Simulación Hidrodinámica de las Turbinas a Instalar en la Central
Transcripción
Simulación Hidrodinámica de las Turbinas a Instalar en la Central
UNIVERSIDAD DE MÁLAGA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA DE SISTEMAS Y AUTOMÁTICA Simulación Hidrodinámica de las Turbinas a Instalar en la Central Hidroeléctrica “Manuel Piar” en Tocoma Diplomado de Estudios Avanzados Presentado por: Edgar de Jesús Gutiérrez Aro, Ing., MSc. Para cumplir con el Periodo de Investigación del Doctorado en Ingeniería Mecatrónica Investigación dirigida por el: Dr. Joaquín Ortega Casanova Profesor Titular de la Universidad de Málaga en el Área de Mecánica de Fluidos Málaga, Marzo de 2009 UNIVERSIDAD DE MÁLAGA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA DE SISTEMAS Y AUTOMÁTICA Dr. Joaquín Ortega Casanova, Profesor Titular de la Universidad de Málaga en el Área de Mecánica de Fluidos, hace constar Que es Director del trabajo de Investigación titulado: “Simulación Hidrodinámica de las Turbinas a Instalar en la Central Hidroeléctrica “Manuel Piar” en Tocoma”, realizado por el Ing. Edgar de Jesús Gutiérrez Aro, y que dicho autor ha llevado a cabo los objetivos de investigación propuestos para la completa elaboración del trabajo Investigación Tutelado, y se encuentra en disposición de la defensa del mismo ante el Tribunal de Lectura del Trabajo de Investigación Málaga, Marzo de 2009. ________________________________________ Fdo. Joaquín Ortega Casanova Dedicatoria: A mi hijo Dreiber y a mi esposa Ingrid, por ser los seres más amado de mi vida, motivo de mi gran lucha para alcanzar metas cada vez más importantes. También a mi madre, María (Marucha) que me ha dado siempre su apoyo y comprensión; pero muy especialmente a padre Valentín, para el que siempre fui sus ojos y esperanza, y que nunca pudo ver el crecimiento profesional de su hijo. ii Agradecimiento: Quiero agradecer a mi Universidad, la Universidad Nacional Experimental Politécnica “Antonio José de Sucre” (UNEXPO), la cual me formó y me continúa apoyando para culminar mis estudios Doctorales. A mi esposa Ingrid, por el apoyo y compresión que ha tenido para que yo pudiera culminar este trabajo. Al profesor, Dr. Joaquín Ortega Casanova, por el apoyo y orientación en la elaboración de este trabajo. A mi amigo y compadre Henry Herrera, por el auxilio prestado cuando estuve en España. iii Resumen Es este trabajo se presenta la simulación numérica, mediante el método de los volúmenes finitos, de las turbina Kaplan que serán instaladas en la Central Hidroeléctrica “Manuel Piar” en Tocoma, también conocida como Tocoma. La investigación es de tipo aplicada, dado que se utiliza el método de los volúmenes finitos para simular el comportamiento de la turbina Kaplan, y así construir las curvas características de la misma. El trabajo es importante por que permite predecir el comportamiento de las turbinas una vez instaladas, aproximadamente para el año 2012. La metodología desarrollada consistió, en primer lugar, en establecer el modelo matemático que se utilizaría para simular el comportamiento fluidodinámico del agua cuando pasa a través de las paletas directrices y el rodete de la turbina. Luego, se construyeron los modelos de volúmenes finitos para el volumen de control de las paletas directrices y del rodete. Seguidamente, se realizó la simulación de las paletas directrices para diferentes grados de apertura de las mismas, y diferentes caudales de operación, a fin de obtener los perfiles de velocidad a la salida de las paletas directrices, que serán las condiciones de borde en la simulación del rodete. Finalmente, se realizó la simulación del rodete para velocidades de operación entre 0 rpm y 250 rpm, y caudales entre 430 m3/s y 844 m3/s, manteniendo las paletas directrices completamente abierta. Los resultados muestran, que se pudo establecer una relación matemática para los perfiles de velocidad a la salida de las paletas directrices como función del radio, para diferentes inclinaciones de las paletas directrices. También se presentan las curvas de torque, potencia y eficiencia de la turbina como función del caudal para diferentes velocidades de operación, y se estable el punto de operación una vez instadas. iv Índice General RESUMEN ............................................................................................................................... iv ÍNDICE GENERAL ................................................................................................................. v ÍNDICE DE FIGURAS .........................................................................................................viii ÍNDICE DE TABLAS ............................................................................................................xii INTRODUCCIÓN .....................................................................................................................1 CAPÍTULO 1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ......................................................3 1.1. INTRODUCCIÓN. ................................................................................................................3 1.2. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA.......................................................................................6 1.3. OBJETIVOS. .........................................................................................................................8 1.3.1. OBJETIVO GENERAL................................................................................................................... 8 1.3.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS. ........................................................................................................... 8 1.4. LIMITACIONES. ..................................................................................................................9 CAPÍTULO 2. DESARROLLO HIDROELÉCTRICO DEL BAJO CARONÍ ................10 2.1. ANTECEDENTES Y FUTURO DE LA HIDROELECTRICIDAD EN VENEZUELA. ......10 2.2. GENERALIDADES DE LA EMPRESA CVG EDELCA. ....................................................13 2.1.1. MISIÓN. .................................................................................................................................... 13 2.1.2. VISIÓN. ..................................................................................................................................... 13 2.1.3. CENTRALES HIDROELÉCTRICAS DE EDELCA EN EL BAJO CARONÍ. ....................................... 13 2.3. DESCRIPCIÓN DEL PROYECTO “MANUEL PIAR” EN TOCOMA. .............................19 2.3.1. GENERALIDADES...................................................................................................................... 19 2.3.2. CARACTERÍSTICAS PRINCIPALES DE LAS TURBINAS A INSTALAR EN TOCOMA....................... 23 CAPÍTULO 3. FUNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUIDOS .........................................26 3.1. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA DE FLUIDOS DIFERENCIAL. ..................................26 3.1.1. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD. .................................................................................................. 28 3.1.2. ECUACIÓN DE MOMENTUM...................................................................................................... 28 3.1.3. ECUACIÓN DE ENERGÍA............................................................................................................ 31 3.2. CONDICIONES INICIALES Y DE FRONTERA. ..............................................................32 3.2.1. CONDICIONES INICIALES. ......................................................................................................... 32 v 3.2.2. CONDICIONES DE BORDE. ........................................................................................................ 33 3.3. ANÁLISIS DE FLUJO TURBULENTO. .............................................................................35 3.4. MODELO DE TURBULENCIA PARA ANÁLISIS DEL FLUJO DE FLUIDOS. ...............37 3.4.1. MODELOS BASADOS EN LA VISCOSIDAD DE REMOLINO.......................................................... 38 3.4.2. MODELOS BASADOS EN LOS ESFUERZOS CORTANTE DE REYNOLDS. ..................................... 46 3.4.3. MODELOS NUMÉRICOS DE SIMULACIÓN DE FLUJOS TURBULENTOS. ...................................... 51 3.5. DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO DE VOLÚMENES FINITOS...........................................55 3.5.1. DISCRETIZACIÓN DE LOS TÉRMINOS TRANSITORIOS. .............................................................. 57 3.5.2. TAMAÑO ADECUADO DEL PASO DE TIEMPO. ........................................................................... 58 3.5.3. FUNCIONES DE FORMA Y TIPOS DE ELEMENTOS...................................................................... 59 3.5.4. CALIDAD DE LA MALLA DE VOLÚMENES FINITOS................................................................... 66 CAPÍTULO 4. MODELO MATEMÁTICO .........................................................................69 4.1. GENERALIDADES DE LAS CENTRALES HIDROELÉCTRICAS. .................................69 4.1.1. COMPONENTES DE LAS CENTRALES HIDROELÉCTRICAS. ........................................................ 70 4.1.2. TURBINAS KAPLAN. ................................................................................................................. 73 4.2. SIMPLIFICACIONES MATEMÁTICAS, FÍSICAS Y GEOMÉTRICAS. ..........................75 4.2.1. SIMPLIFICACIONES GEOMÉTRICAS........................................................................................... 78 4.2.2. SIMPLIFICACIONES FÍSICAS Y MATEMÁTICAS. ........................................................................ 80 4.3. MODELO MATEMÁTICO Y DOMINIO DEL PROBLEMA. ...........................................81 4.3.1. MODELO DE LAS PALETAS DIRECTRICES. ................................................................................ 81 4.3.2. MODELO DEL RODETE.............................................................................................................. 84 4.4. ESTRATEGIA DE RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA. ......................................................85 4.4.1. ESTRATEGIA UTILIZADA EN EL DISTRIBUIDOR........................................................................ 85 4.4.2. ESTRATEGIA UTILIZADA EN EL RODETE. ................................................................................. 88 4.5. MODELOS DE VOLÚMENES FINITOS............................................................................89 4.5.1. MODELOS DE VOLÚMENES FINITOS DEL DISTRIBUIDOR. ........................................................ 89 4.5.2. MODELO DE VOLÚMENES FINITOS DEL RODETE. .................................................................... 91 CAPÍTULO 5. RESULTADOS ..............................................................................................93 5.1. PERFIL DE VELOCIDAD A LA SALIDA DEL DISTRIBUIDOR. ....................................93 5.1.1. EFECTO DE LA INCLINACIÓN DE LAS PALETAS DIRECTRICES. ................................................. 95 5.1.2. EFECTO DEL ÁNGULO DE INCIDENCIA DE LA VELOCIDAD A LA ENTRADA DEL DISTRIBUIDOR. ......................................................................................................................................................... 103 5.1.3. EFECTOS DEL CAUDAL. .......................................................................................................... 106 5.1.4. RELACIÓN FUNCIONAL DE VELOCIDAD A LA SALIDA DEL DISTRIBUIDOR. ........................... 106 5.2. SIMULACIÓN DE LA TURBINA. ....................................................................................113 5.2.1. PERFIL DE VELOCIDAD........................................................................................................... 113 vi 5.2.2. DISTRIBUCIÓN DE PRESIÓN Y ESFUERZO CORTANTE SOBRE LA TURBINA. ........................... 114 5.3. CURVAS CARACTERÍSTICA DE LA TURBINA. ..........................................................117 5.3.1. TORQUE EN EL EJE DE LA TURBINA. ...................................................................................... 118 5.3.2. POTENCIA EN EL EJE DE LA TURBINA. ................................................................................... 120 5.3.3. EFICIENCIA DE LA TURBINA. .................................................................................................. 121 5.3.4. DESNIVEL DEL SALTO REQUERIDO POR LAS TURBINAS. ....................................................... 122 5.4. COMPARACIÓN DE LOS RESULTADOS Y ASPECTOS ADICIONALES. ..................123 5.4.1. PUNTO DE FUNCIONAMIENTO DE LA TURBINA. ..................................................................... 123 5.4.2. POSIBILIDAD DE CAVITACIÓN EN LA TURBINA...................................................................... 124 5.4.3. COMENTARIO ADICIONAL SOBRE SIMULACIÓN DE TURBINAS KAPLAN. .............................. 124 CONCLUSIONES ................................................................................................................ 126 INVESTIGACIONES FUTURAS ...................................................................................... 128 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................... 129 ANEXOS ............................................................................................................................... 133 vii Índice de Figuras Figura 1.1. Turbina hidráulica propuesta por Euler. ................................................................. 4 Figura 2.1. Ubicación de las grandes centrales hidroeléctrica a lo largo del Bajo Caroní...... 12 Figura 2.2. Ubicación de los futuros desarrollos hidroeléctricos en el alto Caroní. ............... 12 Figura 2.3. Central hidroeléctrica Macagua I.......................................................................... 14 Figura 2.4. Central hidroeléctrica Macagua II......................................................................... 14 Figura 2.5. Central hidroeléctrica Macagua III.. ..................................................................... 15 Figura 2.6. Parque la llovizna.................................................................................................. 15 Figura 2.7. Vista aérea de la Central hidroeléctrica Guri. ....................................................... 16 Figura 2.8. Vista frontal de la central hidroeléctrica Guri....................................................... 16 Figura 2.9. Vista del complejo hidroeléctrico Caruachi.......................................................... 17 Figura 2.10. Lugar donde se construye Tocoma. .................................................................... 19 Figura 2.11. Esquema de la disposición del desarrollo hidroeléctrico del bajo Caroní. ......... 19 Figura 2.12. Vista de la zona donde se construirá la presa principal de la central Tocoma.... 20 Figura 2.13. Maqueta de lo que será la Central Hidroeléctrica Tocoma................................. 21 Figura 3.1. Esquema de las múltiples condiciones de borde en un problema de flujo de fluidos. ...................................................................................................................................... 33 Figura 3.2. Comportamiento de un flujo turbulento y laminar. (a) representación gráfica (b) flujo en un canal. ...................................................................................................................... 35 Figura 3.3. Comportamiento en el tiempo de la componente u de la velocidad en un punto, para el caso de flujo turbulento. ............................................................................................... 35 Figura 3.4. Representación de una malla de volúmenes finitos. (a) Malla y (b) Elemento. ... 56 Figura 3.5. Elemento tipo hexaedro. (a)Elemento en el sistema de coordenadas normalizado y (b) elementos en el sistema de coordenadas rectangular.......................................................... 60 Figura 3.6. Elemento tipo cuña. (a)Elemento en el sistema de coordenadas normalizado y (b) elementos en el sistema de coordenadas rectangular................................................................ 61 Figura 3.7. Elemento tipo pirámide. (a)Elemento en el sistema de coordenadas normalizado y (b) elementos en el sistema de coordenadas rectangular.......................................................... 62 viii Figura 3.8. Elemento tipo tetraedro. (a)Elemento en el sistema de coordenadas normalizado y (b) elementos en el sistema de coordenadas rectangular.......................................................... 62 Figura 4.1. Elementos constitutivos de las centrales hidroeléctricas. ..................................... 71 Figura 4.2. Tipos de tuberías de presión. (a) Central con turbinas Kaplan, (b) Central con turbinas Francis y (c) Central con turbinas Peltón.. ................................................................. 71 Figura 4.3. Aliviadero de Caruachi. ........................................................................................ 72 Figura 4.4. Componentes básicos de una turbina Kaplan. ...................................................... 74 Figura 4.5. Disposición de los componentes en la central hidroeléctrica Manuel Piar en Tocoma. .................................................................................................................................... 76 Figura 4.6. Volúmenes de control utilizados para simular las centrales hidroeléctricas......... 77 Figura 4.7. Líneas de corriente desde la toma a la entrada del distribuidor de la central Caruachi.................................................................................................................................... 78 Figura 4.8. Sección transversal de la turbina a instalar en Tocoma. ....................................... 79 Figura 4.9. Vista tridimensional del volumen de control ocupado por el anillo de distribución. .................................................................................................................................................. 80 Figura 4.10. Vista tridimensional del volumen ocupado por el rodete. .................................. 80 Figura 4.11. Volumen de control utilizado para modelar el distribuidor a diferentes ángulos de inclinación (o apertura) de las paletas directrices: (a) 0°, (b) 15°, (c) 30°, (d) 45°, (e) 60° y (f) 75°............................................................................................................................................. 82 Figura 4.12. Volumen de control del rodete: (a) Vista superior y (b) Vista inferior............... 84 Figura 4.13. Dimensiones del volumen de control utilizado para modelar el distribuidor a diferentes apertura de las paletas directrices: (a) 0°, (b) 15°, (c) 30°, (d) 45°, (e) 60° y (f) 75°. .................................................................................................................................................. 86 Figura 4.14. Dimensiones del volumen de control utilizado para modelar el Rodete............. 88 Figura 4.15. Modelos de volúmenes finitos utilizados para realizar el estudio de convergencia. (a) Modelo de 421.914 nodos, (b) Modelo de 657.737 nodos, (c) Modelo de 902.793 nodos, (d) Modelo de 1.057.434 nodos y (e) Modelo de 1.223.055 nodos. ........................................ 89 Figura 4.16. Norma infinita como función del número de nodos. .......................................... 90 Figura 4.17. Modelo de volúmenes finitos para diferentes ángulos de inclinación de las paletas directrices. (a) 15 °, (b) 30°, (c) 45°, (d) 60° y (e) 75°................................................. 91 Figura 4.18. Modelo de volúmenes finitos del Rodete. (a) 496890 nodos, (b) 635392 nodos y (c) 1014966 nodos. ................................................................................................................... 92 ix Figura 5.1. Secciones utilizadas para graficar el perfil de velocidad. ..................................... 94 Figura 5.2. Líneas de corrientes a través del distribuidor para un caudal de 680 m3/s, velocidad de entrada normal a la superficie e inclinación de las paletas directrices de: (a) 0°, (b) 15°, (c) 30°, (d) 45°, (e) 60° y (f) 75°. ................................................................................ 96 Figura 5.3. Curvas de velocidad constante a la salida del distribuidor y el álabe para un caudal de 680 m3/s e inclinación de las paletas directrices de: (a) 0°, (b) 15°, (c) 30°, (d) 45°, (e) 60° y (f) 75°........................................................................................................................................ 97 Figura 5.4. Módulo de la velocidad a la salida del distribuidor para un caudal de 680 m3/s e inclinación de las paletas directrices de: (a) 0°, (b) 15°, (c) 30°, (d) 45°, (e) 60° y (f) 75°. .... 98 Figura 5.5. Componente axial de la velocidad a la salida del distribuidor para un caudal de 680 m3/s e inclinación de las paletas directrices de: (a) 0°, (b) 15°, (c) 30°, (d) 45°, (e) 60° y (f) 75°........................................................................................................................................ 99 Figura 5.6. Componente radial de la velocidad a la salida del distribuidor para un caudal de 680 m3/s e inclinación de las paletas directrices de: (a) 0°, (b) 15°, (c) 30°, (d) 45°, (e) 60° y (f) 75°...................................................................................................................................... 100 Figura 5.7. Componente tangencial de la velocidad a la salida del distribuidor para un caudal de 680 m3/s e inclinación de las paletas directrices de: (a) 0°, (b) 15°, (c) 30°, (d) 45°, (e) 60° y (f) 75°...................................................................................................................................... 101 Figura 5.8. Perfil de velocidad a la salida del distribuido para diferentes inclinaciones de las paletas directrices: (a) Módulo de la velocidad, componentes (b) axial, (c) radial y (d) tangencial................................................................................................................................ 102 Figura 5.9. Efecto de la inclinación de las paletas directrices sobre el perfil de velocidad a la salida del distribuidor: (a) Módulo de la velocidad, componentes (b) axial, (c) radial y (d) tangencial................................................................................................................................ 103 Figura 5.10. Velocidad a la salida del distribuidor para inclinación de las paletas directrices de 0°, caudal de 680 m3/s y ángulo de incidencia de la velocidad a la entrada del distribuidor de 0°, 15°, 30°, 45° y 60°. (a) Módulo de la velocidad, componentes (b) axial, (c) radial y (d) tangencial................................................................................................................................ 104 Figura 5.11. Velocidad a la salida del distribuidor para inclinación de las paletas directrices de 45°, caudal de 680 m3/s y ángulo de incidencia de la velocidad a la entrada del distribuidor de 0°, 15°, 30°, 45° y 60°. (a) Módulo de la velocidad, Componentes (b) axial, (c) radial y (d) tangencial................................................................................................................................ 105 Figura 5.12. Velocidad a la salida del distribuidor para inclinación de las paletas directrices de 75°, caudal de 680 m3/s y ángulo de incidencia de la velocidad a la entrada del distribuidor de 0°, 15°, 30°, 45° y 60°. (a) Módulo de la velocidad, componentes (b) axial, (c) radial y (d) tangencial................................................................................................................................ 105 x Figura 5.13. Velocidad a la salida del distribuidor para inclinación de las paletas directrices de 0°, ángulo de incidencia de la velocidad a la entrada del distribuidor de 0° y caudales de 785, 680, 561, 500 y 400 m3/s. (a) Módulo de la velocidad, componentes (b) axial, (c) radial y (d) tangencial................................................................................................................................ 106 Figura 5.14. Comparación de las curvas reales y las interpolantes de las componentes de la velocidad a la salida del distribuidor para inclinación de las paletas directrices entre 0° a 30°. (a) Componente axial, (b) componente radial y (c) componente tangencial.......................... 109 Figura 5.15. Comparación de las curvas reales y las interpolantes de las componentes de la velocidad a la salida del distribuidor para inclinación de las paletas directrices de 45°. (a) Componente axial, (b) componente radial y (c) componente tangencial. .............................. 111 Figura 5.16. Comparación de las curvas reales y las interpolantes de las componentes de la velocidad a la salida del distribuidor para inclinación de las paletas directrices de 75°. (a) Componente axial, (b) componente radial y (c) componente tangencial. .............................. 113 Figura 5.17. Líneas de corriente del flujo a través de la turbina para un caudal de 680 m3/s, inclinación de las paletas directrices de 0° y velocidades de giro de: (a) 0 rpm, (b) 50 rpm, (c) 90 rpm, (d) 150 rpm y (e) 250 rpm......................................................................................... 114 Figura 5.18. Presión estática sobre la turbina para la condición de operación de 680 m3/s, inclinación de las paletas directrices de 0° y velocidades de giro de: (a) 0 rpm, (b) 50 rpm, (c) 90 rpm, (d) 150 rpm y (e) 250 rpm......................................................................................... 115 Figura 5.19. Esfuerzo cortante sobre la turbina para la condición de operación de un caudal de 680 m3/s, inclinación de las paletas directrices de 0° y velocidades de giro de: (a) 0 rpm, (b) 50 rpm, (c) 90 rpm, (d) 150 rpm y (e) 250 rpm........................................................................... 116 Figura 5.20. Torque en el eje de la turbina como función (a) de las rpm y (b) el caudal...... 118 Figura 5.21. Curva promedio del torque en el eje de la turbina como función del caudal en m3/s. ........................................................................................................................................ 118 Figura 5.22. Curvas del torque de presión como función del caudal, para diferentes valores de rpm.......................................................................................................................................... 119 Figura 5.23. Torque viscoso como función (a) de las rpm y (b) el caudal............................ 119 Figura 5.24. Potencia de salida en el eje de la turbina como función (a) de las rpm y (b) el caudal...................................................................................................................................... 120 Figura 5.25. Eficiencia de la turbina como función (a) de las rpm y (b) el caudal. .............. 121 Figura 5.26. Desnivel requerido en el salto para operar las turbinas. Desnivel como función de (a) las rpm y (b) el caudal...................................................................................................... 122 Figura 5.27. Zona donde se puede iniciar la cavitación. Condiciones de operación de: (a) 680 m3/s y 90 rpm y (b) 355,4 m3/s y 90 rpm. .............................................................................. 124 xi Índice de Tablas Tabla 2.1. Características relevantes del embalse de la central Macagua. .............................. 12 Tabla 2.2. Características de las turbinas instaladas en Macagua. .......................................... 12 Tabla 2.3. Características relevantes de la cuenca y el embalse de Guri................................. 17 Tabla 2.4. Características de las turbinas instaladas en Guri................................................... 17 Tabla 2.5. Características relevantes del embalse de Caruachi. .............................................. 18 Tabla 2.6. Características de las turbinas instaladas en Caruachi............................................ 18 Tabla 2.7. Características relevantes del embalse de Tocoma................................................. 22 Tabla 2.8. Características de las turbinas a instalar en Tocoma. ............................................. 22 Tabla 2.9. Características de los Generadores a instalar en Tocoma....................................... 23 Tabla 2.10. Rugosidades de las superficies del rodete. ........................................................... 24 Tabla 3.1. Comparación entre la formulación diferencial y de volumen de control [7].......... 27 Tabla 3.2. Calidad del elemento como función de la desviación de los ángulos internos....... 67 Tabla 4.1. Selección de la turbina de acuerdo a la velocidad específica (Ns). ........................ 72 Tabla 4.2. Selección de la turbina de acuerdo al salto y caudal del salto................................ 73 Tabla 4.3. Número de álabes de las turbinas Kaplan como función de la velocidad específica. .................................................................................................................................................. 75 Tabla 4.4. Número de álabes de las turbinas Kaplan como función de la altura del salto. ..... 75 Tabla 4.5. Niveles de operación de las turbinas Kaplan en Tocoma....................................... 76 Tabla 4.6. Componentes de la velocidad a la entrada del distribuidor como función del caudal, ángulo de las paletas directrices y ángulo de la velocidad respecto a la normal...................... 87 Tabla 4.7. Modelos de volúmenes finitos utilizados para realizar el estudio de convergencia del distribuidor.......................................................................................................................... 90 Tabla 4.7. Modelos de volúmenes finitos utilizados para realizar el estudio de convergencia de la turbina. ............................................................................................................................. 91 xii Introducción Venezuela es un país que se conoce en el mundo por disponer de grandes reservas de petróleo y gas (80.582 millones de barriles de petróleo probados (mbp), 236.000 mbp en la faja del Orinoco en proceso de certificación, y 151.479 billones de pies3 de gas); pero además, dispone de un gran potencia hidroeléctrico en el río Caroní, el cual se estima en 26.000 MW, de los cuales 17.448 MW corresponden al bajo Caroní y el resto en el alto Caroní. El río Caroní cubre aproximadamente 95.000 km2 (10.5% del territorio venezolano) de los cuales, 47.000 km2 corresponden al Alto Caroní, desde su nacimiento en la frontera con Brasil hasta la confluencia con el río La Paragua; 33.000 km2 forma la cuenca del río La Paragua y los 15.000 km2 restantes corresponden al Bajo Caroní, desde la unión con el río La Paragua hasta su desembocadura en el río Orinoco, en Ciudad Guayana. La empresa Electrificación del Caroní (EDELCA) perteneciente a la Corporación Venezolana de Guayana (CVG) es la encargada del aprovechamiento del potencial Hidroeléctrico del Río Caroní; por tal motivo, la empresa a construido y esta operando la Central Hidroeléctrica Antonio José de Sucre en Macagua, conformada por los complejos Macagua I, II y III, la Central Hidroeléctrica Simón Bolívar en Guri (Guri) y la Central Hidroeléctrica Francisco de Miranda en Caruachi (Caruachi). Actualmente esta en construcción la Central Hidroeléctrica Manuel Piar en Tocoma (Tocoma), que viene hacer la ultima central de gran tamaño que se construiría en el bajo Caroní. Dado que la Central Hidroeléctrica Manuel Piar en Tocoma esta en proceso de construcción, CVG EDELCA, ha propuesto verificar mediante simulación numérica y física los componentes principales del Proyecto Tocoma[3,4] (contrato N° 3.1.104.001.03). En ese sentido, en este trabajo se presenta la simulación numérica mediante el método de los volúmenes finitos del comportamiento fluidodinámico del agua cuando pasa a través del rodete de la turbina, a fin de construir las curvas características de torque, potencia y eficiencia de las turbinas Kaplan que serán instaladas en ésta Central Hidroeléctrica. Este trabajo es importante por que permitirá predecir el comportamiento de las turbinas ante de ser instaladas, y así la empresa podrá tomar la mejor decisión ante de realizar la instalación de las mimas. Por otra parte, la información presentada viene a servir de base para otros trabajos de investigación, tales como: Simulación de las turbinas para diferentes grados de apertura de las paletas directrices e inclinación de los álabes de la turbina, desarrollo de modelos matemáticos para el control automático de las turbinas, utilizando técnicas convencionales de control o mediante control inteligente; como el control borroso o el control neuronal. También, el trabajo puede servir de guía para realizar simulaciones con otros tipos de perfil de álabes, a fin de optimizar el diseño actual. 1 La investigación tiene como alcance, construir las curvas características de la turbina Kaplan que serán instaladas en la central Hidroeléctrica “Manuel Piar” en Tocoma, para un rango de velocidad de operación entre 0 rpm y 250 rpm, siendo ésta última la velocidad máxima de embalamiento de la turbina, y un rango de caudales entre 430 m3/s y 844 m3/s. El modelo geométrico del rodete de la turbina que se utilizó en la simulación, fue el suministrado por el fabricante, y cuyos datos están dados en el informe de pasantía (Entrenamiento Industrial) de Pietrantoni (2007). El trabajo esta estructurado en cinco capítulos, donde en el primer capítulo se presenta el planteamiento del problema, el segundo capítulo muestra una descripción detallada de lo que ha sido el desarrollo hidroeléctrico del Bajo Caroní y una nota histórica de la generación hidroeléctrica en Venezuela. En el tercer capítulo se hace una recopilación de la fundamentación matemática del flujo de fluidos y se describen las bases del método de los volúmenes finitos. El cuarto capítulo contiene los modelo matemático y los modelos de volúmenes finitos utilizados para simular las paletas directrices y el rodete de la turbina Kaplan, y el quinto capítulo contiene el análisis y resultados de las simulaciones realizadas. Finalmente, se presentan las conclusiones, investigaciones futuras, referencias bibliográficas y anexos. 2 Capítulo 1 Planteamiento del Problema Las ruedas hidráulicas son las primeras turbinas desarrolladas, y se dice que aparecieron por el Asia menor, China e India, dos siglos antes de Cristo; luego pasaron a Egipto y de allí a Europa y el Cercano Oriente. En América Latina las turbinas hidráulicas se introducen con la llegada de los españoles. Ahora bien, en Venezuela el uso de la energía hidráulica para producir electricidad se inicio en Yaracuy, Estado Lara, en 1.896, y aunque al principio hubo mucho empuje en el desarrollo de éste tipo de energía; con la aparición del petróleo se comenzaron a desarrollar las plantas termoeléctricas. Para 1947 la generación térmica representaba el 80% y la hidráulica el 20%; pero actualmente, casi el 70% de la energía eléctrica que consume el país proviene de la hidroelectricidad, y ésta, se ha continuado expandiendo en la actualidad. En éste capitulo se presenta una breve introducción del desarrollo histórico de las turbinas hidráulicas, se describe el planteamiento del problema, donde se mencionan los antecedentes que motivaron éste trabajo, finalmente se presentan los objetivos logrados en el mismo. 1.1. Introducción. El término turbina proviene del latín turbo-inem, que significa rotación o giro de algo; ahora bien, una turbina hidráulica se puede definir como una máquina que aprovecha la energía hidráulica del agua para transformarla en potencia útil en un eje. Las turbinas hidráulicas son usadas en la actualidad para producir electricidad mediante un transformador acoplado al eje de la misma. No esta clara la fecha, quien y donde se desarrollaron las turbinas hidráulicas; sin embargo, se tienen fuertes indicios que éstas surgen a partir de las ruedas persas (o saqia)[1] las cuales se utilizaban para elevar el agua en algunos ríos (todavía existen en Egipto). Posiblemente, las primeras ruedas hidráulicas se construyeron en Asia, China e India y luego pasaron a Egipto, y desde allí a Europa y Cercano Oriente, 600 años después que en Asia. El primer escrito que se tiene de la existencia de las turbina hidráulicas (primeras turbinas hidráulicas) data de los años 80 AC y fue realizado por Antiparter de Tesalónica en un documento de poemas líricos. Los romanos usaron las ruedas hidráulicas para producir trabajo mecánico, y se atribuye a Vitruvius las modificaciones realizadas para transformar las ruedas Capítulo 1. Planteamiento del Problema. persas en molinos. Para el año 762 DC, los sajones masificaron el uso de los molinos en Gran Bretaña alcanzando unos 5000 para el año 1086. Leonardo Da Vinci, Galileo, Descarte y otros realizaron los primeros estudios teóricos y matemáticos de las ruedas hidráulicas, destacándose el Frances Parent (1666-1717), quien establece que existe una relación óptima entre la velocidad de la rueda y la velocidad de la corriente de agua. Pero fue hasta 1750 que J. A. Von Segnerd desarrolla la primera turbina hidráulica sobre la base del molinete hidráulico. En 1754 Leonard Euler introduce mejoras al molinete hidráulico de Von Segnerd (Figura 1.1) y establece las ecuaciones básicas de las turbomáquinas, la cual fue publicada en las memorias de Berlin, con el titulo: “Théorie plus compléte des machines qui sont mises en mouvement par la reation de l’ eau”, cuya traducción al español es: “Teoría más completa de máquinas que son puestas en movimiento por la reacción del agua”. Eje Rueda dentada Entrada de agua Turbina Para 1824 el Frances Claude Burdine desarrolla las bases teóricas de Euler e introduce por primera vez la palabra “turbina hidráulica” para definir a ésta clase de máquinas. El trabajo esta en las memorias de la Academia de Ciencia y Descarga lleva por titulo: “Des turbines hydrauliques ou machines rotatoire á grande vitesse”, que traducido al español significa: “Teoría de turbinas hidráulicas o máquinas rotativas a gran velocidad”. El trabajo de Burdine fue teórico, Figura 1.1. Turbina hidráulica propuesta pero su discípulo Benoit Fourneyron en 1827 por Euler. construyó la primera turbina hidráulica Fuente: Referencia 1 experimental, la cual fue mejorando hasta lograr una turbina de reacción que regulaba el nivel de agua por medio de diversa coronas. Fourneyron, también estudió y desarrolló el tubo de aspiración de éstas turbinas de reacción. La firma Escher Wyss en 1840 construyó la turbina tangencial centrípeta con inyección parcial de agua diseñada por Zuppinger, la cual es muy similar a la Pelton. En 1841 Henschel y Jonval desarrollaron la primera turbina axial de reacción con tubo de aspiración, la cual tenía la ventaja de controlar el caudal para saltos variables. Zuppinger para 1842 desarrolló la turbina tangencial para grandes saltos y caudales reducidos. En 1843 Fontaine construyó la turbina Jonval para saltos constantes y caudales variables. En 1848 Schwankrung desarrolló la primera turbina parcial para grandes saltos y caudales reducidos. En 1849 el ingeniero norteamericano, James Bichano Francis [2], introdujo mejoras a la turbina hecha por Samuel Dowd en 1843, y pone en funcionamiento la primera turbina de reacción, de tal forma que desde entonces a la turbina mejorada por Francis lleva su nombre, 4 Capítulo 1. Planteamiento del Problema. turbinas Francis. Por otra parte, en 1851, Girard mejoró el diseño de la turbina desarrollada por Fontaine, de tal forma que podía mantener el salto lo más constante posible. Haenel, Knop y Lehmann, en 1860 construyeron la turbina Girard que operaba con caudales y saltos variables. En 1872 Fink introduce las paletas directrices giratorias para realizar la primera regulación de las turbinas de reacción. Esto permitió que en 1873 Voith construyera la primera turbina Francis con éste sistema directriz. En 1880 el norteamericano Lester Allen Pelton [2], carpintero y montador de ejes y poleas, desarrolló la turbina que lleva su nombre (turbina Pelton) la cual consistía de un conjunto de cucharas accionadas por una boquilla. Luego, en 1903 Voith construye la primera turbina activa Mitchell, la cual fue modernizada por Banki entre 1917 y 1918. La turbina Kaplan fue desarrollada por Viktor Kaplan, quien fue profesor en Checoslovaquia [2] y realizó sus primeros experimentos en 1912 logrando poner en funcionamiento la primera turbina Kaplan experimental en 1920, mientras que en 1925 se pone en funcionamiento la primera turbina Kaplan de gran tamaño. Leroy F. Harza, propone el diseño de la turbina Straight Flow (Straflow) en 1919 y lo patentó en 1924. En 1930 Kuhne patentó el diseño de la turbina tubular. En 1933 Escher Wyss patentó a través de Hugenin la turbina de Bulbo, logrando instalar la primera en 1936. En 1952 Deriaz propone el diseño de la turbina diagonal la cual fue instalada por English Electric en 1957. De lo anterior se puede resumir que el desarrollo de las turbinas hidráulicas se dio en tres etapas: - Génesis y gestación, hasta finales del siglo XVIII. - Nacimiento, durante el siglo XIX, ya que en éste siglo America comienza a dar su aporte a desarrollo de las turbinas hidráulicas, con el nacimiento de las turbinas Pelton y Francis. - Desarrollo, a partir del siglo XX ya que en estos años se han realizado las grandes construcciones y se ha mejorado las técnicas de control de las mismas. En el caso particular de Venezuela, la generación hidroeléctrica se inicio en Yaracuy, Estado Lara, en 1.896. Al principio hubo mucho empuje en el desarrollo de éste tipo de energía, pero debido al alto costo de inversión y a la aparición del petróleo en Venezuela, se comenzaron a desarrollar las plantas termoeléctricas, de tal forma que en 1947 la generación térmica representaba el 80% y la hidráulica el 20%. Aunque en el período de 1896 a 1947 se realizaron construcciones de instalaciones hidroeléctricas, estas estaban basadas principalmente en el aprovechamiento de ríos relativamente pequeños, aunque a veces las caídas netas eran considerables; por lo que las potencias instaladas eran pequeñas. Fue a partir de 1947 que se retoma la construcción de las grandes centrales hidroeléctricas, después que la Corporación Venezolana de Fomento, de ese entonces, incluye el aprovechamiento de los saltos inferiores del río Caroní (bajo Caroní) en el Plan Nacional de Electrificación. A partir de 1.953 se inicia la nueva era de la generación hidroeléctrica en 5 Capítulo 1. Planteamiento del Problema. Venezuela, cuando se crea la Comisión de Estudios para la Electrificación del Río Caroní como una dependencia, del entonces, Ministerio de Fomento, cuya labor culminó en 1.960 con la puesta en servicio de la central hidroeléctrica Macagua I. Desde la construcción de Macagua I, el desarrollo del bajo Caroní no ha parado, lográndose construir a la fecha, los complejos hidroeléctricos Guri, Macagua II, Macagua III y Caruachi, lo que representa, que casi el 70% de la energía eléctrica que consume actualmente el país proviene de la hidroelectricidad; y ésta se ha continuado expandiendo con la construcción de la central hidroeléctrica Manuel Piar en Tocoma (quinto y último desarrollo del bajo Caroní), Estado Bolívar, la central Fabricio Ojeda y La Vueltosa en el desarrollo Uribante-Caparo1 de la región Andina (estados Mérida, Táchira y Barinas). Quedan pendiente, a largo plazo, el desarrollo del alto Caroní donde se pueden aprovechar 9100 MW. 1.2. Descripción del Problema. Venezuela, ubicada al norte de Sur América y frente al mar caribe, es un país energético por excelencia. Cuenta con grandes reservas de petróleo y gas (80.582 millones de barriles de petróleo probados (mbp), 236.000 mbp en la faja del Orinoco en proceso de certificación, y 151.479 billones de pies3 de gas [3,4]), dispone de un gran potencial hidroeléctrico (estimado en 26.000 MW en el río Caroní y 1.260 MW en el sector Uribante-Caparo), una irradiación solar que va desde 4,4 kW-h/m2 a 6,7 kW-h/m2, con muy baja variación durante el año, y en gran parte de las costas caribeña se puede aprovechar el potencial eólico. El gran potencial hidroeléctrico de Venezuela se encuentra en el río Caroní, que como se mencionara anteriormente, esta estimado en 26.000 MW, de los cuales 17.460 MW corresponden al bajo Caroní, que es donde se encuentran construidos y se están construyendo los grandes complejos hidroeléctricos de Venezuela. El río caroní cubre aproximadamente 95.000 km2 (10.5% del territorio venezolano) de los cuales, 47.000 km2 corresponden al Alto Caroní, desde su nacimiento en la frontera con Brasil hasta la confluencia con el río La Paragua; 33.000 km2 forma la cuenca del río La Paragua y los 15.000 km2 restantes corresponden al Bajo Caroní, desde la unión con el río La Paragua hasta su desembocadura en el río Orinoco, en Ciudad Guayana. La empresa Electrificación del Caroní (EDELCA) perteneciente a la Corporación Venezolana de Guayana (CVG) es la encargada del aprovechamiento del potencial Hidroeléctrico del Río Caroní; en ese sentido, la empresa ha construido y esta operando las Centrales Hidroeléctricas Antonio José de Sucre en Macagua, conformada por los complejos Macagua I, II y III, la Central Hidroeléctrica Simón Bolívar en Guri (Guri), la Central Hidroeléctrica Francisco de Miranda en Caruachi (Caruachi), y actualmente esta construyendo la Central Hidroeléctrica Manuel Piar en Tocoma (Tocoma), que viene a ser la última central de gran tamaño que se construirá en el bajo Caroní. 1 Comprende los ríos Uribante, Doradas, Camburito y Caparo. 6 Capítulo 1. Planteamiento del Problema. La central Macagua I, está ubicada en los llamados saltos inferiores del río Caroní, a 10 kilómetros de su desembocadura en el río Orinoco, en Ciudad Guayana, estado Bolívar. La central hidroeléctrica Guri o Simón Bolívar, es el segundo complejo construido a lo largo del bajo Caroní, y está ubicada en el Cañón de Nekuima a 100 kilómetros aguas arriba de la desembocadura del río Caroní en el río Orinoco. El tercer desarrollo hidroeléctrico construido en el bajo Caroní, lo conforman los complejos Macagua II y III. Se debe destacar que Macagua III se desarrolló con la intención de garantizar un flujo de agua permanente de 660 m3/s a los Saltos Cachamay y La Llovizna, y así, mantener la belleza escénica de éstos escenarios naturales, cumpliendo los requerimientos ambientales. El complejo Hidroeléctrico Caruachi o Francisco de Miranda, es el cuarto desarrollo a lo largo del bajo Caroní, está ubicado a unos 59 kilómetros aguas abajo del embalse de Guri. El último desarrollo hidroeléctrico del bajo Caroní lo representa la central Tocoma (actualmente en construcción), la cual estará ubicada a 15 km aguas debajo del embalse de Guri. La Central tendrá una capacidad de 2160 MW y estará formada por 10 turbinas tipo Kaplan de 216 MW cada una. La construcción de esta central está regida por el contrato N° 3.1.104.001.03 [5,6], donde se presentan los términos legales del proyecto y las especificaciones técnicas de los diferentes componentes que lo conforman. Para validar y comprobar los términos y especificaciones técnicas del contrato de construcción de Tocoma, CVG EDELCA, realizan pruebas y simulaciones a cada uno de los componentes que se instalarán, con la finalidad de garantizar la calidad de éstos. En el caso de las turbinas que se van a instalar, que son del tipo Kaplan, la empresa se ha planteado realizar las simulaciones necesarias para verificar que las empresas contratantes cumplan con las especificaciones establecidas en el contrato. Las especificaciones más importantes de las turbinas son [6]: - Turbinas tipo Kaplan, de rodete simple y eje vertical. Sentido de giro, visto desde arriba, en sentido de las agujas del reloj. - Capacidad Nominal de cada turbina debe ser de 216 MW. Son un total de 10 turbinas. - Caída o salto nominal de 34,65 m. Máximo normal de 36 m y mínima normal de 33 m. Máximo infrecuente de 37,30 m y mínimo infrecuente de 30,90 m. - Velocidad nominal de giro debe ser de 90 rpm y una velocidad máxima de embalamiento fuera de leva de 250 rpm. En este trabajo se presenta la propuesta de construcción de un modelo matemático para realizar la simulación numérica del comportamiento fluido dinámico de las turbinas Kaplan que se instalarán en la Central Hidroeléctrica Manual Piar en Tocoma. La simulación servirá para comprobar los parámetros de diseño de las turbinas y construir las curvas características para diferentes ángulos de las paletas directrices. La simulación es importante, dado que permitirá validar si las especificaciones técnicas suministradas por el fabricante de las turbinas Kaplan están dentro de los parámetros establecidos en el contrato N° 3.1.104.001.03, establecer los parámetros de operación más adecuados e incluso permitirá generar la información de la dinámica de control para el sistema 7 Capítulo 1. Planteamiento del Problema. de Gobernación. Por otra parte, el trabajo busca optimizar la turbina en cuanto a los perfiles de los alabes y algunos otros parámetros dimensionales, de tal manera que dichas modificaciones se puedan realizar antes de instalar dichas turbinas. Para la empresa, el trabajo resultará de gran ayuda para la toma de decisiones en cuanto a la aceptación de las turbinas tal como las ofrece el fabricante, o estableciendo cambios en las mismas, ante de su instalación en el sitio. No esta demás comentar que Venezuela tiene un gran potencial hidroeléctrico que ha desarrollado y continúa en expansión, de aquí la necesidad de tener control de la tecnología que permite aprovechar estos recursos hídricos. Este trabajo representa un gran aporte a este desarrollo tecnológico dado que se podrá contar con un modelo que prediga el comportamiento de las turbina una vez instaladas en la central hidroeléctrica Tocoma. 1.3. Objetivos. Los objetivos planteados en éste trabajo son los siguientes: 1.3.1. Objetivo General. Desarrollar un modelo de volumen finito de las turbinas Kaplan que serán instaladas en la central hidroeléctrica “Manuel Piar” en Tocoma, con la finalidad de simular el comportamiento del flujo a través de ellas, y con el mismo, construir las curvas características. 1.3.2. Objetivos Específicos. - Establecer el modelo matemático del flujo a través de las turbinas Kaplan que serán instaladas en la central Manuel Piar en Tocoma. - Construir los modelos de volumen finito para las diferentes configuraciones de operación de la turbina, en cuanto a posición de las paletas directrices y ángulos de ataque de los alabes de la turbina. - Resolver los diferentes modelos de volumen finito para calcular el perfil de velocidad y la distribución de presión en el volumen de control establecido. - Elaborar las curvas características de las turbinas, a partir de los modelos numéricos. - Establecer los parámetros de operación más adecuados para las turbinas. - Verificar los resultados obtenidos con los proporcionados por el fabricante. - Presentar recomendaciones para la mejora del diseño propuesto por el fabricante. 8 Capítulo 1. Planteamiento del Problema. 1.4. Limitaciones. En este trabajo se presentaron algunas dificultades, que no se pudieron resolver a tiempo, y que de una a otra forma, algunas de las metas trazadas inicialmente tuvieron que ser modificadas. Estos impedimentos se mencionan a continuación: - En primer lugar se había propuesto comparar los resultados de la simulación con resultados experimentales, o pruebas de modelos, a fin de validarla. Para la fecha de culminación de este trabajo la empresa no había desarrollado mencionadas pruebas, por lo que no se pudo realizar mencionada validación experimental. Sin embargo, los modelos utilizados se les realizó un estudio de convergencia de la malla de volúmenes finitos a fin de garantizar la calidad de la solución. - Por limitaciones en la capacidad computacional, no se pudo realizar un estudio de convergencia a la malla de volúmenes finitos del rodete de la turbina con varios modelos; sin embargo, el modelo utilizado mantiene un error menor del 0,73% con respecto a primer modelo de volúmenes finito construido. - Por limitación de tiempo no se pudo construir las curvas características de torque, potencia, eficiencia y altura del salto para inclinaciones de las paletas directrices mayores a cero grado. Este estudio se deja para trabajos futuros. 9 Capítulo 2 Desarrollo Hidroeléctrico del Bajo Caroní En éste capítulo se presenta lo que ha sido el desarrollo hidroeléctrico del bajo Caroní y las perspectivas futuras del desarrollo del alto Caroní. Primeramente, se hace un recuento de los antecedentes y el futuro de la generación hidroeléctrica en Venezuela, luego se hace una memoria descriptiva de la empresa CVG EDELCA, en la cual se describen las diferentes centrales que opera esta empresa estadal; finalizando con la descripción del proyecto Tocoma o complejo hidroeléctrico Manuel Piar. 2.1. Antecedentes y Futuro de la Hidroelectricidad en Venezuela. Se puede mencionar que el uso de la energía eléctrica en Venezuela se inició en 1.873, cuando el Ing. Vicente Marcano realizó una demostración pública de un dispositivo de arco para el alumbrado público de la ciudad. La energía para alimentar el dispositivo era un dinámo, impulsado por una máquina de vapor. Sin embargo, fue en 1.883 cuando se iluminaron algunos lugares públicos de la ciudad de Caracas, con motivo de la conmemoración del centenario del natalicio del libertador Simón Bolívar. En cuanto a la generación hidroeléctrica en Venezuela, se puede decir que ésta se inició en Yaracuy, Estado Lara, en 1.896, cuando comienzan las operaciones de la primera planta hidroeléctrica, la cual, se utilizaría para alumbrar la plaza Bolívar, la plaza Miranda y las calles céntricas de la ciudad. La segunda planta hidroeléctrica del país, ubicada en el río Guaire, en el sector “El Encanto”, inicia sus operaciones 1.897, y contaba con dos unidades generadoras con una capacidad total de 420 kW a 50 Hz. En su momento, esta planta fue considerada la segunda más grande de América y una de las Primeras en el Mundo. Posteriormente entra en servicio la central hidroeléctrica Los Naranjos con tres unidades de 375 kW cada una. Para 1.929 se empezó a operar la planta hidroeléctrica Naiguatá, que contaba con dos generadores de 680 kW cada uno; esta planta fue considerada en ese tiempo, como una instalación de gran envergadura. En general, para inicio del siglo XX, la generación de electricidad en Venezuela estuvo basada principalmente en el aprovechamiento hidráulico de ríos relativamente pequeños, aunque a veces las caídas netas eran considerables. El uso de la Capítulo 2. Desarrollo Hidroeléctrico del Bajo Caroní. electricidad era casi exclusivamente para el alumbrado público y por consiguiente las potencias instaladas eran pequeñas. A partir de 1.953 se inicia la nueva era de la generación hidroeléctrica en Venezuela, cuando es creada la Comisión de Estudios para la Electrificación del Río Caroní como una dependencia, del entonces, Ministerio de Fomento, y su labor culminó en 1.960 con la puesta en servicio de la central hidroeléctrica Macagua I (actualmente Central Hidroeléctrica Antonio José de Sucre), con seis (6) turbinas tipo Francis, con una capacidad total instalada de 372 MW. En 1.963, se crea la empresa CVG Electrificación del Caroní C.A. (EDELCA), cuya misión era continuar el desarrollo hidroeléctrico del río Caroní. La fase inicial de la primera etapa de la central hidroeléctrica Raúl Leoni en Guri, denominada actualmente central hidroeléctrica Simón Bolívar (segundo desarrollo en el río Caroní), con 575 MW de potencia instalada, fue inaugurada en 1.968. Por otra parte, en 1.973 se pone en funcionamiento el complejo hidroeléctrico José Antonio Páez, con 4 unidades de 60 MW cada una, ubicado en el río Santo Domingo, entre los estados Mérida y Barinas. En el año 1.977 se concluyó la primera etapa de la Central Hidroeléctrica Simón Bolívar, la cual consta de 10 unidades generadoras con una capacidad instalada de 3.000 MW. En 1.986 fue finalizado totalmente la central Simón Bolívar para un total de 20 unidades tipo Francis y una capacidad instalada de 10.000 MW. En 1.987 comienza a operar la primera central hidroeléctrica en el desarrollo Uribante-Caparo, la cual tiene por nombre Central San Agatón, con una capacidad instalada de 300 MW. Actualmente se están culminando (para finales del 2.009 se prevé culminar) los trabajos de la central Hidroeléctrica la Vueltosa, que tendrá una capacidad de 500 MW; y se han iniciados los trabajos preliminares para la tercera y última central hidroeléctrica en el sistema UribanteCapara, la central Fabricio Ojeda, que tendrá una capacidad de 460 MW, para así completar el desarrollo con una capacidad total de 1.260 MW. Después de la construcción de la central hidroeléctrica Simón Bolívar, se continuó con el desarrollo del bajo Río Caroní, donde el 7 de julio de 1.988 se da inicio formal a los trabajos de construcción de la tercera central hidroeléctrica en río Caroní, Macagua II y III, con una capacidad instalada de 2.384 MW y 172 MW respectivamente, que sumado a los 372 MW de Macagua I y a los 10.000 MW de la central hidroeléctrica Simón Bolívar en Guri, dio capacidad para cubrir las necesidades eléctricas de unas seis ciudades como Caracas. Macagua fue inaugurada oficialmente el 23 de enero de 1.997, por lo que a éste complejo se le denominó en su momento central hidroeléctrica “23 de Enero”. En la actualidad los tres complejos Macagua I, II y III llevan el nombre de complejo hidroeléctrica Antonio José de Sucre, en honor a este gran prócer de la independencia. El cuarto desarrollo hidroeléctrico del río Caroní lo representó la central hidroeléctrica Francisco de Miranda en Caruachi (también conocida como Caruachi), la cual se comenzó a construir en 1997 y la primera unidad entro en operación el abril del 2003. La central Francisco de Miranda fue formalmente inaugurada el 31 de marzo del 2.006, y está formada por 12 unidades generadoras tipo Kaplan de 180 MW cada una, para una capacidad instalada total de 2.160 MW. 11 Capítulo 2. Desarrollo Hidroeléctrico del Bajo Caroní. El quinto y último desarrollo hidroeléctrico del bajo Caroní lo representa el complejo hidroeléctrico Manuel Piar en Tocoma (mejor conocida como Tocoma), el cual está en etapa de construcción y constará de 10 unidades tipo Kaplan de 216 MW cada una, para una capacidad instalada total de 2.160 MW. Se tiene previsto que la primera unidad generadora entre en operación comercial en el año 2.012 y que la central esté culminada para el año 2.014. Una vez culminado este proyecto se habrá concluido el desarrollo del Bajo Caroní con una capacidad total instalada de 17.460 MW. La Figura 2.1 muestra la ubicación de los complejos hidroeléctricos Guri, Tocoma (en construcción), Caruachi y Macagua, que comprenden el desarrollo hidroeléctrico del bajo Caroní. Figura 2.1. Ubicación de las grandes centrales hidroeléctrica a lo largo del Bajo Caroní. Fuente: http://www.edelca.com.ve/ A futuro se tiene proyectado desarrollar el alto Caroní con un potencial estimado en 9100 MW, lo cuales estarán distribuidos en la centrales hidroeléctricas Tayucay, Eutobarima, Aripichi y Auraima, cada una con un potencial estimado de 3.100 MW, 2.900 MW, 1.300 MW y 1.800 MW, respectivamente. La Figura 2.2 muestra la ubicación de las centrales hidroeléctricas que se tiene proyectado construir en el alto Caroní. Figura 2.2. Ubicación de los futuros desarrollos hidroeléctricos en el alto Caroní. Fuente: http://www.edelca.com.ve/ 12 Capítulo 2. Desarrollo Hidroeléctrico del Bajo Caroní. 2.2. Generalidades de la Empresa CVG EDELCA. La Corporación Venezolana de Guayana (CVG) crea formalmente la empresa Electrificación del Caroní C.A. (EDELCA) el 23 de julio de 1963 para dar cumplimiento con el artículo 31 del Estatuto Orgánico de esta Corporación. Inicialmente, EDELCA tenía como misión acometer la construcción de Guri y encargarse de la administración del crédito asociado a dicha central hidroeléctrica, otorgado por el Banco Mundial. Igualmente, entre otras funciones le correspondió encargarse de la operación de Macagua I. Actualmente, la empresa CVG EDELCA se encarga de operar las Centrales Hidroeléctricas Antonio José de Sucre en Macagua, conformada por los complejos Macagua I, II y III, la Central Hidroeléctrica Simón Bolívar en Guri y la Central Hidroeléctrica Francisco de Miranda en Caruachi, también está encargada de completar el desarrollo hidroeléctrico del río Caroní con la construcción de la Central Hidroeléctrica Manuel Piar en Tocoma, y a futuro, la construcción de las centrales hidroeléctricas Tayucay, Eutobarima, Aripichi y Auraima en el alto Caroní. Otra de las actividades que realiza EDELCA, es el mantenimiento y operación de las líneas de transmisión que llevan la energía eléctrica desde la región de Guayana hasta el Centro y Occidente del País, la Costa Oriental de Colombia y las poblaciones fronterizas del norte de Brasil. La extensión de las líneas de transmisión superan los 5.700 km. De acuerdo a los últimos lineamientos del Ejecutivo Nacional, EDELCA, que pasó a ser filial de la Corporación Eléctrica Nacional, adscrita al Ministerio del Poder Popular para la Energía y Petróleo, es la empresa de generación hidroeléctrica más importante que posee Venezuela. Forma parte del conglomerado industrial ubicado en la región Guayana, conformado por las empresas básicas del aluminio, hierro, acero, carbón, bauxita y actividades afines. Suministra el 100% de la energía eléctrica requerida para dichas empresas. 2.1.1. Misión. La misión de la empresa es: Generar, transmitir y distribuir energía eléctrica, de manera confiable, segura y en armonía con el ambiente; a través del esfuerzo de mujeres y hombres motivados, capacitados, comprometidos y con el más alto nivel ético y humano; enmarcado todo en los planes estratégicos de la Nación, para contribuir con el desarrollo social, económico, endógeno y sustentable del País. 2.1.2. Visión. La visión de EDELCA es ser: Empresa estratégica del Estado, líder del sector eléctrico, pilar del desarrollo y bienestar social, modelo de ética y referencia en estándares de calidad, excelencia, desarrollo tecnológico y uso de nuevas fuentes de generación, promoviendo la integración Latinoamericana y del Caribe. 2.1.3. Centrales Hidroeléctricas de EDELCA en el Bajo Caroní. EDELCA se encarga de operar los complejos Hidroeléctricos Macagua, Guri y Caruachi, todos ellos ubicados el bajo Caroní. A continuación se presenta una breve descripción de cada uno de éstos complejos. 13 Capítulo 2. Desarrollo Hidroeléctrico del Bajo Caroní. 2.1.3.1. Complejo Hidroeléctrico “Antonio José de Sucre” en Macagua. Como se mencionara en la sección 1.2 del capítulo 1, la central hidroeléctrica Antonio Macagua I José de Sucre (también conocida como Macagua), esta conformada por los complejos Macagua I, II y III. Macagua I (Figura 2.3) fue la primera planta construida en el bajo Caroní, Su construcción se inicio en 1956, y su primera unidad entró en funcionamiento en 1959, mientras que la última entro en funcionamiento en 1961. La central viene a representar un aprovechamiento a filo de agua, es decir que no requirió la formación de un embalse para su operación; y esta formada por una Casa de Figura 2.3. Central hidroeléctrica Macagua I. Máquinas (casa de máquinas I) que alberga 6 Fuente: http://www.edelca.com.ve/ unidades tipo Francis, que tiene una caída nominal de 46,4 m y una capacidad nominal de 64 MW cada una, para una capacidad instalada total de 380 MW. Los complejos Macagua II (Figura 2.4) y III es el tercer proyecto hidroeléctrico construido en el bajo Caroní, sus trabajos de construcción se iniciaron en 1988 y se inauguró en 1997. Macagua II está conformada por una casa de máquinas (casa de máquinas II) que alberga 12 unidades tipo Francis que operan con una caída nominal de 46,4 m y una capacidad de 216 MW cada una, lo que representa una capacidad instalada de 2.540 MW. Para Figura 2.4. Central hidroeléctrica Macagua II. el control del nivel del río se Fuente: http://www.edelca.com.ve/ construyó un Aliviadero con 3 12 compuertas capaz de manejar 30.000 m /seg. Macagua III (Figura 2.5) tiene una casa de máquinas (casa de máquinas III) que alberga dos turbinas tipo Kaplan que operan con una caída nominal de 22,6 m y una capacidad de 86 MW cada una, para un total instalado de 172 MW. El diseño de la obra fue realizado con el fin de perturbar lo menos posible su entorno natural, por estar ubicado en la cercanía del sistema de parques de Ciudad Guayana (parques Cachamay, Loefling, Punta Vista y La Llovizna). La 14 Capítulo 2. Desarrollo Hidroeléctrico del Bajo Caroní. Figura 2.6 muestra el parque la Llovizna y la desembocadura del aliviadero de Macagua III en éste, el cual permite mantener el flujo de agua al sistema de parques antes mencionado. Macagua III Macagua III Figura 2.5. Central hidroeléctrica Macagua III. Fuente: http://www.skyscrapercity.com/ Figura 2.6. Parque la llovizna. Fuente: http://www.skyscrapercity.com/ Las características más relevantes del embalse de la central Macagua se muestran en la Tabla 2.1 y los datos de las turbinas en la tabla 2.2. Tabla 2.1. Características relevantes del embalse de la central Macagua. Parámetros Unidad Valor km2 Área del embalse a nivel máximo 47,40 (*) Nivel mínimo de operación normal msnm 53,70 Nivel promedio de operación normal msnm 54,10 Nivel máximo msnm 54,50 Nivel mínimo msnm 52,00 3 Volumen estimado a nivel máximo m 3 Caudal máximo probable m /s 323.000.000,00 30.000,00 (*) Las unidades msnm representan los metros sobre el nivel del mar. Tabla 2.2. Características de las turbinas instaladas en Macagua. Parámetros Unidad Macagua I Macagua II Macagua III Tipo de turbina - Francis Francis Kaplan Cantidad - 6 12 2 Potencia nominal MW 64 216 86 Potencia total instalada MW 380 2.540 172 Caída neta nominal m 46,40 46,40 22,6 Caída neta máxima m 50,50 50,50 23 15 Capítulo 2. Desarrollo Hidroeléctrico del Bajo Caroní. 2.1.3.2. Complejo Hidroeléctrico “Simón Bolívar” en Guri. El complejo hidroeléctrico Simón Bolívar, también conocido como Guri (Figura 2.7 y 2.8), está ubicado en el Cañón de Nekuima, 100 kilómetros aguas arriba de la desembocadura del río Caroní en el río Orinoco. La primera etapa de la central se inicio en 1963, y la fase inicial de esta etapa se culminó en 1968. Pero fue hasta 1978 que se culminó totalmente esta primera etapa. La segunda se inició en 1978 y se culminó en 1986. Esta central hidroeléctrica tiene un Figura 2.7. Vista aérea de la Central hidroeléctrica Guri. salto hidráulico de 144 m para una Fuente: http://www.skyscrapercity.com/ capacidad instalada de 10.000 MW distribuidos en dos casas de máquinas, casa de máquinas 1, con una capacidad instalada del 3.006 MW generados con diez (10) unidades tipo Francis de 185 MW, 230 MW y 360 MW; y casa de máquinas 2, con una capacidad instalada de 7.000 MW, generados con 10 unidades tipo Francis de 700 MW cada una. Guri es actualmente la tercera central hidroeléctrica de mayor potencia instalada en el mundo por detrás de la central de Tres Gargantas en China, con 18.000 MW, e Italpú en Brasil con 12.600 MW. Figura 2.8. Vista frontal de la central hidroeléctrica Guri. Fuente: http://www.skyscrapercity.com/ 16 Capítulo 2. Desarrollo Hidroeléctrico del Bajo Caroní. Las características más relevantes de la cuenca y el embalse de Guri se muestran en la Tabla 2.3 y los datos de las turbinas instaladas en la Tabla 2.4. Tabla 2.3. Características relevantes de la cuenca y el embalse de Guri. Parámetros Unidad Valor km2 95.000,00 3 m /s 4.800,00 2 km 3.919,00 Nivel promedio de operación normal msnm 271,00 Nivel máximo msnm 271,60 Nivel mínimo msnm 240,00 Área de la Cuenca Caudal promedio de río Caroní Área del embalse a nivel máximo (271,60 msnm) 3 Volumen estimado a nivel máximo km 111,104 Tabla 2.4. Características de las turbinas instaladas en Guri. Casa Casa Parámetros Unidad Máquinas 1 Máquinas 2 Tipo de turbina - Francis Francis Cantidad - 10 10 Potencia nominal de cada unidad MW 185, 230 y 360 700 Velocidad de operación rpm 120 a 128,6 112,5 m 144 144 MW 3.006 7.000 Caída neta nominal Capacidad total instalada 2.1.3.3. Complejo Hidroeléctrico “Francisco de Miranda” en Caruachi. Figura 2.9. Vista del complejo hidroeléctrico Caruachi. Fuente: Presentación inaugural de CVG Edelca de la central Caruachi 17 Capítulo 2. Desarrollo Hidroeléctrico del Bajo Caroní. Este complejo Hidroeléctrico es el cuarto desarrollo en el bajo Caroní, y también se conoce con el nombre de Caruachi (Figura 2.9), dado que el lugar donde está ubicada tiene el mismo nombre. Caruachi está situado a unos 59 kilómetros aguas abajo del embalse de Guri, en cuya zona, el río discurre sobre un lecho rocoso interrumpido por numerosas islas y su ancho es de aproximadamente 1.700 metros a una cota de 55,00 msnm. La ubicación de las Presas de tierra y enrocamiento, Aliviadero y Casa de Máquinas obedece a la optimización de las condiciones geológicas, topográficas y energéticas del proyecto. La central Caruachi se comenzó a construir en 1997 y la primera unidad entro en operación en abril del 2003, quedando completamente concluido e inaugurado en marzo del 2.006. La central tiene una capacidad instalada de 2.296 MW que se producen en una casa de máquina que tiene doce (12) turbinas Kaplan de 180 MW con una caída nominal de 35,6 m. Los datos más relevantes del embalse se muestran en la Tabla 2.5 y los datos de las turbinas instaladas en la Tabla 2.6. Tabla 2.5. Características relevantes del embalse de Caruachi. Parámetros Unidad Valor m3/s Caudal máximo probable 30.000,00 2 Área del embalse a nivel normal (91,25 msnm) km 236,68 Nivel promedio de operación normal msnm 91,25 Nivel máximo msnm 92,55 Nivel mínimo msnm 90,25 3 Volumen estimado a nivel máximo 3.520x106 m Tabla 2.6. Características de las turbinas instaladas en Caruachi. Casa Parámetros Unidad Máquinas 1 Tipo de turbinas - Kaplan Cantidad - 12 Potencia nominal de cada unidad MW 180 Velocidad nominal de operación rpm 94,74 m 35,6 MW 2.196 Caída neta nominal Capacidad total instalada Vale la pena comentar, que Caruachi fue ganadora de dos record mundiales, como son: las mayores turbinas Kaplan (180 MW) instaladas en centrales hidroeléctricas y las mayores compuertas radiales (15x22,60 m) que regulan un aliviadero para 30.000 m3/s. Por otra parte, sus dificultades técnicas (con más de 1.800.000 m3 de hormigón refrigerado por debajo de 15° C), los excepcionales medios de ejecución y el cuidadoso diseño de cada una de las difíciles etapas de construcción, han sido merecedoras de otros reconocimientos, entre los cuales se pueden mencionar: IX Premio Internacional Puente de Alcántara, Premio Regional de la Construcción Bolívar 2005, entre otros. 18 Capítulo 2. Desarrollo Hidroeléctrico del Bajo Caroní. 2.3. Descripción del Proyecto “Manuel Piar” en Tocoma. 2.3.1. Generalidades. La central hidroeléctrica Manuel Piar, también conocida como Tocoma, representa el quinto y último desarrollo hidroeléctrico del bajo Caroní. Los trabajos se iniciaron en el 2001 y se tiene previsto que la primera unidad entre en operación comercial en el 2012, y que la central esté totalmente culminada en el 2014. La central está ubicada a 15 km aguas abajo del embalse de Guri, en la cercanía de la desembocadura de río Claro en el río Caroní (Figura 2.10). La central hidroeléctrica Manuel Piar tendrá una capacidad instalada de 2.160 Figura 2.10. Lugar donde se construye Tocoma. MW que se producirán con diez (10) turbinas Fuente: http://www.skyscrapercity.com/ tipo Kaplan de 216 MW cada una. El Proyecto Manuel Piar en Tocoma, conjuntamente con las Centrales Simón Bolívar en Guri, Francisco de Miranda en Caruachi y Antonio José de Sucre en Macagua, completa el desarrollo hidroeléctrico del Bajo Caroní, cuya características electro-energéticas sobresalientes están predeterminadas por la descarga regulada del embalse de Guri. La Figura 2.11 presenta un esquema del desarrollo hidroeléctrico del bajo Caroní, donde se destacan la disposición de las centrales hidroeléctricas, el salto hidráulico de cada una de ellas y la altura respecto al nivel del mar de los embalses que las alimentan, destacándose que Tocoma, Caruachi y Macagua dependen del embalse de Guri. RÍO ORINOCO TOCOM A GURI 300 271 CARU ACHI Guri Guri 10.000MW MW 8.850 Elevación ( m.s.n.m) 250 200 MACAGUA Tocom a 2.160 MW HG 127 150 91.25 Caruachi Caruachi 2.196 2.196MW MW HT 100 54.5 Macagua Macagua 2.930MW MW 3.092 HC 50 Río Orinoco HM 0 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 Distancia en kilómetro s desde el Orinoco Figura 2.11. Esquema de la disposición del desarrollo hidroeléctrico del bajo Caroní. Fuente: Presentación inaugural de CVG Edelca de la central Caruachi 19 Capítulo 2. Desarrollo Hidroeléctrico del Bajo Caroní. El lugar donde será construido Tocoma, el río Caroní tiene un ancho de aproximadamente 2000 m y discurre sobre un lecho de gneises graníticos característico de la formación Imataca del Precámbrico inferior del Escudo Guayanés. El análisis económico y los niveles aguas abajo de la casa de máquinas obtenidos de un modelo matemático calibrado con mediciones del prototipo, permitió seleccionar el alineamiento más favorable para el desarrollo del proyecto. Los componentes principales que conforman el proyecto, incluyendo todos los equipos electromecánicos asociados, son: - Presa de transición izquierda, intermedia y derecha. - Presa de tierra y enrocamiento. - Presa de enrocamiento con pantalla de concreto. - Casa de máquinas integrada a la estructura de Toma, nave de montaje y sala de control. - Aliviadero. - Obras exteriores. Presa de Enrocamiento Izquierda. La presa de enrocamiento izquierda contará con una pantalla de concreto y estará fundada sobre roca. Se tiene previsto construir una presa de enrocamiento con pantalla de concreto, por la necesidad de utilizar los materiales provenientes de las excavaciones requeridas para las estructuras principales y el canal de descarga y por la dificultad de disponer de material arcilloso en cantidades suficientes, en la margen Izquierda. La utilización de suelos en la margen izquierda estaría asociada al acarreo de materiales desde la zona ubicada aguas arriba de la presa izquierda. Presa Principal y Casa de Máquinas. La presa principal estará conformada por seis (6) monolitos dobles de 60 metros de ancho, 5 de los cuales contendrán las estructuras de toma y el restante a la nave de montaje. La presa principal tendrá una altura de 65 metros y una longitud de 360 metros. En la cresta, cuya elevación será de 130 msnm. y a todo lo largo de las presas, está prevista una carretera de servicio. Esta presa principal contiene a las estructuras de toma y está formada por 5 monolitos de 60 m. de ancho, que albergarán las diez (10) unidades generadoras. La casa de máquinas estará integrada a la estructura de toma y cumplirá funciones de presa principal. La junta de contracción que separa cada monolito estará parcialmente provista de trabas para optimizar su comportamiento mecánico. Adicionalmente, la casa de máquinas incluirá en sus extremos al edificio de operaciones y control. La Figura 2.12 muestra los movimientos de tierra de la zona donde será construida la presa principal y la Figura 2.13 muestra la maqueta de la central hidroeléctrica Manuel Piar en Tocoma. 20 Capítulo 2. Desarrollo Hidroeléctrico del Bajo Caroní. Zona donde se ubicará la presa principal Figura 2.12. Vista de la zona donde se construirá la presa principal de la central Tocoma. Fuente: http://www.skyscrapercity.com/ Figura 2.13. Maqueta de lo que será la Central Hidroeléctrica Tocoma. Fuente: CVG EDELCA 21 Capítulo 2. Desarrollo Hidroeléctrico del Bajo Caroní. Presas de Transición. La presa de transición izquierda estará ubicada entre la presa de enrocamiento con pantalla de concreto y la nave de montaje; constará de tres (3) monolitos de los cuales dos (2) tendrán 18 m cada uno y uno de 30 m, medidos a lo largo de la línea base. La presa de transición intermedia estará ubicada entre la casa de máquinas y el aliviadero, tendrá una longitud de 70 m y constará de tres (3) monolitos uno (1) de ellos en forma de "cuña". La presa de transición derecha, ubicada entre el aliviadero y la presa de enrocamiento derecha, constará de cinco (5) monolitos transversales de geometría variable. Aliviadero. El Aliviadero tendrá una capacidad de descarga de 28.750 m3/s, con una longitud de 175,86 m., nueve (9) compuertas radiales con descarga de superficie de 15,24 m de ancho por 21,66 m de altura, con la ojiva a la elevación 106,30 msnm y 18 ductos de fondo de 5,50 m de ancho por 9,00 m de altura. Presa de Tierra y Enrocamiento Derecha. La primera etapa del cierre dejará una abertura en principio de 900 m en el estribo derecho para pasar el máximo flujo de 14.000 m3/s controlado por Guri. Para cerrar la abertura será construida una ataguía aguas arriba y otra, aguas abajo en dicha sección, en el medio de las cuales será construida una presa de tierra con filtro de chimenea. Un aspecto a considerar será la presencia de lastra y arena en la fundación, la cual varía de unos pocos centímetros a unos 3,0 metros de espesor y su remoción será necesaria en la fundación de los materiales impermeables y filtros. En resumen, los datos más relevantes del embalse se muestran en la Tabla 2.7, los datos de las turbinas a instalar en la Tabla 2.8 y las características de los generadores en la Tabla 2.9. Tabla 2.7. Características relevantes del embalse de Tocoma. Parámetros Unidad Valor m3/s km2 msnm m3 Caudal máximo probable Área del embalse a nivel normal Nivel promedio de operación normal Volumen estimado a nivel máximo 28.750,00 87,34 127,00 1.770x106 Tabla 2.8. Características de las turbinas a instalar en Tocoma. Valor Parámetros Unidad Tipo de turbina Cantidad Potencia nominal de cada unidad Velocidad nominal de operación Velocidad máxima de embalamiento Caída neta nominal Capacidad total instalada MW rpm rpm m MW Kaplan 10 216 90 250 34,65 2.160 22 Capítulo 2. Desarrollo Hidroeléctrico del Bajo Caroní. Tabla 2.9. Características de los Generadores a instalar en Tocoma. Valor Parámetros Unidad Tipo - Paraguas Cantidad - 10 MW 220 Voltaje nominal kV 13,8 Frecuencia Hz 60 Número de fases - 3 Factor de potencia - 0,85 Potencia nominal de cada unidad 2.3.2. Características Principales de las Turbinas a Instalar en Tocoma. Las turbinas a instalar en Tacoma deberán ser del tipo Kaplan, de rodete y eje simple, instaladas en caja semiespiral de concreto y provista con tubo de aspiración acodado. El sentido de giro, visto desde arriba, será el de las agujas del reloj [6]. Los componentes principales de las turbinas Kaplan, son los siguientes: - Rodete. - Paletas directrices. - Cabezal de distribución de aceite. - Sellos del eje. - Cojinetes. - Tubo de aspiración y revestimientos. - Anillo de distribución. - Anillo inferior. - Anillo de descarga. - Estructura del cojinete de empuje. - Sistema de admisión de aire. - Planchas de revestimiento y sellos de las paletas directrices. - Mecanismo de operación de las paletas directrices. Rodete: El rodete deberá ser del tipo de hélice con alas ajustables, operados por un servomotor hidráulico ubicado en el cubo del rodete y posicionados automáticamente por el gobernador a la inclinación óptima, correspondiente a la apertura de las paletas directrices y la caída neta del momento. Los alabes son fabricados en fundición de acero inoxidable, el cubo y el cono del rodete de acero fundido o fabricados de planchas de acero soldadas. Las rugosidades asociadas a las superficies del rodete son las mostradas en la Tabla 2.10 23 Capítulo 2. Desarrollo Hidroeléctrico del Bajo Caroní. Tabla 2.10. Rugosidades de las superficies del rodete. Superficie Rugosidad [μm] Álabe, lado succión 3,2 Álabe, lado presión 3,2 - 6,3 Álabe, borde de estrada y salida 3,2 Cubo del rodete 12,5 Muñón del alabe en zonas de los bujes 0,8 Bridas del álabe frente al sello 1,6 Paletas directrices: Las paletas directrices serán fabricadas de planchas de acero al carbono soldadas, con vástagos fundidos o forjados. Los extremos superior e inferior de las paletas y las áreas a lo largo de la superficie de contacto con las paletas adyacentes deberán ser fabricadas en acero o revestidas con acero inoxidable. El área de contacto entre los vástagos de las paletas y los bujes de material auto lubricante deberá estar provista con camisas o un revestimiento de acero resistente a la corrosión, de una dureza suficiente para operar suavemente y sin desgastes excesivos. Las rugosidades de las paletas directrices en el cuerpo deben ser de 12,5 μm y en el área de contacto de 3,2 μm. Cabezal de distribución de aceite: El cabezal de distribución de aceite hacia ambos lados del servomotor de los alabes deberá estar ubicado por encima de la cubierta del generador y soportado sobre la ménsula superior del mismo. Se deberán proveer dos tubos concéntricos para el aceite del servomotor, ubicados y soportados dentro del eje, más un tercer tubo concéntrico, para establecer la columna de aceite y presión requerida en el cubo del rodete para evitar ingreso de agua al mismo. Sello del eje: La turbina deberá estar provista con un sello del eje en el lugar donde el eje principal atraviesa la cubierta superior interior, diseñada de tal forma que los elementos del sello puedan ser inspeccionados, ajustados o reemplazados sin perturbar el cojinete inferior de guía del eje principal. El sello del eje deberá ser del tipo de anillo de carbono o de teflón o del tipo mecánico. Cojinetes: Las partes rotantes de la unidad serán soportadas en el sentido radial por un cojinete inferior de guía y un cojinete superior de guía y en el sentido axial por un cojinete de empuje combinado con el cojinete radial superior. Tubo de aspiración y revestimiento: El tubo de aspiración será del tipo acodado, con dos tajamares soportando el techo de su parte inferior. La parte superior del tubo de aspiración deberá estar provisto con un revestimiento de acero. La parte cónica por debajo del anillo de descarga deberá tener una longitud suficiente, como para reducir la velocidad del flujo de agua y asegurar que el revestimiento no se extienda aguas abajo del punto más profundo del tubo de aspiración. En el revestimiento se deberá proveer una puerta hermética para facilitar el acceso por debajo del rodete. Anillo distribuidor: El anillo distribuidor será fabricado de planchas de acero soldadas, con uniones radiales apernadas o soldadas y deberá consistir de un anillo superior y otro inferior, 24 Capítulo 2. Desarrollo Hidroeléctrico del Bajo Caroní. rígidamente unidos entre sí por medio de las paletas fijas. El anillo distribuidor deberá ser diseñado para resistir todas las cargas verticales con la caja semiespiral vacía. Anillo inferior: El anillo inferior deberá ser fabricado de planchas de acero soldadas, dividido en secciones para facilitar su transporte y manipulación. El anillo inferior formará parte del techo de la galería circular alrededor del anillo de descarga y deberá ser diseñado. Anillo de descarga: El anillo de descarga deberá ser fabricado de planchas soldadas entre si y dividido en secciones para facilitar su transporte y manipulación de la obra. La garganta del anillo deberá ser fabricada en acero resistente a la corrosión, cavitación y erosión. Estructura de soporte del cojinete de empuje: La estructura del soporte será fabricada de planchas de acero soldadas y diseñada para proveer la rigidez adecuada y minimizar las deflexiones. La estructura deberá tener por lo menos una apertura de tamaño suficiente y un Winche monorriel, para permitir la manipulación y traslado de los componentes ubicados dentro de la cubierta. La parte superior de la estructura deberá adaptarse para formar la base del cojinete de empuje y de su caja. Sistema de admisión de aire: Deberá proveerse un sistema de admisión de aire atmosférico a través de la cubierta superior, con el propósito de admitir automáticamente el aire a la cámara del rodete de la turbina en el caso del cierre brusco de las paletas directrices y suavizar el efecto del golpe de ariete proveniente desde del tubo de aspiración. Planchas de revestimiento y sellos de las paletas directrices: Las planchas de revestimiento de las superficies de la cubierta superior exterior y del anillo inferior alrededor de la zona de los extremos de las paletas directrices, deberán ser de metales resistentes a la corrosión y al desgaste. Los sellos de las paletas deberán ser de bronce o de monel, ajustables automáticamente al desgaste, removibles y renovables, soportados sobre un material elástico. Mecanismo de operación de las paletas directrices: Este mecanismo estará integrado por un máximo de cuatro servomotores principales de doble acción, un número idéntico de servomotores auxiliares de simple acción. 25 Capítulo 3 Fundamentos del Flujo de Fluidos En éste capítulo se hace un recuento de los aspectos físico y matemático del flujo de fluidos, el mismo inicia con la presentación de las ecuaciones diferenciales que rigen el flujo de fluidos, seguido de una descripción de las condiciones iniciales y de borde que se utilizan para resolver los problemas de flujo; posteriormente se presentan los modelos más importantes utilizados para simular el flujo turbulento y finaliza con la descripción del método de los volúmenes finitos, el cual se utilizó para realizar la simulación de las turbinas. 3.1. Fundamentos de Mecánica de Fluidos Diferencial. Las leyes que se utilizan para el análisis del flujo de fluidos son: - Ley de conservación de la masa: La cual establece que la masa no se crea ni se destruye, sólo se puede transportar o almacenar. - Las tres leyes de Newton: o Primera ley: Una masa permanece en estado de equilibrio, esto es, en reposo ó a velocidad constante, al menos que sobre ella actúe una fuerza externa. o Segunda ley: La velocidad de cambio de la cantidad de rmovimiento de una masa es r proporcional a la fuerza neta que actúa sobre ella ( F = d (mV ) ). dt o Tercera ley: Cualquier acción de una fuerza tiene una fuerza de reacción igual en magnitud y opuesta en dirección. - Primera ley de la termodinámica (ley de conservación de la energía): La energía no se crea ni se destruye, sólo se puede transportar, almacenar y transformar. - Segunda ley de la termodinámica: La segunda ley trata de la disponibilidad de la energía para realizar trabajo útil y se puede enunciar como: La entropía del universo debe aumentar o, en el caso ideal, permanecer constante en todos los procesos naturales ( ds ≥ dq ). T Capítulo 3. Fundamentos del Flujo de Fluidos. - Ecuaciones de estado o relaciones entre las propiedades: Las relaciones que existen entre las propiedades de los fluidos, tal es el caso de: la ley de los gases ideales, ley de viscosidad de Newton y relaciones establecidas en las tablas de vapor de agua, entre otras. Se debe comentar que la ecuación de continuidad, ecuación de momentum o segunda Ley de Newton y ecuación de energía se les conoce con el nombre de Ecuaciones de Transporte. Por otra parte, para analizar los flujos de fluidos, en la actualidad, se utilizan dos enfoques, que son: La formulación de volumen de control (también se le conoce como enfoque integral) y la formulación diferencial. La formulación de volumen de control, mediante la aplicación de las leyes fundamentales, permite determinar mediante un modelo matemático, las propiedades de los fluidos (velocidad, presión, etc) en dicho volumen y en sus fronteras. La precisión de éste método va a depender de las suposiciones que se realicen. La formulación diferencial aplica las leyes fundamentales a nivel de un elemento diferencial, generando modelos matemáticos más precisos que normalmente se deben resolver mediante computadoras. En ésta sección se describen las ecuaciones fundamentales de mecánica de los fluidos en forma diferencial. En la Tabla 3.1 se presenta un resumen comparativo entre la formulación (ó método) de volumen de control y el diferencial. Tabla 3.1. Comparación entre la formulación diferencial y de volumen de control. [7] Tipo de Formulación Ventajas Desventajas Formulación del volumen de control - La matemática utilizada es simple. - Las hipótesis y aproximaciones son menos sensibles; con frecuencia se obtiene información aproximada muy útil con suposiciones simples. - No se requiere computadora, sólo una pequeña calculadora permite resolver los problemas en tiempos muy cortos. - Con frecuencia sólo se obtiene la información que realmente se requiere. - No revela todos los detalles del flujo. - No obliga al fluido a obedecer las leyes fundamentales en cada punto. - Normalmente sólo se obtienen soluciones aproximadas. - Se requiere más información de entrada, tal como una distribución de velocidad en fronteras convenientes, entre otras. - Normalmente no proporciona tanta información como la requerida. Formulación diferencial - Revela todos los detalles del flujo. - Se fuerza al fluido a obedecer las leyes fundamentales en todos los puntos. - Resuelve el problema con un mínimo de información, que normalmente son las condiciones de borde. - Produce ecuaciones diferenciales que son muy difícil de resolver. - Normalmente se requiere computadora para resolver las ecuaciones diferenciales que se generan en los modelos matemáticos - Pueden proporcionar más información de la que se requiere. 27 Capítulo 3. Fundamentos del Flujo de Fluidos. 3.1.1. Ecuación de Continuidad. La ecuación de continuidad en forma diferencial se puede escribir de la siguiente manera: ∂ρ ∂ ( ρu ) ∂ ( ρv) ∂ ( ρw) + + + = 0, ∂t ∂x ∂y ∂z (3.1) donde: ρ : Es la densidad del fluido u, v, w : Son las componentes en la dirección x, y, z, respectivamente, del vector velocidad. En notación tensorial, la ecuación de continuidad es escribe de la siguiente manera: ∂ρ + ∇ ⋅ ( ρU) = 0 , ∂t (3.2) donde: U = uiˆ + vˆj + wkˆ : Es el vector velocidad. ∂ ∂ ∂ ∇ = iˆ + ˆj + kˆ : Es el operador Nabla. ∂x ∂y ∂z iˆ, ˆj , kˆ : Son los vectores unitarios en los ejes cartesianos x, y, z, respectivamente. Para un flujo estacionario, la ecuación se reduce a: ∂ ( ρu ) ∂ ( ρv) ∂ ( ρw) + + =0 ∂x ∂y ∂z ó ∇ ⋅ ( ρU ) = 0 . (3.3) Para un fluido incompresible, donde la densidad se puede considerar constante, como el caso que se analizará en este trabajo, la ecuación de continuidad se simplifica: ∂u ∂v ∂w + + =0 ∂x ∂y ∂z ó ∇⋅U = 0. (3.4) 3.1.2. Ecuación de Momentum. 3.1.2.1. Ecuación de Cauchy La ecuación de Cauchy se obtiene cuando se aplica la segunda ley de Newton a un elemento diferencial de fluido. El análisis completo de la ecuación se desarrolla en las referencias 8 y 9. 28 Capítulo 3. Fundamentos del Flujo de Fluidos. ∂ τ yx ∂ τ zx ⎞ ∂u ∂u ∂u ∂u 1 ⎛ ∂σ x ⎜⎜ ⎟+ gx + u + v + w = + + ∂t ∂x ∂y ∂z ∂y ∂ z ⎟⎠ ρ ⎝ ∂x ∂σ y ∂ τ zy ⎞ ∂v ∂v ∂v ∂v 1 ⎛ ∂ τ xy ⎜⎜ ⎟+ gy + u + v + w = + + ∂y ∂ z ⎟⎠ ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ⎝ ∂x ∂ τ yz ∂σ z ⎞ ∂w ∂w ∂w ∂w 1 ⎛ ∂ τ xz ⎜⎜ ⎟+ gz + u + v + w = + + ∂t ∂x ∂y ∂z ∂y ∂ z ⎟⎠ ρ ⎝ ∂x ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪. ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭ (3.5) Donde σ x ,σ y ,σ z son los esfuerzos normales que actúan en un punto y τ xy ,τ xz ,τ yx ,τ yz ,τ zx ,τ zy son esfuerzos cortantes que actúan en un punto. Por otra parte, el tensor de esfuerzo se define como: ⎡σ x ⎢ τ = ⎢τ xy ⎢τ xz ⎣ τ yx τ zx ⎤ ⎥ σ y τ zy ⎥ . τ yz σ z ⎥⎦ (3.6) Usando la notación tensorial, la ecuación (3.6) se puede expresar de la siguiente forma: 1 DU ∂U = + (U ⋅ ∇)U = τ ⋅ ∇ + g , Dt ρ ∂t (3.7) donde: ∂ ∂ D ∂ ∂ = + u + v + w : Es el operador de derivada sustancia o total. ∂x ∂y Dt ∂t ∂z g = g x iˆ + g y ˆj + g z kˆ : Es el vector aceleración de la gravedad. Cuando se está en equilibro respecto a rotación de una partícula de fluidos, se cumple que: τ xy = τ yx , τ xz = τ zx , τ yz = τ zy (ver referencia 10 la demostración completa de éstas ecuaciones). 3.1.2.2. Ecuación de Navier-Stokes Para un fluido newtoniano las ecuaciones constitutivas (o relaciones de esfuerzo velocidad de deformación) se pueden expresar de la siguiente forma [11]: ⎛ ∂u ∂v ⎞ σ x = − p + 2μ ∂u + λ∇ ⋅ U , ∂x σ y = − p + 2μ ∂v + λ∇ ⋅ U, ∂y τ xz = τ zx = μ ⎜ σ z = − p + 2μ ∂w + λ∇ ⋅ U, ∂z ⎟⎟ , τ yz = τ zy = μ ⎜⎜ + ⎝ ∂z ∂y ⎠ ⎟⎟ , + τ xy = τ yx = μ ⎜⎜ ⎝ ∂y ∂x ⎠ ⎛ ∂u ∂w ⎞ + ⎟, ⎝ ∂z ∂x ⎠ ⎛ ∂v (3.8) ∂w ⎞ 29 Capítulo 3. Fundamentos del Flujo de Fluidos. donde μ es la viscosidad del fluido y λ es el segundo coeficiente de viscosidad. La ecuación (3.8) se puede simplificar utilizando notación tensorial con subíndice, esto es: ⎛ ∂ui τ ij = − pδ ij + μ ⎜⎜ ⎝ ∂xi + ∂u j ⎞ ⎟ + δ ij λ ∂ui ∂x j ⎟⎠ ∂xi para i, j = 1,2,3 , (3.9) donde: u1 = u, u 2 = v, u3 = w , x1 = x, x2 = y, x3 = z , σ i = τ ii , δ ij : Es el delta de Kronecker (es 1 si j = i y 0 si j ≠ i ). Para los fluidos incompresibles (líquidos) homogéneos se tiene que ∇ ⋅ U = 0 , por lo que la ecuación (3.8) se transforma en: ⎛ ∂u ∂v ⎞ σ x = − p + 2μ ∂u , ∂x τ xy = τ yx = μ ⎜⎜ + ⎟⎟, ⎝ ∂y ∂x ⎠ σ y = − p + 2μ ∂v , ∂y τ xz = τ zx = μ ⎜ σ z = − p + 2μ ∂w , ∂z τ yz = τ zy = μ ⎜⎜ + ⎟⎟. ⎝ ∂z ∂y ⎠ ⎛ ∂u ∂w ⎞ + ⎟, ⎝ ∂z ∂x ⎠ ⎛ ∂v (3.10) ∂w ⎞ Sustituyendo las ecuaciones constitutivas (3.8) en la(s) ecuación(es) de Cauchy (Ec. 3.5) se obtiene la(s) ecuación(es) de Navier-Stokes para fluido incompresible homogéneos, la cual se expresa de la siguiente manera: ⎛ ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎞ 1 ∂p ∂u ∂u ∂u ∂u +u +v +w = − + υ ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ + g x , ρ ∂x ⎝ ∂x ∂t ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ⎠ ⎛ ∂ 2v ∂ 2v ∂ 2v ⎞ 1 ∂p ∂v ∂v ∂v ∂v +u +v + w = − + υ ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ + g y , ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂y ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x (3.11) ⎛ ∂2w ∂2w ∂2w ⎞ 1 ∂p ∂w ∂w ∂w ∂w + υ ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ + g z . =− +w +v +u ρ ∂z ∂z ∂y ∂x ∂t ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x 3.1.2.3. Representación General de la Ecuación de Momentum. La forma general utilizando notación tensorial de la ecuación de momentum es la siguiente: 30 Capítulo 3. Fundamentos del Flujo de Fluidos. ∂ ( ρU ) + ∇ ⋅ ( ρU ⊗ U) = −∇p + ∇ ⋅ τ + ρg + FM , ∂t (3.12) donde: ( ) τ = μ ∇U + (∇U ) + λδ(∇ ⋅ U) : Tensor de esfuerzo de la ecuación (3.9). T ⎡1 0 0 ⎤ δ = ⎢⎢0 1 0⎥⎥ : Delta de Kronecker. ⎢⎣0 0 1⎥⎦ g = g x iˆ + g y ˆj + g z kˆ : Vector aceleración de la gravedad. FM : Generación de cantidad de movimiento (término fuente). ⎡ uu U ⊗ U = ⎢⎢ vu ⎢⎣ wu uw ⎤ vv vw ⎥⎥ : Es el operador Dyadic. wv ww⎥⎦ uv ⎡ ∂ ⎤ ∂ ∂ ⎢ ∂x ( ρuu ) + ∂y ( ρvu ) + ∂z ( ρwu ) ⎥ ⎢ ⎥ ∂ ∂ ∂ ⎢ ∇ ⋅ ( ρU ⊗ U ) = ( ρuv) + ( ρvv) + ( ρwv) ⎥ . ⎢ ∂x ⎥ ∂y ∂w ⎢∂ ⎥ ∂ ∂ ⎢ ( ρuw) + ( ρvw) + ( ρww)⎥ ∂y ∂z ⎣⎢ ∂x ⎦⎥ 3.1.3. Ecuación de Energía La primera ley de la termodinámica en forma diferencial para el flujo de un fluido homogéneo se expresa de la siguiente forma [12]: ρcP DT Dp = ∇ ⋅ (k∇T ) + β T + μΦ + q ' , Dt Dt (3.13) donde ρ es la densidad, cp es el calor específico a presión constante, k es la conductividad térmica del fluido, β es el coeficiente volumétrico de expansión térmica, p la presión, μ la viscosidad dinámica, q´ la generación de calor y μΦ es disipación viscosa, que se obtiene por la siguiente ecuación: 2 2 ⎛ ∂u ∂v ⎞ ⎛ ∂v ∂w ⎞ ⎛ ∂w ∂u ⎞ ⎟⎟ + ⎜ Φ = ⎜⎜ + ⎟⎟ + ⎜⎜ + + ⎟ ⎝ ∂y ∂x ⎠ ⎝ ∂z ∂y ⎠ ⎝ ∂x ∂z ⎠ ⎡⎛ ∂u ⎞ 2 ⎛ ∂v ⎞ 2 ⎛ ∂w ⎞ 2 ⎤ 2 ⎛ ∂u ∂v ∂w ⎞ 2 ⎟⎟ . + 2⎢⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ − ⎜⎜ + + ⎢⎣⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂z ⎠ ⎥⎦ 3 ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ 2 (3.14) 31 Capítulo 3. Fundamentos del Flujo de Fluidos. Los primeros tres términos del lado derecho de la ecuación (3.14), al ser multiplicados por μ representan los esfuerzos cortantes viscosos y el resto a los esfuerzos normales. Colectivamente, los términos representan la velocidad a la que la energía cinética se convierte en forma irreversible a energía térmica debido a los efectos viscosos. Para un líquido incompresible ( β = 0 ), la ecuación (3.13) se simplifica: ρc P DT = ∇ ⋅ ( k∇T ) + μΦ + q ' . Dt (3.15) 3.1.3.1. Representación General de la Ecuación de Energía. La representación general de la ecuación de energía en forma tensorial es la siguiente: ∂ ( ρc P Tt ) ∂p + ∇ ⋅ ( ρc P Tt U) = + ∇ ⋅ (k∇Tt ) + ∇ ⋅ (U ⋅ τ ) + U ⋅ FM + q ' , ∂t ∂t (3.16) donde: Tt = T + U2 : Temperatura total. 2c P T: Temperatura estática. ∇ ⋅ (U ⋅ τ ) : Se llama término de trabajo viscoso. U ⋅ FM : Es el término del trabajo debido a las fuentes de momentum. q' : Es la generación de calor. 3.2. Condiciones Iniciales y de Frontera. Resolver un problema de flujo de fluidos mediante el enfoque diferencial, implica, que se deben resolver las ecuaciones de continuidad, momentum y energía. La ecuación de energía interviene cuando dentro del flujo hay gradientes de temperatura, de lo contrario el problema de flujo sólo implica resolver la ecuación de continuidad y de momentum. Cuando se trata de un problema de flujo transitorio (no estacionario) se tiene un problema de condiciones iniciales y para el caso de un problema de flujo estacionario se tiene un problema de borde. 3.2.1. Condiciones iniciales. El problema de condiciones iniciales para un flujo de fluidos consiste en determinar la velocidad, presión y temperatura (la temperatura se determina si hay gradiente de temperatura dentro del flujo) dentro del flujo para un tiempo t > 0 conocida la distribución de velocidad y presión en un tiempo inicial t = 0. En forma matemática las condiciones iniciales se expresan de la siguiente manera: 32 Capítulo 3. Fundamentos del Flujo de Fluidos. U ( x, y , z , t = o) = U i ( x, y , z ) ⎫ ⎪ p ( x, y , z , t = o ) = p i ( x, y , z ) ⎬ T ( x , y , z , t = o ) = Ti ( x , y , z ) ⎪⎭ en donde Ω es el dominio o volumen control donde se resuelve el problema pi ( x , y , z ) flujo y U i ( x, y, z ) , Ti ( x, y, z ) son funciones conocidas todo en dominio. Ω, de de y en (3.17) Pared Fluido 1 Us Un Interfaz U ent 3.2.2. Condiciones de Borde. U sal Fluido 2 Las condiciones de frontera se definen en los borde ( ∂Ω ) del dominio Ω y en las interfaces de fluidos inmiscibles, tal como se muestra en la Figura 3.1. Figura 3.1. Esquema de las múltiples condiciones de borde en un problema de flujo de fluidos. Las condiciones de borde se pueden generalizar en las siguientes: Condición de borde en fronteras sólidas (pared): En las fronteras sólidas la componente de la velocidad que es normal a la pared es nula; de igual forma la componente tangencial de la velocidad relativa a la pared es también nula cuando no ocurre deslizamiento. Esto es: U n ( x, y , z , t ) = 0 ⎫ ⎬ U s ( x, y , z , t ) = 0 ⎭ en ∀( x, y, z ) ∈ Frontera sólida , tal que t > 0 . (3.18) Cabe destacar que cuando la pared es una superficie porosa o permeable, la componente normal a la superficie es distinta de cero y la componente tangencial es nula si no ocurre deslizamiento. En cuanto a la condición térmica, en las superficies sólidas se pueden definir tres tipos de condiciones de borde, que son: - Especificación del valor de temperatura (temperatura prescrita): T ( x, y, z , t ) = Ts ( x, y, z , t ) - en ∀( x, y, z ) ∈ Frontera sólida, tal que t > 0 . (3.19) Definición del flujo de calor: −k ∂T = q s ( x, y , z , t ) ∂n en ∀( x, y, z ) ∈ Frontera sólida, tal que t > 0 . (3.20) 33 Capítulo 3. Fundamentos del Flujo de Fluidos. donde n es un vector normal a la superficie y qs el flujo de calor por unidad de área de la superficie. - Definición de la condición de borde natural: −k ∂T = h(T − T∞ ) ∂n ∀( x, y, z ) ∈ Frontera sólida, tal que t > 0 , en (3.21) donde n es un vector normal a la superficie, h se le llama coeficiente de convección y T∞ es la temperatura de corriente libre o del flujo. Sección de entrada del flujo al volumen de control (o dominio): En la entrada del flujo se debe conocer la distribución de presión y la velocidad para todo instante de tiempo, es decir: U = U ent ( x, y, z, t )⎫ ⎪ p = pent ( x, y, z, t ) ⎬ T = Tent ( x, y, z, t ) ⎪⎭ en ∀( x, y, z ) ∈ Frontera de entrada, tal que , t > 0 . (3.22) Sección de salida del flujo del volumen de control: En la salida del flujo se debe conocer la distribución de presión y la velocidad para todo instante de tiempo: U = U sal ( x, y, z, t )⎫ ⎪ p = p sal ( x, y, z, t ) ⎬ T = Tsal ( x, y, z, t ) ⎪⎭ en ∀( x, y, z ) ∈ Frontera de entrada, tal que , t > 0 . (3.23) Interfaz de dos fluidos inmiscibles: La velocidad de cada fluido normal a la interfaz, deben ser igual a la velocidad misma de la interfaz. Los esfuerzos cortantes de cada fluido deben ser iguales en la interfaz. La presión de cada fluido en la interfaz deben ser iguales, excepto para efectos de tensión superficial. = U int ( x, y, z , t )⎫ ⎪⎪ τ ( x, y, z , t ) Fluido 1 = τ ( x, y, z, t ) Fluido 2 ⎬ ⎪ p ( x, y, z , t ) Fluido 1 = p( x, y, z , t ) Fluido 2 ⎪⎭ Un Fluido 1 = Un Fluido 2 en ∀( x, y, z , t > 0) ∈ Interfaz . (3.24) Cuando el problema se resuelve en estado estacionario, el problema se convierte en un problema de borde, donde dadas las condiciones de borde se deben determinar los perfiles de presión y velocidad dentro del dominio Ω . 34 Capítulo 3. Fundamentos del Flujo de Fluidos. 3.3. Análisis de Flujo Turbulento. El flujo de fluido puede tener dos comportamiento según su régimen, laminar y turbulento. En el flujo laminar las partículas se mueven en trayectorias suaves, mientras que en el flujo turbulento el movimiento es desordenado y aleatorio. La turbulencia consiste en fluctuaciones del campo de flujo en tiempo y espacio. El flujo turbulento se presenta para números de Reynolds grande; en este caso las fuerzas inerciales son muy grande en comparación con las fuerzas viscosas. La Figura 3.2 muestra la diferencia entre un flujo laminar y uno turbulento. En el flujo turbulento, la velocidad en un mismo punto varía en forma fluctuante con el tiempo, tal como se representa en la Figura 3.3; en ese sentido dicha velocidad se puede expresar matemáticamente como: (a) (b) u u’ u t Figura 3.2. Comportamiento de un flujo turbulento y laminar. (a) representación gráfica (b) flujo en un canal. Fuente: Referencia 13. Figura 3.3. Comportamiento en el tiempo de la componente u de la velocidad en un punto, para el caso de flujo turbulento. u = u + u' , (3.25) donde u es el valor promedio de la velocidad en un intervalo de tiempo δ t y u' es la fluctuación de la velocidad en torno a u . El promedio de la velocidad (o de otra propiedad) se determina por: u= 1 t +δt udt , δt ∫t (3.26) donde se puede demostrar que: 1 t +δt u ' dt = 0 . δt ∫t (3.27) Para el vector velocidad, la ecuación (3.25) se escribe de la siguiente manera: U = U + U' . (3.28) El resto de las propiedades, también se pueden expresar en término de las fluctuaciones: 35 Capítulo 3. Fundamentos del Flujo de Fluidos. p = p + p' , T = T + T ' . (3.29) En las propiedades turbulentas se cumplen las siguientes relaciones [12]: u + v = u + v , u u ' = 0, uv = u v + u ' v', ⎛ ∂u ⎞ ∂u , u 2 = u 2 + u '2 , ⎜ ⎟ = ⎝ ∂x ⎠ ∂x ∂u ⎛ ∂u ⎞ = 0, ⎜ ⎟ = 0 . ∂t ⎝ ∂t ⎠ Las ecuaciones de transporte para flujo turbulento, se obtiene al introducir las magnitudes en términos del promedio y la fluctuación, en las ecuaciones generales. Las ecuaciones resultantes se les conoce con el nombre de ecuaciones de Reynolds promedio Navier-Stokes cuyas siglas en ingles son RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes). La ecuación de continuidad no cambia por lo que es igual a la ecuación (3.2): ∂ρ + ∇ ⋅ ( ρU) = 0 . ∂t (3.30) La ecuación de momentum, en forma tensorial, se transforma en: ( ) ∂ ( ρU ) + ∇ ⋅ ( ρU ⊗ U) = −∇p + ∇ ⋅ τ − ρ U'⊗U' + ρg + FM , ∂t (3.31) donde τ es el tensor de esfuerzo dado por la ecuación (3.9) y el término − ρ U'⊗U' es los denominados esfuerzos de Reynolds o esfuerzos turbulentos. Las fuerzas por unidad de volumen (fuerza turbulenta de Reynolds) debido a los esfuerzos turbulento Reynolds son: ( σ R = −∇ ⋅ ρ U'⊗U' ) (3.32) ó lo que es lo mismo ⎫ ∂ ∂ ∂ ( ρu ' u ') − ( ρv' u ') − ( ρw' u ') ⎪ ∂z ∂x ∂y ⎪ ∂ ∂ ∂ ⎪ R ( ρw' v') ⎬ . σ y = − ( ρu ' v' ) − ( ρv' v') − ∂x ∂y ∂w ⎪ ∂ ∂ ∂ R σ z = − ( ρu ' w') − ( ρv' w') − ( ρw' w')⎪⎪ ∂x ∂y ∂z ⎭ σ xR = − (3.33) La ecuación de energía se expresa de la siguiente manera: ∂ ( ρc PTt ) ∂p + ∇ ⋅ ( ρc PTt U) = + ∇ ⋅ (k∇Tt − ρc P U' Tt ) + ∇ ⋅ (U ⋅ τ ) + U ⋅ FM + q ' , ∂t ∂t (3.34) donde el término de turbulencia es − ρcP U' Tt y representa la disminución del flujo debido a la turbulencia del fluido. 36 Capítulo 3. Fundamentos del Flujo de Fluidos. Par el caso de flujo incompresible en estado estacionario, donde no hay fuentes que generen momento ni calor, y las propiedades del fluido se consideran constantes, se tiene que las ecuaciones de transporte en término de las propiedades promedio, se escriben de la siguiente manera: Continuidad. ∂u ∂v ∂w + + = 0. ∂x ∂y ∂z (3.35) Momentum. ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) 1 ∂p ∂ ∂ ∂ ∂u ∂u ∂u u '2 − u ' v' − u ' w' + g x , +v +w =− + υ∇ 2u − ρ ∂x ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y 1 ∂p ∂ ∂ ∂ ∂v ∂v ∂v (3.36) u u ' v' − v '2 − v ' w' + g y , + υ∇ 2 v − +v +w =− ρ ∂y ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z 1 ∂p ∂ ∂ ∂ ∂w ∂w ∂w u u ' w' − v ' w' − w'2 + g z , +v +w =− + υ∇ 2 w − ρ ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z u ( donde υ = ) ( ) ( ) μ es la viscosidad cinemática. ρ La ecuación de momento se llama Ecuación de Reynolds-Navier-Stokes. Energía. u ( ) ( ) ( ) ∂T ∂T ∂T ∂ ∂ ∂ +v +w = α ∇ 2T − u 'T ' − v 'T ' − w'T ' , ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z donde α = (3.37) k es la difusividad térmica (o coeficiente de difusión térmica). ρc P Cuando el fluido es isotérmico, como el caso del problema que se analiza en éste trabajo, solo es necesario resolver la ecuación de continuidad y la ecuación de momentum, ya que la ecuación de energía se satisface automáticamente. 3.4. Modelo de Turbulencia para Análisis del Flujo de Fluidos. Como se puede observar, en la ecuación de momentum (3.31), el término de turbulencia está en función de la fluctuación de la velocidad, por lo que se debe buscar una relación que permita calcular dicho término. Para tal fin, existen básicamente tres enfoques ó modelos que se utilizan para calcular la turbulencia del fluido. Estos métodos son: - Modelos de turbulencias basados en la viscosidad de remolino. 37 Capítulo 3. Fundamentos del Flujo de Fluidos. - Modelos de turbulencia basados en los esfuerzos cortantes de Reynolds. - Modelos numéricos de simulación de flujos turbulentos. En ésta sección sólo se presentan las ecuaciones de momentum utilizadas para modelar la turbulencia, dejando por fuera la ecuación de energía dado que el problema que se analizará se puede considerar isotérmico. 3.4.1. Modelos Basados en la Viscosidad de Remolino. A éstos modelos también se le llaman modelos basados en la viscosidad de Eddy, donde eddy significa remolino en ingles. Los modelos sugieren que la turbulencia consiste de pequeños remolinos que se forman y disipan continuamente, y asumen que los esfuerzos de Reynolds son proporcionales al gradiente de velocidad. La hipótesis del modelo de viscosidad de remolino consiste en asumir que los esfuerzos de Reynolds se relacionan con el gradiente de velocidad y la viscosidad de remolino o turbulencia mediante la hipótesis del gradiente de difusión, de manera similar a la relación entre el tensor de esfuerzo y deformación del flujo laminar Newtoniano. Esta hipótesis se conoce con el nombre de hipótesis de Boussinesq [14] y se representa mediante la siguiente ecuación: ρ U'⊗U' = μ t (∇U + (∇U) T ) − δ(ρk + μ t ∇ ⋅ U ) , 2 3 (3.38) donde μ t es la viscosidad de remolino, viscosidad de Eddy o viscosidad turbulenta, la cual debe ser modelada, y k es la energía turbulenta, que se define como: k= ( ) 1 2 1 U' = u ' u ' + v' v' + w' w' . 2 2 (3.39) Al sustituir (3.38) en la ecuación de momentum (3.12) se puede obtener la ecuación de momentum para flujo turbulento basados en las viscosidad de remolino. Esto es: ∂ ( ρU ) + ∇ ⋅ ( ρU ⊗ U) = −∇~ p + ∇ ⋅ μ e (∇U + (∇U) T ) + ρg + FM , ∂t [ ] (3.40) donde μ e es la viscosidad efectiva o total, definida por: μe = μ + μt , (3.41) y ~ p es una presión modificada que se define por: 2 2 ~ p = p + ρk + μ t ∇ ⋅ U . 3 3 (3.42) 38 Capítulo 3. Fundamentos del Flujo de Fluidos. Como se puede observar en la ecuación (3.41), μ es la viscosidad dinámica del fluido, que es una propiedad conocida; sin embargo, μ t es la viscosidad turbulenta la cual se debe modelar. Hay muchos modelos que se utilizan para modelar μ t , sin embargo, los más importantes son: - Modelo de Ecuación Cero. Modelo k-ε estándar. Modelo k-ε RNG (Grupos renormalizados). Modelo k-ε realizable. 3.4.1.1. Modelo de Ecuación Cero. El modelo de ecuación cero es una fórmula empírica simple propuesta por Prandtl y Kolmogorov, y plantea que la viscosidad de remolino es proporcional a la velocidad turbulenta y a una longitud característica, es decir: μ t = ρf μ U t lt , (3.43) donde: f μ : Constante de proporcionalidad que se obtiene en forma empírica. U t : Se le llama velocidad de turbulencia y representa la forma genérica de las fluctuaciones de velocidad en el flujo turbulento. l t : Longitud de mezcla o longitud de turbulencia. La longitud de mezcla ( l t ) es una estimación de la distancia que ha de recorrer una partícula de fluido en una cierta dirección para que las componentes, en esa dirección de su posición, y su velocidad pierdan su correlación. Esta longitud se puede estimar mediante la siguiente correlación: 1 V 3 lt = D , 7 (3.44) donde V D es el volumen del dominio fluido (o volumen de control). Este modelo es recomendado para realizar una primera iteración pero no para los cálculos definitivos. 3.4.1.2. Modelo de Spalart-Allmaras. El modelo de Spalart-Allmaras [15] es un modelo empírico bastante simple de una ecuación, que resuelve la ecuación de transporte para una cierta variable υ~ , la cual se identifica como la viscosidad cinemática turbulenta en la cercanía de la pared, y se relaciona con la viscosidad de remolino mediante la siguiente relación: 39 Capítulo 3. Fundamentos del Flujo de Fluidos. υt = μt ~ = υ fυ 1 , ρ (3.45) donde ⎛ υ~ ⎞ ⎜ ⎟ υ fυ 1 = ⎝ 3 ⎠ . ~ ⎛υ ⎞ 3 ⎜ ⎟ + Cυ1 ⎝υ ⎠ Cυ1 : Es una constante. 3 (3.46) La ecuación de transporte para υ~ , en notación tensorial con subíndice, es la siguiente: 2 ⎛ ∂υ~ ⎞ ⎤ Dυ~ 1 ⎡ ∂ ⎛ ∂υ~ ⎞ ~ ⎟ + Cb 2 ρ ⎜⎜ ⎟ ⎥ + Pυ − Yυ , ⎢ ⎜ (μ + ρυ ) = ρ Dt σ υ~ ⎢ ∂xi ⎜⎝ ∂xi ⎟⎠ ∂xi ⎟⎠ ⎥ ⎝ ⎣ ⎦ i = 1,2,3 , (3.47) donde Pυ es la producción de viscosidad turbulenta, Yυ es la destrucción de la viscosidad turbulenta que ocurre cerca de la pared, σ υ~ y Cb 2 son constantes empíricas que se pueden obtener en la referencia 16. La producción viscosa se puede calcular con el siguiente modelo: ~ Pυ = Cb1 ρυ~S , (3.48) donde ~ ⎛ ρ ⎞ S = ⎜ S + 2 2 fυ 2 ⎟ . κ d ⎠ ⎝ ~ ⎛υ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝υ ⎠ . fυ 2 = 1 − ⎛ υ~ ⎞ 1 + ⎜ ⎟ fυ 1 ⎝υ ⎠ (3.49) (3.50) Cb1 y κ : Constantes empíricas. d: Distancia desde la pared. S: Es una medida escalar o módulo del tensor vorticidad, y se calcula por la ecuación siguiente: S = 2ωijωij para i, j = 1,2,3 , (3.51) 40 Capítulo 3. Fundamentos del Flujo de Fluidos. donde ωij es el tensor velocidad (o rapidez) angular,1 y cuya expresión en notación tensorial con subíndice, es: 1 ⎛ ∂u ∂u ⎞ ωij = ⎜⎜ j − i ⎟⎟ 2 ⎝ ∂xi ∂x j ⎠ para i, j = 1,2,3 . (3.52) En la referencia 17 se propone una modificación para el cálculo de S. Por otra parte, el término de destrucción de la turbulencia viscosa se calcula mediante el siguiente modelo. ⎛ υ~ ⎞ Yυ = C w1 ρf w ⎜ ⎟ , ⎝d ⎠ 2 (3.53) donde: 1 ⎛ 1+ C6 ⎞6 f w = g w ⎜⎜ 6 w36 ⎟⎟ . ⎝ g w + C w3 ⎠ (3.54) g w = rw + C w 2 (rw6 − rw ) . (3.55) υ~ rw = ~ 2 2 . Sκ d (3.56) ~ C w1 , C w 2 y C w3 son constantes y S se calcula con la ecuación (3.49). Los valores típicos de las constantes definidas para éste modelo [15], son: Cb1 = 0,1335; κ = 0,41; 2 3 σ υ~ = ; Cb 2 = 0,622; C w1 = Cb1 κ 2 + 1 + Cb 2 σ υ~ ; Cυ1 = 7,1; C w 2 = 0,3; C w3 = 2,0. El modelo de Spalart-Allmaras se diseñó específicamente para aplicaciones aerospaciales que involucran flujos alrededores de las paredes y se ha mostrado que da buenos resultados para las capas del límite sujetas a gradientes de presión adversos. También se usa en aplicaciones de turbomaquinarias. Sin embargo, éste modelo es relativamente nuevo, por lo que no es conveniente usarlo en problemas complejos de ingeniería, tales como: predicción de pérdida de homogeneidad de un flujo, turbulencia isotrópica, entre otras. 1 El tensor velocidad angular en forma vectorial es: ω = {ω }= 1 (∇U + (∇U) ) . T ij 2 41 Capítulo 3. Fundamentos del Flujo de Fluidos. En forma general, a los modelos de una ecuación se les critica la dificultad que tienen de adaptarse rápidamente a la longitud de mezcla (o longitud de escala) para cambios bruscos de capa límite a flujo de borde libre. 3.4.1.3. Modelo k-ε Estándar. El modelo k − ε en un modelo de dos ecuaciones diferenciales que fue propuesto por Jones y Launder [18, 19], y establece que la viscosidad de remolino (o turbulenta) se relaciona con la energía cinética turbulenta (k) y la disipación de energía turbulenta ( ε ), mediante la siguiente relación: μ t = ρC μ k2 ε , (3.57) donde: C μ = 0,09 : Constante obtenida en forma experimental. ( ) k= 1 u ' u ' + v' v' + w' w' : Energía cinética turbulenta. 2 ε= μ ⎛ ∂u ' ∂u ' ∂v' ∂v' ∂w' ∂w' ⎞ ⎜ ⎟ : Disipación de energía cinética turbulenta. + + ρ ⎜⎝ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y ∂y ⎟⎠ Las ecuaciones de transporte para la energía turbulenta y la disipación de energía turbulenta en notación tensorial con subíndice, son: μt D( ρk ) ∂ ⎡⎛ = ⎢⎜⎜ μ + σk Dt ∂xi ⎣⎝ ⎞ ∂k ⎤ ⎟⎟ ⎥ + Pk + Bk − ρε − YM , ⎠ ∂xi ⎦ (3.58) μt D( ρε ) ∂ ⎡⎛ = ⎢⎜⎜ μ + Dt σε ∂xi ⎣⎝ ⎞ ∂ε ⎤ ε ε2 ⎟⎟ ( ) ρ C P C B C + + − , ⎥ ε1 k ε3 k ε2 k k ⎠ ∂xi ⎦ (3.59) donde: DΦ ∂Φ + ∇ ⋅ (ΦU) : Derivada sustancial o total. = Dt ∂t ∂ ⎡ ∂Φ ⎤ ⎢A ⎥ = ∇ ⋅ [ A∇Φ ] : Relación entre la notación tensorial con subíndice y vectorial. ∂xi ⎣ ∂xi ⎦ Cε 1 = 1,44 y Cε 2 = 1,92 : Son constantes. σ k = 1,0 y σ ε = 1,3 : Número de turbulencia de Prandtl de k y ε, respectivamente. 42 Capítulo 3. Fundamentos del Flujo de Fluidos. Pk : es la generación de energía cinética turbulenta debido al gradiente de velocidad y se calcula con la ecuación (3.60). Bk : Generación de energía cinética turbulenta debido a las fuerzas de flotación y se calcula con la ecuación (3.62). YM : Es la contribución de las fluctuaciones por dilatación de los fluidos compresibles (efecto de compresibilidad en la turbulencia del fluido), y se calcula con la ecuación (3.65). Para el caso de fluidos incompresibles éste término es nulo. La generación de energía cinética turbulencia debido al gradiente de velocidad, φ K , se calcula mediante la siguiente relación: Pk = − ρ ui′u′ ′j ∂u j ∂xi , (3.60) donde i, j = 1,2,3 , u1 = u , u 2 = v, u3 = w, x1 = x, x2 = y, x3 = z . Según la hipótesis de Boussinesq [14], se tiene que: Pk = μ t S 2 , (3.61) donde S es el módulo del tensor rapidez de deformación que se calcula con la ecuación (3.51). La generación de energía cinética turbulencia debido a las fuerzas de flotación, Bk , se calcula con la siguiente relación: Bk = μt β Prt gi ∂T μ t β = g ⋅ ∇T , Prt ∂xi (3.62) donde Prt es el número de Prandtl turbulento y β es el coeficiente de expansión térmica, el cual se define como: 1 ⎛ ∂ρ ⎞ β =− ⎜ ⎟ . ρ ⎝ ∂T ⎠ p (3.63) Como se puede observar en la ecuación (3.59), el grado en ε se ve afectado por la fuerza de flotación que está regulado por la constante Cε 3 , la cual se define como [20]: Cε 3 = tgh us , un (3.64) donde u s es la componente de la velocidad paralela al flujo y u n es la componente normal al flujo. 43 Capítulo 3. Fundamentos del Flujo de Fluidos. Por otra parte, el efecto de la compresibilidad del fluido por la turbulencia se calcula por [21]: YM = 2 ρεM t2 , (3.65) donde Mt es el número de Mach turbulento, que se define como: k , a2 Mt = (3.66) donde a = γRT y γ = cp cv es la relación de calores específicos. 3.4.1.4. Modelo k-ε RNG. El modelo k-ε RNG [22, 23, 24] se basa en una renormalización de las constantes usadas en el modelo k-ε estándar. Es decir se resuelven las mismas ecuaciones (3.58) y (3.59) pero las constantes que se utilizan son: Cε 1 = 1,42 − fη , (3.67) donde: ⎛ η ⎜1 − η ⎞ ⎟ 4,38 ⎠ ⎝ fη = , 1 + β Rη 3 η= φk ρCμRε (3.68) . (3.69) Por otra parte, φk es la producción turbulenta dada por la ecuación (3.61). Y las constantes que se utilizan en éste modelo son: Cε 2 = 1,68 ; C μ = C μR = 0,0845 ; σ k = 0,7179 ; σ ε = 0,7179 . β R = 0,012 ; 3.4.1.5. Modelo k-ε Realizable. El modelo k-ε Realizable fue propuesto por Shih y otro [25], y se caracteriza por que se propone una nueva formulación para la viscosidad de remolino, y a la ecuación de transporte para la disipación de energía cinética turbulenta se le introducen algunos cambios; sin embargo, la ecuación de transporte para la energía cinética turbulenta permanece igual. 44 Capítulo 3. Fundamentos del Flujo de Fluidos. El método tiene una mejor precisión para flujo con alto número de Reynolds, flujo sobre superficies planas y curvas, flujo rotacional, recirculación, capa límites con gradientes de presión adversos, separación de la capa límite, entre otros. Dadas las ventajas que tiene éste método, aunque aun en etapa experimental, se utilizará éste modelo para resolver el problema que se plantea en éste trabajo. La nueva forma de la ecuación de la viscosidad de remolino es: μ t = ρC μ k2 ε , (3.70) donde Cμ = Ao + 1 . As kU * (3.71) ε ~ ~ U * = S ij S ij + Ω ij Ω ij . (3.72) ~ Ω ij = Ω ij − 2εwk . (3.73) Ω ij = ωij − εwk . (3.74) ωij : Tensor promedio de velocidad angular (Ec. 3.52) visto desde un sistema de referencia que rota con la velocidad angular wk . 1 ⎛ ∂u j ∂ui + S ij = ⎜ 2 ⎜⎝ ∂xi ∂x j ⎞ ⎟ : Rapidez de deformación.2 ⎟ ⎠ A0 = 4,04 : Es una constante. As = 6 cos(ϕ ) . 1 3 ) ϕ = arccos 6W . (3.76) S ij S jk S ki . ~ S (2.77) W= 2 ( (3.75) { } 1 (∇U − (∇U) ). El tensor rapidez de deformación escrito en forma vectorial es: S = S ij = T 2 45 Capítulo 3. Fundamentos del Flujo de Fluidos. ~ S = S ij S ij . (3.78) Por otra parte, las ecuaciones de transporte para k y ε, son: μt ∂ ⎡⎛ D( ρk ) = ⎢⎜⎜ μ + ∂xi ⎣⎝ σk Dt ⎞ ∂k ⎤ ⎟⎟ ⎥ + Pk + Bk − ρε − YM , ⎠ ∂xi ⎦ μt D( ρε ) ∂ ⎡⎛ = ⎢⎜⎜ μ + Dt σε ∂xi ⎣⎝ ⎞ ∂ε ⎤ ⎛ ε2 ⎟⎟ ρ ε ρ C S C + − ⎥ 1 2⎜ ⎜ k + υε ⎝ ⎠ ∂xi ⎦ (3.79) ⎞ ε ⎟⎟ + Cε 1Cε 3 Bk , k ⎠ (3.80) donde ⎛ η ⎞ C1 = máx⎜⎜ 0,43; ⎟. η + 5 ⎟⎠ ⎝ k η=S . ε (3.81) (3.82) C1ε = 1,44 y C 2 = 1,9 : Son constantes. σ k = 1,0 y σ ε = 1,2 : Número de turbulencia de Prandtl de k y ε, respectivamente. 3.4.2. Modelos Basados en los Esfuerzos Cortante de Reynolds. Este modelo no involucra las hipótesis de los de viscosidad de remolino y se basa en resolver el término de los esfuerzo de Reynolds (esfuerzos turbulentos) − ρ U'⊗U' , de la ecuación (3.31), mediante una ecuación de transporte [26, 27], es decir: k ∂ ⎛ ⎞ ( ρ U'⊗U') + ∇ ⋅ ( ρ U'⊗U' ⊗ U) − ∇ ⋅ ⎜ ( ρC U'⊗U')(∇ U'⊗U') T ⎟ ε ∂t ⎝ ⎠ 2 = P + B + φ − δρε , 3 (3.83) donde: P : Es el término que asocia la generación de energía cinética turbulencia debido al gradiente de velocidad. B : Es el término que asocia la generación de energía cinética turbulencia debido a las fuerzas de flotación. La dirección es contraria al vector aceleración de gravedad. φ : Tensor de deformación debido a la presión que se calcula con la ecuación (3.89). C: Constante. Como se puede observar en la ecuación (3.83), ésta contiene los términos k y ε, por lo que se debe resolver la ecuación de transporte para cada uno de éstos términos, lo que conlleva a 46 Capítulo 3. Fundamentos del Flujo de Fluidos. resolver cinco ecuaciones adicionales a las ecuaciones de continuidad, momentum y energía. Por ésta razón, el modelo de los esfuerzos cortante de Reynolds se le denomina comúnmente, modelo de cinco ecuaciones. La modelación exacta del término esfuerzo de Reynolds, a través de la ecuación de transporte, la cual contempla los efectos anisotrópicos, hace que los modelos de cinco ecuaciones sean más precisos para el caso de flujos complejos; sin embargo, la práctica ha demostrado que la calidad en la solución no es en gran mediada diferente a la obtenida por lo modelos de dos ecuaciones, como lo es el modelo k-ε. Sin embargo, el tiempo de procesamiento y los requerimientos en la capacidad computacional para el modelo de cinco ecuaciones es muy superior al requerido por los modelos de dos ecuaciones, llegándose al extremo de que en algunos casos, los problemas de flujo donde se utilicen modelos de cinco ecuaciones no se puedan resolver en ordenadores convencionales. Para la modelación basada en los esfuerzos cortantes de Reynolds, la ecuación de momentum conviene escribirla de la siguiente manera: ( ) ∂ ( ρU ) + ∇ ⋅ ( ρU ⊗ U) − ∇ ⋅ (μ∇U ) = −∇~ p − ∇ ⋅ ρ U'⊗U' + ρg + FM , (3.84) ∂t donde FM es la generación de cantidad de movimiento y ~ p es la presión modificada, la cual se calcula por: ⎞ ⎛2 ~ p = p + ⎜ μ − ζ ⎟∇ ⋅ U , ⎠ ⎝3 (3.85) donde ζ es la viscosidad de volumen o viscosidad compresibilidad. Existen varias modalidades o modelos basados en los esfuerzos cortantes de Reynolds, por lo que en éste trabajo solo se presentará el modelo estándar. 3.4.2.1. Modelo Estándar de los Esfuerzos de Reynolds. El modelo de los esfuerzo de Reynolds estándar está basado en el modelo de la ecuación de ε (energía cinética turbulenta). En ese sentido la ecuación de transporte asociada a los esfuerzos de Reynolds utilizando notación tensorial con subíndice es la siguiente: ( ) ( ) ( ) D ρ ui′u ′j = DijT + DijL + Pij + Bij + φij + ε ij + Fij , Dt (2.86) donde: ( ) ( ) D ∂ ∂ ρ ui′u ′j = ρ ui′u ′j + ρu k ui′u ′j : Derivada sustancia o total. Dt ∂t ∂xk ∂ ∂ ρ ui′u ′j = ( ρ U'⊗U') : Derivada temporal. ∂t ∂t 47 Capítulo 3. Fundamentos del Flujo de Fluidos. ( ) ( ) Cij = ∂ ρu k ui′u ′j = ∇ ⋅ ρU ⊗ U'⊗U' : Término convectivo. ∂xk DijT = ∂ ρ ui′u ′j u k′ + p(δ kj ui′ + δ ik u ′j ) : Término de difusión turbulenta. ∂xk DijL = ∂ ∂xk ( ) ⎛ ∂ui′u ′j ⎜μ ⎜ ∂xk ⎝ ⎞ ⎟ : Término de difusión molecular. ⎟ ⎠ ∂u j ⎛ ∂u + u ′j u k′ i Pij = − ρ ⎜⎜ ui′u k′ ∂xk ∂xk ⎝ 3 turbulencia. ( ⎞ ⎟⎟ : Término que asocia la generación de energía cinética ⎠ ) Bij = − ρβ g i u ′jθ + g j ui′θ : Término que asocia la generación de energía cinética turbulenta debido a las fuerzas de flotación ⎛ ∂u ′ ∂u ′ ⎞ φij = p⎜⎜ i + j ⎟⎟ : Tensor deformación debido a la presión. ⎝ ∂x j ∂xi ⎠ ε ij = 2 μ ∂ui′ ∂u ′j : Término de disipación viscosa. ∂xk ∂xk ( ) Fij = 2 ρwk u ′j u m′ ε ikm + ui′u m′ ε jkm : Es la producción debido a la rotación del sistema. Los términos Cij , DijL , Pij y Fij no requieren de un modelo para resolver la ecuación (3.86); sin embargo, los términos DijT , Bij ,φij y ε ij si requieren de un modelo adecuado. Para el término de difusión turbulenta, DijT , Daly y Harlow [28] proponen la siguiente relación: DijT = C s ∂ ∂xk ⎛ k u ′k ul′ ∂ui′u ′j ⎞ ⎟. ⎜ρ ⎟ ⎜ ε x ∂ l ⎠ ⎝ (3.87) Como la ecuación (3.87) es inestable al momento de resolver la ecuación en forma numérica, se prefiere usar la ecuación siguiente [29]: 3 ( ) La forma vectorial de generación de energía turbulenta es: P = − ρ U'⊗U'(∇U )T + (∇U )U'⊗U' . 48 Capítulo 3. Fundamentos del Flujo de Fluidos. DijT = ⎛ μ t ∂ui′u ′j ⎜ ⎜ σ k ∂xk ⎝ ∂ ∂xk ⎞ ⎟, ⎟ ⎠ (3.88) donde σ k es el número de turbulencia de Prandtl para k, el cual tiene un valor, según la referencia 29, de σ k = 0,82 , y μ t es la viscosidad turbulenta que se calcula con la ecuación (3.57) del modelo k-ε, para el cual C μ = 0,09 . Para modelar el tensor deformación debido a la presión, φij , se puede utilizar el modelo lineal propuesto en las referencias [27, 30,31]: φij = φij1 + φij2 + φijw , (3.89) donde: φij1 : Término de bajas deformaciones por presión. φij2 : Término de rapidez de deformaciones por presión. φijw : Término reflección en la pared. El término de bajas deformaciones por presión, φij1 , se calcula mediante la siguiente relación: 2 ε⎛ ⎞ φij1 = −C1 ρ ⎜ ui′u ′j − kδ ij ⎟ , k⎝ 3 (3.90) ⎠ donde C1 = 1,8 . Por otra parte, el término de rapidez de deformaciones por presión, φij2 , se calcula con la siguiente ecuación: ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ φij2 = −C 2 ⎜ Pij + Fij + Bij − Cij − δ ij (P + B − C )⎟ , 2 3 (3.91) donde Pij , Fij , Bij y Cij son los términos definidos en la ecuación (3.86), C 2 = 0,6 , P = 12 Pkk , G = 12 Gkk y C = 12 Ckk . También, el término reflección en la pared, φijw , se define como: 3 3 3 ε⎛ ⎞ k 2 φ = C1′ ⎜ u k′ u m′ n k n mδ ij − u i′u k′ n j n k − u ′j u k′ ni n k ⎟ k⎝ 2 2 ⎠ C l dε w ij 3 (3.92) 3 3 ⎛ 2 ⎞ k 2 n k n m δ ij − φ ik2 n j n k − φ jk2 ni n k ⎟ , + C 2′ ⎜ φ km 2 2 ⎝ ⎠ C l dε 49 Capítulo 3. Fundamentos del Flujo de Fluidos. donde C1′ = 0,5 , C 2′ = 0,3 , nk es el vector unitario normal a la pared en xk , d es la distancia 3 normal a la pared y Cl = Cμ 4 κ , donde C μ = 0,09 y κ = 0,41 . El término φijw es el responsable de la redistribución de los esfuerzos normales cerca de la pared, por lo que es importante cuando se analizan capas límites, sin embargo, si este efecto no se estudia éste término se puede despreciar. Cuando el flujo que se analiza es a bajo número de Reynolds, Launder y Shima [32], recomienda que se utilicen las siguientes constantes para los modelos anteriores: ( ) C1 = 1 + 2,58 A A 2 1 − e − (0,0067 Ret ) , (3.93) C2 = 0,75 A , (3.94) 2 C1′ = − C1 + 1,67 , 3 (3.95) ⎛ 2C − 1 ⎞ C 2′ = máx⎜⎜ 0, 3 2 6 ⎟⎟ , C2 ⎠ ⎝ (3.96) donde Re t = ρk 2 2 με es el número de Reynolds turbulento y el parámetro A está en término de los tensores invariantes A2 y A3. A = 1− 9 ( A 2 − A3 ) , 8 (3.97) A2 = aik aki , (3.98) A3 = aik akj a ji , (3.99) donde aij es la parte anisotrópica del tensor esfuerzo de Reynolds, definido como: 2 ρkδ ij − ρ ui′u ′j 3 aij = − . ρk (3.100) En la referencia 33 se presenta una propuesta para calcular φij utilizando un modelo cuadrático. El término que asocia la generación de energía cinética turbulencia debido a las fuerzas de flotación, Bij , se puede calcular utilizando la siguiente ecuación: 50 Capítulo 3. Fundamentos del Flujo de Fluidos. Bij = μ t β ⎛⎜ Prt ⎜⎝ gi ∂T ∂T ⎞⎟ +gj , ∂x j ∂xi ⎟⎠ (3.101) donde Prt es en número de Prandtl turbulento para la energía, cuyo valor típico es de 0,85. La tasa de disipación viscosa, ε ij , se puede calcular por el modelo propuesto por Sarka y Balakrishnan [21]. ε ij = δ ij (ρε + YM ) , 2 3 (3.102) donde YM se calcula por la ecuación (3.65). Como se notara, varios de los términos de la ecuación (3.86) están en función de la energía cinética turbulenta, k, y la disipación de energía cinética turbulenta, ε; así como también la ecuación (3.88) esta en función de la viscosidad turbulenta. Por esta razón, también se deben resolver las ecuaciones de transporte para k y ε, cuya forma en notación tensorial con subíndice son: D ( ρk ) ∂ = Dt ∂x j ⎡⎛ μt ⎢⎜⎜ μ + σk ⎢⎣⎝ ⎞ ∂k ⎤ 1 2 ⎟⎟ ⎥ + (Pii + Bii ) − ρε 1 + 2M t , 2 ∂ x ⎠ j ⎥⎦ (3.103) D( ρε ) ∂ = Dt ∂x j ⎡⎛ μt ⎢⎜⎜ μ + σε ⎣⎢⎝ ⎞ ∂ε ⎤ ε ε2 ⎟⎟ , ⎥ + Cε 1 (Pii + Cε 3 Bii ) − Cε 2 ρ 2k k ⎠ ∂x j ⎦⎥ (3.104) ( ) donde las constantes utilizadas para éste modelo son: σ k = 0,82 ; σ ε = 1,0 ; Cε 1 = 1,44 ; Cε 2 = 1,92 ; y Cε 3 se calcula con la ecuación (3.64). 3.4.3. Modelos Numéricos de Simulación de Flujos Turbulentos. Existen varios métodos numéricos para simulación de flujos turbulentos, entre los más importantes se pueden mencionar: - Simulación Numérica Directa: Sus siglas en ingles son DNS (Direct Numerical Simulation), está basada en resolver la ecuación de Navier-Stokes y consiste en resolver directamente, y de forma explícita, las ecuaciones en todas las escalas que envuelven el flujo turbulento, y que están presentes en el dominio computacional. Por lo anterior, el método es adecuado para bajo números de Reynolds ya que los límites o grados de libertad, N, están relacionados con el número de Reynolds [34,35]: 51 Capítulo 3. Fundamentos del Flujo de Fluidos. ⎧⎪Re 2 N ≈⎨ 9 ⎪⎩Re 4 Flujo 2D (3.105) Flujo 3D - Generación estocástica: Sus siglas en ingles son SG (Stochastic Generation) y buscan generar flujos turbulentos artificiales con unas propiedades estadísticas concretas, sin resolver las ecuaciones de la dinámica de los fluidos. Están basados en la ecuación de Oerstein-Uhlenbeck y una de las técnicas más utilizadas para crear la función de corriente es la de Langevin [36]. - Simulación cinemática: Sus siglas en ingles son KS (Kinematics Simulation) y consiste, al igual que la generación estocástica, en introducir el espectro de energía como parámetro de simulación, además no existe un flujo real de energía entre escalas. La energía de cada escala es establecida por el modelo y se mantiene constante durante toda la simulación. En el método KS el campo de velocidad se crea directamente a partir del espectro. - Simulación de Grandes Remolinos: Sus siglas en ingles son LES (Large Eddy Simulation) y al igual que DNS resuelve la ecuación de Navier-Stoker, pero modifica las ecuaciones de la dinámica de forma que las variables representan el comportamiento del flujo para escalas mayores que la determinada por la discretización del dominio. Las interacciones con las escalas menores se deben modelar. Dado que en éste trabajo, el problema planteado, se resolverá con el modelo k-ε realizable, solo se presentará en forma reducida la descripción del método LES, dada la importancia que hoy tiene este método. 3.4.3.1. Modelo Basado en la Simulación de Grandes Remolino (LES). LES es recomendado para problemas de flujo con alto número de Reynolds y bajo las siguientes circunstancias: - Flujo que tienden a ser inestable, con grandes fluctuaciones en el cizallamiento de la capa límite o desbordamiento de los vórtices. - Flujos no estacionarios con estructura coherentes, como ocurre en los ciclones. - Cuando hay simetría geométrica y de flujo. - Para flujo donde influyen las fuerzas de flotación, con grandes regiones inestables creadas por la transferencia de calor. Por ejemplo, flujo multifásico en tuberías inclinadas. - Cuando hay alta anisotropía en la turbulencia del flujo. - Cuando se requiere una buena representación de la estructura turbulenta del flujo, como el caso de procesos a escalas pequeñas, micro mezclas o reacciones químicas. 52 Capítulo 3. Fundamentos del Flujo de Fluidos. - Cuando se quiere calcular el ruido del flujo, y especialmente cuando la contribución de la banda ancha es importante. - Cuando se requieren calcular las fuerzas de fluctuación, ráfagas de viento, entre otros. LES no es recomendable para problema de flujo alrededor de paredes (flujo de capa límite) dado a los altos requerimiento de resolución y prolongado tiempo de procesamiento en computadoras. LES es poco usado debido a que se requieren ordenadores de alta capacidad de almacenamiento y memoria. Problemas complicados pueden tardar hasta semanas en resolverlo con ordenadores de 8 y 16 procesadores. En la referencia 37 se presenta una descripción detallada de LES, el cual a diferencia de la DNS, no simula explícitamente todas las escalas de la turbulencia, por lo que requiere de algún modelo que represente la transferencia de energía a las escalas pequeñas. El método pasa por definir una función filtro, también llamado filtro Gaussiano, que ésta asocia a un determinado campo f (x, t ) , con malla de tamaño Δx , a fin de definir las ecuaciones de gobierno del flujo a gran escala. Para cualquier flujo, la variable f (x, t ) se puede escribir de la siguiente manera: f = f + f ′, (3.106) donde f es la parte de gran escala, que se define en el dominio como: f (x, t ) = ∫ G (x − x') f (x' , t )dx' = ∫ G (x') f (x − x' , t )dx' , Ω (3.107) Ω donde G (x − x') es la función filtro y Ω es el dominio de flujo (o volumen de control). El filtro G (x − x') , generalmente es una curva Gausssiana de tamaño σ 2 ~ Δx 2 . Siempre que Δx sea constante en toda la malla, esta operación de filtrado conmuta con las derivadas espaciales. Debido a esto, si la variable considerada es la velocidad, la ecuación de continuidad y ecuación de Navier-Stoker para fluido incompresible después de ser filtrada queda de la siguiente manera: ∂ρ ∂ρui + =0, ∂t ∂xi ∂ ∂ (ρui u j ) = − ∂p + ∂ ( ρu i ) + ∂t ∂x j ∂xi ∂x j (3.108) ⎛ ∂u i ⎜μ ⎜ ∂x j ⎝ ⎞ ∂τ ij ⎟− + ρg i + f M ,i , i, j = 1,2,3 , ⎟ ∂x i ⎠ (3.109) donde f M ,i es la fuente de generación de momentum, y τ ij es el tensor de esfuerzo de escala de sub-malla, definido como: 53 Capítulo 3. Fundamentos del Flujo de Fluidos. ( ) ( ( ) ) τ ij = ρ u i u j − u i u j = ρ u i u j + u i u ′j + u j u i′ + u i′u ′j − u i u j . (3.110) Normalmente, el modelo que se utiliza para el tensor de esfuerzo de escala de sub-malla es el siguiente: 1 3 τ ij = τ kk δ ij − 2 μ t S ij , (3.111) donde μ t es la viscosidad turbulenta de la sub-malla y S ij es el tensor de deformación del campo filtrado, definido como: S ij = 1 ⎛⎜ ∂u i ∂u j + 2 ⎜⎝ ∂x j ∂xi ⎞ ⎟. ⎟ ⎠ (3.112) Por otra parte, el modelo que se utiliza para la viscosidad turbulenta de la sub-malla fue propuesto por Smagorinsky [38] y desarrollado por Lilly [39]: μ t = ρL2s S , (3.113) donde: Ls: Longitud de mezcla para la sub-malla. S = C s 2 S ij S ij . (3.114) C s : Constante de Smagorinsky. El valor de C s fue determinado por Lilly y tiene el valor de 0,23 para turbulencia isotrópica homogénea en el sub-rango inercial. Sin embargo, para flujos transitorios o que tienen grandes escalas de fluctuaciones es recomendable usar C s = 1 . La longitud de mezcla para la sub-malla se puede calcular por: 1 Ls = min⎛⎜ κd , C sV 3 ⎞⎟ , ⎝ ⎠ (3.115) donde κ = 0,42 , d es la distancia a la pared cerrada y V es el volumen de la celda computacional. También, en la referencia [40] se propone un modelo para calcular la viscosidad turbulenta de la sub-malla, basada en la teoría de grupos renormalizados (RNG), donde esa viscosidad está dada por: 1 ⎡ ⎞⎤ 3 ⎛ μ s2 μ e ⎜ μ e = μ ⎢1 + H ⎜ 3 − C ⎟⎟⎥ , ⎠⎥⎦ ⎝ μ ⎣⎢ (3.116) 54 Capítulo 3. Fundamentos del Flujo de Fluidos. donde μ e = μ + μ t es la viscosidad efectiva de la sub-malla, y además: μ s = ⎛⎜ C RNGV ⎝ 1 3 ⎞⎟ ⎠ 2 2 S ij S ij , ⎧x , x > 0 , H ( x) = ⎨ ⎩0 , x ≤ 0, (3.117) (3.118) C RNG = 0,157 y C = 100 son constantes. Para regiones de alta turbulencia en el flujo, se tiene que μ t >> μ , μ e ≅ μ s . El modelo RNG es recomendado para flujos con bajo número de Reynolds, como son: flujos transitorios y cerca de la pared. 3.5. Descripción del Método de Volúmenes Finitos. El método de volúmenes finitos es un procedimiento de resolución de ecuaciones diferenciales mediante discretización de dominio. Es muy utilizado en la mecánica de los fluidos para resolver las ecuaciones de continuidad, momentum y energía, entre otras. El método parte de las relaciones integrales en un volumen fluido (finito), para obtener luego las relaciones matemáticas para una partícula fluida, al reducir el volumen a niveles infinitesimales. Independientemente de la dimensionalidad del problema (1D, 2D o 3D) se habla de volúmenes finitos cuando uno se refiere a los trozos (o celdas computacionales) en que se subdivide el dominio. Aquí lo que siempre se obtiene es un balance (entrada + aportes = salida) en cada una de las zonas discretas en las que se ha subdividido el dominio global. De aquí que el proceso comience con la decisión sobre como se va a dividir el dominio, es decir, número, tamaño, y relación de expansión/contracción de los volúmenes discretizados. Después de la integración el procedimiento postula variaciones internodales de la solución que permiten sustituir las derivadas por relaciones algebraicas entre valores nodales. Al comparar el método de volúmenes finitos con el esquema clásico de diferencias finitas, se puede notar que este último utiliza discretizaciones que consideran el valor de las variables en puntos concretos de la malla espacial, mientras que en volúmenes finitos, el dominio de estudio se divide en una serie de celdas, o volúmenes finitos, y las variables utilizadas en el esquema numérico representan el valor medio de las variables dependientes en cada celda en un instante determinado. Para ilustrar como funciona el método, consideremos la discretización de la ecuación de continuidad y momentum, las cuales se escriben en notación tensorial con subíndice como: ∂ ∂ρ (ρu j ) = 0 , + ∂t ∂x j j = 1,2,3 , (3.119) 55 Capítulo 3. Fundamentos del Flujo de Fluidos. ∂ ( ρu i ) ∂ (ρu j ui ) = − ∂p + ∂ + ∂t ∂x j ∂xi ∂x j ⎛ ⎛ ∂u i ∂u j ⎜μ ⎜ + ⎜ e ⎜ ∂x j ∂xi ⎝ ⎝ ⎞⎞ ⎟ ⎟ + ρg i + f M ,i , i, j = 1,2,3 . ⎟⎟ ⎠⎠ (3.120) El primer paso en el proceso de solución de un problema de flujo mediante el método de volúmenes finitos, es realizar la discretización del volumen de control (dominio), es decir, dividir dicho volumen en celdas (volumen finitos), tal como se muestra en la Figura 3.4(a). Las celdas están asociadas con los elementos [Figura 3.4(b)], dado que para construir un volumen finito se requieren varios elementos, y los elementos se forman con nodos. En cuanto a las propiedades, las presiones se definen como una cantidad en el centro de la celda y las velocidades como cantidades en el centro de las caras. Elemento Nodo Nodo N3 Sectores del Elementos Centro del Elemento nj Volumen Finito P3 P2 P1 N2 Centro del Elemento N1 Punto de Integración (b) (a) Figura 3.4. Representación de una malla de volúmenes finitos. (a) Malla y (b) Elemento. Para poder integrar las ecuaciones (3.119) y (3.120) en el volumen finito, éstas se deben escribir en forma integrar mediante el teorema de Divergencia de Gauss, quedando de la siguiente manera: d ρdV + ∫ ρu j dn j = 0 , dt V∫ ∂V ⎛ ∂u i ∂u j d u d V + u u dn = − pdn + ρ ρ μ i ∫∂V j i j ∂∫V j ∂∫V e ⎜⎜ ∂x j + ∂xi dt V∫ ⎝ (3.121) ⎞ ⎟dn j + (ρg i + f M ,i )dV , ∫ ⎟ V ⎠ (3.122) donde V es el volumen finito donde se resuelven las integrales, ∂V es el borde del V y dn j es el elemento diferencial de superficie cuyo vector normal es n j . Las integrales de volúmenes representan las fuentes o acumulaciones de cierta propiedad (masa, momentum, energía, entre otras) y las integrales de superficie representan los flujos a través de las fronteras del volumen finito. 56 Capítulo 3. Fundamentos del Flujo de Fluidos. Las integrales de volumen se discretizan por aproximación de los valores de las propiedades en los sectores de los elementos que están dentro del volumen finito, sumando el aporte de cada uno. Por otra parte, las integrales de superficie se aproximan evaluando las propiedades en los puntos de integración, los cuales se ubican equidistantes alrededor del centro de cada elementos [ver Figura 3.4(b)]. Luego, la forma discreta de las ecuaciones (3.121) y (3.122) son: V dρ = −∑ (ρu j Δn j )Pi , dt Pi V ⎛ ⎛ ∂u ∂u j d ( ρu i ) = −∑ m& Pi (u i )Pi + ∑ ( pΔn j )Pi + ∑ ⎜ μ e ⎜ i + ⎜ ⎜ ∂x j ∂xi dt Pi ⎝ Pi Pi ⎝ (3.123) ⎞ ⎞ ⎟Δn j ⎟ + V ρg i + f M ,i , (3.124) ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ Pi ( ) donde: V : Es el volumen de control (volumen de la celda). Δn j : Superficies del elemento cuya normal esta hacia fuera del volumen de control. m& Pi = (ρu j Δn j )Pi : Es el flujo másico a través de la superficie del volumen de control. 3.5.1. Discretización de los Términos Transitorios. Para discretizar los términos transitorios se pueden utilizar aproximaciones de primer orden, es decir: dρ ρ m +1 − ρ m ≈ , dt Δt (3.125) d (ρu i ) (ρu i ) − (ρu i ) ≈ , dt Δt m +1 m (3.126) donde m es un número entero positivo que representa el paso de tiempo. De acuerdo al instante de tiempo en que se evalúan los términos del lado derecho de las ecuaciones (3.125) y (3.126) se generan dos tipos de formulaciones, la explícita y la implícita. La formulación explícita se obtiene cuando los términos del lado derecho se evalúan en el instante de tiempo anterior, m, originando una única incógnita en el nuevo nivel de tiempo, m+1, por lo que la ecuación se puede resolver explícitamente. Por otro lado, la formulación implícita se obtiene cuando los términos del lado derecho de las ecuaciones (3.125) y (3.126) se evalúan en el nuevo tiempo m+1, lo que origina una ecuación con varias incógnitas. La formulación explícita es más simple en su concepto dado que no da origen a sistemas de ecuaciones, lográndose que la capacidad computacional requerida sea mínima, pero sufre limitaciones relacionadas con el tamaño del paso de tiempo permisible. Por otra parte, la 57 Capítulo 3. Fundamentos del Flujo de Fluidos. formulación implícita no tiene limitación en el tamaño del paso de tiempo, pero requiere gran capacidad computacional al requerir resolver un sistema de ecuaciones. La formulación explícita para la ecuación de continuidad y momentum es: ⎛ ρ m +1 − ρ m V ⎜⎜ Δt ⎝ m ⎞ ⎡ ⎤ ⎟⎟ = − ⎢∑ (ρu j Δn j )Pi ⎥ , ⎣ Pi ⎦ ⎠ (3.127) ⎛ (ρui )m+1 − (ρui )m ⎞ ⎟= V ⎜⎜ ⎟ Δ t ⎝ ⎠ ⎡ ⎛ ⎛ ∂u ∂u ⎢− ∑ m& Pi (u i )Pi + ∑ ( pΔn j ) + ∑ ⎜ μ e ⎜ i + j Pi ⎜ ⎜ ∂x j ∂xi ⎢ Pi Pi Pi ⎝ ⎝ ⎣ ⎞ ⎞ ⎟Δn j ⎟ + V ρg i + f M ,i ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ Pi ( (3.128) m ⎤ ⎥ . ⎥ ⎦ ) La formulación implícita de las ecuaciones anteriores es: ⎛ ρ m +1 − ρ m V ⎜⎜ Δt ⎝ ⎞ ⎤ ⎡ ⎟⎟ = − ⎢∑ (ρu j Δn j )Pi ⎥ ⎣ Pi ⎦ ⎠ m +1 , (3.129) ⎛ (ρui )m+1 − (ρu i )m ⎞ ⎟= V ⎜⎜ ⎟ Δ t ⎝ ⎠ ⎡ ⎛ ⎛ ∂u ∂u ⎢− ∑ m& Pi (u i )Pi + ∑ ( pΔn j ) + ∑ ⎜ μ e ⎜ i + j Pi ⎜ ⎜ ∂x j ∂xi ⎢ Pi Pi Pi ⎝ ⎝ ⎣ ⎞ ⎞ ⎟Δn j ⎟ + V ρg i + f M ,i ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ Pi ( ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ) (2.130) m +1 . Como se puede observar en la formulación implícita, el sistema de ecuaciones diferenciales se transforma en un sistema algebraico de ecuaciones no lineales cuyas incógnitas son u, v, w y p, y que normalmente se resuelven por métodos iterativos. Para aproximar el término transitorio, también se puede utilizar una aproximación de segundo orden, cuya forma es la siguiente: dρ 1 ⎛3 1 ⎞ ≈ ⎜ ρ m + 2 − 2 ρ m +1 + ρ m ⎟ . dt Δt ⎝ 2 2 ⎠ (3.131) 3.5.2. Tamaño Adecuado del Paso de Tiempo. Tanto el método explícito como el implícito requieren que se defina el tamaño del paso en el tiempo, Δt . Sin embargo, aunque el método explícito tiene un costo computacional pequeño corre el peligro de ser inestable si se toma un tamaño de paso de tiempo muy grande. El paso de tiempo depende del tamaño de la celda, y de acuerdo al criterio de Courant-FriedrichsLewy (CFL) este paso se debe escoger de tal forma que [7]: 58 Capítulo 3. Fundamentos del Flujo de Fluidos. Δt ≤ 1 . u v w + + Δx Δy Δz (3.132) Este criterio se puede interpretar como limitar a que la distancia que viaja una partícula de fluido en un solo paso de tiempo no sea mayor a la de una celda computacional. Otro criterio que también se utiliza, es el que relaciona la transferencia de cantidad de movimiento por la viscosidad [7]. Esta relación se expresa de la siguiente manera: 1 Δx 2 Δy 2 Δz 2 , Δt ≤ 2υ Δx 2 + Δy 2 + Δz 2 (3.133) donde υ es la viscosidad cinemática del fluido que esta en la celda computacional. Este criterio se puede interpretar como limitar el transporte de cantidad de movimiento debido a la acción de la viscosidad a no más de una celda computacional en un paso de tiempo. 3.5.3. Funciones de Forma y Tipos de Elementos. La solución del campo de flujo de forma discreta mediante el método de volúmenes finitos nos da los valores de u, v, w y p en los puntos nodales; sin embargo, varios términos de la ecuación de momentum están en término de derivadas parciales que deben ser evaluadas en los punto de integración de los elementos; en ese sentido, se recurre a las mismas funciones de forma utilizadas en el método de los elementos finitos para interpolar dichas derivadas parciales. Las funciones de forma, φi , se seleccionan, de tal modo, que en los puntos nodales el valor de φi ( xi , y j , z j ) = 1 , es decir: ⎧1 ⎩0 φi ( x j , y j , z j ) = ⎨ si si i = j, i ≠ j. (3.134) O que es lo mismo, en cada punto del elemento se cumple que: N ∑ φ ( x, y , z ) = 1 , i =1 i (3.135) donde N es el número de nodos que forman el elemento. Cualquiera de las variables dependientes u, v, w, p, entre otras, se pueden interpolar de la siguiente manera: N u ( x, y , z ) = ∑ u i φ i ( x, y , z ) , (3.136) i =1 59 Capítulo 3. Fundamentos del Flujo de Fluidos. donde u i son los valores de las variables (en éste caso la componente x de la velocidad en cada nodo) en los puntos nodales del elemento. De igual forma, se pueden interpolar las coordenadas de los puntos dentro del volumen de control: N N x = ∑ x i φ i ( x, y , z ) , y = ∑ y i φ i ( x, y , z ) , i =1 i =1 N z = ∑ z i φ i ( x, y , z ) , (3.137) i =1 donde (xi,yi,zi) son las coordenadas de los punto nodales. Los elementos tridimensionales de primer orden que se utilizan para resolver los problemas de flujo son hexaedros, cuñas, pirámides y tetraedros. Estos elementos se describen a continuación. Elementos tipo hexaedros. La Figura 3.5 muestra la forma geométrica del elemento hexaédrico, El mismo está formado por ocho (8) nodos, donde cada uno tiene asociado una función de forma. Las funciones de forma de este elemento son: φ1 (ξ ,η , ζ ) = (1 − ξ )(1 − η )(1 − ζ ) φ 2 (ξ ,η , ζ ) = ξ (1 − η )(1 − ζ ) φ 3 (ξ ,η , ζ ) = ξη (1 − ζ ) φ 4 (ξ ,η , ζ ) = (1 − ξ )η (1 − ζ ) φ 5 (ξ ,η , ζ ) = (1 − ξ )(1 − η )ζ φ 6 (ξ ,η , ζ ) = ξ (1 − η )ζ φ 7 (ξ ,η , ζ ) = ξηζ φ 8 (ξ ,η , ζ ) = (1 − ξ )ηζ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪. ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ (3.138) η η 4 3 8 3 8 7 7 4 1 2 ξ 2 1 5 ζ ξ y 6 (a) ζ 5 x z 6 (b) Figura 3.5. Elemento tipo hexaedro. (a)Elemento en el sistema de coordenadas normalizado y (b) elementos en el sistema de coordenadas rectangular. 60 Capítulo 3. Fundamentos del Flujo de Fluidos. Elementos tipo cuña. El elemento tipo cuña es como el mostrado en la Figura 3.6, y esta formado por seis (6) nodos cuyas funciones de forma son: φ1 (ξ ,η , ζ ) = (1 − ξ − η )(1 − ζ ) φ2 (ξ ,η , ζ ) = ξ (1 − ζ ) φ3 (ξ ,η , ζ ) = η (1 − ζ ) φ4 (ξ ,η , ζ ) = (1 − ξ − η )ζ φ5 (ξ ,η , ζ ) = ξζ φ6 (ξ ,η , ζ ) = ηζ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭ (3.139) η η 3 3 6 6 1 2 ξ 2 1 4 ζ ξ y 5 ζ 4 x z (a) 5 (b) Figura 3.6. Elemento tipo cuña. (a)Elemento en el sistema de coordenadas normalizado y (b) elementos en el sistema de coordenadas rectangular. Elementos tipo pirámide. Los elementos tipos pirámides (Figura 3.7) están formados por cinco (5) nodos cuyas funciones de forma son: φ1 (ξ ,η , ζ ) = (1 − ξ )(1 − η )(1 − ζ ) φ2 (ξ ,η , ζ ) = ξ (1 − η )(1 − ζ ) φ3 (ξ ,η , ζ ) = ξη (1 − ζ ) φ4 (ξ ,η , ζ ) = (1 − ξ )η (1 − ζ ) φ5 (ξ ,η , ζ ) = ζ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬. ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ (3.140) 61 Capítulo 3. Fundamentos del Flujo de Fluidos. η η 4 4 3 3 1 2 ξ 2 1 ξ y ζ 5 5 x ζ z (a) (b) Figura 3.7. Elemento tipo pirámide. (a)Elemento en el sistema de coordenadas normalizado y (b) elementos en el sistema de coordenadas rectangular. Elementos tipo tetraedro. El elemento tipo tetraedro es como el mostrado en la Figura 3.8, el cual esta formado por cuatro (4) nodos cuyas funciones de forma son: φ1 (ξ ,η , ζ ) = 1 − ξ − η − ζ φ2 (ξ ,η , ζ ) = ξ φ3 (ξ ,η , ζ ) = η φ4 (ξ ,η , ζ ) = ζ ⎫ ⎪ ⎪ ⎬. ⎪ ⎪ ⎭ (3.141) η η 3 3 1 2 ξ 2 1 ξ y 4 ζ ζ 4 x (a) z (b) Figura 3.8. Elemento tipo tetraedro. (a)Elemento en el sistema de coordenadas normalizado y (b) elementos en el sistema de coordenadas rectangular. 62 Capítulo 3. Fundamentos del Flujo de Fluidos. 3.5.3.1 .Transformación de Coordenadas. Al observar los elementos tridimensionales, se nota que las funciones de forma están en términos de coordenadas locales normalizadas ( ξ ,η , ζ ), por lo que las ecuaciones (3.136) se deben escribir de la siguiente forma: N u ( x, y, z ) = ∑ uiφi (ξ ( x, y, z ),η ( x, y, z ), ζ ( x, y, z )) , (3.142) i =1 donde se debe garantizar la existencia de una relación biunívoca entre los dos sistemas de coordenadas, la cual se puede representar en forma funcional de la siguiente manera: x = x(ξ ,η , ζ ), y = y (ξ ,η , ζ ) , ξ = ξ ( x, y, z ), η = η ( x, y, z ) , z = z (ξ ,η , ζ ) , (3.143) ζ = ζ ( x, y, z ) . (3.144) De (3.143) se puede demostrar que: ⎫ ∂x ∂x ∂x dξ + dη + dζ ⎪ ∂ζ ∂ξ ∂η ⎪ ⎪ ∂y ∂y ∂y dy = dξ + dη + dζ ⎬ . ∂ξ ∂η ∂ζ ⎪ ⎪ ∂z ∂z ∂z dz = dξ + dη + dζ ⎪ ∂ζ ∂ξ ∂η ⎭ dx = (3.145) O en forma matricial ⎡ ∂x ⎢ ⎡ dx ⎤ ⎢ ∂ξ ⎢dy ⎥ = ⎢ ∂y ⎢ ⎥ ⎢ ∂ξ ⎢⎣ dz ⎥⎦ ⎢ ∂z ⎢ ⎣ ∂ξ ∂x ∂η ∂y ∂η ∂z ∂η ∂x ⎤ ∂ζ ⎥⎥ ⎡dζ ⎤ ∂y ⎥ ⎢ ⎥ dη , ∂ζ ⎥ ⎢ ⎥ ∂z ⎥ ⎢⎣ dξ ⎥⎦ ⎥ ∂ζ ⎦ (3.146) donde la matriz del Jacobiano es: ⎡ ∂x ⎢ ∂ξ ⎢ ∂y J=⎢ ⎢ ∂ξ ⎢ ∂z ⎢ ⎣ ∂ξ ∂x ∂η ∂y ∂η ∂z ∂η ∂x ∂ζ ∂y ∂ζ ∂z ∂ζ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥. ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (3.147) Al despejar las coordenadas locales de (3.146), se obtiene: 63 Capítulo 3. Fundamentos del Flujo de Fluidos. ⎡ dx ⎤ ⎡ dζ ⎤ ⎢ dη ⎥ = J −1 ⎢dy ⎥ , ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ dz ⎥⎦ ⎢⎣ dξ ⎥⎦ (3.148) donde: J −1 ⎡⎛ ∂y ⎢ ⎜⎜ ⎢ ⎝ ∂η 1 ⎢⎛ ∂x = ⎜ J ⎢ ⎜⎝ ∂ζ ⎢ ⎢⎛ ∂ x ⎢ ⎜⎜ ∂η ⎣⎝ ∂z ∂y ∂z ⎞ − ⎟ ∂ζ ∂ζ ∂η ⎟⎠ ∂z ∂x ∂z ⎞ − ⎟ ∂η ∂η ∂ζ ⎟⎠ ∂y ∂x ∂y ⎞ − ⎟ ∂ζ ∂ζ ∂η ⎟⎠ 1 ⎛ ∂y ∂ξ = ⎜ J ⎜⎝ ∂η ∂x 1 ⎛ ∂y ∂ξ = ⎜ J ⎜⎝ ∂ζ ∂y ⎛ ∂y ⎜⎜ ⎝ ∂ζ ⎛ ∂x ⎜⎜ ⎝ ∂ξ ⎛ ∂x ⎜⎜ ⎝ ∂ζ ∂z ∂y ∂z ⎞ − ⎟ ∂ξ ∂ξ ∂ζ ⎟⎠ ∂z ∂x ∂z ⎞ − ⎟ ∂ζ ∂ζ ∂ξ ⎟⎠ ∂y ∂x ∂y ⎞ − ⎟ ∂ξ ∂ξ ∂ζ ⎟⎠ ∂z ∂y ∂z ⎞⎫ − ⎟⎪ ∂ζ ∂ζ ∂η ⎟⎠ ⎪ ∂z ∂ y ∂ z ⎞ ⎪⎪ − ⎟⎬, ∂ξ ∂ξ ∂ζ ⎟⎠ ⎪ ⎛ ∂y ⎜⎜ ⎝ ∂ξ ⎛ ∂x ⎜⎜ ⎝ ∂η ⎛ ∂x ⎜⎜ ⎝ ∂ξ ∂z ∂y ∂z ⎞ ⎤ − ⎟⎥ ∂η ∂η ∂ξ ⎟⎠ ⎥ ∂ z ∂ x ∂ z ⎞ ⎥ , (3.149) − ⎟ ∂ξ ∂ξ ∂η ⎟⎠ ⎥⎥ ∂y ∂x ∂y ⎞ ⎥ − ⎟ ∂η ∂η ∂ξ ⎟⎠ ⎥⎦ (3.150) 1 ⎛ ∂y ∂z ∂ξ ∂ y ∂ z ⎞ ⎪⎪ = − ⎜⎜ ⎟ J ⎝ ∂ξ ∂η ∂z ∂η ∂ξ ⎟⎠ ⎪⎭ ∂η 1 = ∂x J ⎛ ∂x ∂z ∂x ∂z − ⎜⎜ ∂η ∂ζ ⎝ ∂ζ ∂η ⎞⎫ ⎟⎟ ⎪ ⎠⎪ ⎞ ⎪⎪ ⎟⎟ ⎬ , ⎠⎪ ⎞⎪ ⎟⎟ ⎪ ⎠ ⎪⎭ ∂η 1 ⎛ ∂x = ⎜ ∂y J ⎜⎝ ∂ξ ∂η 1 ⎛ ∂x = ⎜ ∂z J ⎜⎝ ∂η ∂z ∂x ∂z − ∂ζ ∂ζ ∂ξ ∂ζ 1 ⎛ ∂x = ⎜ ∂x J ⎜⎝ ∂η ∂ζ 1 ⎛ ∂x = ⎜ J ⎜⎝ ∂ζ ∂y ∂y ∂x ∂y − ∂ζ ∂ζ ∂η ∂z ∂x ∂z − ∂ξ ∂ξ ∂η ∂y ∂x ∂y − ∂ξ ∂ξ ∂ζ ∂ζ ∂x ∂y 1 ⎛ ∂x ∂y = − ⎜⎜ J ⎝ ∂ξ ∂η ∂z ∂η ∂ξ ⎞⎫ ⎟⎟ ⎪ ⎠⎪ ⎞ ⎪⎪ ⎟⎟ ⎬ , ⎠⎪ ⎞⎪ ⎟⎟ ⎪ ⎠ ⎪⎭ (3.151) (3.152) 64 Capítulo 3. Fundamentos del Flujo de Fluidos. ∂x = ∂ξ ∂y = ∂ξ ∂z = ∂ξ N ∑ i =1 N ∑ i =1 N ∑ i =1 ∂φ i , ∂ξ ∂φ i yi , ∂ξ ∂φ i zi , ∂ξ N ∂φ i ∂x , = ∑ xi ∂η ∂η i =1 N ∂φ i ∂y , = ∑ yi ∂η ∂η i =1 N ∂φ i ∂z , = ∑ zi ∂η ∂η i =1 xi N ∂φ i ⎫ ∂x = ∑ xi ∂ζ ∂ζ ⎪⎪ i =1 N ∂φ i ⎪ ∂y = ∑ yi ⎬, ∂ζ ∂ζ ⎪ i =1 N ∂φ i ⎪ ∂z = ∑ zi ⎪ ∂ζ ∂ζ ⎭ i =1 (3.153) donde el Jacobiano, o determinante de la matriz del Jacobiano, de la transformación es: ∂x ∂ξ ∂y J (ξ , η , ζ ) = J = ∂ξ ∂z ∂ξ ∂x ∂η ∂y ∂η ∂z ∂η ∂x ∂ζ ∂y . ∂ζ ∂z ∂ζ (3.154) En general, para calcular las derivadas parciales de la variable u(x,y,z) (o cualquiera otra variable del flujo) dada por la ecuación (3.142) se procede de manera similar, es decir: ∂u N ∂φi = ∑ ui , ∂x i =1 ∂x ∂u N ∂φi = ∑ ui , ∂y i =1 ∂y ∂u N ∂φi = ∑ ui , ∂z i =1 ∂z (3.155) ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬. ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ (3.156) donde: ∂φ i ∂φ i ∂ξ ∂φ i ∂η ∂φ i = + + ∂x ∂ξ ∂ x ∂η ∂ x ∂ζ ∂φ i ∂φ i ∂ξ ∂φ i ∂η ∂φ i = + + ∂y ∂ξ ∂ y ∂η ∂ y ∂ζ ∂φ i ∂φ i ∂ξ ∂φ i ∂η ∂φ i = + + ∂z ∂ξ ∂ z ∂η ∂ z ∂ζ ∂ζ ∂x ∂ζ ∂y ∂ζ ∂z O en forma matricial ⎡ ∂φ i ⎢ ∂x ⎢ ∂φ ⎢ i ⎢ ∂y ⎢ ∂φ i ⎢ ⎣ ∂z ⎤ ⎡ ∂ξ ⎥ ⎢ ∂x ⎥ ⎢ ∂ξ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ∂y ⎥ ⎢ ∂ξ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ ∂z ∂η ∂x ∂η ∂y ∂η ∂z ∂ζ ∂x ∂ζ ∂y ∂ζ ∂z ⎤ ⎡ ∂φ i ⎥ ⎢ ∂ξ ⎥ ⎢ ∂φ ⎥⎢ i ⎥ ⎢ ∂η ⎥ ⎢ ∂φ i ⎥⎢ ⎦ ⎣ ∂ζ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥. ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (3.157) 65 Capítulo 3. Fundamentos del Flujo de Fluidos. 3.5.4. Calidad de la Malla de Volúmenes Finitos. Las transformaciones entre el sistema de coordenadas local y el sistema de coordenadas global, descritas en la sección anterior, tiene que se unívoca para que se puedan realizar. Esto se logra cuando el Jacobiano de la transformación es mayor que cero en todos los elementos de la malla de volúmenes finitos. También se puede garantizar la univocidad de la transformación, sin tener que calcular el Jacobiano, definiendo algunos parámetros geométricos que relacionan la calidad de los elementos, y que miden el grado de deformación del elemento en el sistema de coordenada global. Los parámetros de calidad más utilizados son: - Relación de aspecto. - Relación de las diagonales. - Relación de lados. - Desviación entre los ángulos internos. - Desviación de tamaño. Relación de Aspecto. Para el caso de los elementos tetraedros la relación de aspecto se define como: Q ra = R , 3r (3.158) donde R y r son los radios de las esferas inscrita y circunscrita respectivamente que se forma en el tetraedro. Por definición Qra ≥ 1 , donde Qra = 1 representa un tetraedro equilátero. En los elementos hexaedros, la relación de aspecto se define como: Q ra = max( e1 , e 2 , e 3 ) , min( e1 , e 2 , e 3 ) (3.159) donde e1, e2, e3 son las longitudes promedio de los lados en las direcciones x, y, z respectivamente, y Qra ≥ 1 . Cuando Qra = 1 significa que el elemento es un cubo. Relación de Diagonales. Esta relación es aplicada a elementos hexaédricos y se define como: Q rd = max( d 1 , d 2 , d 3 , d 4 ) , min( d 1 , d 2 , d 3 , d 4 ) (3.160) 66 Capítulo 3. Fundamentos del Flujo de Fluidos. donde d1, d2, d3, d4 son las longitudes de las diagonales de hexaedro y Qrd ≥ 1 . Cuando Qrd = 1 , significa que el elemento es un cubo. Relación de Lados. Esta relación es aplicada a cualquier tipo de elemento y se define como: Q rl = max( l1 , l 2 ,..., l n ) , min( l1 , l 2 ,..., l n ) (3.161) donde l1, l2, …, ln son las longitudes de los lados del elemento, n el número de lados y Qrl ≥ 1 . Cuando Qrl = 1 significa que el elemento es equilátero. Desviación entre los Ángulos Internos. Es una relación normalizada que se puede aplicar a cualquier tipo de elemento y se define como: ⎛ θ max − θ eq θ eq − θ min Q ai = max ⎜ , ⎜ 180 − θ θ eq eq ⎝ ⎞ ⎟, ⎟ ⎠ donde θ max y θ min son los ángulos (en grado) máximos y mínimos respectivamente dentro del elemento, y θ eq es una ángulo característico correspondiente a una celda equilátera. Para elementos tetraédricos θ eq = 60 y para elementos hexaédricos θ eq = 90 . Por definición 0 ≤ Q ai ≤ 1 , donde Q ai = 0 representa un elemento equilátero y Q ai = 1 es un elemento completamente degenerado, en cuyo caso, la transformación de coordenadas no se puede realizar. Este parámetro de calidad es quizá uno de los más usados y se puede caracterizar según la Tabla 3.2. (3.162) Tabla 3.2. Calidad del elemento como función de la desviación de los ángulos internos. Calidad Qai Perfecto Q ai = 0 Excelente 0 < Q ai ≤ 0 , 25 Bueno 0 , 25 < Q ai ≤ 0 , 5 Regular 0 , 5 < Q ai ≤ 0 , 75 Pobre 0 , 75 < Q ai ≤ 0 , 90 Muy Pobre 0 , 90 < Q ai < 1 Degenerado Q ai = 1 Desviación de tamaño. Es una relación normalizada que se puede aplicar a cualquier tipo de elemento y se define como: Q dt = S eq − S S eq , (3.163) 67 Capítulo 3. Fundamentos del Flujo de Fluidos. donde S es el área superficial del elemento y S eq es la máxima área de una celda equilátera de radio circunscrito que es idéntico a los elementos de la malla. Por definición 0 ≤ Q dt ≤ 1 , donde Q dt = 0 representa un elemento equilátero y Q dt = 1 es un elemento completamente degenerado. Hay otros parámetros que permiten medir la calidad de una malla de volúmenes finitos, tanto para volúmenes tridimensionales como bidimensionales, que no se presentan en este trabajo. 68 Capítulo 4 Modelo Matemático En éste capítulo se desarrolla el modelo matemático que se utiliza para realizar la simulación de las turbinas Kaplan que serán instaladas en la central hidroeléctrica “Manuel Piar” en Tocoma. Primeramente se describen los aspectos generales de las centrales hidroeléctricas, las turbinas Kaplan y algunas consideraciones que se deben tomar para simular las turbinas hidráulicas, luego se presentan las simplificaciones matemáticas y geométricas necesarias para desarrollar los modelos matemáticos, posteriormente se describen las estrategias de simulación utilizadas, finalizando el capítulo con presentación de los modelos de volúmenes finitos utilizados en la simulación. 4.1. Generalidades de las Centrales Hidroeléctricas. Las centrales hidroeléctricas son instalaciones que aprovechan la energía potencial contenidas en la masa de agua que transportan los ríos, debido a los saltos o desniveles, para convertirla en energía eléctrica. Para lograr este aprovechamiento energético se utilizan turbinas hidráulicas acopladas a generadores eléctricos. De acuerdo a que si la central tiene o no embalse para almacenamiento de agua, las centrales se dividen en Centrales Fluyentes y Centrales con Regulación. Las Centrales Fluyentes son aquellas donde el caudal del río asegura una aportación regular de agua, y la energía potencial puede ser aprovechada directamente sin necesidad de embalse o formando un embalse muy reducido, tal son los casos en Venezuela, de las Centrales Tocoma, Caruachi y Macagua. Por otro lado, las Centrales con Regulación, son aquellas que requieren de la construcción de un embalse, o lago artificial, que permita almacenar una cantidad importante de agua para los períodos de sequía y así poder disponer de energía durante todo el año, como ocurre en la central hidroeléctrica Guri, cuyo lago tiene una capacidad de almacenamiento de aproximadamente 111,104 km3. El embalse de Guri de una u otra forma regula la generación de las centrales Tocoma, Caruachi y Macagua. Según la estructura de la central hidroeléctrica, existen diferentes esquemas de emplazamientos hidroeléctricos, siempre ajustados a las características orográficas del lugar donde se asienta la central, por ello es que cada central es única en su tipo puesto que las condiciones necesarias para el aprovechamiento del potencial del río varían de un lugar a otro. Capítulo 4. Modelo Matemático. No obstante, todos los esquemas de emplazamiento de centrales hidroeléctricas pueden ser reducidos a dos modelos básicamente, de modo que cada emplazamiento particular suele ser una variante de uno de ellos o una combinación de ambos. El primer modelo o esquema, llamado Aprovechamiento por derivación de las aguas, consiste en desviar las aguas del río mediante una pequeña presa hacia un canal que las conduce con una pérdida de nivel tan pequeña como sea posible hasta un pequeño depósito llamado cámara de carga. De esta cámara arranca una tubería forzada que conduce el agua hasta la casa de máquinas de la central, en donde se encuentran instaladas las turbinas hidráulicas que transforman la energía cinética del agua, en energía mecánica en el eje de la turbina. Posteriormente, el agua es restituida al río aguas abajo utilizando un canal de descarga. El segundo esquema, denominado Aprovechamiento por acumulación de las aguas, consiste en construir en un tramo del río que ofrezca un apreciable desnivel una presa de determinada altura a fin de elevar la energía potencial del agua, llevando su nivel a un punto sensiblemente cercano al extremo superior de la presa. A media altura de la presa, para aprovechar el volumen del embalse en su cota superior, se encuentra la toma de aguas, por cuyos pasajes se conducida el agua a la casa de máquinas, que se encuentra provista del grupo turbinagenerador utilizadas para la generación de la energía eléctrica. La central asociada a este tipo de aprovechamientos suele recibir el nombre de Central de pie de presa. 4.1.1. Componentes de las Centrales Hidroeléctricas. Las condiciones del terreno donde se instalan las centrales hidroeléctricas y el tipo condicionarán la cantidad y las características de los elementos constructivos necesarios para la construcción de la misma; sin embargo, es posible generalizar los elementos que son comunes. Estos elementos son (ver Figura 4.1): - Presa. - Tubería de presión. - Aliviaderos. - Compuertas. - Turbinas. - Canal o tubo de descarga. - Casa de máquinas. Presa: Es una construcción que se levanta en el lecho del río para recoger el agua, produciendo una elevación de su nivel que permite la derivación del cuerpo de agua o bien para almacenarlo regulando el caudal del río. De acuerdo a la finalidad con que fueran construidas, las presas se dividen en dos grandes grupos: presas de derivación y presas de embalse. Las presas de derivación tienen casi siempre una función mixta, almacenar y desviar el agua, y las presas de embalse son aquellas cuyo efecto predominante es la elevación del nivel de agua para su desviación, o por el contrario, el embalse del agua para tener siempre un caudal disponible. 70 Capítulo 4. Modelo Matemático. Embalse (Aguas arriba) Presa Generador Turbina Aguas abajo Tubo de presión Turbo de descarga Figura 4.1. Elementos constitutivos de las centrales hidroeléctricas. Tubería o canal de presión: En las instalaciones hidroeléctricas, las tuberías de presión o tuberías forzadas tienen por objeto conducir el agua a las turbinas cuando, por causa de la altura del salto, se precisa tal disposición para transformar la energía potencial del agua en energía cinética que tiene el fluido al pasar a través de la turbina y al final de la tubería forzada. Para alturas del salto inferiores a unos 15 m, basta con un canal sin carga de presión; sin embargo, cuando la altura del salto es superior al límite citado, suelen emplearse conducciones forzadas. La Figura 4.2 muestra un esquema de los tipos de tubería que se deben construir según el tipo de turbinas a instalar. Embalse Embalse Embalse Tubo de presión Tubo de presión Tubo de presión Turbina Kaplan (a) Turbina Francis (b) Turbina Pelton (c) Figura 4.2. Tipos de tuberías de presión. (a) Central con turbinas Kaplan, (b) Central con turbinas Francis y (c) Central con turbinas Peltón.. Aliviaderos: Tienen por misión liberar parte del agua retenida en el embalse sin que ésta pase previamente por la sala de máquinas. Se encuentran generalmente en la pared principal de la presa y pueden ser de fondo o de superficie (ver Figura 4.3). Las operaciones de alivio son 71 Capítulo 4. Modelo Matemático. llevadas a cabo cuando se producen incrementos importantes en el nivel del embalse o para atender necesidades de riego. A fin de evitar que el agua al quedar liberada pueda causar daños en su caída a los terrenos situados aguas abajo de la presa, se construyen aliviaderos tales que se logre disipar la energía en la caída del agua, para ello, habitualmente se crean cuencos de amortiguación en la zona donde el agua cae en el canal de descarga. Para regular la salida del agua por los aliviaderos, se utilizan compuertas metálicas de gran tamaño. El diseño de los aliviaderos, por último, exige cálculos muy detallados y estudios previos sobre los posibles efectos destructivos del agua, los cuales suelen realizarse en modelos reducidos, aplicando Compuertas posteriormente el factor de escala correspondiente. Radiales Compuertas: Las compuertas son equipos mecánicos utilizados para el control del flujo del agua y mantenimiento en diferentes secciones de la presa. Las diferentes formas de las compuertas dependen de su aplicación. El tipo de compuerta a utilizar dependerá principalmente del tamaño y forma del canal a cerrar, de la cabeza estática, del espacio disponible, del mecanismo de apertura y de las condiciones particulares de operación. Figura 4.3. Aliviadero de Caruachi. Turbinas: Las turbinas son turbomáquinas hidráulicas motoras capaces de convertir energía hidráulica en energía mecánica, modificando la energía total del caudal de fluido que las atraviesa. La transferencia de energía entre el fluido y la turbina se da cuando, el agua al actuar sobre los álabes del rodete impulsa a éste último haciéndolo girar sobre su propio eje. Tabla 4.1. Selección de la turbina de acuerdo a la velocidad específica (Ns). Es entonces cuando la energía mecánica Tipo de Turbinas Ns absorbida por la turbina es utilizada en la generación de energía eléctrica, mediante el Pelton con un inyector De 5 a 30 uso de generadores eléctricos acoplados al Pelton con varios inyectores De 30 a 50 eje de salida de la turbina. Existen muchos Francis lenta De 50 a 100 tipos de turbinas hidráulicas, pero los más Francis normal De 100 a 200 utilizadas son: Pelton, Francis y Kaplan. La Francis rápida De 200 a 300 aplicación de cada tipo de turbina depende de la velocidad específica (Tabla 4.1) y la Francis doble gemela rápida De 300 a 500 altura y caudal del salto (Tabla 4.2) que se Kaplan o de Hélice Más de 500 desea aprovechar. La velocidad específica de define como: Ns = N W& h 5 , (4.1) 4 donde N es la velocidad de giro de la turbina en revoluciones por minutos (rpm), W& es la potencia en el eje o potencia al freno en caballos de vapor (CV) y h es la altura neta del salto en metros (m). 72 Capítulo 4. Modelo Matemático. Tabla 4.2. Selección de la turbina de acuerdo al salto y caudal del salto. Q [m3/s] Tipo de Turbinas H [m] Perton Más de 100 Menos de 10 Francis Lentas: Más de200 Normal: De 20 a 200 Rápidas: Menos de 20 De 10 a 200 Kaplan Menos de 50 Más de 200 Por otra parte, las turbinas se pueden clasificar según el grado de reacción, en turbinas de acción y turbinas de reacción, como el caso de las turbinas Kaplan. El grado de reacción se define como la relación entre la altura de presión (Hp) y la atura total (H) que absorbe la turbina. GR = Hp H . (4.2) Cuando el GR = 0, las turbinas son de acción y si GR > 0 se les llama turbinas de reacción. Canal o tubo de descarga: El canal de descarga, recoge el agua a la salida de la turbina para devolverla nuevamente al río (Figura 4 .1). Casa de Máquinas: En la casa de máquinas de una central hidroeléctrica se instalan los equipos necesarios para la producción de la energía eléctrica, así como la maquinaria auxiliar necesaria para su funcionamiento. Como puede comprenderse, las disposiciones adoptadas para las casas de máquinas son variadísimas y dependen tanto de las circunstancias, como de las condiciones del aprovechamiento hidroeléctrico. 4.1.2. Turbinas Kaplan. Las turbinas Kaplan, son turbomáquinas hidráulicas de reacción y de flujo axial, también se le conoce como turbina de hélice. Las turbinas Kaplan son generalmente utilizadas en centrales hidroeléctricas construidas en ríos donde se manejan grandes caudales en pequeños saltos. Son especialmente recomendadas debido a que dispone dos mecanismos de regulación, uno con las paletas directrices y otro con los álabes del rodete. La doble regulación de una turbina Kaplan hace que ésta sea más costosa que una turbina Francis de igual potencia, por lo que se utilizan en aquellas instalaciones donde se desee conseguir rapidez de giro y máxima facilidad de regulación. Los componentes principales de una turbina Kaplan [41] son (ver Figura 4.4): - Caja espiral o semi-espiral. - Anillo fijo, donde se encuentran instaladas las paletas fijas. - Anillo distribuidor, en éste anillo se encuentran instaladas las paletas directrices móviles. 73 Capítulo 4. Modelo Matemático. - Rodete, se encuentra constituido por el cubo y los álabes que se encuentran instalados en la periferia del primero. - Tubo de Aspiración. Generador Caja semi-espiral Anillo de Distribución Anillo Inferior Paletas Directrices Rodete Anillo de Descarga Tubo de aspiración Figura 4.4. Componentes básicos de una turbina Kaplan. Caja espiral o semi–espiral: Es el pasaje de agua o ducto alimentador con forma de caracol y de sección transversal con geometría variable que circunda al rodete y conduce el agua necesaria para la operación de la turbina al orientarla alrededor del anillo distribuidor. En el caso de centrales hidroeléctricas en las que se manejen caídas netas inferiores o cercanas a los 30 m son recomendados los arreglos con cajas semi–espirales, en cambio para alturas superiores a los 30 m se recomienda el uso de cajas espirales completas. Las paredes de las cajas semi–espirales son construidas de concreto armado y la sección transversal es en general rectangular; mientras que, en las cajas espirales las paredes son de acero reforzado y la sección trasversal es circular. Anillo Distribuidor: Aro concéntrico al eje de la turbina constituido por dos anillos, superior e inferior, rígidamente unidos entre sí por un conjunto de paletas fijas, equidistantes entre ellas y cuya función es la de administrar y dirigir el agua que ingresa a la turbina, dándole el giro inicial necesario para la máxima transferencia de energía en el rodete. Paletas Directrices: Es un conjunto de álabes directores que pueden rotar u orientarse dentro de ciertos límites al girar sobre su propio eje. Tienen como función distribuir y regular el caudal de agua que fluye hacia la turbina. 74 Capítulo 4. Modelo Matemático. Anillo de Descarga: Este anillo tiene forma cilíndrica en su parte superior y forma semiesférica por debajo de la línea central de los álabes del rodete para permitir el giro de estos últimos; es fabricado en acero inoxidable y se encuentra ubicado a la misma altura de los álabes del rodete. Anillo Inferior: Es un aro circular donde se asientan en su parte inferior los muñones de las paletas directrices. Se encuentra atornillado al Anillo de Descarga por su parte inferior y perfectamente concéntrico con éste último. Rodete: Se trata de la pieza fundamental de la turbina, es donde se obtiene la energía mecánica deseada. El rodete de las turbinas Kaplan tiene forma de hélice y se encuentra instalado perfectamente concéntrico con el anillo distribuidor y por debajo de éste. Consta de dos piezas fundamentales: el cubo del rodete y los álabes. Los álabes del rodete en las turbinas Kaplan se encuentran dotados de movimiento dentro de ciertos límites, con lo que al girar sobre su propio eje (perpendicular al eje de giro de la turbina), pueden adaptarse a las condiciones de carga y caudal a las que opere la central. Debido a ésta característica, las turbinas Kaplan son conocidas como turbinas doblemente reguladas y tienen como principal ventaja, que pueden ser Tabla 4.3. Número de álabes de utilizadas en aquellas centrales hidroeléctricas donde la las turbinas Kaplan como función de la velocidad específica. caída neta disponible varíe continuamente. La inclinación Ns Z de los álabes es regulada mediante un servomotor hidráulico instalado en el interior del cubo del rodete. De 400 a 500 7-8 En número de álabes (Z) que tiene un rodete de la turbinas Kaplan esta relacionado con velocidad especifica, de acuerdo a la Tabla 4.3. Por otra parte, la referencia 41 propone una relación (Tabla 4.4) del número de álabes en el rodete como función de la altura neta en el salto. De 500 a 600 6 De 600 a 7500 5 De 750 a 900 4 Mayor de 900 3 Tabla 4.4. Número de álabes de las turbinas Kaplan como función de la altura del salto. Salto neto, H[m] 5 20 40 50 60 70 Z 3 4 5 6 7 8-10 Tubo de Aspiración: Consiste en un ducto acodado que forma parte de la turbina y que la comunica con el canal de descarga. Tiene como misión principal aumentar la presión y recuperar así al máximo la energía cinética a la salida del rodete. 4.2. Simplificaciones Matemáticas, Físicas y Geométricas. La central hidroeléctrica “Manuel Piar” en Tocoma es muy similar a la central “Francisco de Miranda” en Caruachi, dado que las turbinas que se instalaran son de tipo Kaplan, giran a una velocidad nominal muy parecidas de 90 rpm para Tocoma y 94,74 rpm en Caruachi; y las caídas o saltos de agua son también muy parecidas dado que en Tocoma se tendrá 34,65 m y en Caruachi es de 35,6m. También, la estructura civil y los pasajes del fluido desde la toma hasta el tubo de aspiración son muy similares a la central hidroeléctrica Caruachi. 75 Capítulo 4. Modelo Matemático. La diferencia más importante está en que Caruachi tiene 12 turbinas Kaplan de 180 MW y en Tocoma se van a instalar 10 turbinas de 216 MW. La Figura 4.5 muestra la disposición de los componentes que conformarán la central hidroeléctrica Manuel Piar en Tocoma. GRÚA PARA COMPUERTAS DE TOMA GRÚA PARA COMPUERTAS DE MANTENIMIENTO Y REJAS AGUAS ARRIBA UNIDADES CORRIENTE NIV. MÁX. NORMAL 127,0 msnm LÍNEA DE ALTO VOLTAJE NIVEL DE GENERADORES GENERADORES DE 220 MW AGUAS ABAJO REJA DE LA TOMA NIV. MÁX. NORMAL 92,2 msnm TURBINAS KAPLAN DE 216 MW TUBO DE ASPIRACIÓN Figura 4.5. Disposición de los componentes en la central hidroeléctrica Manuel Piar en Tocoma. Los niveles de operación de la central Tocoma para las turbinas Kaplan que se instalarán son los que se muestran en la Tabla 4.5. Tabla 4.5. Niveles de operación de las turbinas Kaplan en Tocoma. Niveles aguas arriba Niveles aguas abajo Caída Neta Condición [msnm] [msnm] [m] Máximo infrecuente 127,50 92,20 37,30 Máximo normal 127,00 92,20 36,00 Promedio o nominal 126,75 91,60 34,65 Mínimo normal 126,00 90,70 33,00 Mínimo infrecuente 124,80 89,40 30,90 76 Capítulo 4. Modelo Matemático. Como se puede observar en la Figura 4.5, se hace casi imposible simular todo el volumen de control de una central hidroeléctrica, desde la toma hasta la descarga, ya los requerimientos computacionales son muy elevados en cuanto a memoria RAM y velocidad de cómputo. Por esta razón, se tienen que hacer simplificaciones en el dominio para poderlo resolver con ordenadores de costos relativamente moderados. En ese sentido, las referencias 42 y 43 recomiendan dos procedimientos bastantes aceptados por la comunidad científica, académica y los fabricantes de turbinas, tales como GE Hydro, VA TECH, entre otros. El primer procedimiento es propuesto Thi Vu [42] y consiste en dividir el volumen de control en dos sub-volúmenes de control, uno que va desde la toma hasta la salida de las paletas directrices, es decir: toma, tubería de presión o forzada, caja espiral o semi-espiral hasta después de las paletas fijas. El segundo sub-volumen de control que va desde la entrada a las paletas directrices hasta la descarga, pasando por el rodete y el tubo de aspiración. Se debe tener en cuenta que las condiciones del flujo a la salida del primer sub-volumen son las condiciones de entrada en el segundo sub-vulumen. Éste procedimiento es muy utilizado por el fabricante de turbina GE Hydro. El segundo procedimiento [43] consiste en dividir el volumen de control en cuatro subvolúmenes (Figura 4.6), el primero que va desde la toma hasta la caja espiral o semi-espiral, el segundo lo representa el distribuidor, el tercero es el rodete o turbina y el cuarto va desde la salida de la turbina hasta la descarga pasando por el tubo de aspiración. Figura 4.6. Volúmenes de control utilizados para simular las centrales hidroeléctricas. 77 Capítulo 4. Modelo Matemático. Es de hacer notar que éste último procedimiento requiere de menor capacidad computacional, por lo que se adoptará para realizar la simulación de la turbina. Como la simulación del rodete se utiliza para construir las curvas características de la turbina, se estudiará previamente la influencia que tiene la inclinación de las paletas directrices en el flujo a la entrada de la turbina por lo que es necesario simular las paletas directrices y el rodete. 4.2.1. Simplificaciones Geométricas. Como se mencionara en la sección anterior, lo ideal para obtener los mejores resultados sería simular todo el volumen de control de la central hidroeléctrica, desde la toma hasta la descarga. Sin embargo, esta misión es casi imposible para los recursos computacionales que se disponen. En ese sentido, se simulará en primer instante el anillo de distribución donde están las paletas directrices, a fin de establecer una relación entre la velocidad de entrada al anillo de distribución y la velocidad de salida de éste, que es la entrada a la turbina, para diferentes caudales de descarga, ángulo en la velocidad de entrada al anillo y ángulos de inclinación de las paletas directrices. Una vez establecida la relación para la velocidad del fluido a la entrada del rodete se procede a simular la turbina para poder construir las curvas características cuyo objetivo se ha planteado en éste trabajo. Es importante aclarar, que antes de analizar el anillo de distribución se debe simular la toma y caja semi-espiral, para poder obtener el perfil de velocidad que se utiliza como condición de entrada en el distribuidor. Como se puede observar en la Figura 4.7, correspondiente a la simulación de toma y caja semi-espiral de las turbinas Kaplan instaladas en la central Caruachi [44], que es similar a la central Tocoma, el módulo de la velocidad varía poco en la entrada del anillo de distribución, aunque la dirección o ángulo de la velocidad respecto a la normal si varia desde aproximadamente 0° a 50°. Figura 4.7. Líneas de corriente desde la toma a la entrada del distribuidor de la central Caruachi. Fuente: Referencia 44. 78 Capítulo 4. Modelo Matemático. La Figura 4.8 presenta la sección transversal de la instalación de las turbinas Kaplan en la central Tocoma, allí se muestran las alturas respecto al mar de la ubicación del anillo de distribución y la turbina, a partir de los cuales, se construyen los volúmenes de control que se utilizarán en las simulaciones. Figura 4.8. Sección transversal de la turbina a instalar en Tocoma. Fuente: Planos del Proyecto Tocoma. 4.2.1.1. Simplificaciones al Volumen de Control del Distribuidor. El anillo de distribución esta conformado por veinticuatro (24) paletas directrices distribuidas uniformemente en forma radial, lo que garantiza una periodicidad geométrica radial. Por otra parte, de acuerdo a los resultados obtenidos en la referencia 44, la inclinación del vector velocidad a la entrada del anillo de distribución varía a lo largo de la dirección tangencial, por lo que no es posible establecer periodicidad en esa dirección. Sin embargo, por limitaciones de capacidad computacional se considerara la periodicidad en la dirección tangencial (llamada periodicidad rotacional), por lo que el volumen de control tomado será de un veinticuatroavo del anillo de distribución, tal como se muestra en la Figura 4.9. 79 Capítulo 4. Modelo Matemático. Para validar la simplificación realizada, se analizará en el capítulo 4, el efecto que tiene la inclinación del vector velocidad en el perfil de velocidad a la salida del anillo de distribución (entrada a la turbina). Figura 4.9. Vista tridimensional del volumen de control ocupado por el anillo de distribución. En azul oscuro el volumen de control estudiado. Figura 4.10. Vista tridimensional del volumen ocupado por el rodete. En azul oscuro el volumen de control estudiado. 4.2.1.2. Simplificaciones al Volumen de Control del Rodete. Las turbinas Kaplan que se instalarán en la central hidroeléctrica Tocoma, tendrán cinco álabes separados equidistantes en forma radial lo que garantiza la existencia de periodicidad geométrica rotacional, de igual forma, también se considerará periodicidad rotacional. En ese sentido, el volumen de control que se analizará estará representado por una quinta parte del volumen ocupado por toda la turbina, tal como se muestra en la Figura 4.10. 4.2.2. Simplificaciones Físicas y Matemáticas. Antes de describir las simplificaciones físicas y matemáticas que se realizan a los modelos que se utilizaran para la simulación, se presentan a continuación las propiedades de agua y otras variables utilizadas para dicha simulación: - Densidad, ρ = 996,43 kg / m 3 . - Viscosidad dinámica, μ = 0,894 x10 −3 N .s / m 2 . - Aceleración de gravedad local, g = 9,781 m / s 2 . - Profundidad del anillo de distribución respecto a la superficie libre aguas arriba, h = 47,5 m . 80 Capítulo 4. Modelo Matemático. - Profundidad del rodete respecto a la superficie libre aguas arriba, h = 51,5 m . Las simplificaciones que se hacen al modelo de las paletas directrices son las siguientes: - Existe periodicidad rotacional tanto geométrica como fluidodinámica, por lo que se toma un veinticuatroavo del volumen del distribuidor. - La velocidad de entrada al distribuidor es uniforme. - El flujo es turbulento, y se utiliza el modelo “k-ε realizable” para simular el comportamiento del mismo. - La rugosidad de las paletas directrices es de 3,2 μm . - La superficie superior e inferior del distribuidor tiene una rugosidad de 12,5μm . Por otra parte, las simplificaciones que se hace al modelo del rodete son las siguientes: - Existe periodicidad rotacional tanto geométrica como fluidodinámica, por lo que se toma un quinto del volumen del distribuidor. - La velocidad de entrada del rodete es la misma de salida del distribuidor. - El flujo es turbulento, y se utiliza el modelo “k-ε realizable” para simular el comportamiento del mismo. - La rugosidad de los álabes del rodete del lado succión es de 3,2μm . - La rugosidad de los álabes del rodete del lado presión es de 3,2 μm a 6,3μm . - La rugosidad de las superficie del cubo es de 12,5μm . 4.3. Modelo Matemático y Dominio del Problema. 4.3.1. Modelo de las Paletas Directrices. La Figura 4.11 muestra el volumen de control (VC) y las condiciones de borde (CB) que se utilizaron para modelar el distribuidor (o paletas directrices). En el mismo se destaca que la velocidad de entrada se define en el borde ∂Ω ent , y es uniforme, la presión se especifica en la superficie de salida ∂Ω sal , las superficies de periodicidad están definidas por ∂Ω s , el álabe se define por la superficie ∂Ω a y las paredes superiores e inferiores del distribuidor son, respectivamente, ∂Ω sup y ∂Ω inf . La formulación matemática del problema de borde para resolver el flujo de agua a través del distribuidor de las turbinas Kaplan a instalar en Tocoma, se puede realizar de la siguiente r manera: Determinar el campo de velocidad V ( x, y, z ) y la caída de presión (o distribución de presión) p( x, y, z ) , tal que satisfaga: 81 Capítulo 4. Modelo Matemático. 1. Las ecuaciones diferenciales (4.3), (4.4), (4.5) y (4.6), mostradas más adelante y expresadas en notación tensorial con subíndices, dentro del volumen de control ΩVC mostrado en la Figura 4.11, y cuyo fluido es agua, la cual se considera como un fluido incompresible: ∂Ω a ∂ Ω sup ∂ Ω ent ∂Ω s Ω VC ∂Ω s (c) (b) ∂ Ω inf ∂ Ω sal (a) (e) (d) (f) Figura 4.11. Volumen de control utilizado para modelar el distribuidor a diferentes ángulos de inclinación (o apertura) de las paletas directrices: (a) 0°, (b) 15°, (c) 30°, (d) 45°, (e) 60° y (f) 75°. ∂u i = 0, ∂xi (4.3) Du i 1 ∂p μ ∂ ⎛⎜ ∂u i ∂u j =− + + Dt ρ ∂xi ρ ∂x j ⎜⎝ ∂x j ∂xi ⎞ ∂ ⎟+ − u i′u ′j + g i ; ⎟ ∂x j ⎠ ( ) (4.4) μt D( ρk ) ∂ ⎡⎛ = ⎢⎜⎜ μ + Dt ∂xi ⎣⎝ σk ⎞ ∂k ⎤ ⎟⎟ ⎥ + Pk + Bk − ρε − YM ; ⎠ ∂xi ⎦ (4.5) μt ∂ ⎡⎛ D( ρε ) = ⎢⎜⎜ μ + ∂xi ⎣⎝ σε Dt ⎞ ∂ε ⎤ ⎛ ε2 ⎟⎟ ⎥ + ρC1 Sε − ρC2 ⎜⎜ ⎝ k + υε ⎠ ∂xi ⎦ ⎞ ε ⎟⎟ + Cε 1Cε 3 Bk ; k ⎠ (4.6) donde: 82 Capítulo 4. Modelo Matemático. − u i′u ′j = μ t = ρC μ μt ρ ⎛ ∂u i ∂u j ⎜ + ⎜ ∂x ⎝ j ∂xi k2 ⎞ 2⎛ ⎞ ⎟ − ⎜ k + μ t ∂u i ⎟δ ij ; ⎟ 3⎜ ρ ∂xi ⎟⎠ ⎝ ⎠ ; ε ⎛ η ⎞ C1 = máx⎜⎜ 0,43; ⎟; η + 5 ⎟⎠ ⎝ k η=S ; ε C1ε = 1,44 y C 2 = 1,9 : Son constantes; σ k = 1,0 y σ ε = 1,2 : Son los número de turbulencia de Prandtl de k y ε, respectivamente; Pk : es la generación de energía cinética turbulenta debido al gradiente de velocidad; Bk : Generación de energía cinética turbulenta debido a las fuerzas de flotación; YM = 0 : Es la contribución de las fluctuaciones por dilatación de los fluidos compresibles. 2. Y las condiciones de borde siguientes (mostradas en las Figura 4.11): U = U ent ∂Ω ent ; en (4.7) p = p sal = 0 en ∂Ω sal ; (4.8) U=0 en ∂Ω sup , ∂Ω inf ; (4.9) U=0 en ∂Ω a ; Un θ = Un θ+ π en (4.10) ∂Ω s ; (4.11) 12 donde: U n : Velocidad normal a la superficie; π 12 : Ángulo entre las caras donde se presenta la simetría radial; θ : representa da dirección tangencial; U ent : Velocidad de entrada al volumen de control; g : Aceleración de la gravedad. 83 Capítulo 4. Modelo Matemático. 4.3.2. Modelo del Rodete. El VC utilizado para modelar el rodete y las CB son los mostrados en la Figura 4.12. En la misma se define la velocidad de entrada en el borde ∂Ω ent , la presión se especifica en la superficie ∂Ω sal , las superficies de periodicidad están definidas por ∂Ω s , el rodete o turbina esta definido por la superficie ∂Ω tub y las paredes se especifican por ∂Ω p . La formulación matemática del problema de borde para resolver el flujo de agua a través del rodete de las turbinas Kaplan a instalar en Tocoma, se puede hacer de la siguiente manera: r Determinar el campo de velocidad V ( x, y, z ) y la caída de presión (o distribución de presión) p( x, y, z ) , tal que satisfaga: 1. Las ecuaciones diferenciales (4.3), (4.4), (4.5) y (4.6), presentadas en la sección 4.3.1 y expresadas en notación tensorial con subíndices, dentro del volumen de control ΩVC mostrado en la Figura 4.12, y cuyo fluido es agua, la cual se considera como un fluido incompresible. ∂Ω ent ∂Ω tub ∂Ω s ∂Ω s ∂Ω tub ∂Ω s ∂Ω s ∂Ω p ∂Ω p Ω VC (b) (a) ∂Ω sal Figura 4.12. Volumen de control del rodete: (a) Vista superior y (b) Vista inferior. 2. Y las condiciones de borde siguientes, también mostradas en las Figura 4.12. U = U ent en ∂Ω ent ; ⎛ u2 ⎞ p = p sal = γ ⎜⎜ h − s ⎟⎟ 2g ⎠ ⎝ (4.12) en ∂Ω sal ; (4.13) 84 Capítulo 4. Modelo Matemático. U=0 Un θ ∂Ω p ; en = Un θ+ 2π 5 en (4.14) ∂Ω s ; (4.15) donde: U n : Velocidad normal a la superficie; U ent : Velocidad de entrada al volumen de control; h : Profundidad de la superficie de salida del flujo del volumen de control; u s : Velocidad media del flujo a la salida de la turbina; g : Aceleración de la gravedad. 4.4. Estrategia de Resolución del Problema. La estrategia utilizada para resolver el problema y realizar la simulación se divide en dos, una utilizada para resolver el problema de flujo a través del distribuidor y otra utilizada para resolver el problema de flujo en el rodete o turbina. Estas estrategias se describen a continuación. 4.4.1. Estrategia Utilizada en el Distribuidor. La estrategia a seguir para realizar la simulación del distribuidor se divide en los siguientes pasos: 1. Construcción de los modelos sólidos o volúmenes de control: En esta etapa se utilizó el software de modelación tridimensional SolidEdge y el Gambit 2.2.3. Primeramente se construyó en SolidEdge el volumen de fluido que ocupa el distribuidor y las paletas directrices, posteriormente dichos sólidos fueron exportados al Software Gambit donde se realizaron las operaciones booleanas necesarias para obtener los volúmenes de control mostrados en la Figura 4.13 y cuyas dimensiones se destacan en el modelo que tiene las paletas directrices completamente abiertas (cero grados de inclinación). 2. Generación de los modelos de volúmenes finitos: El generador de malla utilizado fue el Gambit 2.2.3, pero para seleccionar el modelo de volúmenes finitos a utilizar se realizó un estudio de convergencia al modelo cuya paleta directriz estaba completamente abierta (0°), y la misma característica de éste modelo se repitió en los demás modelos garantizando el mismo refinamiento en la malla de volúmenes finitos. Los detalles de los modelos utilizados y del estudio de convergencia se muestran en la sección 4.5 de éste capítulo. 85 Capítulo 4. Modelo Matemático. (c) (b) (a) (d) (e) (f) Figura 4.13. Dimensiones del volumen de control utilizado para modelar el distribuidor a diferentes apertura de las paletas directrices: (a) 0°, (b) 15°, (c) 30°, (d) 45°, (e) 60° y (f) 75°. 3. Resolución de los modelos: Para resolver el problema de flujo se utilizó el modelo de turbulencia k-ε realizable, dado por las ecuaciones (4.5) y (4.6). Este modelo se adapta bien a las zonas cercanas a las paredes y alejadas de ellas; por otra parte, en éste problema sólo se resuelven cuatros ecuaciones diferencias, las dos que corresponden al modelo de turbulencia, la ecuación de continuidad (ec. 4.3) y la ecuación de momentum (ec. 4.4). En el distribuidor, el interés está en poder determinar una relación funcional del perfil de velocidad a la salida del mismo como función de la inclinación de las paletas directrices, el ángulo de inclinación del vector velocidad a la entrada del distribuidor y el caudal. En ese sentido, se resuelve el problema bajo las siguientes condiciones: a. Manteniendo fijo el caudal y el ángulo de inclinación de la velocidad a la entrada del distribuidor se resuelve el problema para ángulos de inclinación de las paletas directrices de 0°, 15°, 30°, 45°, 60° y 75°. b. Manteniendo fijo el caudal y el ángulo de inclinación de las paletas directrices se resuelve el problema para ángulos de inclinación de la velocidad de entrada 0, 30° y 60°. c. Manteniendo fijo el ángulo de inclinación de las paletas directrices y el ángulo de inclinación de la velocidad a la entrada del distribuidor se resuelve el problema para los caudales de 679 m3/s y 561 m3/s, correspondiente a una potencia de 216 MW y 180 MW, respectivamente. 86 Capítulo 4. Modelo Matemático. En la Tabla 4.6 se muestran los valores de las componentes de la velocidad a la entrada del distribuidor para los diferentes caudales, ángulos de las paletas directrices y ángulo de incidencia del vector velocidad respecto a la normal de la superficie de entrada. Tabla 4.6. Componentes de la velocidad a la entrada del distribuidor como función del caudal, ángulo de las paletas directrices y ángulo de la velocidad respecto a la normal. 4. Velocidad a la entrada [m/s] Componente Componente Normal Tangencial Modelo Q[m^3/s] Ángulo Paletas [°] Ángulo Velocidad [°] 1 680,00 0 0 5,00 0,00 2 680,00 15 0 5,00 0,00 3 680,00 30 0 5,00 0,00 4 680,00 45 0 5,00 0,00 5 680,00 60 0 5,00 0,00 6 680,00 75 0 5,00 0,00 7 680,00 0 15 5,00 1,34 8 680,00 0 30 5,00 2,89 9 680,00 0 45 5,00 5,00 10 680,00 0 60 5,00 8,66 11 680,00 45 15 5,00 1,34 12 680,00 45 30 5,00 2,89 13 680,00 45 45 5,00 5,00 14 680,00 45 60 5,00 8,66 15 680,00 75 15 5,00 1,34 16 680,00 75 30 5,00 2,89 17 680,00 75 45 5,00 5,00 18 680,00 75 60 5,00 8,66 19 844,00 0 0 5,73 0,00 20 604,00 0 0 4,10 0,00 21 537,00 0 0 3,65 0,00 22 430,00 0 0 2,92 0,00 Generación de resultados: Una vez resuelto el sistema de ecuaciones generado por la formulación de volúmenes finitos para las condiciones dadas en la Tabla 4.6, se procedió a graficar la velocidad a la salida del distribuidor para establecer la relación funcional con la inclinación de las paletas directrices, la inclinación del vector velocidad a la entrada y el caudal. Esto se mostrará en la sección 5.1 del capítulo 5. 87 Capítulo 4. Modelo Matemático. 4.4.2. Estrategia Utilizada en el Rodete. El procedimiento a seguir para simular el rodete es muy similar al establecido en la sección anterior, la diferencia fundamental radica en que para el rodete lo que interesa es calcular el torque producido por el fluido en la turbina para diferentes velocidades de giro y posición de las paletas directrices, así como la potencia desarrollada por la turbina. Los pasos a seguir son los siguientes: 1. Construcción de los modelos sólidos o volúmenes de control: Al igual que en el distribuidor se utilizó SolidEdge y el Gambit 2.2.3. Con el SolidEdge se construyó el volumen de fluidos y el rodete por separado, y luego se exportó a Gambit donde se realizaron las operaciones booleanas que permitieron obtener el volumen de control mostrado en la Figura 4.14. 2. Generación de los modelos de volúmenes finitos: La malla se realizó con Gambit 2.2.3, pero no se pudo realizar un estudio de convergencia con varios modelos (se utilizaron dos) por limitaciones en la capacidad computacional disponible. La malla obtenida fue la más grande que pudo resolver el ordenador disponible. 3. Resolución de los modelos: Para resolver el problema, al igual que en el distribuidor, se utilizó el modelo de turbulencia k-ε realizable. En éste caso, el interés esta en calcular el momento respecto al eje del rodete (ver Figura 4.14) que ejerce el fluido, a fin de Figura 4.14. Dimensiones del volumen de construir la curva torque y potencia como control utilizado para modelar el Rodete. función de la velocidad angular de la turbina y para cada situación de inclinación de las paletas directrices. Las velocidades de giro de la turbina que se utilizaron para general las curvas de potencia y de torque son: 0 rpm, 90 rpm (velocidad nominal), 100 rpm, 150 rpm, 200 rpm y 250 rpm (velocidad de embalamiento). 4. Generación de resultados: Los resultados que se generan en ésta etapa son el torque y la potencia como función de la velocidad angular de la turbina, y para efecto de futuros 88 Capítulo 4. Modelo Matemático. estudios en el tubo de aspiración también se generará el perfil de velocidad a la salida de la turbina para el caso que el rodete gire a 90 rpm. Estos resultados se mostrarán en la sección 5.3 del capítulo 5. 4.5. Modelos de Volúmenes Finitos. 4.5.1. Modelos de Volúmenes Finitos del Distribuidor. Como se mencionara en la sección 4.4.1 de éste capítulo, para realizar la discretización del distribuidor se realizó un estudio de convergencia, sólo para el volumen de control cuya inclinación de las paletas directrices es de cero grado (0°), con cinco (5) modelos que se muestran en la Figura 4.15, y cuyo número de nodos, cantidad de celdas y calidad de la malla, en base al elemento de peor calidad, se presentan en la Tabla 4.7. (b) (a) (d) (c) (e) Figura 4.15. Modelos de volúmenes finitos utilizados para realizar el estudio de convergencia. (a) Modelo de 421.914 nodos, (b) Modelo de 657.737 nodos, (c) Modelo de 902.793 nodos, (d) Modelo de 1.057.434 nodos y (e) Modelo de 1.223.055 nodos. 89 Capítulo 4. Modelo Matemático. Al observar los modelos de volúmenes finitos utilizados para realizar el estudio de convergencia (Figura 4.15), se nota que la malla está mapeada y está formada por elementos del tipo hexaédrico, donde la calidad de todos los refinamientos es de 0,65. Para realizar el estudio de convergencia se utilizó la norma infinita máxima [45], la cual se define para dominios discretos como: e ∞ = u in +1 − u in en Tabla 4.7. Modelos de volúmenes finitos utilizados para realizar el estudio de convergencia del distribuidor. Modelo Celdas Nodos Calidad de la Malla 1 2 3 4 5 400.888 630.600 869.424 1.020.288 1.181.952 421.914 657.737 902.793 1.057.434 1.223.055 0,649883 0,649883 0,649883 0,649883 0,649883 Ω, (4.16) donde u in y u in +1 es el valor de la variable dependiente (velocidad, presión, etc) en el nodo i en un modelo de cierto refinamiento (n) y un modelo de un refinamiento superior (n+1), respectivamente. La Figura 4.16 muestra la gráfica del error (o norma infinita máxima) como función del número de nodos; allí se puede observar que el modelo de 1.057.434 nodos y 1.020.288 elementos tipo hexaédricos (modelo 4) es lo suficientemente preciso, dado que la desviación máxima de la velocidad (errV) es menor de 0,6 m/s, y que el número de nodos es aceptable, ya que el tiempo de convergencia de la solución es lo suficientemente bueno; en ese sentido, este modelo es el que se selecciona para realizar la simulación. Figura 4.16. Norma infinita como función del número de nodos. Gambit tiene la ventaja de que la malla se puede replicar mediante una macro, por lo que las características de ésta malla se repite para cada uno de los modelos que tienen las paletas directrices inclinada en 15°, 30°, 45°, 60° y 75°, generándose los modelos de volúmenes 90 Capítulo 4. Modelo Matemático. finitos mostrados en la Figura 4.17, donde todos tienen un total de 1.057.434 nodos, 1.020.288 elementos tipo hexaédricos y una calidad en el peor elemento de 0,65. (c) (b) (a) (e) (d) Figura 4.17. Modelo de volúmenes finitos para diferentes ángulos de inclinación de las paletas directrices. (a) 15 °, (b) 30°, (c) 45°, (d) 60° y (e) 75°. 4.5.2. Modelo de Volúmenes Finitos del Rodete. Para establecer el modelo de volúmenes finito que se utilizará para simular el rodete de la turbina, se realizó el estudio de convergencia con tres modelos de 496.890, 635.392 y 1.014.966 nodos (Figura 4.18), cuyas características en cuanto a la calidad de la malla y número de celdas, se muestra en la Tabla 4.8. Tabla 4.7. Modelos de volúmenes finitos utilizados para realizar el estudio de convergencia de la turbina. Modelo Celdas Nodos Calidad de la Malla 1 2 3 1.260.484 1.558.722 2.344.117 496.890 635.392 1.014.966 0,900195 0,945692 0,918055 91 Capítulo 4. Modelo Matemático. (a) (b) (c) Figura 4.18. Modelo de volúmenes finitos del Rodete. (a) 496890 nodos, (b) 635392 nodos y (c) 1014966 nodos. Sin embargo, el tercer modelo no se pudo simular debido a las limitaciones computacionales, por lo que sólo se pudo procesar los dos primeros modelos. Para realizar el estudio de convergencia se asumió un perfil de velocidad uniforme a la entrada de la turbina y se determinó el torque (o momento) respecto al el eje de la turbina, siendo ésta variable la utilizada para calcular el error. El error porcentual en el torque, calculado entre los dos primero modelos fue de 0,724%, siendo éste un valor bastante aceptable, por lo que se toma, el modelo de 635.392 nodos para realizar la simulación. Este modelo tiene un total de 1.558.722 elementos (o celdas) distribuidos en 367.016 hexaédricos (23,55%), 8.960 piramidales (0,57%) y 1.182.746 tetraédricos (75,88%). La calidad de la malla es menor de 0,839. 92 Capítulo 5 Resultados En este capítulo se presentan los resultados obtenidos de la simulación numérica mediante el método de volúmenes finitos de las paletas directrices y el rodete de las turbinas Kaplan que serán instaladas en la Central Hidroeléctrica “Manuel Piar” en Tocoma. Primeramente se describen los resultados del perfil de velocidad a la salida del distribuidor como función de la inclinación de las paletas directrices, el caudal y el ángulo de la velocidad a la entrada del distribuidor, seguidamente se muestran los resultados de la simulación del rodete y se construyen las curvas de torque, potencia, eficiencia y desnivel del embalse como función del caudal y las rpm de la turbina. Finalmente se realiza un análisis de los resultados sobre el comportamiento que tendría las turbinas cuando se instalen en la central hidroeléctrica. 5.1. Perfil de Velocidad a la Salida del Distribuidor. En esta sección se presentan los resultados del perfil de velocidad a la salida del distribuidor, y se analiza la variación del dicho perfil como función de: - La inclinación de las paletas directrices. - Ángulo de incidencia de la velocidad a la entrada del distribuidor. - Y el caudal que pasa a través de las paletas directrices. Para graficar el perfil de velocidad en la salida del distribuidor se utilizará coordenadas cilíndricas, es decir: v r = v r ( r ,θ , z ) ⎫ vθ = vθ (r ,θ , z ) ⎪⎪ , v z = v z ( r ,θ , z ) ⎬ ⎪ V = vr2 + vθ2 + v z2 ⎪⎭ (5.1) donde v r , vθ , v z y V son las componentes radial, tangencia, axial y el módulo de la velocidad, respectivamente. Capítulo5. Resultados. En la salida del distribuidor (ver Figura 5.1) z es constante, por lo que la velocidad sólo depende de r y θ . En ese sentido, las componentes de las velocidades se expresan en forma funcional de la siguiente manera: v r = v r (r ,θ ) ⎫ ⎪ vθ = vθ (r ,θ )⎬ . v z = v z (r , θ ) ⎪⎭ U (5.2) La variación de la velocidad a la salida del distribuidor con respecto a r y θ , se obtendrá graficando el módulo y sus componentes como función del radio, r, para los ángulos θ = 0°; 3,75°; 7,5°; 11,25° y 15° (Figura 5.1). Por otra parte, los perfiles de velocidad a la salida del distribuidor se graficarán en forma adimensional, es decir: un ut H θ = 11,25° θ = 15° Re R z θ θ r θ = 0° θ = 3,75° θ = 7,5° Figura 5.1. Secciones utilizadas graficar el perfil de velocidad. ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ v ⎛r ⎞ = θ ⎜ ,θ ⎟ ⎪ un ⎝R ⎠ ⎪ ⎬, vz ⎛ r ⎞ = ⎪ ⎜ ,θ ⎟ un ⎝R ⎠ ⎪ 2 2 2⎪ ⎛v ⎞ ⎛v ⎞ ⎛v ⎞ ⎪ = ⎜⎜ r ⎟⎟ + ⎜⎜ θ ⎟⎟ + ⎜⎜ z ⎟⎟ ⎪ ⎝un ⎠ ⎝un ⎠ ⎝un ⎠ ⎭ para vr v ⎛r ⎞ = r ⎜ ,θ ⎟ un un ⎝R ⎠ vθ un vz un V un (5.3) donde: u n : Es la componente normal promedio de la velocidad a la entrada del distribuidor (o lo que es lo mismo, la componente radial). R: Es el radio mayor de la sección transversal a la salida del distribuidor, cuyo valor es 4312 mm. r : Es el radio relativo, para lo cual: 1,613 ≤ r ≤ 4,312 (m) ⇒ R 0,384 ≤ r ≤ 1. R 0 ≤ θ ≤ 15° : Es la dirección tangencial. 94 Capítulo5. Resultados. Por otra parte, la componente normal promedio de la velocidad a la entrada del distribuidor se puede relacionar con el caudal que pasa a través del mismo, mediante la ecuación de continuidad, esto es: u n= Q , 2πRe H (5.4) donde: Q: Caudal de entrada al distribuidor. Re: Radio a la entrada del distribuidor. H: La altura del distribuidor (3,18 m). También, se puede establecer una relación entre la velocidad axial promedio a la salida del distribuidor y la componente normal promedio de la velocidad a la entrada del mismo, utilizando la ecuación de continuidad, donde resulta que: vz = 2 Re Hu n , R 2 − Ri2 ( ) (5.5) donde Ri = 1613 mm es el radio más pequeño a la salida del distribuidor, R = 4312 mm es el radio mayor y Re = 6856 mm es el radio de la superficie circular a la entrada del distribuidor. 5.1.1. Efecto de la Inclinación de las Paletas Directrices. Para verificar el efecto de la inclinación de las paletas directrices en el perfil de velocidad a la salida del distribuidor, se muestra en la Figura 5.2 las líneas de corriente (barra de colores según el módulo de la velocidad) para un caudal de 680 m3/s, equivalente a que la componente normal de la velocidad a la entrada del distribuidor sea de 5 m/s, ángulo de incidencia de la velocidad a la entrada del distribuidor de 0° (componente tangencial de la velocidad es nula) e inclinación de las paletas directrices de 0°, 15°, 30°, 45°, 60° y 75°. Se puede observar que la velocidad en la salida del distribuidor varía con el radio, r, pero muy poco con la dirección tangencial, θ . A fin de ilustrar con más detalle la variación de la velocidad a la salida del distribuidor, se muestra en la Figura 5.3 las isocurvas (o contornos de velocidad) a la salida de las paletas directrices y a la salida del distribuidor. Para validar el comentario del párrafo anterior, se presenta en la Figura 5.4 las gráficas del módulo de velocidad adimensional (V/un) a la salida del distribuidor como función del radio adimensional (r/R) y las direcciones tangenciales θ = 0°; 3,75°; 7,5°; 11,25° y 15°; y para las diferentes inclinaciones de las paletas directrices. Allí se observa que para cada inclinación de las paletas directrices, las curvas a diferentes direcciones tangenciales, θ , coinciden en r r 0,384 ≤ ≤ 0,9 y difieren parcialmente entre 0,9 < < 1 como consecuencia del efecto de R R turbulencia y separación del fluido cerca de la pared. El efecto es más pronunciado para inclinaciones de paletas directrices mayores o igual a 45°. 95 Capítulo5. Resultados. V[m/s] V[m/s] (b) (a) V[m/s] V[m/s] (d) (c) V[m/s] V[m/s] (e) (f) Figura 5.2. Líneas de corrientes a través del distribuidor para un caudal de 680 m3/s, velocidad de entrada normal a la superficie e inclinación de las paletas directrices de: (a) 0°, (b) 15°, (c) 30°, (d) 45°, (e) 60° y (f) 75°. 96 Capítulo5. Resultados. V[m/s] V[m/s] (b) (a) V[m/s] V[m/s] (c) (d) V[m/s] V[m/s] (e) (f) Figura 5.3. Curvas de velocidad constante a la salida del distribuidor y el álabe para un caudal de 680 m3/s e inclinación de las paletas directrices de: (a) 0°, (b) 15°, (c) 30°, (d) 45°, (e) 60° y (f) 75°. 97 Capítulo5. Resultados. También se puede observar en las gráficas de la Figura 5.4, que la variación que existe en la r magnitud del módulo de la velocidad en 0,9 < < 1 para las diferentes posiciones R tangenciales, θ , es pequeña, por lo que se puede despreciar éste efecto, y asumir que el módulo de la velocidad a la salida del distribuidor es sólo función del radio r, es decir: 1 ⎛r⎞ V = V⎜ ⎟ . un un ⎝ R ⎠ 3,5 3,5 3,0 3,0 2,5 2,5 V un 2,0 V/Ve 2,0 V/Ve V un (5.6) 1,5 1,5 1,0 1,0 (a) 0,5 (b) 0,5 0,0 0,0 0,3 0,4 0,5 Ang_0° Ang_3.75° 0,6 0,7 Ang_7.5° 0,8 Ang_11.25° 0,9 0,3 1,0 Ang_15° r/R 0,4 0,5 Ang_0° Ang_3.75° 0,6 0,7 Ang_7.5° 0,8 Ang_11.25° 0,9 1,0 r/R Ang_15° 4,5 3,5 4,0 3,0 3,5 2,5 3,0 V un V un V/Ve V/Ve 2,0 1,5 2,5 2,0 1,5 1,0 1,0 (c) 0,5 (d) 0,5 0,0 0,0 0,3 0,4 Ang_0° 0,5 Ang_3.75° 0,6 0,7 Ang_7.5° 0,8 Ang_11.25° 0,9 0,3 1,0 Ang_15° r/R 5,0 8,0 4,5 7,0 0,4 0,5 Ang_0° Ang_3.75° 0,6 0,7 Ang_7.5° 0,8 Ang_11.25° 0,9 1,0 Ang_15° r/R 4,0 6,0 3,5 5,0 3,0 V un 2,5 2,0 V/Ve V/Ve V un 4,0 3,0 1,5 2,0 1,0 (e) 0,5 (f) 1,0 0,0 0,0 0,3 0,4 0,5 Ang_0° Ang_3.75° 0,6 0,7 Ang_7.5° 0,8 Ang_11.25° 0,9 Ang_15° 1,0 r/R 0,3 0,4 0,5 Ang_0° Ang_3.75° 0,6 0,7 Ang_7.5° 0,8 0,9 Ang_11.25° Ang_15° 1,0 r/R Figura 5.4. Módulo de la velocidad a la salida del distribuidor para un caudal de 680 m3/s e inclinación de las paletas directrices de: (a) 0°, (b) 15°, (c) 30°, (d) 45°, (e) 60° y (f) 75°. 98 Capítulo5. Resultados. 0,5 0,5 (a) r/R 0,0 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,3 1,0 r/R 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 -0,5 -0,5 -1,0 -1,0 V/Ve vz un V/Ve vz un (b) 0,0 -1,5 -1,5 -2,0 -2,0 -2,5 -2,5 -3,0 -3,0 -3,5 -3,5 Ang_0° 0,5 Ang_3.75° Ang_7.5° Ang_11.25° Ang_15° (c) r/R 0,0 0,3 Ang_0° 0,5 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Ang_3.75° Ang_7.5° Ang_11.25° Ang_15° (d) r/R 0,0 0,3 1,0 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 -0,5 -0,5 -1,0 -1,0 vz un V/Ve V/Ve vz -1,5 un -1,5 -2,0 -2,0 -2,5 -2,5 -3,0 -3,0 -3,5 -3,5 Ang_0° 0,5 Ang_3.75° Ang_7.5° Ang_11.25° 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Ang_7.5° Ang_11.25° Ang_15° r/R 0,0 r/R 0,0 Ang_3.75° (f) 0,5 (e) 0,3 Ang_0° Ang_15° -0,5 0,3 1,0 -0,5 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 -1,0 -1,5 -1,0 vz un V/Ve V/Ve vz -1,5 un -2,0 -2,0 -2,5 -3,0 -3,5 -2,5 -4,0 -4,5 -3,0 -5,0 -3,5 -5,5 Ang_0° Ang_3.75° Ang_7.5° Ang_11.25° Ang_15° Ang_0° Ang_3.75° Ang_7.5° Ang_11.25° Ang_15° Figura 5.5. Componente axial de la velocidad a la salida del distribuidor para un caudal de 680 m3/s e inclinación de las paletas directrices de: (a) 0°, (b) 15°, (c) 30°, (d) 45°, (e) 60° y (f) 75°. Por otra parte, se presentan en las Figuras 5.5, 5.6 y 5.7 las gráficas de las componentes axial, radial y tangencial de la velocidad, respectivamente, como función del radio r y las direcciones tangenciales θ = 0°; 3,75°; 7,5°; 11,25° y 15°, para las diferentes inclinaciones de las paletas directrices. En general se puede observar que las componentes axiales, radiales y tangenciales prácticamente no varía con la dirección tangencial, θ , en 0,384 ≤ r/R ≤ 0,8 , pero si existe una ligera variación entre 0,8 ≤ r/R ≤ 1 ; donde dicha variación tiende a aumentar para 99 Capítulo5. Resultados. inclinación de las paletas directrices entre 30° y 60°. Sin embargo, dado que la variación de las componentes de la velocidad en 0,8 ≤ r/R ≤ 1 con θ , no es significativa, se puede asumir de nuevo que ellas sólo dependen del radio r, por lo que la relación funcional se puede expresar de la siguiente manera: vr 1 ⎛r⎞ = vr ⎜ ⎟, un un ⎝ R⎠ 0,2 vθ 1 ⎛r⎞ = vθ ⎜ ⎟, un un ⎝R⎠ 0,2 (a) r/R 0,0 0,3 vr un vz 1 ⎛r⎞ vz ⎜ ⎟ . = un un ⎝R⎠ 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,3 1,0 -0,2 -0,4 -0,4 vr un r/R 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 -0,6 -0,8 -0,8 -1,0 -1,0 -1,2 -1,2 -1,4 -1,4 -1,6 -1,6 Ang_0° 0,2 Ang_3.75° Ang_7.5° Ang_11.25° Ang_15° 0,3 Ang_0° Ang_3.75° Ang_7.5° Ang_11.25° Ang_15° 1,0 (c) (d) r/R 0,0 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,5 -0,2 -0,4 vr un 1,0 V/Ve V/Ve (b) 0,0 -0,2 -0,6 (5.7) r/R vr0,0 0,3 un 0,4 V/Ve V/Ve -0,6 -0,8 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 -0,5 -1,0 -1,2 -1,0 -1,4 -1,5 -1,6 Ang_0° 0,2 Ang_3.75° Ang_7.5° Ang_11.25° 1,5 (e) 0,0 0,3 Ang_0° Ang_15° 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Ang_7.5° Ang_11.25° Ang_15° (f) r/R 0,4 Ang_3.75° 1,0 1,0 -0,2 0,5 -0,4 vr 0,0 un 0,3 -0,6 V/Ve V/Ve vr un -0,8 r/R 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 -0,5 -1,0 -1,2 -1,0 -1,4 -1,6 Ang_0° -1,5 Ang_3.75° Ang_7.5° Ang_11.25° Ang_15° Ang_0° Ang_3.75° Ang_7.5° Ang_11.25° Ang_15° Figura 5.6. Componente radial de la velocidad a la salida del distribuidor para un caudal de 680 m3/s e inclinación de las paletas directrices de: (a) 0°, (b) 15°, (c) 30°, (d) 45°, (e) 60° y (f) 75°. 100 Capítulo5. Resultados. 0,25 0,1 r/R 0,0 0,20 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 -0,1 0,15 -0,2 vθ un V/Ve V/Ve vθ un 0,10 -0,3 -0,4 0,05 (a) -0,5 0,00 0,3 0,4 0,5 Ang_0° Ang_3.75° 0,6 0,7 0,8 Ang_7.5° Ang_11.25° 0,1 Ang_0° 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Ang_7.5° Ang_11.25° Ang_15° 0,5 1,0 r/R 0,0 -0,3 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 -0,5 -0,5 vθ un -1,0 V/Ve V/Ve vθ un Ang_3.75° 1,0 r/R -0,1 0,3 (b) -0,6 0,9 r/R 1,0 Ang_15° -0,7 -1,5 -0,9 -2,0 -1,1 -2,5 -1,3 -3,0 (c) -1,5 Ang_0° Ang_3.75° Ang_7.5° Ang_11.25° Ang_15° Ang_0° -0,5 0,3 r/R 0,0 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Ang_7.5° Ang_11.25° 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Ang_15° r/R 0,9 1,0 -1,0 1,0 -0,5 -1,5 -2,0 -1,0 vθ un -1,5 -2,5 -3,0 V/Ve V/Ve Ang_3.75° 0,0 0,5 vθ un (d) -3,5 -2,0 -3,5 -4,0 -2,5 -4,5 -5,0 -3,0 -3,5 -4,0 -5,5 (e) -6,0 (f) -6,5 Ang_0° Ang_3.75° Ang_7.5° Ang_11.25° Ang_15° Ang_0° Ang_3.75° Ang_7.5° Ang_11.25° Ang_15° Figura 5.7. Componente tangencial de la velocidad a la salida del distribuidor para un caudal de 680 m3/s e inclinación de las paletas directrices de: (a) 0°, (b) 15°, (c) 30°, (d) 45°, (e) 60° y (f) 75°. Es importante observar en las gráficas de la Figura 5.7, que la componente tangencial de la velocidad es poco significativa para inclinación de las paletas directrices de 0° pero su magnitud aumenta a media que aumenta la inclinación de las paletas directrices. También se puede observar en las gráficas del módulo de la velocidad, componentes axial, radia y tangencial mostradas en las Figuras 5.4, 5.5, 5.6 y 5.7, respectivamente, que el perfil de velocidad cambia con la inclinación de las paletas directrices, y que para las componentes axial, radial y el módulo de la velocidad, la variación es poco significativa para inclinación de las paletas directrices menores de 30°. 101 Capítulo5. Resultados. Para visualizar con más detalles el efecto de la variación del perfil de velocidad a la salida del distribuidor como función de la inclinación de las paletas directrices, se presenta en la Figura 5.8, las gráficas del módulo, las componentes axial, radial y tangencial de la velocidad como función del radio, para la dirección tangencial θ = 0° e inclinaciones de las paletas directrices de 0°, 15°, 30°, 45°, 60° y 75°. Se observa, que en efecto, la variación del módulo de velocidad, componentes axial, radial y tangencial, se hace más significativo para inclinaciones de las paletas directrices superior a 30°, mientras que se puede despreciar para inclinaciones de paletas directrices inferiores a 30°. 0,5 8 r/R 0,0 7 -0,5 6 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 -1,0 vz un V /V e 5 V /V e V un 4 -1,5 -2,0 -2,5 3 -3,0 2 -3,5 -4,0 1 (a) (b) -4,5 0 -5,0 0,3 0,4 P_0° 0,5 P_15° 0,6 P_30° 0,7 P_45° 0,8 P_60° 0,9 1,0 P_0° P_15° P_30° P_45° P_60° P_75° r/R P_75° 0,5 1,5 0,0 -0,5 0,3 1,0 0,4 0,5 0,6 0,7 P_30° P_45° 0,8 0,9 r/R 1,0 V/Ve -1,0 -1,5 0,5 -2,0 r/R 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 vθ un V /V e vr un 0,0 -2,5 -3,0 -3,5 -4,0 -0,5 -4,5 -5,0 -1,0 -5,5 (c) -6,0 -6,5 -1,5 P_0° (d) P_15° P_30° P_45° P_60° P_75° P_0° P_15° P_60° P_75° Figura 5.8. Perfil de velocidad a la salida del distribuido para diferentes inclinaciones de las paletas directrices: (a) Módulo de la velocidad, componentes (b) axial, (c) radial y (d) tangencial. Para visualizar el comportamiento del efecto que tiene la inclinación de las paletas directrices, se presenta en la Figura 5.9, las curvas del módulo de la velocidad, componentes axial, radial y tangencial de la velocidad como función de la inclinación de las paletas directrices para varias posiciones del radio relativo (o adimensional). Se observa que no es simple establecer una relación funcional del perfil de velocidad como función del ángulo de inclinación de las paletas directrices. 102 Capítulo5. Resultados. α 0,0 8,0 -0,5 0 7,0 10 40 50 60 70 80 -1,5 V 5,0 un 4,0 -2,0 -2,5 vz un -3,0 -3,5 3,0 2,0 (a) 1,0 -4,0 0,0 0 10 20 r/R=0,4 r/R=0,8 30 40 r/R=0,5 r/R=0,9 50 r/R=0,6 60 70 α -4,5 80 (b) -5,0 r/R=0,4 r/R=0,8 r/R=0,7 1,5 1 1,0 0 0,5 -1 r/R=0,5 r/R=0,9 r/R=0,6 r/R=0,7 α 0 10 20 30 40 50 60 70 80 α 0 10 20 30 40 50 60 70 -0,5 vθ -2 un 80 -3 -4 -1,0 -1,5 30 -1,0 6,0 vr 0,0 un 20 -5 (c) (d) -6 -2,0 r/R=0,4 r/R=0,8 r/R=0,5 r/R=0,9 r/R=0,6 r/R=0,7 r/R=0,4 r/R=0,8 r/R=0,5 r/R=0,9 r/R=0,6 r/R=0,7 Figura 5.9. Efecto de la inclinación de las paletas directrices sobre el perfil de velocidad a la salida del distribuidor: (a) Módulo de la velocidad, componentes (b) axial, (c) radial y (d) tangencial. 5.1.2. Efecto del Ángulo de Incidencia de la Velocidad a la Entrada del distribuidor. Para ilustrar el efecto del ángulo de incidencia de la velocidad a la entrada del distribuidor sobre el perfil de velocidad a la salida del mismo, se muestra en la Figura 5.10 las gráficas del módulo de la velocidad en forma adimensional y las componentes axial, radial y tangencial para ángulos de incidencia de la velocidad a la entrada del distribuidor de 0°, 15°, 30°, 45° y 60°, inclinación de las paletas directrices de 0° y caudal de 680 m3/s. Se observa que el perfil de velocidad cambia para ángulos de incidencia superior a 45°, claro que el cambio del perfil no es tan significativo en el módulo de la velocidad y en la componente axial, pero es más importante en la componente radial y tangencial. 103 Capítulo5. Resultados. 4,0 r/R 0,0 0,3 3,5 -0,5 3,0 -1,0 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 vz -1,5 un 2,5 V/Ve V /V e V un 2,0 -2,0 1,5 -2,5 1,0 -3,0 0,5 -3,5 0,0 -4,0 0,3 (a) 0,4 0,5 0° 0,6 15° 0,7 30° 0,8 45° 0,9 60° (b) 1,0 r/R r/R 0,0 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0° 15° 30° 45° 60° r/R 1,0 1,0 0,5 -0,5 vr un V/Ve V /V e vθ 0,0 un 0,3 -1,0 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 -0,5 -1,5 -2,0 -1,0 (c) -1,5 0° 15° 30° 45° 60° (d) 0° 15° 30° 45° 60° Figura 5.10. Velocidad a la salida del distribuidor para inclinación de las paletas directrices de 0°, caudal de 680 m3/s y ángulo de incidencia de la velocidad a la entrada del distribuidor de 0°, 15°, 30°, 45° y 60°. (a) Módulo de la velocidad, componentes (b) axial, (c) radial y (d) tangencial. También se aprecia en las Figuras 5.11 y 5.12, el efecto del ángulo de incidencia de la velocidad a la entrada del distribuidor para un caudal de 680 m3/s e inclinación de las paletas directrices de 45° y 75° respectivamente. Se observa en ambas figuras, que al igual que en el caso anterior, el módulo de la velocidad no cambia de manera importante con el ángulo de incidencia de la velocidad a la entrada del distribuidor; sin embargo, se nota que la variación más importante ocurre para la componente tangencial. Como la variación en el perfil de velocidad a la salida del distribuidor no cambia en forma importante con el ángulo de incidencia de la velocidad a la entrada del mismo, se puede despreciar su efecto, y asumir que el ángulo de incidencia de la velocidad a la entrada del distribuidor no afecta el perfil de velocidad a la salida del mismo. 104 Capítulo5. Resultados. 4,5 0,5 4,0 0,0 r/R 0,3 3,5 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 -0,5 3,0 V/Ve v z -1,0 un V/Ve V 2,5 un -1,5 2,0 1,5 -2,0 1,0 -2,5 0,5 (a) (b) -3,0 0,0 0,3 0,4 0,5 0° 0,6 15° 0,7 30° 0,8 45° 0,9 60° -3,5 1,0 r/R 0° r/R 1,0 15° 30° 45° 60° r/R 0,5 0,0 0,3 0,5 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 -0,5 vr 0,0 un 0,3 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 V/Ve V/Ve vθ -1,0 0,4 1,0 u n -1,5 -0,5 -2,0 -2,5 -1,0 -3,0 (c) (d) -3,5 -1,5 0° 15° 30° 45° 0° 60° 15° 30° 45° 60° Figura 5.11. Velocidad a la salida del distribuidor para inclinación de las paletas directrices de 45°, caudal de 680 m3/s y ángulo de incidencia de la velocidad a la entrada del distribuidor de 0°, 15°, 30°, 45° y 60°. (a) Módulo de la velocidad, Componentes (b) axial, (c) radial y (d) tangencial. 8,0 7,0 -0,5 6,0 -1,0 V u n 4,0 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 v z -2,0 u n -2,5 V/Ve V/Ve 0,3 -1,5 5,0 3,0 -3,0 2,0 1,0 r/R 0,0 -3,5 -4,0 (a) -4,5 0,0 0,3 0,4 0,5 0° 0,6 15° 0,7 30° 0,8 45° 0,9 60° 1,5 1,0 r/R r/R (b) -5,0 0° 15° 30° 45° 60° r/R 0,5 1,0 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 -1,5 vθ u n -2,5 V/Ve V/Ve vr un -0,5 0,3 0,5 0,0 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 -3,5 -0,5 -4,5 -1,0 -5,5 (c) -1,5 (d) -6,5 0° 15° 30° 45° 60° 0° 15° 30° 45° 60° Figura 5.12. Velocidad a la salida del distribuidor para inclinación de las paletas directrices de 75°, caudal de 680 m3/s y ángulo de incidencia de la velocidad a la entrada del distribuidor de 0°, 15°, 30°, 45° y 60°. (a) Módulo de la velocidad, componentes (b) axial, (c) radial y (d) tangencial. 105 Capítulo5. Resultados. 5.1.3. Efectos del Caudal. El efecto del caudal sobre el perfil de velocidad a la salida del distribuidor se puede apreciar v y , θ como en la Figura 5.13, donde se presentan las relaciones V , v z , v r un un un un función del radio y los caudales, para una inclinación de las paletas directrices de 0° y ángulo de inclinación de la velocidad a la entrada del distribuidor de 0°. Se observar que el perfil de velocidad no varía con Q y sólo depende del radio r. 0,0 4,0 0,3 3,0 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 -1,0 V un vz un V/Ve V/Ve 0,4 2,0 -2,0 1,0 -3,0 (a) (b) 0,0 0,3 0,4 0,5 3 3 685 /s 844 /s 785 m MCS 685 m MCS 0,6 0,7 0,8 3 3 604 /s 537 /s 561 m MCS 500 m MCS 0,9 1,0 3 430 /s r/R 400 m MCS -4,0 3 844 /s 785 m MCS 3 3 /s 685 m MCS 604 m /s 561 MCS 0,4 0,5 3 685 /s 685 m MCS 604 /s 561 m MCS 3 3 430 /s r/R 400 m MCS 0,8 0,9 1,0 3 430 /s r/R 400 m MCS 537 /s 500 m MCS 0,3 0,0 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 -0,5 V/Ve vθ 0,2 un V/Ve vr un -1,0 0,1 -1,5 (d) (c) 0,0 -2,0 3 785 844 MCS m /s 3 685 MCS m /s 3 561 604 MCS m /s 3 537 MCS m /s 500 3 430 /s r/R 400 m MCS 0,3 3 844 /s 785 m MCS 0,6 0,7 3 3 537 /s 500 m MCS Figura 5.13. Velocidad a la salida del distribuidor para inclinación de las paletas directrices de 0°, ángulo de incidencia de la velocidad a la entrada del distribuidor de 0° y caudales de 785, 680, 561, 500 y 400 m3/s. (a) Módulo de la velocidad, componentes (b) axial, (c) radial y (d) tangencial. 5.1.4. Relación Funcional de Velocidad a la Salida del Distribuidor. Como se pudo demostrar anteriormente, la velocidad adimensional a la salida del distribuidor sólo depende del radio r y el ángulo de inclinación α de las paletas directrices. En ese sentido, se presenta a continuación las relaciones funcionales para las componentes axial, radial y tangencial de la velocidad adimensional como función del radio y la inclinación de las paletas directrices, que se obtienen a partir de una curva promedio entre todas las direcciones 106 Capítulo5. Resultados. tangenciales. En otras palabras, la curva que se interpola es la resultante de la media de los valores de todas las direcciones tangenciales θ = 0°; 3,75°; 7,5°; 11,25° y 15°. En lo sucesivo, a esta curva se le llamará Curva Real. 5.1.4.1. Relación para Inclinación del las Paletas Directrices entre 0° y 30°. Como se observó anteriormente, el perfil de velocidad no cambia significativamente para inclinación de las paletas directrices menores a 30°, por lo que las componentes de la velocidad a la salida del distribuidor para inclinación de las paletas directrices de 0° ≤ α ≤ 30° , estarán dada por: Componente Axial: 4 3 2 ⎤ vz ⎡ ⎛ r ⎞ ⎛r⎞ ⎛r⎞ ⎛r⎞ = ⎢a4 ⎜ ⎟ + a3 ⎜ ⎟ + a2 ⎜ ⎟ + a1 ⎜ ⎟ + a0 ⎥ u n ⎢⎣ ⎝ R ⎠ ⎝ R⎠ ⎝ R⎠ ⎝ R⎠ ⎥⎦ ⎛R−r⎞ ⎛ r − Ri ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ tanh⎜⎜ tanh⎜⎜ δ δ R R ⎝ 2 ⎠ ⎝ 1 ⎠ si r r ≤ ≤ 1, Ri R (5.8) donde u n se calcula con la ecuación (5.4) y las constantes de la ecuación (5.8) son: R = 4,509 m; a1 = 50,958647; a4 = -42,035424; Ri = 1,746 m; a2 = -116,210339; δ 1 = 0,0043; a0 = -11,169998; a3 = 115,838485; δ 2 = 0,0060. El coeficiente de ajuste de la curva dada por la ecuación (5.8), es: R2 = 0,995585. Componente Radial: 6 5 4 3 2 ⎤ vr ⎡ ⎛ r ⎞ ⎛r⎞ ⎛r⎞ ⎛r⎞ ⎛r⎞ ⎛r⎞ = ⎢b6 ⎜ ⎟ + b5 ⎜ ⎟ + b4 ⎜ ⎟ + b3 ⎜ ⎟ + b2 ⎜ ⎟ + b1 ⎜ ⎟ + b0 ⎥ u n ⎢⎣ ⎝ R ⎠ ⎝R⎠ ⎝R⎠ ⎝R⎠ ⎝R⎠ ⎝R⎠ ⎦⎥ (5.9) ⎛ r − Ri ⎞ ⎛R−r⎞ r r ⎟⎟ tanh⎜⎜ ⎟⎟ tanh⎜⎜ ≤ ≤ 1, si Ri R ⎝ δ4R ⎠ ⎝ δ3R ⎠ donde las constantes de la ecuación (5.9) son: R = 4,509 m; b1 = -611,1121; b4 = 6387,0447; δ 3 = 0,0040; Ri = 1,746 m; b2 = 2516,6934; b5 = -3948,0222; δ 4 = 0,0050. b0 = 59,9603; b3 = -5405,8524; b6 = 1000,4936; El coeficiente de ajuste de la curva dada por la ecuación (5.9), es: R2 = 0,9990. 107 Capítulo5. Resultados. Componente Tangencial: 4 3 2 ⎧⎡ ⎛ r ⎞5 ⎤ ⎛r⎞ ⎛r⎞ ⎛r⎞ ⎛r⎞ c c c c + + + ⎪⎢ 5 ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ + c1 ⎜ ⎟ + c0 ⎥ 4⎜ 3⎜ 2⎜ ⎝ R⎠ ⎝ R⎠ ⎝ R⎠ ⎝ R⎠ ⎪⎢⎣ ⎝ R ⎠ ⎥⎦ ⎪ ⎛ r − Ri ⎞ r r ⎪ ⎟⎟ si ⎜⎜ tanh ≤ ≤ 0,62; ⎪ Ri R vθ ⎪ ⎝ δ5 R ⎠ =⎨ 5 4 3 2 u n ⎪⎡ ⎛ r ⎞6 ⎤ ⎛r⎞ ⎛r⎞ ⎛r⎞ ⎛r⎞ ⎛r⎞ d d d d d d d + + + + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ 6 5 4 3 2 1 0 ⎪ R⎠ R⎠ R⎠ R⎠ R⎠ R⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ ⎢ ⎦⎥ ⎣ ⎪ ⎪ ⎛ R−r ⎞ r ⎪ ⎟⎟ si 0,62 < ≤ 1, tanh⎜⎜ ⎪⎩ R ⎝ δ6 R ⎠ (5.10) donde las constantes de la ecuación (5.10) son: R = 4,509 m; c1 = -844,148185; c4 = 7250,70644; d1 = 1437,5621; d4 = -7105,49464; δ 5 = 0,0065; Ri = 1,746 m; c2 = 3467,42593; c5 = -2941,04488; d2 = -4540,15665; d5 = 3526,16808; δ 6 = 0,0035. c0 = 82,283903; c3 = -7106,01607; d0 = -188,062621; d3 = 7595,80403; d6 = -725,629696; La curva interpolante dada por la ecuación (5.10) tiene un coeficiente de ajuste de R2 = 0,9989. La representación gráfica de las curvas para cada componente de la velocidad a la salida del distribuidor se muestra en la Figura 5.14, donde también se hace la comparación de las curvas obtenida en la simulación (curvas reales) y las curvas interpolantes. 5.1.4.2. Relación para Inclinación del las Paletas Directrices de 45°. Las componentes de la velocidad a la salida del distribuidor para una inclinación de las paletas directrices de 45° están dadas por las siguientes correlaciones: Componente Axial: 5 4 3 2 ⎤ vz ⎡ ⎛ r ⎞ ⎛r⎞ ⎛r⎞ ⎛r⎞ ⎛r⎞ = ⎢a5 ⎜ ⎟ + a4 ⎜ ⎟ + a3 ⎜ ⎟ + a2 ⎜ ⎟ + a1 ⎜ ⎟ + a0 ⎥ u n ⎢⎣ ⎝ R ⎠ ⎝R⎠ ⎝R⎠ ⎝R⎠ ⎝R⎠ ⎥⎦ ⎛ r − Ri ⎞ ⎛ R−r ⎞ r r ⎟⎟ tanh⎜⎜ ⎟⎟ si tanh⎜⎜ ≤ ≤ 1, R R R R δ δ 1 2 i ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (5.11) donde las constantes de la ecuación (5.11) son: 108 Capítulo5. Resultados. r/R 0,0 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 -0,2 -0,5 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 -0,4 -1,0 -0,6 vz -1,5 un vr -0,8 un -1,0 -2,0 -2,5 -3,0 r/R 0,0 1,0 -1,2 -1,4 (a) -1,6 -3,5 Curva Real (b) Interpolante Curva Real Interpolante 0,20 vθ un 0,16 0,12 0,08 0,04 (c) 0,00 0,3 0,4 0,5 Curva Real 0,6 0,7 Interpolante 1 0,8 0,9 Interpolante 2 1,0 r/R Figura 5.14. Comparación de las curvas reales y las interpolantes de las componentes de la velocidad a la salida del distribuidor para inclinación de las paletas directrices entre 0° a 30°. (a) Componente axial, (b) componente radial y (c) componente tangencial. R = 4,509 m; a1 = -1125,53548; a4 = 3278,27525; Ri = 1,746 m; a2 = 3238,6555; a5 = -916,173683; a0 = 153,485493; a3 = -4631,89197; δ 1 = 0,0061; δ 2 = 0,0054. El coeficiente de ajuste de la curva dada por la ecuación (5.11), es: R2 = 0,9968. Componente Radial: 6 5 4 3 2 ⎤ vr ⎡ ⎛ r ⎞ ⎛r⎞ ⎛r⎞ ⎛r⎞ ⎛r⎞ ⎛r⎞ = ⎢b6 ⎜ ⎟ + b5 ⎜ ⎟ + b4 ⎜ ⎟ + b3 ⎜ ⎟ + b2 ⎜ ⎟ + b1 ⎜ ⎟ + b0 ⎥ u n ⎢⎣ ⎝ R ⎠ ⎝R⎠ ⎝R⎠ ⎝R⎠ ⎝R⎠ ⎝R⎠ ⎥⎦ ⎛ r − Ri tanh⎜⎜ ⎝ δ3R ⎞ ⎛R−r⎞ ⎟⎟ tanh⎜⎜ ⎟⎟ δ R ⎝ 4 ⎠ ⎠ si (5.12) r r ≤ ≤ 1, Ri R donde las constantes de la ecuación (5.12) son: R = 4,509 m; Ri = 1,746 m; b0 = -260,004411; 109 Capítulo5. Resultados. b1 = 2359,78995; b4 = -18338,6453; δ 3 = 0,0069; b2 = -8741,31064; b5 = 10384,8948; δ 4 = 0,0024. b3 = 17003,9538; b6 = -2409,39415; El coeficiente de ajuste de la curva dada por la ecuación (5.12), es: R2 = 0,9994. Componente Tangencial: 5 4 3 2 ⎧⎡ ⎛ r ⎞6 ⎤ ⎛r⎞ ⎛r⎞ ⎛r⎞ ⎛r⎞ ⎛r⎞ ⎪⎢c6 ⎜ ⎟ + c5 ⎜ ⎟ + c4 ⎜ ⎟ + c3 ⎜ ⎟ + c2 ⎜ ⎟ + c1 ⎜ ⎟ + c0 ⎥ ⎝ R⎠ ⎝ R⎠ ⎝ R⎠ ⎝ R⎠ ⎝ R⎠ ⎪⎣⎢ ⎝ R ⎠ ⎦⎥ ⎪ ⎛ r − Ri ⎞ r r ⎪ ⎟⎟ si ≤ ≤ 0,83; tanh⎜⎜ ⎪ Ri R vθ ⎪ ⎝ δ5 R ⎠ =⎨ (5.13) 5 4 3 2 u n ⎪⎡ ⎛ r ⎞6 ⎤ ⎛r⎞ ⎛r⎞ ⎛r⎞ ⎛r⎞ ⎛r⎞ ⎪⎢d6 ⎜ R ⎟ + d5 ⎜ R ⎟ + d 4 ⎜ R ⎟ + d3 ⎜ R ⎟ + d 2 ⎜ R ⎟ + d1 ⎜ R ⎟ + d0 ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎪⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎪ ⎛ R−r ⎞ r ⎪ ⎟⎟ si 0,83 < ≤ 1, tanh⎜⎜ ⎪⎩ R ⎝ δ6 R ⎠ donde las constantes de la ecuación (5.13) son: R = 4,509 m; c1 = -13618,6016; c4 = 138851,933; d0 = 801630,661; d3 = -20363124,8; d6 = 1266079,16; Ri = 1,746 m; c2 = 54874,159; c5 = -87163,3806; d1 = -5220352,15; d4 =16463632; δ 5 = 0,0025; c0 = 1393,24697; c3 = -116903,428; c6 = 22591,35; d2 = 14133988,4; d5 = -7081853,99; δ 6 = 0,0028. La curva interpolante dada por la ecuación (5.13 tienen un coeficiente de ajuste de R2 = 0,9987. Las gráficas de las curvas interpolantes para cada componente de la velocidad a la salida del distribuidor para el caso de una inclinación de las paletas directrices de 45°, se muestran en la Figura 5.15; allí también se comparan dichas interpolantes con las curvas obtenida en la simulación (curvas reales). 5.1.4.3. Relación para Inclinación del las Paletas Directrices de 75°. Las correlaciones de las componentes de velocidad para una inclinación de las paletas directrices de 75° son las siguientes: 110 Capítulo5. Resultados. 1,2 0,5 r/R 0,0 -0,5 0,8 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 vr un vz -1,0 un -1,5 0,4 r/R 0,0 0,3 -2,0 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 -0,4 -2,5 -3,0 -0,8 (b) (a) -3,5 -1,2 Curva Real Curva Real Interpolante Interpolante r/R 0,00 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 -0,50 vθ un -1,00 -1,50 -2,00 -2,50 -3,00 (c) -3,50 Curva Real Interpolante 1 Interpolante 2 Figura 5.15. Comparación de las curvas reales y las interpolantes de las componentes de la velocidad a la salida del distribuidor para inclinación de las paletas directrices de 45°. (a) Componente axial, (b) componente radial y (c) componente tangencial. Componente Axial: 6 5 4 3 2 ⎤ vz ⎡ ⎛ r ⎞ ⎛r⎞ ⎛r⎞ ⎛r⎞ ⎛r⎞ ⎛r⎞ = ⎢a6 ⎜ ⎟ + a5 ⎜ ⎟ + a4 ⎜ ⎟ + a3 ⎜ ⎟ + a2 ⎜ ⎟ + a1 ⎜ ⎟ + a0 ⎥ u n ⎢⎣ ⎝ R ⎠ ⎝R⎠ ⎝R⎠ ⎝R⎠ ⎝R⎠ ⎝R⎠ ⎥⎦ ⎛ r − Ri ⎞ ⎛ R−r ⎞ r r ⎟⎟ tanh⎜⎜ ⎟⎟ si tanh⎜⎜ ≤ ≤ 1, Ri R ⎝ δ1 R ⎠ ⎝ δ2R ⎠ (5.14) Donde las constantes de la ecuación (5.14) son: R = 4,509 m; a1 = -2683,626364; a4 = 22688,65894; δ 1 = 0,005; Ri = 1,746 m; a0 = 281,127113; a2 = 10260,95932; a3 = -20465,04166; a5 = -13351,85686; a6 = 3265,632999; δ 2 = 0,002. El coeficiente de ajuste de la curva dada por la ecuación (5.14), es: R2 = 0,9995. 111 Capítulo5. Resultados. Componente Radial: 6 5 4 3 2 ⎤ vr ⎡ ⎛ r ⎞ ⎛r⎞ ⎛r⎞ ⎛r⎞ ⎛r⎞ ⎛r⎞ = ⎢b6 ⎜ ⎟ + b5 ⎜ ⎟ + b4 ⎜ ⎟ + b3 ⎜ ⎟ + b2 ⎜ ⎟ + b1 ⎜ ⎟ + b0 ⎥ u n ⎢⎣ ⎝ R ⎠ ⎝R⎠ ⎝R⎠ ⎝R⎠ ⎝R⎠ ⎝R⎠ ⎦⎥ ⎛ r − Ri tanh⎜⎜ ⎝ δ3R ⎞ ⎛R−r⎞ ⎟⎟ tanh⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ δ4R ⎠ ⎠ si (5.15) r r ≤ ≤ 1, Ri R Donde las constantes de la ecuación (5.15) son: R = 4,509 m; b1 = -2847,45949; b4 = 29317,4196; δ 3 = 0,0027; Ri = 1,746 m; b2 = 11655,6462; b5 = -18052,6874; δ 4 = 0,003. b0 = 282,542629; b3 = -24892,9634; b6 = 4536,3277; La curva dada por la ecuación (5.15) tiene un coeficiente de ajuste de R2 = 0,9991. Componente Tangencial: 6 5 4 3 2 ⎤ vθ ⎡ ⎛ r ⎞ ⎛r⎞ ⎛r⎞ ⎛r⎞ ⎛r⎞ ⎛r⎞ = ⎢c6 ⎜ ⎟ + c5 ⎜ ⎟ + c4 ⎜ ⎟ + c3 ⎜ ⎟ + c2 ⎜ ⎟ + c1 ⎜ ⎟ + c0 ⎥ u n ⎢⎣ ⎝ R ⎠ ⎝ R⎠ ⎝ R⎠ ⎝ R⎠ ⎝ R⎠ ⎝ R⎠ ⎥⎦ ⎛ R−r ⎞ ⎛ r − Ri ⎞ r r ⎟⎟ si ⎟⎟ tanh⎜⎜ tanh⎜⎜ ≤ ≤ 1, Ri R ⎝ δ6 R ⎠ ⎝ δ5R ⎠ (5.16) Donde las constantes de la ecuación (5.16) son: R = 4,509 m; c1 = 212,171135; c4 = -895,282344; δ 5 = 0,004; Ri = 1,746 m; c2 = -767,042451; c5 = -85,561733; δ 6 = 0,0025. c0 = -23,499935; c3 = 1305,00099; c6 = 253,109575; El coeficiente de ajuste de la interpolante dada por la ecuación (5.16), es: R2 = 0,9998. Las gráficas de las curvas interpolantes para cada componente de la velocidad a la salida del distribuidor en el caso de que las paletas directrices estén inclinadas a 75°, se muestran en la Figura 5.16; allí también se comparan dichas interpolantes con las curvas obtenida en la simulación (curvas reales). 112 Capítulo5. Resultados. r/R 0,0 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,0 -1,0 0,6 -2,0 vr 0,2 un vz un -3,0 r/R -0,2 0,3 -4,0 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 -0,6 -5,0 -1,0 (a) -6,0 Curva Real (b) -1,4 Interpolante Curva Real Interpolante r/R 0,00 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 -1,00 -2,00 vθ un -3,00 -4,00 -5,00 -6,00 (c) -7,00 Curva Real Interpolante Figura 5.16. Comparación de las curvas reales y las interpolantes de las componentes de la velocidad a la salida del distribuidor para inclinación de las paletas directrices de 75°. (a) Componente axial, (b) componente radial y (c) componente tangencial. 5.2. Simulación de la Turbina. 5.2.1. Perfil de Velocidad. A fin de visualizar el flujo a través de su paso por la turbina, se muestra en la Figura 5.17 las líneas de corriente para las condiciones de operación de velocidades de giro de la turbina de 0 rpm, 50 rpm, 90 rpm (velocidad nominal), 150 rpm y 250 rpm (velocidad de embalamiento), para un caudal de 680 m3/s e inclinación de las paletas directrices de 0°. Se puede observar que la máxima velocidad ocurre en la zona donde el flujo pasa a través de los álabes; y en ésta zona la velocidad se incrementa a mediada que aumenta la velocidad de giro de la turbina. Es importante destacar, que la velocidad máxima cuando la turbina está detenida esta por el orden de 70,9 m/s y puede alcanzar los 72 m/s cuando la turbina gira a 250 rpm. Cuando la turbina gira a la velocidad nominal (90 rpm), la velocidad máxima del flujo llega a 71,2 m/s. 113 Capítulo5. Resultados. (b) (a) (d) (c) (e) Figura 5.17. Líneas de corriente del flujo a través de la turbina para un caudal de 680 m3/s, inclinación de las paletas directrices de 0° y velocidades de giro de: (a) 0 rpm, (b) 50 rpm, (c) 90 rpm, (d) 150 rpm y (e) 250 rpm. 5.2.2. Distribución de Presión y Esfuerzo Cortante sobre la Turbina. La Figura 5.18 muestra la distribución de presión estática sobre la turbina para las condiciones de operación de velocidades de giro de 0 rpm, 50 rpm, 90 rpm, 150 rpm y 250 rpm, para un caudal de 680 m3/s e inclinación de las paletas directrices de 0°. Se observar, que máxima la presión estática se ubica en la parte superior de los álabes, mientras que la mínima esta en la punta de los mismos. La presión disminuye de forma importante en la punta del álabe, debida a que en la zona adyacente a ésta (fuera de la capa límite) la velocidad del fluido es bastante elevada. Es importante destacar que la presión estática sobre el álabe es la principal causa del torque de salida de la turbina. 114 Capítulo5. Resultados. (b) (a) (c) (d) (e) Figura 5.18. Presión estática sobre la turbina para la condición de operación de 680 m3/s, inclinación de las paletas directrices de 0° y velocidades de giro de: (a) 0 rpm, (b) 50 rpm, (c) 90 rpm, (d) 150 rpm y (e) 250 rpm. 115 Capítulo5. Resultados. (b) (a) (c) (d) (e) Figura 5.19. Esfuerzo cortante sobre la turbina para la condición de operación de un caudal de 680 m3/s, inclinación de las paletas directrices de 0° y velocidades de giro de: (a) 0 rpm, (b) 50 rpm, (c) 90 rpm, (d) 150 rpm y (e) 250 rpm. 116 Capítulo5. Resultados. El esfuerzo cortante sobre la turbina se muestra en la Figura 5.19, para las condiciones de operación de velocidades de giro de 0 rpm, 50 rpm, 90 rpm, 150 rpm y 250 rpm, caudal de 680 m3/s e inclinación de las paletas directrices de 0°. Se observa, que el esfuerzo cortante máximo se ubica en la punta de los álabes, como consecuencia de las altas velocidades que ocurren en la zona adyacente a la capa límite. Es importante comentar que el esfuerzo cortante es el causante de la disminución del torque de salida de la turbina. 5.3. Curvas Característica de la Turbina. Normalmente, a las turbinas Kaplan se le construyen el diagrama de colinas de rendimiento, el cual consiste en graficar las curvas de rendimiento, caudal y rpm como función de la altura de operación del embalse y la potencia de salida de la turbina, para diferentes inclinaciones de las paletas directrices e inclinación de los álabes. En este trabajo sólo se presentaran las curvas de torque, potencia y rendimiento como función del caudal y velocidad de giro de la turbina para el caso particular de inclinación de las paletas directrices de 0°, y se espera en trabajos futuro construir las curvas de colinas de rendimiento mediante simulación numérica. Para construir las curvas características, se calculan numéricamente los parámetros mencionados anteriormente; en ese sentido, el momento respecto a un punto “P” ubicado a lo r largo del eje de rotación de la turbina, M P , está dado por [7]: r r r r r M P = ∫∫ r × pdA − ∫∫ r ×τdA , A (5.17) A donde la integral r r r r ∫∫ r × pdA representa el torque debido a la presión del fluido y ∫∫ r ×τdA es el A A momento debido a los esfuerzos cortante en las superficies de la turbina (torque viscoso). r El torque, T, en el eje de la turbina será la componente axial de M P , es decir: ( ) r T = MP axial . (5.18) Por otra parte, la potencia de salida de la turbina (potencia en el eje) será: πTN W&eje = Tω = , 30 (5.19) donde ω es la velocidad angular de la turbina en rad/s y N la velocidad de giro en rpm (rev/min). La eficiencia de la turbina se determina mediante la relación siguiente [7]: W& T η = & eje & = , Weje + Wv T + Tv (5.20) 117 Capítulo5. Resultados. donde W& v potencia viscosa (energía perdida por efecto de la fricción viscosa) y Tv es el torque viscoso en la superficie de la turbina. A continuación se presentan las curvas de torque, potencia y eficiencia de la turbina como función de la velocidad de giro de la misma y como función del caudal que pasa a través de ella, para el caso de que las paletas directrices se mantenga completamente abierta (inclinación de 0°). 5.3.1. Torque en el Eje de la Turbina. La Figura 5.20 muestra las curvas del torque en el eje de la turbina como función de las rpm, para caudales de operación [Figura 5.20(a)]; y como función del caudal, manteniendo la rpm constante [Figura 5.20(b)]. Se puede observa que el torque depende muy poco de las rpm a la que gira la turbina, pero si depende en forma importante del caudal. (a) T [kN.m] (b) T [kN.m] 80000 78000 70000 68000 60000 58000 50000 48000 40000 38000 30000 28000 20000 18000 0 50 430 mcs 736 mcs 100 537 mcs 844 mcs 150 200 685 mcs 10000 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 250 0 rpm 50 rpm 90 rpm Q [mcs] N [rpm] 150 rpm 250 rpm Figura 5.20. Torque en el eje de la turbina como función (a) de las rpm y (b) el caudal. Si a las curvas de la Figura 5.20(b) se le construye una curva promedio (Figura 5.21), se podrá realizar una interpolación polinómica, y establecer una relación funcional entre el torque y el caudal, para el rango de velocidad en 0 rpm y 250 rpm. Esta relación se puede escribir de la siguiente manera: T = A + BQ + CQ , 2 T [kN.m] 80000 70000 60000 50000 40000 30000 (5.21) donde en torque, T, esta dado en kN.m, el caudal, Q, en m3/s (mcs) y las constantes de la ecuación (5.21) son: 20000 10000 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 Q [mcs] Figura 5.21. Curva promedio del torque en el eje de la turbina como función del caudal en m3/s. 118 Capítulo5. Resultados. A = 9841,2213 kN.m, B = - 37,78636 kN.m/(m3/s), C =0,14034 kN.m/(m3/s)2. El coeficiente de ajuste del polinomio es: R2 = 0,99991. Para analizar con más detalle el porque, el torque en el eje de la turbina depende solamente del caudal, se presenta en la Figura 5.22 la gráfica del torque debido a la presión (torque de presión) como función del caudal para diferentes valores de rpm; allí se observa que el torque de presión básicamente depende del caudal y no depende de las rpm (o su dependencia es despreciable). Se observa también en la Figura 5.22, que el torque debido a la presión (Tp) depende del caudal elevado al cuadrado, es decir: Tp ∝ Q 2 . (5.22) Tp [ kN. m] 1 8000 1 6000 1 4000 1 2000 1 0000 8000 6000 4000 2000 0 4 00 450 500 0 rpm 1 50 rpm 5 50 6 00 650 7 00 7 50 50 rp m 90 rpm 25 0 rpm 80 0 850 N [rp m] Figura 5.22. Curvas del torque de presión como función del caudal, para diferentes valores de rpm. Por otra parte, en la Figura 5.23 se presentan las gráficas del torque debido a los esfuerzos cortante (torque viscoso) como función de las rpm, para diferentes valores de caudal [Figura 5.23(a)]; y como función del caudal, para diferentes valores de rpm [Figura 5.23(a)]. Se puede observar que el torque viscoso tiene una dependencia cuadrática con respecto a las rpm, y de igual forma el torque viscoso también depende del cuadrado del caudal, esto es: Tv ∝ N 2 ∧ Tv ∝ Q 2 . (5.23) (a) Tv [kN.m] 1000 800 800 600 600 400 400 200 200 0 0 50 430 mcs 736 mcs 100 537 mcs 844 mcs (b) Tv [kN.m] 1000 150 200 685 mcs 250 N [rpm] 0 400 450 500 0 rpm 150 rpm 550 600 50 rpm 250 rpm 650 700 750 90 rpm 800 850 N [rpm] Figura 5.23. Torque viscoso como función (a) de las rpm y (b) el caudal. 119 Capítulo5. Resultados. Ahora bien, al comparar las magnitudes del torque viscoso con el torque de presión, se puede observar que el torque de presión es mucho más grande que el torque viscoso, es decir, Tp >> Tv ; y como: T = Tp − Tv ≈ Tp ⇒ T ∝ Q2 , (5.24) donde se demuestra que el torque en el eje de la turbina es una función cuadrática del caudal, tal como se expresó en la ecuación (5.21). 5.3.2. Potencia en el Eje de la Turbina. La Figura 5.24 presenta las curvas de potencia como función de las rpm, para diferentes valores de caudal [Figura 5.24(a)]; y como función del caudal, para diferentes valores de rpm. Se verifica en la Figura 5.24, que la potencia de la turbina depende en forma lineal con las rpm y de forma cuadrática con el caudal, es decir: W&eje ∝ N ∧ W&eje ∝ Q 2 ⇒ W&eje ∝ NQ2 . (a) W [MW] 2000 (5.25) (b) W [MW] 2000 1750 1800 1600 1500 1400 1250 1200 1000 1000 800 750 600 500 400 200 250 0 0 50 100 430 mcs 736 mcs 537 mcs 844 mcs 150 200 685 mcs 250 0 400 N [rpm] 450 500 0 rpm 150 rpm 550 600 50 rpm 250 rpm 650 700 90 rpm 750 800 850 Q [mcs] Figura 5.24. Potencia de salida en el eje de la turbina como función (a) de las rpm y (b) el caudal. Luego, la función de la potencia de potencia se expresa de la siguiente manera: ( ) W&eje = k w A + BQ + CQ2 N , (5.26) donde W& es la potencia en MW, N es la velocidad de giro de la turbina en rpm, Q el caudal en m3/s y las constantes de la ecuación son: kw = 0,01052 MW/rpm; A = 100,43; B= - 0,3935 s/m3; C = 0,0014 s2/m6. El coeficiente de ajuste es: R2 =0,9998. 120 Capítulo5. Resultados. 5.3.3. Eficiencia de la Turbina. El comportamiento de la eficiencia como función de las rpm, para diferentes valores de caudal, se presenta en la Figura 5.25(a); mientras que en la Figura 5.25(b) se muestra el comportamiento de la eficiencia como función del caudal, para diferentes valores de rpm. Se nota, que para un valor fijo de caudal, la eficiencia disminuye con el incremento de las rpm; esto se debe a que cuando se incrementan las rpm la velocidad del fluido respecto a los álabes de las turbina también se incrementa, lo que genera un aumenta del esfuerzos cortante, y en consecuencia un aumento de las perdidas por fricción viscosa. Por otra parte, cuando se incrementa el caudal, manteniendo las rpm constante, la eficiencia aumenta. Esto se debe a que con el aumento del caudal se incrementa el torque debido a la presión estática, haciendo que las perdidas de energía debido a la fricción viscosa se hagan comparativamente más pequeña que la energía neta de salida. Es importante observar en la Figura 5.25(b), una tendencia asintótica de la eficiencia a medida que se incrementa el caudal; sin embargo, la realidad indica que la curva de eficiencia tiene un máximo y luego disminuye como consecuencia del los efectos de cavitación que comienzan aparecer. En el análisis realizado no se tomó en cuenta el efecto de cavitación por lo que no se puede observar este efecto. η [%] η [%] (a) 100 100 98 98 96 96 94 94 92 92 90 90 88 88 86 0 50 430 mcs 736 mcs 100 537 mcs 844 mcs 150 685 mcs 200 250 86 400 N [rpm] (b) 450 500 0 rpm 150 rpm 550 600 50 rpm 250 rpm 650 700 90 rpm 750 800 850 Q [mcs] Figura 5.25. Eficiencia de la turbina como función (a) de las rpm y (b) el caudal. Mediante interpolación polinómicas de las curvas mostradas en la Figura 5.25, se puede establecer una relación funcional de la eficiencia como función del caudal y la velocidad de giro de la turbina. Esta relación es la siguiente: η = kη (Ac + Bc Q + CcQ 2 + Dc Q3 )(An + Bn N + Cn N 2 + Dn N 3 ) , (5.27) donde η es la eficiencia medida en porcentaje, Q es el caudal en m3/s, N es la velocidad de giro de la turbina en rpm y las contantes de la ecuación son: kη = 0,01027; Ac 86,94737; Bc = 0,03573522 s/m3; 121 Capítulo5. Resultados. Cc = -3,96186x10-5 s2/m6; Dc = 1,448393x10-8 s3/m9; Bn = - 0,0112702 rpm-1; Cn = -1,010759x10-4 rpm-2; Dn = 1,706589x10-7 rpm-3. An = 99,15417; El coeficiente de ajuste es: R2 =0,8889. 5.3.4. Desnivel del Salto Requerido por las Turbinas. La relación entre la potencia de salida de las turbinas y el desnivel (o caída) del salto, está dada por la siguiente relación: W&eje = ηγQH ⇒ H= W&eje ηγQ , (5.28) donde: W&eje : Es la potencia en el eje de la turbina o potencia de salida. H : Es el desnivel o caída del salto. η : Es la eficiencia de la turbina. Q : Es el caudal. γ = 9746,08 N / m3 : Es el peso específico del agua. Al graficar la ecuación (5.28) con los datos obtenidos anteriormente se obtienen las curvas de la Figura 5.26, donde se puede observa que el desnivel del salto aumenta con el caudal y las rpm en forma casi lineal. (a) [m] ηH[%] [m] ηH[%] 240 240 200 200 160 160 120 120 80 80 40 40 0 0 50 430 mcs 736 mcs 100 537 mcs 844 mcs 150 685 mcs 200 250 Q [mcs] rpm 0 400 (b) 450 500 550 600 650 700 0 rpm 50 rpm 90 rpm 150 rpm 250 rpm 750 800 850 Q [mcs] Figura 5.26. Desnivel requerido en el salto para operar las turbinas. Desnivel como función de (a) las rpm y (b) el caudal. 122 Capítulo5. Resultados. Se puede construir a partir de los datos obtenidos, una curva interpolante para el desnivel del salto. Esta relación se expresa de la siguiente manera (se prefiere usar una interpolación de segundo orden aunque una de primer orden tendría buenos resultados): ( )( ) H = kh ac + bc Q + cc Q 2 an + bn N + cn N 2 , (5.29) donde H es el desnivel en metro [m], Q es el caudal en m3/s, N es la velocidad de giro de la turbina en rpm y las contantes de la ecuación son: kη = 0,0146 m; ac = 6,864683; bc = 6,628466x10-2 s/m3; cc = 3,498776x10-5 s2/m6; an = 0,1116823; bn = 0,7798764 rpm-1; cn = -2,685717x10-4 rpm-2. El coeficiente de ajuste es: R2 =0,9997. 5.4. Comparación de los Resultados y Aspectos Adicionales. 5.4.1. Punto de Funcionamiento de la Turbina. De acuerdo al diagrama de colinas de rendimiento suministrado por el fabricante Va Tech Hydro (ver Anexo A), para las turbinas Kaplan que serán instaladas en Tocoma, se puede obtener que los parámetros de funcionamiento son: Altura, H = 34,65 m; Velocidad de giro, N = 90 rpm; Caudal de operación, Q = 680 m3/s; Potencia de salida, W& = 216 MW; eje Eficiencia, η = 94,2 %. Es importante hacer notar que los valores de operación antes mencionados son los establecidos en las especificaciones técnicas de la turbina en el Contrato N° 3.1.104.001.03, del Desarrollo Hidroeléctrico del Bajos Caroní, Proyecto Tocoma. Por otra parte, los resultados obtenidos a partir de la simulación, considerando que las rpm y la altura del salto son variables fijas, dado que están condicionadas al tipo de generador a instalar y el desnivel del salto, fueron: Altura, H = 34,65 m; Velocidad de giro, N = 90 rpm; Caudal de operación, Q = 355,4 m3/s; Potencia de salida, W& = 130,1 MW; eje Eficiencia, η = 95,37 %. 123 Capítulo5. Resultados. Al realiza una comparación del punto de funcionamiento dado por el fabricante y el obtenido por la simulación, se observa que el caudal de operación dado por el fabricante es 1,91 veces el caudal obtenido en la simulación, y la potencia dada por el fabricante es 1,66 veces la potencia calculada en la simulación. En ese sentido, se establece que la geometría del rodete de la turbina dada en el informe de Pietrantoni [46] no satisfacen las condiciones de potencia y caudal esperados en el diseño, según el Contrato N° 3.1.104.001.03, del Desarrollo Hidroeléctrico del Bajos Caroní, Proyecto Tocoma. Dada la gran discrepancia entre los resultados de la simulación y las especificaciones dadas por el fabricante, se debe proceder de inmediato a la revisión del diseño actual. 5.4.2. Posibilidad de Cavitación en la Turbina. Aunque en éste trabajo no se realizó un análisis de cavitación, con la distribución de presión se puede inferir si existe o no la posibilidad de ocurra cavitación; en ese sentido, se muestra en la Figura 5.27 la iso-superficie donde se alcanza la presión de vaporización del fluido para el caso de una temperatura del agua de 26 °C (Pv = 3540 kPa,abs). Se puede observar que cuando la turbina opera con una velocidad de giro de 90 rpm y un caudal de 680 m3/s, que serían las condiciones de operación de diseño, la superficie de presión de cavitación ocupa gran parte del álabe; sin embargo, cuando la turbina opera con un caudal de 355,4 m3/s y 90 rpm, punto de operación arrojado por la simulación, la posibilidad de cavitación se reduce de manera significativa. Zona donde se alcanza la presión de vapor del fluido, Pv = 3540 kPa,abs (a) (b) Figura 5.27. Zona donde se puede iniciar la cavitación. Condiciones de operación de: (a) 680 m3/s y 90 rpm y (b) 355,4 m3/s y 90 rpm. De acuerdo a al análisis anterior, se hace necesario realizar un estudio de cavitación a la turbina a fin comprobar con mayor precisión si este fenómeno se presenta cuando ella entre en operación 5.4.3. Comentario Adicional Sobre Simulación de Turbinas Kaplan. A fin de analizar el efecto que se tiene al asumir un perfil de velocidad uniforme como condición de borde a la entrada de turbina, se resolvió el modelo cuyos parámetros de 124 Capítulo5. Resultados. operación son 90 rpm y 680 m3/s, con un perfil de velocidad uniforme, y se obtuvo que el error cometido en el torque viscoso era de 4,83%, en el torque de presión era de 1,8% y como el torque viscoso es mucho más pequeño que el torque de presión, también se obtienen que el error en el torque neto es de 1,8%. Por lo comentado en el párrafo anterior, se establece que las turbinas Kaplan se pueden simular para construir las curvas características utilizando como condición de borde a la entrada de la turbina un perfil de velocidad uniforme. 125 Conclusiones. Conclusiones 1. El modelo matemático del comportamiento fluidodinámico del fluido cuando pasa a través de las paletas directrices y la turbina, está dado por seis ecuaciones diferenciales parciales no lineales, la ecuación de continuidad para fluido incompresible, tres ecuaciones de momentum (una ecuación vectorial tridimensional) y dos ecuaciones de turbulencia. El modelo de turbulencia utilizado es el k-ε realizable, modelo que tiene buena precisión con un costo computacional aceptable. El dominio del distribuidor donde se resuelva las ecuaciones diferenciales, es un dominio periódico formado por una veinticuatroava parte del distribuidor; mientras que el dominio del rodete, también es periódico y esta representado por una quinta parte del mismo. 2. El modelo de volúmenes finitos del distribuidor utilizado para la simulación del mismo, tiene un error en el cálculo de la velocidad de 0,6 m/s y esta formado por 1.057.434 nodos y 1.020.288 elementos (o celdas) tipo hexaédricos, y la malla mantiene una calidad menor de 0,65. Por otra parte, el modelo de volúmenes finitos del rodete tiene un error menor del 0,73% en el cálculo del torque en el rodete, y esta conformado por 635.392 nodos y 1.558.722 elementos, distribuidos de la siguiente manera: 367.016 hexaédricos (23,55%), 8.960 piramidales (0,57%) y 1.182.746 tetraédricos (75,88%). La calidad de la malla del rodete es menor de 0,839. 3. Estudios previos, como el presentado en la referencia 44, muestran que el módulo de la velocidad varía poco a la entrada del anillo de distribución, aunque en al dirección tangencia, el ángulo de la velocidad respecto a la normal varia aproximadamente entre 0° a 50°. Sin embargo, se demostró en éste estudio que el perfil de velocidad a la salida del distribuidor no se ve afectado en forma significativa por la inclinación del vector velocidad respecto a la normal de la superficie imaginaria a la entrada del distribuidor. Por tanto, es válido suponer un perfil de velocidad normal a la entrada del distribuidor. 4. Se demostró que la velocidad adimensional a la salida del distribuidor, definida como la relación entre el vector velocidad y el módulo de la velocidad normal a la entrada del distribuidor, depende de la dirección radial y el ángulo de las paletas directrices. Se pudo establecer relaciones funcionales para el vector velocidad como función del radio, para diferentes inclinaciones de las paletas directrices. 5. El torque debido a la presión estática del fluido sobre la turbina se incremente en forma cuadrática con el caudal, pero prácticamente es independiente de la velocidad de giro de la turbina. Por otra parte, el torque debido a la viscosidad del fluido se incrementa en forma cuadrática con el caudal y la velocidad de giro de la turbina. Pero, como el torque debido a la viscosidad del fluido es mucho más pequeño que el torque debido a la presión estática, ocurre que el torque neto también se incremente en forma cuadrática con el caudal. 6. La potencia en el eje de la turbina aumenta en forma lineal con la velocidad de giro de la misma y en se incrementa en forma cuadrática con el caudal que pasa a través de ella. 126 Conclusiones. 7. En el rango de velocidad estudiado se demuestra que la eficiencia de la turbina se incrementa con el caudal, pero disminuye con la velocidad se giro. 8. El desnivel o caída del salto se incrementa en forma casi lineal con el caudal y la velocidad de giro de la turbina. Sin embargo, para mejorar la precisión de la interpolación se prefiere usar una interpolación de segundo orden, aunque la de primer orden era suficiente. 9. El punto de funcionamiento arrojado por la simulación es muy diferente al esperado por la Empresa según el Contrato N° 3.1.104.001.03, del Desarrollo Hidroeléctrico del Bajos Caroní, Proyecto Tocoma. La potencia calculada es 39,77 % más pequeña que la esperada según el Contrato (130,1 MW en vez de 216 MW), y el caudal es 47,73% más pequeño que el requerido para mantener la potencia establecida. Es importante realizar una revisión del diseño geométrico de las turbinas actuales. 10. Si la turbina que ha sido analizada en éste trabajo, opera con un caudal de 680 m3/s, tiene gran probabilidad de cavitar dado que se producen presiones inferiores a la presión de vaporización del agua en las superficies de los álabes. 11. También se demostró que para efecto de construir las curvas características de las turbinas Kaplan, se puede asumir un perfil de velocidad uniforme a la entrada de la turbina, dado que el error cometido en el cálculo del torque es menor del 1,8%. 127 Investigaciones Futuras. Investigaciones Futuras Después de culminado este trabajo se abren algunas interrogantes que son interesantes de desarrollar en trabajo futuros. Estos posibles temas son los siguientes: 1. Realizar una revisión geométrica del diseño actual de la turbina Kaplan que será instalada en Tocoma. 2. Construir las curvas características mediante simulación numérica de las turbinas Kaplan que serán instaladas en Tocoma, para diferentes inclinaciones de las paletas directrices e inclinaciones de los alabes del rodete. 3. Construir el Diagrama de Colinas de Rendimiento de la las turbinas Kaplan a instalar en Tocoma. 4. Realizar un estudio de cavitación en los diferentes pasajes del agua, desde la toma hasta la descarga. Este estudio se puede dividir en cuatro: El primero que analice el flujo desde la toma hasta el anillo de distribución, el segundo que estudie el anillo de distribución, un tercero que analice la turbina y el cuarto que estudie el tubo de aspiración hasta la descarga. 5. Las curvas características de las turbinas son los modelos matemáticos utilizados para construir los sistemas de control de la misma, en ese sentido, vale la pena estudiar la posibilidad de implementar un sistema de control neuronal o un sistema de control borrosos, y validar la efectividad de éstos sistemas respecto al sistema de control tradicional. 128 Referencias Bibliográficas. Referencias Bibliográficas 1. Córdova Roberto (1999), Breve Historia de las Turbinas Hidráulicas, Desde la Ciencia, N° 1, Volumen 2, UCA, El Salvador. 2. N. B. Webber (1965). Mecánica de Fluidos para Ingenieros. España. Ediciones URMO. Primera Edición. 370 Pag. “Fluid Mechanics For Civil Engineers”; Traducido por el Ing. Industrial José Rodríguez Ocaña. 3. Ministerio de Energía y Minas (2003), Petróleo y Otros Datos Estadísticos (PODE) 1979, 1989,1998, 2000, 2002 y 2003. Venezuela. 4. Martínez Anibal, (2000). Cronología del Petróleo Venezolano, 8a Edición, Fondo editorial del CIED. Venezuela. 5. CVG Edelca (2004). Desarrollo Hidroeléctrico del Río Caroní. Proyecto Tocoma. Contrato N° 3.1.104.001.03. Volumen I. Venezuela. Pag. 511. 6. CVG Edelca (2004). Desarrollo Hidroeléctrico del Río Caroní. Proyecto Tocoma. Contrato N° 3.1.104.001.03. Volumen IV. Venezuela. Pag. 126. 7. Gerhart P. M., Gross R. J. y Hochstein J. I. (1995). Fundamentos de Mecánica de Fluidos. Wilmington, Delaware, USA. Addison-Wesley Iberoamericana, S.A. Segunda Edición. 1091 pag. “Fundamentals of Fluid Mechanics”; Traducido por Victor H. Del Valle. 8. White F.M. (1974). Viscous Fluid Flow. New York, McGraw Hill. 9. Daily J. W. y Harleman D. R. F. (1966). Fluid Dynamics. Addison Wesley, Reading, Mass. 10. Popov Egor P. (1992). Introducción a la Mecánica de Sólidos. México. Editorial Limusa. 652 pag. “Introduction to Mechanics of Solids”; Traducido por: Francisco Paniagua y Luis Rodríguez Torres. 11. Potter Merle C. y Wiggert David C. (1998). Mecánica de Fluidos Aplicada. México. Prentice-Hall. Segunda Edición. 752 pag. “Applied Fluid Mechanics”; Traducido por Cordero P., Carlos R. y Flores S., A. Homero. 12. Bejan Adrian. (1995). Heat Transfer. New York, John Wiley & Sons, Inc, Firth Edition. pp.674. 13. Homsy G.M., Aref A., Breuer K.S., Hochgreb S., Koseff J.R., Munson B.R., Powell K.G., Robertson C.R. and Thoroddsen S.T. (2000). Multi-Media Fluid Mechanics. Cambridge University Press. 14. Hinze J.O. (1975). Turbulence. McGraw-Hill Publishing Co., New York. 129 Referencias Bibliográficas. 15. Spalart P. and Allmaras S. (1992). A One-equation Turbulence Model for Aerodynamic Flows. Technical Report AIAA-92-0439, American Institute of Aeronautics and Astronautics, 16. Hoffmann K. A. and Chiang S. T. (1998). Computational Fluid Dynamics. Volume II. Engineering Education System, Kansas, USA, third edition. 17. Dacles-Mariani J., Zilliac G. G., Chow J. S., and Bradshaw P. (1995). Numerical/Experimental Study of a Wingtip Vortex in the Near Field. AIAA Journal, 33 (9), pp. 1561-1568. 18. Launder B. E. and Spalding D. B. (1972). Lectures in Mathematical Models of Turbulence. Academic Press, London, England. 19. Launder B. E. and Spalding D. B. (1974). The Numerical Computation of Turbulent Flows. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 3, pp. 269-289. 20. Henkes R. A. W. M., Van Der Flugt F. F., and Hoogendoorn C. J. (1991). Natural Convection Flow in a Square Cavity Calculated with Low-Reynolds-Number Turbulence Models. Int. J. Heat Mass Transfer, 34, pp. 1543-1557, 1991. 21. Sarkar S. and Balakrishnan L. (1990). Application of a Reynolds-Stress Turbulence Model to the Compressible Shear Layer. ICASE Report 90-18, NASA CR 182002. 22. Wilson K. G. (1971). Renormalization Group and Critical Phenomena: I Renormalization Group and the Kaudoff Scaling Picture. Physics Review E, 4 (9), pp. 3174-3189. 23. Wilson K. G. (1971). Renormalization Group and Critical Phenomena: I Phase-space Cell Analysis of Critical Behavior. Physics Review E, 4 (9), pp. 3184-3205. 24. Choudhury D. (1993). Introduction to the Renormalization Group Method and Turbulence Modeling. Fluent Inc. Technical Memorandum TM-107. 25. Shih T. H., Liou W. W., Shabbir A., and Zhu J. (1995). A New k-ε Eddy-Viscosity Model for High Reynolds Number Turbulent Flows - Model Development and Validation. Computers Fluids, 24(3), pp. 227-238. 26. Launder B. E., Reece G. J., and Rodi W. (1975). Progress in the Development of a Reynolds-Stress Turbulence Closure. J. Fluid Mech., 68(3), pp. 537-566. 27. Gibson M. M. and Launder B. E. (1978). Ground Effects on Pressure Fluctuations in the Atmospheric Boundary Layer. J. Fluid Mech., 86, pp.491-511. 28. Daly B. J. and Harlow F. H. (1970). Phys. Fluids, 13, pp.2634-2649. 29. Lien F. S. and Leschziner M. A. (1994). Assessment of Turbulent Transport Models Including Non-Linear RNG Eddy-Viscosity Formulation and Second-Moment Closure. Computers and Fluids, 23(8), pp. 983-1004. 130 Referencias Bibliográficas. 30. Launder B. E. (1989). Second-Moment Closure and Its Use in Modeling Turbulent Industrial Flows. International Journal for Numerical Methods in Fluids, 9, pp. 963-985, 1989. 31. Fu S., Launder B. E., and Leschziner M. A. (1987). Modeling Strongly Swirling Recirculation Jet Flow with Reynolds-Stress Transport Closures. In Sixth Symposium on Turbulent Shear Flows, Toulouse, France. 32. Launder B. E. and Shima N. (1989). Second-Moment Closure for the Near-Wall Sub layer: Development and Application. AIAA Journal, 27 (10), pp. 1319-1325, 1989. 33. Speziale C. G., Sarkar S., and Gatski T. B. (1991). Modeling the Pressure-Strain Correlation of Turbulence: An Invariant Dynamical Systems Approach. J. Fluid Mech., 227, pp. 245-272. 34. Landau L.D y Lifshitz E. M. (1986). Física Teórica, Mecánica de Fluidos. Edit. Reverté. 35. McComb W. D. (1990). The Physics of Fluid Turbulence. Oxford Engineering Science, Oxford University Press. 36. Careta A, Sagués F and Sancho J. M. (1993). Stochastic Generation of Homogeneous Isotropic Turbulence with Well-Defined Spectra. Physical Rev. E, 48 (3), pp. 2279-2287. 37. Lesieur M. (1997). Turbulence in Fluids. Kluwer Academic, Third edition. 38. Smagorinsky J. (1963). General Circulation Experiments with the Primitive Equations. I. The Basic Experiment. Month. Wea. Rev., 91, pp. 99-164. 39. Lilly D. K. (1996). On the Application of the Eddy Viscosity Concept in the Inertial Sub range of Turbulence. NCAR Manuscript 123, 1966. 40. Yakhot A., Orszag S. A., Yakhot V., and Israeli M. (1989). Renormalization Group Formulation of Large-Eddy Simulation. Journal of Scientific Computing, 4, pp. 139-158. 41. Mataix Claudio. (1989). Turbomaquinas Hidráulica, Madriz, Editorial ICAI, pág. 1347. 42. Thi C. Vu, Safia Retib (2002). Accuracy Assessment of Current CFD Tools to Predict Turbine Efficiency Hill Chart. Proceddings of the 22th IAHR Symposium, El veţia. 43. Balint, Daniel-Iosif (2005). Numerical Computing Methods for the 3D Flows in the Distributor and the Runner of Kaplan Turbine. PhD. Thesis. University Politehnica Of Timişoara, Faculty of Mechanical Engineering, Department of Hydraulic Machinery. 44. Trujillo L., Ángel U. (2006). Análisis y Simulación del Flujo en los Pasajes de Agua de Turbinas Kaplan. Trabajo de Grado para Optar al título de Ing. Mecánico, UNEXPO, Puerto Ordaz. Pag. 133. 45. Becker E. B., Carey G. F. and Oden J. T., (1981), Finite Elements. An Introduction. Volume I, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey. Pp. 258. 131 Referencias Bibliográficas. 46. Pietrantoni G., Gustavo E. (2007). Parámetros Geométricos Relacionados al diseño del Rodete y Parte Central de la Turbina Kaplan de la Casa de Máquinas del Proyecto Hidroeléctrico Manuel Piar (Tocoma) de C.V.G. EDELCA. Trabajo de Entrenamiento Industrial, UNEXPO, Puerto Ordaz. Pag. 88. 132 Anexo A Colinas de Rendimiento de las Turbinas Kaplan a Instalar en Tocoma Anexo A. Colinas de Rendimiento de las Turbinas Kaplan a Instalar en Tocoma. Punto de Operación 134