Redes cluster

La función de Green
y el Índice de Kirchhoff
de redes cluster
C. Araúz1 , E. Bendito1 , A. Carmona1 y A.M. Encinas1
1 Dept.
Matemàtica Aplicada III
Universitat Politècnica de Catalunya, Barcelona. Spain
Objetivo
El Índice de Kirchhoff fue introducido en el campo de la Quı́mica Orgánica.
Sirve para distinguir entre moléculas con estructuras muy similares.
Araúz, Bendito, Carmona, Encinas (UPC)
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Objetivo
El Índice de Kirchhoff fue introducido en el campo de la Quı́mica Orgánica.
Sirve para distinguir entre moléculas con estructuras muy similares.
En el ámbito matemático resulta de mucho interés calcular este parámetro
para redes compuestas y encontrar posibles relaciones entre los Índices de
Kirchhoff de las redes de origen y sus composiciones.
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Objetivo
El Índice de Kirchhoff fue introducido en el campo de la Quı́mica Orgánica.
Sirve para distinguir entre moléculas con estructuras muy similares.
En el ámbito matemático resulta de mucho interés calcular este parámetro
para redes compuestas y encontrar posibles relaciones entre los Índices de
Kirchhoff de las redes de origen y sus composiciones.
En este trabajo se ha trabajado con una noción generalizada de dicho
Índice. El objetivo es determinar el Índice de Kirchhoff generalizado de una
familia de redes compuestas, las redes cluster, en función del Índice de
Kirchhoff de las redes que la componen.
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Notaciones y resultados básicos
Red
Γ = (V, E, c)
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Notaciones y resultados básicos
Red
Peso
Γ = (V, E, c)
ω : V −→ (0, +∞),
P
ω 2 (x) = 1
x∈V
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Notaciones y resultados básicos
Red
Peso
Γ = (V, E, c)
ω : V −→ (0, +∞),
P
ω 2 (x) = 1
x∈V
Laplaciano
L : C(V ) −→ C(V ),
X
L(u)(x) =
c(x, y)(u(x) − u(y))
y∈V
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Notaciones y resultados básicos
Red
Peso
Γ = (V, E, c)
ω : V −→ (0, +∞),
P
ω 2 (x) = 1
x∈V
Laplaciano
L : C(V ) −→ C(V ),
X
L(u)(x) =
c(x, y)(u(x) − u(y))
y∈V
El laplaciano es autoadjunto y semidefinido positivo
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Notaciones y resultados básicos
Red
Peso
Γ = (V, E, c)
ω : V −→ (0, +∞),
P
ω 2 (x) = 1
x∈V
Laplaciano
L : C(V ) −→ C(V ),
X
L(u)(x) =
c(x, y)(u(x) − u(y))
y∈V
El laplaciano es autoadjunto y semidefinido positivo
Potencial determinado por ω
qω : V −→ R,
qω = −ω −1 L(ω)
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Operador de Schrödinger respecto qω
Lqω : C(V ) −→ C(V ),
Lqω (u)(x) = L(u) + qω · u
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Operador de Schrödinger respecto qω
Lqω : C(V ) −→ C(V ),
Lqω (u)(x) = L(u) + qω · u
Resultados
I
Lqω autoadjunto, semidefinido positivo, singular
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Operador de Schrödinger respecto qω
Lqω : C(V ) −→ C(V ),
Lqω (u)(x) = L(u) + qω · u
Resultados
I
Lqω autoadjunto, semidefinido positivo, singular
I
Lqω (v) = 0 sii v = aω
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Operador de Schrödinger respecto qω
Lqω : C(V ) −→ C(V ),
Lqω (u)(x) = L(u) + qω · u
Resultados
I
Lqω autoadjunto, semidefinido positivo, singular
I
Lqω (v) = 0 sii v = aω
Ecuación de Poisson sobre la red
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Redes cluster
Lqω (u) = f˜ en V
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Operador de Schrödinger respecto qω
Lqω : C(V ) −→ C(V ),
Lqω (u)(x) = L(u) + qω · u
Resultados
I
Lqω autoadjunto, semidefinido positivo, singular
I
Lqω (v) = 0 sii v = aω
Ecuación de Poisson sobre la red
Lqω (u) = f˜ en V
Resultado
Dada f˜ ∈ C(V ), la ecuación de Poisson Lqω (u) = f˜ tiene solución sii
hω, f˜i = 0; además, ∃!u solución con hu, ωi = 0
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Operador de Green
Gqω : C(V ) −→ C(V ),
f ∈ C(V ) 7−→ única u tal que Lqω (u) = f − hω, f iω y hu, ωi = 0
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Operador de Green
Gqω : C(V ) −→ C(V ),
f ∈ C(V ) 7−→ única u tal que Lqω (u) = f − hω, f iω y hu, ωi = 0
Resultados
Gqω autoadjunto, semidefinido positivo y singular
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Operador de Green
Gqω : C(V ) −→ C(V ),
f ∈ C(V ) 7−→ única u tal que Lqω (u) = f − hω, f iω y hu, ωi = 0
Resultados
Gqω autoadjunto, semidefinido positivo y singular
Gqω (v) = 0 sii v = aω
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Operador de Green
Gqω : C(V ) −→ C(V ),
f ∈ C(V ) 7−→ única u tal que Lqω (u) = f − hω, f iω y hu, ωi = 0
Resultados
Gqω autoadjunto, semidefinido positivo y singular
Gqω (v) = 0 sii v = aω
Gqω (Lqω (u)) = Lqω (Gqω (u)) = u − hu, ωiω ∀u ∈ C(V )
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Operador de Green
Gqω : C(V ) −→ C(V ),
f ∈ C(V ) 7−→ única u tal que Lqω (u) = f − hω, f iω y hu, ωi = 0
Resultados
Gqω autoadjunto, semidefinido positivo y singular
Gqω (v) = 0 sii v = aω
Gqω (Lqω (u)) = Lqω (Gqω (u)) = u − hu, ωiω ∀u ∈ C(V )
Núcleo de Green
Gqω : V × V −→ R,
Gqω (x, y) = Gqω (εy )(x)
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Resistencia efectiva respecto de ω
Si Lqω (u) =
Rω : V × V −→ R,
εy
εx
u(x)
u(y)
−
, Rω (x, y) = hLqω u, ui =
−
ω(x) ω(y)
ω(x) ω(y)
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Resistencia efectiva respecto de ω
Si Lqω (u) =
Rω : V × V −→ R,
εy
εx
u(x)
u(y)
−
, Rω (x, y) = hLqω u, ui =
−
ω(x) ω(y)
ω(x) ω(y)
Resistencia total respecto de ω
Si Lqω (v) =
rω : V −→ R,
v(x)
1
εx
− ω , rω (x) = hLqω v, vi =
− hv, ωi
ω(x)
ω(x) n
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Resistencia efectiva respecto de ω
Si Lqω (u) =
Rω : V × V −→ R,
εy
εx
u(x)
u(y)
−
, Rω (x, y) = hLqω u, ui =
−
ω(x) ω(y)
ω(x) ω(y)
Resistencia total respecto de ω
Si Lqω (v) =
rω : V −→ R,
v(x)
1
εx
− ω , rω (x) = hLqω v, vi =
− hv, ωi
ω(x)
ω(x) n
Resultados
Rω simétrica, no negativa
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Resistencia efectiva respecto de ω
Si Lqω (u) =
Rω : V × V −→ R,
εy
εx
u(x)
u(y)
−
, Rω (x, y) = hLqω u, ui =
−
ω(x) ω(y)
ω(x) ω(y)
Resistencia total respecto de ω
Si Lqω (v) =
rω : V −→ R,
v(x)
1
εx
− ω , rω (x) = hLqω v, vi =
− hv, ωi
ω(x)
ω(x) n
Resultados
Rω simétrica, no negativa
Rω (x, y) = 0 sii x = y
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Resistencia efectiva respecto de ω
Si Lqω (u) =
Rω : V × V −→ R,
εy
εx
u(x)
u(y)
−
, Rω (x, y) = hLqω u, ui =
−
ω(x) ω(y)
ω(x) ω(y)
Resistencia total respecto de ω
Si Lqω (v) =
rω : V −→ R,
v(x)
1
εx
− ω , rω (x) = hLqω v, vi =
− hv, ωi
ω(x)
ω(x) n
Resultados
Rω simétrica, no negativa
Rω (x, y) = 0 sii x = y
Gqω (x, x)
rω (x) =
ω 2 (x)
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Rω : V × V −→ R,
Resistencia efectiva respecto de ω
Si Lqω (u) =
εy
εx
u(x)
u(y)
−
, Rω (x, y) = hLqω u, ui =
−
ω(x) ω(y)
ω(x) ω(y)
Resistencia total respecto de ω
Si Lqω (v) =
rω : V −→ R,
v(x)
1
εx
− ω , rω (x) = hLqω v, vi =
− hv, ωi
ω(x)
ω(x) n
Resultados
Rω simétrica, no negativa
Rω (x, y) = 0 sii x = y
Gqω (x, x)
rω (x) =
ω 2 (x)
Rω (x, y) = rω (x) + rω (y) − 2
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Gqω (x, y)
ω(x)ω(y)
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Índice de Kirchhoff respecto de ω
k(ω) =
1 X
Rω (x, y)ω 2 (x)ω 2 (y)
2
x,y∈V
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Índice de Kirchhoff respecto de ω
k(ω) =
1 X
Rω (x, y)ω 2 (x)ω 2 (y)
2
x,y∈V
Resultado
k(ω) =
X
rω (x)ω 2 (x) =
x∈V
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X
Gqω (x, x)
x∈V
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Redes cluster
Γ0 red base , V (Γ0 ) = {x1 , . . . , xm }
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Redes cluster
Γ0 red base , V (Γ0 ) = {x1 , . . . , xm }
Γ1 , . . . , Γm redes satélite, con xi ∈ V (Γi )
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Redes cluster
Γ0 red base , V (Γ0 ) = {x1 , . . . , xm }
Γ1 , . . . , Γm redes satélite, con xi ∈ V (Γi )
Γ = Γ0 {Γ1 , . . . , Γm } = (V, E, c) red cluster
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Redes cluster
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Redes cluster
Γ0 red base , V (Γ0 ) = {x1 , . . . , xm }
Γ1 , . . . , Γm redes satélite, con xi ∈ V (Γi )
Γ = Γ0 {Γ1 , . . . , Γm } = (V, E, c) red cluster
V =
m
S
V (Γi ), E =
i=1
m
S
E(Γi ) y c viene dada por las conductancias
i=0
originales de cada red
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Redes cluster
Γ0 red base , V (Γ0 ) = {x1 , . . . , xm }
Γ1 , . . . , Γm redes satélite, con xi ∈ V (Γi )
Γ = Γ0 {Γ1 , . . . , Γm } = (V, E, c) red cluster
V =
m
S
V (Γi ), E =
i=1
m
S
E(Γi ) y c viene dada por las conductancias
i=0
originales de cada red
Figura: Ejemplo de red cluster
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Laplaciano, op. de Schrödinger del cluster
ω peso en Γ0 {Γ1 , . . . , Γm }
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Laplaciano, op. de Schrödinger del cluster
ω peso en Γ0 {Γ1 , . . . , Γm }
σi coeficientes tales que ωi = σi−1 ω peso en Γi
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9 / 14
Laplaciano, op. de Schrödinger del cluster
ω peso en Γ0 {Γ1 , . . . , Γm }
σi coeficientes tales que ωi = σi−1 ω peso en Γi
Li laplaciano de Γi
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9 / 14
Laplaciano, op. de Schrödinger del cluster
ω peso en Γ0 {Γ1 , . . . , Γm }
σi coeficientes tales que ωi = σi−1 ω peso en Γi
Li laplaciano de Γi
L laplaciano de Γ0 {Γ1 , . . . , Γm }
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9 / 14
Laplaciano, op. de Schrödinger del cluster
ω peso en Γ0 {Γ1 , . . . , Γm }
σi coeficientes tales que ωi = σi−1 ω peso en Γi
Li laplaciano de Γi
L laplaciano de Γ0 {Γ1 , . . . , Γm }
Liqω operador de Schrödinger de Γi
i
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Laplaciano, op. de Schrödinger del cluster
ω peso en Γ0 {Γ1 , . . . , Γm }
σi coeficientes tales que ωi = σi−1 ω peso en Γi
Li laplaciano de Γi
L laplaciano de Γ0 {Γ1 , . . . , Γm }
Liqω operador de Schrödinger de Γi
i
Lqω operador de Schrödinger de Γ0 {Γ1 , . . . , Γm }
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Redes cluster
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9 / 14
Laplaciano, op. de Schrödinger del cluster
ω peso en Γ0 {Γ1 , . . . , Γm }
σi coeficientes tales que ωi = σi−1 ω peso en Γi
Li laplaciano de Γi
L laplaciano de Γ0 {Γ1 , . . . , Γm }
Liqω operador de Schrödinger de Γi
i
Lqω operador de Schrödinger de Γ0 {Γ1 , . . . , Γm }
Resultados
L(u) = Li (u) + L0 (u)(xi )εxi en Vi , i = 1, . . . , m
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Laplaciano, op. de Schrödinger del cluster
ω peso en Γ0 {Γ1 , . . . , Γm }
σi coeficientes tales que ωi = σi−1 ω peso en Γi
Li laplaciano de Γi
L laplaciano de Γ0 {Γ1 , . . . , Γm }
Liqω operador de Schrödinger de Γi
i
Lqω operador de Schrödinger de Γ0 {Γ1 , . . . , Γm }
Resultados
L(u) = Li (u) + L0 (u)(xi )εxi en Vi , i = 1, . . . , m
qω = qωi + qω0 (xi )εxi en Vi , i = 1, . . . , m
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Laplaciano, op. de Schrödinger del cluster
ω peso en Γ0 {Γ1 , . . . , Γm }
σi coeficientes tales que ωi = σi−1 ω peso en Γi
Li laplaciano de Γi
L laplaciano de Γ0 {Γ1 , . . . , Γm }
Liqω operador de Schrödinger de Γi
i
Lqω operador de Schrödinger de Γ0 {Γ1 , . . . , Γm }
Resultados
L(u) = Li (u) + L0 (u)(xi )εxi en Vi , i = 1, . . . , m
qω = qωi + qω0 (xi )εxi en Vi , i = 1, . . . , m
Lqω (u) = Liqω (u) + L0qω (u)(xi )εxi en Vi , i = 1, . . . , m
i
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0
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Núcleo de Green del cluster
Gqiω operador de Green respecto de ωi de Γi
i
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Núcleo de Green del cluster
Gqiω operador de Green respecto de ωi de Γi
i
Gqω operador de Green respecto de ω de Γ0 {Γ1 , . . . , Γm }
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10 / 14
Núcleo de Green del cluster
Gqiω operador de Green respecto de ωi de Γi
i
Gqω operador de Green respecto de ω de Γ0 {Γ1 , . . . , Γm }
Giqω núcleo de Green respecto de ωi de Γi
i
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Núcleo de Green del cluster
Gqiω operador de Green respecto de ωi de Γi
i
Gqω operador de Green respecto de ω de Γ0 {Γ1 , . . . , Γm }
Giqω núcleo de Green respecto de ωi de Γi
i
Gqω núcleo de Green respecto de ω de Γ0 {Γ1 , . . . , Γm }
Araúz, Bendito, Carmona, Encinas (UPC)
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Núcleo de Green del cluster
Gqiω operador de Green respecto de ωi de Γi
i
Gqω operador de Green respecto de ω de Γ0 {Γ1 , . . . , Γm }
Giqω núcleo de Green respecto de ωi de Γi
i
Gqω núcleo de Green respecto de ω de Γ0 {Γ1 , . . . , Γm }
Resultado
Sea f ∈ C(V ) con hω, f i = 0
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Núcleo de Green del cluster
Gqiω operador de Green respecto de ωi de Γi
i
Gqω operador de Green respecto de ω de Γ0 {Γ1 , . . . , Γm }
Giqω núcleo de Green respecto de ωi de Γi
i
Gqω núcleo de Green respecto de ω de Γ0 {Γ1 , . . . , Γm }
Resultado
Sea f ∈ C(V ) con hω, f i = 0
Si u ∈ C(V ) con Lqω (u) = f y hω, ui = 0,
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Núcleo de Green del cluster
Gqiω operador de Green respecto de ωi de Γi
i
Gqω operador de Green respecto de ω de Γ0 {Γ1 , . . . , Γm }
Giqω núcleo de Green respecto de ωi de Γi
i
Gqω núcleo de Green respecto de ω de Γ0 {Γ1 , . . . , Γm }
Resultado
Sea f ∈ C(V ) con hω, f i = 0
Si u ∈ C(V ) con Lqω (u) = f y hω, ui = 0,
u=
m X
Gqiω (f ) − Af,i Gqiω (εxi ) + Bf,i ωi − Cf ω,
i
i
i=1
donde Af,i , Bf,i y Cf coeficientes reales que dependen del dato f
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Resultado
El núcleo de Green de la red cluster viene dado por
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Resultado
El núcleo de Green de la red cluster viene dado por
Gqω =
Gqω =
Gjqω (·, ·) + Dj Gjqω (xj , ·) ⊗ ωj + Fj ωj ⊗ Gjqω (·, xj ) + Hj ωj ⊗ ωj ,
j
j
j
en Vj × Vj , j = 1, . . . , m,
Di,j Giqω (·, xi ) ⊗ ωj + Fi,j ωi ⊗ Gjqω (xj , ·) + Hi,j ωi ⊗ ωj ,
i
j
en Vi × Vj , j = 1, . . . , m, i 6= j,
donde los coeficientes son reales
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Resultado
El núcleo de Green de la red cluster viene dado por
Gqω =
Gqω =
Gjqω (·, ·) + Dj Gjqω (xj , ·) ⊗ ωj + Fj ωj ⊗ Gjqω (·, xj ) + Hj ωj ⊗ ωj ,
j
j
j
en Vj × Vj , j = 1, . . . , m,
Di,j Giqω (·, xi ) ⊗ ωj + Fi,j ωi ⊗ Gjqω (xj , ·) + Hi,j ωi ⊗ ωj ,
i
j
en Vi × Vj , j = 1, . . . , m, i 6= j,
donde los coeficientes son reales
Rωi resistencia efectiva respecto de ωi en Γi
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Resultado
El núcleo de Green de la red cluster viene dado por
Gqω =
Gqω =
Gjqω (·, ·) + Dj Gjqω (xj , ·) ⊗ ωj + Fj ωj ⊗ Gjqω (·, xj ) + Hj ωj ⊗ ωj ,
j
j
j
en Vj × Vj , j = 1, . . . , m,
Di,j Giqω (·, xi ) ⊗ ωj + Fi,j ωi ⊗ Gjqω (xj , ·) + Hi,j ωi ⊗ ωj ,
i
j
en Vi × Vj , j = 1, . . . , m, i 6= j,
donde los coeficientes son reales
Rωi resistencia efectiva respecto de ωi en Γi
Rω resistencia efectiva respecto de ω en Γ0 {Γ1 , . . . , Γm }
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Resultado
El núcleo de Green de la red cluster viene dado por
Gqω =
Gqω =
Gjqω (·, ·) + Dj Gjqω (xj , ·) ⊗ ωj + Fj ωj ⊗ Gjqω (·, xj ) + Hj ωj ⊗ ωj ,
j
j
j
en Vj × Vj , j = 1, . . . , m,
Di,j Giqω (·, xi ) ⊗ ωj + Fi,j ωi ⊗ Gjqω (xj , ·) + Hi,j ωi ⊗ ωj ,
i
j
en Vi × Vj , j = 1, . . . , m, i 6= j,
donde los coeficientes son reales
Rωi resistencia efectiva respecto de ωi en Γi
Rω resistencia efectiva respecto de ω en Γ0 {Γ1 , . . . , Γm }
rωi resistencia total respecto de ωi en Γi
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Resultado
El núcleo de Green de la red cluster viene dado por
Gqω =
Gqω =
Gjqω (·, ·) + Dj Gjqω (xj , ·) ⊗ ωj + Fj ωj ⊗ Gjqω (·, xj ) + Hj ωj ⊗ ωj ,
j
j
j
en Vj × Vj , j = 1, . . . , m,
Di,j Giqω (·, xi ) ⊗ ωj + Fi,j ωi ⊗ Gjqω (xj , ·) + Hi,j ωi ⊗ ωj ,
i
j
en Vi × Vj , j = 1, . . . , m, i 6= j,
donde los coeficientes son reales
Rωi resistencia efectiva respecto de ωi en Γi
Rω resistencia efectiva respecto de ω en Γ0 {Γ1 , . . . , Γm }
rωi resistencia total respecto de ωi en Γi
rω resistencia total respecto de ω en Γ0 {Γ1 , . . . , Γm }
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Índice de Kirchhoff del cluster
ki (ωi ) Índice de Kirchhoff respecto de ωi de Γi
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Índice de Kirchhoff del cluster
ki (ωi ) Índice de Kirchhoff respecto de ωi de Γi
k(ω) Índice de Kirchhoff respecto de ω de Γ0 {Γ1 , . . . , Γm }
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Redes cluster
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Índice de Kirchhoff del cluster
ki (ωi ) Índice de Kirchhoff respecto de ωi de Γi
k(ω) Índice de Kirchhoff respecto de ω de Γ0 {Γ1 , . . . , Γm }
Resultados
Rω (x, y) =
Rωi (x, y)
σi2
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si x, y ∈ Vi ;
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Índice de Kirchhoff del cluster
ki (ωi ) Índice de Kirchhoff respecto de ωi de Γi
k(ω) Índice de Kirchhoff respecto de ω de Γ0 {Γ1 , . . . , Γm }
Resultados
Rωi (x, y)
si x, y ∈ Vi ;
σi2
Rωj (x, xj ) Rωi (y, xi ) Rω0 (xi , xj )
Rω (x, y) =
+
+
+
σj2
σi2
σ02
+Lj rωj (xj ) + Mi rωi (xi ) + Nij
Rω (x, y) =
si x ∈ Vj , y ∈ Vi , i = 1, . . . , m, i 6= j,
donde los coeficientes son reales
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Índice de Kirchhoff del cluster
ki (ωi ) Índice de Kirchhoff respecto de ωi de Γi
k(ω) Índice de Kirchhoff respecto de ω de Γ0 {Γ1 , . . . , Γm }
Resultados
Rωi (x, y)
si x, y ∈ Vi ;
σi2
Rωj (x, xj ) Rωi (y, xi ) Rω0 (xi , xj )
Rω (x, y) =
+
+
+
σj2
σi2
σ02
+Lj rωj (xj ) + Mi rωi (xi ) + Nij
Rω (x, y) =
si x ∈ Vj , y ∈ Vi , i = 1, . . . , m, i 6= j,
donde los coeficientes son reales
k(ω) =
Pm
i=1
ki (ωi ) +
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m
P
i,j=1
σi2 σj2
Rω0 (xi , xj )
2σ02
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+
m
P
i=1
!
(1 − σi2 )
P
rωi (xi )
x∈Vi
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Aplicaciones
Sea Γ0 grafo base (grafo = conductancias 1), con m nodos
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Aplicaciones
Sea Γ0 grafo base (grafo = conductancias 1), con m nodos
Sean Γ1 , . . . , Γm copias de un mismo grafo, con n vértices cada una
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Aplicaciones
Sea Γ0 grafo base (grafo = conductancias 1), con m nodos
Sean Γ1 , . . . , Γm copias de un mismo grafo, con n vértices cada una
Consideramos Γ0 {Γ1 , . . . , Γm }. Tomamos el peso constante en toda la red
cluster, ω = w
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Aplicaciones
Sea Γ0 grafo base (grafo = conductancias 1), con m nodos
Sean Γ1 , . . . , Γm copias de un mismo grafo, con n vértices cada una
Consideramos Γ0 {Γ1 , . . . , Γm }. Tomamos el peso constante en toda la red
cluster, ω = w
Resultado
El Índice de Kirchhoff de este ejemplo viene dado por
k(ω) = k1 (ω1 ) + nk0 (ω0 ) +
m−1 X
Rω1 (x, x1 )
n
x∈V1
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Aplicaciones
Sea Γ0 grafo base (grafo = conductancias 1), con m nodos
Sean Γ1 , . . . , Γm copias de un mismo grafo, con n vértices cada una
Consideramos Γ0 {Γ1 , . . . , Γm }. Tomamos el peso constante en toda la red
cluster, ω = w
Resultado
El Índice de Kirchhoff de este ejemplo viene dado por
k(ω) = k1 (ω1 ) + nk0 (ω0 ) +
m−1 X
Rω1 (x, x1 )
n
x∈V1
Este caso particular fue estudiado por Li, Yang y Zhang (2009) para el grafo
cluster con la noción no generalizada del Índice de Kirchhoff y se ha podido
comprobar que, restringiendo la noción generalizada a este ejemplo, el presente
trabajo y el de Li, Yang y Zhang coinciden en sus resultados
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Gracias
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