Unidad 9: Relatividad

Relatividad
9.1
Unidad 9: Relatividad
I. Introducción
1.
En la orilla de un río una persona lanza un objeto al aire y lo recoge. Sobre una barca que
avanza con un movimiento rectilíneo uniforme otra hace lo mismo. ¿Existe alguna
diferencia en la forma en que ambas personas observarán el juego?
Sabemos de cursos anteriores que para estudiar el movimiento necesitamos definir un sistema de
referencia. Si en el ejercicio anterior, situamos el sistema de referencia en la orilla, observamos que
el objeto lanzado por la persona sobre la barca se ha movido hacia delante a la misma velocidad de
que la barca. Sin embargo en la orilla, el mismo experimento produce una trayectoria vertical.
Situando el sistema de referencia en la barca, se aprecia el fenómeno contrario. Sin embargo, en
ambos sistema de referencia por separado, el comportamiento del lanzamiento es idéntico.
Durante muchos años, los físicos han intentado encontrar un sistema de referencia absoluto ya que
así todos los movimientos se convertirían en absolutos, sin embargo, los nuevos descubrimientos
fueron descartando sistemáticamente todos los candidatos (tierra, sol, galaxia, …)
Transformaciones de Galileo
Las expresiones matemáticas que permiten relacionar las observaciones realizadas en sistemas de
referencia distintos reciben el nombre de ecuaciones de transformación.
Galileo, estableció unas ecuaciones de transformación que resultaron revolucionarias porque
contradicen ideas que parecen de “sentido común”.
•
Si una mosca vuela en el interior de un tren que se mueve a velocidad constante, ¿queda
aplastada contra el final del tren?
•
Si tengo en la mano una bola de plomo y otra de idéntico radio pero de madera y las dejo
caer, ¿cuál llega antes al suelo?
Galieo desarrolla sus transformaciones, entre otras, a partir de las siguientes suposiciones:
1.
El espacio es euclídeo. En la geometría de Euclides se miden distancias con independencia
del observador y del tiempo.
2.
La distancia es universal e invariante. Esto significa que estamos inmersos en un espacio
absoluto.
3.
El tiempo es absoluto. Todos los observadores,
incluso en diferentes sistemas de referencia, miden
el mismo intervalo de tiempo independientemente
de la posición o el movimiento de dichos sistemas.
Supongamos que el observador O´ que se mueve en la
dirección del eje x con velocidad ⃗v constante con respecto
al observador O (sistema de referencia inercial ). Un
suceso ocurrido en P ( x , y , z) tendrá unas coordenadas
para O y unas coordenadas P (x ´ , y ´ , z ´ ) para O´ que
están relacionadas mediante las ecuaciones:
Relatividad
x ' =x – v t
y' =y
z ' =z
9.2
}
Que en general se escriben como:
vt
⃗r ' =⃗r – ⃗
Ecuaciones de transformación de Galileo
Se puede comprobar que mediante esta transformaciones la distancia entre dos puntos es fija:
Δ ⃗r =r⃗2 – r⃗1
Δ ⃗r ' =⃗r ' 2 – ⃗r ' 1=( r 2−v t )−(r 1−v t )=r 2−r 1=Δ r
Veamos ahora el valor de la velocidad:
•
Observador O → Observa una velocidad ⃗v
⃗v =
•
d ⃗r
dt
Observador O' → Se mueve con velocidad v y observa una velocidad ⃗v ' .
⃗v ' =
d ⃗r ' d ( ⃗r −⃗v t ) d ⃗r
=
=
−⃗v =⃗
v −⃗
v
dt
dt
dt
v −⃗v Transformación de velocidades de Galileo
⃗v ' =⃗
Esta transformación de velocidades es muy intuitiva:
1.
Viajas en un coche a 90 km/h detrás de otro a 100 km/h. Un tercer coche viaja a 100 km/h
en sentido contrario. ¿A qué velocidad se mueven ambos coches respecto al tuyo?
Veamos qué sucede para las aceleraciones:
•
a
Observador O → Observa una velocidad aceleración ⃗
dv
a= ⃗
⃗
dt
•
a'.
Observador O' → Se mueve con velocidad v y observa una aceleración ⃗
a
⃗ '=
d⃗
v ' d ( ⃗v − v
⃗ ) d ⃗v
=
=
−0=a
⃗
dt
dt
dt
Ambos observadores ven la misma aceleración (siempre que sean inerciales entre sí, es decir se
muevan entre sí con m.r.u.)
Por tanto si suponemos que la masa no varía si se observa desde un sistema de referencia o desde
otro, la 2ª ley de Newton es válida para ambos sistemas.
⃗ =m⋅⃗a
F
De todo esto se deduce el Principio de Relatividad de Galileo:
Las leyes físicas de la mecánica son las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales
En otras palabras: las leyes físicas de la mecánica tienen las mismas expresiones matemáticas para
dos observadores que se hallen con movimiento rectilíneo uniforme uno respecto del otro.
Relatividad
9.3
II. Relatividad restringida o especial
La búsqueda de un sistema de referencia absoluto encontró un aliado ideal en el “éter”. Esta
sustancia invisible e intangible, se introdujo para explicar la propagación de la luz como una onda
mecánica.
Las conclusiones de Maxwell sobre la luz (onda electromagnética que hacía innecesario el éter) y su
velocidad de propagación c, le permitió suponer que la noción de “éter” era incorrecta, resultado
que se confirmó con el experimento de Michelson-Morley.
1.
Viajas en un tren a 200 Km/h y emites un rayo de luz hacia el frente y otro hacia detrás ¿A
qué velocidad se mueven ambos rayos?
Michelson y Morley intentaban medir la influencia del viento del éter en la velocidad de la luz. Sin
embargo, sus resultados negativos permitieron concluir que no existía el éter y además que la
velocidad de la luz era siempre la misma independientemente del movimiento de la fuente
luminosa.
Hubo muchos intentos para explicar el experimento fallido. Uno de los más “extraños” fue el de un
físico inglés llamado Fitzgerald y otro holandés llamado Lorentz.
Ellos explicaban el resultado, como si la distancia recorrida por la luz se hubiese “acortado” en un
v2
factor 1 – 2 . El problema es que seguían manteniendo la idea de “éter”
c
√
Lo positivo fue que este factor se podía usar para intentar resolver las inconsistencias que surgían
entre la mecánica clásica y el electromagnetismo de Maxwell:
Según la transformación de Galileo un observador que viajase a la velocidad de la luz
en la misma dirección y sentido que un rayo de luz, mediría una velocidad relativa para
éste rayo de 0 m/s ( u ´ =u – v ). Los campos eléctricos del rayo serían estacionarios,
pero los campos eléctricos estacionarios no pueden inducir campos magnéticos, y por
tanto no podría existir el propio rayo.
Las transformaciones de Maxwell
Las ecuaciones de Maxwell deberían ser invariantes (mantener su forma) respecto a sistemas de
referencia inerciales. Lorentz descubrió que podía conseguir que fueran invariantes completamente
si reemplazaba las transformaciones de Galileo por:
x ' =γ( x – v t)
y' =y
z '=z
vx
t ' =γ t − 2
c
(
}
)
con
γ=
1
√
1–
v2
c2
En 1905, el físico alemán Albert Einstein, tras analizar las posibles consecuencias de la ausencia de
un sistema de referencia privilegiado (absoluto). Enunció su teoría de relatividad restringida,
fundamentándola en 2 postulados:
1.
Las leyes de la física se pueden expresar mediante ecuaciones que poseen la misma forma
(invariantes) en todos los sistemas de referencia inerciales entre sí.
2.
El valor de la velocidad de la luz en el vacío es una velocidad absoluta c=3⋅10 8 m/s para
todos los sistemas de referencia inerciales.
Relatividad
1.
9.4
Consecuencia directa de esto es el cambio en el concepto de simultenidad. ¿Sabrías decir
por qué?
Einstein se dio cuenta de que las transformaciones de Lorentz, lejos de ser un “arreglo matemático”
predecían que el tiempo dejaba de ser absoluto. Einstein las adoptó como transformaciones de
coordenadas (rotaciones) en un espacio tetradimensional (cuya matemática ya había sido
desarrollada por Minkowsky). Se abandonan entonces las tres suposiciones sobre las que desarrolló
Galileo sus transformaciones (espacio euclídeo y tiempo y espacio absolutos).
Métrica de Minkowsky
La métrica establece la forma de “medir distancias” en nuestro espacio. En el contexto de la
relatividad podemos hablar de espacios planos o curvos y caracterizarlos por la forma en que
medimos sus distancias. Cuando un espacio es plano, las distancias se miden en línea recta, como si
extendiésemos un metro sobre la superficie de un plano; sin embargo, si el espacio tiene geometría
esférica, para medir deberíamos extender nuestro metro “sobre” esa esfera, provocando que nuestro
resultado sea dependiente de la geometría del espacio. La forma del llamado tensor métrico
determina completamente la curvatura de nuestro espacio de trabajo y el cómo medir las distancias.
Es decir, la métrica es un identificador de la geometría del espacio de trabajo.
Veamos como aplicar todo esto a nuestro caso.
Si desde el origen de coordenadas lanzamos un rayo de luz, cumplirá que su distancia “espacial” al
origen será: √ x 2+ y 2 +z 2=ct o elevando al cuadrado:
2
2
2
2 2
x + y +z =c t
Esta ecuación representa una esfera cuyo radio (ct) va aumentando con el tiempo. Si emitimos luz
en el vacío, generamos una esfera de luz que va aumentando su radio a la velocidad de la luz. Esta
esfera, nos va a servir para establecer un “reloj” de manera que cada suceso le puede asignar un
tiempo. Este reloj es independiente de la posición del sistema de coordenadas en nuestro espacio de
referencia.
Con esta idea, se puede definir un tetravector de posición en el espacio de Minkowsky como
⃗r (ct , x , y , z)
donde ct nunca puede superar el límite de la esfera.
El módulo de cualquier vector se puede definir a partir de su producto escalar:
∣⃗r ∣2=c 2 t 2− x 2− y 2− z 2
que matemáticamente se puede expresar como:
∣⃗r ∣2=( ct
Donde la matriz
(
x
y
(
)
)( )
1 0
0
0 ct
0
x
z ) 0 −1 0
0 0 −1 0
y
0 0
0 −1 z
1 0
0
0
0 −1 0
0
η=
0 0 −1 0
0 0
0 −1
define la métrica de Minkowsky (tensor métrico).
En relatividad especial, η es siempre esta, con lo que el espacio-tiempo siempre es plano. En la
Relatividad
9.5
relatividad general, al introducir masas, η cambia produciéndose una deformación del espacio que
cambia la forma de medir distancias entre puntos.
En cualquier caso, el módulo de un vector es siempre un escalar, con lo que nos aseguramos que las
distancias entre puntos siempre son invariantes.
1
γ=
v
Si llamamos β= y
v2 podemos obtener las transformaciones de Lorentz para un
c
1– 2
c
r
(ct
,
x
,
y
,
z)
tetravector ⃗
√
( )(
ct '
γ
−β γ
x ' = −β γ
γ
y'
0
0
z'
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
)( )
ct
x
y
z
Transformación de velocidades
Al establecer con el segundo postulado que nada puede viajar más rápido que la luz, la
transformación de velocidades de Galileo tampoco nos vale. Debemos obtener unas nuevas
transformaciones:
•
Observador O → Observa una velocidad v
v x=
•
dx
dt
Observador O' → Se mueve con velocidad v y observa una velocidad v ' .
v ' x=
dx '
dt '
Diferenciando en las transformaciones: dx '=γ( dx – v dt )
(
y dt '=γ dt –
vdx
c2
)
podemos sustituir
y obtener
dx – v dt 
dx ' dx – v dt 
dt
v ' x=
=
=
dt '
vdx
vdx
dt – 2
dt – 2
c
c
dt



que nos da la transformación de velocidades para las x. También se puede seguir el mismo
procedimiento para las y y las z.
v ' x=
v x −v
vv
1− 2x
c
v ' y=
v y −v
vv
1− 2y
c
v ' z=
v z −v
vv
1− 2z
c
Transformación de velocidades
Relatividad
9.6
Dilatación temporal
Podemos emplear el “reloj de luz”, constituido por un cilindro en cuya base se emite luz y en cuya
tapa superior hay un espejo. El “reloj” se desplaza con una velocidad v. Si llamamos t al tiempo que
necesita un rayo de luz para ir de la base a la tapa y consideramos dos observadores O (parado) y O'
(ligado al reloj) inicialmente en la misma posición, nos damos cuenta enseguida que el camino
recorrido por el rayo de luz para O es mayor que el que aprecia O'.
1.
Si la velocidad de la luz es constante, obtén las distancias recorridas por la luz para cada
observador. Obtener también la distancia recorrida por el reloj según O en función de su
velocidad.
2.
Obtener una relación entre t y t' aplicando los resultados anteriores a la figura
Llamamos tiempo propio al intervalo de tiempo entre dos sucesos que ocurren en el mismo lugar
de un sistema de referencia. En el ejemplo de antes, esto ocurre para el observador O' por tanto t' es
el tiempo propio. Sin embargo, es fácil observar que t será siempre mayor que t'. A este aumento lo
llamaremos dilatación temporal.
Δ t=
3.
Δt'
√
1–
v2
c2
¿Por qué al viajar en un tren no observamos esta diferencia de tiempos?
Contracción de longitudes
La dilatación temporal se relaciona con otro fenómeno: la contracción de longitudes.
1.
Determina en el montaje anterior la longitud entre las posiciones x 1 y x2 del observador O'
medida por el observador O.
Es fácil darse cuenta de que ahora la longitud propia es L. Para evitar confusiones, es conveniente
unificar la notación usando el subíndice O para denotar los valores propios. Con esta notación
Δ t=
Δ tO
√
1–
√
v2
c2
Δ L=Δ LO 1 –
v2
c2
Relatividad
1.
9.7
Los muones son unas partículas 207 veces más pesadas que el electrón y cuya vida media es de 0,000002
segundos(la vida media es el tiempo que tarda en desintegrase la mitad de la población de partículas que se
tenía inicialmente).Estas partículas se generan por la interacción de los rayos cósmicos con la atmósfera y
viajan a velocidades cercanas a a la velocidad de la luz.
En 1963 David Frisch y James Smith realizaron un experimento en el que midieron el número de muones que
llegaban a la superficie terrestre. Realizaron dos mediciones a distinta altura, una en lo alto del monte
Washington y otra al nivel del mar. En la cima de la montaña registraron 568 muones por hora. A nivel del
mar, y de acuerdo con la ley de decaimiento de su vida media, debería registrarse tan solo 27 muones por
hora, sin embargo los científicos, al realizar la experiencia, detectaron 412 muones por hora. Parecía como si
a los muones les hubiese dado tiempo a llegar a la superficie terrestre antes de desintegrarse.
Explica este fenómeno desde el punto de vista del muón (contracción de longitudes) y desde el punto de vista
de un observador situado en la superficie de la tierra (dilatación temporal).
Simultaneidad
A primera vista, las resultados obtenidos contradicen nuestro sentido común. Se puede incluso
pensar que son incoherentes. ¿Cómo puede asegurar cada observador que es el reloj del otro el que
atrasa? La respuesta aparece al reflexionar sobre el concepto de simultaneidad y la sincronización
de los relojes.
Dos sucesos son simultáneos si ocurren en el mismo tiempo. Si además ocurren en el mismo lugar,
es fácil determinar que son simultáneos. Sin embargo, si ocurren en lugares distintos, aparece un
retraso entre el instante en que ocurre el suceso y el instante en que se percibe la información (la
velocidad de la luz es finita) en la posición del observador.
La simultaneidad deja de ser un concepto absoluto, aunque con algunos cálculos se pueden
comparar las observaciones y que O' indique si un suceso que observa es absoluto para O.
III. Dinámica Relativista
Hasta lo visto, Einstein ha realizado una crítica de los conceptos básicos de cinemática. Ello exige a
su vez una revisión de los conceptos de dinámica clásica como la conservación de la energía o de la
cantidad de movimento.
El 27 de Septiembre de 1905, añade como una posdata al artículo de la Relatividad Especial un
corto trabajo de tres páginas, titulado"¿Depende la inercia de un cuerpo de su contenido en
energía?",en el que muestra una deducción de la Teoría de la Relatividad Especial estableciendo
una equivalencia entre masa y energía.
( Ec , p , p , p )
Si definimos el tetravector energía-momento como
x
y
z
donde ⃗p =m( γ ⃗v )
Calculando su longitud según la métrica de Minkowsky
(
⃗ ∣2=
∣EM
E
c
px
py
pz
(
)
1 0
0
0
0 −1 0
0
0 0 −1 0
0 0
0 −1
)( )
E
c
px
py
pz
Relatividad
9.8
Se obtiene el invariante energía-momento
E2
2
–p
2
c
que tiene dimensiones de masa por velocidad al cuadrado. Podemos escribir
E2
– p2 =m2 c 2
2
c
Con lo cual el invariante se puede reescribir como:
E 2 – p2 c 2=m2 c4
Es decir, el valor de la energía y el de la cantidad de movimiento depende del sistema de referencia
elegido para medir, sin embargo, la masa es invariante en cualquier sistema de referencia.
Si reescribimos la ecuación:
E 2=( p c)2+( mc2)2
resulta ser una relación Pitagórica.
Observaciones importantes:
•
•
v pc
= =sen θ<1 como era de esperar
c E
Si el objeto se encuentra en reposo (respecto al sistema de referencia), su momento cinético
es 0, con lo cual
E=mc2
La masa es por tanto otra forma de manifestarse la energía.
•
Si el objeto no tiene masa E= pc con lo que
v pc pc
= = =1 Es decir, que una partícula
c E pc
sin masa debe viajar a la velocidad de la luz.
•
Si se hace un desarrollo en serie de Taylor de la expresión queda en primera aproximación:
1
2
2 2
2
2
E= √( pc) +( mc ) ≈mc + m v
2
IV. Introducción a la relatividad general
En 1914, Einstein generalizó la teoría de la relatividad a sistemas de referencia acelerados.
Reflexionó sobre la presencia de dos masas m en la física clásica: una inercial ( F =ma ) y otra
Mm
gravitatoria F =−G 2
r
(
)
Principio de equivalencia
Las masas inercial y gravitatoria de un objeto son siempre iguales.
Este principio hace indistinguible un campo gravitatorio de una aceleración del sistema de
Relatividad
9.9
referencia de igual magnitud, por tanto las leyes de la física se deben expresar de igual forma.
El principio se aplica a partículas con masa y a partículas sin masa, ya que E=pc, es decir, se puede
“asignar” una masa a la energía de la partícula. Esto debería provocar una ligera curvatura de los
rayos de luz cerca de campos gravitatorios intensos. Esto quiere decir que nuestro “reloj” de luz
funciona mal cerca de campos gravitatorios intensos. La esfera ahora tiene una forma más
complicada y x 2+ y 2+z 2 =c 2 t 2 asumido en relatividad especial ya no vale.
Recordemos que de esta relación se obtenía la métrica con la que trabajar. El hecho de que haya un
campo gravitatorio cerca nos lleva a una métrica distinta de la de Minkowsky:
Las masas producen una curvatura del espacio-tiempo de manera que tanto la luz como las
partículas se mueven siguiendo geodésicas.
Las ecuaciones de la relatividad general exceden el nivel matemático de esta curso. Nos vamos a
limitar a presentar algunas predicciones que realizó Einstein que fueron comprobadas
experimentalmente:
•
Desviación de rayos de luz al pasar cerca del sol. Se observó en 1919 durante un eclipse.
Una estrella cuya posición era conocida se observó en una posición distinta y la desviación
era compatible con lo predicho por la teoría de la relatividad (no se comprobó antes debido a
la 1ª Guerra Mundial).
•
El perihelio de Mercurio va girando lentamente alrededor del sol. Con sus ecuaciones,
Einstein consiguió explicarlo y además el valor que salía de las ecuaciones (43” por cada
siglo) coincidió con el observado en 1859.
•
Desplazamiento al rojo de la luz emitida por estrellas muy masivas. Tubo que esperar la
comprobación experimental hasta 1960.
•
Predice la existencia de agujeros negros, que son objetos tan masivos que no dejan escapar
la luz de su campo de acción. Actualmente, se han desarrollado métodos para detectarlos.
1.
En un agujero negro, la velocidad de escape es c. Obtener la expresión del radio que debe
tener un agujero negro en función de su masa (radio de Schwarzchild). Determina el radio
al que debemos reducir la tierra y el sol para que se conviertan en agujeros negros.
V. Ejercicios
1.
Se deja caer un cuerpo en el interior de un ascensor desde una altura de 2 m. Determina a
qué altura sobre el suelo del ascensor se encontrará el cuerpo al cabo de 0,5 s en los
siguientes casos.
a) El ascensor se encuentra parado.
b) El ascensor sube con un mru de velocidad 1 m s–1.
2.
Si una nave que viaja a una velocidad de 0,6c, respecto a la Tierra lanza un haz láser en su
misma dirección y sentido, determina la velocidad de este haz respecto a la Tierra.
3.
Una nave espacial viaja a 0,7c respecto de la Tierra. Calcula qué velocidad debe llevar otra
nave espacial para adelantar a la primera con una velocidad relativa de 0,5c.
4.
Una nave se aleja de la Tierra a una velocidad de 0,8c. En un momento dado, la nave dispara
un proyectil en su misma dirección y sentido, que se mueve respecto a la nave a una
velocidad de 0,6c. Determina con qué velocidad se mueve el proyectil respecto a Tierra.
5.
Una nave espacial viaja a una velocidad constante de 0,8c. Al pasar cerca de la Tierra, mide
el diámetro de esta. Indica qué distancia medirá suponiendo que el diámetro exacto de la
Relatividad
9.10
Tierra (medido desde la propia Tierra) es 1,274 · 10 7 m. Comprueba si es aceptable en este
v2
v2
caso la aproximación 1− 2 ≈1 – 2 .
c
2c
√
6.
Un avión con una longitud propia L0 = 14 m vuela paralelo al suelo con una velocidad de
600 m s–1. Determina lo que se ha acortado el avión para un observador fijo en el suelo.
Realiza el mismo cálculo utilizando la fórmula aproximada.
7.
El periodo de semidesintegración de una partícula elemental es de 2,5 · 10 -8 s. ¿Cuál sería el
periodo medido si dichas partículas fueran aceleradas hasta alcanzar velocidades de 0,7c
respecto al observador?
8.
Un cometa viaja con una velocidad de 220 000 km h –1. Calcula el porcentaje del tamaño de
su cola en reposo que mide un observador que se encuentre en la Tierra.
9.
Un ejemplo sorprendente de la dilatación del tiempo junto con la contracción de longitud se
presenta en la desintegración de partículas inestables como los mesones. Estos mesones se
crean en lo alto de la atmósfera por la acción de los rayos cósmicos que llegan a la Tierra
procedentes del espacio y alcanzan el nivel del mar en grandes cantidades. Su velocidad es
0,998c y se desintegran originando un electrón con un periodo de semidesintegración de
2·10–6 s después de comenzar su existencia, luego, teóricamente, solo pueden recorrer una
distancia de:
y = v t0 = 2,994 · 108 (m s–1) · 2 · 10–6 (s) = 660 m
Sin embargo, comienzan a existir a alturas 10 veces mayores. Resuelve este enigma.
10.
Aunque la contracción de Lorentz-Fitzgerald es real en el sentido de que es comprobable
mediante mediciones adecuadas, una fotografía de un objeto en movimiento relativo muy
rápido estaría distorsionada dependiendo de la dirección desde la que se tomara la fotografía
y de la relación v/c. Explica este hecho.
11.
Una caja cúbica con un volumen en reposo de 27 m 3 está sobre un camión que se mueve por
una carretera recta a 50 m s–1. Si la velocidad de la luz en el vacío fuese solo de 100 m s –1,
¿cuál sería el volumen de la caja para un observador al pie de la carretera?
12.
Indica a qué velocidad debe viajar una nave espacial que se dirige a Sirio (estrella que se
encuentra a unos 8 años luz de la Tierra) para que la distancia a la estrella se reduzca 100
veces.
13.
En un laboratorio se han ajustado dos relojes idénticos para que suene un “tic” cada
segundo. Uno de los relojes se mueve con una velocidad 0,6c y el otro se encuentra
estacionario. ¿Cuál es el tiempo que transcurre entre dos “tic” del reloj móvil cuando el
intervalo es medido por el reloj estacionario?
14.
Un satélite se encuentra situado en una órbita geoestacionaria a una altura de 36 000 km
sobre la superficie de la Tierra y, por tanto, da una vuelta a esta cada 24 h.
a)¿Cuánto tardará el reloj del satélite en retrasarse 1 s respecto de los relojes terrestres?
b)Indica alguna situación en la que es necesario tener en cuenta este tipo de retrasos.
15.
Una nave espacial abandona la Tierra a la velocidad de 0,98c. Determina el tiempo que
necesita el minutero de un reloj de la nave en efectuar una revolución completa si la
medición la realiza un observador situado en la Tierra.
16.
El fenómeno de la dilatación del tiempo ha dado origen a la famosa “paradoja de los
gemelos”, en la que el envejecimiento biológico es el “reloj” en los sistemas S y S’ en
movimiento relativo. Supóngase dos hermanos gemelos, uno de los cuales abandona la
Relatividad
9.11
Tierra a los 15 años en un viaje de ida y vuelta a una estrella que dista 4,4 años luz a una
velocidad de 0,8c; por tanto, el tiempo de ida y vuelta es 11 años. El gemelo que queda en la
Tierra habrá envejecido 11 años al regreso del otro. El gemelo viajero, que se ha movido
respecto a la Tierra, habrá envejecido en una 6,6 años.
Pero el problema se hace confuso cuando se examina desde el punto de vista del gemelo
viajero: para él, la Tierra también se mueve respecto a un sistema de referencia fijo en su
propia nave. Como la Tierra “tarda en regresar” 11 años, el navegante habrá envejecido 11
años y el que permanece en la Tierra solo 6,6 años. Resuelve esta aparente paradoja.
17.
Determina la energía de un electrón que se mueve a la velocidad de 0,9c sabiendo que su
masa medida por un observador en reposo respecto al electrón es de me = 9,1·10–31 kg. Si esa
energía se considerase como masa para un observador externo al electrón ¿Qué masa tendrá
el electrón?
18.
En el acelerador de partículas del CERN se tienen protones de es 1,67 · 10 –27 kg moviéndose
a velocidades de 0,9c dentro de unos tubos. Averigua la masa que tendrán que utilizar los
científicos en sus cálculos para evitar que se choque con las paredes.
19.
Calcula la energía que se podría obtener de la conversión completa en energía de 1 g de
carbón en reposo (si eso fuese posible). Compáralo con el poder calorífico del carbón
(35.000 kJ/kg)
20.
Una partícula tiene una energía cinética de 62 MeV y una cantidad de movimiento de
1,75·10–19 kg m s–1. Determina su masa en reposo y su velocidad.
21.
Calcula a qué velocidad tiene que moverse un cuerpo para que su energía total sea el doble
de la que tenía en reposo.
22.
Una partícula de masa en reposo m0 = 2,4 · 10 –28 kg viaja con una velocidad v = 0,8c,
siendo c la velocidad de la luz en el vacío. ¿Cuál es la relación entre su energía cinética
relativista y su energía cinética clásica?
23.
¿Por qué la luz es atraída por los campos gravitatorios al igual que lo son objetos con masa?
24.
Una estrella convierte parte de su masa en energía y la emite en forma de radiación. Al
emitir una energía E, la masa disminuye a E/c2. ¿A qué velocidad debe convertirse la masa
en energía para producir 30 MW