´ µ 2xcosy + [2y cosy − (x 2 + y2) sin y]y ´ µ xdy + ydx = 0 ´ µ 2x(sin y

´ µ 2xcosy + [2y cosy − (x 2 + y2) sin y]y ´ µ xdy + ydx = 0 ´ µ 2x(sin y

3. heti gyakorlat: Egzakt d.e. a Dr. Simon Károly (Feladatok az
5. hétre) anyagból és 2. heti elmaradások.
1. Oldjuk meg az alábbi diereniálegyenleteket:
(a) 2x cos y + [2y cos y − (x2 + y 2 ) sin y] y ′ = 0,
(b) xdy + ydx = 0,
y
x
′
() x2 +y
2 y = x2 +y 2 ,
(d) 2x(sin y + 1) + x2 cos y · y ′ = 0.
2. Alkalmazza az egzisztenia és uniitási tételt a 2. heti gyakorlat 5.
feladatában!
3. Rajzolja le a fázisvonalakat, vázolja az iránymez®t és osztályozza az
egyensúlyi megoldásokat:
y ′ = y 4 − 2y 3 − 15y 2,
y(0) = y0 ∈ R
Eredmények
1a. Az y ′ =
az egyenlet
dy
dx
-et felírva és dx-el mindkét oldalt beszorozva kapjuk, hogy
2x cos y dx + 2y cos y − (x2 + y 2 ) sin y dy = 0
| {z }
|
{z
}
M (x,y)
alakú. Mivel
N (x,y)
∂M
∂N
≡
= −2x sin y
∂y
∂x
ezért a diereniálegyenlet homogén tehát van olyan F : R2 → R függvény,
amelyre
grad(F ) = (M, N).
Vagyis
∂F
= M,
∂x
Ezért
F (x, y) =
Z
∂F
= N.
∂y
M(x, y)dx + h(y) = x2 cos y + h(y).
1
(1)
A h(y) függvény abból az egyenletb®l határozzuk meg hogy:
Vagyis:
∂F
∂y
= N.
∂F
= −x2 sin y + h′ (y) = 2y cos y − (x2 + y 2 ) sin y .
|
{z
}
∂y
N
Innen
h′ (y) = 2y cos y − y 2 sin y.
Innen:
h(y) = y 2 cos y.
Ezt vissza helyettesítve (1)-be adódik, hogy:
F (x, y) = (x2 + y 2 ) cos y.
Vagyis a diereniálegyenlet általános megoldása:
(x2 + y 2) cos y = Const.
1b. xy = Const
1. arctan xy = Const.
1d. x2 sin y + x2 = Const.
3. feladat megoldásában a jobb oldal gyökeit és el®jelét nézve: y = −3:
aszimptotikusan stabil, y = 0: félig stabil, y = 5: instabil egyens¶lyi megoldás.
2