Maquetería 02: Poliedros, cuerpos redondos y su

Maquetería 02: Poliedros, cuerpos redondos y su

MAQUETERÍA 02: POLIEDROS, CUERPOS
REDONDOS Y SU CONSTRUCCIÓN
Concepto de Poliedro
Definiremos como “poliedro” a un cuerpo geométrico tridimensional que
encierra un espacio limitado. La palabra proviene de la palabra griega
polyedron que literalmente significa “muchas caras”.
Los poliedros son en esencia formas 3D que están compuestos de varios
polígonos los cuales son las llamadas caras de este. Por definición,
las caras de un poliedro son siempre planas. Por esto mismo, los conos
o cilindros NO son poliedros sino que son llamados “cuerpos redondos”.
Los componentes de un poliedro son:
Donde tenemos lo siguiente:
Caras: son los planos de los polígonos que conforman el poliedro.
Aristas: son los segmentos que cortan las caras del poliedro.
Vértices: son los puntos donde se intersecan o cortan las aristas del
poliedro.
Al igual que en el caso de los polígonos, los poliedros pueden ser cóncavos o convexos. Serán convexos si todas las caras pueden “apoyarse”
en el plano horizontal (debido a sus ángulos convexos) y si alguna no
lo hace, el poliedro será cóncavo.
Poliedro Cóncavo
Poliedro Convexo
Tipos de Poliedros
Los tipos de poliedros son los siguientes:
Prismas: un prisma es un tipo de poliedro en el cual se cumplen las
siguientes relaciones:
a) tener dos caras basales paralelas con polígonos iguales.
b) tener tantas caras laterales de tipo paralelogramo, como aristas
tenga este polígono.
A los prismas se les clasifica según el número de lados que tengan las
caras basales, por lo tanto podremos clasificarlos según el siguiente
criterio:
Los prismas pueden ser regulares, si sus polígonos basales están conformados por polígonos de tipo regular (imagen de arriba), o irregulares si sus bases son polígonos irregulares.
Otra característica importante de los prismas es que además poseen una
altura. Si esta coincide con las aristas laterales del prisma entonces
este será un prisma recto, en caso contrario será un prisma oblicuo,
de acuerdo a la imagen de abajo:
Desarrollo 2D de Prismas
Todos los prismas tienen la particularidad de ser “desarrollables”, es
decir, que todas sus caras pueden representarse en un plano bidimensional y mediante plegados puede ser construido de forma tridimensional. El desarrollo de un prisma recto es bastante simple ya que está
compuesto por sus caras basales y un rectángulo que tiene por medida
la cantidad de divisiones de las caras laterales. La imagen de abajo
ilustra el desarrollo de tres tipos de prismas regulares:
En el caso del desarrollo de un prisma oblicuo, este dependerá del grado de inclinación y de las caras rectas visibles, aunque en el caso
que la inclinación sea hacia un solo lado debemos repetir la cara
oblicua mediante un “efecto espejo”.
Prismas Paralelepípedos
Un paralelepípedo es un prisma en el cual todas sus caras son paralelógramos (caras opuestas iguales y paralelas). Como todos los prismas,
pueden ser rectos u oblicuos y siempre son prismas cuadrangulares.
Los paralelepípedos son los siguientes:
En el caso del Ortoedro, sus caras son rectángulos.
En el caso del Cubo, sus caras son cuadrados.
En el caso del Romboedro, sus caras son rombos.
En el caso del Romboiedro, sus caras son romboides.
Pirámides
Una pirámide es un tipo de poliedro en el cual se cumplen las
siguientes relaciones:
a) tener una base la cual es un polígono.
b) tener tantas caras triangulares como lados tenga la base.
El punto donde convergen las caras triangulares se denomina cúspide.
Las pirámides pueden ser cóncavas o convexas dependiendo del tipo de
polígono de su base.
Al igual que en el caso de los prismas, las pirámides
cual se define desde el vértice a la base. Sin embargo
derá del centro de gravedad del polígono base. Si la
cide con este la pirámide será oblicua. Si el centro
altura la pirámide será recta.
poseen altura la
la altura depenaltura no coincoincide con la
Pirámides regulares
Una pirámide es regular si todas las caras laterales son iguales, formadas por triángulos isósceles.
La altura de cada una de estas caras es denominada apotema. Podremos
calcularla mediante el teorema de Pitágoras, usando la medida del punto medio de la base del triángulo hasta el centro y la altura de la
pirámide como catetos, de acuerdo a la siguiente fórmula:
C2 = a2 + b2
Desarrollo 2D de Pirámides
Al igual que en el caso de los prismas, todas las pirámides tienen la
particularidad de ser “desarrollables”, es decir, que todas sus caras
pueden representarse en un plano bidimensional y mediante plegados
puede ser construido de forma tridimensional.
El desarrollo de una pirámide recta está compuesto por su base y las
proyecciones de los triángulos isósceles de las caras laterales, unidas por sus aristas mayores.
Desarrollo de una pirámide de bases Hexagonal y Rectangular
Poliedros regulares
Un Poliedro es regular si todas sus caras son iguales. También son
conocidos como “sólidos platónicos” ya que en la antigua Grecia fueron
estudiados por Platón.
Sólo existen 5 poliedros regulares los cuales son:
Tetraedro, pirámide formada por triángulos equiláteros.
Cubo, paralelepípedo formado por cuadrados.
Octaedro, formado por ocho triángulos equiláteros.
Dodecaedro, formado por doce pentágonos regulares.
Icosaedro, formado por veinte triángulos equiláteros.
Desarrollo 2D de poliedros regulares
al igual que en los casos snteriores, todas los poliedros regulares
tienen la particularidad de ser “desarrollables”, es decir, que todas
sus caras pueden representarse en un plano bidimensional y mediante
plegados puede ser construido de forma tridimensional. A continuación
se muestra el desarrollo de los 5 poliedros ya mencionados.
Desarrollo de un Tetraedro:
Desarrollo de un Cubo:
Desarrollo de un Octaedro:
Desarrollo de un Dodecaedro:
Desarrollo de un Icosaedro:
Cuerpos redondos
Definiremos como “cuerpo redondo” a un cuerpo geométrico tridimensional que posee al menos una cara cuya superficie es curva. Estos cuerpos
suelen ser generados mediante las rotaciones de sus caras en torno a
un eje determinado.
Los cuerpos redondos típicos son los siguientes:
El cilindro
Un cilindro es un cuerpo redondo que se genera a partir de la rotación
de un rectángulo en torno a uno de sus lados el cual es a su vez el
eje de revolución. Los tres lados restantes del rectángulo son la generatriz de este.
En el cilindro distinguimos la superficie curva como superficie lateral y posee dos bases paralelas formadas por un círculo en la parte
superior e inferior. Ambas bases son exactamente iguales.
En un cilindro recto podremos distinguir la altura la cual será la distancia entre las dos bases, y que coincide con la Generatriz.
Al igual que en el caso de los prismas y las pirámides, los cilindros
pueden ser rectos u oblicuos.
Desarrollo 2D del cilindro recto
Los cilindros tienen la particularidad de ser “desarrollables”, es decir, que todas sus caras pueden representarse en un plano bidimensional y mediante plegados puede ser construido en el espacio 3D.
En el desarrollo 2D del cilindro, la bases serán círculos iguales y la
superficie curva será lograda a partir de un rectángulo el cual tendrá
por altura la Generatriz y cuyo largo será el perímetro de uno de los
círculos de las bases el cual se calcula con la conocida fórmula de
cálculo de perímetro:
L = 2 x ? x R
El cono
Un cono es un cuerpo redondo que se genera a partir de la rotación de
una recta inclinada la cual se intersecta con el eje de revolución y
siguiendo a una base redonda como directriz.
En el cono distinguimos la superficie curva como superficie lateral y
la base, formada por un círculo. El punto donde convergen todas las
generatrices se conoce como vértice.
En un cono recto podremos distinguir la altura la cual será la distancia entre el vértice y la base, y que coincidirá con el eje de revolución.
Al igual que en el caso de los prismas y las pirámides, los cilindros
pueden ser rectos u oblicuos.
Desarrollo 2D del cono recto
Los conos tienen la particularidad de ser “desarrollables”, es decir,
que todas sus caras pueden representarse en un plano bidimensional y
mediante plegados puede ser construido de forma tridimensional.
En el desarrollo 2D del cono, la base será un círculo y la superficie
curva será lograda a partir de un sector circular con el radio de la
generatriz, y la sección será determinada por la longitud del arco o
perímetro de la directriz mediante la conocida fórmula de cálculo de
perímetro:
L = 2 x ? x R
Para calcular el ángulo del sector circular del desarrollo (y así
poder dibujarlo) debemos usar la siguiente fórmula:
A° = Radio de la base / Generatriz x 360°
La esfera
La esfera es un cuerpo redondo que se genera a partir de la rotación
de un semicírculo en torno a un eje de revolución el cual es a la vez
el diámetro de este. En este caso, el diámetro es el eje y el semicírculo la Generatriz.
Este cuerpo redondo es el único que no puede desarrollarse en el plano
2D ya que todo su volumen es curvo.
Ejercicios propuestos
Construir en cartón forrado los siguientes poliedros, tomando medidas
arbitrarias:
– El cubo.
– El tetraedro.
– El Octaedro.
– El dodecaedro.
– El Icosaedro.
– El Cilindro.
– El Cono.
– Un prisma de Base Hexagonal.
– Una pirámide de base Pentagonal.
Solución: primero debemos dibujar los polígonos necesarios según las
técnicas de dibujo vistas en el apunte sobre polígonos. Luego estos
polígonos deberán ser recortados para ser ocupados como molde para
dibujar el desarrollo de los poliedros en el cartón.
Finalmente recortamos los moldes y plegamos las aristas para pegarlas
y construir las formas. NOTA: debemos considerar pestañas extras para
poder pegar las aristas.
Para el caso de los cuerpos redondos bastará dibujar directamente los
desarrollos en el cartón. En el caso del cilindro se deberán dibujar
líneas verticales paralelas a la altura de modo que se puedan doblar
para formar el cuerpo de este, el cono será ejecutado de manera similar pero las líneas serán radiales a igual distancia y partirán desde
la cúspide hasta la base.
Debemos recordar que dominar la construcción de poliedros y cuerpos redondos es fundamental para el desarrollo de estructuras y formas 3D en
maquetería.