Construcción de aprendizajes matemáticos en el aula.

Transcripción

AUGUSTO BURGOS
Construcción de aprendizajes
matemáticos en el aula.
Nuevos enfoques para la enseñanza
de la matemática en la escuela primaria
0
Unidad 0
Introducción
El desarrollo actual de la didáctica, y en especial de la
didáctica de la matemática, permite revisar nuestras
prácticas docentes en el aula desde otro punto de vista. Si
bien desde la década del noventa se prioriza la resolución
de problemas como principal estrategia de enseñanza de
la matemática, la misma aún carece de sentido para los
docentes, que utilizan los “problemas” sólo como recurso
para
introducir
un
nuevo
concepto,
pero
con
la
particularidad de “formalizar” el mismo, luego de la resolución del “problema disparador o
tipo”.
Usar los problemas para introducir un tema, (o para evaluarlo) es estratégico o no lo es. Es
necesario reconocer la potencialidad que posee como estrategia para el aprendizaje de la
matemática, y la construcción del sentido (parcial o formal) de un concepto, la enseñanza
por medio de la resolución de problemas.
Algunos comentarios de Nadine Milhaud1: “Se hacen ejercicios y problemas, pero
no se conduce ninguna actividad reflexiva que permitiría a los alumnos identificar
familias de problemas y situar los problemas encontrados en relación con esas
familias. Esto supone que, sobre un cuerpo de ejemplares bien elegidos por el
profesor, se haga un trabajo de clasificación que podría ser realizado a partir del
cuestionamiento siguiente:
1. ¿Son diferentes los ejercicios y los problemas?
2. ¿En qué se parecen?
3. ¿En qué se diferencian?
4. ¿Se los puede agrupar en familias?
1
Milhaud, Nadine (1997), “Le travail personnel des élèves”, (El trabajo personal de los alumnos) en Petit X, Nº
47 1997-1998, IREM de Grenoble, Francia.
Construcción de Aprendizajes Matemáticos en el Aula
5. ¿Existen técnicas de resolución ligadas a esas familias?
De esta ausencia se desprende que numerosos alumnos imaginen que los
problemas son siempre nuevos y que cada vez hay que inventar soluciones nuevas.
Si por azar un problema evoca otro, tratan de recordar la manera en que lo habían
resuelto, pero ese recuerdo es vago y mezclado con otros.
Se debe, sin dudas, a que el trabajo sobre las técnicas de resolución de problemas
de una familia de problemas no está organizado de forma sistemática.[…]
Además, frecuentemente, cuando se introduce en un año dado una nueva técnica
para resolver un tipo de problema, las técnicas antiguas son dejadas de lado y no se
trabaja con ellas, y terminan por desaparecer. Sin embargo, esto es una parte
integrante del trabajo de la técnica.”
Sin lugar a dudas, un problema debe representar un verdadero desafío intelectual para el
alumno, pero al mismo tiempo debe permitir que se lo aborde desde los conocimientos
previos disponibles hasta el momento. A diferencia de un ejercicio, el problema debe
provocar algún tipo de “producción matemática” por parte de los niños. Debe invitarlos a
“hacer matemática”.
La potencialidad del enfoque de resolución de problemas para el aprendizaje significativo
de la matemática, requiere analizar los modelos de enseñanza que circulan por nuestras
aulas; analizar qué se entiende por aprender y enseñar matemática; qué es un problema;
cuál es el rol del docente y del alumno en cada modelo: en definitiva, cómo se construye el
sentido de un concepto matemático a través de la colección de problemas seleccionados
por el docente.
En este curso, a partir de los lineamientos anteriores, realizaremos un breve recorrido por
algunos modelos de enseñanza, propuestos por Roland Charnay.
Analizaremos las condiciones que debe cumplir un problema matemático para que el
aprendizaje de un concepto adquiera sentido; revisaremos diferentes propuestas didácticas
para llevar a nuestras aulas, basados en “La teoría de las situaciones didácticas” de Guy
Brusseau. Profundizaremos en las estrategias de enseñanza y aprendizaje de los
principales contenidos matemáticos que se promueven desde los “Núcleos de Aprendizajes
Prioritarios” establecidos por el Consejo Federal de Educación (2004) y, especialmente
desde los Diseños Curriculares para el nivel primario, mirándolos desde una psicología
cognitiva y constructivista del aprendizaje.
2
Finalmente nos atreveremos a preguntarnos por las ventajas y desventajas de la
implementación de las TICs (Tecnologías de la Información y la Comunicación) en nuestras
clases, profundizando en el análisis de los recursos disponibles en internet, y animándonos
inclusive a la utilización de herramientas de colaboración y creación en línea, primero para
conocerlas (en caso de ser necesario), y segundo para que formen parte de nuestros
recursos de enseñanza en el aula, sintiéndonos seguros en su utilización.
Esquema de síntesis del curso
+
| Esquema de síntesis del curso
3
Objetivos

Analizar y reflexionar sobre los enfoques de enseñanza y aprendizaje por medio de
la resolución de problemas.

Promover el rol del docente y del alumno, dentro de un enfoque constructivista de
enseñanza de la matemática.

Comprender los procesos de apropiación del sistema de numeración decimal
posicional en alumnos de educación primaria.

Favorecer la ampliación de los sentidos del campo aditivo (sumas y restas) y las
estrategias de cálculo de los alumnos de manera que éstos puedan elegir un
procedimiento acorde con los números involucrados en una situación determinada.

Comprender y ampliar la noción de Campo Multiplicativo (multiplicación y división).

Promover la producción de estrategias diversas en la búsqueda de resultados en los
diferentes tipos de problemas de multiplicación y división, atendiendo al sentido de
las operaciones.

Seleccionar, diseñar y elaborar secuencias didácticas utilizando diferentes recursos
TIC en línea.
Contenidos
Unidad I: ¿Qué es enseñar y aprender matemática? Modelos de enseñanza de la
matemática. El aprendizaje por medio de la resolución de problemas. La gestión de la
clase: rol del docente, de los alumnos y la resolución de problemas. Creación de cuenta en
Gmail. Redes sociales: formación de círculos sociales. Reglas de netiquette. Realizar
posteos.
Unidad II: El sistema de numeración. Analizar regularidades en la serie numérica oral y
escrita: recitar y contar. Hipótesis de escritura de los números. Análisis del valor posicional.
Contextos de uso de los números. Estrategias de enseñanza del sistema de numeración.
Actividades y propuestas para el aula. Recursos TIC. El trabajo colaborativo en la web.
Gestión de documentos colaborativos en GDoc
Unidad III: Estrategias de enseñanza de la suma y la resta. Tipos de problemas aditivos.
Tipos de estrategia de cálculo. Repertorios de cálculo aditivo. Actividades y propuestas
para el aula. Recursos TIC. Búsqueda de enlaces de interés de acuerdo con el enfoque
didáctico. Uso de marcadores sociales: Google+, Delicious. Scoop.it
Unidad IV: Estrategias de enseñanza de la multiplicación y división. Tipos de problemas
multiplicativos. La tabla pitagórica. Estrategias de cálculo para resolver divisiones. El
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algoritmo desplegado de Guy Brosseau. Actividades y propuestas para el aula. Recursos
TIC. Creación de actividades Online. Publicación de materiales de enseñanza: SlideShare.
Unidad V: Integración de las TIC dentro de un modelo constructivista de la enseñanza de
la matemática. Influencia de las TIC en la enseñanza de la matemática. Tipos de
actividades matemáticas para el uso de las TIC. Análisis de secuencias didácticas
empleando las TIC. Diseño de Secuencias didácticas incorporando las TIC
Bibliografía para el cursante.
UNIDAD I
Brousseau, G. (1994). “Los diferentes roles de los maestros”. En Parra, C. y Saiz, I.
(comps.) Didáctica de matemáticas. Aportes y reflexiones. Buenos Aires: Paidós.
Quaranta, M. E. ; Wolman, S. (2002). “Discusiones en las clases de matemáticas: ¿qué se
discute?, ¿para qué? y ¿cómo?”. En Panizza (comp.) Enseñar matemática en el Nivel
Inicial y primer ciclo de EGB: Análisis y Propuestas. Buenos Aires: Paidós.
Charnay, R. (1994). “Aprender (por medio de) la resolución de problemas”. En Parra, C. y
Saiz, I. (comps.) Didáctica de la Matemática, Aportes y Reflexiones. Buenos Aires: Paidós.
UNIDAD II
Lerner, D. (2007). “¿Tener éxito o comprender? Una tensión constante en la enseñanza y
el aprendizaje del sistema de numeración.” En Revista 12(ntes) Enseñar Matemática Nivel
Inicial y Primario N.º 2 y N.º 3. Publicado originalmente en Alvarado M. y Brizuela B.
(comp). (2005). Haciendo números. México: Paidós.
Lerner, D.; Sadovsky, P. y Wolman, S. (1994). “El sistema de numeración: un problema
didáctico.” En Parra, C. y Saiz, I. (comps.) Didáctica de matemáticas, Aportes y
Reflexiones. Buenos Aires: Paidós.
Moreno, B. (2002). “La enseñanza del número y del sistema de numeración en el Nivel
Inicial y el primer año de la EGB. En Panizza, M. (comp) Enseñar Matemática en el Nivel
Inicial y Primer Ciclo de EGB: Análisis y Propuestas. Buenos Aires: Paidós.
UNIDAD III
| Bibliografía para el cursante.
5
Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires. Secretaría de Educación. Dirección de Currícula
(1997). “Documento de actualización curricular N° 2 y N.° 4. Matemática. Dirección de
Currícula.
Gobierno
de
la
Ciudad
de
Buenos
Aires”
[en
línea]
http://www.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/curricula/docum/matematica.php
Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires. Ministerio de Educación. Dirección de Currícula
(2006). “Cálculo mental con números naturales. Apuntes para la enseñanza” [en línea]
http://www.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/curricula/pluri_mate.php?menu_id=2070
Dirección General de Educación Básica. Pcia. de Buenos. Aires. (2007). “Matemática N.º 2
Numeración. Propuestas para alumnos de 3.º y 4.º año. Material para el docente y para el
alumno [en línea] http://abc.gov.ar/lainstitucion/sistemaeducativo/educprimaria/default.cfm.
UNIDAD IV
Dirección General de Educación Básica. Pcia. de Buenos Aires (2001). “Aportes didácticos
pa-ra el trabajo con la calculadora en los tres ciclos de la EGB”. Gabinete Pedagógico
Curricular – Matemática [en línea]
http://abc.gov.ar/lainstitucion/sistemaeducativo/educprimaria/default.cfm.
Dirección General de Educación Básica. Pcia. de Buenos. Aires. (2001). “Orientaciones
Didácticas para la Enseñanza de la Multiplicación en los tres ciclos de la EGB” [en línea]
Dirección General de Educación Básica. Pcia. de Buenos. Aires. (2001). “Orientaciones
Didácticas para la Enseñanza de la División en los tres ciclos de la EGB” [en línea]
Dirección General de Educación Básica. Pcia. de Bs. As (2007). “División en 5. º y 6.º año
de la escuela primaria. Una propuesta para el estudio de las relaciones entre dividendo,
divisor, cociente y resto” [en línea] http://www.buenosaires.gov.ar.
Bressan, A. M. (1998). “La división por dos cifras: ¿un mito escolar?” Consejo Provincial de
Educación de Río Negro, documento de la Secretaría Técnica de Gestión Curricular, área
Matemática [en línea] www.educacion.rionegro.gov.ar.
Saiz, I. (1994). “Dividir con dificultad o la dificultad de dividir”. En Parra y Saiz (comp)
Didáctica de las matemáticas. Aportes y reflexiones. Buenos Aires: Paidós.
UNIDAD V
6
Aprendizaje por proyectos en Tecnología. Colección Educar. Autores Varios. Disponible
en: http://coleccion.educ.ar/coleccion/CD15/contenidos/index.html
LA computadora en el aula. Colección Educar. Autores Varios. Disponible en:
http://coleccion.educ.ar/coleccion/CD12/contenidos/index.html
http://aportes.educ.ar/matematica/
Vizcaíno, Adriana Aritmética. - 1a ed. - Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación,
2011. http://bibliotecadigital.educ.ar/uploads/contents/M-Aritmetica0.pdf
Paola Tarasow. La tarea de planificar. Enseñar Matemática en la escuela primaria. Serie
Respuestas. Susana Wolman y otros. Buenos Aires. Tinta Fresca. 2009
Jordi Vivanco. La competencia Digital. ALIANZA EDITORIAL, 2008
Manuel Area Moreira. Blog: Ordenadores en el aula.
http://ordenadoresenelaula.blogspot.com.ar/
Portal Conectar Igualdad. Secuencias de trabajo. http://secuencias.educ.ar
Instancias de evaluación (diagnóstica, de proceso, integradora)
Diagnóstica:
El foro de presentación permitirá conocer a los discentes, sus expectativas, trayectoria de
formación, experiencias previas de formación, etc.
De Proceso:
Cada unidad prevé la participación activa de los alumnos en los foros de discusión y la
elaboración de pequeñas secuencias didácticas, en función de la temática abordada.
Además se procederá a la creación de grupos de trabajo, para elaborar una wiki y permitir
así la construcción colectiva de la secuencia didáctica.
Final:
Se prevé la elaboración de un trabajo final integrador del cursado, en la que se reunirán
actividades de análisis, síntesis, construcción, aplicación, etc., basadas en los contenidos y
bibliografía de cada una de las unidades, e incorporando las TIC a las mismas.
|
7
BIENVENIDA
¡Bienvenida! ¡Bienvenido!. Gracias por elegirnos y haber decidido compartir con nuestro
equipo su propuesta de actualización docente.
Si usted ha sido alumno nuestro con anterioridad, conocerá básicamente cuál es nuestra
metodología de trabajo. Sin embargo, el permanente contacto con nuestros cursantes, nos
permite proponer nuevas y mejores alternativas para el desarrollo de su cursado y la
generación de un vínculo más fluido con los tutores responsables de cada curso.
Para ello, lo invitamos a leer con especial atención la Metodología, a través de la cual
compartimos los principales aspectos que deberá considerar para la realización de este
curso.
La Metodología
Al inscribirse el/la cursante se integra como persona y profesional a un grupo de pares y
especialistas con quienes desarrollará un proceso de capacitación centrado en la reflexión
acerca de su práctica cotidiana y en la superación de las desventajas que le impone el
contexto.
Así, el/la cursante se convierte en mucho más que un registro en nuestra base de datos: es
la persona que encomendamos al cuidado y supervisión de nuestros tutores.
¿Cuál es la función que cumplen los tutores?
Acompañar a los cursantes en la búsqueda de respuestas para las inquietudes que
se les presenten durante el desarrollo del Curso.
Orientar el aprendizaje de los cursantes de acuerdo con sus necesidades e
intereses.
Orientar a los cursantes en el uso de las metodologías de estudio más convenientes
para cada situación.
Facilitar la adquisición de aprendizajes significativos.
Orientar a los cursantes en la elaboración de los trabajos y la cumplimentación de
las actividades.
Aclarar dudas.
Contribuir al logro del mejor proceso de aprendizaje posible.
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Las tutorías pueden ser presenciales o a distancia.
Las tutorías presenciales se ofrecen durante encuentros en momentos destinados a tal
fin. También se consideran de ese modo los intercambios que cursante y tutor establezcan
a través del aula virtual en chateos o foros.
Las tutorías a distancia podrán realizarse por teléfono, fax y también por correo
convencional. Claro que estos medios resultan los más costosos y no siempre son los más
rápidos o eficaces para el transporte de trabajos.
Por eso sugerimos a nuestros cursantes:
1) acceder al aula virtual y;
2) abrir una cuenta de correo electrónico a través de la cual puedan comunicarse
rápidamente con sus tutores, enviarles los trabajos, recibirlos corregidos y despejar dudas
respecto de alguna lectura o consigna y obtener muchos otros beneficios.
IMPORTANTE: Solicitamos a nuestros cursantes que al menos una vez a la semana
revisen su casilla de correo. En muchas oportunidades las casillas - especialmente
las de uso gratuito- agotan rápidamente su capacidad (se llenan) con mensajes de
publicidad (spam) y los mensajes de tutores o colegas son devueltos a los
remitentes (rebotan) por falta de espacio.
Algunas recomendaciones para un cursado eficaz:
No demore el inicio de las actividades. Apenas haya cumplimentado los requisitos
de la inscripción, procure la conformación de un grupo de trabajo de hasta 4
miembros. Una vez conformado como tal, establezcan días y horarios de reunión
para compartir reflexiones acerca de las lecturas realizadas y para cumplimentar las
actividades de aprendizaje.
Tome contacto con nosotros y comience a relacionarse con su tutor y con otros
colegas.
Desde el 'contacto' del sitio, envíe un mensaje solicitando su usuario y contraseña
para poder ingresar a la plataforma.
Tenga en cuenta que no aceptaremos grupos integrados por más miembros
que los permitidos.
| La Metodología
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Es deseable -aunque no excluyente- que al menos un (1) integrante del grupo
posea correo electrónico de modo tal que se agilice el proceso de intercambio
y evaluación de actividades.
Lea y comparta con su grupo el contenido de esta Guía de Curso. Si surge
alguna duda de inmediato efectúe la consulta a su tutor.
Cada unidad remite a la lectura de la bibliografía obligatoria y propone
diferentes actividades de aprendizaje que son de resolución voluntaria y que
no es necesario enviar al tutor. Sin embargo, recomendamos su realización
puesto que pautan y acompañan el proceso de aprendizaje total.
Trabaje unidad por unidad.
Ingrese al menos una vez por semana al aula virtual; procure información
acerca de los foros y chateos que estén en desarrollo o en programación.
Ambas actividades le permitirán no sólo socializar con colegas de otras
ciudades y/o escuelas, sino confrontar también sus opiniones con las de su
tutor.
¡Del mismo modo, recomendamos resolver la autoevaluación en forma
individual para controlar la correcta apropiación de los contenidos trabajados.
El trabajo final integrador podrá ser entregado grupalmente, indicando en
todos los casos nombre y apellido de los integrantes y documentos de
identidad respectivos.
En el caso de que se conforme más de un grupo dentro de una misma
institución, cada grupo presentará un trabajo diferente.
No se aceptarán trabajos iguales provenientes de grupos diferentes. En esos
casos, ambas producciones serán desestimadas.
Las actividades podrán ser enviadas por correo electrónico. En ese caso se
solicita la identificación de los remitentes en el cuerpo del mensaje.
Las actividades que se envíen por correo convencional o fax deberán ser
escritas a máquina o en forma manuscrita, con letra legible, y guardando las
normas usuales de presentación.
La asistencia a los encuentros presenciales que se organicen es obligatoria y
aún más lo es la asistencia a la evaluación final presencial. De hecho, sólo se
extenderá certificado a aquellos cursantes que hayan aprobado el examen y
figuren en la planilla de asistencia.
10
Criterios de Evaluación
La evaluación es la instancia del proceso de capacitación que proporciona información al/la
cursante y al tutor acerca del desarrollo de ese proceso y de las correcciones que es
preciso llevar a cabo, tanto en las estrategias de aprendizaje de aquellos como en las de
enseñanza del tutor.
Para que estas dos funciones se cumplan, consideramos que la evaluación debe ser
continua y acumulativa. Continua porque se prevén instancias diversas durante todo el
proceso de capacitación; acumulativa porque las actividades de aprendizaje de cada
unidad conducen al desarrollo exitoso de la evaluación final integradora.
Complementariamente, las
evaluaciones
finales
presenciales
están destinadas a
comprobar la claridad y precisión de los conceptos adquiridos, por lo tanto, estas
evaluaciones se realizan sobre un formulario que proveemos en el momento del examen
que, por supuesto, es a libro cerrado.
Prevemos las siguientes instancias de evaluación:
Evaluacióndiagnósticavíacorreo electrónico o entregada al representante distrital de
la editora.
Evaluación de proceso al finalizar cada encuentro.
Autoevaluación en cada una de las unidades.
Evaluación final integradora.
Evaluación final presencial.
Los criterios de evaluación para lograr la acreditación son los siguientes: lo estamos
modificando…
100% de asistencia al encuentro presencial.
Actividad de evaluación final integradora aprobada.
Evaluación final presencial, individual, formal y escrita aprobada, con sólo una
instancia de recuperación posible.
Evaluación final integradora
Consistirá en la resolución de una serie de consignas que se relacionan con los contenidos
del curso en cuestión, a través de las cuales se busca promover la producción propia por
parte del alumno o el equipo de trabajo. Es por ello, que no se aceptarán materiales
| Criterios de Evaluación
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copiados, o que utilicen otras fuentes sin que sean correspondientemente citadas.
Las consignas que ponen el énfasis en la redacción libre (“justificar su pertinencia”, “diseñar
proyectos”, “relacionar y describir”, entre otras), no podrán tener una extensión inferior a
una carilla.
La evaluación final integradora podrá ser entregada de manera grupal (respetando el
número máximo de integrantes preestablecido).
En todos los casos se deberá indicar el nombre, apellido, DNI y distrito del alumno que
realizó o los miembros del equipo que realizaron la evaluación.
Cuando en una misma institución educativa se conforme más de un grupo, cada uno
presentará una evaluación diferente. No se aceptarán integradores iguales provenientes de
grupos distintos. En esos casos, ambas producciones serán desestimadas.
Las evaluaciones integradoras finales podrán ser enviadas por correo electrónico al tutor, o
subidas a la Plataforma Virtual, y sólo se recibirán hasta los 30 días anteriores a la
fecha del examen final presencial.
Sólo serán aceptadas este tipo de actividades por correo convencional o fax en situaciones
excepcionales, para lo cual el alumno deberá informar su situación al tutor que
corresponda. En este caso, los trabajos deberán ser escritos a máquina o en forma
manuscrita, con letra legible, y guardando las normas usuales de presentación.
Los tutores asumirán el compromiso de corregir las evaluaciones finales integradores
recibidas, realizar sugerencias de mejora y profundización, pero quedará disponible al
criterio del/ la cursante la presentación de un nuevo trabajo en el que hayan sido
introducidas dichas mejoras. La presentación de segundas versiones de los trabajos por
parte del alumno será absolutamente voluntaria.
Obviamente, el tutor podrá pedir un mayor desarrollo de la actividad cuando la producción
recibida impida su evaluación o no se corresponda con la consigna solicitada.
Evaluación final presencial
En esta instancia, se administra una prueba final a los cursantes, mediante la cual se
pretende verificar el grado de conceptualización que han logrado los/as cursantes. Dichos
exámenes incluyen consignas cuyos objetivos son: la construcción, la elaboración, la
aplicación, el completamiento, la discriminación, entre otros, los cuales permiten la
valoración integral del aprendizaje de cada uno/a de los alumnos.
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Las características de este examen son las siguientes:
_ Es individual
_ Es escrito y a libro cerrado
_ Es presencial
El cursante deberá asistir obligatoriamente al encuentro presencial para rendir el examen
final del curso. Esta instancia de evaluación es ineludible. De hecho, sólo se extenderá
certificado a aquellos cursantes que, habiendo entregado las evaluaciones finales
integradoras, hayan aprobado el examen y figuren en la planilla de asistencia.
Para acceder a esta instancia de evaluación (que se administrará en fechas, horarios y
sedes a convenir en cada caso, pero siempre procurando el menor desplazamiento posible
para nuestros/as alumnas), será requisito que el/la cursante haya aprobado la evaluación
final integradora.
Reiteramos: NO ACEPTAREMOS la entrega de actividades finales integradoras en el
examen final presencial. Las mismas deberán estar entregadas a cada tutor 30 días
antes del presencial. SIN EXCEPCIÓN.
Resultados de las evaluaciones
Las calificaciones que se obtengan en las diferentes instancias de evaluación (integradores
finales y exámenes presenciales) serán informadas a los cursantes a través del tutor de
cada curso.
Instancias de evaluación del curso
Nuestros cursos incorporan también dos instancias de evaluación de importancia para
quienes diseñamos y tutoramos los cursos, cuyo objetivo consiste en conocer a los
cursantes, sus preocupaciones, sus antecedentes de trabajo en la modalidad a distancia y
sus aspiraciones, así como también relevar su opinión acerca de la realización del curso y
las propuestas de mejora. El vínculo pedagógico con el tutor también se releva en una de
dichas instancias.
Es por esto que el material incorpora:
| Criterios de Evaluación
13

Una evaluación diagnóstica, que se deberá realizar al inicio del curso.

Una evaluación del proceso, que se deberá realizar al promediar la cursada.
Para nosotros es muy importante que el/la cursante complete ambas evaluaciones en la
Plataforma Virtual.
Otras Consultas
Desde el momento en que el alumno adquiere un curso nuestro equipo de tutores estará a
su disposición para resolver todo tipo de dudas que surjan durante el trabajo.
No demore el inicio de las actividades; comience inmediatamente después que haya
resuelto los aspectos formales para comenzar a trabajar. Realmente es nuestro deseo que
disfrute de este proceso y se apropie de cada una de las herramientas que construimos a
diario pensando en usted.
¡Suerte! Y nuevamente… bienvenido.
14
Evaluación inicial
Apellido y Nombre: ………………………………………………………………………………..
DNI: …………………………………………………………………………………………………
Email: ………………………………………………………………………………………………..
Institución: …………………………………………………………………………………………..
Distrito Escolar: ……………………………………………………………………………………..
Lo invitamos a completar el siguiente cuestionario, a manera de evaluación inicial. Su
respuesta es muy importante para poder realizar los ajustes convenientes y lograr de esa
forma sacar el máximo provecho de esta instancia de formación.
Podrá completar la misma en el foro abierto en la clase 0.
1. ¿Ha participado antes de cursos de formación en Matemática y TIC? Cuándo y
dónde?
2. Cuáles cree Ud. son las mayores dificultades que tienen los alumnos para el
aprendizaje de la matemática?
3. Cómo cree Ud. que aprenden matemática los alumnos?
4. Cuál cree Ud. es el rol del docente en las clases de matemática?
5. Qué hace Ud. cuando un alumno le muestra una estrategia de resolución errónea?
6. ¿Considera importante la incorporación de las TIC en las prácticas de enseñanza?
7. ¿Utiliza las TIC en sus clases? Puede brindar un pequeño ejemplo de uso?
8. ¿Utiliza las TIC en su vida cotidiana? Puede brindar un pequeño ejemplo de uso?
9. Tiene Ud. internet en su hogar? en su teléfono celular?
10. Ha realizado alguna vez un curso de formación a distancia? Por correo postal? por
email? mediado por una plataforma?
11. Qué le gustaría aprender en este curso de formación?
12. Otras dudas, miedos, comentarios o sugerencias que desee realizar.
Podrá encontrar esta evaluación en el aula virtual
| Evaluación inicial
15
16
1
Unidad I:
¿Qué es enseñar y aprender
matemática?
Introducción
Muchas son las preguntas y sentimientos que despierta esta viñeta. Algunos pensarán que
no es posible que un docente mencione esas palabras frente a sus alumnos, sin embargo,
esto en algunas ocasiones sucede. Tal vez no seamos conscientes de ello, o no lo
hagamos explícitamente, pero en la realidad, muchos docentes en sus prácticas de
enseñanza, mantienen este “modelo”.
¿Cómo?
a través de sus diálogos, de las actividades propuestas, de las maneras de
gestionar la clase, los agrupamientos de alumnos, de clasificar o corregir, en la forma de
tratar el error, de elogiar o no una producción, etc.
| Introducción
17
El modelo “hagan exactamente lo que yo digo” es un modelo en el que algunos
docentes se sienten seguros. De esta manera tienen todo controlado: los objetivos, los
contenidos,
las actividades y ejercicios que se brindará a los alumnos, conocen las
respuestas y a dónde quieren llegar, con todo ello.
¿Será efectivo y eficaz este modelo? ¿Por qué a pesar de tener “todo controlado”
existen alumnos con dificultades, en el área de matemática? ¿Por qué docentes con
mucha experiencia y sapiencia en el área, dicen que sus alumnos “no comprenden
las consignas”? o mantienen dificultades recurrentes al operar matemáticamente?
Se deberá a dificultades del docente o del alumno?
Tendrán algo que ver los contenidos que se seleccionaron, los problemas o
actividades propuestas?
En esta unidad vamos a conocer algunos modelos de enseñanza docente propuestos para
la enseñanza de la matemática, y a través de ellos comenzar a entender y reflexionar sobre
algunas cuestiones fundamentales de la didáctica de la matemática:
¿Qué es enseñar y aprender matemática?, ¿Cómo enseñar matemática en el nivel
primario? ¿Cómo conseguir una enseñanza “con sentido”? ¿Qué lugar tienen los
problemas en la clase? ¿Por qué enseñar por medio de la resolución de problemas?
¿Cuáles serán aquellos problemas que podremos presentar en nuestras aulas para
dotar se sentido los conceptos matemáticos? ¿Qué diferencias existen entre
problemas y ejercicios o cuentas?
Además la reflexión sobre nuestras prácticas en el aula, a través del análisis de algunos
casos, nos permitirá entender mejor el rol del docente, el del alumno y los problemas, al
momento de gestionar la clase de matemática.
18
Introducción |
Esquema conceptual del Unidad I
Crear
Socializar
REDES
Distribuir
SOCIALES
Información
Conocer
| Introducción
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Objetivos

Analizar y reflexionar acerca de los enfoques de enseñanza y aprendizaje por medio
de la resolución de problemas en el área de matemática.

Promover el rol del docente y del alumno, dentro de un enfoque constructivista de
enseñanza de la matemática.

Crear redes para el trabajo colaborativo utilizando herramientas gratuitas en la web
Contenidos
1. El Contrato Didáctico: La tríada didáctica
1.1 El rol del docente
1.2 El rol del alumno
1.3 El lugar del Saber
2. Modelos de Enseñanza de la Matemática
2.1 El modelo Normativo
2.2 El modelo Iniciativo
2.3 El modelo Aproximativo
3. Aprender matemática por medio de la resolución de problemas
4. Los modelos en escena. Análisis didáctico
5. Creando redes
5.1 Creación de cuenta en Gmail.
5.2 Las reglas de netiquette
5.3 Formación de círculos de trabajo colaborativos en Google+
5.4 Realizar posteos, subir fotos, uso del chat
20
Introducción |
Síntesis
En esta unidad conoceremos algunos modelos de enseñanza de la
matemática que circulan en la actualidad y nos detendremos en particular
en aquel que permite construir el sentido de los conceptos matemáticos a
través de la resolución de problemas. Nos enfocaremos en el análisis de
casos prácticos, teniendo en cuenta el rol del docente, el alumno y el saber,
durante la gestión de la clase.
Finalmente iniciaremos nuestra entrada en las TIC, mediante algunas
herramientas gratuitas brindadas por Google, para crear en principio
nuestra propia red social.
1. El Contrato Didáctico: La tríada didáctica
Guy Brusseau plantea que en todas las situaciones didácticas, o sea
aquellas en donde el donde manifiesta su intencionalidad de
enseñanza, existe cierta expectativa de lo que se espera del profesor
por parte de los alumnos, y viceversa: lo que esperan los alumnos por
parte del profesor, en función de cierto saber didáctico o contenido
escolar.
En la Teoría de Situaciones Didácticas de G. Brousseau se define que una
situación didáctica es un conjunto de relaciones explícita y/o implícitamente
establecidas entre un alumno o un grupo de alumnos, algún entorno (que
puede incluir instrumentos o materiales) y el profesor, con un fin de permitir a
los alumnos aprender -esto es, reconstruir- algún conocimiento. Las
situaciones son específicas del mismo.
Estas expectativas, G. Brosseau las encuadra dentro de lo que él denomina Contrato
Didáctico:
| 1. El Contrato Didáctico: La tríada didáctica
21
“…conjunto de comportamientos (específicos) del maestro que son
esperados por el alumno, y conjunto de comportamientos del alumno que
son esperados por el maestro, y que regulan el funcionamiento de la clase y
las relaciones maestro-alumnos-saber, definiendo así los roles de cada uno y
la repartición de las tareas: ¿quién puede hacer qué?, ¿quién debe hacer
qué?, ¿cuáles son los fines y los objetivos?...
Surge así una cierta interrelación entre el docente, el alumno y el saber, elementos que
conforman una tríada didáctica y son regulados por este Contrato Didáctico, implícita o
explícitamente:
Esta tríada – docente < - > alumno < - > saber-, define en todo momento los roles del
docente y el alumno, así como el lugar que ocupa el saber en la clase de matemática.
¿Qué enseñar? ¿A quién? ¿Cómo? ¿De qué forma o manera? serán preguntas
constantes, que circularán en las clases de matemática.
1.1 Los roles que „se juegan‟ en la enseñanza y el aprendizaje de la
matemática.
1.1.1 El rol del docente
Fundamentalmente es enseñar, mediando pedagógicamente el contenido matemático, para poder ser “bajado” al aula.
22
1. El Contrato Didáctico: La tríada didáctica |
Notemos que esta primera aproximación al rol del docente es muy general, ya que enseñar
conlleva implícitos ciertos comportamientos, acciones, ideas, creencias y por sobre
todo, cierta forma de entender qué es enseñar y qué es aprender matemática que
quedan explicitadas en el aula frente a los alumnos, y de las cuáles no siempre somos
conscientes como docentes.
1.1.2 El rol del alumno
Podríamos decir que es aprender, aquel tema o contenido
que el docente enseña.
Acá debemos tener en cuenta que la relación entre enseñanza y aprendizaje no es
recíproca, es decir no todo lo que se enseña se aprende, y se pueden aprender muchas
más cosas (o menos) de las que el profesor enseña. Ampliaremos más adelante esta idea,
respecto de lo que se espera del alumno en las clases de matemática.
1.1.3 El lugar del Saber
El saber se puede presentar de muchas formas, diremos
simplemente que el saber escolar, es aquel que figura en el curriculum oficial, y que la
escuela tiene como función transmitir.
Pero debemos tener en cuenta que el saber escolar, llegó a ser tal, luego de una serie de
transformaciones, realizadas por diferentes instituciones y especialistas, denominada
Transposición Didáctica.
ACTIVIDAD DE ANÁLISIS
Le sugerimos la lectura del siguiente artículo de Eduardo Chaves:
Transposición didáctica de Chevallard
Allí podrá ampliar su conocimiento sobre el concepto de Transposición Didáctica,
elaborado por Yves.
Luego de leer el artículo le pedimos que defina y compare los conceptos de:
- Saber sabio
- Saber a enseñar
- Saber enseñado
- Vigilancia Epistemológica
¿Qué tipos de saberes circulan en el aula? ¿Quién los selecciona? ¿Cómo o con qué
criterios se selecciona el saber escolar? ¿Dónde se encuentra este saber escolar en la
escuela?
| 1. El Contrato Didáctico: La tríada didáctica
23
2. Modelos de Enseñanza de la Matemática
A lo largo de los años y dentro de los diferentes avances (y retrocesos) de la didáctica de la
matemática, se fueron gestando diferentes modelos, métodos o estrategias de enseñanza
de la matemática, que repercutieron en la escuela primaria, influenciados cada uno por
diferentes corrientes pedagógicas y psicológicas.
En cada uno de estos modelos de enseñanza, el rol del docente, el del alumno y el lugar
que ocupan el saber o contenido, son diferentes y dependen en gran medida en dónde se
ponga el acento.
Por tal motivo, vamos a detenernos a analizar algunos modelos de enseñanza que
remiten a la manera o forma que tienen los docentes de lograr que los alumnos “aprendan
o no” los contenidos del curriculum, siguiendo la clasificación que nos propone Roland
Charnay1.
2.1 El modelo Normativo
Podríamos decir que es aquel en el que el
docente enseña un determinado contenido, a
través de la resolución por parte de él de un
“problema o ejercicio tipo” en el pizarrón y los
alumnos luego se limitan a realizar una serie de
ejercitaciones
o
repeticiones,
siguiendo
el
modelo desarrollado o propuesto por el docente.
En este modelo basta que el docente “muestre”
cómo se resuelve o aplica una herramienta
matemática en un problema, para finalmente el
alumno “repetir” dicho proceso de resolución. El
alumno
mecaniza
ciertos
procedimientos
matemáticos, pero desconoce en qué casos
usarlos, o si existe otra manera de arribar a la solución. El acento está colocado en el
docente, como figura de autoridad epistemológica y en el contenido a enseñar.
1
Charnay, R. (1994). “Aprender (por medio de) la resolución de problemas”. En Parra, C. y Saiz, I. (comps.)
Didáctica de la Matemática, Aportes y Reflexiones. Buenos Aires: Paidós.
24
2. Modelos de Enseñanza de la Matemática |
En el siguiente video se ejemplifica este modelo de enseñanza: VER VIDEO
Notemos la estructurada y mecánica explicación que brinda la docente, el tipo de
preguntas que realiza y de “pistas” que brinda al alumno, apoyada en el enunciado
del problema, además sugiere que el problema se resuelve mejor, si uno logra
“prestar atención”, y sigue “estos sencillos pasos”…Qué opinión le merece este
modelo?
2.2 El modelo Iniciativo
Responde a los denominadas “métodos
activos”. En este modelo el docente parte de
los intereses y necesidades del alumno.
Busca problemas que le llamen la atención al
alumno, problemas de la vida cotidiana, se lo
guía brindándole herramientas o fichas, con
la intención que el alumno busque más
información, para arribar a la solución de la situación problemática. En este modelo el qué,
se enseña pasa a un segundo plano, ya que lo que cobra importancia es mantener el
interés del alumno, su motivación, por encima del contenido. Es mucho más fuerte la
interacción entre docente y alumnos. El acento en este modelo está puesto en el alumno, y
el saber o contenido queda relegado al interés o motivación que tenga el alumno por
aprender.
Observemos que en esta situación, la operación o estrategia de resolución está
planteada de antemano por la docente (una suma). El alumno logra crear un
problema en función de los números dados. Un problema, que podríamos decir que
es un tanto irreal. Si bien toma elementos de la vida cotidiana, el tamaño de los
números involucrados, hace a la situación poco creíble, de todas maneras se
fomenta la participación del alumno…Qué opinión le merece este modelo?
| 2. Modelos de Enseñanza de la Matemática
25
2.3 El modelo Aproximativo
En este modelo el docente parte de las
concepciones o ideas previas que posee
el alumno, para comenzar desde allí a
construir el significado de un concepto.
El docente selecciona una colección o
“campo de problemas” que sirven de
obstáculo cognitivo para el alumno.
El alumno investiga, prueba, ensaya y
explora
soluciones.
Las
comparte,
discute y debate con sus pares. El
docente fórmula preguntas conflictivas, para que el alumno sea capaz de argumentar, y
defender su producción. El problema es elegido de tal manera que se pueda arribar a la
solución mediante el contenido que pretende enseñar. El problema posee cierta
dificultad, pero es posible encararlo a través de los conocimientos previos que posee el
alumno.
Es este tercer modelo es el que nos interesa desarrollar en el presente curso y el que se
propone desde los diseños curriculares actuales. El acento está puesto en la actividad
matemática y en las interacciones del alumno con el saber y el docente. Este último toma el
rol de guía en la construcción de la nueva herramienta.
En esta situación, los alumnos en grupos, deben enfrentarse a la resolución de un
problema. Para ello analizan, debaten, prueban y ensayan estrategias, recurren a
sus conocimientos previos o herramientas ya adquiridas, para lograr arribar a una
respuesta, que puede ser provisoria, y deberá ser argumentada matemáticamente,
la respuesta brindada luego será confrontada con la que brinden los otros grupos,
para luego llegar entre todos a una conclusión…Qué opinión le merece este
modelo?
26
2. Modelos de Enseñanza de la Matemática |
3. Aprender matemática por medio de la resolución de problemas
En el documento ¿Qué entendemos por hacer matemática en la escuela?2 se
menciona:
“Son numerosos los factores que han incidido en la construcción del saber
matemático, pero es indudable que uno de los principales ha sido la resolución de
problemas de distinta índole: problemas cotidianos, problemas de otras ciencias y
problemas de la matemática.
Indefectiblemente, los problemas han sido y son el motor del desarrollo de la
matemática.
Pero no siempre el saber matemático ha sido elaborado de manera sencilla, hubo
errores, dificultades, marchas y contramarchas que exigieron un estilo de trabajo
ante cada problema: investigación, búsqueda, experimentación, respuestas,
demostraciones, nuevas preguntas, así hasta formalizar un conocimiento. Este
recorrido entre un problema y su formalización no es en absoluto lineal ni
espontáneo, y en algunos casos ha llevado miles de años.
Se plantea entonces que la actividad de enseñar matemática en el aula esté
relacionada, de alguna forma, con el quehacer matemático anteriormente
descripto, aunque sea muy difícil precisar los límites entre una y otra actividad. Pero
indefectiblemente implica que los alumnos puedan desplegar diferentes
estrategias para resolver un problema, poner en juego ideas, buscar diversos
caminos de resolución, formular respuestas (aunque sean erróneas), tener la
oportunidad de corregirlas, debatir sobre una afirmación, poder probarla o
rechazarla, analizar la conveniencia o no de determinados caminos elegidos,
analizar la razonabilidad de un resultado, etc. En definitiva, permitir a los
alumnos entrar en las características del pensamiento matemático, permitirles
vincularse a la forma de producción del conocimiento matemático, asumiendo lo
complejo y prolongado de esta tarea.
2
¿QUÉ ENTENDEMOS POR HACER MATEMÁTICA EN LA ESCUELA? Subsecretaría de Educación
Dirección Provincial de Educación de Gestión Estatal Dirección de Educación General Básica Gabinete
Pedagógico Curricular – Matemática Año 1997Provincia de Buenos Aires Dirección General de Cultura y
Educación
| 3. Aprender matemática por medio de la resolución de problemas
27
Esto será posible si se opta por un enfoque que ponga la resolución de
problemas en el centro del trabajo.
A su vez, son también los problemas los que permiten que un saber tenga sentido.
En cierta forma este es uno de los desafíos para los docentes: encontrar
situaciones, actividades, juegos, enunciados, cuentas, etc. que permitan a los
alumnos construir el significado de un conocimiento matemático, establecer el
para qué sirve, como así también los límites de su utilización.
Ahora bien, no cualquier problema permitirá a los alumnos entrar en el “hacer
matemática”. Dichos problemas (situaciones, actividades, juegos, enunciados,
cuentas, etc.) tendrán que tener ciertas características que permitan a los alumnos
desplegar los conocimientos que poseen, pero que a su vez ofrezcan cierta
resistencia para que la respuesta no sea inmediata.
Que involucre una nueva búsqueda y permita desarrollar diferentes estrategias por
parte de los alumnos. Pero que asimismo no resulte tan dificultoso de manera que
los chicos no puedan siquiera empezar a trabajar.
En tanto un conocimiento aparezca como la solución óptima (no la única) a un
problema, es que adquirirá sentido para los alumnos. Pero, a su vez, será
necesario ampliar las posibilidades de uso de ese conocimiento. Para ello se
deberán presentar una variedad de problemas que permitan poner en
funcionamiento dicho conocimiento y realizar un análisis en torno a las
características que adquiere en cada uno de ellos.”
De estos párrafos, podemos comenzar a distinguir estrategias de enseñanza, que
respondan al modelo de “Enseñanza por resolución de Problemas”
Se propone a los alumnos realizar “un trabajo matemático” que implique:
-
investigar
-
buscar soluciones
-
experimentar
-
ensayar, equivocarse y volver a empezar
-
argumentar una estrategia de solución encontrada
-
comunicar una solución a otros, etc
28
3. Aprender matemática por medio de la resolución de problemas |
Para ello el rol del docente, no se limitará a brindar problemas y soluciones tipo. Sino por el
contrario deberá ser capaz de seleccionar los problemas de tal forma que estos permitan
que el contenido a enseñar tenga sentido.
Si volvemos a retomar la tríada didáctica, podemos ver que tanto el rol del docente, como el
del alumno, son roles muy activos. El saber no es un saber acabado, sino que por el
contrario, se busca la reconstrucción del saber a enseñar, por parte de los alumnos,
con la ayuda del docente.
Este tipo de enfoque para las clases de matemática, dista mucho de las anteriores
corrientes de enseñanza de la matemática.
Un aspecto importante en este modelo didáctico es lograr la construcción de sentido o
significado de un conocimiento, a través de la resolución de problemas en el aula.
Para G. Brousseau (1983), el sentido de un conocimiento matemático se define:
– no sólo por la colección de situaciones donde este conocimiento es realizado
como teoría matemática; no sólo por la colección de situaciones donde el sujeto lo
ha encontrado como medio de solución,
– sino también por el conjunto de concepciones que rechaza, de errores que
evita, de economías que procura, de formulaciones que retoma, etc.
Además menciona que todo conocimiento se desarrolla en dos niveles:
 En un nivel “externo”: ¿cuál es el campo de utilización de este conocimiento y
cuáles son los límites de este campo?
 En un nivel “interno”: ¿cómo y por qué funciona tal herramienta? (por ejemplo,
¿cómo funciona un algoritmo y por qué conduce al resultado buscado?).
La cuestión esencial de la enseñanza de la matemática es entonces:
¿Cómo hacer para que los conocimientos enseñados
tengan sentido para el alumno?3
3
Íbidem
29
De esta manera por ejemplo, no basta con saber que un problema se resuelve con una/s
determinada operación, sino que también será necesario que el alumno conozca la manera
más adecuada de operar (emplee diferentes estrategias de cálculo) de acuerdo al contexto
del problema y/o los números puestos en juego. O lo que es lo mismo: no basta que el
alumno sepa realizar una operación, si luego no es capaz de resolver un nuevo problema
utilizando esta u otra estrategia.
Priorizar un tipo de trabajo matemático
Resulta pues vital que prioricemos en la escuela, desde el momento en que los niños
se inician en el estudio de la matemática, la construcción del sentido de los
conocimientos por medio de la resolución de problemas y de la reflexión sobre estos,
para promover así un modo particular de trabajo matemático que esté al alcance de
todos los alumnos y que suponga para cada uno:
• Involucrarse en la resolución del problema presentado vinculando lo que quiere
resolver con lo que ya sabe y plantearse nuevas preguntas.
• Elaborar estrategias propias y compararlas con las de sus compañeros considerando
que los procedimientos incorrectos o las exploraciones que no los llevan al resultado
esperado son instancias ineludibles y necesarias para el aprendizaje.
• Discutir sobre la validez de los procedimientos realizados y de los resultados
obtenidos.
• Reflexionar para determinar qué procedimientos fueron los más adecuados o útiles
para la situación resuelta.
• Establecer relaciones y elaborar formas de representación, discutirlas con los
demás, confrontar las interpretaciones sobre ellas y acerca de la notación
convencional.
• Elaborar conjeturas, formularlas, comprobarlas mediante el uso de ejemplos o
justificarlas utilizando contraejemplos o propiedades conocidas.
• Reconocer los nuevos conocimientos y relacionarlos con los ya sabidos.
• Interpretar la información presentada de distintos modos, y pasar de una forma de
representación a otra según su adecuación a la situación que se quiere resolver.
Serie Cuadernos para el aula. 1° ed. Buenos Aires: Ministerio de Educación, Ciencia y
tecnología de la Nación, 2007.
30
3. Aprender matemática por medio de la resolución de problemas |
La Gestión de la clase de matemática (por medio de la resolución de problemas)
• Elegir el problema según el objetivo de la clase
• Anticipar las posibles estrategias que utilizarán los niños y las posibles pistas
que puede brindarles si hace falta
• Presentar el problema en forma oral o escrita.
• Trabajo en grupos de los niños con la menor intervención posible de parte
del docente
• Puesta en común, donde se analizan diferentes formas de resolución que
aparecieron o propusieron los grupos de alumnos.
• Registro de las conclusiones elaboradas durante la puesta en común por
toda la clase, y con la guía del docente.
Este modelo responde al paradigma constructivista, el cual pretende introducir la
resolución de problemas con el objetivo de que los alumnos puedan “construir” nuevos
conocimientos. El autor (Joseph Gascón) retoma la caracterización que hace Douady
(1986) de una “situación problema”:

El alumno ha de poder introducirse en la resolución del problema y ha de poder
considerar lo que es una solución posible.

Los conocimientos del alumno han de ser, en principio, insuficientes para
resolver el problema.

La “situación problema” ha de permitir al alumno decidir si una solución
determinada es correcta o no.

El conocimiento que se desea que el alumno adquiera (“construya”) ha de ser la
herramienta más adecuada para resolver el problema al nivel de conocimientos
del alumno.

El problema se ha de poder formular en diferentes “cuadros” (por ejemplo,
cuadros físico, geométrico, algebraico) entre los que han de poderse establecer
correspondencias.
31
El avance que constituye este paradigma con respecto a los demás es que integra el
momento exploratorio con el momento teórico, dando gran importancia al papel de la
actividad de resolución de problemas en la génesis de los conceptos.4
4. Los modelos de enseñanza en escena. Análisis didáctico.
Les proponemos a continuación analizar los siguientes registros de fragmentos de clases
reales, e identificar en ellos a qué modelo de enseñanza por resolución de problemas
responde o se aproxima cada uno, para ello podemos tener en cuenta:
¿Cuál es el lugar del docente?
¿Cuál es el rol del alumno?
¿Qué lugar ocupa el problema en la clase?
¿Quién aprende?
¿Qué se aprende?
¿Qué lugar ocupa el error?
¿Qué se hace ante su aparición?
Esta actividad será motivo de análisis en el foro de la clase.
4
La resolución de problemas en matemática. Distintos paradigmas. Disponible en
http://aportes.educ.ar/matematica/nucleo-teorico/recorrido-historico/la-resolucion-de-problemas-enmatematica/distintos_paradigmas.php?page=1
32
4. Los modelos de enseñanza en escena. Análisis didáctico. |
CASO 1
La docente comenzó poniendo un afiche en el pizarrón con un problema:
*Para el día del niño a Rodrigo le regalaron $70. Si quiere gastarlo durante una
semana ¿Cuánto gastará por día?
Le pidió a los alumnos que leyeran todos juntos; al ver que no se entendía nada solicitó
que sólo un alumno lo hiciera.
Luego, les pidió que lo resolvieran en grupos.
Los alumnos se agruparon y comenzaron a trabajar.
Un grupo le preguntó si era división
piensen.
lo que tenían que hacer; ella contestó: piensen,
M: Bueno algunos grupos están terminando. Esperemos un ratito más a que los demás
terminen. El primer grupo entregó el papel a la maestra donde hicieron lo siguiente:
M: Muy bien, les cuento que otro grupo resolvió usando la calculadora:
70 : 7 = 10
Otro grupo fue restando de 10 en 10 desde el 70 y pusieron de respuesta $10 por día.
El último grupo hizo 10 x 7= 70.
M: ¿cuál es la respuesta a este problema?
A: Diez pesos por día, contestaron todos en coro.
M: ¿todos los cálculos estarán bien?
A: Siiiii
M: ¿Cuál nos conviene?
A: la división es más rápida
A: pero a mí no me gusta, dijo otro
A: la suma es más fácil, dijo otro
M: bueno, lo podemos hacer de diferentes maneras y todos llegan al mismo resultado, la
que más nos conviene es la división. Copien el problema en la carpeta y cómo lo
resolvieron.
| 4. Los modelos de enseñanza en escena. Análisis didáctico.
33
CASO 2
El docente propone el siguiente problema:
“En un supermercado acomodan latas de tomate en 150 columnas con 10 latas cada
una. ¿Cuántas latas pudieron acomodar?”
Mientras los alumnos copian el enunciado de este problema la maestra pasa por los
bancos corrigiendo la actividad anterior. Luego leen el enunciado en voz alta.
M: ¿se acuerdan cuáles eran las columnas?
A: Seño ¿qué tenemos que hacer?
M: Volvamos a leer
As: Ya lo hicimos!
M: Damos tiempo a los otros compañeros que lo resuelvan
A: Seño, hice suma ¿está mal?
M: Después lo vemos
La maestra al ver que muchos no arrancaban con el problema, pregunta: ¿lo leemos de
nuevo? M: (los hace callar) leemos todos de nuevo
M: ¿cuántas columnas son y qué tiene cada una? cada una tiene 10 ¿seguros? Entonces
¿pueden estimar cuál puede ser el resultado?
A: 1000 porque 150x10=1500
Pasan dos alumnos al pizarrón (Jazmín y Florencia):
Jazmín: escribe 150 + 10
M: ¿Qué hizo Jazmín? ¿Qué sumó? ¿Está bien?
Florencia: no
A: no puede ser porque sumó las 150 columnas y
las 10 latas
Angel: multipliqué 150x10 y dá 1.500
M: ¿Por qué multiplicas por 10?
M: entonces 150 + 10 está mal, si estimamos nos damos cuenta que está mal.
34
4. Los modelos de enseñanza en escena. Análisis didáctico. |
CASO 3
La docente plantea operaciones para resolver
a) 361 x 12 =
b) 284 x 20 =
c) 628 / 4 =
d) 951 / 5 =
Los niños pasan a resolver al pizarrón y lo hacen de la siguiente manera:
La docente pregunta a los niños cómo habían pensado para resolver en
cada operación, los niños relatan cómo descomponen el segundo factor en el caso de las
multiplicaciones.
Para resolver 361 x 2, una niña realiza a un costado la multiplicación de
manera tradicional.
En las divisiones los chicos explican que pensaron que se podían restar 100
veces el divisor en los dos ejemplos, y luego eligen los siguientes números considerando
que se pueda restar.
Finalmente la maestra propone más operaciones para resolver en los
cuadernos.
| 4. Los modelos de enseñanza en escena. Análisis didáctico.
35
5. Creando redes
Las nuevas tecnologías de la información y la comunicación permiten estrechar las
distancias entre las personas, al brindar nuevas herramientas de comunicación.
En
el
aula
virtual
también
disponemos de espacios, de
comunicación, como lo son los
foros, chat y el correo interno.
Durante el desarrollo de las
unidades del curso vamos a
interactuar dentro y fuera del aula
virtual, para poder ampliar nuestros
horizontes y aventurarnos a “jugar”
con las diferentes herramientas que
nos brinda la web. Para ello vamos
a crear “nuestros lugares” de
encuentro, nuestra propia red
social, y así poder interactuar,
intercambiar, compartir y sociabilizar
nuestros saberes y experiencias con
nuestros colegas.
Para ello aprovecharemos las aplicaciones gratuitas que nos brinda Google.
 Primero crearemos (en caso de ser necesario) nuestra cuenta en Gmail,
para luego, utilizando la aplicación Google+, crear nuestra red social del
curso.
5.1 Creando una cuenta en Gmail.
En este apartado vamos a construir nuestra propia red social,
utilizando como herramienta gratuita la que ofrece Google+.
Crearemos en caso de ser necesaria, una cuenta Gmail entrando
a www.gmail.com y siguiendo el siguiente “paso a paso”.
Video Tutorial: Cómo crear una cuenta en Gmail
Una vez creada la cuenta, recuerde enviarla por el correo interno del Aula
Virtual a su tutor. Quien las reunirá y posteriormente distribuirá a toda la
clase.5.2 Formando Círculos Sociales en Google+
36
5. Creando redes |
Primero vamos a incorporar a nuestra lista de contactos de Gmail, los e-mail del grupo de
compañeros que nos proporcionará el Tutor. Vamos a Contactos (haciendo click en la
pestaña Gmail)
Luego, cortando (ctrl+V) y pegando (ctrl+C) añadimos la lista de e-mail completa, en el
cuadro respectivo:
Posteriormente para crear nuestro grupo de trabajo entraremos en Google+, haciendo
click en el ícono +Tú
Busquen el ícono “Círculos”
en el lateral izquierdo de la pantalla.
Notarán al entrar en los Círculos, arriba, a todos los compañeros de la clase que figuran en
su lista de contactos.
Elijan “Crear Círculo” para crear uno nuevo.
| 5. Creando redes
37
Elijan el nombre del Círculo que a Uds. les parezca apropiado, para reunir a todos los
compañeros de la clase, y “arrástrenlos” hasta su nuevo círculo.
Videos Tutoriales:
 Crear nuestro perfil de usuario
 Crear nuestro CÍRCULO de trabajo.
Lectura Optativa:
 Las redes sociales son Inteligencia Colectiva
Para tener en cuenta:
 Seguridad en la Red I
 Seguridad en la Red II
5.3 Las reglas de netiquette
Un aspecto muy importante para tener en cuenta al tener que escribir y enviar correo,
participar en foros, o realizar posteos, son las reglas de netiquette.
Cumplir con las reglas de netiquette, será una condición indispensable en este curso, para
mantener una comunicación abierta, fluida y cordial con todo el grupo.
38
5. Creando redes |
ACTIVIDAD DE REFLEXIÓN
¿Qué otros usos le podemos dar a los Círculos en nuestras clases?
¿Qué opinan acerca del impacto positivo o negativo que puede tener la
creación de redes de trabajo colaborativo en educación? Para ello, los
invitamos a ver el siguiente video:
Impacto de las redes sociales en educación
Esta actividad será motivo de análisis en el foro de la clase.
5.4 Realizar posteos, subir fotos, usar el chat.
Ahora sí, estamos en condiciones de explorar nuestra nueva herramienta, nuestra propia
red social de interacción e intercambios.
ACTIVIDAD DE SOCIALIZACIÓN
Seguramente, en la exposición de los modelos de enseñanza se habrá sentido más
identificado con uno u otro.




¿Considera que los modelos se presentan en estado puro?
¿Podría mencionar, recurriendo a su trayectoria escolar, el aprendizaje de
algún contenido, mediante alguno de los modelos presentados?
Recuerda cómo aprendió a sumar o dividir? En qué nivel se hacía más
hincapié: en el externo o en el interno?
Considera que un alumno que opera correctamente con las cuatro
operaciones está en condiciones de saber cuándo ponerlas en juego?
Le solicitamos comparta con el Círculo- G+, de nuestra clase, algunas
respuestas a estas preguntas. Podrán también acompañar los
comentarios con imágenes o videos que lo ilustren.
| 5. Creando redes
39
Autoevaluación
1. Responda Verdadero o Falso a las siguientes afirmaciones:
V
El rol del docente
a) Ante un problema, muestra la estrategia de resolución
más eficaz a sus alumnos.
b) Ante un problema, orienta al alumno a buscar sus
propias estrategias de resolución, de acuerdo a sus
posibilidades.
c) Luego de resolver un problema, brinda más problemas
similares, para que puedan aplicar la estrategia de
resolución encontrada.
d) Es promover espacios de reflexión y debate de las
estrategias encontradas, o planteadas por los alumnos
e) Es promover instancias de trabajo grupal e individual
f) Es seguir el desarrollo de los temas planteados en un
libro de texto.
g) Es seleccionar los problemas de acuerdo al propio
interés y motivación de los alumnos.
h) Es seleccionar problemas para que el alumno pueda
resolverlo de acuerdo a sus experiencias previas, pero
promoviendo
la
aparición
de
nuevos
contenidos
matemáticos.
El rol del alumno
i) Es copiar y memorizar las resoluciones propuestas por
el docente
j) Intenta resolver los problemas de acuerdo a sus propios
conocimientos previos
k) Intercambia ideas con sus pares
l) Es aprender antes los conceptos para luego poder
aplicarlos en la resolución de problemas
40
Autoevaluación |
F
m) Es argumentar las estrategias de resolución halladas
basándose
en
sus
conocimientos
parciales
de
matemática
El saber Escolar
n) Se selecciona en función de situaciones de la vida
cotidiana
o) Se
selecciona
en
función
de
los
intereses
y
motivaciones de los alumnos.
p) Está plasmado en los Diseños Curriculares
q) Se selecciona de acuerdo a la significatividad lógica y
psicológica.
r) No tiene vigilancia epistemológica.
2. ¿Cómo se construye el sentido de un conocimiento matemático?
3. Mencione por los menos 4 diferencias que existan entre el enfoque tradicional de
enseñanza y el que promueve la enseñanza de la matemática por medio de la resolución
de problemas?
4. Mencione algunas ventajas sobre el uso de las redes sociales en la enseñanza.
| Autoevaluación
41
Clave de corrección
1_ a-F, b-V, c-F, d-V, e-V, f-F, g-F, h-V, i-F, j-V, k-V, l-F, m-V, n-F, o-F, p-V, q-V, r-F.
2. El sentido de un conocimiento matemático de construye no solo por la cantidad de veces
que ese conocimiento es reconocido como instrumento de resolución de un problema, sino
también por la cantidad de errores que evita, de soluciones que permite encontrar. Además
el sentido se construye dentro de dos niveles: interno y externo que es necesario que el
alumno reconozca.
3. Entre las principales diferencias podemos notar:
- El docente no es la única fuente del saber
- Los problemas son el motor del aprendizaje de la matemática
- El trabajo grupal por parte de los alumnos es vital, ya que permite una construcción
colectiva del saber.
- Los problemas se elijen en función del contenido a enseñar.
- Las actividades o ejercicios, sirven para familiarizar a los alumnos con el contenido y
las estrategias de resolución encontradas (que pueden ser momentáneamente
parciales)
- Entre otros.
4. Entre las ventajas del uso de las redes sociales en educación, se pueden mencionar:
-Se promueve un aprendizaje en sociedad. Alumnos y profesores pueden establecer
múltiples relaciones entre ellos, intercambiar opiniones, analizar artículos de última hora,
compartir datos, música, videos, noticias, fotografías, etc.
- La construcción de conocimiento es dinámica, constante y compartida. Tanto, alumnos
y docentes, aportan conocimientos nuevos. El conocimiento de una comunidad se crea y
crece en la medida que sus miembros aportan datos obtenidos de múltiples maneras.
- Roles más activos son asumidos por alumnos y docentes. Hablamos de roles activos
ya que los alumnos, principalmente, dejan de ser meros receptores del conocimiento
para comenzar a ser constructores de nueva información. Por ende, nuevas
capacidades como la habilidad para procesar, seleccionar, comparar, analizar datos y
artículos informativos han de ser adquiridas y perfeccionadas por alumnos. A este punto,
se puede dilucidar un proceso de establecer una igualdad en peso del trabajo generado
por alumnos y docentes. Todos tienen las mismas oportunidades para ser actores en la
creación de nuevos conocimientos.
- La adquisición de nuevos conocimientos se vuelve una actividad amena y cotidiana.
Las redes sociales forman parte de la rutina de la mayoría de los alumnos. Si el
contenido que antes se transmitía en un aula es publicado en redes sociales, los
alumnos asimilarán nuevos conocimientos casi sin darse cuenta al intercambiar
opiniones sobre artículos, videos o audios publicados por docentes o por otros alumnos.
42
Autoevaluación |
2
Unidad II
La enseñanza del sistema de
numeración posicional
decimal
Introducción
¿?
Tomada
de
http://elbebedemama.com/2010/09/pra
ctica-de-escritura-de-numeros.html
Visto: 17/09/2012
Este tipo de actividades, solían ser muy habituales en los primeros años de escolaridad
(inclusive desde el nivel inicial), y de aquellos alumnos que son consideramos con algún
tipo de dificultad en matemática. Actualmente, y en base a numerosas investigaciones en
didáctica de la matemática1, llevadas a cabo en nuestro país e internacionalmente, la
enseñanza de los números, cobra un nuevo sentido, desde los aspectos didácticos y
cognitivos.
Si nos detenemos a analizar por un momento, la actividad nos surgen algunas preguntas:

¿Qué aprende un niño sobre el número y el sistema de numeración realizando estas
actividades?
1
Ver F. TERIGI, S. WOLMAN. SISTEMA DE NUMERACIÓN: CONSIDERACIONES ACERCA DE SU
ENSEÑANZA. REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN. N.º 43 (2007), pp. 59-83. Disponible en
http://www.rieoei.org/rie43a03.pdf
| Unidad II
43

¿Son realmente significativas y constructoras de sentido sobre el uso de los
números?

¿Qué intenta enseñar un docente que brinda este tipo de actividades a sus
alumnos?

¿Los números se aprenden uno por uno y repitiéndolos infinidad de veces?
Estas preguntas nos llevan a otra:

¿Existen otros tipos de actividades más significativas y menos “mecánicas”, que
permitan a los alumnos apropiarse del sistema de numeración?
Si nos remitimos a los Diseños Curriculares2, en ellos se menciona, respecto del número:
Para el 1° ciclo:
•Explorar diferentes contextos y funciones de los números en el uso social
•Leer, escribir y ordenar números hasta aproximadamente 10.000 ó 15.000
•Explorar las regularidades en la serie oral y escrita en números de diversa cantidad
de cifras
•Resolver problemas que involucran el análisis del valor de la cifra según la posición
que ocupa (en términos de “unos”, “dieces”, “cienes” y “miles”).
Para el 2° ciclo, se menciona:
•Resolver problemas que implican usar, leer, escribir y comparar números sin límite.
•Resolver problemas que exijan componer y descomponer números en forma aditiva
y multiplicativa analizando el valor posicional y las relaciones con la multiplicación y
la división por la unidad seguida de ceros.
De esta manera los números se aprenden dentro de situaciones problemáticas, que
impliquen leer, escribir, ordenar y comparar cantidades de diferentes cantidades de cifras.
Y con problemas que involucren el análisis del valor posicional de las cifras.
El tipo de actividades como las presentadas en el ejemplo, provocan sólo que el niño
conozca e identifique el grafismo del número, pero carecen de todo sentido y significado
2
Diseño Curricular para la Educación Primaria. Primer Ciclo / Segundo Ciclo. Volumen 1. Dirección
General de Cultura y Educación - 1a ed. - La Plata. Dir. General de Cultura y Educación de la
Provincia de Buenos Aires, 2008.
44
Unidad II |
para él, ya que no apuntan, principalmente al reconocimiento y uso de los números, en
ningún tipo de contexto, ni mucho menos a reconocer su organización posicional en
nuestro sistema de numeración.
En esta unidad, vamos a explorar aquellos caminos que permitan al alumno, apropiarse del
sistema de numeración decimal, con sentido, mediante problemas que permitan, poner en
juego sus saberes previos y avanzar en función de estos, tornando de esta manera a las
actividades más significativas.
Esquema conceptual del UNIDAD II
| Esquema conceptual del UNIDAD II
45
Objetivos

Analizar y reflexionar acerca de los enfoques de enseñanza y aprendizaje por medio
de la resolución de problemas para la apropiación del sistema de numeración
decimal posicional.

Comprender los procesos de apropiación del sistema de numeración decimal
posicional en función del uso de los números.

Comprender la potencialidad del trabajo colaborativo en línea, a través de la
creación de documentos compartidos.
Contenidos
1. Sistema de numeración posicional
1.1 El uso de material concreto como recurso para la apropiación del sistema de
numeración
1.2 Analizar regularidades en la serie numérica oral y escrita.
1.2.1 Recitar
1.2.2 Contar
1.3 La numeración escrita
1.4 Componer y descomponer números.
2. El número
2.1 Usos de los números
2.1.1 Como memoria de cantidad
2.1.2 Para comparar cantidades
2.1.3 Para memorizar posiciones
2.1.4 Los números para anticipar resultados o para calcular
2.1.5 Como símbolo o código
3. El trabajo colaborativo en la web
3.1 Elaboración de una secuencia didáctica a través de un documento colaborativo.
3.1.1 Creando un Documento compartido en Google Docs.
46
Objetivos |
Síntesis
En esta unidad abordaremos las estrategias de enseñanza del sistema de
numeración posicional decimal, a través del análisis de algunas
investigaciones llevadas a cabo sobre la apropiación del número por parte
de los niños. Reflexionaremos sobre el tipo de intervención que debe
ofrecer el docente y los problemas y actividades que se deben presentar en
clase. Además, crearemos una secuencia didáctica, a través de algunas
herramientas que favorecen el trabajo colaborativo en línea, utilizando
GoogleDocs y luego presentándolas en una Wiki.
1. Sistema de numeración posicional
Los niños entran a la escuela con un gran caudal de
conocimientos sobre los números, adquiridos a través
de su contacto con su medio natural y social
cotidianos. El docente es entonces el responsable de
retomar esa información, para poder sistematizarla y
cargarla
de
nuevos
significados,
ampliarla
y
enriquecerla.
Son muchos los casos cotidianos y prácticos en los cuales los niños se ven enfrentados
al contacto con los números:
-
al contar dinero
-
al identificar a su jugador favorito por el número de camiseta
-
al contar sus caramelos, figuritas
-
al subir al colectivo correcto
-
al marcar un número de teléfono
| Síntesis
47
-
al leer la numeración de las casas, mientras camina
-
al jugar a los dados, a las escondidas, a las cartas
-
etc.
Aprender el concepto de número y apropiarse de las reglas del sistema de numeración es
una empresa a largo plazo, que si bien se inicia mucho antes de la entrada a la
escolarización formal, continúa durante toda la escolaridad primaria y secundaria inclusive.
En este módulo abordaremos el aprendizaje de los números naturales, haciendo hincapié
principalmente en alumnos del 1° ciclo, ya que suponemos que en este nivel es crucial el
trabajo con el número y el sistema de numeración para poder avanzar en las operaciones,
aunque estas últimas ayudan y complementan el aprendizaje del sistema de numeración.
1.1.
El uso de material concreto como recurso para la apropiación del
sistema de numeración
En un trabajo publicado por Susana Wolman, La enseñanza
del sistema de numeración en los primeros grados la
autora menciona, algunas estrategias de enseñanza que se
utilizan en el aula tradicional, al momento de enseñar los
números. Por ejemplo: el uso de palitos, chapitas, dibujos,
diagramas de Venn, etc.
Susana Wolman
Licenciada en Ciencias de la
Educación y Psicóloga (UBA).
Magíster en Didáctica (UBA).
Profesora adjunta de Psicología
y Epistemología Genética, UBA.
Investigadora
sobre
la
adquisición del sistema de
numeración (UBACyT)
A su vez la escuela regula la enseñanza de los números:
estableciendo topes por grado,
enseñando los números uno por uno,
al llegar al número 10, introducir la noción de decena,
como conjunto de 10 unidades
enseñar la posicionalidad diferenciando unidades,
decenas, centenas, etc y como requisito para poder operar
posteriormente (se introduce en 1°/2° la casita)
Compartimos con la autora, la idea de lo poco útil que puede
ser el empleo de material concreto (ataditos de 10, regletas, dibujos de círculos para
representar a la decena y de palitos, para las unidades, etc) para enseñar la posicionalidad:
48
Sistema de numeración posicional |
“Cuando se tienen dos ataditos de diez palitos y cuatro palitos sueltos, siempre se tienen
veinticuatro, independientemente de la manera en que se presenten: cuatro palitos con un
atadito delante y otro atrás o bien cuatro palitos y dos ataditos. No es necesario apelar a la
posición para interpretar el número. Estos recursos hacen que el sistema de numeración se
asemeje más a los sistemas aditivos, en los que se reitera la potencia de la base, que a los
sistemas posicionales en los que las potencias de la base se representan sólo a través de
la posición que ocupan los números.”
Usar ataditos y palitos para representar el 24, no es útil para aprender el valor posicional de
las cifras: 2 y 4, se tiende de esta manera a deformar el objeto de conocimiento, como
vemos en el siguiente ejemplo:
O O I I I I = 24
O I I I I O = 24
I I I I O O = 24
I I O I I O = 24
En el siguiente video sobre resta podemos tener un ejemplo de utilización de material
concreto para poder operar.
Usar material concreto para la enseñanza de los números y del sistema de numeración,
puede ser útil para contar, agrupar, juntar, quitar (realizar pequeñas operaciones) pero solo
en los niveles más bajos: NI y 1° grado. El material concreto debe servir para comprobar
anticipaciones. Por ejemplo si en 1° grado, enunciamos el siguiente problema:
“Marcos tiene 8 figuritas y gana 3. ¿Cuántas figuritas tiene ahora?”
Será importante que el alumno antes de recurrir al material concreto, pueda anticipar una
respuesta, usando otros procedimientos: por ejemplo contando con los dedos, o realizando
dibujos en un papel, inclusive algunos “se quedan con el 8 en la cabeza”, y continúan
contando…..9,10,11. De esta forma el material concreto pasa a servir de demostración de
la estrategia de cálculo personal que produjo el alumno y comenzar así a detectar
regularidades del sistema.
| Sistema de numeración posicional
49
En el mismo artículo citado, al respecto de esto, Susana Wolman menciona:
Una de las notas centrales de la propuesta didáctica radica en proponer a los alumnos
participar en situaciones didácticas donde se use la numeración escrita sin dosificaciones y
sin apelar a recursos mediatizadores de los distintos agrupamientos; es decir, se propone la
interacción con el objeto de conocimiento en toda su complejidad.
“¿Por qué partir de la interacción de los niños con las escrituras numéricas? Porque la
numeración escrita es un objeto social con el que ellos están en contacto antes y fuera de
la escuela y acerca del cual elaboran desde temprano conceptualizaciones propias –tal
como lo han mostrado diversas investigaciones– […] Considerar lo que los niños ya saben
acerca del objeto de conocimiento, diseñar situaciones didácticas que les permitan poner
en juego sus conceptualizaciones y les planteen desafíos que los inciten a producir nuevos
conocimientos son condiciones esenciales para un proyecto didáctico que aspira a
engarzar los conocimientos infantiles con los saberes culturalmente producidos” (Lerner,
2005)
ACTIVIDAD DE REFLEXION Y ANÁLISIS
Si miramos nuestra propia trayectoria escolar, podríamos hacer una lista de las
diferentes actividades que “nos daban” para aprender los números:
Por ejemplo:


Repetir incansablemente los números del 1 al 10
Escribir el nombre de los números, etc.
¿Cuáles otras podemos nombrar o recordar?
Algunas de estas actividades, se parecen a las que nombra Susana Wolman en su
artículo?
Cree Ud. que actualmente en función de los Diseños Curriculares de la provincia,
esta situación se revirtió? ¿Cómo?
De qué forma trabaja el sistema de numeración en sus clases?
Qué uso le da al material concreto?
Esta actividad será motivo de reflexión en el FORO.
50
1.2 Analizar regularidades en la serie numérica oral y escrita.
Aprender el sistema de numeración es aprender que nuestro
sistema de numeración es posicional, lo que implica que con
sólo diez dígitos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), colocados en diferentes
“posiciones” y repitiéndolos la cantidad de veces que
deseemos, podemos formar cualquier número.
Conozcamos las reglas del sistema de numeración posicional
decimal.
LAS REGLAS Y LAS CARACTERÍSTICAS DE NUESTRO SISTEMA DE NUMERACIÓN3
Para poder pensar en una enseñanza con las características descriptas, es necesario
definir en qué sentido afirmamos que nuestro sistema de numeración es complejo. Para ello
detallamos sus características principales:
1. El sistema está compuesto de 10 signos que, combinados entre sí, pueden representar
cualquier número.
2. Es un sistema decimal porque está organizado en base 10, es decir, que cada unidad de
un orden equivale a 10 unidades de un orden anterior.
3. Además, es un sistema posicional, porque la misma cifra adquiere diferente valor según
la posición que ocupe en un número; por ejemplo, la cifra 7 vale diferente en 7, 70, 700,
etc. Esta organización procura una enorme economía tanto para anotar o para leer los
números, como también, para operar con ellos.
4. Se escribe en un orden decreciente de izquierda a derecha: las cifras que representan
cantidades mayores, a la izquierda; y las menores, a la derecha.
5. Incluye el cero.
6. Entre dos números de la misma cantidad de cifras, es mayor el que tiene a la izquierda
el número mayor.
7. Entre dos números de la diferente cantidad de cifras, es mayor el que tiene más cifras.
8. Por su organización decimal, el valor de cada posición, de derecha a izquierda,
corresponde a las potencias sucesivas de 10. Así los valores de las posiciones
consecutivas son las siguientes:
3
Itzcovich, Horacio, La Matemática Escolar. Las prácticas de enseñanza en el aula. Ed. Aique. Bs
As. 2009
51
….104; 103; 102; 101; 100. Es decir: ….10.000; 1.000; 100; 10; 1.
9. Cada cifra de un número corresponde, entonces, al coeficiente por el cual se multiplica
dicha potencia de la base. Por ejemplo, para 2.487, el valor de cada una de las cifras
sería la siguiente:
2 x 103 + 4 x 102 + 8 x 101 + 7 x 100
Es decir:
2 x 1.000 + 4 x 100 + 8 x 10 + 7 x 1= 2.000 + 400 + 80 + 7
“Como vemos, la forma gráfica con que se representa la numeración (2487) expresa sólo
una parte de todo lo que está significando por el número, tal como este se interpreta dentro
del sistema de numeración. La numeración escrita es hermética, “opaca”, ya que las
potencias de la base no se representan a través de símbolos particulares, sino que
queda a cargo del sujeto inferirlas a partir de la primera posición que ocupan las cifras.
El problema didáctico consiste en encontrar las situaciones adecuadas para explicitar
estas reglas a los niños, a pesar de que las escrituras numéricas, en tanto herméticas y
opacas, las ocultan.
En cambio, la numeración hablada tiene otras características. Al enunciar un número, se
explicita la descomposición aditiva y/o multiplicativa de los números. Esto es así porque, a
diferencia de la numeración escrita, la numeración hablada no es posicional. Si lo fuera,
la denominación oral del número 4.372 sería “cuatro tres siete dos”, en cambio lo leemos
como cuatro mil trescientos setenta y dos; es decir que, al mismo tiempo que
enunciamos la cifra, enunciamos la potencia de 10 que le corresponde a cada cifra.”
Esto que a simple vista parece sencillo, no lo es para un niño que debe aprender las reglas
de construcción de este sistema. El aprendizaje de estas reglas, no se hace por simple
exposición o repetición de las mismas, sino enfrentando a los alumnos a verdaderos
problemas, para que los nuevos conocimientos se entramen con los que el alumno ya
posee. A su vez debemos recordar, que como todo contenido matemático, el sistema de
numeración posicional decimal se aprende a lo largo de varios años de escolaridad.
Antes de continuar vamos a recordar la diferencia entre “recitar” y “contar”:

RECITAR la serie numérica oral implica decir la serie de números fuera de una
situación de enumeración. Por ejemplo al jugar a las escondidas.
52

CONTAR, es utilizar la serie en una situación de enumeración, esto es donde se
establezca una correspondencia término a término entre los nombres de los
números y los elementos a contar, como un procedimiento que permite cuantificar
una colección. Por ejemplo al preguntar….cuántos hay?
1.2.1 Recitar
Algunas actividades para favorecer el recitado en los niños:
Recitar la serie numérica contando en voz alta: la cantidad
de niños presentes, monedas, autitos, figuritas, jugando a la
escondida, o cualquier otro juego que implique “contar”.
Lo importante en este recitado, es que no esté limitado a un número fijo, sino que por
el contrario los alumnos se deben dar cuenta que la serie oral puede extenderse tanto
como uno la requiera y es muy importante que los alumnos puedan recitar oralmente,
aun cuando no reconozcan su escritura o su lectura.
Recitar la serie numérica contando y deteniéndonos en algún número,
o
comenzando desde un determinado número, previamente acordado; como
alternativa los alumnos deben retomar la serie desde el número en el que se detuvo,
y de no poder continuarla, pagará una prenda, y volverá a comenzar el recitado.
También se podrán formar colecciones y conjuntos de figuritas, juguetes, tapitas,
etc.
El siguiente video de animación “Aprendiendo la serie numérica oral” nos permite,
realizar un análisis de algunas dificultades que se les presentan a los alumnos, durante el
recitado:
Lo que saben al recitar la serie:

Muchos chicos nos demuestran que han descubierto parte de la regularidad y
organización que el sistema tiene: Por ejemplo, cuando dicen “uno, dos, tres…,
ocho nueve, diez, diez y uno, diez y dos, diez y tres”, etcétera: no saben aún los
53
nombres de los números 11, 12, 13, 14, 15 pero los nombran a su manera y sin
saltar ninguno.

O bien, cuando llegan a 19 se detienen y si alguien les dice “veinte”, “arrancan”
nuevamente a gran velocidad: 21, 22, 23…, 29 y se detienen otra vez para volver a
empezar si se les dice “treinta”.

No saben aún la denominación de algunas decenas, pero sí saben que después de
los nudos de las decenas (20, 30, 40) los números se obtienen agregando
consecutivamente los números del 1 al 9.
¿Qué observar en el recitado?

¿Hasta dónde el recitado es convencional, es decir, corresponde al orden de los
números sin agregados ni omisiones?

¿Hasta dónde es estable, es decir, que mantiene la misma secuencia aunque no
sea la convencional, no la varía de un recitado a otro?

¿Cuáles son los errores recurrentes o las omisiones sistemáticas?

¿Estos errores, ponen en evidencia la percepción de una regularidad de los
números? Por ejemplo: “nueve, diez, diez y uno, diez y dos,....etc.”

En caso de detención ¿reinicia el recitado si le decimos el número siguiente? Por ej.
algunos niños se detienen en 39, si les decimos 40, continúan hasta el 49, etc. Esto
indica que lo que no saben aún es el nombre de las decenas.
En el siguiente video el alumno mantiene una secuencia conocida hasta el 5, y luego con
ayuda del docente, puede continuar el recitado.
También debemos tener en cuenta que, no reviste la misma complejidad para un alumno:
Recitar la serie a partir del 1 y detenerse cuando ya no sabe más.
Recitar y detenerse en el número que se le ha solicitado.
Retomar la serie desde un número dado
Recitar intercalando palabras (por ejemplo: un elefante, dos elefantes…).
Recitar hacia atrás desde un número dado.
Recitar de manera ascendente de 2 en 2, de 5 en 5, de 10 en 10.
Recitar de manera descendente de 1 en 1, de 2 en 2, etc.
54
1.2.2 Contar
Saber recitar la serie no es lo mismo que saber contar elementos de una colección.
Es decir, un alumno que puede recitar la serie hasta un determinado número no
necesariamente podrá utilizar ese conocimiento a la hora de contar objetos o dibujos.
Contar implica:

Comparar colecciones

Armar una colección de un cardinal dado

Armar una colección equivalente a otra

Armar una colección que sea el doble, o el triple de otra

Igualar colecciones

Partir una colección en otras subcolecciones

Anticipar resultados en la resolución de problemas sencillos, que en 1° grado,
resolverán a través de la suma y la resta.
Para responder a la pregunta ¿CUÁNTOS HAY?, existen unos elementos implícitos:

La existencia de unas palabras – números que se recitan siempre en el mismo
orden.

Adjudicar a cada elemento de la colección una palabra número distinta y sólo una
en el orden habitual: uno, dos, tres,..., treinta.

No saltearse ni contar dos veces ningún elemento

Reconocer que la palabra adjudicada al último elemento de la colección designa el
número de elementos o cardinal del conjunto (treinta).
Si le solicitamos a un alumno armar una colección dado el cardinal, se puede observar si el
niño:

Se detiene al término del conteo de n objetos declarando que ha terminado.

Cuenta todos los objetos de la colección hasta que se acaban, sin detenerse en n
objetos.

Percibe que se ha olvidado lo que le pidieron.

Da un montón sin contar.
55
La situación cambia cuando se agrega o quita un elemento de la colección, y se le
pregunta: “¿Cuántos hay?”, se puede observar si el niño anuncia:

directamente el sucesor del número precedente o

si tiene necesidad de volver a contar todo.
Como docentes, debemos ser capaces de plantear en el aula juego o actividades
para que los alumnos amplíen su recitado, y paralelamente se apoyen en ese recitado
para comenzar a contar. Ambas actividades, la de recitado y conteo deben ser
realizarse casi en simultáneo, ya que una se apoya en la otra.
Si un alumno solo sabe recitar hasta el 20, y se le pone una colección de 22 o 23
elementos para que la cuente, se verán en la necesidad de ampliar su recitado para
completar el conteo.
Recurso TIC
En el siguiente juego online “EL Submarino Monturiol” los alumnos deberán
contar los peces y colocar el cardinal correspondiente.
El siguiente recurso Juegos con Números también pone a los alumnos en
situación de conteo.
1.3 La numeración escrita
Los números escritos rodean a los alumnos.
Encuentran números en la numeración de las
casas, los calendarios, el dinero, los precios, y
en muchos contextos. Tales conocimientos no
pueden ser desestimados por el docente, y
debe retomarlos en el aula para ampliar su
conocimiento y sistematización.
Debemos evitar entonces algunos errores
56
en el tratamiento de la numeración escrita, primero evitar presentar los números de 1 en 1,
y siguiendo el orden de la serie y segundo destinar gran cantidad de tiempo al trazado de
los números, llegando incluso a confundir el “dibujo” del número con su conceptualización.
Tengamos en cuenta que si un alumno es capaz de recitar la serie oralmente, no implica
que será capaz de escribir o reconocer la escritura de los números que pronuncia. Será
necesario incorporar portadores de números en el aula: calendarios, listas numeradas de
los alumnos, cintas métricas, fechas de los cumpleaños,
envases de productos con
información cuantitativa, etc. para favorecer la escritura y lectura de los números.
Un portador muy importante que no debe faltar en el aula, es la Grilla Numérica:
Que será tan extensa como los alumnos la requieran, y en función del tipo de problemas y
actividades que se les propongan.
Respecto de esto, tradicionalmente los números, se enseñaban por partes:
En Nivel Inicial hasta el 10
EN 1° grado, hasta el 100
57
En 2° grado, hasta el 1000
En 3° grado, hasta el 10000, Etc
Pero esta secuenciación tradicional, no implica que en el aula aparezcan portadores con
números más grandes, y que superen el “tope” esperado para el grado. Por el contrario, es
necesario que los alumnos, aunque no logren regularizar toda la serie, sepan que
ésta continúa.
De esta manera, los portadores y grillas, permiten conocer la escritura de un número, a
partir de su recitado oral.
Enseñar a escribir y leer números implica plantear situaciones en las que
haya que escribir, leer, comparar y ordenar números escritos dentro de
situaciones problemáticas significativas.
Por ejemplo: un alumno que desee escribir el número 12
(doce), como resultado de haber lanzado dos dados, puede
apoyarse en una banda numérica y
comenzar a contar
apoyando su dedo en el número 1, hasta llegar al 12,
detenerse en él y así acceder a su escritura.
También la banda numérica o la grilla permiten a los alumnos comparar números.
Por ejemplo: En un juego de cartas un alumno obtiene 10
puntos y otro 11. Los alumnos podrían argumentar que 11
>10 por que se encuentra “más lejos” o que el 11 “lo pasa” al
10
Otro tipo de actividades que se pueden desarrollar en el aula, son las que se proponen a
continuación tomadas del portal educ.ar:

58
Cinchada, rayuela y cubos (documento con actividades para descargar)
Recurso TIC
Agrupa, Dibuja y Cuenta permite a los alumnos contar diferentes colecciones
de objetos y colocar el número o cardinal correspondiente.
ACTIVIDAD
A continuación le proponemos ver el siguiente video:
“Análisis de escrituras realizadas por niños”
En él se observa cómo razona una niña de 5 años ante la propuesta de escribir al
dictado números que no ha aprendido en el aula. Podemos identificar sus
conocimientos previos e inferir algunas hipótesis de escritura.
Nota: El presente video, está enmarcado como parte de una investigación. Por
ninguna razón se pretende este tipo de trabajo en nuestras aulas. Es simplemente
un experimento de laboratorio, tal como se menciona en su introducción. La niña
utiliza “un comodín” para completar aquellas cifras que no sabe, en este caso, usa
al 0 (cero). Otras investigaciones hacen referencia a que las escrituras llamadas
en “espejo” o invertidas, pueden cumplir un rol semejante al del comodín.
1.3.1 Hipótesis de escritura de los números de más de una cifra
Presentamos a continuación una serie de citas que nos permitirán ampliar respecto de los
conocimientos que ponen en juego los alumnos al momento de leer o escribir números y al
momento de diseñar actividades de aprendizaje, tomadas del libro
Didáctica de
Matemáticas Aportes y Reflexiones Cáp. V: “El sistema de numeración: un problema
didáctico” de Delia Lerner y Patricia Sadovsky con la colaboración de Susana Wolman.
59

Dado que la numeración escrita existe no sólo dentro de la escuela sino también fuera
de ella, los niños tienen oportunidad de elaborar conocimientos acerca de este sistema
de representación desde mucho antes de ingresar a primer grado.
De aquí la importancia de acercar a los alumnos a diferentes
portadores numéricos: calendarios, almanaques, cintas métricas,
bandas numéricas, grillas de números, etc.

Los niños comienzan a comprender que muchos números escritos
representan un número mayor que otro, que se escribe con menos
cifras.
Un alumno de 5 o 6 años, es capaz de reconocer que 45 es menor que 763, por la
cantidad de cifras, y sin necesidad de saber cómo se llaman.

En la comparación: “es mayor el que tiene más números”, o “el primero es el que
manda”. Cuando la primera cifra de las dos cantidades es la misma, hay que apelar a la
segunda para decidir cuál es mayor.

“El primero es el que manda”: Por ejemplo, un alumno al tener que comparar
78 y 65, aunque no conozca el nombre de los números, sabe que 7>6, por lo
que 78>65.

“Cuando lo números comienzan con el mismo, tenés que fijarte en el
segundo”: Por ejemplo, al tener que comparar 96 y 97

“Es mayor el que tiene más números”, por ejemplo al tener que comparar
2345 y 654
Estas tres frases, son muy importantes, ya que dan cuenta del estado de
conocimiento que tiene el alumno respecto del sistema de numeración, y en
particular de la posicionalidad.
60
Ejemplo:

La apropiación de la escritura convencional de los números no sigue el orden de la
serie numérica: los niños manejan en primer lugar la escritura de los nudos y sólo
después elaboran la escritura de los números que se ubican en los intervalos entre
nudos.
Por ello, no debemos enseñar los números uno por uno, sino en cambio mostrar
grandes series de números que les permitirán a los alumnos llegar a reconocer las
regularidades del sistema.
Pero profundicemos un poco más esta idea, enriqueciéndola con el comentario de
Fernanda Pernas4:
“Una presentación parcializada, fragmentada, enseñando los números de uno en
uno, no favorece el trabajo de apropiación porque reduce el objeto de conocimiento
a su mínima expresión y por ende el trabajo didáctico posible. Ir número por número
sólo logrará hacer un trabajo sobre esas escrituras o sobre lo que representan pero
no sobre cómo se relacionan entre sí. Sólo la interacción con una porción
significativa del sistema de numeración permitirá construir sus reglas.”
4
Fernanda Pernas. “El Sistema de Numeración”, en Castro Adriana, Díaz Adriana y otros. Enseñar Matemática
en la escuela primaria. Serie Respuestas. Bs As. Tinta Fresca, 2009.
61

Los niños elaboran conceptualizaciones acerca de la escritura de los números,
basándose en las informaciones que extraen de la numeración hablada y en su
conocimiento de la escritura convencional de los nudos.
Por ejemplo: Mucho antes de conocer las series completas los alumnos se apoyan en
los nudos:
 10, 20, 30, 40,….
 100, 200, 300, 400,….
 1000, 2000, 3000, 4000,….
Para luego completar los espacios intermedios. O sea los alumnos comienzan a darse
cuenta que los números se escriben con el auxilio de otros números, o apoyándose en
ellos. Un alumno se apoya en la fila de los “treinti” para formar el número 36, contando a
partir del 30. He aquí la importancia de tener una grilla o banda numérica instalada en
las aulas.

La hipótesis según la cual la escritura numérica resulta de una correspondencia con la
numeración hablada conduce a los niños a producir notaciones no convencionales.
¿Por qué ocurre esto? Porque, a diferencia de la numeración escrita, la numeración
hablada no es posicional.
Ante el pedido del docente de escribir la asistencia en número de los 23 varones
presentes un alumno, podría llegar a escribir 203, debido a que la numeración hablada
se rige por reglas semejantes a un sistema aditivo: 20+3
100205, para 125; 100+20+5
102056, para 1256; 1000+200+50+6
Debemos estar muy atentos a este tipo de escrituras, y no considerarlas erróneas, sino
incompletas, ya que dan muestra del estado de saber que posee el alumno.
Una posible intervención docente para hacer que el alumno corrija las mismas, es
hacerle notar que los veinti, tienen dos cifras, los ciento, tres cifras y los miles cuatro
cifras, mostrándole algunos portadores. Está semi-construcción se relaciona, con la
siguiente cita.
62

Después de haber producido escrituras en correspondencia con la numeración hablada,
señalan de inmediato “son demasiados números” y hacen reiterados intentos de
modificar su producción para lograr reducir la cantidad de cifras, pero estas
correcciones son posibles sólo después de haber producido la escritura.
Un alumno que escribe 200807, para 287, sabe
que escribió muchos números, y puede llegar a
cambiar la escritura, por 2807, para reducir la
cantidad de cifras.
Todas estas hipótesis o “errores” de escritura,
son
muy
útiles
para
los
momentos
de
confrontación entre pares, y pueden llegar a enriquecer mucho la dinámica de la clase,
cuando para solucionarlas se recurre a la confrontación y debate.
Como conclusión podemos decir que entre las principales actividades a plantear en
el aula respecto de la escritura de los números tenemos:

Comparar números de diferente cantidad de cifras.

Comparar números de igual cantidad de cifras.
Algunas actividades para favorecer la lectura y escritura de números:
Para escribir números: Completar bandas numéricas o grillas
1
3
34
100
6
35
7
38
300
40
500
42
600
63
1) El cuadro muestra los números del 1 al 100, pero algunos no están escritos. ¿Cuáles
son los que faltan?
10
20
30
40
50
60
80
90
100
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
19
29
39
49
69
79
89
99
2) Juntate con un compañero y trabajen con el cuadro de números completo. Alguno de
ustedes va a tapar algunos números con papelitos y el otro mira el cuadro y tiene
que decir cuáles son los números que están tapados. Se turnan para tapar y
adivinar.
3) Pedro jugó con Ramiro a tapar los números marcá en el cuadro los que tapó leyendo
las pistas.
“En la fila del 30 tapé el 35”
“En la fila del 50 tapé el 55, 57 y 59”
“En la fila del 80 tape todos menos el 87”
También tapé el 23, el 26 y el 63
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
64
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
En este problema se propone la numeración hablada como punto de partida para la
producción de escrituras.
Las escrituras numéricas que se proponen como opciones para asociar a la palabra en
cuestión no son arbitrarias. Un niño que elija la opción 400052 para “cuatro mil cincuenta y
65
dos” no sólo está mostrando que sabe escribir tanto el 4000 como el 52, sino también que
escribe lo que escucha (por eso elige la escritura que tiene el 4000 y a continuación el 52).
Se espera que la cantidad de cifras (cuatro para los miles; cinco para los diez miles) sea el
criterio que surja para distinguir la escritura correcta. Nuevamente podría proponerse la
inclusión del punto de los miles para facilitar la comparación de los números escritos con
sus nombres.
66
67
RECURSOS TIC:
Juegos online

Ordenar números

Pasar a Números

Pasar a Letras

Escribir números I_2°ciclo

Escribir números II_2° ciclo

Ordenar Números grandes
1.4 Componer y descomponer números. Valor Posicional.
Se buscará proponer
actividades que tienen como objetivo estudiar la composición y
descomposición de números en términos de unos, dieces, cienes, miles, etc. Apuntando a
que los niños tengan una mayor comprensión de la relación entre la posición de las cifras
dentro de número y su significado (según el lugar en el que se ubique un 4 “vale” 4, 40,
400, etc.). Se espera también que puedan descomponer un número de diferentes maneras
68
(por ejemplo 5634 como 5000+600+30+4 o como 5000+634). Se propondrán para ello
diversas clases de problemas que favorezcan dicho análisis de las escrituras de los
números.
¿Por qué descomponer en unos, dieces y cienes, en vez de unidades,
decenas y centenas?
En primer lugar, pedirle a un alumno de 1° o 2° grado que componga el número:
2 d + 3 u, es solicitarle que implícitamente realice la multiplicación 2 x 10 +3,
operaciones que por el momento no están a su alcance.
A partir de 1° grado los alumnos pueden comenzar a realizar la descomposición aditiva de
los números, apoyándonos en el contexto del dinero:
Por ejemplo:
Cuántos billetes de $10 y monedas de $1, necesitamos para tener:
$ 57
$ 69
$ 35
Si tengo billetes de $10, $100 y monedas de $1, cuántas necesito para pagar:
$ 557
$ 345
$ 687
69
Cuánto dinero tiene Facundo?
Este tipo de actividades suelen ser muy entretenidas y familiares para los alumnos.
A partir de 4°, pueden apoyarse en la suma y la multiplicación por la unidad seguida de
ceros para descomponer los números.
Por ejemplo:
6454= 6000+400+50+4
ó
6454= 6x1000 + 4x100 + 5x10 + 4
Estas descomposiciones permitirán luego avanzar sobre las estrategias de cálculo mental
para operar.
70
Usando la calculadora para estudiar las regularidades de los números5:
La calculadora, puede ser una excelente herramienta para trabajar numeración con los
alumnos. Luego de haber conocido sus partes, y permitido una exploración espontánea
por parte de los alumnos, les podemos pedir que resuelvan situaciones como las
siguientes:
Por ejemplo:
Esta actividad apunta a retomar las ideas que han circulado en el trabajo con billetes en
cuanto al valor de cada cifra dentro del número. El hecho de que para que en el lugar del 3
en 7342 haya que restar 300 debería poner de manifiesto que ese 3 está en el lugar de los
cienes, por eso para que desaparezca, hay que quitar 300 al número original. Es probable
que muchos niños comiencen restando el número que quieren que desaparezca; por
ejemplo, en el primer caso, restarán 3. El maestro no tendrá necesidad de decirles que ese
procedimiento no es correcto, puesto que la misma calculadora arrojará un resultado que no
será el esperado por el niño. Resolver este problema será el nuevo desafío: por qué restar 3
no funciona para eliminar ese 3.
5
Actividades tomadas del documento: Proyecto “Propuestas Pedagógicas para alumnos con
sobreedad” Corresponde a la Primera Secuencia. Matemática: “Numeración”. Autora: Verónica Grimaldi.
Coordinación: Claudia Broitman. Dirección Provincial de Educación Primaria. Dirección de Gestión Curricular
71
Nuevamente la calculadora será de utilidad para centrar el trabajo en el análisis de las
razones por las cuales sumar 1000, por ejemplo, sólo modifica la cifra ubicada en el lugar de
los miles. Podrían aparecer reflexiones como: “Si tenías dos mil trescientos veinticinco y
sumas mil, en vez de dos mil ahora tenés tres mil, pero el resto del número queda igual”; “Es
como agregar un billete de mil, entonces no cambian los billetes de las otras cantidades”;
etc.
Este problema permite recuperar las cuestiones estudiadas en anteriores acerca del efecto
de sumar o restar unos, dieces, cienes o miles a un número dado. Los niños podrán trabajar
con una calculadora que los ayude a verificar la validez de sus respuestas.
En el Aula:
Luego, las propuestas que apuntan a la idea de valor posicional se centran en el análisis de
regularidades en distintos tramos de la serie numérica y en la producción de escrituras aditivas de
los números. En tal sentido, propondremos situaciones que apunten a vincular la serie oral con la
escrita, reconociendo el 28 como del grupo de los “veinti…” o del grupo de “los que terminan en 8”,
y también como 20 + 8, o 20 + 5 + 3, o 10 + 10 + 8. Es esperable que los alumnos se apoyen luego
en este tipo de descomposiciones para efectuar sumas y restas de este número con otros.
En 2°y 3° año/grado se continuará el trabajo sobre las regularidades de la serie numérica,
utilizando números más grandes, pues los descubrimientos que los alumnos han hecho en 1o para
los números del 1 al 100 no los generalizan a otros intervalos mayores de dicha serie, si no se
trabaja sobre ellos.
En 2° año/grado tendrán que analizar las regularidades en otras centenas (del 100 al 199, del 500
al 599, etc.) y en 3° año/grado, las que corresponden a los miles.
En 2º y 3°
año/grado también se desarrolla un trabajo vinculado con el pasaje de la
descomposición aditiva a la descomposición aditiva y multiplicativa de los números, por ejemplo,
para pasar de pensar 456 como 400 + 50 + 6 a pensarlo como 4 x 100 + 5 x 10 + 6 x 1.
En el Segundo Ciclo se parte de los conocimientos que los niños tienen sobre las relaciones entre
la serie numérica oral y la serie numérica escrita hasta el orden de las unidades de mil y las
72
vinculaciones entre la descomposición aditiva y la descomposición aditiva y multiplicativa de los
números (456 se puede descomponer como 400 + 50 + 6 y como 4 x 100 + 5 x 10 + 6 x 1) para
trabajar con números más grandes, analizando equivalencias de escrituras, procedimientos de
orden y comparación basados en distintas representaciones y la conveniencia de una u otra, según
el problema puesto en juego.
Serie Curricular Cuadernos para el Aula. Matemática. Ministerio de Educación de la Nación
2. El número
Los niños desde muy temprana edad reconocen el potencial que tienen los números, saben
su edad, su fecha de nacimiento, la dirección de su casa, les permite calcular, hacer
cuentas, etc.
El docente debe a través de diferentes situaciones favorecer el
reconocimiento de la utilidad de los números para resolver problemas. Será necesario
entonces reflexionar sobre el uso de los números y las situaciones que ellos resuelven.
2.1 Usos de los números
…Se trata de proponer a los alumnos situaciones didácticas en las que necesiten utilizar
los números en diferentes contextos y de esta manera poder aprenderlos. Aprenderlos
contando: contar para saber cuántos objetos hay, para comparar colecciones,…
buscándolos e interpretándolos en objetos de uso social en que aparecen –calendarios,
números de las casas, páginas de libros y periódicos, centímetros, envases, etc. tratando
de entender la función que en ellos cumple y otras veces anotándolos para no olvidarlos….
No proponemos que los niños los aprendan presentándolos de a uno y de acuerdo con el
orden que se encuentran en la serie sino a través de problemas para los cuales la
utilización de números o procedimientos numéricos constituye una herramienta para
resolverlos (S. Wolman)
2.1.1 Como memoria de cantidad
Es la función que permite evocar una cantidad sin que ésta esté presente.
Su aprendizaje se logra mediante problemas que necesiten evocar la cantidad. Por
ejemplo: Determinar la cantidad de libros necesarios para traer de la biblioteca, en función
de la cantidad de alumnos presentes. Una posibilidad podría ser traerlos de a uno e ir
repartiéndolos. Otros, en cambio, optarán por contar la cantidad de alumnos presentes,
“quedarse con el número en la cabeza”, ir a la biblioteca y evocar esa cantidad, trayendo
los libros necesarios.
| 2. El número
73
También sirven juegos de mesa, cartas o dados,
donde los alumnos deben avanzar tantos casilleros
como indica el dado, o repartir tantas cartas como
requiera el juego.
La memoria de cantidad permite entonces recordar
cuántos objetos hay en una colección sin necesidad
que éstos estén presentes.
2.1.2 Para comparar cantidades
Esta función permite comparar cantidades y se vincula con la anterior.
Dentro de esta función encontramos situaciones de comparación entre el cardinal de dos
o más colecciones (y más delante de dos o más números). Plantear a los niños problemas
de comparación de colecciones permite establecer relaciones como: “más que”, “menos
que”, “mayor que”, “menor que”…
Cuando realizan acciones como: “busco tantas fichas como indica la carta” o “avanzo
tantas casillas como indica el dado”, ponen en juego la comparación de colecciones. En
estos juegos los niños pondrán en acción diferentes procedimientos. Algunos harán
correspondencia término a término trasladando las fichas cerca del dado, otros utilizarán
el conteo cuantificando la colección apoyándose en la sucesión ordenada de números y
otros identificarán la constelación del dado. Diferentes procedimientos pueden ser
utilizados por los niños según el tamaño de la colección a cuantificar.
Dentro de esta función de podrán plantear relaciones de igualdad: “tantos como” o
relaciones de desigualdad: “más que”, “menos que”, “mayor que”, “menor que”
Será importante tener en cuenta la extensión de los números involucrados. (Campo
numérico)
Plantear problemas que involucren la comparación de cantidades, la determinación del
cardinal de una colección de objetos (y registrar por escrito esas cantidades) permite que el
conteo cobre sentido, además de poner en juego cuestiones esenciales del trabajo
74
2. El número |
matemático como la elaboración de un lenguaje para expresar anticipaciones y la
validación de situaciones.
2.1.3 Para memorizar posiciones
Es la función que permite designar una posición dentro de una lista o serie ordenada. Se
relaciona con el aspecto ordinal del número que indica el lugar que ocupa un número en la
serie.
Entran en juego en esta función el empleo de palabras para designar las posiciones:
primera, segundo, tercero, etc.
Algunas actividades posibles podrán ser, realizar un listado de los alumnos y ordenarlos
de acuerdo a diferentes criterios, ya sean alumnos para encargarse de regar las plantas del
aula, acomodar la biblioteca, ordenar los libros que se leerán en el recreo o durante la
semana, buscar el registro, ordenar los juegos por semanas, u otras actividades cotidianas
que permiten la organización del aula.
2.1.4 Los números para anticipar resultados o para calcular
Esta función implica comprender que una cantidad puede resultar de la composición de
varias cantidades y que se puede operar sobre los números para anticipar el resultado de
una transformación de la cardinalidad. Las transformaciones se producen al juntar, reunir,
agregar, quitar, sacar, partir o repartir colecciones: acciones que remiten directamente a las
operaciones y sus sentidos, temas que serán tratados en los próximos módulos.
2.1.5 Como símbolo o código
Esta función remite a que no siempre los números indican
cantidad u orden, sino que sirven como un código. Por
ejemplo, el número de teléfono, no indica orden o
cantidad, sino que funciona como un símbolo numérico, lo
mismo con los números de los colectivos, celulares, etc.
| 2. El número
75
Síntesis: Usos de los números.
Para trabajar en el aula:
Secuencia didáctica Detectives de números
Interpretación de información gráfica: identificación de preguntas que se respondan
o no con números. Las actividades que proponemos permiten a los niños localizar
información numérica o elaborarla a partir del conteo de objetos o dibujos y
reflexionar sobre las distintas funciones de los números. Portal Educar
Documento de lectura optativa recomendado: Claudia Broitman, Horacio Itzcovich
ORIENTACIONES DIDÁCTICAS PARA EL TRABAJO CON LOS NÚMEROS EN LOS PRIMEROS AÑOS DE
LA EGB Documento Nº 5 - Año 2001.
ACTIVIDAD
A continuación le proponemos visitar la Colección Educar La misma consta de una serie de
recursos online, para descargar y trabajar con nuestros alumnos de los diferentes niveles y en
todas las áreas.
Nosotros nos detendremos en la colección 22: “Entornos y pantallas para estudiar
Matemática”. Le sugerimos realizar un “buceo” por las propuestas y encontrar por lo menos 4
para trabajar la enseñanza del número en el nivel primario que responda a las funciones del
número que fueron descriptas en este apartado.
Deberán realizar individualmente un informe en un editor de textos (Word u OpenOfice) de los
recursos que consideren adecuados, indicando:
Nombre del Recurso, Objetivo del mismo, Función del Número que promueve, Grado/año al
que está destinado, Otros comentarios.

76
Lo presentarán en las fechas y modalidades que indique el tutor del curso.
2. El número |
3. El trabajo colaborativo en la web
Trabajar colaborativamente, es siempre un desafío. De todas formas los docentes somos
sujetos acostumbrados a hacerlo de manera constante, en busca de mejorar nuestras
prácticas y participando en proyectos de didácticos, institucionales y comunitarios. Sin
embargo en esta oportunidad vamos a aprender a hacerlo con ayuda de herramientas on
line.
Tomada de http://biblioteca.ucn.edu.co Vista: 22/09/2012
En el artículo, “Rol del docente para propiciar el trabajo colaborativo” escrito por
Vitelia Pomonty destaca que:
“El Aprendizaje Colaborativo (AC) consiste en aprender con otros y de otros”
-El
trabajo
colaborativo
que
con
podemos
el
es
tomar
fundamental
decisiones
y
en
las
analizar
instituciones,
diferentes
ya
opiniones
dentro del equipo para lograr un proyecto interesante.
| 3. El trabajo colaborativo en la web
77
-Requiere una planificación previa, es decir, tener claros los objetivos (generales
como específicos) que se pretenden lograr, por tanto significa hacer uso del enfoque
de aprendizaje constructivista donde el estudiante pasa a ser el centro del proceso
(enseñanza-aprendizaje).
-Tiene lugar cara a cara o dicho de otra manera red a red, sin olvidar que el trabajo
en equipo como técnica didáctica hace que los estudiantes desarrollen la solidaridad
y cooperación.
Además la autora, hace mención a las características que debe poseer un verdadero
aprendizaje colaborativo, tomando las ideas de Driscoll y Vergara, (1997: 91).
1) responsabilidad individual: todos los miembros son responsables de su
desempeño individual dentro del grupo.
2) interdependencia positiva: los miembros del grupo deben depender los unos de
los otros para lograr la meta común.
3) habilidades de colaboración: las habilidades necesarias para que el grupo
funcione en forma efectiva, como el trabajo en equipo, liderazgo y solución de
conflictos.
4) interacción promotora: los miembros del
grupo interactúan para desarrollar relaciones
interpersonales
efectivas
y
establecer
de
estrategias
aprendizaje.
5) proceso de grupo: el grupo reflexiona en
forma periódica y evalúa su funcionamiento,
efectuando
los
cambios
necesarios
para
incrementar su efectividad.
En esta unidad vamos a poner en juego estas ideas a través de la elaboración de un
trabajo colaborativo en grupo.
78
3. El trabajo colaborativo en la web |
3.1 Elaboración de una secuencia didáctica a través de un documento
colaborativo.
Vamos a usar herramientas de la Web2.0 para realizar un trabajo colaborativo o
cooperativo, con la finalidad de crear una secuencia didáctica para la enseñanza de la
numeración.
Tarea:
Realizar una secuencia didáctica, a través de un proceso de indagación y consulta
en diferentes fuentes (libros, manuales, revistas, páginas web) para proceder a la
selección, organización y diseño de actividades de aprendizaje del sistema de
numeración y usos del número.
Se espera una secuencia de entre 6 a 8 actividades, para un determinado curso
primario y atendiendo principalmente a los usos del número.
Proceso:

El tutor formará grupos de 3 o 4 personas y publicará un documento con la
formación de los grupos y los respectivos e-mail de los integrantes.

Los integrantes del grupo deberán seleccionar, organizar y secuenciar actividades
para el aprendizaje del sistema de numeración y los números, tomadas de
diferentes fuentes (libros, manuales, revistas, páginas web) y volcarlas en un
documento compartido: GoogleDocs.
o
Indicar el curso escolar para el que están destinadas
o
Redactar una pequeña justificación o fundamentación de las actividades
seleccionadas, haciendo alusión en cada una a las posibles estrategias de
resolución que emplee el alumno, o de intervención del docente.

Todos los integrantes del grupo deben participar, haciendo comentarios sobre las
propuestas que se vayan incorporando en GDocs.

Cada
grupo de trabajo contará con un espacio específico de discusión y
comentarios que servirá para llegar a acuerdos respecto del trabajo solicitado
(Foro específico, creado por el Tutor)
79

Posterior a ello, se realizará una publicación de los trabajos en una WIKI que
creará el tutor, para que toda la clase pueda comentar las producciones
elaboradas y reflexione sobre las ventajas y desventajas del trabajo colaborativo
experimentado.
Evaluación:

Presentación de las actividades de aprendizaje seleccionadas en el documento
compartido del grupo.

Participación de todos los integrantes del grupo en la elaboración del documento
on line.
Conclusión:
Lo más importante de esta producción consiste en el proceso de reflexión acerca de
la importancia del aprendizaje colaborativo en torno a la ejecución de proyectos.
3.1.1 Creando un Documento compartido en Google Docs.
Un documento compartido es un documento en línea tipo .doc
en el que los integrantes del grupo pueden colaborar en su
creación, edición y diseño.
Para crear el documento, utilizaremos la herramienta Google
Docs, de Google.
Para ello accedemos a www.google.com y hacemos click en la
pestaña “Docs” o bien, directamente ingresamos en www.docs.google.com
80
Luego podrán ingresar a Google Docs, usando su mismo usuario y contraseña de Gmail.
A continuación para crear el nuevo documento hacemos click en Crear
Y elegimos el tipo de documento: documento (.doc), presentación (.ppt), hoja de
cálculo(.xls), formulario, dibujo o colección.
En nuestro caso crearemos un documento tipo .doc
81
Se abrirá una hoja de trabajo muy similar a los tradicionales editores de textos
1- Podrán colocar nombre al documento
2- Encontrarán herramientas muy similares a las de cualquier editor de textos
3- Este el botón más importante, ya que al hacer click en él, nos permitirá compartir el
documento con nuestros compañeros de grupo, simplemente agregando las direcciones de
correo electrónico de los mismos, e indicando su nivel de participación.

Recuerden, que deben incluir al docente tutor como colaborador del
documento, a través de la dirección Gmail que les proporcionará.

Para
la
realización
de
esta
actividad
tendrán
hasta
el
día
:……………………………. fecha en la que deberán dar a conocer el link del
documento, para compartirlo con toda la clase.
Videos tutoriales sobre GoogleDoc:
Tutorial Google Docs, primeros pasos
Google Docs 1ª Parte. Cómo utilizar Google Docs
Compartir documentos en Google Docs
82
Autoevaluación
1- Mencione algunas situaciones sociales o naturales en las que los alumnos se
encuentren en contacto diario con los números.
2- Cuáles son las desventajas que posee el uso de material concreto para la enseñanza de
la posicionalidad o valor relativo de los números?
3- Cuál es la diferencia entre recitar y contar?
4- Qué tipo de actividades se deben proponer a los alumnos para desarrollar y estimular el
recitado?
5- Qué tipo de actividades se deben proponer a los alumnos para favorecer el conteo?
6- Mencione algunos portadores numéricos que puede incluir en los salones de clases para
favorecer la escritura de los números.
7- Cuáles son las principales hipótesis de lectura y escritura que elaboran los alumnos?
8- A qué se denomina descomposición aditiva de un número? Ejemplifique.
9- Cuáles son los usos que se le brinda a los números? Mencione un ejemplo de cada uno.
10- Indique algunas ventajas y desventajas de realizar un trabajo colaborativo en línea.
| Autoevaluación
83
Claves de corrección
1- El niño está en contacto permanente con los números, al visitar un supermercado, o un
shopping, al ver los precios de los productos. Al ver la numeración de las casas, las
patentes de los autos, al marcar un número telefónico, al mirar el almanaque, usar una
cinta métrica, al buscar su canal favorito de TV, etc.
2- El material concreto si bien es útil para contar objetos, y en ocasiones poder operar con
ellos, mediante adiciones, sustracciones o repartos, al momento de tener que usarlo para
componer un número, no permite respetar el valor posicional de las cifras, ya que al
cambiar el orden de los elementos concretos (palitos- círculos, “casitas de UDC”) el número
mantiene su valor, pero no así su posicionalidad. Por ej: 14 ≠ 41, pero al representar 14,
con material concreto, ▲IIII = IIII▲, a pesar de haber cambiado la posición de los símbolos.
3- El recitado responde a la enunciación verbal de los números, casi mecánicamente, y
fuera de una situación de enumeración. Contar implica conocer el cardinal de una
colección, el alumno cuenta cuándo debe responder a la pregunta ¿cuántos hay?
4- El docente debe presentar actividades de recitado, como las siguientes:
Recitar la serie a partir del 1 y detenerse cuando ya no sabe más.
Recitar y detenerse en el número que se le ha solicitado.
Retomar la serie desde un número dado
Recitar intercalando palabras (por ejemplo: un elefante, dos elefantes…).
Recitar hacia atrás desde un número dado.
Recitar de manera ascendente de 2 en 2, de 5 en 5, de 10 en 10.
Recitar de manera descendente de 1 en 1, de 2 en 2, etc.
6- Contar implica, crear situaciones problemáticas que impliquen:

Comparar colecciones

Armar una colección de un cardinal dado

Armar una colección equivalente a otra

Armar una colección que sea el doble, o el triple de otra
84
Autoevaluación |

Igualar colecciones

Partir una colección en otras subcolecciones

Anticipar resultados en la resolución de problemas sencillos, que en 1° grado,
resolverán a través de la suma y la resta.
7- Las principales hipótesis de lectura y escritura de números son:
*“El primero es el que manda”: Por ejemplo, un alumno al tener que comparar 78 y
65, aunque no conozca el nombre de los números, sabe que 7>6, por lo que 78>65.
*“Cuando lo números comienzan con el mismo, tenés que fijarte en el segundo”: Por
ejemplo, al tener que comparar 96 y 97
*“Es mayor el que tiene más números”, por ejemplo al tener que comparar 2345 y
654
8- Se denomina descomposición aditiva de un número, al poder representarlo cono suma
de unos, dieces, cienes, etc. Por ejemplo:
567=500+60+7
567=100+100+100+100+100+10+10+10+10+10+10+1+1+1+1+1+1+1
9- Usos o contextos de uso de los números:
-
Como memoria de cantidad
-
Para comparar cantidades
-
Para memorizar posiciones
-
Para anticipar o calcular
-
Como símbolo o código
| Autoevaluación
85
10- Entre las principales ventajas y desventajas del trabajo colaborativo podríamos tener:
Ventajas
Desventajas
•Aumentan el interés de los alumnos
•Tiempo dedicado al trabajo colaborativo
•Promueve el pensamiento crítico
•Tiempo de aprendizaje
colaborativas
•Promueve y favorece la interacción entre
pares
•Favorece la adquisición de destrezas
sociales
de destrezas
•Complejidad
•Ruido
•Apariencia de lo que se hace en el aula
•Promueve la comunicación, a través de
diversos canales y medios
•Promueve la coordinación
•Mejora el logro académico
•Estimula el uso del lenguaje escrito.
•Promueve el uso de herramientas 2.0
•Permite mejorar la autoestima
•Permite
desarrollar
autodescubrimiento
destrezas
de
•Sinergia en la ejecución de ciertas tareas
86
Autoevaluación |
•Conectividad a internet
Evaluación de Proceso
DNI: …………………………………………………………………………………………………
Email: ………………………………………………………………………………………………..
Institución: …………………………………………………………………………………………..
Lo invitamos a completar el siguiente cuestionario, a manera de evaluación procesual. Su
respuesta es muy importante para poder realizar los ajustes convenientes y lograr de esa
forma sacar el máximo provecho de esta instancia de formación.
Siendo 1 No o Nunca y 5 Si o Siempre
1
1
Considera que los temas abordados son útiles para su
función docente?
2
Considera que los temas abordados cumplen con sus
expectativas e intereses?
3
Considera que los temas abordados cumplen con los
objetivos del curso?
4
El desarrollo de los temas se realizó de manera gradual,
espiralada, y teniendo en cuenta al sujeto de enseñanza?
5
Considera que el material de lectura es fácilmente
comprensible?
6
Las actividades de reflexión, de análisis u obligatorias
sirvieron para lograr mayores aprendizajes?
7
Los ejemplos TIC son adecuados y comprensibles?
8
Los tiempos establecidos para la lectura, participación en
foros y desarrollo de actividades son los adecuados?
9
Considera que puede aplicar lo aprendido en sus clases
fácilmente?
10
Las propuestas de Autoevaluación son pertinentes y le
permitieron aprender más?
11
El tutor despertó y mantiene el interés en la propuesta?
12
El tutor responde a sus dudas e inquietudes de manera
adecuada?
2
3
4
| Evaluación de Proceso
5
87
13
El tutor responde sus preguntas dentro de las 48 hs?
14
Considera que la preparación del tutor es la adecuada para
llevar adelante el desarrollo del curso?
15
Otros comentarios, críticas, o sugerencias que permitan mejorar la cursada:
88
Evaluación de Proceso |
UNIDAD III
3
La enseñanza de la Suma y
la Resta en el Nivel Primario
Introducción
Tomado de
“Todos Pueden
Aprender 2°
grado” UNICEF
En el ejemplo, vemos como un alumno intenta un procedimiento de resolución a la
situación planteada usando el algoritmo convencional. Podemos observar que reconoce la
resta como herramienta de solución del problema, pero al mismo tiempo la estrategia que
utiliza (resta vertical) le provoca un error de cálculo. Se observan varios intentos y borrones.
Además por la respuesta que brinda, nos damos cuenta que no posee ninguna estrategia
de control de su resultado…..”Le quedaron 127 pesos!!!”….de todas formas el docente lo
clasifica con un grafismo, poco claro e incomprensible. ¿Correcto?
¿Este alumno sabe restar o no? ¿Tiene dificultad con la resta o con la estrategia de
cálculo? ¿Qué otra estrategia de cálculo podría haber aplicado para resolver la resta?
¿Cómo podría haber convertido esa resta “con dificultad” en una “sin dificultad”? ¿Dónde
está la “dificultad”? ¿Podría haber resuelto el problema usando una suma? ¿De qué forma
| UNIDAD III
89
el docente puede brindarle herramientas para controlar su respuesta o ampliar sus
estrategias de cálculo?
En esta unidad vamos a introducirnos principalmente en lo que Vergnaud denomina campo
aditivo, que son aquellos problemas que admiten a la suma o resta como herramienta de
resolución y que ayudan a que estas cobren sentido. Nos detendremos, lógicamente, en las
diferentes estrategias de cálculo que pueden emplear nuestros alumnos al enfrentarse con
estos problemas y las posibles intervenciones docentes que favorecerán el aprendizaje de
la suma y la resta con sentido matemático.
Esquema conceptual del Unidad III
90
Esquema conceptual del Unidad III |
Objetivos

Analizar y reflexionar sobre los enfoques de enseñanza y aprendizaje por medio de
la resolución de problemas para la enseñanza de la suma y la resta.

Reflexionar sobre la organización y diseño de situaciones de enseñanza, teniendo
en cuenta los problemas que involucran a la suma o a la resta como estrategia de
solución.

Analizar diferentes estrategias de cálculo matemático, para la suma y la resta.

Disponer de un conjunto de objetos de aprendizaje (recursos TIC) ordenados y
clasificados mediante marcadores sociales, para favorecer el aprendizaje
significativo de la suma y la resta.
Contenidos
1. ¿Es de “más” o de “menos”?
2. Tipos de Problemas Aditivos
3. Estrategias de cálculo para resolver problemas aditivos (+.-)
3.1 Tipos de estrategias de cálculo
3.2 Cálculo mental Vs. Cálculo Algorítmico
4. Los niños “hacen matemática”
5. Repertorios de cálculo aditivo
5.1 Trabajo de alumnos en el aula
6. Reflexiones finales sobre la enseñanza de la suma y resta
7. Buscando y marcando en la web. Marcadores sociales
|
91
Síntesis
En esta unidad abordaremos las estrategias de enseñanza de la suma y la resta
(campo aditivo), a través del análisis y reflexión sobre
algunas investigaciones y
prácticas docentes en contextos reales de enseñanza. Reflexionaremos sobre el tipo
de intervención que debe ofrecer el docente, y las características o tipos de
problemas que permiten que la suma o la resta cobren sentido como herramienta de
resolución. Abordaremos el estudio de diferentes estrategias de cálculo que le
permitan al alumno, disponer de un repertorio aditivo, para resolver situaciones
problemáticas. Además seguiremos conociendo algunas herramientas que favorecen
el trabajo colaborativo en línea, en este caso aprenderemos a utilizar marcadores
sociales como Delicious o Scoop It entre otros .
1. ¿Es de “más” o de “menos”?
Todos los docentes sufrimos a diario este tipo de
preguntas por parte de los alumnos pequeños e
inclusive de los más grandes.
Sumar y restar fueron, son y serán actividades
matemáticas que la escuela tiene el deber de
enseñar, ya que forma parte de la cultura
matemática que todo ciudadano debe poseer.
Sin embargo, al igual que sucede con la enseñanza
de los números, los niños suman y restan aún
mucho antes de ingresar a la escuela, aunque de
una manera no convencional, o no tradicional.
En el artículo ”Las matemáticas de la vida diaria”
encontramos un trabajo de investigación donde se le
pregunta a diferentes niños de primaria para qué sirven las matemáticas en la vida
cotidiana. Las respuestas son bastante interesantes y diferentes entre sí y de alguna
manera muestran una forma de enseñanza implícita en cada una de las respuestas.
92
1. ¿Es de “más” o de “menos”? |
Volviendo al título de este apartado, este hace referencia a la tradicional presentación de la
suma y la resta dentro de problemas que poseen algunas “palabras claves”. Por ejemplo:
Martín tiene 12 figuritas y perdió 5 jugando con Pablo. ¿Cuántas figuritas le
quedan a Martín?
Este problema puede ser resuelto con una resta, ya que la palabra “perdió” permite a los
alumnos rápidamente darse cuenta de ello. En otros casos es el mismo docente el que
durante la lectura en voz alta del problema enfatiza la palabra “perdióooooooooo”, e
inclusive sentencia: -Si dice “perdió” es de resta.
Pero qué sucedería si el problema fuese el siguiente:
Martín tiene 12 figuritas, y perdió 5 jugando con Pablo y 3 con José. ¿Cuántas
figuritas le quedan a Martín?
Ahora la palabra “perdió” implica, ¡¡¡sumar!!! Inclusive sabiendo que en total perdió 8
figuritas, un alumno podría recurrir a un sobreconteo desde 8, hasta llegar a 12….9, 10, 11,
12…. y saber que aún le quedan 4 figuritas. En esta situación la
resta no fue una
herramienta de solución.
En conclusión, podemos decir que todo depende del tipo de situaciones problemáticas
que proponga el docente en clase, para permitir que los alumnos construyan el
sentido de las operaciones de suma o resta, reconociéndolas como herramientas de
solución.
Será importante entonces tener en cuenta el conjunto de problemas, que permitirán a los
alumnos por un lado, comprender el sentido de sumar y restar y por otro, desplegar un
conjunto de estrategias de cálculo para afrontar la situación.
2. Tipos de Problemas Aditivos
Dentro de la Teoría de los Campos Conceptuales elaborada por Vergnaud, se define
como “Campo Aditivo”, a todos los problemas que admiten como herramienta de
solución a la suma y/o resta.
Claudia Broitman, en su libro “Las Operaciones en el Primer Ciclo”, retoma la clasificación
que propone Vergnaud, y distingue 6 grupos de problemas:
| 2. Tipos de Problemas Aditivos
93
1. Problemas de composición de dos medidas
Ej: Emilio tiene 8 chupetines. Juan le regaló 5 caramelos ¿cuántas golosinas
tiene?
8 y 5, son dos medidas que se componen para dar lugar a una tercera, en
este caso 13 golosinas.
2. Problemas donde una transformación opera sobre una medida
Ej: Emilio tiene 8 chupetines. Juan le regaló 5 chupetines más. ¿Cuántos
chupetines tiene ahora?
En este caso 8 es un estado inicial, 5 es una transformación que opera sobre
esta medida, dando por resultado 13 como estado final. La trasformación
podría ser también positiva o negativa, y la incógnita hallarse en el estado
inicial o final
Estado Inicial
8
Transformación
positiva
+5
Estado final
13
Resulta claro que un simple cambio en los estados inicial o final, o en el tipo de
transformación (positiva o negativa), implica diferentes sentidos del problema, a pesar
de que todos se resuelven de manera sencilla con una suma o una resta.
Esto, en muchas ocasiones, no es tan evidente para el alumno, e implica un largo
proceso de construcción, de idas y vueltas sobre este tipo de problemas, de
interacciones con el docente y con el grupo de pares. A su vez que puede poner en
juego diferentes estrategias de cálculo, sobre las que nos involucraremos más adelante.
3. Problemas de relación entre dos medidas
Ej: Emilio tiene 8 figuritas. Juan posee 5 figuritas más que Emilio. ¿Cuántas
figuritas posee Juan?
En este caso 5, es un “estado relativo” que vincula al 8 con el 13. En este
caso no hay transformaciones. Este tipo de problemas responden a
relaciones del tipo “más que” o “menos que”.
94
2. Tipos de Problemas Aditivos |
4. Problemas donde dos transformaciones se componen para dar lugar a otra
trasformación
Ej: Emilio perdió en el primer partido 8 figuritas, en el segundo partido perdió
5. ¿Cuántas figuritas perdió en total?
Si bien no sabemos cuántas figuritas tenía antes de iniciar el partido,
prestemos atención a que el problema apunta a conocer el estado total de la
pérdida. Muchos niños no tienen problemas para enfrentar este tipo de
situaciones. Inclusive la palabra “perdió” no la asocian con la resta. Sin
embargo debemos tener en cuenta que los problemas pueden llegar a
complejizarse aun más, si la transformación es positiva o negativa, o si la
incógnita se encuentra en el estado inicial o final
5. Problemas donde una trasformación opera sobre un estado relativo
Ej. Emilio le debía 13 figuritas a Juan. Le devuelve 5. ¿Cuántas figuritas le
debe ahora?
En este caso 13 y 8 son estados relativos. Mientras que 5 es una
transformación negativa. Debemos tener en cuenta que este tipo de
problemas al igual que los anteriores varían según sea la trasformación
positiva o negativa, o si se trata de conocer el estado inicial o final o la
transformación que opera sobre estos.
6. Problemas donde dos estados relativos se componen para dar lugar a otro
estado relativo.
Ej. Emilio le debe 13 figuritas a Juan. Pero Juan le debe 8 figuritas a Emilio
¿Quedaron saldadas las cuentas?
En este caso 13 y 8, son dos estados relativos, para dar lugar a un tercer
estado relativo 5, en este caso a favor de Emilio.
No importa el estado inicial o final, o sea la cantidad de figuritas que
realmente posean, sino los estados relativos en este caso de “deudas”.
En este problema se debe responder “quién le debe a quién”, además de
cuánto le debe.
95
Estos tipos de problemas permiten al docente, en primer lugar, tomar
conciencia que enseñar a sumar y restar va más allá de las palabras “ganó” o
“perdió”. Implica realizar un análisis previo del problema que vamos a
proponer, y anticipar las posibles respuestas que puedan llegar a brindar los
alumnos. El docente debe ser consciente que en cada situación la operación
asume un significado distinto.
Esta clasificación, es un insumo didáctico para el docente, y no implica que el alumno la
deba conocer. Esta clasificación puede servir para conocer lo que saben los alumnos sobre
problemas aditivos (+,-), y distribuir los mismos a los largo de toda la escolaridad, con el
único fin de poder enfrentar a los alumnos a la más amplia gama de problemas para que
puedan comprender los sentidos de “saber sumar o restar”.
Y volviendo a las preguntas acerca de “¿qué es saber sumar o restar?” o “¿cómo nos
damos cuenta que un alumno sabe sumar o restar?, podríamos decir que un alumno
sabe sumar o restar cuando es capaz de enfrentar problemas correspondientes a las
6 clasificaciones propuestas.
Evidentemente existen otro tipo de clasificaciones más o menos sencillas, pero en definitiva
todas apuntan a lo mismo. Veamos estos otros ejemplos:
En la ya visitada serie Cuadernos para el Aula, se propone una progresión de
sentidos y niveles de dificultad para que los alumnos accedan progresivamente a
este contenido:
1°
-Agregar. Tenía guardados 5 caramelos y cuando la abuela vino de visita me
regaló otros 4. ¿Cuántos tengo ahora?
- Juntar o reunir. María invitó a sus amigos y compró 5 caramelos y 4
chupetines. ¿Cuántas golosinas compró?
- Avanzar. En el juego de La Oca, Juan tiene su ficha en el casillero 5. Si
saca 4 en el dado, ¿a qué casillero deberá mover su ficha?
- Quitar. Cuando me reuní a jugar con mis amigos, tenía 15 figuritas y perdí
6. ¿Cuántas me quedaron?
- Retroceder. En el juego de la Oca mi ficha estaba en el casillero 15. Debo
retroceder 6 casilleros. Indicá en que casillero colocaré mi ficha.
96
2°
– Calcular el costo de una compra o el puntaje total en un juego de varias
manos (unir);
– Calcular cuánto hay que pagar si algo que costaba un valor aumenta de
precio, o la cantidad de revistas que alguien tiene si antes de su cumpleaños
poseía una cantidad y le regalaron otra (agregar);
– Determinar cuánto dinero quedó después de hacer una compra o cuántas
bolitas quedaron después de perder algunas (quitar);
– Averiguar cuánto más cuesta un producto que otro o qué diferencia de
edad tienen varios hermanos entre sí (diferencia);
– Determinar si es posible agregar un artículo más a la compra, sabiendo
que se dispone de una cierta cantidad de dinero;
– O en cuánto puede aumentar la altura de un camión para poder pasar por
debajo de un puente (complemento).
3°
– Calcular cuántos lápices hay en una caja en la que se pusieron lápices
rojos y azules (unir).
– Cuántos lápices negros hay si hasta ayer habían una cantidad y hoy uno
de los chicos trajo más (agregar).
– Cuántos lápices quedaron si había una cantidad y algunos se gastaron
(quitar).
– Averiguar cuánto más cuestan los lápices en una librería que en otra
(diferencia).
– Determinar si es necesario agregar lápices a una caja para que alcancen
para todos los chicos (complemento).
– Calcular cuántas figuritas ganó un chico en la escuela si en el primer recreo
ganó algunas y en el segundo, otras (composición de dos transformaciones
positivas sin conocer el estado inicial).
Aun manteniendo el mismo significado, por ejemplo, el de quitar, es posible complejizar las
situaciones “moviendo” el lugar de la incógnita, como en el siguiente enunciado:
97
– En la boletería de un teatro hay 160 localidades. Por la mañana se venden 45
entradas para la función de la noche. ¿Cuántas entradas se pueden vender antes
de la función?
Aquí se apunta a averiguar la cantidad final luego de una transformación que, en este caso,
es negativa. Se trata de un problema donde la resta se usa con significado de quitar.
ACTIVIDAD
Redacte un enunciado que responda a cada una de las siguientes transformaciones y
estados:
Estado Inicial
?
Transformación
positiva
+5
Estado final
13
a)
Estado Inicial
8
Transformación
negativa
-5
Estado final
?
b)
Estado Inicial
8
Transformación
positiva
c)
98
?
Estado final
13
Estado Inicial
?
Transformación
negativa
Estado final
13
-5
d)
ACTIVIDAD DE REFLEXION Y ANÁLISIS
A continuación, se presenta una serie de problemas para alumnos del nivel
primario. Luego de su lectura y resolución, responda:

Si presentaran estos problemas a sus alumnos, ¿qué procedimientos creen
que aparecerían?, ¿qué errores o dificultades?

¿Qué
discusiones
podrían
producirse
en
torno
a
los
diferentes
procedimientos?

¿Qué condiciones cree que son necesarias para que surjan estrategias
diversas?

¿Qué pueden haber aprendido los niños en la resolución de estos
problemas?
Esta actividad será motivo de reflexión y discusión en el FORO.
SUMAR Y RESTAR_ Sentidos y Desafíos
 Problemas en los que el valor desconocido
se encuentra al principio:
- Juan gastó $34 y le quedaron $ 57. ¿Cuánto tenía
antes de gastar?
- En una escuela se realizó una campaña de donación de
libros para mejorar la biblioteca. Se donaron 347 libros,
y ahora la biblioteca cuenta con 958 ejemplares.
¿Cuántos libros tenía la biblioteca antes de la colecta?
 Problemas para calcular la diferencia
entre dos números:
- Juana nació en 1983. ¿Cuántos años cumplirá en
2020?
- Pedro tiene $ 345 y precisa $1208. ¿Cuánto le falta
ahorrar?
 Problemas que exigen averiguar el cambio
que se operó entre dos cambios sucedidos:
- Carlos ganó 38 bolitas en una semana y perdió 29 en
otra, ¿cuántas bolitas ganó o perdió en total?,
99
 Problemas en los que se pregunta cuál fue
una de las modificaciones parciales:
- Sofía gastó $89 el sábado. El fin de semana gastó
$177. ¿Cuánto dinero gastó el domingo?
 Problemas que involucran relacionar dos
cantidades:
- Ramón debía $198 a Carmela. Le devolvió $115,
¿cuánto le falta pagar para no deber más dinero?
- Julia le debe $73 a José pero José le debe $68 a Julia,
¿quién tiene que pagar a quién para saldar las deudas?,
¿cuánto?
ACTIVIDAD TIC
A continuación se presentan unos objetos de aprendizaje online, para trabajar con alumnos
de 1° ciclo, problemas de estructura aditiva:
Problemas Aritméticos Escolares
Suma sin parar
En el mismo los alumnos podrán enfrentarse a diferentes sentidos de la suma y la resta.
Es una actividad muy motivadora para ser trabajada en grupos.
Luego de que Ud. y sus alumnos “jueguen”, podría realizarse un debate respecto de las
diferentes operaciones que se podrían haberse puesto en juego para resolver cada uno de
los problemas planteados y que pueden estar o no, de acuerdo con la solución que el
programa ofrece.

100
problemas?
3. Estrategias de cálculo para resolver problemas aditivos (+.-)
ACTIVIDAD
Encontrar el resultado de estos cálculos de tres maneras diferentes:
a) 287+453
b) 450 – 80
En algunos talleres presenciales con docentes, me gusta presentar el siguiente problema:
“Si nací en el año 1990. Cuántos años tendré en el año 2020?”
Evidentemente este sencillo problema, es resuelto tradicionalmente con una resta, a la cual
todos apelan sin ningún tipo de inconveniente. A continuación les propongo resolver el
mismo problema con una suma. -“¿Se puede?”
Surgen ahora diferentes estrategias, que en conclusión implican lograr el complemento de
1990 a 2020.
1990+10=2000
2000+20=2020
Entonces en el año 2020, tendré 30 años.
Este tipo de situación responde al esquema:
+
1990
=
30
=
2020
-
Es importante tener en cuenta que el problema, si bien “parece de resta” también puede ser
resuelto con una suma.
Y he aquí el meollo de la cuestión. ¿Todos los problemas de sumas se resuelven con
restas y viceversa? Pues podríamos decir que sí, sin embargo todo va a depender de los
números involucrados (noten como en el ejemplo, 1990 y 2020, son números redondos), y
| 3. Estrategias de cálculo para resolver problemas aditivos (+.-)
101
de las estrategias de cálculo que haya desarrollado el sujeto. En este ejemplo es mucho
más fácil encontrar el complemento a 2020, desde 1990, que proceder a la resta
tradicional: (que además podríamos decir que es una resta “con dificultad”, pero notemos
que la única dificultad está en realizar la operación de manera vertical)
2020
-1990
-----------Ahora Uds. se preguntarán si es posible resolver esta resta sin recurrir al algoritmo
tradicional. Bueno, veamos. Un alumno con diferentes estrategias de cálculo podría
proponer:
2020- 20=2000
1990=1900+70+20
2000-70= 1930
1930 -1900= 30
Obtiene el mismo resultado, 30. Para ello apela a la descomposición (en cienes y dieces)
del número 1990, de la manera que “le fue conveniente”, “como pudo”. Así cada alumno
podría realizar otros tipos de descomposiciones del 1990, e ir realizando restas parciales,
de números redondos para obtener el mismo resultado. Podríamos tener tantas
descomposiciones como alumnos tengamos en el aula.
Lo interesante de este tipo de estrategias, es que se socialicen en la clase. Que el docente
busque los momentos para lograr que todos lleguen a conocerlas a todas, y que sean ellos
mismos luego los que puedan elegir de ese repertorio de estrategias, de acuerdo a los
números involucrados y del sentido que tenga para ellos.
Sugerencia:es importante que las diferentes estrategias que los alumnos
encuentren para resolver un problema queden registradas en el aula, en un afiche o
poster, con la intensión de poder recurrir a ellas, en otras instancias o ante
situaciones similares.
3.1 Tipos de estrategias de cálculo
Antes de continuar conociendo las diferentes estrategias de resolución que puede llegar a
utilizar un alumno, al enfrentarse a un problema, vamos a definir qué entendemos por
estrategias de cálculo, concepto que hemos venido utilizando, intuitivamente pero que aun
no definimos.
102
3. Estrategias de cálculo para resolver problemas aditivos (+.-) |
Una estrategia de cálculo es una forma de resolver una “cuenta”, ya sea de una
manera convencional o no convencional (estrategia de resolución personal).
En los Diseños Curriculares de Provincia de Buenos Aires, se solicita que los alumnos
logren desarrollar cuatro tipos de estrategias de cálculo:

Cálculo Mental: un cálculo mental es un procedimiento razonado, en el cual se
utilizan las propiedades de las operaciones y las características del sistema de numeración
para resolver operaciones, puede usarse o no papel y lápiz. Es un cálculo más personal, y
no tiene nada que ver con “agilidad mental”, ya que no se pretende “velocidad de cálculo”
sino la reflexión sobre el mismo.
Por ejemplo: Para resolver 25+12, 23+32, 42-22, 82-28, los alumnos apelan a
descomposiciones en 10 y 1, para luego volver a componer (de una manera más personal)
y obtener así el resultado.
Otro ejemplo de cálculo mental1:
Para resolver 529 +733, podrían surgir en el aula estrategias como las siguientes:
1
Ejemplo tomado de Proyecto “Propuestas Pedagógicas para alumnos con sobreedad”. Corresponde a la
Segunda Secuencia. Matemática: “Operaciones con números naturales”. (1º Parte) Autora: Verónica Grimaldi.
Coordinación: Claudia Broitman. Dirección Provincial de Educación Primaria
103
Las tres estrategias son matemáticamente válidas. Noten como la tercera estrategia
responde a un cálculo más convencional.
Luego de que surgen estas estrategias, es importante que el docente, las ponga en
común en el aula. Esto quiere decir que se muestren para que todos las conozcan y
pueden apropiarse de ellas.
Entre las preguntas que puede realizar el docente podríamos tener:
a) Dónde está el 12 de la cuenta I, en la cuenta III? y el 50?
Estas preguntas llevan a los alumnos a reflexionar sobre los procedimientos
empleados, los ponen en un verdadero “trabajo matemático”, que va más allá de
obtener el resultado.

Cálculo
Algorítmico: es
una
serie
de
reglas
aplicables
en
un
orden
predeterminado, independientemente de los datos, que garantizan alcanzar un
resultado, en un número finito de pasos. A este tipo de cálculo lo conocemos muy
bien, ya que fue y es, el que se enseña en la escuela primaria.
Por ejemplo: En el siguiente video “Restas con llevadas” se puede notar
claramente, lo instructivo y mecánico del procedimiento que se le presenta a los
alumnos.
104
Es característico del cálculo algorítmico el “paso a paso”, para poder llevar a cabo el
procedimiento. Y es a lo que en las escuelas, desde los primeros grados le dedicamos
mucho tiempo y energía. No está mal hacerlo, pero nos podríamos preguntar si un
alumno que es capaz de aplicar mecánicamente este procedimiento, ¿entiende
realmente lo que está haciendo? Es más, ante un error, es mucho más fácil borrar y
volver a comenzar que rastrear el error. El cálculo algorítmico es eficaz por la economía
de procedimiento y tiempo que presenta, porque sirve para cualquier tipo de números
involucrados, y alcanzando su manejo seremos capaces de enfrentarnos a muchas
situaciones de manera eficaz. Pero en la escuela, para un alumno, sabemos que lo
costoso es que logre manejarlo.
No descartamos el cálculo algorítmico o tradicional, simplemente nos animamos
a decir que es un “nivel de llegada”. Que se logra alcanzar ese nivel de cálculo, si
antes vamos construyéndolo progresivamente apoyados en el cálculo mental.

Cálculo Estimativo: Este tipo de cálculo es muy útil para estimar el resultado de
muchas operaciones. Antes o después de realizar la cuenta, podemos hacernos una
idea sobre si estamos o no en el camino correcto. Al inicio de esta unidad
presentamos, la siguiente cuenta:
105
Y decíamos que el alumno carecía de estrategias de control. El cálculo estimativo
funciona como control. De esta manera podríamos decir que 170 -140, debería ser
un número alrededor de 30.
Ejemplo de actividades:

Cálculo con Calculadora:
Existen muchas actividades para utilizar la calculadora en clase. En el Documento
“APORTES DIDÁCTICOS PARA EL TRABAJO CON LA CALCULADORA EN LOS TRES
CICLOS DE LA EGB” se menciona que se pueden abordar los siguientes tipos de
problemas:
o
Problemas para conocer cómo funciona la calculadora y los límites de la
misma
o
La calculadora para aprender más sobre las propiedades de las
operaciones
o
La calculadora para ampliar los sentidos de las operaciones
o
La calculadora para aprender más sobre los números naturales, enteros
y decimales.
106
Por ejemplo: Ante el problema:
Un camión que reparte gaseosas baja en el primer local 35 bolsas en las que vienen
6 botellas en cada una; en el segundo local 56 cajones con 12 botellas cada una y
por último 17 cajones con 24 gaseosas cada una. Si en el camión había 1500
gaseosas ¿alcanza para bajar ahora 144 botellas más en otro negocio?
Nos podríamos preguntar, qué rol cumple la calculadora y cuál es el contenido a
trabajar?
ACTIVIDAD
Los invitamos a leer y reflexionar sobre la siguiente presentación:
La calculadora, que se elaboró en base el documento “Aportes para el trabajo con la
calculadora en los tres ciclos de la EGB” al que hicimos referencia antes.
Le proponemos resolver las situaciones problemáticas planteadas y a responder las
preguntas de análisis que se proponen.
El tutor le indicará la forma de hacer llegar las respuestas, ya sea a través de un
foro abierto o de un documento .doc por el correo interno de la plataforma
RECURSOS TIC
A continuación presentamos una colección de objeto de aprendizaje online, para
trabajar los diferentes tipos de cálculo:
Cálculo Mental:
Sumas que dan 10
Sumas que dan 10 _2° parte
Sumas que dan 20
Calculo Mental I
Cálculo Mental II
Cálculo Mental III
De Compras: Ejercicios para comparar distintas estrategias de cálculo mental con
números naturales. (Actividad para alumnos de EGB 1)
107
Cálculo Estimativo:
Blocks de Beatriz Moreno. Juego en línea. Como en el "Tetris" van
cayendo cálculos (sumas y restas). Se realizan aproximaciones para decidir
con rapidez si el resultado es menor, mayor o igual a 10. Aproximaciones
Cálculo con Calculadora:
Desafíos con la calculadora
Juego “La Calculadora rota”
Juegos para 2° ciclo
Cálculo Algorítmico:
Juegos con Mario
Calculo mental Generador de sumas y restas online
Luego de que Ud. y sus alumnos “jueguen”, podría realizarse un debate respecto
de las diferentes estrategias de cálculo que se ponen en juego, para resolver las
situaciones. Con los alumnos de 2° ciclo, se podrán comenzar a poner nombre a
las propiedades que se ponen en juego al resolver las diferentes situaciones.

problemas?
3.2 Cálculo mental Vs. Cálculo Algorítmico
En ocasiones, ciertos colegas docentes consideran al cálculo mental, como de menor
importancia (o de baja calidad) con respecto al cálculo algorítmico. Le dedican muy poco
tiempo en el aula, o se limitan a “tirar al aire” un par de cuentas para que los alumnos las
resuelvan sólo “con la cabeza”.
En realidad ambos tipos de cálculo no se contraponen, sino que por el contrario se
enriquecen mutuamente.
Un alumno podría realizar una cuenta de manera algorítmica, pero dudar del resultado;
entonces puede emplear una estrategia diferente como, por ejemplo, la descomposición de
los números, para realizar la suma, y comprobar la respuesta o, realizar el cálculo de
manera convencional y comprobar la respuesta con la calculadora.
108
La matemática es una disciplina convergente, o por decirlo en otras palabras “todos los
caminos conducen a Roma”. Los diferentes tipos de cálculo se enriquecen recíprocamente
y ayudan al niño a sentirse más seguro y confiado en su “hacer matemática” en el aula.
Ejemplo de uso de cálculos mentales y algorítmicos2 ante una operación:
Como ya hemos mencionado antes, lo importante es el trabajo de análisis que se
proponga sobre las estrategias que surgen en el aula. Su puesta en común, su
debate, su socialización con todos los alumnos, etc.
4. Los niños “hacen matemática”
Debemos tener en cuenta que ante un problema propuesto en el aula los alumnos pueden
desplegar diferentes tipos de estrategias de cálculo para su resolución. 3

Algunos
podrán
emplear
material
concreto para sumar o restar.
2
3
Íbidem
Los siguientes ejemplos fueron tomados de Cuadernos para el Aula 1 Pág. 64
| 4. Los niños “hacen matemática”
109

Otros podrán usar sus dedos

Podrán dibujar la situación o realizar marcas en una hoja o en el pizarrón

Otros en cambio usarán un cálculo memorizado o uno ya conocido
De diversos documentos online, creados por los equipos de capacitación e investigación
matemática de Buenos Aires, hemos seleccionado una serie de registros sobre el trabajo
de cálculo que realizan los alumnos, como herramienta para resolver un problema.
Intente realizar una lectura detenida de cada uno, de ponerse en lugar de alumno, para
tratar de dilucidar la manera de pensar en cada caso.
110
4. Los niños “hacen matemática” |
111
112
113
“… es importante que los procedimientos que usan los alumnos para
averiguar el resultado de una suma o una resta evolucionen desde el
conteo al sobreconteo y luego a la posibilidad de efectuar cálculos.
Para que los niños avancen, es necesario que propongamos el análisis de los
diferentes procedimientos que surjan en la clase, teniendo en cuenta que cada
alumno resolverá según los conocimientos de que disponga en cada momento y
usando, o no, “materiales concretos”.
Al dar lugar a la presentación y explicación de los procedimientos utilizados, es
recomendable animar a los chicos a argumentar y fundamentar lo realizado, lo
que les permitirá volver sobre lo que han pensado, y analizar sus aciertos y sus
errores. Esto posibilitará que esos aprendizajes sean reinvertidos en nuevas
situaciones que así lo requieran.
Es necesario que tengamos en cuenta que no se trata de imponer un rápido
pasaje al cálculo [algorítmico] sino de permitir que los niños evolucionen
progresivamente desde procedimientos más primitivos hacia otros de mayor
elaboración.”
SERIE CURRICULAR CUADERNOS PARA EL AULA 1
114
5. Repertorios de cálculo aditivo
Durante la resolución de problemas los alumnos comienzan a interiorizar una serie de
cálculos, de alguna manera memorizan respuestas. Crean su propio repertorio de cálculo.
Pero para crear este repertorio el docente debe realizar propuestas didácticas con esa
intencionalidad. En el documento de Héctor Ponce Cálculo mental de sumas y restas.
Propuestas para trabajar en el aula el autor nos propone una serie de actividades que
permiten que los alumnos creen y amplíen su propio repertorio de cálculo mental.
“Creemos que el trabajo vinculado al cálculo mental es una buena oportunidad para
los niños de asomarse a tareas donde deben tomar decisiones sobre las estrategias
a desarrollar ya que en general existen varias alternativas posibles de resolución y,
al mismo tiempo, deben decidir sobre la validez o no de los procedimientos
utilizados.
Sabemos que el trabajo con cálculo mental es una tarea desafiante para los
docentes desde el punto de vista de la enseñanza. No sólo porque les demanda el
seguimiento de diversos razonamientos de los alumnos ante una misma situación,
sino que además implica un trabajo sostenido que debe pensarse siempre en el
mediano y largo plazo. Sin embargo, creemos que este esfuerzo bien vale lo que
cuesta por la calidad de los aprendizajes que alienta en los niños.” Héctor Ponce
Entre los repertorios de cálculo que debemos favorecer y desarrollar en nuestros alumnos,
el autor nos menciona:

Suma de números iguales de una cifra

Sumas y restas de 1 a otro número de una o dos cifras

Sumas de dígitos

Sumas que dan 10

Restas que dan 10

Sumas de múltiplos de 10 de dos cifras más un número de una cifra

Sumas de números redondos iguales

Seleccionar y utilizar una cuenta para resolver otra

Sumas de números redondos que dan 100 o 1000

Sumar o restar 10 ó 100 a un número de dos o más cifras

Sumar o restar un múltiplo de 10 a un número de dos o más cifras

Conocer el resultado de las restas asociadas a una suma
| 5. Repertorios de cálculo aditivo
115

Establecer en qué rango numérico va a estar el resultado de una suma o una resta

Calcular un resultado aproximado

Decidir sobre el resultado de un cálculo en los primeros grados

Completar un cálculo con ciertas condiciones en los primeros grados

Relaciones entre las estrategias de cálculo mental de sumas y restas y los
algoritmos de cálculo más convencionales

El repertorio como punto de apoyo en el trabajo hacia los algoritmos convencionales
Los invitamos a leer el documento antes mencionado, para poder llevar al aula las
propuestas sugeridas.
Ejemplos de repertorios de cálculos aditivos:
5.1 Trabajo de alumnos en el aula
A continuación se presenta unas series de videos, donde los alumnos ponen en juego
diferentes estrategias de cálculo mental para sumar o restar.
Video 1: Descomposición Aditiva para Restar
116
5. Repertorios de cálculo aditivo |
Video 2: El algoritmo de Francisco para restar
Video 3; Descomposición Aditiva para Sumar
Video 4: Un algoritmo personal para sumar
Video 5: Estrategia de redondeo para sumar
Estos videos, nos muestran como los alumnos ponen en juego diferentes estrategias de
cálculo para operar. Algunas estrategias son muy personales, otras se asemejan, o van
aproximándose al conocido cálculo algorítmico. Lo importante es permitirles a los alumnos,
probar, ensayar, equivocarse, y reflexionar sobre su propia actividad matemática.
Se animan a probar estas estrategias en su aula? ADELANTE!!!
Tipos de
Problemas
Repertorios
de Cálculo
Estrategias de
cálculo
| / 6. Reflexiones finales sobre la enseñanza de la suma y resta
117
6. Reflexiones finales sobre la enseñanza de la suma y resta

Se destaca la importancia crucial de los problemas en el proceso de construcción de
los sentidos de las operaciones; la diversidad de problemas que se resuelven por
una misma operación; la diversidad de procedimientos y de estrategias de cálculo
para resolver un mismo problema.

Aprender a sumar y a restar ha sido identificado con el aprendizaje de los
algoritmos.
Pero
la
investigación
didáctica
y
las
prácticas
educativas
contemporáneas van en otra dirección: los niños deben aprender en la escuela
conocimientos provistos de sentido (Brousseau, 1986).

Los problemas aditivos no constituyen una clase homogénea, presentan una
estructuración que se desarrolla durante un largo período de tiempo.

El rol del docente cobra sentido justamente con aquellos problemas en los que
aparece una variedad de respuestas y una variedad de procedimientos.

Los niños son capaces de resolver gran cantidad de problemas de suma y resta sin
conocer la "cuenta" de sumar o de restar. En otros casos, aunque conozcan las
cuentas, utilizan otros procedimientos, porque no reconocen cuál es la operación
que resuelve el problema, o bien porque en ocasiones es más sencillo recurrir a
otros caminos.

Como suele suceder al analizar cualquier objeto de estudio matemático, se abre con
respecto a la enseñanza de la suma y la resta una diversidad de aspectos y
relaciones que sugieren un aprendizaje a largo plazo. Parece que no hay un modo
"sencillo" ni breve de abordar un objeto de estudio "complejo".

En la enseñanza no se plantean en forma independiente el campo de problemas y
la
construcción
de
las
estrategias
de
cálculo,
ambos
aspectos
están
interrelacionados y están implicados en la construcción del sentido de la suma y de
la resta.
Para finalizar vamos a mirar y escuchar a la Prof. Marta Fierro que nos propone una
interesante reflexión sobre la matemática que desarrollamos en nuestras aulas y como esta
influye en el tipo de ciudadano que buscamos formar a través de la enseñanza.
118
/ 6. Reflexiones finales sobre la enseñanza de la suma y resta |
Una matemática de todos? O para todos?
Prof. Marta Fierro
7. Buscando y marcando en la web. Marcadores sociales
Cuando nos gusta un lugar o sitio web en Internet lo solemos
guardar en nuestro navegador añadiéndolo a nuestros
Favoritos (Internet Explorer) o Marcadores (Firefox). Estamos
hablando
entonces
de
marcadores
privados
que
se
almacenan en local, en el equipo desde el que navegamos.
Los marcadores sociales son servicios web 2.0 que permiten
almacenar, clasificar y compartir enlaces en Internet. Al estar
almacenados en un servidor que está en Internet nos permite
acceder a ellos desde cualquier lugar del planeta. Tendremos
disponibles nuestros sitios favoritos desde cualquier equipo
con conexión a Internet.
Además estos enlaces que hemos guardado los podemos
hacer públicos (compartirlos, SHARE) para que otros usuarios interesados puedan enlazar
con ellos a través de etiquetas, categorías,...
En esta unidad vamos a trabajar con dos tipos de marcadores Scoop.it y Delicious
Usar uno u otro, va a depender de nuestras preferencias personales. Actualmente,
Google+, Facebook o LinkedIn también funcionan a manera de marcadores sociales, ya
que permiten compartir con nuestros amigos, conocidos o colegas, todo tipo de páginas de
interés.
Realizar una clasificación de los marcadores nos llevaría su tiempo, de todas maneras
existen algunas propuestas en la web: Clasificación de Enlaces o Marcadores
Evidentemente
todos
los
docentes
somos
coleccionistas:
seleccionamos
actividades, libros de texto, aplicaciones, etcétera. Ahora bien, ¿cuáles son las
| 7. Buscando y marcando en la web. Marcadores sociales
119
posibilidades de un docente para convertirse en autor de sus propios materiales? y,
en tal caso, ¿por qué sería valioso hacerlo? Odetti, Valeria. 4
A lo largo de la unidad Uds., visitaron y conocieron diferentes recursos interactivos que nos
ofrece la web 2.0 para favorecer diferentes estrategias de cálculo y el aprendizaje en los
alumnos. En este apartado vamos a realizar la búsqueda de más recursos y compartirlos
con nuestros compañeros de cursada.
ACTIVIDAD TIC
1° Crearemos una cuenta en Delicious (también podrán crear la cuenta en Delicious,
entrando con una cuenta Yahoo, Gmail o Facebook)
2° Crearemos una cuenta en Scoop.It
3° Realizaremos una búsqueda de objetos de aprendizaje, páginas interactivas,
actividades o documentos que podamos llevar al aula, respecto de la enseñanza
de la suma y de la resta, teniendo en cuenta el enfoque didáctico propuesto y
atendiendo a los tipos de cálculo que debemos favorecer.
4° Los links que nos gusten, vamos a “marcarlos” en Delicious y en Scoop.it. y
colocarles la etiqueta “campo aditivo”.
5° Vamos a dar a conocer en el foro “Mis marcadores” nuestras direcciones de
Delicious y Scoop.it para que el resto de nuestros compañeros puedan seguirnos
y conocer nuestros hallazgos.
6° Recuerden también compartir sus links, en nuestro círculo privado de Google+
4
Curaduría de contenidos: límites y posibilidades de la metáfora Disponible en:
http://www.pent.org.ar/institucional/publicaciones/curaduria-contenidos-limites-posibilidades-metafora
120
7. Buscando y marcando en la web. Marcadores sociales |
Autoevaluación
1. Mencione la clasificación de problemas aditivos propuesta por Claudia Broitman, según
Vergnaud.
2. Resolver la cuenta 1000-785, de forma vertical o parada, suele ser una cuenta con
dificultad. Proponga otra estrategia para resolver la cuenta para que sea “sin dificultad”.
3. Cuáles son los 4 tipos de cálculos que debemos lograr desarrollar en los alumnos?
4. En qué situaciones o problemas es recomendable el uso de la calculadora?
5. Qué argumentos podría darle a un colega, para convencerlo sobre los beneficios del uso
de la calculadora en el aula?
6. Dado el siguiente problema:
“Marcela tiene 8 figuritas. Su amiga le regalo 9. ¿Cuántas figuritas tiene ahora?
a) Anticipe las posibles estrategias de resolución que podría emplear un alumno para
resolverlo.
b) Qué sucederían con esas estrategias si los números involucrados en el problema
fueran 83 y 97?
7. Qué usos didácticos podría darle a la utilización de marcadores en su aula?
| Autoevaluación
121
1. Siguiendo la clasificación propuesta por C. Broitman, los alumnos deberían enfrentarse
progresivamente
a
problemas
aditivos
que
atiendan
a
diferentes
estados,
transformaciones y medidas:
1. Problemas de composición de dos medidas
2. Problemas donde una transformación opera sobre una medida
3. Problemas de relación entre dos medidas
4. Problemas donde dos transformaciones se componen para dar lugar a otra
trasformación
5. Problemas donde una trasformación opera sobre un estado relativo
6. Problemas donde dos estados relativos se componen para dar lugar a otro
estado relativo.
2. Entre las estrategias para resolver 1000- 785, tenemos:
1000 -700= 300
300-80= 220
220-5= 215
Otra estrategia podría ser:
Si 1000= 999+1
entonces:
999
-785
-------214
Luego 214 +1=215
3. Los cuatro tipos de cálculos que debemos desarrollar en nuestras aulas son:
- Cálculo mental
- Cálculo algorítmico
- Cálculo estimativo
- Cálculo con calculadora
4. La calculadora es una herramienta útil para trabajar problemas:

Problemas para conocer cómo funciona la calculadora y los límites de la misma
(Primero, segundo y tercer ciclo de EGB)

La calculadora para aprender más sobre las propiedades de las operaciones
(Primero y segundo ciclo de EGB)
122
Autoevaluación |

La calculadora para ampliar los sentidos de las operaciones (Primero, segundo y
tercer ciclo de EGB)

La calculadora para aprender más sobre los números naturales (Primer y segundo
ciclo de EGB).

La calculadora para aprender más sobre los números decimales y fraccionarios
(Segundo y tercer ciclo de EGB).

La calculadora para aprender más sobre porcentaje (Segundo y tercer ciclo de
EGB)

La calculadora para aprender más sobre los números enteros (Tercer ciclo de EGB).
5. Respuesta de elaboración personal
6. Entre las posibles estrategias de resolución el alumno podría emplear:
- usar los dedos, o representar la situación con material concreto
- dibujar rayitas o palitos
- emplear números 8+9 y realizar el cálculo
. lo podrá resolver mentalmente 8+9=17
. podrá descomponer 8+8+1= (sabiendo que 8+8=16) 17
-
luego podrá comprobar el resultado con la calculadora.
a) Al aumentar las cantidades, será muy dificultoso representar la situación con material
concreto o dibujos, por lo que el alumno se verá en la necesidad de emplear estrategias de
cálculo mental o algorítmico.
7. Entre algunos usos pedagógicos de los marcadores sociales en el aula, podríamos
reconocer:
-
Del profesor hacia los alumnos: listas de exploración
Los marcadores sociales permiten elaborar listas de enlaces para que los alumnos
consulten, y facilitárselas a través de una única URL: la que haga referencia a un
usuario y a una etiqueta elegida ad hoc en cualquiera de los dos servicios tratados.
Por ejemplo, podemos invitar a nuestros estudiantes a visitar las páginas
etiquetadas como “actividad 1” las páginas etiquetadas como “google” por el
usuario. Lo más sencillo aquí sería etiquetar nosotros mismos, con una etiqueta
común, la serie de enlaces que deseamos que visiten para una actividad en
| Autoevaluación
123
particular, y facilitarles la URL creada al buscar dentro de nuestras páginas
marcadas por la etiqueta en cuestión.
-
Los alumnos marcan: actividades de investigación y puesta en común
El uso de marcadores sociales de manera activa por los alumnos tiene también
mucho interés para la ordenación y puesta en común de recursos encontrados en el
curso de labores de investigación. Como fase previa de un trabajo dirigido sobre un
tema concreto, se pide a los estudiantes que realicen una búsqueda de información
relevante, que la marquen y la compartan en el seno de un grupo, para consensuar
después una selección más fina de los recursos que vayan a emplearse, y un
etiquetado de los mismos en función de las distintas partes que su proyecto o
presentación colectiva vayan a tener.
124
Autoevaluación |
UNIDAD IV
4
La enseñanza de la
Multiplicación y la División en
el Nivel Primario
Introducción
Vamos a comenzar ésta unidad, con un video del Dr. Adrián
Paenza.
Multiplicar sin saber las tablas
En el video Adrián Paenza, nos muestra diversas estrategias para
multiplicar.
¿Pueden estas estrategias de cálculo, circular por nuestras aulas?
¿Podemos
mostrarlas
a
nuestros
alumnos?
¿Cómo
se
justifican
o
argumentan
matemáticamente cada una de las propuestas?
Otro artículo interesante de este destacado matemático, que los invitamos a leer es:
Cómo dividir sin saber las tablas de multiplicar
Enseñar a multiplicar y dividir son también grandes desafíos de la escuela primaria. Son
contenidos socialmente relevantes y exigidos por padres y docentes.
| UNIDAD IV
125
Sin embargo las pruebas de calidad que se realizan en diferentes distritos y localidades tanto a
nivel provincial o nacional, dan muestras que estos saberes siguen presentando problemas en
los alumnos.1
Será nuestro desafío como docentes lograr, en nuestros alumnos, aprendizajes con sentido y
significativos respecto de estos contenidos,
coincidiendo con el enfoque que señala que
aprender matemática significa construir el sentido de los conocimientos; es decir, que el
alumno entienda qué tipos de problemas puede resolver y cuáles no usando un determinado
conocimiento, en nuestro caso la multiplicación y la división.
Esquema conceptual de la Unidad IV
1
* Informe sobre la educación en Argentina. Operativos Nacionales de Evaluación, (ONE).
*Lecciones provinciales de política educativa
126
Esquema conceptual de la Unidad IV |
Objetivos

Analizar y reflexionar sobre los enfoques de enseñanza y aprendizaje por medio de la
resolución de problemas para la enseñanza de la multiplicación y división.

Reflexionar sobre la organización y diseño de situaciones de enseñanza, la elección de
problemas y ejercicios, para lograr construir el sentido de los conocimientos
matemáticos.

Analizar diferentes estrategias de cálculo matemático, para la multiplicación y división

Analizar y evaluar diferentes recursos Tic, propuestos para el aprendizaje de la
multiplicación y la división.

Crear, diseñar, publicar y distribuir material de aprendizaje, mediante presentadores de
diapositivas on line: SlideShare, entre otros.
Contenidos
1. Multiplicar y Dividir: Sentidos y Estrategias de cálculo
2. Construir el sentido de la multiplicación
2.1 Estrategias de cálculo para resolver multiplicaciones
2.2 Los problemas de multiplicación en el aula
2.3 Construyendo la Tabla Pitagórica
2.4 Análisis de estrategias de resolución por parte de los alumnos.
3. Construir el sentido de la División
3.1 Los problemas de división en el aula
3.2 Estrategias de cálculo, para resolver divisiones.
3.3 Cómo introducir el algoritmo desplegado de la división en el aula?
3.4 Gestionando una clase de División
3.4.1 Cuál debería ser el rol del docente en estas clases?
3.4.2 Trabajo matemático de los alumnos en el aula
3.5 La enseñanza de la división a los largo de toda la escolaridad primaria
4. Publicación de materiales de enseñanza.
| Objetivos
127
Síntesis
En esta unidad abordaremos las estrategias de enseñanza de la multiplicación y
división (campo multiplicativo), a través del análisis y reflexión sobre
investigaciones
y
prácticas
docentes
en
contextos
reales
de
algunas
enseñanza.
Reflexionaremos sobre el tipo de intervención que debe ofrecer el docente, y las
características o tipos de problemas que permiten que la multiplicación y división
cobren sentido como herramienta de resolución. Además seguiremos conociendo
algunas herramientas que favorecen el trabajo colaborativo en línea: en este caso,
aprenderemos a publicar materiales de enseñanza, usando presentadores de
diapositivas on line.
1. Multiplicar y Dividir: Sentidos y Estrategias de cálculo
En las unidades anteriores venimos trabajando cada saber matemático en la búsqueda de la
construcción de sentido. Para ello retomamos las palabras de Roland Charnay sobre “¿cómo
se construye sentido?”. El autor nos menciona que la construcción de sentido se define por2:

la colección de situaciones en las que ese conocimiento es realizado como
teoría matemática.

la colección de situaciones en las que el sujeto lo ha encontrado como medio
de solución.

el conjunto de concepciones que rechaza, de errores que evita, de economía
que procura, de formulaciones que retoma.
Recordemos también, que la construcción de la significación de un conocimiento debe ser
considerada en dos niveles:
 un nivel “externo”: ¿cuál es el campo de utilización de este conocimiento y cuáles son
los límites de este campo?
2
Charnay Roland (1995), “Aprender por medio de la resolución de problemas”, capítulo III, en Didáctica
de matemáticas, Cecilia Parra e Irma Saiz (compiladoras), Paidos
128
1. Multiplicar y Dividir: Sentidos y Estrategias de cálculo |
 un nivel “interno”: ¿cómo y por qué funciona tal herramienta? (por ejemplo, ¿cómo
funciona un algoritmo o estrategia y por qué conduce al resultado buscado?).
En nuestro caso, nos interesa saber en qué situaciones problemáticas es útil usar a la
multiplicación o a la división como herramienta para encontrar la solución, como así también
cómo hacer (resolver) esa multiplicación o división….seguramente no usaremos las mismas
estrategias para resolver 14:3 (dibujos, palitos, sumas o restas) que para dividir 1453:45.
Veremos más adelante cómo el tipo de números puestos en juego (grandes o pequeños,
naturales o decimales) implican y permiten el uso de diferentes estrategias de cálculo.
2. Construir el sentido de la multiplicación
Comenzaremos analizando los siguientes problemas:
1- ¿Cuántos caramelos hay en 6 bolsas si en cada bolsa hay 5 caramelos?
2- Un patio rectangular tiene 6 filas y en cada fila, 5 baldosas ¿Cuántas baldosas
tiene el patio?
3- Pablo se fue varios días de campamento. Llevo 5 pantalones y 6 remeras ¿De
cuántas maneras diferentes puede combinar la ropa?
Los tres problemas se resuelven mediante la operación 5x6. Pero debemos notar que cada
problema es distinto en su naturaleza.
El problema 1, es un problema de proporcionalidad; el problema 2, es un problema de producto
de medidas (organización rectangular); el problema 3, es un problema de combinatoria.
Podemos decir que un alumno “sabe multiplicar” si es capaz de resolver problemas
correspondientes a estos 3 sentidos:
| 2. Construir el sentido de la multiplicación
129
2.1 Estrategias de cálculo para resolver multiplicaciones
De acuerdo con el nivel, ciclo o grado en el que estemos trabajando, los alumnos podrán
intentar diferentes estrategias de cálculo para resolver estos problemas. Veamos algunas:
1- ¿Cuántos caramelos hay en 6 bolsas si en cada bolsa hay 5 caramelos?
a)- Los niños podrían dibujar 6 bolsas y colocar en cada una 5 caramelos, para luego proceder
a su conteo:
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xx
xx
xx
xxxxx
xx
xxxxx
xxxxx
xx
xx
b)- Otros pueden recurrir a los que saben sobre la suma y escribir: 6 veces 5
5+5+5+5+5+5
130
Este tipo de representación aditiva, es una
excelente forma de introducir el signo X (por)
y propiciar la interpretación multiplicativa.
2. Construir el sentido de la multiplicación |
c)- Otros pueden directamente escribir 6x5, y resolverlo ya sea porque tengan el resultado
memorizado, como parte de su repertorio de cálculos multiplicativos, mirando en una tabla
pitagórica, o empleando la calculadora.
2- Un patio rectangular tiene 6 filas y en cada fila, 5 baldosas ¿Cuántas baldosas
tiene el patio?
En este problema podrán realizar el dibujo del patio para luego:
6
6
6
6
6
a) Contar una por una las baldosas
b) Utilizar sumas:
5+5+5+5+5+5 (al sumar 5 baldosas por columna)
6+6+6+6+6 (al sumar 6 baldosas por fila)
c) Emplear la notación 6x5 o 5x6, y resolver con ayuda de la tabla pitagórica o la calculadora.
3- Pablo se fue varios días de campamento. Llevo 5 pantalones y 6 remeras ¿De
cuántas maneras diferentes puede combinar la ropa?
Los alumnos podrían dibujar los 5 pantalones y las 6 remeras y luego proceder a combinarlos,
y realizar el conteo.
131
Este procedimiento lo
deberían repetir para cada
pantalón
b) Utilizar sumas sabiendo que cada pantalón se puede combinar con 6 remeras, podrían
escribir:
6+6+6+6+6 (cada 6, representa la combinación de cada pantalón con cada una de las
remeras)
5+5+5+5+5+5 (cada 5, representa la combinación de cada remera con uno de los pantalones)
132
c) Confeccionar una tabla y contar las combinaciones o sumarlas
1-1
2-1
3-1
4-1
5-1
1-2
2-2
3-2
4-2
5-2
1-3
2-3
3-3
4-3
5-3
1-4
2-4
3-4
4-4
5-4
1-5
2-5
3-5
4-5
5-5
1-6
2-6
3-6
4-6
5-6
d) Utilizar a la multiplicación para resolver la combinatoria 5 (pantalones) x 6 (remeras) 5x6
Otro problema de combinatoria
Video Problema de combinatoria
Observemos como cada una de las estrategias se complementan entre sí. Algunas son más
económicas, y la utilización de una u otra depende del nivel de los alumnos, y de las
estrategias que surjan en el aula.
Debemos recordar que al proponer el problema debemos mantener un tipo de gestión de clase
recomendado por la escuela francesa quien nos aporta la idea de organizar las secuencias
didácticas en fases:
133

De acción: donde se presenta la situación problema, y el alumno (solo o en pequeños
grupos) busca un procedimiento de resolución

De formulación – validación: a cargo de los estudiantes, estos formulan, confrontan
las estrategias y las resoluciones encontradas,
los procedimientos y estrategias se
exponen ante todos, se ponen a prueba, se validan, se debate y argumenta sobre ellos:
su pertinencia, economía, etc.

De institucionalización: a cargo del docente ya que es quién deberá dejar en claro
qué aprendieron y qué nueva herramienta poseen o podrán comenzar a utilizar. Es el
encargado de brindar una síntesis y de poner en juego el lenguaje convencional. En
este caso el uso de los signo x , =
Algunos comentarios de Nadine Milhaud:
“Se hacen ejercicios y problemas, pero no se conduce ninguna actividad reflexiva que
permitiría a los alumnos identificar familias de problemas y situar los problemas
encontrados en relación con esas familias. Esto supone que, sobre un cuerpo de
ejemplares bien elegidos por el profesor, se haga un trabajo de clasificación que podría
ser realizado a partir del cuestionamiento siguiente:
1. ¿Son diferentes los ejercicios y los problemas?
2. ¿En qué se parecen?
3. ¿En qué se diferencian?
4. ¿Se los puede agrupar en familias?
5. ¿Existen técnicas de resolución ligadas a esas familias?
De esta ausencia se desprende que numerosos alumnos imaginen que los problemas
son siempre nuevos y que cada vez hay que inventar soluciones nuevas. Si por azar un
problema evoca otro, tratan de recordar la manera en que lo habían resuelto, pero ese
recuerdo es vago y mezclado con otros.
Se debe, sin dudas, a que el trabajo sobre las técnicas de resolución de problemas de
una familia de problemas no está organizado de forma sistemática.[…]
134
Se debe, sin dudas, a que el trabajo sobre las técnicas de resolución de problemas de
una familia de problemas no está organizado de forma sistemática.[…]
Además, frecuentemente, cuando se introduce en un año dado una nueva técnica para
resolver un tipo de problema, las técnicas antiguas son dejadas de lado y no se trabaja
con ellas, y terminan por desaparecer. Sin embargo, esto es una parte integrante del
trabajo de la técnica.”
Milhaud, Nadine (1997), “Le travail personnel des élèves”, (El trabajo personal de
los alumnos) en Petit X, Nº 47 1997-1998, IREM de Grenoble, Francia.
ESTA ACTIVIDAD SERÁ MOTIVO DE DEBATE EN EL FORO DE LA CLASE
En el artículo Las matemáticas de la vida diaria encontramos un trabajo de investigación donde
se le pregunta a diferentes niños de primaria para qué sirven las matemáticas en la vida
cotidiana. Las respuestas son bastante interesantes y diferentes entre sí y de alguna manera
muestras una forma de enseñanza implícita en cada una de las respuestas.
Volviendo al título de este apartado este hace referencia a la tradicional presentación de la
suma y la resta dentro de problemas que poseen algunas “palabras claves”. Por Ejemplo:
2.2 Los problemas de multiplicación en el aula
Como docentes deberemos seleccionar, organizar y secuenciar los problemas de
multiplicación atendiendo siempre a los tres sentidos vistos, incluso desde 1°
grado/año. Y estimular, favorecer y valorar las diferentes estrategias de resolución que
brinden los alumnos, para luego poder hacerlas avanzar desde las más rudimentarias,
hasta las más económicas o eficientes.
Un aspecto a tener en cuenta es el tamaño de los números:
135
Si dado un problema debemos realizar la multiplicación 4x7, los alumnos pueden, tal como
hemos vistos, recurrir a estrategias:
-
gráficas
-
de conteo
-
o usar sumas, repetidas veces
Estas serán estrategias válidas para los alumnos que recién se inician en el tema de
multiplicación.
Si en cambio debemos resolver 15x12, el tamaño de los números impide la aparición de las
anteriores estrategias y obliga al alumno a diseñar o emplear otras. Como por ejemplo:3
Si la cuenta fuese 25x18, podrían surgir otras estrategias:
3
Ejemplo tomado de Matemática: “Operaciones con números naturales” (2º Parte) Autora: Verónica Grimaldi.
Coordinación: Claudia Broitman. Dirección Provincial de Educación Primaria. Dirección de Gestión Curricular
Dirección de Psicología Comunitaria y Pedagogía Social. Pág 15
136
Tomado de http://www.didactmaticprimaria.com/2012/03/formatos-interactivos-para-la-practica.html
Estas estrategias recurren a la descomposición de números, a propiedades de la suma y la
multiplicación (que no necesariamente sepan nombrar), pero que permiten hallar la respuesta
al problema y son matemáticamente válidas.
Como docentes debemos favorecer la aparición de estas estrategias, o bien
presentarlas como alternativas al algoritmo clásico o convencional.
RECURSOS TIC PARA EL AULA
Los siguientes recursos TIC, favorecen el aprendizaje de la multiplicación, basada en
estrategias de descomposición numérica y adición, pero al mismo tiempo
introduciendo el lenguaje multiplicativo correspondiente. De menor a mayor
complejidad, se sugiere:
Comenzando a Multiplicar I
Comenzando a multiplicar II
Cálculo mental de multiplicaciones
Multiplicando por partes (Propiedad Distributiva I)
Multiplicando por partes (Propiedad Distributiva II)
Recuerden “marcar” los recursos en Delicious o en Scoop.it
Del mismo documento antes mencionado (Matemática: “Operaciones con números naturales”
(2º Parte)), podemos citar otros ejemplos, para plantear a nuestros alumnos y que los lleven a
construir el sentido de la multiplicación.
137
A continuación se proponen algunos problemas en los que se vuelve a analizar estrategias de
cálculo que involucran una descomposición multiplicativa de alguno de los factores:
138
Es importante recordar, como lo hemos venido haciendo, que ante un
problema, es importante reflexionar junto con los alumnos, respecto de las
estrategias de cálculo que emplean. Nos interesa el resultado, pero también
cómo llegaron a él, cuáles fueron sus tropiezos, sus aciertos, idas y vueltas.
Socializar este proceso, permite un proceso de reflexión sobre las tareas, que
favorece el desarrollo de habilidades de pensamiento matemático.
2.3 Construyendo la Tabla Pitagórica
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
3
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
4
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
5
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
6
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
7
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
8
8
16
24
32
40
48
56
64
72
80
9
9
18
27
36
45
54
63
72
81
90
10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
139
Desde los primeros años se sugiere la confección y completamiento de tablas de
proporcionalidad, que permitan a los alumnos, comenzar a construir relaciones matemáticas.
Por ejemplo:
En una panadería, confeccionaron una tabla, para poder saber rápidamente cuánto cobrar por
kilo de pan vendido. Ayuda a completarla.
Kg de
pan
Precio
x Kg $4
1
2
4
3
4
5
6
7
12
En una verdulería, confeccionaron una tabla, para poder saber rápidamente cuánto cobrar por
kilo de papa vendida. Ayuda a completarla.
Kg de
papa
Precio x
Kg $3
1
2
3
3
4
5
6
7
12
En una librería, confeccionaron una tabla, para poder saber rápidamente cuánto cobrar por
cada lápiz vendido. Ayuda a completarla.
Cantidad 1
de
lápices
Precio x 3
lápiz $2
2
3
4
5
6
7
12
Trabajar con este tipo de tablas permite a los alumnos comenzar a construir relaciones
numéricas, desde 1° y 2° grado.
Evitando de esta manera la presentación tradicional de las tablas una por una.
A partir de 3°, podemos presentar la Tabla Pitagórica, de forma incompleta, para poder
trabajarla entre todos en clase, en base a algunas preguntas:
Por ejemplo:
Martina quiere completar la siguiente tabla, a la que se le borraron algunos números. Vamos a
ayudarla entre todos, atendiendo a las siguientes sugerencias:
140
x
1 2
3
1
2
3
2
4
6
3
6
9
4
8
12
5
10 15
6
12 18
7
14 21
8
16 24
9
18 27
10
20 30
4 5 6 7 8 9 10
1° Si sabemos los resultados de la columna del 2, qué otra columna podemos completar?
2° De qué manera puedes completar la columna del 8?
3° Martina, dice que si hace el doble de la columna del 3, obtiene la tabla del 6. Compruébalo.
4° Es verdad que si sumamos los resultados de la columna del 3 y la del 4, se obtiene la
columna del 7?
5° Completemos la columna del 10. Con qué tabla la podemos relacionar?
Estas preguntas podrían ampliarse, trabajarse y retomarse en diferentes etapas del año,
siempre con la intención de reflexionar sobre la organización de la tabla.
De esta forma las tablas se enseñan todas al mismo tiempo, en función de las relaciones
matemáticas que guardan entre ellas, y logrando así un aprendizaje más significativo
para el alumno (superior al estudio y repetición de las tablas una por una): En base a una
tabla pitagórica vacía, podemos comenzar completando, con los alumnos las tablas:
-
del 2, 4 y 8 (reconociendo dobles y mitades)
-
del 3 y 6 (reconociendo dobles y mitades)
141
-
del 5 y 10 (reconociendo dobles y mitades)
-
del 9 (como el triple de la tabla del 3, o bien como resultado de la suma de la columna
de la tabla del 3 y la del 6)
Este trabajo didáctico puede ser realizado durante algunas clases, o semanas.
También es recomendable que cada alumno, la tenga en su cuaderno o carpeta, plastificada, y
que se encuentre una más grande, sobre la pared del aula para consulta de todos.
Claudia Broitman, recomienda el estudio por partes de la tabla pitagórica:
Podríamos dividir la tabla en cuatro cuartos y enfocar su estudio y reflexión diariamente.
De esta manera se estimularía su memorización, a través de su consulta diaria.
También en la medida que los alumnos vayan resolviendo diferentes problemas de
multiplicación, podrán recurrir a ella, para anticipar, estimar o controlar sus resultados y
comenzar a recordar resultados, y armar así su repertorio mental de cálculos
multiplicativos.
Además, los alumnos pueden comenzar a darse cuenta que no es necesario saberse toda la
tabla, ya que por la propiedad conmutativa, los resultados se repiten.
Por ej: Les podemos pedir a los alumnos que completen la siguiente tabla.
X
1 2 3 4
5
6
7
8
9
10
1
1 2 3 4
5
6
7
8
9
10
2
4 6 8
10 12 14 16 18 20
3
9 12 15 18 21 24 27 30
4
16 20 24 28 32 36 40
5
25 30 35 40 45 50
6
36 42 48 54 60
7
49 56 63 70
8
64 72 80
9
81 90
10
142
100
RECURSO TIC:
Razonamiento Proporcional_ tablas
Tablas y Productos
2.4 Análisis de estrategias de resolución por parte de los alumnos.
A continuación se presentan diferentes estrategias de
resolución que emplean los alumnos al enfrentarse a la
resolución de multiplicaciones por una o dos cifras. Analice,
las mismas, teniendo en cuenta las propiedades matemáticas
que se ponen en juego en cada caso.
126 x 3 puede resolverse de diferentes maneras
143
MULTIPLICACIÓN GEOMETRICA
POR ADRIÁN PAENZA
ACTIVIDAD DE ANÁLISIS DE GESTIÓN DE UNA CLASE
Como cierre de esta primera parte le proponemos ver el siguiente video, sobre la
gestión de una clase de multiplicación.
Algunas preguntas orientadoras para el análisis y debate:
-¿Cuál es su impresión general de la clase?
-¿De qué modo el docente maneja la diversidad de procedimientos? ¿Los hace
converger hacia los conocimientos a los que apunta? ¿Cómo?
-¿Qué modificaciones pueden realizarse para favorecer ciertos procedimientos y
bloquear otros?
ESTA ACTIVIDAD ES OBLIGATORIA Y SERÁ MOTIVO DE DEBATE EN EL FORO
DE LA CLASE
144
|
ACTIVIDAD DE PRODUCCIÓN I
Para cerrar parcialmente este tema, les vamos a solicitar que individualmente o en
grupos (pueden ser los conformados en la unidad II, al trabajar en GoogleDoc),
realicen una selección de problemas multiplicativos, para un determinado grado/año.
Para ello deben indicar el grado/año y seleccionar dos problemas correspondientes a
cada sentido de la multiplicación analizado. Además deberán anticipar las posibles
respuestas o estrategias de resolución que puedan llegar a brindar los alumnos del
curso seleccionado.
Van a enviar el trabajo al tutor usando un presentador de dispositivas, por ejemplo
Power Point, por el correo interno del aula para su corrección y devolución, indicando
los integrantes del grupo y la bibliografía utilizada.
Como lecturas optativas y sugerencia de actividades para sus alumnos les dejamos:
ORIENTACIONES DIDÁCTICAS PARA LA ENSEÑANZA DE LA MULTIPLICACIÓN
EN LOS TRES CICLOS DE LA EGB
Serie Curricular MATEMÁTICA Nº 3 A Operaciones con números naturales (1º
Parte)
Parte)
Material para el Alumno Multiplicar y Dividir. Colección Piedra Libre. Sobre las
Tablas.
|
145
3. Construir el sentido de la División
Analicemos por un momento la siguiente pregunta4:
Ubicación incorrecta de los restos, omitir bajar ceros o colocarlos en el cociente, dejar
restos iguales o mayores que el divisor, olvidar de registrar números en el cociente,
obtener valores desproporcionados en relación con los numerales intervinientes en los
cálculos y no discutir la razonabilidad de los resultados obtenidos, son defectos que a
diario se encuentran en las cuentas de dividir de nuestros alumnos.
4
Ejemplo tomado de Bressan, A. M. (1998). “La división por dos cifras: ¿un mito escolar?” Consejo Provincial de
Educación de Río Negro, documento de la Secretaría Técnica de Gestión Curricular, área Matemática [en línea]
www.educacion.rionegro.gov.ar
146
3. Construir el sentido de la División |
*¿Serías capaz de determinar cuál de los errores nombrados corresponden a cada
una de las cuentas anteriores?
*El desconocimiento de las leyes que rigen nuestro sistema de numeración posicional
decimal es una de las causas principales de los errores antes mencionados. Justifique
esta afirmación. Bressan, A. M. (1998).
Sin lugar a dudas la división es una de las operaciones, que según dicen los colegas
docentes, más les cuesta aprender a los alumnos.
Les proponemos reflexionar juntos sobre este tema: ¿qué significa saber dividir?,
¿cuántas maneras, formas o métodos para dividir le enseñamos a nuestros alumnos?,
¿se puede dividir a partir de lo que sabemos de la suma, la resta o la multiplicación?,
¿qué diferencia existe entre dividir con lápiz y papel y dividir con la calculadora?,
¿cuáles son los problemas y las estrategias de cálculo que ayudarían a los alumnos a
construir el sentido de la división?
Al igual que sucede en la multiplicación, también existen para la división un campo de
problemas que colaboran en la construcción del sentido de la misma.
Pero antes desearía contarles una pequeña anécdota:
En una evaluación el problema decía… “repartir 48
cartas entre 4 niños”….un alumno lo resolvió y puso
12x4=48….lógicamente
tuve que dar por válida la
respuesta. A pesar de que yo, esperaba una cuenta de
división, el
alumno logró resolverlo con una
multiplicación.
Uds. Que hubieran hecho en mi lugar?
| 3. Construir el sentido de la División
147
3.1 Los problemas de división en el aula
Leamos con atención los siguientes problemas:
1- Hay que trasladar 61 personas en autos. Si en cada auto pueden viajar 6 personas,
¿cuántos autos se necesitan?
2- Tengo 61 chocolates para repartir entre 6 chicos. ¿Cuánto chocolate le toca a cada
uno si lo reparto todo y en partes iguales?
3- ¿Cuántos dígitos tendrá el resultado de hacer 61: 6 con la calculadora? ¿Y si se
hiciera la cuenta con lápiz y papel?
4- Hay que repartir 61 rosas en 6 ramos iguales, ¿Cuántas rosas tendrá cada ramo?
5- Hay que ubicar 61 rosas de a 6 rosas en cada ramo. ¿Cuántos ramos se podrán
formar?
6- Hay que distribuir $61 entre 6 personas. ¿Cuánto dinero le darán a cada uno si se
reparte todo y en partes iguales?
7- De una varilla de 61 m se hicieron 6 pedazos de la misma longitud. ¿Cuánto mide
cada pedazo?
8- De una varilla de 61m, ¿cuántos pedazos de 6 m se pueden cortar?
9- Si estoy en el número 61 y doy saltos de 6 en 6 hacia atrás. ¿Cuál es el número más
cercano a 0 al que llego?
Si recordamos los comentarios de Nadine Milhaud, podríamos detenernos a reflexionar, y
preguntarnos ¿en qué se parecen o diferencian estos problemas? ¿Todos se resuelven de la
misma manera? ¿Para qué grado/año estarán pensados cada uno?
Si bien todos los problemas se resuelven mediante la operación 61:6, en algunos casos
debemos considerar el resto, y ver si afecta o no a la respuesta, en otros el resto puede seguir
siendo fraccionable, también es importante analizar el contexto del problema, o si se trata de
números naturales o racionales, variables continuas o discretas. En fin si bien la división es la
herramienta que nos ayudaría a resolver estas situaciones, no es suficiente resolver la cuenta
para responder, ya que existen muchas variables a tener en cuenta.
148
Lograr que un alumno aprenda a dividir, consiste en que sea capaz de determinar en
qué casos la división es un recurso útil para resolver el problema y en cuáles no.
A continuación presentaremos un campo o conjunto de problemas por los que los alumnos
deben atravesar en su escolaridad, y que le permitirán construir el sentido de la división.
a) Problemas para Partir y Repartir:
a) Un señor tiene 9 caramelos y quiere repartirlos entre sus 3 hijos, dándoles lo mismo
a cada uno. ¿Cuántos caramelos les puede dar?“
b) Un señor tiene 9 caramelos y quiere darles 3 a cada uno de sus hijos. ¿Para cuántos
hijos le alcanzan?
Ambos problemas se resuelven con la operación 9:3, sin embargo existen diferencias en su
significado, ya que las respuestas son diferentes.
¿Qué diferencia existe entre los problemas de partir y repartir?
Repartir: cuando se pregunta por la cantidad que corresponde a cada parte.
9 caramelos: 3 hijos = 3 caramelos y sobran 0 caramelos
Partir: cuando se indaga acerca de la cantidad de partes en que se realiza un reparto
9 caramelos: 3 caramelos = 3 hijos y sobran 0 caramelos
Repartir
Partir
149
La principal diferencia consiste en la igual o distinta naturaleza entre el dividendo y el divisor,
como se puede ver en las imágenes.
Como estrategias de resolución en los primeros grados pueden aparecer gráficos, sumas que
se aproximen o restas sucesivas. Por ejemplo:
Estrategias aditivas (sumas)
1+1+1=3 sobran 6
2+2+2= 6 sobran 3
3+3+3= 9 sobran 0
Estrategias Sustractivas (restas)
9-3=6
6-3=3
3-3=0
A cada niño, entonces le doy 3 caramelos.
Estos problemas de partir y repartir pueden introducirse desde 1° grado/año, permitiendo las
estrategias gráficas de resolución en un principio.
RECURSO TIC:
Repartos
150
b) Problemas para analizar el resto o “lo que sobra”
Algunos problemas involucran situaciones de reparto donde el resto no es cero.
Facundo tiene 18 caramelos para repartir entre sus 4 amigos. ¿Cuántos le dará a cada
uno?
¿Cómo considerar lo que sobra?
En algunos casos, el resto es fraccionable (chocolate, líquidos, etc); mientras que en otros no
lo es (globos, personas, etc)
En este caso los alumnos al repartir los caramelos, deben comunicar que “sobran 2” y que
según el caramelo (duro o blando) lo pueden o no partir por la mitad, para lograr que “no sobre
nada” y todos tengan la misma cantidad.
Los restos fraccionables permiten el trabajo con fracciones simples, en los
primeros años, y más complejas a medida que se avanza en su estudio. Son una
excelente forma de introducir fracciones.
Las estrategias para resolver este problema son las mismas o similares a las empleadas en los
problemas de partir o repartir: estrategias gráficas, aditivas o sustractivas.
c) Problemas donde la solución no está en el cociente
“Quiero alquilar motos para 9 personas. En cada moto pueden subir hasta dos
personas. ¿Cuántas motos tengo que alquilar?”
9:2= 4 y sobra 1
En este caso no es suficiente con averiguar el cociente, para saber el resultado del problema.
Es necesario ir un paso más: analizar qué sucede con el resto. Ya que este afecta la
respuesta al problema. Debemos alquilar 5 motos, para que todos puedan viajar.
d) Problemas para dividir en problemas de proporcionalidad
Este sentido se relaciona con la multiplicación. Veamos un ejemplo:
Por la compra de 8 sillas, Emilio pagó $880. ¿Cuál es el precio de cada una?
Para resolver este problema podríamos recurrir a relaciones de proporcionalidad. Así podemos
decir que si:
 8 sillas cuestan $ 880
151
 1 silla cuesta $ 110
De esta forma logramos resolver el problema de “división” sin necesidad de una cuenta, sólo
calculando mitades.
Note que este tipo de estrategia fue factible por el tipo de números que se pusieron en juego.
(A veces a los docentes, les gusta complicarles la vida a los estudiantes con números
“difíciles”, en este caso la intención estaba puesta en la estrategia, y no en la dificultad
operatoria.)
e) Problema para dividir en
organizaciones rectangulares: (embaldosados, hojas
cuadriculadas, organizar sillas en filas y columnas etc.)
Para embaldosar un patio rectangular se ocuparon 450 baldosas, ubicadas en 9 filas.
¿Cuántas columnas tiene de ancho el patio?
Este problema plantea a la división como inversa de la multiplicación. Una alternativa es
realizar la división 450:9, o bien podríamos recurrir a sumas repetidas o a la multiplicación para
resolver esta situación por aproximaciones sucesivas.
Así por ejemplo si hay 9 filas en el patio rectangular, los alumnos podrían proceder a
estimaciones aditivas o multiplicativas como estrategia de cálculo, para calcular la cantidad de
columnas:
Cantidad de columnas
Fila 1
20
30
40
50
Fila 2
20
30
40
50
Fila 3
20
30
40
50
Fila 4
20
30
40
50
Fila 5
20
30
40
50
Fila 6
20
30
40
50
Fila 7
20
30
40
50
Fila 8
20
30
40
50
Fila 9
20
30
40
50
9x20
9x30
180
270
9x40
360
9x50
450
Total de baldosas
152
Los invitamos ver el siguiente video del Dr. Adrian Paenza, que resuelve un problema de
organizaciones rectangulares, haciendo uso de los conceptos de números primos y
compuestos. Ideal para un 5° o 6° grado.
Ver video
f) Problema de Iteraciones
1- “En un tablero se coloca una ficha en el número 138 y se retrocede de 5 en 5. ¿Cuál
es el último número en el que se coloca la ficha antes de llegar a cero?
2- Un grillo está parado en el 8,75 de una recta numérica y da saltos de 0,37 para atrás.
a) ¿Cuántos saltos completos puede dar antes de llegar lo más cerca posible del
cero? ¿Por qué?
b) ¿Y si los saltos fueran de 0,62?
3- Hoy es MIÉRCOLES, ¿qué día de la semana será dentro de 1000 días?
Los tres problemas se resuelven con estrategias similares: sumando, restando, multiplicando o
dividiendo. Tengan en cuenta que los números puestos en juego también influyen en la
estrategia que busque el alumno para resolverlos. Podemos resolver el problema n°2, usando
sumas o restas sucesivas, sin necesidad de recurrir a la división. Este problema, es una buena
entrada a la división usando números decimales.
Resolvamos el problema 1:
-5
138
Deberíamos proceder a restar sucesivamente de 5 en 5:
138 -5 =133
133- 5= 128
128 – 5= 123
153
………
Dado que la estrategia es muy larga, podemos optar por restar “grupos de 5”
138 – 50= 88 10x5=50
88 – 50 = 38
10x5=50
38 – 20 = 18
4x5=20
18 – 15= 3
3x5=15
En total hemos formado 27 grupos de 5, o sea restamos 27 veces el número 5. O dicho de otra
forma el 5, “cabe” 27 veces en el 138, y el número más cercano a 0, es 3. ¿Se entendió?
Si usamos a la suma, como estrategia de solución, y formando grupo de 5, tenemos:
5+5+5+…..+5 = 135 y faltan 3 para llegar a 138
27 eveces
27 veces
También por multiplicaciones, nos podemos aproximar. Dejamos la estrategia para que la
resuelvan personalmente y planteen sus inquietudes en el foro de la clase.
Finalmente todo problema de iteración se resuelve de manera económica con una división:
135:5=27 y sobran 3
Reflexión didáctica:
Algunos alumnos podrían optar por resolver la división usando la calculadora.
Cómo podemos resolver este problema usando la calculadora? Qué respuesta nos
brindaría la misma? Qué orientaciones le daríamos a los alumnos para resolver el
problema usando la calculadora, y que obtengan el resto?
154
g) Problemas para analizar la relación: D=dxC+r, r <d
Vamos a tomar como ejemplo una pequeña secuencia de problemas tomada del documento
“División en 5.º y 6.º año de la escuela primaria. Una propuesta para el estudio de las
relaciones entre dividendo, divisor, cociente y resto” cuya lectura sugerimos para
profundizar sobre el tema.
1) Los chicos de sexto están organizando un festival. Tienen 120 sillas para el público.
Si en cada fila colocan 15 sillas, ¿cuántas filas pueden armar?
2) Hay 123 sillas para los actos escolares. Si se colocan en 9 filas, ¿cuántas sillas
tendrá cada fila? ¿Sobran sillas? ¿Cuántas?
3) El piso del aula es rectangular y tiene en total 330 cerámicos. Todos los cerámicos
son cuadrados y están enteros. En cada fila, hay más de 12 y menos de 18 cerámicos.
¿Cuántos cerámicos hay en cada fila? ¿Cuántos en cada columna? ¿Hay una sola
posibilidad? ¿Por qué?
4) a) Escribí una cuenta de dividir que tenga cociente 21 y resto 8.
b) ¿Se pueden escribir otras cuentas con estas condiciones? ¿Cuáles?
c) ¿Cuántas cuentas se pueden escribir? ¿Por qué?
5) Al dividir un número por 24, se obtuvo 15 y un resto de 4. ¿Qué número se dividió?
6) Completá el dividendo y el divisor de esta cuenta. ¿Hay una única posibilidad?
7) Lisandro hizo la cuenta 123 : 9 y obtuvo de cociente 13 y de resto 6. Ahora tiene que
hacer estas otras cuentas de dividir: 124 : 9; 125 : 9; 126 : 9; 127 : 9.
a) ¿Puede Lisandro determinar el resto de esas cuentas sin hacerlas? Si es posible,
explicá cómo puede hacerlo. Si no, explicá por qué no.
b) ¿En cuánto tiene que modificar Lisandro el dividendo de la cuenta que hizo para
obtener cociente 9 y resto 0, manteniendo el mismo divisor?
155
c) ¿Cuántas cuentas puede escribir Lisandro que tengan como divisor 9, como cociente
13 y como resto no necesariamente 0?
8) ¿Cuál o cuáles de los siguientes números de la tabla pueden completar
correctamente esta cuenta?
El estudio de la relación entre D=dxC+r, r<d implica un nivel más profundo de abstracción
matemática. Implica un trabajo puramente matemático. Además introduce a los alumnos en el
concepto de variabilidad, de múltiples soluciones, etc. propios del álgebra, tema que excede a
este curso.
ACTIVIDAD INDIVIDUAL
Le proponemos realizar la resolución de la secuencia de problemas planteada, y
plasmar sus conclusiones en un documento .doc, que luego subirá al foro para
ponerlo a debate del resto de la clase.
156
3.2 Estrategias de cálculo, para resolver divisiones.
Durante la exposición de los problemas que ayudan a que la división cobre sentido para los
alumnos hemos ido al mismo tiempo, mostrando 4 tipos de estrategias que pueden llegar a
surgir en el aula, al momento de plantear un problema:
 Estrategias gráficas
 Estrategias Aditivas
 Estrategias Sustractivas
 Estrategias multiplicativas.
Podemos observar que estas estrategias cobran sentido dentro de un determinado problemas
y pueden o no servir para otro, como podemos apreciar en la siguiente publicación de la
Dirección Provincial de Educación Primaria. Bs As:
Diferentes procedimientos infantiles de resolución de problemas que involucran
la división
Ahora los invitamos a recorrer el siguiente recurso TIC, el cual es muy interesante e ilustrativo
respecto del tema que venimos desarrollando. Adelante:
RECURSO TIC: Aprendiendo a dividir
En este simple objeto interactivo de enseñanza, podemos ver que se propone un método de
división basado en desarrollar estrategias para dividir, descomponiendo la operación en
etapas, empleando cocientes múltiplos de 1000, 100 ó 10, denominado algoritmo desplegado
de Guy Brosseau.
Además le sugerimos visitar las fuentes, sobre el que fue creado; allí encontrará un interesante
artículo elaborado por Andrea Novembre (pág 6) “La división, un problema para alumnos y
docentes”
157
Andrea Novembre. Profesora de Matemática (UBA). Miembro del equipo
de capacitación de Cepa, dependiente del Ministerio de Educación de la
Ciudad de Buenos Aires. Integrante del equipo técnico central de
capacitación del Ministerio de Educación de la Provincia de Buenos Aires.
Autora de varios artículos y libros de texto, entre los que figuran los de
Matemática desde 7º grado a último año de secundario de la editorial Tinta
Fresca.
3.3 Cómo introducir el algoritmo desplegado de la división en el aula?
Introducir el algoritmo desplegado de Brosseau
implica seguir una serie de fases que permitan a los
alumnos ir construyendo la estrategia de cálculo
propiamente dicha.
Para ello nos vamos a guiar de la siguiente
presentación:
Aprendiendo a dividir mediante un algoritmo
desplegado
Note la importancia que tiene para este método de división, el haber trabajado
previamente la multiplicación por la unidad seguida de ceros: x10, x100, x1000, etc.
¿Mostramos las restas, al realizar la división?
Muchos docentes se preguntan si está bien o no dejar que los alumnos, coloquen las restas al
realizar la división. Debemos recordar que los alumnos que recién se inician en estas
estrategias de cálculo (se recomienda su introducción a partir de 3° grado/año), pueden
colocar las restas, al efectuar las operaciones. Seguramente durante la familiarización con la
estrategia de división, comenzarán a realizar la resta “con la cabeza”, y paulatinamente las irán
retirando del algoritmo.
Se espera que entre 5° y 6° grado/año, los alumnos ya dominen el algoritmo tradicional de
división, a partir del algoritmo desplegado presentado. Sin embargo creemos que si existiesen
alumnos que necesiten colocar las restas, lo sigan haciendo, hasta que se sientan seguros y
158
confiados en sus procedimientos. En particular con aquellos alumnos que presenten
dificultades de aprendizaje.
Ejemplo5:
Notemos en esta actividad, en primer lugar como se les muestra a los alumnos 3
procedimientos de resolución, y se los invita a reflexionar en torno a ellos. Una vez más
interesa el resultado, y la estrategia que emplearon. Además en el punto 2, se los invita a
resolver nuevas divisiones empleando algunos de las estrategias presentadas.
Estimar las cifras del cociente
Una estrategia importante a enseñar a los alumnos es la estimación de cifras del cociente.
Esto les permitirá saber de antemano, si van por el camino correcto, y de esa manera evitar
errores. Observemos el siguiente ejemplo6:
5
Los siguientes ejemplos fueron tomados del documento: Proyecto “Propuestas Pedagógicas para alumnos con sobreedad”.
Corresponde a la Tercera Secuencia Matemática: “Operaciones con números naturales” (2º Parte). Autora: Verónica Grimaldi.
Coordinación: Claudia Broitman
159
6
Íbidem
160
En cada una de estas propuestas se incentiva el trabajo por parejas o en grupo, para la
posterior puesta en común de las conclusiones arribadas para toda la clase.
3.4 Gestionando una clase de División
ACTIVIDAD DE ANÁLISIS Y REFLEXIÓN
Los invitamos a ver el siguiente video en el que se desarrolla una “clase de
división”
Ver video
Realice el análisis didáctico de la clase; para ello, puede considerar las
siguientes cuestiones:
 ¿Cuál es su impresión general de la clase?
 ¿De qué modo la docente maneja la diversidad de procedimientos? ¿Los
hace converger hacia los conocimientos a los que apunta? ¿Cómo?
 ¿Qué
modificaciones
pueden
realizarse
para
favorecer
ciertos
procedimientos y bloquear otros?
161
 ¿Se producen intercambios entre los alumnos? Identifique algunos.
 ¿A qué propósito apunta la discusión?
 ¿Cómo se relaciona la multiplicación, la suma y la resta?
ESTA ACTIVIDAD SERÁ MOTIVO DE DEBATE EN EL FORO
Podemos destacar tomando las palabras de Horacio Itzcovich, que la actividad matemática, se
vio signada por:
Actividades ligadas al trabajo matemático:
Explorar para representar, representar para explorar: Probar,
ensayar, abandonar lo hecho y volver a empezar por otro camino,
representar para imaginar una solución o entender una situación, analizar
las distintas formas de representar.
Elaborar conjeturas: Promover que los niños expliciten las ideas que
van elaborando, las respuestas que van encontrando, las relaciones que
van estableciendo… aún cuando no sean del todo claras para ellos. Las
conjeturas que elaboran los alumnos frente a un problema, requerirán
cierto trabajo en el aula para determinar si son verdaderas o son falsas.
Validar las conjeturas y los resultados: Recurrir a los conocimientos
matemáticos para decidir si una afirmación, una relación, un resultado son
o no válidos y bajo qué condiciones.
Generalizar o determinar un dominio de validez: ¿pasará siempre?,
¿servirá para todos los casos?, ¿habrá algún caso donde no se cumpla?
Se trata de analizar el carácter más general de ciertas ideas, llegando en
algunas ocasiones a establecer relaciones válidas para cualquier caso, y
en otras, a establecer los límites en la posibilidad de generalizar dichas
relaciones.
162
3.4.1 Cuál debería ser el rol del docente en estas clases?
ROL DEL DOCENTE












Posee intencionalidad didáctica, en el sentido que sabe qué
–cómo y para qué enseña.
Selecciona las actividades/problemas.
Anticipa estrategias y elige cuáles difundir…propone otras.
Pone nombre a los nuevos conocimientos.
Escribe lo que los alumnos deben retener.
Organiza la reutilización o reinversión de estrategias de
resolución.
Vuelve a enseñar si algo no se aprendió, utiliza diferentes
marcos, otros números, en diversos contextos y sentidos de
un concepto.
Exige qué se debe memorizar.
Muestra los avances y los cambios.
Decide en qué momentos de la clase se usa la calculadora.
Decide cuando la tarea es individual, en parejas o colectiva.
Gestiona el trabajo colectivo o puesta en común.
La importancia de la intervención
docente en la clase:
“Se puede
hacer de otro
modo?”
“Es válida esta
forma de
hacerlo”
“ Por qué
funciona?....por
qué no?”
“Esta estrategia
sirve con otros
números?....dará
siempre ?”
“Se podría
también hacer
así?”
“Por qué no da
lo mismo si la
hacemos así?”
“Esta otra
forma da así
por
casualidad?”
“Hay algún
caso en el que
no dé?”
El docente provoca la reflexión, incentiva, motiva, pregunta, confronta ideas.
163
3.4.2 Trabajo matemático de los alumnos en el aula
A continuación los invitamos a disfrutar, a manera de ejemplo ilustrativo, del trabajo llevado a
cabo por alumnos de 5° y 6° en una escuela de Tucumán.
Link a la presentación: http://prezi.com/zr6e-awubqsn/trabajo-matematico-de-alumnos
3.5 La enseñanza de la división a los largo de toda la escolaridad
primaria
En el documento ORIENTACIONES DIDÁCTICAS PARA LA ENSEÑANZA DE LA DIVISIÓN EN LOS TRES
CICLOS DE LA EGB (el cual recomendamos leer y tener a mano) se realiza una sugerencia de
secuenciación del contenido “división” a lo largo de toda la escolaridad. En él se sugiere
trabajar por ciclo los siguientes aspectos de la división:
164
3.5 La enseñanza de la división a los largo de toda la escolaridad primaria |
Cómo podemos llegar a distribuir este campo de problemas a través de toda la
escolaridad?
En 1º y 2º año/grado los alumnos pueden resolver problemas por medio de diferentes
estrategias (dibujar, contar, sumar o restar). Principalmente problemas para partir y repartir.
Además es importante que puedan calcular el dobles y mitades, empleando estrategias de
descomposición aditiva.
Por ej: Martina quiere repartir 48 hojas de carpeta entre ella y su hermana en partes iguales.
¿Cuántas le tocarán a cada una?
Si 48= 40+8
y como la mitad de 40, es 20
y la mitad de 8 es 4,  entonces a cada una le corresponden 24 hojas
De la misma forma se puede enseñar a calcular dobles.
En 3º y 4º año/grado, el docente podrá proponer problemas de reparto y partición que
impliquen analizar qué sucede con el resto.
Además en estos grados, simultáneamente a trabajar una diversidad de problemas, es posible
abordar algunas relaciones entre multiplicación y división. Por ejemplo: “Si se usa que 5 x 7 =
35, ¿cuánto será 35 : 5? ¿Y 35 : 7?”. También será interesante presentar cálculos mentales
antes de conocer los algoritmos:
| 3.5 La enseñanza de la división a los largo de toda la escolaridad primaria
165
1000: 2=
5000:5=
500:2=
2000: 4=
Entre 4º y 6º año/grado los alumnos pueden conocer y estudiar diferentes tipos de problemas
que amplían el sentido de la división a nuevos problemas, por ejemplo los problemas que
implican averiguar cuántas veces entra un número dentro de otro (problema de iteraciones) y
problemas de proporcionalidad
En el 2º ciclo se profundiza el estudio de estrategias de cálculo mental y las relaciones entre la
división y la multiplicación, por ejemplo:
“A partir del resultado de esta división 2400 : 30 = 80, resolvé los siguientes cálculos:
80 x 30 =
1.200: 30 =
1.200: 40 =
El estudio de las propiedades de las operaciones entre 5º y 6º grado permitirá incluso avanzar
hacia la anticipación de resultados sin hacer cálculos.
Por ejemplo:
1) “¿Dará lo mismo 144 : 12 que 144: 4 : 3? ¿Y que 144: 6 : 2?”.
2) “A partir del cálculo 13200: 3= 4400, ¿cuánto será el resultado de 13200: 6? ¿Y 13200:
12?”.
En 6º año/grado se espera, a su vez, que se inicien en el estudio de los criterios de
divisibilidad y en el uso de conceptos de múltiplos y divisores para resolver una amplia gama
de problemas que involucran también la división.
Por ejemplo:
166
“¿Será cierto que si un número termina en 3 es múltiplo de 3?”. “¿Será cierto que si divido a un
número por 12 y su resto es 0, si lo divido por 6 también el resto será 0?”
Es importante vincular estos conceptos con los problemas antes mencionados (de iteración),
por ejemplo: “Si estoy en el número 136 y doy saltos para atrás de 3 en 3, ¿llegaré justo al 0?”.
En 5º y 6º año/grado es importante también que los alumnos se enfrenten a la resolución de
problemas que les permitan “dar una vuelta de tuerca” sobre la división, analizando, con más
profundidad las relaciones entre dividendo, divisor, cociente y resto.
Hemos planteado algunos aspectos de un recorrido –excesivamente sintético e
incompleto– para enfatizar el largo plazo en el estudio de este concepto y mostrar la
diversidad de aspectos que compromete. Saber dividir implica reconocer a la división
como herramienta de resolución en las mencionadas clases de problemas y dominar
cada vez más variadas estrategias de cálculo mental, estimativo, algorítmico y con
calculadora.
Podemos detenernos ahora a reflexionar, sobre el grado en el que estamos enseñando y
el tipo de problemas que estamos brindando a los niños. Estamos enseñando división?
o solo nos preocupa que aplique algún tipo de método, de manera repetitiva y
mecánica?
Algunas reflexiones a tener en cuenta:
•
“La enseñanza de la división puede iniciarse desde primer año de la EGB.”
•
“Los problemas de división pueden ser resueltos por una variedad de procedimientos y
operaciones.”
•
“La división es una operación que permite resolver una gran variedad de problemas.”
•
“El dominio del algoritmo no garantiza reconocer sus ocasiones de empleo en distintos
tipos de problemas.”
| 3.5 La enseñanza de la división a los largo de toda la escolaridad primaria
167
•
“El algoritmo es solamente un recurso de cálculo – y no necesariamente el principal –
que los niños deben aprender en la EGB.”
•
“El estudio de la división es de tal complejidad que exige muchos años de la
escolaridad. Su enseñanza abarca también el tercer ciclo.”
RECURSOS TIC PARA EL AULA:
A continuación presentaremos una serie de recursos TIC que podrán utilizar
con sus alumnos para propiciar estrategias de cálculo mental, algorítmico,
estimativo y con calculadora:
Cálculos mentales: Multiplicación y división por 10, 100, 1.000. Multiplicación
por números "redondos" Más cálculos a partir de uno conocido. Estimación de
productos. Estimación de cocientes.
Actividades que emplean las cuatro operaciones
Cálculos mentales 2 División por 10, 100 y 1.000
Calculo Mental 3: Multiplicación y División
Algoritmos no convencionales de división
DIVISIÓN POR DESCOMPOSICIÓN DEL DIVIDENDO EN MÚLTIPLOS DEL
DIVISOR.
¿Usamos la calculadora?
Luego de que jueguen y aprendan, podrán compartir las estrategias utilizadas
para resolver y enfrentar cada situación, los caminos más largos, los más
cortos, los aciertos y errores encontrados.
Recuerden “marcar” los recursos para poder tenerlos a mano cuando los
necesiten.
168
ACTIVIDAD DE PRODUCCIÓN II
Para cerrar parcialmente este tema, les vamos a solicitar que individualmente o en
grupos (pueden ser los conformados en la Unidad II, al trabajar en GoogleDoc),
realicen una selección de problemas de división, para un determinado grado/año.
Para ello deben indicar el grado/año y seleccionar un problema correspondiente a
cada sentido de la división analizado, tomando los ejemplos de libros escolares, o de
materiales que Ud/s utilicen habitualmente en sus clases. Además deberán anticipar
las posibles respuestas o estrategias de resolución que puedan llegar a brindar los
alumnos del curso seleccionado.
Van a enviar el trabajo al tutor en un presentador de dispositivas, por ejemplo Power
Point, por el correo interno del aula para su corrección y devolución, indicando los
integrantes del grupo y la bibliografía utilizada.
Como lecturas optativas y sugerencias de actividades para sus alumnos les dejamos:
ORIENTACIONES DIDÁCTICAS PARA LA ENSEÑANZA DE LA DIVISIÓN EN LOS
TRES CICLOS DE LA EGB
Parte)
Parte)
Material para el Alumno Multiplicar y Dividir. Colección Piedra Libre. Múltiples
Problemas
Material para el Alumno Multiplicar y Dividir. Colección Piedra Libre. Relaciones
Múltiples
Material para el Alumno Multiplicar y Dividir. Colección Piedra Libre. Parte
Comparte Reparte | 3.5 La enseñanza de la división a los largo de toda la escolaridad primaria
Generador online de fichas con operaciones, para imprimir
169
4. Publicación de materiales de enseñanza.
A lo largo de esta unidad, hemos desarrollado dos grandes
actividades. Las referidas a la selección, organización y
secuenciación de problemas y actividades de multiplicación y
división, en las que incluimos las posibles estrategias de
solución que pueden llegar a emplear nuestros alumnos.
Ambas actividades se solicitaron que fueran creadas en un
presentador de diapositivas como puede ser Power Point.
Ahora vamos a publicarlas online, para poder compartirlas
con nuestros colegas y la comunidad virtual que esté
interesada en nuestro trabajo.
Existen múltiples maneras de publicar material en la web, que además nos podrían llegar a
servir para compartir material con nuestros propios alumnos.
Nosotros publicaremos nuestras presentaciones en SlidesShare.
Slideshare es el servicio más popular para publicar presentaciones de diapositivas
online. Tiene una opción para mostrar videos durante las diapositivas (reemplazar una
diapositiva por un video), y una enorme posibilidad de interconexiones cruzadas con
otras redes sociales como LinkedIn, Facebook y lógicamente opciones para socializar
dentro del mismo servicio de Slideshare. Se presenta como la opción rápida para
asegurar una visión de contenidos en diapositivas con la posibilidad de insertarlas en
cualquier sitio, blog o red que soporte embeber mediante códigos html. Pablo
Bongiovanni7
Para aquellos interesados en conocer otras herramientas de publicación en línea pueden
visitar la selección realizada por el portal Educar: Publicar en Internet
7
10 herramientas de la nube imprescindibles para la formación. Artículo completo
http://www.learningreview.com/cloud-computing-en-la-formacion/3489-10-herramientas-de-la-nubeimprescindibles-para-la-formacion
170
4. Publicación de materiales de enseñanza. |
en:
ACTIVIDAD TIC
1° Crearemos una cuenta en SlidesShare
2° Subiremos nuestras dos presentaciones de diapositivas, con las actividades sobre
multiplicación y división. Recuerden completar todos los campos.
3° Vamos a “pegar” los links de las presentaciones en el foro “Mis Presentaciones
OnLine” abierto en la clase. De esta forma el resto de nuestros compañeros conocerán
nuestros trabajos.
Aquellos que lo deseen y sean más aventureros, podrán pegar el código html (que
proporciona SlidesShare para cada presentación) en el mensaje del foro, para visualizar
directamente la presentación.
4° Los trabajos que nos gusten, podremos “marcarlos” en Delicious o en Scoop.it
6° Recuerden también compartir sus link, en nuestro círculo privado de Google+
Para finalizar esta unidad queremos compartir algunas ideas, que otros al igual que Uds.
se animaron a compartir. ¡¡¡Espero que las disfruten!!!
8 GRANDES CONSEJOS para innovar en las aulas
| 4. Publicación de materiales de enseñanza.
171
Autoevaluación
1. ¿Qué significa que el sentido de un contenido se construye tanto a nivel interno como
externo?
2. Qué clase de problemas debemos brindar a un alumno para que reconozca a la
multiplicación como herramienta de solución al problema?
3. A qué se denominan situaciones de Acción – Formulación/Validación – Institucionalización?
4. Resuelva la siguiente situación problemática:
“En Argentina se utiliza para el patentamiento de los automóviles, un sistema de códigos
que emplea 3 letras y 3 números (ABC123). Calcular la cantidad de autos patentados que
permitiría este sistema.”
5. Resuelva la multiplicación 124 x 12, por lo menos de 3 formas distintas.
6. Cuáles son los tipos de problemas de división por los que debe atravesar un alumno a lo
largo de su escolaridad, para ayudar a construir su sentido?
7. Cuáles son las posibles estrategias de cálculo que puede emplear, para resolver un
problema, antes de reconocer a la división como herramienta de solución a la situación
planteada?
8. Resuelva la siguiente división, 3745:24, de 3 formas distintas.
9. Según Horacio Itzcovich cuáles son las principales actividades ligadas al trabajo
matemático.
172
Autoevaluación |
1. Un contenido se construye a nivel externo, cuando se lo reconoce como herramienta de
solución al problema; a nivel interno cuando se reconoce cómo funciona esa herramienta y por
qué. De esta manera el alumno debe ser capaz, por ejemplo, de reconocer en qué casos
usará la división para resolver un problema y además emplear una estrategia para dividir de
manera correcta.
2. Los tipos de problema multiplicativos por los que debe atravesar un alumno son:
- problemas de proporcionalidad.
- problemas de organizaciones rectangulares.
- problemas de combinatoria.
3. Durante la gestión de la clase, se pueden reconocer las siguientes fases o momentos.

De acción: donde se presenta la situación problema, y el alumno (solo o en pequeños
grupos) busca un procedimiento de resolución

De formulación – validación: a cargo de los estudiantes, estos formulan, confrontan
las estrategias y las resoluciones encontradas,
los procedimientos y estrategias se
exponen ante todos, se ponen a prueba, se validan, se debate y argumenta sobre ellos:
su pertinencia, economía, etc.

De institucionalización: a cargo del docente ya que es quién deberá dejar en claro
qué aprendieron y qué nueva herramienta poseen o podrán comenzar a utilizar. Es el
encargado de brindar una síntesis y de poner en juego el lenguaje convencional. En
este caso el uso de los signo x , =
4. Solución al problema de las patentes: 17576000 autos patentados.
5. 124 x 12, puede resolverse como:
124 x 10 + 124x2= 1240 + 248= 1488
124 x 2 x 2 x 3= 1488
100 x12 +20x12 + 4x12= 1200+240+48= 1488
6. Los problemas que ayudan a construir el sentido de la división son:
a) Problemas para Partir y Repartir:
| Autoevaluación
173
b) Problemas para analizar el resto o “lo que sobra”
c) Problemas donde la solución no está en el cociente
d) Problemas para dividir en problemas de proporcionalidad
e) Problema para dividir en
organizaciones rectangulares: (embaldosados, hojas
cuadriculadas, organizar sillas en filas y columnas etc.)
f) Problema de Iteraciones
g) Problemas para analizar la relación: D=dxC+r, r <d
7. Los alumnos antes de comenzar a reconocer a la división como herramietna de solución a
un problema pueden emplear:
 Estrategias gráficas
 Estrategias Aditivas
 Estrategias Sustractivas
 Estrategias multiplicativas.
8. Entre las posibles estrategias de resolución de la división pueden aparecer, las siguientes:
9. Como síntesis de actividades ligadas al trabajo matemático, podemos mencionar:
-
Explorar para representar, representar para explorar
-
Elaborar conjeturas
-
Validar conjeturas y resultados
-
Generalizar o determinar un dominio de validez
174
Autoevaluación |
5
5
UNIDAD 5
Diseño de secuencias
didácticas, incorporando
recursos TIC
Introducción
A lo largo de este curso de formación, fuimos conociendo y familiarizándonos
diferentes tipos de “herramientas tecnológicas” para poder crear, editar
con
y compartir
contenidos.
Google +, es una red social, que nos permite, dar
a conocer nuestras ideas,
compartir enlaces,
crear círculos, realizar video chats con nuestros
amigos o colegas, entre otras cosas. Similar,
aunque no tan popular como Facebook, u otras.
GoogleDoc, principalmente nos permite crear un
documento office
y editarlo en línea con otras
personas, además nos proporciona un link para
incrustarlo en un blog o distribuirlo por correo electrónico y poder de esa manera realizar la
visualización o descarga de archivo (documento) creado
Delicious o Scoop.it, son marcadores sociales que nos permiten tener a mano todas
nuestras páginas web favoritas, disponibles en cualquier lugar donde tengamos una pc o
teléfono, con conexión a internet.
SlidesShare, nos permite la publicación en línea de nuestros trabajos: documentos,
actividades, presentaciones, etc. También nos ofrece un link para poder compartir el trabajo
con colegas, alumnos y padres o insertarlo en un mail o en blog de nuestra aula.
Estas herramientas tecnológicas1 se denominan “Herramientas 2.0” ya que se
encuentran disponibles en internet, requieren la creación de un usuario para crear y
compartir contenidos en línea, y también conexión a internet para usarlas.
1
Herramientas para el aula: clasificación
| UNIDAD 5
175
Por otro lado conocimos, aprendimos y disfrutamos de diferentes recursos TIC u objetos
de aprendizaje para poder
llevar a nuestras aulas y brindarles a nuestros alumnos
propuestas de actividades interactivas y motivadoras del aprendizaje.
Estos objetos de aprendizaje fueron elaborados en base a “Programas de uso libre”
como por ejemplo: HotPotatoes, Jclic, Edilim, Exelearnig y objetos flash (la programación
flash requiere de algunos conocimientos avanzados en lenguaje computacional, pero no es
tan difícil como parece)
La siguiente imagen sintetiza estos dos aspectos de una manera clara:
Tomada de http://infoenlaeducacion.blogspot.com.ar/2011/10/algunas-herramientas-imprescindibles.html#!/2011/10/algunasherramientas-imprescindibles.html
Lógicamente estas son algunas de las herramientas que vimos en el curso. Uds.
navegando en la web podrán encontrar muchas otras, como lo hizo Eduardo en su Blog.
En esta unidad, los invitamos a crear, organizar y diseñar sus propias secuencias
didácticas incorporando los recursos TIC disponibles en internet.
Será nuestro desafío como docentes lograr, en nuestros alumnos,
aprendizajes con sentido y significativos respecto de los contenidos,
mediante la creación de estos objetos de aprendizaje interactivos,
coincidiendo con el enfoque que señala que aprender matemática
176
Introducción |
significa construir el sentido de los conocimientos; es decir, que el
alumno entienda qué tipos de problemas puede resolver y cuáles no
usando un determinado conocimiento.
Esquema conceptual de la Unidad V
Objetivos

Analizar y reflexionar sobre el impacto de las nuevas tecnologías de la información y la
comunicación en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la matemática, basado en
la resolución de problemas.

Conocer las principales influencias y aplicaciones que tienen las TIC en la enseñanza
de la matemática en la actualidad.

Crear, diseñar, publicar y distribuir secuencias didácticas en las que se incluyan
objetos de aprendizaje interactivos, para el área de matemática.
Contenidos
1. Es posible integrar las TIC dentro un modelo constructivista de la enseñanza de la
matemática?
2. Influencia de las TIC en la enseñanza de la matemática
3. El rol del docente ante las TIC
| Esquema conceptual de la Unidad V
177
4. Tipos de actividades matemáticas para el uso de las TIC
5. Diseño de secuencias didácticas implementando las TIC
5.1 Ejemplos de Secuencias didácticas incorporando las TIC
Síntesis
En esta unidad abordaremos algunas ideas sobre la aplicación de las TIC
en el aula de matemática.
Conoceremos las principales características que deberán tener los objetos
interactivos de aprendizaje, para un enfoque constructivista de la
enseñanza de la matemática, basado en el enfoque de resolución de
problemas. Finalmente crearemos algunas secuencias didácticas utilizando
objetos de aprendizaje o recursos disponibles en internet.
1. Es posible integrar las TIC dentro un modelo constructivista de
la enseñanza de la matemática?
Sin lugar a dudas, la educación argentina se
ve signada por grandes cambios, en sus
modelos de enseñanza propiciados por la
incorporación masiva de las computadoras
en el aula, impulsadas por programas
nacionales de inclusión y alfabetización
digital, en nuestro caso principalmente por el
programa Conectar Igualdad.
Como docentes no podemos desconocer esta situación, ni pensar que es solo “una moda
pasajera”, por el contrario debemos recibir la iniciativa motivados y preparados para este
momento histórico y trascendente de la educación argentina, aceptando el desafío.
178
matemática? |
Los invitamos a desarrollar la siguiente actividad:
Ideas previas sobre la tecnología
Podrán confeccionar su propio mapa mental usando
https://bubbl.us
(creador de
mapas conceptuales en línea) o con cualquier otro programa de creación de mapas
conceptuales que deseen, por ejemplo Cmap (éste deberán bajarlo e instalarlo en sus
computadoras, previamente).
Deberán guardar el mapa conceptual en formato de imagen (JPG o PNG) para
compartirlo en el foro “Ideas previas sobre las TIC”
ESTA ACTIVIDAD SERÁ MOTIVO DE DEBATE EN EL FORO DE LA CLASE
El modelo constructivista de enseñanza de la matemática (muy sintéticamente), implica
poner al alumno en situación de aprendizaje, en el que a través de un problema, y
poniendo en juego sus ideas previas, pueda arribar a una solución, mediante una estrategia
de cálculo convencional o no, guiado por el docente.
No vamos a entrar en este curso a analizar las principales corrientes constructivistas, pero
podemos decir que:
Existen, como todo maestro sabe, dos estrategias pedagógicas de orden general. El
método didáctico se asocia con la transferencia de información del docente al
alumno, siendo la función del educador enseñar hechos y conceptos de un modo
estructurado y relativamente fijo. El método constructivista, en cambio, desplaza
el énfasis de la enseñanza hacia el aprendizaje, procurando que el alumno
construya los conceptos, descubra los hechos y se apropie de los datos por sí
mismo.
No vamos a debatir aquí las implicancias de una y otra estrategia, pero sí nos
interesa analizar la relación de ambas con las nuevas tecnologías.
| 1. Es posible integrar las TIC dentro un modelo constructivista de la enseñanza de la matemática?
179
Existe una difundida creencia en la complementación perfecta entre el uso educativo
de la computadora y el método constructivista. La computadora es promocionada
como un instrumento ideal para fomentar la construcción autónoma de
conocimiento, al punto de sostenerse que cualquier aplicación informática con fines
educativos representa una instancia constructivista.
Pero antes de analizar si este es el caso, repasemos brevemente los axiomas
básicos de esta teoría. Según el constructivismo...

El alumno aprende cuando se enfrenta a un desequilibrio cognitivo y lo
resuelve. La tarea del maestro es la de interrumpir la inercia que lleva a los
estudiantes a repetir los patrones adquiridos lo más que sea posible (a
mantener el estado de "acomodación"), y provocar un conflicto cognitivo
controlado (para que la dificultad no supere sus posibilidades) sirviendo de
apoyo en su resolución.

La interacción social entre pares y con el maestro deviene en procesos
mentales individuales y en desarrollo cognitivo, ya que este está
estrechamente relacionado con el desarrollo social y emocional.

Las actividades a ejecutar por el alumno deben estar contextualizadas
culturalmente, es decir, deben ser intrínsecamente significativas para que el
estudiante perciba su sentido y se sienta motivado hacia el aprendizaje.
Con estos elementos en mente, es fácil ver que la inmensa mayoría de
las
aplicaciones
comerciales
informáticas
como
muchas
llamadas
"educativas"
producidas
por
-tanto
las
educadores
independientes– no responden al paradigma constructivista. Método
didáctico y método constructivista con TIC. Portal Educar.
ACTIVIDAD INDIVIDUAL
El párrafo citado, asevera que:
“…es fácil ver que la inmensa mayoría de las aplicaciones informáticas
llamadas "educativas" -tanto las comerciales como muchas producidas por
educadores independientes– no responden al paradigma constructivista”
Está de acuerdo con esta frase? Cree Ud. que los recursos TIC propuestos a lo largo
de este curso, responden al enfoque constructivista?
180
matemática? |
2. Influencia de las TIC en la enseñanza de la matemática
En el artículo La inserción de las tecnologías ¿puede cambiar las prácticas
matemáticas actuales? elaborado por Irma Saiz y Nelci Noemí Acuña, se hace mención a
la introducción paulatina de diferentes recursos tecnológicos a los largo de la historia, y el
impacto que fueron teniendo en el aula, entre ellos podemos citar:
-
Los ábacos
-
Las calculadoras de bolsillo
-
Las calculadoras gráficas
-
Las computadoras
-
Los dispositivos móviles, con sus tantas aplicaciones libres para descargar2.
Todos estos recursos tienden, en mayor o menor medida, a facilitar las tareas de cálculo o
modelización matemática, pero principalmente tienen impacto en otras áreas como ser la
economía, física, la ingeniería, etc.
Se imagina a un ingeniero químico en la actualidad, buscando su “tabla de
logaritmos” para poder calcular el crecimiento exponencial de una determinada
bacteria?
Tampoco podemos caer en la tentación de creer que las TIC son la panacea de la
enseñanza, y que su simple incorporación hará que los alumnos aprendan. De lo que si
estamos seguros es de que debemos buscar las condiciones más adecuadas para que con
la ayuda de ciertas tecnologías los alumnos construyan aprendizajes con sentidos.
“…si bien la calculadora se ha constituido en un elemento habitual en el aula, esto
no implica un uso compulsivo de la misma; al docente le corresponde promover o no
su utilización de acuerdo al objetivo de su tarea. Por ejemplo, en las clases
dedicadas a la construcción y análisis de algoritmos básicos, puede postergarse el
uso de la calculadora, en tanto que en las clases de resolución de problemas puede
permitirse sin inconvenientes, para liberar tiempos que los alumnos/as podrán
dedicar al razonamiento, a la búsqueda de distintos caminos de solución, a la
confrontación de estos con los de sus pares y a la resolución de una mayor
diversidad de problemas”. CBC
2
Aplicaciones móviles made in Argentina http://www.lanacion.com.ar/1497802-aplicaciones-movilesmade-in-argentina
| 2. Influencia de las TIC en la enseñanza de la matemática
181
A estas alturas del curso es conveniente volver a echarle un vistazo a la presentación: La
Calculadora, cuyas reflexiones nos animamos a extrapolar a la computadora, y a los
objetos interactivos de aprendizaje que hemos recomendado.
3. El rol del docente ante las TIC
Surgen de esta manera nuevas competencias de los docentes, que permitan potenciar el
aprendizaje de los contenidos matemáticos, a través de un uso reflexivo de las TIC,
recordando que son estas últimas las que tienen que estar al servicio de la enseñanza
y el aprendizaje, de acuerdo al contenido que queremos enseñar.
Tomado de Vizcaíno, Adriana Aritmética. - 1a ed. - Buenos Aires : Ministerio de Educación de la Nación, 2011.
Tomado de http://lizz4.blogspot.es/
182
3. El rol del docente ante las TIC |
Actividad de Reflexión
Video
Entrevista a David Perkins
Educar para lo conocido o educar para lo desconocido?
Actividad de Análisis
Les proponemos ver el siguiente video producido por Vera Rex, dentro de una
videoconferencia sobre Innovación y formación docente, para la Universidad
Nacional de Honduras, UNAH
Ver video conferencia
-
En cuál de las 4 fases que menciona Vera Rex estamos como docentes?
-
En cuál de las 4 fases están nuestras instituciones?
-
Qué entendemos por innovar?
-
Cómo podemos innovar en las aulas usando las TIC?
Esta actividad será motivo de reflexión en el foro de la clase.
Lecturas Optativas:
Los profesores y maestros frente a la alfabetización tecnológica
Uso de las Tic en la enseñanza de la Matemática
| 3. El rol del docente ante las TIC
183
4. Tipos de actividades matemáticas para el uso de las TIC
Adriana Vizcaíno en su libro Aritmética Serie para la enseñanza en un Modelo 1 a 13,
recomienda ciertas de actividades para desarrollar en el aula usando las TIC.
Las estrategias constituyen formas con las
que el sujeto cuenta para controlar los
procesos de aprendizaje. Deben ayudar al
estudiante a adquirir el conocimiento
con mayor facilidad, a retenerlo y a
recuperarlo en el momento oportuno.
Algunas recomendaciones para trabajar en
el aula:

Actividades de juego. Proponer situaciones que promuevan la cooperación
entre los alumnos, la aceptación del error, la descentración del propio punto
de vista, la capacidad de escuchar al otro, la responsabilidad personal y
grupal.

Actividades de resolución de situaciones problemáticas. Ofrecer a los
alumnos las experiencias necesarias que les permitan comprender la
modelización como un aspecto fundamental de la actividad matemática.

Actividades de frases incompletas y de verdadero o falso. Proponer
secuencias didácticas que permitan tratar con lo general brindando la
oportunidad de explorar relaciones, conjeturar acerca de la validez o no de
propiedades, entrar en prácticas de argumentación basadas en conocimiento
matemático, acercándose a la demostración deductiva.

Actividades de acertijos o sorpresas numéricas. Estimular a los alumnos
con propuestas que los motiven y que incentiven su interés por aprender.

Actividades con vínculos e hipertextos. Propiciar la adquisición de
estrategias que, además de favorecer y facilitar el aprendizaje, permitan
estructurar la información desde aspectos que el desarrollo tecnológico pone
al servicio del usuario, como por ejemplo el acceso a fuentes de información
(diccionarios, enciclopedias, etcétera).
3
Vizcaíno, Adriana Aritmética. - 1a ed. - Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación, 2011.
184
4. Tipos de actividades matemáticas para el uso de las TIC |
Teniendo en cuenta estas sugerencias, y el modelo propuesto para la enseñanza de la
matemática desarrollado en este curso, estamos en condiciones de diseñar nuestras
propias secuencias didácticas.
5. Diseño de secuencias didácticas implementando las TIC
¿Qué es una secuencia didáctica?
“Las secuencias didácticas desarrollan un contenido específico. Incluyen varios tipos
de problemas vinculados a él y contemplan diferentes grados de dificultad. Para
decidir el orden de los problemas es imprescindible anticipar qué se espera que
aprendan los alumnos con cada uno de ellos, qué aporta cada problema a los
anteriores, qué nuevas relaciones se ponen en juego, etc. Una secuencia también
debería prever instancias de sistematización que permita a los niños analizar el
trabajo y afianzar algunos conocimientos. Esto implica un espacio para que los
alumnos estabilicen los conceptos aprendidos y se familiaricen con ellos,
enfrentados a ejercicios en los que reutilicen los conceptos, técnicas y estrategias
ya aprendidos.”4 Paola Tarasow (2009)
Crear una secuencia didáctica incorporando recursos TIC, es una tarea sencilla cuándo
sabemos qué es lo que deseamos lograr en nuestras aulas, con nuestros alumnos.
Jordi Adell, nos recuerda y advierte que si bien las TIC
son contenidos a enseñar, no es lo más importante, no
es nuestra función “enseñar TIC”, sino que debemos
considerarlas herramientas didácticas, tratando de
evitar hacer lo que hacíamos antes pero ahora con las
nuevas herramientas. Ver video
Tampoco queremos que las TIC se conviertan en Enseñanza Programada, como lo intento
en algún momento del famoso psicólogo conductista Burrhus Frederic Skinner (1904 1990).
Ver Video
4
Paola Tarasow. La tarea de planificar. Enseñar Matemática en la escuela primaria. Serie Respuestas. Susana
Wolman y otros. Buenos Aires. Tinta Fresca. 2009
| 5. Diseño de secuencias didácticas implementando las TIC
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Intentamos lograr que los alumnos hagan cosas diferentes a las que hacían antes. No
tiene sentido repetir viejas fórmulas, pero ahora bajo el pretexto de las TIC. Así por
ejemplo, no tiene sentido seguir usando las mismas actividades tradicionales, pero
ahora digitalizadas y compartidas en un blog.
La pregunta que debe motivarnos al trabajar con las TIC en el aula es5:
¿Cómo aprender más y mejor con tecnología? Aprender CON tecnología.
Siguiendo las sugerencias de Manuel Area Moreira, al momento de planificar nuestras
actividades usando las TIC debemos:
1. Entrar en Internet y buscar webs educativas.
2. Elaborar una ficha (o usar marcadores sociales) con direcciones web educativas
de interés.
3. Seleccionar una o varias actividades disponibles en Internet para ser realizadas
por el alumnado.
4. Planificar y organizar la realización de la actividad.
5. Valorar los aspectos positivos y negativos después de la realización de la
experiencia.
Muchas de estas acciones ya las hemos venido realizando a lo largo de nuestro curso, ya
que tenemos “marcados” muchos recursos TIC para implementar en nuestras aulas.
Nos vamos a detener en el punto 4). con respecto a la Planificación de la actividad. Area
Moreira plantea una serie de preguntas que nos ayudarán en la planificación:
1. ¿Qué espero que aprendan los alumnos con la misma?
2. ¿Qué relación tiene esta actividad con los contenidos y objetivos que estoy
trabajando actualmente en clase?
3. ¿En función de qué criterio/s evaluaré el desarrollo de la actividad?
Debemos recordar nuevamente que nuestra intensión no es la enseñanza del recurso, sino
saber de antemano por qué, cuándo y cómo incorporarlo en la clase:
1. lugar dónde se realizará la actividad (la sala o aula de informática, la clase habitual,
la biblioteca,...)
5
Jordi Vivanco. La competencia Digital. ALIANZA EDITORIAL, 2008
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5. Diseño de secuencias didácticas implementando las TIC |
2. el modo de agrupamiento de los alumnos ante las computadoras (es decir, cuántos
alumnos estarán delante de cada ordenador)
3. los pasos o proceso de utilización de los mismos (es decir, qué tareas tienen que
realizar)
5.1 Ejemplos de Secuencias didácticas incorporando las TIC
A continuación vamos a mostrar y analizar dos secuencias didácticas que incorporan las
TIC, tomadas del Portal Conectar Igualdad.
Secuencia 1: Sistema de numeración
En esta secuencia se puede observar que se utiliza un video para introducir el tema, que
luego desarrollarán los alumnos. Al final se encuentran una serie de enlaces para
profundizar en el contenido.
Secuencia 2: Operaciones con números naturales
En esta secuencia se puede observa que durante el desarrollo de la actividad, los alumnos
pueden ampliar su conocimiento sobre las propiedades de las operaciones visitando
algunos link externos. Finalmente se proponen una serie de páginas web para ampliar y
profundizar en el tema.
| 5. Diseño de secuencias didácticas implementando las TIC
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Actividad de Producción Individual – Trabajo Final Integrador
Elaboración de una secuencia didáctica incorporando objetos de aprendizaje interactivos
online.
Les proponemos elaborar su propia secuencia didáctica incorporando recursos TIC.
La secuencia didáctica deberá contener:
1. Breve introducción o fundamentación de la propuesta
2. Año o grado para la que está destinada.
3. Objetivos específicos
4. Contenidos
5. Actividades
-
Actividades de desarrollo del tema
-
Actividades de cierre
(Dentro de estas actividades se debe incluir algún objeto de aprendizaje disponible
en internet –se pueden usar, los propuestos en las anteriores unidades del curso- u
otros que estimen convenientes)
6. Enlaces:
-
de interés
-
para seguir profundizando sobre el tema
-
para seguir practicando
7. Bibliografía o link consultados.
Deberán elaborar la secuencia en algún procesador de texto (Word), en formato .doc y
enviarla al tutor por el correo interno del aula. Una vez que la misma esté aprobada
podrán subirla a SlideShare y compartirla en el foro “Mis secuencias Didácticas”.
Jordi Adell nos comparte un último mensaje “para llevar”
Ver video
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Actividad de Producción Individual – Trabajo Final Integrador |
Autoevaluación
1.
Considera que la simple incorporación de las TIC en el aula fomentan el modelo
constructivista de aprendizaje?
2. ¿Cuál debe ser el rol del docente frente a la incorporación de las TIC en el aula?
3. Mencione los principales tipos de actividades matemáticas que se pueden desarrollar
empleando las TIC.
4. ¿Cuál es el lugar de las TIC dentro de la programación áulica?
| Autoevaluación
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Claves de Corrección
1. Consideramos que ninguna incorporación tecnológica en las escuelas por si sola
posibilitan el modelo constructivista de enseña. Debemos buscar las condiciones más
adecuadas para que con la ayuda de ciertas tecnologías los alumnos construyan
aprendizajes con sentidos. Recordando que son las TIC ,las que tienen que estar al
servicio de la enseñanza y el aprendizaje, de acuerdo al contenido que queremos enseñar.
2. El rol del docente frente a las TIC debe ser de:
-
impulsor
-
conductor
-
cuestionador
-
usuario activo
3. Entre las principales actividades matemáticas usando las TIC se debe proponer:

Actividades de juego.

Actividades de resolución de situaciones problemáticas.

Actividades de frases incompletas y de verdadero o falso.

Actividades de acertijos o sorpresas numéricas.

Actividades con vínculos e hipertextos.
4. Las TIC deben estar al servicio de la programación de la enseñanza. Se deben
incorporar en función de las necesidades de la clase y no a la inversa. Los alumnos
muestran mucho interés por este tipo de recursos tecnológicos, se muestran más
motivados y entusiastas si el docente los selecciona con criterio, dentro del modelo de
aprendizaje de la matemática por resolución de problemas.
190
Autoevaluación |
Trabajo Integrador Final
DNI: …………………………………………………………………………………………………
Email: ………………………………………………………………………………………………..
Institución: …………………………………………………………………………………………..
A continuación vamos a presentar un registro de observación de clase, elaborado por un
capacitador.
Luego de su lectura y en función del enfoque desarrollado para los contenidos de
Numeración y Operaciones en el curso, responda:
1- Cuál es el objetivo de la clase?
2- Cuál es el rol del docente y del alumno en la clase?
3- Qué lugar ocupa el error? Cómo se lo sortea?
4- Qué estrategias didácticas recomendaría a la docente, para mejorar la gestión de la
clase?
Será importante considerar:
-
Tiempos (tiempos del docente y tiempos del alumno)
-
Lugar (espacio físico, un aula, laboratorio, biblioteca, otros)
-
Organización de los alumnos (individual, en parejas , por grupos)
-
Dinámica de la clase (quién la inicia, quién la cierra, cómo se inicia la clase, que tipo
de situaciones de aprendizaje – actividades, ejercicios, problemas- se propone a los
alumnos, qué lugar ocupa el error en el aprendizaje, etc)
-
Estrategias de enseñanza o metodologías utilizadas por el docente.
-
Tipo de evaluación (se realiza algún tipo de evaluación en la clase?)
5- De qué forma y en qué momento incorporaría la resolución de actividades, usando un
recurso interactivo de aprendizaje online?
| Trabajo Integrador Final
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Registro de Observación:
Sandra me llevó al aula cuando llegaron los chicos, me presentó, me saludaron y los hizo
sentar.
M: -Chicos que vemos en el pizarrón?
A: -Un problema
M: -Bueno abran la carpeta y copien el problema. Leemos con el compañero de al lado y
tratamos de resolver (el aula es pequeña están amontonados no pueden formar
grupos). - Bueno Agustín lee el problema en voz alta.
A: -“El alquiler del pelotero para el día del niño costó $100 y se repartieron el gasto entre 5
señoritas ¿Cuánto dinero puso cada una?”
M: -Bueno ahora trabajen yo voy pasando por los bancos para ver lo que van haciendo.
La maestra se acercó para comentarme que habían faltado 3 alumnos y que uno de ellos
no viene hace mucho.
A:- Seño me saca la punta?
Una alumna se levanta a mostrar lo que había hecho.
M: -Ya lo vamos a ver
A:- Hay que hacer una resta?
M:- Ustedes deben pensarlo y resolverlo solos
A:- No se puede así
M:- Por qué?
A: -No me alcanza
M: -Bueno vuelva a leer y piense. Cada uno lo hace y después lo vemos.
A: -Seño no me sale
M: -Recordemos los problemas anteriores que hicimos y pensemos este.
A: -Seño ya está.
M: -Bueno falta la respuesta .
La maestra se pasea por el grado observando lo que hacen sin intervenir
A: -(Malena) no me acuerdo del problema .
La maestra se sentó con ella y le leyó de nuevo el problema (ella no sabe leer)
A: -Seño así?
M: -A fijarse bien, que pasó ahí
A:- Puedo mirar la tabla?
M:- Por supuesto para eso está. A ver quien falta terminar?
A: -Yo, yo, yo
M: -Bueno faltan tres, apuren, apuren
A: -Seño que pongo de respuesta
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Trabajo Integrador Final |
M: -Lea la pregunta para contestar. Bueno ya terminamos todos. Pasen Romina, Agustín,
Juan, Gisela y Sofía.
Sandra divide el pizarrón y coloca el nombre de cada uno para que resuelvan.
A: -Está mal seño lo de Agustín.
M: -A ver Agustín tu compañero dice que está mal. Si tenés cinco monedas de 25 centavos,
cuánto dinero tenés?
A: -Piensa y contesta 1,25 entonces…
M:- Qué pasa Agustín?
A: -No sé me puedo sentar seño? (le dio vergüenza)
M: -No, te parece que 1,25 es lo mismo que 1?
A: -No, pero no sé qué decir
M: -Qué hizo mal Agustín?
A: -Puso 25 en lugar de 20
M: -Bueno, veamos qué hizo Sofía?
A: -Quiso restar pero sólo repitió los números.
M: -Se puede resolver restando?
A: -Si.
M: -Cómo sacamos la respuesta?
| Trabajo Integrador Final
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A: -Contando cuántas veces restamos el 5 y llegamos a 20 veces.
A: -Otro: Es muy largo
M: -Entonces la manera más rápida es hacerlo con la división
A: -La que hizo Romina es mejor
A: - No, la que hizo Juan es más rápida.
M: -Bueno cuando el numero termina en 0 si, pero si tengo números más grandes es mejor
como Romina, Cuántas maneras hemos encontrado para resolver el problema?
A: 3 maneras porque Sofía y Agustín hicieron mal.
M: Si, pero se puede corregir la manera de Sofía y tenemos 4.
A: Si, maestra.
M: No debemos olvidarnos de poner la respuesta, porque solo la pusieron Romina y Juan.
Bueno ahora copiamos todas las maneras en la carpeta; pero quien se anima a corregir
lo de Sofía para poder copiarlo también en la carpeta?
A: Yo – dijo Enzo y pasó al pizarrón
A: Algunos iban a coro repitiendo lo que hacía Enzo.
M: Muy bien Enzo, muchas gracias.
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Trabajo Integrador Final |
Construcción de aprendizajes
matemáticos en el aula.
Nuevos enfoques para la enseñanza
de la matemática en la escuela primaria
El desarrollo actual de la didáctica, y en especial de la didáctica de la matemática,
permite revisar nuestras prácticas docentes en el aula desde otro punto de vista. Si
bien desde la década del noventa se prioriza la resolución de problemas como
principal estrategia de enseñanza de la matemática, la misma aún carece de
sentido para los docentes, que utilizan los “problemas” sólo como recurso para
introducir un nuevo concepto, pero con la particularidad de “formalizar” el mismo,
luego de la resolución del “problema disparador o tipo”.
Usar los problemas para introducir un tema, (o para evaluarlo) es estratégico o no
lo es. Es necesario reconocer la potencialidad que posee como estrategia para el
aprendizaje de la matemática, y la construcción del sentido (parcial o formal) de un
concepto, la enseñanza por medio de la resolución de problemas.

Construcción de aprendizajes matemáticos en el aula.

Transcripción

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