Aplicaciones a la Mecánica

Cap¶³tulo 3
Aplicaciones de las integrales
m¶
ultiples a la Mec¶
anica.
Introducci¶
on.
Los conceptos de integral doble y triple se aplican al estudio de propiedades f¶³sicas
de fuerzas distribuidas sobre super¯cies planas y sobre vol¶
umenes, llamadas fuerzas
m¶asicas, cuyo valor viene dado en cada punto por su intensidad (que se mide en
unidades de fuerza por unidad de super¯cie o fuerza por unidad de volumen).
Cuando la fuerza m¶asica se debe a la atracci¶on de la gravedad, la intensidad se
escribe como ½g, donde ½ representa el peso espec¶³¯co del cuerpo y g la aceleraci¶on
de la gravedad. En los problemas a que nos referimos, la intensidad de la fuerza
var¶³a siempre de forma continua en la regi¶on que se considera y por tanto, es posible
aplicar, para su resoluci¶on, los conceptos estudiados en los dos temas anteriores.
En particular, vamos a proporcionar f¶ormulas para el c¶alculo de masas, centros
de masa y momentos de inercia de l¶aminas y s¶
olidos, que se deducen de las correspondientes a sistemas de part¶³culas, cuando se considera el cuerpo subdividido en
elementos in¯nitesimales en los que la intensidad puede ser aproximada por una
constante.
Los conceptos f¶³sicos que aparecen en este tema se suponen conocidos por el
alumno y pueden encontrarse en cualquier libro elemental de mec¶anica est¶atica.
Desde un punto de vista matem¶atico, una referencia v¶alida es el libro de TaylorWade, C¶alculo diferencial e integral, Ed. Limusa.
40
3.1
Masa y centro de masa de un cuerpo.
Masa de un cuerpo
² Sea V un cuerpo tridimensional acotado ( es decir, un cuerpo continuo) de volumen ¯nito. Sea ½(x; y; z) la densidad en cada punto de V. La masa total del
s¶olido viene dada por:
M=
ZZZ
½(x; y; z)dxdydz
V
² Si V es un s¶olido cuyas secciones por planos paralelos a uno dado son id¶enticas
( en cuyo caso se denomina l¶amina) y la densidad es constante a lo largo de
cualquier l¶³nea perpendicular a las caras planas de la l¶amina, en ese caso se
puede representar la densidad en cada punto como una funci¶
on de dos variables y
el c¶alculo de la masa total ser¶a el espesor de la l¶amina multiplicado por la \masa
super¯cial" de la misma:
Si una de las caras planas de la l¶amina es una regi¶on D en el plano XY, h es el
espesor de la l¶amina y ½(x; y) es la densidad en cada punto de esta regi¶on,
M =h
ZZ
½(x; y)dx dy
D
Las dos f¶ormulas anteriores se obtienen considerando V inclu¶³do en un paralelep¶³pedo
I y subdividiendo ¶este por medio de una partici¶on P de I, de forma que cada subparalelep¶³pedo de la partici¶on se puede considerar un elemento de masa, cuya masa
viene dada por la densidad en un punto del subparalelep¶³pedo Iijk , multiplicada por
el volumen de dicho paralelep¶³pedo: ½(xi ; yj ; zk )¹(Iijk ).
Los puntos (xi ; yj ; zk ) constituyen una elecci¶on en I respecto de P, y
X
½(xi ; yj ; zk )¹(Iijk )
ijk
es una aproximaci¶on a la masa del s¶olido, por una parte, y por otra, es una suma
de Riemann para la funci¶on ½. Cuando el tama~
no de la partici¶on tienda a cero, la
proposici¶on del tema 2 a¯rma que las sumas tienden a la integral triple y, por otra
parte, estas sumas tienden a la masa de V.
Centro de masa.
Siguiendo con la notaci¶on del apartado anterior, las coordenadas (xG ; yG ; zG ) del
centro de masa de un s¶olido V vienen dadas por las ecuaciones:
² xG =
RRR
V
x½(x;y;z)dx dy dz
M
41
yG =
zG =
RRR
V
y½(x;y;z)dx dy dz
M
V
z½(x;y;z)dx dy dz
M
RRR
² Si V es una l¶amina:
RR
8
x½(x;y)dx dy
>
RRD
>
x
=
G
>
½(x;y)dx dy
>
<
D
RR
>
>
>
y½(x;y)dx dy
>
: yG = RRD
D
½(x;y)dx dy
Centro geom¶
etrico de la ¯gura.
Las coordenadas (¹
x; y¹; z¹) del centro geom¶etrico de un s¶olido V se obtienen a partir
del centro de masas, al considerar que la densidad es constante en cada punto. En ese
caso, la masa es la densidad multiplicada por el volumen del cuerpo y simpli¯cando
se obtiene:
² x¹ =
RRR
xdx dy dz
¹(V )
V
² Si V es una l¶amina:
y¹ =
RRR
V
ydx dy dz
¹(V )
x¹ =
RR
z¹ =
xdx dy
¹(D)
D
RRR
V
y¹ =
zdx dy dz
¹(V )
RR
ydx dy
¹(D)
D
Propiedades de los centros de masa y geom¶
etricos.
1. El centro de masas y el centro geom¶etrico s¶olo dependen del cuerpo y no del
sistema de referencia considerado.
2. Si el cuerpo posee un eje de simetr¶³a, el centro geom¶etrico se encontrar¶a en ¶el y
si tiene dos ejes de simetr¶³a, se encontrar¶a en la intersecci¶on de ambos.
3.2
Momentos de inercia.
3.2.1 De¯nici¶
on.- El momento de inercia de una ¯gura respecto de un punto un
plano o un eje se de¯ne como la integral correspondiente ( triple o doble ) de la
densidad en cada punto de la ¯gura multiplicada por el cuadrado de la distancia de
dicho punto al punto, plano o eje.
Momento de inercia respecto de los planos coordenados.
² Iyz =
Izx =
Ixy =
RRR
V
x2 ½(x; y; z)dx dy dz
V
y 2 ½(x; y; z)dx dy dz
V
z 2 ½(x; y; z)dx dy dz
RRR
RRR
42
² Si V es una l¶amina:
8
RR
2
>
I
=
>
yz
D x ½(x; y)dx dy
>
>
>
>
>
<
RR
2
=
I
zx
D y ½(x; y)dx dy
>
>
>
>
>
>
>
:
Ixy = 0
Momento de inercia respecto de los ejes coordenados.
² Ix =
Iy =
Iz =
RRR
2
+ z 2 )½(x; y; z)dx dy dz
2
V (x
+ z 2 )½(x; y; z)dx dy dz
2
V (x
+ y 2 )½(x; y; z)dx dy dz
RRR
RRR
V (y
² Si V es una l¶amina:
8
RR
2
>
I
=
x
>
D y ½(x; y)dx dy
>
>
>
>
>
<
RR
2
I
y = D x ½(x; y)dx dy
>
>
>
>
>
>
RR
>
:
2
2
Iz =
D (x
+ y )½(x; y)dx dy
Momento de inercia respecto del origen.
² I0 =
RRR
2
V (x
+ y 2 + z 2 )½(x; y; z)dx dy dz
² Si V es una l¶amina: I0 =
RR
2
D (x
+ y 2 )½(x; y)dx dy
Propiedades de los momentos de inercia.
1. El momento de inercia respecto de un eje es la suma de los momentos de inercia
respecto a dos planos perpendiculares entre s¶³, que lo contienen. En particular,
el momento de inercia respecto de un eje coordenado es la suma de los momentos
de inercia respecto a los planos coordenados que pasan por ¶el.
2. El momento de inercia respecto de un punto es la suma de los momentos de
inercia respecto de tres planos perpendiculares que lo contienen.
33 Observaci¶
on: Todas las propiedades del tema se obtienen de forma directa a
partir de la de¯nici¶on.
43
3.3
Ejercicios
1. Calcular, en forma breve,
ZZZ
(x + y) dx dy dz
extendida al interior de la esfera (x ¡ a)2 + (y ¡ a)2 + (z ¡ a)2 = a2
(Sol:8¼a4 =3)
2. Calcular la masa de un s¶olido limitado por dos semiesferas conc¶entricas de radios
r y R (0 < r < R), si la densidad en cada punto es el cuadrado de la distancia
del punto al centro.
3. Calcular el momento de inercia de una esfera maciza de radio R respecto a uno
5
de sus di¶ametros si la densidad es constante.
(Sol:8¼k R15 )
4. Demostrar que el momento de inercia de un tri¶
angulo de base a, respecto de esa
base, depende s¶olo de la altura del mismo. (Supondremos la densidad constante).
5. Demostrar que si Q es una regi¶on plana situada entre las gr¶a¯cas de dos funciones
continuas f y g en el intervalo [a; b], siendo 0 · g · f , y si consideramos el s¶olido
de revoluci¶on S, engendrado al girar Q alrededor del eje OX, entonces el volumen
de S es igual al a¶rea de Q multiplicada por la longitud de la circunferencia que
describe el centro geom¶etrico de la regi¶on Q. ( Dicho resultado es conocido como
Teorema de Pappus )
6. (Teorema de los ejes paralelos de Steiner) Demostrar que el momento de inercia
de una ¯gura plana respecto a un eje es igual a M d2 + IC , donde M es la masa, d
es la distancia entre el eje y el centro de gravedad de la ¯gura, e IC es el momento
de inercia de un eje paralelo al eje dado y que pasa por el centro de gravedad de
la ¯gura.
7. Si D es la regi¶on del primer octante limitada por las gr¶a¯cas de
y =x; y =x¡2; y =1; y =3; z =0; z =5;
calcular:
8. Calcular:
RRR
D
z dx dy dz
Z
2
4
Z
2
¡2
Z
(Sol:50)
1
¡1
(x + y + z) dx dy dz
(Sol:48)
9. Calcula el centro de masa del s¶olido limitado por las gr¶a¯cas de x2 + z 2 = 4;
y = 0 ; y = 3 ; si la densidad en un punto P es directamente proporcional a la
distancia al plano OXZ.
( Sol:(0,2,0) )
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10. Calcula el momento de inercia del s¶olido del primer octante limitado por los
planos coordenados y por x + y + z = 1 , respecto del eje OZ, si la densidad es
constante.
11. Considera el s¶olido determinado al girar en torno al eje OX la super¯cie limitada
por y = x2 ; y = 2. Calcula su volumen.
12. Calcula el volumen del toro, es decir, de la super¯cie obtenida al girar una circunferencia (x ¡ a)2 + y 2 = b2 ; con 0 < b < a , entorno al eje OY.
(Sol:2¼ 2 ab2 )
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