p - Ediciones Zorrilla

Francesco Semerari
Lógica Matemática
Unidad #1 – Un poco de lógica
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Un poco de lógica
Proposiciones
Llamamos proposición a un enunciado declarativo del cual se pueda
establecer de manera inequívoca si es verdadero o falso.
Así que una dada proposición siempre toma uno de los dos valores de
verdad:
V= Verdadero, o F=Falso.
Ejemplo:
Son proposiciones:
La Luna es un satélite de la Tierra (V)
El mármol es un ser vivo (F)
París es la capital de Francia (V)
Roma es la capital de España (F)
2+2=0 (F)
3+2=5 (V)
No se pueden considerar proposiciones lógicas:
¿Has acertado?
¿Quiero comer!
(No son proposiciones, el enunciado no es declarativo, no se puede decir
ni que es falso ni que sea verdadero)
Conectivos lógicos
Las proposiciones se pueden combinar, dando lugar a proposiciones
compuestas, per medio de los conectivos lógicos “y”, “o”, “non”,
“o…o”, “si… entonces”, “si y solo si”,
Negación
Dada una proposición p , a su negación (No p) se le indica con
Siempre tiene un valor de verdad opuesto a lo de p.
Ejemplo:
p : La Tierra es un planeta.
p : La Tierra no es un planeta.
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p .
Tabla de verdad
p p
V
F
F
V
Conjunción
La conjunción de la proposición p y la proposición q se indica con el
símbolo p  q (se lee p y q), y resulta verdadera solo si son ambas
verdaderas
Tabla de verdad
p
Ejemplos:
Roma es la capital de Italia y 3x2=6
La Tierra es un planeta y tiene dos satélites
La madera es una fruta y 2+2=4
7 es un número par y 2+2=0
(V)
(F)
(F)
(F)
Disyunción (inclusiva)
La Disyunción (inclusiva) de la proposición p y la proposición q se
indica con el símbolo p  q (se lee p o q), y resulta verdadera si por lo
meno una de las dos simples es verdadera.
Tabla de verdad
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Ejemplos:
París se encuentra en Italia o Madrid se encuentra en España (V)
Usa pantalones rojos o chaqueta roja. Esta proposición es V si:
 Usa pantalones rojos con chaqueta de otro color
 Usa chaqueta roja con pantalones de otro color
 Usa los pantalones y chaqueta de color rojos.
Disyunción (exclusiva)
La Disyunción (exclusiva) de la proposición
p
y la proposición
q
se
indica con el símbolo p  q (se lee “o p ó q”, “aut-aut”), y resulta
verdadera si nunca p y q tienen el mismo valor de verdad (es decir que
solo una de la proposición es verdadera).
Tabla de verdad
p q
V
pq
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Ejemplo:
O lleva pantalones rojos ó una chaqueta roja. Es V si solo lleva una de
las dos ropa roja, nunca lleva las dos rojas)
Tautología
Es una proposición compuesta siempre verdadera, en todos los casos,
independientemente del valor de cada proposición simple.
Ejemplos:
p  p (p o No p) es una tautología.
Hoy llueve ó no llueve.
Contradicción
Es una proposición compuesta siempre falsa.
Ejemplos:
p  p (p y No p) es una contradicción.
Juan es alto y bajo.
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Condicional (Implicación lógica)
La proposición condicional entre de la proposición
p
y la proposición
se indica con el símbolo p  q (se lee de varias maneras:
“si p entonces q”
“p implica q”
“p es condición suficiente para q”
“q es condición necesaria para p”
Una implicación lógica resulta falsa solo cuando es falsa q, (proposición
consecuente), siendo verdadera p (proposición antecedente). En todos
los demás casos es verdadera.
q
Tabla de verdad
Ejemplos:
 Supongamos que hoy sea jueves. Obtenemos las siguientes
situaciones:
Si hoy es jueves (V), entonces mañana es viernes (V). p  q (V)
Si hoy es jueves (V), entonces mañana es domingo (F). p  q (F)
Si hoy es sábado (F), entonces mañana es viernes (V). p  q (V)
 Consideramos las siguientes proposiciones:;
p: Londres es la capital de España (F)
q: Roma es la capital de Japón (F)
Bien en este caso p  q es una proposición verdadera.
NOTAR que: La proposición ( p  q)  q
es una tautología, ya que
resulta siempre verdadera como se puede ver con la tabla de verdad:
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Bicondicional (Coimplicación lógica)
El operador lógico bicondicional entre la proposición
p
y la proposición
se indica con el símbolo p  q (se lee de varias maneras:
“p si y solo si q”
“p implica q e q implica p”
“p es condición necesaria y suficiente para q”
Una coimplicación lógica resulta verdadera cuando las proposiciones que
la componen son a la vez verdaderas o falsas.
q
Tabla de verdad
Ejemplo:
Un número es múltiplo de 6 si y solo si es múltiplo de 2 y de 3.
Proposiciones equivalentes
p y q son proposiciones equivalentes si tienen la misma tabla de verdad.
Por ejemplo: ( p  q) es equivalente a p  q . Esto porque:
p q
p
( p  q)
pq
V V
F
V
V
V F
F
F
F
F V
V
V
V
F
V
V
V
F
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Leyes de la lógica proposicional
Las Leyes de la lógica proposicional son proposiciones
tautológicas.
La proposición a la izquierda del bicondicional es equivalente a la de la
derecha.
Las principales leyes son:
Idempotencia
Asociativas
Conmutativas
Distributivas
De la absorción
( p  q)  p  p
( p  q)  p  p
Leyes de De Morgan
( p  q)  p  q
( p  q)  p  q
Leyes del Complementario
( p  p)  T (tauto logía)
( p  p)  C(contradicc ión)
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Ejercicios
1. Si
p: 2 es un número impar.
q: 5 es la mitad de 10.
Ponga el valor de verdad de
( p  q)
V
F
2. Las proposiciones
(p  q) y ( p  q)
A Son equivalentes
B No son equivalentes
3. Siendo
p: Hoy es domingo
q: Mañana es martes
Indique cuál de las siguientes proposiciones tiene un valor de
verdad falso:
A pq
B p  q
C q p
D p  q
E p  q
4. El enunciado
( p  q)  (p  q)
Resulta:
A Una tautología
B Una contradicción
C Una contingencia.
5. Utilizando tablas de verdad averigüe si el mandato
( p  q)  (p  q)
Resulta una tautología, una contradicción o una contingencia.
(p  q)
6. Las proposiciones compuestas
A Son equivalentes
B No son equivalentes.
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y
( p  q)
7. Demostrar las leyes de la lógica proposicional, utilizando
tablas de verdades.
8. Compruebe las siguientes Leyes de De Morgan
( p  q)  p  q
( p  q)  p  q
Realice la tabla de verdad de las siguientes proposiciones compuestas,
indicando en cada caso si se trata de una contingencia, de una
tautología o de una contradicción:
9. (p)
p  (q  r )
11. [ p  ( p  q]  q
12. ( p  q)  (p  q)
13. ( p  q)  ( p  q)
14. (p)  ( p  q)
15. ( p  q)  q
16. ( p  q)  (q)
17. (p  q)  (p  q)
18. ( p  q)  (p  q)
10.
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