Ejercicios y Soluciones.

Teorı́a de las decisiones y de los juegos 2007 - 2008
Grupo 01 y 51
Ejercicios - Tema 2
Juegos estáticos con información completa
1. (a) Demuestra que si una estrategia es estrictamente dominada no formará parte
de ningún equilibrio de Nash en estrategias puras.
solucion
Supongamos que el jugador i tiene una estrategia, si1 estrictamente dominada
por si2 , y forma parte de un equilibrio de Nash s∗ . Es decir, ui (si1 , s−i ) <
ui (si2 , s−i ) para cada s−i y s∗i = si1 . Entonces, ui (si2 , s∗−i ) > ui (si1 , s∗−i ) =
ui (s∗ ). Este quiere decir que el jugador i no est maximizando su pago, asi que
s∗ no es un equilibrio de Nash.
(b) Demuestra que si una estrategia es estrictamente dominada no formará parte
de ningún equilibrio de Nash en estrategias mixtas.
solución
Supongamos que el jugador i tiene una estrategia, si1 estrictamente dominada
por si2 , y forma parte de un equilibrio mixto de Nash p∗ . Es decir, ui (si1 , s−i ) <
ui (si2 , s−i ) para cada s−i y p∗i1 > 0. Considera la estrategia mixta σ i definida
por σ i1 = 0, σ i2 = p∗i1 + p∗i2 , σ ik = p∗ik para k > 2. Entonces
X
σ ik ui (sik , p∗−i )
ui (σ i , p∗−i ) = σ i1 ui (si1 , p∗−i ) + σ i2 ui (si2 , p∗−i ) +
k>2
mientras
ui (p∗i , p∗−i ) = p∗i1 ui (si1 , p∗−i ) + p∗i2 ui (si2 , p∗−i ) +
X
p∗ik ui (sik , p∗−i )
k>2
.
Por tanto,
ui (σ i , p∗−i ) − ui (p∗i , p∗−i ) = p∗i1 (ui (si2 , p∗−i ) − ui (si1 , p∗−i )) > 0
Es decir, el jugador i puede desviarse unilateralmente de p∗i y mejorar su pago.
2. Demuestra que si (s∗1 , s∗2 ) es un equilibrio de Nash en estrategias puras del juego de 2
personas G = {S1 , S2 ; u1 , u2 } entonces también lo será del juego G0 = {S1 , S2 ; v1 , v2 }
donde vi (si , sj ) = αui (si , sj ) + β para todo perfil (si , sj ) ∈ S y donde α > 0 y β ∈ IR
son constantes.
SOLUCIÓN: Supongamos que (s∗1 , s∗2 ) es un equilibrio de G pero no de G0 . En
este caso existe un jugador i y una estrategia si 6= s∗i tal que vi (si ; s∗−i ) > vi (s∗i ; s∗−i ).
Pero entonces
ui (si ; s∗−i ) = (vi (si ; s∗−i ) − β)/α > (vi (s∗i ; s∗−i ) − β)/α = ui (s∗i , ; s∗−i ),
lo que contradice que s∗ es un equilibrio del juego G.
1
3. Calcula todos los equilibrios de Nash y los pagos correspondientes del juego en forma
normal definida por la siguiente matriz de pagos:
1\2
I
A (2, 1)
B (1, 2)
D
(0, 2)
(3, 0)
SOLUCIÓN: No existe equilibrio en que un jugador utiliza sólo una estrategia.
Asi, supongamos que ((p, 1 − p), (q, −1 − q)) es un equilibrio en estrategias mixtas.
Para que sea óptimo utilizar las dos estrategias, el jugador 1 tiene que ser indiferente.
Es decir, A y B obtiene el mismo pago.
2(q) + 0(1 − q) = 1(q) + 3(1 − q).
Por tanto, q = 3/4.
Para que sea óptimo utilizar las dos estrategias, el jugador 2 tiene que ser indiferente.
Es decir, I y D obtiene el mismo pago.
1(p) + 2(1 − p) = 2(p) + 0(1 − p).
Por tanto, p = 2/3.
4. Alfonso (A) y Bernardo (B) son dos hermanos que han sido arrestados bajo sospecha
de haber cometido un crimen juntos. Ambos permanecen en celdas separadas. A
cada uno se le da la oportunidad de confesar el crimen e incriminar al otro. Si
sólo uno de ellos escoge esta opción, este es premiado con la libertad mientras su
compañero sufre una pena de 10 años. Si ambos confiesan, la evidencia recolectada
es suficiente para condenar a ambos con una pena de 5 años. En cambio si ninguno
confiesa no hay suficientes pruebas y ambos son condenados a 1 año de prisión.
(a) Escribir el juego en forma normal y la matriz de pagos del juego.
SOLUCIÓN:
1\2
C
NC
C
(−5, −5) (0, −10)
N C (−10, 0) (−1, −1)
(b) Hallar el equilibrio de Nash en estrategias puras. ¿Es el equilibrio de Nash
eficiente en el sentido de Pareto? Explicar. ¿Qué alternativa maximiza los
pagos conjuntos?
solución (C, C). No es eficiente en el sentido de Pareto porque el resultado
(N C, N C) sera mejor para los dos.
2
(c) Vamos a considerar una variante de este juego, es el dilema del prisionero con
preferencias altruistas. Los jugadores A y B son hermanos de modo que la
utilidad de A afecta la utilidad de B y viceversa. Supongamos que la utilidad
de A es UA = uA +αuB , analogamente para B, UB = uB +αuA , donde uj son los
pagos del jugador j = A, B y α > 0 una constante. ¿Cuál es la interpretación
de α > 0? Halla la matriz de pagos para las utilidades Uj , j = A, B.
solución
1\2
C
NC
C
NC
(−5 − 5α, −5 − 5α)
(−10α, −10)
(−10, −10α)
(−1 − α, −1 − α)
(d) Halla el/los equilibrio(s) de Nash en estrategias puras en función de α.
solución
Para cada jugador i
M Ri (C) = {C} si −5 − 5α > −10, es decir si α < 1
M Ri (C) = {N C} si −5 − 5α < −10, es decir si α > 1
M Ri (C) = {C, N C} si −5 − 5α = −10, es decir si α = 1
M Ri (N C) = {C} si −10α > −1 − α, es decir si α < 1/9
M Ri (N C) = {N C} si −10α < −1 − α, es decir si α > 1/9
M Ri (N C) = {C, N C} si −10α = −1 − α, es decir si α = 1/9
Entonces, los equilibrios en estrategias puras son
(C,C) si α ≤ 1
(NC,NC) si α ≥ 1/9.
(e) Halla el/los equilibrio(s) de Nash en estrategias mixtas en función de α.
solucion
Si α < 1/9, NC domina estrictamente C, asi que no equilibrio es estrategias
mixtas existe. Si α > 1 NC domina estrictamente a C, asi que no equilibrio en
estrategias mixtas existe.
Si α = 1/9, y uno de los dos jugadores utiliza las dos estrategias con probabilidad positiva, el otro jugador tiene solo C como mejor respuesta. En este caso
solo (C, C) es un equilibrio y no existe equilibrio en estrategias mixtas.
Si α = 1, y uno de los dos jugadores utiliza las dos estrategias con probabilidad
positiva, el otro jugador tiene solo NC como mejor respuesta. En este caso solo
(N C, N C) es un equilibrio y no existe equilibrio en estrategias mixtas.
Supongamos pues que α ∈ (1/9, 1), y calculamos un equilibrio en estrategias
mixtas ((p, 1 − p), (q, 1 − q)). Indiferencia por parte del jugador 1 dice:
(−5 − 5α)q + (−10α)(1 − q) = −10q + (−1 − α)(1 − q).
3
q(−5 − 5α + 10α + 10 + (−1 − α)) = −1 − α + 10α
9α − 1
q=
4 + 4α
Observa que α ∈ (1/9, 1) implica que 0 < q < 1. Por simetria se halla exactamente la misma solucin para p:
p=
9α − 1
4 + 4α
(f) Halla todos los valores de α para los cuales los jugadores cooperan en (algún)
equilibrio.
solución (C, C) es un equilibrio cuando α ≥ 1/9.
5. Considera una subasta simultánea con información completa en la que los valores
del bien para los dos jugadores son v1 = 5 y v2 = 3. Todas las pujas deben ser
múltiplos de 2 euros. Escribir la forma normal de la subasta al primer precio (el
jugador con la mayor puja gana el articulo y paga su puja). Si hay empate entonces
los dos tienen un pago de 0. (Puedes suponer que nadie pensar en ofrecer 6 o mas.)
(a) ¿Cuál es la predicción a base de la eliminación reiterativa de estrategias dominadas.
solución En forma normal tenemos
1\2
0
2
4
0 (0, 0) (0, 1) (0, −1)
2 (3, 0) (0, 0) (0, −1)
4 (1, 0) (1, 0) (0, 0)
No hay estrategias estrictamente dominadas! Si consideramos estrategias débilmente
dominadas, podrı́amos eliminar primero 4 para jugador 2, y luego 0 para jugador 1. También podrı́amos eliminar primero 0 para el jugador 1 y luego 4
para el jugador 2. En el juego que resulta el jugador 2 siempre tiene un pago
igual a 0, asi que cualquier estrategia es óptima para él.
(b) Halla los equilibrios de Nash y los pagos correspondientes.
solución
Sea ((p1 , p2 , 1 − p1 − p2 ), (q1 , q2 , 1 − q1 − q2 )) un equilibrio de Nash (en estrategias
puras o mixtas).
Consideremos primero las opciones en el caso de que p1 > 0. En este caso la mejor
respuesta del jugador 2 es pujar 2, es decir q2 = 1. Pero la mejor respuesta del
jugador 1 entonces sera pujar 4, es decir p1 = p2 = 0. Asi que no existe ningun
equilibrio en la cual el jugador 1 elige pujar 0 con probabilidad positiva.
4
Consideremos ahora un equilibrio en la cual el jugador 2 utiliza 4 con probabilidad
positiva. Solo es ptima si el jugador 1 elige 4 con seguridad. Los equilibrios de este
tipo son, entonces (p, q) = (0, 0, 1), (q1 , q2 , q3 ) con q3 > 0 y q1 + q2 ≥ 3q1 .
Para determinar los demás equilibrios, solo tenemos que considerar estrategias en
la cual el jugador 1 elige 2 o 4 (p = (0, p2 , 1 − p2 )) y el jugador 2 elige 0 o 2
(q = (q1 , 1 − q1 , 0)).
Obviamente, cualquier estrategia q = (q1 , 1 − q1 , 0) es óptima contra p porque el
jugador 2 siempre obtiene 0 con estas estrategias y no puede conseguir más.
EN en estrategias puras son (p, q) = ((0, 1, 0), (1, 0, 0)) y (p, q) = ((0, 0, 1), (0, 1, 0)).
Tambien son equilibrios de Nash (p, q) = ((0, 0, 1), (q1 , 1 − q1 , 0)), siempre que 3q1 ≤
1. Tambien son equilibrios de Nash (p, q) = ((0, 1, 0), (q1 , 1 − q1 , 0)), siempre que
3q1 ≥ 1. Finalmente, los equilibrios de Nash donde el jugador 1 utiliza sus dos
estrategias 2 y 4 con probabilidad positiva son (p, q) = (0, p2 , 1 − p2 ), (1/3, 2/3, 0)
para cualquier 0 < p2 < 1.
6. Sea el juego en forma normal G = {S1 = {A, M, B}, S2 = {I, C, D}, u1 , u2 } cuyos
pagos están resumidos en la matriz de pagos:
1\2
I
A (4, 2)
M (1, 1)
B (0, 1)
C
(0, 0)
(1, 5)
(3, 5)
D
(0, 1)
(1, 0)
(3, 0)
(a) Calcula los equilibrios que se obtienen aplicando el proceso de eliminación
iterativa de estategias dominadas.
SOLUCIÓN D es dominada por I, y M es dominada por 0.5A + 0.5B!. No se
obtiene una solución (unica).
(b) Halla los equilibrios de Nash en estrategias puras.
SOLUCIÓN Despues de la eliminacion del apartado anterior, quedan (A,I) y
(B,C) como EN en estrategias puras.
(c) Calcula la correspondencia de mejor respuesta del jugador 2 ante cualquier
estrategia mixta (p1 , p2 , 1 − p1 − p2 ) del jugador 1.
SOLUCIÓN La mejor respuesta nunca incluye D (porque es dominada). I es
mejor respuesta cuando
2p1 + p2 + (1 − p1 − p2 ) ≥ 5p2 + 5(1 − p1 − p2 )
es decir, cuando p1 ≥ 2/3. Entonces C es mejor respuesta cuando p1 ≤ 2/3.
(d) Calcula la correspondencia de mejor respuesta del jugador 1 ante cualquier
estrategia mixta (q1 , q2 , 1 − q1 − q2 ) del jugador 2.
5
SOLUCIÓN La mejor respuesta nunca incluye M (porque es dominada). A
es mejor respuesta cuando
4q1 ≥ 3q2 + 3(1 − q1 − q2 )
es decir, cuando q1 ≥ 3/7. Entonces B es mejor respuesta cuando q1 ≤ 3/7.
¡
¢ ¡
¢
(e) El perfil p1 = 13 , p2 = 13 , 1 − p1 − p2 = 31 y q1 = 13 , q2 = 13 , 1 − q1 − q2 = 13 ,
¿es un equilibrio de Nash?
SOLUCIÓN NO, por ejemplo porque no puede ser que el jugador 2 utiliza D
(f) Halla los equilibrios de Nash en estrategias mixtas.
SOLUCIÓN Los apartados anteriores indican que en un equilibrio mixto no
se utilizan M ni D, y indiferencia por parte de los jugadores entre los demás
estrategias implica (p, q) = ((2/3, 0, 1/3), (3/, 4/7, 0)).
Ej. 7. Considera dos empresas que compiten en el mismo mercado. Ambas eligen simultáneamente las cantidades a producir: q1 , q2 ≥ 0. La función inversa de demanda de mercado es p (q) = max {0, 10 − q}, donde q = q1 + q2 . Ambas empresas
tienen la misma tecnologı́a representada por la función de costes:
½
2qi + k si qi > 0;
C (qi ) =
0
si qi = 0.
Donde k ∈ [0, 16] es un coste fijo de producción (la publicidad, por ejemplo).
(a) Escribir el juego en su forma normal.
Solución. {{1, 2}, R+ , R+ , u1 , u2 } donde
½
0
si qi = 0;
ui (q1 , q2 ) =
qi max{0, 10 − q1 − q2 } − (2qi + k) si qi > 0.
½
0
si qi = 0;
=
qi max{0, 10 − q1 − q2 } − 2qi − k si qi > 0.
(b) Analizar el problema de la empresa 1 dado k y dada la oferta de la empresa 2.
Calcular la función de reacción de esta empresa y represéntala gráficamente.
Solución. Si la empresa 1 produce 0 obtiene 0. Si es óptimo producir una
cantidad positiva q1 > 0, entonces automáticamente se ha de verificar 10 − q1 −
q2 > 0 (si no, serı́a mejor producir q1 = 0, una contradicción). ¿Cuál es esta
cantidad positiva q1 ? Pues, como los beneficios en este caso son q1 (10 − q1 −
q2 ) − 2q1 − k la condición de primer orden (CPO) es:
8 − q2 − 2q1 = 0.
6
Por tanto, q1 = (8 − q2 )/2 con beneficios
q1 (10 − q1 − q2 ) − 2q1 − k =
=
=
=
=
(8 − q2 )
(8 − q2 )
(8 − q2 )
(10 −
− q2 ) − 2
−k
2
2
2
(8 − q2 )
q2
(8 − q2 )
(6 − ) − 2
−k
2
2
2
(8 − q2 )
q2
(4 − ) − k
2
2
(8 − q2 ) (8 − q2 )
−k
2
2
¶2
µ
(8 − q2 )
−k
2
Además, como es óptimo producir la cantidad positiva q1 > 0 (y no la cantidad
0), estos beneficios
son positivos (o cero). Es decir, (8 − q2 )2 ≥ 4k. Por tanto,
√
q2 ≤ 8 − 2 k. Ası́ que,
√
½
0
si q2 ≥ 8 − 2√k;
R1 (q2 ) =
(8−q2 )
si q2 ≤ 8 − 2 k.
2
Análogamente,
½
R2 (q1 ) =
0
(8−q1 )
2
√
si q1 ≥ 8 − 2√k;
si q1 ≤ 8 − 2 k.
(c) Calcular los equilibrios de Nash en estrategias puras en función de k.
Solución. (i) Un posible equilibrio de Nash es cuando exactamente una empresa produce cero. Por ejemplo, q1 = 0. En este caso lo mejor para la empresa
2 es producir q2 = (8 − 0)/2 = 4. Esto le da un beneficio igual a
4(10 − 0 − 4 − 2) − k = 16 − k ≥ 0.
Pero para que sea óptimo
para √
la empresa 1 producir 0 cuando q2 = 4 necesi√
tamos que 4 ≥ 8 − 2 k, o sea, k ≥ 2. Es decir, k ≥ 4.
Obviamente, cuando se cumple esta condición (k ≥ 4) también q1 = 4 y q2 = 0
constituyen un equilibrio de Nash.
(ii) Otro posible equilibrio es que las dos empresas producen cero.√Producir 0
cuando lo hace la otra empresa es óptimo si y sólo si 0 ≥ 8 − 2 k, es decir
cuando k ≥ 16. Como sabemos que k ∈ [0, 16], concluimos que se da este
equilibrio en el caso k = 16.
(iii) Finalmente, puede haber un equilibrio en el que las dos empresas producen
una cantidad positiva. En este caso, q1 = (8−q2 )/2 y q2 = (8−q1 )/2. Entonces
q1 = q2 = 8/3. Pero producir una√
cantidad positiva según√
la función de reacción
es óptimo si y sólo si 8/3 ≤ 8 − 2 k. Es decir, cuando 2 k ≤ 8 − 8/3 = 16/3.
Es decir, cuando k ≤ 64/9 ≈ 7.11.
7
Ej. 8. Sea un juego con tres jugadores, S1 = {A, B}, S2 = {I, D}, S3 = {α, β} y las
matrices de pago representan los pagos de los jugadores las distintas combinaciones
de estrategias, donde el primero pago corresponde con el jugador 1, el segundo pago
con el jugador 2 y el tercer pago con el jugador 3. Hallar los equilibrios de Nash en
estrategias puras y los pagos correspondientes:


I
D
I
D
 1\2
 1\2
A (2, 2, −2)
(0, 0, 0)
A (6, 6, −12) (0, 0, 0)
α
β


B
(0, 0, 0) (8, 8, −16)
B
(0, 0, 0)
(2, 2, −4)
Solución. Comprobando cada una de las celdas se ve que (A, I, α) y (B, D, β) son
los únicos equilibrios de Nash en estrategias puras:


I
D
I
D
 1\2
 1\2
A (2, 2, -2)
(0, 0, 0)
A (6, 6, −12) (0, 0, 0)
α
β


B
(0, 0, 0) (8, 8, −16)
B
(0, 0, 0)
(2, 2, -4)
Ej. 9. Tres empresas deben decidir si invertir en Investigación, Desarrollo e Innovación
(I+D+I). Supongamos que toda empresa que invierte es exitosa y consigue una
mayor cuota de mercado siempre y cuando las empresas competidoras no invierten.
Si una empresa invierte mientras sus rivales no lo hacen ésta tiene unos beneficios
extraordinarios de 10 unidades monetarias (u.m.); las otras empresas tendrı́an unas
perdidas de 1 u.m. cada una, un pago de -1, representando ası́ la perdida de poder
de mercado. Si dos empresas invierten, los beneficios extraordinarios se reducen a
5 y la empresa que ha decidido no invertir obtiene -2 u.m. Si ninguna invierte o si
todas deciden invertir los beneficios extraordinarios se reducen a cero.
(a) Escribir el juego en forma normal y la matriz de pagos del mismo.
Solución.

 1\2
I
I

NI
I
(0, 0, 0)
(−2, 5, 5)
NI
(5, −2, 5)
(−1, −1, 10)

I
NI
 1\2
I
(5, 5, −2)
(10, −1, −1)
NI

N I (−1, 10, −1)
(0, 0, 0)
(b) Hallar lo(s) equilibrios de Nash y los pagos en equilibrio.
Solución. Se verifica que la estrategia I domina a la (única otra) estrategia N I
ya que u1 (I, I, I) > u1 (N I, I, I), u1 (I, N I, I) > u1 (N I, N I, I), u1 (I, I, N I) >
u1 (N I, I, N I), u1 (I, N I, N I) > u1 (N I, N I, N I). Luego, el único equilibrio de
Nash es (I, I, I) con pagos (0, 0, 0).
(c) Este es un caso donde la inversión no es demasiado costosa. Supongamos ahora
que la inversión simultánea de las empresas disminuye sus beneficios en 3 u.m.
8
(el pago es de (−3, −3, −3) en lugar de (0, 0, 0) cuando todas invierten). ¿En
qué cambia la predicción del resultado del juego?
Solución. Ahora el juego en forma normal es

 1\2
I
I

NI
I
(−3, −3, −3)
(-2, 5, 5)
NI
(5, -2, 5)
(−1, −1, 10)

 1\2
I
NI

NI
I
(5, 5, -2)
(−1, 10, −1)
NI
(10, −1, −1)
(0, 0, 0)
Se verifica que los equilibrios de Nash en estrategias puras son
(I, I, N I) (con pagos (5, 5, −2))
(I, N I, I) (con pagos (5, −2, 5))
(N I, I, I) (con pagos (−2, 5, 5))
(También hay otros equilibrios (en estrategias mixtas), pero no insistimos en
estos ahora.)
Ej. 10. Considera una subasta en sobre cerrado. Se subastan unos pantalones de Elvis Presley. Hay n > 3 “concursantes” y cada concursante debe elegir cuánto va a pujar por
el bien y escribirlo en un papel e introducirlo en un sobre cerrado. El jugador con
la mayor puja gana el artı́culo y paga por su puja ( subasta de primer precio). La
valoración del bien por parte de los n jugadores es: Los jugadores 1, ..., m tienen una
valoración de w > 0 y los jugadores m + 1, ..., n (n > m + 1) tiene una valoración
de v > w. Si no ganan el bien su utilidad es cero. Si hay varias pujas iguales se
decide el ganador al azar. Suponemos que los jugadores tienen conocimiento de las
valoraciones de los demás jugadores.
(a) ¿Hay estrategias dominadas?
Solución.
No hay estrategias estrictamente dominadas. Por ejemplo, ofrecer s1 > w no
es estrictamente dominada porque si algún otro jugador j puja sj > s1 , el pago
para el jugador 1 será 0 (no gana los pantalones pero tampoco paga nada). No
hay ninguna estrategia alternativa para el jugador 1 que le da estrictamente
más que 0.
Podemos decir que ofrecer s1 > w es débilmente dominada por (por ejemplo)
s01 = w. Porque con s1 > w se puede conseguir como máximo 0 (en caso de no
ganar). Sin embargo, ofrecer s01 le da el mismo pago (0) si algún otro jugador
ofrece sj ≥ s1 . Sin embargo, si la máxima puja de los demás jugadores es
sj < s1 entonces ofrecer s1 da un pago negativo (w − s1 < 0) mientras ofrecer
s01 = w de hecho garantiza un pago de 0.
(b) Calcula los equilibrios de Nash de este juego.
9
Solución. Sea W = {1, 2, ..., m} y V = {m + 1, ..., n}. Sea s∗ un equilibrio de
Nash y sea z = maxj {s∗j }. Obviamente, necesariamente z ≤ v (porque si no,
cada ganador preferirı́a (estrictamente) ofrecer menos). Si solo hay un jugador
j con sj = z, él tiene incentivos a ofrecer un poco menos (para conseguir los
pantalones y pagar menos). Ası́ que hay por lo menos dos jugadores que ofrecen
z. Si z < v, cualquier jugador k ∈ V tendrı́a incentivos a desviarse y ofrecer un
poco mas que z. Concluimos entonces que z = v. Los jugadores en W prefieren
no ganar que ganar y pagar v. Por tanto, s∗i < z = v para todo i ∈ W .
Ahora se comprueba que efectivamente los equilibrios de Nash son los perfiles
s∗ con
s∗i < v para todo i ∈ W,
s∗j ≤ v para todo j ∈ V y
s∗j = s∗j 0 = v para dos jugadores j, j 0 ∈ V, j 6= j 0
(c) ¿Cuál es la utilidad esperada del ganador?
Solución. Cualquier ganador obtiene un pago esperado de 0.
Ej. 11. En otra ciudad subastan otros pantalones de Elvis Presley. Aquı́ el ganador pagará
en lugar de su puja la segunda puja más alta ( subasta de segundo precio).
(a) ¿Hay estrategias dominadas?
Solución. No hay estrategias estrictamente dominadas. Si los demás ofrecen
0, cualquier puja si > 0 te da el mismo pago, porque ganarás los pantalones
y no pagas nada. Por tanto, sólo la estrategia de ofrecer 0 puede dominar
a alguna otra estrategia si > 0. Sin embargo, si algún otro jugador ofrece
sj > si entonces la estrategia 0 no es estrictamente mejor que ofrecer si . Por
tanto, pujar 0 tampoco domina a ninguna otra estrategia. Por tanto, no hay
estrategias estrictamente dominadas.
(b) Para cada jugador hay una estrategia que domina débilmente a todas las demás
estrategias. ¿Cuál es?
Solución. Ofrecer su propia valoración es una estrategia que domina débilmente
a cualquier otra estrategia.
Por ejemplo, para i ∈ W ofrecer w domina débilmente si > w: si ganas con w,
también lo harás con si y pagarás lo mismo (la segunda puja más alta). Sin
embargo, es posible que ganes con si pero no con w. Por ejemplo, un único otro
jugador ofrece una cantidad sj ∈ (w, si ]. Ganar con si significa pagar sj > w.
Entonces, ofrecer w es mejor.
Para i ∈ W ofrecer w domina débilmente si < w: si ganas con si , también lo
harás con w y pagarás lo mismo (la segunda puja más alta). Sin embargo, es
posible que ganes con w pero no con si . Por ejemplo, un único otro jugador
ofrece sj ∈ (si , w). En este caso ganar es bueno porque pagas sj < w.
10
(c) Analiza el equilibrio de las estrategias del apartado anterior. ¿Cuál es la utilidad esperada del ganador?
Solución. El equilibrio correspondiente a las estrategias débilmente dominantes es (w, ..., w, v, ..., v) donde los jugadores en W ofrecen w y los jugadores
en V ofrecen v. El ganador pagará v ası́ que su utilidad esperada es 0.
(d) ¿Hay otros equilibrios?
Solución. Sı́: por ejemplo dos jugadores de V ofrecen v y los demas ofrecen
(v + w)/2.
Ej. 12. Supongamos que el mercado de coches es un duopolio (dos empresas i = 1, 2) cuyas
funciones de costes vienen dadas por
Ci (qi ) = cqi ;
(c > 0).
La función de demanda del coche i (el bien producido por la empresa i) es
Pi (q1 , q2 ) = max{0, M − qi − bqj };
(i, j = 1, 2,
i 6= j).
donde M > c > 0. Es natural suponer que |b| ≤ 1, es decir, el efecto sobre el precio
del bien i de un aumento en la propia cantidad qi es al menos tan importante como
el de la otra cantidad qj . Suponemos además que b > 0 (los bienes son parcialmente
sustitutivos). Las empresas escogen simultáneamente las cantidades q1 ≥ 0 y q2 ≥ 0.
(a) Calcula la función de reacción de la empresa 1.
Solución. Fijemos la cantidad q2 de la empresa 2. Sabemos que M − c > 0.
Supongamos que (M − bq2 ) − c ≤ 0. Si M − bq2 ≤ 0 entonces P1 (q1 , q2 ) = 0
y la empresa 1 no producirá nada (es decir, q1 = 0 es la mejor respuesta). Si
M − bq2 ≥ 0 entonces P1 (q1 , q2 ) ≥ 0 pero como (M − bq2 ) − c ≤ 0 la empresa
1 no producirá nada (es decir, q1 = 0 es la mejor respuesta).
Supongamos ahora que (M − bq2 ) − c > 0. Dada la cantidad q2 de la empresa
2, la empresa 1 buscará la cantidad q1 que maximiza sus beneficios, es decir la
empresa 1 resuelve
max q1 (M − q1 − bq2 − c),
q1 ≥0
cuya CPO es
M − 2q1 − bq2 − c = 0.
Por tanto,
R1 (q2 ) = (M − c − bq2 )/2.
(b) Halla el/los equilibrio(s) de Nash.
11
Solución. Análogamente, dada la estrategia q1 de la empresa 1, la mejor
respuesta de la empresa 2 es q2 = 0 si (M − bq1 ) − c ≤ 0. Si (M − bq1 ) − c > 0,
la mejor respuesta de la empresa 2 viene dada por
R2 (q1 ) = (M − c − bq1 )/2.
Se comprueba fácilmente que no hay equilibrio de la forma (0, q2 ) con q2 > 0:
Supongamos que sı́ es un equilibrio. Entonces, como 0 es mejor respuesta a q2 ,
(M − bq2 ) − c ≤ 0. Y como q2 es mejor respuesta a 0: q2 = M2−c . Por tanto,
M −c
= q2 > 0. Por tanto,
2
0 ≥ M − bq2 − c
M −c
= M − b(
)−c
2
M −c
M −c
= 2(
) − b(
)
2
2
M −c
= (2 − b)(
)
2
> 0,
una contradicción. De la misma manera se comprueba que no hay equilibrio
de la forma (q1 , 0) con q1 > 0, y que (0, 0) tampoco es equilibrio.
Ası́ que cualquier equilibrio es de la forma (q1 , q2 ) con q1 , q2 > 0 y por tanto
satisface el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos variables
q1 = (M − c − bq2 )/2
q2 = (M − c − bq1 )/2
lo que es equivalente a
2q1 + bq2 = M − c
2q2 + bq1 = M − c
que tiene como solución q1 = q2 = (M − c)/(2 + b).
(c) Calcula los beneficios de las empresas en equilibrio. ¿Qué relación hay entre
estos y el parámetro b? ¿Las empresas buscarán diferenciar sus coches o más
bien homogeneizarlos más?
Solución. El beneficio para cada empresa en equilibrio es igual a
µ
¶
M −c
M −c
M −c
π = (
) (M −
−b
)−c
2+b
2+b
2+b
= ...
µ
¶2
M −c
=
.
2+b
Estos beneficios son decrecientes en b. Buscarán diferenciarse (b = 0).
12
Ej. 13. La madre de Antonio y Benjamı́n les ha comprado una tarta. Sabe que a ambos
les gusta mucho comer tarta. Les propone la siguiente regla de repartición. Ambos
escriben, simultáneamente, en un papel que porción de la tarta desean comer. Si la
suma de las porciones es mayor que 1 (la totalidad) de la tarta, le regalarán ésta
a la vecina teniendo una utilidad de cero tanto A como B. Si la suma de ambas
porciones es inferior o igual a 1 se reparten la tarta de acuerdo a las porciones
escritas.
(a) ¿Cuál es el conjunto de estrategias posibles para A y B? Escribir el juego en
forma normal.
Solución. Cada jugador tiene como estrategias el conjunto [0, 1]. Entonces,
con “A = 1 y B = 2”, en forma normal G = {{1, 2}, [0, 1], [0, 1], u1 , u2 } donde
½
si si s1 + s2 ≤ 1;
ui (s1 , s2 ) =
0 si s1 + s2 > 1.
(b) ¿Hay alguna estrategia estrictamente dominada?
Solución. No. si > 0 no es dominada porque es la única mejor respuesta a
sj = 1 − si . Ni siquiera si = 0 es estrictamente dominada, porque si el otro
pide todo (es decir, sj = 1) no se puede hacer nada mejor que pedir si = 0.
(c) Halla los equilibrios de Nash en estrategias puras.
Solución. La mejor respuesta es
½
1 − sj si sj < 1;
Ri (sj ) =
[0,1] si sj = 1.
Ası́ que los equilibrios de Nash en estrategias puras son
{(x, 1 − x) : x ∈ [0, 1]} ∪ {(1, 1)}.
Ej. 14. Anna (A), Berta (B) y Carles (C) son tres estudiantes de teorı́a de juegos. Juntos
deben resolver algunos ejercicios del tema 1 y para ello deben elegir un esfuerzo
ei , i = A, B, C. La nota obtenida es una función creciente del esfuerzo conjunto.
Suponemos para simplificar que la nota N = p1 (eA + eB + eC ), donde p es el numero
de estudiantes que participan. Si son A, B y C, p = 3. Supongamos que los niveles
de esfuerzo pueden tomar cualquier valor entre cero y diez, ei ∈ [0, 10]. La utilidad
1
1
(ei )2 , donde 20
(ei )2 representa la desutilidad de
de cada estudiante es ui = N − 20
hacer esfuerzo.
(a) Si los estudiantes eligen simultáneamente el nivel de esfuerzo. ¿Cuál es el
nivel de esfuerzo de mejor respuesta dado el nivel de esfuerzo de los otros
estudiantes?
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Solución. Dados los niveles eB y eC , A resuelve
max (eA + eB + eC )/3 −
eA ∈[0,10]
cuya CPO es
e2A
,
20
1 eA
−
= 0.
3 10
Ası́ que eA = 10/3 ≈ 3.33.
(b) Halla el equilibrio de Nash de este juego si A, B y C eligen hacer el trabajo
juntos.
Solución. Hemos visto que cada estudiante tiene una estrategia dominante
ei = 10/3. Este es el equilibrio (10/3, 10/3, 10/3). La utilidad para cada
estudiante en el equilibrio es ui = 10/3 − 100/180 = 500/180 = 25/9 ≈ 2.77.
(c) ¿Qué nivel de esfuerzo maximiza la utilidad conjunta de los estudiantes (uA +
uB + uC )? ¿De qué manera podrı́an los estudiantes asegurar dicho nivel de
esfuerzo?
Solución. Los estudiantes han de resolver
max
eA ,eB ,eC ∈[0,10]
3(eA + eB + eC )/3 −
e2A e2B e2C
−
− ,
20 20 20
cuyas CPOs son:
eA
eB
eC
= 0, 1 −
=0 y 1−
= 0.
10
10
10
Ası́ que eA = eB = eC = 10. Utilidad para cada estudiante ui = 10 − 5 = 5.
Cada estudiante deberı́a trabajar solo.
1−
(d) Anna decide hacer el trabajo sola. ¿En que cambiarı́an las predicciones del
modelo? Explicar el resultado.
Solución. Trabajar sola quiere decir que Anna resuelve
max eA −
eA ∈[0,10]
e2A
,
20
cuya CPO es 1 − eA /10 = 0. Ası́ que eA = 10. Los otros dos resuelven
max
(eB + eC )/2 −
eB ,eC ∈[0,10]
e2B e2C
− ,
20 20
cuyas CPOs son 1/2 − eB /10 = 0 y 1/2 − eC /10 = 0. Ası́ que eB = eC = 5.
Explicación (comparación con el apartado (a)): Al ser únicamente responsable
para su nota, Anna hace más esfuerzo. Los otros dos, colaborando juntos
también hacen más esfuerzo que antes porque su esfuerzo aumenta la nota a
una ratio de 1:2 (en lugar de a una ratio de 1:3).
14