Alex González ¿Qué es un grupo p-local compacto? Un briconsejo

Alex González ¿Qué es un grupo p-local compacto? Un briconsejo

Un grupo 3-local compacto exótico
Alex González
Trabajo conjunto con A. Ruiz
¿Qué es un grupo p-local compacto?
Un ejemplo exótico para p = 3
Para un primo p fijado, los grupos p-locales compactos son modelos algebraicos discretos introducidos para
espacios clasificadores de grupos de Lie compactos p-completados, grupos p-compactos, y ciertos grupos
de matrices, entre otros [BLO3]. Estos modelos permiten unificar el estudio de espacios clasificadores de
grupos de naturaleza en origen distinta, si bien relacionados entre ellos.
Este ejemplo está inspirado en resultados de A. Díaz, A. Ruiz y A. Viruel, [DRV]. En este caso, G = (S, F , L)
está determinado por
De manera informal, un grupo p-local compacto es de la forma G = (S, F , L), donde
(b) F está determinado por los objetos S, T = h{uk , vk }k∈N i (Z/3∞ )×2 y V = hx, v1 i Z/3 × Z/3, con
(a) S = hx, {uk , vk }k∈N | ∀k : x =
3
(a) S es el p-subgrupo de Sylow de G. Es una extensión de la forma
T −−−−−→ S −−−−−→ π
{cx : P −−−→ Q | x ∈ S tal que xPx
−1
≤ Q} ⊆ MorF (P, Q) ⊆ Inj(P, Q).
(c) L es el sistema de enlace de G. Es una categoría donde Ob(L) es un cierto subconjunto de Ob(F ). Si
P ∈ Ob(L) entonces CS (P) = Z(P), y hay una acción libre Z(P) sobre MorL (P, Q), de manera que
MorL (P, Q)/Z(P) MorF (P, Q),
para todo Q ∈ Ob(L).
Las categorías F y L están sujetas a ciertos axiomas que las relacionan entre sí y cohesionan el modelo.
=
3k
vk
= 1, u3k+1 = uk , [uk , x] = vk , [vk , x] = (uk vk )−3 , [uk , vk ] = 1i
AutF (S) Inn(S) o (Z/2 × Z/2)
AutF (T) GL2 (3)
AutF (V) GL2 (3).
(c) L está determinado por los mismos objetos S, T y V, con
donde T = (Z/p∞ )×r es el toro maximal, y π es un p-grupo finito.
(b) F es el sistema de fusión de G. Es una categorá cuyo conjunto de objetos es la colección de todos los
subgrupos de S. En cuanto a los morfismos, para todo P, Q ∈ Ob(F ),
3k
uk
AutL (S) S o (Z/2 × Z/2)
AutF (T) T · GL2 (3)
AutF (V) V · GL2 (3).
Todos los subgrupos cíclicos de orden p de S son isomorfos en F .
Los hermanos pequeños de G
Exoticidad
A. Díaz, A. Ruiz y A. Viruel encontraron en [DRV]
una familia de grupos 3-locales finitos exóticos (no
corresponden a ningún grupo finito), que se pueden usar para (re)construir G.
¿Cómo sabemos que G es exótico?
En efecto, G se puede ver como una especie de
telescopio dónde, para todo k ≥ 2,
(a) No existe ningún grupo de Lie compacto G tal
que BG ' (BG)∧3 porque AutF (T) GL2 (3) no
es grupo de reflexiones.
(b) Los grupos 3-compactos han sido totalmente
clasificados en, y ninguno coincide con G.
El espacio clasificador de G = (S, F , L) es el nervio p-completado de L, BG = |L|∧p .
Un briconsejo
Para describir un grupo p-local compacto en particular, es suficiente con describir las categorías F y
L para un número finito de objetos (no escogidos
al azar, claro).
Grupos p-locales exóticos
Los grupos p-locales compactos aglutinan bajo un
mismo lenguaje teorías muy diversas, y es normal
que aparezcan nuevos objetos que no provienen de
ninguna de ellas.
Decimos que un grupo p-local compacto G =
(S, F , L) es exótico si BG no es el espacio clasificador p-completado de ningún grupo de Lie compacto o grupo p-compacto.
Ak
Un ejemplo no exótico para p = 3
Ak+1
. . . (k −→ ∞) . . .
Bk
e
V
Para un primo p fijado, una esfera de Sullivan es
una esfera de dimensión 2n−1 p-completada, donde
2n−1 ∧
n ≥ 2 divide a p − 1: X = (S
)p . Esto resulta ser
un grupo p-compacto.
Para p = 3 sólo hay una posible esfera de Sullivan.
En este caso, G = (S, F , L) está determinado por
G
Gk
Gk+1
e = V · GL2 (3);
V
Sk = hs, uk , vk i ≤ S y Ak = Sk o (Z/2 × Z/2);
(b) AutF (S) = {Id, τ} Z/2, donde τ(x) = x−1 para
todo x ∈ S.
Tk = huk , vk i ≤ T y Bk = Tk · GL2 (3).
El espacio clasificador es BG = (B(Z/3∞ o Z/2))∧3 , y
satisface ΩBG ' (S3 )∧3 .
¿Por qué es importante encontrar y estudiar ejemplos exóticos?
Bk+1
e
V
(a) S = Z/3∞ .
(c) Ob(L) = {S}, con AutL (S) = Z/3∞ o Z/2.
¿Y por qué exoticidad?
(a) Cada ejemplo de grupo p-local compacto exótico muestra un comportamiento excepcional a la
vez que similar a los grupos de Lie compactos y
los grupos p-compactos. Son objetos interesantes de estudio individualmente.
(b) Tener una idea de los casos excepcionales es
fundamental para poder plantearse una clasficación de los grupos p-locales compactos.
Bibliografía
[BLO3]
[DRV]
[DW]
C. Broto, R. Levi, & B. Oliver, Discrete models for the p-local homotopy theory of compact Lie groups and p-compact groups, Geometry & Topology 11 (2007) 315–427
A. Díaz, A. Ruiz & A. Viruel, All p-local finite groups of rank two for odd prime p, Transactions of the American Mathematical Society 359 (2007), 1725-1764
W. G. Dwyer, C. W. Wilkerson, Homotopy fixed-point methods for Lie groups and finite loop spaces, Ann. of Math. (2) 139 (1994) 395-442