Guía práctica de Algebra Lineal

Transcripción

CAPITULO I. INTRODUCCIÓN
1.1 Antecedentes.
En el plan 90 o Modelo rígido de las Facultades de Ingeniería la materia de
Algebra Lineal como tal no existía, pero si se abordaba de alguna manera en
las diversas materias que se impartían, por ejemplo en Matemáticas II para
Ingeniería en Electrónica y Comunicaciones o en Matemáticas III para
Ingeniería Química. Cuando se impartía esta materia los maestros se apoyan
en diversos autores, como el Francis Florey o Stanley I Grossman pero en
ningún momento se elaboró un material específico que le pudiera servir de
apoyo a los estudiantes.
Hoy día la Experiencia Educativa se recomienda llevarla en el primer periodo o
segundo y se supone que los chicos ya traen algunas nociones del bachillerato
en cuanto a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, cálculo de
determinantes y vectores, etc., con esta información el estudiante aborda sin
mucho problema las primeras dos unidades: matrices y determinantes y
resolución de sistemas de ecuaciones lineales, pero cuando llega a los temas
fuertes del algebra lineal, como: espacios vectoriales, espacios con producto
interno, transformaciones lineales y valores propios el estudiantes se pierde, ya
que en estos temas se parte de una definición formal, que el estudiante debe
aprender a usar para demostrar propiedades de estos objetos. Se ha detectado
en algunas investigaciones que una de las dificultades del aprendizaje del
álgebra lineal está en esta manera de proceder, ya que si un estudiante no
comprende bien una definición entonces ese estudiante tendrá problemas para
entender conceptos, resolver problemas y demostrar propiedades asociadas a
esa definición ( Sierpinska, 1996, Dorier, 2002, etc.).
Para su enseñanza en la actualidad existen infinidad de softwares (Derive,
Mathematica, MatLab, MathCad, etc.) y calculadoras que ayudan a los
estudiantes a resolver de una manera más rápida diversos cálculos
algebraicos. Pero a pesar de esto los índices de aprobación en esta
1
experiencia no son muy halagadores, por esta razón se debe de buscar
alternativas de apoyo tanto a estudiantes como maestros.
1.2 Justificación
A partir de 1998 la Universidad Veracruzana empieza una reforma curricular
buscando un nuevo modelo educativo que respondiera a la necesidad de
actualizar su papel en el sistema de educación superior nacional, ya que se les
reclama a las universidades mayor eficiencia y racionalidad y, al mismo tiempo
calidad y pertinencia social en la educación que se imparte. (Jeny Beltran
Casanova, propuesta del nuevo modelo educativo).
Para responder a esta demanda en Agosto del 2004 entra en vigor un nuevo
Modelo Educativo en el área técnica. Este nuevo modelo llamado MEIF
(Modelo Educativo Integral y Flexible) está centrado
en el estudiante,
buscando su formación integral y armónica, a través de un aprendizaje (basado
en competencias) permanente en los diversos ámbitos de su quehacer
profesional y de su vida personal.
Con la finalidad de formar alumnos autónomos y que el maestro sea ahora un
facilitador del aprendizaje, se empieza a trabajar en el desarrollo de materiales
que auxilien al estudiante a aprender por si solos, tal es el caso de la “guía de
ejercicios prácticos”
1.3 Objetivo
Hoy día las facultades del Área-Técnica está buscando el consolidarse como
programas de calidad y para esto se debe acceder a nivel 1 de CIEES
(Comités Interinstitucionales para la Evaluación de la Educación Superior) lo
cual implica cumplir con una serie de indicadores, dentro de los cuales se
encuentra la producción de materiales didácticos que apoyen al estudiante,
razón por la cual el objetivo de este trabajo es:
Elaborar una guía de ejercicios prácticos de Algebra Lineal que les sirva de
apoyo a los estudiantes que cursen dicha materia.
2
1.4 Características y funciones esenciales
Las funciones esenciales de esta guía de ejercicios prácticos son:
1. Servir de apoyo didáctico a los maestros que impartan dicha experiencia
2. Ser un apoyo de consulta para los estudiantes que estén cursando
Algebra Lineal.
3. Servir de complemento a la bibliografía recomendada por el maestro.
Sus características son:
1. Estar redactada en un lenguaje claro y sencillo (de estudiante a
estudiante).
2. Indicar la resolución de ejercicios paso a paso.
3. Proporcionar un software libre que apoya la resolución de sistemas de
ecuaciones lineales, graficación de la solución de sistemas de
ecuaciones lineales 2x2 y 3x3, cálculo de determinantes, multiplicación
matricial e inversa de una matriz, espacios vectoriales y espacios con
producto interno.
4. Proporcionar una serie de ejercicios para resolver que sirven como una
retroalimentación a los temas vistos.
3
CAPITULO II. MATRICES Y DETERMINANTES
2.1 Concepto de matriz
Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J.
Sylvester.
El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853
En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada
de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.
Una matriz A de m x n es un arreglo rectangular de números acomodados en
m renglones (filas o hileras) y n columnas:
El orden de la matriz anterior se indica cómo m x n. A menos que se indique lo
contrario se considera que los elementos de una matriz son reales.
La componente ij-ésima de A, denotado por aij, es el número que aparece en
el
i-ésimo reglón y la j-ésima columna de A. Ocasionalmente, la matriz A
se escribirá
A= (aij). Las matrices se identifican mediante letras mayúsculas y
los elementos con letras minúsculas.
Si A es una matriz de m x n con m = n, entonces A recibe el nombre de matriz
cuadrada. Una matriz de m x n en la que todas sus componentes son ceros se
llama matriz cero.
Los elementos de una matriz se pueden representar entre paréntesis o
corchetes.
EJEMPLO 1.- Matrices de diferentes ordenes.
1)
2)
3)
4)
4
5)
EJEMPLO 2.- Componentes de una matriz. Hallar las componentes 1) a12; 2)
a31 y
3) a22 de:
Solución: a12 = 3 así de manera similar a31 = 6 y a22 = -4.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Hallar las componentes 1) a33; 2) a13 y 3) a11 de la siguiente matriz
2.2 Operaciones con matrices y sus propiedades
Igualdad de Matrices
Definición de la igualdad de matrices
Dos matrices A=[aij] y B=[bij] son iguales si y solo si tienen el mismo orden (m x
n) y aij= bij para 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n.
EJEMPLO 3.- Igualdad de Matrices.
1) Encuentre los valores de a11, a12, a21 y a22 en la siguiente igualdad
matricial.
Solución: Dado que dos matrices son iguales sólo si sus elementos
correspondientes son iguales, se concluye que
a11 = 5, a12 =-6,
a21 =-1
a22 =8.
2) Encuentre los valores de x, y, z y w para que las siguientes matrices
sean iguales.
5
Son iguales si y solo si
x + 3 = 0; y – 2 = -10; z = -8; w -1 = 1
de donde x = -3; y = -8; z= -8; y w = 2.
Suma de Matrices
Definición de Suma de Matrices
Si A= [aij] y B=[bij] son matrices de orden m x n, entonces sus suma es la
matriz m x n definida como
A+B= [aij+ bij].
Nota: La suma de dos matrices de órdenes diferentes no está definida.
EJEMPLO 4.- Suma de Matrices
1)
2)
3)
4) L a suma de
no está definida, porque no
son del mismo orden.
Software Matemática
Es un conjunto de herramientas que le ayudarán a conseguir que le ayudarán a
conseguir que el aprendizaje
de las matemáticas resulte más fácil. Dicho
software cuenta con una guía en flash que explica de manera breve lo que este
puede
hacer,
como
la
de
evaluar
expresiones
algebraicas,
realiza
representaciones de graficas tanto en 2D como 3D y resolución de ecuaciones,
entre otras cosas.
6
EJEMPLO USANDO MATEMATICA
Suma de matrices:
7
Multiplicación por Escalar
Definición de Multiplicación Escalar
Si A = [aij] es una matriz m x n y c es un escalar, entonces la multiplicación de
la matriz por el escalar c es la matriz m x n definida por
cA = [caij].
Para representar el producto escalar (-1)A se usa –A
Si A y B son del mismo orden, entonces A – B representa la suma de A y (-1)B.
Es decir, la resta de matrices A – B.
EJEMPLO 5.- Multiplicación por un Escalar y Resta de Matrices.
Para las matrices
y
Encontrar
1. 3 A
2. –B
3. 3 A – B.
Solución:
1.
2. –
3.
8
Observación: A menudo es conveniente reescribir la multiplicación escalar cA
factorizando c en todos los elementos de la matriz. Por ejemplo, a continuación
se observa que el escalar ½ se ha factorizado.
Multiplicación por escalar:
Propiedades de la suma y multiplicación por un escalar
Sean A, B y C matrices de orden m x n, k y m escalares cualquiera, entonces la
suma y multiplicación por escalar cumplen con las siguientes propiedades:
Propiedades para la suma
1. Propiedad cerradura
2. Propiedad conmutativa
3. Propiedad asociativa
4. Propiedad del elemento neutro.
5. Propiedad del elemento inverso.
A + B M mxn
A+ B = B + A
A + (B + C) = (A + B) + C
A+0=0+A=A
A + (-A) = -A + A = 0
Propiedades para la multiplicación por escalar
1. Propiedad de cerradura
kA M mxn
2. (km)A = k(mA) = m(kA)
3. Propiedad distributiva para la suma por escalar
(k + m)A = kA + kA
4. Propiedad distributiva para la suma matricial k(A + B) = kA + kB
5. Sea
1A = A1 = 1
Multiplicación de Matrices
La tercera operación básica es la multiplicación de matrices. A primera vista,
la siguiente definición puede parecer inusual. Sin
embargo, como se verá
9
después, esta definición del producto de dos matrices tiene muchas
aplicaciones prácticas.
Definición de Multiplicación de Matrices
Si A =[aij] es una matriz m x n y B =[bij] es una matriz n x p, entonces el
producto AB es una matriz m x p, dada por AB = [cij]
Donde
Esta definición significa que el elemento en el i-ésimo reglón y en el j-ésima
columna del producto AB se obtiene al multiplicar los elementos del i-ésimo
renglón de A por los elementos correspondientes de la j-ésima columna de B y
luego los resultados se suman. Este proceso se ilustra con el siguiente
ejemplo.
Nota: Para que 2 matrices A y B se puedan multiplicar el número de columnas
de A debe ser igual al número de filas de B.
Encuentre el producto AB, donde
Solución: Primero, observe que el producto AB está definido porque el orden
de A es 3 x 2 y el de B es 2 x 2. Además, el producto AB será de orden 3 x 2
y es de la forma
.
Para determinar c11 (el elemento en el primer renglón y en la primera columna
del producto), se multiplica los elementos correspondientes en el primer
renglón de A y en la primera columna de B. Es decir,
Y así sucesivamente
10
Entonces matriz producto
EJEMPLO 6.- Multiplicación de Matrices.
1)
2)
3)
4)
5)
Observación: Nótese la diferencia entre los productos en los incisos 4) y 5) del
ejemplo 6. En general, la multiplicación de matrices no es conmutativa. Es
decir, casi nunca es cierto que el producto de AB sea igual al producto BA.
11
Multiplicación de dos matrices que tiene diferente orden.
Efectué el cálculo indicado con
1) A+3B
2) 2A-B
3) 3B
4) Hallar una matriz C tal que
sea la matriz cero de 3 x 2.
Multiplica las siguientes matrices.
1)
2)
12
2.3 Aplicaciones de Matrices
Aplicación de la multiplicación de matrices.
EJEMPLO 7.- Análisis de precios de comestibles. Suponga que uno quiere
comparar el costo total de ciertos comestibles. La siguiente tabla, que puede
ser vista como una matriz, que da el costo en centavos de una libra de cada
uno de los productos en tres supermercados.
Si se compra 5 libras de carne, 3 lb de pan 10 lb, de papas, 4 lb de manzanas,
y 2 lb de café, podemos representar las cantidades compradas por la matriz.
El costo total está dado por el producto
Veamos que el costo total en el supermercado 2 es 9 centavos más bajo que
en el supermercado1 y 20 centavos menor que en el supermercado 3. En este
caso las matrices, brindan una forma conveniente y resumida de enunciar y
resolver el problema.
La multiplicación matricial también es utilizable para obtener la potencia de una
matriz cuyo proceso se ilustra con el ejemplo siguiente.
EJEMPLO 8.- Para la matriz
hallar
13
Y así sucesivamente.
En general se puede decir que A n
A n 1 A para
Calcule
, donde
Calcule
, donde
.
.
1) Calcule
donde
2) Calcule
, donde
3) Calcule
, donde
.
.
.
2.4 Tipos de Matrices.
Hay algunas matrices que aparecen frecuentemente y que según sus
características reciben nombres diferentes:
Matriz Fila: Aquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden1 x n.
EJEMPLO 9.-
Matriz Columna: Aquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden
m x 1.
14
EJEMPLO10.-
.
Matriz Traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz
que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.
Se representa por At ó AT. Si A= (aij) m×n , su transpuesta es At = (aij) nxm.
EJEMPLO 11.- Hallar la transpuesta de la matriz
Propiedades de la Matriz Transpuesta.
Supóngase que A = (aij) es una matriz de n x m y que B = (bij) es una matriz de
m x p. Entonces,
i.
ii. (AB)t = BtAt
iii. Si A y B son de n x m, entonces (A + B)t = At + Bt.
Matriz Nula: Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz
cero y se denota por
.
EJEMPLO 12.-
Matriz Simétrica: Es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta.
A = At, aij = aji.
EJEMPLO 13.observando que ambas
matrices
son iguales.
Matriz Antisimétrica: Es una matriz cuadrada que es el negativo de su
traspuesta.
15
A = -At, aij = -aji
Necesariamente aii = 0.
EJEMPLO 14.-
Matriz Identidad: Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos
excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. También se denomina
matriz unidad.
EJEMPLO 15.-
Matriz Triangular: Es una matriz que tiene todos los elementos por encima o
por debajo de la diagonal principal nulos, de acuerdo a esto se llama T.
inferior ó T. superior respetivamente.
EJEMPLO 16.1. Triangular superior
2. Triangular inferior
Matriz Normal: Una matriz es normal si conmuta (en la multiplicación) con su
traspuesta. Las matrices simétricas, antisimétricas son necesariamente
normales.
EJEMPLO 17.-
16
Obtención de la transpuesta de una matriz de 3 x 2:
Encuentre la transpuesta de las siguientes matrices:
1)
2)
3) Determine los números
tales que
sea simétrica.
17
4) Llena los espacios faltantes para que la matriz
sea
antisimétrica.
2.5 Inversa de una matriz
Matriz Inversa: Decimos que una matriz cuadrada A tiene inversa denotada
como A-1, si se verifica que
A A-1 = A-1 A = I y cumple con las siguientes
propiedades:
i. Sean A y B matrices invertibles. Entonces si AB es invertible se cumple que
(AB)-1 = B-1A-1.
ii. Si A es invertible, entonces At también es invertible y (At)-1 = (A-1)t.
NOTA:
Para obtener una matriz inversa se manejan dos métodos: operaciones
elementales y determinantes.
Método de Operaciones Elementales.
Para llevar a cabo este método se sigue el siguiente procedimiento:
Paso 1. Escríbase la matriz aumentada (A I).
Paso 2. Utilícese la reducción por renglones con el objetivo de reducir la matriz
Paso 3. Decídase si A es invertible.
a. Si A se puede reducir a la matriz identidad I, entonces A -1 será la
matriz que aparece a la derecha de la barra vertical.
b. Si la reducción por renglones de A lleva a un renglón de ceros a
la izquierda de la barra vertical, entonces A no es invertible.
Para llevar a cabo la reducción por renglones se tiene que utilizar las
operaciones elementales de reglón que son.
i. Multiplicar (o dividir) un reglón por (o entre) un número
distinto de cero.
18
ii. Sumar el múltiplo de un renglón a otro reglón.
iii. Intercambiar dos renglones.
EJEMPLO 18.- Sea
, calcúlese A-1 si existe.
Primero se escribe la matriz aumentada.
Y luego se efectúa la reducción por renglones:
Como A se ha reducido a I, se tiene
se factoriza
a fin de facilitar los cálculos.
Comprobación
19
PRECAUCIÓN. Como es muy fácil cometer errores numéricos al calcular A -1,
es muy importante comprobar los cálculos asegurándose de que
.
EJEMPLO 19.- Sea
. Calcule A-1, si existe.
Solución:
Así,
Comprobación
EJEMPLO 20.- Una matriz que no es invertible. Sea
.
Calcule A-1, si existe.
Solución:
Procediendo como en el ejemplo anterior se tiene
20
Hasta aquí puede llegarse. La matriz A no se puede reducir a la matriz
identidad, por lo que se concluye que A no es invertible.
EJEMPLOS USANDO MATEMATICA
Inversa de una matriz de 3 x 3:
Matriz que no tiene inversa:
Calcular la inversa de las siguientes matrices:
1)
2)
3)
21
2.6 Determinante de una matriz.
Se definirá el determinante de una matriz n x n como una función que le asigna
a una matriz de orden n, un número real llamado el determinante de la matriz.
Si A es una matriz de orden n, el determinante de la matriz A lo denotaremos
por det(A) o también por
A (las barras no significan valor absoluto).
El determinante de una matriz de orden 2 esta dado por
y para su
calculo es el producto de los elementos de la diagonal principal menos el
producto de la diagonal secunadaria, esto es
EJEMPLO 21.-Hallar el valor de:
Hallar el determinante de la matriz
Hallar el valor de:
1)
2)
3)
22
2.7 Evaluación de una determinante 3 x 3 (regla de Sarrus).
La regla de Sarrus permite calcular determinantes de orden 3 de una manera
bastante fácil y sencilla recibe su nombre del matemático francés Pierre
Frédéric Sarrus.
Paso 1: Escriba la matriz A y enseguida las primeras dos columnas de A como
se muestra a continuación.
Paso 2: Calcule los productos indicados por las flechas. Los productos
correspondientes a las flechas que se dirigen hacia abajo se toman con signo
positivo, mientras los productos correspondientes a las flechas que se dirigen
hacia arriba se toman con signo negativo.
EJEMPLO 22.- Calcular el siguiente de terminante de orden 3.
1)
2)
Nota: Esta regla solo aplica a determinantes de orden 3x3
23
Hallar el determinante de la matriz
Encontrar el valor de los siguientes determinantes:
1)
2)
3)
2.8 Obtención de un determinante por Método de Cofactores.
Cuando se requiere obtener el valor de un determinante de orden mayor a 3 se
recomienda utilizar el método de cofactores o de propiedades de
determinantes.
Método de cofactores
Para aplicar este método primero se definirán algunos conceptos previos:
Una Submatriz aij es la que se obtiene al eliminar la fila i y columna j de la
matriz
.
24
Por ejemplo dada la matriz
su submatriz
está dada por
.
El cofactor
está dado por
Por ejemplo el cofactor
esta dado por
.
Para obtener el valor de un determinante por el método de cofactores se
utiliza una expansión que puede ser por filas o por columnas y que consiste en
la suma de los productos de los elementos de la fila o columna por sus
correspondientes cofactores.
EJEMPLO 23.- Hallar el determinante de
utilizando el método
de cofactores.
Resolviendo por expansión en la primera fila:
Donde
Sustituyendo se tiene que
EJEMPLO 24.- Hallar el determinante de la siguiente matriz, utilizando
cofactores.
Por expansión fila 4
25
Nota: para mayor facilidad en la aplicación de este método utilizar aquella fila o
columna que tenga más elementos nulos.
Ejemplo 25.- Hallar el determinante de la siguiente matriz
Por expansión en columna 1
Donde
El cual al ser calculado por expansión en fila 4 nos queda
26
Entonces
EJEMPLOS USANDO MATEMATICA
Calcular el determinante de
Calcular el determinante de
.
.
Hallar el determinante de las siguientes matrices:
1)
27
2)
3)
2.9 Propiedades de los determinantes.
Algunas propiedades importantes que tienen los determinantes, y que se
enuncian sin demostración, son:
1. Si una matriz tiene una línea (fila) o columna de ceros, el determinante vale
cero.
Esta propiedad es evidente, puesto que por definición de determinante, basta
elegir dicha línea para desarrollar y el determinante será 0.
2. Si una matriz tiene dos filas (o columnas) iguales o proporcionales, su
determinante es nulo.
3. Si intercambiamos dos filas (o columnas) de una matriz cuadrada, su
determinante cambia de signo, por ejemplo:
intercambiando la fila 3 con la 4 se tiene
4. Si multiplicamos todos los elementos de una fila (o columna) de un
determinante por un número, el determinante queda multiplicado por ese
número. Por ejemplo:
28
Sabemos que
si multiplicamos la fila dos
por 2
entonces
.
5. El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta,
6. El determinante de una matriz triangular superior es igual al producto de los
elementos situados en la diagonal principal.
7. Si a una fila (o columna) de una matriz se le suma otra fila (o columna)
multiplicada por un número, el determinante no cambia.
Esta propiedad permite utilizar un método más sencillo para calcular
determinantes de orden mayor que 3.
Una estrategia a tener en cuenta en este caso de determinantes de orden 4 o
superior, o incluso de orden 3 si la matriz es compleja, es el método de “hacer
ceros”, puesto que el valor del determinante no varía al realizar a la matriz
ciertas transformaciones elementales en filas (o columnas), como indica la
propiedad 6 anterior, si bien hemos de ser cuidadosos al aplicar dicha
propiedad.
Así pues la mejor forma de calcular un determinante es hacer ceros en una fila
o columna y desarrollar por dicha fila o columna, porque entonces sólo
tendremos que calcular un cofactor.
EJEMPLO 26.- Obtener el valor del determinante
utilizando
propiedades.
Utilizando al 1 (de la posición
) como elemento pivote se tiene que:
Multiplicando la fila 2 por -2 y sumándoselo a la fila 3 y que el cambio vaya a
parar a la fila 3, al mismo tiempo multiplicando la fila 2 por -3 y sumárselo a la
fila 4 y que el cambio valla a la fila 4, se obtiene
29
El cual se puede resolver por cofactores por expansión en la columna 1,
resultando
Donde
Con lo que
Como hemos dicho, hemos de tener especial cuidado al aplicar esta regla con
determinantes, puesto que no podemos hacer las mismas operaciones que con
las matrices, lo que puede confundir.
EJEMPLO 27.- Si queremos calcular el determinante de
Mediante la regla de Sarrus es:
O bien haciendo ceros en la primera columna, multiplicando por -4 la fila uno y
sumándole este resultado a la fila 3 se tiene
Utilizando cofactores por expansión en la columna 1 se llega a
Lo que es correcto. Sin embargo, si queremos hacer cero el 1 de la primera
columna sería un error hacer -1 por la fila 3 y sumárselo a 4 por la fila 1,
quedando
30
que al ser resultado por cofactores por expansión en la columna 1
queda como
No obtenemos lo mismo, porque hemos multiplicado la fila sustituida por un
número y eso altera el valor del determinante. Luego la fila a sustituir conviene
no multiplicarla, como en el primer ejemplo, puesto que si no nos damos
cuenta, podemos variar el valor del determinante.
Utiliza propiedades de determinantes para encontrar el valor de:
1)
2)
3)
2.10 La inversa por determinantes
Hay una estrecha relación entre la inversa de una matriz cuadrada y su
determinante. De hecho se verifica que:
Propiedad: Una matriz cuadrada A tiene inversa sí y solo sí |A|
0.
31
Además, en este caso, la matriz inversa de
, denotada como
se calcula
de la manera:
Donde
denota la matriz adjunta de A, es decir, aquella que se obtiene al
trasponer la matriz de cofactores.
EJEMPLO 28.- Calcular, si es posible, la inversa de la matriz
En primer lugar,
y por tanto
tiene inversa.
Calculando ahora la matriz de cofactores
Donde
Con lo que
y por lo tanto
De donde
32
EJEMPLO 29.- Calcula la inversa de la matriz
En primer lugar,
y por lo tanto A tiene inversa.
Calculando ahora la matriz del cofactores
Donde
Con lo que
y por lo tanto
De donde
33
Calcula si es posible la inversa de las siguientes matrices:
1)
2)
3)
CAPITULO III. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
3.1 Introducción A Sistemas De Ecuaciones Lineales
La mayoría de las preguntas que se presentan en ingeniería, física,
matematicas, economía y otras ciencias se reducen al problema de resolver un
problema lineal.
Se denomina sistema de
-ecuaciones lineales con -incognitas a un sistema
de ecuaciones de la forma:
34
Los números
sistema, y
son los coeficientes del
son los términos constantes. Si todos los términos
constantes son cero, el sistema se llama homogéneo.
Los sistemas lineales admiten una sencilla representación matricial. Así,
podemos denotar
siendo:
Una solución (particular) de una ecuación es una sucesión de números que,
cuando se sustituyen en las variables, produce una ecuación que es una
identidad.
El conjunto de todas las soluciones particulares se llama conjunto solución.
Para describir todo el conjunto solución de una ecuación lineal, a menudo se
utiliza una representación paramétrica.
Un sistema de ecuaciones puede clasificarse según el número de soluciones
de la siguiente manera:
35
Solucion De Un Sistema De Ecuaciones Lineales
Tiene Una O Mas Soluciones
No Tiene Solucion
COMPATIBLE
INCOMPATIBLE
Solucion Unica
Infinitas
Soluciones
DETERMINADO
INDETERMINADO
A manera de introducción examinaremos un sistema
de la forma
Cada ecuación puede representarse de forma grafica como una recta en el
plano. La pareja ordenada
será una solución del sistema si y solo si
yace en ambas rectas. Por ejemplo, considérense los sistemas
Soluciones:
a) Este sistema tiene exactamente una solución,
y
. Esto se
puede interpretar que en el punto (1,0) las rectas se intersecan. El punto
verde en la grafica es el punto de intersección.
36
b) Este sistema no tiene solución ya que es imposible que la uma de dos
números sea 2 y 1 a la vez, esto quiere decir que se trata de 2 rectas
paralelas, o sea, nunca habrá punto de intersección.
c) Este sistema tiene infinitas soluciones, o sea que se trata de dos rectas
que están una sobre otra (coincidentes), es por eso que se encuentran
infinitos puntos de unión. Por esta misma razón solo se ve una recta en
lugar de dos.
A continuación se presentan las 3 soluciones graficas de los incisos anteriores.
a)
b)
c)
Ya con una introducción de los sistemas de ecuaciones lineales, se profundiza
en sus métodos de resolución. A continuación se explicara cada método y se
verán algunos ejemplos para reforzar el entendimiento.
37
A excepción de los problemas que se verán en las aplicaciones, cada ejemplo
se resolverá de dos formas: manual y por software.
4.2 Eliminación Gaussiana
Este método de resolución de sistemas de ecuaciones admite una fácil
programación, lo que permite resolver un sistema con la ayuda de la
computadora.
La idea del método consiste en aplicar a la matriz ampliada del sistema
transformaciones
elementales
sobre
las
filas
(no
pueden
realizarse
transformaciones columna) obteniendo, de esta forma, sistemas equivalentes al
dado pero cada vez más manejables.
Mediante transformaciones, se consigue obtener un sistema equivalente al
dado que tiene por matriz de los coeficientes una matriz escalonada.
La notación quedara simplificada empleando matrices ampliadas para
representar en todo momento a los sistemas lineales equivalentes que resultan
tras las transformaciones.
El algoritmo sería el siguiente:
Sistema
Matriz Ampliada
Transformaciones
Elementales
Solución
Sistema
Equivalente
Matriz Triangular
Superior
El funcionamiento del método se ilustra con los siguientes ejemplos:
38
EJEMPLO 27.- Resolver el sistema.
Y nuestro problema es encontrar los valores de
.
Primero construimos nuestra matriz de coeficientes.
Este método, también conocido como de eliminaciones sucesivas o método
de escalonamiento comienza restando múltiplos de la primera ecuación (fila) a
las restantes, con el fin de eliminar una incógnita, en este caso, la
de las
ultimas ecuaciones. Para ello:
El coeficiente de
en la primera ecuación se le llama pivote (en este caso el
2).
En la mayoría de los casos es conveniente, por razones de cálculo, multiplicar
nuestra primera ecuación por un numero que convierta a nuestro pivote en 1 ó
también podemos cambiar nuestra fila por otra en la cual el primer número sea
1 (en este ejemplo lo dejaremos así).
Para resolver nuestro sistema realizamos las siguientes operaciones
(transformaciones elementales sobre filas):
Sumamos a la segunda ecuación la primera multiplicada por -2.
Sumamos a la tercera ecuación la primera multiplicada por 1.
En el segundo paso, ignoramos la primera ecuación y aplicamos el proceso a
las dos ecuaciones restantes, donde las incógnitas son
En este caso, el pivote es -1 (coeficiente de
y .
en la segunda ecuación).
Sumamos a la tercera ecuación la segunda multiplicada por 3.
39
Y llegamos al sistema equivalente:
Ahora el proceso de eliminación esta completo. Hay un orden evidente para
resolver este sistema: de la última ecuación obtenemos:
Sustituyendo este resultado en la segunda ecuación obtenemos:
Y por último, sustituyendo ambos resultados en la primera ecuación, se obtiene
Resolviendo mediante software:
Los resultados de la resolución manual y por software son iguales, p queda
comprobado.
Este proceso para obtener los valores de las incógnitas, se conoce con el
nombre de sustitución regresiva. Es fácil entender cómo podemos extender
la idea de la eliminación gaussiana a un sistema de
-ecuaciones con
-
incógnitas:
40
I.
En un primer paso, utilizamos múltiplos de la primera ecuación para
anular todos los coeficientes bajo el primer pivote.
II.
A continuación, se anula la segunda columna bajo el segundo pivote,
etc.
III.
La última columna contiene solo a la última de las incógnitas.
IV.
La sustitución regresiva conduce a la solución en sentido contrario, es
decir, comenzando por la última incógnita hasta llegar a la primera.
Veamos dos ejemplos más.
EJEMPLO 28.- Resolver el sistema:
Primero obtenemos matriz de coeficientes y la matriz ampliada del sistema.
Procedemos a escalonar la matriz ampliada del sistema como lo hicimos en el
ejercicio anterior:
Sumamos a la tercera ecuación la primera multiplicada por -1.
Así como lo hicimos en el ejemplo anterior, al terminar de convertir en ceros las
posiciones debajo de nuestro pivote procedemos a cambiar éste, es decir,
ignoramos a la primera ecuación y ocupamos como pivote a la segunda
ecuación, en este caso el nuevo pivote es -1 (coeficiente de
en la segunda
ecuación). Continuamos con el último paso:
Sumamos a la tercera ecuación la segunda multiplicada por -1.
41
La presencia de la última fila de ceros indica que existían dos ecuaciones
proporcionales en el último paso (la segunda y tercera ecuaciones son
idénticas) por lo que puede ser eliminada del sistema equivalente:
La sustitución regresiva, proporciona los valores:
En este ejemplo existe una relación de dependencia entre las variables
e .
Si tomamos un valor cualquiera para , este determina otro para la . Existen
infinitas soluciones en este caso, que podemos expresar de forma paramétrica
como:
Se dice que
actúa como variable independiente y
son variables
dependientes. Estamos ante un sistema compatible indeterminado.
Ahora se comprobara el resultado por el software:
42
Por lo tanto queda comprobado.
EJEMPLO 29.- Resolver el sistema:
Primero obtenemos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada del sistema.
Procedemos a escalonar la matriz ampliada del sistema como lo hicimos en los
ejercicios anteriores:
43
Así como lo hicimos en el ejemplo anterior, al terminar de convertir en ceros las
posiciones debajo de nuestro pivote procedemos a cambiar éste, es decir,
ignoramos a la primera ecuación y ocupamos como pivote a la segunda
ecuación, en este caso el nuevo pivote es 1 (coeficiente de
en la segunda
ecuación). Continuamos con el último paso:
Sumamos a la tercera ecuación la segunda multiplicada por -1.
La última fila representa la ecuación:
Lo que produce un sistema incompatible ya que:
Por tanto no hay soluciones para nuestro sistema original.
Comprobando por software que el sistema es incompatible:
44
A continuación se proponen algunos ejercicios para su resolución.
Resuelva los sistemas dados por el método de eliminación Gaussiana y
comprobar los resultados mediante el software.
Ejercicio 1.-
Ejercicio 2.-
Ejercicio 3.-
45
3.3 Método de Gauss – Jordan
La eliminación de Gauss-Jordan o Método de Gauss-Jordan para resolver un
sistema de ecuaciones lineales consiste en convertir la matriz aumentada en
una matriz reducida por renglones y a partir de ésta interpretar directamente la
solución del sistema.
Este método utiliza las mismas técnicas de eliminación Gaussiana (incluyendo
el pivoteo), pero con el objetivo de finalizar con una matriz de la siguiente
forma:
Para lograr esto, se usa la técnica del pivoteo con la única diferencia que el
pivote se usa para hacer ceros hacia abajo y hacia arriba.
Resolveremos el siguiente sistema lineal:
EJEMPLO 30.- Resolver mediante el sistema de Gauss – Jordan.
Primero construimos nuestra matriz de coeficientes y nuestra matriz ampliada
del sistema.
Habitualmente, cuando los cálculos se realizan a mano, con objeto de reducir la
cantidad
de
anotaciones,
se
realizan
transformaciones
elementales
paralelamente a varias filas a la vez. Por otra parte, también es deseable evitar,
en la medida de lo posible, la manipulación de fracciones.
Haciendo las transformaciones de fila correspondientes:
46
Así, obtenemos nuestro sistema equivalente como sigue:
Por tanto la solución del sistema es:
Comprobando los resultados obtenidos:
Por lo tanto, se han comprobado los resultados.
EJEMPLO 31.- Resolver por el método de Gauss – Jordan.
Primero construimos nuestra matriz de coeficientes y nuestra matriz
ampliada del sistema.
47
Haciendo las transformaciones de fila correspondientes:
Sumamos a la cuarta ecuación la primera multiplicada por -1.
Sumamos a la tercera ecuación la segunda multiplicada por .
Sumamos a la cuarta ecuación la segunda multiplicada por .
Sumamos a la cuarta ecuación la tercera multiplicada por -1.
48
Al contener solo ceros, ignoramos la última ecuación y utilizamos como nuevo
pivote a la tercera.
Multiplicamos a la ecuación 3 por
.
Sumamos a la segunda la tercera multiplicada por 5.
Sumamos a la primera ecuación la tercera multiplicada por -2.
Multiplicamos a la segunda ecuación por .
Sumamos a la primera la segunda ecuación multiplicada por -1.
El sistema equivalente es el siguiente
Hemos ignorado el último renglón que consta totalmente de ceros. Al despejar
en cada ecuación la incógnita correspondiente a la entrada principal de cada
renglón del sistema equivalente, obtenemos:
Lo cual se puede expresar en forma paramétrica como:
49
Comprobando la solución:
Por lo tanto, queda demostrado.
A continuación se presentan algunos ejercicios para su resolución. Resolver los
sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss-Jordan y comprobar
los resultados mediante el software.
Ejercicio 1.-
Ejercicio 2.-
Ejercicio 3.-
50
3.4 Sistemas homogéneos
Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es homogéneo cuando todos
sus términos independientes son nulos, es decir, es un sistema del tipo:
También podemos escribir en forma matricial como:
Un sistema como este (homogéneo) siempre tiene al menos una solución, a
saber,
. Generalmente esta solución cero se le llama solución trivial.
Vemos que un sistema homogéneo es siempre consistente, pues siempre tiene
la solución trivial.
Como
siempre es una solución, solamente hay dos
posibilidades: la solución cero es la única solución ó hay un número infinito de
soluciones además de la solución cero (las soluciones distintas de la solución
cero se conocen como las soluciones no triviales).
EJEMPLO 32.- Resolver el siguiente sistema, por el método de Gauss Jordan:
Primero construimos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada del sistema.
Ahora empezamos con las transformaciones:
Sumamos a la segunda ecuación la primera multiplicada por 1.
51
Multiplicamos a la ecuación 2 por .
Sumamos a la tercera ecuación la primera multiplicada por 3.
Multiplicamos a la tercera ecuación por
.
Sumamos a la segunda ecuación la tercera multiplicada por -1.
Sumamos a la primera ecuación la tercera multiplicada por -3.
Sumamos a la primera ecuación la segunda multiplicada por -2.
Por lo tanto, la solución del sistema es
Lo cual significa que el sistema homogéneo dado solo tiene la solución trivial.
Comprobando con el software
52
La cual concuerda con nuestros resultados anteriores.
EJEMPLO 33.- Resolver el siguiente sistema por el método de
eliminación Gaussiana:
Primero construimos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada del
sistema.
Resolviendo:
Intercambiamos la ecuación 1 y la ecuación 2.
53
Multiplicamos a la segunda ecuación por
.
Sumamos a la tercera ecuación la segunda multiplicada por 7.
Multiplicamos a la tercera ecuación por .
Con lo que resulta el sistema equivalente:
Los pivotes se encuentran sobre las tres primeras columnas por lo que
tomaremos como variables dependientes
, resultando
la única variable
independiente. El sistema homogéneo es compatible; presenta infinitas
soluciones
(aparte
de
la
solución
cero)
que
podemos
expresar,
paramétricamente, como:
Comprobando los resultados:
54
Por lo tanto queda comprobado.
sistemas de ecuaciones lineales homogeneos por el método de Gauss-Jordan
o eliminación Gaussiana y comprobar los resultados mediante el software.
Ejercicio 1.-
Ejercicio 2.-
Ejercicio 3.-
55
3.5 Matriz inversa
La teoría general de matrices encuentra una de sus aplicaciones más
inmediatas en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales con múltiples
incógnitas.
Aunque posteriormente fue objeto de un extenso desarrollo teórico, este campo
de las matemáticas surgió en realidad como un instrumento de cálculo para
facilitar las operaciones algebraicas complejas.
Un procedimiento rápido para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales
mediante matrices es el llamado método de la matriz inversa. Esta técnica
consiste en multiplicar por la izquierda los dos miembros de la expresión
matricial del sistema de ecuaciones por la matriz inversa de la de los
coeficientes (si existe). De este modo:
Cuando la matriz de los coeficientes no es invertible, el sistema no tiene
solución (es incompatible).
Consideremos un sistema de
ecuaciones lineales con n incógnitas, cuya
expresión general es la siguiente:
Este sistema se puede escribir en forma matricial del siguiente modo:
La matriz
se llama
matriz del sistema, es de dimensión
elementos son los coeficientes de las incógnitas. La matriz
columna, de dimensión
último, la matriz
,
.
y sus
es una matriz
formada por las incógnitas del sistema. Por
es otra matriz columna, de dimensión
, formada por los
términos independientes. Es decir:
Si el determinante de la matriz
tiene inversa (
es distinto de cero
, la matriz A
). Por lo tanto, podemos calcular la matriz de las incógnitas
del siguiente modo:
56
Es decir, para calcular la matriz columna de las incógnitas ( ), multiplicamos la
inversa de la matriz
(
) por la matriz columna de los términos
independientes, obteniéndose otra matriz columna de la misma dimensión que
.
A continuación veremos el primer ejemplo:
EJEMPLO 34.- Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones mediante matriz
inversa.
Solución.
Comprobamos en primer lugar, si la matriz A es invertible, es decir, si su
determinante es distinto de cero y, en este caso calculamos su inversa.
Calculando la determinante de A.
Entonces la matriz es invertible
Al comprobar que nuestra matriz es invertible, entonces se puede resolver por
el método de la matriz inversa como sigue:
Se junta la matriz
con la matriz identidad para formar la matriz:
Ahora aplicando operaciones elementales en los renglones, se intenta escribir
esta matriz en la forma
como sigue, este proceso se lleva a cabo con
el método de Gauss - Jordan que vimos anteriormente:
Se suma -2 veces la primera fila a la segunda fila.
Se suma -3 veces la primera fila a la segunda fila.
57
Se multiplica
veces la segunda fila.
Se suma 3 veces la segunda fila a la tercera.
Se multiplica
Se suma
veces la tercera fila.
veces la tercera fila a la segunda.
Se suma -5 veces la tercera fila a la primera.
Se suma -2 veces la segunda fila a la primera.
58
Por consiguiente, la matriz
Finalmente, tenemos que
Para obtener a
, entonces:
multiplicamos la matriz
por la primer fila de la matriz
.
Para obtener a
matriz
por la segunda fila de la
.
Para obtener a
por la tercera fila de la matriz
.
Comprobamos los resultados con el software
59
EJEMPLO 34.- Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones mediante matriz
inversa.
Solución.
Comprobamos en primer lugar, si la matriz A es invertible, es decir, si su
Al comprobar que nuestra matriz es invertible, entonces se puede resolver por
el método de la matriz inversa como sigue:
Se junta la matriz
60
como sigue:
Se suma la primera fila a la segunda:
Se suma -2 veces la primera fila a la tercera:
Se suma la segunda fila a la tercera:
Se multiplica por a la tercera fila:
Se suma -3 veces la tercera fila a la segunda:
Se suma -3 veces la tercera fila a la primera:
Se suma 2 veces la segunda fila a la primera:
61
Finalmente, tenemos que
, entonces:
Para resolver este producto haremos los siguientes pasos:
Para obtener a
por la primer fila de la matriz
.
Para obtener a
matriz
por la segunda fila de la
.
Para obtener a
por la tercera fila de la matriz
.
Comprobando los resultados obtenidos:
62
Por lo tanto se han comprobado los resultados.
Este método es importante, pero no es muy práctico para resolver un sistema
de ecuaciones lineales. Es decir, representa más trabajo intentar determinar
y luego multiplicar por
que simplemente resolver el sistema por medio
de eliminación Gaussiana con sustitución hacia atrás como lo vimos
anteriormente.
Sin embargo, una situación en la que se podría considerar una aplicación de
este método seria como método de cómputo, cuando hubiera muchos sistemas
de ecuaciones lineales, todos con la misma matriz de coeficientes.
En este caso, podría determinarse una sola vez la matriz inversa y resolver
luego cada sistema al calcular el producto
.
A continuación se demuestra esto con un ejemplo:
63
EJEMPLO 34.- Utilice una matriz inversa para resolver los siguientes sistemas:
Solución: Como podemos ver los tres sistemas tienen la misma matriz de
coeficientes y es la siguiente.
Comprobamos en primer lugar, si la matriz
es invertible, es decir, si su
A continuación seguimos el proceso para obtener la matriz inversa como en los
ejemplos anteriores.
Se junta la matriz
como sigue:
Se multiplica por a la primera fila.
Se suma -3 veces la primera fila a la segunda.
Se suma -2 veces la primera fila a la tercera.
64
Se multiplica
veces la segunda fila.
Se suma -1 veces la segunda fila a la tercera.
Se multiplica -3 veces la tercera fila.
Se suma
veces la tercera fila a la segunda.
Se suma
veces la tercera fila a la primera.
Se suma
veces la segunda fila a la primera.
65
Una vez que calculamos la matriz inversa por el método de Gauss – Jordan,
tenemos que para resolver cada sistema se usa la multiplicación matricial como
se muestra a continuación:
a)
La solución del primer sistema es:
y
b)
La solución del segundo sistema es:
y
c)
La solución del tercer sistema es:
y
Comprobando los resultados de los 3 sistemas
a)
66
El primer sistema ha sido comprobado.
b)
67
c)
Y es en este tipo de situaciones en donde el método de la matriz inversa
demuestra su utilidad y efectividad.
68
sistemas de ecuaciones lineales por el método de matriz inversa y comprobar
los resultados mediante el software.
Ejercicio 1.
Ejercicio 2.
Ejercicio 3. Use una matriz inversa para resolver los sistemas de ecuaciones
lineales dados.
3.6 Método de Cramer
El método de Cramer sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se
aplica a sistemas que cumplan las dos condiciones siguientes:
El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.
El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.
Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones según la regla de
Cramer son los siguientes:
1. Hallar la matriz ampliada
asociada al sistema de ecuaciones, esto
es (como ya lo habíamos visto): que la primera columna esté formada
por las entradas de los coeficientes de la primera incógnita de las
ecuaciones; que la segunda columna la formen las de la segunda
incógnita, y así hasta llegar a la última columna, que estará constituida
por las entradas de los términos independientes de las ecuaciones.
2. Calcular el determinante de A (
).
3. Aplicar la regla de Cramer, que consiste en:
69
a. Ir sustituyendo la primera columna del
por los términos
independientes;
b. Dividir el resultado de este determinante entre el
para
hallar el valor de la primera incógnita;
c. Continuar sustituyendo los términos independientes en las
distintas columnas para hallar el resto de las incógnitas.
Considere el sistema de n ecuaciones en n incognitas:
El cual puede ser escrito en la forma
Supongamos que
dada por
. Entonces el sistema tiene una única solución
. Podemos desarrollar un método para encontrar esta
solución sin reducción de renglones y sin el cálculo de
, estamos hablando
de la regla de Cramer.
A continuación veremos unos ejemplos explicados paso por paso.
EJEMPLO 35.- Resolver el sistema lineal por la regla de Cramer.
Construimos nuestra matriz de coeficientes.
Obtenemos el valor del determinante de A (este tiene que ser diferente de 0
para continuar en caso contrario no se puede resolver por este método).
70
Ahora para resolver
sustituimos la primera columna de la matriz de
coeficientes por los valores de los términos independientes y obtenemos el
valor del nuevo determinante:
Para obtener el valor de
dividimos el valor el determinante de
entre el
determinante de , esto es:
Lo mismo se hace para obtener :
Y así mismo para obtener :
71
Entonces la solución del sistema lineal es:
Comprobando por software
Con lo cual queda comprobado.
EJEMPLO 36.- Resolver el siguiente sistema por la regla de Sarrus.
Construimos nuestra matriz de coeficientes:
72
Obtenemos el valor del determinante de A (este tiene que ser diferente de 0
para continuar en caso contrario no se puede resolver por este método). La
resolución de determinantes de 4x4 se vio en el capítulo 1.
Ahora para resolver
sustituimos la primera columna de la matriz de
coeficientes por los valores de los términos independientes y obtenemos el
valor del nuevo determinante:
Para obtener el valor de
dividimos el valor el determinante de
entre el
determinante de , esto es:
Lo mismo se hace para obtener :
73
Igualmente para obtener :
De la misma manera calculamos a
:
Finalmente las soluciones de nuestro sistema de ecuaciones son:
Comprobando resultados:
74
Así queda comprobado.
75
3.7 Aplicaciones
Las aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales son muy diversas, por
ejemplo podemos utilizarlos en el análisis de una red eléctrica, en un ajuste
polinomial de curvas, en la química, en la economía y hasta en casos de
nuestra vida cotidiana.
Además de ser una herramienta de apoyo en el
desarrollo de varias Experiencias Educativas del programa.
A continuación se describirán las aplicaciones mencionadas en el párrafo
anterior.
Nota: todos los sistemas de los ejemplos de aplicaciones se resolverán
por medio del software Matemáticas de Microsoft.
***Análisis de redes***
Las redes compuestas de ramificaciones y nodos se usan como modelos en
campos tan variados como economía, análisis de tránsito vehicular e ingeniería
eléctrica.
En estos modelos se asume que el flujo total hacia un nodo es igual al flujo que
sale de él.
Dado que cada nodo en una red origina una ecuación lineal, el flujo se puede
analizar a través de una red compuesta por varios nodos al resolver un sistema
de ecuaciones lineales.
Es posible observar como el tipo de análisis de redes presentado en los
siguientes ejemplos puede usarse en problemas relacionados con el flujo de
vehículos por las calles de una ciudad o con el flujo de agua a través de un
sistema de irrigación.
Esto se ejemplificara con los siguientes ejercicios.
Ejemplo1. Establezca un sistema de ecuaciones lineales para representar la
red mostrada en la siguiente figura y resuelva.
76
Cada una de los 5 nodos origina una ecuación lineal como se muestra a
continuación:
Reacomodando nuestro sistema, se tiene que:
Analizando nuestro sistema vemos que está compuesto por 5 ecuaciones y 5
incognitas.
A continuación se resuelve este sistema mediante el software:
77
La solución es paramétrica, en otras palabras, tiene infinitas soluciones. Dando
un valor parametrico a
Así dándole un valor a
, se tiene que
se pueden saber los valores de las otras incógnitas.
Ejemplo 2.- En la siguiente figura se muestra el flujo de tráfico (en vehículos por
hora) que circula por una red de calles.
a) Resuelva el sistema para
b) Encuentre el flujo vehicular cuando
c) Encuentre el flujo vehicular cuando
.
.
78
Solución.
Resolviendo el inciso (a).
El primer paso es armar el sistema de ecuaciones lineales a partir de la figura,
recordando que es una ecuación por nodo, este quedaría como sigue:
Analizando nuestro sistema vemos que posee 4 ecuaciones y 4 incognitas,
reacomodando términos se tiene que:
Aplicando el software, se tiene
79
Soluciones:
Nuevamente tenemos un sistema parametrico, el cual tiene a
independiente y a
y
como variable
como variables dependientes. Solo queda
expresar la solución en forma parametrica, así que:
Resolviendo el inciso (b).
80
En este inciso nos dan el valor
de la variable independiente que en este caso
es 0, al sustituirla en nuestras soluciones, tenemos que:
La interpretación que le debemos dar al sigo negativo del resultado de
es
que la dirección de la flecha es en sentido opuesto, es decir, el flujo de carros
es 100 pero en dirección inversa a la que tiene la flecha de
.
Resolviendo el inciso (c).
Repitiendo lo que se hizo en el ejercicio anterior pero con un valor
, se
tiene que:
***Análisis de una red eléctrica***
Otro tipo de red a la cual suele aplicarse el análisis de redes es la red eléctrica.
En un análisis de este sistema se usan dos propiedades de las redes eléctricas
conocidas como leyes de Kirchhoff.
1. Toda la corriente que fluye hacia un nodo debe fluir hacia fuera de el.
2. La suma de los productos
( es la corriente y
es la resistencia)
alrededor de una trayectoria cerrada es igual a la tensión total en la
trayectoria.
En una red eléctrica, la corriente se mide en unidades Amperes, la resistencia
en ohms y el producto de la corriente y la resistencia en unidades volt.
En las baterías la corriente fluye hacia afuera de la terminal denotada por la
línea más larga o del signo positivo al negativo.
Ejemplo 1.- determine las corrientes
e
de la red eléctrica mostrada en la
siguiente figura.
81
Trayectoria 1
Nodo 1
Nodo 2
Trayectoria 2
Solución.
Al aplicar la primera ley de kirchhoff en el nodo 1 se tiene (la cual es la misma
ecuación del nodo 2, así que se ocupa solo una).
Al aplicar la segunda ley de kirchhoff a las 2 trayectorias se tiene que
Por lo tanto, al juntar las ecuaciones de la primera y la segunda ley se tiene el
siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incognitas:
A continuación se resuelve:
82
Las corrientes entonces son
ampere,
Ejemplo 2.- determine las corrientes
amperes e
e
ampere.
para la red de la siguiente
figura.
Solución.
Al aplicar la primera ley de Kirchhoff a los cuatro nodos se tiene que
Al aplicar la segunda ley de Kirchhoff a las tres trayectorias se tiene que
Al juntar las ecuaciones obtenidas en la primera y segunda ley de Kirchhoff se
obtiene un sistema de 7 ecuaciones y 6 incognitas. Se arma la matriz ampliada
y se resuelve.
83
Resolviendo el sistema.
***Ajuste polinomial de curvas***
Ejemplo.- Determine el polinomio
cuya grafica pasa por
los puntos (1,4), (2,0) y (3,12).
Solución: al sustituir
y
en
e igualar los resultados con los valores
respectivos de , se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales en las
variables
y
.
Así, se obtiene el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas como sigue
A continuación se resuelve el sistema
84
Lo cual significa que el polinomio es:
Graficando el polinomio en el mismo software tenemos:
Ejemplo.- Encuentre un polinomio que se ajuste a los puntos (-2,3), (-1,5), (0,1),
(1,4) y (2,10).
Primero se construyen el polinomio con los datos dados, como se puede ver
son cuatro puntos, entonces nuestro polinomio quedaría como sigue:
85
Y el sistema de ecuaciones correspondiente se obtendrá al sustituir cada
pareja de datos, y es el siguiente:
Igualando cada ecuación con su valor en y, se obtiene el sistema de 5
ecuaciones con 5 incógnitas como sigue.
Insertamos el sistema en nuestro software.
86
Por lo tanto se obtiene los valores de los coeficientes del polinomio de cuarto
grado se sustituye estos valores en la ecuación del polinomio y quedaría como
sigue:
Sacando
como factor común para simplificar el polinomio:
Obteniendo la grafica:
87
***Procesos químicos***
Ejemplo.- Se necesitan tres ingredientes distintos
y
para producir una
determinada sustancia. Pero deben disolverse primero en agua, antes de
ponerlos a reaccionar para producir la sustancia. La solución que contiene
con 1.5 gramos por centímetro cubico
cuya concentración es de 3.6
, combinada con la solución
y con la solución
con 5.3
25.07 gramos de la sustancia. Si las proporciones de
soluciones
se
cambian
a
2.5,
4.3
y
2.4
forman
y
,
en esas
respectivamente
(permaneciendo iguales los volúmenes), se obtienen 22.36 gramos de la
sustancia. Por último, si las proporciones se cambian a 2.7, 5.5 y 3.2
,
respectivamente, se producen 28.14 gramos de la sustancia. ¿Cuáles son los
volúmenes, en centímetros cúbicos, de las soluciones que contienen
y ?
Solución.
Sean
y
contienen
masa de
los centímetros cúbicos de volumen de las soluciones que
y . Entonces, en el primer caso
y
es la masa de
es la masa de ,
es la
. Al sumarlas deben dar 25.07. Así,
. Este razonamiento se aplica para los demás casos.
Entonces se tiene un sistema de 3 ecuaciones lineales y 3 incógnitas que se
muestra a continuación.
Se introduce el sistema al software
88
Por consiguiente, los volúmenes de correspondientes de las 3 soluciones que
contienen
y , son
y
.
***Balanceo de reacciones químicas***
Otra aplicación de los sistemas de ecuaciones lineales en química es el
balanceo de reacciones químicas. Es preciso introducir coeficientes enteros
frente a cada uno de los reactivos, para que la cantidad de átomos de cada
elemento sea igual en ambos lados de la ecuación.
Ejemplo 1. Balancea la siguiente reacción química.
Se calcularan los coeficientes de
y
que balanceen la ecuación
Solución.
El número de átomos de un elemento debe ser el mismo en los dos lados de la
expresión. Por ejemplo, en el caso del carbono vemos que del lado izquierdo
existe 1 átomo de este elemento mientras que del lado derecho el número de
átomos de carbono es solo 1, entonces se llega a la conclusión de que
.
Con este mismo razonamiento aplicado a todos los elementos, se llega al
siguiente sistema de ecuaciones:
89
Reacomodando los términos tenemos que:
Como se puede ver este sistema es un sistema homogéneo y las soluciones de
este pueden ser la trivial o soluciones infinitas.
Resolviendo el sistema con Matemáticas de Microsoft, se tiene que:
Como se puede apreciar la solución del sistema es paramétrica (infinitas
soluciones). La variable independiente es
y las variables dependientes son
.
Poniendo los resultados en forma paramétrica:
Ahora solo por ejemplificar supóngase que
, sustituyendo en las
soluciones se obtiene que:
Reduciendo
90
Y nuestra reacción quedaría de la siguiente forma:
Ejemplo 2.- Balancear la siguiente reacción química
Quitamos los paréntesis haciendo el producto y asignamos un coeficiente
entero a cada uno de los reactivos
Obteniendo ecuación por elemento
Para el
(calcio):
Para el
(silicio):
Para el
(fosforo):
Para el
(carbono):
Para el
(oxigeno):
La unión de todas las ecuaciones forma un sistema de 5 ecuaciones con 6
incognitas, el cual es el siguiente:
Introduciendo el sistema al software tenemos que:
91
La solución es parametrica, el número de soluciones es infinito.
variable independiente y
y
(
variables dependientes. Hacemos que
Ahora damos un valor a
y
( ) es la
respectivamente)son las
y tenemos que:
el cual sea entero y de cómo resultados enteros en
cada uno de nuestros coeficientes ya que no se pueden tener exponentes
fraccionarios en una reacción, a razón de que no existen fracciones de átomos.
En este caso seria cualquier múltiplo de 10.
Al sustituir nuestros coeficientes en la reacción, quedaría como sigue:
92
***Estática y equilibrio de pesos***
Calcule los pesos
y
para balancear las palancas de la figura.
Solución.
Para la solución de este problema recordaremos la ley de palanca de
Arquímedes que nos dice: dos masas en una palanca se equilibran cuando sus
pesos son inversamente proporcionales a sus distancias al punto de apoyo.
Partiendo de este principio se tiene que:
Para balancear las 2 palancas pequeñas, apegándose a la ley de arquimedes
tenemos que
para la palanca de la izquierda, y
para la
derecha. Para equilibrar la palanca principal, se necesita que
. De este modo se llegara al siguiente sistema homogéneo de tres
ecuaciones con cuatro incongnitas:
Resolviendo el sistema por software se tiene:
93
Como se puede apreciar el sistema tiene infinitas soluciones (en forma
paramétrica), esto quiere decir que hay infinidad de pesos que pueden
equilibrar este sistema. Basándonos en un parámetro se tiene que:
Igual que en el ejemplo anterior se le dará un valor a
solo para ejemplificar,
entonces:
Ejemplo.- un cuadro de 2 kg de masa cuelga de dos cables que forman los
ángulos que se muestran en la figura. Calcule los valores de las tensiones
y
.
94
Solución.
Para resolver este problema debemos tomar en cuenta la 1era ley de equilibrio
la cual nos dice: La suma algebraica de las fuerzas aplicadas a un cuerpo en
una dirección cualquiera es igual a cero.
También debemos tener en cuenta que cada fuerza tiene sus componentes
una en
y otra en .
Dibujando los diagramas de cuerpo libre:
Diagrama del cuadro
Diagrama de las tensiones
Para ocupar el valor del cuadro se tiene que convertir a fuerza, entonces:
Haciendo la sumatoria de fuerzas del cuadro
Descomponiendo las fuerzas de las tensiones en sus componentes.
Haciendo la sumatoria de fuerzas del nodo de las tensiones en el eje x:
95
Haciendo la sumatoria de fuerzas del nodo de las tensiones en el eje y:
Al juntar las dos ecuaciones obtenemos el sistema requerido.
A continuación se resuelve el sistema con el software:
***Fracciones parciales***
Calcule las constantes
y , tal que
Solución.
Se debe cumplir que
Desarrollando
96
Agrupando
Igualando términos
Como no tenemos coeficientes de
obtiene que
en el término de la izquierda entonces se
, luego vemos que para el termino independiente 1 del
otro lado tenemos
. Por consiguiente se obtiene un sistema de 2
ecuaciones con 2 incognitas:
Al resolverlo se tiene
Con este resultado nuestra fracción quedaría como
Ejercicio.- Determinar la descomposición en fracciones parciales de
Solución.
Factorizamos el denominador
97
Colocamos cada factor obtenido de la siguiente forma
Desarrollo el miembro de la izquierda
Factorizando
Igualando
Resolviendo el sistema
98
Con este resultado nuestra fracción quedaría como:
***Igualdad de polinomios***
Ejemplo.- Calcule
y
tales que los polinomios
y
sean iguales.
Solución.
Los coeficientes de las potencias correspondientes de
deben ser iguales, así
que:
Igualando términos tenemos el siguiente sistema:
Reacomodando el sistema, podemos ver que es un sistema de 3 ecuaciones
con tres incognitas, como sigue
Resolviendo el sistema por software se tiene
99
Estos serian los valores para que los dos polinomios fueran iguales.
A continuación se proponen una serie de ejercicios para ser resueltos
manualmente por cualquier método antes visto y comprobados mediante el
software Matematicas de Microsoft.
Ejercicio 1.- por un acueducto fluye agua (en miles de metros cubicos por hora)
como se muestra en la siguiente figura.
a) Resuelva este sistema para el caudal de agua representado por
.
b) Encuentre el patrón de flujo de la red cuando
.
c) Encuentre el patrón de flujo de la red cuando
y
.
Ejercicio 2.- El flujo de tráfico (en vehículos por hora) que circula por una red
de calles se muestra en la figura siguiente.
100
a) Resuelva este sistema para
.
b) Encuentre el patrón de flujo vehicular cuando
y
c) Encuentre el patrón de flujo vehicular cuando
y
.
.
Ejercicio 3.- Determine el polinomio cuya grafica pasa por los puntos (2,5), (3,2)
y (4,5) y bosqueje la grafica del polinomio.
Ejercicio 6.- Determine las corrientes
e
.
Trayectoria 1
Nodo 1
Nodo 2
Trayectoria 2
e
. Los valores de
y
101
e
. Los valores de
y
Ejercicio 9.- un cuadro de 10 kg de masa cuelga de dos cables que forman los
ángulos que se muestran en la figura. Calcule los valores de las tensiones
y
.
Ejercicio 10.- Calcule los pesos
y
para balancear las palancas de
la figura.
102
Ejercicio.- Calcule los pesos
y
para balancear las palancas de la
figura.
Ejercicio.- Calcule las constantes
y
de modo que
A continuación unos ejercicios variados que necesitan la aplicación de
sistemas.
Ejercicio 11.- Una compañía de electrónica fabrica tres tipos de computadoras:
Terio, Xtra y Cian. Para armar una Terio se necesitan 10 horas, otras 2 para
probar sus componentes y dos horas mas para instalar sus programas. El
tiempo requerido para la Xtra es 12 horas en su ensamblado, 2.5 para probarla
y 2 horas para instalarla. La Cian, la mas sencilla de la línea, necesita 6 horas
de armado, 1.5 horas de prueba y 1.5 horas de instlacion. Si la fabrica de esta
compañía dispone de 1560 horas de trabajo por mes para armar, 340 horas
103
para probar y 320 horas para instalar. ¿Cuántas PC de cada tipo puede
producir en un mes?
Ejercicio 12.- Una empresa internacional necesita, en promedio, cantidades
fijas de yenes japoneses, libras inglesas y marcos alemanes durante cada viaje
de negocios. Este año viajo 3 veces. La primera vez cambio un total de $2550
con las siguientes tasas: 100 yenes por dólar, 0.6 libras por dólar y 1.6 marcos
por dólar. La segunda vez cambio $2840 en total con las tasas de 125 yenes,
0.5 libras y 1.2 marcos por dólar. La tercera vez, cambio un total de $2800 a
100 yenes, 0.6 libras y 1.2 marcos por dólar. ¿Cuántos yenes, libras y marcos
compro cada vez?
Ejercicio 13.- Un padre desea distribuir sus bienes raíces, cuyo valor es
$234000, entre sus cuatro hijas de la siguiente manera:
de las propiedades
deben dividirse por igual entre las hijas. Para el resto, cada hija debe recibir
$3000 cada año hasta su vigésimo primer cumpleaños. Como entre ellas se
llevan tres años, ¿Cuántos recibiría cada una de los bienes de su padre? ¿Qué
edad tienen ahora esas hijas?
Ejercicio 14.- El promedio de las temperaturas en las ciudades de Veracruz,
Poza Rica y Xalapa, fue durante cierto dia de verano 30°C. En Poza Rica fue 6
grados mayor que el promedio de las temperaturas de las otras dos ciudades.
En Xalapa fue 6 grados menos que la temperatura promedio en las otras 2
ciudades. ¿Cuál fue la temperatura en cada ciudad?
104
CAPITULO IV. ESPACIOS VECTORIALES
4.1 Espacios Vectoriales
Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en el
Algebra Lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama
vectores. Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones: escalarse
(multiplicarlos por un escalar) y sumarse.
Estas dos operaciones se tienen que ceñir a un conjunto de axiomas que
generalizan las propiedades comunes de las duplas de números reales así
como de los vectores en el espacio Euclídeo. Un concepto importante es el de
dimensión.
Un espacio vectorial es un conjunto de objetos
(llamados vectores) que pueden escalarse y sumarse.
Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales
modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas
de ecuaciones lineales. La primera formulación moderna y axiomática se debe
a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX.
Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del
análisis funcional, principalmente de los espacios de funciones.
4.1.1 Historia de los espacios vectoriales
Los espacios vectoriales se derivan de la geometría afín, a través de la
introducción de coordenadas en el plano o el espacio tridimensional.
105
Los vectores se reconsideraron con la presentación de los números complejos
de Argand y Hamilton y la creación de los cuaterniones por este último
(Hamilton fue además el que inventó el nombre de vector).
Son elementos de
y
; el tratamiento mediante combinaciones lineales se
remonta a Laguerre en 1867, quien también definió los sistemas de ecuaciones
lineales.
En 1857, Cayley introdujo la notación matricial, que permite una armonización y
simplificación de las aplicaciones lineales. Casi al mismo tiempo, Grassmann
estudió el cálculo baricéntrico iniciado por Möbius. Previó conjuntos de objetos
abstractos dotados de operaciones.
En su trabajo, los conceptos de independencia lineal y dimensión, así como de
producto escalar están presentes.
En realidad el trabajo de Grassmann de 1844 supera el marco de los espacios
vectoriales, ya que teniendo en cuenta la multiplicación, también, lo llevó a lo
que hoy en día se llaman álgebras.
El matemático italiano Peano dio la primera definición moderna de espacios
vectoriales y aplicaciones lineales en 1888.
Un desarrollo importante de los espacios vectoriales se debe a la construcción
de los espacios de funciones por Henri Lebesgue.
Esto más tarde fue formalizado por Banach en su tesis doctoral de 1920 y por
Hilbert.
4.1.2 Aplicaciones
Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática,
la ciencia y la ingeniería. Se utilizan en métodos como las series de Fourier,
que se utiliza en las rutinas modernas de compresión de imágenes y sonido, o
proporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales.
Además, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de
coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos, tales como tensores,
que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades mediante
técnicas de linealización.
106
4.1.3 Definición
La definición de un espacio vectorial requiere de un cuerpo de escalares K
(como el cuerpo de los números reales o el cuerpo de los números complejos).
Un espacio vectorial es un conjunto V (no vacío) a cuyos elementos se llaman
vectores, dotado de dos operaciones:
1. Suma de vectores: cualquiera dos vectores v y w pueden sumarse para
obtener un tercer vector v + w.
2. Producto de un vector por un escalar: cualquier vector v puede
multiplicarse por un escalar
como
que pertenece a
. El producto se denota
.
Que satisfacen las siguientes propiedades o axiomas (
vectores arbitrarios de
y
son
son escalares, respectivamente):
PROPIEDAD
SIGNIFICADO
Propiedades De La Suma
1.- Propiedad de cerradura
es un elemento único de
2.- Propiedad conmutativa
3.- Propiedad asociativa
4.- Propiedad del elemento neutro aditivo
5.- Propiedad del inverso aditivo
Propiedades De La Multiplicación Por Escalar
7.- Propiedad conmutativa para el producto por
escalar
8.- Propiedad distributiva bajo la suma escalar
9.- Propiedad distributiva bajo la suma vectorial
10.- Propiedad del elemento identidad
A continuación veremos algunos ejemplos:
Ejemplo 53.- En el siguiente ejercicio demuestre que si
definida como
, la suma
, y la multiplicación por escalar como
107
, es un espacio vectorial. Si no es un espacio vectorial di
que propiedades no se cumplen.
Probando propiedades de la suma.
Sean
y
, entonces
2.- Propiedad conmutativa:
3.- Propiedad asociativa:
4.- Elemento neutro aditivo:
Sea
, entonces
5.- Elemento inverso aditivo:
108
Probando propiedades de la multiplicación escalar.
7.- Propiedad
8.- Propiedad distributiva bajo la suma escalar:
9.- Propiedad distributiva bajo la suma vectorial:
10.- Elemento identidad:
, donde 1 es el número real 1.
En conclusión el conjunto dado no es espacio vectorial ya que no cumplió con
las propiedades 2, 4, 5 y 8.
109
Ejemplo 54.-
es el conjunto de todos los pares ordenados
reales. La suma se define como
multiplicación escalar como
de números
, y la
. Determina si
es un espacio
vectorial.
Probando propiedades de la suma
Sean
y
, entonces
Sea
, entonces
110
7.- Propiedad
En conclusión el conjunto dado no es espacio vectorial ya que no cumplió con
las propiedades 2, 3, 4, 5 y 8.
111
Ejemplo 55.-
es el conjunto de todas las matrices
con componentes
reales. La suma es la suma habitual de matrices y la multiplicación escalar está
definida por
.
Probando propiedades de la suma
Sean
y
, entonces
Sea
, entonces
112
7.- Propiedad
113
En conclusión el conjunto dado es espacio vectorial ya que cumplió con las 10
propiedades.
Ejercicios propuestos.
Comprobar si son espacios vectoriales.
con componentes reales. La suma
definida por
y la multiplicación escalar está
definida por
.
definida por
por
con componentes reales. La suma
y la multiplicación escalar está definida
.
es el conjunto de todos los pares ordenador
suma definida por
definida por
de números reales. La
y la multiplicación escalar está
.
4.2 Subespacios Vectoriales
En muchos problemas, un espacio vectorial consta de un subconjunto
adecuado de vectores de algún espacio vectorial mayor. En este caso,
necesitaremos verificar solo dos de los diez axiomas de espacios vectoriales.
El resto que darán satisfechos automáticamente.
Un subespacio de un espacio vectorial
es un subconjunto
de
que tiene 2
propiedades:
1. Es cerrado bajo la suma.
2. Es cerrado bajo el producto por escalar.
114
Las propiedades 1 y 2 garantizan que un subespacio
de
es en si mismo un
espacio vectorial, bajo las operaciones de espacio vectorial ya definidas en
.
Asi, todo subespacio es un espacio vectorial. Recíprocamente, todo espacio
vectorial es un subespacio.
A continuación veremos algunos ejemplos:
Ejemplo 56.- Determina si los siguientes conjuntos son Subespacios de los
espacios dados.
y
de
ó
Nota: Para resolver este tipo de ejercicios primeramente se va a resolver para
valores particulares (números), si se cumple se generaliza y si no, se concluye
que no es un subconjunto. Esto se aplicara en el primer ejemplo.
1.- Por demostrar que es cerrado bajo la suma
Sean
y
2.- Por demostrar que es cerrado bajo el producto por escalar
Sean
y
Como se cumplieron las dos condiciones diremos que
si es un subespacio
de , pero se debe demostrar para cualquier vector.
Sean
y
Sean
Por lo tanto
y
si es un subespacio vectorial de
.
Ejemplo 57.- Demostrar que el siguiente conjunto es un subespacio vectorial
115
de
ó
Sean
Nota 1: Observa que
y
, entonces para generar
y
,a
y
se le da
cualquier valor y el valor resultante será el que tome . De esta misma forma se
comprueba si
y
pertenecen a
.
Nota 2: Con una condición que falle el conjunto deja de ser un subespacio. Así
que se detiene el proceso y queda de más demostrar la segunda propiedad.
Ejemplo 58.- Determine si el siguiente subconjunto de
de
es un subespacio
.
Dándole valores cualquiera a las variables:
Sean
nuestra primera pareja de valores, obtenemos
nuestra
primera matriz:
y
la segunda (valores tomados al azar), tenemos que:
1.- por demostrar que es cerrado bajo la suma
Tomamos a
y un valor de escalar cualquiera en este caso
, entonces:
116
Por lo tanto el subconjunto del ejercicio anterior si es un subespacio de
Demostrar que el siguiente conjunto es un subespacio vectorial
de
ó
Demostrar que el siguiente conjunto es un subespacio vectorial
de
Determine si el siguiente subconjunto de
ó
es subespacio de
.
4.3 Combinación Lineal
Un vector
de
se dice que es combinación lineal de un conjunto de vectores
si y solo si:
, para algunos escalares, no todos cero.
Ejemplo 59.- Determina si
es combinación lineal de
y
.
Nota: Para que dos vectores sean iguales deben tener el mismo número de
componentes y estas deben ser iguales, por lo tanto:
Sistema de ecuaciones
Como la variable
en la segunda ecuación esta despejada y tiene un valor
numérico solo sustituimos su valor en cualquiera de las otras ecuaciones, esto
es:
117
Entonces:
Y como se encontraron valores para
y
podemos decir que
si es
combinación lineal de los dos vectores dados.
y
,
.
Igualando coeficientes
De donde
Como se encontraron valores para
combinación lineal de
.
Ejemplo 61- Si
y
como combinación lineal de los vectores
y
entonces
si es
. Escriba
y
.
Resolviendo el sistema mediante el software:
118
Entonces
Escribiendo al vector
como una combinación lineal de los vectores
y
:
Determinar si
es combinación lineal de los vectores
,
y
.
Determinar si
,
y
.
Determinar si
y
Determinar cuáles vectores
,
.
y
pueden expresarse como combinaciones
lineales de los vectores en .
1)
2)
119
3)
4.4 Conjunto Generador
Un conjunto de vectores
de un espacio vectorial
se dice que es generador si todo vector
se puede escribir como la combinación lineal de ellos.
Ejemplo 62.- Demuestre que los vectores
espacio
y
generan el
.
Por demostrar que todo vector de
de
y
se puede escribir como combinación lineal
.
Entonces como se encontraron valores para
lineal de
y
y si genera a
y
y
si es combinación
generan a
.
se puede escribir como combinación
.
Sea
con
Por lo tanto
generan a
,
.
lineal de
y
y
.
no es combinación lineal de
y
, por consecuente no
.
120
Ejemplo 64.- Demuestre que los vectores
generan a
.
de
y
y
se puede escribir como combinación lineal
.
Sea
con
y
.
En este caso para que se cumpla la tercera fila los tres escalares deberían ser
0. Pero anteriormente vimos que para que se dé la combinación lineal no todos
los valores son cero.
Por lo tanto
generan a
no es combinación lineal de
y
por consecuente no
.
Problemas propuestos.
Determine si los siguientes conjuntos generan a
.
Determine si los siguientes conjuntos generan a
.
121
4.5 Independencia Y Dependencia Lineal
Un conjunto no vacio
vectorial
de vectores (diferentes) de un espacio
es linealmente dependiente (L.D.) si y solo si el vector 0 es una
combinación lineal de ellos, esto es:
La negación de la dependencia lineal es independencia lineal (L.I.).
Ejemplo 65.- Determine si los siguientes conjuntos de vectores son L.I. ó L.D.
Resolviendo el sistema por el software:
122
Nota: Cuando el sistema homogéneo tenga solución única los vectores serán
L.I. y para la solución múltiple serán L.D.
Ejemplo 66.- Determina si el siguiente conjunto de vectores es L.I. ó L.D.
123
Como se aprecia a simple vista en el sistema, la variable
vale 0.
Entonces podemos reducir nuestro sistema de ecuaciones de un
sistema
a un
y quedaría como sigue:
De este sistema de ecuaciones apreciamos que una recta es paralela a la otra
ya que sus coeficientes son múltiplos entre si.
De la nota anterior concluimos que el conjunto de vectores es Linealmente
Dependiente.
Ejemplo 67.- Determina si el siguiente conjunto de vectores es L.I. ó L.D.
De las ecuaciones anteriores obtenemos que
.
Entonces nuestros vectores son Linealmente Independiente.
Ejercicios propuestos
Determine cuales conjuntos de vectores son L.D ó L.I.
124
4.6 Base y dimensión
***Base***
Si
es un conjunto de vectores de un espacio vectorial , entonces
base para
es una
si y solo si
El espacio
es generado por .
es un conjunto linealmente independiente.
Ejemplo 68.- Demuestre que el conjuntos
es una base para
.
Resolviendo para
.
Por comprobar que el espacio
es generado por .
De la cual nuestro sistema quedaría de la siguiente forma
Los valores de nuestras incógnitas son:
125
Por lo tanto
y
, por consecuente genera a
.
Por comprobar que
De la cual nuestro sistema quedaría de la siguiente forma
Ya que se cumplieron las 2 condiciones llegamos a la conclusión de que
una base de
.
Ejemplo 69.- Demuestre que el conjunto
base para
es una
.
Resolviendo para
.
Por lo tanto
genera a
es
es generado por
.
y
, por consecuente
.
126
Por comprobar que
Nota: Cuando el sistema homogéneo tenga solución única los vectores serán
L.I. y para la solución múltiple serán L.D.
una base de
.
Ejemplo 70.- Demuestre que el siguiente conjunto es una base para
Por lo tanto
genera a
es
.
es generado por .
y
, por consecuente
.
Por comprobar que
127
una base de
es
.
Demuestre que cada uno de los conjuntos
,
y
una base para
son
.
Demuestre que cada uno de los conjuntos
y
es una base para
(polinomios de segundo grado).
Demuestre que cada uno de los conjuntos y son una base para
.
***Dimensión***
Si un espacio vectorial
número
tiene una base que consta de
se denomina dimensión de
vectores, entonces el
y se denota por
consta solamente del vector cero, entonces la dimensión de
. Si
se define como
cero.
Algunos ejemplos de esta definición son
La dimensión de
La dimensión de
con las operaciones normales es .
con las operaciones normales es .
128
La dimensión de
Si
con las operaciones normales es
es un subespacio de un espacio vectorial
puede demostrar que la dimensión de
.
-dimensional, entonces se
es finita y que la dimensión de
es
menor o igual que .
Básicamente la dimensión se determina al hallar un conjunto de vectores
linealmente independientes que genere el subespacio. Este conjunto es una
base del subespacio; la dimensión del subespacio es el numero de vectores
que hay en la base.
Ejemplo 71.- Determine las dimensiones de los siguientes subespacios de
a)
b)
y
.
son números reales}
es un numero real}
Solución:
El objetivo es encontrar un conjunto de vectores linealmente independientes
que genere el subespacio.
a) Al escribir el vector representativo
Se observa que
como:
es generado por el conjunto
Por los temas anteriormente vistos se puede demostrar que este conjunto es
linealmente independiente.
Resolviendo directamente el sistema
129
Por tanto, es una base de
bidimensional de
y se concluye que
.
b) Al escribir el vector representativo
Se observa que
es un subespacio
como:
vector para compararlo, así que,
. No existe otro
es un espacio unidimensional de
Ejemplo 72.- Encuentre la dimensión del subespacio de
.
generado por:
Solución.
Aunque
es generado por el conjunto , este no es una base de
un conjunto linealmente dependiente. En particular
una combinación lineal de
Esto significa que
y
porque es
puede expresarse como
en la siguiente forma:
. Además
es
linealmente independiente, ya que ningún vector es un múltiplo escalar de otro,
así se concluye que la dimensión de
es 2.
En los siguientes ejercicios determine la dimensión del espacio vectorial dado.
a)
b)
En los siguientes ejercicios encuentre una base y determine la dimensión de
.
a)
b)
es un número real}
es un número real}
En los siguientes ejercicios encuentre una base y determine la dimensión de
.
a)
es un número real}
130
b)
son número reales}
4.7 Rango de una matriz y sistemas de ecuaciones
lineales.
En este tema se verá el espacio vectorial generado por los vectores renglón o
por los vectores columna de una matriz. Después se demuestra cómo se
relacionan estos espacios con las soluciones de sistemas de ecuaciones
lineales.
Para una matriz
, las -adas correspondientes a los renglones de
se
denominan vectores renglón de .
Renglones vectores de
A
De manera similar, las
-adas correspondientes a las columnas de
se
denominan vectores renglón de .
Ejemplo 73.- Determinar los vectores columna y los vectores renglón de la
matriz .
Los vectores renglón son: (1,2,3) y (4,5,6)
Los vectores columna son: (1,4), (2,5) y (3,6)
Ejemplo 74.- Determinar los vectores columna y los vectores renglón de la
matriz .
131
Los vectores renglón son: (1,2,3), (4,5,6) y (7,8,9)
Los vectores columna son: (1,4,7), (2,5,8) y (3,6,9)
Ahora se tiene otra definición respecto al tema:
a) El espacio renglón de
es el subespacio de
generado por los
es el subespacio de
generado por los
vectores del renglón de .
b) El espacio columna de
vectores columna de .
Si una matriz
es equivalente por renglones a una matriz
entonces el espacio renglón de
,
es igual al espacio renglón de .
Ahora se verá cómo se obtiene una base para el espacio renglón de una
matriz.
Teorema.- Si una matriz
es equivalente por renglones a una matriz
esta en forma escalonada, entonces los vectores renglón de
que
diferentes de 0
forman una base del espacio renglón de .
A continuación se resolverá un ejemplo para aclarar el teorema anterior.
Ejemplo 75.- Encuentre una base para el espacio renglón de
Solución.
Mediante las operaciones elementales en los renglones,
vuelve a escribirse
en forma escalonada como se muestra a continuación:
132
Aplicando el teorema que se vio anteriormente se concluye que los vectores
renglón
diferentes de cero,
y
,
forman una base del espacio renglón de .
Ahora se verá una aplicación de este método.
Ejemplo 76.- Encuentre una base del espacio de
generado por
Solución.
El primer paso es usar los tres vectores para construir los renglones de una
matriz .
Después
se escribe en forma escalonada como en el ejemplo anterior.
Por lo tanto, los vectores renglón de
diferentes de cero,
, forman una base del espacio renglón de
forman una base del subespacio generado por
y
. En otras palabras,
.
Para encontrar una base del espacio columna de una matriz
el método anterior a la transpuesta de
solo aplicamos
( ), en la cual la columnas se hacen
filas.
Para ejemplificar este caso tomaremos la matriz
del ejemplo anterior.
133
Se escribe
en forma escalonada.
Entonces la base del espacio renglón de
seria:
y
, lo que equivale a afirmar que forman una base del espacio columna
de .
Con lo cual se presenta el siguiente teorema:
Teorema.- Si
es una matriz
de la columna de
, entonces el espacio renglón y el espacio
tienen la misma dimensión.
La dimensión del espacio renglón (o columna) de una matriz tiene el siguiente
nombre especial.
Definición.- La dimensión del espacio renglón (o columna) de una matriz
llama rango de
y se denota por
se
.
Ejemplo 77.- Encuentre el rango de la matriz
Solución.
La matriz se convierte a la forma escalonada:
Como
tiene tres renglones diferentes de cero, entonces el rango de
es 3.
Ahora veremos cómo se relaciona todo esto con los sistemas de ecuaciones
lineales tanto en los sistemas homogéneos como en los que no son
homogéneos.
134
***Soluciones de sistemas de ecuaciones lineales***
Los conceptos de espacios, renglón, columna y rango algunas veces tienen
aplicaciones interesantes a sistemas de ecuaciones lineales.
La notación
permite concebir el conjunto solución del sistema como un
subconjunto de
. Las soluciones de estos sistemas se escriben como -adas
y se denominan vectores solución.
En primer lugar se hablara de los sistemas homogéneos para luego dar paso al
análisis de los sistemas no homogéneos.
A continuación se enuncia un teorema en el cual habla de las soluciones del
sistema homogéneo.
Teorema.- Si
es una matriz de
, entonces el conjunto de todas las
soluciones del sistema homogéneo de ecuaciones lineales
Es un subespacio de
, este subespacio se denomina espacio solución del
sistema.
Ejemplo 78.- determine el espacio solución del sistema
para la
siguiente matriz.
Solución.
Comenzamos por hacer transformaciones elementales en los renglones de la
matriz aumentada
. El objetivo es dejar la matriz aumentada en su forma
escalonada.
El sistema de ecuaciones que da esta matriz escalonada es
La solución de este sistema es paramétrica, ocupando a
y
como variables
independientes y asignándoles un parámetro a cada una, se tiene que:
135
Esto significa que el espacio solución de
solución
consta de todos los vectores
de la forma:
Po lo tanto
y
forman una base y se puede
concluir que el espacio solución de
dimensiones de
es un subespacio de dos
.
En el ejemplo anterior el rango de la matriz y la dimensión del espacio solución
están relacionados. A continuación se generaliza esta situación.
Teorema.- Si
es una matriz
espacio solución de
es
con rango , entonces la dimensio del
. En donde
es el número de variables.
Ejemplo 79.- Determine la dimensión del espacio solución del siguiente
sistema homogéneo de ecuaciones lineales.
Solución.
Se obtiene la matriz en forma escalonada reducida de este sistema.
Comprobaremos si la reducción de esta matriz a la escalonada es correcta con
el software:
136
Por lo tanto, la matriz de coeficientes
tiene un rango igual a 3 y, por el
teorema anterior, se sabe que la dimensión del espacio solución es
.
***Soluciones de un sistema lineal no homogéneo***
El siguiente teorema describe como se puede usar el rango de una matriz para
determinar el número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales.
Teorema.- Sea
un sistema de ecuaciones lineales en
1) Si
variables.
, entonces el sistema tiene solución
única.
2) Si
, entonces el sistema tiene infinidad
de soluciones.
3) Si
, entonces el sistema no tiene solución.
Ejemplo 80.- Determine cuantas soluciones tiene cada uno de los siguientes
sistemas de ecuaciones lineales.
Solución.
Resolviendo para el inciso (a).
Construyendo la matriz de coeficientes del sistema y convirtiéndola a su forma
escalonada:
137
Construyendo la matriz aumentada del sistema y convirtiéndola a su forma
escalonada:
Entonces:
Por lo tanto:
Este sistema es consistente, ya que el rango de la matriz de coeficientes es
igual al rango de su matriz aumentada. Además, este sistema tiene solución
única por que el rango de
es igual al número de variables.
Resolviendo para el inciso (b).
escalonada:
escalonada:
Entonces:
Por lo tanto:
138
Este sistema es consistente, ya que el rango de la matriz de coeficientes es
igual al rango de su matriz aumentada. Además, este sistema tiene infinidad de
soluciones porque el rango de
es menor que el número de variables.
Resolviendo para el inciso (c).
escalonada:
escalonada:
Entonces:
Por lo tanto:
Este sistema es inconsistente (no tiene soluciones), ya que el rango de la
matriz de coeficientes es menor al rango de su matriz aumentada.
En los siguientes ejercicios, determine (a) el rango de la matriz, (b) una base
del espacio renglón y (c) una base del espacio columna.
139
En los siguientes ejercicios, determine una base del subespacio de
generado por .
En los siguientes ejercicios, encuentre una base y la dimensión de las
siguientes matrices.
En los siguientes ejercicios encuentre, (a) una base, (b) la dimensión del
espacio solución del sistema homogéneo de ecuaciones lineales dado.
En los siguientes ejercicios encuentre, (a) una base, (b) la dimensión del
espacio solución del sistema homogéneo de ecuaciones lineales dado.
140
4.8 Coordenadas y cambios de base
***Coordenadas***
Si
es una base de un espacio vectorial
, entonces todo vector
puede
expresarse en una y solo una forma como una combinación lineal de vectores
en
. Los coeficientes de la combinación lineal son las coordenadas de
con
respecto a .
A continuación se concreta el párrafo anterior en la siguiente definición:
Definición.- Sean
vector en
una base de un espacio vectorial
un
tales que
Entonces los escalares
respecto a la base
vector en
En
y
se denominan coordenadas de
. El vector de coordenadas de
con respecto a
con
es el
denotado por
, la notación de los vectores de coordenadas se conforma con la notación
usual para las componentes. En otras palabras, cuando un vector en
escribe como
significa que las
con respecto a la base normal
de
se
son las coordenadas de
.
Así, se tiene
Donde
es la base normal de
.
Ejemplo 81.- Determine el vector de coordenadas de
respecto a la base normal
en
con
.
Solución.
Como
puede expresarse como
Entonces se observa que el vector de coordenadas de
con respecto a la base
normal es simplemente:
141
Así, las componentes de
son las mismas que sus coordenadas con respecto
a la base normal.
Ejemplo 82.- El vector de coordenadas de
en
con respecto a la base (no
normal)
Es
. Determine las coordenadas de
con respecto a la base
(normal)
Solución.
Dado que
, se puede escribir
Además, como
con respecto a
, se concluye que las coordenadas de
están dadas por
Ejemplo 83.- Encuentre el vector de coordenadas de
en
con
respecto a la base (no normal)
Solución.
Se escribe
como una combinación lineal de
y
.
Igualando las componentes, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones
lineales
Resolveremos este sistema mediante el software:
142
Por lo tanto,
de
con respecto a
, y el vector de coordenadas
es:
***Cambio de base***
Lo que se hizo en los 2 ejemplos anteriores se denomina cambio de base. Es
decir, se tenían las coordenadas de un vector con respecto a una base
y se
solicito encontrar las coordenadas con respecto a otra base
Ejemplo 84.- Halle la matriz de transición de
de
a
para las siguientes bases
.
Y
Solución.
Primero se usan los vectores en las dos bases para formar las matrices
Después, se junta
con
para formar la matriz
eliminación de Gauss-Jordan para volver a escribir
y
.
y se usa la
como
.
143
Ahora se tiene que calcular la inversa de
la cual calcularemos con el
software:
Entonces se concluye que la matriz de transición de
Una observación importante es si
a
es la base normal en
es:
, entonces la
matriz de transición está definida por:
Caso 1:
Pero si
es la base normal, entonces
Caso 2:
Ejemplo 85.- Encuentre la matriz de transición de
bases de
a
para las siguientes
.
y
Solución.
Se empieza por formar la matriz
Después usamos la eliminación de Gauss-Jordan para obtener
Así, se obtiene que
144
En los siguientes ejercicios se da el vector de coordenadas de
una base (no normal) de
respecto a la base normal de
con respecto a
. Determine el vector de coordenadas de
con
.
1)
2)
3)
4)
5)
Determine el vector de coordenadas de
en
con respecto a la base .
1)
2)
3)
4)
5)
Determinar la matriz de transición de
a
.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
145
CAPITULO V. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO
En matemáticas, un espacio con producto interior es un espacio vectorial
con una operación adicional, el producto interno (también llamada producto
escalar o producto punto). Los espacios vectoriales con producto interno
generalizan el concepto de Espacio Euclidiano (el cual posee el producto
escalar como producto interno) y se estudian en análisis funcional.
5.1 Longitud y producto punto en Rn
Producto Escalar o Producto Punto
Definición
Sean
Rn. El producto punto, o producto escalar, de
dos vectores cualesquiera en
se define como
Nota: Cuando se habla del vector u ó v se pondrá en negro, para distinguir de
una letra normal.
Ejemplo 45.- Determine el producto punto entre los vectores:
De la propia definición del producto punto entre los vectores:
Nota: Es importante observar que el producto punto es sólo entre vectores de
las misma dimensión: no entre un escalar y un vector; no entre dos vectores de
diferentes dimensiónes. También debe observarse que el resultado del
producto punto es un escalar, no un vector.
Ejemplo 46.- Determine el producto punto entre los vectores:
EJEMPLO 47.- Indique cuales opciones contienen operaciones indefinidas:
1.
5.
2.
6.
3.
7.
4.
146
1. Indefinida porque
es un escalar.
2. Definida porque es una suma entre escalares.
3. Definida porque es un escalar por un vector.
4. Definida.
5. Definida: es un escalar al cubo.
6. Indefinida: lo que falla es la suma de escalar con vector.
7. Definida: es un producto entre escalares
Propiedades del Producto Punto
Si u, v, y w son vectores en Rn y c es un escalar, entonces se cumple las
propiedades siguientes.
1.
2.
3.
4.
5.
Determine el producto punto entre los vectores
:
Ortogonalidad
Definición
Dos vectores
y , se dice que son vectores ortogonales, si
Nota: Ortogonalidad es sinónimo de perpendicularidad, esto es, el que dos
vectores sean ortogonales significa que el ángulo entre ellos es de
.
Ejemplo 48.-
Diga si las siguientes parejas de vectores son o no ortogonales:
Los vectores
no son ortogonales debido a que
Los vectores
sí son ortogonales debido a que:
147
Longitud o norma
Definición
La norma de un vector
se define como
Donde
EJEMPLO 49.- Determinar la norma del vector:
Directamente de la definición:
EJEMPLO 50.- Determine la norma del vector:
Distancia entre vectores
Definición
La distancia euclidiana entre los vectores
, se define como
EJEMPLO 51.- Determine la distancia entre el punto
y el punto
Directamente de la definición tenemos:
EJEMPLO 52.- Determine la distancia entre el punto
.
y el punto
Vector unitario
Definición
Un vector se dice vector unitario o simplemente unitario, si
EJEMPLO 53.- Diga si los siguientes vectores son unitarios:
148
El vector
no es unitario debido a que:
Mientras que el vector
sí es unitario porque:
EJEMPLO 54.- Diga si los siguientes vectores son unitarios:
Ángulo entre vectores
Definición
El ángulo entre vectores
que cumple
sí es unitario porque:
no es unitario porque:
, se define como el único número
EJEMPLO 55.- Determine el ángulo entre los vectores
Como
De donde:
de donde
EJEMPLO 56.- Determine el ángulo entre los vectores
Como
.
De donde:
de donde
149
Desigualdad de Cauchy-Schwarz
La desigualdad de Cauchy-Schwarz establece que para cualquier dos vectores
en
se cumple
Además, la igualdad se cumple si y sólo si los vectores
son múltiplos
escalares entre sí.
EJEMPLO 57.- Verifique la desigualdad de Cauchy-Schwarz para
Se tiene que
y
y como 1 <
Por tanto, la desigualdad se cumple y se tiene
EJEMPLO 58.-
Verifica la desigualdad de Cauchy-Schwarz para
:
Se tiene
y
Por tanto, la desigualdad se cumple y se tiene
Desigualdad del Triangulo
Para cualesquiera dos vectores
en Rn se cumple
EJEMPLO 59.- Verificar la desigualdad del triángulo para
150
Por tanto, la desigualdad si se cumple y se tiene
EJEMPLO 60.- Verificar la desigualdad del triángulo para
Por tanto, la desigualdad si se cumple y se tiene
EJERCICIOS PROPUESTOS:
1. Determine el producto punto entre los vectores:
2. Determine la norma de los vectores:
3. Determine la distancia entre el punto
4. Determinar la distancia entre el punto
y el punto
y el punto
5. Diga si los siguientes vectores son unitarios:
6. Determine el ángulo entre los vectores
7. Determine el ángulo entre los vectores
8. Verifique la desigualdad de Cauchy-Schwarz y la desigualdad del
triangulo para
9. Verificar la desigualdad de Cauchy-Schwarz
151
5.2 Espacios con producto interno
En las secciones anteriores se ampliaron de
a
los conceptos de longitud,
distancia y ángulo. En esta sección se extenderán los conceptos mencionados
a espacios vectoriales en general. Esto se lleva a cabo por medio del concepto
de producto interior de dos vectores.
Ya
se tiene un ejemplo de esto, el producto punto en
. Este producto,
llamado producto interior euclidiano, es sólo uno de muchos productos
internos que es posible definir en
. Para distinguir
entre los productos
interno normal y otros posibles productos internos se usa la siguiente notación.
producto punto (producto interno euclideano para
)
producto interno general para el espacio vectorial V.
Para definir un producto interno se procede de la misma manera como se
definió un espacio vectorial general. Es decir, se enumera una serie de
axiomas que deben satisfacer para que una función pueda calificarse como un
producto punto o interno.
Definición del Producto Interno
Sea u, v y w vectores en un espacio vectorial V y sea c cualquier escalar. Un
producto interno sobre V es una función que asocia un número real
con
cada par de vectores u y v cumple los siguientes axiomas.
1.
2.
3.
4.
EJEMPLO 61.- Un Producto interno Diferente en R2
Demuestre que la siguiente función define un producto interno en R2.
donde
1. Como el producto de números reales es conmutativo, se tiene
2. Sea
Entonces
152
3. Si c es cualquier escalar, entonces
4. Como el cuadrado de un número real es no negativo, se tiene
Además, esta expresión es igual a cero sí y sólo si
).
(es decir, sí y solo si
EJEMPLO 62.- Un producto interior definido por un integral definida.
Sean f y g funciones continuas de valores reales en el espacio vectorial
Demuestre que
Define un producto interior sobre
1.
2.
3.
4. Dado que
para toda x, se tiene
Con
Sí y sólo si f es la función cero en
Definición de norma, distancia y ángulo.
Sean
y
vectores en espacio V con producto interior.
1. La norma (o longitud) de
es
153
2. La distancia entre
y
es
3. El ángulo entre dos vectores
4.
diferentes ceros está dada por
son ortogonales si
EJEMPLO 63.- Determinación de productos interiores
Sean
polinomios en
Use el producto
interior para determinar lo siguiente.
a)
b)
c)
Nota: Para mayor facilidad el polinomio
queda como
en notación de vector
y el polinomio
Como
Entonces
a)
b) La norma de q está dado por
.
c) La distancia entre p y q está dada por
EJEMPLO 64.- Aplicación del producto interior del producto interior
(Calculo)
Como
Aplique el producto interior definido y las funciones
en
para determinar lo siguiente
a)
a) Como
b)
se tiene
154
Por lo tanto,
b) Para determinar
.
se escribe
Por consiguiente,
.
1. Para los siguientes vectores determine
para
producto interior definido en
2. Use las funciones f y g dadas en
para encontrar
para el producto interior dado por
, con
y
3. Use el producto interior entre polinomios en
Para determinar
.
para los polinomios.
155
5.3 Bases ortonormales: proceso de ortogonalización de GramSchmidt.
Definición
Un conjunto S de vectores en un espacio V con producto interior se llama
ortogonal si todo par de vectores en S es ortogonal. Si, además, cada vector
en este conjunto es unitario, entonces S se denomina ortonormal.
Para
, la definición anterior es de la forma
Ortogonal
Ortonormal
Si S es una base, entonces se denomina base ortogonal o base ortonormal,
respectivamente.
Proceso de Ortonormalización de Gram-Schmidt
Este procedimiento se denomina proceso de ortonormalización de GramSchmidt, en honor del matemático danés Jorgen Pederson Gram (1850-1916)
y del matemático alemán Erhardt Schmidt (1876-1959). Consta de tres pasos.
1. Empezar con una base del espacio con producto interno. No se requiere,
que sea una base ortogonal ni que consta de vectores unitarios.
2. Convertir la base dada a una base ortogonal.
3. Normalizar cada uno de los vectores de la base ortogonal a fin de
obtener una base ortonormal.
Teorema 5.1 Proceso de Ortonormalización de Gram-schmidt
1. Sea
2. Sea
una base de un espacio V con producto interno.
donde wi está dado por
156
Entonces,
es una base ortogonal de V.
3. Sea
Entonces el conjunto
es una base
ortonormal de V.
EJEMPLO 65.- Aplique el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt a la
siguiente base de R2.
Al aplicar el proceso mencionado se obtiene
donde
Con lo que
El conjunto
de
es una base ortogonal de R2. Al normalizar cada vector
se obtiene
157
Por tanto
es una base ortonormal de
.
EJEMPLO 66.- Aplicar el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt a la
siguiente base de R3.
Al aplicar el proceso mencionado se obtiene
donde
Con lo que
donde
Con loque
El conjunto
de los vectores de
es una base ortogonal de R3. Al normalizar cada uno
se obtiene
158
es una base ortonormal de R3.
Así,
Aplicar el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt a la siguiente base
de Rn.
1.
2.
3.
5.4 Modelos matemáticos y análisis de mínimos cuadrados.
Aproximaciones por Mínimos Cuadrados
Muchos problemas de ciencias físicas e ingeniería implican una aproximación
de una función f mediante otra función g. Si f está en
producto interno de todas las funciones definidas sobre
suele elegirse
de un subespacio w dado de
(el espacio con
, entonces g
Por ejemplo para
aproximar la función
Podría elegirse una de las formas siguientes para g.
1.
2.
3.
Antes de analizar métodos para determinar la función g es necesario definir
cómo una función puede aproximar “mejor” otra función. Una forma natural
sería requerir que el área acotado por las gráficas de f y g sobre el intervalo
,
159
sea mínima con respecto a otras funciones en el subespacio W, como se
observa en la figura 5.1. Sin embargo, como los integrados que implican
valores absolutos a menudo son difíciles de evaluar, es más común elevar al
cuadrado el integrado para obtener
Figura 5.1. Área acotada por la función f y g.
Definición de la Aproximación por Mínimos Cuadrados
Sea f continua sobre
y sea w un subespacio de
. Una
función g
en w se denomina aproximación por mínimos cuadrados de f con respecto a
w si el valor de
es mínimo con respecto a todos los demás funciones en W.
160
EJEMPLO 67.- Encuentre la aproximación por mininos cuadrados
para
Para esta aproximación es necesario determinar las constantes
que
minimizan el valor de
Al evaluar esta integral, se tiene
Ahora, considerando que
es una función de las variables
del cálculo se determinan los valores
de
, por medio
que minimizar a
.
Específicamente, igualando a cero las derivadas parciales
se obtiene las dos ecuaciones lineales siguientes en
161
La solución de este sistema con el software matemática.
De donde
Por consiguiente, la mejor aproximación lineal
intervalo
para
sobre
el
está dada por
En la figura 5.2 se observa cómo queda la grafica de f y g sobre
162
Figura 5.2 Comportamiento de las graficas de f y g en
EJEMPLO 68.-
Determine la aproximación por mínimos cuadrados
para
Para esta aproximación es necesario encontrar los valores de
que
minimizan el valor de
Al evaluar esta integral, se tiene
.
163
Ahora, considerando que
es una función de las variables
medio del cálculo se determinan los valores de
por
que minimizar a .
Específicamente, igualando a cero las derivadas parciales
se obtiene las tres ecuaciones lineales siguientes en
La solución de este sistema con el software matemática es
Con lo que
Por tanto, la función aproximación g es
En la figura 5.3 se comparan las gráficas de f y g.
164
Figura 5.3 Comportamiento de las graficas de f y g.
Encuentre la función de aproximación por mínimos cuadrados lineal g para
función dada.
1.
2.
Encuentre la función de aproximación por mínimos cuadrados cuadrática g
para función dada.
3.
4.
165
CAPITULO 6. APORTACIONES O CONTRIBUCIONES AL
DESARROLLO DEL TRABAJO
Hasta ahora la enseñanza en el MEIF ha seguido siendo tradicionalista
(enfocada en el conocimiento que el maestro vierte sobre los alumnos) sin
embargo esto no debe ser así, ya que el mismo modelo educativo exige que se
enseñe con un sistema basado en las competencias que el estudiante posee
para aprender (conocimientos previos, habilidades y actitudes).
Es de todos conocido que nuestros actuales estudiantes llegan a nuestra
Universidad con un pleno dominio de la computación y que no es nada difícil
para ellos el manejo de un software que les ayude a resolver sus problemas.
Así la aportación de esta Guía Práctica de Ejercicios a los estudiantes es la de
servirles como un complemento a los conocimientos vistos en el aula, un apoyo
para comprender mejor los temas, proporcionando definiciones redactadas en
un lenguaje claro y sencillo, contar con una serie de ejercicios que les sirva de
retroalimentación y un software libre que les ayude a resolver problemas
propios de la experiencia.
La recomendación es que los maestros que impartan esta experiencia
educativa utilicen esta Guía Práctica de Ejercicios como un complemento a la
bibliografía que utilizan y ver el impacto que está tiene en los resultados
obtenidos a final de semestre (numero de estudiantes aprobados en examen
ordinario).
166
Bibliografía
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169

Guía práctica de Algebra Lineal

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