado, mientras que el segundo sumando representa la evolución del estado del sistema que en el instante t0 se hallaba en reposo y que está sometido a la acción externa f . 5.4. Ecuaciones lineales con coeficientes constantes Al igual que hicimos para el caso de sistemas lineales, nos planteamos ahora la resolución explícita de las EDO lineales de orden superior, cuando esto sea posible. De la teoría general sabemos que la determinación explícita de las soluciones de la EDO (5.1) depende de que seamos capaces de determinar explícitamente las soluciones de (5.2). Supongamos pues que I ⊂ R es un intervalo no trivial y consideremos las funciones a1 , . . . , an ∈ C(I) y la aplicación 0 1 ··· 0 .. .. .. . . . . . . matricial determinada por ellas, A(t) = , t ∈ I. 0 0 ··· 1 −an (t) −an−1 (t) · · · −a1 (t) Como resolver la EDO lineal xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0, es equivalente a resolver el sistema z 0 (t) = A(t)z(t), debemos plantearnos cuándo será posible describir explícitamente las soluciones de este sistema. De acuerdo con la teoría general desarrollada en el tema anterior, una condición suficiente para determinar explícitamente una matriz fundamental del sistema es que se satisfaga la propiedad A(t)A(s) = A(s)A(t), para cada t, s ∈ I, pues en este caso, tal matriz fundamental se describe en términos de la exponencial de una primitiva de la matriz A. En nuestro caso, tenemos que para cada t, s ∈ I se verifica que 0 .. . 0 .. . 1 .. . ··· ... 0 .. . 0 0 0 ··· 1 A(t)A(s) = −an (s) −an−1 (s) −an−2 (s) · · · −a1 (s) bn (t, s) bn−1 (t, s) bn−2 (t, s) · · · , donde b1 (t, s) bn (t, s) = a1 (t)an (s) y bk (t, s) = a1 (t)ak (s) − ak+1 (t), k = 1, . . . , n − 1. de manera que para que se satisfaga que A(t)A(s) = A(s)A(t), para cada t, s ∈ I debe ocurrir que ak (s) = ak (t), para cada t, s ∈ I y cada k = 1, . . . , n, es decir que las funciones coeficientes sean constantes. Además, si esta condición se satisface es obvio que A(t) es c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 146 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Ecuaciones lineales de orden superior constante y por tanto A(t)A(s) = A2 = A(s)A(t), para cada t, s ∈ I. En definitiva, Fijados n ∈ N∗ , I un intervalo no trivial y ak ∈ C(I), k = 1, . . . , n la condición necesaria y suficiente para que la matriz de coeficientes del sistema equivalente a la EDO lineal xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0 verifique la propiedad de conmutación es que las funciones coeficientes ak , k = 1, . . . , n sean constantes. (5.15) Después de este resultado, debemos suponer que los coeficientes de la EDO (5.1) son constantes, lo que en particular implica que el intervalo de definición de las soluciones de la correspondiente EDO homogénea es R. Consideremos pues a1 , . . . , an ∈ R, la EDO xn) (t) + a1 xn−1) (t) + · · · + an x(t) = 0 y el sistema equivalente z (t) = Az(t) donde A = 0 .. . 0 1 .. . (5.16) ··· ... 0 .. . 0 0 ··· 1 −an −an−1 · · · −a1 ∈ Mn (R). De acuerdo con la teoría de sistemas lineales, la aplicación Φ(t) = etA es matriz fundamental y G(t, s) = e(t−s)A la función de Green del sistema. Por tanto, las funciones componentes de la primera fila de la matriz etA es base de soluciones de la EDO (5.16) y la primera componente de la última columna de e(t−s)A su función de Green. Observar también que si P ∈ Mn (R) es no singular, entonces la primera fila de la matriz etA P determina una base de soluciones de (5.16) y recíprocamente toda base de soluciones de (5.16) se obtiene de esta forma. Según la teoría desarrollada en el tema anterior, para calcular etA es conveniente determinar la Forma Canónica de Jordan de A, lo que requiere previamente el cálculo de los autovalores de A así como la determinación de sus multiplicidades algebraica y geométrica. También es preciso conocer una base de Jordan determinada por A. Los autovalores, reales o complejos, de A son las raíces de su polinomio característico, es decir de x 0 .. . −1 x .. . pA (x) = det [xI − A] = det 0 0 an an−1 0 ··· 0 −1 · · · 0 .. .. .. . . . ··· x −1 · · · a2 x + a1 . c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Ecuaciones lineales con coeficientes constantes 147 0 ··· 0 −1 · · · 0 . . . . . . Si para cada k = 1, . . . , n, definimos pk (x) = det , en. . . 0 0 ··· x −1 ak ak−1 · · · a2 x + a1 tonces pn (x) = pA (x), p1 (x) = x+a1 y además desarrollando por la primera columna, resulta que para cada k = 2, . . . , n se tiene que pk (x) = xpk−1 (x)+(−1)k+1 ak det x 0 .. . −1 0 · · · 0 x −1 · · · 0 .. . . . .. . . .. . 0 · · · x −1 −1 x .. . = xpk−1 (x)+ak . (5.17) Como p2 (x) = x(x+a1 )+a2 = x2 +a1 x+a2 , si suponemos que pk (x) = xk +a1 xk−1 +· · ·+ak , de (5.17) deducimos que pk+1 (x) = xpk (x)+ak+1 = xk+1 +a1 xk +· · ·+ak x+ak+1 , para cada k = 1, . . . , n − 1 y, en particular, pA (x) = xn + a1 xn−1 + · · · + an . (5.18) Como puede observarse, el polinomio característico de la matriz sistema de primer orden equivalente a la ecuación depende sólo de los coeficientes de la ecuación. Dados a1 , . . . , an ∈ R, denominamos polinomio característico de la EDO xn) (t) + a1 xn−1) (t) + · · · + an x(t) = 0 a p(x) = xn + a1 xn−1 + · · · + an . (5.19) Una vez determinado el polinomio característico de la matriz del sistema equivalente a la EDO (5.16) el siguiente paso para describir las soluciones de la EDO es calcular los vectores propios y la multiplicidad geométrica de cada autovalor. Supongamos pues que λ ∈ C es un cero del polinomio característico de la EDO (5.16), es decir satisface que λn + a1 λn−1 + · · · + an = 0. Los autovectores correspondientes a λ son los vectores pertenecientes al subespacio ker[A−λI], es decir los vectores v = (u1 , . . . , un )T ∈ Cn tales que λ −1 0 ··· 0 u1 0 0 λ −1 · · · 0 .. .. .. .. .. . . . . (5.20) . = . , . . . . . 0 0 0 ··· λ −1 un an an−1 · · · a2 λ + a1 c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 148 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Ecuaciones lineales de orden superior lo que implica que uk = λuk−1 , para cada k = 2, . . . , n y por tanto que uk = λk−1 u1 , para cada k = 1, . . . , n. Observar que la última ecuación de (5.20) determina que ¡ ¢ 0 = (λ + a1 )un + a2 un−1 + · · · + an u1 = (λ + a1 )λn−1 + a2 λn−2 + · · · + an u1 = p(λ)u1 , y es por tanto una ecuación redundante puesto que por hipótesis p(λ) = 0. Así pues, u1 está indeterminado y por tanto hemos obtenido que © ª si p(λ) = 0, entonces ker[A − λI] = sg (1, λ, . . . , λn−1 )T y por tanto, dim ker[A − λI] = 1. (5.21) Si recordamos la influencia que en la Forma Canónica de Jordan de A tiene el valor dim ker[A − λI], resulta que si λ ∈ R, sólo existe un bloque de Jordan asociado a λ y cuyo tamaño es mλ ≥ 1, la multiplicidad de λ como raíz de p(x), mientras que si λ ∈ C \ R, entonces sólo existe un bloque de Jordan asociado a λ y λ̄, cuyo tamaño es 2mλ , donde mλ es nuevamente la multiplicidad de λ como raíz de p(x). Supongamos ahora que λ ∈ R satisface que p(λ) = 0 y tiene a m ≥ 1 como multiplicidad. Consideremos también {u1 , . . . , um } los vectores de la base de Jordan determinados por λ. En estas circunstancias, sabemos que Auk = λuk + uk+1 , para cada k = 1, . . . , m − 1 y Aum = λum , lo que implica que las funciones · tλ zk (t) = e ¸ tm−k uk + t uk+1 + · · · + um , (m − k)! k = 1, . . . , m, (5.22) son un sistema de soluciones linealmente independientes del sistema z 0 (t) = Az(t). Aplicando la equivalencia entre las soluciones de este sistema y las de la EDO (5.16), resulta que si para cada k = 1, . . . , m, denotamos por uk,1 a la primera componente del vector uk y por zk,1 a la primera componente de la función zk , entonces · zk,1 (t) = e tλ ¸ tm−k uk,1 + t uk+1,1 + · · · + um,1 , (m − k)! k = 1, . . . , m, c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Ecuaciones lineales con coeficientes constantes 149 son un sistema de soluciones linealmente independientes de (5.16). ¡ ¢T Por otra parte, um = um,1 1, λ, . . . , λn−1 con um,1 6= 0, puesto que um es un autovector no nulo asociado a λ. Resulta entonces que zm,1 (t) = um,1 etλ y como la EDO (5.16) es lineal 1 y um,1 6= 0, la función x1 (t) = zk1 (t) = etλ es también solución de (5.16). um,1 £ ¤ Como zm−1,1 (t) = etλ um−1,1 + t um,1 , la linealidad de la EDO (5.16) implica ahora ¤ 1 £ que x2 (t) = zm−1,1 (t) − um−1,1 x1 (t) = t etλ es también solución de (5.16), y tiene la um,1 propiedad de que {x1 , x2 } generan el mismo subespacio que {zm,1 , zm−1,1 }. Si suponemos que las funciones xk (t) = tk−1 etλ , 1 ≤ k < m son soluciones de (5.16) tales que sg{x1 , . . . , xk } = sg{zm,1 , . . . , zm−k−1,1 }, entonces como · zm−k,1 (t) = e tλ tk−1 tk um−k,1 + t um−k+1,1 + · · · + um−1,1 + um,1 (k − 1)! k! = um−k,1 x1 (t) + · · · + ¸ um−1,1 tm xk (t) + um,1 etλ , (k − 1)! m! resulta que la función ¸ · k! um−1,1 xk+1 (t) = xk (t) = tk etλ , zm−k,1 (t) − um−k,1 x1 (t) − · · · − um,1 (k − 1)! es también solución de la EDO (5.16) y claramente sg{x1 , . . . , xk+1 } = sg{zm,1 , . . . , zm−k,1 }. Además, como para cada k = 0, . . . , m − 1, las funciones zm,1 , . . . , zm−k,1 son linealmente independientes resulta que x1 , . . . , xk+1 son asimismo linealmente independientes. En definitiva, si λ ∈ R satisface que p(λ) = 0 y tiene a m ≥ 1 como multiplicidad, entonces etλ , tetλ , . . . , tm−1 etλ , (5.23) son soluciones linealmente independientes de la EDO (5.16). Supongamos que a + ib con a, b ∈ R y b 6= 0 satisface que p(a + ib) = 0 y tiene a m ≥ 1 como multiplicidad. Consideremos también {v1 , w1 , . . . , vm , wm } los vectores de la base de Jordan determinados por a + i b. En estas circunstancias, sabemos que c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 150 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Ecuaciones lineales de orden superior Avk = avk − bwk + vk+1 , Awk = bvk + awk + wk+1 , para cada k = 1, . . . , m − 1, Avm = avm − bwm y Awm = bvm + awm , ya que A(vm + iwm ) = (a + i b)(vm + iwm ) lo que implica que las funciones · ¸ ¢ tm−k ¡ φk (t) = e cos(tb)vk − sen(tb)wk + · · · + cos(tb)vk − sen(tb)wk , (m − k)! · ¸ ¢ tm−k ¡ ta ψk (t) = e sen(tb)vk + cos(tb)wk + · · · + sen(tb)vk + cos(tb)wk , (m − k)! ta (5.24) donde k = 1, . . . , m, son un sistema de soluciones linealmente independientes del sistema z 0 (t) = Az(t). Aplicando la equivalencia entre las soluciones de este sistema y las de la EDO (5.16), resulta que si para cada k = 1, . . . , m, denotamos por vk,1 y wk,1 a la primera componente de los vectores vk y wk , respectivamente y por φk,1 y ψk,1 a la primera componente de las funciones φk y ψk,1 , entonces · ¸ ¢ tm−k ¡ φk,1 (t) = e cos(tb)vk,1 − sen(tb)wk,1 + · · · + cos(tb)vk,1 − sen(tb)wk,1 , (m − k)! · ¸ ¢ tm−k ¡ ta ψk,1 (t) = e sen(tb)vk,1 + cos(tb)wk,1 + · · · + sen(tb)vk,1 + cos(tb)wk,1 , (m − k)! ta son un sistema de soluciones linealmente independientes de (5.16). ¡ ¢T Por otra parte, vm + iwm = (vm,1 + iwm,1 ) 1, a + i b, . . . , (a + i b)n−1 , lo que implica que vm,1 , wk,1 6= 0, puesto que vm , wm 6= 0. Resulta entonces que ¢ ¢ ¡ ¡ φm,1 (t) = eta cos(tb)vk,1 − sen(tb)wk,1 y ψm,1 (t) = eta sen(tb)vk,1 + cos(tb)wk,1 son soluciones linealmente independientes de la EDO (5.16). Como ésta es lineal, las funciones vk,1 wk,1 φm,1 (t) + 2 ψm,1 (t) = eta cos(tb) 2 2 + wm,1 vm,1 + wm,1 vk,1 wk,1 zm (t) = 2 ψm,1 (t) − 2 φm,1 (t) = eta sen(tb) 2 2 vm,1 + wm,1 vm,1 + wm,1 ym (t) = 2 vm,1 c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Ecuaciones lineales con coeficientes constantes 151 son soluciones linealmente independientes de la EDO puesto que sg{φm,1 , ψm,1 } = sg{ym , zm }. Procediendo de manera análoga al caso de las raíces reales de p, resulta que si a + i b ∈ C con a, b ∈ R y b 6= 0 satisface que p(a + i b) = 0 y tiene a m ≥ 1 como multiplicidad, entonces eta sen(tb), eta cos(tb), teta sen(tb), teta cos(tb), . . . , tm−1 eta sen(tb), tm−1 eta cos(tb) (5.25) son soluciones linealmente independientes de la EDO (5.16). En definitiva, los resultados (5.23) y (5.25) permite obtener una base de soluciones de las ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes Sean n ∈ N∗ , ak ∈ R, k = 1, . . . , n, la EDO lineal con coeficientes constantes xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0, p(x) = xn + an xn−1 + · · · + an su polinomio característico y supongamos que p(x) = r Y mj (x − λj ) · j=1 s Y (x2 − 2ai x + a2i + b2i )ni , i=1 donde λj ∈ R, mj ≥ 1, j = 1, . . . , r, ai , bi ∈ R con bi 6= 0, ni ≥ 1, i = 1, . . . , s. Entonces, las funciones eλj t , t eλj t , . . . , tmj −1 eλj t , (5.26) j = 1, . . . , r eaj t cos(bj t), . . . , tnj −1 eaj t cos(bj t), j = 1, . . . , s eaj t sen(bj t), . . . , tnj −1 eaj t sen(bj t), j = 1, . . . , s son una base de soluciones de la EDO. En el resultado anterior, debe entenderse que r puede ser nulo, en cuyo caso p no tiene raíces reales y por tanto n ha de ser par, y también que s podría ser nulo, en cuyo caso p sólo tendrá raíces reales. Es claro que si r = 0, entonces la base del espacio de soluciones de la EDO homogénea (5.16) obtenida en (5.26) sólo está formado por funciones del tipo tk eat sen(tb) ó tk eat cos(tb), mientras que si s = 0, dicha base contiene sólo funciones de la forma tk etλ . Si ahora, dados t0 ∈ R y x0 , . . . , xn−1 ∈ R queremos determinar la única solución del problema de valores iniciales, xn) (t) + a1 xn−1) (t) + · · · + an x(t) = 0, x(t0 ) = x0 , . . . , xn−1) (t0 ) = xn−1 , c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 152 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Ecuaciones lineales de orden superior basta considerar una combinación lineal arbitraria de las funciones obtenidas en (5.26) e imponer las n-condiciones iniciales descritas. Esto requiere evaluar las funciones tk etλ , tk eat sen(tb) y tk eta cos(tb) y de sus sucesivas derivadas hasta el orden n − 1 en el punto t0 y resolver el sistema lineal al que da lugar la verificación de las condiciones iniciales. Como puede comprobarse la evaluación tanto de las funciones como de sus derivadas sucesivas en t0 es, en general, costoso. Sin embargo, en lugar de realizar todo este proceso, podemos utilizar algunas propiedades adicionales que no han sido tenidas en cuenta. Concretamente, como la EDO lineal y homogénea anterior tiene coeficientes constantes es fácil comprobar que si x es una solución entonces para cada h ∈ R la función y(t) = x(t − h) es también solución de la EDO, puesto que y k (t) = xk) (t−h) para cada t ∈ R. Aplicando esta propiedad resulta que la única solución del anterior problema de valores iniciales se expresa de la forma x(t) = y(t − t0 ), donde y es la única solución del problema de valores iniciales y n) (t) + a1 y n−1) (t) + · · · + an y(t) = 0, y(0) = x0 , . . . , y n−1) (0) = xn−1 . Esta descripción tiene la ventaja de que la evaluación de las funciones tk etλ , tk eat sen(tb) y t e cos(tb)y de sus sucesivas derivadas hasta el orden n − 1 en el punto 0 es mucho más ¡ ¢j) ¡ ¢j) j! sencillo. Por ejemplo, tk etλ (0) = 0 si j < k, mientras que tk etλ (0) = λj−k si (j − k)! j ≥ k. k ta El mismo razonamiento lo podemos emplear para determinar la función de Green para ecuaciones lineales con coeficientes constantes. Recordemos que dicha función está caracterizada por (5.14) que establece que para cada s ∈ R fijado la función xs (t) = g(t, s) es la única solución del problema de valores iniciales xn) (t) + a1 xn−1) (t) + · · · + an x(t) = 0, x(s) = · · · = xn−2) (s) = 0, xn−1) (s) = 1. Aplicando nuevamente la propiedad anterior de las EDO con coeficientes constantes, obtenemos que g(t, s) = α(t − s), donde α es la única solución del problema de valores iniciales xn) (t) + a1 xn−1) (t) + · · · + an x(t) = 0, x(0) = · · · = xn−2) (0) = 0, xn−1) (0) = 1. En definitiva, hemos probado los siguientes resultados, que además permiten una reesc Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Estabilidad de las ecuaciones lineales de orden superior 153 critura de la Fórmula de Green-Lagrange para las EDO con coeficientes constantes: Fijados n ∈ N∗ y ak ∈ R, k = 1, . . . , n, la función de Green de la EDO lineal con coeficientes constantes xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0, está determinada por la identidad g(t, s) = α(t − s), para cada t, s ∈ R, donde α es la única solución del problema de valores iniciales xn) (t)+a1 xn−1) (t)+· · ·+an x(t) = 0, x(0) = · · · = xn−2) (0) = 0, xn−1) (0) = 1. Además, fijados x0 , . . . , xn−1 ∈ R, si y es la única solución del problema de valores iniciales y n) (t) + a1 y n−1) (t) + · · · + an y(t) = 0, y(0) = x0 , . . . , y n−1) (0) = xn−1 , entonces, para cada t0 ∈ R y cada f ∈ C(R), la función Z t x(t) = y(t − t0 ) + α(t − s) f (s) ds, (5.27) t ∈ R, t0 es la única solución del problema de valores iniciales xn) (t) + a1 xn−1) (t) + · · · + an x(t) = f (t), 5.5. x(t0 ) = x0 , . . . , xn−1) (t0 ) = xn−1 . Estabilidad de las ecuaciones lineales En esta sección nos preocuparemos de las mismas cuestiones que en la sección del mismo nombre referida a los sistemas lineales. Una solución de la ecuación lineal correpondiente a los datos anteriores, es decir xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = f (t), es estable, ´T ¡ asintóticamente estable o inestable si y sólo si la función z(t) = x(t), . . . , xn−1) (t) es solución estable, asintóticamente estable o inestable del sistema z 0 (t) = A(t)z(t) + f ∗ (t), donde A(t) = 0 .. . 1 .. . ··· .. . 0 .. . 0 0 ··· 1 −an (t) −an−1 (t) · · · −a1 (t) y f ∗ (t) = 0 .. . 0 f (t) . Como el sistema homogéneo z 0 (t) = A(t)z(t) es equivalente a la ecuación homogénea x (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0, de los resultados de la Sección (3.5), obtenemos n) c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 154 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Ecuaciones lineales de orden superior inmediatamente que Una solución de la ecuación lineal xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = f (t) es estable, asintóticamente estable o inestable si y sólo si todas las soluciones son estables, asintóticamente estables o inestables, respectivamente y además la condición necesaria y suficiente para que esto ocurra es que la solución nula de la ecuación homogénea asociada xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0 sea estable, asintóticamente estable o inestable, respectivamente. (5.28) Nuevamente, y al igual que en el caso de sistemas lineales, el que todas las soluciones de una EDO lineal presenten el mismo tipo de comportamiento en cuanto a la estabilidad, justifica que la ecuación xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = f (t) se denomina estable, asintóticamente estable o inestable si la solución nula de la ecuación homogénea xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0 es estable, asintóticamente estable o inestable, respectivamente. (5.29) Finalmente, la caracterización 3.34 de la estabilidad del sistema lineal equivalente a la ecuación determina la siguiente caracterización de la estabilidad para las ecuaciones lineales: La ecuación xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = f (t) es estable o asintóticamente estable si y sólo si para cada t0 ∈ I si x es cualquier solución de la ecuación homogénea xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0, entonces para cada j = 1, . . . , n − 1 la función xj) (t) está acotada para t ≥ t0 o satisfacen que lı́m xj) (t) = 0, respectivamente. (5.30) t→+∞ En particular, para que cada solución tenga uno de los dos comportamientos es necesario y suficiente que lo tenga cada función perteneciente a una base de soluciones de la ecuación homogénea. 5.5.1. Estabilidad de las ecuaciones con coeficientes constantes En el caso particular de las ecuaciones lineales de orden superior y con coeficientes constantes conocemos explícitamente una base de soluciones que está determinada por los ceros del polinomio característico de la ecuación. Recordemos que (5.26) determina que c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Estabilidad de las ecuaciones lineales de orden superior 155 Dados n ∈ N∗ , ak ∈ R, k = 1, . . . , n, la EDO lineal con coeficientes constantes xn) (t)+a1 xn−1) (t)+· · ·+an x(t) = 0 y p(x) = xn +an xn−1 +· · ·+an su polinomio característico, si se satisface que p(x) = r Y mj (x − λj ) · s Y (x2 − 2ai x + a2i + b2i )ni , i=1 j=1 donde λj ∈ R, mj ≥ 1, j = 1, . . . , r, ai , bi ∈ R con bi 6= 0, ni ≥ 1, i = 1, . . . , s, entonces, las funciones eλj t , t eλj t , . . . , tmj −1 eλj t , j = 1, . . . , r eaj t cos(bj t), . . . , tnj −1 eaj t cos(bj t), j = 1, . . . , s eaj t sen(bj t), . . . , tnj −1 eaj t sen(bj t), j = 1, . . . , s son una base de soluciones de la EDO. A la vista de la anterior base de soluciones de la EDO homogénea, resulta sumamente sencillo aplicar utilizar las caracterizaciones (5.30) para establecer la estabilidad, estabilidad asintótica o inestabilidad de la ecuación. Si existe j = 1, . . . , r tal que λj > 0, entonces para ningún t0 ∈ R la función eλj t está acotada para t ≥ t0 . Análogamente, si aj > 0 para algún j = 1, . . . , s, entonces para ningún t0 ∈ R las funciones eaj t cos(bj t) y eaj t sen(bj t) están acotadas. Por otra parte, si λj < 0 , j = 1, . . . , r, entonces todas las funciones eλj t , t eλj t , . . . , tmj −1 eλj t así como sus derivadas sucesivas tienden a 0 cuando t → +∞. Este comportamiento también se satisface cuando aj < 0, j = 1, . . . , s, para las funciones eaj t cos(bj t), eaj t sen(bj t), . . . , tnj −1 eaj t cos(bj t), tnj −1 eaj t sen(bj t) y para sus sucesivas derivadas. Por último si λj = 0, entonces 1, t, . . . , tmj −1 son soluciones de la ecuación y la única posibilidad para que no aparecen funciones no acotadas es que mj = 0, lo que significa que λj tiene multiplicidad algebraica igual a 1, es decir es una raíz simple del polinomio característico. c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 156 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Ecuaciones lineales de orden superior Recapitulando los resultados obtenidos, tenemos las siguientes conclusiones: Consideremos n ∈ N∗ , los escalares a1 , . . . , an ∈ R, y la EDO lineal homogénea xn) (t) + a1 xn−1) + · · · + an x(t) = 0. • La EDO es asintóticamente estable si y sólo si la parte real de todas las raíces de su polinomio característico son estrictamente negativas. • La EDO es estable si y sólo si la parte real de todas las raíces de su polinomio característico son negativas y cada raíz con parte real nula es simple. (5.31) • La EDO es inestable si y sólo si si y sólo si su polinomio característico tiene o bien una raíz con parte real estrictamente positiva o bien una raíz múltiple con parte real nula. Terminaremos la sección, y esta introducción al análisis de la estabilidad de las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias, con un criterio negativo de estabilidad, análogo a (4.26), establecido en el caso de sistemas. Sean n ∈ N∗ y ak ∈ R, k = 1, . . . , n, la EDO xn) (t)+a1 xn−1) (t)+· · ·+an x(t) = 0 y p(x) = xm +a1 xm−1 +· · ·+am su polinomio característico. Si existe j = 1, . . . , m tal que aj < 0, entonces A es inestable y si existe j = 1, . . . , m tal que aj = 0, entonces A no puede ser asintóticamente estable. 5.6. (5.32) Ecuaciones lineales no explícitas En ocasiones resulta necesario trabajar con ecuaciones lineales de orden n que no son explícitas, es decir el término que define el orden de le EDO no aparece como expresado en términos de las derivadas anteriores de la función incógnita, pero que son equivalentes a ecuaciones explícitas, como ocurre por ejemplo en la denominada ecuación del oscilador armónico mx00 (t) + kx(t) = f (t), donde m, k > 0. El objetivo de esta sección es el estudio de los problemas de valores iniciales asociados a c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Ecuaciones lineales no explícitas 157 este tipo de ecuaciones. Las notaciones fundamentales son las siguientes: • El número natural no nulo n y el intervalo no trivial I ⊂ R. • Término fuerza: f ∈ C(I). • Coeficiente principal: a0 ∈ C(I) tal que a0 (t) 6= 0, para cada t ∈ I. (5.33) • Coeficientes: a1 , . . . , an ∈ C(I). Los datos anteriores determinan la EDO lineal no explícita a0 (t)xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = f (t). (5.34) Por las mismas razones que ya fueron descritas en el estudio de los sistemas de lineales de EDO, que abordamos en los temas anteriores, para describir el conjunto de soluciones de la EDO (5.34) será de gran importancia el análisis de la EDO que tiene los mismos coeficientes y donde el término fuerza es nulo. Denominamos ecuación homogénea asociada a (5.34) a la EDO lineal de orden n a0 (t)xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0. (5.35) Naturalmente estaremos interesados en resolver los problemas de valores iniciales asociados tanto a (5.34) como a su la ecuación homogénea. Recordemos que en este caso un problema de valores iniciales para (5.1) o para la ecuación homogénea asociada a él, consiste en dados t0 ∈ I y x0 , . . . , xn−1 ∈ R, determinar la o las soluciones de (5.34) o de (5.35) que satisfacen xk) (t0 ) = xk , para cada k = 0, . . . , n − 1. Aunque las ecuaciones anteriores (5.34) y (5.35) no verifican las condiciones de la teoría general desarrollada en las secciones previas, y por tanto no podemos deducir directamente la existencia y unicidad de las soluciones de cada problema de valores iniciales, podemos obtener todas estas propiedades observando que ambas ecuaciones son equivalentes a otras explícitas para las cuales son de aplicación directa los resultados generales. Concretamente, c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 158 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Ecuaciones lineales de orden superior se satisface el siguiente resultado, cuya verificación es inmediata: Supongamos que n ∈ N∗ , I ⊂ R es un intervalo no trivial y consideremos a0 , . . . , an ∈ C(I) con a0 (t) 6= 0, para cada t ∈ I. Entonces, para cada f ∈ C(I), la función x ∈ C n (J) es solución de la EDO a0 (t)xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = f (t) si y sólo si es solución de la EDO xn) (t) + (5.36) a1 (t) n−1) an (t) f (t) x (t) + · · · + x(t) = . a0 (t) a0 (t) a0 (t) En particular, la EDO a0 (t)xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0 tiene las a1 (t) n−1) an (t) mismas soluciones que la EDO xn) (t) + x (t) + · · · + x(t) = 0. a0 (t) a0 (t) a1 an f ,..., , son a0 a0 a0 todas continuas, por lo que las EDO lineales equivalentes a las no explícitas satisfacen todas las hipótesis que conducen a los resultados de existencia y unicidad de las soluciones. Por tanto, de (5.36) se deduce inmediatamente que Observar que como a0 (t) 6= 0, para cada t ∈ I, entonces las funciones para cada f ∈ C(I), cada problema de valor inicial para la EDO a0 (t)xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = f (t) (5.37) son tiene solución única. De la equivalencia anterior también se deduce un principio de superposición para este tipo de ecuaciones Principio de superposición para EDO lineales no explícitas Dados n ∈ N∗ y a0 , a1 , . . . , an ∈ C(I), el conjunto de soluciones de la EDO lineal homogénea a0 (t)xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0 es un espacio vectorial real de dimensión n y para cada función continua f ∈ C(I), el conjunto de soluciones de la EDO lineal a0 (t)xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = f (t) tiene estructura de espacio afín cuya variedad lineal subyacente es el espacio vectorial de soluciones de la ecuación homogénea. Naturalmente, para obtener una base del espacio de soluciones de la EDO homogénea, basta proceder como en el caso de EDO lineales explícitas y resolver, en el mismo instante t0 , c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Ecuaciones lineales no explícitas 159 n problemas de valor inicial cuyos datos están determinados por una base de Rn . De hecho se satisface también la siguiente versión del Lema de Abel: Lema de Abel-Liouville para EDO lineales no explícitas Fijados n ∈ N∗ , I un intervalo no trivial y las funciones a0 , a1 , . . . , an ∈ C(I), entonces si x1 , . . . , xn son soluciones de la EDO a0 (t)xn) (t)+a1 (t)xn−1) (t)+· · ·+an (t)x(t) = 0, para cada t0 ∈ I se satisface que Z t a1 (s) − ds t0 a0 (s) w[x1 , . . . , xn ](t) = w[x1 , . . . , xn ](t0 ) e , para cada t ∈ I. Además, {x1 , . . . , xn } son base del espacio de soluciones de la EDO homogénea si y sólo si existe t0 ∈ I tal que w[x1 , . . . , xn ](t0 ) 6= 0 o, de forma equivalente, si y sólo si w[x1 , . . . , xn ](t0 ) 6= 0, para cada t ∈ I. Consideremos ahora, t0 ∈ I, x0 , . . . , xn−1 ∈ R, f ∈ C(I) y el problema de valores iniciales a0 (t)xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = f (t), x(t0 ) = x0 , . . . , xn−1) (t0 ) = xn−1 . De manera análoga al caso de EDO explícitas y teniendo en cuenta la equivalencia (5.36), la Fórmula de Lagrange para EDO explícitas y más concretamente (5.38), la única solución de este problema se expresa como superposición de la únicas soluciones de los problemas de valores iniciales a1 (t) n−1) x (t) + · · · + a0 (t) a1 (t) n−1) xn) (t) + x (t) + · · · + a0 (t) xn) (t) + an (t) x(t) = 0, xj) (t0 ) = xj , j = 0, . . . , n − 1, a0 (t) an (t) f (t) x(t) = , x(t0 ) = 0, . . . , xn−1) (t0 ) = 0. a0 (t) a0 (t) (5.38) Como sabemos, la solución del primero de los problemas de valores que puede obtenerse a partir de una base de soluciones de la EDO a0 (t)xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0. Por otra parte, si consideramos g ∈ C 1 (I × I), la función de Green de la EDO lineal explícita an (t) a1 (t) n−1) x (t) + · · · + x(t) = 0, resulta que la única solución del segundo de xn) (t) + a0 (t) a0 (t) Z t f (s) g(t, s) ds, lo que motiva la los problemas de valores iniciales anteriores es x(t) = a0 (s) t0 c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 160 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Ecuaciones lineales de orden superior siguiente definición: Si I ⊂ R es un intervalo no trivial y a0 , . . . , an ∈ C(I) con a0 (t) 6= 0 para cada t ∈ I, denominamos Función de Green de la EDO a0 (t)xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0, a g ∈ C(I × I) definida como g(t, s) = es la función de Green de la EDO xn) (t) + ĝ(t, s) , para cada t, s ∈ I, donde ĝ a0 (s) (5.39) an (t) a1 (t) n−1) x (t) + · · · + x(t) = 0. a0 (t) a0 (t) De la definición anterior, resulta que si g es la función de Green de (5.35), entonces Z t para cada f ∈ C(I) la función xp (t) = n xp ∈ C (I) y además, k) xp (t0 ) g(t, s) f (s) ds satisface que t0 (5.40) = 0, para cada k = 0, . . . , n − 1. De manera análoga al caso de las EDO lineales explícitas, la Función de Green de las EDO lineales no explícitas pueden caracterizarse en términos de los problemas de valor inicial. Si I ⊂ R es un intervalo no trivial, a0 , . . . , an ∈ C(I) con a0 (t) 6= 0, para cada t ∈ I y g ∈ C(I × I) es la función de Green de la EDO a0 (t)xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0, entonces para cada s ∈ I fijado, la función xs : I −→ R definida como xs (t) = g(t, s) satisface que xs ∈ C n (I) y está caracterizada como la única solución del problema de valores iniciales n) (5.41) n−1) a0 (t)xs (t) + a1 (t)xs 5.6.1. (t) + · · · + an (t)xs (t) = 0, para cada t ∈ I, 1 n−2) . xs (s) = x0s (s) = · · · = xs (s) = 0, xsn−1) (s) = a0 (s) Ecuaciones lineales no explícitas con coeficientes constantes Supongamos que a0 , a1 , . . . , an ∈ R con a0 6= 0 y consideremos la EDO homogénea con coeficientes constantes c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Ecuaciones lineales no explícitas 161 a0 xn) (t) + a1 xn−1) (t) + · · · + an x(t) = 0, que, aplicando (5.36) es equivalente a xn) (t) + a1 n−1) an x (t) + · · · + x(t) = 0. a0 a0 Para determinar una base de soluciones de la última EDO, es preciso calcular las raíces de su polinomio característico, que en este caso es q(x) = xn + ¢ an 1¡ a1 n−1 x + ··· + = a0 + xn + a1 xn−1 + · · · + an , a0 a0 a0 identidad que motiva la siguiente definición: Dados a0 , . . . , an ∈ R con a0 6= 0, denominamos polinomio característico de la EDO a0 xn) (t) + a1 xn−1) (t) + · · · + an x(t) = 0 a p(x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an . (5.42) Teniendo en cuenta que p(x) = a0 q(x), resulta que las raíces del polinomio característico de una EDO lineal no explícita con coeficientes constantes son las mismas, con las mismas multiplicidades, que las del polinomio característico de la EDO explícita equivalente. Teniendo en cuenta que ambas ecuaciones tienen las mismas soluciones, resulta que Si ak ∈ R, k = 0, . . . , n, con a0 6= 0 y suponemos que p(x) = a0 xn + an xn−1 + · · · + an = a0 r Y (x − λj )mj · j=1 s Y (x2 − 2ai x + a2i + b2i )ni , i=1 donde λj ∈ R, mj ≥ 1, j = 1, . . . , r, ai , bi ∈ R con bi 6= 0, ni ≥ 1, i = 1, . . . , s, entonces, las funciones e λj t ,te λj t ,...,t mj −1 λj t e , (5.43) j = 1, . . . , r eaj t cos(bj t), . . . , tnj −1 eaj t cos(bj t), j = 1, . . . , s eaj t sen(bj t), . . . , tnj −1 eaj t sen(bj t), j = 1, . . . , s son una base de soluciones de la EDO a0 xn) (t)+a1 (t)xn−1) (t)+· · ·+an (t)x(t) = 0. c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 162 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Ecuaciones lineales de orden superior Finalmente, el que la ecuación propuesta tenga coeficientes constante implica que es autónoma, de manera que nuevamente la Fórmula de Green-Lagrange puede expresarse de manera sencilla: Fijados n ∈ N∗ y ak ∈ R, k = 0, . . . , n, la función de Green de EDO lineal con coeficientes constantes a0 xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0, está determinada por la identidad g(t, s) = α(t − s), para cada t, s ∈ R, donde α es la única solución del problema de valores iniciales a0 xn) (t)+a1 xn−1) (t)+· · ·+an x(t) = 0, x(0) = · · · = xn−2) (0) = 0, xn−1) (0) = 1 . a0 Además, fijados x0 , . . . , xn−1 ∈ R si y es la única solución del problema de valores iniciales a0 y n) (t) + a1 y n−1) (t) + · · · + an y(t) = 0, y(0) = x0 , . . . , y n−1) (0) = xn−1 , entonces, para cada t0 ∈ R y cada f ∈ C(R), la función Z t x(t) = y(t − t0 ) + α(t − s) f (s) ds, t ∈ R, (5.44) t0 es la única solución del problema de valores iniciales a0 xn) (t) + a1 xn−1) (t) + · · · + an x(t) = f (t), x(t0 ) = x0 , . . . , xn−1) (t0 ) = xn−1 . 5.7. Ecuaciones de Euler Finalizaremos este tema describiendo la solución de una familia importante de ecuaciones lineales, las denominadas Ecuaciones de Euler, que a pesar de no tener coeficientes constantes pueden resolverse mediante las técnicas asociadas a este tipo de ecuaciones. Una ecuación de Euler de orden n es una ecuación diferencial lineal de la forma a0 (a t+b)n xn) (t)+a1 (a t+b)n−1 xn−1) (t)+· · ·+an−1 (a t+b) x(t)+an x(t) = f (t), donde a0 , . . . , an , a, b ∈ R satisfacen que a0 , a 6= 0. (5.45) Observar que si permitiéramos que a = 0, entonces (5.45) sería una ecuación de coeficientes constantes no explícita, como las tratadas en la sección anterior. En la situación de (5.45), el coeficiente principal de la ecuación, es decir a0 (a t + b)n se anula para t∗ = − ab , y por tanto la ecuación es explícita en los intervalos I − = (−∞, − ab ) e I + = (− ab , +∞). Así pues, aplicando los resultados generales ya conocidos, concluimos que c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Ecuaciones de Euler 163 si f ∈ C(I − ), entonces (5.45) tiene soluciones definidas en I − , mientras que si f ∈ C(I + ), entonces (5.45) tiene soluciones definidas en I + . Más aún, cada problema de valores iniciales planteado en I − en el primer caso y en I + en el segundo, tiene una única solución. Sin embargo, nada puede decirse sobre el comportamiento de las soluciones en el punto − ab , es decir la construcción de las soluciones de (5.45) debe investigarse separadamente en cada uno de los dos intervalos. 3 Como (5.45) puede expresarse de manera equivalente en la forma â0 (â t + b̂)n xn) (t) + â1 (â t + b̂)n−1 xn−1) (t) + · · · + ân−1 (â t + b̂) x(t) + an x(t) = f (t), donde âj = (−1)n−j aj , j = 0, . . . , n − 1, â = −a y b̂ = −b, podemos suponer, sin pérdida de generalidad que a > 0. Bajo esta hipótesis, desarrollaremos aquí la metodología para hallar las soluciones definidas en I + . Una pequeña modificación de las técnicas conducirá a hallar las soluciones definidas en I − . 1 Consideremos la aplicación F : R −→ R dada por la expresión F (s) = (es − b). Es a claro que F es derivable y que además F 0 (s) = a1 es , de manera que F es estrictamente creciente y en particular inyectiva. Como lı́m F (s) = − ab y lı́m F (s) = +∞, resulta que s→−∞ s→+∞ F : R −→ I + es un cambio de variable. Obsérvese que si F (s) = t, entonces a t + b = es y por tanto (a t + b)k = eks para cada k ∈ N. Si consideramos t = F (s) y definimos y(s) = x(F (s)) = x(t), aplicando la regla de la es 1 cadena resulta que y 0 (s) = x0 (F (s))F 0 (s) = x0 (F (s)) = (a t + b) x0 (t) y también que a a 2s s e e 1 y 00 (s) = 2 x00 (t) + x0 (t), es decir y 00 (s) = 2 (a t + b)2 x00 (t) + y 0 (s). Iterando el proceso a a a obtenemos que para cada k ∈ N∗ 1 (a t + b)k xk) (t) = y k) (s) + una combinación lineal de y 0 (s), . . . , y k−1) (s). ak En conclusión, x es solución de (5.45) en el intervalo I + sii y es solución de una ecuación de la forma an a0 y n) (s)+b1 y n−1) (s)+· · ·+bn−1 y(s)+bn y(s) = f (F (s)), donde b1 , . . . , bn ∈ R (5.46) Por tanto, y es solución de una EDO lineal de orden n cuyos coeficientes son constantes, de manera que puede hallarse con los métodos descritos para este tipo de ecuaciones. Por 3 El punto t∗ = − ab suele denominarse punto singular de la EDO. En general se denominan puntos singulares de una EDO lineal no explícita a los ceros de su coeficiente principal a0 . Las ecuaciones de Euler son por tanto un ejemplo de EDO lineales con puntos singulares, concretamente con un único punto singular. c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 164 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Ecuaciones lineales de orden superior supuesto una vez hallada la solución general de (5.46), la solución general de (5.45) en el intervalo I + , se obtiene mediante la sustitución ¡ ¢ x(t) = y ln (a t + b) , 5.8. b t>− . a (5.47) Ejercicios Problema 1. Hallar todas las soluciones de las siguientes ecuaciones lineales: x000 (t) + x00 (t) − 2x0 (t) = 0 xiv (t) − 6x000 (t) + 12x00 (t) − 8x0 (t) = 0 xiv (t) − 4x000 (t) + 14x00 (t) − 20x0 (t) + 25x(t) = 0 Problema 2. Consideremos q ∈ C(R) tal que q(t) ≥ 0 para cada t ∈ R. Demostrar que toda solución de la ecuación u00 (t) − q(t)u(t) = 0 verifica que u(t)u0 (t) es una función no decreciente en R. Concluir que las soluciones no triviales de esta ecuación tienen a lo sumo un cero. Problema 3. Sean I ⊂ R un intervalo no trivial, a0 , a1 , a2 ∈ C(I) con a0 (t) 6= 0, para cada t ∈ I y {x1 , x2 } una base de soluciones de la EDO a0 (t)x00 (t) + a1 (t)x0 (t) + a2 (t)x(t) = 0. Demostrar que la función de Green de la EDO está determinada por la identidad g(t, s) = x1 (s)x2 (t) − x2 (s)x1 (t) x1 (s)x2 (t) − x2 (s)x1 (t) ¡ ¢ , para cada t, s ∈ I. = a0 (s)w[x1 , x2 ](s) a0 (s) x1 (s)x02 (s) − x01 (s)x2 (s) Problema 4. Sean n ∈ N∗ , ak ∈ R, k = 1, . . . , n, la EDO lineal con coeficientes constantes xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0, p(x) = xn + an xn−1 + · · · + an su polinomio característico y supongamos que p(x) = r Y j=1 mj (x − λj ) · s Y (x2 − 2ai x + a2i + b2i )ni , i=1 donde λj ∈ R, mj ≥ 1, j = 1, . . . , r, ai , bi ∈ R con bi 6= 0, ni ≥ 1, i = 1, . . . , s. Demostrar que para cada t0 ∈ R las funciones c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Ecuaciones de Euler 165 eλj (t−t0 ) , (t − t0 ) eλj (t−t0 ) , . . . , (t − t0 )mj −1 eλj (t−t0 ) , j = 1, . . . , r ¡ ¢ ¡ ¢ eaj (t−t0 ) cos bj (t − t0 ) , eaj (t−t0 ) sen bj (t − t0 ) , .. . ¡ ¢ ¡ ¢ (t − t0 )nj −1 eaj (t−t0 ) cos bj (t − t0 ) , (t − t0 )nj −1 eaj (t−t0 ) sen bj (t − t0 ) , j = 1, . . . , s son base de soluciones de la EDO. a1 Problema 5. Consideremos a0 , a1 , a2 ∈ R con a0 6= 0 y definamos los escalares r = y a0 q 1 ν= |a0 a2 − a21 |. a0 Demostrar que una base de soluciones de la EDO lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes a0 x00 (t) + 2a1 x0 (t) + a2 x(t) = 0 está dada por n o e−rt ch(νt), e−rt sh(νt) , si a21 > a0 a2 , n o e−rt , t e−rt , si a21 = a0 a2 , n o e−rt cos(νt), e−rt sen(νt) , si a21 < a0 a2 , mientras que la función de Green está dada por ¢ 1 −r(t−s) ¡ e sh ν(t − s) , si a21 > a0 a2 , a ν 0 1 −r(t−s) e (t − s), si a21 = a0 a2 , g(t, s) = a0 ¡ ¢ 1 e−rt sen ν(t − s) , si a21 < a0 a2 . a0 ν En todos los casos, para cada f ∈ C(R) y cada t0 , x0 , x1 ∈ R, determinar la única solución del problema de valores iniciales a0 x00 (t) + 2a1 x0 (t) + a2 x(t) = f (t), x(t0 ) = x0 , x0 (t0 ) = x1 . c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 166 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Ecuaciones lineales de orden superior Problema 6. Se consideran los escalares r, k, ω ∈ R donde k > r2 y ω > 0. Fijados t0 , x0 , x1 ∈ R, hallar la única solución del problema de valores iniciales x00 (t) + 2rx0 (t) + kx(t) = e−rt sen(ωt), Problema 7. Se consideran los escalares b ∈ R y definida como 0, si n2 t, si fn (t) = 2n − n2 t, si 0, si x(t0 ) = x0 , x0 (t0 ) = x1 . para cada n ∈ N∗ la función fn ∈ C(R), t ≤ 0, 1 , n 1 2 <t≤ , n n 2 < t. n Para cada x0 , x1 ∈ R hallar un , la única solución del problema de valores iniciales x00 (t) + b2 x(t) = fn (t), 0<t≤ x(0) = x0 , x0 (0) = x1 . Calcular también lı́m un (t), para cada t ∈ R. n→∞ √ s 2 4 |a1 | . Demostrar Problema 8. Consideremos a0 , a1 ∈ R con a0 > 0 y el escalar ν = 2 a0 que una base de soluciones de la EDO lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes a0 xiv) (t) + a1 x(t) = 0 está dada por © ª sh(νt) sen(νt), ch(νt) sen(νt), sh(νt) cos(νt), ch(νt) cos(νt) , si a1 > 0, © ª 1, t, t2 , t3 , si a1 = 0, © ª sen(νt), cos(νt), sh(νt), ch(νt) , si a1 < 0, mientras que la función de Green está dada por ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢i νh ¡ ch ν(t − s) sen ν(t − s) − sh ν(t − s) cos ν(t − s) , si a1 > 0, a1 1 (t − s)3 , si a1 = 0, g(t, s) = 6a 0 ¡ ¢ ¡ ¢i 2h sen ν(t − s) − sh ν(t − s) , si a1 < 0. a1 c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Ecuaciones de Euler 167 En todos los casos, para cada f ∈ C(R) y cada t0 , x0 , x1 , x2 , x3 ∈ R, determinar la única solución del problema de valores iniciales a0 xiv) (t) + a1 x(t) = f (t), x(t0 ) = x0 , x0 (t0 ) = x1 , x00 (t0 ) = x2 , x000 (t0 ) = x3 . Especificar también el caso en el que f es constante. s |a1 | . Demostrar a0 que una base de soluciones de la EDO lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes a0 xiv) (t) + a1 x00 (t) = 0 está dada por Problema 9. Consideremos a0 , a1 ∈ R con a0 > 0 y el escalar ν = © ª 1, t, sh(νt), ch(νt) , si a1 < 0, © ª 1, t, t2 , t3 , si a1 = 0, © ª 1, t, sen(νt), cos(νt) , si a1 > 0, mientras que la función de Green está dada por ¡ ¢i 1 h ν(t − s) − sh ν(t − s) , si a1 < 0, νa1 1 (t − s)3 , si a1 = 0, g(t, s) = 6a 0 ¡ ¢i 1 h ν(t − s) − sen ν(t − s) , si a1 > 0. νa1 En todos los casos, para cada f ∈ C(R) y cada t0 , x0 , x1 , x2 , x3 ∈ R, determinar la única solución del problema de valores iniciales a0 xiv) (t) + a1 x00 (t) = f (t), x(t0 ) = x0 , x0 (t0 ) = x1 , x00 (t0 ) = x2 , x000 (t0 ) = x3 . Especificar también el caso en el que f es constante Problema 10. Sean a, b ∈ R, I ⊂ R un intervalo y f : I −→ R continua. Resolver la ecuación diferencial xiv) (t) + 2ax00 (t) + bx(t) = f (t). Especificar también el caso en el que f es constante. c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° 168 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Ecuaciones lineales de orden superior Problema 11. Dados m, r, k ∈ R con m > 0, determinar las estabilidad, estabilidad asintótica o inestabilidad de la EDO mx00 (t) + 2rx0 (t) + kx(t) = 0. Problema 12. Estudiar para los diferentes valores de k ∈ R la estabilidad o estabilidad asintótica de la EDO x00 (t) + kx0 (t) + (2k − 1)x(t) = 0. Problema 13. Consideremos I un intervalo o bien de la forma (a, +∞) o [a, +∞) o bien I = R, las aplicaciones continuas aj : I −→ R, j = 0, . . . , n donde a0 (t) > 0 para todo t ∈ I y la EDO de orden n a0 (t)xn) (t) + a1 (t)xn−1) (t) + · · · + an (t)x(t) = 0, Demostrar las siguientes afirmaciones: Z t a1 (s) ds está acot0 a0 (s) tada inferiormente en [t0 , +∞). Concluir que si existen t0 ∈ I y a > 0 tales que a1 (t) ≤ −a a0 (t) para cada t ≥ t0 , entonces la ecuación es inestable. i) Si la ecuación es estable, entonces para cada t0 ∈ I la función Z t a1 (s) ds = +∞. t→+∞ t a0 (s) 0 Concluir que si existe t0 ∈ I tal que a1 (t) ≤ 0 para cada t ≥ t0 , entonces la ecuación no es asintóticamente estable. ii) Si la ecuación es asintóticamente estable, para cada t0 ∈ I, lı́m Problema 14. Dado k ∈ R consideremos la ecuación de Euler homogénea de segundo orden en el intervalo (0, +∞), t2 x00 (t) + tx0 (t) + kx(t) = 0, t > 0. Demostrar que todas las soluciones de la EDO son de la forma x(t) = y(ln t), donde y ∈ C(R) satisface que y 00 (s) + ky(s) = 0, para cada s ∈ R. p Si ν = |k|, concluir que una base de soluciones de la EDO t2 x00 (t) + tx0 (t) + kx(t) = 0 en el intervalo (0, +∞), está dada por es c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 ° Ecuaciones de Euler 169 n ª 1o n t , ν ó sh(νln t), ch(νln t) , si k < 0, t {1, ln t}, si k = 0, © ª sen(νln t), cos(νln t) , si k > 0, ν mientras que la función de Green en el intervalo (0, +∞) está dada por ·³ ´ · ³ s ´ν ¸ ³ t ´¸ ν 1 t 1 − = sh νln , si k < 0, 2sν s t sν s 1 ³t´ ln , si k = 0, g(t, s) = s s · ³ t ´¸ 1 sen νln , si k > 0. sν s ¡ ¢ En todos los casos, para cada f ∈ C (0, +∞) , cada t0 > 0 y cada x0 , x1 ∈ R, determinar la única solución del problema de valores iniciales t2 x00 (t) + tx0 (t) + kx(t) = f (t), t > 0, x(t0 ) = x0 , x0 (t0 ) = x1 . Problema 15. Dados a, b, a0 , a1 , a2 ∈ R con a > 0 y a0 6= 0, estudiar la estabilidad y estabilidad asintótica de la ecuación de Euler a0 (at + b)2 x00 (t) + a1 (at + b)x0 (t) + a2 x(t) = 0 en el intervalo (− ab , +∞). c Carmona, Á. & Encinas, A.M. Ampliació de Matemàtiques. ETSECCPB, 2009 °