Teselaciones - profepavez.cl - Profesor de Matemáticas

Fernando Pavez Peñaloza - Profesor de Estado en Matemáticas - Enero 2011 - Chile
1
Guía 4
Teselaciones
Nombre
Curso
1° Año Medio A – B – C – D
Capacidad
Resolver Problemas
Destreza
Desarrollar estrategias o procedimientos
Valor
Responsabilidad
Actitud
Perseverancia
Aprendizaje Esperado
Identificar regularidades en la aplicación de transformaciones isométricas a figuras en el
plano cartesiano.
A continuación, observa atentamente las imágenes de la presentación 4_1_Teselaciones, que te mostrará tu
profesor. Luego responde a la siguiente pregunta: ¿Qué tienen en común las imágenes que acabas de ver?
¿Qué es una teselación y cómo se forma?
Una teselación es un mosaico que está
formado por una o más figuras
patrones, de modo que calzan una con
otras, sin superponerse ni dejar
espacios vacíos entre ellas.
Una teselación se obtiene mediante un
movimiento rígido o una combinación
de ellos.





Ver y comentar el aplett:
4_Escher_Salamandra_Patrón
4_Escher_Salmandra_Cartesiano
4_Huesito_Nazarí_Patrón
4_Huesito_Nazharí_Rotacion
4_Explorar_Teselación_hueso
Esta teselación está formada por una figura patrón,
que denominaremos “zapato”.
Los movimientos que originan este mosaico son
traslaciones y simetrías centrales.
La figura C se obtiene por una traslación de A, del
mismo modo D y E se obtienen por traslaciones de A
y C, respectivamente. Por su parte, la figura B se
obtiene por una simetría central.
¿Qué transformaciones isométricas generan la “Salamandra de Escher”?
Fernando Pavez Peñaloza - Profesor de Estado en Matemáticas - Enero 2011 - Chile
2
¿Qué transformaciones isométricas permiten teselar el plano con una salamandra de Escher?
¿Qué transformaciones isométricas generan el “Huesito Nazarí”?
¿Qué transformaciones isométricas permiten teselar el plano con el huesito de Nazarí?
Qué polígonos regulares, por sí solos, teselan el plano
A través del archivo 4_Qué_poligonos_teselan_el_plano, determinar los polígonos regulares que, por sí
solos, son capaces de teselar el plano.
Triángulo
equilátero
Triangulo
equilátero
Cuadrado
Pentágono
regular
Hexágono
regular
Heptágono
regular
Octágono regular
Número
de lados n
Medida
ángulo
¿Tesela el plano? ¿Por qué?
Fernando Pavez Peñaloza - Profesor de Estado en Matemáticas - Enero 2011 - Chile
3
Triángulo equilátero
Número
de lados n
Medida
ángulo
¿Tesela el plano? ¿Por qué?
Eneágono regular
Decágono regular
Endecágono regular
Dodecágono regular
Triskaidecágono
regular
Tetradecágono
regular
Pentacágono regular
A modo de conclusión: ¿qué polígonos regulares, por sí solos, teselan el plano?
Cuadriláteros que teselan el plano
Admitimos que los cuadriláteros y triángulos, por sí
solos, poseen la propiedad de teselar el plano.
Cuadrilátero cualquiera
Rombo
Trapecios
Rectángulos
Fernando Pavez Peñaloza - Profesor de Estado en Matemáticas - Enero 2011 - Chile
4
Tipos de teselaciones
Teselaciones regulares
Son aquellos mosaicos en donde se utiliza un solo tipo de polígono regular.
Cuadrado
Triángulo equilátero
Hexágono
Teselaciones semirregulares
Corresponden a teselados en donde se utiliza más de un tipo de polígono
regular y, en cada vértice, el mosaico es idéntico.
Clasificación teselaciones semirregulares
(4 – 8 – 8) ó (90° - 135° - 135°)
(3 – 3 – 3 – 4 – 4) ó (90° - 90° - 60° - 60° - 60°)
(3 – 3 – 4 – 3 – 4) ó (60° - 60° - 90° - 60° - 90°)
(3 – 3 – 3 – 3 – 6) ó (60° - 60° - 60° - 60° - 120°)
(12 – 12 – 3) ó (150° - 150° - 60°)
(3 – 4 – 6 – 4) ó (60° - 90° - 120° - 90°)
(3 – 6 – 3 – 6) ó (60° - 120° - 60° - 120°)
(6 – 12 – 4) ó (120° - 150° - 90°)
Fernando Pavez Peñaloza - Profesor de Estado en Matemáticas - Enero 2011 - Chile
5
Analizando una teselación semirregular
A continuación, analizaremos las transformaciones isométricas que permiten teselar el plano mediante
cuadrados y triángulos. Esta teselación se nombra según el números de lados de los polígonos que concurren
en un vértice 3 – 3 – 4 – 3 – 4. O también, con las medidas de los ángulos correspondientes 60° - 60° - 90° 60° - 90°.
Junto a tu profesor y compañeros, utilicen el aplett 4_Semirregular_cuadrado_triángulo, para estudiar las
transformaciones isométricas que originan esta teselación.
El método de teselación árabe: “quitar y poner”
Este método fue utilizado el artista holandés M. C. Escher para crear hermosas y originales mosaicos.
Método de “quitar y poner”
A partir de una figura que por sí sola tesela el plano, podemos remover partes de ella y reubicarlas
de tal manera, que se mantenga el área y no queden espacios vacíos en su interior. Esta nueva
figura, por sí sola, también teselará el plano.
La reubicación de las partes de la figura original se logra por combinación de movimientos rígidos,
esto es: traslaciones, rotaciones y simetrías.
Por ejemplo, utilizando traslaciones y como figura base un rombo, construiremos una teselación que nos
dará la idea de un conjunto de aves que vuelan en una misma dirección y sentido.
Paso 1
Paso 2
Se parte de un rombo.
Se dibujan dos triángulos.
Paso 3
Paso 4
Se trasladan ambos triángulos según los vectores
señalados en la figura.
Se obtiene una parecida a un ave que va volando.
Ver y comentar los apletts


4_Aves_teselación
4_Aves_teselación_generar
Fernando Pavez Peñaloza - Profesor de Estado en Matemáticas - Enero 2011 - Chile
6
Destrezas fundamentales
1) Reconocer patrones de teselación
Enunciado
En la teselación que se muestra a continuación,
identifique la(s) figura(s) patrón(es) y describa los
movimientos que la originan.
Respuesta
Responde a la pregunta y discútela con tus compañeros y profesor.
2) Completar teselaciones
La figura muestra un rectángulo dividido en un sector A que ha sido teselado y un sector B sin teselar. Si se
continúa con el teselado ¿cuál de las siguientes opciones corresponde al rectángulo señalado en el sector
B?
a)
b)
c)
d)
Fernando Pavez Peñaloza - Profesor de Estado en Matemáticas - Enero 2011 - Chile
7
3) Diseñar patrones de teselación
A partir del cuadrado que se da a continuación, diseña tu propio patrón de teselación. Luego cálcalo
repetidas veces sobre una hoja transparente, de tal manera de que se forme una teselación. Compártela y
coméntala con tus compañeros, y profesor.
Fernando Pavez Peñaloza - Profesor de Estado en Matemáticas - Enero 2011 - Chile
8
4) Analizar teselaciones regulares y semirregulares
En cada caso, con respecto a la figura que muestra la imagen, completa la siguiente tabla:
Patrón
Tipo de teselación
Transformaciones isométricas utilizadas
Patrón
Tipo de teselación
Transformaciones isométricas utilizadas
Transformaciones isométricas utilizadas
5) Analizando un patrón de teselación obtenido por el método de “quitar y poner”
Mediante el método de “quitar y poner” se obtuvo el patrón que muestra la figura. A partir de qué
polígono y mediante qué movimientos se logró construir esta figura.
Fernando Pavez Peñaloza - Profesor de Estado en Matemáticas - Enero 2011 - Chile
9
Hora de practicar lo aprendido
1) En cada caso, identifique el patrón de teselación y los movimientos geométricos que la generan.
a)
b)
2) A partir de qué figura y cómo se obtienen los patrones que originan las teselaciones de la pregunta
3.