ALGORITMO DEL SÍMPLEX - Departament d`Estadística i

Transcripción

(2.c) RESOLUCIÓN DE MODELOS LINEALES. ALGORITMO DEL SIMPLEX
• FORMA CANÓNICA DE UN SISTEMA Ax = b
Forma Standard y Base factible (repaso).
Expresión de las v. básicas en función de las no básicas.
Forma tabular.
• CAMBIO DE BASE CON CONSERVACIÓN DE LA FACTIBILIDAD.
Casos singulares. Región no acotada.
Cambio degenerado de base.
• CONCEPTO DE COSTE REDUCIDO.
Cambio de base con disminución de la f.obj.
Cálculo de los costes reducidos.
• ALGORITMO DEL SÍMPLEX
Forma tabular. Fórmulas matriciales. Ejemplos
• INICIALIZACIÓN DEL ALGORITMO. (fase 0)
Método de las variables artificiales.
Cap. 3 Luenberger D.G.“Linear and Nonlinear Programming” Addison-Wesley 1984
Cap. 4 Hillier F.S., Lieberman G.J. “Introduction to Operations Research” Holden day Inc. 1986
FORMA STANDARD DE UN P. P.L.
1
Tras transformaciones, todo P.P.L. puede expresarse de la forma:
(m≤n)
• Todas las variables xi están sujetas a xi ≥ 0, i = 1, 2, … n
• Todos los términos de la derecha bi son no negativos: bi ≥ 0, i = 1, 2, … m
• La matriz de coeficientes A es de pleno rango:
Hay m columnas de A tales que al formar una matriz B con ellas,
ésta es inversible.
Todos los paquetes para P.L. convierten automáticamente a la forma Standard
Investigación Operativa
UPC
DEFINICIÓN DE BASE FACTIBLE .
2
Sistema Ax = b, x ≥ 0
B=
DEFINICIÓN: B es base factible si:
≥0
B es una base asociada al conjunto de índices {1, 4, 5}
Investigación
Operativa
I.
Transparencias de clase. Prof. E.Codina
UPC
3
Sistema Ax = b, x ≥ 0
B base asociada a IB = {1, 4, 5}
≥0
UPC
4
Una estrategia para resolver el P.P.L. consiste en:
1. Determinar si F=∅.
2. En caso contrario, determinar una s.b.f. (vértice) de F inicial
3. Visitar s.b.f's hasta encontrar una que sea solución de (P)
4. Determinar si la s.b.f. solución es única o existen otras
soluciones.
En este tema:
• Se desarrolla un método para saltar de una s.b.f. a otra vecina.
(CONSERVACIÓN DE LA FACTIBILIDAD).
• En cada salto se mejora la función objetivo.
• Se detecta si se alcanza una solución de (P) o bien si el
problema es no acotado.
• Finalmente, se desarrolla un método para encontrar una s.b.f.
inicial o bien detectar que F=∅.
ALGORITMO DEL SÍMPLEX
5
FORMA CANÓNICA DE UN SISTEMA LINEAL Ax=b
Respecto del conjunto de índices IB = {1, 4, 5}
B xB
+
N xN
=
b
B-1 ( B xB
+
N xN ) = B-1 b
xB
+ B-1N xN = B-1 b
xB
+ Y xN
=
y0
forma tabular
6
FORMA CANÓNICA DE UN SISTEMA LINEAL Ax=b
7
Para el conjunto de índices asociados a una base B, IB={i1, i2 ,… , im}
xB
+ Y xN
=
y0
≥ 0 si B es base
factible
Columnas básicas
Columnas no básicas
UPC
CAMBIO DE BASE CON CONSERVACION DE LA FACTIBLIDAD
8
IB = {1, 4, 5}
x1
x2
La forma canónica expresa la dependencia de las
variables xB respecto de las xN
xB (xN) = y0 - Y xN
Para xN = 0, xB(0) = y0; el punto xR = (y0 , 0 ) es un vértice del Poliedro.
Si B es una base factible: xB(0) ≥0;
Incrementando xN desde 0 encontraremos otros puntos xB (xN) ≥0.
Se incrementa una sola v. No básica. El resto se mantienen a cero
Investigación
Operativa
I.O.E. Diploística
UPC
1
8
4
Investigación
Operativa
I.O.E.
2
9
x2
10
5
UPC
PIVOTACIÓN
Investigación
Operativa
I.O.E. Diplomatur
10
UPC
11
ENTRA VARIABLE NO BÁSICA -> SALE VARIABLE BÁSICA
Investigación
Operativa de Estadística
I.O.E. Diplomatura
UPC
12
CASOS SINGULARES:
IB = {1, 4, 5}
x1
x2
Incrementando x2 al menos una
v. básica crece indef.
Se detecta dirección de crecimiento ilimitado de la región
factible
Investigación
I.O.E. Diplomatura
UPC
CASOS SINGULARES:
13
Se obtiene el
mismo punto
Investigación
I.O.E. Diplomatura
UPC
Calculad las soluciones básicas factibles para el conjunto de restricciones
14
Partiendo de la base
Investigación
I.O.E. Diplomatura
UPC
15
Sale la variable
Nueva base
Investigación
I.O.E. Diplomatura
UPC
16
x1
x2
Investigación
Operativa
I.O.E. Diplo
UPC
17
Entra
Sale
x1
x2
Investigación
I.O.E. Diplomatura
UPC
TEMA 2.c
RESOLUCIÓN DE MODELOS LINEALES. ALGORITMO DEL SIMPLEX
Semana 2. Sesión 2
• Concepto de coste reducido.
Expresión de las v. básicas en función de las no básicas.
Cambio de base con disminución de la f.obj.
Cálculo de los costes reducidos.
• ALGORITMO DEL SÍMPLEX
Forma tabular. Fórmulas matriciales. Ejemplos
17
Investigación
Operativ de Estadística
I.O.E. Diplomatura
UPC
18
B xB
+
N xN
B-1 ( B xB
+
N xN ) = B-1 b
xB
=
b
+ B-1N xN = B-1 b
xB (xN) = y0 - Y xN
xB
Investigación
Operativ
I.O.E. Diplomaturaa
+ Y xN
=
y0
UPC
CAMBIOS DE BASE DIMINUYENDO EL VALOR DE LA F.OBJETIVO
19
Se quieren encontrar las soluciones
del problema de P.L.
Investigación
Operativa
I.O.E.
Diplomatura
UPC
20
-
21
Investigación
I.O.E. Diplomatura
UPC
CÁLCULO DE LOS COSTES REDUCIDOS
Investigación
I.O.E. Diplomatura
22
UPC
DISPOSICIÓN EN FORMA TABULAR Y FÓRMULAS MATRICIALES.
23
Investigación
Operativa de
I.O.E. Diplomatura
UPC
24
I.O.D.
Diplomatura de
de Estadística
Estadística
I.O.E. Diplomatura
UPC
x3
B
A
VÉRTICE A
x1
x2
25
Investigación
I.O.E. Diplomatura
UPC
x3
26
B
C
VÉRTICE B
x1
x2
VÉRTICE C
ÓPTIMOS ALTERNATIVOS
Investigación
I.O.E. Diplomatura
UPC
Recorriendo las diferentes bases
encontraríamos los puntos C, D, E, F.
x3
C
En todos ellos la f.obj. tiene igual
valor: z* = 220/15.
F
G
E
D
x1
Cualquier punto G sobre la
cara tendrá igual valor para la
f.obj.
( COMPROBADLO)
x2
27
Investigación
Operativa de Estadístic
I.O.E. Diplomatura
UPC
EFICACIA DEL ALGORITMO SÍMPLEX
28
• En el ejemplo anterior se examinan sólo 3 de los 9 vértices del
poliedro.
• Hay ejemplos en los que el algoritmo debe examinarlos TODOS
(Klee-Minty, 1972). ⇒ PEOR CASO POSIBLE.
x3
x2
x1
Investigación
Operativa
I.O.E. Diplomatura
de Estadística
UPC
29
EFICACIA DEL ALGORITMO SÍMPLEX
En los problemas reales con n=nºvar. >> m=nº restr. :
(
A = ………….…..
Nº medio de iteraciones ≈ k
m,
)
k entre 1 y 3
!!!!
En la actualidad el SÍMPLEX continúa siendo un algoritmo
presente en casi todos los paquetes de soft. para P.L.
SESIÓN DE
PROBLEMAS
30
Entra
Entra
Sale
Sale
Tabla óptima
Óptimo único del problema:
31
SESIÓN DE PROBLEMAS
I.O.D.
Diplomatura de
de Estadística
Estadística
I.O.E. Diplomatura
UPC
SESIÓN DE PROBLEMAS
32
33
Sesión 2.c
RESOLUCIÓN DE MODELOS LINEALES. ALGORITMO DEL SIMPLEX
Semana 3.
• ALGORITMO DEL SÍMPLEX (Repaso)
Forma tabular. Fórmulas matriciales.
• Inicialización del algoritmo. (fase 0)
Objetivos. Detección de problemas infactibles.
Método de las variables artificiales.
Problema auxiliar. Casos. Ejemplos
36
Investigación
Operativa
I.O.E. Diplomatura
de Estadística
UPC
37
I.O.D.
Diplomatura de
de Estadística
Estadística
I.O.E. Diplomatura
UPC
IDENTIFICACIÓN DE BASES INICIALES FACTIBLES.
38
No es posible identificar una
base inicial factible
í
UPC
IDENTIFICACIÓN DE BASES INICIALES FACTIBLES.
39
VARIABLES ARTIFICIALES Y PROBLEMA AUXILIAR:
Se construye un "problema auxiliar" con las mismas variables
y coeficientes en las restricciones que en el problema original.
Se añaden las variables artificiales (≥ 0):
• Una por cada fila con una variable de exceso.
• Una por cada fila sin variable de exceso ni de holgura.
La función objetivo del problema auxiliar es la suma de las
Variables artificiales.
Investigación
Operativa
I.O.E. Dtica
í i
UPC
40
Investigación
Operativa
I.O.E. Dica
í i
41
Para el problema
auxiliar se obtiene
una base inicial
factible de forma
inmediata
í i
UPC
SOLUCIÓN del PROBLEMA AUXILIAR
42
Casos:
a) El problema auxiliar presenta una solución óptima con las
variables artific.
auxiliares ai
•
=0
Se obtiene una base inicial factible para el problema original.
⇒ El problema original tiene REGIÓN FACTIBLE no vacía.
b) El problema auxiliar presenta una solución óptima con alguna
variable auxiliar
artific. ai
•
>0
No se puede hallar base inicial factible para el problema
original.
⇒ El problema original tiene REGIÓN FACTIBLE vacía.
í i
UPC
43
RESOLVER
í
UPC
44
í
UPC
45
í
UPC
46
I.O.D.
Diplomatura de
de Estadística
Estadística
I.O.E. Diplomatura
UPC
RESOLVER
47
í
UPC
48
í i
UPC
1/112
49
í i
UPC
PRÁCTICA 1
Seguimiento de las iteraciones del SÍMPLEX mediante LINDO
MAX
3 X1 + 2 X2
SUBJECT TO
2)
2 X1 + X2 <=
100
3)
X1 + X2 <=
80
4)
X1 <=
40
END

ALGORITMO DEL SÍMPLEX - Departament d`Estadística i

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