Control de Sistemas Multivariables 1 Introducción
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Control de Sistemas Multivariables 1 Introducción
Control de Sistemas Multivariables November 29, 2006 1 Introducción Hasta ahora hemos analizado problemas donde se desea controlar sólo una variable. Sin embargo, en muchos procesos industriales el objetivo consiste en mantener más de una variable en su set-point o valor deseado tal como se muestra en la Figura 1. - y - y - y 1 2 3 Figura 1: Sistema de Procesamiento con múltiples variables controladas. en este tipo de casos se dice que el problema de control es multivariable (lo cual implica que el número de variables a controlar puede ser 2 o mayor de 2). Para ejemplificar el control de sistemas multivariables considerese el siguiente reactor tanque agitado: TC AC LC donde supongamos que se desea controlar el nivel, la temperatura y la composición del efluente del reactor. Como potenciales variables manipuladas podemos emplear el flujo de la corriente de producto, la carga térmica del medio de calentamiento y el flujo los reactivos: Flujo efluente Flujo de vapor Fluijo reactivos REACTOR Nivel Temperatura Concentracion en este caso es más o menos simple el proponer el siguiente “apareamiento” de lazos de control (por ”apareamiento” entiendase la decisión de que variable manipulada controla a que variable controlada): Flujo efluente Lazo 1 Nivel Flujo de vapor Lazo 2 Temperatura Fluijo reactivos Lazo 3 Concentracion a dicho esquema de control de sistemas multivariables se le llama esquema de control de lazos múltiples. Observese que esta forma de resolver el problema de control de sistemas multivariables se reduce a diseñar cada lazo de control de manera independiente del resto de los lazos (es decir, sin tomar en cuenta la presencia del resto de los lazos de control). Cada lazo se diseña usando los métodos vistos antes para el control de sistemas univariables. 2 AC TC LC sin embargo, la presencia del efecto de “interacción” hará que el desempeño de un lazo afecte al de los otros y visceversa. En otras palabras, la interacción complica la sintonización de los lazos de manera independiente. Existe otro esquema para resolver el problema del control de sistemas multivariables y se basa en el uso de un solo controlador que manipula simultaneamente todas las variables manipuladas cuando algun o algunas variables controladas se alejan de su set-point. De esta forma se consigue compensar por el efecto de interacción. El grado de compensación depende del diseño del controlador. 3 Controlador Multivariable TC AC LC En sistemas multivariables la interacción entre variables es el efecto más importante en el diseño y sintonización de lazos de control. Se dice que un proceso presenta interacción cuando una variable de entrada afecta a más de una variable de salida. Afecta quiere decir que la variable controlada se aleja de su set-point en virtud de cambios en la variable de entrada. UNIVARIABLE u 1 y 1 u 2 y 2 MULTIVARIABLE y 1 u 1 y 2 u 2 4 1.1 Midiendo la interacción en sistemas multivariables Supongamos que se desea analizar el problema de control a lazo cerrado de un sistema de 2 entradas y 2 salidas: u 1 y 1 PLANTA u 2 y 2 cuyas funciones de transferencia están dadas por: y1 (s) = g11 (s)u1 (s) + g12 u2 (s) y2 (s) = g21 (s)u1 (s) + g22 u2 (s) (1.1) (1.2) como podemos ver claramente cada una de las entradas (u1 , u2 ) tiene influencia sobre las salidas (y1 , y2 ). La magnitud de tal influencia depende de las ganancias de las funciones de transferencia. En principio si uno diseña los lazos de control de manera independiente (suponiendo los apareamientos u1 → y1 , u2 → y2 ) tenemos: y d1 G c1 y d2 G c2 u 1 u 2 g 11 y 1 g 22 y 2 sin embargo, si la interacción entre las entradas/salidas está presente el efecto sobre el sistema de control se representarı́a de la siguiente forma: 5 y + d1 e1 Σ Gc 1 + v1 Σ u1 g 11 + Σ + Gc 2 1 Σ + 12 g GI2 e2 y g GI1 y d2 + 21 + v2 Σ + - u2 + g 22 + y 2 Σ cuando el sistema multivariable presenta interacción puede no ser tan claro que apareamiento seleccionar. Para entender este problema supongamos que llevamos a cabo el siguiente experimento: (1) Con todos los lazos de control abiertos realizamos un cambio escalón en u1 . De acuerdo a lo dicho antes y1 cambiará (y también lo hará y2 pero por el momento concentremonos en y1 ). Suponiendo que el sistema sea estable se alcanzará una respuesta final en y1 denotada por ∆y1u y cuya magnitud está dada por: ∆y1u = k11 (1.3) (2) Con únicamente el lazo 2 (es decir, el lazo u2 → y2 ) cerrado realizamos el mismo experimento sugerido en el paso anterior. El controlador Gc2 tiene entonces la función de corregir cualquier desviación en y2 (manipulando u2 ) como resultado del cambio escalón efectuado en u1 . Notese claramente que u1 tiene tanto un efecto directo como indirecto sobre y1 (a través de la acción de control u2 ). Observaciones. (a) y1 cambia (a través de g11 ), pero también cambia y2 (a través de g21 ). (b) Bajo control feedback el lazo 2 “siente” el efecto de la interacción sobre y2 , y entonces manipula u2 hasta que y2 regresa a su set-point. 6 (c) Sin embargo, los cambios efectuados en u2 afectan ahora a y1 (a través de g12 ). Los cambios observados sobre y1 son de dos clases: (1) El efecto directo de u1 sobre y1 (denotado por ∆y1u ). (2) El efecto indirecto que surge cuando el controlador 2 trata de eliminar la “perturbación” u1 afectando con esto a y1 (denotemos este efecto por ∆y1r ). después de que se halla alcanzado el estado estacionario del proceso, la respuesta en y1 (denotada por ∆y1∗ ) estará dada por: ∆y1∗ = ∆y1u + ∆y1r (1.4) una medida adecuada del grado de interacción del proceso (suponiendo que u1 controla a y1 ) está dada por el siguiente cociente: ∆y1u ∆y1∗ (1.5) ∆y1u ∆y1u + ∆y1r (1.6) λ11 = o bien, λ11 = esta cantidad proporciona una medida del grado de interacción que ocurre cuando u1 controla a y1 , y cuando u2 controla a y2 . 1.2 Aparemiento de lazos de control Usando los valores del ı́ndice λ11 resulta más o menos claro como analizar el efecto de un cierto apareamiento sobre la interacción y desempeño del lazo cerrado. Normalemente estaremos interesados en elegir el apareamiento con menor grado de interacción. • λ11 = 1 Esto implica que ∆y1r = 0 y por lo tanto cero interacción en el sistema multivariable. En consecuencia seleccionado el acoplamiento: u1 → y1 u2 → y2 el sistema no presenta interacciones. Esto puede indicar: (1) u1 no tiene efecto sobre y2 . (2) u1 no tiene efecto sobre y2 , pero y2 no tiene efecto sobre y1 . • λ11 = 0 En este caso esto significa que ∆y1u = 0; o sea que u1 no tiene ningún efecto sobre y1 . Por lo tanto el lazo u1 → y1 no sirve para el propósito de controlar y1 . Posiblemente el lazo u1 → y2 sea más apropiado ya que en este caso no existe interacción con y1 . 7 • λ11 > 1 En este caso ∆y1r tiene signo contrario del que tiene ∆y1u (sin embargo, es menor en valor absoluto). En casos con λ11 muy grande y positiva el efecto de la interacción prácticamente cancela el efecto de u1 sobre y1 . Por esta razón pueden requerirse valores grandes de la acción de control para este propósito. En general el apareamiento u1 → y1 no será bueno. • λ11 < 0 Esta situación surge cuando ∆y1r tiene signo contrario del que presenta ∆y1u (además ∆y1r es mayor en valor absoluto a ∆y1u ). El apareamiento u1 → y1 no es recomendable ya que la dirección del efecto de u1 sobre y1 a lazo abierto es la respuesta a la correspondiente dirección con el lazo cerrado. No se recomienda usar apareamientos de este tipo. • 0 < λ11 < 1 Este caso corresponde a ∆y1u y ∆y1r respondiendo en el mismo sentido. Para λ11 > 0.5 notese que ∆y1u > ∆y1r (el efecto directo es mayor que el efecto de interacción). Si λ11 < 0.5 entonces ∆y1r > ∆y1u (la interacción domina el efecto directo). Cuando λ11 = 0.5 entonces ∆y1u > ∆y1r y ambos efectos son igualmente importantes. 1.3 Definición de ganancia relativa La ganancia relativa (λij ) entre la salida yi y la entrada uj (o sea, el cociente entre 2 ganancias en estado estacionario) se difine como: ³ λij = ³ ∂y ´ ∂yi ∂uj ´ todos los lazos abiertos (1.7) i ∂uj todos los lazos abiertos,excepto i6=j normalmente el ı́ndice λij se calcula para sistemas cuadrados de n entradas y n salidas; al arreglo resultante de elementos λij se denomina el Arreglo de Ganancia Relativa (RGA) y se denota por Λ: Λ = 1.4 λ11 λ12 λ21 λ22 . . . . . . λn1 λn2 ... λ1n ... λ2n ... . ... . ... . ... λnn (1.8) Calculando la RGA Para mostrar la forma de evaluar la RGA usaremos el caso simple del siguiente sistema de 2x2: y1 = g11 u1 + g12 u2 y2 = g21 u1 + g22 u2 8 (1.9) (1.10) como el ánalisis clásico de la RGA se realiza en estado estacionario esto significa que: lim(s → 0) gij (s) = Kij (1.11) por lo tanto el sistema original puede reescribirse como: y1 = K11 u1 + K12 u2 y2 = K21 u1 + K22 u2 (1.12) (1.13) si evaluamos el elemento (1,1) de la RGA: ³ λ11 = ³ ´ ∂y1 ∂u ³ 1 ´o ∂y1 ∂u1 c (1.14) ´ ∂y1 donde ∂u denota la ganancia con todos los lazos abiertos mientras que 1 o la misma ganancia pero con el lazo 2 cerrado. Entonces: à ³ ∂y1 ∂u1 ³ ´ ∂y1 ∂u1 c denota ! = K11 (1.15) o ´ ∂y1 recordemos que en esta ocasión el lazo 2 permanece para evaluar el término ∂u 1 c cerrado. Por lo tanto, cuando se logre mantener a y2 en su set-point deseado, ocurrirá que: y2 = 0 (1.16) la acción de control que se debe aplicar para lograr este propósito está dada por: u2 = − K21 u1 K22 (1.17) ahora bien, la acción de control u2 ejercerá un efecto sobre la respuesta y1 , la cual puede obtenerse sustituyendo u2 en la ecuación que define la respuesta para y1 : µ y1 = K11 u1 + K12 ¶ −K21 u1 K22 (1.18) esta ecuación representa, por lo tanto, el efecto de u1 sobre y1 cuando el lazo 2 está cerrado: à ∂y1 ∂u1 ! µ c K12 K21 K12 K21 = K11 − = K11 1 − K22 K11 K22 ¶ (1.19) denotando ξ= K12 K21 K11 K22 9 (1.20) tenemos à ∂y1 ∂u1 ! = K11 (1 − ξ) (1.21) c por lo tanto el elemento (1,1) del RGA está dado por: λ11 = K11 K11 (1 − ξ) (1.22) 1 1−ξ (1.23) o bien λ11 = de manera semejante se pueden evaluar el resto de los elementos de la RGA: −ξ 1−ξ −ξ = 1−ξ 1 = 1−ξ λ12 = (1.24) λ21 (1.25) λ22 (1.26) entonces la matriz de RGA (Λ) estará dada por: " −ξ 1−ξ 1 1−ξ 1 1−ξ −ξ 1−ξ Λ= # (1.27) nótese claramente que la suma de los elementos individuales de la RGA (λij ) siempre es igual a 1, ya sea que dichos elementos sean sumados horizontalmente: n X λij = 1 (1.28) λij = 1 (1.29) j=1 o verticalmente n X i=1 esto puede apreciarse más claramente en el ejemplo examinado definiendo λ = λ11 = 1 1−ξ (1.30) entonces la matriz de RGA estará dada por " Λ = λ 1−λ 1−λ λ 10 # (1.31) en consecuencia para determinar la matriz de RGA para un sistema de 2x2, sólo es necesario determinar el término λ. Para calcualar la RGA en sistemas de orden superior se aconseja utilizar el siguiente método matricial. Sea K la matriz de ganancia en estado estacionario: lim (s → 0) G(s) = K (1.32) cuyos elementos son las ganancias individuales Kij . La matriz Λ puede obtenerse aplicando la siguiente ecuación: Λ = K · (K−1 )T (1.33) donde “·” representa el producto elemento por elemento. Es decir, la operación anterior no denota el clásico producto matricial. 1.5 Reglas básicas de apareamiento Al seleccionar apareamientos entre variables manipuladas y controladas nótese que el caso ideal (es decir, no interacción entre los lazos) está dado por una RGA con la siguiente estructura tipo matriz identidad: Λ = 1 0 .. . 0 ... 1 ... .. . . . . 0 · 1 0 · 0 0 0 0 0 1 (1.34) existen, sin embargo, casos que pudieran llevarnos a concluir, erroneamente, que no existe interacción entre lazos cuando dicha interacción está presente. Para ilustrar este punto considerese la siguiente planta: " G(s) = cuya RGA está dada por: 1 s+1 3 3s+1 " Λ = 1 0 0 1 # 0 (1.35) 4 4s+1 # (1.36) examinando los elementos de Λ uno podrı́a concluir erroneamente que los lazos no interactuan. Sin embargo, examinando la estructura de G(s), notamos que m1 afecta a y2 ; pero y2 no afecta a y1 . Por lo tanto, en realidad si existe interacción entre los lazos. Este tipo de interacción en el que una variable manipulada afecta la operación de un lazo, pero la variable manipulada de este último lazo no afecta la operación del primer lazo, se llama interacción en un sentido. Dicha interacción se presenta en plantas con estructura de tipo triangular superior G(s) = x x x x 11 0 x x x 0 0 x x 0 0 0 x (1.37) o triangular inferior x 0 0 0 G(s) = x x 0 0 x x x 0 x x x x (1.38) donde x representa elementos diferentes de cero. • Regla No. 1 Aparear variables de entrada/salida que tengan elementos positivos de la RGA tan cercanos a 1 como sea posible. Ejemplo 1 Seleccionar los apareamientos entrada/salida que minimizan la interacción entre lazos para las siguientes RGA (entradas: u1 , u2 , salidas: y1 , y2 ): " a) Λ = 0.8 0.2 0.2 0.8 # " , b) Λ = 0.3 0.7 0.7 0.3 # " , c) Λ = 1.5 −.5 −.5 1.5 # a) En este caso el mejor apareamiento está dado por: u1 → y1 , u2 → y2 . b) En este caso el mejor apareamiento está dado por: u1 → y2 , u2 → y1 . c) En este caso resulta preferible aparear sobre elementos de Λ “grandes” (pero positivos) que sobre elementos de Λ negativos. Por lo tanto el mejor apareamiento estarı́a dado por: u1 → y1 , u2 → y2 . Ejemplo 2 Seleccionar un esquema de control, con interacción mı́nima, de la columna de Wood-Berry. Antes obtuvimos que la matriz de RGA está dada por: " Λ= 2 −1 −1 2 # siendo u = [∆L ∆V ]T , y = [∆Xd ∆Xb ]T , por lo cual el apareamiento sugerido es: ∆L → ∆Xd y ∆V → ∆Xb . Cuando se seleccionan apareamientos también resulta indispensable tomar en cuenta consideraciones de estabilidad entre los lazos (especialmente para sistemas de más de 2 entradas y 2 salidas). Dicha consideración se plantea en términos del siguiente teorema de estabilidad de Niederlinski. 12 Teorema 1 Teorema de Niederlinski Considerese el siguiente modelo a lazo abierto ȳ(s) = Ḡ(s)ū(s) (1.39) donde supongamos que se han seleccionado los siguientes apareamientos: u1 → y1 , u2 → y2 , . . . , un → yn . Además cada elemento (gij ) de la matriz de ganancias debe cumplir con ser: a) racional y b) estable. Supongamos además que se diseñan “n” lazos de control feedback (cada uno con acción integral) de tal forma que cada uno de los n lazos de control permanece estable cuando se abren el resto de los n − 1 lazos de control. Si todos los n lazos están cerrados, el sistema de control de lazos múltiples será inestable (para todos los posibles valores de los parámetros del controlador) si el ı́ndice de Niderlinski (N ) definido como: det[G(0)] N = Qn i=1 gii (0) (1.40) es negativo. Observaciones. a) El teorema de Niederlinski representa condiciones necesarias y suficientes únicamente para sistemas de 2x2. b) Para sistemas de orden mayor únicamente representa condiciones suficientes. Es decir, si el teorema se cumple, entonces el sistema de múltiples lazos será definitivamente inestable. Pero si el teorema no se cumple, el sistema de múltiples lazos puede ser o no inestable (en este caso, la estabilidad depende de los valores asignados a los parámetros del controlador). c) En sistemas de 2x2 N =1−ξ (1.41) por lo tanto, si apareamos cuando λ es negativa (es decir ξ > 0) el teorema se cumple y el sistema de múltiples lazos 2x2 será inestable. Esto demuestra porque no es conveniente aparear con RGA negativos en sistemas de 2x2. • Regla No. 2 Aparear lazos de control de tal forma que N > 0. • Resumen de la estrategia básica de apareamiento i) Dada la matriz de ganancias G(s) evaluar la matriz de RGA. ii) Emplear la regla de apareamiento No. 1, apareando sobre elementos positivos lo más cercanos a 1. 13 iii) Verifique que el sistema de lazos múltiples seleccionado conduce a obtener un ı́ndice de Niederlinski N > 0. En caso de que esta condición no se cumpla regresar al paso anterior. Ejemplo 3 Suponiendo que la siguiente planta en estado estacionario tiene como entradas: u = [u1 u2 u3 ] y como salidas y = [y1 y2 y3 ]: 5 3 G(0) = 1 1 1 1 1 3 1 1 13 (1.42) determinar el apareamiento que conduce a obtener menor interacción siendo además N > 0. Calculando la RGA1 : 10 −4.5 −4.5 1 4.5 Λ = −4.5 −4.5 4.5 1 (1.43) de acuerdo con la regla de apareamiento No.1: u1 → y1 u2 → y2 u3 → y3 checando ahora el ı́ndice de Niederlinski: det(G(0)) = −0.1481 3 Y gii (0) = 0.1852 i=1 entonces: N= −0.1481 = −0.8 0.1852 por lo tanto el esquema seleccionado tendrá problemas de estabilidad (para cualquier valor de los parámetros de los controladores). Por lo tanto, el teorema de Niederlinski rechaza el apareamiento sugerido por la RGA. Seleccionemos otro apareamiento y examinemos, de nueva cuenta, el teorema de Niederlinski. Del resultado anterior podemos notar que el siguiente apareamiento podrı́a tal vez ser factible: u1 → y1 u2 → y3 u3 → y2 1 Λ puede calcularse facilmente en Matlab usando la instrucción: >lambda = g.*(inv(g))’; 14 antes de evaluar Λ necesitamos rearreglar la matriz G(0) para reflejar este nuevo apareamiento: 5 u1 y1 1 1 3 1 y 3 = 1 1 3 u2 u3 y2 1 13 1 entonces 10 −4.5 −4.5 1 Λ= −4.5 4.5 −4.5 1 4.5 (1.44) checando nuevamente el ı́ndice de Niederlinski: det(G(0)) = 0.1481 3 Y gii (0) = 1.6667 i=1 por lo tanto: N= .1481 = 0.088 1.6667 en consecuencia este apareamiento no presentará problemas de estabilidad. Existen algunas ocasiones en las que es posible aparear sobre elementos negativos de la RGA (esto sólo es posible en sistemas de orden superior al segundo, y nunca es válido en sistemas de 2x2). Sin embargo, si se abre el lazo que se apareó con un elemento negativo de la RGA, el resto del esquema de control de lazos múltiples se volverá inestable. Ejemplo 4 Consideremos la siguiente planta en estado estacionario: 1 1 −0.1 −1 G(0) = 0.1 2 −2 −3 1 (1.45) con entradas: u = [u1 u2 u3 ]T salidas y = [y1 y2 y3 ]T , cuya RGA está dada por: −1.89 3.6 −0.7 Λ = −0.13 3.02 −1.89 3.02 −5.61 3.6 el único apareamiento factible está dado por: u1 → y1 u2 → y2 u3 → y3 15 (1.46) ya que para el el lazo 1 aparear sobre el elemento positivo conduce a un ı́ndice de Niederlinski N < 0. En este caso: det(G(0)) = 0.53 3 Y gii (0) = 2 i=1 N = 0.265 sin embargo, aún cuando este apareamiento no tiene problemas de estabilidad, si se abre el lazo u1 → y1 el esquema de control restante tendrá problemas de estabilidad como se muestra a continuación. Abrir el lazo u1 → y1 significa eliminar a estas variables de la función de transferencia a lazo abierto: " G(0) = 2 −1 −3 1 # (1.47) cuya RGA estará dada por: " Λ= −2 3 3 −2 # (1.48) nótese que el esquema resultante aparea sobre elementos negativos de la RGA: det(G(0)) = −1 2 Y gii (0) = 2 i=1 N = −0.5 por lo tanto el esquema resultante será inestable. 1.6 Apareamiento de sistemas con integradores Los sistemas dinámicos con integradores se caracterizan por poseer funciones de transferencia del tipo: G(s) = 1 s (1.49) y en este caso resulta obvia la dificultad de calcular la ganancia en estado estacionario cuando s → 0. El siguiente ejemplo muestra como proceder en casos como este. Ejemplo 5 Evaluar el RGA, y sugerir un esquema de apareamiento, de la siguiente planta: G(s) = 1.318e−2.5s 20s+1 −e−4s 3s .038(182s+1) (27s+1)(10s+1)(6.5s+1) .36 s 16 (1.50) reemplazando el integrador por I: 1 s I= tenemos " lim(s → 0) G(s) = 1.318 −I 3 .038 .36I # (1.51) entonces de la definición del RGA para sistemas de 2x2: λ= 1 1− k12 k21 k11 k22 = 1 1+ (.038)(.333I) (1.318)(.36I) = .974 de donde el arreglo completo de RGAs estará dado por: " Λ= .974 .026 .026 .974 # (1.52) y el apareamiento recomendado es: u1 → y1 u2 → y2 2 Apareamiento de sistemas no cuadrados hasta ahora hemos supuesto que la decisión de aparear variables de entrada/salida involucraba únicamente a sistemas cuadrados (es decir, sistemas donde el número de variables manipuladas y controladas es idéntico. En esta sección discutiremos como seleccionar apareamientos cuando el número de variables manipuladas no es igual al número de variables controladas. En este caso distinguiremos las 2 siguientes situaciones. 2.1 Sistemas subdefinidos En este caso el número de variables manipuladas (m) es menor que el número de variables a controlar (n). Dado que el esquema de control será de tipo múltiple lazo (es decir, una variable manipulada apareada con una variable controlada) resulta que las variables a controlar están en exceso por: (n − m). Esto implica que, basados en consideraciones de cierto tipo (por ejemplo, económicas), se decide mantener fijo o contante el valor de n − m de las potenciales variables controladas. Con esta desicisión el sistema restante será cuadrado, y en adelante el análisis de interacción será semejante al visto antes. Ejemplo 6 Considere la decisión de aparear la siguientes variables controladas: composición del destilado (y1 ), composición de los fondos (y2 ) y composición de los fondos 17 (y3 ) usando el siguiente conjunto de variables manipuldas: flujo del reflujo (u1 ), presión del rehervidor (u2 ). El flujo de la corriente lateral está fijo (es decir, no puede usarse como variable manipulada): como puede notarse, en un esquema de lazos múltiples, resulta imposible controlar las 3 salidas con tan sólo 2 entradas. Sin embargo, supongamos que, por razones económicas, resulta menos conveniente controlar la composición de la corriente lateral. Por este motivo tal variable deja de considerarse como variable controlada, y nos resta entonces la decisión de como aparear el resto de las variables. Si la planta original está dada por: y1 y2 = y3 .66e−2.6s 6.7s+1 −.0049e−s 9.06s+1 1.11e−6.5s " # u 1 7.09s+1 u2 .87(11.61s+1)e−s (3.89s+1)(18.8s+1) −.012e−1.2s 3.25s+1 −33.68e−9.2s 8.15s+1 (2.53) con la decisión de no controlar la composición de la corriente lateral, la planta estará dada por: " y1 y3 # .66e−2.6s 6.7s+1 −.0049e−s 9.06s+1 # " u1 .87(11.61s+1)e−s u2 (3.89s+1)(18.8s+1) = −33.68e−9.2s 8.15s+1 (2.54) de donde, " Λ= 1.4 −.4 −.4 1.4 # (2.55) el apareamiento natural para este sistema será: u1 → y1 (el reflujo controla la composición del destilado) y u2 → y2 (la presión del rehervidor controla la composición de los fondos). 2.2 Sistemas sobre-definidos En esta situación el número de variables manipuladas (m) es mayor que el número de variables controladas (n). Por lo tanto tenemos varias formar de aparear las variables de salida con las variables de entrada. De hecho tenemos exactamente: m! n!(m − n)! (2.56) posibilidades de apareamiento. Entonces el procedimiento para seleccionar el apareamiento es como sigue. a) Determinar el número de subsistemas cuadrados (usando la ecuación 2.56). b) Obtener el RGA de cada uno de los subsistemas. 18 c) Examinar las RGAs y elegir la mejor básado en el carácter global de la RGA (es decir, la más cercana al caso ideal). d) Con la RGA del paso anterior, seleccionar el apareamiento entrada/salida. Ejemplo 7 Seleccionar el mejor apareamiento para la siguiente planta: " y1 y2 # .5e−.2s 3s+1 = .004e−.5s 1.5s+1 −.07e−.3s 2.5s+1 .04e−.03s 2.8s+1 −.003e−.2s s+1 −.001e−.4s 1.6s+1 u1 u2 u (2.57) 3 a) El número de posibles subsistemas cuadrados es: 3! =3 2!(3 − 1)! b) RGA de los subsistemas. • Subsistema No.1 (u1 , u2 ) " Λ= .843 .157 .157 .843 # (2.58) • Subsistema No.2 (u1 , u3 ) " Λ= .758 .242 .242 .758 # (2.59) • Subsistema No.3 (u2 , u3 ) " Λ= −1.4 2.4 2.4 −1.4 # (2.60) c) Elejimos el subsistema No.1 porque su estructura de λi,j 0 s está más cerca del caso ideal. d) De aqui es fácil determinar el apareamiento: u1 → y1 u2 → y2 3 Diseño de controladores múltiples El procedimiento para diseñar sistemas de control de lazos múltiples involucra los siguientes pasos: 1) Selección del esquema de apareamiento. 19 2) Sintonización de los controladores de los lazos individuales. En sistemas que presentan poca interacción (es decir, sistemas cuya RGA está cercana a la ideal) esperariamos que los métodos de sintonización de controladores vistos antes (Ziegler-Nichols, Cohen-Coon, IMC etc) bastaran para tener un buen desempeño del esquema de control de lazos múltiples. Sin embargo, dichas reglas de sintonización podrı́an resultar inapropiadas si se apareó usando valores grandes o negativos de la RGA. El control podrı́a ser prácticamente imposible de obtener en presencia de interacciones fuertes. Bajo condiciones de fuerte interacción se recomienda el siguiente procedimiento de sintonización de los lazos. 1) Sintonizar cada lazo de control de manera independiente (manteniendo en modo manual al resto de los lazos). 2) Meter todos los lazos a modo automático, reajustando los parámetros de los controladores hasta obtener un buen desempeño de los lazos de control. En la mayorı́a de sistemas altamente interactivos el segundo paso equivale a “desintonizar” los lazos de control. Se dice que la operación de los lazos se vuelve más “conservadora” (lo cual equivale a reducir la ganancia y aumentar el tiempo integral). Es decir, se sacrifica desempeño por estabilidad. A continuación se presenta un procedimiento de “desintonización” para sistemas de 2x2. a) Sintonizar cada lazo de manera independiente. Esto proporciona valores iniciales de los parámetros de los controladores. Sea la ganancia del controlador denotada ∗ por kci . b) Cuando todos los lazos operen de manera automática, la ganancia de cada lazo de ∗ control (kci ) se deberá reducir de acuerdo a la siguiente ecuación: √ ( ∗ (λ − λ2 − λ)k ¯ ci , λ > 1 ¯ √ kci = ¯ ¯ ∗ ¯λ + λ2 − λ¯ kci , λ<1 ∗ tal vez sea aún necesario modificar aún más el valor de kci , pero las ecuaciones anteriores proporcionan un buen valor inicial para determinar los valores de kci . Ejemplo 8 La respuesta y(s) = [y1 y2 ]T de una columna de destilación , para la separación Metanol-Agua, se puede se puede representar en términos de las variables manipuladas u(s) = [u1 u2 ]T y de las perturbaciones d(s) = [d1 d2 ]T : y(s) = G(s)u(s) + Gd (s)d(s) donde G(s) representa la matriz de funciones de transferencia del proceso y Gd es la matriz de funciones de transferencia de las perturbaciones dadas como se muestra a continuación. G(s) = 0.7e−2.6s 6.7s+1 −9.2s − 34.7e 8.2s+1 20 −s − 0.005e 9.1s+1 0.9(11.6s+1)e−s (3.9s+1)(18.8s+1) Gd (s) = −2.7s 0.14e−12s 6.2s+1 − 0.0011(26.3s+1)e (7.9s+1)(14.6s+1) −0.6s − 11.5e 7s+1 0.32e−2.6s 7.8s+1 y1 es la fraccion mol de etanol en el destilado, y2 es la temperatura en el plato 19, u1 es el reflujo, u2 es la presión del vapor en el rehervidor, d1 es el flujo de la corriente de alimentación y d2 es la temperatura de dicha corriente. Si seleccionamos el apareamiento: u1 → y1 u2 → y2 de la matriz de funciones de transferencia en estado estacionario: " G(0) = 0.7 −0.005 −34.7 0.9 # obtenemos el arreglo de ganancias relativas, " Λ = 1.3801 −0.3801 −0.3801 1.3801 # si checamos valor del ı́ndice de Niederlinski, N = 0.7246 llegamos a la conclusión de que el apareamiento sugerido deberı́a presentar poca interacción sin problemas de estabilidad. Para emplear el método de Ziegler-Nichols para sintonizar el esquema de control seleccionado, necesitamos primero aproximar la función de transferencia g22 (s) de la matriz de funciones de transferencia G(s) en términos de una función de transferencia de primero con retardo: k22 g22 (s) = e−θ22 s τ22 s + 1 de los datos de la función de transferencia g22 (s) obtenemos, k22 = 0.9 θ22 = 1 3.9 + 18.8 τ22 = = 11.35 2 entonces la función de transferencia g22 (s) que se debe usar para propósitos de sintonización está dada por: 0.9 e−2 g22 (s) = 11.35s + 1 21 4 Método BLT Uno de los problemas centrales en el diseño de esquemas de control decentralizado (p.e. controladores PID) consiste en la interacción que puede ocurrir entre lazos de control. En esta sección supondremos que deseamos sintonizar un esquema de N lazos de control donde cada lazo es del tipo SISO y donde ademas la interacción entre ellos tiende a ser lo suficientemente fuerte como para afectar la operación de algún o de algunos lazos. Normalmente las técnicas empleadas para sintonizar lazos SISO individuales, no pueden usarse para obtener los parámetros de sintonización cuando varios de dichos lazos individuales operan simultaneamente. Debido a la interacción entre los lazos, la operación de un lazo tenderá a afectar la operación de otro u otros lazos. Ante este tipo de situaciones, las constantes de sintonización, obtenidas de aplicar técnicas standard (p.e. Ziegler-Nichols), deben modificarse. En muchos casos la ganancia de cada lazo de control debe aumentarse, en alguna proporción, para permitir que el sistema de N lazos opere de manera estable. Por supuesto, esta acción (aumento de ganancia) cauza que el desempeño de cada lazo sea peor (en relación al desempeño observado cuando cada lazo operaba aislado del resto de los lazos). Aun cuando uno podrı́a modificar por prueba y error los parámetros de cada controlador, para obtener la respuesta deseada en cada lazo, es mejor emplear un esquema semiheurı́stico para tal propósito. Uno de dichos métodos es el ası́ llamado método BLT propuesto por Luyben. Nótese que, en algunos casos, si la respuesta obtenida en cada lazo no es la apropiada, los parámetros de sintonización BLT podrı́an requerir alguna modificación adicional. Suponiendo que deseamos utilizar control PI en cada lazo, el método consta de los siguiente pasos. 1. Empleando el método de Ziegler-Nichols, calcular los parámetros de sintonización (ganancia KZN i y tiempo integral τZN i ) de cada lazo i de manera independiente (es decir, como si fueran lazos SISO) del resto de los lazos. 2. Suponer el valor de un parámetro de desintonización2 (denotado por F ). Debido a la interacción entre los lazos, las ganancias de todos los controladores feedback Kci se modifican de la siguiente manera: Kci = KZN i F (4.61) mientras que los tiempos de integración τIi de todos los lazos se calculan de la siguiente ecuación: τIi = τZN i F 2 puede tomarse un valor ligerante mayor de 1 como primer estimado de F . 22 (4.62) 3. Empleando el valor de F , junto con los parámetros de sintonización de cada controlador, construir el diagrama de Nyquist de la siguiente función3 : W(iw) = −1 + Det[I + Gp(iw) Gc(iw) ] (4.63) sobre bases semiheurı́sticas definimos la siguiente magnitud a lazo cerrado: ¯ ¯ Lcm = 20 log10 ¯¯ ¯ W ¯¯ 1+W¯ (4.64) si graficamos el valor de Lcm contra la frecuencia ω normalmente obtendremos una función que muestra un pico, a una cierta frecuencia, que corresponde al valor máximo de Lcm . A dicho valor lo denominamos el máximo valor logaritmico (the biggest log modulus BLT) y lo denotamos por Lmax cm . 4. Reestimar el parámetro de desintonización F hasta que el valor de Lmax cm sea aproximadamente igual a 2N. Ejemplo 9 Para mostrar la forma de sintonizar lazos de control en sistemas multivariables considere el modelo lineal de la siguiente columna de destilación sugerida por Wood y Berry: " ∆xd ∆xb # = 12.8e−s 16.7s+1 −18.9e−3s 21s+1 6.6e−7s 10.9s+1 −19.4e−3s 14.4s+1 " ∆L ∆V # (4.65) donde supongamos que se ha seleccionado el siguiente apareamiento: ∆L → ∆xd ∆V → ∆xb para cada lazo el método de sintonización de Ziegler-Nichols produce los parámetros de sintonización que se muestran en la siguiente tabla. No. (1) (2) Lazo ∆L → ∆xd ∆V → ∆xb KZN τZN 0.96 3.25 -0.19 9.2 • Primera suposición: F = 1. De acuerdo a lo mencionado anteriormente, desintonizamos los dos lazos de control usando las ecuaciones 4.61 y 4.62. En este caso, debido al valor supuesto del parámetro de desintonización, los nuevos valores de los parámetros de los controladores serán iguales a los mostrados anteriormente. A continuación, usando la ecuación 4.63 calculamos el término W(iw) . Nótese que este término depende de la frecuencia w. Esto significa que, para calcular W(iw) , primero 3 recuerde que a medida que la gráfica de esta función esté más cerca al punto (-1,0) el sistema de control será más suceptible a desestabilizarse. Nótese que la ecuación dada por W/(1 + W ) es similar a la función de transferencia servo para un sistema SISO dada por Gp Gc /(1 + Gp Gc ). 23 debemos seleccionar un rango de valores de la frecuencia [wmin , wmax ] de manera tal que la frecuencia a la que obtiene el máximo pico resonante wres esté compredida, en algún punto, entre el rango seleccionado. Esto significa que wres ∈ [wmin , wmax ]. Normalmente a wmin se le asigna un valor pequeño 4 , mientrá que a wmax se le asigna un valor más o menos grande 5 . Por el momento seleccionamos wmin =0.1 y wmax = 10. Entonces para w = 0.1 tenemos que s = i∗w = 0.1i; substituyendo s en las funciones de transferencia de la planta Gp y de los controladores Gc obtenemos: Gp = 12.8e−(0.1i) 16.7(0.1i)+1 −18.9e−3(0.1i) 21(0.1i)+1 6.6e−7(0.1i) 10.9(0.1i)+1 −19.4e−3(0.1i) 14.4(0.1i)+1 = " 2.7982 − 5.9508i −1.1694 + 8.0412i 0.1890 − 4.4578i −3.3439 + 10.5483i # estas operaciones pueden realizarse fácilmente en Matlab. Por ejemplo para evaluar el elemento G11 (0.1i) de la planta anterior: w = .1; s = w*i; n11 = 12.8; d11 = [16.7 1]; d1 = 1; g11 =(polyval(n11,s)/polyval(d11,s))*exp(-d1*s); todos los restantes elementos de la planta Gp se evaluan de manera semejante. Ahora evaluaremos los elementos de la matriz de los elementos del controlador Gc : Gc = kc1 ³ τI1 s+1 τI1 s 0 ´ kc2 ³ 0 " ´ = τI2 s+1 τI2 s 0.9600 − 2.9538i 0 0 −0.1900 + 0.2065i # el determinante de (I2x2 + Gp Gc ) está dado por: Det(I2x2 + Gp Gc ) = −40.2462 + 14.8417i por lo tanto, de la ecuación 4.63: W(0.1i) = −41.2462 + 14.8417i finalmente determinamos el valor de Lcm . De la ecuación 4.64 tenemos: Lcm = 0.1882 4 Recuerdese que cuando w → 0 esto significa que el sistema, en el dominio del tiempo, se encuentra operando en estado estacionario. 5 Cuando w → ∞ esto significa, en el dominio del tiempo, que esta región de la frecuencia es la que contiene la respuesta inicial, después de que alguna perturbación afecta al proceso o ocurre un cambio en el set-point, del sistema. 24 este proceso para calcular Lcm se repite para varios valores de w ∈ [wmin , wmax ]. En la figura 2 se muestra la forma como Lcm depende de la frecuencia w cuando el factor de desintonización F es igual a la unidad. La altura máxima del pico resonante Lcm es igual a 31.1317 a una frequencia w =0.467 lo cual significa que el valor supuesto de F no proporciona la altura deseada de 4 db. 40 30 20 Lcm 10 0 −10 −20 −30 −1 10 0 10 w 1 10 Figura 2: Dependencia de Lcm con respecto a la frecuencia w cuando F = 1. • Segunda suposición: F = 2 Los cálculos mostrados anteriormente se repiten ahora F =2. En la figura 3 se muestra la gráfica de Lcm contra la frecuencia w para este valor del parámetro de desintonización. La altura del pico resonante ocurre a Lcm =6.4106 a una frecuencia w =0.3714. Este valor supuesto de F está más cerca del requisito de diseño de 4 db en Lcm pero aún no lo cumple. 10 5 0 Lcm −5 −10 −15 −20 −25 −30 −1 10 0 10 w 1 10 Figura 3: Usando un valor F =2 se obtiene Lcm = 6.4 db. • Tercera suposición: F = 2.53 Como podemos observar de la figura 4cuando F = 2.53 se obtiene 4 db como altura máxima del pico resonante a una frecuencia w =0.321 por lo que este valor de 25 F cumple con el requisito de diseño. Aplicando este factor de desintonización, los parámetros de sintonización para cada lazo quedan como se muestra en la siguiente tabla. 5 0 −5 Lcm −10 −15 −20 −25 −30 −1 10 0 1 10 w 10 Figura 4: Usando un valor F =2.53 se obtiene Lcm = 4 db. No. (1) (2) Lazo ∆L → ∆xd ∆V → ∆xb KZN τZN 0.378 8.255 -.0748 23.5712 Para probar la eficacia del método de sintonización multivariable se usaron las siguientes dos pruebas a lazo cerrado. • Control servo: El set-point de la composición del destilado se cambió de 0 a 1. En la figura 5 se muestran las respuestas de las composiciones tanto del destilado como de los fondos para cada tipo de sintonización; también se incluye la conducta dinámica de las variables manipuladas. • Control regulatorio: Se simuló el efecto de la perturbación dada por: Gd = 1 10s + 1 la cual se supuso que ingresa al sistema afectando a la composición del destilado. En la figura 6 se muestra la respuesta del sistema a lazo cerrado. Como puede apreciarse el esquema de sintonización tomando en cuenta la interacción multivariable es superior al esquema de ZN que no toma en cuenta el efecto de interacción entre los lazos. A continuación se muestra el programa Matlab empleado para realizar los cálculos involucrados en este problema. % % BLT tuning method for the Wood and Berry Distillation column % 26 2 1.5 1 1.5 xb xd 0.5 1 0 0.5 0 −0.5 0 20 40 60 Tiempo 80 −1 100 1.5 0 20 40 60 Tiempo 80 100 0 20 40 60 Tiempo 80 100 0.3 0.2 1 V L 0.1 0.5 0 0 −0.5 −0.1 0 20 40 60 Tiempo 80 −0.2 100 Figura 5: Respuesta del sistema de control servo a lazo cerrado. (–) Sintonización usando el método de ZN, (-) sintonización usando la técnica de desacoplamiento multivariable. np11 = 12.8; dp11 = [16.7 1]; np12 = -18.9; dp12 = [21 1]; np21 = 6.6; dp21 = [10.9 1]; np22 = -19.4; dp22 = [14.4 1]; d = [1 3; 7 3]; % % Give ZN settings % kczn = [.96 0; 0 -.19]; resetzn = [3.25 0; 0 9.28]; w = logspace(-1,.8,200); s = i*w; f = 2.54; % % Control detuning % kc = kczn/f; reset = resetzn*f; % % Form controller transfer function % nc11 = kc(1,1)*[reset(1,1) 1]; dc11 = [reset(1,1) 0]; nc22 = kc(2,2)*[reset(2,2) 1]; 27 0.8 1 0.6 0.5 0.4 0 xb xd 0.2 0 −0.5 −0.2 −1 −0.4 −0.6 0 20 40 60 Tiempo 80 −1.5 100 0.4 0 20 40 60 Tiempo 80 100 0 20 40 60 Tiempo 80 100 0.2 0.2 0.1 0 0 L V −0.2 −0.4 −0.1 −0.6 −0.2 −0.8 −1 0 20 40 60 Tiempo 80 −0.3 100 Figura 6: Respuesta del sistema de control regulatorio a lazo cerrado. (–) Sintonización usando el método de ZN, (-) sintonización usando la técnica de desacoplamiento multivariable. dc22 = [reset(2,2) 0]; % % Inside loop to vary frequency % npoints = length(w); for j = 1:npoints % % Process g’s % g (1,1) = polyval(np11,s(j))*exp(-d(1,1)*s(j))/polyval(dp11,s(j)); g (1,2) = polyval(np12,s(j))*exp(-d(1,2)*s(j))/polyval(dp12,s(j)); g (2,1) = polyval(np21,s(j))*exp(-d(2,1)*s(j))/polyval(dp21,s(j)); g (2,2) = polyval(np22,s(j))*exp(-d(2,2)*s(j))/polyval(dp22,s(j)); % % Controller gc’s % gc (1,1) = polyval(nc11,s(j))/polyval(dc11,s(j)); gc (1,2) = 0; gc (2,1) = 0; gc (2,2) = polyval(nc22,s(j))/polyval(dc22,s(j)); % % Calculate w function % wfunc = -1+det(eye(size(g))+g*gc); 28 % % Calculate lc function % ratio = wfunc/(1+wfunc); dbcl (j) = 20*log10(abs(ratio)); % % End of inside loop sweeping trough frequencies % end semilogx(w,dbcl); grid xlabel(’w’), ylabel(’L_{cm}’) %-- End of file -- Ejemplo 10 Las siguiente planta multivariable en forma matricial: 0.66e−2.6s 6.7s+1 ∆xd 1.11e−6.5s 3.25s+1 ∆xs = ∆T −34.68e−9.2s 8.15s+1 −0.61e−3.5s 8.64s+1 −2.36e−3s 5s+1 46.2e−9.4s 10.9s+1 −0.0049e−s 9.06s+1 ∆L 7.09s+1 ∆S ∆P 0.87(11.61s+1)e−s (3.89s+1)(18.8s+1) −0.01e−1.2s (4.66) representa los elementos individuales de la matriz de funciones de transferencia de una torre de destilación a escala planta piloto que realiza la separación Etanol-Agua, donde las variables a controlar están definidas como sigue: xd representa la fracción mol del Etanol en el destilado, xs es la fracción mol de etanol en la corriente de extracción lateral y T es la temperatura (o C) de los fondos. Por otra parte, las variables manipuladas están definidas como: L es el flujo del reflujo (gpm), S es el flujo de la corriente de extracción lateral (gpm) y P es la presión en el rehervidor (psig). 1. Determinar el esquema de apareamiento del sistema de control de lazos múltiples que conduce a reducir la interacción entre los lazos de control. Verificar que el sistema de control de lazos múltiples no presenta problemas de estabilidad cuando todos los lazos se cierran. 2. Usando la estructura de control determinada en el punto anterior, sintonizar cada lazo de control usando las reglas de ZN en el dominio del tiempo. Probar el sistema de lazos múltiples realizando cambios simultáneos en el set-point de las variables controladas de 0.05, 0.1 y 10 para xd , xs y T , respectivamente. 3. Repetir el punto anterior empleando el método BLT para desintonizar el sistema de lazos múltiples por efectos de la interacción presente entre los lazos. 29 4. Comparar entre si los resultados del desempeño del sistema de control de lazos múltiples empleando las reglas de sintonización de ZN y el método BLT. Cuáles son sus conclusiones ? 1. La matriz de ganancias en estado estacionario K(0) está dada como se muestra a continuación: 0.6600 −0.6100 −0.0049 −2.3600 −0.0100 K(0) = 1.1100 −34.6800 46.2000 0.8700 (4.67) mientras que la RGA en estado estacionario λ(0) está dada por: 2.0084 −0.7220 −0.2864 λ(0) = −0.6460 1.8246 −0.1786 −0.3624 −0.1026 1.4650 (4.68) por lo tanto, el apareamiento entre las variables controladas y las variables manipuladas con menor interacción en el sistema de control de lazos múltiples está dado por: L → xd S → xs P →T checando el ı́ndice de Niederlinski N : N= det(K(0)) = 0.3859 Π3i=1 Kii (0) por lo cual, este sistema de lazos de control múltiple probablemente no tenga problemas de estabilidad cuando todos los lazos de control se cierren. 2. Con excepción de la función de transferencia individual G33 , todas las demas se encuentran representadas en términos de una función de transferencia de primer orden más retardo. La función de transferencia G33 se puede representar también como una planta de primer orden más retardo como se muestra a continuación: G33 = 0.87 e−2.47s 12.72s + 1 en la siguiente tabla se resumen los parámetros de sintonización obtenidos usando el método de Ziegler-Nichols para cada uno de los lazos. No. Lazo (1) ∆L → ∆xd (2) ∆S → ∆xs (3) ∆P → ∆T 30 KZN τZN 3.514 8.658 -0.6356 9.99 5.3324 8.245 En la gráfica 7 se muestran las respuestas del sistema de control a lazo cerrado. Como puede apreciarse, los parámetros de sintonización conducen a obtener un sistema de control a lazo cerrado el cual es inestable. 3. A continuación se realizó la desintonización del sistema de control de lazos múltiples empleando el método BLT. El valor del parámetro F que conduce a obtener la altura máxima en la gráfica de la respuesta en el dominio de la frecuencia es F = 1.606. Usando este valor del parámetro de desintonización la siguiente tabla muestra los nuevos valores de los parámetros de sintonización. No. Lazo (1) ∆L → ∆xd (2) ∆S → ∆xs (3) ∆P → ∆T KZN τZN 2.188 13.9047 -0.3958 16.0439 3.3203 13.2415 En la gráfica 8 se muestra la nueva respuesta del sistema de control a lazo cerrado empleando desintonización entre los lazos de control. Como puede observarse, en esta ocasión el sistema de control a lazo cerrado permanece estable cuando los set-points de todas las variables controladas cambian de manera simultánea. A continuación se muestra el listado Matlab empleado para evaluar el parámetro de desintonización entre los lazos. % % BLT tuning method for an Ethanol-Water column % np11 = 0.66; dp11 = [6.7 1]; np12 = -0.61; dp12 = [8.64 1]; np13 = -0.0049; dp13 = [9.06 1]; np21 = 1.11; dp21 = [3.25 1]; np22 = -2.36; dp22 = [5 1]; np23 = -0.01; dp23 = [7.09 1]; np31 = -34.68; dp31 = [8.15 1]; np32 = 46.2; dp32 = [10.9 1]; np33 = [0.87*11.61 0.87]; dp33 = [3.89*18.8 (3.89+18.8) 1]; d = [-2.6 -3.5 1; 6.5 3 1.2; 9.2 9.4 1]; % % Give ZN settings % kczn = [3.514 0 0; 0 -0.6356 0; 0 0 11.4207]; resetzn = [8.658 0 0; 0 9.99 0 ; 0 0 3.33]; w = logspace(-1,.8,200); s = i*w; f = 1.606; kc = kczn/f; reset = resetzn*f; % 31 % Form controller transfer function % nc11 = kc(1,1)*[reset(1,1) 1]; dc11 = [reset(1,1) 0]; nc22 = kc(2,2)*[reset(2,2) 1]; dc22 = [reset(2,2) 0]; nc33 = kc(3,3)*[reset(3,3) 1]; dc33 = [reset(3,3) 0]; % % Inside loop to vary frequency % npoints = length(w); for j = 1:npoints % % Process g’s % g (1,1) = polyval(np11,s(j))*exp(-d(1,1)*s(j))/polyval(dp11,s(j)); g (1,2) = polyval(np12,s(j))*exp(-d(1,2)*s(j))/polyval(dp12,s(j)); g (1,3) = polyval(np13,s(j))*exp(-d(1,3)*s(j))/polyval(dp13,s(j)); g (2,1) = polyval(np21,s(j))*exp(-d(2,1)*s(j))/polyval(dp21,s(j)); g (2,2) = polyval(np22,s(j))*exp(-d(2,2)*s(j))/polyval(dp22,s(j)); g (2,3) = polyval(np23,s(j))*exp(-d(2,3)*s(j))/polyval(dp23,s(j)); g (3,1) = polyval(np31,s(j))*exp(-d(3,1)*s(j))/polyval(dp31,s(j)); g (3,2) = polyval(np32,s(j))*exp(-d(3,2)*s(j))/polyval(dp32,s(j)); g (3,3) = polyval(np33,s(j))*exp(-d(3,3)*s(j))/polyval(dp33,s(j)); % % Controller gc’s % gc (1,1) = polyval(nc11,s(j))/polyval(dc11,s(j)); gc (1,2) = 0; gc (1,3) = 0; gc (2,1) = 0; gc (2,2) = polyval(nc22,s(j))/polyval(dc22,s(j)); gc (2,3) = 0; gc (3,1) = 0; gc (3,2) = 0; gc (3,3) = polyval(nc33,s(j))/polyval(dc33,s(j)); % % Calculate w function % wfunc = -1+det(eye(size(g))+g*gc); % 32 % Calculate lc function % ratio = wfunc/(1+wfunc); dbcl (j) = 20*log10(abs(ratio)); % % End of inside loop sweeping trough frequencies % end semilogx(w,dbcl); grid xlabel(’w’), ylabel(’L_{cm}’) %-- End of file -- 33 1 2 0.5 xd L 4 0 −2 −4 0 −0.5 0 20 40 60 80 −1 100 0 20 40 Time 100 60 80 100 60 80 100 4 2 S xs 0 −2 0 −2 0 20 40 60 80 −4 100 0 20 40 Time Time 200 30 20 T P 100 0 −100 80 Time 2 −4 60 10 0 0 20 40 60 80 100 Time −10 0 20 40 Time Figura 7: 34 0.1 0.3 0.05 xd L 0.4 0.2 0.1 0 0 −0.05 0 20 40 60 80 −0.1 100 0 20 40 0.05 0.2 0 0.1 −0.05 −0.1 −0.15 80 100 60 80 100 60 80 100 Time xs S Time 60 0 −0.1 0 20 40 60 80 100 −0.2 0 20 40 Time Time 15 50 10 T P 100 0 −50 5 0 20 40 60 80 100 Time 0 0 20 40 Time Figura 8: 35