Condensadores y Dieléctricos

Física III -15
Cátedra de Física
Experimental II
Física III
Condensadores y
Dieléctricos
Prof. Dr. Victor H. Rios
201
5
Física III -15
METAS DE APRENDIZAJE
Al estudiar este capítulo, usted aprenderá:
• La naturaleza de los capacitores y la forma de calcular una cantidad que mide
su capacidad para almacenar carga.
• Cómo analizar capacitores conectados en una red.
• A calcular la cantidad de energía almacenada en un capacitor.
• Qué son los dieléctricos y cómo forman capacitores más eficaces.
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Contenidos
- Condensadores y Dielectricos
- Campo y potencial de una esfera conductora.
- Capacitor esférico
- Condensadores, Condensador plano – paralelo.
- Condensador cilíndrico, capacidad y energía
- Capacitores en Serie y paralelo
- Energía de un condensador cargado. La Maquina Z
- Efecto del dieléctrico en un condensador
- Energía del campo eléctrico
- Carga inducida y polarización
- Relación entre esta carga superficial inducida y la
carga en las placas.
- Capacidad en presencia de un dieléctrico
- Ruptura del dieléctrico
- Idea molecular de las cargas inducidas
- La ley de Gauss en los dieléctricos
- APENDICE – Los tres vectores eléctricos E, P y D
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Experiencia en clase
Capacitores
Para realizar la siguiente experiencia se necesita, una fuente de tensión de 12 volt DC, una
fuente de tensión 220 volt DC, un capacímetro digital, placas de cobre con pertinax de
distinta dimensiones, cables de conexión, capacitores de distintos tipos, prolongador.
En esta experiencia trataremos de ver cómo es el comportamiento de la capacitancia
respecto al cambio en sus dimensiones y cuando se usa como separador un dieléctrico
a) ¿Qué consideraciones se tiene que tener en cuenta cuando se compra un capacitor?
b) ¿Tiene alguna influencia el tipo de material conductor utilizado en la fabricación de
capacitores? ¿Por qué?
c) Si tenemos un capacitor de 22 mF el cual se carga con una tensión de 20 V. Si
queremos aumentar la carga 100 veces ¿Cómo lo resolvería?
d) En un capacitor de determinadas dimensiones y 25 V de trabajo, si queremos aumentar
la tensión de trabajo al doble sin afectar el valor de la capacidad ¿qué modificaría?
e) Si tenemos un capacitor de aire de 12 pF y queremos aumentar su capacidad sin variar
sus dimensiones ¿Cómo lo haría?
f) Si se tienen dos capacitores de 1 mF / 25 DC y se los conecta en serie o en paralelo
¿Qué parámetros estamos variando en cada caso y cuál sería su valor?
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Un capacitor es un dispositivo que almacena energía potencial eléctrica y
carga eléctrica.
• Para hacer un capacitor, basta aislar dos conductores uno del otro.
• Para almacenar energía en este dispositivo hay que
transferir carga de un conductor al otro, de manera
que uno tenga carga negativa y en el otro haya una
cantidad igual de carga positiva.
• Debe realizarse trabajo para trasladar las cargas a través de la diferencia de
potencial resultante entre los conductores, y el trabajo efectuado se almacena
como energía potencial eléctrica.
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Los capacitores tienen un gran número de aplicaciones prácticas en dispositivos tales
como:
- unidades de flash electrónicas para fotografía,
- láseres de pulso,
- sensores de bolsas de aire para automóviles
- receptores de radio y televisión, etc.
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Propiedades fundamentales de los capacitores
- Para un capacitor en particular, la razón entre la carga de cada conductor y la diferencia de
potencial entre los conductores es una constante llamada capacitancia.
- La capacitancia depende de las dimensiones y las formas de los conductores y del material
aislante (si lo hay) entre ellos.
- En comparación con el caso en que sólo hay vacío entre los con-ductores, la capacitancia
aumenta cuando está presente un material aislante (un dieléctrico).
- Esto sucede porque en el interior del material aislante ocurre una redistribución de la carga,
llamada polarización. El estudio de la polarización ampliará nuestra perspectiva de las
propiedades eléc-tricas de la materia.
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Capacidad de una esfera
conductora
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Campo producido por un conductor esférico de cargado


q
E . dS 
El teorema de Gauss afirma que: 
S
0
Consideremos una esfera metálica
de radio R cargada con una carga
Q.
1.-A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección
del campo eléctrico.
La distribución de carga tiene simetría esférica luego, la dirección del
campo es radial
2.-Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo
Fig. 21 Esfera metálica
Tomamos como superficie cerrada,
una esfera de radio r.
El campo E es paralelo al vector superficie dS, y el campo es constante en todos los puntos
de la superficie esférica por lo que,

El flujo total es : E·4π r2
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3.- Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada
• r<R
No hay carga en el interior de la
esfera de radio r < R, q = 0
• r>R
Si estamos calculando el campo en
el exterior de la esfera cargada, la
carga que hay en el interior de la
superficie esférica de radio r es la
carga total q = Q.
4.- Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico
En la fig. 22, se muestra la representación del módulo del campo eléctrico E en función de la distancia radial r.
Fig.22 Gráfico E = E (r)
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Potencial de la esfera conductora
Se denomina potencial a la diferencia de potencial entre un punto P a una distancia r del
centro de la esfera y el infinito.
Como el campo en el interior de la esfera conductora es cero, el potencial es constante
en todos sus puntos. El potencial en la superficie de la esfera es el área sombreada (fig.
de la derecha)
Capacidad de la esfera conductora
Se denomina capacidad de la esfera al cociente entre la carga y su potencial:
C = Q / V = 4 π ε0 R
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Ejemplo 1 - Capacitor esférico
Dos corazas conductoras esféricas y concéntricas están separadas por vacío. La coraza interior
tie-ne una carga total +Q y radio exterior ra, y la coraza exterior tiene carga -Q y radio interior rb
(figura) (La coraza interior está unida a la coraza exterior mediante delgadas varillas aislantes que
tienen un efecto despreciable sobre la capacitancia). Determine la capacitancia del capacitor
esférico.
SOLUCIÓN
Emplearemos la ley de Gauss para encontrar el campo eléctrico entre los conductores esféricos. A partir de este valor se
determina la diferencia de potencial Vab entre los dos conductores; después usaremos la ecuación para encontrar la capacitancia C = Q/Vab.
Tomamos como superficie gaussiana una esfera con radio r entre las dos esferas y que sea concéntrica con respecto a éstas. La ley de Gauss establece que el flujo eléctrico a través de esta superficie es igual a la carga total encerrada dentro de la superficie, dividida entre ε0:
Por simetría, es de magnitud constante y paralela a
en cada punto de esta superficie,
por lo que la integral en la ley de Gauss es igual
a (E)(4πr2). La carga total encerrada es Qenc= Q,
por lo que se tiene :
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Ejemplo 1 - Capacitor esférico
La expresión anterior para E es la misma que la correspondiente a una carga puntual Q, por lo que la
expresión para el potencial también puede tomarse como la misma que la correspondiente a una carga puntual, V = Q / 4πε0r. De ahí que el potencial del conductor interior (positivo) en r = ra con
respec-to al del conductor exterior (negativo) en r = rb es
Como ejemplo, si ra = 9.5 cm y rb = 10.5 cm,
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Condensador de placas paralelas
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Condensador
Se denomina condensador al dispositivo formado por dos conductores cuyas cargas son
iguales pero de signo opuesto.
La capacidad C de un condensador se define como el cociente entre la carga Q y la
diferencia de potencia V-V’ existente entre ellos.
La unidad de capacidad es el farad o faradio F, aunque se suelen emplear submúltiplos de
esta unidad como el microfaradio µF=10-6 F, y el picofaradio, pF=10-12 F.
Un condensador acumula una energía U en forma de campo eléctrico. La fórmula como
demostraremos más abajo es
Condensador plano- paralelo
En primer lugar, calculamos el campo creado por una placa plana indefinida, cargada
con una densidad de carga σ , aplicando la ley de Gauss.
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Campo creado por una placa plana infinita, cargada
Para una placa indefinida cargada, la aplicación del
teorema de Gauss requiere los siguientes pasos:
1.- A partir de la simetría de la distribución de
carga, determinar la dirección del campo
eléctrico.
La dirección del campo es perpendicular a la placa
cargada, hacia afuera si la carga es positiva y ha-cia
la placa si la carga es negativa.
2.- Elegir una superficie cerrada apropiada para
calcular el flujo
Tomamos como superficie cerrada, un cilindro de base A, cuya
generatriz es perpendicular a la placa cargada. El flujo tiene dos
contribuciones
* Flujo a través de las bases del cilindro: el campo y el vector superficie son paralelos.
E·A1 + E·A2 = 2 E A cos0º = 2 E A
• Flujo a través de la superficie lateral del cilindro. El campo E es perpendicular al vector
superficie dS, el flujo es cero. El flujo total es por tanto; 2 E A
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3.- Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada
La carga (en la figura de color rojo) en el interior de la
superficie cerrada vale :
q=σA
donde σ es la carga por unidad de superficie
4.-Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del
campo eléctrico
2 E A = σ A / ε0

E = σ / 2 ε0
El campo producido por una placa infinitamente grande es constante, su dirección es
perpendicular a la placa. Esta fórmula la podemos considerar válida para distancias próximas
a una placa en comparación con sus dimensiones.
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Campo creado por dos placas planas cargadas con cargas iguales y opuestas.
Supondremos que las placas son infinitamente grandes o
bien, que la separación entre las placas es pequeña comparada con sus dimensiones.
En la figura de arriba, se muestra el campo producido por
cada una de las placas y en la figura de abajo, el campo
resultante.
Sea un condensador formado por dos placas iguales de
área S, separadas una distancia d, pequeña en comparación con las dimensiones de las placas.
• El campo se cancela en la región del espacio situado
fuera de las placas, y se suma en el espacio situado
entre las placas.
• Por tanto, solamente existe campo entre las placas
del condensador, siendo despreciable fuera de las
mismas.
Como el campo es constante, la diferencia de potencial
entre las placas se calcula multiplicando el módulo del
campo por la separación entre las mismas.
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La capacidad del condensador plano - paralelo será :
donde Q = σ S es la carga total de la placa del condensador.
La capacidad del condensador solamente depende de su geometría, es decir, del área de
las placas S y de la separación entre las mismas d.
Ejemplo 2 - Tamaño de un capacitor de 1 F
Un capacitor de placas paralelas tiene una capacitancia de 1.0 F. Si las placas tienen una
separa-ción de 1.0 mm, ¿cuál es el área de las placas?
SOLUCIÓN
Se dan los valores de C y d para un capacitor de placas paralelas, por lo que se emplea la ecuación anterior y se despeja la variable buscada A. El área A es
Esto corresponde a un cuadrado ¡de alrededor de 10 km de lado!, 100 veces el área del
municipio de S.M. de Tucumán. Es obvio que éste no es un diseño muy práctico para un
capacitor. De hecho, ahora es posible fabricar capacitores de 1 F que miden unos cuantos
centímetros de lado. La clave está en que exista una sustancia apropiada entre las placas en vez
del vacío.
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Area Cap. = 108 m2 = 104 km2
Superficie S.M.T. = 90 km²
≈ 100 km²
Area Cap. / Sup. S.M.T. = 100
El Municipio de San Miguel de Tucumán abarca una superficie total de 90 km² que representa el
7,58% del Área Metropolitana. Según el último Censo Nacional (año 2001) su población alcanza los
527.607 habitantes (39.4% de la población de la provincia), cifra que asciende durante el día a más de
600.000 personas debido a la población en tránsito que representa el 65,43% de la total del Área
Metropolitana y el 41,4% de la de la Provincia, con una densidad bruta de 5.258,5 hab/Km².
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Capacidad de un condensador cilíndrico
El campo existente entre las armaduras de un condensador cilíndrico de radio interior a,
radio exterior b, y longitud L, cargado con cargas +Q y –Q, respectivamente, se calcula
aplicando la ley de Gauss a la región a < r < b, ya que tanto fuera como dentro del condensador el campo eléctrico es cero.
La aplicación del teorema de Gauss, es similar al de una línea cargada requiere los
siguientes pasos:
1.- A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección del campo eléctrico.
La dirección del campo es radial
y perpendicular al eje del
cilindro.
2.- Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo
Tomamos como superficie cerrada, un cilindro de radio r, y longitud L. Tal como se
muestra en la figura. El cálculo del flujo, tiene dos componentes
Física III - 15
El cálculo del flujo, tiene dos componentes
• Flujo a través de las bases del cilindro: el campo y el vector superficie son
perpendiculares, el flujo es cero.
• Flujo a través de la superficie lateral del cilindro. El campo E es paralelo al vector
superficie dS, y el campo es constante en todos los puntos de la superficie lateral,
por lo que:
El flujo total es por tanto : E 2 π r L
3.- Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada
La carga en el interior de la superficie cerrada vale +Q, que es la carga de la armadura
cilíndrica interior
4.- Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico

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Ahora, es fácil demostrar, aplicando el teorema de Gauss que el campo en las
regiones
r < a y r > b es nulo.
• En el primer caso, si tomamos una superficie cilíndrica de radio r < a y de longitud
L, dicha superficie no encierra carga alguna.
• En el segundo caso, si tomamos una superficie cilíndrica de radio r > b y longitud
L, la carga total encerrada es +Q – Q = 0 , es nula, el flujo es cero y el campo es cero.
En la figura, se muestra la representación gráfica del campo E en función de la distancia
radial r.
La diferencia de potencial entre las placas del condensador se calcula integrando, (área sombreada de la
figura).
La capacidad es :

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La capacidad solamente depende de la geometría del condensador (radio a y radio b de sus
armaduras, y longitud L del condensador)
Si el cilindro interior no está
comple-tamente introducido en el
exterior, sino solamente una longitud
x, la capacidad del condensador será


Energía del condensador
Ejemplo 3 - Capacitor cilíndrico
Un conductor cilíndrico largo tiene un radio ra y densidad lineal de carga +λ. Está rodeado por una
coraza conductora cilíndrica coaxial con radio interior rb y densidad lineal de carga - λ (figura ).
Cal-cule la capacitancia por unidad de longitud para este capacitor, suponiendo que hay vacío en
el es-pacio entre los cilindros.
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SOLUCIÓN
Idea : Primero se encuentran expresiones para la diferencia de potencial Vab entre los cilindros y
la carga Q en una longitud L de los cilindros; después se encuentra la capacitancia de una longitud L. La variable buscada es esta capacitancia dividida por L
Para encontrar la diferencia de potencial entre los cilindros, se utiliza el resultado que se obtuvo
anteriormente
La carga total Q en una longitud L es Q = λ L, por lo que, de la ecuación anterior, la capacitancia
C de una longitud L es
Si se sustituye ε0 = 8.85 x 10-12 F/m = 8.85 pF/m, se obtiene:
Se observa que la capacitancia de los cilindros coaxiales está determinada en su totalidad por las
dimensiones. Los cables coaxiales comunes están fabricados de este modo, pero entre los conductores interior y exterior tienen un material aislante en vez de vacío. El cable típico para las
antenas de televisión y conexiones de videograbadoras tiene una capacitancia por unidad
de longitud de 69 pF/m.
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Capacitores en Serie
Los condensadores Ci conectados en serie
a un potencial V adquieren la misma carga.
La carga +Q del primer condensador induce una -Q en la otra placa, inicialmente
des-cargada; esto sólo es posible si
aparece o-tra carga +Q en el segundo
condensador y así sucesivamente.
Por tanto:
Q
Ci 
Vi

Vi 
Q
Ci
La diferencia de potencial total es la suma de las caídas
de potencial Vi en los distintos condensadores:
y la capacidad equivalente: C 
Q

V
Q
n
Q  1 Ci
i 1

1
n
1 C
i 1
i
n
n
i 1
i 1
V  Vi 
n
Q
1
Q 
Ci
i 1 Ci
n
1
1
1
1
1

 
 
C i 1 Ci C1 C2
Cn
El recíproco de la capacitancia equivalente de una combinación en serie es igual
a la suma de los recíprocos de las capacitancias individuales. En una conexión en
serie la capacitancia equivalente siempre es menor que cualquiera de las
capacitan-cias individuales.
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Capacitores en Paralelo
Probar que la capacidad equivalente es :
n
V  Ci
n
Q
i 1
C 

 Ci
V
V
i 1
La capacidad equivalente de un conjunto de condensadores unidos en
para-lelo es la suma de las capacidades de los condensadores aislados.
Ejemplo 4 Capacitores en serie y en paralelo
En las figuras siguientes, sean C1 = 6.0 μF, C2 = 3.0 μF y Vab = 18 V. Encuentre la capacitancia equivalente, la carga y la diferencia de potencial para cada capacitor cuando los dos
capacitores se conectan a) en serie, y b) en paralelo.
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Capacitores en Serie
a)
Para la capacitancia equivalente de la combinación en
serie, se aplica la ecuación y se encuentra que
La carga Q en cada capacitor en serie es igual a la carga
en el capacitor equivalente:
La diferencia de potencial a través de cada capacitor es inversamente proporcional a su capacitancia:
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Capacitores en Paralelo
b) Para determinar la capacitancia equivalente de la
combinación en paralelo (figura), se utiliza la
ecuación:
La diferencia de potencial a través de cada uno de los
dos capacitores en paralelo es la misma que aquélla a
través del capacitor equivalente, 18 V. Las cargas Q1 y
Q2 son directamente proporcionales a las capacitancias C1 y C2, respectivamente:
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Energía de un condensador cargado
Para cargar un condensador pasamos carga de la placa de menor a la de mayor potencial y requiere, por tanto, el consumo de
energía.
Imaginemos que el proceso de carga comienza con ambas placas completamente descargadas y después, sacamos repetidamente cargas positivas de una de ellas y la pasamos a
la otra.
En un momento dado, tendremos una carga q en las placas y la diferencia de potencial entre las mismas será V tal que:
q = C·V
El trabajo necesario para incrementar en dq la carga del condensador será : dW = V · dq
El trabajo total realizado en el proceso de carga, mientras esta aumenta desde cero hasta su valor
final Q.

Maquina Z
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La maquina Z y sus características
La maquina Z, esta ubicada en Nuevo Mexico, es el generador de rayos-X más grande del mundo.
Sus descargas eléctricas producen plasma y permiten estudiar materiales bajo condiciones de temperatura y presión extremas. Esta máquina logró generar plasma a temperaturas de 2.000.000.000
K superando a los núcleos estelares. Logra esto vaporizando cables metálicos con corrientes de
20.000.000 A en una interfaz agua-aire.
La máquina Z utiliza un número grande de capacitores en paralelo para dar una capacitancia equivalente C enorme. Los arcos mostrados en la figura se producen cuando los capacitores descargan
su energía en un blanco, no mayor que un carrete de hilo.
Ha producido plasmas que exceden temperaturas de 3 mil millones de grados centígrados, más caliente que el interior de las estrellas.
El plasma, es atrapado en un campo magnético muy fuerte y se comprime hasta el grosor de un lápiz. En este punto, los iones y los electrones no tienen a donde ir. Se paran repentinamente, emitiendo energía en la forma de rayos x que alcanzan temperaturas de varios millones de grados centígrados, la temperatura de las llamaradas solares.
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Energía del campo eléctrico
Un capacitor puede cargarse trasladando electrones directamente de una placa a otra. Esto requiere efectuar trabajo contra el campo eléctrico entre las placas. Así, es posible considerar la
energía como si estuviera almacenada en el campo, en la región entre las placas
Debemos encontrar la energía por unidad de volumen en el espacio entre las placas paralelas
de un capacitor con área A y separación d. Ésta se denomina densidad de energía y se denota
con u.
La energía potencial el total de almacenada es :
½ CV2
Volumen entre las placas es Ad; por lo tanto, la densidad de energía es
La densidad de energía es :
La capacidad C está dada por : C = ε0 A / d.
La diferencia de potencial V está relacionada con el campo eléctrico E : V = E d
Aunque esta relación se obtuvo sólo para un capacitor de placas paralelas, es válida para cualquier capacitor con vacío y por ello para cualquier configuración de campo eléctrico en el vacío.
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Ejemplo 5 - Energía del campo eléctrico
Se desea almacenar 1 J de energía potencial eléctrica en un volumen de 1 m 3 en vacío. a) ¿Cuál
es la magnitud del campo eléctrico que se requiere? b) Si la magnitud del campo eléctrico es 10
veces mayor, ¿cuánta energía se almacena por metro cúbico?
SOLUCIÓN
Utilizaremos la relación entre la magnitud del campo eléctrico E y la densidad de energía u, que
es igual a la energía del campo eléctrico dividida entre el volumen ocupado por el campo.
En el inciso a) se emplea la información dada para obtener u, y después se usa la ecuación
para encontrar el valor de E que se requiere. Esta misma ecuación da la relación entre los
cambios
en E y los cambios correspondientes en u.
a) La densidad de energía deseada es u = 1 J / m3. Se despeja E en la ecuación anterior:
b) La ecuación para u muestra que u es proporcional a E2. Si E se incrementa en un factor de 10,
u aumenta en un factor de 102 = 100 y la densidad de energía es 100 J/m3.
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Efecto del dieléctrico en un condensador
La mayor parte de los condensadores llevan entre sus láminas una
sustancia no conductora o dieléctrica. Un condensador típico está
formado por láminas metálicas enrolladas, separadas por papel
impregnado en cera. El condensador resultante se envuelve en una
funda de plástico. Su capacidad es de algunos microfaradios.
• La botella de Leyden es el condensador más primitivo, consiste en una hoja
metálica pegada en las superficies interior y exterior de una botella de vidrio.
• Los condensadores electrolíticos utilizan como dieléctrico una capa delgada de óxido no conductor entre
una lámina metálica y una disolución conductora. Los
condensadores electrolíticos de dimensiones relativamente pequeñas pueden tener una capacidad de 100 a
1000 mF.
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La función de un dieléctrico sólido colocado entre las láminas es triple:
Resuelve el problema mecánico de mantener dos grandes láminas metálicas a distancia muy pequeña sin contacto alguno.
Consigue aumentar la diferencia de potencial máxima que el condensador es
capaz de resistir sin que salte una chispa entre las placas (ruptura dieléctrica).
La capacidad de un condensador de dimensiones dadas es varias veces mayor
con un dieléctrico que separe sus láminas que si estas estuviesen en el vacío.
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Sea un condensador plano-paralelo cuyas láminas hemos cargado con cargas +Q y –Q,
iguales y opuestas. Si entre las placas se ha hecho el vacío y se mide una diferencia de
potencial V0, su capacidad y la energía que acumula serán
Si introducimos un dieléctrico se observa que la
diferencia de potencial disminuye hasta un valor V
La capacidad del condensador con dieléctrico será
donde k se denomina constante dieléctrica
La energía del condensador con dieléctrico es :
Concluimos que la energía de un condensador con dieléctrico disminuye respecto de la
del mismo condensador en vacío.
Física III - 15
Dieléctrico
Constante dieléctrica
Ámbar
2.7-2.9
Agua
80.08
Aire
1.00059
Alcohol
25.00
Baquelita
4-4.6
Cera de abejas
2.8-2.9
Glicerina
Helio
56.2
1.00007
Mica moscovita
4.8-8
Parafina
2.2-2.3
Plástico vinílico
4.1
Plexiglás
3-3.6
Porcelana electrotécnica
6.5
Seda natural
4-5
Fuente: Manual de física elemental, Koshkin N. I, Shirkévich M. G., Edt. Mir, págs 124-125
Física III -15
Carga inducida y polarización
Cuando se inserta un material dieléctrico entre las placas de un capacitor al mismo tiempo que
la carga se mantiene constante, la diferencia de potencial entre aquéllas disminuye en un factor
K. Por lo tanto, el campo eléctrico entre las placas debe reducirse en el mismo factor. Si E0 es el
valor con vacío y E es el valor con dieléctrico, entonces
Como la magnitud del campo eléctrico es menor cuando el dieléctrico está presente, la densidad superficial
de carga (que crea el campo) también debe ser menor.
La carga superficial en las placas conductoras no cambia, pero en cada superficie del dieléctrico aparece una
carga inducida de signo contrario (figura ).
Originalmente, el dieléctrico era neutro y todavía lo es;
las cargas superficiales inducidas surgen como resultado de la redistribución de la carga positiva y negativa
dentro del material dieléctrico. Este fenómeno se llama
polarización. Se supondrá que la carga superficial inducida es directamente proporcional a la magnitud del
campo eléctrico E en el material; de hecho, éste es el
caso de muchos dieléctricos comunes.
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Relación entre esta carga superficial inducida y la carga en las placas
Llamamos σi a la magnitud de la carga inducida por unidad de área
en las superficies del dieléctrico (la densidad superficial de carga
inducida).
La magnitud de la densidad superficial de carga en cada lado del
capacitor es σ
La magnitud de la carga superficial neta en cada lado del capacitor
es : (σ - σi ), como se ilustra en la figura.
El campo entre las placas se relaciona con la densidad superficial de
carga de acuerdo con E = σ neta / ε0.
Sin el dieléctrico y con éste, respectivamente, se tiene :
Densidad superficial
de carga inducida
Esta ecuación plantea que cuando K es muy grande, σi casi es tan grande como σ. En este caso,
σi si casi anula a σ , y el campo y la diferencia de potencial son mucho menores que sus valores
en el vacío.
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Capacidad en presencia de un dieléctrico
El producto K ε0 se llama permitividad del dieléctrico, y
se denota con ε:
En términos de ε, el campo eléctrico dentro del
dieléctrico se expresa como
La capacitancia cuando hay un dieléctrico presente está
dada por
La densidad de energía u en un campo eléctrico para el
caso en que hay un dieléctrico presente, es:
En el espacio vacío, donde K = 1, ε = ε0 y las ecuaciones anteriores se reducen a las ecuaciones respectivamente, para un capacitor de placas paralelas con vacío. Por esta razón,
en ocasiones ε0 se llama “permitividad del espacio libre” o “permitividad del vacío”. Como K
es un número puro, ε y ε0 tienen las mismas unidades, C2 / N m o F / m.
Física III -15
Ejemplo 6 - Capacitor con y sin dieléctrico
Suponga que cada una de las placas paralelas en la figura tiene un área de 2000 cm 2 (2.00 x 10-1 m2)
y están separadas por 1.00 cm (1.00 x 10-2 m). El capacitor está conectado a una fuente de energía
y se carga a una diferencia de potencial V0 = 3000 V = 3.00 kV. Después se desconecta de la fuente
de energía y se inserta entre las placas una lámina de material plástico aislante, llenando por
comple-to el espacio entre ellas. Se observa que la diferencia de potencial disminuye a 1000 V y que
la carga en cada placa del capacitor permanece constante.
Calcule a) la capacitancia original C0; b) la magnitud de la carga Q en cada placa; c) la capacitancia
C después de haber insertado el dieléctrico; d) la constante dieléctrica K del dieléctrico; e) la
permitivi
dad ε del dieléctrico; f) la magnitud de la carga Qi inducida en cada cara del dieléctrico; g) el campo
eléctrico original E0 entre las placas; y h) el campo eléctrico E después de insertar el dieléctrico.
SOLUCIÓN
a)
Con vacío entre las placas se usa la ecuación
con K = 1:
Física III -15
b) A partir de la definición de capacitancia,
Ecuación
c) Cuando se inserta el dieléctrico, la carga permanece
sin cambio, pero el potencial disminuye a V =1000 V.
Por ello, de acuerdo con la ecuación anterior, la nueva
capacitancia es
d) De la ecuación
, la constante dieléctrica es
En forma alternativa, de la ecuación
e) Al sustituir el valor de K del inciso d) en la ecuación
, la permitividad resulta ser
f ) Se multiplica la ecuación
por el área de cada placa para obtener la carga inducida
Qi =σi A en términos de la carga Q = σ A en cada placa:
g) Como el campo eléctrico entre las placas es uniforme,
su magnitud es la diferencia de potencial dividida entre la
separación de las placas
h) Con la nueva diferencia de potencial después de
insertar el dieléctrico
o, de la ecuación
o bien, de la ecuación
o, de la ecuación
Física III -15
Física III -15
Ruptura del dieléctrico
Cuando un material dieléctrico se somete a un campo eléctrico suficientemente intenso, tiene lugar la ruptura del dieléctrico y entonces el dieléctrico se convierte en conductor (figura). Esto ocurre cuando el campo eléctrico es tan intenso que arranca los electrones de sus moléculas y
los lanza sobre otras moléculas, con lo cual se liberan aún más electrones. Esta avalancha de
carga en movimiento, que forma una chispa o descarga de arco, suele iniciarse de forma
repentina.
Debido a la ruptura del dieléctrico, los
capa-citores siempre tienen voltajes
máximos no-minales. Cuando un capacitor
se somete a un voltaje excesivo se forma
un arco a tra-vés de la capa de dieléctrico,
y lo quema o perfora. Este arco crea una
trayectoria con-ductora entre los conductores. Si la trayec-toria conductora
permanece después de haberse extinguido
el arco, el dispositivo queda inutilizado de
manera permanente en su función de
capacitor.
La magnitud máxima de campo eléctrico a que puede someterse un material sin que ocurra la
ruptura se denomina rigidez dieléctrica.
Física III -15
Esta cantidad se ve afectada de manera significativa por la temperatura, las impurezas, las pequeñas irregularidades en los electrodos metálicos y otros factores que son difíciles de controlar.
Por esta razón sólo pueden darse cifras aproximadas de las rigideces dieléctricas. La rigidez dieléctrica del aire seco es alrededor de 3 x 10 6 V/m. En la tabla se presentan valores de la rigidez
dieléctrica de varios materiales aislantes comunes. Observe que todos los valores son mucho
mayores que el del aire. Por ejemplo, una capa de policarbonato de 0.01 mm de espesor tiene 10
veces la rigidez dieléctrica del aire y soporta un voltaje máximo cercano a (3 x10 7 V/m) (1 x 10-5
m) = 300 V.
Fisica III
Física
III -- 05
15
Idea molecular de las cargas inducidas
La disminución de la diferencia de potencial que experimenta el
condensador cuando se introduce el dieléctrico puede explicarse
cualitativamente del siguiente modo.
• Las moléculas de un dieléctrico pueden clasificarse en polares y
no polares.
• Las moléculas como H2, N2, O2, etc. son no polares.
• Las moléculas son simétricas y el centro de distribución de las
cargas positivas coincide con el de las negativas
• Por el contrario, las moléculas N 2O y H2O no son simétricas y los
centros de distribución de carga no coinciden.
Física III - 15
Dipolos Inducidos
Bajo la influencia de un campo eléctrico, las cargas de una molécula no polar llegan a
des-plazarse como se indica en la figura, las cargas positivas experimentan una fuerza
en el sentido del campo y las negativas en sentido contrario al campo.
La separación de equilibrio se establece cuando la fuerza eléctrica se compensa con la
fuerza recuperadora ( como si un resorte uniese los dos tipos de cargas ). Este tipo de
dipolos formados a partir de moléculas no polares se denominan dipolos inducidos.
Física III - 15
Moléculas polares en un campo eléctrico
Las moléculas polares o dipolos permanentes de un dieléctrico están orientados al azar
cuando no existe campo eléctrico, como se indica en la figura. Bajo la acción de un campo
eléctrico, se produce cierto grado de orientación. Cuanto más intenso es el campo, tanto
mayor es el número de dipolos que se orientan en la dirección del campo.
Física III - 15
Efecto resultante de la aplicación de un campo a un dieléctrico
Sean polares o no polares las moléculas de un dieléctrico, el efecto neto de un campo exterior se encuentra representado en la figura inferior.
Al lado de la placa positiva del condensador, tenemos carga inducida
negativa y al lado de la placa negativa del condensador, tenemos carta inducida positiva.
Como vemos en la parte derecha de
la figura, debido a la presencia de
las cargas inducidas el campo eléctrico entre las placas de un condensador con dieléctrico E es menor
que si estuviese vacío E0.
Algunas de las líneas de campo que abandonan la placa positiva penetran en el dieléctrico
y llegan a la placa negativa, otras terminan en las cargas inducidas.
El campo y la diferencia de potencial disminuyen en proporción inversa a su constante
dieléctrica k = є / є0 
E = E0 / k
Física III -15
El comportamiento de un trozo de dieléctrico cuando se inserta en el campo entre un par de placas
de capacitor con cargas opuestas.
La figura a muestra el campo original.
La figura b presenta la situación después de haber insertado el dieléctrico, pero antes de
que ocurra el reacomodo de las cargas.
La figura c ilustra con flechas delgadas el campo
adicional que se establece
en el dieléctrico por sus
cargas superficiales inducidas. Este campo es opuesto al original, pero no
tan grande como para anularlo por completo, ya
que las cargas en el dieléctrico no tienen libertad
para moverse en forma
indefinida. Por consiguiente, el campo resultante en
el dieléctrico, que se presenta en la figura d, disminuyó su magnitud
Física III - 15
Ejemplo 7:
Se conecta un condensador plano-paralelo a una batería de 10 V. Los datos del condensador son:
* el área de cada una de sus placas es 0.07 m 2,
* la distancia entre las mismas es 0.75 mm.
1. Condensador en vacío
La capacidad del condensador vacío
La carga Q y densidad de carga σf en las placas del condensador es
Q = C0 · ( V - V’ ), Q = 8.25·10-9 C
El campo eléctrico en el espacio comprendido entre las placas del
condensador es:
E0 = σf / є0 , E0 = 13333.33 N / C
Física III - 15
Capacidad con dieléctrico
Se desconecta el condensador de la batería y se introduce un dieléctrico, por ejemplo,
baquelita de k = 4.6
La capacidad del condensador, aumenta :
C = k ·C0, C = 3.80 ·10-9 F
La diferencia de potencial entre las placas, disminuye :
V - V’ = Q / C, V - V’ = 2.17 V
El campo eléctrico E en el espacio comprendido entre las
pla-cas del condensador es:
E = E0 / k, E = 2898.6 N/C
Podemos considerar este campo E, como la diferencia entre el campo
E0 producido por las cargas libres existentes en las placas, y el
campo Eb producido las cargas inducidas en la superficie del dieléctrico, ambos campos son de signos contrarios.
E = E0 - Eb
La densidad de carga inducida en el dieléctrico es σb = 9.23·10-8 C/m2
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La ley de Gauss en los dieléctricos
La figura muestra la placa izquierda del capacitor y la superficie izquierda del dieléctrico. Se aplicará la ley de Gauss a la caja rectangular que se muestra en corte transversal mediante la
línea púrpura; el área superficial de los lados izquierdo y derecho es A.
El lado izquierdo está incrustado en el conductor que forma la placa izquierda del capacitor, por
lo que el campo eléctrico en cualquier sitio de esa superficie es igual a cero. El lado derecho
es-tá incrustado en el dieléctrico, donde el campo eléctrico tiene magnitud E y E ┴= 0 en
cualquier lugar de las otras cuatro caras.
La carga total encerrada, incluida la carga de la
placa del capacitor y la carga inducida en la superficie del dieléctrico, es Qenc = (σ - σi )A, por
lo que la ley de Gauss da
Esta ecuación no es muy esclarecedora porque
relaciona dos cantidades desconocidas: E dentro
del dieléctrico y la densidad superficial de carga
inducida σi.
Física III -15
Pero ahora se puede usar la ecuación
, desarrollada para esta misma
situación, con la finalidad de simplificar la ecuación eliminando si.
La ecuación plantea que el
flujo de no a través de la superficie gaussiana, es igual a
la carga libre encerrada σA
dividida entre ε0.
Resulta que, para cualquier superficie gaussiana, siempre que la carga inducida sea proporcional al campo eléctrico en el material, la ley de Gauss puede expresarse como
donde Qenc-libre es la carga libre total (no la carga ligada) encerrada por la superficie gaussiana.
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Ejemplo 8 - Capacitor esférico con dieléctrico
En el capacitor esférico del ejemplo anterior, el volumen entre las corazas conductoras esféricas
está lleno de un aceite aislante cuya constante dieléctrica es igual a K. Use la ley de Gauss para
encontrar la capacitancia.
SOLUCIÓN
La simetría esférica del problema no cambia por la presencia del dieléctrico, por lo que se tiene
donde ε = K ε0 es la permitividad del dieléctrico. En comparacion
con el caso en que hay vacío entre las corazas conductoras, el
campo eléctrico se reduce en un factor de 1/K.
De igual forma, la diferencia de potencial Vab entre las corazas disminuye en un factor de 1/K,
con lo que la capacitancia C = Q / Vab se incrementa en un factor de K, al igual que para un
capacitor de placas paralelas cuando se inserta un dieléctrico. Utilizando el resultado para el
caso con vacío, se encuentra que la capacitancia con el dieléctrico es
Física III - 15
Capacitores comerciales
Física III -15
Bibliografía
1) Física universitaria - YOUNG • FREEDMAN - SEARS • ZEMANSKY
Decimosegunda edición - volumen 2, CON FÍSICA MODERNA
2) Física, Principios con Aplicaciones – Douglas C. Giancoli
Cuarta edición, Prentice-Hall Hispano Americana, S.A.
3) Física Para Estudiantes de Ciencias e Ingeniería, Halliday - Resnick
Parte II, Compañía Editorial Continental, S.A.
4) Temas de Electricidad y Magnetismo– Felix Rodriguez Trelles
Editorial Universitaria de Buenos Aires, 1984.
Física III -15
Apéndice
Los tres vectores eléctricos D, E y P
Física III -15
POLARIZACION
La polarización P de un material es una cantidad vectorial definida como el momento dipolar
eléctrico del material por unidad de volumen. Por lo tanto, si p es el momento dipolar inducido en cada átomo o molécula y n el número de átomos o moléculas por unidad de volumen, la polarización es
En general la polarización P tiene la misma dirección que el campo eléctrico aplicado.
Para el caso especial de la figura, el vector
polarización P tiene el mismo valor en todos los
puntos del dieléc-trico; en otros casos, puede variar de
un punto a otro, y entonces las magnitudes n y p se
refieren a un volu-men muy pequeño que incluye el
punto.
El bloque polarizado de la figura se considera como un
gran dipolo único, formado por las cargas inducidas
qp = σp A, separadas por el espesor L del bloque.
El momento dipolar del bloque es entonces p = qp L = σp AL, y, dado que su volumen es AL,
el momento dipolar por unidad de volumen, o polarización P, vale en magnitud
Física III -15
La densidad superficial de carga ligada es igual a la polarización. Aunque este resultado se ha
obte-nido para una configuración geométrica particular, su validez es general y para otra
configuración la densidad de carga de polarización está dada por
donde θ es el ángulo formado por el vector normal a la superficie y el vector polarización.
SUCEPTIBILIDAD Y PERMITIVIDAD ELECTRICAS
La polarizacion P de un dieléctrico isótropo homogéneo tiene dirección y sentido iguales que el
campo eléctrico resultante , y depende de E y de la naturaleza del dieléctrico.
Se define una propiedad del dieléctrico en la teoría de respuesta lineal, denominada susceptibilidad eléctrica del material χe, por la ecuación
La susceptibilidad eléctrica χe es adimensional puesto que tanto P como ε0 E se miden en Cm-2.
Para la mayoría de los materiales χ e es una cantidad positiva.
La susceptibilidad eléctrica del vacío es nula, ya que solo puede resultar polarizado un material
dieléctrico. La susceptibilidad eléctrica, que describe la respuesta de un medio a la acción de un
campo eléctrico, está relacionada con las propiedades de los átomos y moléculas del medio. Por
esta razón, la susceptibilidad eléctrica es diferente para campos eléctricos estáticos y oscilantes.
Física III -15
SUCEPTIBILIDAD Y PERMITIVIDAD ELECTRICAS, CONT…
La susceptibilidad eléctrica inducida debida a la distorsión del movimiento electrónico en átomos o
moléculas es esencialmente independiente de la temperatura, puesto que se trata de un efecto
relacionado con la estructura electrónica de los átomos o de las moléculas y no con el movimiento
térmico.
Para un bloque plano como el de la figura colocado en
un campo eléctrico externo normal a sus caras, la densidad superficial de carga ligada es igual a la polarizacion; de modo que en este caso
Si ese bloque dieléctrico se coloca entre las placas de un condensador plano paralelo de área A y
separación d como el de la figura el cual inicialmente estaba vacío y con una densidad de carga
superficial llamada libre.
La densidad de carga superficial libre en
las placas se denota por σL y dentro del
condensador produce un campo
Cuando no hay dieléctrico en él, la carga
ligada produce un campo eléctrico
en sentido contrario el cual es:
cuando el condensador se ha llenado
con el mate-rial dieléctrico
Física III -15
SUCEPTIBILIDAD Y PERMITIVIDAD ELECTRICAS, CONT…
El campo resultante E = EL + Ep. Dado que estos campos
tienen sentidos opuestos como en la figura, el campo resultante E es:
y, por tanto,
Donde el coeficiente
Es la permitividad relativa y es un número sin unidades. A la permitividad relativa también se le
llama la constante dieléctrica.
Las tres magnitudes χe, ε y κ, son otras tantas formas diferentes de expresar la misma propiedad fundamental de un dieléctrico; esto es, el grado en el cual queda polarizado cuando se
encuentra en un campo eléctrico. Cualquiera de ellas puede expresarse en función de ε0 y de
una de las restantes, y todas se introducen únicamente con el fin de simplificar la forma que
toman algunas ecuaciones de uso frecuente.
Física III -15
DESPLAZAMIENTO ELECTRICO
Se define el desplazamiento D en cualquier punto de un dieléctrico polarizado como la suma vectorial del vector polarización P y del producto ε0 E como:
Pero
de modo que en el dieléctrico
En el vacío , P = 0
El concepto de desplazamiento eléctrico simplifica ciertas ecuaciones, y tiene propiedades
útiles e interesantes.
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DESPLAZAMIENTO ELECTRICO, CONT…
La integral de superficie de E para la superficie gaussiana de la figura, formada por un cilindro una de
cuyas bases se encuentra en la placa metálica, y la
otra, en el dieléctrico. Dentro de la placa metálica E=0.
En el interior del dieléctrico,
(1)
La integral de superficie de E extendida a una superficie cerrada es igual a 1/ε 0 multiplicado
por la carga neta interior a la superficie, incluyendo tanto las cargas libres como las de
polarización
De la ecuación anterior se obtiene el campo eléctrico dentro del dieléctrico, que es:
(2)
Esta expresión muestra que la carga superficial inducida q P es siempre menor en magnitud
que la carga libre qL y es igual a cero cuando no hay dieléctrico. Reemplazando (2) en (1)
Esta relación es importante, aunque se ha derivado para un condensador de placas paralelas,
es aplicable en todos los
casos.
Física III -15
Física III - 15
FIN