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programación lineal
DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN ABIERTA Y A DISTANCIA Y VIRTUALIDAD
ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS
PROGRAMACIÓN LINEAL
MÓDULO EN REVISIÓN
CORPORACIÓN UNIVERSITARIA DEL CARIBE-CECAR
RE
V
IS
I
Ó
N
DIVISIÓN DE EDUCACIÓN ABIERTA Y A DISTANCIA
MÓDULO
PROGRAMACION LINEAL
SANTIAGO VERGARA NAVARRO
INGENIERO INDUSTRIAL
PROGRAMA DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS A DISTANCIA
2005
3
CONTENIDO
Pág.
INTRODUCCION
7
10
PRESENTACIÓN
11
OBJETIVOS
12
ATRÉVETE A OPINAR
Ó
N
PRIMERA UNIDAD
13
14
1. MATRICES Y DETERMINANTES
15
1.1 ALGEBRA LINEAL
15
1.2 MATRIZ
IS
I
ACCIONES PARA CONSTRUIR EL CONOCIMIENTO
RE
V
1.3 CALCULO MATRICIAL
15
17
1.3.1 Suma y Resta
17
1.3.2 Producto de un Escalar por una Matriz
19
1.3.3 Producto de Matrices
21
1.4 MATRICES ESPECIALES
26
1.4.1 Matriz Identidad (I)
26
14.2 Matriz Nula
27
1.4.3 Matriz Traspuesta
27
1.4.4 Matriz Fila
28
1.4.5 Matriz Columna
28
1.4.6 Matriz Inversa
29
1.5 DETERMINANTES
34
1.5.1 Determinantes de Segundo Orden
35
4
36
1.5.3 Aplicaciones de los Determinantes
38
RESUMEN
43
AUTO EVALUACIÓN Nº 1
44
SEGUNDA UNIDAD
46
PRESENTACIÓN
47
OBJETIVOS
48
ATRÉVETE A OPINAR
Ó
N
1.5.2 Determinantes de Tercer Orden
49
ACCIONES PARA CONSTRUIR EL CONOCIMIENTO
50
2. PROGRAMACION
51
51
2.2 USOS DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL
51
2.3 PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE P. L
52
RE
V
IS
I
2.1 PROGRAMACIÓN LINEAL (P. L)
2.3.1 Modelo de Maximización
52
2.3.2 Modelo de Minimización
53
2.4 PROCEDIMIENTO PARA PLANTEAR PROBLEMAS
53
2.4.1 Entendimiento del Problema
54
2.4.2 Definición de Variables
54
2.4.3 Establecer la Función objetivo
54
2.4.4 Establecer las Restricciones
54
2.4.5 Establecer la no negatividad
54
EJEMPLOS
55
RESUMEN
66
AUTO EVALUACIÓN N0 2
67
GLOSARIO DE TERMINOS
72
5
73
PRESENTACIÓN
74
OBJETIVOS
75
ATRÉVETE A OPINAR
76
ACCIONES PARA CONSTRUIR EL CONOCIMIENTO
77
3. METODOS DE SOLUCIÓN DE LA P. L
78
3.1 MÉTODO GRÁFICO
78
3.1.1 Procedimiento Gráfico
Ó
N
TERCERA UNIDAD
78
3.1.1.1 Convertir las desigualdades en igualdades
79
3.1.1.2 Hallar intersectos
79
79
3.1.1.4 Determinar el Area Común
79
3.1.1.5 Calcular el valor de la Función Objetivo
79
RE
V
IS
I
3.1.1.3 Graficar cada Ecuación Lineal
EJEMPLOS
80
3.2 MÉTODO SIMPLEX
90
3.2.1 PROCEDIMIENTO SIMPLEX
90
3.2.1.1 Estandarizar el Modelo de P.L
91
3.2.1.2 Construir la Tabla Característica
91
3.2.1.3 Identificar la Variable que entra y la que sale
93
EJEMPLOS
94
RESUMEN
112
AUTO EVALUACIÓN Nº 3
113
GLOSARIO DE TERMINOS
115
CUARTA UNIDAD
117
PRESENTACIÓN
118
6
119
ATRÉVETE A OPINAR
120
ACCIONES PARA CONSTRUIR EL CONOCIMIENTO
121
4. EL PROBLEMA DUAL (P.D)
122
4.1 DUALIDAD
122
4.2 IMPORTANCIA TEÓRICA DE LA DUALIDAD
122
4.2.1 Relaciones entre el modelo Primal y el Dual
123
Ó
N
OBJETIVOS
4.2.2 Relaciones entre la solución Dual y Primal
123
4.3 IMPORTANCIA COMPUTACIONAL DE LA DUALIDAD
124
EJEMPLOS
124
135
EJEMPLOS
136
RE
V
RESUMEN
IS
I
4.4 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD
142
AUTO EVALUACIÓN Nº 4
143
GLOSARIO DE TERMINOS
145
BIBLIOGRAFÍA
146
EL AUTOR
147
7
INTRODUCCION
El presente módulo recoge lo básico y necesario del Algebra y Programación
Lineal, ya que ésta se constituye, hoy día, en elemento esencial para la
formación matemática en los campos de la Ingeniería, Economía, Ciencias,
Administración y otras carreras afines; de allí, que con la motivación de la
Ó
N
experiencia adquirida como profesor universitario y la inquietud de entregar
una información inteligible para el lector con escasos conocimientos de la
asignatura, haya recurrido a un lenguaje simple y elemental, sin descuidar el
IS
I
aspecto teórico requerido por el lenguaje algebraico y la profundidad
necesaria para que los estudiantes adquieran los conocimientos y habilidades
básicos para la solución de problemas en los que estén involucrados los
RE
V
elementos matemáticos de matrices, sistemas de ecuaciones lineales y
modelos de programación lineal.
Por todo lo anterior, inicialmente se induce al alumno en el estudio de los
elementos básicos del Algebra Lineal, con el propósito de suministrarle la
herramienta y técnica necesaria para la solución de modelos de Programación
Lineal, en los que intervienen racionalización de recursos y la consecución de
soluciones optimas (la mejor entre todas), que le permitan el desarrollo, la
concepción y el análisis respectivo de dichos problemas.
Desde esta concepción metodológica, se desarrolló el modulo del modo más
práctico posible para que sirva al mismo tiempo como elemento de consulta a
estudiantes de educación presencial; por lo que, en el desarrollo de los
8
diferentes temas se aplica el método inductivo, es decir, se plantea el
problema particular y se ilustra su solución con los cálculos que por lo
general realiza un estudiante con escasos conocimientos algebraicos.
Este modulo está orientado de manea especial hacia el estudiante de
educación a distancia, quien no dispone de un profesor o de una buena
Ó
N
biblioteca permanente; por lo tanto, se recomienda su estudio en el mismo
orden establecido para cada unidad. Solo así podrá adquirirse un buen manejo
de los temas vistos en los capítulos anteriores y obtenerse una mejor
IS
I
comprensión de los temas siguientes:
De allí que, al iniciar el estudio de cada unidad tenga en cuenta lo siguiente:
RE
V
• Leer bien los objetivos de la unidad.
• Estudie con cuidado la información teórica de cada unidad, analícela y
discútala con sus compañeros de clases.
• Desarrolle la evaluación presentada a final de cada unidad y en caso de
dudas verifique los resultados con sus compañeros y posteriormente con
su tutor.
9
A CHAGUY ALBERTO, mi hijo y nueva
razón de ser. Que nuestra madre Naturaleza
RE
V
IS
I
bien.
Ó
N
nos de vida y salud para hacerte un hombre de
10
RE
V
IS
I
Ó
N
MATRICES Y
DETERMINANTES
Unidad 1
11
PRESENTACION
Para poder solucionar modelos de programación lineal, se hace evidente
apropiarse de una herramienta algebraica necesaria para ser aplicada en las
técnicas de solución de dichos problemas o modelos, la cual es el estudio de
las matrices y determinantes el que proporciona esa herramienta, que necesita
Ó
N
ser mecanizada ya que, es cíclica o repetitiva en su accionar.
Es por todo esto, que estudiaremos las matrices y ciertas operaciones
IS
I
definidas sobre ellas, así como el valor numérico correspondiente a cada una
lineal.
RE
V
de ellas (determinante), para su posterior aplicación en la programación
12
OBJETIVOS
1. Presentar en forma condensada los datos empresariales a través de
matrices.
Ó
N
2. Proveer la herramienta algebraica de las matrices y determinantes, para su
utilización en la solución de problemas de programación lineal.
IS
I
3. Verificar la utilidad de las matrices en la organización de carácter
RE
V
estadístico, útil para la toma de decisiones empresariales.
13
ATREVETE A OPINAR
1.
¿Qué piensas que es el Algebra Lineal? Por favor defínela.
2.
¿Qué entiendes por matriz?
IS
I
Ó
N
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
RE
V
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
3.
¿Qué conoces acerca de los determinantes?
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
14
ACCIONES PARA
CONSTRUIR EL
CONOCIMIENTO
A continuación encontrará una serie de enunciados con cinco respuestas, de
las cuales una sola es verdadera. Marque con una X la que usted considere
Ó
N
correcta.
1. El valor de la expresión -3 – (-5) – 6, es:
b) 2
c) 4
d) -4
e) 14
IS
I
a) -14
2. El valor de X en la ecuación 1 – 7 = 3 – X, es:
a) - 3
b) 3
c) 4
d) 6
e) - 9
a)
2
3
RE
V
3. La fracción generatriz de 0.25, es:
b)
3
4
c)
1
3
d)
1
5
2
3
2
5
e)
1
4
3
2
4. El valor de la expresión − + + (− ) , es:
a)
15
2
b) −
31
30
c)
30
31
d) −
12
15
e) −
1
10
d) −
3
10
e) −
5
6
1 3
2 5
5. El valor del cociente − / , es:
a)
5
6
b)
1
5
c) −
6
5
15
UNID
1. MATRICES Y DETERMINANTES
1.1 ALGEBRA LINEAL: Es una herramienta o técnica algebraica utilizada
Ó
N
por la programación lineal (P.L) para darle solución a sus modelos.
1.2 MATRIZ: Se llama matriz a un conjunto de números, funciones o
ecuaciones ordenados en forma de filas horizontales y columnas
IS
I
verticales, encerrados entre corchetes.
Las matrices se denotan por medio de letras mayúsculas, como A, B, C, Z.
RE
V
Forma general de una matriz:
a11
a 21
a31
.
.
.
am1
a12 a13 .... a1n
a 22 a 23 .... a3n
a32 a33 .... a3n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
amn
am2 am3
mxn
Donde:
m: representa el número de filas.
n: representa el número de columnas.
Ejemplos de matrices:
16
1 0 − 5
A = 2 7 4 , B =
− 5 3 9
( x − y = 0)
C = (− x + 2 y = 1)
x + y = 7)
sen θ
tangβ
cos β
c tgθ
(2 x + y = 3)
(3 x − 2 y = −1)
(5 x + y = 4)
El orden de una matriz viene dado por el número de filas y columnas y se le
3x3
Fila 3
;
sen θ
cos β
B=
tangβ c tgθ 2 x 2
RE
V
Col 1
Col 2
Col 3
Fila 1
Fila 2
IS
I
1 0 − 5
A = 2 7 4
− 5 3 9
Ó
N
anota en la parte inferior derecha, así:
7 − 1 0 2
2x4
3 5 − 4 8
A los miembros de una matriz se les denomina elementos de la matriz y
ocupan un lugar específico e inamovible dentro de la matriz, especificado por
un subíndice en su parte inferior (ver forma general), así:
a 11 : Elemento ubicado en la intersección de la fila 1 con la columna 1.
a 12 : Elemento ubicado en la intersección de la fila 1 con la columna 2.
a 23 : Elemento ubicado en la intersección de la fila 2 con la columna 3.
17
a mn : Elemento ubicado en la intersección de la fila m con la columna n.
Las matrices en éste módulo son esencialmente matrices reales. Es decir, sus
elementos son números reales y máximo poseerán orden 3 x 3.
1.3 CÁLCULO MATRICIAL (Operaciones con Matrices)
1.3.1 Suma y Resta
Ó
N
Sean las matrices A y B, se denota la suma y resta de ellas A + B y se define
así:
y
b11 b12
B=
b 21 b 22
IS
I
a11 a12
A=
a 21 a 22
a11 a12
b11 b12
a11 ± b11
a12 ± b12
RE
V
Entonces. A + B =
+ b 21 b 22 = a 21 ± b 21 a 22 ± b 22
a
21
a
22
Es decir, sumar o restar dos o más matrices, basta con sumar o restar sus
elementos de posiciones similares.
La suma o resta de dos o más matrices de órdenes diferentes no está definida,
lo cual significa que la suma o resta de matrices está definida solamente para
matrices cuadradas (de igual orden).
Ejemplos:
− 1 2
y B=
1
1) Sean A =
2
Se pide: A + B = ?
1 3
− 1 2
18
Solución:
− 1 2 1 3 − 1 + 1 2 + 3 0 5
+
=
=
1 − 1 2 0 − 1 1 + 2 − 1 3
A+B=
0
1
2) Si A = − 3 y B =
− 2
− 1
3 , calcule A – B = ?
2
0
− 1
2
1
3 ; A + B = ?
4
RE
V
IS
I
0
2 1
3) Sean A = 4 0 − 1 y B =
3 − 2 − 2
Ó
N
1 − 1 1 − (−1) 2
Entonces: A – B = − 3 − 3 = − 3 − 3 = − 6
− 2 2 − 2 − 2 − 4
A + B: No está definida, ya que son matrices de órdenes diferentes.
3
4) Sean A = 4
6
Calcular:
a. A + B
b. A – B
c. B – A + C
Solución:
2
1 ; B =
2
2
4
6
1
3 y C =
2
1
2
1
2
0
4
19
3
a. A + B = 4
6
2
1 +
2
2
4
6
1 5
3 = 8
2 12
3
4
4
3
b. A – B = 4
6
2 2
1 - 4
2 6
1 1
3 = 0
2 0
1
− 2
0
1
2
4
2 2 − 3 + 1
0 = 4 − 4 + 2
4 6 − 6 + 1
1− 2 + 2
3 − 1 + 0
2 − 2 + 4
IS
I
0
B – A + C = 2
1
2 1
1 + 2
2 1
Ó
N
1 3
3 − 4
2 6
2
c. B – A + C = 4
6
RE
V
1.3.2 Producto de un Escalar por una Matriz
Al trabajar con matrices, los números suelen denominarse escalares. A menos
que se especifique lo contrario, los escalares serán números
reales. Se
multiplica una matriz A por un escalar K al multiplicar por K cada elemento
de A.
El producto de K por A se denota K.A y se define como otra matriz cuyos
elementos son los mismos de A multiplicados por K.
Ejemplos:
6 1 2
1
1. Sea : A = 2 4 4 y K =
3
1 3 − 5
20
Hallar K . A = ?
1
1
1
6 1 4 ( 3 ).(6) ( 3 ).(1) ( 3 ).(4) 2
1
K . A = .2 4 2 = ( 13 ).(2) ( 13 ).(4) ( 13 ).(2) = 2 3
3
1 3 − 5 ( 1 ).(1) ( 1 ).(3) ( 1 ).(−5) 1
3
3
3
3
2
3
1
a. 3 . Z -
1
.Y
2
1
.Z
3
RE
V
b. –2.Y + 4.X -
1
y Z = 2
0
4
1
2
IS
I
Calcular:
6
4
2
Ó
N
4
3 ; Y =
2
1
2. Sean X = 2
6
Solución:
1
1
a. 3.Z - .Y = 3. 2
2
0
3
1
3.Z - .Y = 6
2
0
4
2
1
1 − .3
2
1
2
12 1
3 − 3
2
6 1
2
2
1
b. –2.Y + 4.X - .Z = -2. 3
3
1
6
4
2
3 2
2 = 9
2
1 − 1
2
6
1
4 + 4.2
6
2
9
1
5
4
1
1
3 − .2
3
0
2
4
1
2
1
4
3
3
1
3
2
3
5
−
3
4
21
− 12 4
− 8 + 8
− 4 24
0
1
–2.Y + 4.X - .Z = 2
3
22
4 1 3
4 − 2
3
4 0
1.3.3 Producto de Matrices
16 13
12 − 2
3
8 0
4 − 1
3 3
1 = 4
3
3
2 22
3
4
3
1
3
2
3
8
3
11
3
10
3
Ó
N
− 4
1
–2.Y + 4.X - .Z = − 6
3
− 2
Por ser esta la operación más complicada con matrices, la explicaremos
IS
I
directamente por medio de ejemplos, teniendo en cuenta que, para que el
producto de matrices sea posible, se tiene que cumplir la siguiente condición:
El número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas
RE
V
de la segunda matriz y el resultado poseerá las filas de la primera matriz y las
columnas de a segunda matriz.
Simbólicamente: A mxn . B nxp = C mxp
Si es posible
Si: A 2 x 3 . B 3 x 4 = C 2 x 4
Si es posible
P3 x 4. Q4 x 2 = R3 x 2
Si es posible
Ejemplos:
22
2 3
1 0
1. Sean A =
y B = 3 2 ; A . B = ?
4 1
A2
x 2
. B2
x 2
= C2
x 2
2 3 1 0 a11 a12
→ A . B =
.
=
4 1 3 2 a 21 a 22
compromiso ahora es calcular los valores de a 11 , a 12 , a 21 , a 22 .
Ó
N
Cálculo de a 11 (1era fila de A por 1era columna de B):
1
2
por
por
3
9
⇒ a11 = 11
2 3
11
IS
I
Calculamos ahora a 12 (1era fila de A por 2da columna de B):
0
0
por
por
2
6
⇒ a12 = 6
2 3
6
RE
V
Cálculo de a 21 (2da fila de A por 1ra columna de B):
1
4
por
por
3
3
⇒ a21 = 7
4 1
7
Cálculo de a 22 (2da fila de A por 2da columna de B):
0
0
por
por
2
2
⇒ a22 = 2
4 1
2
11 6
Entonces A.B =
7 2
Calculamos ahora B 2 x 2 . A 2 x 2 = D 2 x 2
Si es posible
; nuestro
23
1 0 2 3
a11 a12
B.A =
•
=
3 2 4 1 a 21 a 22
IS
I
Cálculo de a 12 :
3
3
por
por
1
0
⇒ a12 = 3
1 0
3
Ó
N
Cálculo de a 11 :
2
2
por
por
4
0
⇒ a11 = 2
1 0
2
RE
V
Cálculo de a 21 :
2
6
por
por
4
8
⇒ a21 = 14
3 2
14
Cálculo de a 22 :
3
9
por
por
1
2
⇒ a22 = 11
3 2
11
2
3
Entonces: B.A =
14 11
Con el ejemplo anterior hemos demostrado que:
A.B ≠ B. A
24
− 1
2. Sean A = 4
5
3
− 2 y B =
0
− 3 2
− 4 1 ; calcular A.B.
Solución:
A3 x 2. B2 x 2 = C 3 x 2
a11
= a 21
a31
a12
a 22
a32
3
(−1)(−3) + 3(−4)
− 3 2
− 2 •
= 4.(−3) + (−2)(−4)
− 4 1
5(3) + 0(−4)
0
3 − 12
= − 12 + 8
− 15 + 0
− 2 + 3
8 − 2
10 + 0
1
6
10
RE
V
−9
Entonces A.B = − 4
− 15
3
1 0
•
3.
2 − 1 − 2 2 x 3
(−1).2 + 3.1
4.2 + (−2).1
5.2 + 0.1
IS
I
− 14
A.B = 4
5
Ó
N
Si es posible
− 2 4 2
1 0 0 =
− 1 1 − 1 3 x 3
− 5 7 − 1
− 3 6 6 2 x 3
3 1 2
2 3
1 0
; B=
y C =
3. Sean A =
4 1
3 2
0 4 3
Demostrar que: (A + B).C = A.C + B.C
25
Lo cual
queda
demostrado.
Ó
N
3 1 2
2 3 1 0
+
(A + B).C =
•
4 1 3 2
0 4 3
3 1 2
9 15 15
3 3
(A + B).C =
=
•
7 3
0 4 3
21 19 23
3 1 2 6 14 13
2 3
=
A.C =
•
4 1
0
4
3
12
8
11
3 1 2 3 1 2
1 0
=
B.C =
•
3 2
0
4
3
9
11
12
RE
V
IS
I
6 14 13 3 1 2 9 15 15
=
+
A.C + B.C =
12 8 11 9 11 12 21 19 23
4. Encuentre los valores de a, b, c, en la siguiente ecuación matricial:
a
b
b
4
c
a
4•
= 2 • − a 1 + 2 • 5 − a
c −1
Solución:
2a
4a 4b 2b 2c 8
4c − 4 = − 2a 2 + 10 − 2a
2c + a
4a 4b 2b + 8
4c − 4 = − 2a + 10 2 − 2a
De donde:
4a = 2b + 8
(1)
4b = 2c + a
(2)
4c = −2a + 10 (3)
− 4 = 2 − 2a
(4) ⇒ − 4 − 2 = −2a
26
− 6 = −2a
−6
=a⇒ a=3
−2
5
Reemplazo (5) en (1): 4(3) = 2b + 8
12 = 2b + 8
4
=b⇒ b=2
2
Ó
N
12 − 8 = 2b
Reemplazo (5) en (3): 4c = −2(3) + 10
4c = −6 + 10
4
⇒ c =1
4
IS
I
4c = 4 ⇒ c =
RE
V
1.4 MATRICES ESPECIALES
El estudio de las matrices especiales se limita a las más comúnmente usadas,
para conocimiento del lector y para sus posibles aplicaciones futuras.
1.4.1 Matriz Identidad (I)
Es una matriz cuadrada (tiene el mismo número de filas y columnas) que
tiene su diagonal principal formada de unos (1) y ceros (0) en las demás
posiciones. Son ejemplos de matriz identidad las siguientes:
27
1 0
0 1
2x2
1
1 0 0
0
; 0 1 0
;
0
0 0 1 3 x 3
0
Diagonal principal
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
; …
0
1 4 x 4
La matriz identidad cumple con: Sea A una matriz cuadrada, entonces
A=A.
Ó
N
1.4.2 Matriz Nula
Es una matriz cuyos elementos son ceros.
0
0 ; …
0
IS
I
0 0 0
0
0 0
[0] ; ; 0 0 0 ; 0
0 0
0 0 0
0
RE
V
1.4.3 Matriz Traspuesta
Sea A una matriz cualquiera (cuadrada o no), se llama traspuesta de A
y se denota At, a la matriz cuyas filas de A son las columnas de At o
cuyas columnas de A son las filas de At.
Ejemplos:
3 − 2
1
1. Sea A =
0
1
2. Sea B = 5
7
3 0
t
⇒ A =
2x2
− 2 1 2 x 2
− 3
t
2 ⇒ B =
3x2
6
1 5 7
− 3 2 6 2 x 3
28
0 3 − 1
⇒ Ct =
3. Sea C =
5 2 8 2 x 3
0
3
− 1
4 2 1
4. Sea D = 7 10 − 6 ⇒ Dt =
0 5 − 3 3 x 3
5
2
8 3 x 2
0
4 7
2 10 5
1 − 6 − 3
3x3
Ó
N
1.4.4 Matriz Fila
Es la matriz que posee una sola fila.
Ejemplos:
IS
I
1. A = [6 − 2 0] 1 x 3
2. B = [0 5 − 1 4]1 x 4
RE
V
3. C = [7]1 x 1
1.4.5 Matriz Columna
Es la matriz que posee una sola columna.
Ejemplos:
3
1. A =
7 2 x 1
− 1
0
2. B =
5
4 4x1
3. C = [7]1 x 1
29
1.4.6 Matriz Inversa
Es una matriz que tiene propiedades similares a las del inverso de un número.
Es decir, el inverso de 2 es
1
o 2-1.
2
La inversa de una matriz A se denota A-1 y cumple con la propiedad: A-1.A =
Ó
N
A. A-1 = I.
Para obtener la inversa de una matriz A, pueden efectuarse operaciones con
sus filas (horizontales o verticales), teniendo en cuenta que: A = A.I.
Estas operaciones con las filas de A, son seleccionadas en forma arbitraria
IS
I
(pero con lógica) para convertir la matriz A en una matriz identidad.
Todas las matrices no tienen inversa. Solamente para una matriz cuadrada
RE
V
puede definirse la inversa. Una matriz que no tiene inversa se denomina
matriz singular, una matriz A es singular si al efectuar operaciones con sus
filas llegamos a una fila nula (todos sus elementos son ceros).
Si para una matriz existe una inversa, ésta es única.
Ejemplos:
Halle, si es posible, la inversa de las siguientes matrices:
2 4
a. A =
, entonces para encontrar la inversa de A (A-1), se intenta
4 6
resolver la ecuación matricial A = A . I, para convertir la matriz A en una
matriz identidad. Pero en la ecuación A = A . I, vemos que A aparece a
30
ambos lados de la igualdad, por tal motivo se omitirá el miembro izquierdo
de la misma para evitar operaciones dobles, por lo que nos limitaremos
solamente al miembro derecho: A.I.
Es de anotar que la matriz I que multiplica a A debe ser del mismo orden de
A.
1 0
Fila 1
Fila 2
Ó
N
2 4
Entonces: A.I =
•
4 6 0 1
Ahora, aplicando operaciones elementales con las filas, se intenta cambiar el
F1 y se obtiene
2 la nueva fila 1
RE
V
1 2 1
0
4 6 • 2
0 1
IS
I
producto A.I en la forma I.A-1, como sigue:
1 2 1
0
0 − 2 • 2
− 2 1
-4f1 + f2 y se
obtiene la nueva
fila 2
0
1 2 12
•
0 1
1 − 12
F2
y se obtiene
−2
la nueva fila 2
1
1 0 − 3 2
•
0 1
−1
1
2
-2f2 + f1 y se
obtiene la nueva
fila 1
31
Como ya se convirtió a A en una matriz identidad, la matriz A es invertible y
su inversa es:
1
2
1
, es decir, se cambió A.I por I.A-1.
1
−
2
1 4 6
b. Sea B = 2 2 4 ; B-1 = ?
2 1 1
F1 = F1
Porque ya se tiene la unidad
IS
I
1 4 6 1 0 0
Entonces: 2 2 4 • 0 1 0
2 1 1 0 0 1
Ó
N
− 3
A-1 =
Para obtener la nueva fila 2
-2F1 + F3
Para obtener la nueva fila 3
RE
V
-2F1 + F2
6 1 0 0
1 4
0 − 6 − 8 • − 2 1 0
0 − 7 − 11 − 2 0 1
F2
−6
Para obtener la nueva fila 2
-4F*2N + F1
7F*2N + F3
1 0 2 − 1
3 3
4
0 1
• 1
3
3
−
5
1
0 0
3 3
0
3
−1
0
6
−7
1
6
2
* F*2N
Para obtener la nueva fila 1
Para obtener la nueva fila 3
Para obtener la nueva fila 2
F3
−3
=
F3
−5
5
3
Para obtener la nueva fila 3
32
−1
1
2
1 0 0 5
5
5
0 1 0 • 3
− 11
4
5
10
5
0 0 1 − 1
− 3
7
10
5
5
−4 *
F 3N + F2
3
−2 *
F 3N + F1
3
Para obtener la fila 2
Para obtener la nueva fila 1
Ó
N
1
2
− 1
5
5
5
Entonces B-1 = 35 − 1110 4 5
7
− 3
− 15
10
5
2 0
1
A = 3 − 1 2
− 2 3 2
RE
V
Solución:
IS
I
c. Demuestre que la siguiente matriz no tiene inversa.
2
0 1 0 0
1
A.I = 3 − 1 2 • 0 1 0
− 2 3 − 2 0 0 1
0 1 0 0
1 2
0 − 7 2 • − 3 1 0
0 7 − 2 2 0 1
-3F1 + F2 para obtener la nueva fila 2
2F1 + F3 para obtener la nueva fila 3
F2
Para obtener la nueva fila 2
−7
F2 + F1 para obtener la nueva fila 3
-2F*2N + F1 para obtener la nueva fila 1
2
1 0 4 1
0
7
7 7
0 1 − 2 7 • 3 7 − 17 0
1
0 −1 1
0 0
33
Observe que al sumar el segundo y tercer renglón, se obtiene un renglón de
ceros en el lado izquierdo del producto A.I. Debido a esto, se concluye que
no es posible reescribir A.I en la forma I.A-1. Esto significa que A no tiene
inversa, es decir, es una matriz SINGULAR.
Las inversas anteriormente calculadas, se pueden comprobar por medio de la
Ó
N
propiedad: A.A-1 = I.
IS
I
1 − 6
1
d. Hallar si es posible, la inversa de la traspuesta de A = − 1 0 2
0 − 1 3
1 −1 0
Solución: A = 1 0 − 1
− 6 2
3
RE
V
t
1 − 1 0 1 0 0
Entonces: A .I = 1 0 − 1 • 0 1 0
− 6 2
3 0 0 1
-F1 + F2 para obtener la fila nueva F2
t
1 − 1 − 0 1 0 0
0 1 − 1 • − 1 1 0
0 − 4 3 6 0 1
1 0 − 1 0 1 0
0 1 − 1 • − 1 1 0
0 0 − 1 2 4 1
6F1 + F3 para obtener la nueva fila F3
F2 + F1 para obtener la nueva F1
4F2 + F3 para obtener la nueva F3
-1F3 para obtener la nueva F3
-F3 + F2 para obtener la nueva F2
-F3 + F1 para obtener la nueva F1
34
1 0 0 − 2 − 3 − 1
0 1 0 • − 3 − 3 − 1 ; entonces: (At)-1 =
0 0 1 − 2 − 4 − 1
− 2 − 3 − 1
− 3 − 3 − 1
− 2 − 4 − 1
1.5 DETERMINANTES
A toda matriz cuadrada le corresponde un valor numérico como resultado de
Ó
N
unas operaciones realizadas con sus diagonales, así:
Sumatoria de los productos de las diagonales principales menos sumatoria de
IS
I
los productos de las diagonales secundarias, igual a un valor numérico.
A este valor numérico es lo que se conoce como determinante de una matriz.
RE
V
El determinante de una matriz A es la misma matriz A, pero encerrada entre
barras verticales en vez de corchetes y se denota así: det. A; ∆ A o A .
En este módulo se utilizará A .
Entonces:
a11 a12 a13
a11 a12 a13
Si A = a 21 a 22 a 23 ⇒ A = a 21 a 22 a 23 = Valor Numérico.
a31 a32 a33
a31 a32 a33
En el presente módulo se estudiarán los determinantes de segundo y tercer
orden, a saber:
35
1.5.1 Determinantes de Segundo Orden
Son aquellos que poseen dos productos de dos elementos cada uno,
uno
positivo (el de su diagonal principal) y el otro negativo (el de su diagonal
secundaria), así:
a11 a12
a11 a12
Diagonal
secundaria
Ó
N
Sea A =
⇒ A = a 21 a 22 = a 11 .a 22 – a 12 .a 21
a 21 a 22
Diagonal
Primaria
IS
I
Ejemplos: calcular el determinante de las siguientes matrices:
2 2
0 3
2 4
; b) B =
; c) C =
− 1 4
2 4
1 − 3
RE
V
a) A =
Solución:
2
2
2
2
a. A =
⇒ A = − 1 4 = 2 x 4 − (2).(−1) = 8 + 2 = 10
− 1 4
0 3
0 3
b. B =
⇒ B = 2 4 = 0 x 4 − (3 x 2) = 0 − 6 = −6
2 4
2
4
2
4
c. C =
⇒ C = 1 − 3 = 2(−3) − (4 x1) = −6 − 4 = −10
1 − 3
36
1.5.2 Determinantes de Tercer Orden
Son aquellos que poseen seis productos de tres elementos cada uno, tres
positivos (el de sus diagonales principales) y tres negativos (el de sus
diagonales secundarias).
Ó
N
Para calcular el determinante de una matriz A 3 x 3 , se agregan la primera y la
segunda columna o filas de A para formar las columnas o filas cuarta y
quinta. Luego, el determinante de A se obtiene al sumar (o restar) los
IS
I
productos de sus seis diagonales, como se muestra:
RE
V
a11 a12 a13
Sea A = a 21 a 22 a 23 ; agregamos la 1ra y 2da filas
a31 a32 a33
a11
a11 a12 a13 a 21
⇒ A = a 21 a 22 a 23 = a31
a31 a32 a33 a11
a 21
Diagonales
secundarias
a12
a 22
a32
a12
a 22
a13
a 23
a33
a13
a 23
Diagonales
Primarias
A =a 11 .a 22 .a 33 + a 21 .a 32 .a 13 + a 31 .a 12 .a 23 – (a 13 .a 22 .a 31 + a 23 .a 32 .a 11 +
a 33 .a 12 .a 21 )
Sumatoria de los productos de las diagonales principales Sumatoria de los productos de las diagonales secundarias
37
Lo anterior también es posible agregando la 1era y 2da columnas, como se
muestra a continuación:
a11 a12 a13 a11 a12
a11 a12 a13
A = a 21 a 22 a 23 ⇒ A = a 21 a 22 a 23 a 21 a 22
a31 a32 a33 a31 a32
a31 a32 a33
Diagonales
primarias
Ó
N
Diagonales
secundarias
A = a 13 .a 21 .a 32 + a 12 .a 23 .a 31 + a 11 .a 22 .a 33 – (a 13 .a 22 .a 31 + a 11 .a 23 .a 32 +
IS
I
a 12 .a 21 .a 33 )
Como puede observarse, se llega al mismo resultado; por lo que es
indiferente el método que se utilice, de allí que el lector escogerá el que
RE
V
mejor le parezca.
Ejemplos: calcular los determinantes de:
0 2
3 − 1
0 2 1
a. A = 3 − 1 2 ⇒ A = 4 − 4
0 2
4 − 4 1
3 − 1
1
2
1 = 0 − 12 + 16 − (−4 + 0 + 6)
1
2
A = 4 − (2) = 4 − 2 = 2
0 − 2 5
1
0 − 2 5
3 7
b. B = 1 3 7 ⇒ B = − 6 4 2 = 0 + 20 + 84 − (−90 + 0 − 4)
0 − 2 5
− 6 4 2
1
3 7
38
B = 104 − (94) = 104 + 94 = 198
C =
17
1
1
− (3) = − 3 = −
6
6
6
Ó
N
1
1
− 2
3
1
0
−1
1
− 2
1
3
1 1
c. C = 1 − 1 0 ⇒ C = 1 − 14 1 = − + + 0 − (2 + 0 + 1)
3 2
1 −1
1
1
1
2
−
4
3 −1
0
1
Es de anotar que, si el determinante de una matriz A es cero, quiere esto decir
IS
I
que A es una matriz singular, o sea que no posee inversa.
RE
V
1.5.3 Aplicaciones de los Determinantes
Históricamente, el uso de los determinantes surgió de la identificación de
patrones especiales que ocurren en la solución de sistemas de ecuaciones
lineales.
Para resolver un sistema de dos o tres ecuaciones con dos o tres incógnitas
por determinantes, se aplica la regla de KRAMER, que dice: “El valor de
cada incógnita es una fracción, cuyo denominador es el determinante
formado con los coeficientes de las incógnitas (determinante del sistema: S )
y cuyo numerador es el determinante que se obtiene sustituyendo en el
determinante del sistema, la columna de los coeficientes de la incógnita que
39
se halla, por la columna de los términos independientes de las ecuaciones
dadas”.
Ejemplos: Resolver los siguientes sistemas, aplicando determinantes:
1. 2 x + 4Y = 6 ⇒ S =
X − 2Y = 2
2 4
= 2(−2) − 4 x1 = −4 − 4 = −8
1 −2
6 4
2 − 2 − 12 − 8 − 20 5
= ⇒
=
=
X =
−8
−8
−8
2
X =5
2
IS
I
2 6
1 2 4−6 −2 1
= ⇒
=
=
Y =
−8 4
−8
−8
Ó
N
S = −8
4
RE
V
2. 2 X + 6Y = 20
Y =1
2 6 0
2
6
0
0 1 1
Y + Z = 5 ⇒ S = 0 1 1 = 1 0 − 1 = −2 + 0 + 6 − (0 + 0 + 0)
2 6 0
1 0 − 1
X − Z =-1
0 1 1
S =4
X =
20
5
− 1
20
5
0
1
1
0
1 1
6
1
0
6
4
=
− 20 + 0 − 6 − (0 + 0 − 30) − 26 + 30 4
=
=
4
4
4
40
X =1
2 20 0
0 5 1
1 − 1 − 1
2 20 0
0 5 1
= − 10 + 0 + 20 − (0 − 2 + 0) = 10 + 2 = 12 = Y
4
4
4
4
IS
I
6 20
1 5
0 − 1
6 20
1 5 − 2 + 0 + 30 − (20 + 0 + 0) 28 − 20 8
=
=
= =Z
4
4
4
4
Z =2
3.
RE
V
2
0
1
2
0
Ó
N
Y =3
1
X + Y = 2Z + 3
3
X −Y =1
1
X + Y = .Y + 11
4
Como el sistema no está preparado, hay que prepararlo, así:
1
X + Y − 2Z = 3
3
41
1
3
X −Y =1⇒ S = 1
1
X − Y + Z = 11 1
4
S =
1
1
− 2
3
0
−1
1
− 2 1
1 1
0 =1 −1
1 = − + + 0 − (2 + 0 + 1)
−1
4
3 2
1 1
−1
1
2
−
4
3 −1
0
1
17
1
−3⇒ S = −
6
6
RE
V
X =9
IS
I
Ó
N
1
− 2
3
1
0
−1
11 − 14 1
3
1
− 2
51
1
−5
− 23 −
1
0 − 3 + 2 + 0 − (22 + 0 + 1)
−1
= 2
= 2
=
X =
− 17
− 17
− 17
− 17
6
6
6
6
1
3 − 2
3
1 1 0
1 11 1
1
3 − 2
− 65
− 68
1
3
−1
1 1 0 3 − 22 + 0 − (−2 + 0 + 3)
=
= 3
= 3
Y =
− 17
− 17
− 17
− 17
6
6
6
6
1
4
Y =8
; en la ecuación: X + Z = Y + 11 , remplazo Y = 8 y X = 9 , entonces:
9+Z =
1
(8) + 11 ⇒ Z = 2 + 11 − 9
4
Z =4
42
4. Cuales serán los valores de x, para que:
( X − 1)
−4
=0
−2
( X + 1)
Solución:
Ó
N
( X − 1) − 4
= ( X − 1).( X + 1) − (−4).(−2) = 0
−2
( X +)
x
2
−1− 8 = 0
x
2
−9 = 0
2
=9
IS
I
x
x
=± 9
RE
V
TALLE
x = ±.3
43
RESUMEN
Ó
N
Una matriz de m x n es un arreglo rectangular de mn números
arreglados en m filas y n comunas.
Sea A una matriz de m x n y B una matriz de n x p, entonces A x b es
IS
I
una matriz de m x p.
Si A es una matriz de n x m, B es de m x p y C es de p x q, entonces A
RE
V
x (B x C) = (A x B) x C y tanto B x C como A x B son matrices de n x
q.
Si todos los productos están definidos, entonces:
A x (B + C) = A x B + A x C y (A + B) x C = A x C + B x C
a
a
El determinante de una matriz A 2x2 = 11 12 está dado por:
a21 a22
A = a 11 a 22 – a 12 a 21
El determinante de una matriz A 3x3
a11 a12
= a21 a22
a31 a32
a13
a23 está dado por.
a33
44
a 11
a22
a32
a23
a
a
a
a
− a12 21 23 + a13 21 22
a33
a31 a33
a31 a32
Ó
N
AUTOEVALUACION No 1
1) Demuestre que B es la inversa de A:
3
5
− 2 5
1
5
1
5
RE
V
1 − 1
b. A =
; B=
2 3
−5
− 4
1
3
3
−8
1
− 4
13 23
0
3
3
IS
I
− 2 2 3
a. A = 0 − 1 0 ; B =
0
1 4
d
a
1
1
2) Sean A =
y B = − 1 1 ; cuales son los valores de a, b, c y d,
b c
para que A.B = B.A.
3) Resolver el siguiente sistema aplicando determinantes:
X Y Z
− + =1
3 4 4
X Y
+ −Z =1
6 2
X Y Z
− − =0
2 8 2
45
4) Sea:
3 3 6
A = 6 0 3 ; demuestre que [ A] = At
9 − 3 3
5) Calcular la matriz A en la siguiente ecuación matricial:
IS
I
Ó
N
3 4 0
2 3 4
1
-4 A + 0 1 0 = − A1 5 2
2
3 7 1
−
1
0
2
6) Calcular, si es posible, la inversa de:
RE
V
2 1 3
2 0 4
4 1 7
46
RE
V
IS
I
Ó
N
PROGRAMACION
47
Unidad 2
Ó
N
PRESENTACION
Los conocimientos contenidos en el presente capitulo hacen posible la
IS
I
formulación de unos modelos a través de los cuales, el administrador puede
lograr una mayor eficiencia y un mejor sistema productivo en el mundo
empresarial moderno; sobre todo, cuando deba tomar decisiones que
RE
V
involucren racionalización de recursos para determinar así, el mejor curso de
acción de un problema empresarial.
Para la buena comprensión de este tema se hace necesario que el alumno
diferencie lenguaje coloquial de lenguaje algebraico y sepa expresar
oraciones en forma de lenguaje coloquial a expresiones en forma de lenguaje
algebraico.
48
Ó
N
OBJETIVOS
Analizar situaciones reales en las que, relaciones entre actividades,
carácter lineal.
IS
I
requerimientos de recursos y la contribución al objetivo revistan
Diseñar un modelo simbólico de un problema cuyo enunciado se
RE
V
suministre.
Diferenciar entre disponibilidad y requerimiento, para la asignación y
distribución de recursos limitados.
49
¿Qué entiendes por Programación Lineal?
______________________________________________
______________________________________________
______________________________________________
______________________________________________
______________________________________________
______________________________________________
RE
V
IS
I
1.
Ó
N
ATREVETE A OPINAR
2.
¿En qué campos crees que se ha utilizado la P. L.?
3.
¿Qué entiendes por Maximizar y por Minimizar?
______________________________________________
______________________________________________
______________________________________________
______________________________________________
______________________________________________
______________________________________________
______________________________________________
______________________________________________
______________________________________________
______________________________________________
______________________________________________
______________________________________________
50
Ó
N
ACCIONES PARA
CONSTRUIR EL
CONOCIMIENTO
A continuación encontrarás 5 expresiones en forma de lenguaje coloquial
o inecuaciones):
IS
I
(palabras), por favor exprésalas en forma de lenguaje algebraico (ecuaciones
RE
V
EXPRESIONES MATEMATICAS
EN FORMA DE LENGUAJE
EN FORMA DE LENGUAJE
COLOQUIAL
ALGEBRAICO
El doble de un número es catorce.
La mitad de un número más su triplo no debe
exceder a cinco.
El quíntuplo de un número es dieciséis menos
el mismo número.
El triplo de un número más el doble de otro, al
menos es ocho.
La mitad de un número menos la quinta parte
de otro, no debe ser mayor que dos.
51
Ó
N
UNID
2. PROGRAMACIÓN
2.1 PROGRAMACIÓN LINEAL (P. L.)
IS
I
La palabra programación es un sinónimo de planeación y el adjetivo lineal
significa que todas las funciones matemáticas que se van a trabajar, son
funciones lineales, es decir, que las variables tendrán como exponente la
RE
V
unidad.
La Programación Lineal trata la planeación de las actividades de un
organismo social para obtener un resultado optimo, esto es, el mejor entre
muchos; así, la programación lineal es una técnica matemática cuyo objetivo
es la determinación de soluciones optimas a los problemas económicos en los
que intervienen recursos limitados.
2.2 USOS DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL
La Programación Lineal ha sido empleada con mucho éxito en variados
campos, a saber:
• En la industria de alimentos, para la obtención de mezclas optimas de
productos con requerimiento de un mínimo de elementos nutritivos.
52
• En la industria química para efectos de control de la producción.
• En la industria metalúrgica, para la planificación de la producción y
transporte.
• En finanzas para la toma de decisiones.
2.3 PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE P. L.
Plantear un problema de Programación Lineal, implica llevar expresiones
forma de lenguaje algebraico.
Ó
N
matemáticas en forma de lenguaje coloquial a expresiones matemáticas en
IS
I
Los problemas que se pueden presentar dentro de la Programación Lineal son
de maximización de utilidades o de minimización de costos. La forma
RE
V
general de los modelos de problemas de Programación Lineal son:
2.3.1 Modelo de Maximización
Objetivo a lograr {Max.Z =C 1. X 1+C 2 . X 2+...C n . X n
a11 x1 + a12 x 2 +...a1n x n ≤b1
a x + a x +...a x ≤b
2n n
2
Sujeciones o limitantes del objetivo 21 1 22 2
a m1 x1 + a m 2 x 2 +... + a mn x n ≤b n
Condición de no negatividad {X 1= X 2= ... X n≥ 0
Donde:
Z: Función objetivo que se pretende maximizar.
C 1,C 2 ...C n : Coeficientes de utilidades o ganancias o ventas
53
X 1, X 2... X n: Variables básicas de trabajo.
a11 ,a12 ...a mn : Coeficientes de usos de recursos.
b1 ,b 2 ...b n : Disponibilidad de recursos limitados (términos independientes).
2.3.2 Modelo de Minimización
Sujeto a:
Ó
N
Mín. Z = C 1. X 1+C 2 . X 2+...C n . X n
a11 .x1 + a12 .x 2 +.... + a1n .x n ≥b1
a12 .x1 + a 22 x 2 +.... + a 2 n .x n ≥b 2
.
.
.
.
IS
I
.
.
.
.
.
RE
V
a m1 .x1 + a m 2 .x 2 +... + a mn ≥b n
X 1= X 2= ... X n≥ 0
Donde:
Z: Función que se pretende minimizar.
C 1,C 2 ...C n : Coeficientes de costos o gastos.
X 1, X 2... X n: Variables básicas de trabajo.
a11 ,a12 ...a mn : Coeficientes de usos de recursos.
b1 ,b 2 ...b n : Disponibilidad de recursos limitados (términos independientes).
2.4
PROCEDIMIENTO PARA PLANTEAR PROBLEMAS
54
Para plantear modelos de problemas de programación lineal, se sugieren los
siguientes pasos:
2.4.1 Entendimiento del problema
Significa hacerse a una idea clara de lo que se quiere, es decir, identificar con
Ó
N
exactitud si se trata de un problema de maximización o minimización; lo cual
se logra leyendo bien el enunciado (releerlo sí es necesario).
IS
I
2.4.2 Definición de variables
Significa que, hay que definir en forma clara y precisa las variables de
RE
V
trabajo o variables físicas (tantas como sean necesarias o el problema
amerite).
2.4.3 Establecer la función objetivo
Significa plantear en forma de ecuación, el objetivo que se desea alcanzar
(con las variables definidas y los coeficientes de costos o ganancias dados).
2.4.4 Establecer las restricciones
Significa formular las limitantes a que va ha estar sujeta la función objetivo,
teniendo en cuenta el uso y la disponibilidad de recursos (pueden ser
desigualdades o igualdades).
55
2.4.5 Establecer la no negatividad
Significa darle el sentido de positividad a todas las variables que se tengan
que trabajar, es decir, que todas sean mayores o iguales que cero ( ≥ 0 ).
Si el lector sigue la anterior metodología para formular modelos de
programación lineal, lo más probable es que se le dificulte menos el
planteamiento de los mismos, ya que, no existe una formula matemática para
Ó
N
establecer tales problemas; de allí que no sea tarea fácil el plantear dichos
modelos, porque ningún caso se parece a otro.
IS
I
Ejemplos
1. Un camión puede transportar dos clases de artículos, A y B. Por cada
RE
V
unidad de A que transporte recibe $1500 y por cada unidad de B, $2000.
El camión tiene una capacidad de 12m 3 y puede transportar carga que no
exceda las 16 toneladas. Los volúmenes de A y B son respectivamente 2 y
3m 3 . Los pesos unitarios de A y B son 4 y 3 toneladas respectivamente.
Plantear el anterior problema como un modelo de programación lineal.
Solución:
Paso a: Entendimiento: El propietario del camión desea maximizar sus
ganancias. Lo cual está implícito en el hecho de que el enunciado da los
ingresos por cada tipo de artículo que se transporte.
Paso b:
Definición de variables
56
Como son dos los tipos de artículos a transportar, serán dos las variables a
definir, así:
Sean:
X 1: Número de artículos del tipo A a transportar.
X 2: Número de artículos del tipo B a transportar.
Paso c:
Establecer la función objetivo
Paso d:
Ó
N
Máx. Z = 1500 X 1 + 2000 X 2
Establecer las restricciones
• De capacidad : 2 X 1+3 X 2≤ 12
• De pesos:
IS
I
Paso e:
4 X 1+3 X 2≤ 16
Establecer la no negatividad
RE
V
X 1= X 2≥ 0
2. El hospital Regional de Sincelejo está tratando de determinar el número
de comidas de pescado y de res que debe servir durante el mes venidero.
El hospital necesita una comida para cada uno de los 30 días. Las comidas
de pescado cuestan $200 cada una y las de res $250 cada una. Ambas
comidas cumplen con las necesidades de proteínas. Si se juzga el sabor en
una escala de 1 a 10, el pescado obtiene un 5 y la res un 9.
El hospital quiere alcanzar en el mes por lo menos 200 puntos en el sabor.
Los requerimientos totales de vitaminas en le mes deben ser por lo menos
300 unidades, de las cuales la comida de pescado proporciona 8 unidades
y la de res 12 unidades.
57
Plantee como un modelo de programación lineal.
Solución
Entendimiento:
Lo que pretende el hospital es minimizar los costos, ya
que, el problema otorga coeficientes de los gastos de cada
Ó
N
comida.
Definición de variables: Al ser dos tipos de comida, serán dos las variables a
IS
I
utilizar, así:
X 1: Número de comidas de pescado a servir durante el
Sean:
mes venidero.
RE
V
X 2: Número de comidas de res a servir durante el mes
venidero.
Función objetivo: Mín. Z = 200 X 1+250 X 2
Restricciones:
s.a.:
5 X 1+9 X 2≥ 200 (sabor)
8 X 1+12 X 2≥ 300 (Vitaminas)
X 1 + X 2 = 30 (total de comidas servidas al mes)
No negatividad:
X 1= X 2 ≥ 0
3. La asociación de estudiantes de CECAR dispone de $100.000 y ha
pensado invertir en dos negocios. El primero la reporta una utilidad de
$25 mensuales y el segundo $40 mensuales, por cada $ 100 invertidos.
Debido aciertas condiciones impuestas por la asamblea de socios, se debe
58
invertir al menos el 25% del capital en el primer negocio y no más del
50% en el segundo. Además, la cantidad invertida en este último no debe
ser mayor a 3/2 veces la cantidad invertida en el primer negocio.
Plantear el problema como un modelo de programación lineal.
Solución
Máx. Z =
25
40
X 1+
X2
100
100
Máx. Z:
1
2
X 1+ X 2
4
5
IS
I
Ó
Ó
N
Sean: X 1: Cantidad de dinero a invertir en el primer negocio.
X 2: Cantidad de dinero a invertir en el segundo negocio.
Ó
Máx. Z: 0.25 X 1+0.40 X 2
≤ 100.000
RE
V
S.a.: X 1 + X 2
≥
25.000
X2
≤
50.000
X2
≤
−3
X1+ X2
2
3
X1 ó
2
≤
0
X1 = X2
≥
0
X1
4. Se tienen dos centros de sacrificios de reces, uno en Valledupar y otro en
Montería. Existen tres centros de consumo: Bucaramanga, Medellín y
Barranquilla.
59
La siguiente tabla muestra los costos de transportar una tonelada de carne
desde cada centro de sacrificio hasta cada centro de consumo. Formule un
modelo de programación lineal que permita determinar cuanta carne debe
enviarse desde cada centro de sacrificio hasta cada centro de consumo.
C. Sacrificio
1
2
3
Disp
B /Manga
M/dellín
B/quilla
(Ton)
$800
Montería (2)
$1.900
Req. (Ton)
1.000
$950
1.300
$750
$1.300
3.000
700
600
RE
V
Solución
$1.500
IS
I
Valledupar (1)
Ó
N
C. Consumo
X 11 : Toneladas de carne a enviar desde Valledupar a Bucaramanga.
X 12 : Toneladas de carne a enviar desde Valledupar a Medellín.
X 13 : Toneladas de carne a enviar desde Valledupar a Barranquilla.
X 21 : Toneladas de carne a enviar desde Montería a Bucaramanga.
X 22 : Toneladas de carne a enviar desde Montería a Medellín.
X 23 : Toneladas de carne a enviar desde Montería a Barranquilla.
O bien:
X i , j : Toneladas de carne a enviar desde el centro de sacrificio i al centro de
consumo j .
Donde: i : 1,2
j : 1,2,3
Mín. Z = 800 X 11+1500 X 12+950 X 13+1900 X 21+750 X 22+300 X 23
60
s.a:
X 11+ X 12+ X 13
≤ 1.300
X 21+ X 22+ X 23 ≤ 3.000
X 11 +
≤ 1.000
X 21
X 12+
≤
700
X 23 ≤
600
X 22
X 13+
X 11= X 12= X 13= X 21= X 22= X 23≥ 0
X i , j≥ 0
Ó
N
O bien:
Donde: i : 1,2
IS
I
j : 1,2,3
5. Una empresa produce dos artículos, A y B. La elaboración de una unidad
RE
V
de A requiere $20 de mano de obra y cada unidad de B requiere $10. La
materia prima requerida es de $100 y $300 respectivamente para A y B.
La depreciación del equipo es proporcional al volumen de producción y se
ha estimado en $5 por cada unidad de A y $1 por cada unidad de B. Se
cuenta con una disponibilidad de $ 1.000.000 para salarios del periodo,
$1.800.000 para materia prima y no se permite que el desgaste del
equipo supere los $100.000. Respecto a las utilidades no hay certeza, se
espera que estos sean:
Utilidad de A
$8
$5
$7
Utilidad de B
$5
$6
$7
Probabilidad
0.50
0.25
0.25
Formule el anterior problema como un modelo de programación lineal
Solución
61
X 1 : Cantidad de artículos de tipo A a producir durante el periodo.
X 2 : Cantidad de artículos de tipo B a producir durante el periodo.
Máx. Z = (0.5 x8 + 0.25 x5 + 0.25 x7 ) . X 1 + (0.5 x5 + 0.25 x6 + 0.25 x7 ) . X 2
Máx. Z = 7 X 1 + 5,75 x 2
s.a:
20X 1+
10X 2 ≤ 1.000.000
5X 1+
X2 ≤
100.000
X 1= X 2≥ 0
Ó
N
100X 1+ 300X 2 ≤ 1.800.000
IS
I
6. Una compañía tiene tres tipos de maquinas procesadoras, cada una de
diferente velocidad y exactitud. La maquina tipo I puede procesar
RE
V
20piezas/hora, con una precisión de 99%; la tipo II, 15piezas/hora, con
una precisión de 95%, y la tipo III, 10piezas/hora, con una precisión del
100%. El funcionamiento de la tipo I cuesta $2/hora; el de la tipo II,
$1.75/hora y el de la tipo III, $1.50/hora. Cada día (8horas) deben
procesarse por lo menos 3500 piezas buenas y hay disponibles 8 maquinas
tipo I; 10 tipo II y 20 tipo III. Cada error le cuesta $1 a la compañía.
Formular como un modelo de programación lineal.
Solución
Cálculos:
•
Costo por hora, a partir del funcionamiento de cada maquina,
incluyendo costos por errores:
Tipo I: $2 + 20 (0.01) ($1)
= $2.2
62
Tipo II: $1.75 + 15 (0.05) ($1) = $2.5
Tipo III: $1.50 + 10 (0) ($1)
•
= $1.5
Cantidad de piezas buenas que produce cada maquina por hora:
Tipo I: 20 (0.99) = 19.8 piezas buenas/hora
Tipo II: 15 (0.95) = 14.25 piezas buenas/hora
Tipo III: 10 (1) = 10 piezas buenas/hora
•
Ó
N
Total de piezas buenas que deben producirse por hora:
3500 piezas / día
= 437.5 piezas / hora.
8horas / día
IS
I
Entonces, sea:
X i : Cantidad de maquinas tipo i que deben utilizarse
i = 1,2,3
s.a:
RE
V
Mín. Z = 2.21 +2.5 X 2+1.5 X 3
19.8 X 1+14.25 X 2+10 X 3 ≤ 437.5
X1
X2
≤
8
≤
10
X3 ≤
20
X 1= X 2= X 3≥ 0
7. Un fabricante produce tres modelos (I, II, III) de cierto producto. Él utiliza
dos tipos de materia prima (Ay B), de los cuales se dispone de 4000 y
6000 unidades respectivamente. Los requisitos de materia prima por
unidad de los tres modelos son:
Materia prima
Modelo I
Modelo II
Modelo III
63
A
2
3
5
B
4
2
7
El tiempo de mano de obra para cada unidad del modelo I es dos veces mayor
que el del modelo II y tres veces mayor que el del modelo III. Toda la fuerza
de trabajo de la fabrica puede producir el equivalente a 1500 unidades del
modelo I.
Ó
N
Un estudio del mercado indica que la demanda mínima de los tres modelos se
200, 200, 150 unidades respectivamente. Supóngase que la ganancia por
unidad de los modelos I, II, III es $30, $20 y $50 respectivamente. Formular
RE
V
Solución
IS
I
como un modelo de programación lineal.
X 1 : Numero de unidades a producir del modelo I
X 2 : Numero de unidades a producir del modelo II
X 3 : Numero de unidades a producir del modelo III
Máx. Z = 30 X 1+20 X 2+50 X 3
s.a:
2 X 1+3 X 2+5 X 3≤ 4000
4 X 1+2 X 2+7 X 3≤ 6000
1
X 2
1
1
2
→ X 1+ X 2+ X 3≤ 1500
1
2
3
3 X 1= X 3→ X 1= X 3
3
2 X 1= X 2→ X 1=
X 1≥ 200
X 2≥ 200
64
X 3≥ 150
X 1= X 2= X 3≥ 0
8. Una empresa elabora dos productos, X y Y, para lo cual utiliza los
materiales A y B. El producto X requiere una unidad del material A y una
unidad del material B. El producto Y requiere tres unidades de A y una
Ó
N
unidad de B.
Las informaciones de los proveedores indican que deben comprarse como
mínimo 300 unidades del material A y 200 del B.
IS
I
El departamento de maquinado puede elaborar 500 unidades del producto
X o 600 del producto Y, o cualquier relación de estos. El departamento de
acabado dispone de un total de 2800 minutos de los cuales cada unidad de
RE
V
X consume cuatro y cada unidad de Y siete. El departamento de ventas
informa que puede venderse a lo sumo 300 unidades del producto y.
Formular como un modelo de programación lineal, sabiendo que los
costos de producción ascienden a $12 y $8 para los productos X y Y
respectivamente y los precios de venta son de $16 para el producto X y
$12 para el producto Y.
Solución
X 1 : Cantidad de productos X a elaborar.
X 2 : Cantidad de productos Y a elaborar.
65
Utilidades = ventas – costos
Entonces:
Máx. Z = 16 X 1+12 X 2−(12 X 1+8 X 2 )
Máx. Z = 16 X 1+12 X 2−12 X 1−8 X 2
Máx. Z = 4 X 1+4 X 2
X 1+ X 2≥ 200
La relación:
X 1 500
=
X 2 600
5
6
6
5
Ó
N
X 1+3 X 2≥ 300
s.a:
4 X 1+7 X 2≤ 2800
RE
V
X 2≤ 300
X 1= X 2≥ 0
5
6
X 1+ X 2≤ 600 ó X 1+ X 2≤ 500
5
6
IS
I
Entonces, X 1= . X 2 ó X 2= . X 1 ; Luego:
66
RESUMEN
pasos:
Ó
N
Para plantear un problema de P. L. se sugiere seguir los siguientes
- Leer el enunciado hasta lograr su entendimiento.
- Tabular la información suministrada.
IS
I
- Definir variables de trabajo.
- Formular la función objetivo.
- Establecer las restricciones.
RE
V
- Establecer la no negatividad.
Todo problema de P. L. debe contener la condición de no negatividad,
omitirla sería dejar abierta la posibilidad de que una solución óptima
puede contener valores negativos.
Los problemas que se pueden presentar en el estudio de la P. L. son de
dos tipos, a saber: de maximización y de minimización.
Del correcto entendimiento del enunciado de un problema de P. L.,
dependerá su correcta formulación o no.
Ó
N
IS
I
RE
V
67
68
AUTOEVALUACION No 2
1. La compañía PINTU-COSTA posee una pequeña fábrica de pinturas
que produce colorantes para exteriores e interiores de casas para su
distribución al mayoreo. Se utilizan dos materiales básicos, A y B, para
producir las pinturas. La disponibilidad máxima de A es de 6 toneladas
diarias, la de B es de 8 toneladas por día. Los requisitos diarios de
Ó
N
materias primas por toneladas de pinturas para exteriores e interiores
se resumen en la siguiente tabla:
Materia prima “A”
1
Materia prima “B”
2
Interior
Disp. Máx.
2
6
1
8
IS
I
Exterior
RE
V
Un estudio del mercado ha establecido que la demanda diaria de la
pintura para interiores no puede ser mayor que la de pintura para
exteriores en más de una tonelada. El estudio señala así mismo, que la
demanda máxima para pintura de interiores esta limitada a dos
toneladas diarias.
Si el precio al mayoreo por tonelada es de $3000 para pintura de
exteriores y $2000 para pintura de interiores, plantea el problema como
un modelo de programación lineal.
2. Una fábrica de fertilizantes ha recibido un pedido de 1000 toneladas de
un fertilizante que debe satisfacer las siguientes especificaciones:
69
•
Cuando menos 20% de Nitrógeno.
•
Cuando menos 30% de Potasio.
•
Cuando menos 8% de Fósforo.
La compañía ha adquirido cuatro fertilizantes básicos a partir de los cuales
puede fabricar sus pedidos especiales. Los porcentajes de Nitrógeno, Potasio
Fertilizante
porcentaje de
Básico
Nitrógeno Potasio fosfato
4
20
10
30
10
5
20
40
5
5
5
20
RE
V
3
40
IS
I
1
2
Ó
N
y fosfato que contienen los fertilizantes básicos son:
Los costos de los fertilizantes básicos respectivos son: $16.000, $12.000,
$15.000y $8.000 por tonelada.
Plantee como un modelo de programación lineal
3. Usted es un alumno de Administración de Empresas y se ha planteado la
necesidad de maximizar la satisfacción diaria que le produce la realización
de una serie de actividades.
Ha establecido la siguiente lista de actividades con sus diferentes grados de
satisfacción asociados, así:
70
ACTIVIDAD
1.
2.
3.
4.
5.
6.
UNIDADES DE SATISFACCION
Tomar una cerveza
Fumar un cigarrillo
Jugar un partido de softbol
Dar un paseo por la playa
Leer un libro importante
Dormir
4
2
7
3
2
4
Aunque usted quisiera realizar todas las actividades, cuenta con algunas
15 minutos
10 minutos
2 horas
1 hora
5 horas
60 minutos
RE
V
Actividad 1
Actividad 2
Actividad 3
Actividad 4
Actividad 5
Actividad 6
IS
I
consumen tiempo, así:
Ó
N
limitaciones. Como es lógico solo dispone de 24 horas al día y las actividades
Además, por la estrechez económica en que sirve no le es posible tomar más
de 5 cervezas diarias; no puede fumar más de cinco cigarrillos al día, por
cuestiones de salud; no puede jugar más de dos partidos de softbol diarios, por
cansancio; no puede dar más de dos paseos por la playa, por aburrimiento; no
puede leer más de dos libros al día por cansancio visual.
En cuanto al sueño, usted sabe que no puede dormir más de diez horas al día,
ni menos de siete.
Plantear el anterior problema como un modelo de programación lineal.
71
4. Una compañía transportadora tiene 10 camiones con capacidad de 40000
libras y 5 con capacidad de 30000 libras. Los camiones grandes tienen un
costo de operación de $30 por Km., y los más pequeños de $25 por Km. En
la próxima semana la compañía debe transportar 400000 libras de malta,
para un recorrido de 800 Km.
La posibilidad de otros compromisos, significa que por cada dos camiones
grandes.
Ó
N
pequeños mantenidos en reserva, debe quedarse por lo menos uno de los
Formula un modelo de programación lineal que le permita a la compañía
IS
I
saber, cual es el número óptimo de camiones de ambas clases que deben
RE
V
movilizarse para transportar la malta.
5. Una institución financiera, se encuentra en el proceso de formular su
política de préstamos para el próximo trimestre. Para este fin se asigna un
total de $ 12.000.000. Siendo una institución de servicios integrales, está
obligada a otorgar préstamos a diversos clientes. La tabla que sigue señala los
tipos de préstamos, la tasa de interés que cobra el banco y la posibilidad de
que el cliente no cubra sus pagos, irrecuperables o incobrables:
Tipo de préstamo
Personal
Automóvil
Casa-habitación
Agrícola
Comercial
Tasa de interés
0.140
0.130
0.120
0.125
0.100
Probabilidad de incobrables
0.10
0.07
0.03
0.05
0.02
72
La competencia con otras instituciones financieras del área requiere que el
banco asigne cuando menos el 40% de los fondos totales a préstamos
agrícolas y comerciales.
Para dar asistencia a la industria de la habitación en la región, los préstamos
para casa - habitación debe ser igual cuando menos al 50% de los préstamos
personales, para automóvil y para casa - habitación. El banco tiene así mismo
Ó
N
una política establecida que específica que la relación global de pagos
irrecuperables no puede ser superior a 0.04.
RE
V
IS
I
Plantee el problema como un modelo de programación lineal.
73
GLOSARIO DE TERMINOS
1) FUNCION OBJETIVO: Es una expresión cuantitativa de los valores que
deben optimizarse. Puede ser deseable minimizar o maximizar esta función.
2) LENGUAJE ALGEBRAICO: Es el planteamiento de un problema en
resultado de un lenguaje coloquial.
Ó
N
forma de ecuaciones de igualdad o inecuaciones de desigualdad, como
IS
I
3) LENGUAJE COLOQUIAL: Es el enunciado de un problema en forma
de palabras que debe ser llevado a lenguaje algebraico.
RE
V
4) ORGANISMO SOCIAL: Es toda empresa (pública o privada)
conformada por personas que buscan un bien común.
74
RE
V
IS
I
Ó
N
METODOS DE
SOLUCION DE LA
P. L.
Unidad 3
75
PRESENTACION
El presente capitulo nos proporciona las técnicas de solución para los modelos
de programación lineal, iniciando con la gráfica de los mismos, que
generalmente se emplea para resolver casos de dos variables, ya que resulta
cuatro o más variables.
Ó
N
bastante difícil graficar en planos de tres variables e imposible hacerlo para
Seguidamente se trata la técnica algebraica Simplex, que a diferencia del
IS
I
método gráfico sirve para solucionar problemas de programación lineal sin
tener en cuenta el número de incógnitas. Ambos métodos son herramientas
RE
V
muy eficientes, sencillas y exactas en la solución de modelos de programación
lineal; por lo que, sus vigencias datan de muchos años atrás.
76
OBJETIVOS
Explicar el empleo de la solución gráfica para resolver problemas de
Programación Lineal de dos variables.
Simplex.
Ó
N
Definir los conceptos básicos empleados para desarrollar la técnica
Solucionar problemas de P. L. con dos o más variables por el Método
RE
V
IS
I
Simplex.
77
ATREVETE A OPINAR
1.
¿Qué entiendes por Método Gráfico?
2.
¿Por qué piensas que no se pueden solucionar
problemas de P. L. de dos o más variables por el
Método Gráfico?
IS
I
Ó
N
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
3.
RE
V
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
¿Qué entiendes por el término simplex?
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
78
ACCIONES PARA
CONSTRUIR EL
CONOCIMIENTO
Ubica los siguientes puntos en el plano cartesiano:
a) (3 , 5)
Ó
N
b) (5 , 3)
c) (-1 , 2)
d) (3 , 4)
IS
I
e) (2 , -1)
Obtener la gráfica de cada una de las siguientes ecuaciones:
RE
V
a) 2 Y = 12
b) 3 X + 2 Y = 18
c) – 3 X + 5 Y = 60
Soluciona las siguientes operaciones algebraicas:
a)
3 1
+
4 3
b)
5 3
−
6 8
1
2
c) − + 2
d)
1 1 1
+
−
3 30 5
79
UNID
3. METODOS DE SOLUCION DE LA PROGRAMACION LINEAL
3.1 MÉTODO GRÁFICO
Ó
N
Si el modelo se restringe únicamente a dos variables, es posible representarlo
y resolverlo gráficamente; de allí que, de lo que se trata es de obtener una
gráfica de todo el modelo dado (solución factible), ya que cada restricción
IS
I
define un área que contiene un número infinito de puntos, la cual no excede la
desigualdad y el conjunto de gráficas (todas las restricciones) definen un área
común a todo el modelo (intersección de sentidos), la cual nos proporcionará
RE
V
la solución optima del mismo.
Cabe anotar que, todas las soluciones gráficas de modelos de programación
lineal, se dan en el primer cuadrante del plano cartesiano (x, y o X 1,X 2 ), tal
como lo especifica la restricción de no negatividad ( X 1= X 2≥ 0 ).
3.1.1 Procedimiento Gráfico
Para darle solución a un problema de programación lineal por el método
gráfico, se requiere seguir los siguientes pasos:
80
3.1.1.1 Convertir las desigualdades en igualdades, reemplazando los
signos ≤ y ≥ por el signo =. Este cambio genera ecuaciones de línea recta, que
permiten graficar en el plano (x, y).
3.1.1.2 Hallar los intersectos (puntos de corte) con los ejes, partiendo del
axioma que reza: “dos puntos definen una recta”, la cual lograremos
igualando a cero cada variable por separado y obtendremos automáticamente
Ó
N
el valor de la otra.
3.1.1.3 Graficar cada una de las ecuaciones lineales, dándoles el sentido
que posean las desigualdades, utilizando flechas sobre las líneas rectas para
IS
I
representar la región que debe considerarse como parte del espacio solución.
RE
V
3.1.1.4 Determinar el área común, mediante la ayuda de las flechas sobre
las líneas rectas y así poder ubicar la intersección de los sentidos de las
desigualdades.
3.1.1.5 Calcular el valor de la función objetivo (solución óptima), por
medio de la sustitución de cada uno de los vértices de la zona común en el
objetivo a lograr: el más grande, si se trata de un caso de maximización ó el
más pequeño, si se trata de un caso de minimización.
Además de la anterior metodología, se le recomienda al lector utilizar hojas
de papel milimetrado en la solución gráfica de los problemas de programación
lineal propuestos en el presente modulo y en los conseguidos en cualquier
texto de programación lineal e investigación de operaciones.
81
EJEMPLOS
Solucionar por el método gráfico los siguientes modelos de programación
lineal:
Max. Z = 3 X 1+5 X 2
s.a:
≤ 4
X1
2X 2 ≤ 12
3X 1+ 2X 2 ≤ 18
X2 ≥
0
IS
I
X1 =
Ó
N
1.
Solución
Convertir desigualdades en igualdades
RE
V
Paso a:
X 1= 4 (1)
2 X 2= 12 (2)
3 X 1+2 X 2= 18 (3)
Paso b:
Hallar los intersectos con los ejes
En la ecuación (1): X 1= 4 → Línea recta paralela al eje X 2 o Y
En la ecuación (2): 2 X 2= 12 ; X 2=
12
2
X 2= 6 → Línea recta paralela al eje X 1 o X.
En la ecuación (3): 3 X 1+2 X 2= 18
Sí X 1= 0 → 3(0) + 2 X 2= 18
0 + 2 X 2= 18
82
2 X 2= 18
X 2=
18
2
X 2= 9 → Tenemos el intersecto (0, 9).
Sí X 2= 0 → 3 X 1+2(0) = 18
3 X 1+0 = 18
X 1=
Ó
N
3 X 1= 18
18
3
IS
I
X 1= 6 → tenemos el intersecto (6, 0).
Paso c:
Graficar las ecuaciones lineales.
9
X1 ≤ 4
8
7
6
RE
V
X2
.
.
P3
P4
2X2 ≤ 12
5
4
.
3
P2
2
P5
(0,0)
1
.
.
P1
1
2
3
4
5
6
3X1 + 2X2 ≤ 18
X1
83
Paso d:
Determinar el área común
La región conformada por los vértices p 1 , p 2 , p 3 , p 4 y p 5 , es la
intersección de todos los sentidos de las desigualdades, es decir,
es el área común donde estará la solución del modelo.
Paso e:
Calcular el valor de la función objetivo
P1 (4,0 )
P 2 (4,3)
P 3 (2,6 )
IS
I
P 4 (0,6 )
Ó
N
El polígono de la gráfica, está compuesto de 5 vértices, así:
RE
V
P 5 (0,0 ) → se descarta porque no maximiza nada.
Cada uno de estos vértices genera una solución, reemplazándolos en la
función objetivo, así:
P1 (4,0 ) →Z 1= 3(4 ) + 5(0 ) = 12
P 2 (4,3) →Z 2 = 3(4 ) + 5(3) = 27
P 3 (2,6 ) → Z 3= 3(2 ) + 5(6 ) = 36
P 4 (0,6 ) → Z 4 = 3(0 ) + 5(6 ) = 30
Como puede observarse, el valor más grande que asume la función objetivo Z
es de 36 y proviene del vértice (2, 6), el cual se constituye en el punto óptimo
de la siguiente solución óptima:
X 1* = 2
X 2* = 6
Z * = 36
84
2. Mín. Z = 4 X 1+5 X 2
s.a :
4 X 1+4 X 2 ≥ 20 ; 4 X 1+4 X 2 =20 (1)
6 X 1+3 X 2 ≥ 24 ; 6 X 1+3 X 2 = 24 (2)
8 X 1+5 X 2 ≤ 40 ; 8 X 1+5 X 2 = 40 (3)
En la ecuación (1): Sí X 1= 0 → 4(0) + 4 X 2= 20
4 X 2= 20
X 2=
20
4
Ó
N
0 + 4 X 2= 20
X 2= 5 → (0,5)
IS
I
Sí X 2= 0 → 4 X 1+4(0) = 20
4 X 1+0 = 20
RE
V
4 X 1= 20 → X 1=
20
4
X 1= 5 → (5,0 )
En la ecuación (2): Sí X 1= 0 → 6(0) + 3 X 2= 24
0 + 3 X 2= 24
X 2=
24
3
X 2= 8 → (0,8)
Sí X 2= 0 → 6 X 1+3(0) = 24
6 X 1+0 = 24
6 X 1= 24 → X 1=
X 1= 4 → (4,0 )
24
6
85
En la ecuación (3): Sí X 1= 0 → 8(0) + 5 X 2= 40
0 + 5 X 2= 40
5 X 2= 40
X 2=
40
5
X 2 = 8 → (0,8)
Sí X 2= 0 → 8 X 1+5(0) = 40
Ó
N
8 X 1+0 = 40
8 X 1= 40
40
8
IS
I
X 1=
X 1= 5 → (5,0 )
9
8
.
P3
4X1 + 4X2 ≥ 20
7
6
5
RE
V
X2
.
4
3
.
2
P2
1
. .
1
2
6X1 + 3X2
3
≥
4
24
5
8X1 + 5X2 ≤ 40
P1
6
7
X1
8
86
P1 (5,0 ) →Z 1= 4(5) + 5(0 ) = 20
P 2 (3,2 ) →Z 2 = 4(3) + 5(2 ) = 22
P 3 (0,8) →Z 3= 4(0 ) + 5(8) = 40
Como puede observarse el valor mínimo de Z es 20, entonces: La solución
óptima es:
X 1* = 5
Ó
N
X 2* = 0
3.
3
2
Máx. Z = X 1+ X 2
s.a:
IS
I
Z * = 20
2 X 1+2 X 2 ≤ 16
RE
V
X 1+2X 2 ≤ 12
4 X 1+2 X 2 ≤ 28
X 1= X 2
≥ 0
Solución
2 X 1+2 X 2= 16
(1)
X 1+2 X 2= 12
(2)
4 X 1+2 X 2= 28
(3)
En la ecuación (1)
Sí X 1= 0 → 2(0) + 2 X 2= 16
0 + 2 X 2= 16
2 X 2= 16 → X 2=
16
→ X 2= 8 → (0,8)
2
87
Sí X 2= 0 → 2 X 1+2(0) = 16
2 X 1+0 = 16
2 X 1= 16 → X 1=
16
→ X 1= 8 → (8,0 )
2
En la ecuación (2)
Sí X 1= 0 → 0 + 2 X 2= 12
12
→ X 2= 6 → (0,6 )
2
Ó
N
2 X 2= 12 → X 2=
Sí X 2= 0 → X 1+2(0) = 12
X 1+0 = 12 → X 1= 12 → (12,0 )
IS
I
En la ecuación (3)
Sí X 1= 0 → 4(0) + 2 X 2= 28
0 + 2 X 2= 28
RE
V
2 X 2= 28 → X 2=
Sí X 2= 0 → 4 X 1+2(0) = 28
4 X 1+0 = 28
4 X 1= 28
X1 =
28
4
X 1 = 7 → (7,0)
28
→ X 2= 14 → (0,14 )
2
88
X2
14
13
12
11
Ó
N
10
9
8
4X1 + 2X2 ≤ 28
7
.
P4
IS
I
6
5
.
P3
4
3
1
.
P2
RE
V
2
X1 + 2X2 ≤ 12
.
7
1
2
3
4
5
6
.
P1
8
9
10
2X1 + 2X2 ≤ 16
P1 (7,0 ) →Z 1= 7 +
3
(0) = 7
2
P 2 (6,2 ) →Z 2 = 6 +
3
(2) = 9
2
P 3 (4,4 ) →Z 3= 6 +
3
(4) = 12
2
P 4 (0,6 ) →Z 4 = 0 +
3
(6) = 9
2
11
12
X1
89
Solución óptima, el valor más grande de Z por tratarse de un problema de
maximización:
X 1* = 4
X 2* = 4
4. Máx. Z = 3 X 1+2 X 2
X 1+ X 2 ≥ 20
s.a:
X1
≤ 15
IS
I
X 1+3X 2 ≤ 45
Ó
N
Z * = 12
− 3 X 1+5 X 2 ≤ 60
X 1= X 2
RE
V
Solución
≥ 0
X 1+ X 2= 20
(1)
X 1= 15 → Recta paralela al eje X 2
X 1+3 X 2= 45 (3)
− 3 X 1+5 X 2= 60 (4)
En la ecuación (1):
Sí X 1= 0 → 0 + X 2= 20 → X 2= 20 → (0,20)
Sí X 2= 0 → X 1+0 = 20 → X 1= 20 → (20,0)
En la ecuación (3)
Sí
X 1= 0 → 0 + 3 X 2= 45 → 3 X 2= 45 → X 2=
Sí
X 2= 0 → X 1+3(0 ) = 45 → X 1= 45 → (45,0 )
45
→ X 2= 15 → (0,15)
3
90
En la ecuación (4)
Sí
X 1= 0 → −3(0 ) + 5 X 2= 60 → 5 X 2= 60 → X 2=
60
→ X 2= 12 → (0,12 )
5
Sí
X 2= 0 → −3 X 1+5(0 ) = 60 → −3 X 1= 60 → X 1=
60
→ X 1= −20 → (− 20,0 )
−3
- 3 X 1 + 5 X 2 ≤ 60
Ó
N
X2
20
12
X 1 ≤ 15
15
P3
- 20
5
10
15 20
P1 (15,5) →Z 1= 3(15) + 2(5) = 55
P 2 (15,10 ) →Z 2 = 3(15) + 2(10 ) = 65
15 25 95
15 25
P , →Z 3= 3 + 2 =
2
2 2 2
3 2
El mayor valor de Z es 65, luego la solución óptima es:
X 1* = 15
X 2* = 10
Z * = 65
X 1 + 3 X 2 ≤ 45
P1
RE
V
5
P2
IS
I
10
X1
45
X 1 + X 2 ≥ 20
91
3.2 MÉTODO SIMPLEX
El método Simplex cuyo autor es GEORGE DANTZING, quien lo desarrolló
en 1947, es un algoritmo que, a diferencia del método gráfico, sirve para
solucionar problemas de programación lineal sin tener en cuenta el número de
ecuaciones ni el de incógnitas.
Ó
N
El algoritmo es un proceso en el que se repite un procedimiento sistemático
una y otra vez hasta obtener el resultado deseado. Cada vez que se lleva a
cabo el procedimiento sistemático, se realiza una iteración.
IS
I
En consecuencia, el algoritmo Simplex sustituye un problema difícil por una
serie de problemas fáciles, mediante un procedimiento para iniciar
(preparación) y un criterio para determinar cuando detenerse (solución óptima
RE
V
o resultado deseado).
La idea general de este método se puede describir como el procedimiento
iterativo que parte del origen y en el que cada iteración (paso) contiene la
solución de un sistema de ecuaciones y así seleccionar las variables que
optimicen el valor de la función objetivo, obteniendo una nueva solución a la
que se aplica una prueba de optimalidad.
3.2.1 Procedimiento Simplex
Solucionar un modelo de programación lineal por el método simplex, implica
seguir los siguientes pasos:
92
3.2.1.1
Estandarizar el modelo de P. L. (procedimiento inicial)
Significa convertir las restricciones funcionales de desigualdad en
restricciones de igualdad equivalente, lo cual se logra adicionando variables
de holgura (Si), una por cada restricción, para que represente el superávit. La
estandarización del modelo de programación lineal también tiene que ver con
la función objetivo, por lo que debe agregarse a esta función todas las
Ó
N
variables que aparecen como extras en las restricciones. Los coeficientes o
contribuciones de las variables extras que deben aparecer en la función
objetivo, tendrán valor de 0, para que no modifiquen o alteren el valor óptimo
IS
I
de la misma.
RE
V
3.2.1.2 Construir la tabla característica
Consiste en disponer todos los elementos del modelo ya estandarizado en
forma tabular, así:
Sea el siguiente modelo general de programación lineal:
Máx = C 1X 1+C 2 X 2+... +C n X n
s.a:
A11 X 1+ A12 X 2+.... + A1n X n≤b1
A 21 X x+ A 22 X 2+... + A 2 n X n≤b 2
.
.
.
.
.
.
.
.
A m1 X 2+ A m 2 X 2+... + A mn X n≤b n
X i≥ 0
i = 1,2,..n
93
TABLA CARACTERISTICA SIMPLEX
Cj
C1
C2
. . . Cn
VB
bi
X1
X2
... Xn
θi
C1
X1
b1
a11
a12
. . . a1n
θ1
C2
X2
b2
a 21
a 22
. . . a 2n
θ2
Cn
Xn
bn
a m1
a m2
. . . a mn
θn
Z
b0
Z1
Z2
. . . Zn
j
C 1− Z 1
j
C 2 −Z 2
C n −Z n
IS
I
C j −Z
Ó
N
Ci
RE
V
Definición de la simbología
C j:
Contribución de todas las variables básicas y no básicas (coeficientes
de las variables en la función objetivo).
VB: Variables básicas (siempre en la primera tabla serán las variables de
holgura).
Ci :
Contribución de las variables básicas.
bi :
Disponibilidad de recursos al comienzo y valor de las variables básicas
al final o sobrante de recurso.
b0 :
Valor optimo de Z.
n
Z j = b0 = ∑ C i bi
i =1
n
Z j = ∑ c i a ij
i =1
94
j = 1,2...n
C j − Z j : Parámetro de optimización
θi:
Parámetro de factibilidad (pauta para la variable que sale)
θ i=
bi
a ij
1)
Ó
N
3.2.1.3 Variable que entra y la que sale (Criterios del Simplex)
Multiplique por –1 a ambos lados la restricción que tenga el signo ≥,
esto hace que la restricción cambie a ≤.
Determinar la columna y la fila pivote.
IS
I
2)
Columna (variable entrante)
RE
V
• Si no hay negativos en b1 , se selecciona el mayor de los positivos de
( C j − Z j ).
• Si hay negativos en b i , se divide la fila ( C j − Z j ) por la fila pivote,
seleccionando el mayor valor absoluto de los negativos de : θ 2=
(C j − Z j )
F .P.
,
si todos son negativos; si todos son positivos, se escoge el mayor de ellos y
si hay negativos y positivos, se selecciona el mayor positivo
Fila (variable saliente)
• Si hay negativos en b i , seleccione el mayor valor absoluto de esos
negativos.
95
• Si no hay negativos en b1 , seleccione el menor de los positivos de: θ 1=
bi
C.P.
En la intersección de la variable que entra y la que sale se encuentra la celda
pivote y en ella, el elemento pivote, en cual se necesita la unidad.
3)
Una vez se haga el intercambio (entrante – saliente), se aplica el
Simplex.
4)
Revisar la columna b i , si hay negativos, pase al ítem 2), sino, siga
IS
I
haciendo iteraciones.
5)
Ó
N
método de eliminación de GAUSS – JORDAN para hacer iteración
La solución es óptima cuando todos los (c j - z j ) ≤ 0. (Prueba de
RE
V
optimalidad o criterio para detenerse).
EJEMPLOS
Resolver los siguientes modelos de programación lineal por el método
simplex:
1.
Máx. Z = X 1+2X 2
s.a.:
X 1+3X 2 ≤ 8
X 1+ X 2 ≤ 4
X 1= X 2 ≥ 0
Solución
96
a)
Estandarización:
Máx. Z = X 1+2 X 2+0S 1+0S 2
s.a.:
X 1+3 X 2+ S 1
X 1+ X 2+
=8
S2 = 4
X 1= X 2= S 1= S 2 ≥ 0
0
Cj
1
2
Ó
N
Tabla característica
0
0
S1
S2
θ1
1
0
8
4
Ci
VB
bi
X1
X2
0
S1
8
1
3
0
S2
4
1
1
0
1
Z
0
0
0
0
0
0
0
RE
V
j
IS
I
b)
C j −Z
j
1
2
3
Saliente
(F.P)
Entrante (C.P)
c)
Variable que entra y variable que sale:
En la tabla se puede apreciar:
-
La solución no es optima, porque todos los C j − Z j no son ≤ 0.
-
Al no haber negativos en b i , se selecciona para entrar el mayor
positivo de los C j − Z j . ( X 2 )
-
Se determinó θ i=
bi
y se seleccionará el menor positivo de ellos (S 1 ) .
C.P.
97
-
En la intersección de la C.P con la F.P. se encuentra el numero 3 o
elemento PIVOTE. En él hay que hallar la unidad y un cero en la celda
inferior (GAUSS-JORDAN).
1
Cj
1
2
0
0
VB
bi
X1
X2
S1
S2
θ1
2
X2
8
1
3
1
1
3
0
8
0
S2
4
Z
16
j
3
2
3
0
3
2
1
3
0
2
para obtener la nueva F1
- 13
1
2
3
0
- 23
0
2
− F 1N + F 2V para obtener
la nueva F2
RE
V
C j −Z
3
3
IS
I
j
3
F1
Ó
N
Ci
En esta nueva iteración se observa:
-
La solución no es óptima, porque todos los C j − Z j no son ≤ 0 .
-
No hay negativos en b i , se seleccionó para entrar el mayor de los
positivos de C j − Z j . ( X 1 )
b1
y se escogió el menor positivo de ellos ( S 2 ) .
C.P
-
Se calculó θ 1=
-
En la intersección de la C.P. con la F.P está el elemento pivote
él hay que hallar la unidad y un cero en la celda superior.
2
. En
3
98
2
Cj
1
2
0
X2
S1
1
1
VB
bi
X1
2
X2
2
0
1
X1
2
1
0
- 12
3
Z
6
1
2
1
1
0
0
- 12
j
C j −Z
j
S2
2
En este paso podemos ver que:
2
- 12
IS
I
X2 = 2
;
RE
V
;
S1* = 0
Máx. Z = 3 X 1+2 X 2
s.a
≤
X1
4
X 1+ 3X 2 ≤ 15
2X 1+ X 2 ≤ 10
X 1= X 2≥ 0
a)
3 F para obtener la nueva F2
2 2
2
La solución óptima es:
X 1* = 2
2.
− 1 F2 N + F1V para obtener la nueva F1
3
Todos los C j − Z j son ≤ 0 , luego la solución es optima (el algoritmo se
detiene)
-
- 12
2
Ó
N
Ci
-
0
Estandarización
Max. Z = 3 X 1+2 X 2+0S 1+0S 2 +0S 3
s.a:
X 1+
S1
X 1+ 3X 2 +
2 X 1+ X 2 +
S2
S3
=4
= 15
= 10
X 1= X 2= S 1= S 2 = S 3≥ 0
;
S 2* = 0 ;
Z* = 6
99
b)
Tabla característica
0
Cj
3
2
0
0
0
VB
bi
X1
X2
S1
S2
S3
θ1
0
S1
4
1
0
1
0
0
4
0
S2
15
1
3
0
1
0
15
-F1 + F2 para obtener la nueva F2
0
S3
10
2
1
0
0
1
5
-2F1 + F3 para obtener la nueva F3
Z
0
0
0
0
0
0
3
2
0
0
0
j
C j −Z
j
Ó
N
Ci
Variable entrante y variable saliente
-
No hay solución optima porque todos los C j − Z j no son ≤ 0 .
-
No hay negativos en b i , entonces entra el mayor positivo de los
RE
V
IS
I
c)
C j −Z
θ 1=
-
1
j
(X 1 ) .
b1
y se selecciona para salir el menor positivo θ 1 (S 1 ) .
C.P
Cj
3
2
0
0
0
S2
S3
θ1
Ci
VB
bi
X1
X2
3
X1
4
1
0
1
0
0
∝
0
S2
11
0
3
-1
1
0
11/3
0
S3
2
0
1
-2
0
1
2
Z
12
3
0
3
0
0
0
2
-3
0
0
j
C j −Z
j
S1
-3F3 + F2 para obtener la nueva F2
100
En la tabla 1 se aprecia:
-
No hay solución óptima, porque todos los C j − Z j no son ≤ 0.
-
Entra el mayor positivo de los C j − Z j , porque no hay negativos en b i .
-
Sale el menor positivo de θ 1=
Cj
3
2
0
Ci
VB
bi
X1
X2
S1
3
X1
4
1
0
1
0
S2
5
0
0
5
X2
2
0
Z
16
3
j
j
0
S2
S3
-2
θ1
0
0
4
1
-3
1
0
1
-1
-F2N + F1V para obtener la nueva F1
-
F2
5
para obtener la nueva F2
2F2N + F3V para obtener la nueva F3
2
-1
0
2
0
1
0
-2
RE
V
C j −Z
1
0
IS
I
2
0
Ó
N
2
bi
C.P
En la tabla 2 observamos que:
-
No hay solución óptima ya que todos los C j − Z j no son ≤ 0.
-
No hay negativos en b i , entonces entra el mayor positivo de los
C j − Z j (S 1 ) .
-
Sale el menor positivo de θ 1=
b1
(S 2 )
C.P
Luego realizamos el intercambio de la variable entrante por la saliente, así:
101
3
Cj
3
2
0
0
0
Ci
VB
bi
X1
X2
S1
S2
S3
3
X1
3
1
0
1
- 15
3
0
S1
1
0
0
0
1
5
- 35
2
X2
4
0
1
0
2
5
- 15
Z
17
3
2
0
1
5
7
0
0
- 15
- 75
C j −Z
0
j
5
Ó
N
j
5
IS
I
En esta interación se llega a la solución óptima, porque, todos los C j − Z j ≤ 0.
Entonces la solución óptima es:
X 2* = 4
;
S1* = 1 ;
RE
V
X 1* = 3 ;
S 2* = 0
;
S 3* = 0
; Z * = 17
Las variables S 2 y S 3 son ceros porque no aparecen en la columna VB.
3.
Máx. Z = 10 X 1+2 X 2
s.a :
3 X 1+2 X 2≥ 30
X 1+5 X 2≤ 50
2 X 1+7 X 2≤ 25
X 1= X 2≥ 0
Nótese que la primera restricción posee signo ≥ , entonces se multiplica
por –1 a ambos lados de ella para que cambie a ≤ , así ( 3 X 1+2 X 2≥ 30 )
(-1) = − 3 X 1−2 X 2≤ −30 .
102
Entonces:
10 X 1+2 X 2+0 S 1+0 S 2 +0 S 3
Máx. =
s.a:
− 3 X 1−2 X 2+ S1
X 1+ 5X 2 +
= -30
= 50
S2
2X 1 + 7 X 2 +
S3 =25
X 1= X 2= S 1= S 2 = S 3≥ 0
Cj
10
2
0
0
0
S2
S3
0
0
1
0
Ó
N
0
VB
bi
X1
X2
S1
0
S1
-30
-3
-2
1
0
S2
50
1
5
0
0
S3
25
2
7
0
0
1
Z
0
0
0
0
0
0
RE
V
j
IS
I
Ci
C j −Z
j
θ2
10
2
0
0
0
- 10 3
-1
0
∞
∞
Entra el mayor valor absoluto de los negativos de θ 2 =
C j −Z
j
F .P.
Al haber un valor negativo en bi : Sale automáticamente. De haber más de
uno, saldría el mayor valor absoluto de ellos.
103
1
Cj
10
2
0
0
0
S2
S3
θ1
Ci
VB
bi
X1
X2
S1
10
X1
10
1
2
- 13
0
0
-30
1 F + F para obtener la nueva F1
1V
3 3N
0
S2
40
0
13
1/3
1
0
120
- 13 F3 N + F2V para obtener la nueva F2
0
S3
5
0
17
2/3
0 1
100
10
20
0
- 14 3
C j −Z
2
j
10
3
- 10 3
10
3
2
0
Ci
VB
bi
X1
X2
10
X1
25
1
7
0
S2
75
0
3
0
S1
15
0
17
10
0
Z
j
2
2
2
125
C j −Z
j
0
0
0
0
0
RE
V
Cj
3
15
2
3 F para obtener la nueva F3
2 3
Ó
N
j
3
IS
I
Z
3
S2
S3
0
0
1
0
1
- 12
1
0
3
35
0
0
5
-33
0
0
2
2
2
S1
0
2
2
-5
Todos los ( C j − Z j ) ≤ 0 , entonces la solución es óptima:
X 1* = 25 / 2 ; X 2* = 0
; S1* = 15 / 2 ; S 2* = 75 / 2 ; S 3* = 0 ;
Z * = 125
104
Máx. Z = 4 X 1+6 X 2+5 X 3
4.
10 X 1+4 X 2+2 X 3 ≤ 95
s.a
2 X 1+2 X 2
X 1+
≤ 41
2X 3 ≤ 61
X 1= X 2= X 3≥ 0
Ó
N
Solución
Máx. Z = 4 X 1+6 X 2+5 X 3+0S 1+0S 2 +0S 3
10 X 1+4 X 2+2 X 3+ S 1
X 1+2X 3+
= 41
S2
IS
I
2 X 1+2 X 2+
=95
S3 = 61
0
RE
V
X 1= X 2= X 3= S 1= S 2 = S 3≥ 0
Cj
4
6
5
0
0
0
Ci
VB
bi
X1
X2
X3
S1
S2
S3
θ1
0
S1
95
10
4
2
1
0
0
95/4
0
S2
41
2
2
0
0
1
0
41/2
0
S3
61
1
0
2
0
0
1
∞
Z
0
0
0
0
0
0
0
4
6
5
0
0
0
j
C j −Z
j
-2F2 + F1
F2
2
105
1
Cj
4
6
5
0
0
0
X3
S1
S2
S3
θ1
VB
bi
X1
X2
0
S1
13
6
0
2
1
-2
0
13
6
X2
41
1
1
0
0
1
0
∞
0
S3
61
1
0
2
123
6
6
0
-2
0
5
j
C j −Z
Ci
4
Cj
6
5
VB
0
1
61
0
3
0
0
-3
0
0
0
X3
S1
S2
S3
-1
0
- 13 2
0
41
bi
X1
X2
3
0
1
1
1
1
0
0
1
5
X3
13
6
X2
41
0
S3
48
-5
0
0
-1
2
1
311
21
6
5
5
-2
0
-17
0
0
- 52
2
0
Z
j
C j −Z
2
j
2
2
-F1 + F3
2
0
RE
V
2
j
0
2
2
Ó
N
Z
2
F1
2
IS
I
Ci
2
2
2
θ1
24
F3N + F1
- 1 F3N + F2
2
F3
2
106
3
Cj
4
6
5
0
0
0
Ci
VB
bi
X1
X2
X3
S1
S2
S3
5
X3
61
1
0
1
0
0
1
6
X2
17
1
0
1
0
- 14
0
S2
24
- 52
0
0
- 12
1
1
407
16
6
5
3
0
1
0
0
- 32
0
-1
j
C j −Z
2
j
2
9
2
4
-12
4
2
Ó
N
Z
2
2
2
X 1* = 0 ;
X 2* = 17 / 2 ;
IS
I
Todos los ( C j - Z j ) ≤ 0, entonces la solución es óptima:
X 3* = 61 / 2 ; S1* = S 3* = 0 ;
S 2* = 24 ; Z * = 407 / 2
RE
V
Hasta aquí hemos solucionado casos de maximización, ahora miraremos
problemas de minimización, los cuales solucionaremos por el método de
maximizando el negativo de la función objetivo, el cual consiste en
multiplicar todo el problema por –1 al inicio (excepto la condición de no
negatividad) y al final también se multiplica por –1para volver al caso de
minimización original, así:
Solucionar los siguientes modelos de P. L. por el método Simplex:
1. Minimizar Z = 4 X 1+12 X 2+18 X 3
s.a. : X 1+3 X 3≥ 3
2 X 2+2 X 3≥ 5
X 1= X 2= X 3≥ 0
107
Se multiplica el modelo por –1, entonces:
Maximizar (-Z)= − 4 X 1−12 X 2−18 X 3
s.a : − X 1−
3X 3
≤ -3
− 2 X 2−2 X 3
≤ -5
X 1= X 2= X 3≥ 0
Ahora estandarizamos:
s.a: − X 1 −
3X 3 + S1
− 2 X 2−2 X 3+
= -3
S 2 = -5
0
0
RE
V
Cj
-4
IS
I
X 1= X 2= X 3= S 1= S 2 ≥ 0
0
Ó
N
Maximizar (-Z) = − 4 X 1−12 X 2−18 X 3+0S 1+0S 2
-12 -18
VB
bi
X1
X2
X3
S1
S2
0
S1
-3
-1
0
-3
1
0
0
S2
-5
0
-2
-2
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
∞
0
Ci
Z
j
C j −Z
j
-4
θ2
∞
-12 -18
6
9
3F2N + F1V
F2
−2
108
1
Cj
-4
-12
-18
0
0
Ci
VB
bi
X1
X2
X3
S1
S2
θ1
0
S1
9
-1
3
0
1
- 32
3
5
j
0
1
1
0
- 12
0
18
-18
0
9
-4
6
0
0
-9
2
-45
C j −Z
j
2
Ci
VB
-4
bi
3
-18
X1
X2
X3
2
- 13
1
0
1
3
- 12
1
1
3
0
1
- 13
0
-36
-2
-12
-18
2
6
-2
0
0
-2
-6
-18 X 3
Z
j
-F1N + F2V
2
-12
RE
V
-12 X 2
Cj
3
Ó
N
Z
5
F1
2
IS
I
-18 X 3
2
C j −Z
j
0
S1
0
S2
Como todos los C j − Z j son ≤ 0, entonces la solución óptima es:
X 1* = 0
X 2* = 3 / 2
Z * = 36
Se le cambia de signo para que no se altere el modelo original de
X 3* = 1
Minimización.
S1* = S 2* = 0
109
2. Mín. = 20 X 1+15 X 2+45 X 3+60 X 4
X 1+ X 2+ X 3 - 3X 4 ≥ 3
s.a:
X 1+
3X 3 + 5X 4 ≥ 2
X 1= X 2= X 3= X 4≥ 0
Entonces:
Max. (-Z) = − 20 X 1−15 X 2−45 X 3−60 X 4
− X 1−
Ó
N
s.a. : − X 1− X 2− X 3 + 3X 4 ≤ -3
3X 3 - 5X 4 ≤ -2
X 1= X 2= X 3= X 4 ≥ 0
IS
I
Estandarizando:
Max. (-Z) = − 20 X 1−15 X 2−45 X 3−60 X 4+0S 1+0S 2
s.a. : − X 1− X 2− X 3+ 3X 4 + S1
− X 1− − 3X 3 − 5X 4 +
= -3
RE
V
S 2 = -2
X 1= X 2= X 3= X 4= S 1= S 2 ≥ 0
Tabulando:
0
Cj
-20
-15
-45 -60
0
0
Ci
VB
bi
X1
X2
X3
X4
S1
S2
0
S1
-3
-1
-1
-1
3
1
0
F1
0
S2
-2
-1
0
-3
-5
0
1
-3F1 + F2
Z
0
0
0
0
0
0
0
-20
-15
-45 -60
0
0
20
15
45
0
∞
j
C j −Z
θ2
j
-20
−1
110
1
-20 -15 -45 -60
Cj
0
0
VB
bi
X1
X2
X3
X4
S1
S2
θ1
-45 X 3
3
1
1
1
-3
-1
0
3
0
7
2
3
0
-14
-3
1
-135 -45 -45 -45 135
45
0
-195 -45
0
S2
Z
j
C j −Z
2
25
j
30
0
-20 -15 -45 -60
Cj
7
0
0
X2
X3
X4
S1
S2
θ1
-45 X 3
2
1
3
0
1
5
0
- 13
2
-15 X 2
7
2
1
0
- 14 3
-1
1
3
-5
15
10
3
3
3
RE
V
3
IS
I
X1
VB
Z
j
-65 -25 -15 -45
C j −Z
5
j
3
F2
3
bi
Ci
-F2N + F1V
0
0
Cj
-20 -15 -45 -60
7
3F1
-2F1 + F2
2
-55 -15 -10
0
0
VB
bi
X1
X2
X3
X4
S1
S2
-20 X 3
2
1
0
3
5
0
-1
-15 X 2
1
0
1
-2
-8
-1
1
-55 -20 -15 -30
20
15
5
-15 -80 -15
-5
Ci
Z
j
C j −Z
j
0
3
Ó
N
Ci
0
111
Todos los C j − Z j son ≤ 0, entonces la solución óptima es:
X 1* = 2 ;
X 2* = 1 ; X 3* = 0 ;
X 4* = 0 ; S1* = S 2* = 0
3. Min. Z = 4 X 1+15 X 2+10 X 3
s.a. : X 1+ X 2+ 2X 3 ≥ 3
3X 2 + X 3 ≥ 2
X 1= X 2= X 3 ≥ 0
Ó
N
Al multiplicar por -1, obtenemos:
IS
I
Máx. (-Z) = − 4 X 1−15 X 2−10 X 3
s.a. : − X 1− X 2−2X 3 ≤ -3
− 3 X 2− X 3 ≤ -2
X 1= X 2= X 3 ≥ 0
Ahora estandarizamos el modelo:
RE
V
Máx. (-Z) = − 4 X 1−15 X 2−10 X 3+0S 1+0S 2
s.a. : − X 1− X 2−2 X 3+ S 1 = -3
− 3 X 2− X 3+
S 2 = -2
X 1= X 2= X 3= S 1= S 2 ≥ 0
Entonces:
Cj
0
-4
-15
-10
VB
bi
X1
X2
X3
0
S1
-3
-1
-1
-2
0
S2
-2
0
-3
0
0
Ci
Z
j
C j −Z
θ2
j
0
S1
S2
1
0
F1
−1
-1
0
1
-3F1 + F2
0
0
0
0
-4
-15
-10
0
0
4
15
5
0
∞
;
Z * = 55
112
1
Cj
-4
-15 -10
VB
bi
X1
X2
-15 X 2
3
1
0
7
3
Ci
S2
Z
j
0
0
X3
S1
S2
θ1
1
2
-1
0
3
0
5
-3
1
7
-45 -15 -15 -30 15
j
11
0
20 -15
F2
5
5
0
0
2
Ci
VB
Cj
-4
-15 -10
bi
X1
X2
X3
1
5
- 15
1
0
1
5
- 25
3
0
1
- 35
1
5
3
4
-3
-4
RE
V
-15 X 2
IS
I
Ó
N
C j −Z
-2F2N + F1V
2
-10 X 3
Z
j
7
5
-17
C j −Z
j
5
-3
-1
-15 -10
0
0
0
S1
0
S2
Como todos los C j − Z j ≤ 0, entonces la solución óptima es:
X 1* = 0
X 2* = 1 / 5
X 3* = 7 / 5
S1* = S 2* = 0
Z * = 17
113
RESUMEN
Para poder darle solución a un modelo de P. L. por el Método Simplex,
primero que todo hay que estandarizar el modelo (prepararlo),
adicionando variables de holgura (S i ), una por cada restricción y en
Ó
N
forma ascendente.
Cuando no hay valores negativos en la columna b i , se selecciona para
entrar el mayor de los positivos de la fila (C j – Z j ), luego se procede a
bi
.
CP
IS
I
sacar el menor positivo de la columna θ1 =
Cuando hay valores negativos e la columna b i , se selecciona para salir
RE
V
el mayor valor absoluto de estos, luego se procede a entrar el mayor
valor absoluto de θ 2 =
(C j − Z j )
FP
, si todos son negativos; si todos son
positivos se selecciona el mayor de ellos y si hay negativos y positivos,
se selecciona el mayor positivo.
En una solución óptima no pueden aparecer valores negativos en la
columna b i , ya que esto contradice la condición de no negatividad.
Una solución es óptima cuando todos los valores de la fila (C j – Z j ) son
≤ 0
114
AUTOEVALUACION N0 3
1) Aplique el método Simplex para darles solución a los siguientes modelos
de P. L.
a) Mín. Z = 3 X 1+2 X 2
s.a. : 5 X 1+2 X 2≥ 250
Ó
N
X 1+3 X 2≥ 100
3 X 1≥ 60
IS
I
X 1= X 2≥ 0
b) Máx. Z = 10 X 1+13 X 2+10 X 3+11X 4
RE
V
s.a.: 4 X 1+4 X 2+3 X 3+8 X 4≤ 36
4 X 1+5 X 2+4 X 3+5 X 4≤ 46
2 X 1+ X 2+3 X 3+2 X 4≤ 21
X 1= X 2= X 3= X 4≥ 0
c) Máx. Z. = 3 X 1+2 X 2
s.a. : X 1+3 X 2≤ 45
X 1≤ 12
2 X 1+ X 2≤ 30
X 1= X 2≥ 0
115
d) Máx. Z = 2 X 1+ 3 2 X 2
s.a. : X 1+ X 2≤ 40
X 1≤ 20
X 2≤ 35
2 X 1+ X 2≤ 50
X 1= X 2≥ 0
Ó
N
2) Solucionar por el método gráfico los siguientes modelos de programación
lineal.
Máx. Z = 4 X 1+4 X 2
s.a. : X 1+3 X 2≥ 3
X 1+ X 2≥ 2
RE
V
5
X 1+ X 2≤ 6
6
IS
I
a)
4 X 1+7 X 2≤ 28
X 2≤ 3
X 1= X 2≥ 0
b)
Máx. Z = 3 X 1+2 X 2
s.a. : X 1+ X 2≥ 20
X 1≤ 15
X 1+3 X 2≥ 45
− 3 X 1+5 X 2≤ 60
X 1= X 2≥ 0
116
GLOSARIO DE TERMINOS
1) ALGORITMO: Proceso de cálculo que proporciona la solución de un
determinado tipo de problema mediante un número finito de pasos. Por
ejemplo: Indicar todos los pasos para sacar la raíz cuadrada de un número. Un
algoritmo suele consistir en una serie de instrucciones detalladas que indican
paso a paso qué debe hacerse para conseguir la respuesta a cada problema de
un proceso puramente mecánico.
Ó
N
un tipo determinado; no es necesaria ninguna iniciativa, sino que se trata de
plano cartesiano (X,Y).
IS
I
2) INTERSECTO: Punto donde una recta corta a cualquiera con los ejes del
3) ITERACION: Se refiere al conjunto de pasos necesarios para poder pasar
de una tabla simplex a la otra (Iteración Simplex).
RE
V
4) PIVOTE: Hace referencia al elemento organizador o armador para poder
pasar de una tabla Simplex a la otra.
5) RESTRICCION: Es una sujeción o limitante con respecto a la
racionalización de recursos empresariales, esbozada en formula de
desigualdad.
6) SOLUCION FACTIBLE: Es una solución intermedia en la solución de
modelos de P. L, pero no la mejor de todas.
7) SOLUCION OPTIMA: Es la mejor solución (final) de los modelos de P.
L entre todas las posibles (Factibles) y es la mayor si el modelo es
maximización o la menor si se trata de minimización.
117
8) VARIABLES BASICAS: Son las representadas por las columnas que
conforman la matriz identidad en cualquier iteración Simplex y pueden ser
físicas o de holgura.
9) VARIABLES FISICAS: Son las que conforman inicialmente a un modelo
de P. L.
10) VARIABLES DE HOLGURA: Representan el valor no negativo
Ó
N
requerido para hacer que exista la igualdad en las restricciones de un modelo
de P. L. Se simboliza por el término S i , el subíndice se refiere a la i - ésima
restricción, ya que para cada restricción se utiliza una variable de holgura
diferente.
IS
I
11) VARIABLES NO BASICAS: Son aquellas que no aparecen en ninguna
RE
V
solución (Factible u optima), o sea, que son iguales a cero.
118
RE
V
IS
I
Ó
N
LA DUALIDAD
Unidad 4
119
PRESENTACION
Este estudio de la dualidad nos permitirá establecer que detrás de todo
problema de P. L existe otro, igualmente importante: El Problema Dual, el
cual encierra valiosa información a tener en cuenta al momento de tomar una
Ó
N
decisión utilizando esta herramienta.
El análisis de la información Dual permite conocer los precios implícitos de
IS
I
los recursos involucrados en el problema Primal, lo cual se logra por medio
del análisis de sensibilidad, que es una herramienta que dinamiza a los
problemas de Programación Lineal al sacarlos del estado estático en que ellos
RE
V
se presentan, toda vez que son el resultado de situaciones en un momento
determinado de las empresas.
120
OBJETIVOS
Construir el Problema Dual de un modelo original (Primal) de
Programación Lineal.
Primales.
Ó
N
Interpretar el significado de las variables duales en relación con las
IS
I
Realizar el análisis de sensibilidad al obtener la solución óptima de un
RE
V
problema de Programación Lineal.
121
ATREVETE A OPINAR
1.
¿Qué entiendes por Dualidad?
2.
¿Cómo interpretas el término Sensibilidad?.
Ó
N
IS
I
______________________________________________
______________________________________________
______________________________________________
______________________________________________
______________________________________________
______________________________________________
RE
V
3.
______________________________________________
______________________________________________
______________________________________________
______________________________________________
______________________________________________
______________________________________________
¿Qué entiendes por Precio Sombra y Costo de
Oportunidad?
______________________________________________
______________________________________________
______________________________________________
______________________________________________
______________________________________________
______________________________________________
122
ACCIONES PARA
CONSTRUIR EL
CONOCIMIENTO
En cada una de las siguientes matrices, obtener la traspuesta
Ó
N
equivalente:
(3 X + 2Y ) (− X − 4Y )
2 X + 7Y )
a) A =
(5 X − Y )
IS
I
(− X + Y − Z )
(2 X + Z )
( X − Y + 3Z )
b) B = (3 X + 5Y − Z )
(Y − 3Z )
(5 X + 2Y − Z )
(−4 X − 2Y + 3Z )
Z
− 4Y
RE
V
Determina el tamaño de la matriz involucrada en cada una de las
siguientes operaciones:
a) A 2X3 . B 3X4 = C
b) A 3X2 . B = C 3X4
¿Para qué valores de la variable X se satisfacen cada una de las
siguientes igualdades?
a) X3 – 1 = 7
b) 3 – X2 = - 6
123
UNID
4. EL PROBLEMA DUAL (P. D.)
4.1 DUALIDAD
Dado un conjunto de datos correspondientes a un módulo de P. L, existe otro
Ó
N
modelo elaborado a partir de los mismos datos, con una estructura diferente
que viene a ser como la imagen del primero, conocido como el Problema Dual
(al original se le denomina Problema Primal P. P).
IS
I
La dualidad es uno de los descubrimientos de gran importancia para el
desarrollo de la P. L, ya que con el conjunto de datos originales (P. P) se
RE
V
puede encontrar al mismo tiempo la solución Primal y la Dual.
La dualidad se caracteriza porque para todo problema de maximización de
P. L existe un problema equivalente de minimización y viceversa.
4.2 IMPORTANCIA TEORICA DE LA DUALIDAD
La importancia teórica radica en la conceptualización que se da en las
relaciones matemáticas entre el Primal y el Dual, lo que permite que al
encontrar la solución de uno de los problemas, se obtenga al mismo tiempo la
solución de su problema equivalente.
A continuación se describen las diferentes relaciones entre los dos modelos y
sus componentes:
124
4.2.1 Relaciones Entre el Modelo Primal y el Dual
a. Si el problema original (Primal) es un modelo de maximización, el Dual es
un modelo de minimización y viceversa.
b. Los términos independientes de las restricciones del Primal, corresponden
Ó
N
a los coeficientes de la función objetivo del Dual y viceversa.
c. Si en el modelo Primal las restricciones son del tipo ≤ , en el Dual son del
tipo ≥ y viceversa.
IS
I
d. Los coeficientes de las restricciones (a ij ) del Primal son los mismos del
Dual, pero transpuestos (lo que es fila en uno, es columna en otro y
RE
V
viceversa).
e. El número de variables del Primal es igual al número de restricciones del
Dual y viceversa.
4.2.2 Relaciones entre la Solución del Modelo Dual y el Primal
a. La fila de los C j - Z j del Dual corresponden a los b i del Primal (con signos
contrarios) y viceversa.
b. Las variables de holgura del Dual corresponden a las variables físicas
Primal y Viceversa.
125
c. Los a ij del Dual corresponden a los a ij del Primal, traspuestos y con signos
contrarios.
d. El Z óptimo del Dual corresponde al Z óptimo del Primal y viceversa.
Las anteriores relaciones (9 en total) son suficientes para:
Ó
N
1. Construir el modelo Dual, dado el modelo Primal y viceversa.
2. Pasar del Tablero Óptimo Dual (T.O.D) al Tablero Óptimo Primal (T.O.P)
IS
I
y viceversa.
4.3 IMPORTANCIA COMPUTACIONAL DE LA DUALIDAD
RE
V
Dentro del análisis Dual hay un aspecto computacional que se debe resaltar,
ya que se presenta un ahorro de cálculos al determinar la solución del
problema Primal a partir de la solución del problema Dual y viceversa,
teniendo en cuenta las relaciones descritas en la sección 4.2.2.
Ejemplos
1. Sea el siguiente modelo de P. L:
Max . Z = X 1 + 2X 2
s.a = X 1 + 3X 2 ≤ 8
X1 + X2 ≤ 4
X1 = X2 ≥ 0
Este es el Primal, ya que en la P. L a todo
modelo original, se le denomina Problema
Primal.
126
Se pide:
a. Construcción del Dual respectivo.
b. Solución del Dual por el método Simplex.
c. Del T. O. D, obtener el T. O. P.
Solución
a) Para construir el Problema Dual, se aplican las relaciones descritas en la
Ó
N
sección 4.2.1, así:
Min. Z = 8Y 1 + 4Y 2
Este es el Dual, construido a partir de los
s.a = Y 1 + Y 2 ≥ 1
datos originales (Primal), pero con una
3Y 1 + Y 2 ≥ 2
IS
I
Y1 = Y2 ≥ 0
estructura diferente.
b) Máx. (-Z) = -8Y 1 - 4Y 2
RE
V
s.a = -Y 1 - Y 2 ≤ -1
Max (-Z) = -8Y 1 - 4Y 2 + OS 1 + OS 2
-Y 1 - Y 2 ≤ -2
Y1 = Y2 ≥ 0
CJ
-8
-4
0
0
C i UB
bi
Y1 Y2
S1
S2
0
S1
-1
-1
-1
1
0
0
S2
-2
-3
-1
0
1
Zj
0
0
0
0
0
Cj - Zj
-8
-4
0
0
8
4
α
0
0
θ2
3
s.a = -Y 1 - Y 2 + S 1
-Y 1 - Y 2 +
= -1
S 2 = -2
Y1 = Y2 = S1 = S2 ≥ 0
F2N + FiV: para obtener la nueva F1
F2
: para obtener la nueva F2
−1
127
CJ
-8
-4
0
0
C i UB
bi
Y1 Y2
S1
S2
0
S1
1
2
0
1
-1
-4
Y2
2
3
1
0
-1
Zj
-8 -12 -4
0
4
0
-4
4
0
2
CJ
C i UB
bi
2
-4
F1
2
2
Y1
1
Y2
Zj
1
-3F1N + F2V: para obtener la nueva F2
3
-4
0
0
Y1
Y2
S1
S2
1
1
2
1
- 12
0
−3
0
1
2
2
-6
Cj - Zj
: para obtener la nueva F1
-8
RE
V
-8
1
IS
I
Cj - Zj
θ1
Ó
N
1
2
2
-8
-4
2
2
0
0
-2
-2
Como todos los (C j – Z j ) ≤ 0, la solución es óptima; es decir, hemos llegado
al T. O. D., entonces:
c) El T. O. P es:
128
CJ
1
2
0
0
C i UB
bi
X1 X2
S1
S2
1
X1
2
1
−1
3
2
X2
2
0
Zj
6
1
2
1
Cj - Zj
0
0
- 12
1
2
2
2
2
- 12
1
2
- 12
Ó
N
0
1
Nota: El estudiante debe ampliar los conceptos de las relaciones Dual y
IS
I
Primal para verificar el modelo y solución obtenida.
RE
V
2. Dado el siguiente método de P. L.:
Máx. . Z = 3X 1 + 2X 2
s.a: X 1
≤
4
X 1 + 3X 2 ≤ 15
2X 1 + X 2 ≤ 10
X1 = X2 ≥ 0
Obtener:
a. El modelo Dual correspondiente.
b. Solución del Dual por el método Simplex.
c. La T. O. D.
129
Solución
a. Min. Z = 4Y 1 + 15Y 2 + 10Y 3
s.a = Y 1 + Y 2 + 2Y 3 ≥ 3
3Y 2 + Y 3 ≥ 2
≥ 0
Y1 = Y2 = Y3
s.a = -Y 1 - Y 2 - 2Y 3 ≤ -3
-3Y 2 - Y 3 ≤ -2
Ó
N
b. Máx. (-Z) = -4Y 1 - 15Y 2 - 10Y 3
IS
I
Y1 = Y2 = Y3 = S1 = S2 ≥ 0
Máx. (-Z) = -4Y 1 -15Y 2 -10Y 3 +OS 1 + OS 2
s.a = -Y 1 - Y 2 - 2Y 3 + S 1
S 2 = -2
RE
V
-3Y 2 - Y 3 +
= -3
Y1 = Y2 = Y3 ≥ 0
0
CJ
-4 -15 -10
0
0
Ci
UB
bi
Y1 Y2 Y3
S1
S2
0
S1
-3
-1
-1
-2
1
0
0
S2
-2
0
-3
-1
0
1
Zj
0
0
0
0
0
0
-4 -15 -10
0
0
4
0
α
F1
: para obtener la nueva F1
−1
3F1N + F2N: para obtener la nueva F2
Cj - Zj
θ2
15
5
130
1
CJ
-4
-15 -10
0
0
C i UB
bi
Y1
Y2 Y3
S1
S2
θ1
-15 Y 2
3
1
1
2
-1
0
3
7
3
0
5
-3
1
S2
0
Cj - Zj
0
11
0
2
C i UB
CJ
-4
-15
-10
0
0
bi
Y1
Y2
Y3
S1
S2
1
5
−1
5
1
0
1
5
- 25
0
1
−3
1
5
RE
V
-15 Y 2
20 -15
-10 Y 3
F2
: para obtener la nueva F2
5
5
Ó
N
Z j -45 -15 -15 -30 15
7
IS
I
0
-2F2N + F1V: para obtener la nueva F1
2
7
5
3
5
5
Z j -17
-3
-15
-10
3
4
Cj - Zj
-1
0
0
-3
-4
Todos los (C j -Z j ) ≤ 0, entonces la solución es óptima, lo cual quiere decir
que, hemos llegado a la T. O. D, de la cual obtenemos la T. O. P, así:
131
c. T. O. P.
CJ
3
2
0
0
0
C i UB
bi
X1
X2
S1
S2
S3
0
S1
1
0
0
1
1
5
- 35
3
X1
3
1
0
0
- 15
3
2
X2
4
0
1
0
2
5
- 15
Zj
17
3
Ó
N
0
2
0
1
5
7
0
0
- 15
- 75
IS
I
Cj - Zj
RE
V
3. Considere el siguiente modelo de P. L.:
Max . Z = 2X 1 + 3X 2 +
4X 3
s.a = 3X 1 + 4X 2 + 2X 3 ≤ 6
2X 1 + X 2 + 2X 3 ≤ 4
X 1 + 3X 2 + 2X 3 ≤ 8
X1 = X2 = X3
≥ 0
Se pide:
a. Construcción del Dual equivalente.
b. Solución del Dual por el método Simplex.
c. De la T. O. D, obtenga la T. O. P.
Solución
5
5
132
a. Min. Z = 6Y 1 + 4Y 2 + 8Y 3
s.a = 3Y 1 + 2Y 2 + Y 3 ≥ 2
4Y 1 + Y 2 + 3Y 3 ≥ 3
2Y 1 + 2Y 2 + 2Y 3 ≥ 4
≥ 0
Y1 = Y2 = Y3
Máx. (-Z) = -6Y 1 -4Y 2 -8Y 3 + OS 1 +
OS 2
s.a = -3Y 1 - 2Y 2 - Y 3 ≤ -2
-4Y 1 - Y 2 - 3Y 3 ≤ -3
Ó
N
b. Máx. (-Z) = -6Y 1 - 4Y 2 - 8Y 3
s.a = -3Y 1 - 2Y 2 - Y 3 + S 1
-4Y 1 - Y 2 - 3Y 3 +
-2Y 1 - 2Y 2 - 2Y 3 ≤ -4
IS
I
-2Y 1 - 2Y 2 - 2Y 3 +
4
0
RE
V
Y1 = Y2 = Y3 ≥ 0
= -3
S 2 = -2
S3 = -
Y 1 =Y 2 =Y 3 =S 1 =S 2 = S 3 ≥ 0
CJ
-6
-4
-8
0
0
0
Ci
UB
bi
Y1 Y2
Y3
S1
S2
S3
0
S1
-2
-3
-2
-1
1
0
0
0
S2
-3
-4
-1
-3
0
1
0
3F3N + F2V: para obtener la nueva F2
0
S3
-4
-2
-2
-2
0
0
1
Zj
0
0
0
0
0
0
0
F3
: para obtener la nueva F3
−2
-6
-4
-8
0
0
0
3
2
4
α
α
0
Cj - Zj
θ2
F3N + F1V: para obtener la nueva F1
133
1
CJ
-6
-4
-8
0
0
0
C i UB
bi
Y1
Y2 Y3
S1
S2
S3
θ1
0
S1
0
-2
-1
0
1
0
- 12
0
F2N + F1V: para obtener la nueva F1
0
S2
3
-1
2
0
0
1
- 32
3
F2
: para obtener la nueva F2
2
-8
Y3
2
1
1
1
0
0
- 12
2
Z j -16 -8
-8
-8
0
0
4
Cj - Zj
4
0
0
0
-4
Ó
N
-2F2N + F3V: para obtener la nueva F3
RE
V
IS
I
2
2
CJ
-6
-4
-8
0
0
0
C i UB
bi
Y1
Y2 Y3
S1
S2
S3
θ1
0
3
−5
0
1
1
5
4
- 35
- 34
-3
1
3
2
-4
-8
S1
Y2
Y3
3
1
2
2
2
Z j -10
Cj - Zj
2
0
- 12
1
3
0
1
0
- 12
1
-10
-4
-8
0
2
1
4
0
0
0
-2
-1
2
0
0
2
1
2
4
5
F3N + F1V: para obtener la
2
nueva F1
1
F3N + f2V: para obtener la
2
nueva F2
F3
: para obtener la nueva F3
3
2
134
3
CJ
-6
-4
-8
0
0
0
C i UB
bi
Y1
Y2
Y3
S1
S2
S3
0
S1
7
0
0
5
1
- 13
- 56
-4
Y2
5
0
1
1
3
0
1
3
- 23
-6
Y1
1
3
0
2
0
- 13
1
-4
- 16 3
0
2
5
3
Cj - Zj
-6
3
IS
I
Z j - 26
3
1
3
Ó
N
3
0
0
- 23
0
3
- 23
6
3
- 53
RE
V
Como todos los (C j - Z j ) ≤ 0, hemos legado a la T. O. D.
Entonces la T. O. P es como sigue:
CJ
2
3
4
0
0
0
C i UB
bi
X1
X2
X3
S1
S2
S3
0
S3
2
3
- 53
0
0
- 23
- 13
1
3
X2
2
3
1
3
1
0
1
3
- 13
0
4
X3
5
5
0
1
- 16
2
0
Zj
26
3
4
1
3
5
0
0
- 13
- 53
Cj - Zj
3
3
6
13
3
- 73
3
3
0
0
135
4. Sea el siguiente modelo de P. L:
Min. Z = 20X 1 + 15X 2 + 45X 3 + 60X 4
- 3X 4 ≥ 3
s.a = X 1 + X 2 + X 3
+ 3X 3 + 5X 4 ≥ 2
Ó
N
X1
≥ 0
X1 = X2 = X3 = X4
IS
I
Y su tablero Óptimo:
-20
-15
-45
-60
0
0
C i VB
bi
X1
X2
X3
X4
S1
S2
-20 X 1
2
1
0
3
5
0
-1
-15 X 2
1
0
1
-2
-8
-1
1
-20
-15
-30
20
15
5
0
0
-15
-80
-15
-5
RE
V
CJ
Z j -55
Cj - Zj
Se pide:
a. Construcción del Dual Correspondiente.
b. De la T. O. P, obtener la T. O. D.
136
Solución.
a) Máx. Z = 3Y 1 + 2Y 2
s.a :
Y1 + Y2
Máx. Z = 3Y 1 +2Y 2 + OS 1 + OS 2 + OS 3 + OS 4
≤ 20
s.a :Y 1 + Y 2 + S 1
≤ 15
Y1
Y1
Y 1 + 3Y 2 ≤ 45
≥ 0
Y1 = Y2
+ S2
Y 1 + 3Y 2
= 20
+ S3
Ó
N
-3Y 1 + 5Y 2 ≤ 60
= 20
-3Y 1 + 5Y 2
= 45
+ S 4 = 60
Y 1 =Y 2 = S 1 =S 2 = S 3 = S 4 ≥ 0
IS
I
b) Entonces el T. O. D., nos queda así:
3
2
0
0
0
0
C i VB
bi
X1
X2
S1
S2
S3
S4
0
S3
15
0
0
-3
2
1
0
0
S4
80
0
0
-5
8
0
1
3
X1
15
1
0
0
1
0
0
2
X2
5
0
1
1
-1
0
0
Zj
55
3
2
2
1
0
0
0
0
-2
-1
0
0
RE
V
CJ
Cj - Zj
4.4 ANALISIS DE SENSIBILIDAD
En las soluciones óptimas de modelos de P. L, algunos de los datos de un
problema no son conocidos con la exactitud que se desearía, por lo tanto
137
deben ser estimados lo mejor posible. El análisis de sensibilidad hace posible
lo anterior, al convertir un problema estático de P. L en uno dinámico; lo que
lo hace tener un gran valor para la administración, puesto que permite una
interpretación de los resultados obtenidos.
Para el estudio de las diversas situaciones que se pueden presentar,
Ó
N
analizaremos los siguientes ejemplos:
1) La compañía “ABC” desea planear su producción para el próximo periodo.
Se pueden elaborar 4 productos distintos (1, 2, 3 y 4) los cuales presentan los
Material 1
RE
V
Producto
IS
I
siguientes requerimientos:
Material 2
Material 3
1
1
5
4
2
1
3
8
3
1
2
12
4
1
2
4
10
20
28
Disponibilidad
(Unidades)
Los productos aportan utilidades unitarias de $2, $3, $4 y $5 para 1, 2, 3 y 4
respectivamente (en miles). El problema consiste en determinar la cantidad
que debe elaborarse, por cada periodo, de los productos 1, 2, 3 y 4 para
maximizar la utilidad.
138
El modelo correspondiente es:
Máx. Z = 2X 1 + 3X 2 + 4X 3 + 5X 4
≤ 10
s.a : X 1 + X 2 + X 3 + X 4
5X 1 + 3X 2 + 2X 3 + 2X 4 ≤ 20
4X 1 + 8X 2 + 12X 3 + 4X 4 ≤ 28
Ó
N
X1 = X2 = X3 = X4 ≥ 0
0
1
1
1
1
1
0
0
5
3
2
2
0
1
0
4
8
12
4
0
0
1
0
0
0
0
2
3
4
5
0
0
0
El tablero inicial Simplex es:
2
3
4
5
0
0
C i UB
bi
X1
X2
X3
X4
S1
S2
S3
0
S1
10
0
S2
20
0
S3
28
Zj
0
RE
V
IS
I
CJ
Cj – Zj
El tablero óptimo (final) Simplex es:
CJ
2
3
4
5
0
0
0
C i UB B i
X1
X2
X3
X4
S1
S2
S3
0
S1
3
0
-1
-2
0
1
0
- 14
0
S2
6
3
-1
-4
0
0
1
- 12
5
X4
7
1
2
3
1
0
0
1
4
139
Zj
35
Cj – Zj
5
10
15
5
0
0
5
-3
-7
-11
0
0
0
- 54
4
La solución que puede leerse del tablero final es:
a.
Z=
Observaciones
No es rentable su producción
X2 = 0
No es rentable su producción
X3 = 0
No es rentable su producción
X4 = 7
Producto rentable
S1 =
3
Material 1no utilizado
S2 =
6
S3 =
0
IS
I
Ó
N
X1 = 0
Material 2 no utilizado
Todo el material 3 se utilizó
RE
V
b.
35
COSTOS DE OPORTUNIDAD
(Valores bajo la variable de decisión en la fila (C j – Z j )
Producto 1 ($3/Unidad).
En estos valores cambiaría (se reduciría) la utilidad
Producto 2 ($7/Unidad)
Por cada unidad que se elaborara de estos productos no
Producto 3 ($11/Unidad)
No rentables.
C.
PRECIOS SOMBRA
Material 1: $0 por cada unidad adicional del material.
Material 2: $0 por cada unidad adicional del material.
140
Material 3: $ 5 4 por cada unidad adicional del material.
Estos valores muestran cuánto se estaría dispuesto a pagar por cada unidad
adicional de cada uno de los recursos (se toman de la fila Z del tablero
óptimo, debajo de las variables de holgura). Nótese que para aquellos recursos
que resultaron “No escasos” (sobró algo), su precio sombra, también llamados
Ó
N
precios implícitos, es igual a cero.
2. Suponga que una empresa produce tres artículos (1, 2 y 3), para lo cual
necesita de tres materiales básicos (1, 2 y 3) de los cuales dispone de 12, 8 y
IS
I
10 unidades respectivamente para los materiales 1,2 y 3. Cada artículo aporta
a la utilidad $2, $4 y $6 cada uno. Los requerimientos de materiales por cada
RE
V
producto son:
Producto
Material 1
Material 2
Material 3
1
2
2
4
2
1
4
2
3
4
2
4
Si el modelo correspondiente es:
Max . Z = 2X 1 + 4X 2 + 6X 3
s.a = 2X 1 + 2X 2 + 4X 3 ≤ 12
X 1 + 4X 2 + 2X 3 ≤ 8
4X 1 + 2X 2 + 4X 3 ≤ 10
141
≥ 0
X1 = X2 = X3
Y su solución óptima es:
2
4
6
0
0
0
C i VB
bi
X1
X2
X3
S1
S2
S3
0
S1
2
-2
0
0
1
0
-1
4
X2
1
- 13
1
0
0
1
3
- 16
6
X3
2
7
0
1
0
- 16
1
3
Zj
16
17
4
6
0
1
3
4
- 13
- 43
IS
I
3
- 113
0
RE
V
Cj - Zj
6
Ó
N
CJ
0
Se pide hacer: Hacer un análisis de sensibilidad.
Solución.
Del tablero óptimo puede decirse:
a)
OBSERVACIONES
Z = 16
X 1 = 0 no es rentable su producción.
X 2 = 1 producto rentable.
X 3 = 2 producto rentable.
S 1 = 2 material 1 no utilizado.
0
3
142
S 2 = 0 todo el material 2 se utilizó.
S 3 = 0 todo el material 3 se utilizó.
b) COSTOS DE OPORTUNIDAD
Ó
N
X 1 = ($ 113 /unidad). En este valor se reduciría la utilidad por cada unidad que
se elaborara de este producto no rentable.
IS
I
c) PRECIOS SOMBRA.
Material 1: $0 Por cada unidad del material.
RE
V
Material 2: $ 13 Por cada unidad del material.
Material 3: $ 4 3 Por cada unidad del material.
143
RESUMEN
Ó
N
A todo modelo de P. L. original (Primal), le corresponde otro modelo
equivalente, denominado modelo Dual.
IS
I
Si el modelo original de P. L. es de Maximización, el modelo Dual será
de Minimización y viceversa.
RE
V
A través de la solución óptima Dual (T. O. D.), se pude deducir la
solución óptima Primal (T. O. P.) sin necesidad de resolver el modelo
original y viceversa.
Los costos de oportunidad en la solución de un problema de P. L. se
pueden leer debajo de las variables de decisión (variables de trabajo) en
la fila (C j – Z j ).
Los precios sombra en la solución de un modelo de P. L. se pueden leer
debajo de las variables de Holgura en la fila (C j – Z j ).
Toda solución óptima de modelos de P. L. se puede hacer dinámica a
través de un análisis de sensibilidad.
144
AUTOEVALUACION N0 4
Ó
N
1. Una empresa produce dos tipos de pintura (X 1 y X 2 ) y utiliza dos materias
primas (A y B). Si la contribución a las utilidades de cada tipo de pintura es
$3 y $2 respectivamente y si el modelo correspondiente es:
Máx. Z = 3X 1 + 2X 2
IS
I
s.a = 2X 1 + X 2 ≤ 6
2X 1 + X 2 ≤ 8
RE
V
-X 1 + X 2 ≤ 1
X2 ≤ 2
≥ 0
X1 = X2
Y su tabla óptima es:
CJ
3
2
0
0
0
0
C i VB
Bi
X1
X2
S1
S2
S3
S4
2
X2
4
0
1
2
- 13
0
0
3
X1
10
1
0
- 13
2
0
0
0
S3
3
0
0
-1
1
1
0
0
S4
2
0
0
- 23
1
3
0
1
3
3
3
3
3
145
Zj
38
3
Cj - Zj
3
2
1
3
4
0
0
- 13
- 43
3
0
0
0
0
Se pide: Elaborar la tabla óptima Dual y hacer un análisis de la sensibilidad a
2. Sea el siguiente modelo de P. L:
Max . Z = 3X 1 + 2X 2
≤ 12
s.a = X 1
IS
I
X 1 + 3X 2 ≤ 45
Ó
N
las dos tablas óptimas.
2X 1 + X 2 ≤ 30
X1 = X2 ≥ 0
RE
V
Y sea el siguiente su tablero óptimo:
CJ
3
2
0
0
0
C i UB B i
X1
X2
S1
S2
S3
3
X1
9
1
0
0
- 15
3
0
S1
3
0
0
1
1
5
- 35
2
X2
12
0
1
0
2
5
- 15
Zj
51
3
2
0
1
5
7
0
0
0
- 15
- 75
Cj - Zj
5
5
146
Se pide: Elaborar la tabla óptima Dual y hacer un análisis de sensibilidad de
las dos tablas óptimas.
3. El estudiante puede hacerle el análisis de sensibilidad a los ejercicios
resueltos en las unidades anteriores.
Ó
N
GLOSARIO DE TERMINOS
1) COSTO DE OPORTUNIDAD: Retornos que se pierden o dejar de
percibir como resultado de seleccionar una alternativa en lugar de otra. La
cuantía de los costos de oportunidad se determina comparando los beneficios
RE
V
alternativa.
IS
I
o las ventajas de una escogencia con aquellos que se obtendrían de la mejor
2) PRECIO SOMBRA: Valor dispuesto a pagar por cada unidad adicional
usada en la elaboración de bienes o prestación de servicios.
147
Ó
N
BIBLIOGRAFIA
• QUESADA, Victor. Programación Lineal. U. De Cartagena.
Internacional.
IS
I
• MOSKOWITZ, Herbert. Investigación de Operaciones. Preutice Hall
• EPPEN, G.D, GOULD, F.J. investigación de Operaciones en la Ciencia
RE
V
Administrativa. Preutice Hall Hispanoamericana. S. A, 1.984.
• VARELA, Jaime. Introducción a la I de O. Editorial Fondo Educativo
Interamericano S. A. Colombia, 1.982.
• HILLIER, Frederick; LIBERMAN, Gerald. Introducción a la I de O.
Editorial McGraw - Hill. México, 1.991.
• GONZALEZ, Ángel León.
Manual Práctico de Investigación de
Operaciones I. Ediciones Uninorte, Barranquilla, 1.998.
• SHAMBLIN, James y G. T., Stevens. Investigación de Operaciones, un
enfoque fundamental. Editorial Mcgraw-Hill. México, 1.990.
148
EL AUTOR
Ó
N
SANTIAGO VERGARA NAVARRO, Ingeniero Industrial, Especialista en
Diseño y Evaluación de Proyectos (CECAR – UNINORTE) y Especialista en
Administración Financiera (CECAR).
IS
I
Se ha desempeñado como Gerente de LIPAVENCA en San Cristóbal –
Venezuela; Jefe de Operaciones de MOTICONCA en Valencia – Venezuela;
Gerente de Salud Asesores Ltda. en Sincelejo y como Secretario de Gobierno,
Recurso Humano y de Planeación del Municipio de Corozal (Sucre).
RE
V
Ha sido profesor de pre-grado en CECAR de Matemáticas Financieras
(Ingeniería Económica), Álgebra y Programación Lineal, Diseño y
Evaluación de Proyectos, Evaluación Social de Proyectos, Análisis Financiero
e Investigación de Operaciones, en los programas de Contaduría Pública,
Admón. de Empresas, Economía e Ingeniería Industrial; docente catedrático
en UNISUCRE de Matemáticas Financieras III y Plan de Empresas II;
docente en IAFIC – Sincelejo de Matemáticas Financieras, Programación
Lineal y asesor metodológico de la práctica empresarial; monitor del Módulo
Diagnóstico Financiero de la Especialización en Administración Financiera de
CECAR – Sincelejo y docente de postgrados en CECAR de Matemáticas
Financieras en Excel..
Conferencista de diversos seminarios en el área de finanzas y espíritu
empresarial, asesor y evaluador de varios trabajos de grado en CECAR y
UNISUCRE y asesor del programa Jóvenes Emprendedores Exportadores del
Ministerio de Comercio Exterior.
149
RE
V
IS
I
Ó
N
Tiene escritos en Álgebra y Programación Lineal (E. A. D. CECAR);
Matemáticas Financieras Básicas (Documento guía de IAFIC – Sincelejo) y
Matemáticas Financieras en Excel (Documento guía en postgrados CECAR).
DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN ABIERTA Y A DISTANCIA Y VIRTUALIDAD
ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS
PROGRAMACIÓN LINEAL
Carretera Troncal de Occidente - Vía Corozal - Sincelejo (Sucre)
Teléfonos: 2804017 - 2804018 - 2804032, Ext. 126, 122 y 123
Mercadeo: 2806665 Celular: (314) 524 88 16
E- Mail: [email protected]
