Equilibrio y deformación de vigas rectas
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Equilibrio y deformación de vigas rectas
Equilibrio y deformación de vigas rectas Jaime Planas Rosselló Catedrático de Universidad Universidad Politécnica de Madrid ETS de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos Departamento de Ciencia de Materiales Profesor Aranguren, sn, 28040 Madrid [email protected] Notas de clase, 2007-2009. Borrador 6, corregido 2009/12/02. 1. Introducción En este documento se recogen los conceptos básicos de la teorı́a de vigas rectas para ser aplicada en un curso breve (3 créditos) de resistencia de materiales, en el que se han introducido previamente, los conceptos de equilibrio, compatibilidad y ecuación constitutiva de termoelasticidad uniaxial con aplicación al estudio del equilibrio y la cinemática de sistemas de bielas o tirantes y sólidos rı́gidos. 2. 2.1. Flexión pura y momento flector Ejemplo La figura 1a muestra la imagen de una barra de plástico flectada aplicando, con pulgares e ı́ndices, dos pares de fuerzas, uno en cada extremo. Este tipo de carga se denomina flexión en cuatro puntos. Si imaginamos un corte recto de la viga en el tramo central (Fig. 1b), el sistema de fuerzas interiores que actúan sobre la sección de corte debe ser equivalente a un momento M (en rojo) que equilibra al del par de fuerzas exteriores. Tomando momentos en el punto A e igualando a cero tenemos P + (1) MA = 0 : M − F d = 0 ⇒ M = F d Obviamente, el momento M es igual para cualquier punto del vano central de la viga, como se deduce de que el corte es para un punto arbitrario, y se confirma del equilibrio de un tramo de viga completamente contenido en el vano central, como el de la figura 1c. Un tramo de viga cuyo sistema de fuerzas interiores sobre una sección recta se reduce a un momento, se dice que está solicitado en flexión pura, y el esfuerzo correspondiente se denomina momento flector. I Verifique que se obtiene el mismo resultado si se plantea el equilibrio de un tramo de viga que incluya el extremo izquierdo, en lugar del derecho. 1 (a) (b) F F F F F d A F M (c) (d) M M d F M F Figura 1: Viga sometida a flexión en cuatro puntos: en el vano central el momento flector es constante. 2.2. Criterio de signos Como se ha indicado, un momento flector es un esfuerzo, y es conveniente escoger un criterio de signos. Para vigas horizontales, se elige tradicionalmente el signo positivo cuando la deformada de la viga es cóncava hacia arriba (Fig. 2a), y negativo cuando es cóncava hacia abajo (Fig. 2b). Sin embargo, la orientación de la concavidad no es una propiedad intrı́nseca, como puede comprobarse dibujando una forma cóncava hacia arriba en una hoja de papel y girándola 180◦ en su plano, con lo que “arriba”pasa a ser “abajo”. Tenemos pues que definir unos ejes unidos a la viga (o al papel) que indiquen de forma única lo que se entiende por “arriba”. Lo primero es situar el eje x a lo largo del eje geométrico de la viga con un sentido que podemos elegir arbitrariamente, y que suele tomarse, para vigas horizontales, de izquierda a derecha, como en la figura 2c. El eje y se toma siempre perpendicular al eje x y orientado de manera que para llevar el semieje positivo x sobre el semieje positivo y se realiza un giro de 90◦ en sentido positivo; nosotros tomaremos el sentido de giro antihorario como positivo (Fig. 2c). Con esta orientación de ejes, el esfuerzo flector en una rebanada de una viga con flexión positiva tiene los signos mostrados en la parte inferior de la figura 2c, por lo que generalizaremos el criterio de signos utilizando el mono de la figura 2d, aunque muchas veces indicaremos sólo una flecha indicando el sentido del eje x, que debe entenderse como la orientación que se le da a la viga o el ”sentido de recorrido”, tal como muestra el diagrama de la figura 2e. En la sección 3.2 ampliaremos los criterios de signos. 2 (a) (b) (c) y F F + x F M F M y (d) x (d) Figura 2: Criterio de signos para los momentos flectores. 3. Flexión simple y esfuerzo cortante Cuando una viga, o un tramo de ella, está sometida a un momento flector variable, siendo el esfuerzo axil nulo, decimos que se encuentra solicitada en flexión simple, en cuyo caso, además del esfuerzo flector aparece un esfuerzo cortante, normal al eje de la viga. 3.1. Ejemplo El ejemplo más simple es el de una ménsula con una fuerza en su extremo, tal como se representa en la figura 3a. Si cortamos por un plano normal por el puntto X a la distancia x del empotramiento, el equilibrio del tramo XB de viga situado a su derecha requiere que el sistema de fuerzas interiores en X puedan ahora reducirse a un momento MX y a una fuerza vertical que denominamos esfuerzo cortante QX ; sus valores se obtienen de las condiciones de equilibrio de fuerzas y de momentos: P ↑+ Fy = 0 : (2) F − QX = 0 ⇒ QX = F y A (a) X Bx F ` `−x x QX (b) MX F (c) MAe MX QX RAy Figura 3: Ménsula sometida a flexión simple. 3 P + MX = 0 : F (` − x) − MX = 0 ⇒ MX = F (` − x) (3) El resultado indica que el esfuerzo cortante es constante e igual a F , y que el esfuerzo flector, en cambio, varı́a linealmente con x, valiendo F ` en el empotramiento y 0 en el extremo de la ménsula. Puesto que la viga entera debe estar en equilibrio, la reacción vertical en el empotramiento RAy y el momento de empotramiento MAe (la reacción RAx es trivialmente nula) deben satisfacer el equilibrio de la viga entera, es decir P Fy = 0 : P + MA = 0 : ↑+ F + RAy = 0 ⇒ RAy = −F (4) F ` + MAe = 0 ⇒ MAe = −F ` (5) I Compruebe que imponiendo el equilibrio del tramo AX de la viga (Fig. 3c) resultan los mismos valores de los esfuerzos flector y cortante en X. 3.2. Criterio de signos Consideremos una viga orientada de la forma tradicional (horizontal y eje x hacia la derecha) y consideremos el tramo comprendido entre dos secciones rectas tal como se muestra en la figura 4a. D que la sección situada más a la derecha es la sección frontal y la situada a la izquierda la sección dorsal. En un caso general de un tramo de viga inclinada, la sección frontal es aquella para la cual el sentido de su normal exterior coincide con el sentido positivo del eje de la viga; la sección dorsal es aquella para la cual la normal exterior tiene sentido contrario al positivo de la viga (Fig. 4b). El sistema reducido de fuerzas exteriores sobre la sección frontal se denomina frontal, y de igual forma sus componentes: fuerza axil frontal, fuerza cortante frontal y momento flector frontal; y análogamente para la sección dorsal. Considerando una rebanada de pequeño espesor tal como se muestra en la figura 4c, el criterio de signos se resume diciendo que un esfuerzo es positivo si su correspondiente acción frontal es positiva de acuerdo con los signos definidos para los ejes y los giros. Esto lleva a los criterios de signos ya conocidos para el axil y para el momento flector, y al convenio de que el esfuerzo cortante es positivo si su correspondiente fuerza cortante frontal tiene el sentido del eje y positivo, tal como se muestra en la figura 4d, o, simplificadamente, en la figura 4e, en la que el sentido del eje y es implı́cito. (b) n x x (a) frontal dorsal n dorsal (c) x (d) (e) y x Figura 4: Criterios de signos. 4 frontal 3.3. 3.3.1. Leyes de esfuerzos cortantes Fuerzas concentradas Consideremos una viga recta sometida a fuerzas concentradas normales a su eje, como la indicada en al figura 5a, en la cual se supone que las fuerzas están en equilibrio, es decir que 5 X Pi = 0 y i=1 X MAPi = 0 (6) Podemos calcular muy rápidamente el esfuerzo cortante en cualquier punto de la viga, por ejemplo el C, sin más que cortar por este punto y escribir el equilibrio de fuerzas verticales que actúan sobre el tramo de la viga situado a la derecha del corte (Fig. 5b) o a su izquierda (Fig. 5c). Comenzando por el tramo derecho, tendrı́amos: P P ↑+ F y = 0 : (7) P4 + P5 − QC = 0 ⇒ QC = 5i=4 Pi Si escribimos el equilibrio para el tramo izquierdo tendremos P P ↑+ Fy = 0 : P1 + P2 + P3 + QC = 0 ⇒ QC = − 3i=1 Pi (8) y, evidentemente el resultado es el mismo en virtud de las condiciones de equilibrio global (6). Consideremos ahora el equilibrio de un tramo de la viga sobre el que no actúa ninguna fuerza exterior, como el mostrado en la parte izquierda de la figura 5d. En este caso se tiene, para el esfuerzo cortante: P ↑+ F y = 0 : (9) QB − QA = 0 ⇒ QB = QA es decir, que en un tramo libre de fuerzas exteriores el esfuerzo cortante es constante. Consideremos,finalmente, un tramo como el de la parte derecha de la figura 5d, cuyos extremos están uno a cada lado de una de las fuerzas concentradas. En este caso tenemos, para el cortante P ↑+ Fy = 0 : QE − QD + P4 = 0 ⇒ QE − QD = −P4 o QD − QE = P4 (10) (a) P1 P2 P3 (b) (c) C QC P1 P2 P5 P4 P5 P3 QC (d) QA P4 QB QD P4 QE Figura 5: Viga sometida a cargas concentradas arbitrarias (no se han dibujado los momentos flectores). 5 lo cual significa que el esfuerzo cortante experimenta un salto al pasar de un lado a otro de la fuerza concentrada, y que el salto tiene signo contrario al de la fuerza yendo de izquierda a derecha, y el mismo signo de la fuerza yendo de derecha a izquierda. Veamos un ejemplo Ejemplo 3.1 En la viga de la figura, dibujar un diagrama que represente gráficamente la ley de esfuerzos cortantes (fuerzas en kN, cotas en m). 16 11 10 6 4 4 6 11 8 Solución: Numerando los vanos de izquierda a derecha: (1) (2) (3) P Fy = 0 : − 6 + Q1 = 0 ⇒ Q1 = 6; 6 ↑+ 10 6 P Fy = 0 : − 6 − 10 + Q2 = 0 ⇒ Q2 = 16; ↑+ 11 (4) 11 P Fy = 0 : − Q3 + 11 − 11 = 0 ⇒ Q3 = 0; y ↑+ 11 P Fy = 0 : − 11 − Q4 = 0 ⇒ Q4 = −11. ↑+ Con lo que el diagrama de momentos resulta: 15 Q 10 5 x -5 -10 Podrı́a haberse hecho incrementalmente, por ejemplo empezando por la derecha: Q4 = −11, Q3 = Q4 +11, Q2 = Q3 +16, Q1 = Q2 −10, o por la izquierda: Q1 = 6, Q2 = Q1 +10, etc. Por supuesto los resultados son idénticos. 3.3.2. Fuerzas distribuidas Consideremos una viga recta sometida a fuerzas distribuidas normales a su eje, es decir en la dirección del eje y. Sea p(x) la fuerza por unidad de longitud en el punto x (Fig. 6a). El equilibrio de un tramo cualquiera entre dos secciones rectas (a) p(x) x p x (b) Ap1−2 x2 x1 Q1 Q2 Q Figura 6: Viga sometida a cargas distribuidas. 6 a las distancias x1 y x2 > x1 requiere que la suma de fuerzas verticales sea cero, es decir P p ↑+ Fy = 0 : Q2 − Q1 + A1−2 = 0 (11) donde Ap1−2 es la resultante de las fuerzas distribuidas entre 1 y 2 (Fig. 6b). Esta resultante puede calcularse escribiendo que la fuerza que actúa sobre un elemento de viga de longitud dx es p(x) dx y que, por tanto, la resultante es Z x2 p p(x) dx = area del diagrama de fuerza distribuida (12) A1−2 = x1 es decir, que con las unidades adecuadas, la resultante de las cargas distribuidas es el área sombreada de gris en la figura 6b, por lo que, si se trata de una forma de cuya área conozcamos la expresión (rectángulo, trángulo, trapecio, parábola, ...) podemos utilizar dicha expresión directamente; en caso contrario hay que integrar. Veamos un ejemplo: Ejemplo 3.2 En la ménsula de la figura, determinar la ley de esfuerzos cortantes y dibujar el diagrama correspondiente. p0 x x ` `−x Solución. Cortando por un punto situado a la distancia x del empotramiento y aislando del tramo de la derecha resulta Apx-` px Q Apx-` = área del triángulo = px (` − x)/2 y donde la resultante de la sobrecarga px = (p0 /`)(`−x), por semejanza de triángulos. La ecuación de equilibrio da directamente P p p0 2 ↑+ Fy = 0 : Ax-` − Q = 0, de donde Q = 2` (` − x) , que es la ecuación de una parábola de eje vertical con vértice en el extremo de la ménsula y cuyo valor en el empotramiento es p0 `/2, por lo que el diagrama de esfuerzos cortantes es el siguiente: Q 1 2 p0 ` p0 (` − x)2 2` x Nota: es posible también resolver el problema planteando el equilibrio del tramo de la viga a la izquierda de la sección. En este caso hay que calcular primero la reacción en el empotramiento, P que es Rye = −p0 `/2, y, por tanto, la ecuación de equilibrio serı́a ↑+ Fy = 0 : Rye + Ap0-x + Q = 0 donde Ap0-x es el área del trapecio de sobrecarga limitado por las verticales en 0 y x. Obviamente el resultado es el mismo, y sólo ligeramente más laborioso. 3.3.3. Equilibrio local Si en lugar de plantear el equilibrio de un tramo finito de viga planteamos el equilibrio de una rebanada infinitesimal de longitud dx con el extremo dorsal en x, 7 entonces en la ecuación (11) tenemos Q1 = Q(x), Q2 = Q(x+dx) y Ap1−2 = p(x) dx, y la ecuación de equilibrio se reduce a Q(x + dx) − Q(x) + p(x) dx = 0 ⇒ ∂Q +p=0 ∂x (13) En esta ecuación diferencial, que corresponde a un punto del eje de la viga, el primer término representa la resultante de las fuerzas interiores por unidad de longitud, y el segundo a la resultante de las fuerzas exteriores por unidad de longitud. I Compruebe que la ecuación de equilibrio local se cumple para la solución del ejercicio anterior. Si en un punto x1 hay una fuerza concentrada P1 , entonces p(x1 ) = ∞ y la ecuación anterior no es aplicable (Q no es derivable en este punto) y es preciso escribir la ecuación de salto que ya se ha plateado anteriormente, tomando una rebanada con una cara infinitésimamente a la izquierda del punto x1 , que repre+ sentamos como x− 1 y la otra infinitésimamente a su derecha (x1 ). La ecuación de equilibrio resulta − Q(x+ ) − Q(x ) + P1 = 0 (14) 1 1 3.3.4. Superposición de leyes de esfuerzos En muchos casos prácticos, el sistema de cargas exteriores sobre una viga es complejo, y puede subdividirse en subsistemas más sencillos. Evidentemente, si la viga es isostática, las reacciones y los esfuerzos para el sistema completo serán iguales a la suma de las reacciones y esfuerzos que se obtendrı́an para cada subsistema. Esto es ası́ porque las ecuaciones de equilibrio son lineales (son sumas de fuerzas o de momentos). Debe notarse, sin embargo, que en sistemas hiperestáticos esto sólo se cumple si la respuesta carga-desplazamiento del sistema es lineal; volveremos sobre esto al estudiar las deformaciones inducidas por los esfuerzos. Ejemplo 3.3 Determine la ley de esfuerzos cortantes en la ménsula del ejemplo 3.2 si, además de la carga triangular, se aplica una fuerza concentrada vertical de módulo p0 `/2 y sentido hacia abajo, en el centro de la viga. Solución: Ya se calculó el cortante debido a la carga triangular. El cortante debido a la carga concentrada vale 0 para x > `/2 y −p0 `/2 para 0 < x < `/2, por tanto la ley de = − p0 ` + p0 (` − x)2 = p0 x(x − 2`) para x < `/2 2 2` 2` cortantes total es Q = = p0 (` − x)2 para x > `/2 2` Q cuya gráfica es 1 8 p0 ` − 38 p0 ` 8 x 3.4. Leyes de momentos flectores 3.4.1. Fuerzas concentradas Consideremos de nuevo la viga sometida a fuerzas concentradas del apartado 3.3.1, que representamos de nuevo en la figura 7a, que cumplen las ecuaciones de equilibrio global (6). Podemos calcular muy rápidamente el momento flector en cualquier punto de la viga, por ejemplo el C, sin más que cortar por ese punto y escribir el equilibrio de momentos en él para el tramo de la viga situado a la derecha del corte (Fig. 5b) o a su izquierda (Fig. 5c). Comenzando por el tramo derecho, tendrı́amos: P MCP4 + MCP5 − MC = 0 ⇒ MC = + MC = 0 : P5 i=4 MCPi (15) Si escribimos el equilibrio para el tramo izquierdo tendremos P + MC = 0 : MCP1 + MCP2 + MCP3 − MC = 0 ⇒ MC = − P3 i=1 MCPi (16) y, evidentemente el resultado es el mismo en virtud de las condiciones de equilibrio global (6). Consideremos ahora el equilibrio de un tramo de la viga sobre el que no actúa ninguna fuerza exterior, como el mostrado en la parte izquierda de la figura 7d. En este caso se tiene tomado momentos en el punto A: P + MA = 0 : M − MA + Q(x − xA ) = 0 ⇒ M = MA − Q(x − xA ) (17) es decir, que en un tramo libre de fuerzas exteriores el momento flector varı́a linealmente con la posición. Derivando la primera de las dos ecuaciones anteriores con respecto a x resulta ∂M +Q=0 (18) ∂x que, aunque deducida en un caso particular en que Q es constante en el tramo considerado, es válida en general como veremos más adelante al establecer la ecuación de equilibrio local para los momentos. Consideremos,finalmente, un tramo como el de la figura 7d, cuyos extremos están simétricamente dispuestos uno a cada lado de una de las fuerzas concentradas (a) P1 P3 P2 C (b) MC (c) P1 (d) MA QA P5 P4 P5 P3 P2 xA P4 MC Q− P4 x Q M M− M+ s s Q+ Figura 7: Viga sometida a cargas concentradas arbitrarias. 9 y a una distancia s de ella. En este caso tenemos, para el momento flector a izquierda (M − ) y derecha (M + ) P + Mcentro = 0 : M + − M − + Q+ s + Q− s = 0 ⇒ M + − M − → 0 para s → 0 (19) lo cual significa que el momento flector es continuo cuando se pasa de un lado a otro de la fuerza concentrada, aunque su derivada es discontı́nua. Veamos un ejemplo Ejemplo 3.4 En la viga de la figura, dibujar un diagrama que represente gráficamente la ley de momentos flectores (fuerzas en kN, cotas en m). 16 11 10 6 4 4 6 11 8 Solución: Numerando los vanos de izquierda a derecha: (a) Método analı́tico directo (1) (2) 6 + 10 6 + 11 11 (3) + 11 P Mdcha = 0 : M + 6x = 0 ⇒ M = −6x (kNm); P Mdcha = 0 : M + 6x + 10(x − 4) = 0 ⇒ M = 40 − 16x (kNm); P Mizda = 0 : − M + 11(14 − x) − 11(22 − x) = 0 ⇒ M = −88 (kNm); P + Mizda = 0 : − M − 11(22 − x) = 0 ⇒ M = −11(22 − x) (kNm). (4) Con lo que el diagrama de momentos resulta, dibujando como es habitual los momentos positivos hacia abajo (es decir, dibujando siempre el momento del lado de las fibras traccionadas): -80 -60 -40 -20 0 x 20 M (b) Método de puntos caracterı́sticos: Sabiendo que el momento varı́a linealmente entre puntos de carga, basta determinar el momento flector en cada punto de aplicación de carga y unirlos mediante tramos rectos; numerando los puntos de carga de izquierda a derecha (de 1 a 5) resulta del equilibrio de los tramos izquierdos, M1 = 0, M2 + 6 × 4 = 0 ⇒ M2 = −24 kNm , M3 + 6 × 8 + 10 × 4 = 0 ⇒ M3 = −88 kNm, y del de los tramos derechos, −M3 + 11 × 6 − 11 × 14 = 0 ⇒ M3 = −88 kNm (comprueba el “cierre” o equilibrio global), −M4 − 11 × 8 = 0 ⇒ M4 = −88 kNm, M5 = 0. Por supuesto los resultados son idénticos. 3.4.2. Fuerzas distribuidas Consideremos de nuevo la viga recta sometida a fuerzas distribuidas normales a su eje del apartado 3.3.2 (Fig. 8a). El equilibrio de momentos de un tramo cualquiera entre dos secciones rectas a las distancias x1 y x2 > x1 puede escribirse de dos maneras alternativas: una tomando momentos en la sección dorsal (i.e. respecto del punto del eje situado en x1 ) y otra tomando momentos en la sección frontal (i.e. respecto del punto del eje situado en x2 ); las ecuaciones correspondientes son P + Mx1 = 0 : M2 − M1 + Q2 (x2 − x1 ) + M1p1−2 = 0 (20) P p + Mx2 = 0 : M2 − M1 + Q1 (x2 − x1 ) + M21−2 = 0 (21) 10 (a) p(x) x p x (b) xpG1−2 x1 Ap1−2 x2 M1 Q1 Q Q2 M2 Figura 8: Viga sometida a cargas distribuidas. donde Mip1−2 es el momento de las fuerzas distribuidas entre 1 y 2 respecto del punto i. Este momento puede calcularse escribiendo que la fuerza que actúa sobre un elemento de viga de longitud dx es p(x) dx y que, por tanto, los respectivos momentos se pueden escribir como Z x2 Z x2 p p M11−2 = (x − x1 )p(x) dx, y M21−2 = (x − x2 )p(x) dx. (22) x1 x1 Ahora bien, se sabe que la resultante del sistema de fuerzas paralelas se puede reducir a su resultante aplicada en el centro de gravedad, estando el centro de gravedad, en consecuencia, definido por la condición de que el momento del sistema respecto a dicho punto sea nulo, es decir que se verifique Z x2 Z x2 p p (x − xG1−2 )p(x) dx = 0, → A1−2 xG1−2 = xp(x) dx (23) x1 x1 donde Ap1−2 es, según se dijo, el área definida por la curva de distribución de carga, igual a la resultante de las fuerzas de sobrecarga. Enconsecuencia, si se conoce la posición xpG1−2 del centro de gravedad de la sobrecarga sobre el tramo 1–2, podemos escribir su momento en la forma M1p1−2 = Ap1−2 (xpG1−2 − x1 ), y M2p1−2 = −Ap1−2 (x2 − xpG1−2 ) (24) Con estas expresiones, es inmediato comprobar que las ecuaciones (20) y (21) son equivalentes: restando las segunda ecuación de la primera y sustituyendo las expresiones (24) resulta (Q2 − Q1 + Ap1−2 )(x2 − x1 ) = 0 (25) que es una identidad debido a la ecuación (11) de equilibrio de fuerzas normales que asegura que el primer paréntesis es idénticamente nulo. En la práctica se utilizará la ecuación (20) cuando sean conocidos el cortante y el momento en la sección frontal, con lo cual se puede despejar M1 . Recı́procamente, la ecuación (21) se utilizará cuando sean conocidos los esfuerzos en la sección dorsal y podrá despejarse M2 . Veamos un ejemplo: 11 Ejemplo 3.5 En la ménsula de la figura, determinar la ley de momentos flectores y dibujar el diagrama correspondiente. p0 x ` x `−x Solución. Cortamos por un punto situado a la distancia x del empotramiento aislamos el tramo de la derecha: xpG px M Apx-` 1 3 (` − x) el área del triángulo ya se calculó en el ejemplo 3.2 y vale Apx-` = p2`0 (` − x)2 . Por otra parte, el centro de gravedad del triángulo está situadoPa 1/3 de su base, con lo cual la + ecuación de equilibrio de momentos da directamente Mx = 0 : −M +Apx-` (`−x)/3 = 0 de donde M = p6`0 (` − x)3 , que es la ecuación de una parábola cúbica cuyo valor en el empotramiento (x = 0) es p0 `/2, por lo que el diagrama de momentos es el siguiente: x 1 2 6 p0 ` p0 (` − x)3 6` M Nota: es posible también resolver el problema planteando el equilibrio del tramo de la viga a la izquierda de la sección. En este caso hay que calcular primero la reacción en el empotramiento, que es Rye = −p0 `/2, y el momento de empotramiento, que es M e = −p0 `2 /6 por tanto, la ecuación de P + Mx = 0 : M +M e +Rye x+Ap0-x xpG0−x = 0 donde Ap0-x es el área del trapecio de equilibrio serı́a sobrecarga limitado por las verticales en 0 y x y xpG0−x su centro de gravedad, que serı́a necesario calcular; en la práctica es mejor calcular el momento del trapecio de carga descomponiéndola en dos áreas (dos triángulos o un triángulo y un rectángulo), lo que es equivalente al cálculo implı́cito del centro de gravedad ya que AxG = A1 xG1 + A2 xG2 . Obviamente el resultado es el mismo, pero el desarrollo resulta sustancialmente más laborioso. 3.4.3. Equilibrio local Si en lugar de plantear el equilibrio de un tramo finito de viga planteamos el equilibrio de una rebanada infinitesimal de longitud dx con el extremo dorsal en x, entonces en la ecuación (21) tenemos Q1 = Q(x), M2 = M (x + dx) y M2p1−2 ≈ (p(x) dx)dx/2 = o(dx) = infinitésimo de segundo orden, y la ecuación de equilibrio se reduce a M (x + dx) − M (x) + Q(x) dx + o(dx) = 0 ⇒ ∂M +Q=0 ∂x (26) I Compruebe que la ecuación de equilibrio local se cumple para la solución del ejercicio anterior. En esta ecuación diferencial, que corresponde a un punto del eje de la viga, el primer miembro representa el momento resultante de las fuerzas interiores por 12 (a) P (b) D P D a C A a B P a (c) A P/2 (d) P x P/2 (e) 2a−x (f) C P Pa P B P/2 − 21 P a B B P/2 M 1 2Pa Figura 9: Ejemplo de viga sometida a un momento concentrado: (a) estructura completa; (b) equilibrio de la barra CD aislada; (c) equilibrio de la viga AB aislada; (d) equilibrio del tramo izquierdo de la viga para 0 ≤ x < a; (e) equilibrio del tramo derecho de la viga para a < x ≤ 2a; (f) ley de momentos flectores con un salto de valor absoluto P a. unidad de longitud, y se supone que sólo actúan fuerzas distribuidas. En el caso de que existieran momentos exteriores distribuidos, la ecuación de equilibrio serı́a ∂M +Q+m=0 ∂x (27) donde m es el momento exterior por unidad de longitud. En la práctica, pocas veces se encuentran casos con momentos distribuidos.1 Por el contrario, no es raro encontrarse con momentos exteriores concentrados, que tratamos a continuación. 3.4.4. Momentos exteriores concentrados Empecemos por un ejemplo: la figura 9a muestra una estructura formada por una viga biapoyada AB unida rı́gidamente a otra viga vertical CD, estando el conjunto sometido a una fuerza horizontal P en D. Comenzamos por aislar la viga CD (Fig. 9b) y establecer las ecuaciones de equilibrio con el sistema de fuerzas ejercido sobre ella por la viga AB en C; el problema es tan simple que puede resolverse de cabeza con los resultados mostrados en la figura 9b. A continuación aislamos la viga AB (Fig. 9c) que está sometida en C a acciones iguales y contrarias a las que actúan sobre CD (lo que incluye un momento concentrado de valor P a y sentido horario) y a las reacciones, que pueden calcularse con toda facilidad con el resultado mostrado en la figura 9c. Yendo ahora directamente a la ley de momentos flectores, aislamos primero un tramo de viga como el de la figura 9d, que incluye el extremo A P y termina a la + distancia x < a, y tomamos momentos en la sección de corte Mx = 0 : M + (P/2)x = 0 ⇒ M = −P x/2 para x < a. A continuación hacemos lo mismo con un tramo de viga como el de la figura 9e, que incluye el extremo B y comienza a Un ejemplo serı́a una fibra ferromagnética con imanación axial permanente sometida a un campo magnético exterior 1 13 Q− M ex M− s s M+ Q+ Figura 10: Equilibrio de una rebanada centrada en la sección de actuación de un momento concentrado. la distancia a < x, y tomamos momentos en la sección de corte, con lo que resulta P + Mx = 0 : − M + (P/2)(2a − x) = 0 ⇒ M = −P (2a − x)/2 para x > a. El correspondiente diagrama de momentos flectores se ha dibujado en la figura 9f, y se observa que en el punto donde actúa el momento concentrado hay un salto cuyo valor (yendo en el sentido de las xs positivas) es igual y de sentido contrario al momento exterior concentrado. Este resultado es totalmente general, lo que puede demostrarse con sencillez a partir del equilibrio de momentos de una rebanada de la viga simétricamente dispuesta respecto de la sección en la que actúa el momento concentrado como se muestra en la figura 10. Tomando momentos respecto del extremo dorsal se tiene P + Mizda = 0 : M + − M − + M ex + Q+ 2s = 0; con lo que cuando s tiende a cero el último término se anula y resulta la ecuación de salto para momentos [M + − M − ] + M ex = 0 3.5. (28) Ejercicios Ejercicio 3.2 Una viga biapoyada está sometida a una sobrecarga triangular simétrica como se muestra en la figura. Calcular las leyes de cortantes y de momentos flectores y dibujar los diagramas correspondientes. Ejercicio 3.1 Una viga biapoyada está sometida a una sobrecarga uniforme en su primera mitad tal como se muestra en la figura. Calcular las leyes de cortantes y de momentos flectores y dibujar los diagramas correspondientes. q q = = = = L L Ejercicio 3.3 Una viga biapoyada está sometida a una sobrecarga triangular en su segunda mitad tal como se muestra en la figura. Calcular las leyes de cortantes y de momentos flectores y dibujar los diagramas correspondientes. Ejercicio 3.4 Una ménsula acodada está sometida a una fuerza horizontal en su extremo, tal como se muestra en la figura. Calcular las leyes de cortantes y de momentos flectores y dibujar los diagramas correspondientes. q L L = = 45◦ L 14 F Ejercicio 3.5 Para la viga acodada biapoyada de la figura, calcular las leyes de cortantes y de momentos flectores y dibujar los diagramas correspondientes. Ejercicio 3.6 Para el sistema de dos vigas articuladas de la figura, calcular las leyes de cortantes y de momentos flectores y dibujar los diagramas correspondientes. F F 3a 2a = F = 2L = = a Ejercicio 3.7 Para el sistema de dos vigas articuladas de la figura, calcular las leyes de cortantes y de momentos flectores y dibujar los diagramas correspondientes. Ejercicio 3.8 Para la viga doblemente acodada de la figura, dibujar los diagramas de esfuerzos cortantes y momentos flectores. Solución 2q P q P 2P a P a a a a Ejercicio 3.9 Para la viga doblemente acodada de la figura, dibujar los diagramas de esfuerzos cortantes y momentos flectores. a a a Ejercicio 3.10 Para el sistema de tres vigas articuladas de la figura, calcular las leyes de cortantes y de momentos flectores y dibujar los diagramas correspondientes. q 8qa P 8qa a a 2 a 2 a a 2 2P P a a 2 a a a a 2a Ejercicio 3.11 Para el pórtico ermpotrado-articulado-apoyado de la figura, dibujar los diagramas de esfuerzos cortantes y momentos flectores. Ejercicio 3.12 Para el pórtico ermpotrado-articulado-apoyado de la figura, dibujar los diagramas de esfuerzos cortantes y momentos flectores. . q qa a 2P P a 2a 1.5a a 2 15 a 2 4. Tensiones y deformaciones longitudinales en una viga recta Hasta este punto, hemos considerado solamente el equilibrio de cualquier tramo de una viga, pero no hemos descendido a analizar las distribuciones de tensiones ni las deformaciones de la viga. En este apartado planteamos las ecuaciones de compatibilidad de deformaciones en dirección longitudinal en una viga sometida a extensión pura, a flexión pura y a flexión compuesta y utilizamos las ecuaciones constitutivas y las ecuaciones de equilibrio a nivel de sección para obtener relaciones entre esfuerzos axiles y deformación longitudinal, y entre momentos y curvatura. La hipótesis básica para establecer la compatibilidad de movimientos entre distintos puntos de una sección recta es la Hipótesis de Navier que establece que las secciones rectas de la viga permanecen planas al deformarse esta, y perpendiculares al eje deformado. Esta es una hipótesis aproximada que se cumple muy bien en secciones alejadas de los puntos singulares de la viga (extremos, puntos de aplicación de cargas concentradas); la distancia a la cual se establece el régimen de Navier es del orden del canto de la viga, por lo que la teorı́a que aquı́ se desarrolla será válida para vigas esbeltas, es decir, para vigas en que la longitud es mucho mayor que el canto. 4.1. 4.1.1. Extensión axil pura Ecuaciones de compatibilidad de deformaciones Consideremos una viga recta esquematizada en la figura 11, en la que, por el momento, suponemos que la sección recta es de forma arbitraria y tomamos unos ejes cartesianos cuyo eje x es paralelo al eje de la viga. Decimos que una viga está sometida a extensión axil pura cuando al deformarse, permanece recta. Esto significa que, salvo por un desplazamiento de sólido rı́gido, el desplazamiento debe tener la dirección del eje x, y, puesto que las secciones deben permanecen planas, el desplazamiento debe ser uniforme en una sección recta, es decir, que ux = u(x) no depende de y ni de z. De esta manera, los elementos del material en una rebanada de espesor diferencial experimentan una deformación longitudinal que, como se vio en la primera parte de la asignatura para la deformación uniaxial de tirantes y bielas, viene dada por ∂u (x) (29) x = ∂x de lo que resulta que la deformación longitudinal debe ser uniforme en toda una sección recta (es decir, que no depende de la posición del punto sobre la sección). y z x Figura 11: Esquema de una viga recta de sección arbitraria. 16 Esta es la condición de compatibilidad de deformaciones en distintos puntos de la sección Queremos ahora relacionar las deformaciones con las acciones, por lo que, en primer lugar, escribimos las ecuaciones de equilibrio que relacionan las tensiones con los esfuerzos y, en segundo lugar, utilizamos las ecuaciones constitutivas para relacionar las tensiones con las deformaciones. 4.2. Equilibrio de esfuerzos axiles Por definición, el esfuerzo axil es la resultante de las tensiones longitudinales que actúan sobre la sección, es decir: Z σx dA (30) N= S Para obtener el valor del axil correspondiente a una deformación longitudinal dada x tenemos que usar la ecuación constitutiva uniaxial según la cual, en general σx = σ̂(x ) (31) que en el caso lineal se reduce a la ley de Hooke σx = Ex . Si el material es uniforme (mismas propiedades mecánicas en todos los puntos de la sección), entonces la tensión es uniforme y puede sacarse fuera de la integral, con lo que, trivialmente, N = σ̂(x )A material uniforme general (32) material uniforme lineal (33) y si es lineal N = x EA En muchos casos prácticos, especialmente en ingenierı́a de materiales, el material de la viga no es uniforme, bien porque esté compuesta por varios materiales pegados entre sı́, o porque se trate de un material con función gradiente, en el cual las propiedades mecánicas varı́an de un punto a otro. Centrándonos en el caso de secciones no uniformes de materiales hookeanos, para las cuales el módulo de elasticidad no es uniforme (es decir que d epende de la posición, E = E(y, z)), la expresión para N resulta Z Z N = Ex dA = x E dA (34) x x y, definiendo el módulo de elasticidad medio de la sección E en la forma Z EA = EdA, (35) S resulta N = x EA material no uniforme lineal (36) que es la generalización de la ecuación (33). Ejemplo 4.1 Considérese un elemento prismático de sección rectangular de longitud `, 17 canto c y anchura b, que está constituido por un material con función gradiente, cuyas propiedades varı́an continuamente a lo largo del espesor. En el caso que se estudia el material se comporta linealmente y el modulo de elasticidad es E1 en la cara inferior y 2E1 z en la cara superior, y varı́a linealmente a lo largo del canto. Determinar el esfuerzo axil cuando el prisma se somete a una extensión uniaxial uniforme que produce un alargamiento ∆`. y c ` b x Solución. En este caso, la deformación es uniforme y vale x = ∆`/` . El módulo de elasticidad varı́a linealmente con la distancia y a la cara inferor de manera que vale E1 para y = 0 y 2E1 para y = c, por lo que su ecuación es E = E1 +(E1 /c)y = E1 + E1 y/c = E(y) . Consecuentemente, el producto EA es Z Z c EA = x E(y)dA = E(y)bdy, S 0 donde, para integrar, hemos tomado como diferenciales de áreas la familia rectángulos infinitesimales de base b y altura dy mostrados en la figura siguiente: y dA 2E1 E(y) c dy z E E1 b Sustituyendo la expresión sel módulo de elasticidad resulta Z c y c2 1+ bdy = E1 bc + b/c ⇒ EA = 1,5E1 A EA = E1 c 2 0 donde A = bc es el área de la sección recta. Consecuentemente N = 1,5E1 A∆`/` . En el caso de sección compuesta por n materiales distintos que identificamos con un subı́ndices 1, 3 · · · n de módulos de elasticidad E1 , E2 , · · · En y que ocupan áreas de la sección A1 , A2 , · · · An la ecuación anterior se reduce a EA = E1 A1 + E2 A2 + · · · + En An = 4.2.1. n X Ei A i (37) i=1 Equilibrio de momentos La resultante de un sistema de vectores (en este caso de las tensiones longitudinales) no caracteriza el sistema completamente; es preciso determinar el momento en algún punto del espacio. Ahora bien, en el caso de un sistema de vectores paralelos, como el que nos ocupa, se demuestra que existe un punto respecto del cual el momento es cero. Este punto se denomina centro del sistema, y en el caso particular que nos ocupa lo denominaremos centro de axiles , y tiene la propiedad de que el sistema de tensiones longitudinales se reduce al vector axil aplicado en ese punto. Por lo tanto buscamos el centro de axiles como el punto de coordenadas (yN , zN ) en el plano de la sección en el cual el momento de las tensiones es cero, es decir, que cumple las condiciones Z Z (y − yN )σx dA = 0 y (z − zN )σx dA = 0 (38) S S 18 para las componentes z e y, respectivamente, del momento. Despejando la coordenada yN resulta Z Z Z Z yN σx dA = yσx dA ⇒ yN σx dA = yσx dA (39) S S S S En el caso de que el material sea uniforme, sigmax sale de las integrales en ambos miembros y resulta que el centro de axiles coincide con el centro de gravedad de la sección: Z yN A = ydA ⇒ yN ≡ yG para material uniforme (40) S En el caso de que la respuesta sea elástica pero el material no sea homogéneo, puede ponerse σx = Ex con lo que resulta Z yEdA (41) yN EA = S que puede interpretarse como el centro de gravedad de una chapa con la forma de la sección y con un espesor en cada punto proporcional al módulo de elasticidad correspondiente. Ejemplo 4.2 En la viga de un material con función gradiente del ejemplo 4.1, determinar el centro de axiles. Solución. Sustituyendo las expresión anteriormente halladas poara EA y E en la ecuación (41), resulta c Z c 5 b cy 2 y 3 5 y yN 1,5E1 A = E1 y 1+ bdy = E1 + = E1 bc2 = E1 Ac c c 2 3 0 6 6 0 5 con lo que resulta yN = c 9 En el caso de una sección compuesta por n materiales homogéneos, el segundo miembro se reduce a una suma: Z Z Z Z Z n X yE(y, z)dA = E1 ydA + E2 ydA · · · + En ydA = Ei ydA (42) S S1 S2 Sn i=1 Si donde Si es la parte de la sección ocupada por el material i, y puesto que cada una de las integrales de la suma es, por definición, el producto del área correspondiente Ai por la coordenada yGi del centro de gravedad de la misma, resulta, finalmente yN EA = yG1 E1 A1 + yG2 E2 A2 + · · · + yGn En An = n X yGi Ei Ai (43) i=1 donde EA está dado, en este caso, por la ecuación (37) Es de notar que existen muchos casos prácticos en los que el cálculo del centro de axiles es inmediato debido a condiciones de simetrı́a: en efecto, si la sección tiene un eje de simetrı́a geométrica y material (es decir, que las propiedades del material son las mismas en puntos simétricos respecto de ese eje), entonces el centro de axiles está sobre el eje de simetrı́a. En este curso consideraremos siempre secciones simétricas respecto al eje y, por lo que el centro de axiles, igual que el centro de 19 gravedad del área, estará sobre dicho eje. En muchos casos, existe también un eje de simetrı́a perpendicular al eje y (secciones rectangulares, circulares, en doble T o I, etc.) en cuyo caso el centro de axiles está en el punto de intersección de ambos ejes, que es el centro de simetrı́a de la sección. Veamos, con un ejemplo, como organizar el cálculo cuando no existe un eje de simetrı́a perpendicular al eje y: Ejemplo 4.3 Una viga de sección rectangular de 100 mm de canto y 200 de anchura, de un material elástico de módulo de elasticidad E1 se refuerza pegando en su cara inferior una lámina de 5 mm de espesor 100 de un material cuyo módulo de elasticidad es E2 = 5E1 . Determinar el centro de axiles y el módulo de elasticidad medio. 5 200 Solución. Disponemos los datos en una tabla de 8 columnas que en cada fila contiene los datos de un componente que son, de izquierda a derecha: el número de componente, su anchura, su altura, su área, su módulo de elasticidad el producto de su área por el módulo de elasticidad E, la posición (respecto de la cara inferior) de su centro de gravedad yG y, finalmente el producto yGi Ei Ai de los elementos de la sexta y séptima columnas; todas las longitudes se expresan en cm i 1 2 bi 20 20 ci 10 0.5 P Ai 200 10 210 Ei E1 5E1 — Ei Ai 200E1 50E1 250E1 yG i 5.5 0.25 — yGi Ei Ai 1100E1 125E1 1225E1 La suma de la cuarta columna es el área total A = 210 cm2 , la suma de la sexta columna es, de acuerdo con la ecuación (37), el producto EA = 250E1 y la suma de octava columna es, de acuerdo con la ecuación (43), el producto yN EA = 1225E1 , por lo tanto, yN es igual la suma de la octava columna dividida por la suma de la sexta: yN = 1225/250, i.e., yN = 4,90 cm , 0.35 centı́metros por debajo del centro de gravedad geométrico de la sección. Por su parte, el módulo de elasticidad medio se obtiene dividiendo la suma de la sexta columna por la de la cuarta: E = 25E1 /21, i.e., E = 1,19E1 4.3. 4.3.1. Flexión pura Ecuaciones de compatibilidad de deformaciones Estudiamos a continuación el caso viga recta con un plano de simetrı́a en el cual flecta. Tomamos el plano de simetrı́a com plano xy y el eje z perpendicular a él, como se esquematiza en la figura 12. En flexión pura, un tramo de viga de longitud inicial `0 flecta en el plano xy sometida únicamente a fuerzas interiores cuya resultante general en cualquier sección recta se reduce a un momento flector constante en la dirección del eje z. En estas circunstancias las “fibras”materiales paralelas al eje de la viga que van de una cara a otra, como la AA0 de la figura 12, adoptan la forma de arcos de circunferencia contenidos en planos paralelos al xy que, proyectados sobre el plano xy aparecen como arcos de circunferencia concéntricos tal como se representa en la figura 13; a su vez, las secciones rectas se transforman en secciones radiales en virtud de la Hipótesis de Navier. En dicha figura se muestra, a la izquierda, el tramo de viga de longitud `0 antes de deformarse y, a la derecha, el mismo una vez deformado. Las fibras A0 A y O0 O se deforman en arcos de circunferencia con centro en C. Debido a la flexión, las fibras más externas de la parte convexa de la curva 20 y y A! A z z x Figura 12: Esquema de una viga de sección recta simétrica respecto del plano xy. C ρy θ y ρ A ! A ! Oy O y0 A !y x A !0 ! y − y0 O !0 O! y0 Figura 13: Esquema de las deformaciones en flexión pura. se alargan y las de la parte cóncava se acortan, por lo que debe existir una fibra intermedia O0 O que mantiene su longitud, a la cual denominamos fibra neutra y cuya posición y0 debemos determinar. Sea ρ el radio de curvatura de la fibra neutra O0 O; entonces, la condición de que su longitud se mantiene igual a la inicial es ρθ = `0 ⇒ θ = `0 ρ (44) Por otra parte, suponiendo, como es usual cuando las deformaciones no son muy grandes, que la distancia entre fibras permanece aproximadamente igual a la inicial, la longitud final de una fibra situada a la distancia y es , en virtud de la compatibilidad de deformaciones longitudinales exigida por la Hipótesis de Navier representada figura 13, `(y) = ρy θ = [ρ − (y − y0 )] `0 `0 `0 = `0 − (y − y0 ) ⇒ ∆`(y) = − (y − y0 ) ρ ρ ρ (45) de la que se sigue la deformación de la fibra sin más que dividir por `0 : 1 x = − (y − y0 ) = −κ(y − y0 ) ρ 21 (46) y O! plan o ne utro z eje neutro O x Figura 14: Esquema del plano neutro de la viga y del eje neutro de la sección. donde κ = 1/ρ = curvatura de la fibra neutra. En el razonamiento anterior, hemos singularizado una fibra para ver como se alarga, pero es evidente que todas las fibras que están a la misma distancia y del plano xz experimentan la misma deformación y que todas las que están a la distancia y0 experimentan una deformación nula. En el espacio, el lugar geométrico de las fibras que no se alargan es un plano, que denominamos plano neutro (figura 14). La intersección del plano neutro con el plano de la sección es una recta a la que denominaremos eje neutro de la sección. En general se da por supuesto que el eje ideal de la viga es la intersección del plano neutro y el plano de simetrı́a de la viga y se dice que ρ y κ son el radio de curvatura y la curvatura de la viga. La ecuación (46) establece la compatibilidad de deformaciones entre las fibras impuesta por la Hipótesis de Navier y tiene dos grados de libertad: la curvatura κ y la posición de la fibra neutra y0 , que debemos relacionar con los esfuerzos, lo que se consigue estableciendo las condiciones de equilibrio y utilizando, a continuación la ecuación constitutiva junto con la anterior ecuación de compatibilidad. 4.3.2. Equilibrio de esfuerzos axiles: posición de la fibra neutra La primera ecuación de equilibrio es la de axiles, que expresará que el esfuerzo axil resultante de las tensiones normales σx es cero; en consecuencia, igualando el segundo miembro de la ecuación (30) a cero, obtenemos la condición Z σx dA = 0 (47) S Dada ahora la ecuación constitutiva del material σx = σ̂(x ), obtenemos la condición Z σ̂[−κ(y − y0 )] dA = 0 (48) S que en el caso general, establece una relación no lineal entre y0 y κ que, salvo casos de secciones con centro de simetrı́a, hay que desarrollar en cada caso particular. En el caso lineal, sin embargo, la condición puede resolverse con generalidad y la posición de la fibra neutra es independiente de κ. En efecto, si el material es lineal tenemos σx = Ex y la integral se reduce a Z Z Z − κ E(y − y0 ) dA = 0 ⇒ y0 E dA = yE dA (49) S S 22 S Teniendo en cuenta la definición de módulo de elasticidad medio de la ecuación (35), la condición se reduce a Z y0 EA = yE dA (50) S que coincide exactamente con la ecuación (41), lo cual significa que en el caso de que la respuesta de todas las fibras sea lineal, la posición y0 de la fibra neutra coincide con la posición yN del centro de axiles, y todas las ecuaciones del apartado anterior son aplicables a la determinación de la posición de la fibra neutra. 4.3.3. Equilibrio de momentos: relación momento curvatura Una vez establecido el equilibrio de axiles que afirma que la resultante de la distribución de tensiones normales es nula, queda por establecer que el momento flector es igual al momento resultante de dicha distribución. Para ello podemos tomar momentos en cualquier punto porque, al ser la resultante nula, el momento es idéntico en todos los puntos. Elegimos, por simplicidad, tomar momentos en un punto del plano neutro. La componente z del momento (las otras son nulas por las condiciones supuestas de simetrı́a), que llamamos simplemente M , viene dada por Z M = − (y − y0 )σx dA (51) S donde el signo menos corresponde a que tensiones positivas por encima de la fibra neutra dan lugar a un momento negativo. En el supuesto de comportamiento lineal del material (aunque no necesariamente uniforme) resulta, después de sustituir σx = Ex = −κE(y − y0 ), Z (52) M = κ (y − y0 )2 E dA = κEI S donde se ha escrito EI = Z S (y − y0 )2 E dA (53) Ejemplo 4.4 Para la viga de material con función gradiente del ejemplo 4.1, determinar el eje neutro y la rigidez a flexión EI. Solución. El eje neutro pasa por el centro de axiles, resultado que se obtuvo en el ejemplo 4.2, por lo que y0 = yN = 5c/9. En consecuencia, tenemos, usando el mismo esquema de integración que en el citado ejemplo Z c Z c 5 2 y 5 2 y bdy = E1 b 1+ dy EI = y − c E1 1 + y− c 9 9 c 0 0 | {z c } |{z} dA E(y) La última integral puede realizarse manualmente sin dificultad (el integrando es un polinomio), pero es tedioso y cometer errores es fácil, por lo que puede ser interesante utilizar un software de álgebra simbólica. Aqui se ha usado el programa Maxima porque es de dominio público2 y muy fácil de usar. La integral se resuelve tecleando la instrucción integrate((y-5*c/9)^2*(1+y/c),y,0,c); (incluido el punto y coma) y presionando 13 return. El resultado es 13c3 /108, por lo que la rigidez a flexión es EI = E1 108 bc3 y 13 teniendo en cuenta que E = 1,5E1 resulta, también EI = E 162 bc3 . Puede descargarse en http://maxima.sourceforge.net/download.html. Véanse instrucciones para integrar en Windows en el apendice A. 2 23 Cuando el material es uniforme, E constante y puede sacarse fuera de la integral y resulta, simplemente, EI = EI (54) donde I es el momento de inercia del área respecto del eje neutro, que, en este caso, pasa por el centro de gravedad del área de la sección: Z I = (y − y0 )2 dA (55) S Cuando el área está formada por una combinación de formas geométricas simples, es conveniente calcular el momento de inercia del área como la suma de los momentos de inercia de las áreas simples: I = I1 + I2 + · · · + In = n X Ii (56) i=1 Estos momentos de inercia deben ser todos respecto del eje neutro de la sección, por lo que usualmente será necesario usar el teorema de los ejes paralelos para pasar de un eje central (i.e. que pasa por el centro de gravedad del área considerada) al eje neutro: (57) Ii = Iˆi + (yGi − y0 )2 Ai donde Iˆi es el momento central de inercia para un eje paralelo al neutro, e yGi la posición del centro de gravedad, todo ello para el área i-ésima. 30 200 200 Ejemplo 4.5 Una viga de sección en T de 200 mm de altura, 200 de anchura y 30 mm de espesor de ala y de alma, hecha de un material de módulo de elasticidad 70 GPa va a trabajar a flexión en su plano de simetrı́a. Determinar la posición del eje neutro, el momento de inercia del área respecto de él y la rigidez a flexión en kNm2 . 30 Solución. Descomponemos el área en dos rectángulos: (1) las alas y (2) el alma y empezamos por calcular la posición del centroide, con una tabla similar a la utilizada en el ejemplo 4.3. Ponemos las distancias en cm y medimos desde la cara inferior: donde la última celda inferior derecha i bi ci Ai yGi yGi Ai y0 es el cociente entre la suma de la sexta 1 20 3 60 18,5 1110 columna y la suma de la cuarta y es la 2 3 17 51 8,5 433,5 P posición del eje neutro (y del centro de 111 — 1543,5 13,91 gravedad de la T). A continuación calculamos el momento de inercia partiendo de los centrales de cada rectángulo (los resultados en cm4 ): i 1 2 bi 20 3 ci 3 17 Iˆi 45,00 1228,25 Ai 60 51 yGi − y0 4,595 −5,405 (yGi − y0 )2 Ai 1267 1490 P Ii 1312 2718 4030 Finalmente la rigidez a flexión es EI = 70 × 109 × 4030 × 10−8 = 2,821 × 106 Nm2 , es decir, EI = 2821 kNm2 . En el caso de que los componentes de la sección sean materiales de distinto módulo de elasticidad, se puede calcular la rigidez EI sumando la contribución de 24 cada uno de los componentes, con lo cual tendrı́amos la rigidez a flexión expresada como n X EI = E1 I1 + E2 I2 + · · · + En In = Ei Ii (58) i=1 con lo cual, el cálculo de la rı́gidez se limita a añadir dos columnas a la tabla del ejemplo anterior, donde una para los módulos de elasticidad y otra para los productos Ei Ii . Ejemplo 4.6 Para la viga reforzada del ejemplo 4.3, determinar la rigidez a flexión si E1 = 40 GPa. Solución. En el citado ejemplo se calculó la posición del eje neutro, que resulta estar a 4,9 cm de la cara inferior. Construimos entonces la tabla siguiente, con las dimensiones en cm y los módulos de elasticidad en GPa i 1 2 bi 20 20 ci 10 0.5 Iˆi 1666,67 0,21 Ai 200 10 yGi − y0 0,6 −4,65 (yGi − y0 )2 Ai 72.0 216.23 Ii 1738.67 216.44 Ei 40 200 P es decir EI = 112835 GPa cm4 = 1128350 Nm2 , i.e., EI = 1128 kNm2 4.3.4. Ei Ii 69547 43288 112835 Distribución de tensiones normales En los apartados anteriores hemos arrancado de las condiciones de compatibilidad para determinar las deformaciones, a partir de las cuales hemos calculado las tensiones mediante la ecuación constitutiva y de ello hemos calculado la relación momento flector-curvatura. Podemos ahora cerrar el bucle y calcular las tensiones para un momento flector dado. Ciñéndonos al caso lineal (aunque no necesariamente uniforme), hemos obtenido que M = κEI es decir que κ = M/EI y, de la ecuación de compatibilidad x = −κ(y − y0 ) y la ley de Hooke para cada fibra, llegamos a la expresión σx = −E(y, z) M (y − y0 ) EI (59) donde se ha hecho explı́cito que, en el caso general lineal, el módulo de elasticidad puede depender de la posición dentro de la sección, con lo que la distribución de tensiones puede ser no lineal, como se ve en el siguiente ejemplo Ejemplo 4.7 Para la viga de material con función gradiente del ejemplo 4.1, determinar la distribución de tensiones normales para un momento flector dado. Solución. En el citado ejemplo se calculó la posición del eje neutro, que resulta estar a 5c/9 cm de la cara inferior, y la distribución de módulos de elasticidad, que es E = E1 (1+y/c), y en el ejemplo 4.4 la rigidez EI = 13E1 bc3 /108, de manera que sustituyendo en la ecuación (56) resulta 108M y y 5 σx = − 1+ − 13bc2 c c 9 que muestra que la distribución de tensiones es parabólica. 25 En el caso de material uniforme, EI = EI y E es constante, por lo que se obtiene una distribución lineal sobre toda la sección: M (60) σx = − (y − y0 ) I lo cual implica que la tensión máxima, en valor absoluto, ocurre siempre en la fibra más alejada de la fibra neutra, es decir M |y − y0 |máx (61) |σx |máx = I ecuación usada extensamente para diseñar vigas basadas en el criterio de la tensión admisible, en el cual debe cumplirse que la tensión máxima en en la sección más desfavorable sea inferior a un cierto valor admisible σa . Est es tanto como obligar a que se cumpla la condición |M |máx |y − y0 |máx ≤ σa (62) I Se trata, sin embargo de un criterio muy simplificado que supone una simetrı́a en la resistencia del material en tracción y en compresión. En vigas compuestas por distintos materiales, la distribución de tensiones normales dentro de cada componente es lineal, pero diferente. la expresión de la distribución de tensiones para el componente i es, de acuerdo con la ecuación (56) Ei M (y − y0 ) (63) σxi = − EI y el criterio de tensión admisible debe aplicarse a cada componente independientemente. 4.4. Ejercicios Ejercicio 4.1 En una viga de sección rectangular uniforme de espesor b y canto c, determinar las relaciones entre el momento flector y el axil para las que todas las fibras de la sección están comprimidas. Ejercicio 4.2 Considérese una viga de sección cuadrada de lado a con un hueco concéntrico circular de diámetro d = 0,9a. Determinar el máximo momento flector que puede aplicarse a la viga si la tensión admisible es σa , (a) si el momento flector es paralelo a uno de los lados del cuadrado (figura de la izquierda), y (b) si el momento flector es paralelo a una de las diagonales del cuadrado (figura de la izquierda). Aplicación numérica: a = 40 mm, σa = 120 MPa. y Ejercicio 4.3 La estructura de la figura, de longitud total ` está formada por dos vigas de igual sección y material unidas por una rótula. se pide: (a) determinar la posición de la rótula B para que los momentos máximos en los tramos AB y BC sean iguales en valor absoluto; (b) determinar el canto de la viga si la sección es rectangular, de canto c y espesor c/2 y la tensión admisible es σa ; (c) determinar el canto de la viga si se usa un perfil laminado IPE.3 Aplicación numérica: ` = 6 m, q = 10 kN/m, σa = 150 MPa. y 3 q z A z B C ! 3 Véanse las caracterı́sticas geométricas 26 de perfiles laminados estructurales en Ejercicio 4.4 Para la viga de la figura, se pide: (a) determinar la posición del apoyo B para que los momentos máximo y mı́nimo (positivo y negativo) sean iguales en valor absoluto; (b) determinar el canto de la viga si la sección es rectangular, de canto c y espesor 2c/3 y la tensión admisible es σa ; (c) determinar el canto de la viga si se usa un perfil laminado HEB.3 Aplicación numérica: ` = 4,5 m, q = 7 kN/m, σa = 210 MPa. A q B ! C http://www.apta.com.es/prontuario/Capitulo 2.htm# Toc517578394. 27 5. Deformaciones de vigas rectas esbeltas En esta sección analizamos la teorı́a más simple de las deformaciones de vigas rectas esbeltas, en las que la hipótesis de Navier es aplicabe, lo que significa, por un lado, que se desprecian los efectos locales de las secciones extremas y de las singularidades, y, por otro, que se desprecian las deformaciones inducidas por el cortante; estas simplificaciones son aceptables si la viga es esbelta, es decir, que su canto es mucho menor que su longitud. Además de las simplificaciones anteriores, limitaremos el estudio a los casos en que el material tiene un comportamiento lineal (aunque puede no ser uniforme) y en los que son pequeños: (1) los desplazamientos de todos los puntos de la viga comparados con la longitud de la viga; (2) los giros de las fibras longitudinales; y (3) las curvaruras de las fibras longitudinales comparados con el canto de la viga. En virtud de los resultados de la sección anterior, representaremos la viga por su eje de axiles, que es el lugar geométrico de los centros de axiles de todas sus secciones y, gracias a la linealidad supuesta, trataremos separadamente los desplazamientos longitudinales y los transversales, siendo los primeros debidos al esfuerzo axil, y los segundos debidos al momento flector. 5.1. Desplazamientos longitudinales Von ele eje x en la dirección longitudinal de la viga, al ecuación de compatibilidad expresada en corrimientos es ∂ux = x (64) ∂x Si la distribución de esfuerzos axiles es conocida, podemos calcular la distribución de deformaciones longitudinales a partir de (36), y podemos a continuación integrar (64) entre dos puntos A y B del eje de la viga: Z xB Z xB ∂ux x dx (65) dx = ∂x xA xA y la primera integral se resuelve inmediatamente para dar la diferencia de corrimientos entre los puntos A y B, y la segunda puede interpretarse como el área encerrada por el diagama de deformaciones axiales, con lo que podemos poner Z xB uxB = uxA + x dx ≡ uxA + AA–B , (66) xA ecuación que, conocido el corrimiento axial en un punto de la viga, permite calcular el corrimiento axial en cualquier otro a partir de la distribución de deformaciones, es decir, de la distribución de axiles. Ejemplo 5.1 La viga biapoyada de la figura tiene sección uniforme de área A y está hecha de una combinación de materiales lineales con módulo de elasticidad medio E. Si está sometida a un axil cuyo diagrama es el que se muestra en la figura, determinar el desplazamiento del apoyo izquierdo y del punto medio de la viga. N1 A = C ` 28 = B N1 /2 Solución: El desplazamiento del punto B cero, por tanto, aplicando la ecuación (66) entre los puntos A y B y entre los puntos C y B, resulta % ux0B= uxA + N1 ` 1 N1 2 ` 1 N1 1 ` + − EA 2 2 EA 3 2 2 2EA 3 2 ⇒ uxA = − 5 N1 ` 8 EA donde los tres últimos términos del segundo miembro de la primera ecuación son, de izquierda a derecha: el área del rectángulo, el área del triángulo positivo y el área del triángulo negativo. Las bases de los triángulos se han determinado por razones de semejanza; el desplazamiento es negativo con los ejes estándar, es decir que A se deplaza hacia la izquierda. Nótese que existen varias formas de calcular el área por descomposición en áreas simples; se ha utilizado la más obvia, pero serı́a más simple utilizar un trapecio de altura 3N1 /3 y bases ` y `/2 menos un rectángulo de altura N1 /2 y base `. El desplazamiento del punto central se obtiene de forma análoga, siendo entonces el área la que corresponde a los dos últimos términos de la ecuación anterior, por lo que se 1 N1 ` obtiene uxC = − . 8 EA 5.2. 5.2.1. Desplazamientos normales al eje de la viga Bases geométricas del cálculo Los desplazamientos normales (i.e. en la dirección del eje y) son, como ya se ha dicho, principalmente debidos al momento flector, o, más especı́ficamente, a la curvatura inducida por el momento flector. Supongamos pues que conocemos la distribución de curvatura a lo largo de la viga. En general, la curvatura es la medida del cambio de dirección de una curva con el cambio de posición a lo largo de ella (Fig. 15a): dθ κ= (67) dl En el caso de una viga que se deforma de manera que sus puntos se desplazan uy (x) en dirección del eje y (Fig. 15b), tenemos las siguientes que se deducen a continuación. En primer lugar, la derivada de uy con respecto a x es la pendiente de la curva deformada, es decir ∂uy = tan θ ≈ θ si θ 1 (68) ∂x y como siempre consideraremos ángulos pequeños, tomaremos la aproximación como igualdad. (a) ρ (b) y dθ dθ θ dl dθ uy dl uy + duy dx Figura 15: Definición de radio de curvatura, diferencial de longitud de arco y diferencial de ángulo (a); deformada de una viga recta debido a desplatzamientos normales a su eje (b). 29 En segundo lugar, la longitud de arco dl es, salvo infinitésimos de segundo orden q p dx ≈ dx si θ 1 (69) dl = (dx)2 + (duy )2 = dx 1 + tan2 θ = cos θ y de nuevo, consideraremos que los ángulos son siempre muy pequeños, por lo que pondremos siempre dl ≡ dx. Finalmente, sustituyendo el resultado anterior en la definición de curvatura, resulta ∂θ dθ ≡ (70) κ= dx ∂x Para resolver el problema de los desplazamientos normales de la viga, partimos de la curvatura determinada a partir del momento flector utilizando la ecuación (52) y obtenemos los giros y los desplazamientos integrando las ecuaciones (70) y (68), por este orden. 5.2.2. Cálculo de los giros Para calcular los giros partimos de la expresión (70), que multiplicamos por dx e integramos, igual que hicimos para los corrimientos longitudinales: Z xB Z xB ∂θ ∂θ =κ ⇒ dx = κ dx (71) ∂x xA ∂x xA y la primera integral se resuelve inmediatamente para dar la diferencia de giros entre los puntos A y B, y la segunda puede interpretarse como el área encerrada por el diagama de curvaturas, con lo que podemos poner Z xB θB = θA + κ dx ≡ θA + AκA–B , (72) xA Ejemplo 5.2 Determinar el giro en el extremo de una ménsula de la figura sometida a una fuerza perpendicular a su eje en su extremo. Supóngase uniforme y conocida la rigidez a flexión EI. A B P ` Solución: La ley de momentos flectores se obtiene inmediatamente del equilibrio de un tramo de viga entre una sección a la distancia x y el extremo B. El resultado es M = P (` − x) y el diagrama de momentos es el siguiente: B A P` con lo cual el área del diagrama de curvaturas es igual al área del triángulo sombreado, P ` × `/2, dividida por EI y , en consecuencia la ecuación (72) da como resultado 1 P` P `2 θB = % θA0 + ⇒ θB = donde se ha impuesto la condición de que el giro en el 2 EI 2EI empotramiento es cero. 30 Ejemplo 5.3 Suponiendo que la ménsula del ejemplo 3.5 tiene una rigidez a flexión EI, determinar el giro en su extremo derecho. Solución: La ley de momentos flectores se obtuvo en el citado ejemplo, y la curvatura correspondiente es simplemente M/EI; como el resultado es una parábola cúbica cuya área no se supone conocida, calcularemos el incremento de giro por integración. Tomando el empotramiento como punto A y el extremo libre como punto B, y teniendo en cuenta que el giro está impedido en el empotramiento, la ecuación (72) da como resultado ` Z ` p0 p0 −1 p 0 `3 0 3 4 θB = % θA + (` − x) dx = (` − x) ⇒ θB = 6`EI 0 6`EI 4 24EI 0 En los ejemplos anteriores se ha calculado el giro en un punto concreto de la viga. En ciertos casos, empero, resulta necesario o interesante calcular los giros en todos los puntos de la viga o de un tramo de la viga. Para ello basta, conociendo el giro en un punto, calcular el giro en un punto arbitrario (i.e., dejar que xA o xB sean variables. Ejemplo 5.4 Determinar el giro en el todos los puntos de la ménsula del ejemplo 5.2. Solución: Tomando como punto “B” en la ecuación (72) un punto arbitrario X obtene P (` − x ) P ` 1 X xX , donde el último miembro es el área + mos θX = % θA0 + AκA–X = 2 EI EI del trapecio de curvatura entre A y X: A P` Poniendo ahora xX ≡ x resulta θ(x) = B X P (` − xX ) P x(2` − x) 2EI Ejemplo 5.5 Determinar el giro en el todos los puntos de la ménsula del ejemplo 5.3. Solución: Tomando como punto “B” en la ecuación (72) un punto arbitrario X obtenemos xX Z xX p0 p0 −1 0 4 3 % θX = θA + (` − x) (` − x) dx = 6`EI 0 6`EI 4 0 p0 4 con lo cual, después de operar y poner xX ≡ x resulta θ(x) = ` − (` − x)4 24`EI 5.2.3. Cálculo de los desplazamientos Supongamos, por el momento, que hemos determinado los giros para todo punto como en los dos ejemplos anteriores. Podemos integrar la ecuación (68) escribiendo Z xB Z xB ∂uy ∂uy =θ ⇒ dx = θ dx, (73) ∂x ∂x xA xA de forma que, procediendo como en los casos anteriores obtenemos Z xB uyB = uyA + θ dx (74) xA que se utiliza como hemos visto ya repetidas veces. Sin embargo, obtener la curva completa de giros es a veces excesivamente costoso para las necesidades de un problema, especialmente cuando lo que se requiere es 31 y xA xB x dx dMBκ = (xB − x)κ dx κ xB −x dAκ = κ dx κ Figura 16: Momento del área de curvaturas. obtener el desplazamiento en unos pocos puntos. Para evitarlo, podemos recurrir a una integración por partes, escribiendo θdx = d(θx) − xdθ = d(θx) − xκdx (75) donde en la última igualdad se ha utilizado la definición de curvatura; sustituyendo en la integral anterior, resulta Z xB Z xB xB uyB = uyA + [θx]xA − xκ dx = uyA + θB xB − θA xA − xκ dx (76) xA xA Supongamos ahora que conocemos uyA y θA ; podemos sustituir θB por su expresión (72) para obtener, después de reordenar, el denominado segundo teorema de Mohr: Z xB uyB = uyA + θA (xB − xA ) + (xB − x)κ dx (77) xA En esta ecuación, la integral puede interpretarse como el momento del área de curvaturas entre los puntos A y B con respecto al punto B, con el convenio de signos habitual de que la curvatura positiva apunta hacia abajo (Fig. 16), ya que Z xB Z xB dMBκ dx = MBκA–B (xB − x)κ dx = (78) xA xA con lo que resulta uyB = uyA + θA (xB − xA ) + MBκA–B (79) uyB = uyA + θA (xB − xA ) + AκA–B (xB − xκGA–B ) (80) Si el área de curvaturas tiene una forma cuyo centro de gravedad es conocido, podemos expresar el momento del área como el área total (entre A y B), multiplicada por la distancia de su centro de gravedad a B, es decir Ejemplo 5.6 Determinar el desplazamiento en el extremo de la ménsula del ejemplo 5.2. Solución: En este caso uyA = 0 y θA = 0 con lo que queda uyB = 2 1 P` ` × ` 3 |{z} |2 EI {z } área ⇒ uyB = P `3 3EI dist cdg Ejemplo 5.7 Determinar el desplazamiento en el extremo de la ménsula del ejemplo 3.5. Solución: En este caso uyA = 0 y θA = 0 con lo que, con la expresión de los momentos obtenida en el citado ejercicio y utilizando la expresión integral (77), resulta ` Z ` p0 −1 p0 `4 p0 3 5 uyB = (` − x) (` − x) dx = (` − x) ⇒ uyB = 6`EI 6`EI 5 30EI 0 0 32 Ejemplo 5.8 Determinar los giros en los extremos y la flecha en centro para una viga biapoyada de longitud ` sometida a una sobrecarga uniforme de valor q dirigida hacia abajo. q A B ` Solución: Empezamos por calcular las reacciones, que son iguales entre sı́ y a ↑ q`/2. El momento flector es pues M = (q`/2)x − (qx)(x/2) = qx(` − x)/2. Como existe simetrı́a de carga, la deformada debe ser simétrica con respecto al centro de la viga, y, por tanto, el giro en el centro debe ser nulo. Por lo tanto, aplicando la forma integral (72) para el giro entre el extremo izquierdo A y el centro C resulta Z `/2 q q 1 2 1 3 `/2 θC = 0 = θ A + x(` − x)dx ⇒ θA = − `x − x 3 2EI 2EI 2 0 0 q`3 . Aplicando ahora la expresión (77) para los co24EI rrimientos entre el centro y el extremo derecho B, para el cual el desplazamiento es nulo, resulta Z ` q 0 % (` − x) uyB = 0 = uyC + θC (xB − xC ) + x(` − x)dx 2EI `/2 y, en consecuencia, θB = −θA = e integrando con la ayuda de Maxima resulta uyC = − 5q`4 384EI Ejemplo 5.9 Determinar los giros en los extremos y la flecha en centro y en el punto de aplicación de la carga para una viga biapoyada de longitud ` sometida a una carga vertical concentrada hacia abajo de valor P A 1 4! P C D B ! Solución: Empezamos por calcular las reacciones y la ley de momentos, con los resultados que se muestran en la figura. A 3P/4 D P C 3P `/16 B P/4 Como en este caso no existen simetrı́as, no conocemos ninguno de los giros, pero sı́ sabemos que los desplazamientos en A y B son nulos, por lo que podemos poner 1 ` 3P ` 1 ` 3` 1 3` 3P ` 2 3` 7P `2 uB − uA = 0 = θA ` + + + ⇒ θA = − donde se 2 4 16EI 3 4 4 2 4 16EI 3 4 128EI ha tomado momentos respecto a B de cada uno de los triángulos rectángulos en los que se descompone el área de momentos. Ahora podemos calcular el giro en B sumando al de A 1 3P ` 5P `2 el área del triángulo de momentos dividida por EI: θB = θA + ` ⇒ θB = 2 16EI 128EI A continuación buscamos la flecha en el punto D usando la ecuación de desplaza` 1 ` 3P ` 1 ` 3P `3 ⇒ uyD = − mientos entre A y D: uyD = % uy0A + θA + Final4 2 4 16EI 3 4 256EI mente, buscamos la flecha en el centro usando la ecuación de desplazamientos entre 33 B y C porque la integral o el momento del triángulo de curvaturas es mucho más fácil de calcular que el de un triángulo y un trapecio, aunque es preciso tener mucho cuidado con los signos de las distancias y con los lı́mites de integración: uyC = Z `/2 ` ` 11P `3 P 0 % uyB + θB (` − x)dx ⇒ uyC = − −` + −x 2 2 4EI 768EI ` Ejemplo 5.10 En una viga biapoyada de longitud ` sometida a un momento concentrado M0 en su extremo derecho, determinar los giros en los extremos, la distribución de flechas y la posición y valor de la flecha máxima (en valor absoluto) M0 ! Solución: La ley de momentos es inmediata porque el momento es nulo en el extremo izquierdo y M0 en el derecho y debe variar linealmente entre ambos: A x B M0 x/` M0 Sabemos que los desplazamientos en A y B son nulos, por lo que podemos poner ` 1 M0 M0 ` uB − uA = 0 = θA ` + × ` ⇒ θA = − donde se ha tomado momentos 3 2 EI 6EI respecto a B del triángulo total de momentos (sombreado claro). Ahora podemos calcular el giro en B sumando al de A el área del triángulo de momentos dividida por EI: 1 M0 M0 ` θ B = θA + ` ⇒ θB = A continuación buscamos la flecha en el punto x 2 EI 3EI x 1 M0 x usando la ecuación de desplazamientos entre A y x: uy (x) = % uy0A + θA x + × x ⇒ 3 2 `EI M0 x 2 (` − x2 ) La deformada correspondiente es una parábola cúbica que se uy (x) = − 6EI` anula en x = 0 y en x = ±`, es negativa en todo el intervalo que corresponde a la viga y tiene un mı́nimo en él. El mı́nimo se obtiene derivando e igualando a cero la derivada, i.e., √ `2 − 3x2 = 0 ⇒ x = `/ 3 es la posición de la flecha máxima, y el valor correspondiente M0 `2 es |uy |máx = √ 9 3EI 5.2.4. Principio de superposición y utilización de tablas Cuando el material es elástico lineal y los giros y corrimientos pequeños, las soluciones son aditivas, es decir, el giro y el desplazamiento debido a la aplicación simultánea de dos sistemas de carga, son iguales a la suma de los giros y los desplazamientos. Esto es ası́ porque las leyes de momentos y, por tanto, de curvaturas son aditivas. Esta propiedad suele llamarse el principio de superposición, y la operación de sumar las soluciones se denomina superponer. El principio de superposición es especialmente útil cuando el conjunto de cargas aplicado a la estructura puede descomponerse en casos simples cuyas soluciones han sido previamente calculadas y tabuladas, pero sirve también para dar interpretaciones geométricas simples a las expresiones de giros y corrimientos que se han obtenido en los apartados anteriores. Comenzando por las tablas, la figura 17 recoge algunos de los casos simples de carga que pueden utilizarse para, superponiendo varios de ellos, construir casos más complejos, como en el ejemplo siguiente 34 GIROS Y DESPLAZAMIENTOS PARA ALGUNAS GEOMETRÍAS Y CARGA x MÉNSULA Carga A B ! Giros MB P p Desplazamientos MB x EI MB ` = EI MB x2 2EI MB `2 = 2EI θ(x) = uy (x) = θB uy B P x(2` − x) 2EI P `2 = 2EI P x2 (3` − x) 6EI P `3 = 3EI θ(x) = uy (x) = θB uy B p (`3 − (` − x)3 θ(x) = 6EI p`3 θB = 6EI p px2 (6`2 − 4`x + x2 ) 24EI p`4 = 8EI uy (x) = uy B θB = p`3 24EI uy B = p`4 30EI θB = p`3 8EI uy B = 11p`4 120EI VIGA BIAPOYADA x A p Carga C !/2 !/2 Giros MB Desplazamientos MB (3x2 − `2 ) θ(x) = 6EI` MB ` θA = − 6EI MB ` θB = 3EI P p p 4x3 − 6`x2 + `3 24EI p`3 θA = −θB = 24EI θ(x) = MB x(`2 − x2 ) 6EI` MB `2 =− 16EI |MB | `2 = √ 9 3EI uy (x) = − uy C |uy |máx P `2 − 4x2 θ(x ≤ `/2) = 16EI P `2 θA = −θB = 16EI C B P x(3`2 − 4x2 ) 48EI P `3 = 48EI uy (x ≤ `/2) = uy C px(x3 − 2`x2 + `3 ) 24EI 5p`4 = 384EI uy (x) = uy C Figura 17: Giros y desplazamientos para algunos casos de carga. 35 Ejemplo 5.11 Determinar el giro y la flecha en su extremo de la ménsula de la figura q 0.3qa a 0.2qa2 Solución: Descomponemos el problema como superposición de los casos (I) (II) y (III) que siguen: q qa3 qa4 (I) θ(I) = − ; uy = − (I) 6EI 8EI + q 0.3qa = (II) 0.2qa2 0.3qa + θ(II) = 3qa3 ; 20EI (II) uy = qa4 10EI qa4 qa3 (III) ; uy = 0.2qa 5EI 10EI y, en las dos columnas del cuadro resultante, calculamos los giros y flechas utilizando las fórmulas de la figura 17. El resultado buscado se obtiene sin más que sumar los resultados anteriores, es decir: 11qa3 θ = θ(I) + θ(II) + θ(III) ⇒ y θ = 60EI 3qa4 (I) (II) (III) uy = uy + uy + uy ⇒ uy = 40EI (III) 2 θ(I) = Por otra parte, las ecuaciones de Mohr (72) y (79) pueden interpretarse como la superposición de los tres movimientos mostrados en la figura 18. Se trata de un movimiento de traslación rı́gida igual al desplazamiento de A, uyA , de una rotación de sólido rı́gido alrededor del punto A de ángulo θA , y del desplazamiento debido a la curvatura entre A y B calculado con la ley de curvaturas real como si tuviéramos un empotramiento en A. Esta descomposición conceptual resulta muy útil para generalizar las ecuaciones de giros y corrimientos a tramos de viga que no sean horizontales, en general, y a vigas acodadas, en particular. (I) A u yA B + A xB − xA B = (II) A (III) A xB − xA θA B + B θ(I) = 0; θ(II) = θA ; (I) uy = uyA (II) uy (III) θ(I) = AκA–B ; uy = θA (xB − xA ) = MBκA–B Figura 18: Interpretación geométrica de las ecuaciones de Mohr para giros y deformaciones. 36 5.3. Desplazamientos en vigas acodadas Salvo casos muy especiales, en vigas acodadas, o, más generalmente, en sistemas formados por varias vigas rectas no alineadas, alguno de los tramos rectos está sometido a esfuerzos axiles además de a momentos flectores. En la mayorı́a de los casos prácticos, los desplazamientos inducidos por la flexión son mucho mayores que los inducidos por los axiles, por lo que es tradicional que estos últimos sean despreciados frente a los primeros, y, por tanto, que se ignoren los axiles a efectos del cálculo de desplazamientos. En lo que sigue se analizan, en primer lugar, los desplazamientos inducidos por flexión y a continuación la forma de tener en cuenta los axiles cuando sea conveniente hacerlo ası́, junto con algunos ejemplos ilustrativos de la influencia relativa de la deformación debida a los axiles 5.3.1. Desplazamientos inducidos por flexión Consideremos, para empezar unos ejemplos simples que ilustran cómo pueden determinarse giros y desplazamientos en una viga isostática acodada. Ejemplo 5.12 Determinar el giro y la flecha en su extremo de la ménsula acodada de la figura, suponiendo uniforme y conocida la rigidez a flexión EI M0 C a B A 1.8a Solución: En este caso el momento flector es constante e igual a M0 en todos los puntos de la estructura y ası́ mismo lo es la curvatura κ0 = M0 /EI. Las deformaciones se esquematizan (muy exageradas) en la figura siguiente: θB C000 C00 C0 C B0 θB A B El tramo AB es una ménsula con curvatura constante y, por tanto, el giro en su extremo B es θB = 1,8aκ0 ; además, el extremo B se desplaza, debido a la curvatura, de B a B 0 , y el desplazamiento se calcula inmediatamente como el momento del área de curvaturas (o utilizando la expresión correspondiente de la primera fila de la tabla de la figura 17) BB 0 = uyB = 1,62a2 κ0 . Veamos ahora como se mueve el punto C: en primer lugar, si en B hubiera una rótula y el tramo BC se moviera paralelamente a su posición inicial, el punto C pasarı́a al punto C 0 de manera que no se modificara su longitud, lo cual exige CC 0 = BB 0 ; en segundo lugar, puesto que de hecho no hay articulación en B, debe mantenerse el ángulo entre los dos tramos, por lo que, en ausencia de curvatura, el punto C deberı́a moverse hasta C 00 , de manera que se pasa de C 0 a C 00 por una rotación de sólido rı́gido de valor θB , es decir, C 0 C 00 = θB a ; finalmente, el tramo BC está sometido a curvatura constante, lo que provoca un desplazamiento adicional C 00 C 000 = 37 0,5a2 κ0 . Escribiendo el resultado en unos ejes globales horizontal y vertical, tendremos uyC = uyB = 1,62a2 κ0 y uxC = −C 0 C 000 = −θB a − 0,5a2 κ0 ⇒ uxC = −2,3a2 κ0 . La determinación del giro es mucho más simple porque el giro es continuo en toda la viga y θC = θB + κ0 a ⇒ θC = 2,8aκ0 Veamos ahora un ejemplo un poco más general: Ejemplo 5.13 Determinar el giro y la flecha en su extremo de la ménsula acodada de la figura, suponiendo uniforme y conocida la rigidez a flexión EI M0 C c B A a b Solución: Igual que en el ejemplo anterior el momento flector es constante e igual a M0 en todos los puntos de la estructura y ası́ mismo lo es la curvatura κ0 = M0 /EI. Las deformaciones se esquematizan (muy exageradas) en la figura siguiente: C000 C00 y α C0 θB x C B0 A α θB B El tramo AB es una ménsula con curvatura constante y, por tanto, el giro en su extremo B es θB = aκ0 ; además, el extremo B se desplaza, debido a la curvatura, de B a B 0 , y el desplazamiento se calcula inmediatamente como el momento del área de curvaturas (o utilizando la expresión correspondiente de la primera fila de la tabla de la figura 17) BB 0 = uyB = 0,5a2 κ0 . Veamos ahora como se mueve el punto C: en primer lugar, si en B hubiera una rótula y el tramo BC se moviera paralelamente a su posición inicial, el punto C pasarı́a al punto C 0 de manera que no se modificara su longitud, lo cual exige CC 0 = BB 0 ; en segundo lugar, puesto que de hecho no hay articulación en B, debe mantenerse el ángulo entre los dos tramos, por lo que, en ausencia de curvatura, el punto C deberı́a moverse hasta C 00 , de manera que se pasa de C 0 a C 00 por una rotación de √ sólido rı́gido de valor θB , es decir, C 0 C 00 = θB ` donde ` = BC = b2 + c2 ; finalmente, el tramo BC está sometido a curvatura constante, lo que provoca un desplazamiento adicional C 00 C 000 = 0,5`2 κ0 perpendicular . Escribiendo el resultado en unos ejes globales horizontal y vertical, tendremos uxC = −(C 0 C 00 + C 00 C 000 ) sen α = −θB c − 0,5`cκ0 ⇒ √ uxC = −0,5c(2a + c b2 + c2 )κ0 y uyC = uyB + (C 0 C 00 + C 00 C 0000 ) cos α = 0,5a2 κ0 + √ θB b + 0,5`bκ0 ⇒ uyC = 0,5(a2 + 2ab + b b2 + c2 )κ0 . La determinación del giro es mucho más simple porque el giro es continuo en toda la viga y θC = θB + κ0 ` ⇒ √ θC = (a + b2 + c2 )κ0 De los ejemplos anteriores, es inmediato extraer una generalización de la regla de superposición resumida en el esquema de la figura 18, en la cual, en lugar de 38 B (I) θ(I) = 0; A B = + θA (II) B θ(II) = θA ; A A + (I) ~uB = ~uA (II) ~ ~uB = θ~A × AB B (III) θ(I) = AκA–B ; ~uB (III) ~ Bκ =M A–B A Figura 19: Esquema de superposición de movimientos para una barra recta de orientación arbitraria, despreciando la deformación por axiles. B (I) θ(I) = 0; A + θA (II) B A B θ(II) = θA ; A = + (I) ~uB = ~uA (II) ~ ~uB = θ~A × AB B (III) (III) ~κ =M BA–B (III) ~ =A A–B θ(III) = AκA–B ; ~uB A + θ(IV) = AκA–B ; ~uB (IV) A Figura 20: Esquema de superposición de movimientos para una barra recta de orientación arbitraria, incluyendo la deformación por axiles. magnitudes escalares tenemos magnitudes vectoriales. Dicha regla se ha esquematizado en la figura 19 y descompone la deformación de un tramo recto de orientación arbitraria en una translación, una rotación de sólido rı́gido, que puede expresarse como un producto vectorial, y un desplazamiento por curvatura que es un vector perpendicular al eje del tramo considerado y cuyo módulo es el momento del área de curvaturas, como siempre. 5.3.2. Desplazamientos inducidos por axiles Una tramo de viga recta sometido a esfuerzos axiles, experimenta un alargamiento dado por la ecuación (66) y no se producen desplazamientos perpendiculares al eje de la viga, excepto por movimientos de sólido rı́gido que ya han sido considerados en el apartado anterior. En consecuencia, con las hipótesis de linealidad y pequeños giros y corrimientos, la deformación por axiles se tiene en cuenta sin más que añadir a los tres estados de la figura 19 un cuarto estado con la deformación ~ axial, tal como muestra la figura 20, en la cual el vector A A–B tiene la dirección del eje (inicial) de la viga y su módulo es el área de la curva de deformaciones longitudinales, según aparece en la ecuación (66). 39 Ejemplo 5.14 Determinar el giro y la flecha en su extremo de la ménsula acodada de la figura, suponiendo material uniforme de módulo de elasticidad E y sección cuadrada de lado c q B C a A 2a Solución: El tramo AB está sometido a un axil constante de compresión N0 = 2qa y a un momento flector también constante de valor M0 = −2qa2 en consecuencia el giro en el punto B es θB = −2qa3 /(EI), el desplazamiento horizontal es exclusivamente debido a la curvatura uxB = qa4 /(EI) y el desplazamiento vertical es debido al axil: uyB = −2qa2 /(EA). El desplazamiento del punto C será la suma del desplazamiento del punto B (con sus dos componentes), el desplazamiento debido al giro de sólido rı́gido, vertical, u(II) ↑= θB 2a = −4qa4 /(EI) y el desplazamiento debido a la curvatura, que, de acuerdo con la tabla de la figura 17 es u(III) ↑= −2qa4 /(EI), con lo cual las componentes del desplazamiento total son uxC = qa4 /(EI) y uyC = −6qa4 /(EI) − 2qa2 (EA) y poniendo 12qa4 el momento de inercia y área del cuadrado en función de su lado resulta uxC = y Ec4 c 2 72qa4 uyC = − 1+ , donde el segundo término del corchete es la contribución Ec4 6a del axil, lo que muestra que para longitudes de vigas mucho mayores que su canto, la contribución del axil es despreciable (en este caso, 1/3600 para a = 10c). 5.4. Ejercicios Ejercicio 5.1 Una barra de sección uniforme, con momento central de inercia I y material elástico lineal de módulo de elasticidad E, está empotrada verticalmente en un suelo rı́gido horizontal tal como se muestra en la figura. Está sometida a una sobrecarga horizontal por empuje de una capa de terreno de espesor a, cuya intensidad p depende de la posición a lo largo del eje de la viga en la forma p(x) = q (a − x)n an donde q es una constante con dimensiones de fuerza por unidad de longitud , n = 0,2 y x es la distancia al empotramiento. Determinar: a) La ley de esfuerzos cortantes; b) La ley de momentos flectores; c) El desplazamiento del punto C. [SUGERENCIA: Calcule las integrales utilizando la variable auxiliar x0 = a − x]. Solución C 0.8a ax ≥ x ¥n p(x) = q 1 − a 40 Ejercicio 5.2 Una pletina acodada ABC de sección rectangular de 3 mm de canto y 15 mm de espesor, de acero de módulo de elasticidad 200 GPa, mide 2a = 200 mm en horizontal y a = 100 en vertical. Se somete a una carga horizontal P = 10 N en su extremo C, como indica la figura. Se pide: (a) Determinar las leyes de esfuerzos; (b) Determinar las máximas tensiones normales de tracción y de compresión ; (c) Determinar el desplazamiento horizontal y vertical del punto de aplicación de la carga. Solución P C a A B 2a Ejercicio 5.3 La estructura en L de la figura, formada por dos vigas AB y BC soldadas en B de idéntica sección recta, se pide : (a) Determinar los giros en A, B y C; (b) Determinar el desplazamiento en C. NOTA: Despréciense los desplazamientos producidos por los esfuerzos axiles. P C a A B a Ejercicio 5.4 La estructura de la figura etá formada por tres barras idénticas AB, BC y BD. Está empotrada en A y sometida a una carga uniformemente repartida a lo largo de BC, de valor absoluto q: (a)Determinar los giros en los puntos B, C y D. (b) Determinar los desplazamientos de los puntos B, C y D. NOTA: Despréciense los desplazamientos producidos por los esfuerzos axiles. a D a q B C a A 41 6. Sistemas de vigas hiperestáticos 6.1. Método de las fuerzas Hasta este punto, todas las vigas y sistemas de vigas que hemos analizado están estáticamente determinados. En ellos es posible determinar completamente las reacciones y las leyes de esfuerzos y calcular a continuación las deformaciones. Cuando las reacciones no están estáticamente determinadas, el sistema se dice hiperestático y no es posible calcular separadamente las leyes de esfuerzos y las deformaciones, sino que es preciso hacerlo conjuntamente. De los métodos que existen para tratar los problemas hiperestáticos, nos limitaremos al más directo e intuitivo, el método de las fuerzas. En dicho método, se eliminan los vı́nculos necesarios para que el sistema se convierta en isostático, aplicando en su lugar las reacciones desconocidas asociadas a cada vı́nculo. Dichas reacciones desconocidas se determinan a continuación imponiendo que se cumplan las condiciones de compatibilidad cinemática establecidos por los vı́nculos eliminados. Para ello se utilizan las técnicas previamente estudiadas para la determinación de giros y desplazamientos. Ejemplo 6.1 Determinar las reacciones en la viga empotrada-apoyada de la figura suponiendo una rigidez a flexión uniforme q B A ! Solución: El sistema de reacciones tiene 4 componentes independientes, momento y dos componentes de fuerza en el empotramiento y una fuerza vertical en el apoyo de la derecha, por lo que es hiperestática de primer grado. Para convertirla en isostática, liberamos, por ejemplo, el apoyo de la derecha y ponemos en su lugar su reacción, desconocida, R. Para calcularla imponemos la condición de que, en el apoyo, el desplazamiento vertical sea cero, es decir uyB = 0 . Para calcular el desplazamiento en B utilizamos el principio de superposición y escribimos q q`4 u(I) yB = − 8EI q (I) A + B = A R`3 R (II) u(II) = y B A 3EI R donde hemos usado las soluciones tabuladas. Puesto que el desplazamiento total es la suma de los desplazamientos, la condición resultante es R`3 q`4 − =0 3EI 8EI ⇒ 3 R = q` 8 y a partir de aquı́ se determina sin ninguna dificultad que la fuerza de reacción en el empotramiento es vertical de valor 58 q` ↑ y que el momento de empotramiento vale 1 2 8 q` La manera de resolver un problema no es en general única, porque pueden liberarse distintos vı́nculos con igual resultado final, como muestra el ejemplo siguiente 42 Ejemplo 6.2 Resolver el problema del ejemplo anterior utilizando como base la solución para una viga biapoyada Solución: En este caso, para convertir la viga en isostática, liberamos el giro en el empotramiento y ponemos en su lugar un momento, desconocido, M0 . Para calcularlo imponemos la condición de que, en el empotramiento, el giro sea cero, es decir θA = 0 . Para calcular el giro en A utilizamos el principio de superposición y escribimos q q`3 (I) θA = − q (I) 24EI M A 0 B A + = M0 ` 3EI donde hemos usado las soluciones tabuladas. Puesto que el giro total es la suma de los giros, la condición resultante es M0 (II) (II) θA = M0 ` q`3 − =0 3EI 24EI ⇒ 1 M0 = q`2 8 y a partir de aquı́ se determina sin ninguna dificultad que las reacciones son verticales y de valores RA = 85 q` ↑ y RB = 38 q` ↑ Ejemplo 6.3 Determinar las reacciones en la viga biempotrada de la figura suponiendo una rigidez a flexión uniforme q A B ` Solución: El sistema de reacciones tiene 6 componentes independientes, momento y dos componentes de fuerza en cada empotramiento, por lo que es hiperestática de tercer grado. Para convertirla en isostática, liberamos, por ejemplo, el empotramiento de la derecha y ponemos en su lugar sus reacciones, desconocidas, V0 , H0 y M0 : q A B V0 M0 H0 Para calcularlas imponemos la condición de que, en el empotramiento derecho, desplazamientos y giros sean cero, es decir uxB = 0, uyB = 0 y θ0 = 0 . Como el axil sólo produce desplazamiento horizontal y el flector únicamente produce desplazamiento vertical, empezamos por establecer que el axil es constante N = H0 , con lo que produce un corrimiento uxB = H0 `/EA y la condición de desplazamiento nulo lleva inmediatamente a H0 = 0 . Para calcular el desplazamiento vertical y el giro en B utilizamos el principio de superposición y escribimos q q`4 q`3 (I) (I) u = − θ = − yB B (I) 8EI 6EI A B q A B V0 M0 = (II) + A + V0 u(II) yB = V0 `3 3EI (II) θB = V0 `2 2EI M0 `2 M0 ` (III) θB = A 2EI EI donde hemos usado las soluciones tabuladas. Sumando desplazamientos y giros e igualándolos a cero obtenemos (III) 43 M0 u(III) yB = M0 `2 V 0 `3 q`4 + − =0 12M0 + 8V0 ` = 3q`2 2EI 3EI 8EI 1 q`2 ; V0 = 12 q` ⇒ ⇒ M0 = 12 6M0 + 3V0 ` = q`2 M0 ` V 0 `2 q`3 + − =0 EI 2EI 6EI Las reacciones en el empotramiento izquierdo se obtienen inmediatamente por la simetrı́a del problema. En muchas ocasiones puede explotarse la simetrı́a de un problema para reducir la complejidad de la solución. En el ejemplo anterior, que es simétrico respecto a la mediatriz de la viga, podemos utilizar la simetrı́a y la solución para una viga biapoyada como se muestra a continuación Ejemplo 6.4 Resuélvase el ejemplo 6.3 explotando la simetrı́a y la solución para una viga biapoyada. Solución: Convertimos la viga en isostática, liberando el giro en los dos empotramientos y poniendo en su lugar dos momentos iguales y opuestosM0 (por la simetrı́a del problema) y liberamos el desplazamiento horizontal en el apoyo de la derecha sustituyéndolo por una reacción horizontal H0 : q M0 B A M0 H0 Para calcular M0 y H0 imponemos la condición de que, en el empotramiento derecho, desplazamientos y giros sean cero, es decir uxB = 0 y θB = 0 . Para el desplazamiento horizontal procedemos como en el ejemplo 6.3 y obtenemos H0 = 0 . Para el giro en B utilizamos el principio de superposición y escribimos q q`3 (I) θB = q (I) 24EI M A M0 0 A B = + M0 M0 ` 2EI donde hemos usado la solución tabulada para el caso (I) y para el caso (II) hemos calculado el giro en B como la mitad del área de curvaturas (puesto que θA = −θB ⇒ 2θB = AκA–B ). El resultado es inmediato e igual, por supuesto, al obtenido en el ejemplo 6.3. (II) M0 (II) θB = Ejemplo 6.5 Para la viga continua de dos vanos de la figura, de sección y material uniforme, se pide determinar las reacciones en los apoyos utilizando la solución del ejemplo 5.9 P `/2 ` ` Solución: Convertimos la viga en isostática, liberando el apoyo central y poniendo en su lugar una reacción vertical V , que calculamos imponiendo la condición de que el desplazamiento vertical en ese punto sea cero, es decir uyB = 0 . Para dterminar el desplazamiento usamos el siguiente esquema de superposición: P 11P (2`)3 B (I) (I) u = − yB P A 768EI B + = `/2 V B V (2`)3 ` ` (II) u(II) yB = 48EI V 44 donde hemos usado la solución del ejemplo 5.9 para el caso (I) y para el caso (II) la solución tabulada. Sumando, igualando a cero y despejando V resulta V = 11 16 P y las reacciones en los apoyos extremos son la suma de los correspondientes a los caso (I) y (II), es decir 6.2. 13 32 P 3 ↑ en el apoyo izquierdo y − 32 P ↑ en el derecho. Esfuerzos térmicos Un cambio uniforme de temperatura en una estructura isostática provoca un cambio homotético de dimensiones (una expansión uniforme), pero no introduce esfuerzos en la estructura. Sin embargo, si la estructura es hiperestática, un cambio homotético de dimensiones puede no ser compatible con los movimientos de los apoyos y uniones, en cuyo caso se inducirán esfuerzos en la estructura. En los casos en que los movimientos de los apoyos no son compatibles con la expansión uniforme, el cálculo de los esfuerzos generados por un cambio de temperatura se realiza como en el caso de sobrecargas impuestas, liberando vı́nculos hiperestáticos y aplicando las correspondientes reacciones desconocidas, añadiendo las deformaciones inducidas por el cambio de temperatura e imponiendo las condiciones de compatibilidad con los apoyos para determinar las reacciones. De los ejemplos del apartado anterior, solamente el 6.3 induce esfuerzos térmicos y estos son axiles puros y se trataron en la primera parte de la asignatura. El siguiente ejemplo ilustra la aplicación del procedimiento a un caso en el que el cambio térmico induce flexiones. Ejemplo 6.6 La viga acodada de la figura, de sección y material uniforme, experimenta un aumento uniforme de temperatura ∆T . Si el coeficiente de dilatación del material es α, determı́nense las reasciones inducidas en el apoyo y en el empotramiento; despréciense los desplazamientos inducidos por los axiles. A B a a C Solución: Convertimos la viga en isostática, liberando el apoyo C y poniendo en su lugar una reacción horizontal H0 , que calculamos imponiendo la condición de que el desplazamiento horizontal en ese punto sea cero, es decir uxC = 0 . Para determinar el desplazamiento superponemos los desplazamientos debidos al aumento de temperatura y a la reacción horizontal como sigue: A B ∆T H0 = u(I) xC = aα∆T ∆T (I) B A A + C B u(II) xC = θ B a + C (II) H0 H0 a3 H0 a2 H0 a3 4H0 a3 = a+ = 3EI EI 3EI 3EI C donde para el caso (II) hemos tenido en cuenta que, al despreciar el desplazamiento (II) inducido por axiles, uxB = 0, y que el tramo AB está sometido a un momento constante 45 igual a P a. Sumando e igualando a cero: aα∆T + 3αEI∆T 4H0 a3 = 0 ⇒ H0 = − 4a2 3EI y a partir de aquı́ se determina sin ninguna dificultad que la fuerza de reacción en el 3αEI∆T empotramiento es horizontal de valor → y que el momento de empotramiento 4a2 vale − 6.3. 3αEI∆T 4a Ejercicios Ejercicio 6.1 Dos vigas biapoyadas idénticas AB y CD, de longitud `, momento de inercia I y módulo de elasticidad E están unidas por un montante vertical muy rı́gido. Si se aplica una carga uniforme q a la viga superior, se pide: a) Determinar la fuerza transmitida a través del montante y las reacciones en los apoyos. b) Determinar el desplazamiento en el centro de cada viga. DATOS: ` = 50 mm, E = 110 GPa, sección rectangular de 2 mm de canto y 12 mm de espesor, q = 2,25 N/mm. Solución q A B C D Ejercicio 6.2 La estructura de la figura está formada por tres barras AB, BC y BD de idéntica sección y material. Está empotrada en A, apoyada en C y sometida a una carga uniformemente repartida a lo largo de BC, de valor absoluto q. Se pide: a) Determinar las reacciones; b) Determinar los diagramas de momentos; c) Determinar los desplazamientos de los puntos B, C y D. NOTA: Despréciense los desplazamientos producidos por los esfuerzos axiles. Solución a D 0.8a q C B 1.2a A Ejercicio 6.3 La estructura en L de la figura, formada por dos vigas AB y BC soldadas en B de idéntica sección recta, se pide: a) Determinar las reacciones; b) Determinar los diagramas de momentos flectores; c) Determinar el desplazamiento horizontal y vertical en C. NOTA: Despréciense los desplazamientos producidos por los esfuerzos axiles; utilı́ce la solución del ejercicio 5.3. C P a A B a 46 Ejercicio 6.4 La estructura de la figura etá formada por tres barras idénticas AB, BC y BD. Está empotrada en A, apoyada en D y sometida a una carga uniformemente repartida a lo largo de BC, de valor absoluto q: a) Determinar las reacciones; b) Determinar los diagramas de momentos; c) Determinar los desplazamientos de los puntos B, C y D. NOTA: Despréciense los desplazamientos producidos por los esfuerzos axiles; utilı́cense los resultados del problema 5.4. a D a q B C a A 47 A. Integrar en wxMaxima para Windows Una vez instalado el programa con todas las opciones por defecto usando el instalador maxima-5.17.0.exe que se descarga de http://sourceforge.net/project/showfiles.php?group id=4933&package id=4960, 1. abra el programa con un doble-click sobre el icono de escritorio maxima-5.17.0, después de lo cual le aparecerá la siguiente pantalla: 2. En la barra de menús, pulse el menú Análisis; aparecerá la lista de la figura siguiente; seleccione la primera opción Integrar ... 48 3. Aparecerá el cuadro de diálogo de la figura siguiente; escriba la expresión del integrando en el primer campo, utilizando ∗ para multiplicaciones y el acento circunflejo p̂ara potencias; pulse el botón de control para integración definida y escriba los lı́mites de integración, que pueden ser expresiones. Cuando haya terminado pulse Aceptar. 4. Inmediatamente después de aceptar, el programa vuelve a la pantalla principal y escribe la entrada y el resultado, tal como se ve en la figura siguiente: la primera lı́nea , etiquetada como ( %i1) es la sentencia de entrada (input) y la segunda,( %o1) el resultado (output). 49 B. Soluciones de ejercicios seleccionados Ejercicio 3.8 P P 2P P P a – P P P 2P + P + P – P P a a a a Cortante 2P Pa P + P – P P 2P Ejercicio 5.1 a) C 0.8a 0 B x a xM df = pdx 0 b) Q P F →: Q + – Z a−x 1.5P a 0 Mx : M + Z 0 pdx = 0 ⇒ Q = −qa 0 P 2P – 2P Axil P – Pa P P 2P P Pa P – P – P Pa −n Q=− a−x Flectores Z a−x n x0 dx0 0 qa x n+1 1− n+1 a (a − x − x0 )pdx0 = 0 ⇒ i R a−x h (a − x)x0 n − x0 n+1 dx0 M = −qa−n 0 qa2 x n+2 M =− 1− (n + 1)(n + 2) a Z a M 0 c) Calculamos giro y desplazamiento en B: θB = dx = 0 EI Z a −q −qa3 qa3 0 n+2 0 x dx = ⇒ θB = −0,1184 an (n + 1)(n + 2)EI 0 (n + 1)(n + 2)(n + 3)EI EI Z a 4 M 0 qa ← u B = x0 y como BC se mueve rı́gidamente: dx = · · · uB = −0,09019 EI EI 0 qa4 ← uC = uB + 0,8aθB y operando y cambiando el signo uC = 0,1849 → EI Ejercicio 5.2 P Axil Cortante – + Flector + P + Pa b) Tensión de compresión es máxima en el tramo AB porque se suman las comP P ac comp presiones debidas al axil y las debidas al flector: σmáx = + = 44,67 MPa. A 2I P ac trac Tensión de tracción máxima en B del tramo BC: σmáx = = 44,44 MPa (la 2I 50 P ac P − = 44,22 MPa < 44,44 MPa). 2I A Pa κ c) Giro y desplazamientos en B: θB = AA–B = × 2a = 0,02963; → uxB = EI P Pa − × 2a = −2,222 × 10−4 mm; ↑uyB = MBκA–B = − × 2a × a = 2,963 mm. EA EI Pa →uxC = uxB − θB a + MCκB–C = uxB − θB a − × a × 2a/3 = 3,457mm (uxB , 2EI debido al axil, afecta sólo a la cuarta cifra decimal y puede despreciarse). ↑uyC = uyB = 2,963 mm. tracción máxima en el tramo AB es Ejercicio 6.1 A q E C V V F Compatibilidad uyE = uyF ⇒ V = B uyE = − 5q`4 V `3 + 384EI 48EI D uyF = − V `3 48EI 5 q` 16 ⇒↑RA = RB = (q`−V )/2 = 11ql/32; RC = 5q`4 768EI Operando: V = 35,16 N, RA = RB = 38,67 N, RC = RD = 17,58 N,uyE = −0,1040 mm. RD = V /2 = 5ql/32; uyE = uyF = − Ejercicio 6.2 a D 0.8a B 1.2a A H0 V0 M0 a) Determinamos V con la condición uyC = 0. Tenemos ↑uyC = qa4 V a3 −qa2 /2 + V a θB a − + y θB = flector constante = 1,2a 8EI 3EI EI 3 4 4,6V a 5,8qa − = 0 V = 0,4728qa y de ↑ uyC = + 3EI 8EI q 2 C aquı́ H0 = 0, V0 = 0,5272qa, M0 = 0,02717qa 2 V b) Tramo AB: M = −0,02717qa = const. Tramo BC: M = V (a − x) − q(a − x)2 /2 = −q(a − x)(0,02717a + 0,5x) con x medido desde B hacia la derecha. qa4 c) Llamando u0 = EI →uxB = 0,01957u0 ; ↑uyB = 0 →uxC = 0,01957u0 ; ↑uyC = 0 →uxD = 0,04566u0 ; ↑uyD = 0 51