Cómo evaluar las competencias [matemáticas] de nuestros alumnos

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Cómo evaluar las competencias [matemáticas] de nuestros alumnos de ESO
Vicente MEAVILLA SEGUÍ
Dpto. de Matemáticas
(Área de Didáctica)
Universidad de Zaragoza
[email protected]
Matemáticos
Economistas
Físicos
Periodistas
Informáticos
diversidad
Lo mismo que sucedía en la fotografía anterior se puede dar en esta aula.
Algunos de vosotros sois matemáticos, otros economistas, informáticos, físicos, periodistas, . . .
En otras palabras: Atendiendo a vuestra titulación configuráis un grupo heterogéneo.
Confieso que me siento incapaz de atender de forma adecuada a una diversidad tan “diversa”.
Por tanto, dada mi formación en didáctica de las Matemáticas, voy a centrar mi intervención en las COMPETENCIAS MATEMÁTICAS. Sin embargo, el discurso se puede extrapolar a otras disciplinas.
CompetenciaMcClellandCOMPETENCIASBÁSICASDe
SeCoCompetencialingüísticaalfabetizaciónmatemática
competenciamatemáticaCOMPETENCIASMAT
EMÁTICASESPECÍFICASM.NisspensarmatemáticamentePla
B
OAordendel9demayode2007Ev
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eenseñanzayaprendizajeHistoriadelasMatemáticasTra
bajoengrupocooperativoOCDE
El principal objetivo de esta charla es ordenar el “Totum revolutum” de la diapositiva anterior y ofrecer a los profesores noveles un instrumento que les permita desarrollar su trabajo diario libre de preocupaciones y rico en ocupaciones.
PARA NO PERDER EL NORTE
hemos organizado esta ponencia en cinco secciones:
1ª. PRELIMINARES. Concepto de competencia. Competencias básicas.
2ª. COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA ESO
3ª. COMPETENCIA MATEMÁTICA Y COMPETENCIAS MATEMÁTICAS ESPECÍFICAS
4ª. COMPETENCIAS MATEMÁTICAS ESPECÍFICAS EVALUABLES. CONTRIBUCIÓN DE LAS CME A LA ADQUISICIÓN DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS
5ª. ACTIVIDADES DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE 1. PRELIMINARES
El concepto de competencia surgió en el mundo empresarial para designar el conjunto de factores que son necesarios para el éxito en el desempeño profesional.
Conjunto de conocimientos, habilidades, sentimientos, creencias, valores, actitudes, . . . que pueden incidir en un desempeño satisfactorio del puesto de trabajo.
David C. McClelland (1917‐1998)
Testing for Competence rather than for “Intelligence” (1973)
Desde los años 90, la Unión Europea ha instado a los gobiernos europeos a mejorar y redefinir sus sistemas educativos para crear un sistema europeo que permita comparar, difundir y evaluar las competencias básicas y las mejores metodologías para su adquisición.
En un marco internacional más amplio, como el de la OCDE (Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico), se han puesto en práctica proyectos que permiten comparar los resultados educativos de diferentes países.
Por ejemplo, el proyecto DeSeCo (Definición y Selección de Competencias) tiene como objetivo definir y seleccionar las competencias consideradas esenciales para la vida de las personas y el buen funcionamiento de la sociedad.
En el DeSeCo se define el término competencia
como:
La capacidad de responder a demandas complejas y llevar a cabo tareas diversas de forma adecuada. Supone una combinación de habilidades prácticas, conocimientos, motivación, valores éticos, actitudes, emociones y otros componentes sociales y de comportamiento que se movilizan conjuntamente para lograr una acción eficaz.
Especial importancia para la educación obligatoria tienen las competencias básicas, que son las competencias imprescindibles para cualquier persona, independientemente de su condición social, para un adecuado desempeño de la vida personal y profesional.
2. COMPETENCIAS BÁSICAS DE LA EDUCACIÓN SECUNDARIA OBLIGATORIA
En una jerarquía, todo empleado tiende a ascender hasta su nivel de incompetencia.
Laurence Johnston Peter
Orden del 9 de Mayo de 2007, del Departamento de Educación, Cultura y Deporte, por la que se aprueba el currículo de la Educación Secundaria Obligatoria y se autoriza su aplicación en los centros docentes de la Comunidad Autónoma de Aragón.
Artículo 7. Competencias básicas 1. En el marco de la recomendación de la Unión Europea, desarrollada en el Real Decreto 1631/2006, de 29 de diciembre, se fijan en el anexo I las siguientes competencias básicas que el alumnado deberá haber adquirido al final de esta etapa: • Competencia en comunicación lingüística. • Competencia matemática. • Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico. • Tratamiento de la información y competencia digital. • Competencia social y ciudadana. • Competencia cultural y artística. • Competencia para aprender a aprender. • Autonomía e iniciativa personal. 1. La competencia en comunicación lingüística, se refiere a la utilización del lenguaje como instrumento de comunicación oral y escrita, tanto en lengua española como en lengua extranjera.
2. La competencia matemática, se entiende como la habilidad para utilizar números y operaciones básicas, los símbolos y las formas de expresión del razonamiento matemático para producir e interpretar informaciones y para resolver problemas relacionados con la vida diaria y el mundo laboral. 3. La competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico, incorpora habilidades para desenvolverse adecuadamente, con autonomía e iniciativa personal, en ámbitos de la vida y del conocimiento muy diversos (salud, actividad productiva, consumo, ciencia, procesos tecnológicos, etc.) y para interpretar el mundo. 4. El tratamiento de la información y competencia digital se entiende como la habilidad para buscar, obtener, procesar y comunicar la información y transformarla en conocimiento. Incluye la utilización de las tecnologías de la información y la comunicación como un elemento esencial para informarse y comunicarse. 5. La competencia social y ciudadana, se entiende como aquélla que permite vivir en sociedad, comprender la realidad social del mundo en que se vive y ejercer la ciudadanía democrática. 6. La competencia cultural y artística, supone apreciar, comprender y valorar críticamente diferentes manifestaciones culturales y artísticas, utilizarlas como fuente de disfrute y enriquecimiento personal, y considerarlas como parte del patrimonio cultural de los pueblos.
7. La competencia para aprender a aprender supone disponer de habilidades para iniciarse en el aprendizaje y ser capaz de continuar aprendiendo de manera cada vez más eficaz y autónoma de acuerdo a los propios objetivos y necesidades. 8. La autonomía e iniciativa personal incluye la posibilidad de optar con criterio propio y espíritu crítico, y llevar a cabo las iniciativas necesarias para desarrollar la opción elegida y hacerse responsable de ella. Incluye la capacidad emprendedora para idear, planificar, desarrollar y evaluar un proyecto. 3. COMPETENCIA MATEMÁTICA Y COMPETENCIAS MATEMÁTICAS ESPECÍFICAS
En su actividad diaria, la mayoría de los ciudadanos de los países desarrollados se implican en un gran número de tareas que incluyen ciertos conceptos, razonamientos y procedimientos matemáticos (pagar facturas, solicitar créditos hipotecarios, hacer presupuestos, aplicar descuentos, comprar en el supermercado, pagar impuestos, medir,. . .).
Consecuentemente, la sociedad moderna necesita que sus ciudadanos posean un buen nivel de “alfabetización matemática”, entendiendo como tal la capacidad de un individuo para identificar y entender el papel que las Matemáticas tienen en el mundo, hacer juicios bien fundados y usar e implicarse con las Matemáticas en aquellos momentos en que se presenten necesidades en la vida de cada individuo como ciudadano constructivo, comprometido y reflexivo (OCDE, 2003).
Podría decirse que esta alfabetización matemática es una reproducción a escala reducida de la competencia matemática que se suele asociar a los profesionales de las Matemáticas.
Habilidad para entender, juzgar, hacer y usar las Matemáticas en una variedad de contextos y situaciones intra y extra‐
matemáticos en los que las Matemáticas juegan o podrían jugar su papel.
El investigador danés Mogens Niss propone la siguiente definición de competencia matemática:
Mathematical competencies and learning of Mathematics: The Danish KOM Project
http://www7.nationalacademies.org/mseb/Mathematical_Competencies_and_the_Learning_of_Mathematics.pdf
El mismo autor identifica las ocho competencias matemáticas específicas siguientes:
1. Pensar matemáticamente.
2. Plantear y resolver problemas matemáticos.
3. Modelar matemáticamente.
4. Argumentar matemáticamente.
5. Representar entidades matemáticas (situaciones y objetos).
6. Utilizar los símbolos matemáticos.
7. Comunicarse con las Matemáticas y comunicar sobre Matemáticas.
8. Utilizar ayudas y herramientas (incluyendo las nuevas tecnologías).
1. PENSAR MATEMÁTICAMENTE
Incluye las cuatro capacidades siguientes:
• Proponer cuestiones propias de las Matemáticas y conocer los tipos de respuestas que las Matemáticas pueden ofrecer a dichas cuestiones.
• Entender la extensión y las limitaciones de los conceptos matemáticos y saber utilizarlos.
• Ampliar la extensión de un concepto mediante la abstracción de sus propiedades, generalizando los resultados a un conjunto más amplio de objetos.
• Distinguir entre distintos tipos de enunciados matemáticos (condicionales, definiciones, teoremas, conjeturas, hipótesis, etc.).
¿Qué es un bitrian?
2. PLANTEAR Y RESOLVER PROBLEMAS MATEMÁTICOS
Incluye las dos capacidades siguientes:
• Identificar, definir y plantear diferentes tipos de problemas matemáticos (teóricos, prácticos, abiertos, cerrados).
• Resolver diferentes tipos de problemas matemáticos (teóricos, prácticos, abiertos, cerrados), planteados por otros o por uno mismo, a ser posible utilizando distintos procedimientos.
Un problema geométrico
3. MODELAR MATEMÁTICAMENTE
Incluye las tres capacidades siguientes:
• Analizar los fundamentos y propiedades de modelos existentes.
• Traducir e interpretar los elementos del modelo en términos del mundo real.
• Diseñar modelos matemáticos [Estructurar la realidad, matematizar, validar el modelo, comunicar acerca del modelo y de sus resultados (incluyendo sus limitaciones, controlar el proceso de modelización)].
MODELOS MATEMÁTICOS
• GEOMETRÍA ANALÍTICA 2D Y 3D
• TEORÍA DE GRAFOS
• ÁLGEBRA SIMBÓLICA ELEMENTAL
• ESPACIOS VECTORIALES
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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MUNDO REAL
PROBLEMA
Elementos y relaciones
entre ellos
Elementos y relaciones
más significativas
Versión idealizada del problema
del mundo real
COMUNICACIÓN DE RESULTADOS
(incluyendo las limitaciones)
TEORÍA MATEMÁTICA
de la versión idealizada
(teoremas, algoritmos, ejemplos,...)
MODELO MATEMÁTICO
Formulación matemática de la versión
idealizada del problema del mundo real
4. ARGUMENTAR MATEMÁTICAMENTE
Incluye las cuatro capacidades siguientes:
• Seguir y evaluar cadenas de argumentos propuestas por otros.
• Conocer lo que es una demostración matemática y en qué difiere de otros tipos de razonamientos matemáticos.
• Descubrir las ideas básicas de una demostración.
• Diseñar argumentos matemáticos formales e informales y transformar los argumentos heurísticos en demostraciones válidas.
x = y ⇒ x2 = xy ⇒ x2 – y2 = xy – y2 ⇒
(x + y)(x – y) = y(x – y) ⇒ x + y = y ⇒
x + x = x ⇒ 2x = x ⇒ 2 = 1
5. REPRESENTAR ENTIDADES MATEMÁTICAS (objetos y situaciones)
Incluye las tres capacidades siguientes:
• Entender y utilizar diferentes clases de representaciones de objetos matemáticos, fenómenos y situaciones.
• Utilizar y entender la relación entre diferentes representaciones de una misma entidad.
• Escoger entre varias representaciones de acuerdo con la situación y el propósito.
1 = 12
1 + 3 = 22
1 + 3 + 5 = 32
1 + 3 + 5 + 7 = 42
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52
6. UTILIZAR LOS SÍMBOLOS MATEMÁTICOS Incluye las cuatro capacidades siguientes:
• Interpretar el lenguaje simbólico y formal de las Matemáticas y entender su relación con el lenguaje natural.
• Entender la naturaleza y las reglas de los sistemas matemáticos formales (sintaxis y semántica).
• Traducir del lenguaje natural al lenguaje simbólico y formal.
• Trabajar con expresiones simbólicas y fórmulas.
7. COMUNICARSE CON LAS MATEMÁTICAS Y COMUNICAR SOBRE MATEMÁTICAS
• Entender textos escritos, visuales u orales sobre temas de contenido matemático.
• Expresarse en forma oral, visual o escrita sobre temas matemáticos, con diferentes niveles de precisión teórica y técnica.
Texto visual:
Teorema de Pitágoras
8. UTILIZAR AYUDAS Y HERRAMIENTAS (incluyendo las nuevas tecnologías).
• Conocer la existencia y propiedades de diversas herramientas y ayudas para la actividad matemática, su alcance y sus limitaciones.
• Usar de modo reflexivo tales ayudas y herramientas.
USO IRREFLEXIVO
USO REFLEXIVO
Haciendo uso de la calculadora, efectúa la multiplicación :
123456789 ∙ 987654321
¿Cómo evaluar las competencias matemáticas específicas de nuestros alumnos y su contribución a la adquisición de las competencias básicas que se contemplan en el currículo de la ESO?
4. COMPETENCIAS MATEMÁTICAS ESPECÍFICAS EVALUABLES Y SU CONTRIBUCIÓN A LA ADQUISICIÓN DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS
Las capacidades incluidas en las competencias matemáticas específicas descritas por Niss son muy generales y, por tanto, resultan difíciles de evaluar.
Por tanto, conviene adaptarlas a cursos concretos y a bloques de contenidos específicos.
Por ejemplo:
¿Cómo llevaríais a cabo la antedicha adaptación?
Seleccionando las capacidades involucradas en los criterios de evaluación del bloque de contenidos elegido e incluyéndolas como capacidades asociadas a determinadas competencias matemáticas específicas.
(No tienen por qué aparecer todas las de Niss). SELECCIÓN DE LAS CAPACIDADES
CRITERIO DE EVALUACIÓN 2
Expresar mediante el lenguaje algebraico una propiedad o relación dada mediante un enunciado, y observar regularidades en secuencias numéricas obtenidas de situaciones reales mediante la obtención de la ley de formación y la fórmula correspondiente, en casos sencillos.
A través de este criterio, se pretende comprobar la capacidad de extraer la información relevante de un fenómeno, expresado mediante un enunciado o una tabla, para transformarla en una expresión algebraica. En lo referente al tratamiento de pautas numéricas, se valora si se está capacitado para analizar regularidades y para formular resultados generales mediante expresiones simbólicas, incluyendo formas iterativas y recursivas.
CAPACIDADES SELECCIONADAS
• Expresar mediante el lenguaje algebraico una propiedad, relación o regularidad.
• Descubrir regularidades.
CRITERIO DE EVALUACIÓN 3
Resolver problemas de la vida cotidiana en los que se precise el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer y segundo grado o de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Este criterio va dirigido a comprobar la capacidad para trasladar al lenguaje algebraico enunciados de problemas, para aplicar las técnicas de manipulación de expresiones literales, para traducir el resultado al contexto en el que se enunció el problema y para comprobar la validez de dicho resultado. •
•
•
•
Traducir al lenguaje algebraico los enunciados verbales de problemas.
Aplicar las técnicas de manipulación de expresiones algebraicas.
Interpretar el resultado de un problema en el contexto en que se enunció.
Comprobar la validez del resultado de un problema.
CRITERIO DE EVALUACIÓN 9 Planificar y utilizar estrategias y técnicas de resolución de problemas, tales como el recuento exhaustivo, la inducción o la búsqueda de problemas afines; comprobar el ajuste de la solución a la situación planteada y expresar verbalmente, con precisión, razonamientos, relaciones cuantitativas e informaciones que incorporen elementos matemáticos, valorando la utilidad y simplicidad del lenguaje matemático para ello.
Se trata de evaluar la capacidad para planificar el camino hacia la resolución de un problema e incorporar estrategias más complejas a la resolución. Se evalúa, asimismo, la perseverancia en la búsqueda de soluciones, la coherencia y ajuste de las mismas a la situación por resolver y la confianza en la propia capacidad para lograrlo. También se trata de valorar la precisión del lenguaje utilizado para expresar todo tipo de informaciones que contengan cantidades, medidas, relaciones numéricas y espaciales, así como estrategias y razonamientos utilizados en la resolución de un problema.
• Utilizar la inducción como estrategia de resolución de problemas.
• Perseverar en la búsqueda de soluciones.
• Precisión del lenguaje utilizado para expresar todo tipo de informaciones de contenido algebraico, así como estrategias y razonamientos utilizados en la resolución de problemas.
INCLUSIÓN DE LAS CAPACIDADES SELECCIONADAS EN LAS COMPETENCIAS MATEMÁTICAS ESPECÍFICAS
PENSAR MATEMÁTICAMENTE
•
•
•
•
PLANTEAR Y RESOLVER PROBLEMAS MATEMÁTICOS
Traducir al lenguaje algebraico los enunciados verbales de problemas.
Interpretar el resultado de un problema en el contexto en que se enunció.
Comprobar la validez del resultado de un problema.
Perseverar en la búsqueda de soluciones.
UTILIZAR LOS SÍMBOLOS MATEMÁTICOS
• Expresar mediante el lenguaje algebraico una propiedad, relación o regularidad.
• Aplicar las técnicas de manipulación de expresiones algebraicas.
COMUNICARSE CON LAS MATEMÁTICAS Y COMUNICAR SOBRE MATEMÁTICAS
• Precisión del lenguaje utilizado para expresar todo tipo de informaciones de contenido algebraico, así como estrategias y razonamientos utilizados en la resolución de problemas.
CONTRIBUCIÓN DE LAS COMPETENCIAS MATEMÁTICAS ESPECÍFICAS A LA ADQUISICIÓN DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS
(Cualquier competencia matemática específica contribuye a la adquisición de la competencia matemática)
PENSAR MATEMÁTICAMENTE
• Traducir al lenguaje algebraico los enunciados verbales de problemas. [Competencia lingüística]
• Interpretar el resultado de un problema en el contexto en que se enunció.
• Comprobar la validez del resultado de un problema.
• Perseverar en la búsqueda de soluciones.[Autonomía e iniciativa personal + Competencia para aprender a aprender]
• Expresar mediante el lenguaje algebraico una propiedad, relación o regularidad.[Competencia lingüística]
• Aplicar las técnicas de manipulación de expresiones algebraicas. [Competencia lingüística]
• Precisión del lenguaje utilizado para expresar todo tipo de informaciones de contenido algebraico, así como estrategias y razonamientos utilizados en la resolución de problemas. [Competencia lingüística]
Una vez que se han determinado las competencias matemáticas específicas evaluables relativas al Bloque de Álgebra de 3º ESO, conviene prestar atención a las actividades de enseñanza y aprendizaje que podemos utilizar para evaluarlas
Antes de pasar a la sección 5 (Actividades de enseñanza y aprendizaje) de esta ponencia os propongo una cuestión:
¿Qué competencias matemáticas específicas evaluáis en los exámenes que proponéis a vuestros alumnos?
5. ACTIVIDADES DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE La mente no es un vaso que deba llenarse sino un fuego que debe encenderse Plutarco TIPOLOGÍA DE LAS
ACTIVIDADES DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE
1. BÚSQUEDA DE
REGULARIDADES
2. PROBLEMAS DE
ENUNCIADO VERBAL
3. INVESTIGACIONES
HISTÓRICAS
4. ACTIVIDADES EN EL AULA
DE INFORMÁTICA
ACTIVIDAD: Búsqueda de regularidades 1
En la figura anterior se representan los tres primeros diagramas de una serie.
En cada uno de ellos, los cuadrados azules están rodeados por cuadrados blancos.
¿Cuántos cuadrados blancos habrá en el vigésimo diagrama de la sucesión anterior?¿Cuántos habrá en el enésimo diagrama?
JUSTIFICA TU RESPUESTA
ESPACIO BÁSICO DEL PROBLEMA
Catálogo de resoluciones diferentes del problema, elaborado por expertos (puede ampliarse con resoluciones de los alumnos que no hayan sido contempladas por los expertos). METODOLOGÍA: Trabajo en grupo cooperativo (cuatro alumnos por grupo).
Con esta organización se favorece la adquisición de la competencia social y ciudadana.
Espacio básico del problema (I)
Bi = Número de cuadros blancos en el iésimo diagrama
B1 = 2 ∙ 4
B2 = 3 ∙ 4
B3 = 4 ∙ 4 . . . . . . . . .
Bn = (n + 1) ∙ 4
Espacio básico del problema (II)
B1 = 8 , B2 = 12 , B3 = 16 , . . . . . . . . . .
Los números de cuadrados blancos en cada diagrama están en progresión aritmética de diferencia 4.
Por tanto: Bn = 8 + 4(n – 1) = 8 + 4n – 4 = 4n + 4
Espacio básico del problema (III)
B1 = 3 + 5 = (1 + 2) + (1 + 4)
B2 = 5 + 7 = (3 + 2) + (3 + 4)
B3 = 7 + 9 = (5 + 2) + (5 + 4)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bn = [(2n – 1) + 2] + [(2n – 1) + 4] = (2n + 1) + (2n + 3) = 4n + 4
Espacio básico del problema (IV)
B1 = 32 – 02 – 1 = (1 + 2)2 – (1 – 1)2 – 1 B2 = 42 – 12 – 3 = (2 + 2)2 – (2 – 1)2 – 3 B3 = 52 – 22 – 5 = (3 + 2)2 – (3 – 1)2 – 5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bn = (n + 2)2 – (n – 1)2 – (2n – 1) = = n2 + 4 + 4n – n2 – 1 + 2n – 2n + 1 = 4n + 4
FICHA PARA LA EVALUACIÓN / CALIFICACIÓN
COMPETENCIA MATEMÁTICA ESPECÍFICA
CAPACIDADES EVALUABLES Y COMPETENCIAS BÁSICAS QUE AYUDAN A ADQUIRIR
• Descubrir regularidades [2 puntos]
PENSAR MATEMÁTICAMENTE • Utilizar la inducción como estrategia de resolución de un problema [2 puntos]
• Comprobar la validez del resultado del problema [1 punto]
• Expresar una regularidad mediante el lenguaje algebraico [2 puntos] [Competencia lingüística]
• Aplicar las técnicas de manipulación de expresiones algebraicas [2 puntos] [Competencia lingüística]
• Precisión del lenguaje utilizado para expresar las estrategias y razonamientos utilizados en la resolución del problema [1 punto]
[Competencia lingüística]
Utilizando la ficha anterior, califica las siguientes respuestas de los alumnos: RESPUESTAS DE LOS ALUMNOS (1)
Observando estos tres diagramas podemos decir que el primero está compuesto por 8 cuadrados blancos y uno azul; el segundo por 3 cuadrados azules y 12 blancos, y el 3º
por 16 cuadrados blancos y 5 azules.
Por lo tanto, al observar esto podemos sacar una conclusión:
1º = 8 blancos y 1 azul.
2º = 12 blancos y 3 azules.
Si observamos lo que está ocurriendo, nos damos cuenta de que los cuadrados de color blanco aumentan de 4 en 4 y los de color rojo de 2 en dos.
RESPUESTAS DE LOS ALUMNOS (2)
Observando la serie anterior de figuras, compuestas por cuadros blancos, azules y ausencia de cuadrados, deducimos que:
• Los cuadrados azules siguen una progresión que cumple la fórmula 2n – 1.
• La ausencia de cuadrados también sigue una progresión que cumple la siguiente fórmula: (n – 1)2 teniendo n el mismo valor que en el caso anterior.
• Suponiendo que las figuras fueran cuadrados a los que les restaríamos los huecos la fórmula sería: (n + 2)2 – (n – 1)2 con esta fórmula obtenemos el número de cuadrados tanto blancos como azules que forman la figura.
Si queremos saber cuántos cuadros blancos hay en una figura seguiremos la siguiente fórmula: (n + 2)2 – (n – 1)2 – (2n – 1). Es decir, al número total de cuadrados le restamos los cuadrados azules.
Si queremos averiguar cuántos cuadrados blancos tiene la figura vigésima, sabemos que n = 20, de modo que: (n + 2)2 – (n – 1)2 – (2n – 1) = (20 + 2)2 – (20 – 1)2 – (2∙20 – 1) = 222 – 192 – 39 = 84
ACTIVIDAD: Búsqueda de regularidades 2
TAREA 1
Con las cuatro piezas de la figura construye:
a)Un cuadrado b)Dos cubos
TAREA 2
Apoyándote en los resultados obtenidos en la tarea 1, completa la igualdad :
(1 + 2) = 1 + 2
TAREA 3
Con las piezas de la figura construye:
a) Un cuadrado b) Tres cubos
TAREA 4
Apoyándote en los resultados obtenidos en la tarea 3, completa la igualdad :
(1 + 2 +3) = 1 + 2 + 3
TAREA 5
Apoyándote en los resultados obtenidos en las tareas 2 y 4, completa la igualdad :
(1 + 2 + 3 + . . . n) = 1 + 2 + 3 + . . . + n
ACTIVIDAD: Problema de enunciado verbal
Encontrar dos números cuya suma sea 30 y cuya diferencia sea 12.
Thomas SIMPSON
A Treatise of Algebra (1745)
Espacio básico del problema (1)
Resolución de Thomas Simpson
Sea x el menor de los dos números buscados e y el mayor.
Las condiciones del problema, expresadas algebraicamente, se escriben así:
y + x = 30
y – x = 12
Si las dos ecuaciones se suman miembro a miembro se obtiene una nueva ecuación con la única incógnita y:
2y = 42
Dividiendo los dos miembros por 2, resulta:
y = 21
De donde se determina fácilmente el valor de x. Como la suma de ambos números es igual a 30, resulta claro que el número menor, x, debe ser igual a 30 – y, es decir: 9.
Espacio básico del problema (2)
Resolución de Thomas Simpson
Sea x el número menor.
Entonces, como la diferencia de los dos números es 12, el número mayor es x + 12.
Como la suma de los dos números es 30, se tiene que 2x + 12 = 30.
Restando 12 de los dos miembros, la ecuación anterior se convierte en 2x = 18.
De donde, dividiendo los dos miembros por 2, se obtiene el número menor x = 9.
Por consiguiente, el número mayor (= 30 – x) es igual a 21, como antes.
FICHA PARA LA EVALUACIÓN / CALIFICACIÓN
COMPETENCIA MATEMÁTICA CAPACIDADES EVALUABLES Y ESPECÍFICA
COMPETENCIAS BÁSICAS QUE AYUDAN A ADQUIRIR
• Traducir al lenguaje algebraico el enunciado verbal del problema [3 puntos]
• Comprobar la validez del resultado del problema [1,5 puntos]
• Perseverar en la búsqueda de soluciones [1,5 puntos]
[Autonomía e iniciativa personal]
[Competencia para aprender a aprender]
• Aplicar las técnicas de manipulación de expresiones algebraicas [3 puntos] [Competencia lingüística]
• Precisión del lenguaje utilizado para expresar las estrategias y razonamientos utilizados en la resolución del problema [1 punto]
ACTIVIDAD: Investigación histórica
Evolución histórica del simbolismo algebraico
METODOLOGÍA: Trabajo individual.
Con actividades de este tipo se puede contribuir a la adquisición de las siguientes competencias básicas:
• Competencia en comunicación lingüística. • Tratamiento de la información y competencia digital (búsquedas en Internet). • Competencia cultural y artística. • Competencia para aprender a aprender. • Autonomía e iniciativa personal. ACTIVIDAD EN EL AULA DE INFORMÁTICA
Contenido: Resolución de ecuaciones de primer grado
Metodología: Trabajo en parejas
Objetivo: Afianzar algunas de las reglas que rigen la resolución de las ecuaciones de primer grado con una incógnita Software: Balanza algebraica [Álgebra 9‐12]
http://nlvm.usu.edu/es/nav/vlibrary.html Con este tipo de actividades se pueden adquirir y evaluar las siguientes competencias:
COMPETENCIAS BÁSICAS
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS ESPECÍFICAS
• Tratamiento de la información y • Utilizar los símbolos matemáticos competencia digital.
[aplicar las técnicas de manipulación • Competencia social y ciudadana.
de expresiones algebraicas].
• Competencia para aprender a aprender.
• Competencia lingüística.
A MODO DE RESUMEN
Durante este rato, en el que me habéis dejado hablar sobre un tema didáctico que preocupa y ocupa a muchos profesionales de la enseñanza, he procurado ofreceros un instrumento que permite evaluar a los alumnos de E.S.O atendiendo a las competencias matemáticas específicas.
Vamos a recordar cómo puede hacerse.
1º A partir de los criterios de evaluación de cada curso, se seleccionan aquellas capacidades susceptibles de ser incluidas en alguna de las competencias matemáticas específicas.
2º Se incluyen dichas capacidades en las competencias matemáticas específicas correspondientes y se determinan las competencias básicas que permiten adquirir.
3º Se diseñan actividades de enseñanza y aprendizaje que permitan adquirir las competencias matemáticas específicas que se hayan seleccionado. 4º Se elaboran fichas para la evaluación / calificación de las actividades anteriores.
Acabamos con una breve selección de chistes sobre incompetentes
Gracias por su espera. En breves momentos uno de nuestros operadores atenderá su llamada.
Res més
Moltes gràcies a tots

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