Algoritmo de Optimización de Colonia de Hormigas Multiobjetivo

Transcripción

Programación Matemática y Software (2011)
Vol. 3. No 2. ISSN: 2007-3283
Recibido: 3 de octubre de 2011/ Aceptado: 3 de enero de 2012
Publicado en línea: 30 de marzo de 2012
Algoritmo de Optimización de Colonia de Hormigas
Multiobjetivo Aplicado al Problema de la Mochila
Multidimensional
Daniel Soto1, 1Wilson Soto1,2, y Yoan Pinzón1
1 Grupo de Algoritmos y Combinatoria ALGOS–UN
Universidad Nacional, Bogotá, Colombia
2 Grupo de Sistemas Inteligentes y de Información Espacial SIGA
Universidad Central, Bogotá, Colombia
{wesotof, ypinzon}@unal.edu.co, [email protected], [email protected]
Resumen. Este artículo presenta un algoritmo de optimización de colonia de hormigas (Ant
Colony Optimization – ACO) multiobjetivo. El algoritmo propuesto es aplicado al problema de la
mochila multidimensional. El problema de la mochila multidimensional es un problema de
optimización combinatoria que consiste en encontrar un subconjunto de objetos que
maximicen el beneficio total mientras se satisfacen ciertas restricciones. Se muestra como el
algoritmo propuesto obtiene mejores resultados comparado con un importante algoritmo en un
conjunto de datos seleccionado.
Palabras clave: Optimización de Colonia de Hormigas Multiobjetivo, Metaheurísticas,
Problema de la Mochila Multidimensional.
Abstract. This paper presents a multiobjetive Ant Colony Optimization (ACO) algorithm. The
proposed algorithm is applied to the multidimensional knapsack problem. The multidimensional
knapsack problem is combinatorial optimization problem that consists in finding a subset of
objects that maximizes total profit while satisfying some resource constraints. We show that
algorithm proposed obtains better results compared with an important algorithm in a selected
dataset.
Keywords: Multiobjective Ant Colony Optimization, Metaheuristic, Multidimensional Knapsack
Problem.
1
Autor de correspondencia: [email protected], [email protected]
21
1. Introducción
El problema de la mochila multidimensional
se puede aplicar en diversos problemas
La optimización de varios objetivos tiene
reales de la bioinformática, economía y
muchas aplicaciones en la vida real entre
robótica [2,4,6,16].
las cuales están la producción industrial,
entornos
financieros,
inventarios
y
Las contribuciones del presente trabajo son:
complejidad computacional [8]. Determinar
presentar un algoritmo multiobjetivo basado
un conjunto de soluciones óptimas para este
en ACO y en el algoritmo MMAS descrito en
tipo de problemas es el principal aspecto de
[15]. El algoritmo propuesto obtiene mejores
la optimización multiobjetivo. Uno de los
resultados en varios ejemplos comparado
problemas que hace parte de este grupo es
con el algoritmo SPEA2 (Streng Pareto
el problema de la mochila multidimensional,
Evolutionary Algorithm versión 2).
además, de estar clasificado como un
problema de optimización combinatoria NP–
Este artículo tiene la siguiente estructura: la
hard [10,12].
sección 2 define formalmente el concepto
del problema de la mochila multidimensional
Si se considera un problema de n elementos
y el algoritmo colonia de hormigas. La
y
sección 3 explica en detalle el algoritmo
para
cada
uno
su
correspondiente
beneficio y peso. El problema de la mochila
propuesto.
es la tarea de empacar algunos de esos
parámetros y resultados experimentales y
elementos en una mochila m de capacidad
en
c, tal que la suma del beneficio de esos
conclusiones.
elementos
sea
máxima.
Ahora,
si
la
La
última
sección
sección
4
detalla
aparecen
los
las
al
considerar más de una mochila (objetivos)
2. Conceptos básicos
en las cuales su capacidad (restricciones)
pueda ser diferente y se respete su límite
logrando el máximo beneficio (optimización)
se obtiene el problema de la mochila
multidimensional. Por lo tanto, podemos
asemejar
el
problema
multidimensional
a
un
de
la
Los problemas de optimización multiobjetivo
– en inglés Multiobjective Optimization
Problem (MOP) – formalmente se pueden
expresar como:
mochila
problema
de
optimización de múltiples objetivos.
Definición 1. (Problemas de Optimización
Multiobjetivo), Un MOP en general incluye
un conjunto de n parámetros (variables de
En años recientes, algunos de los trabajos
relacionados para resolver el problema de la
mochila multidimensional son: desde el
enfoque de los algoritmos evolutivos (EA)
decisión), un conjunto de k funciones
objetivo y un conjunto de m restricciones.
Las funciones objetivo y las restricciones
son funciones de las variables de decisión.
[14,17,18] y optimización por colonia de
hormigas (ACO) [1,3,4,8,9].
El objetivo de la optimización es:
22
Soto D., Soto W., Pinzon Y.
y = f ( x) = ( f1 ( x), f 2 ( x),, f 3 ( x))
e( x) = (e1 ( x), e2 ( x),, em ( x))  0 (1)
x = ( x1 , x2 ,, xn )  X
y = ( y1 , y2 ,, yk )  Y
maximizar
sujeto a
donde
x es el vector de decisión, y es vector
elementos y un conjunto m de mochilas,
con:
pi , j = beneficio del elemento j respecto a
i,
la mochila
objetivo, X se denota como el espacio de
wi , j = peso del elemento j respecto a la
decisión y Y se llama el espacio objetivo.
mochila i ,
Las restricciones e(x) ≤ 0 determinan el
ci = capacidad de la mochila i ,
conjunto de soluciones factibles.
se
Definición 2. (Conjunto de soluciones
factibles),
el
factible X f es
conjunto
definido como el conjunto de vectores de
decisión x que satisface las restricciones
e(x) :
encontrar
un
vector
x = ( x1 , x2 ,, xn ) {0,1}n , tal que las
restricciones de capacidad
n
ei ( x) = wi , j  x j  ci
(1  i  m)
(3)
j =1
son satisfechas y para la cual
X f = {x  X | e( x)  0}
(2)
La imagen de X f , i.e. la región factible
dentro
debe
del
espacio
de
búsqueda,
es
denotado como Y f = f ( X f ) =  { f ( x)} .
xX
f
W.L.O.G.
para
un
problema
máximo, donde
n
f i ( x) =  pi , j  x j
(4)
de
x j = 1 si y solo si el elemento j es
y
seleccionado.
dadas son similares.
problema
multidimensional
es
j =1
minimización, las definiciones anteriormente
El
f ( x) = ( f1 ( x), f 2 ( x),, f m ( x))
de
–
la
mochila
Multidimensional
2.1
Optimización por colonia de
hormigas
Knapsack Problem (MKP) – es un problema
de optimización multiobjetivo, el cual se
Optimización por colonia de hormigas – Ant
compone
de
Colony
mochilas
(objetivos)
un
número
Optimization
(ACO)
–
es
una
arbitrario
de
una
con
metodología propuesta por Marco Dorigo
capacidad (restricción) y un conjunto de
[5]. Esta metodología estudia sistemas
elementos que tienen asociado un peso y
artificiales tomando como inspiración el
un beneficio. La tarea consiste en encontrar
comportamiento real de las colonias de
un subconjunto de estos elementos que
hormigas, las cuales se usan para resolver
colocados dentro de las mochilas maximice
problemas de optimización combinatoria.
cada
el beneficio total teniendo en cuenta las
capacidades de estas [17]. Formalmente el
problema MKP se define como:
Definición 3. (Problema de la mochila
multidimensional), dado un conjunto n de
Los componentes de un algoritmo de
colonia de hormigas son:
23


Hormigas: tienen por objetivo realizar un
que la hormiga k tome la ruta hacia j desde i
recorrido
Cerrado)
en la iteración t, la probabilidad solamente
dentro del problema dado por el usuario.
es calculada para las villas j que no han sido
Memoria de feromonas: es utilizada
visitadas aún por la hormiga k.
(Ciclo
Completo
para tener una historia de los recorridos
efectuados por las hormigas y poder

Después
de
haber
completado
los
cambiar la intensidad de cada posible
recorridos de todas las hormigas escogidas
ruta a cada nueva iteración.
es
Probabilidad de selección de un camino:
feromona sobre cada arco de cada recorrido
toma de decisión de cada hormiga al
en función de la calidad de la solución
momento de escoger un camino para
encontrada
pasar de un nodo a otro. La fórmula que
función es llamada impregnación de las
define la probabilidad es llamada regla
feromonas
de transición de estados aleatorios o
intensificación [7]:
necesario
dejar
para
y
una
cada
se
usa
cantidad
recorrido,
la
regla
de
esta
de
regla de Bonabeau [7]:


  ij (t ) ij (t )



pijk (t )   lJ ik  il (t ) il (t )

0

si
j  J ik
(5)
si
 Q
 k
 (t )   L (t )
 0

k
ij
si (i, j )  T k
(6)
si (i, j )  T
k
j  J ik
En (6), Lk (t ) es la longitud del recorrido de
La regla de Bonabeau (5) está basada en
la hormiga k en la iteración t y Q es una
los conceptos de visibilidad (la visibilidad es
constante, la regla es aplicada a todos los
el numero inverso de la distancia entre dos
arcos que pertenecen al recorrido realizado
nodos i y j, y ij = 1 de la traza de
d ij
por la hormiga k en la iteración t.
feromona dejada sobre un arco del camino,
atenuación de las feromonas, proceso que
es decir, la traza de feromona dejada entre
evapora
un nodo i y una j en una iteración t es
garantizando que la memoria global del
 ij(t ) , α y β son dos parámetros que tiene
sistema
el control sobre la importancia relativa de la
intensidad de la feromona y la visibilidad, así
Otra función importante es la función de
las
olvida
trazas
las
de
malas
feromonas
soluciones
encontradas con la regla de evaporación [7]:
 ij (t  1)  (1   )  ij (t )   ij (t )
(7)
se puede decir que con α = 0 solamente la
visibilidad es evaluada, por el contrario si β
=
0
solamente
la
intensidad
de
las
feromonas es evaluada.
En (7)  es el índice de evaporación de la
feromona, es decir, el índice con el cual la
traza de feromonas se va a evaporar en
relación con las iteraciones y  ij (t ) es la
Como resultado de la evaluación de la
regla se tiene una probabilidad para cada
posible camino, pijk (t ) es la probabilidad
función de impregnación.
24
•
2.2 Métricas
Métrica M2 distribución del conjunto
A , donde,  > 0 corresponde a un
Para el análisis de resultados se utilizaron
parámetro de vecindad:
las métricas de desempeño de [17], que
están basadas en los conceptos de óptimo
El óptimo de Pareto en un problema
multiobjetivo,
es
una
solución
1
 | {b  A| a b >  } |
| A | 1 aA
(10)
Métrica M3 extensión del conjunto
A:
M 2 ( A) =
de Pareto y Dominancia (Ecuación 8).
óptima
•
cuando no existe otra solución tal que
n
M 3 ( A) =
mejore en un objetivo sin empeorar al
 max { a  b
i
i
| a, b  A} (11)
i =1
menos uno de los otros. Esta solución
óptima se determina con el concepto de
dominancia.
Definición
3 Algoritmo propuesto
4. (Dominancia), para
dos
algoritmo
propuesto
(Algoritmo
P–
MOACO2) está basado en MMAS [15] y en
vectores de decisión cualesquiera p y q,
p  q ( p domina q)
 f ( p) > f (q)
p  q ( p domina débilmente q)  f ( p)  f (q)
p  q ( p es indiferent e a q)
 f ( p)  f (q)  f (q)  f ( p)
El
el trabajo de Khichane et al. [11]. El
(8)
algoritmo propuesto (Algoritmo 1) realiza
dos cambios en el algoritmo base y crea el
Cuando las soluciones son dominantes
planteamiento de la visibilidad calculada
en el sentido de que no hay otras soluciones
como una propiedad variable de cada
superiores a estas en el espacio de
elemento. A continuación se muestra en
búsqueda y cuando todos los objetivos son
detalle las principales características del
considerados, este conjunto se denomina
algoritmo propuesto:
conjunto no dominado o frente óptimo de
Pareto y es la mejor colección de soluciones

Una variabilidad adaptativa que refiere
al cambio de los parámetros α (alfa) y β
al problema.
(beta) para la población (– valores entre
Las
métricas
usadas
0 y 5 – [13]),
básicamente
evalúan la distancia, la distribución y la

los objetivos a optimizar y
extensión de la solución generada por los

algoritmos.
el cambio de la importancia relativa de
la evaluación de las propiedades de los
elementos.
•
Métrica
M1
distancia
promedio
al
conjunto Óptimo de Pareto X p :
M1 ( A) =
1
 min { a  x | x  X(9)p }
| A | aA
2
Pareto Multi–Objective Ant Colony Optimization
25
Algoritmo 1 Algoritmo P–MOACO
la regla de transición (véase Ecuación
1: Iniciar τ
5), donde:
2: Generar 2 especies para la población (Evaluación
m
i , j = E  P
diferente del objetivo)
3:
(13)
=0
Para t = 1 . . . tmax

4:
Genera_Probabilidad
5:
Generar número global α (alfa) de forma
Las líneas 15 y 18 están relacionadas
con el óptimo de Pareto.
aleatoria
Generar número global β (beta) de forma
6:
7:
aleatoria
según la taxonomía MOACO (Multi–Objetive
Para toda hormiga k = 1 . . . kmax
Ant Colony Optimization) [4] (ver Tabla 1):
8:
Vrecorrido[ ] = 0
9:
Elegir un elemento de forma aleatoria
10:
Para todo elemento no seleccionado
4 Experimentos y resultados
11:
Selección_Elemento
12:
Intensificar la traza de feromonas (Ec.
6)
13:
14:
15:
16:
El algoritmo propuesto se puede clasificar
Los resultados experimentales del algoritmo
Evaporar la traza de forma uniforme
propuesto
(Ec. 7)
resultados del algoritmo SPEA2 (Streng
Fin Para
son
comparados
con
los
Pareto Evolutionary Algorithm versión 2). El
Ingresar al frente global aplicando dominancia
algoritmo SPEA2 es un referente para
Fin Para
17: Fin Para
solucionar problemas multiobjetivo que usan
18: Refinamiento del frente global
el óptimo de Pareto [2].
Sobresalen los siguientes detalles del
algoritmo P–MOACO (Algoritmo 1):
 En
la
línea
2
se
garantiza
Además, el algoritmo SPEA2, en [20]
mostró como obtuvo un comportamiento
una
similar a NSGA-II (Nondominated Sorting
evaluación equitativa (E) de la solución
Genetic
en dos formas diferentes: beneficio
algoritmos


.

w
i
,
j


 En
la
línea
4
procedimiento
se
i, j
encuentra
SPEA
y
superior
(primera
a
los
versión
de
SPEA2) y PESA (Pareto Envelope–Based
 p  o beneficio/peso  p
i, j
Algorithm)
Selection Algorithm) para el problema de la
el
Genera_Probabilidad,
que genera números de forma aleatoria
que sirven como probabilidad P para
determinar la importancia de los m
objetivos, según la Ecuación 12.
mochila multidimensional con 2,3 y 4
objetivos, incluso en algunos casos obtuvo
mejores
respecto
resultados
a
experimentales
NSGA–II.
Los
con
resultados
reportados corresponden a la mediana
después de 25 ejecuciones. El tiempo de
ejecución promedio para 100 elementos es
m
P
=1
11
se

(12)
=0
 En
la
línea
36.37, para 250 elementos 73.13 y para 500
elementos
encuentra
el
experimentos
es
243.51
fueron
minutos.
realizados
en
Los
un
procedimiento Seleccion_Elemento, que
equipo Intel Core 2 Duo de GHz, 3GB de
selecciona un elemento dentro de la
memoria y sobre Ubuntu Karmic Koala.
lista de elementos restantes basado en
26
4.2 Conjuntos de datos
Tabla1. Algoritmo Propuesto en la Taxonomía
MOACO
El algoritmo P–MOACO fue probado con
datos extraídos del Swiss Federal Institute
of Technology Zurich ETH3 y comparado
con los resultados del algoritmo SPEA2
4.1 Parámetros
sobre los mismos conjuntos de datos.
Las
metaheurísticas
heurístico
como
especialmente
para
método
resolver
Los conjuntos de datos seleccionados
problemas de optimización combinatoria
tienen 3 objetivos (m) y 100–250–500
deben tener en cuenta el balance entre la
elementos (n). Además, la selección de
exploración
estos conjuntos permite que los resultados
(búsquedas
diversas
para
descubrir nuevas áreas) y la explotación
se puedan visualizar.
(búsqueda intensa en el área actual para
encontrar
soluciones
óptimas).
Los
4.3 Resultados
parámetros en ACO para modificar el
comportamiento de las hormigas y lograr el
Para los problemas seleccionados no se
equilibrio entre la búsqueda local y global
tiene un conjunto óptimo reportado, es por
son la intensificación y la diversificación,
ello que la métrica M1 no es tenida en
respectivamente.
cuenta. Con respecto a las restantes
métricas (Figura 1), se observa como el
La
diversificación
se
refiere
a
la
incremento en el número de iteraciones o
sensibilidad de las hormigas con respecto a
ciclos
la huella dejada por la feromona, si este
correspondientes
valor
extensión de la solución.
decrece,
la
sensibilidad
de
las
mejoran
los
a
la
resultados
distribución
y
hormigas a la traza de la feromona es baja.
La intensificación se relaciona con la tasa
Los
resultados
obtenidos
con
el
de evaporación de la feromona, si existe un
algoritmo P–MOACO son comparados con
decremento en este valor, implica que la
el algoritmo SPEA2 para cada uno de los
feromona se evapora más lentamente.
conjuntos de datos seleccionados. Fueron
Entonces, si se incrementa la habilidad de
seleccionados los mejores resultados según
exploración de las hormigas, usualmente se
las métricas para todas las ejecuciones
encuentran mejores soluciones, pero se ve
realizadas (Tabla 2). Los resultados para
afectado el tiempo para encontrarlas.
100 elementos se pueden ver en la Figura
2, 250 elementos en la Figura 3 y 500
Para
los
experimentos
reportados
a
elementos en la Figura 4.
continuación, se tiene a α, β y ρ calculados
de forma aleatoria y un número de hormigas
de 100. Un número de 1000 iteraciones o
ciclos fue determinado en base a las
métricas usadas (Figura 1).
3http://www.tik.ee.ethz.ch/sop/download/supplementary/testP
roblemSuite/
27
Fig. 1. Resultados métrica M2 (izq.) y métrica M3 (der.) del algoritmo P–MOACO para los
conjuntos de datos de 100, 250 y 500 elementos
Tabla 2. Resultados de la mejor evaluación del algoritmo P–MOACO y el algoritmo SPEA
para el conjunto de 100, 250 y 500 elementos con 3 mochilas.
No. soluciones óptimas
Métrica M2
Métrica M3
SPEA2
354
330
410
100
P–MOACO
1090
1176
1133
SPEA2
5.028
5.171
5.464
250
P–MOACO
5.791
6.303
6.572
SPEA2
38.961
49.335
63.166
500
P–MOACO
63.796
95.094
137.542
Fig. 2. Comportamiento de los algoritmos SPEA2 y P–MOACO con m=3 y n=100
28
29
En las figuras (Figura 2, Figura 3 y
Figura 4) es evidente observar como el
algoritmo P–MOACO tiene una extensión
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multiobjective
0/1
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igual que los resultados presentados en la
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Tabla 2.
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el
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amplíe el espacio de búsqueda y encontrar
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Daniel Soto. Ingeniero de
sistemas.
Actualmente
trabaja
la
para
privada
en
temas
relacionados
inteligencia
parte
empresa
con
la
artificial.
Hace
del
grupo
de
Algoritmos y Combinatoria ALGOS-UN de la
Universidad Nacional de Colombia.
Wilson Soto. Ingeniero de
sistemas, Esp. en ingeniería
del
software
ingeniería
de
computación.
y
MSc
sistemas
en
y
Actualmente
es docente tiempo completo
de la Universidad Central en Colombia. Hace
parte del grupo de Algoritmos y Combinatoria
ALGOS-UN de la Universidad Nacional de
Colombia y del grupo de Sistemas Inteligentes y
de Información Espacial SIGA de la Universidad
Central.
Yoan Pinzón. Ingeniero de
sistemas, Esp. en ingeniería
de software, MSc y PhD de
la
Universidad
College
de
King’s
Londres.
Actualmente es vicedecano
de investigación y extensión
de la Universidad Nacional de Colombia. Hace
parte del grupo de investigación LISI y ALGOSUN de la Universidad Nacional de Colombia.
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Algoritmo de Optimización de Colonia de Hormigas Multiobjetivo

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