Regresión no paramétrica para datos funcionales

Regresión no paramétrica para datos funcionales

Introducción a la regresión
El problema
Regresión en Rd
Regresión para datos funcionales
Regresión no paramétrica para datos funcionales
Liliana Forzani
1 Instituto
1
Ricardo Fraiman
2
Pamela Llop3
de Matemática Aplicada del Litoral (IMAL) - CONICET - Universidad
Nacional del Litoral.
2 Departamento
de Matemática y Ciencias, Universidad de San Andrés, Argentina
- CMAT, Universidad de la República, Uruguay.
3 Instituto
de Matemática Aplicada del Litoral (IMAL) - CONICET.
IMAL 2010
Introducción a la regresión
El problema
Regresión en Rd
Regresión para datos funcionales
The data file ufcgf.txt gives the diameter Dbh in millimeters at 137
cm perpendicular to the bole, and the Height of the tree in
decimeters for a sample of grand fir trees at Upper Flat Creek,
Idaho, in 1991, courtesy of Andrew Robinson.
Introducción a la regresión
Regresión en Rd
El problema
Regresión para datos funcionales
400
350
Height
300
250
200
150
100
100
200
300
400
500
600
Dbh
700
800
900
1000
Introducción a la regresión
Regresión en Rd
El problema
Regresión para datos funcionales
400
350
Height
300
250
200
150
100
100
200
300
400
500
600
Dbh
700
800
900
1000
Introducción a la regresión
Regresión en Rd
El problema
Regresión para datos funcionales
400
350
Height
300
250
200
150
100
100
200
300
400
500
600
Dbh
700
800
900
1000
Introducción a la regresión
El problema
Regresión en Rd
Regresión para datos funcionales
Y = η(X ) + e, E(e) = 0, E(e 2 ) = σ 2 < ∞
Introducción a la regresión
Regresión en Rd
El problema
Regresión para datos funcionales
Y = η(X ) + e, E(e) = 0, E(e 2 ) = σ 2 < ∞
X
Y?
Introducción a la regresión
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Regresión en Rd
Regresión para datos funcionales
Y = η(X ) + e, E(e) = 0, E(e 2 ) = σ 2 < ∞
¡Y = η(X )!
Introducción a la regresión
El problema
Regresión en Rd
Regresión para datos funcionales
Y = η(X ) + e, E(e) = 0, E(e 2 ) = σ 2 < ∞
¡Y = η(X )!
b = ηb(X )
Y
Introducción a la regresión
El problema
Regresión en Rd
Regresión para datos funcionales
Y = η(X ) + e, E(e) = 0, E(e 2 ) = σ 2 < ∞
¡Y = η(X )!
b = ηb(X )
Y
η(X ) = E(Y |X )
Introducción a la regresión
El problema
Regresión en Rd
Regresión para datos funcionales
Y = η(X ) + e, E(e) = 0, E(e 2 ) = σ 2 < ∞
¡Y = η(X )!
b = ηb(X )
Y
η(X ) = E(Y |X )
b = ηb(X ) = E(Y
b |X )
Y
Introducción a la regresión
El problema
Regresión en Rd
Regresión para datos funcionales
Y = η(X ) + e, E(e) = 0, E(e 2 ) = σ 2 < ∞
!Y = η(X )!
b = ηb(X )
Y
η(X ) = E(Y |X )
b = ηb(X ) = E(Y
b |X )
Y
Introducción a la regresión
El problema
Regresión en Rd
Regresión en Rd
Regresión para datos funcionales
Introducción a la regresión
El problema
Regresión en Rd
Regresión para datos funcionales
Regresión en Rd
Estimar el operador de regresión η : Rd → R en el modelo
Y = η(X ) + e,
X ∈ Rd , Y ∈ R y E(e) = 0, E(e 2 ) = σ 2 < ∞.
Introducción a la regresión
Regresión en Rd
El problema
Regresión para datos funcionales
Regresión en Rd
Estimar el operador de regresión η : Rd → R en el modelo
Y = η(X ) + e,
X ∈ Rd , Y ∈ R y E(e) = 0, E(e 2 ) = σ 2 < ∞.
(Xi , Yi )ni=1 ∈ Rd × R, i.i.d. ! (X , Y )
n
. X
ηb(X ) =
Wni (X )Yi .
i=1
Introducción a la regresión
Regresión en Rd
El problema
Regresión para datos funcionales
Consitencia en media cuadrática
Teorema (Stone 1977)
(i) Existe c > 0 tal que, para toda f , E (f (X )) < ∞,
!
n
X
E
Wni (X )f (Xi ) ≤ cE (f (X )) ,
i=1
(ii)
lı́m E
n→∞
(iii)
n
X
!
Wni (X )I{kXi −X k>a}
= 0 ∀ a > 0,
i=1
lı́m E
n→∞
máx Wni (X )
1≤i≤n
= 0.
Entonces,
lı́m E (η(X ) − ηb(X ))2 = 0.
n→∞
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Regresión en Rd
El problema
Regresión para datos funcionales
Estimador de k-vecinos más cercanos (k-NN)
Ejemplo: Estimador de k-vecinos más cercanos.
ηb(X ) =
n
X
Wni (X )Yi ,
i=1
Wni (X ) =
1/k si kXi − X k ≤ X(k) − X ,
0
en otro caso.
Introducción a la regresión
Regresión en Rd
El problema
Regresión para datos funcionales
Estimador de k-vecinos más cercanos (k-NN)
Ejemplo: Estimador de k-vecinos más cercanos.
ηb(X ) =
n
X
Wni (X )Yi ,
i=1
Wni (X ) =
1/k si kXi − X k ≤ X(k) − X ,
0
en otro caso.
Di = kXi − X k , i = 1, . . . , n.
Introducción a la regresión
Regresión en Rd
El problema
Regresión para datos funcionales
Estimador de k-vecinos más cercanos (k-NN)
Ejemplo: Estimador de k-vecinos más cercanos.
ηb(X ) =
n
X
Wni (X )Yi ,
i=1
Wni (X ) =
1/k si kXi − X k ≤ X(k) − X ,
0
en otro caso.
Di = kXi − X k , i = 1, . . . , n.
D1 ≤ D2 ≤ . . . ≤ Dk ≤ . . . ≤ Dn
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Regresión para datos funcionales
Estimador de k-vecinos más cercanos (k-NN)
Ejemplo: Estimador de k-vecinos más cercanos.
ηb(X ) =
n
X
Wni (X )Yi ,
i=1
Wni (X ) =
1/k si kXi − X k ≤ X(k) − X ,
0
en otro caso.
Di = kXi − X k , i = 1, . . . , n.
D1 ≤ D2 ≤ . . . ≤ Dk ≤ . . . ≤ Dn
X(1)
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Estimador de k-vecinos más cercanos (k-NN)
Ejemplo: Estimador de k-vecinos más cercanos.
ηb(X ) =
n
X
Wni (X )Yi ,
i=1
Wni (X ) =
1/k si kXi − X k ≤ X(k) − X ,
0
en otro caso.
Di = kXi − X k , i = 1, . . . , n.
D1 ≤ D2 ≤ . . . ≤ Dk ≤ . . . ≤ Dn
X(1)
X(2)
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Estimador de k-vecinos más cercanos (k-NN)
Ejemplo: Estimador de k-vecinos más cercanos.
ηb(X ) =
n
X
Wni (X )Yi ,
i=1
Wni (X ) =
1/k si kXi − X k ≤ X(k) − X ,
0
en otro caso.
Di = kXi − X k , i = 1, . . . , n.
D1 ≤ D2 ≤ . . . ≤ Dk ≤ . . . ≤ Dn
X(1)
X(2)
X(k)
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El problema
Regresión en Rd
Estimador de k-vecinos más cercanos (k-NN)
Teorema (Stone 1977)
Si k → ∞ and k/n → 0, entonces
lı́m E (η(X ) − ηb(X ))2 = 0.
n→∞
Regresión para datos funcionales
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Regresión para datos funcionales
Estimador de k-vecinos más cercanos (k-NN)
Teorema (Stone 1977)
Si k → ∞ and k/n → 0, entonces
lı́m E (η(X ) − ηb(X ))2 = 0.
n→∞
(i) Existe c > 0 tal que, para toda f , E (f (X )) < ∞,
!
n
X
E
Wni (X )f (Xi ) ≤ cE (f (X )) ,
i=1
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Regresión para datos funcionales
Estimador de k-vecinos más cercanos (k-NN)
Teorema (Stone 1977)
Si k → ∞ and k/n → 0, entonces
lı́m E (η(X ) − ηb(X ))2 = 0.
n→∞
(i) Existe c > 0 tal que, para toda f , E (f (X )) < ∞,
!
n
X
E
Wni (X )f (Xi ) ≤ cE (f (X )) ,
i=1
(iii)
1
lı́m E máx Wni (X ) = lı́m
= 0.
n→∞
n→∞ k
1≤i≤n
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Estimador de k-vecinos más cercanos (k-NN)
Teorema (Stone 1977)
Si k → ∞ and k/n → 0, entonces
lı́m E (η(X ) − ηb(X ))2 = 0.
n→∞
(i) Existe c > 0 tal que, para toda f , E (f (X )) < ∞,
!
n
X
E
Wni (X )f (Xi ) ≤ cE (f (X )) ,
i=1
(ii)
lı́m E
n→∞
n
X
!
Wni (X )I{kXi −X k>a}
= 0, ∀ a > 0,
i=1
(iii)
1
lı́m E máx Wni (X ) = lı́m
= 0.
n→∞
n→∞ k
1≤i≤n
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El problema
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Regresión para datos funcionales
Estimador de k-vecinos más cercanos (k-NN)
Teorema (Stone 1977)
Si k → ∞ and k/n → 0, entonces
lı́m E (η(X ) − ηb(X ))2 = 0.
n→∞
(i) Existe c > 0 tal que, para toda f , E (f (X )) < ∞,
!
n
X
E
Wni (X )f (Xi ) ≤ cE (f (X )) ,
i=1
(ii)
lı́m P X(k) − X > a = 0, ∀ a > 0,
n→∞
(iii)
1
lı́m E máx Wni (X ) = lı́m
= 0.
n→∞
n→∞ k
1≤i≤n
Introducción a la regresión
Regresión en Rd
El problema
Regresión para datos funcionales
Estimador de k-vecinos más cercanos (k-NN)
k=5
ηb(X ) =
n
X
Wni (X )Yi ,
i=1
Wni (X ) =
1/5 si kXi − X k ≤ X(5) − X ,
0
en otro caso.
Introducción a la regresión
Regresión en Rd
El problema
Regresión para datos funcionales
Estimador de k-vecinos más cercanos (k-NN)
k=5
ηb(X ) =
n
X
Wni (X )Yi ,
i=1
Wni (X ) =
1/5 si kXi − X k ≤ X(5) − X ,
0
en otro caso.
X
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El problema
Regresión para datos funcionales
Estimador de k-vecinos más cercanos (k-NN)
k=5
ηb(X ) =
n
X
Wni (X )Yi ,
i=1
Wni (X ) =
1/5 si kXi − X k ≤ X(5) − X ,
0
en otro caso.
X(5)
X
Introducción a la regresión
Regresión en Rd
El problema
Regresión para datos funcionales
Estimador de k-vecinos más cercanos (k-NN)
k=5
ηb(X ) =
n
X
Wni (X )Yi ,
i=1
Wni (X ) =
1/5 si kXi − X k ≤ X(5) − X ,
0
en otro caso.
X
Introducción a la regresión
Regresión en Rd
El problema
Regresión para datos funcionales
Estimador de k-vecinos más cercanos (k-NN)
k=5
ηb(X ) =
n
X
Wni (X )Yi ,
i=1
Wni (X ) =
1/5 si kXi − X k ≤ X(5) − X ,
0
en otro caso.
X(5)
X
Introducción a la regresión
Regresión en Rd
El problema
Regresión para datos funcionales
Estimador de k-vecinos más cercanos (k-NN)
k=5
ηb(X ) =
n
X
Wni (X )Yi ,
i=1
Wni (X ) =
1/5 si kXi − X k ≤ X(5) − X ,
0
en otro caso.
X
Introducción a la regresión
Regresión en Rd
El problema
Regresión para datos funcionales
Estimador de k-vecinos más cercanos (k-NN)
k=5
ηb(X ) =
n
X
Wni (X )Yi ,
i=1
Wni (X ) =
1/5 si kXi − X k ≤ X(5) − X ,
0
en otro caso.
X
X(5)
Introducción a la regresión
El problema
Regresión en Rd
Regresión para datos funcionales
Regresión para datos funcionales
Introducción a la regresión
El problema
Regresión en Rd
Regresión para datos funcionales
Regresión para datos funcionales
Estimar el operador de regresión η : E → R en el modelo
Y = η(X ) + e.
X ∈ (E , d), Y ∈ R y E(e) = 0, E(e 2 ) = σ 2 < ∞.
Introducción a la regresión
Regresión en Rd
El problema
Regresión para datos funcionales
Regresión para datos funcionales
Estimar el operador de regresión η : E → R en el modelo
Y = η(X ) + e.
X ∈ (E , d), Y ∈ R y E(e) = 0, E(e 2 ) = σ 2 < ∞.
(Xi , Yi )ni=1 ∈ E × R, i.i.d. ! (X , Y )
n
. X
ηb(X ) =
Wni (X )Yi .
i=1
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El problema
Regresión en Rd
Regresión para datos funcionales
Un resultado de consistencia general
Teorema (Extensión de Stone 1977)
(i)
lı́m E
n→∞
n
X
i=1
!
Wni (X )I{d(Xi ,X )>a}
= 0, ∀ a > 0,
Introducción a la regresión
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El problema
Regresión para datos funcionales
Un resultado de consistencia general
Teorema (Extensión de Stone 1977)
(i)
lı́m E
n→∞
(ii)
n
X
!
Wni (X )I{d(Xi ,X )>a}
= 0, ∀ a > 0,
i=1
lı́m E
n→∞
máx Wni (X ) = 0.
1≤i≤n
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El problema
Regresión para datos funcionales
Un resultado de consistencia general
Teorema (Extensión de Stone 1977)
(i)
lı́m E
n→∞
(ii)
n
X
!
Wni (X )I{d(Xi ,X )>a}
= 0, ∀ a > 0,
i=1
lı́m E
n→∞
máx Wni (X ) = 0.
1≤i≤n
(iii) La función de regresión η es acotada y uniformemente
continua.
Introducción a la regresión
Regresión en Rd
El problema
Regresión para datos funcionales
Un resultado de consistencia general
Teorema (Extensión de Stone 1977)
(i)
lı́m E
n→∞
(ii)
n
X
!
Wni (X )I{d(Xi ,X )>a}
= 0, ∀ a > 0,
i=1
lı́m E
n→∞
máx Wni (X ) = 0.
1≤i≤n
(iii) La función de regresión η es acotada y uniformemente
continua.
Entonces,
lı́m E (η(X ) − ηb(X ))2 = 0.
n→∞
Introducción a la regresión
Regresión en Rd
El problema
Regresión para datos funcionales
Un resultado de consistencia general
Teorema (Extensión de Stone 1977)
(i)
lı́m E
n→∞
(ii)
n
X
!
Wni (X )I{d(Xi ,X )>a}
= 0, ∀ a > 0,
i=1
lı́m E
n→∞
máx Wni (X ) = 0.
1≤i≤n
(iii) η puede aproximarse en L2 por funciones uniformemente
continuas y acotadas.
(iv) Existe c > 0 tal que, para toda f , E (f (X )) < ∞,
!
n
X
E
Wni (X )f (Xi ) ≤ cE (f (X )) ,
i=1
Entonces,
lı́m E (η(X ) − ηb(X ))2 = 0.
n→∞
Introducción a la regresión
Regresión en Rd
El problema
Regresión para datos funcionales
Estimador de k-vecinos más cercanos (k-NN)
Ejemplo: Estimador de k-vecinos más cercanos.
ηb(X ) =
n
X
Wni (X )Yi ,
i=1
Wni (X ) =
1/k si d (Xi , X ) ≤ d X(k) , X ,
0
en otro caso.
Introducción a la regresión
Regresión en Rd
El problema
Regresión para datos funcionales
Estimador de k-vecinos más cercanos (k-NN)
Ejemplo: Estimador de k-vecinos más cercanos.
ηb(X ) =
n
X
Wni (X )Yi ,
i=1
Wni (X ) =
1/k si d (Xi , X ) ≤ d X(k) , X ,
0
en otro caso.
Z
Di = d (Xi , X ) =
2
(X (t) − Xi (t))
1/2
, i = 1, . . . , n.
Introducción a la regresión
Regresión en Rd
El problema
Regresión para datos funcionales
Estimador de k-vecinos más cercanos (k-NN)
Ejemplo: Estimador de k-vecinos más cercanos.
ηb(X ) =
n
X
Wni (X )Yi ,
i=1
Wni (X ) =
1/k si d (Xi , X ) ≤ d X(k) , X ,
0
en otro caso.
Z
Di = d (Xi , X ) =
2
(X (t) − Xi (t))
1/2
, i = 1, . . . , n.
D1 ≤ D2 ≤ . . . ≤ Dk ≤ . . . ≤ Dn
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Regresión en Rd
El problema
Regresión para datos funcionales
Estimador de k-vecinos más cercanos (k-NN)
Ejemplo: Estimador de k-vecinos más cercanos.
ηb(X ) =
n
X
Wni (X )Yi ,
i=1
Wni (X ) =
1/k si d (Xi , X ) ≤ d X(k) , X ,
0
en otro caso.
Z
Di = d (Xi , X ) =
2
(X (t) − Xi (t))
1/2
, i = 1, . . . , n.
D1 ≤ D2 ≤ . . . ≤ Dk ≤ . . . ≤ Dn
X(1)
Introducción a la regresión
Regresión en Rd
El problema
Regresión para datos funcionales
Estimador de k-vecinos más cercanos (k-NN)
Ejemplo: Estimador de k-vecinos más cercanos.
ηb(X ) =
n
X
Wni (X )Yi ,
i=1
Wni (X ) =
1/k si d (Xi , X ) ≤ d X(k) , X ,
0
en otro caso.
Z
Di = d (Xi , X ) =
2
(X (t) − Xi (t))
1/2
, i = 1, . . . , n.
D1 ≤ D2 ≤ . . . ≤ Dk ≤ . . . ≤ Dn
X(1)
X(2)
Introducción a la regresión
Regresión en Rd
El problema
Regresión para datos funcionales
Estimador de k-vecinos más cercanos (k-NN)
Ejemplo: Estimador de k-vecinos más cercanos.
ηb(X ) =
n
X
Wni (X )Yi ,
i=1
Wni (X ) =
1/k si d (Xi , X ) ≤ d X(k) , X ,
0
en otro caso.
Z
Di = d (Xi , X ) =
2
(X (t) − Xi (t))
1/2
, i = 1, . . . , n.
D1 ≤ D2 ≤ . . . ≤ Dk ≤ . . . ≤ Dn
X(1)
X(2)
X(k)
Introducción a la regresión
El problema
Regresión en Rd
Regresión para datos funcionales
Estimador de k-vecinos más cercanos (k-NN)
Lema
Si k → ∞ and k/n → 0, entonces
lı́m E (η(X ) − ηb(X ))2 = 0.
n→∞
lı́m E
n→∞
n
X
i=1
!
Wni (X )I{d(Xi ,X )>a}
= 0, ∀ a > 0,
Introducción a la regresión
El problema
Regresión en Rd
Regresión para datos funcionales
Estimador de k-vecinos más cercanos (k-NN)
Lema
Si k → ∞ and k/n → 0, entonces
lı́m E (η(X ) − ηb(X ))2 = 0.
n→∞
lı́m E
n→∞
n
X
!
Wni (X )I{d(Xi ,X )>a}
= 0, ∀ a > 0,
i=1
lı́m P d X(k) , X > a = 0, ∀ a > 0.
n→∞
Introducción a la regresión
El problema
Regresión en Rd
Simulación
Simulación
Y = η(X ) + e,
e ∼ N (0, σ)
η(X ) =
R1
0
X (t)dt,
X (t) = W (t)
W (0) = 0,
W (t) − W (s) ∼ N (0, t − s) para 0 ≤ s ≤ t.
Regresión para datos funcionales
Introducción a la regresión
Simulación
El problema
Regresión en Rd
Regresión para datos funcionales
Introducción a la regresión
El problema
Regresión en Rd
Regresión para datos funcionales
Un nuevo método
Estimador basado en la medida de ocupación
Introducción a la regresión
El problema
Regresión en Rd
Regresión para datos funcionales
Un nuevo método
Estimador basado en la medida de ocupación
(Xi , Yi )ni=1 ∈ E × R, i.i.d. ! (X , Y )
Introducción a la regresión
Regresión en Rd
El problema
Regresión para datos funcionales
Un nuevo método
Estimador basado en la medida de ocupación
(Xi , Yi )ni=1 ∈ E × R, i.i.d. ! (X , Y )
Definimos el estimador del operador de regresión η
n
. X
ηb(X ) =
Wni (X )Yi ,
i=1
1
Wni (X ) = Wni (X , X1 , . . . , Xn ) =
kn
Z
T
I{t:|X (t)−Xi (t)|≤Hn,X } dt.
Introducción a la regresión
Regresión en Rd
El problema
Regresión para datos funcionales
Un nuevo método
Estimador basado en la medida de ocupación
(Xi , Yi )ni=1 ∈ E × R, i.i.d. ! (X , Y )
Definimos el estimador del operador de regresión η
n
. X
ηb(X ) =
Wni (X )Yi ,
i=1
Z
1
Wni (X ) = Wni (X , X1 , . . . , Xn ) =
I
dt.
kn T {t:|X (t)−Xi (t)|≤Hn,X }
n Z
X
kn
Hn,X , kn =
I{t:|X (t)−Xi (t)|≤Hn,X } dt.
i=1
T
Introducción a la regresión
El problema
Regresión en Rd
Regresión para datos funcionales
Un nuevo método
1
1/2
1
Introducción a la regresión
El problema
Regresión en Rd
Regresión para datos funcionales
Un nuevo método
1
1/2
1
Introducción a la regresión
El problema
Regresión en Rd
Regresión para datos funcionales
Un nuevo método
1
1/2
1
Introducción a la regresión
Regresión en Rd
El problema
Regresión para datos funcionales
Un nuevo método
Si k2 = 1, ¿H2,X ,
2 Z
X
i=1
T
I{t:|X (t)−Xi (t)|≤H2,X } dt = 1?
1
1/2
1
Introducción a la regresión
Regresión en Rd
El problema
Regresión para datos funcionales
Un nuevo método
Si k2 = 1, ¿H2,X ,
2 Z
X
i=1
T
I{t:|X (t)−Xi (t)|≤H2,X } dt = 1?
1
1/2
1
Introducción a la regresión
Regresión en Rd
El problema
Regresión para datos funcionales
Un nuevo método
Si k2 = 1, ¿H2,X ,
2 Z
X
i=1
T
I{t:|X (t)−Xi (t)|≤H2,X } dt = 1?
1
1/2
1
1
2
Introducción a la regresión
Regresión en Rd
El problema
Regresión para datos funcionales
Un nuevo método
Si k2 = 1, ¿H2,X ,
2 Z
X
i=1
T
I{t:|X (t)−Xi (t)|≤H2,X } dt = 1?
1
1/2
1
1 1
2+2
=1
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Un nuevo método
Si k2 = 1, ¿H2,X ,
2 Z
X
i=1
T
I{t:|X (t)−Xi (t)|≤H2,X } dt = 1?
1
1/2
1
Respuesta: H2,X = 41 .
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Un nuevo método
¿lı́mn→∞ E (b
η (X ) − η(X ))2
= 0?
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Simulación
Simulación
Y = η(X ) + e,
e ∼ N (0, σ)
η(X ) =
R1
0
X (t)dt,
X (t) = W (t)
W (0) = 0,
W (t) − W (s) ∼ N (0, t − s) para 0 ≤ s ≤ t.
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