UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN Razonamientos

Transcripción

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA
DE YUCATÁN
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
Razonamientos espontáneos asociados a la
Modelación Matemática no lineal. Un análisis clínico
Presentado por:
KENNY DE JESÚS COYOC TORO
Asesor:
M. en C. Eddie de Jesús Aparicio Landa
Para obtener el título de:
LICENCIADO EN ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS
Modalidad: Tesis individual
Mérida, Yucatán, México
Julio 2007
AGRADECIMIENTOS
Agradezco a mi asesor de tesis, M. en C. Eddie de Jesús Aparicio Landa, por
creer en mí, por su confianza, por valorar mis ideas, por su paciencia y respeto
y por sus consejos.
Gracias a mis padres, Romer y Madeleine, por su inmenso apoyo y amor, por la
educación y valores que me han inculcado durante toda mi vida y por toda la
confianza que han depositado en mí. A mi hermanita Shirley, por su apoyo,
para que yo termine la licenciatura.
Gracias a Neida, mi abuela, por ofrecerme su apoyo en todo momento.
A Eleazar, mi amor eterno, por su apoyo inmenso e incondicional, por su amor,
comprensión y compañía.
A mis compañeros de licenciatura: Mayra, Cristy, Karla, Erika, Eduardo,
Adriano, Jorge, Jesús, Rocío y Tere, por caminar juntos en esta gran
experiencia en un ambiente de compañerismo y respeto.
A todos mis profesores de licenciatura, por hacer de mí una persona preparada
y confiar en mí.
ÍNDICE
PRELIMINARES………………………………………………………………..........
i
CAPÍTULO 1
DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA Y OBJETIVO DE
INVESTIGACIÓN…………………………………………………………….
1
1.1. LA MODELACIÓN MATEMÁTICA…………………………………
2
1.2. LA MODELACIÓN MATEMÁTICA EN EL ÁMBITO ESCOLAR..
3
1.3. PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN………………………………..
5
1.4. OBJETIVO DE LA INVESTIGACIÓN……………………………..
10
CAPÍTULO 2
MARCO TEÓRICO DE REFERENCIA…………………………………….
11
2.1. REVISIÓN LITERARIA………………………………………………
12
2.2. CONSIDERACIONES COGNOSCITIVAS……………………….
18
2.3. PROPUESTAS DIDÁCTICAS…………………………………….
19
2.4. SOBRE LO EPISTEMOLÓGICO…………………………………
21
2.5. LA DIDÁCTICA Y LA INVESTIGACIÓN…………………………
24
2.6. CONSIDERACIONES..............................................................
25
CAPÍTULO 3
MÉTODO DE INVESTIGACIÓN Y ANÁLISIS…………………………….
27
3.1. INGENIERÍA DIDÁCTICA………………………………………..
28
3.2. LA SECUENCIA DIDÁCTICA…………………………………...
31
3.3. ANÁLISIS A PRIORI…………………………………………….
32
3.4. EXPERIMENTACIÓN……………………………………………
34
3.5. ANÁLISIS A POSTERIORI……………………………………..
35
3.5.1. EQUIPO 1, FASE I…………………………………………
35
3.5.2. EQUIPO 2, FASE I…………………………………………
47
3.5.3. EQUIPO 1, FASE II…………………………………………
54
3.5.4. EQUIPO 2, FASE II…………………………………………
61
CAPÍTULO 4
RESULTADOS Y CONCLUSIONES…………………………………….
74
4.1. ANÁLISIS A PRIORI VS ANÁLISIS APOSTERIORI………….
75
4.1.1. FASE I……………………………………………………….
75
4.1.2. FASE II………………………………………………………
77
4.2. RESULTADOS……………………………………………………
81
4.3. CONCLUSIONES………………………………………………..
84
BIBLIOGRAFÍA…………………………………………………………….
87
ANEXO 1. LA SECUENCIA……………………………………………..
90
ANEXO 2. HOJAS DE TRABAJO………………………………………
95
PRELIMINARES
Este trabajo de investigación refiere a los razonamientos espontáneos que
emplean algunos estudiantes universitarios al momento de confrontarse a
actividades que involucran situaciones de modelación matemática.
Actualmente la modelación matemática está siendo fuertemente difundida como
método de enseñanza, se piensa que mejora en los estudiantes la capacidad de
leer, interpretar, formular y solucionar situaciones-problema (Salett, Hein, 2004).
Por ello, buscamos llevar a los estudiantes al manejo de nociones de variación e
interrelación de dos magnitudes que involucren el concepto de función y se
favorezca el desarrollo de habilidades como la modelación, importante para
adquirir las herramientas matemáticas necesarias para su formación integral y
matemática.
Sin embargo, se ha documentado en la literatura, el privilegio de argumentos de
corte algebraico que forman a los conceptos matemáticos como objetos
elaborados y ya prefijados, alejados totalmente de argumentos situacionales
(Buendía, 2006), pensando que esto llevará a mejorar el aprovechamiento de los
estudiantes. En consecuencia, hay estudiantes con problemas referentes a la
modelación matemática. En particular, los estudiantes asocian modelos lineales a
situaciones que involucran modelos no necesariamente lineales.
La modelación matemática es un tema con muy diversas e importantes
aplicaciones, tal como se hace notar en las aportaciones y trabajos que muchos
investigadores han realizado (Arrieta, 2003, Farfán, 1987, Mochón, 2000) y
también en las múltiples perspectivas desde las que esta actividad ha sido
observada.
En esta investigación tuvimos como objetivo, realizar un estudio sistemático de
corte clínico, apoyados en la Ingeniería Didáctica como metodología para la
búsqueda de evidencia confiable sobre los razonamientos que emplean
estudiantes al momento de modelar matemáticamente.
i
En el capítulo uno damos un breve panorama de la concepción de modelación
matemática a nivel preparatoria, se definen algunos términos que utilizamos
durante el desarrollo de esta investigación, describimos el problema de nuestro
estudio y presentamos los objetivos que se persiguieron en este trabajo.
En el capítulo dos ofrecemos un marco de referencia para situar al problema que
nos referimos. Mencionamos algunas investigaciones realizadas de corte
epistemológico y cognitivo, y aquéllas que proporcionan propuestas de
aprendizaje.
En el capítulo tres, proporcionamos un breve panorama de lo que es la Ingeniería
Didáctica, describimos la secuencia didáctica seguida en este trabajo, el análisis a
priori, la experimentación y el análisis a posteriori desarrollado en esta
investigación.
Finalmente, en el capítulo cuatro proporcionamos la confrontación del análisis a
priori con el análisis a posteriori, algunos resultados y conclusiones relacionadas
con la obtención de evidencia empírica sobre el pensamiento de tipo lineal en los
estudiantes entrevistados y algunas consideraciones que favorecen al modelado
de tipo no lineal.
ii
CAPÍTULO 3
MÉTODO DE INVESTIGACIÓN Y ANÁLISIS
Capítulo 3: Método de Investigación y Análisis
3.1. INGENIERÍA DIDÁCTICA
En esta investigación pretendimos mostrar que los modelos de tipo exponencial
presentan más problemáticas a nivel cognoscitivo que los modelos de tipo lineal o
periódico. Nuestra idea básica es que los modelos exponenciales y periódicos
requieren formas de pensamiento y habilidades más complejas y específicas que
los modelos lineales. Así, pretendimos responder lo siguiente: ante una situación
o fenómeno de tipo exponencial ¿qué formas de pensamiento y habilidades son
las que movilizan los alumnos?, ¿qué tipo de mecanismos didácticos y/o
cognitivos podrían hacerse presentes al momento de modelar matemáticamente?
Para responder lo anterior nos centramos en dos aspectos:
1) Dar evidencia de que los estudiantes atribuyen modelos lineales a
fenómenos cuyo comportamiento no es lineal. Esto puede deberse a que
los modelos lineales son más fáciles de captar o de resolver.
2) Hacer que los estudiantes confronten sus ideas y modelos que ellos
proponen acerca del comportamiento de una situación con otros modelos.
El fin es analizar las acciones de los estudiantes al momento de modelar.
Para realizar lo anterior recurrimos a la Ingeniería Didáctica como metodología de
investigación.
La noción de ingeniería didáctica surgió en la didáctica de las matemáticas por la
escuela francesa a comienzos de los años ochenta. Según Artigue (Artigue, 1995)
“se denomina Ingeniería Didáctica a una forma de trabajo didáctico semejante al
trabajo de un ingeniero quien, para realizar un proyecto determinado se basa en
los conocimientos científicos de su dominio y acepta someterse a un control de
tipo científico. Sin embargo, al mismo tiempo, se encuentra obligado a trabajar
con objetos mucho más complejos que los depurados por la ciencia y, por lo
tanto, tiene que abordar prácticamente, con todos los medios disponibles,
problemas de los que la ciencia no puede hacerse cargo”. Es importante hacer
- 28 -
notar que el término de ingeniería didáctica puede utilizarse bajo dos aspectos:
como metodología de investigación y como producción de situaciones de
enseñanza-aprendizaje. Para efectos de este trabajo de investigación, tomamos
el primer aspecto de la Ingeniería Didáctica.
En la metodología de la Ingeniería Didáctica (Artigue, 1998 p. 38) se distinguen
cuatro fases:
• La fase de Análisis Preliminar.
En una investigación de ingeniería didáctica, la fase de concepción se basa no
sólo en un cuadro teórico didáctico general y en los conocimientos didácticos
previamente adquiridos en el campo de estudio, sino en un determinado número
de análisis preliminares. Los más frecuentes tocan:
• El análisis epistemológico de los contenidos contemplados en la
enseñanza.
• El análisis de la enseñanza tradicional y sus efectos.
• El análisis de las concepciones de los estudiantes, de las dificultades y
obstáculos que determinan su evolución.
• El análisis del campo de restricciones donde se va a situar la realización
didáctica efectiva.
Todo lo anterior se realiza teniendo en cuenta los objetivos específicos de la
investigación.
• La fase de la Concepción y el Análisis a priori de las actividades y tareas.
En esta fase se consideran las elecciones de las variables didácticas y se realiza
un análisis de restricciones que le permiten al investigador controlar los por
menores que se presenten. Estas son las variables de comando que él percibe
como pertinentes con relación al problema estudiado. Así, el investigador debe
- 29 -
formularse una serie de supuestos al respecto, es decir, el análisis a priori está
basado en un conjunto de hipótesis.
La validación de estas hipótesis está, en principio, indirectamente en juego en la
confrontación que se lleva a cabo en la cuarta fase entre el análisis a priori y el
análisis a posteriori.
En esta fase:
• Se analiza qué podría ser lo que está en juego en esta situación para un
estudiante en función de las posibilidades de acción, de selección, de
decisión, de control y de validación de las que él dispone, una vez puesta
en práctica en un funcionamiento casi aislado del profesor.
• Se preveen los campos de comportamientos posibles y se trata de
demostrar cómo el análisis realizado permite controlar su significado y
asegurar, en particular, que los comportamientos esperados, si intervienen,
sean resultado de la puesta en práctica del conocimiento contemplado por
el aprendizaje.
• La fase de Experimentación.
En esta fase ha de llevarse a cabo la puesta en escena y la implementación de la
ingeniería elaborada.
• La fase de Análisis a posteriori y evaluación.
En esta fase se contempla la recolección de los datos recogidos en el proceso de
experimentación, de las observaciones realizadas de las secuencias de estudio,
así como de las producciones de los estudiantes., es decir, se basa en el conjunto
de datos recogidos a lo largo de la experimentación.
En la confrontación de los dos análisis, el a priori y el a posteriori, se fundamenta
en esencia la validación de las hipótesis formuladas en la investigación.
- 30 -
3.2. LA SECUENCIA DIDÁCTICA
En nuestro estudio manejamos la idea de una elaboración y aplicación de 1)
Actividades que supusieran al modelo matemático lineal (función lineal) como el
privilegiado por los alumnos al momento de solicitarles modelar situaciones y 2)
Actividades en las que proporcionamos mecanismos que favorezcan la
modelación de tipo exponencial, para cubrir los dos aspectos en los que nos
centramos. Así que decidimos hacer el estudio en dos fases.
Estas dos fases fueron diseñadas siguiendo a la Ingeniería Didáctica como
metodología didáctica. De acuerdo al análisis epistemológico que se mencionó en
el capítulo dos, diseñamos ciertas actividades como una especie de situaciones
(que nosotros llamaremos situaciones-problema) en vez de “problemas tipo”1, es
decir, pretendimos que los alumnos se confrontaran con una situación, (para
analizarla) y no con una tarea, entendiendo por ésta a los problemas tipo.
En la primera fase (llamada Fase I), incluimos tres actividades para cubrir el primer
tipo de actividades.
En la segunda fase incluimos cuatro actividades. Las tres primeras eran la
similitud de las tres primeras, respectivamente, de la fase 1. En éstas se pretendía
que los estudiantes se percataran que el modelo de tipo exponencial, era el que
mejor representaba a las situaciones tratadas, cubriendo así el segundo tipo de
actividades.
Por último, la cuarta actividad la diseñamos con el fin de buscar evidencia sobre la
posibilidad de los estudiantes para modelar exponencialmente.
En resumen, el cuerpo de las actividades estuvo compuesto por siete actividades.
Las tres primeras actividades (Fase I) iban destinadas al estudio de los
razonamientos que los estudiantes tienen asociados a la modelación matemática
no lineal; las cuatro restantes (Fase II), al estudio de la asimilación, por parte de
1
Problemas tipo: aquellos problemas que los alumnos resuelven mediante algoritmos para adquirir
ciertas destrezas sobre cierto conocimiento matemático.
- 31 -
los estudiantes, de ciertos mecanismos, en problemas que involucran modelado,
que los ayuden a alcanzar un razonamiento no lineal, es decir de tipo exponencial.
De ahí que nos dimos a la tarea de incluir algunos mecanismos o elementos en
las actividades de la fase II que, supusimos, favorecerían a que los estudiantes
logren hacer razonamientos acerca de la variación no lineal y puedan proponer al
modelo exponencial como el mejor que modela la situación plantada.
3.3. ANÁLISIS A PRIORI
La idea básica que manejamos en
Modelo lineal VS modelo
exponencial
este estudio es la elaboración y
aplicación de actividades (Fase I)
que
supusieran
al
modelo
matemático lineal (función lineal)
como el elegido por los alumnos
para modelar la situación en
Estudio
de
modelos de tipo
exponencial
contra modelos
de tipo lineal.
Detectar
mecanismos que
favorezcan o no a
la
modelación
exponencial
Actividades y
tareas sobre
modelos
exponenciales
Actividades y
tareas
donde
mecanismos y
ver
si
contribuyen a la
modelación de
tipo
exponencial.
cuestión y otras actividades (Fase
II) en las que supusimos ciertos
mecanismos
tendientes
a
favorecer la modelación de tipo
exponencial.
La primera fase fue con el fin de
mostrar
que
tienden
a
los
estudiantes
representar
un
Figura 3.1 Ingeniería didáctica en tres fases.
fenómeno a través de un modelo
de tipo lineal, aunque no sea este el caso.
Pretendimos reconocer las competencias y las dificultades que desarrollan los
estudiantes para modelar un fenómeno de tipo exponencial y mostrar que los
estudiantes recurren a modelos de tipo lineal en situaciones de tipo exponencial.
Para ello recurrimos a la observación de los razonamientos espontáneos
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asociados a la variación por parte de los estudiantes. También nos basamos en el
empleo de variables como una fórmula, una gráfica o una tabla y el discurso
verbal.
La segunda fase incluyó en las actividades, ciertos mecanismos cognoscitivos,
didácticos, que a nuestro entender podrían favorecer el pensamiento matemático
en la modelación de tipo exponencial por parte de los estudiantes, es decir, que
los estudiantes pudieran darse cuenta de que un modelo de tipo exponencial
constituye un mejor modelo de la situación en curso.
De las primeras tres actividades de la Fase I, se esperaba que:
•
Los estudiantes hicieran uso del manejo de ecuaciones, funciones, tablas,
gráficas, relaciones o razonamientos sobre variación de tipo lineal.
•
Los estudiantes emplearan formas discursivas y gestuales al momento de
tratar de modelar la situación presentada en la respectiva actividad como
apoyo a sus entendimientos.
•
Los modelos lineales constituirían el tipo de solución espontáneo que los
estudiantes propondrían como la respuesta a la actividad.
En las otras cuatro actividades de la Fase II, se esperaba que:
•
Los estudiantes comparan sus razonamientos hechos en la fase 1 con
algunas consideraciones hechas en la fase 2.
•
Los estudiantes vislumbraran y percibieran que las actividades de la fase 2
se modelaban con modelos no lineales, es decir de tipo exponencial.
•
Los estudiantes notaran y utilizaran algunos factores o mecanismos
propuestos por nosotros para poder modelar “exponencialmente (no lineal)”
la situación planteada en las actividades (mecanismos que favorecieran el
modelado de tipo exponencial).
- 33 -
3.4. EXPERIMENTACIÓN
Para la realización e implementación de la fase de diseño experimental de la
Ingeniería Didáctica, se pensó en interactuar con estudiantes universitarios,
elegimos a estudiantes (3 mujeres y 4 hombres) de la licenciatura en Actuaría, en
Enseñanza de las Matemáticas y en Matemáticas del segundo semestre de la
Facultad de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Yucatán. El requisito
básico fue tener un cierto conocimiento acerca de funciones y modelación
matemática, visto en la preparatoria y su primer año de estudios superiores.
En el desarrollo de la experimentación hicimos uso de un espacio equipado
(laboratorio de didáctica) con clima, mesas de trabajo, sillas, grabadoras
reporteras, hojas de trabajo. Se contó con la observación sistemática del
investigador y un adjunto para el registro de las acciones.
Se formaron dos equipos de tres y cuatro estudiantes, cada uno de los cuales
tenía al menos una mujer y un hombre.
A continuación describimos la manera en que se llevó a acabo la fase de
experimentación sugerida por la ingeniería didáctica:
1. Las actividades fueron presentadas en hojas separadas, cada una. Esta
fase de experimentación fue llevada a cabo en tres momentos.
2. El primer momento fue destinado para aplicar la Fase I (tres actividades).
Se les proporcionó a los dos equipos la actividad uno y tuvieron 20 minutos
como máximo para que lo resolvieran. Se siguió el mismo procedimiento
para las actividades dos y tres.
3. El segundo momento fue destinado para que los estudiantes tuvieran un
receso de 20 minutos para que tomaran un refrigerio.
4. Finalmente en el tercer momento se aplicó la Fase II (cuatro actividades),
siguiendo el mismo procedimiento que en la Fase 1
- 34 -
El primer y el tercer momento fue grabado con ayuda de las grabadoras reporteras
y se hicieron observaciones clínicas en ello. Las observaciones clínicas son un
método utilizado para estudiar el comportamiento de un grupo, con la
característica de que lo que se observa viene de determinar categorías de
observación, que se determinan de observaciones preliminares.
3.5. ANÁLISIS A POSTERIORI
Para una mejor recolección e interpretación de las observaciones y comentarios
en la etapa experimental, nos valimos del empleo de códigos para las anotaciones
que hicimos durante la observación clínica y durante las transcripciones:
•
Por ejemplo, HA se refiere al alumno Alejandro y ME se refiere a la alumna
Elizabeth. H: Hombre; M: Mujer.
•
El uso de tres puntos entre corchetes […] que aparecen en medio de un
enunciado, denotan que en un diálogo no fue posible escuchar con claridad
los comentarios de los estudiantes.
•
El uso de llaves ( { ) denotan interrupciones o diálogos simultáneos de
estudiantes.
A continuación describimos lo ocurrido durante la aplicación de las actividades.
3.5.1. EQUIPO 1, FASE I
Actividad 1
HA tiene la iniciativa, lee las instrucciones de la actividad 1.
ML: “¡Ah! Está buena”
Refiriéndose a que la actividad está muy interesante.
ML: “Primero comenzamos con 500 bacterias”
- 35 -
HA: “O sea ¿Es t de cero?”
< M: “Ajá” >
ML: “En la hora cero tenía 500, en la hora 12 tenía mil”
Anotan los datos con notación de fórmula para una función f.
Gesticuló con sus manos la figura de un pozo para referir las dos cantidades.
Hay una relación entre la notación, la función y lo gestual, pues para esa
notación que escribieron saben que para 0 la función f dará como resultado el
valor 500, así como para 12 horas. Además, esto tratan de comunicarlo con
un ademán con las manos como la figura de un pozo.
MS se mostraba como poco pensante.
HA: “Solamente aumentó la mitad, no el doble en doce horas”
< M: “Ajá” >
ML: “Y crece a una razón proporcional a su magnitud que es de 500 en doce
horas. ¡No!, porque crece a una razón proporcional a su magnitud, o sea,
dependiendo del tamaño que tenga es como va a crecer, ahorita en las doce
horas ya tiene mil, entonces va a crecer más en ese tiempo, o sea, no sé, tal
vez en 24 horas ya haya 10,000 o algo así”
HA: “Exacto”
ML: “No son 1500 sino 2000 o algo así”
Discuten sobre la frase “crece a una razón proporcional a su magnitud” se
dan cuenta de que en un primer momento hay 500 y en 12 horas hay 1000,
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entonces discuten de que en 24 horas será como 2000, porque es
proporcional a la magnitud, es decir, ellos consideran que el valor que se
busca depende de la magnitud anterior, esto es, “dependiendo del tamaño
que tenga es como va a crecer”.
HA: “Sí, porque sino crecería de manera constante” (12:23)
Analizan el hecho de que aumentó 500 y si no fuese proporcional a su
magnitud, sería 1500 en 24 horas. Porque sería constante. Logran darse
cuenta de que si fuera constante aumentaría o crecería lo mismo cada 12
horas.
ML: “Ajá”
HA: “Dependiendo de su magnitud, como tenía 500 en 12 horas creció el doble,
entonces en otras doce horas tal vez sea 2000 mil, en otras 12hr va a ser
4,000”
ML está de acuerdo, pues mientras HA habla, ella lo repite y dice que ella
también lo ve así.
ML: “¿Y quién lo está preguntando? ¡Ah! Una ecuación matemática”
Se preguntan porqué tienen que hacer ese análisis y se dan cuenta de que
están hallando una ecuación matemática. O sea, para hallar un modelo se
debe hacer un análisis de la situación.
HA: “Entonces ¿cuánto crece cada hora? Yo pienso, no sé, sería igual a 500 […]
un número que multiplicado por doce me dé el valor de la colonia”
ML: “1000 dividido entre 12, entonces […] ¿sería 1000 - 500 entre 12?
Todos dijeron, ajá!
- 37 -
Hallan el crecimiento de bacterias por hora. Pues piensa en un modelo en
que se proporcione la hora y se de el crecimiento de bacterias en ese número
de horas tomando en cuenta las primeras 500 bacterias.
La razón a la que crece cada hora la hallaron dividiendo las diferencias del
tamaño de la colona entre las diferencias de horas, respectivas (pendiente).
Escribiendo en su mano con los dedos dos cantidades para realizar una
división.
HA: “Seria mejor 125/3 de x”
Encontrando así una función donde t0 es constante.
< ML: "Será??, no creo!! Evalúa algunos valores, cuánto da con 24?" >
< ML: "¡Aah!, el valor que teníamos al principio" >
Evalúan el valor y se dan cuenta que les da 1500. Al principio habían hecho
unos razonamientos acerca de que en 24 horas no sería 1500 sino 2000 o
10,000 pues no es constante. Sin embargo, no se dieron cuenta de que la
respuesta que obtuvieron era incorrecta.
HA: “¡Toda la función para que dé esto!”
< ML: “Estaba fácil” >
Lo dicen como que se esforzaron demasiado para que al final sea una
función sencilla que pudieron haberla hallado desde el principio.
HA: “Es que al final de cuentas para t de 12, nos da 1000 […], si está bien, porque
si dijera una razón inversamente proporcional a su magnitud sería algo entre
lo que crece”
HA: “Si fuese directamente proporcional sería una línea”
ML: “Ajá, y si sube uno sube el otro”
- 38 -
Todos se preguntan si está bien la ecuación buscada y evalúan también con
el valor 9.
Su respuesta fue la siguiente ecuación:
Hubo un integrante que no estaba de acuerdo pero terminó convencido. Para 0 da
500, para 12 da 1000, para 24 dio 1500, y como ya habían hablado de esos
valores, se olvidaron de sus razonamientos hechos al principio, concluyendo que
la fórmula estaba bien y por último evaluaron 9 y les dio 750.
Dijeron que estaba bien porque es directamente proporcional, es decir, que
conforme aumenta uno, el otro también aumenta. Se dieron cuenta de que no es
inversamente proporcional.
Cuando dicen la frase: “está bien, porque si fuera inversamente proporcional…”,
aquí hay evidencia de que toman en cuenta las diferentes situaciones que se
podrían dar, llegando así a las restricciones de la resolución del problema.
Duración de la resolución (7 minutos, 12:20 pm -12:27 pm)
Actividad 2
ML: “Es lo mismo que la anterior” (leyó las instrucciones) depende de la velocidad
de consumo, ¿mientras más rápido vaya más gasta o cómo está?”
Los estudiantes dicen que es lo mismo que la actividad anterior, pues se dan
dos pares de datos y se pide hallar una ecuación matemática.
MS "Mientras más rápido vaya, menos gasolina gasta"
HA: “Entonces es inversamente proporcional [...] entonces la función que estamos
buscando es inversamente proporcional porque mientras una aumenta la otra
disminuye. Entonces tiene que ser un cociente” […]
- 39 -
Gesticula con las manos la idea de un cociente para referir lo inversamente
proporcional, la mano izquierda arriba y la mano derecha abajo.
De acuerdo a los datos que proporciona el problema, los analizan y
empiezan a hacer razonamientos acerca de que mientras más rápido vaya,
menos gasolina gasta, esto da pie a que pronuncien de que se trata de que
el consumo de gasolina y la velocidad de recorrido son inversamente
proporcionales.
Logran hacer una relación entre el comportamiento de las variables y el
concepto matemático de “inversamente proporcional”.
Logran hacer una relación entre el concepto matemático y un cociente. Sin
embargo, no se hace evidente si los alumnos comprenden que el cociente es
constante y que por ello mientras aumenta uno, el otro disminuye.
HA dibuja un plano coordenado XY y unos puntos en la hoja, pero lo hace de
manera errónea, entonces todos discuten acerca de cómo debe ir la gráfica.
ML: “No, el 100 (refiriéndose a los 100 km) no porque es una constante, como que
eso no es muy importante”
Al graficar los dos pares de datos que proporciona el problema, entran en
conflicto pues entra en juego una tercera variable, que es la distancia de 100
km. Dibujan un plano coordenado XY y discuten sobre las tres variables: la
distancia de 100 km, la velocidad de recorrido y el consumo de gasolina.
- 40 -
Llegan a la conclusión de que la distancia de 100 km, no debe incluirse en la
gráfica, pues es una constante que no es muy importante.
Cuando dibujan el plano y los dos pares de datos uno dice que necesitan una
pendiente.
ML: “Es como una pendiente acá la que necesitamos”
MS hace un gesto de inseguridad y se muestra demasiado pensante.
Hallan unas equivalencias. Uno de ellos pide que se halle el consumo de
gasolina por metro, pero en realidad lo que quiere es el consumo de gasolina
por km.
Este consumo de gasolina por metro lo hallan dividiendo el consumo de
gasolina entre la velocidad en que recorre los 100 km. Por ejemplo: HA dice
que se divida 7.2 entre 60 y 5.7 entre 90. ML hace unos cálculos en la
calculadora.
HA escribe los resultados de los cálculos que hizo ML, luego MS hace más
cálculos, e indica a HA el cambio en las proporciones (en la hoja escriben que
para los litros es un medio y para las velocidades).
HA: “La distancia aumenta ½ […] y la velocidad aumenta la mitad de lo que tenía
antes”
- 41 -
Indica con la mano el aumento de la velocidad y la disminución de la
gasolina, ML escribe la idea y MS contribuye a la idea de ML y discuten sobre
esto.
HA: “Lo que es directamente proporcional, o sea lo que está aumentando“
ML: “Va disminuyendo, pero ¿será que siempre cuando aumente se va a ir
disminuyendo en el otro?”
HA trata de explicar la idea de ML y MS, pero no se da a entender, entonces
ML interviene para aclarar la idea.
HA: “x es el consumo original y le voy a quitar la mitad de lo que está aumentando”
[…]
Analizan que 90 es la velocidad de recorrido anterior mas la mitad de esa
velocidad.
Para representar esto con una notación escriben lo siguiente.
ML: “Ajá, pero cómo lo escribo […]”
HA escribe en la hoja
y ML sigue con dudas, encierra X en un círculo pero luego escribe que no es
un error.
HA explica la idea:
- 42 -
Y luego alguien dice que es para el consumo de 90 km/h. Pero esta formula
es para las velocidades, entonces escriben la siguiente ecuación.
ML y MS están de acuerdo diciendo que sí pero piden que se pruebe y ML
hace los cálculos, llegan a un error, pasan a la hoja 2.
HA hace cálculos y se preocupa por el tiempo.
MS dice que no se puede porque es NISSAN y bromea pidiendo otro carro y
ML se pregunta si tiene algo que ver la marca del coche…
MS dice que va a dormir, escribe en la hoja 2 que en 100 km 60km – 7.2 lt.
HA escribe en la hoja 1, al final de ella: 0.12 lt – 0.18 lt – 0.60 lt, luego escribe
en la hoja 2 una fórmula pero la encierra por ser un error.
Su modelo es el siguiente para el consumo de gasolina.:
Pero
incluye
en
la
razón en vez de la razón entre el consumo.
ML y MS resuelven con la función buscada anteriormente el inciso b y se
dirigen a ella como la “función chafa”…
- 43 -
HA escribe en la hoja 1 un cociente.
Con ésta ecuación hallan el consumo de gasolina cuando recorre la distancia
de 100km a 70km/h. ML escribe y subraya su respuesta en la hoja 2.
No lograron concretar una ecuación en la que todos estuvieran conformes.
Escribieron uno, pero es uno lineal.
Duración de la resolución: 12:28 pm -12:48 pm
Actividad 3
HA lee las instrucciones. Dibuja una vela indicando los 30 cm alguien dice
que ninguna de las tablas empieza en 30.
HA: “Hay que ver ¿cuál tabla es la que va adecuada?” […]
ML: “Dependiendo de qué vela sea"
HA: “Si es de buena marca”
MS: “No”
Se dan cuenta de que ninguna de las tablas empieza en 30 cm. Hacen
razonamientos acerca de la marca de la vela y la mecha, se preguntan si eso
influye en los resultados. Aquí se da evidencia de que empiezan a considerar
todas las variables de la situación.
ML: “Es que sí, está diciendo que en 13 minutos se derritió 2 cm”
MS: “¿Quién lo dice, dónde está?”
ML: “Es que la vela es de 30 cm y en 13 minutos ya mide 28 cm”
- 44 -
HA: “Entonces los primeros 13 minutos ¿quiere decir que…?”
ML: “¿… que va a ser constante? […]”
MS: “Cuando prendemos una vela ¿cuándo se derrite más rápido, ¿cuando la
acabas de prender o cuando ya se está gastando?”
Se pregunta qué vela será e indica con la mano la disminución con el dedo
índice y el pulgar y la mano cerrada un movimiento hacia abajo.
Analizan las tablas y se dan cuenta de que en 13 min, ya se derritió 2 cm.
Hacen una interpretación de la tabla. Pero se preguntan qué ocurrió en esos
13 minutos, si tal vez fue constante el derretimiento de la vela.
ML: “¿Puedo sacar una vela? (Risas, se pregunta cosas como la siguiente)
“cuando prendo una vela ¿cómo se derrite? ¿Más rápido o más lento?
(silencio corto). Creo que se derrite más rápido cuando la acabas de prender
¿no?”
HA: “Sí, porque la mecha está larga”
MS: “No tiene nada que ver”
Refiriéndose a la mecha.
ML: “¡¡Claro que sí tiene que ver!! […]”
Indica que debe ser la tabla 1 ó 3 sin dar razones, después de unos
segundos indica la tabla 3 como la respuesta y dice lo siguiente.
ML: “Debe ser ésta porque no puede ser que se derrita de manera constante”
MS: “Si es constante, va a ir bajando lo mismo”
ML y MS hacen cálculos en la calculadora de las imágenes de la tabla 3, los
escribieron en la hoja, entonces ML dijo “no es constante”.
- 45 -
HA: “¿Sabes por qué no? Porque toda la cera que se va acumulando, mientras
más va pasando, más lento se derrite, entonces hay que buscar uno que
conforme vaya bajando se vaya haciendo más lento […]”
Sugiere ver la tabla 2
Consensúan de que el derretimiento de la vela al principio se derrite más
rápido, entonces buscan una tabla en que las diferencias entre las alturas se
vaya haciendo más chica. Hicieron razonamientos del comportamiento del
derretimiento de la vela de acuerdo a sus experiencias previas.
Ellos dijeron que “conforme vaya bajando se vaya haciendo más lento”. Se
refiere con “más lento” al derretimiento de la vela.
HA escribe unos cálculos de la tabla 1 en la hoja 1, mientras que ML y MS
hacen sus cálculos de la tabla 3 y 2, respectivamente en la hoja 2.
HA: “Ésta no es, va aumentando conforme la primera (columna) está aumentando.
¡Ve cómo está cambiando! Está aumentando su velocidad, la razón está
aumentando” (refiriéndose a la tabla1)
Camban las variables (tiempo y altura) del problema por las variables de
tiempo y velocidad de derretimiento de la vela.
MS indica que la respuesta es la tabla 3, aunque analiza también la tabla 2
indicando que no es la respuesta porque ésta es constante.
Su respuesta fue la siguiente:
- 46 -
Bromean diciendo “demuéstralo, calcula su límite”
Lograron percibir que el derretimiento de la vela no era lineal.
Duración de la resolución: 12:49 pm - 12:58 pm.
3.5.2. EQUIPO 2, FASE I
Actividad 1
HE: “Es una recta”.
Leen las instrucciones, casi inmediatamente piensan en una recta.
ME: “¿Tú crees?” […]
HE: “En 0 vale 500 ¿no?”
ME: “Ajá” […]
HJ: “Entre 0 a 12, es esto ¿no?, el doble” […]
HW: “En 0 vale 500 y cuando vale 12 vale1000”
HJ: “Ajá”
Dibujan el plano XY, sólo dibujan dos puntos (0,500) y (12,1000) sin dibujar
alguna gráfica o unir puntos, no indican las unidades de trabajo (lo suponen
explícitamente). Sin embargo, casi inmediatamente piensan en una recta.
HE: “Con éstas cosas raras se puede formar una pendiente”
¡Sí!
¡Ajá!
¡Y ya!
- 47 -
Hallan la pendiente de la recta que pasa por los puntos que dibujaron en el
plano XY mediante la fórmula de pendiente que se enseña en la preparatoria.
Tratan de acordarse exactamente de ella.
HW escribe pero se confunde al intentar buscar y escribir la formula de la
pendiente. HJ escribe la ecuación general de la recta mientras ME le dice
cómo se debe escribir, con la mano cerrada y los dedos pulgar e indica en
forma de letra “c” indica la pendiente. HW llega al valor de la pendiente.
Todos discuten sobre la pendiente y están de acuerdo.
HW: “¡Y ya!”
Luego de hallar la pendiente la sustituyen junto con un par de datos en la
fórmula de la ecuación general de la recta. Todos están de acuerdo. Cuando
intentan hallar la ecuación que buscan tienen un error.
< H: “¿ x ?” >
< H: “¡No! Ésta es y ” >
ME: “Ésta no es x ”
< H:"No, es y ” >
Risas
HE: “¿A ver qué es? Es (dicta lo siguiente)”
- 48 -
< H: “Y ya” >
Cuando ven los dos puntos en el plano dibujado, se dedican a hallar la
ecuación de la recta que pasa por esos puntos y se olvidan del problema. No
hay una relación entre el marco verbal o de la situación con el marco
algebraico.
Parecería que con dos puntos que proporcione el problema ya se podría dar
por hecho que el modelo es uno lineal.
Duración de la resolución: 12:21 pm -12:28 pm.
Actividad 2
Leen la instrucción pero no buscan como atacar el problema. Al principio se
ven muy pensantes.
HE y ME: “Es una recta”
HW: “El consumo depende de la velocidad”
< H: “Menos velocidad menos consumo” >
< “¡¡Noo!!” >
HE: “A 60 está a 7.2 a 90 gasta 5.7, más velocidad menos consumo”
ME: “Ajá, sí”
HJ: “Ponemos para 60 el valor, luego para 70, para 80 y vemos las diferencias
entre ellos” […]
- 49 -
HE lo escribe en la hoja, pero tiene un error, al escribir 100km/h, en vez de
90km/h.
Tienen algunos problemas con la interpretación del problema pues hay tres
conceptos involucrados, entonces HW con los dedos pulgar e índice
separados y la mano cerrada señala los 100 km y diciendo que es sólo la
distancia que recorre (la distancia de 100 km es una constante).
HE: “¿Cómo, la distancia es 100km y la velocidad es 60 y 90km/h?”
ME: “Sí, ajá” […]
Señala con la mano abierta, la mueve como dando brincos en el aire para
decir que la velocidad varía.
ME: “O sea, creo que lo que hay que buscar es el consumo. ¿Cuánto se consume
cada km?, ajá” […]
HE: “Pero como es inversamente proporcional”
Todos se muestran como desesperados pues no buscan cómo atacar el
problema.
ME decide agarrar la hoja y dibujar un
plano coordenado XY, dibuja los
puntos (60,7.2) y (90,5.7) y une los
dos puntos casi sin pensarlo para
dibujar un segmento.
- 50 -
Entonces todos ponen cara de felicidad y de que ME ya solucionó el problema
pues es parecido a la actividad anterior, en donde sólo sería hallar la
pendiente y la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos.
HW halla la pendiente y multiplica tanto al numerador como al denominador
por 100.
HE dice que es una pendiente negativa.
HJ aconseja utilizar 3/2 en vez de 1.5 pero no lo hacen.
HE llega hace unos cálculos para hallar la ecuación de la recta que buscan y
HJ y ME dicen que está bien lo que hace, haciendo un movimiento con la
cabeza de afirmación. Luego HW termina de hallar la ecuación que buscan,
todos discuten sobre el procedimiento unos segundos.
HJ reafirma lo que dice con la mano levantada cierra la mano y con el dedo
índice dibuja en el aire un segmento inclinado en línea recta, desplazándolo
de arriba a abajo de izquierda a derecha para reafirmar todo hecho y
discutido. Luego HE evalúa 70km/h en la ecuación que hallaron y les da como
resultado 6.7litros.
- 51 -
< ¡Y ya! >
Se alegran de haber encontrado la ecuación y el valor pedido en sus caras.
HW: “6.7 ¿qué?”
HJ: “Litros”
HW: “Pon algo”
ME: “Es lo de menos”
Al final HW indica y recalca que al resultado la falta especificar las unidades
en las que se está trabajando (litros). ME lo apunta pero todos hacen caras
de que no es importante esto, que es lo de menos y también lo expresan
verbalmente.
Cuando ven los dos puntos dibujados en el plano, hallan la ecuación de la
recta y no relacionan su procedimiento con el problema.
Actividad 3
Leen las instrucciones. ME utiliza la calculadora para hallar las diferencias
entre los valores consecutivos de las alturas de la tabla 1.
< H: “Ésta no puede ser, ésta sí” (refiriéndose a las tablas 3 y 2 respectivamente)>
HE: “Entre ésta y ésta” (refiriéndose a las tablas 1 y 2)
Mientras, ME decide analizar, con ayuda de la calculadora, las diferencias de
alturas de la tabla 1 y con la mano entre abierta señala (dando como
pequeños brincos en el aire de forma vertical hacia abajo) que hay un cambio
entre esos valores.
HJ: “Después de 13 minutos, ¿le quedan 28 o ya se consumió 28?”
- 52 -
ME: “Es la altura de la vela”
Refiriéndose a que la columna de la derecha de la tabla son las alturas a las
que está la vela. Todos analizan las instrucciones.
HE: “Es ésta” (refiriéndose a la tabla 2)
ME: “¿Ésta, cómo?”
HE: “Porque la diferencia entre éstas es constante”
Al darse cuenta de que hay una tabla donde las diferencias son constantes,
enseguida indica que la respuesta es esa tabla. Todos están de acuerdo
excepto HJ.
HW cierra la mano y con el dedo índice dibuja en el aire un segmento
inclinado en línea recta, desplazándolo de arriba a abajo de izquierda a
derecha para señalar el movimiento que sigue el derretimiento de la vela,
tratando de explicarle a HJ.
HJ: “¿Tiene que ser constante?”
HW: “Sí porque…” […]
HJ: “¿No puede variar?”
HW: “Sí puede, pero es otra cosa”
HJ: “¿Alguien sabe explicar por qué?”
Risas
ME: “O sea, se deshace y luego al mismo tiempo, pues (risas)”
ME con los dedos pulgar e índice y la mano cerrada indica un cachito de vela
diciendo que eso se gasta en un momento y luego da un pequeño brinquito
con la mano de manera vertical hacia abajo para indicar otro cachito de vela
- 53 -
gastada en otro instante (risas por los otros integrantes por lo obvio de lo que
dicen). Pues piensan que a cada minuto (intervalo de tiempo igual) se derrite
la misma longitud de vela.
HW: “Es una recta”
HJ: “Está bien”
ME: “Es como si la vuelves a apagar y la prendes, o sea, […]”
HW: “Le echas gasolina o algo así […] cuando dices razón […] luego por demostrar
que la tabla 2… (bromea)”
< H: “Somos buenos” >
Cuando ven que la tabla dos es constante dicen que esa es la respuesta
correcta. Todos están de acuerdo, excepto uno, así que tratan de explicarle
con la mano que el derretimiento de la vela es constante pero no terminan de
explicarlo, pues se ríen como burla, pues según ellos es algo obvio. No
analizan lo que han vivido en su vida cotidiana, sólo suponen que el
derretimiento es constante.
3.5.3. EQUIPO 1, FASE II
Actividad 1
ML sugiere sólo evaluar en las funciones de los incisos.
HA dice que hay que considerar todo lo de arriba del dibujo (refiriéndose a la
figura). Se ponen a analizar la figura del problema y visualizan que la figura
se interpreta de la siguiente forma: que en el tiempo i se consideren los
puntos de la fila i correspondiente más los puntos de las filas anteriores.
MS: “O la dos o la cuatro” […]
- 54 -
Suma todos los puntos y verifica si se cumple en la función del inciso (iv).
Así llegan a que la respuesta es la ecuación:
HA escribe la solución en la hoja.
No se percatan de que la función exponencial es la que mejor modela la
situación y de que la actividad 1 de la Fase 1 se modelaba de manera similar.
No se dieron cuenta del comportamiento exponencial de la situación, sólo
evaluaron en la función.
Actividad 2
HA: “No es la mejor ¡¡Jajaja!! Vieron que no era una recta […] porque como el
consumo de la gasolina era inverso a la velocidad, en la ecuación tenía que
estar involucrado un cociente, por lo tanto, un cociente no te va a dar una
recta” […]
La risa de alegría o como de ironía, se debió a que su repuesta en la
actividad 2 de la Fase I era la correcta. Los demás integrantes también ríen
siguiendo el festejo de su compañero y están de acuerdo con él.
HA indica que el inciso (b) es la respuesta. Da la explicación de porqué la
gráfica del inciso (a) no es la que mejor representa a la situación, los demás
están de acuerdo y MS escribe la respuesta en la hoja.
- 55 -
Actividad 3
ML: “Era lento y luego rápido ¿no?
MS: “¡No!, Primero se derretía rapidito y luego más lento”
HA: “La razón al principio era alta y conforme va aumentando la razón va
disminuyendo, o sea, se va haciendo más pequeña”
Se refiere a que las diferencias entre las imágenes iban disminuyendo.
Siguen con sus razonamientos hechos en la Fase 1 con la actividad 3. Dicen
que primero se derretía “rapidito” y luego más lento. El término “rapidito” lo
emplearon para decir que se derrite muy rápido. Ellos lo relacionaron con que
las diferencias entre las alturas (que ellos llamaron razón) van disminuyendo
conforme pasa el tiempo. Dicen que al principio es alta y luego va
disminuyendo, es decir se va haciendo más pequeña.
ML indica que la gráfica del inciso (d) no es la respuesta porque no baja
constante y la gráfica del inciso (b) no es la respuesta (descarta opciones).
Analizan las gráficas y dicen que la gráfica de la recta no es, porque el
comportamiento de ésta es constante y que en el inciso (e), su
comportamiento desciende rápido.
HA indica que la gráfica e empieza en 29 y que desciende rápido y que la
gráfica del inciso (c) desciende lento.
MS: “La gráfica del inciso (a) disminuye rápido al principio" […]
HA: “Te estoy diciendo que después de determinado tiempo como que ya bajó, ya
no se va a seguir consumiendo”. (Refiriéndose al inciso (e), pues parecería
que no toca al eje X).
- 56 -
f
e)
Predicen datos, ven la gráfica de manera global, pero no la analizan de
manera puntual, eso hace que tengan interpretaciones incorrectas.
ML: “Como que es asíntota aquí ¿verdad?, como que se va acercando allá y
¡¡Aahh!!”
No terminan la oración pues se entienden entre ellos, entonces MS escribe la
solución.
Su respuesta fue la siguiente:
c)
Sin embargo su repuesta no coincide con la gráfica que propusieron.
- 57 -
Actividad 4
ML escribe la fórmula f ( x) = x − 0.2 x en la hoja 1. Discuten sobre la función
que hallaron. Pero también se da cuenta de lo siguiente:
M: “En 10 años no sería t de 95 menos el .20x sino lo que quedó […]”.
Porque para el año cero si se cumple que cuesta 195,000. Pero se dan
cuenta de que ese modelo no es adecuado, pues sólo evalúan el precio para
hallar el siguiente valor del precio, y luego para hallar el otro valor tiene que
evaluar el valor que tienen para hallarlo. Pero no escriben los datos que
discuten.
HA: “¡¡Noo!! Porque lo que quedó no es x, lo que quedó es y. Es como el contador
en programación, ¿no crees? Automáticamente toma el valor”
Dice que no, en voz alta, reafirmando lo que dijo su compañera, pues analiza
la función y dice que no está bien.
MS: “Es algo así como una recursiva”
Este comentario surge por el comportamiento repetitivo que perciben.
Evalúan 195000 en la función que tienen y les da 156000, ML lo escribe.
En esta función, indican el x como el precio, pero no consideran el año (el
tiempo).
ML: “Está bien […], velo, x es 195000, f de x, ¡sí está bien!, ¡¡No!! Pero y el tiempo
dónde está??” […]
- 58 -
Hace una expresión como de sorpresa pues se da cuenta de que no incluyen
al tiempo. HA dice que en la fórmula debe de indicarse el tiempo y que
f (0) = 195000 .
Indica como el año cero al momento en que el coche cuesta 195,000. Tiene
una notación para el primer valor, indicando que evaluando en la función f el
año cero debe dar el precio de 195,000.
MS: “f(x) sería 195,000 menos .20x […]
Indica la solución con t.
ML: “¡Noo!”
En la fórmula que hallaron sólo evalúan el precio anterior y no toman en
cuenta el tiempo. Se dan cuenta de que necesitan una ecuación en la que
esté involucrado el tiempo, pues en el inciso (a) de la actividad se pide hallar
el precio del coche en tres años y no tienen cómo evaluar ese tiempo para
hallar el precio de dicho año, entonces MS incluye una t en la función que
tienen.
ML: “Cuando t es cero, es 195000, cuando t vale 1 es (silencio corto) ¡¡Ah no!! […]”
Evalúan 1 en la segunda función y se dan cuenta de que no les da el valor
que debe ser.
HA: “Es inverso, porque mientras se va aumentando el año, el precio va
disminuyendo, no puede ser una lineal, lineal es conforme va aumentando el
año va aumentando el precio” (Silencio).
Dice que las variables involucradas están relacionadas de manera
inversamente proporcional y que por eso no es lineal el comportamiento de la
depreciación del coche.
- 59 -
MS propone la fórmula f ( x) = 195000 − 0.2t y dice “cuando t vale cero es
195000 y cuando t vale uno aquí debería involucrar lo que me quedaba
anteriormente […]”, no se dan cuenta de en vez de x es t, pero esto no les
dificulta continuar.
ML hace cálculos en la calculadora y dice “podemos calcular esto sin tener la
ecuación (refiriéndose a los dos incisos de la actividad)” […].
MS escribe el valor 99840 como respuesta al inciso (a).
ML: “¿Y por qué no graficas 2 puntos por ahí? […]”
HA dibuja un plano coordenado XY y algunos puntos y ven que se forma una
curva y dice “va a llegar un momento en que toque a X” (mientras ML
empieza a hacer como una sucesión a1, a2) y se da cuenta de que la gráfica
es una curva.
ML al ver la gráfica dice que podría ser un logaritmo natural.
HA: “Va a llegar un momento en que la pendiente va a ser cero, […] la derivada va
a ser cero en un determinado tiempo” (Silencio)
Quiere decir que va a llegar un momento en que se vuelva recto hacia la
derecha.
- 60 -
MS: “Es el valor del coche menos el 20% de lo que te cuesta, eso que te dé va a
ser el valor del coche en ese momento, entonces es el precio del coche
menos el 20% de lo que le está costando […]” (silencio)
ML explica más la gráfica, diciendo que si se proporciona dos puntos que sí
queda una recta y luego dice “si consideramos 7 […]”
HA: “Es algo como de series”.
ML dice que ya no quiere seguir, mientras MS usa la calculadora.
HA está pensando en la respuesta y en el modelo propuesto hasta ahora.
MS propone la fórmula f ( x) = 195000 − 0.2tx .
HA dibuja otro plano coordenado XY y dos puntos en la hoja 2.
ML con la fórmula f ( x) = 195000 − 0.2tx busca hallar el valor de t e indica que
hay un error pues en un inciso están dando la respuesta con una ecuación y
en otro con la otra.
Su lenguaje y su entendimiento son correctos con respecto a la relación que
hay entre el precio del auto y los años respectivos, pero no logran
relacionarlo correctamente con la ecuación que buscan.
No logran dar un modelo satisfactorio que modele la depreciación del auto.
Logran hacer razonamientos de variación de tipo exponencial, se dan cuenta
de que la depreciación no es constante.
3.5.4. EQUIPO 2, FASE II
Actividad 1
HJ: “¿Hay tres o dos?”
- 61 -
Refiriéndose a las bacterias en el momento uno según la figura, todos
analizan dicha figura con respecto a las condiciones que propone la actividad.
Entonces ME le dice que en el tiempo
se consideran los puntos de la fila
correspondiente más los puntos de las filas anteriores.
HE le dice a ME que evalúe en las fórmulas. Evalúan en todas las funciones el
tiempo para verificar el resultado en la figura.
HJ: “Es el inciso cuatro”
HW: “Yo digo que es el inciso 2”
HE y ME: “Es ésta […]. Es la dos” (lo dice casi sin dudar)
HW: “Si, si es”
ME: “Si, yo igual”
En un primer momento piensan lla función del inciso (ii) es la solución, pues
se dan cuenta de que sí cumple con los primeros valores. Mientras HJ hace
cálculos en el inciso cuatro con la calculadora.
Luego ME verifica que con el último inciso se pueden hallar todos los valores
y dice a todos que la respuesta correcta es el último inciso, luego HE termina
de verificar también la función del inciso (iv) y reafirma que el último inciso es
el correcto.
No hacen una relación entre la situación y la fórmula, sólo evaluaron los
datos y verificaron sus resultados con la figura. No se percataron de que la
función exponencial es la que mejor modela el crecimiento de bacterias.
Duración de la resolución: 1:24 pm - 1:28 pm
Actividad 2
HE: “Es la misma que hicimos”
- 62 -
Se da cuenta de que es la misma actividad de la Fase I, entonces todos ríen
porque piensan que va estar fácil esta actividad.
HJ se pregunta por qué dan las otras gráficas si lo que se pide es que se den
razones de por qué la gráfica del inciso (a) no es.
HW hace una mueca como de que no entiende la actividad.
Todos entran en un conflicto pues sus razonamientos en la actividad 2 de la
Fase I, no coincide con lo que ésta actividad afirma. Así que se ponen a
analizar por qué esa gráfica no es la mejor.
Hay un breve diálogo entre ME y HE por un momento, ME dice que la gráfica
del inciso (b) no varía constantemente. Entonces HE dice lo siguiente:
HE: “Va tendiendo a un límite” (refiriéndose al inciso (b))
HE y ME consensúan en que la respuesta correcta es el inciso (b).
Cuando se les presenta un segmento de gráfica de una función, los
estudiantes tienden a predecir los datos que faltan y a bosquejar la gráfica.
Por ejemplo, en la gráfica del inciso (b) parece que ésta no toca al eje X y
que se prolonga indefinidamente hacia la derecha sin tocar al eje X, ellos lo
interpretan como que la gráfica va tendiendo a un límite.
HW: “Va a variar la velocidad, variar la velocidad también va a variar los litros de
gasolina”
< “Ajá” >
HJ: “El inciso (c) no es” (descarta este inciso casi sin dudar, sin dar razones)
HE: “El inciso (a), ¿por qué no es?”
HW: “Porque no gastarías gasolina cuando estés viajando a 200 km/h”
- 63 -
Con esto se refieren a la intersección del eje X con la gráfica, suponen que
en algún valor va a llegar a tocar al eje X y dan por ejemplo la velocidad de
200.
HE: “¿Eso pongo?”
HW: “De alguna manera eso estaría pasando, sino estarías hasta ganando
gasolina”
< “Ajá” > Risas de lo imposible de la afirmación en la vida real.
HW: “Si fuera hasta 200, serían los negativos. Estarías incluso hasta ganando
gasolina”
Ahora ponen de ejemplo si antes de 200, la gráfica ya intersecó al eje X,
entonces en 200 la gráfica estaría por debajo del eje X, interpretando a los
números negativos como la ganancia de gasolina.
< “Ajá” >
No analizan la situación en sí con la gráfica sino que tratan de interpretar la
gráfica en términos del problema.
Su repuesta fue la siguiente:
Actividad 3
ME dice que la gráfica que representa al derretimiento de la vela es el inciso
(b) sin dudarlo y todos dicen que sí por los razonamientos hechos en la
- 64 -
actividad 3 de la fase I. Entonces tratan de recordar con exactitud lo que
habían planteado en esa actividad.
b)
HJ: “¿Por qué el derretimiento de la vela es constante?”
HW: “Decrece, varía. Por ejemplo, si hay más oxígeno consume más” […]
Risas, porque les parece gracioso porque pareciera que esto no pudiera
ocurrir. Hace razonamientos de que si hay más oxígeno consume más, pero
lo tiene a un nivel constante, pues no consideran en que esto puede alterar el
comportamiento constante del derretimiento.
HW: “¡Si los factores no varían es constante! (1:34)”
En la actividad tres de la Fase I, habían dicho que es constante porque sino
fuese otra cosa.
HJ: “El consumo de la vela”
Trata de completa el razonamiento de su compañero refiriéndose a que el
consumo de la vela es constante.
No analizan el comportamiento de las gráficas para dar oportunidad de dudar
el resultado, sólo escriben como respuesta la tabla dos.
- 65 -
Actividad 4
HE: “Están fáciles”
La resolución de las tres actividades anteriores les llevó poco tiempo, así que
por eso dijeron lo anterior.
HJ: “No es recta. Año con año va perdiendo el 20%”
HW piensa unos momentos y luego lee el inciso (a).
ME: “Pero, por ejemplo, el primer año es 195,000”
< H: “20% del valor” >
< Ajá >
ME: “Conforme lo que te vaya quedando va a ser el 20%. No es del primero”
ME indica con los dedos pulgar e índice y la mano cerrada, tratando de
comunicarlo a los demás, que va perdiendo su valor de 20 en 20% de lo que
hay.
< H: “El 20% año por año” >
HJ: “Tiene una vida útil, su vida útil, por ejemplo”
HE: “O sea, ¿es menor el 20%?"
- 66 -
HW: “Sí”
ME: “Ajá”
HJ: “No”
HJ usa el término “vida útil” para referirse al valor del automóvil. Con los
dedos juntos y la mano abierta señala el valor del precio al principio y luego
con un movimiento como en saltos verticalmente hacia abajo dice que el valor
va disminuyendo.
HW: “Va a llegar un momento en que ya no va a costar nada”
HJ: “Pero es que mayormente tienen un precio de salvamento. Es hasta el tope
donde va a llegar”
Risas.
HE: “Pero hay que hacer una ecuación”
HE: “¡Pero eso no va a ser una recta!”
ME: “No”
HW: “Allí ya no”
Todos estuvieron de acuerdo de que las actividades anteriores se resolvían
con la ecuación de una recta, pero se dieron cuenta de que esta actividad no
era.
HJ: “Es que la depreciación yo así la entiendo. Cada año se desprecia un precio
fijo, un precio fijo, un precio fijo […]. Y tiene un valor de salvamento, cuando
llegue a ese valor de salvamento ya no se va a despreciar nada más”
Risas. HJ utiliza la expresión “un precio fijo, un precio fijo, un precio fijo” para
referirse que la cantidad de dinero que se va disminuyendo del precio es fijo.
- 67 -
HW: “También hay un método como el que tú dices” […]
HW quiere decir con esto que hay uno para la depreciación donde la cantidad
es constante y otro para la depreciación cuando cada año ese valor se
vuelve más chico.
< H: “¿En cuánto tiempo el coche sólo valdrá 52,000? […]” >
Lee el inciso (b) y dicen lo siguiente.
< H: “Hay que hacer la ecuación” […] >
Piensa que se necesita la ecuación para poder hallar el tiempo en que el
coche sólo 52,000.
HJ: “Después de un año va a valer 156,0000”
Entonces HJ empieza a hacer cálculos en la calculadora para hallar el valor
del auto después de un año.
HW dibuja un plano coordenado XY.
ME escribe la siguiente ecuación en la hoja.
ME: “Yo creo”
HE: “Sí te da”
ME: “¿Sería 0.8x?”
ME dice y escribe una fórmula de y en términos de y hace un gesto de
felicidad y sonríe pues siente que ya ha buscado la ecuación que se pide. HW
y HE parecen estar de acuerdo con ME.
HJ: “Y qué va a ir variando ahí” […]
- 68 -
Se da cuenta de no se puede sustituir el valor del año, entonces hace un
gesto de desacuerdo porque que no le ponen atención.
HW: “0.8x va a ir variando, ¡Está faltando sumar esto ¿no?!”
HW escribe otra ecuación y dice que lo que va a ir variando es 0.8x.
< H: “Sí, pero cuando es 195,000” >
ME sigue analizando la situación con lo anterior.
ME: “O sea, empieza valiendo 195,000 y le vas a quitar el 20% […] y luego va valer
156,000”
HJ: “Entonces sería y , entonces y menos 0.20 de x ”
HJ dice que la ecuación que hizo ME es para la primera depreciación, pero
que a eso le falta aplicar la misma operación.
HJ: “Ya tienes el valor ¿no? ¿Ese valor es y ? Entonces te queda otra vez y , y por
ejemplo y (refiriéndose al otro valor que buscan), va a valer y (el valor
anterior) menos 0.20 de y "
ME: “No entiendo”
No entiende el procedimiento de repetir la misma operación.
H: “La x la tienes que tomar como el valor”
ME insiste en que la ecuación que propuso ( y = x − .2 x ) está bien y vuelve a
justificar sus afirmaciones.
- 69 -
ME trata de plantear una ecuación (lineal) pero los demás se dan cuenta de
que parece ser recursiva pues tiene que aplicar la misma regla para el valor
anterior que les dio como resultado.
HW: “Pero y los años varían ¿no?”
ME: “Sí, porque la primera vez valía 195,000, luego éste va a ser el valor del auto”
Hacen gestos de desconocimiento de por qué no funciona la fórmula. HW se
acuerda de un problema de una asignatura que cursa parecido a éste que
trataba de dólares.
ME: “¿Ya entendieron lo que quiero decir?”
< H: “No, vuélvelo a explicar” >
ME lo explica y HE está de acuerdo.
ME: “Es como lo haría en cómputo […]. Tienen algo que ver, no es lineal”
HW: “Es algo asintótico. No creo que llegue a cero”
Se refiere a que la gráfica debería ser una en la que tenga una asíntota que
evite que el valor del precio no sea cero.
< Ajá >
HE: “Dibuja unos puntos para ver, dibuja tres, (en el plano antes dibujado, para
darse idea de cómo es)”
HJ lo dibuja. Mientras HW quiere sustituir 100 años en la ecuación que
propuso ME y se da cuenta de que no sirve porque no puede sustituirlo y
- 70 -
expresa oralmente que la ecuación no es la correcta y empieza a tratar de
escribir otra.
HJ: “Ve su gráfica […]”
ME dice “es algo así” señalando con el dedo índice, sobre el plano dibujado y
los tres puntos, un movimiento recto desde el primer punto hasta el tercero,
aunque todavía no se aprecia con precisión la forma de la gráfica.
HJ toma la hoja donde están dibujados los tres puntos y dibuja más poniendo
al punto su respectivo valor de la ordenada.
< H: “Recursiva” >
Alguien utiliza el término “recursiva” para referirse al comportamiento
repetitivo del procedimiento.
HE pregunta y se pregunta si va a ver un momento en que la gráfica toque al
eje x.
HJ: “Es como una exponencial (luego se pregunta si los puntos son una sumatoria,
le vienen recuerdos de cálculo, luego une los puntos del plano y dibuja una
gráfica de una exponencial). Sí me acuerdo […]. Ya podemos responder el
inciso (a) y responder el inciso (b), aunque no tengamos la ecuación
matemática (lo dice por los puntos hallados)”
Hacen cálculos para hallar el valor
del coche los dos primeros años.
Grafican los dos primeros puntos y
tres estudiantes sospechan que es
una recta, pero uno busca y dibuja
más puntos la forma de la curva le
hace
pensar
que
es
una
exponencial.
- 71 -
Con los datos recabados en la gráfica responden las preguntas del inciso (a)
y (b) sin tener el modelo.
HW: “Nos estamos fijando en el problema y no en la solución. Nos piden también
una ecuación matemática, también es parte del problema […]. Como chatarra
va a quedar (Vacila que al perder valor el auto va a llegar un momento en que
se vuelva chatarra) […] ¿No se les ocurre nada?”
Piensa que están perdiendo tiempo en tratar de entender el problema y que
deberían fijarse más en la solución que es hallar el modelo matemático, esto
en muchas ocasiones es originado por la enseñanza algorítmica de los
problemas en matemáticas.
Parece no ocurrírseles algo al analizar la ecuación que han hallado y para
hallar el modelo pedido, HW hace un gesto como de desesperación.
ME pregunta si x 0 es el valor 195,000 (original), le contestan que sí. Entonces
escribe lo siguiente para
escribir los datos.
HE y ME hacen como una tabulación de los primeros tres o cuatro valores y se
dan cuenta de que la imagen del primer valor es el 0.8 de valor inicial, luego
se dan cuenta que la segunda imagen es el 0.8 del valor anterior. Entonces
HE pregunta si para la segunda imagen hay que multiplicar 0.8 por 2.
- 72 -
Estos estudiantes analizan los primeros tres años con sus respectivos
precios, entonces se dan cuenta de que hay algo como que se repite, uno de
ellos se pregunta si 0.8 se multiplica por 2 (lo correcto es elevar a una
potencia ese valor).
ME no encuentra en su tabulación la variable tiempo y dice que los años sí
tienen que ver.
Termina el tiempo establecido y no terminan el ejercicio.
En todos sus razonamientos y ecuaciones propuestas no pueden hallar un
patrón, por el aspecto recursivo de esto.
- 73 -
CAPÍTULO 1
DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA Y OBJETIVO DE
INVESTIGACIÓN
Capítulo 1: Descripción del Problema y Objetivo de investigación
1.1. LA MODELACIÓN MATEMÁTICA
Actualmente en los distintos currículos que existen se pretende que las personas
tengan una formación integral, que adquieran las herramientas necesarias para
que se desarrollen y desempeñen satisfactoriamente en la sociedad y que lo que
aprendan en la escuela lo puedan aplicar a su vida cotidiana. Particularmente, con
el estudio de la matemática se pretende que las personas sean capaces de
desenvolverse en una sociedad tecnológicamente avanzada, lo cual incluye, entre
otras cosas, la capacidad de razonar lógicamente, resolver problemas no
rutinarios y comunicarse por medio de ideas fundamentadas en las matemáticas
(Salett, Hein, 2004). Esto es, se pretende que las personas tengan un aprendizaje
significativo y funcional de lo que ven en la escuela.
Uno de los propósitos de que la matemática esté incorporada en los diferentes
niveles educativos es que la matemática apoye al individuo a resolver problemas
de su vida cotidiana y laboral. Un elemento que se destaca de la resolución de
problemas es la formulación del modelo matemático, razón por la cual deben estar
considerados los modelos matemáticos en todos los niveles educativos
(Camarena, 2000, citado en Martínez, Camarena, Ballet (2004)).
Para muchos autores la modelación matemática se ha considerado un arte con
“bases racionales”, que requiere del sentido común tanto como de las
matemáticas, desde este punto de vista, el modelo de algún fenómeno es una
herramienta usada para transformarlo, es algo utilizado en sustitución de lo
modelado, donde la manipulación del modelo permite entender y predecir el
comportamiento del fenómeno, así como validar hipótesis y elaborar estrategias
para la intervención (Arrieta, 2003, citado por Morales, Farfán, 2004).
La modelación matemática es un tema con muy diversas e importantes
aplicaciones, tal como se hace notar en las aportaciones y trabajos que muchos
investigadores han realizado (Arrieta, 2003, Farfán, 1987, Mochón, 2000) y
también en las múltiples perspectivas desde las que esta actividad ha sido
observada.
-2-
La modelación matemática está siendo fuertemente difundida en muchos países
como un método de enseñanza, pues además de ayudar a los alumnos a
aprender matemáticas mediante la aplicación de las mismas en otras áreas del
conocimiento, también ayuda a mejorar la capacidad para leer, interpretar,
formular y solucionar situaciones problema (Salett, Hein, 2004).
En los programas de matemáticas que se rigen bajo esta concepción, se pretende
dotar al alumno de herramientas e instrumentos necesarios para que puedan
modelar y analizar una gran cantidad de situaciones en todos los campos del
conocimiento. El concepto de función y las nociones asociadas a éste,
representan un aspecto importante para lograr tales objetivos en la formación de
los estudiantes en el planteamiento y resolución de problemas que impliquen
modelado. Se pretende presentar a los estudiantes problemas y actividades en las
que entienda los conceptos matemáticos, en particular el de función real de
variable real. Como resultado de esto, se supone que ante algún problema al que
nos enfrentemos en nuestra vida diaria, podemos disponer de esos conocimientos
para resolver o predecir el fenómeno del problema mediante un modelo
matemático.
1.2. MODELACIÓN MATEMÁTICA EN EL ÁMBITO ESCOLAR
Uno de los objetivos de la educación, como ya se mencionó anteriormente, es que
las personas tengan una formación integral, que adquieran las herramientas
necesarias para que se desarrollen y desempeñen satisfactoriamente en la
sociedad, es por ello que se han hecho reformas educativas para lograr dichos
objetivos.
En las universidades de antaño, en el mejor de los casos, era donde los
estudiantes adquirían esas herramientas necesarias, entre las cuales estaba el
modelado de fenómenos matemáticamente, o sino cuando ya entraban al campo
laboral. Es por ello que la asignatura de Precálculo se ha incorporado al cuerpo de
contenidos obligatorios de la mayoría de las preparatorias, teniendo en general el
objetivo de que el estudiante resuelva problemas o situaciones que conlleven el
-3-
manejo de las nociones de variación e interrelación de dos magnitudes de su
entorno, mediante el desarrollo de técnicas y métodos algebraicos y geométricos,
que impliquen el concepto matemático de función en un ambiente escolar de
tolerancia y respeto, que favorezca el desarrollo de habilidades de exploración,
modelación y obtención de resultados.
Se busca llevar a los estudiantes al manejo de nociones de variación e
interrelación de dos magnitudes que impliquen el concepto de función y que como
resultado de este estudio se favorezca el desarrollo de habilidades como la
modelación, importante para adquirir las herramientas matemáticas necesarias
para su formación integral y matemática.
Sin embargo, ese anhelado objetivo aún no ha llegado! Los estudiantes de las
instituciones del nivel medio superior cuando se hayan fuera del ámbito escolar
parecen olvidarse de lo que han aprendido en la escuela; es más, cuando pasan al
siguiente año escolar ya no recuerdan muchas cosas de lo que vieron el año
anterior. Los alumnos que concluyen la asignatura de Precálculo tienen
deficiencias en lo que respecta a situaciones que involucran modelado y las
nociones implicadas, además de su poca capacidad de razonar lógicamente y de
resolver problemas no lineales.
En experiencias personales de asesorías y de voz de otros colegas, hemos
escuchado y observado que los estudiantes no parecen razonar por medio de la
lógica matemática, sino en logaritmos y nemotécnicas.
Es decir, se han privilegiado argumentos de corte algebraico que forman a los
conceptos matemáticos como objetos elaborados y ya prefijados, alejados
totalmente de argumentos situacionales (Buendía, 2006), pensando que esto
llevará a mejorar el aprovechamiento de los estudiantes.
O simplemente, porque los profesores por falta de tiempo para abarcar todo el
programa o por sus experiencias como estudiantes no lo enseñan de la forma más
apropiada a los fines de producción de aprendizajes significativos y duraderos.
-4-
Lo anterior trae como consecuencia que los alumnos adquieran conocimientos
algoritmizados, prefijados y aislados, sin ninguna relación. Por ejemplo, la mayoría
de los profesores enseñan la función lineal, el dominio, rango, ecuación, gráfica, la
pendiente, razón de cambio de una función lineal o a lo más de una función
cuadrática, la función polinomial (de grado tres, cuatro), función raíz cuadrada, etc.
Si nos damos cuenta muestran razón de cambio en la función lineal y, en
ocasiones de la cuadrática, pero no muestran la razón de cambio de los otros tipos
de funciones como la de las polinomiales de grado mayor a dos, las racionales, las
trigonométricas, etc. Parece que la función lineal es la única que tiene razón de
cambio. Este concepto de razón de cambio es importante para la resolución de
problemas que impliquen modelado.
Investigaciones (Torres, 2004) y un análisis preliminar que llevamos a cabo, han
dado cuenta de que estudiantes, ante un problema de modelado, tienden a
representar la situación por medio de rectas (función lineal), teniendo como
finalidad otro hecho distinto al de encontrar evidencia de que los estudiantes
piensan en modelos lineales cuando no lo son. Esto suponemos que es debido a
la forma de enseñanza o de la capacidad cognitiva de los estudiantes. Más
adelante se hará un análisis de corte epistemológico, didáctico y cognitivo.
1.3. PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
Se mencionó anteriormente que la modelación de un fenómeno es un instrumento
indispensable en el desempeño de los estudiantes y de toda persona, estudiar la
dependencia de magnitudes variables que intervienen en cualquier fenómeno. En
los programas se muestra el concepto de función y diferentes tipos de funciones:
constante, lineal, polinomial (cuadrática, cúbica, de grado mayor a 3), racional,
valor absoluto, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas, para dotar al
estudiante de las herramientas necesarias para modelar cualquier tipo de
fenómeno.
Se espera que los estudiantes ante un problema (fenómeno o situación) de
modelación analicen la situación obteniendo datos, seleccionando sus variables,
-5-
haciendo conjeturas e interpretando su análisis y hagan predicciones para poder
decidir el tipo de modelo que represente el fenómeno como se muestra en la figura
1. Empero los alumnos parecen no analizar y reconocer el tipo de situación
problema al que se enfrentan, pues en muchas ocasiones sostenemos esta idea,
tienden a recurrir a la modelación lineal aun cuando la situación sea de otro tipo,
por ejemplo, exponencial o periódica. Enseguida presentaremos lo que
entenderemos por modelos lineales, modelos exponenciales y modelos periódicos.
Figura 1.1 Etapas de la resolución de problemas que implican modelado
Para fines de nuestro estudio, caracterizamos a los modelos matemáticos según el
tipo de función que les corresponden:
•
Modelos lineales: son aquellas funciones que varían a razón constante. Por
ejemplo: las funciones constantes, las funciones lineales.
•
Modelos exponenciales: son aquellas funciones que no varían a razón
constante, es decir, su razón de cambio no viene dado por una cantidad
constante. Por ejemplo: las funciones polinomiales (cuadrática, cúbica,
cuártica, etc.), las funciones racionales, las funciones exponenciales, las
funciones logarítmicas.
-6-
•
Modelos periódicos: son aquellas funciones que tienen un patrón que se
repite, en un mismo período de tiempo. Por ejemplo: las funciones
trigonométricas.
•
•
Modelos
•
Lineales: las funciones constantes, las funciones
lineales.
Exponenciales:
las
funciones
polinomiales
(cuadrática, cúbica, cuártica, etc.), las funciones
racionales y raíces cuadradas no lineales, las
funciones exponenciales, las funciones logarítmicas,
etc.
Periódicos: las funciones trigonométricas.
Cuadro 1. Tipos de modelos y funciones asociadas
Nuestra atención va a estar centrada entre el primer y el segundo tipo de modelos.
Analizaremos las concepciones que tienen los estudiantes al modelar un
fenómeno o una situación, en consecuencia analizaremos las ideas que tienen los
alumnos sobre las nociones matemáticas de variación y cambio para modelar un
fenómeno. La noción de cambio y variación la tomamos como se mencionan en
(Cantoral, Molina, Sánchez, 2005): “la noción de cambio denota la modificación de
estado, de apariencia, de comportamiento o de condición de un cuerpo, de un
sistema o de un objeto; mientras que la variación la estamos entendiendo como
una cuantificación del cambio, es decir, estudiar la variación de un sistema o
cuerpo significa ejercer nuestro entendimiento para conocer cómo y cuánto
cambia el sistema o cuerpo dado”.
Sobre las acciones de los estudiantes nos preguntamos cuestiones como las
siguientes: Ante una situación de cambio, ¿el estudiante reconoce las variables
involucradas?, ¿se da cuenta de que puede controlar unas variables y otras no?,
¿utiliza un conocimiento o pensamiento variacional, es decir, identifica qué es lo
que cambia y cómo cambia?, ¿identifica cuánto cambió eso que cambia?,
-7-
¿identifica cómo varía eso que cambió? En síntesis, ¿identifica el tipo de modelo
matemático asociado a situaciones de variación y cambio?
Para dar respuesta a las preguntas planteadas nos apoyaremos en las
representaciones de las funciones, una fórmula, gráfica, una tabla de valores en
donde se involucre a la variación, pues suponemos que estas representaciones
nos pueden dar idea de los tipos de modelos presentes en sus razonamientos
espontáneos.
Caracterización de formas que pueden representar a las funciones:
1. Reglas. La variable y es función de la variable x cuando se utilice una
regla para que cada valor de x produzca un único valor correspondiente a
y.
2. Fórmula. Ciertas funciones están dadas en una fórmula en la que se
involucra a la letra. Cuando x se sustituye por un número dado, la fórmula
produce otro número, el valor de la función para el valor dado a la variable
x.
3. Gráficas. Una función es una gráfica en el plano cartesiano tal que cada
recta vertical x = a corta a la curva de la función y = f (x) en a lo más un
punto (a, b). Cuando esto ocurre el número b es el valor de la variable
dependiente y el valor de la independiente es a . Se enfatiza el aspecto
geométrico de la representación de las funciones por sus gráficas.
4. Tabla de valores: Una función también puede expresarse mediante una
tabla que contenga sus valores, en los que una columna contenga los
valores de la variable independiente x y en otra, pero en el mismo renglón,
los valores correspondientes de la variable dependiente y .
5. Variación: variación de magnitudes interrelacionadas de modo que a cada
valor de una de ellas, corresponde un único valor de la otra. Cuando
-8-
cambia la variable independiente ocurre un cambio en la variable
dependiente.
Con este trabajo pretendemos identificar si cuando se le presenta un problema o
situación de variación continua y cambio a un estudiante, él piensa en una función
para su modelado, es decir, nos preguntamos cuestiones como la siguiente: ¿Los
alumnos pueden reconocer los elementos o las variables necesarios para saber
qué tipo de función es y así poder modelarlo? ¿Pueden reconocer el tipo de
modelo que entra en juego?
En una experiencia previa nos percatamos que los estudiantes tienden a modelar
con una función lineal situaciones que no poseen tales características. Al principio
de este capítulo se comentó que los alumnos tiende a recurrir a lo más fácil de
modelar, recurriendo al algoritmo más sencillo o a uno ya conocido.
En este sentido nos interesó identificar y explicar el tipo de dificultades en los
alumnos tanto cognitiva como didácticamente en el proceso de modelación
matemática. Analizaremos modelos de tipo exponencial versus los lineales para
dar cuenta de qué mecanismos favorecen u obstaculizan esta habilidad de
modelar matemáticamente un fenómeno de tipo exponencial.
Nuestra sospecha es que los modelos exponenciales y periódicos requieren
formas de pensamiento y habilidades más complejas y específicas que los
modelos lineales. Otro punto importante en este estudio es poder responder lo
siguiente: ante una situación de tipo exponencial ¿qué formas de pensamiento y
habilidades son las que tendrían que movilizar los alumnos para que puedan
pensar en un modelo exponencial?, ¿cuáles son los mecanismos didácticos y
cognitivos que deben hacerse presentes a la hora de hacer modelación
matemática?
Nuestro supuesto es que los modelos de tipo exponencial tienen más
problemáticas, en cuanto a lo cognitivo, que los modelos de tipo lineal o periódico.
-9-
1.4. OBJETIVO DE LA INVESTIGACIÓN
Nuestra investigación presentará una propuesta de estudio basada en la
Ingeniería Didáctica, para analizar si los alumnos pueden reconocer una función
lineal o una función de tipo exponencial como modelo matemático para
representar un fenómeno.
Así que nuestros objetivos son los siguientes:
•
Realizar un estudio sistemático de corte clínico que nos permita generar
entendimiento confiable de las ideas que tienen los estudiantes cuando se
encuentran frente a un problema que implique modelado de tipo de
exponencial.
•
Recabar información que nos permita validar o refutar la idea de que los
estudiantes asocian un pensamiento lineal a situaciones que implican
modelos de tipo exponencial.
•
Describir factores que puedan ayudar a los estudiantes a alcanzar un
razonamiento no lineal, de tipo exponencial.
•
Aportar algunas ideas didácticas que favorezcan la resolución de problemas
que impliquen modelos de tipo exponencial.
- 10 -
CAPÍTULO 2
MARCO TEÓRICO DE REFERENCIA
Capítulo 2: Marco Teórico de Referencia
En este capítulo daremos un breve panorama, en primer lugar, sobre la
modelación matemática en el ámbito escolar, y en segundo lugar, describiremos
algunos resultados de investigaciones sobre las dificultades que presentan
estudiantes en torno a la modelación matemática.
2.1. REVISIÓN LITERARIA
Se considera que con la inclusión de la asignatura de Precálculo en las
preparatorias se pondrían las bases para lograr que el estudiante resuelva
problemas o situaciones que conlleven el manejo de las nociones de variación e
interrelación de dos magnitudes de su entorno, mediante el desarrollo de técnicas
y métodos algebraicos y geométricos, que impliquen el concepto matemático de
función, que favorezca el desarrollo de habilidades de exploración, modelación y
obtención de resultados, pues son conocimientos que toda persona debe saber o
por lo menos tener nociones para que pueda desenvolver ante cualquier situación
de su vida diaria.
Por ejemplo, en el programa de la asignatura Matemáticas IV (Precálculo) del
Colegio de Bachilleres del Estado de Yucatán, Cobay se menciona en la parte de
Fundamentación del programa:
“La asignatura de Matemáticas IV introduce al alumno al estudio de las funciones.
La importancia teórica de la noción de función reside en que posibilita analizar
problemas de variación de magnitudes interrelacionadas de modo que a cada
valor de una de ellas, corresponde un único valor de la otra. Para ello se utilizan
diversas formas de representación que van, desde simples diagramas y tablas, a
gráficas en sistemas coordenados y expresiones algebraicas…
La delimitación de la noción de función constituyó desde el punto de vista histórico
un importante avance en el desarrollo de los conocimientos matemáticos y en sus
aplicaciones. Aunque ya desde la antigüedad se sabía de la interdependencia de
diversos fenómenos, no fue sino hasta la creación del método analítico por
Descartes que pudo iniciarse el estudio de las magnitudes variables y su
- 12 -
dependencia, que condujo a la solución de diversos problemas de mecánica y del
movimiento de los cuerpos celestes. A pesar de estos logros hubieron de pasar
todavía más de cien años para que en el siglo XVIII, Dirichlet pudiera clarificar el
concepto de función, precisando el sentido matemático que actualmente se
confiere a esta relación…
Desde el punto de vista práctico, la noción de función es esencial para el estudio
de la dependencia de las magnitudes variables que intervienen en cualquier
fenómeno, proporcionando al estudiante un instrumento útil para modelar y
analizar gran cantidad de situaciones en todos los campos del conocimiento. Así,
el estudio de las funciones, en el cuarto semestre del Plan de estudios de
bachillerato, posibilita no sólo que el estudiante concluya el componente de
formación básica consolidando y ampliando sus conocimientos [...] sino también,
permitirá que aplique dichos conocimientos en la modelación de fenómenos en la
signatura de Física II que se imparte en el mismo semestre y, más allá, constituirá
una base importante en los semestres subsecuentes…”
Con esto se quiere dejar en claro que la noción y el concepto de función es un
instrumento útil para el estudiante en la modelación y análisis de cualquier
situación en cualquier campo del conocimiento, del mismo modo se hace mención
explícita de que las funciones se representan de distintas formas. Se ofrece un
breve panorama sobre la evolución del concepto a lo largo de la historia, se da
cuenta de que en un principio se utilizaba para resolver problemas de mecánica y
relacionado con los cuerpos celestes. Por ello, su relación con la asignatura de
Física y con otras de semestres posteriores.
Prácticamente cualquier programa de Precálculo incluye los temas de función
lineal, función polinomial (cuadrática, cúbica, de grado mayor a tres), función
racional, función exponencial y logarítmica; y las funciones raíz cuadrada, función
valor absoluto. De las primeras funciones se muestra la pendiente (sólo para la
función lineal y en algunos casos para la cuadrática), el dominio, el rango, la
expresión algebraica y la gráfica. En el apartado de funciones lineales, los
estudiantes estudian las características y la gráfica de esta función, cómo
- 13 -
resolverlas1 y, si el tiempo lo permite, problemas cuya solución requieren de algún
modelado con una función lineal.
En libros de texto se muestra una pequeña explicación de la razón de cambio
constante (pendiente) de la recta, mediante tablas. Algunos maestros no utilizan ni
muestran esta explicación a los alumnos y éstos no utilizan la noción matemática
de razón de cambio en los problemas “aplicativos” de la vida cotidiana que
propone el maestro, pues como esa unidad es referente a funciones lineales, los
alumnos saben que el modelo que representa ese problema es una función lineal,
así que en la mayoría de los casos se limitan a determinar dicha función.
Figura 2.1. Nota de curso
1
sobre función lineal.
Entendiendo por resolver que los alumnos hallen la ecuación de la recta, dados ciertos elementos.
- 14 -
La figura 2.1 muestra los apuntes de un estudiante de bachillerato sobre el tema
de funciones lineales. Nótese que con solo emplear la fórmula de la función, halla
la pendiente, el dominio, rango, intersecciones con el eje y. Sin analizar a
profundidad el comportamiento de dicha función. Como dato adicional,
mencionamos que este alumno es todo lo que tiene con respecto a la función
lineal.
Figura 2.2. Nota de un estudiante sobre función polinomial
- 15 -
La figura 2.2 muestra las notas de otro estudiante en donde se percibe que no se
analiza el comportamiento de la función polinomial estudiada, sólo con la gráfica
se aprecia que el comportamiento es distinto al lineal, no se hace un análisis más
fino del comportamiento.
El siguiente ejercicio constituye un ejemplo de los ejercicios que se les presentan
a los alumnos para “aplicar” los conocimientos aprendidos en el apartado de
funciones lineales:
En un territorio donde la temperatura ambiental al nivel del mar es de 30°C;
para alturas entre 0 y 8000 metros existe una relación lineal entre la
temperatura ambiental y la altitud dada por la función:
T(h) = −0.03h + 30
Donde T está expresada en grados centígrados y h en metros.
a) Trace en un plano la gráfica de esta función lineal.
b) Calcular la temperatura del aire a una altitud de 3000 m.
c) Calcular la altitud a la cual la temperatura es de 20 °C.
En este ejercicio, de entrada se menciona que el modelo de la situación es lineal.
Se presenta el modelo matemático que representa a esta situación. De esta
manera, la actuación del alumno sólo es la de realizar las operaciones o cálculos
con los datos pedidos con el modelo dado. Otro tipo de ejercicios de tipo lineal que
se presentan es cuando no se proporciona la fórmula, sin embargo, sí se
menciona que el modelo es lineal, entonces el alumno sólo halla la fórmula de la
función.
En las notas de algunos estudiantes, miramos que se presentan situaciones (de
“la vida real”) para que el alumno aplique los conocimientos aprendidos pero, en la
mayoría de las veces, no se le da la oportunidad de que por él mismo analice la
situación y “descubra” el modelo matemático que describe el fenómeno o la
situación.
- 16 -
Lo anterior trae consigo algunas consecuencias cognitivas y didácticas. Por
ejemplo, cuando el alumno entiende a las funciones como procedimientos no se
favorece un significado del concepto de función como una herramienta para
modelar un problema o situación. El análisis de los comportamientos (de tipo
lineal, de tipo exponencial o de tipo periódico) asociados a una situación se ve
inhibido. Ante determinada situación que requiere ser modelada para su
interpretación y análisis, algunos estudiantes omiten una discusión fina para
mostrar o demostrar que el modelo matemático pedido es de tipo lineal,
exponencial o periódico. En el mayor de los casos, nosotros sostenemos, que
mayormente el modelo que ha de ofrecer el o los estudiantes es lineal, aun
cuando los modelos que más se aproximan a la descripción de situaciones reales
son los no lineales.
Ante las dificultades que presentan los estudiantes en situaciones que implican
modelado, recientes investigaciones han abordado esta problemática a través de
tres enfoques:
•
Aspecto cognitivo: Abordando las dificultades y los tipos de obstáculos que
enfrentan los estudiantes con respecto a la modelación matemática y las
nociones que ésta implica, noción de variación o de función (Díaz, 2005).
•
Aspecto didáctico: Diseñando propuestas de enseñanza, aprendizaje que
permitan significar o resignificar la modelación matemática en la escuela
(Hernández y Arrieta, 2005; Arrieta2, 2006; Torres, 2004; Buendía, 2006).
•
Aspecto epistemológico: Proporcionando un panorama o un estudio del
origen y evolución del concepto en cuestión – modelación matemática,
función – (Farfán y García, 2005; Farfán y Morales, 2004).
2
Resúmenes de la X Escuela de Invierno en Matemática Educativa. Red Cimates.
- 17 -
2.2. CONSIDERACIONES COGNOSCITIVAS
Muchos alumnos tienen dificultades para comprender el comportamiento de
fenómenos y el modelado de los mismos o razonan de manera equivocada con
respecto al comportamiento de dichos fenómenos, esto se debe tanto a la
capacidad cognitiva de los alumnos (Díaz, 2005) como a la forma de enseñanza
(Buendía, 2006). Por ello, recientes investigaciones han abordado las dificultades
y los tipos de obstáculos que enfrentan los estudiantes con respecto a la
modelación matemática y las nociones que ésta implica, de variación o de función.
Por ejemplo, estudiando los modos de pensar de los estudiantes y las ideas que
tienen acerca de la variación de un fenómeno o situación.
En numerosas situaciones-problema, que se les presenta a los estudiantes,
involucran fenómenos que implican al tiempo como la variable independiente, así
que en Díaz (2005) se analizan los modos de pensar, sobre la variación y el
tiempo, en los estudiantes y se analiza las facetas congruentes y contradictorias
de las representaciones cotidianas de variación y aquéllas de las matemáticas,
que favorecen u obstaculizan los aprendizajes. En tal estudio sitúan al alumno a
experimentar para que construya conocimiento, que diga lo que piensa y cree
antes de la formalización de los conceptos. Al respecto se reporta que el tiempo
es subjetivo para los estudiantes y encontraron dificultades en los alumnos para
expresar variaciones en una gráfica distancia-tiempo (también reportado en
Carrasco, 2005), originado por la dimensión lineal del desplazamiento.
Los estudiantes regularmente asocian al objeto matemático estudiado su
definición, poco centran la atención en el hecho de que el objeto3 matemático al
que atañe no es una mera definición sino que es algo más que eso (Duval, 1999;
Chevallard,
1998).
El
objeto
se
constituye
en
distintos
contextos
de
representación4. La articulación y vinculación de estos contextos son necesarias
3
Por ejemplo: cuando se define o caracteriza un concepto formalmente en matemáticas, digamos
el teorema de Pitágoras, ¿a qué objeto se refiere dicha definición o caracterización?
4
Por ejemplo: la función cuadrática puede representarse como un polinomio de grado dos, una
gráfica, una cónica, etc. Estas distintas formas de presentar la función cuadrática son las distintas
representaciones en que puede mostrarse.
- 18 -
para el entendimiento del concepto, pero no suficientes. Por ejemplo, para el caso
del concepto de función, el alumno debe reconocerlo como definición, relación de
conjuntos, tabla de valores, fórmula, gráfica, representación icónica, entre otros;
y, vincular y transitar entre una y otra, pero además, deberá darle una
funcionalidad al concepto dentro y fuera de escenarios escolares (Carrasco, E.,
2004).
En López, Alanís y Pérez (2005) se menciona que la deficiente habilidad de
transferencia desde y hacia el registro Geométrico para resolver problemas de
libros, laboratorios o exámenes, se refleja en la dificultad de traducir, mediante el
lenguaje científico y coloquial, el registro numérico, el registro algebraico y el
registro geométrico, provocando un aprendizaje defectuoso que obstaculiza el
aprendizaje significativo.
2.3. PROPUESTAS DIDÁCTICAS
El diseño de secuencias de actividades didácticas o propuestas de enseñanza,
aprendizaje, orientadas hacia una resignificación de los conceptos matemáticos,
buscan dar un tratamiento a los conceptos de tal suerte que el alumno tenga que
significar o resignificar su conocimiento, para ello se recurre a diversos
paradigmas didácticos y de investigación. Por ejemplo, se recurre a la idea de
abstraer de ciertas prácticas de referencia una forma de llevar al alumno a la
interacción entre una situación, su modelo y su representación para dar
significado al o los objetos matemáticos asociados a la modelación matemática.
Adicionalmente, se promueve el uso de la tecnología en tareas específicas y
controladas.
En Arrieta (2006) se estudian las prácticas sociales de diferentes comunidades,
particularmente las prácticas de modelación, las interacciones durante su ejercicio
y las herramientas matemáticas que construyen y utilizan. En este sentido,
estudian las prácticas de modelación que médicos, ingenieros bioquímicos y otros
profesionistas realizan en el ejercicio de su profesión. El interés por el estudio de
las prácticas de modelación de diversas comunidades es motivada por el intento
- 19 -
de construir diseños de aprendizaje basados en estas prácticas y con
posibilidades de incorporarlas al aula de matemáticas.
En el trabajo de Torres (2004), se estudió la relación entre los tipos de
representación verbal-gráfico-simulación en un ambiente específico. Su hipótesis
fue que “La tecnología genera un nuevo uso de las gráficas”. Se diseñó una
actividad en la cual se quería que los estudiantes graficaran y modelaran la
situación. Sin embargo sólo se alcanzó a graficar sin llegar a la modelación.
Los resultados que obtuvieron fueron los siguientes: que todos los equipos
pudieron identificar sin problema en las gráficas los intervalos de cambios de
velocidad, así como también lograron establecer las relaciones que existían entre
las gráficas de la posición y velocidad como los intervalos donde la velocidad es
constante, cuando se hace cero, cuando es positiva y cuando es negativa; con
respecto a la representación verbal y representación gráfica en general los
estudiantes pudieron establecer los diferentes tiempos y posiciones que establece
el problema, emplearon como variables en el eje horizontal al tiempo y en el eje
vertical a la distancia, algunos estudiantes intentaron hacer cálculos de
velocidades utilizando la fórmula correspondiente.
En esta investigación concluyeron que la tecnología permite tener una visión
global y local, tanto cualitativa como cuantitativa de la gráfica, en la que los
estudiantes pueden explorar y dar explicaciones de lo que sucede con la situación,
por lo que sería necesario plantear problemas de situaciones reales en las que los
estudiantes puedan transitar con facilidad entre las diferentes representaciones:
simulación, verbal, tabular, gráfica y algebraica antes y después de usar la
tecnología y generen conocimientos matemáticos integradores.
En Hernández y Arrieta (2005) se manejó la tesis de que los estudiantes
construyen lo exponencial en una situación específica de modelación, como
herramienta al modelar el enfriamiento de un material, se menciona que en el
ejercicio de las prácticas sociales de modelación los actores construyen
herramientas que han de constituirse en su conocimiento, de lo exponencial, y
- 20 -
que éstas modifican las prácticas. En la puesta en escena de la secuencia
diseñada, los actores construyen modelos y con ellos realizan predicciones,
articulando los diferentes modelos con el fenómeno. Ponen énfasis en cómo es
que lo exponencial se construye al ejercer la práctica de modelación.
En Buendía (2006) se propone una epistemología para el aspecto periódico de las
funciones, abordando el fenómeno didáctico que surge de la poca coherencia
entre la existencia y la aplicabilidad de una definición y lo que se interpreta en
ambientes escolares. Se señala que este fenómeno se origina de privilegiar
argumentos de corte analítico y ya elaborado. Se han observado dificultades para
entender lo periódico y lo difícil que resulta entender o dar sentido a las
definiciones de las funciones periódicas, además de que los estudiantes
relacionan las funciones periódicas con cualquier gráfica de forma senoidal, no se
considera la definición de lo periódico. En tal investigación se concluye que los
estudiantes conciben a la gráfica como una repetición de un “patrón” pero sin
relación con los ejes coordenados. Dan como una propuesta para futuros diseños
didácticos, el diferenciar entre fenómenos repetitivos y fenómenos periódicos, así
como la búsqueda de identificación y uso de una unidad de análisis relacionada
con los ejes coordenados.
En Zaldívar (2006) se presenta una propuesta de reorganización de los
programas o cursos de cálculo, que también podríamos considerar para los
cursos de precálculo en donde se ven problemas que implican modelado. Este
autor sugiere que la reorganización debe buscar establecer un balance entre lo
Conceptual y Operacional de suerte que se encamina hacia lo Formal, pues si se
logra que el alumno transite por lo menos en dos registros de representación, los
estudiantes estarán más cerca de aprender el concepto en cuestión.
2.4. SOBRE LO EPISTEMOLÓGICO
En el propio programa de la asignatura de Precálculo mencionado al principio de
este capítulo, se señala que la historia del concepto de función nos puede mostrar
cómo abordar la modelación de un fenómeno o de una situación o qué
- 21 -
dificultades tuvieron las generaciones de ese entonces para modelar fenómenos.
En general, la epistemología nos puede mostrar cuáles fueron las bondades y las
dificultades del objeto de estudio al que nos refiramos.
Morales y Farfán comentan al respecto:
“La experiencia como profesores nos provee de la certeza de que el
discurso matemático escolar se compone en su mayoría de las notas
y de los libros de texto que se recomiende usar para apoyar las
actividades y cubrir el programa. Sin embargo en este saber no
están incorporados los significados primarios, ya que se ignoran las
etapas, objetivos, momentos y contextos por los que ha transitado el
conocimiento desde su construcción original. Es por ello que un
estudio de corte epistemológico podría proveer de argumentos
olvidados por la enseñanza tradicional, de forma tal que a través de
este tipo de estudios sea posible dar enfoques diferentes o
alternativos a los conceptos estudiados en el nivel superior”
(Morales, Farfán, 2004, pp. 244).
En (Medina, Rumbo, Arrieta, 2005) se plantea que el ejercicio de una práctica, en
particular la de modelación, adquiere sus particularidades y su sentido acordes al
lugar donde se ubica el ejercicio ya sea en ingeniería, medio ambiente, bibliotecas
públicas, y del área donde se sitúa, electrónica, economía, biología, etc. Su
trabajo está en la dirección de aportar elementos para un análisis epistemológico
de las prácticas de modelación, que redundaría en el fortalecimiento de la línea
de investigación que intenta aclarar la relación entre el ejercicio de las prácticas
sociales y la construcción social del conocimiento.
En Morales, Farfán (2004) se buscan las habilidades intrínsecas al documento
escrito por Fourier: El entendimiento del fenómeno físico que se está modelando,
esto es, percibir claramente por medio de la inteligencia o los sentidos su
significado, la capacidad de ordenar de una forma clara y precisa datos u
observaciones respecto de algún fenómeno, la comprobación o invalidación de
- 22 -
una hipótesis, la predicción del comportamiento de los procesos con base en las
observaciones y los resultados arrojados, así como la capacidad de abstracción,
entendiendo por esta, la capacidad de extraer o considerar las cualidades
esenciales de un suceso.
En Farfán, García (2005) se menciona que ya desde la antigüedad se sabía de la
interdependencia de diversos fenómenos pero no fue sino hasta la creación del
modelo analítico por Descartes (renunciar a las concepciones griegas de número y
magnitud y lograr fusionarlas) que pudo iniciarse el estudio de las magnitudes
variables y su dependencia, que condujo a la solución de diversos problemas de
mecánica y del movimiento de los cuerpos celestes y que según Youschevitch
(1976), es aquí donde por primera vez, y de una forma completamente clara, se
sostiene la idea de que una ecuación en x e y es un medio para introducir una
dependencia entre dos cantidades, de manera que permite el cálculo de los
valores de una de ellas correspondiente a los valores dados de la otra (Ruiz,
1998).
(…) “quien reestructuró el cálculo leibniziano y lo convirtió en un cuerpo
organizado fue Leonhard Euler, figura central de la matemática del siglo XVIII”
(Farfán, 1997).
Producto de lo anterior, es el impresionante desarrollo del análisis, “pasando de
una herramienta para la resolución de problemas en mecánica como quizás
Newton lo contempló, a una disciplina con sus propios problemas, cada vez más
inmersa en ella misma y en sus propios principios” (Ruiz, 1998).
El siglo XIX se encuentra caracterizado por diversas generalizaciones observadas
en los trabajos de Cauchy, (1827), Lobachevsky, (1834), Dirichlet, (1837),
Riemann, (1858), al emplear al objeto matemático función como la médula del
Análisis recién tratado por Euler.
Esto produce una gran formalidad al concepto por parte de Cauchy, quien intenta
contener toda “la sustancia” de éste en definiciones abstractas, las que después
- 23 -
perdieron de vista las relaciones geométricas y las nociones de curva que guarda
en sí mismo este objeto y que en el pasado fueron las que le dieron vida.
El siglo XX, es el que corresponde al uso pleno y a la exploración minuciosa del
concepto basado formalmente en la noción general de función introducida por
Dirichlet.
En libros clásicos de matemáticas de nuestros tiempos, es observable cómo se
intenta favorecer más la relación que guarda este concepto con el intento por
describir fenómenos naturales, de tal manera que “en la actualidad se prefiere
considerar el concepto de función como aplicación” (Dieudonné, 1989, p.187).
Es evidente que la noción primitiva de función era mucho más intuitiva; la actual
tiene un alto grado de formalización que la hace mucho más abstracta.
O como Freudenthal (1983, p.497) diría; “aunque esta definición está construida
de una manera lógicamente formalizada, sin embargo, se ha oscurecido su
esencial significado como acción de asignación de variables, ha perdido su
carácter dinámico para transformarse en algo puramente estático”.
La Historia de la ciencia muestra la íntima relación entre la física y la matemática y
cómo en nuestros días esta relación, en el ambiente escolar, se ha ido perdiendo.
2.5. LA DIDÁCTICA Y LA INVESTIGACIÓN
El reconocimiento y la utilización de los resultados que arrojan las investigaciones
son una fuente confiable y primordial tanto para las nuevas investigaciones como
para las propuestas de enseñanza, aprendizaje, pues ayudan a enfocar esfuerzos
hacia las dificultades que presentan los alumnos y las estrategias de enseñanza
propuestas.
El desarrollo de la didáctica en diversas áreas, como en los conceptos de
variación y de modelación matemática, no deben estar desligados de las prácticas
docentes, pues las investigaciones dotan de información y de resultados
importantes en relación con diversas problemáticas y fenómenos del sistema
- 24 -
didáctico. Las investigaciones nos pueden dar un panorama epistemológico,
cognitivo y didáctico acerca del concepto implicado (Zaldívar, 2006).
2.6. CONSIDERACIONES
Los estudiantes, ante una situación o problema que demande una modelación
matemática o simplemente el empleo de funciones para su representación,
interpretación, análisis y solución, sostenemos este premisa, tienden al empleo de
modelos lineales o al ajuste de los datos para modelar el fenómeno linealmente,
motivados por patrones contextuales (escolares o no, propios de la situación o no)
ignorando el empleo de modelos más eficaces y acordes al tipo de situación o
problema. Diversas investigaciones han dado evidencia de los problemas que
tienen los estudiantes ante problemas de variación, de la relación que tienen los
estudiantes de los registros gráfico-analítico-verbal, de las bondades que da la
tecnología al usarlo como medio para modelar fenómenos y donde se muestran
facetas tanto congruentes como contradictorias de las representaciones
cotidianas de variación y aquellas de las matemáticas, que favorecen u
obstaculizan los aprendizajes tendientes a la formación de un pensamiento
variacional en los estudiantes (de gráficas de rectas y de modelos lineales).
Nosotros pretendemos explorar las ideas y razonamientos espontáneos presentes
en los estudiantes al momento de discurrir sobre situaciones, fenómenos o
problemas que demandan modelarse tanto linealmente como exponencial.
Consideramos que los fenómenos presentes en la naturaleza o realidad, son
mayormente de tipo exponencial, sin embargo, también consideramos que se
requiere de formas de pensamiento más complejas, de razonamientos más
sofisticados y de una confrontación entre un análisis global y local de la situación
específica de estudio tanto cualitativa como cuantitativamente.
En este sentido, nos propusimos recabar evidencia sobre los mecanismos que
favorecen el desarrollo de habilidades en el modelado de un fenómeno de tipo
exponencial
para
su
posterior
consideración
en
propuestas
ya
sean
instruccionales, de aprendizaje o de investigación orientadas a subsanar ciertas
- 25 -
carencias
cognitivas
y
didácticas
que
surgen
a
la
hora
de
modelar
matemáticamente un fenómeno de tipo exponencial tanto en el ámbito escolar
como fuera de él.
- 26 -
CAPÍTULO 4
RESULTADOS Y CONCLUSIONES
Capítulo 4: Resultados y Conclusiones
4.1. ANÁLISIS A PRIORI VS ANÁLISIS A POSTERIORI
4.1.1. FASE I
De la Fase I, se esperaba que:
•
Los estudiantes hicieran uso de ecuaciones, funciones, tablas, gráficas,
relaciones en sus razonamientos sobre variación de tipo lineal.
•
Los estudiantes emplearan formas discursivas y gestuales al momento de
tratar de modelar la situación presentada en la respectiva actividad como
apoyo a sus entendimientos.
•
Los modelos lineales constituirían el tipo de solución espontáneo que los
estudiantes propondrían como la respuesta a ciertas actividades.
En la actividad uno, los razonamientos de los estudiantes del equipo uno, fueron
correctos con respecto al comportamiento del crecimiento de bacterias. Ellos
analizaron la situación y se dieron cuenta de que su crecimiento no era constante
sino que era “proporcional a su magnitud”. Utilizaron recursos gestuales para
comunicar sus entendimientos y para personalizar1 el conocimiento matemático
presente en la situación.
Sin embargo, sus respuestas fue un modelo lineal, es decir, una función lineal que
seguía un crecimiento constante, contrario a sus razonamientos hechos por ellos
durante el desarrollo de la actividad.
Los estudiantes del equipo dos, por el contrario, dedujeron, de los datos
proporcionados en la actividad, que el modelo que representaba la situación de
esta actividad era un modelo lineal, sin analizar otras variables y opciones, como
los modelos de tipo exponencial, que pudieran representar mejor la situación.
1
Entendiendo por personalizar a la forma de apropiación del problema enfrentado, es decir,
decodificar el mensaje recibido y volverlo a codificar en sus propias palabras para poder acceder al
significado del concepto.
- 75 -
Pudimos notar que cierto número de estudiantes propone un modelo lineal a
situaciones de tipo no lineal.
En la actividad dos, los estudiantes de los dos equipos mostraron que el modelo
que representa la situación es uno de tipo lineal y durante el desarrollo de la
actividad utilizaron el término inversamente proporcional para referirse al
comportamiento entre las variables, el consumo de gasolina y la velocidad de
recorrido de un automóvil.
Los estudiantes del equipo uno trataron de hallar el consumo de gasolina por
kilómetro, aunque tuvieron algunos errores al intentarlo, dando por evidente el
comportamiento constante entre las variables involucradas, propio del modelo
lineal. Es decir, el consumo de gasolina por kilómetro, lo hallaron dividiendo el
consumo entre la velocidad de recorrido. Con esto se tiene un consumo igual de
gasolina por cada kilómetro.
Por su parte, los estudiantes del equipo dos, se basaron en el bosquejo de los dos
pares de datos, que proporcionaba la actividad, en un plano coordenado XY. Para
ellos fue suficiente bosquejar los dos puntos y visualizar que por éstos pasa una
recta, para concluir que el modelo que representaba a la situación es uno de tipo
lineal.
En la actividad tres, los estudiantes del equipo uno, hacen uso de sus experiencias
previas para analizar la situación planteada en la actividad. Se dan cuenta de que
el derretimiento de la vela no es constante, sino que al principio se derrite más
rápido y luego más lento, entre las causas asociadas se encuentran, el tipo de
mecha, calidad de la vela y a la cera acumulada. Por ello, buscan una tabla en la
que las diferencias entre las alturas vayan disminuyendo conforme pasara el
tiempo. Estos estudiantes dieron evidencia de que proponen un modelo de tipo no
lineal a la situación, pues analizan las variables externas que pudieran influir en el
derretimiento de la vela.
- 76 -
Mientras que los estudiantes del equipo dos analizaron las diferencias entre las
alturas de cada tabla. Cuando notaron que la tabla dos seguía un comportamiento
constante, concluyeron que esa era la respuesta correcta a la actividad, pues
según ellos ese es el comportamiento que sigue el derretimiento de una vela al
encenderla.
En resumen, se pudo observar en la Fase I: 1) Estudiantes que consideraron otras
variables “ocultas”, es decir, intrínsecas a la situación, que pudieran afectar el
comportamiento de las variables de la situación y 2) Estudiantes que afirmaron
que el comportamiento que sigue la situación es lineal. Sin embargo, todos los
estudiantes propusieron como modelo matemático a uno de tipo lineal, ya sea por
medio de una fórmula (en donde intervinieron dos variables, una en función de la
otra), de una ecuación (ecuación de una línea recta), la tabulación de valores (en
donde los incrementos entre las variables involucradas eran constantes) o por
medio de razonamientos sobre variación hechos durante la actividad.
Sólo los integrantes de un equipo, pudieron proponer en una actividad, un modelo
de tipo no lineal que representara la situación.
Los tres puntos mencionados al principio de este capítulo, que se esperaban
corroborar con estas actividades, fueron validadas mediante la aplicación y
desarrollo de estas.
4.1.2. FASE II
En la Fase II, se esperaba que:
•
Los estudiantes comparan sus razonamientos hechos en la Fase I con
algunas consideraciones que pudieran efectuar en la Fase II.
•
Los estudiantes vislumbraran y percibieran que las actividades de la Fase II
se modelaban con modelos no lineales, de tipo exponencial.
- 77 -
•
Los estudiantes notaran y utilizaran algunos factores o mecanismos
propuestos por nosotros para poder modelar “exponencialmente” la
situación planteada en las actividades (mecanismos que favorecieran el
modelado de tipo exponencial).
En la actividad 1, los estudiantes de los dos equipos evaluaron en las cuatro
fórmulas que se proponían en la actividad como las posibles soluciones, para
hallar la que cumpliera con las condiciones presentadas en la figura de la
actividad. Verificaron que la función
f ( x ) = 2 x −1 − 1 es la cumplía con las
condiciones. Sin embargo, no hubo una asimilación o apropiación por parte de los
estudiantes del siguiente razonamiento: la función exponencial es la que mejor
representaba la situación, esto es algo de lo que se esperaba provocar.
Los estudiantes no notaron que su respuesta a la actividad uno de la Fase I era un
modelo como el elegido en esta actividad, pues se trataba de situaciones
parecidas.
En la actividad dos, los estudiantes del equipo uno se percataron de que sus
razonamientos hechos en la actividad dos de la Fase I, sí eran correctos, pues lo
comprobaron con esta actividad. Así que su justificación, de por qué la gráfica de
una línea recta no representaba mejor la situación, se basó en los razonamientos
hechos en la Fase I, donde afirmaban que el comportamiento inversamente
proporcional entre las variables de la situación no representaba una recta
(razonamiento no siempre correcto).
Por el contrario, los estudiantes del equipo dos se vieron un poco sorprendidos, ya
que ellos habían propuesto a la ecuación de una recta como el modelo solución.
Sin embargo, analizaron las gráficas de los incisos (a), (b) y (c) para eliminar
opciones. De la gráfica del inciso (a) sostuvieron que no puede ser la respuesta
porque llegaría un momento en que no se consumiría gasolina (intersección de la
gráfica con el eje X) incluso se llegaría hasta a ganar gasolina (interpretación de
las imágenes negativas). Propusieron a la gráfica del inciso (b) como la respuesta
- 78 -
correcta, porque pareciera haber una asíntota horizontal en el valor 5.7, que
evitará el no consumo de gasolina y la ganancia de gasolina.
(b)
En la actividad tres, los estudiantes del equipo uno utilizaron los mismos hechos
en la actividad tres de la Fase I para concluir que la gráfica que modela mejor el
comportamiento del derretimiento de la vela fuera una distinta a una línea recta,
pues según ellos, al principio se derrite rápido y luego se va derritiendo
lentamente. Así que estos estudiantes propusieron a la gráfica del inciso (c).
c)
Los estudiantes del equipo dos, también utilizaron sus razonamientos hechos en la
Fase I para concluir que la gráfica de una línea recta era la que modelaba el
derretimiento de la vela. Pues según ellos, el derretimiento de una vela es el
mismo en cada minuto, es decir, decrece los mismos centímetros cada minuto.
En la actividad cuatro, todos los estudiantes visualizaron que la situación no se
modelaba con uno de tipo lineal; sin embargo, la primera fórmula que hallaron
para modelar la situación era una función lineal.
- 79 -
Equipo 2
Equipo 1
Se dieron cuenta de que este modelo no era del todo correcto o completo, pues
para hallar el precio del coche para el siguiente año, se tenía que evaluar en el
precio anterior.
Así que surgieron ideas como las siguientes: “Es una recursiva”, “es una
sucesión”, “es como el contador en programación”, “es una serie”. Los estudiantes
de los dos equipos graficaron varios puntos y pudieron notar que el
comportamiento no era una línea recta. Así que surgieron ideas como: “Es una
exponencial” o “es un logaritmo natural”. Respondieron los incisos (a) y (b) con los
datos obtenidos sin hallar el modelo.
Los estudiantes trataron de analizar las parejas de datos que hallaron y llegaron a
ideas como la siguiente:
Equipo 1
Equipo 2
Ningún equipo logró dar en concreto un modelo que representara la situación.
En resumen, en las actividades dos y tres, los estudiantes reconocieron que éstas
eran parecidas a las actividades de la Fase I. Los estudiantes del equipo uno
confirmaron sus sospechas, mientras que el equipo dos, se vio un poco
sorprendido en la actividad dos, pues ellos habían propuesto a la recta como
- 80 -
modelo de la situación. Cambiaron su respuesta de la recta por una curva
(errónea, empero modelo de tipo exponencial) y en la actividad 3, siguió con sus
razonamientos de la Fase I. Las actividades 2, 3 y 4, favorecieron a que los
estudiantes pudieran acceder a un pensamiento más complejo, es decir,
modelación de situaciones que se representan por medio de modelos de tipo
exponencial.
4.2. RESULTADOS
El diseño de las actividades como situaciones-problema propició que los
estudiantes analizaran, discutieran y consensuaran acerca de las condiciones y
respuesta de la actividad.
Pudimos observar un razonamiento de tipo lineal en los estudiantes. Por ejemplo:
durante la resolución de las actividades uno y dos de la Fase I, los integrantes del
equipo uno hicieron unos razonamientos de tipo no lineal; sin embargo, cuando
trataron de hallar, por ejemplo, el consumo de gasolina por kilómetro, se pudo
apreciar el razonamiento de tipo lineal, es decir, notamos que, cuando hallaron
ese consumo por kilómetro, buscan el consumo igual (constante) por cada
kilómetro.
Por su parte, los estudiantes del equipo dos, en la actividad uno, pensaron en una
recta por los datos que se proporcionaban en la actividad: “en un principio la
colonia tiene 500 bacterias y en doce horas ya hay 1000”. No pensaron en el
comportamiento que sigue un crecimiento de una población, sino se basaron sólo
en los datos y en el plano que dibujaron, pues dibujaron dos puntos y dibujaron
una línea recta que pase por esos dos puntos. Además, los integrantes de este
equipo no relacionaron su procedimiento con la situación, sólo aplicaron un
procedimiento aprendido en la preparatoria (el de hallar la ecuación de una recta),
tratando de acordarse de dicha fórmula de la preparatoria para poder seguir su
procedimiento.
- 81 -
Ningún estudiante visualizó el comportamiento de tipo exponencial en la situación
planteada en la actividad uno de la Fase II, sólo evaluaron en las funciones dadas.
Lo que sí propició la figura, fue que entraran en conflicto, esto por las condiciones
de la misma situación.
También, se pudo observar que los estudiantes del equipo uno tienen un
deficiente significado del término inversamente proporcional, pues atribuyen a ese
término un cociente y afirman ese cociente no representa una línea recta.
Hubo evidencia de la relación entre una notación, un conocimiento matemático y
los aspectos gesticulativos de los estudiantes. Por ejemplo, el equipo dos, al
referirse a la ecuación de una línea recta como el modelo respuesta, hicieron uso
de ademanes y movimientos con las manos, así como un razonamiento
variacional de tipo lineal (variación constante), algunas veces sin darse cuenta; al
igual de una asociación de los datos de la situación con una notación propia de la
recta.
Pudimos observar durante el desarrollo y el análisis de las actividades, que los
estudiantes hicieron uso de algunos recursos gestuales (particularmente
ademanes) lo cual les permitió establecer relaciones de su conocimiento
matemático con la situación planteada y establecer una comunicación de sus
entendimientos a los otros miembros del grupo.
Se dieron cuenta de que para hallar un modelo para la situación, primero hay que
hacer un análisis de la situación de los datos que se proporcionan. Todos los
- 82 -
estudiantes identificaron ciertas variables y constantes (por ejemplo, la distancia
recorrida de 100 km en la actividad dos de la Fase I) y las que están implícitas (por
ejemplo, la marca de una vela o un automóvil, el tipo de mecha, la cantidad de
cera acumulada) en la situación que pudieran afectar su comportamiento.
Visualizan varios casos en las situaciones; por ejemplo, en la actividad uno de la
Fase I, el equipo uno, explica que el modelo que buscaron es correcto, porque si
la actividad dijera que el comportamiento es inversamente proporcional sería otro
caso y también lo explican. Aquí pudimos observar que los estudiantes visualizan
otros casos que podrían suceder.
La inclusión de frases o palabras que describieran la situación, como por ejemplo:
“el crecimiento de una colonia de bacterias crece a una razón proporcional a su
magnitud”, “al principio es de 500 bacterias y después de doce horas es de
1000”, “el consumo de gasolina de un auto NISSAN”, “si recorre una distancia de
100 km a una velocidad de 60 Km/h utiliza 7.2 lt.” favorecieron el análisis de la
situación
El concepto “depreciación” en la actividad cuatro de la Fase II, favoreció a que los
estudiantes se dieran cuenta del comportamiento no lineal de la situación y
propició
que
utilizaran
términos
como
los
siguientes
para
referirse
al
comportamiento de la situación: “Es una recursiva”, “es una sucesión”, “es como el
contador en programación”, “es una serie”. El equipo dos llegó a un paso en el que
parece poner en sucesión los datos del problema después de analizarlos, como se
muestra en la siguiente figura. Sin embargo no lograron extraer y concretar una
fórmula o ecuación que modelara la situación, debido a que no hubo un análisis
más profundo y detallado de este paso.
- 83 -
En la actividad tres de la Fase I, las tablas permitieron que los estudiantes hicieran
una interpretación de los valores que faltaban. Por ejemplo, cuando mencionaron
que en 13 minutos ya se había consumido dos centímetros de vela.
Pudimos observar una visualización global y no puntual de las gráficas en los
estudiantes; por ejemplo, en la actividad tres de la Fase I, dio pie a que tuvieran,
los integrantes del equipo uno, una incorrecta interpretación de ella y de la
continuación de la dicha gráfica. Los integrantes del equipo dos por ejemplo
afirmaron que el comportamiento de la siguiente gráfica, al principio es lento y al
final es rápido.
4.3. CONCLUSIONES
En este trabajo de investigación nos centramos en el razonamiento espontáneo
que los estudiantes realizan acerca de la modelación matemática de situaciones
específicas. La idea básica que se siguió para el diseño de las secuencias de
actividades, estuvo relacionado con el hecho de que los modelos exponenciales y
periódicos requieren formas de pensamiento y habilidades más complejas y
específicas que los modelos lineales.
Nuestra experiencia empírica, guiada bajo la metodología de la Ingeniería
Didáctica, nos permite afirmar que los resultados proporcionan información
significativa sobre la modelación de tipo lineal en los estudiantes ante situaciones
que involucran modelación de tipo exponencial; así como el aporte de
- 84 -
situaciones-problema y consideraciones, tanto cognoscitivas como didácticas, que
favorecen la modelación de tipo exponencial.
La incorporación de actividades con consideraciones tales como:
•
Inclusión de frases que sugieren un análisis matemático no trivial de ciertas
situaciones fenomenológicas.
•
Uso de figuras, gráficas y tablas numéricas, que favorezcan el análisis de la
situación y la modelación matemática.
•
El empleo de términos matemáticos que propicien el análisis de la situación
de manera no lineal.
•
La discusión en equipos de actividades interrelacionadas. Esta interrelación
debe darse con el suficiente énfasis.
favorecen el reconocimiento de un modelado de tipo no lineal.
Notamos que los estudiantes bajo ciertas condiciones tienden a pensar en
modelos lineales, notamos que este tipo de pensamiento es inducido por
conocimientos previos en combinación con la estructura o presentación de los
datos cuantitativos/cualitativos que se ofrecen. Aquellos estudiantes, que en
general lograron pensar en modelos no lineales en donde la situación o actividad
así lo demandaba, miramos que tampoco fueron capaces de ofrecer una
expresión o modelo matemático explícito que la describiera.
Por tanto, concluimos que se hace necesario ubicar a un estudiante en un
escenario en donde tenga la suficiente libertad (tanto en sus razonamientos como
en los tiempos) de emplear sus experiencias previas, de desarrollar análisis
contextuales y de cotidianidad; emplear recursos como lo gestual, de tal suerte
que no se vea restringido al cumplimiento de un contrato pedagógico en donde el
saber escolar pareciera estar “condicionado”. El promover y desarrollar este tipo
de escenarios consideramos, va a permitir que se desarrolle entre los estudiantes,
- 85 -
un pensamiento de tipo variacional no lineal que puede ser la base en la
generación de modelos matemáticos de tipo exponencial, en situaciones donde
así se requiera.
Desde nuestra perspectiva, sostenemos que la modelación matemática no debe
presentarse como un mero procedimiento a seguir, debe dársele un tratamiento
más de contexto, en donde el análisis y los razonamientos espontáneos tengan la
suficiente cabida en tanto evocación de conceptos previos y experiencias ya
elaboradas.
- 86 -
Bibliografía
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- 88 -
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actividades en Cálculo. Tesis de licenciatura. México.
- 89 -
Anexos
ANEXO 1. LA SECUENCIA
FASE I
Actividad 1
Determinen una ecuación matemática que modele el crecimiento de una colonia
de bacterias cuya cantidad al principio es de 500 bacterias y se observa que crece
a una razón proporcional a su magnitud, de manera que después de 12 horas la
cantidad de bacterias en dicha colonia es de 1000.
Actividad 2
El consumo de gasolina de un automóvil NISSAN, por cada 100km , depende de la
velocidad a la que hace su recorrido.
a) Establezcan una ecuación matemática que modele el consumo de gasolina
de dicho auto, el cual si recorre 100km a una velocidad de 60 km
7.2lt y si lo hace a 90 km
h
h
utiliza
requiere de 5.7lt .
b) Si recorre una distancia de 100km a una velocidad de 70 km
h
¿Cuánto de
gasolina habrá consumido?
Actividad 3
Supongan que una persona tiene una vela de 30cm de altura y decide encenderla
después de colocarla verticalmente sobre una base, tal
como se muestra en la figura A. Justo a los 13 minutos
después de haber encendido dicha vela, la persona
decide hacer un registro del tiempo de derretimiento.
¿Cuál de las siguientes 3 tablas que se les muestran,
consideran fue la elaborada por esa persona? Si les es
posible ofrezcan una razón de su elección.
- 90 -
Figura A
Anexos
x : tiempo
f 1 ( x) : altura
(min)
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Tabla 1
(cm)
28.31
28.04
27.75
27.44
27.11
26.76
26.39
26
25.59
25.16
24.71
24.24
x : tiempo
f 2 ( x) : altura
(min)
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
(cm)
28.49
28.22
27.95
27.68
27.41
27.14
26.87
26.6
26.33
26.06
25.79
25.52
x : tiempo
f 3 ( x ) : altura
(min)
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Tabla 2
(cm)
28.31
27.26
26.22
25.21
24.22
23.24
22.29
21.35
20.44
19.55
18.67
17.82
Tabla 3
FASE II
Actividad 1
En una población de bacterias, se sigue una razón de crecimiento de la forma
como muestra la figura 1. Esta colonia tiene la característica de que cada bacteria
reproductora reproduce dos bacterias reproductoras en su período de vida. En un
inicio hay una bacteria reproductora, en un momento después ya hay 3 bacterias
reproductoras y así sucesivamente (como muestra la figura 1).
Inicio
t0
t1
t2
t3
t4
Figura 1
a) Subrayen la ecuación matemática que mejor modele el crecimiento de
esta colonia.
- 91 -
Anexos
i.
⎛π t ⎞
f (t ) = 4 + 1023sen⎜ ⎟
⎝ 9 ⎠
ii.
f (t ) = t 2 + t + 1
iii.
f (t ) = 2t + 1
iv.
f (t ) = 2 t +1 − 1
Actividad 2
Expliquen y justifiquen ampliamente por qué la gráfica del inciso (a) no es la que
mejor representa la situación de la actividad 2 de la Fase I.
f
f
(a)
(b)
f
f
(d)
(c)
- 92 -
Anexos
Actividad 3
De las siguientes gráficas, seleccionen la que mejor represente el
comportamiento del derretimiento de la vela mencionado la actividad 3 de la Fase
I. Escriban las razones de su elección.
f
f
a)
b)
f
f
c)
d)
f
e)
- 93 -
Anexos
Actividad 4
Determinen una ecuación matemática que modele la depreciación de un coche
que cuesta $195,000. La depreciación de un coche quiere decir que va perdiendo
su valor en un 20% cada año.
a) Estimen el valor del coche para dentro de tres años.
b) ¿En cuánto tiempo el coche sólo valdrá $52,000?
- 94 -
Anexos
ANEXO 2. HOJAS DE TRABAJO
Fase I
Equipo No.:_______
Hora de inicio:______________
Hora Final:______________
Indicaciones: Discutan la actividad en equipo y resuelvan de manera unificada.
Usen tinta azul y roja. No borren sus intentos fallidos, sólo enciérrenlos en
círculos.
Actividad 1
Determinen una ecuación matemática que modele el crecimiento de una colonia
de bacterias cuya cantidad al principio es de 500 bacterias y se observa que crece
a una razón proporcional a su magnitud, de manera que después de 12 horas la
cantidad de bacterias en dicha colonia es de 1000.
- 95 -
Anexos
Fase I
Equipo No.:_______
Hora Final:______________
círculos.
Actividad 2
El consumo de gasolina de un automóvil NISSAN, por cada 100km , depende de la
velocidad a la que hace su recorrido.
a) Establezcan una ecuación matemática que modele el consumo de
gasolina de dicho auto, el cual si recorre 100km a una velocidad de
60 km
h
utiliza 7.2lt y si lo hace a 90 km
h
requiere de 5.7lt .
b) Si recorre una distancia de 100km a una velocidad de 70 km
¿Cuánto de gasolina habrá consumido?
- 96 -
h
Anexos
Fase I
Equipo No.:_______
Hora Final:______________
círculos.
Actividad 3
Supongan que una persona tiene una vela de 30cm de altura y decide encenderla
después de colocarla verticalmente sobre una base, tal como se muestra en la
figura A. Justo a los 13 minutos después de haber encendido dicha vela, la
persona decide hacer un registro del tiempo de derretimiento.
¿Cuál de las siguientes 3 tablas que se les muestran, consideran fue la elaborada
por esa persona? Si les es posible ofrezcan una razón de su elección.
Figura A
x : tiempo
f 1 ( x) : altura
(min)
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Tabla 1
(cm)
28.31
28.04
27.75
27.44
27.11
26.76
26.39
26
25.59
25.16
24.71
24.24
x : tiempo
(min)
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Tabla 2
- 97 -
f 2 ( x) : altura
(cm)
28.49
28.22
27.95
27.68
27.41
27.14
26.87
26.6
26.33
26.06
25.79
25.52
x : tiempo
f 3 ( x ) : altura
(min)
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Tabla 3
(cm)
28.31
27.26
26.22
25.21
24.22
23.24
22.29
21.35
20.44
19.55
18.67
17.82
Anexos
Fase II
Equipo No.:_______
Hora Final:______________
círculos.
Actividad 1
En una población de bacterias, se sigue una razón de crecimiento de la forma
como muestra la figura 1. Esta colonia tiene la característica de que cada bacteria
reproductora reproduce dos bacterias reproductoras en su período de vida. En un
inicio hay una bacteria reproductora, en un momento después ya hay 3 bacterias
reproductoras y así sucesivamente (como muestra la figura 1).
Inicio
t0
t1
t2
t3
t4
Figura 1
a) Subrayen la ecuación matemática que mejor modele el crecimiento de
esta colonia.
v.
⎛π t ⎞
f (t ) = 4 + 1023sen⎜ ⎟
⎝ 9 ⎠
vi.
f (t ) = t 2 + t + 1
vii.
f (t ) = 2t + 1
viii.
f (t ) = 2 t +1 − 1
- 98 -
Anexos
Fase II
Equipo No.:_______
Hora Final:______________
círculos.
Actividad 2
Expliquen y justifiquen ampliamente por qué la gráfica del inciso (a) no es la que
mejor representa la situación de la actividad 2 de la Fase I.
f
f
(a)
(b)
f
f
(d)
(c)
- 99 -
Anexos
Fase II
Equipo No.:_______
Hora Final:______________
círculos.
Actividad 3
De las siguientes gráficas, seleccionen la que mejor represente el
comportamiento del derretimiento de la vela mencionado la actividad 3 de la Fase
I. Escriban las razones de su elección.
f
f
a)
b)
f
f
c)
d)
f
e)
- 100 -
Anexos
Fase II
Equipo No.:_______
Hora Final:______________
círculos.
Actividad 4
Determinen una ecuación matemática que modele la depreciación de un coche
que cuesta $195,000. La depreciación de un coche quiere decir que va perdiendo
su valor en un 20% cada año.
c) Estimen el valor del coche para dentro de tres años.
¿En cuánto tiempo el coche sólo valdrá $52,000?
- 101 -

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