FACTORIZACIÓN EN MÓDULOS DE BANACH II

Transcripción

FACTORIZACIÓN EN MÓDULOS DE BANACH II
MARÍA JOSÉ ALEANDRO
UNCPBA-Fac. Cs. Exactas
Dto. Matemática-NUCOMPA
MARÍA JOSÉ ALEANDRO UNCPBA-Fac. Cs. ExactasDto. Matemática-NUCOMPA
Introducción
Sean A un álgebra de Banach y X un A-bimódulo de Banach,
siendo πl : A × X → X y πr : X × A → X las acciones a
izquierda y a derecha que realizan a X como A-bimódulo de
Banach.
Introducción
Sean A un álgebra de Banach y X un A-bimódulo de Banach,
siendo πl : A × X → X y πr : X × A → X las acciones a
izquierda y a derecha que realizan a X como A-bimódulo de
Banach.
Z (A, X ) = {a∗∗ ∈ A∗∗ : πl∗∗∗ (a∗∗ , x ∗∗ ) = πr∗∗∗ (x ∗∗ , a∗∗ ) if
x ∗∗ ∈ X ∗∗ },
Z♦ (A, X ) = {a∗∗ ∈ A∗∗ : πlt∗∗∗t (a∗∗ , x ∗∗ ) = πrt∗∗∗t (x ∗∗ , a∗∗ ) if
x ∗∗ ∈ X ∗∗ }.
Introducción
Theorem
1 SiA tiene una aproximación acotada de la identidad a derecha
y existe algún a∗∗ ∈ Z (A, X ) de manera que
πr∗∗ (a∗∗ , x ∗ ) = x ∗ para cualquier x ∗ ∈ X ∗ entonces X y X ∗
factorizan a la izquierda con respecto a A.
2 SiA tiene una aproximación acotada de la identidad a
izquierda y existe algún a∗∗ ∈ Z♦ (A, X ) de manera que
πlt∗∗ (a∗∗ , x ∗ ) = x ∗ para cualquier x ∗ ∈ X ∗ entonces X y X ∗
factorizan a la derecha con respecto a A
Ejemplos de factorización en álgebra de operadores
Sea H espacio de Hilbert separable
K (H), N(H), B(H) las clases de operadores compactos,
nucleares y lineales acotados sobre H
Se sabe que K (H) es ∗-ideal bilátero de B(H), no unitario si
dim(H) = ∞.
dim(H) = ∞.
Además
K (H)∗ ≈ N(H)
N(H)∗ ≈ B(H)
dim(H) = ∞.
Además
K (H)∗ ≈ N(H)
N(H)∗ ≈ B(H)
y N(H) es ideal bilátero de B(H)
dim(H) = ∞.
Además
K (H)∗ ≈ N(H)
N(H)∗ ≈ B(H)
y N(H) es ideal bilátero de B(H)
Además
N(H) ⊆ A(H) ⊆ K (H)
Si η ∈ N(H), sea
Λη : K (H) → C
Λn (k) = tr (k ◦ η)
Entonces
η ∈ N(H) → Λη ∈ K (H)∗
es el primer isomorfismo isométrico.
En =
n
X
ej ej
j=1
, donde
(x y ) (z) = hz, y i x
define una aproximación acotada de la identidad de K (H), y
por lo tanto de N(H)
En =
n
X
ej ej
j=1
, donde
(x y ) (z) = hz, y i x
Además N(H) es K (H)-bimódulo de Banach.
En =
n
X
ej ej
j=1
, donde
(x y ) (z) = hz, y i x
Además N(H) es K (H)-bimódulo de Banach.
Es aplicable el teorema de Cohen y
N(H) = N(H)K (H)
Sea E = w ∗ − lı́mn→∞ En en A∗∗ .
Sea E = w ∗ − lı́mn→∞ En en A∗∗ . Entonces
E ∈ Z♦ (K (H), K (H)) y πlt∗∗ (E , η) = η si η ∈ N(H).
pues si η ∈ N(H) y k ∗∗ ∈ B(H),
donde {ks }s∈S , entonces
k ∗∗ = w ∗ − lı́ms∈S ks ,
pues si η ∈ N(H) y k ∗∗ ∈ B(H),
donde {ks }s∈S , entonces
k ∗∗ = w ∗ − lı́ms∈S ks ,
hη, E ♦k ∗∗ i = lı́m lı́m hEn ks , ηi = lı́m hks , ηi = hη, k ∗∗ i. (1)
s∈S n→∞
s∈S
También
hη, k ∗∗ ♦E i = hη, k ∗∗ E i
= lı́m lı́m hks En , ηi
s∈S n→∞
= lı́m lı́m tr [ηks En ]
s∈S n→∞
= lı́m lı́m tr [En ηks ]
s∈S n→∞
= lı́m tr [ηks ]
s∈S
= lı́m hks , ηi
s∈S
= hη, k ∗∗ i.
(2)
Por (1) y (2),tenemos E ♦k ∗∗ = k ∗∗ ♦E = k ∗∗ y entonces
E ∈ Z♦ (K (H), K (H)).
E ∈ Z♦ (K (H), K (H)).
Mas aún, si k ∈ K (H) y η ∈ N(H) vemos que
hk, πlt∗∗ (E , η)i = hπlt∗ (η, k), E i
= lı́m hEn , πlt∗ (η, k)i
n→∞
= lı́m hπlt (k, En ), ηi
n→∞
= lı́m hπl (En , k), ηi
n→∞
= hk, ηi.
E ∈ Z♦ (K (H), K (H)).
Mas aún, si k ∈ K (H) y η ∈ N(H) vemos que
hk, πlt∗∗ (E , η)i = hπlt∗ (η, k), E i
= lı́m hEn , πlt∗ (η, k)i
n→∞
= lı́m hπlt (k, En ), ηi
n→∞
= lı́m hπl (En , k), ηi
n→∞
= hk, ηi.
Luego N(H) = K (H)N(H).
Ejemplos de factorización
Sea A = c0 (N) con el producto punto a punto y X = A.
Si para n ∈ N, δn , δn (m) = 1 si m = n and 0 en otro caso,
entonces {δ1 + ... + δn }n∈N es una aproximación acotada de la
identidad para A.
identidad para A.
Dada F ∈ l ∞ (N) y una función τ : N → N queda bien
definida Fτ = {F (τ (n))}n∈N en l ∞ (N).
identidad para A.
Dada F ∈ l ∞ (N) y una función τ : N → N queda bien
definida Fτ = {F (τ (n))}n∈N en l ∞ (N).
Mas aún, si τ es biyectiva l 1 (N) y A son invariantes bajo
Ψτ : F 7→ Fτ .
Si λ, % : N → N son funciones biyectivas.
Definimos πl (a, x) = aλ x y πr (x, a) = a% x (a ∈ A y x ∈ X ).
Entonces πl y πr son acciones bien definidas de A sobre X .
Entonces πl y πr son acciones bien definidas de A sobre X .
Tenemos
πr∗∗ (a∗∗ , x ∗ ) =
∞
X
∗∗
a%(n)
xn∗ e n
(3)
n=1
en X ∗ , donde a∗∗ ∈ A∗∗ , x ∗ ∈ X ∗ en X ∗ y para cada n ∈ N,
e n = {δn }n∈N in l 1 (N).
Ejemplos de Factorización
Por lo tanto, para cada a∗∗ ∈ A∗∗ y x ∗∗ ∈ X ∗∗ , obtenemos
que
∗∗
∗∗
∗∗
πl∗∗∗ (a∗∗ , x ∗∗ ) = Ψ∗∗
and πr∗∗∗ (x ∗∗ , a∗∗ ) = x ∗∗ Ψ∗∗
% (a ).
λ (a )x
que
∗∗
∗∗
∗∗
πl∗∗∗ (a∗∗ , x ∗∗ ) = Ψ∗∗
and πr∗∗∗ (x ∗∗ , a∗∗ ) = x ∗∗ Ψ∗∗
% (a ).
λ (a )x
Pero A es arens regular y su bidual se identifica con l ∞ (N)
dotado de la multiplicación punto a punto.
Luego,
que
∗∗
∗∗
∗∗
πl∗∗∗ (a∗∗ , x ∗∗ ) = Ψ∗∗
and πr∗∗∗ (x ∗∗ , a∗∗ ) = x ∗∗ Ψ∗∗
% (a ).
λ (a )x
Luego,si λ = % (or πl = πrt )
que
∗∗
∗∗
∗∗
πl∗∗∗ (a∗∗ , x ∗∗ ) = Ψ∗∗
and πr∗∗∗ (x ∗∗ , a∗∗ ) = x ∗∗ Ψ∗∗
% (a ).
λ (a )x
Luego,si λ = % (or πl = πrt )entonces A∗∗ = Z (A, X ).
que
∗∗
∗∗
∗∗
πl∗∗∗ (a∗∗ , x ∗∗ ) = Ψ∗∗
and πr∗∗∗ (x ∗∗ , a∗∗ ) = x ∗∗ Ψ∗∗
% (a ).
λ (a )x
por (3) vemos por ejemplo que
que
∗∗
∗∗
∗∗
πl∗∗∗ (a∗∗ , x ∗∗ ) = Ψ∗∗
and πr∗∗∗ (x ∗∗ , a∗∗ ) = x ∗∗ Ψ∗∗
% (a ).
λ (a )x
por (3) vemos por ejemplo que πr∗∗ (1, u ∗ ) = u ∗ para cualquier
u ∈ X ∗ , donde 1 = w ∗ − limn→∞ (δ1 + ... + δn ).
que
∗∗
∗∗
∗∗
πl∗∗∗ (a∗∗ , x ∗∗ ) = Ψ∗∗
and πr∗∗∗ (x ∗∗ , a∗∗ ) = x ∗∗ Ψ∗∗
% (a ).
λ (a )x
por (3) vemos por ejemplo que πr∗∗ (1, u ∗ ) = u ∗ para cualquier
u ∈ X ∗ , donde 1 = w ∗ − limn→∞ (δ1 + ... + δn ).
Entonces c0 (N) = c0 (N)c0 (N) y l 1 (N) = l 1 (N)c0 (N)
Theorem
1 Si M(A∗∗ ) la clase de unidades mixtas de A∗∗ interseca a
Z (A, X ) en un conjunto no vacı́o, X factoriza a izquierda
con respecto a A si y solo si X ∗ factoriza a izquierda con
respecto a A.
2 Si X es simétrico y Z♦ (A, X ) contiene alguna unidad mixta;
X factoriza a derecha con respecto a A si y solo si X ∗
factoriza a derecha con respecto a A
Corollary
Sea G un grupo localmente compacto con medida de Haar
invariante a izquierda λ.
1
M(L1 (G )∗∗ ) ∩ [Z (L1 (G ), L1 (G )) ∪ Z♦ (L1 (G ), L1 (G ))] = ∅.
En particular, L∞ (G ) no factoriza a ningún lado respecto de
L1 (G ).
2
M(L1 (G )∗∗ ) ∩ Z (L1 (G ), C0 (G )) = ∅.
3
Si G es abeliano, M(L1 (G )∗∗ ) ∩ Z♦ (L1 (G ), C0 (G )) = ∅.
K. Haghnejad Azar:
Arens regularity of bilinear forms and unital Banach module
spaces. Bull. Iranian Math. Soc., 40, no. 2, (2014), 505-520.
P. Cohen:
Factorization in group algebras. Duke Math. J., 26, (1959),
199-205.
M. Leinert:
A commutative Banach algebra which factorizes but has no
approximate units. Proc. Amer. Math. Soc., 55, no. 2, (1976),
245-246.
W. L. Paschke:
A factorable Banach algebra without bounded approximate
unit. Pacific J. of Mathematics, 46, no. 1, (1973), 249-251.

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