F´ısica Matemática 2 Examen Nombre 1. La ecuación de equilibrio

Fı́sica Matemática 2
Examen
Nombre
1. La ecuación de equilibrio hidrostático para un objeto autogravitante, esférico en Relatividad
General es
dP
m + 4πr3 P
= R = 0.
(1)
+ (ρ + P )
dr
r (r − 2m)
donde
Z
m(ρ) = m(r) = 4π
r
ρr̄2 dr̄,
y
Pr = Pr (ρ).
(2)
0
Considere que perturbamos la densidad de la forma ρ + δρ, con lo cual las perturbaciones en
la ecuación 1 hasta primer orden se pueden escribir
R(ρ + δρ, ρ + δρ, P + δP, m + δm, r) = R(ρ, P, m, r) + δR = R + A(ρ, P, m, r)δρ
encuentre la expresión para la A(ρ, P, m, r)1 . (5 ptos)
2. Soponga que una función cualquiera
Φ(R) =
∞
X
n=0
An R n =
∞
X
C n Pn (R)
(3)
n=0
Es decir, la función Φ(R) se puede expandir en series de potencias y en series de polinomios
de Legendre. Encuentre la relación entre los coeficientes An y C n
Considere ahora dos sistemas de coordenadas que se encuentran relacionados con la siguiente
transformación
p
R = a (1 + ξ 2 ) (1 − η 2 )
y
z = aξη
(4)
Hacemos una transformación de coordenadas Φ(R) → Φ(ξ, η). Entonces, para plano ecuatorial, es decir el caso ξ = 0 podemos escribir:
Φ(R) =
∞
X
n=0
An R n
→ Φ(ξ = 0, η).
∞
X
C n Pn (η)
(5)
n=0
Una vez mas, encuentre la relación entre los coeficientes An y C n . (5 ptos)
3. Un problema muy actual es explicar la curva de rotación de las estrellas en los brazos espirales
de las galaxias. Es sin duda uno de los mayores misterios que hoy enfrentamos. Para explicar
ese comportamiento anómalo se invoca la existencia de una cantidad importante de materia
no luminosa, es decir materia que no vemos y no podemos detectar mas que por sus efectos
gravitacionales. En un artı́culo de hace unos años2 Se presentan datos para las curvas de
rotación en varias galaxias.
1
Suponga que el gradiente de presiones d P/d r no se ve afectado por las perturbaciones δρ
M. A. W. Verheijen y R. Sancisi. The Ursa Major cluster of galaxies. IV. HI synthesis observations. Astronomy
and Astrophysics, 370:765? 867, 2001.
2
Luis A. Núñez
Universidad Industrial de Santander, Bucaramanga
1
Fı́sica Matemática 2
Examen
a) Seleccione los datos correspondientes a las curvas de rotación de la galaxia NGC4389,
grafique esos datos y ajústelos con una expansión en polinomios de Legendre.
b) De sus cursos de Fı́sica elemental se puede inferir que en el plano ecuatorial de la galaxia
∂Φ(R, z) 2
(6)
v =R
∂R z=0
donde v es la velocidad tangencial de las estrellas y Φ(R, z). Entonces, encuentre la
gráfica del potencial gravitacional que genera esa distribución de velocidades.
c) Encuentre también la gráfica de la distribución de densidad y masa de la galaxia suponiendo que las estrellas son partı́culas de prueba y todo está restringido al plano
ecuatorial (5 ptos)
Luis A. Núñez
Universidad Industrial de Santander, Bucaramanga
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