MECÀNICA DE FLUIDS – ENG. AERONÀUTICA Sesions de

MECÀNICA DE FLUIDS – ENG. AERONÀUTICA Sesions de

MECÀNICA DE FLUIDS – ENG. AERONÀUTICA
Sesions de problemes, curs 2010/2011- quatrimetre 2
Grup: 2.7
Components:
Nom Cognoms: Pau Martínez Prat
Nom Cognoms: David Ruiz Celada
Nom Cognoms: Xavier March Manzano
PROBLEMA 6.4
En la última Copa América, los yates tienen una vela principal que puede
considerarse de forma rectangular. Queremos estimar el arrastre que produce la vela
cuando el yate está en reposo. Para simplificar, supondremos que la vela está
perfectamente alineada con el viento (ángulo de inicidencia cero), y que, debido a las
interferencias del yate, el mástic, etc… la capa límite sobre la misma es en todo
momento turbulenta. El problema principal reside en el hecho de que, como la vela es
muy alta, la distribución de velocidad no es uniforme, sino controlada por la capa límite
atmosférica, que debe considerarse también turbulenta. Con las dimensiones de la
figura, estimad:
a) El valor de la fuerza de arrastre producido por la vela y el coeficiente de
arrastre, y
b) El error que se cometería si se considerase la velocidad del viento incidente
como uniforme
c) Aplica los resultados anteriores al caso particular de los datos: H=30m,
ho=2m, U∞=10m/s, L=7m, δ=100m
d)
Nota 1: Considerad el perfil de velocidades de una capa límite turbulenta como la
aproximación en potencia
Nota 2: La vela tiene dos caras.
‫ ܡ‬૚
ܷሺ‫ݕ‬ሻ = ܷ∞ ∗ ሺ ሻ^ሺ ሻ
઼ ૠ
RESOLUCIÓN
Hipótesis
Flujo incompresible.
Capas límites turbulentas (tanto la atmosférica como la que se forma en la vela)
Ejecución
Lo primordial de este problema es entender que vamos a analizar una capa límite
(situada sobre la vela) dentro de una capa límite (la atmosférica).
a)
El punto de partida del apartado a) es hallar nuestra expresión para el cálculo de
FD. Ésta, es:
1
0.027
1
F = න τp ∗ dS = න Cf ∗ ∗ ρ ∗ V∞ଶ ∗ dS = න
∗ ∗ ρ ∗ V∞ଶ ∗ dS
1
2
ሺRexሻ^ሺ ሻ 2
7
Substituimos el número de Reynolds local por su definición para hacer una
observación.
න
0.027
1
∗ ∗ ρ ∗ V∞ଶ ∗ dS
V∞ ∗ ‫ ܠ‬1 2
ሺ
ሻ^ሺ ሻ
ν
7
Ecuación (1)
En nuestro caso, U∞ NO es una constante. Estamos aplicando esta ecuación a la
capa límite engendrada sobre nuestra vela. Así que esta velocidad es la velocidad no
perturbada que ve cada punto en el borde de la vela que hemos asociado a x=0. Este
valor es una función de y, ya que pertenece otra capa límite. Así pues, en la anterior
integral, vamos a especificar que son funciones de y para su mejor comprensión.
න
0.027
1
∗ ∗ ρ ∗ V∞ሺyሻଶ ∗ dS
V∞ሺ‫ܡ‬ሻ ∗ ‫ ܠ‬1 2
ሺ
ሻ^ሺ7ሻ
ν
=න
0.027
૚
‫ ܡ‬ૠ
U∞ ∗ ቀ ቁ
1
઼
ሺ
∗ xሻ^ሺ7ሻ
ν
૚ ଶ
1
‫ ܡ‬ૠ
∗ ∗ ρ ∗ ൭ܷ∞ ∗ ቀ ቁ ൱ ∗ dS
2
઼
Ahora, U∞ es la velocidad del flujo externo atmosférico, cuyo valor es dato. Y δ
es el valor del espesor de la capa límite atmosférica, que también se supone conocido.
Mencionar que en esta integral doble podemos obviar la integración en “x”
porqué ya está solucionada en las transparencias de teoría. No obstante, vamos a
proseguir con el cálculo ya que no es complicado, aunque sí algo pesado.
El siguiente paso es transformar esta integral de superficie en una integral doble
con los límites de integración acorde con las dimensiones de la vela. En la siguiente
expresión ya hemos reducido estas simplificaciones al máximo.
Es aquí donde hacemos uso de la hipótesis que el flujo de aire es incompresible
ya que extraemos la densidad de la integral.
También hemos multiplicado por 2 para tener en cuenta las dos superfícies que
posee la vela.
૚
ࡸ
૚૜ ି૚૜
૚
ࡲሺ࢚࢛࢘࢈ሻ = ૙. ૙૛ૠ࣋ࣇૠ ࢁ∞ ૠ ࢾ ૝ૢ ∗ න ࢞ିૠ ࢊ࢞ ∗ න
૙
ࡴ࢕ାࡴ
ࡴ࢕
૚૜
࢟૝ૢ ࢊ࢟
Ecuación 2
Para hallar el valor del coeficiente de arrastre nos basaremos en su definición y
en el valor de F de arrastre encontrado.
‫= ݀ܥ‬
‫ܨ‬
1 ଶ
2 ߩܸ ∗ ܵ
El siguiente paso es tomar diferenciales y substituir en V la fórmula que hemos
estado empleando. S-> dS y volveremos a encontrarnos con una integral doble. De
simplificaciones en cálculos intermedios de este cuociente es fácil comprobar que:
࡯ࢊ =
૛
૛ࡲࣔ^ሺ ሻ
ૠ
ࡴ࢕ାࡴ
࣋ࢁ∞૛ ∗ ࡸ ∗ ‫࢕ࡴ׬‬
૛
࢟ૠ ࢊ࢟
b) Para realizar el cálculo suponiendo que la velocidad atmosférica es uniforme
(es decir, despreciamos la existencia de la capa límite atmosférica), debemos regresar a
la ecuación 1. Ahora, nuestras V∞ ya no serán funciones de y, sinó constantes. Tan sólo
deberemos integrar según x en las dimensiones de la vela, lo cual resulta en:
ଵଶ
ଵ
௅
ଵ
‫ܨ‬ሺ݈ܽ݉ሻ = 0.027ߩ‫ ∗ ଻ ߥ ∗ ଻ ∞ܷܪ‬න ‫ݔ݀ ଻ି ݔ‬
଴
Ecuación 3
Así pues, el error que se comete al hacer esta suposición será:
૚
ࡴ࢕ାࡴ ૚૜
ࡲሺ࢚࢛࢘࢈ሻ
ࢁ∞ૠ
ࢋ࢘࢘࢕࢘ = ૚ −
=૚−
∗
න
࢟૝ૢ ࢊ࢟
૚૜
ࡲሺ࢒ࢇ࢓ሻ
ࡴ࢕
૝ૢ
ࡴࣔ
Para que nos hagamos una idea, si introducimos los valores del apartado c), el
error que nos aparece es de un 16%
c) La introducción de los datos numéricos en las ecuaciones 2 y 3 nos aportan
los valores siguientes:
F(turb.)=54.6N
F(lam.)=65N