Revista de Investigación de Física

Transcripción

Volumen 17 N.o1
2014
ISSN 1605-7724
e-ISSN 1728-2977
Revista de Investigación de
Físia
Instituto de Investigación de Física — Facultad de Ciencias Físicas
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Universidad del Perú, Decana de América
Lima – Perú
Facultad de Ciencias Físicas
Instituto de Investigación de Física
Rector
Dr. Pedro Atilio Cotillo Zegarra
Vicerrectora Académica
Dra. Antonia Castro Rodríguez
Vicerrector de Investigación
Dr. Bernardino Ramírez Bautista
Consejo Superior de Investigaciones
Mg. Jesús Rumiche Briceño
Dr. Ángel Bustamante Domínguez
Dr. Joel Rojas Acuña
La Revista de Investigación de Física es una publicación -arbitrada por pares-, de la Facultad de
Ciencias Físicas de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos, Lima, Perú, auspiciado por
el Consejo Superior de Investigación, dedicado a
la publicación de los resultados de trabajos e investigaciones en el área de la física. La Revista
de Investigación de Física publica artículos realizados por los docentes y estudiantes de pre y
posgrado de la Universidad Nacional Mayor de
San Marcos y de otras instituciones nacionales y
extranjeras dedicados al avance de la física.
Editores
Dr. Pablo H. Rivera
Dr. Carlos V. Landauro
Dr. Justo A. Rojas Tapia
Dr. César A. Quispe Gonzáles
Comité Internacional
Dr. Jean-Marc Greneche
Institut de Recherche en Ingénierie Moléculaire et Matériaux Fonctionnels, Université du Maine,
Le Mans, France
Dr. Peter A. Schulz
Instituto de Física “Gleb Wataghin”, Universidade Estadual de Campinas, Campinas, São Paulo,
Brasil
Dr. Diego Grosz
Instituto Tecnológico de Buenos Aires, Buenos Aires, Argentina
Dr. Luis A. Dalguer
Swiss Federal Institute of Technology, Swiss Seismology Service, CH-8092 Zurich, Switzerland
Dr. Rafael A. Benites
GNS Science, Te Pü Ao, Lower Hutt 5010, New Zealand
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c 2014
Revista de Investigación de Física,
Instituto de Investigación de Física,
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Rev. Inv. Fis., ISSN 1605-7724
Rev. Inv. Fis., e-ISSN 1728-2977
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Rev. Inv. Fis.
Volumen 17
2014
Número 1
Materia condensada
Sistemas cristalinos bidimensionales. Two dimensional crystalline systems;
D. I. Arrieta, Y. E. Huamán, M. C. Gutiérrez, R. A. Montalvo y P. H. Rivera . . . . .
141701101
Composition and thickness of gold and silver nose decorations from the tomb of the
Lady of Cao determined by combining EDXRF-analysis and X-ray transmission measurements. Composición y espesor de las decoraciones nasales de oro y plata provenientes de la tumba de la Dama de Cao determinados por la combinación del análisis
EDXRF y las medidas de transmisión de rayos X ;
R. Cesáreo, G. Gigante, J. Fabián, S. Zambrano, R. Franco, A. Fernández y A. Bustamante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141701102
Física de suelos
Análisis mineralógico de la fracción arcilla de suelos tropicales del Perú por difractometría de rayos X y espectroscopia Mössbauer. Mineralogical analysis of the clay
fraction of tropical soils from Peru by X-ray diffractometry and Mössbauer spectroscopy;
Mirian E. Mejia y Jorge A. Bravo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141701401
Dinámica de fluidos
Diseño aerodinámico de un túnel de viento de bajas velocidades. Aerodynamical design
of a low velocities wind tunnel ;
C. A. Quispe Gonzáles, W. J. Urcuhuaranga Esteban y J. E. Chiroque Baldera . . . .
141701601
Enseñanza de la física
Dinámica de los operadores de un campo escalar complejo bidimensional en la representación de Heisenberg. Dynamic of the complex two-dimensional scalar field operators in the Heisenberg representation;
Fulgencio Villegas Silva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141701751
Física computacional
Estrategia para el estimado de los coeficientes de absorción y esparcimiento en medios participantes unidimensionales. Strategy for the estimation of the scattering and
absorption coefficients in one-dimensional participating media;
M. Berrocal Tito, R. F. Carita Montero, J. A. Bravo y A. J. Silva Neto . . . . . . . . . . . .
141701851
Revista de Investigación de Física 17, 141701101 (2014)
Sistemas cristalinos bidimensionales
D. I. Arrieta, Y. E. Huamán, M. C. Gutiérrez, R. A. Montalvo y P. H. Rivera∗
Facultad de Ciencias Físicas, Universidad Nacional Mayor de San Marcos, Lima, Perú
Recibido 15 junio 2014 – Aceptado 15 julio 2014
Desde la obtención experimental del grafeno en el 2004, los sistemas cristalinos bidimensionales han sido
objeto de un profundo estudio tanto teórico como experimental. Los métodos de análisis de la estructura
electrónica han abarcado desde el tight binding, la ecuación de Dirac para los puntos K y K’ hasta los
métodos de funcionales de densidad.
El presente trabajo es un estudio inicial de la estructura electrónica y la estructura de frecuencias de los
fonones de los cristales bidimensionales usando la teoría de funcionales de densidad. Para ello hacemos uso
de los códigos desarrollados en Fortran 90 por el Exciting y en Python por el GPAW.
Los resultados de las estructuras electrónicas obtenidos para algunas redes bidimensionales son mostrados
y así como el espectro de frecuencias de los fonones del grafeno.
Palabras claves: Sistemas cristalinos 2D, teoría de funcionales de densidad, espectro de fonones, densidad
de estados.
Two dimensional crystalline systems
Since the experimental obtention of graphenen in 2004, the two dimensional crystalline systems was a study
subject of strong analysis from theoretical and experimental point of view. The analytical methods goes
from tight binding, Dirac equations for K and K’ points to functional density theories.
The present work is an initial study of the electronic structure and the phonon frequencies spectra of 2D
crystalline systems using functional density theory. We use the Exciting Fortran 90 code and GPAW Python
code.
The results of electronic structure for some 2D lattices are shown and also the graphene phonon frequencies
spectra.
Keywords: 2D crystalline systems, density functional theory, phonon spectra, density of states.
libre del sistema bidimensional lo que provoca inestabilidades termodinámicas que impiden su formación como
red bidimensional según Landau y Peierls [2–4]. Más aún,
Mermin considera que las fluctuaciones térmicas provocan
desplazamientos mayores que las distancias interatómicas
que impiden la estabilidad de las estructuras bidimensionales [5]. Todas estas afirmaciones están corroboradas por
una multitud de evidencias experimentales. Más aún, desde hace un tiempo, en la obtención de películas delgadas
se observa que la temperatura de fusión disminuye conforme el espesor de la película disminuye [6, 7], esto origina
las inestabilidades termomecánicas que se contraponen a
la formación de una red cristalina bidimensional.
Los sistemas cristalinos bidimensionales son formas de
cristalización periódica en la que los átomos o moléculas
se distribuyen formando arreglos periódicos de largo y corto alcance en dos dimensiones, estos arreglos son definidos
por el vector de traslación tm = m1 a1 +m2 a2 +m3 a3 [1],
donde m1 y m2 son cualquier entero positivo, negativo o
cero; los vectores denotados por a1 , a2 y a3 representan
tres vectores arbitrarios e independientes, mientras que
m3 = 1 considerando que la magnitud del vector a3 es
una longitud muy grande de modo que la interacción entre
los planos establecidos por la periodicidad en la dirección
a3 sea mucho menor que las fuerzas de van der Waals
y desde este modo los planos de átomos definidos por
a1 y a2 pueden ser considerados aislados uno de otro,
desde el punto de vista de la simulación numérica. Pero este proceso, en la naturaleza, no minimiza la energía
∗
La opción para contrarrestar estas inestabilidades es
construir tales sistemas bidimensionales sobre substratos
conformados por otros materiales para minimizar la ener-
[email protected]
1
2
gía libre del sistema o permitiendo la formación de nanotubos [8, 9] y buckybolas [10]. El primer caso fue realizado experimentalmente en el 2004 por el grupo de Andrei
Geim [11] quienes consiguieron -mediante una técnica relativamente sencilla, usando una cinta adhesiva-, exfoliar
capas de grafeno y colocarlas sobre un subtrato de SiO2
que se obtiene oxidando un wafer de Silicio, luego de realizar un proceso de litografías en la muestra consiguieron
obtener una geometría para realizar medidas de conductividad que les permitieron deducir que el transporte de los
portadores de carga se produce a través de los puntos K y
K’ de la estructura electrónica proyectadas en la primera
zona de Brillouin y con una velocidad de Fermi próxima
al 0.3 % de la velocidad de la luz en el vacío. Tales velocidades son consideradas relativísticas pero el sistema
pertenece a la física de la materia condensada.
Esta noticia trajo consigo una avalancha de estudios
teóricos y experimentales sobre el grafeno [12,13] y la posibilidad de obtener otros sistemas bidimensionales [14] que
emulen las propiedades del grafeno o que tengan un comportamiento como semiconductor. Puesto que los portadores de carga moviéndose a velocidades consideradas relativísticas no pueden ser confinados por potenciales electrostáticos debido a la paradoja de Klein [15] que afirma
que la transmisión de las partículas relativísticas a través
de una barrera es igual a 1, y esto no permitiría el uso del
grafeno para la construcción de dispositivos que necesitan
de un potencial confinante para discretizar las energías
para determinadas aplicaciones optoelectrónicas.
Por tanto, el objetivo de este trabajo es el estudio de
las propiedades electrónicas y térmicas de los cristales bidimensionales usando la teoría de funcionales de densidad
para considerar los efectos de muchos cuerpos que están
involucrados en la formación de la energía libre de dichos
sistemas. Este trabajo es un estudio sistemático de algunos cristales bidimensionales que desde el punto de vista
numérico son tratados casi aislados y a partir de los espectros de autovalores de los portadores de carga y de los
iones deducimos las propiedades electrónicas y térmicas
de tales sistemas.
Este trabajo consta de la primera sección que trata
brevemente la evolución de los cálculos de la estructura
electrónica desde Hartree hasta la teoría de funcionales de
densidad como una buena aproximación al estudio de los
sistemas de muchos cuerpos, y las aproximaciones que se
usan en la determinación de las propiedades electrónicas
y térmicas de tales sistemas. En la sección siguiente de
resultados se muestran los espectros de energía y se discuten las propiedades físicas que se deducen de los análisis
de los espectros. Finalmente, mostramos las conclusiones
de este trabajo.
Rev. Inv. Fis. 17, 141701101 (2014)
Teoría
Consideremos el hamiltoniano del sistema de muchos
cuerpos como [16, 17]
Ĥ = Ĥe + ĤI + Ĥe−I + V̂ext
(1)
donde Ĥe es el hamiltoniano de todos los electrones que
mide la energía cinética y la energía de interacción coulombiana electrón-electrón,
Ĥe =
X ~2 k̂i2
1X 1
ei ej
+
,
2m
2
4πǫ
0 |r̂i − r̂j |
i
(2)
i6=j
ĤI es el hamiltoniano de todos los iones que mide la energía cinética y la energía de interacción coulombiana iónión,
ĤI =
X ~2 q̂J2
1 X 1 ZJ eJ ZK eK
,
+
2MJ
2
4πǫ0 |R̂J − R̂K |
J
J 6=K
(3)
ĤeI es el hamiltoniano de interacción coulombiana entre
los iones y electrones
Ĥe−I = −
X
J,i
1 ZJ eJ ei
4πǫ0 |RJ − ri |
(4)
y finalmente, V̂ext representa a los potenciales externos
aplicados. La ecuación de autovalor de este problema está
dado por
Ĥ|Ei = E|Ei
(5)
donde E y |Ei representa los autovalores y los autoestados
del sistema de muchos cuerpos. Este representa uno de los
mayores problemas de la física porque resolver esta ecuación es prácticamente imposible con la tecnología actual
que se tiene porque el número de partículas involucrada
en los cálculos son del orden del número de Avogadro,
Na ∼ 1023 partículas.
La primera aproximación que se aplica para resolver el
problema es la aproximación adiabática o la aproximación
de Born-Opennheimer, que considera que el movimiento
de los iones y los electrones que conforman el sólido están
desacoplados porque la masa de los electrones es aproximadamente 1800 veces menor que la masa de los iones,
de modo que cualquier perturbación en el movimiento de
los iones los electrones siente la perturbación de manera
instantánea y adiabáticamente, pero lo inverso, cualquier
perturbación en el movimiento de los electrones los iones reaccionan mucho después y casi imperceptiblemente,
luego los autoestados de energía del sistema de muchos
cuerpos se disgrega en dos autoestados, la de los iones y
3
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la de los electrones, |Ei = |Ee i ⊗ |EI i, luego aplicando
en la Ec.(5) considerando la Ec.(1) se obtiene,
1
1
Ĥe |Ee i +
ĤI |EI i+
|Ee i
|EI i
1
Ĥe−I |Ee i ⊗ |EI i+
|Ee i ⊗ |EI i
1
V̂ext |Ee i ⊗ |EI i = E
|Ee i ⊗ |EI i
⇒ Ee + EI + Ee−I + Eext = E
(6)
de donde obtenemos las ecuaciones de autovalores para
los electrones, iones, el acoplamiento de los iones y electrones y la acción de campos externos sobre los iones y
electrones,
(7)
Ĥe |Ee i = Ee |Ee i
(8)
ĤI |EI i = EI |EI i
Ĥe−I |Ee i ⊗ |EI i = Ee−I |Ee i ⊗ |EI i
V̂ext |Ee i ⊗ |EI i = Vext |Ee i ⊗ |EI i ,
(9)
(10)
respectivamente.
Observando la dinámica de los iones, Ec.(8) y Ec.(9),
que oscilan alrededor de un centro de equilibrio para cada
uno de los iones, un primer cálculo se realiza considerando los iones estáticos en sus posiciones de equilibrio, ĤI0 ,
0
, y luego se considera la dinámica de los iones como
Ĥe−I
movimientos colectivos que se manifiestan como fonones
Ĥph y estas excitaciones colectivas de los iones se acoplan al movimiento de los electrones Ĥe−ph . Luego los
hamiltonianos de los iones y la interacción electrón-ión se
reescriben como
ĤI = ĤI0 + Ĥph
Ĥe−I =
0
Ĥe−I
(11)
(12)
+ Ĥe−ph
de modo que se resuelve la ecuación de autovalor de manera perturbativa.
Por tanto, una buena aproximación es resolver la ecuación de autovalor considerando
0
hr|(Ĥe + Ĥe−I
)|Ee i =
0
)hr|Ee i = Ee hr|Ee i .
(He + He−I
(13)
Hartree resuelve este problema considerando que la autofunción de muchos cuerpos y la energía de los electrones
se expresa como
hr|Ee i = hr1 |Ee1 ihr2 |Ee2 i · · · hrN |EeN i
=
N
Y
i=1
hri |Eei i
y
Ee =
N
X
i=1
Eei
que al ser reemplazado en la Ec.(13) y considerando las
Ecs.(2) y (4), encuentra que la minimización del valor esperado del hamiltoniano de muchos cuerpos desarrollandolo variacionalmente para determinar el estado fundamental
del sistema de muchos cuerpos se consigue solo si el hamiltoniano de un electrón simple cumple la ecuación de
autovalor dado por
~2 2
−
∇i + V (ri )+
2m

Z
|hrj′ |Eej i|2 ′
e2 X
drj  hri |Eei i = Eei hri |Eei i
4πǫ0
|ri − rj′ |
j6=i
(15)
donde el primer término indica la energía cinética del electrón, el segundo término la energía potencial que los iones ejercen sobre el electrón, este término se denomina el
pseudopotencial existiendo técnicas adecuadas para determinar este potencial para todos los elementos de la tabla
periódica, y finalmente, el tercer término que corresponde a la interacción coulombiana electrón-electrón que se
produce entre una distribución media de los electrones j
y el electrón i que se encuentra próximo a la posición ri .
A este término se suele denominar como el potencial de
Hartree, V H .
Existe un problema de simetría ante el operador de
intercambio al considerar la autofunción de muchos cuerpos como la Ec.(14), incluyendo los autoestados de espín
la autofunción de muchos cuerpos debe ser antisimétrica
ante el operador de intercambio. Esta discrepancia fue resuelta por Fock al considerar la autofunción de muchos
cuerpos como el determinante de Slater


hr1 |Ee1 i hr1 |Ee2 i . . . hr1 |EeN i

1  hr2 |Ee1 i hr2 |Ee2 i . . . hr2 |EeN i 

hr|Ee i = √

 .
..
..
..

N! 
.
.
...
.
hrN |Ee1 i
hrN |Ee2 i
...
hrN |EeN i
(16)
De la misma forma Fock calculó el valor esperado del
hamiltoniano de muchos cuerpos, usando el método variacional para determinar la minimización del valor esperado
y esto solo se consigue si el hamiltoniano de una partícula
simple cumple la condición de autovalor dado por

2 X Z |hr ′ |E i|2
2
ej
j
− ~ ∇2i + V (ri ) + e
drj′ −
2m
4πǫ0
|ri − rj′ |
j6=i

Z
hEej |rj′ ihri′ |Eei i ′
e2 X
drj  hri |Eei i = Eei hri |Eei i ,
4πǫ0
|ri − rj′ |
j6=i
(14)
(17)
respecto a la Ec.(15), los tres primeros términos son los
mismos y el cuarto es la energía potencial de intercambio
4
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denominada como potencial de Hartree-Fock o potencial
de intercambio, V ex .
Resumiendo, la Ec.(17), para un electrón simple se expresa como
~2 2
−
∇ + V (r) + V H + V ex hr|Ee i = Ee hr|Ee i ,
2m
(18)
esta es la ecuación que se resuelve autoconsistemente y
que ha permitido el desarrollo de todos los métodos de
cálculo aproximados de estructura electrónica desde los
años 30s hasta los años 60s del siglo pasado.
Desde la década de 1920 existe una aproximación diferente para obtener la energía total de un sistema de muchos cuerpos considerando la densidad electrónica n(r)
denominada el método de Thomas-Fermi que consideraba
inicialmente el sistema de electrones como un fluido clásico. En esta perspectiva, en 1964, Hohenberg y Khon [18]
proponen un cálculo variacional para encontrar la energía
mínima del estado fundamental de un sistema de electrones sujeto a un campo externo de iones considerando
también la interacción electrón-electrón. Para ello plantean una funcional de energía en función de la densidad
electrónica dado por n(r) = hE|rihr|Ei = |hr|Ei|2 . Bajo
este contexto, en 1965, Kohn y Sham [19] encuentran que
la minimización de tal funcional exige la solución autoconsistente de ecuaciones de partícula simple que incluyen los
efectos de correlación e intercambio dados por
~2 2
∇ + V (r) + V H + V xc hri |Ee1 i = Eei hri |Ee1 i
−
2m
(19)
y que las autofunciones de energía definen la densidad del
estado fundamental como
X
n=
(20)
Θ(µ − Eei )|hri |Eei i|2 .
i
En este caso Khon-Sham encuentran el cuarto término de
la Ec.(19) como el potencial de intercambio y correlación
V xc y en la Ec.(20) la función escalera Θ asegura que los
electrones ocupan los autoestados de energía sólo hasta el
potencial químico (estado fundamental del sólido).
Desde esta perspectiva se define el potencial de Hartree como
Z
|hr′ |Eej i|2 ′
e2 X
VH =
dr =
4πǫ0 j6=i
|r − r′ |
Z
e2 X
n(r′ )
dr′ (21)
4πǫ0
|r − r′ |
j6=i
donde la densidad incorpora los espínes ↑ y ↓ de forma
n(r′ ) = n↑ (r′ ) + n↓ (r′ ) =
|hr′ |Eei ; ↑i|2 + |hr′ |Eei ; ↓i|2
(22)
y el potencial de intercambio y correlación se definen en
función de la derivada de la energía total de intercambio
y correlación respecto a la densidad como [20]
V xc =
δE xc [n↑ , n↓ ]
δn(r)
(23)
donde la energía de intercambio y correlación no se conoce
de antemano, pero Kohn y Sham proponen un método que
se denomina Local Density Approximation, LDA [19], que
permite calcular la energía de intercambio y correlación en
función de la densidad,
Z
xc
ELDA
[n↑ , n↓ ] = dr′ n(r′ )exc (n↑ , n↓ ) ,
(24)
donde exc (n↑ , n↓ ) es la energía de intercambio y correlación por partícula para un gas de electrones con densidades de espínes uniformes n↑ y n↓ . Este enfoque funciona
muy bien para los solidos formados por los elementos de
la tabla periódica que conforman el grupo I de los metales alcalinos. Con los otros elementos como por ejemplo
los que poseen los orbitales hibridizados s − p, d y f los
resultados no concuerdan con los datos experimentales.
Años más tarde, en 1996, Perdew, Burke y Ernzerhof [21] determinan la energía de intercambio y correlación
con el método denominado Generalized Gradient Approximation, GGA, que involucra la dependencia de la energía
de intercambio y correlación en función de la densidad y
el gradiente de la densidad,
Z
xc
(25)
EGGA [n↑ , n↓ ] = dr′ f ([n↑ , n↓ ; ∇n↑ , ∇n↓ ) .
Este método mejora notablemente los resultados numéricos que se aproximan bastante a los datos experimentales
para determinados materiales. Para otros materiales se han
desarrollado funcionales para calcular la energía de correlación e intercambio que involucra una mezcla del método
LDA y GGA. También existen métodos semiempíricos para LDA y GGA. Todos estos métodos están contenidos en
una librería llamada libxc [22, 23] que pueden ser usados
por cualquier código de Density Functional Theory, DFT,
nombre con el cual se ha denominado a la propuesta de
Kohn, Hohemberg y Sham.
Procedimiento
Para el cálculo de las estructuras electrónicas y de los
espectros de los fonones de los cristales bidimensionales
hemos utilizado el código Exciting [24]. Este código usa
el Fortran 90 y se basa en el método de las ondas planas
linearizadas y aumentadas, Linearized Augmented Plane
Waves -LAWP-, que consiste en dividir la celda unitaria
en dos regiones, la primera región está ocupada por los volúmenes de los átomos conformados por esferas muffin-tin
y en ella se usa como base las autofunciones de energía de
5
Rev. Inv. Fis. 17, 141701101 (2014)
los orbitales atómicos de cada especie atómica que contiene la celda unitaria porque el cambio de las funciones
de onda en esta región varía rápidamente debido a que las
autofunciones de energía son muy localizadas a distancias
próximas a los átomos. Mientras, la segunda región corresponde al espacio complementario y remanente de los
volúmenes ocupados por los átomos dentro de la celda unitaria denominado espacio intersticial, en ella se usan como
base un conjunto de ondas planas porque las funciones de
onda en esas regiones varían muy lentamente [24].
La solución autoconsistente de la Ec.(19) permite calcular la energía total del estado fundamental de los sistemas cristalinos bidimensionales. La energía de intercambio
y correlación se calcula bajo la aproximación GGA [21].
conducción, se tiene que recurrir a la teoría GW [27, 28] o
a la ecuación de Bethe y Salpeter [29, 30] o a otros métodos como el Time Dependent Density Functional Theory,
TDDFT [31] que determinan con mayor exactitud los estados excitados. En el lado derecho de la Fig. 1 se muestra
de densidad de estados para todas las bandas.
El diamante es un material aislante desde el punto de
vista eléctrico porque el gap es mucho mayor que las excitaciones térmicas e impiden a los electrones saltar el gap
por activación térmica. La densidad de estados, DOS, es
mostrada en el lado derecho de la Fig. 1 mostrando el gap
indirecto.
En esta sección mostramos los resultados de los cálculos de la estructura electrónica de las redes cristalinas bidimensionales usando la teoría de funcionales de densidad,
DFT. Pero, antes mostramos la estructura electrónica del
diamante.
Energía (eV)
Propiedades electrónicas
30
30
20
20
10
10
0
0
-10
-10
-20
-20
Diamante
En primer lugar, mostramos la estructura electrónica
del diamante por cuestiones metodológicas. Esto es, queremos verificar que los resultados obtenidos por el Exciting
son compatibles con los resultados que se encuentran en
la literatura [25]. La Figura 1 muestra la estructura electrónica del diamante, en este caso los átomos de carbono
se unen via los estados hibridizados sp3 que en intensidad energética son menores que los orbitales hibridizados sp2 . Los orbitales del diamante se distribuyen espacialmente formando dos redes cúbicas de cara centrada
que se desplazan una distancia, a lo largo de la diagonal,
(1/4, 1/4, 1/4)a donde a = 3.567 Å = 6.740653 Bohr es
el parámetro de la red cúbica de cara centrada [26]. El
máximo de la banda de valencia se encuentra en el punto
Γ y el mínimo de la banda de conducción se encuentra en
la 2/3 partes del camino entre el punto Γ y el punto X, con
un gap indirecto de 4.088 eV, mientras que el valor experimental está en 5.47 eV a 300 K. En la literatura sobre DFT
se menciona sobre la dificultad que se tiene para calcular las estructuras tetraedrales como el diamante, la celta
unitaria del diamante con los vectores a1 = (0, 0.5, 0.5)a,
a2 = (0.5, 0, 0.5)a y a3 = (0.5, 0.5, 0)a es un tetraedro con los átomos de carbono posicionados en los puntos
(0, 0, 0)a y (0.25, 0.25, 0.25)a. Lo que el DFT garantiza es
que la banda de valencia está muy bien calculada y esto
se aprecia observando la misma en la Fig.1, cuya evolución en las direcciones L, X, W, K son semejantes a los
encontrados en la literatura, se observan la evolución de
los autoestados s y p ligantes que generan la banda de valencia. Para determinar, con mejor exactitud la banda de
L
Γ
X
W
Κ
Γ
0
1
2
DOS(estados/eV)
Figura 1: Se muestra la estructura electrónica y la densidad
de estados del diamante obtenida mediante el Exciting.
Grafito
Para el grafito los átomos de carbono forman enlaces
covalentes sp2 en el plano xy formando una estructura
planar hexagonal tipo panal de abeja y en la dirección z
los enlaces entre los planos son de tipo van der Waals. Este
tipo de interacción en z produce unas propiedades mecánicas interesantes en el grafito, pues las capas de carbono
son exfoliadas por un esfuerzo mecánico en la dirección xy
y son utilizadas ampliamente en la industria por esta propiedad como lubricantes en seco para evitar el rozamiento
directo entre un par de placas metálicas y componentes de
este tipo existen en casi todas las actividades industriales
de la humanidad desde la automovilística hasta la aeroespacial, la seguna aplicación más difundida es el uso en los
lápices que casi todo el mundo los usan desde temprana
edad.
La estructura electrónica del grafito está calculada con
una red unitaria
√ definida por los vectores a1 = (1, 0, 0)a,
a
√2 = (0.5, 3/2, 0)a y a3 = (0, 0, 1)c/a, donde a =
3dCC = 2.464 Å = 4.6562 Bohr, dCC = 1.4226 Å =
2.6883 Bohr y c = 6.711 Å = 12.681952 Bohr. Las posiciones de los átomos de carbono en la celda unitaria son
(0,0,0), (2/3,2/3,0),(1/3,1/3,1/2) y (1,1,1/2).
6
Rev. Inv. Fis. 17, 141701101 (2014)
Energía (eV)
Los puntos de simetría que se muestran en la primera
zona de Brillouin de la Fig. 2 pertenecen a una estructura
hexagonal, asimismo se aprecia en los puntos K que las
bandas de conducción y de valencia se degeneran lo que
implica que en estos puntos el grafito es un semimetal, esa
degeneración existe también en los puntos H cuyas coordenadas en el espacio k son (2/3,1/3,1/2) estos puntos
no están en el plano kx ky como lo están los puntos K con
coordenadas (2/3,1/3,0). También se observa que en el
punto Γ los orbitales tipo p ligantes de la banda de valencia tiene un máximo en ∼ −2.56 eV que no es observado
en los modelos tight-binding [32]. En el lado derecho de
la Fig. 2 se muestra la densidad de estados de todas las
bandas incluyendo la degeneración en los puntos K y H.
15
15
10
10
5
5
0
0
-5
-5
-10
-10
-15
-15
-20
Κ
Γ
Μ
Κ Η
L
Α
-20
Η 0
1
2
3
4
DOS (estados/eV)
próximos a estos puntos la energía depende linealmente de
la magnitud del vector k ≈ (2/3, 1/3, 0), E± ≈ ±vF |k|,
y los portadores de carga se mueven a vF ∼ 106 m/s, esto
es, 0.3 % de la velocidad de la luz c [34].
Figura 3: Esquema de las dos redes triangulares que conforman
la red hexagonal tipo panal de abeja del grafeno.
Este comportamiento semimetálico con portadores de
carga casi relativísticos ha despertado mucho interés en la
comunidad científica. Como la paradoja de Klein [15] impide controlar el comportamiento relativístico de los portadores de carga, observando el punto M de la estructura
electrónica se observa la posibilidad de usar el grafeno
como un componente optoelectrónico porque en los puntos próximos de M hacia K, las bandas de conducción y
valencia forman una planicie de transición directa con posibilidad de inducir la formación de excitones con fotones
de ∼ 4.5 eV que se encuentran en la región ultravioleta,
esto permitiría utilizar el grafeno en celdas solares en las
regiones andinas donde existe una baja absorción de los
rayos ultravioletas y en las misiones espaciales.
Figura 2: La estructura electrónica y la densidad de estados
del grafito obtenidas mediante el Exciting son mostradas.
A partir de aquí, analizamos los cristales bidimensionales. La característica más importante de estos cristales
son la estructura hexagonal tipo panal de abeja que se forma en el plano xy formado por dos redes triangulares que
se muestran en rojo y azul en el esquema que se muestra
en la Fig. 3, se aprecia la celda unitaria que engloba las
dos redes triangulares incorporando un átomo de cada red
triangular que se unen mediante enlaces tipo sp2 formados
por los orbitales 2px , 2py y 2s que se hibridizan formando los tres enlaces σ. Experimentalmente el grafeno tiene
ondulaciones que dependen en algunos casos de la morfología del substrato [33] y está modulado por el orbital 2pz
que forman enlaces tipo π en la dirección z y se adhieren
al substrato mediante un potencial van der Waals.
La celda unitaria está
√ definida por los vectores a1 =
(1,
√ 0, 0)a, a2 = (0.5, 3/2, 0)a y a3 = (0, 0, 0) con a =
3dCC = 2.464 Å = 4.6562 Bohr y dCC = 1.4226 Å =
2.6883 Bohr. La estructura electrónica, Fig. 4, muestra
que las bandas de valencia y conducción degeneran en los
puntos K, estos puntos son los puntos de Dirac puesto que
Energía (eV)
Grafeno
15
15
10
10
5
5
0
0
-5
-5
-10
-10
-15
-15
-20
-20
Κ
Γ
Μ
Κ
0
0.5
1
1.5
2
DOS (estados/eV)
de estados del grafeno obtenida mediante el Exciting.
Por otro lado, en el lado derecho de la Fig. 4 se observa la DOS de todas las bandas que se muestran en el lado
izquierdo, pero en los puntos K, la densidad de estados no
muestran el comportamiento lineal que sí se observa en el
caso del grafito en los mismos puntos K, Fig. 2. Este podría ser una deficiencia del Exciting para la determinación
de la DOS que se arrastraría en los otros materiales. Hemos realizado diferentes aproximaciones para el el cáluclo
7
15
15
10
10
5
5
0
0
−5
−5
−10
−10
−15
−15
−20
K
M
K
10
5
5
0
0
-5
-5
-10
-10
Κ
Γ
Μ
Κ
0
2
4
6
8
DOS (estados/eV)
de estados del siliceno obtenida mediante el Exciting.
−20
Γ
10
DOS
de estados del grafeno obtenida mediante el GPAW.
Siliceno
Otro cristal bidimensional que ha despertado interés
en la comunidad científica es el siliceno. De manera semejante al grafeno conformado por átomos de carbono,
el siliceno también tendría una estructura hexagonal tipo
panal de abeja conformada por átomos de silicio, por el
hecho de encontrarse el silicio debajo del carbono en la tabla periódica y podría tener la hibridización de los orbitales
3s, 3px y 3py para conformar tres enlaces covalentes sp2
-orbitales σ-, para formar la red hexagonal en el plano xy.
En una estructura 3D, el silicio es semejante al diamante y
la forma de su estructura electrónica es morfológicamente
semejante al diamante [25] teniendo un gap indirecto casi
en el mismo punto que el diamante, en la dirección del
punto Γ hacia y próximo al punto X, con Eg = 1.1242
eV a T = 300 K, donde el parámetro de la red cúbica de
cara centrada es a = 5.4311 Å [36, 37] mayor que la del
diamante, a = 3.567 Å.
Pero una estructura semejante al grafito, planos hexagonales con orbitales σ en xy y con orbitales π en z que
permiten las interacciones van der Waals entre los planos,
no existe en la naturaleza. Por ese motivo, la creación de
una red planar hexagonal tipo panal de abeja se obtiene
artificialmente [37] con un parámetro de red a = 3.87979
Å y una distancia Si-Si de 2.24 Å.
La estructura electrónica del siliceno obtenida mediante el Exciting se muestra en la Fig. 6 y mediante el GPAW
en la Fig. 7. En ambos casos se aprecia que la banda de
valencia y la banda de conducción se degeneran en los
puntos X de forma muy semejante a la del grafeno, los
puntos de Dirac, pero los anchos de las bandas de valencia son energéticamente diferentes. Con el GPAW se
consigue incorporar más bandas en el cálculo poblando
la banda de conducción con más autoestados, pero los
modelos DFT no son muy confiables en la determinación
exacta de los estados excitados como habíamos mencionado líneas atrás. Más aún si comparamos los puntos X
de las figuras 6 y 7, tenemos que el Exciting predice una
energía de Fermi por debajo del punto X lo que manifiesta un metal normal, mientras que el GPAW la energía de
Fermi coincide con el punto K prediciendo un semimetal
con portadores de carga relativísticos en el punto de Dirac,
aunque la diferencia de energía entre ambos resultados es
de 0.2556 eV, pero algunos experimentos confirman [37]
que los portadores de carga son los fermiones de Dirac.
5
5
0
0
−5
−5
−10
−10
E-EF (eV)
E-EF (eV)
de la DOS y todas han resultado infructuosas. Los métodos tight-binding calculan mejor la DOS para los cristales
bidimensionales. Para resolver este problema hemos usado también el método Grid-projector Plane Augmented
Wave, GPAW [35], y hemos encontrado que mediante este método la DOS se determina relativamente bien y nos
permite incorporar más bandas.
E - EF (eV)
Rev. Inv. Fis. 17, 141701101 (2014)
K
Γ
M
K
DOS
de estados del siliceno obtenida mediante el GPAW.
En el lado derecho de ambas figuras se muestra la DOS
8
Rev. Inv. Fis. 17, 141701101 (2014)
y las discrepancias entre ellas se ha explicado en el caso
del grafeno y que se siguen manifestando en el siliceno.
También, se aprecia que en el punto M la probabilidad de inducir excitones con fotones de ∼ 1.47 eV que
pertenecen a la región del infrarrojo es posible. En esta
región del espectro electromagnético este dispositivo tendría aplicaciones en termoterapia para ablación de células
cancerígenas.
Fosforeno
Hemos afirmado en la subsección anterior que en el
caso del silicio no existe un material en capas como el
grafito, pero el silicio con número atómico Z=14 tiene como vecino al fósforo con número atómico Z=15 que posee
varios alótropos semejantes al grafito que se caracterizan
por su color -por estar relacionados con el gap entre sus
bandas de valencia y conducción-, que se conocen como
fósforo blanco, rojo, violeta y negro. La estructura más
estable y más conocida es la del fósforo negro que tiene
una estructura como se muestra en el lado izquierdo de
la Fig. 8, mientras que el lado derecho muestra el fosforeno azul cuya proyección en el plano xy semeja a una red
hexagonal tipo panal de abeja como el grafeno [39].
Vista de encima
En la literatura existen análisis detallados sobre el fosforeno negro 3D, mientras que el primer trabajo sobre el
fosforeno azul 2D ha sido publicado recientemente [39]
y así como para otros alótropos del fósforo [40]. Nuestro
interés inicial es simular una red artificial hexagonal de átomos de fósforo para el cual hemos utilizado el Exciting y los
resultados de esa corrida se muestra en la Fig. 9. Estamos
considerando una red unitaria hexagonal
√ con los vectores
habituales a1 = (1,
√ 0, 0)a, a2 = (1/2, 3/2, 0)a y a3 =
(0, 0, 0) con a = 3dPP = 3.32 Å = 6.273890762 Bohr,
considerando que dPP = 1.9168 Å. Las posiciones de los
átomos de fósforo respecto a los vectores de la celda unitaria son (0, 0, 0) y (02/3,2/3,0). Este espectro, Fig. 9,
tiene el mismo aspecto que las estructuras electrónicas
del grafeno, Figs. 4, 5 y del siliceno artificial, Fig. 6, en
el sentido de que en los puntos K las bandas de valencia
y conducción se degeneran, pero esta degeneración ocurre debajo de la energía de Fermi lo que significa que el
fosforeno artificial sería un metal, inclusive se aprecia que
en el punto M el nivel de Fermi intersecta la banda de
conducción permitiendo que cualquier excitación térmica
puede activar el transporte de electrones puesto que este
fosforeno artificial es metálico desde el punto K hasta el
punto M, mientras que en puntos cercanos al punto Γ es
un asilante con un gap indirecto de ∼ 2 eV.
Vista de encima
Vista de lado
10
10
5
5
0
0
-5
-5
-10
-10
Figura 8: Se muestra la estructura de la red del fosforeno negro
E - EF (eV)
Vista de lado
en el lado izquierdo y el fosforeno azul en el lado derecho.
-15
10
E - EF (eV)
Κ
5
5
0
0
-5
-5
-10
-10
-15
-15
Κ
-15
10
Γ
Μ
Κ
Γ
Μ
Κ
0
1
2
3
4
5
DOS (estados/eV)
de estados del fosforeno azul obtenido mediante el Exciting.
0
2
4
6
DOS (estados/eV)
Figura 9: Se muestra la estructura electrónica y la densidad de
estados de un alótropo artifical del fósforo obtenido mediante
el Exciting.
La estructura electrónica y la densidad de estados del
fosforeno azul se muestra en la figura 10, en este caso la posición del segundo átomo de fósforo cambia de
(2/3, 2/3, 0) a (2/3, 2/3, 0.03163) y el efecto sobre la estructura electrónica es bastante sorprendente porque la
figura 10 muestra a un material semiconductor de gap casi directo en un punto intermediario entre Γ y M. Aquí el
gap es ∼ 1.8 eV, los excitones que se forman en este punto
emiten fotones en la región del infrarrojo. Se observa que
la banda de conducción es plana desde este punto hasta el
punto M. La energía de Fermi está en el centro del gap y
el eje de las energías está considerada como la diferencia
9
Rev. Inv. Fis. 17, 141701101 (2014)
de la energía menos la energía de Fermi. La densidad de
estados muestra el gap de energía y la formación de las
singularidades de Van Hove en las bandas de valencia y
conducción.
c = 3.763 Å para una segunda fase de la tungstenita. En
la Fig. 12 se muestra la estructura electrónica y la densidad de estados de la molibdenita [41] y en la Fig. 13 se
muestra la estructura electrónica y la densidad de estados
de la tungstenita.
10
10
5
5
0
0
−5
−5
−10
−10
−15
K
−15
Γ
M
K
DOS
de estados de la molidenita, MoS2 obtenida mediante el GPAW.
E-EF (eV)
Una estructura interesante y algo compleja es la molibdenita, el disulfuro de molibdeno, MoS2 . Este es un
material bastante utilizado en la industria de componentes altamente tecnológicos como lubricante en seco para
evitar la fricción entre dos superficies metálicas. Se utiliza desde los años 60s en la producción de armamentos
y municiones avanzados. El Perú cuenta con algunos yacimientos en la Región de Huancavelica, que se explota
mezclado con otros minerales como la tungstenita, WS2 .
Ambos materiales son conocidos desde el siglo XIX en
Europa. La estructura de ambos materiales son parecidos
teniendo casi las mismas dimensiones de la celda unitaria, los átomos de molibdeno (tungsteno) y los átomos
de azufre forman estructuras hexagonales en planos xy
que están separados una distancia de 1.558 Å. Una monocapa de molibdenita (tungstenita) está conformado por
dos capas de azufre y una capa intermedia de molibdeno
(tungsteno) que tiene un corrimiento a/2, donde a = 3.16
Å, desde el centro de un hexagono de átomos de azufre al
centro del otro hexágono de átomos de molibdeno (tungsteno). Aquí se observa algo interesante, la proyección de
los tres planos sobre el plano xy forma una red hexagonal
tipo panal de abeja donde los átomos de azufre forman
una red triangular y los átomos de molibdeno (tungsteno)
forman la otra red triangular que se asemejan al grafeno,
ver la Fig. 11
E-EF (eV)
Molibdenita y tungstenita
10
10
5
5
0
0
−5
−5
−10
−10
Vista de encima
−15
K
−15
Γ
M
K
DOS
de estados de la tungstenita, WS2 , fase 1 mencionada en el
texto, obtenida mediante el GPAW.
Vista de lado
Figura 11: Se muestra la estructura de la molibdenita y la
tungstenita, donde los átomos en color azul representa los átomos de molibdeno y tungsteno, respectivamente, mientras que
los átomos en color anaranjado representan los átomos de azufre.
Los vectores
√ de la celda unitaria son a1 = (1, 0, 0)a,
a2 = (1/2, 3/2, 0)a y a3 = (0, 0, 0.998078)c/a, donde
a = dS-S = dMo-Mo = 3.122 Å, en el plano xy y c =
3.116 Å para la molibdenita, mientras que a = dW-W =
3.155 Å y c = 3.686 Å para una fase y dW-W = 3.204 Å y
Se observa que la molibdenita en la configuración estructural que se ha mencionado es un material semiconductor de gap directo en los puntos X. La densidad de
estados ratifica el gap de energía de ∼ 1.74 eV. Las transiciones directas en estos puntos involucra fotones en la
región del infrarrojo. En la literatura existe un trabajo realizado con el Exciting donde encuentran un gap directo en
X de 1.79 eV [42]. Mientras que la tungstenita muestra
un semiconductor de gap indirecto de ∼ 1.0769 eV entre
el punto X -máximo de la banda de valencia-, y un punto
intermedio entre X y Γ con un mínimo en la banda de
conducción para la primera fase y para la segunda fase
en el mismo punto, X y X→ Γ presenta un gap indirecto
de ∼ 1.0606 eV. En ambos casos, las transiciones ópticas
involcradas son fotones del infrarrojo.
10
Rev. Inv. Fis. 17, 141701101 (2014)
Los orbitales atómicos involucrados en la ligación de
estos materiales son los orbitales 3p del azufre y los orbitales 4d del molibdeno y 5d del tungsteno.
de simetría de la red hexagonal y la densidad de estados
en las bandas de frecuencias del grafito.
50
50
40
40
30
30
20
20
10
10
Analizamos las propiedades térmicas de los cristales
bidimensionales a partir del espectro de frecuencias de las
ramas acústicas y ópticas obtenidas mediante el Exciting.
Solo presentamos el caso del grafeno y discutimos brevemente la importancia de los resultados del grafeno comparados con la del diamante y el grafito.
Frecuencia (THz)
Propiedades térmicas
Diamante
0
Κ
Γ
Μ
Κ Η
L
Α
Η
0
0
0.5
1
1.5
DOS (estados/THz)
Frecuencia (THz)
Figura 15: Se muestra el espectro de fonones y la densidad de
40
40
30
30
20
20
10
10
estados del grafito obtenido mediante el Exciting.
Se observa que en el punto Γ se encuentra las bandas
máximas de frecuencias ópticas que alcanzan los 45 THz,
esto suponen que el grafito poseen mejores propiedades
térmicas que el diamante. Se verifica las tres ramas acústicas y las tres ramas ópticas. La primera rama óptica es
menor que dos ramas acústicas en los puntos K, H, L.
Grafeno
0
Γ
X
K
Γ
L
Κ W
0
X
0
0.2 0.4 0.6
DOS (estados/THz)
Metodológicamente calculamos el espectro de fonones
del diamante para comparar con los resultados que se encuentran en la literatura y si el Exciting reproduce dichos
resultados. En la Fig. 14 mostramos el espectro de fonones y la densidad de estados de las bandas que están
involucradas en las dos redes cúbicas de caras centradas
desplazadas a lo largo de la diagonal y cuyas oscilaciones se muestran. Uno de los puntos experimentales que se
muestran en la literatura es el máximo de la banda de frecuencias en el punto Γ de 40 THz, y el Exciting reproduce
casi exactamente este punto y la evolución de los demás
puntos de simetría son congruentes con los de la literatura. Por tanto, el Exciting muestra ser una herramienta
confiable para calcular el espectro de fonones para otros
materiales.
Grafito
El segundo caso que analizamos con el Exciting es el
caso de grafito. La Figura 15 muestra el espectro de fonones en la primera zona de Brillouin mostrando los puntos
Frecuencia (THz)
estados del diamante obtenido mediante el Exciting.
60
60
50
50
40
40
30
30
20
20
10
10
0
Κ
Γ
Μ
Κ
0
0
0.2
0.4
DOS (estados/THz)
estados del grafeno obtenido mediante el Exciting.
Los resultados que muestra el Exciting para el grafeno,
Fig. 16, son bastante sorprendentes si lo comparamos con
el grafito y el diamante. En primer lugar, el espectro de
frecuencias presenta las tres habituales ramas acústicas y
sólo dos ramas ópticas. Hay que considerar que estamos
simulando solo la red hexagonal tipo panal de abeja con
las dos redes triangulares mencionadas líneas atrás. No estamos considerando el substrato. El máximo de la banda
Rev. Inv. Fis. 17, 141701101 (2014)
de frecuencias ópticas se observa en el punto Γ a la frecuencia de 60 THz. Este valor es mayor que la del grafito
y la del diamante. Esto le permite al grafeno como una
estructura cristalina bidimensional tener unas mejores propiedades térmicas como disipador de energía porque posee
un mayor rango de frecuencias para realizar dicha tarea.
Conclusiones
En los últimos 10 años, se han estudiado los cristales
bidimensionales tanto desde el punto de vista experimental
así como desde el punto de vista computacional. Algunos
de ellos presentan propiedades interesantes como el grafeno que posee dos puntos X y X’ donde se degeneran las
bandas de valencia y conducción formando los puntos de
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11
Dirac donde los portadores de carga se comportan como
fermiones de Dirac y se mueven casi relativísticamente.
Pero desde el punto de vista del control del transporte
de carga, el grafeno no es un material de interés porque no
presenta un gap, en cambio otros materiales como la molibdenita, el fosforeno y la tungstenita si presentan gaps
directos e indirectos en regiones próximas al infrarrojo.
Esta posibilidad está alimentando el interés de la comunidad para el estudio experimental de estos cristales
bidimensionales por su aplicabilidad en la producción de
excitones en la región del infrarrojo que permitiría aplicaciones en biomedicina para el tratamiento del cáncer.
Hemos mostrado que el grafeno posee propiedades térmicas interesantes porque la banda de frecuencias tiene un
máximo de 60 THz, un valor mayor si lo comparamos con
el grafito y el diamante.
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Frantzeskakis, M. C. Asensio, A. Resta, B. Ealet y G.
Le Lay; Silicene: Compelling Experimental Evidence
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Lett. 108, 155501 (2012).
[38] L. Chen, C.-C. Liu, B. Feng, X. He, P. Cheng, Z.
Ding, S. Meng, Y. Yao y K. Wu1; Evidence for Dirac
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Phys. Rev. Lett. 109, 056804 (2012).
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Rev. Lett. 112, 176802 (2014).
[40] L. A. Falkovsky, Structure and electron bands of
phosphorus allotropes, arXiv:cond-mat/1406.7616v1,
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[41] K. F. Mak, Ch. Lee, J. Hone, J. Shan y T. F. Heinz;
Atomically Thin MoS2 : A New Direct-Gap Semiconductor, Phys. Rev. 105, 136805 (2010).
[42] Eugene S. Kadantsev y Pawel Hawrylak; Electronic
structure of a single MoS2 monolayer, Solid State
Comm. 152, 909 (2012).
Composition and thickness of gold and silver nose decorations from the tomb of
the Lady of Cao determined by combining EDXRF-analysis and X-ray
transmission measurements
R. Cesáreo∗1 , G. Gigante2 , J. Fabián3 , S. Zambrano3 , R. Franco4 , A. Fernández4 , and A. Bustamante3
1
Dipartimento di Matematica e Fisica, Università di Sassari, Sassari, Italia
Dipartimento di Energetica, Università di Roma “La Sapienza”, Roma, Italia
3
4
PACEB Museo Cao, Fundación Wiese, Trujillo, Perú
2
Received May 20, 2014 – Accepted July 10, 2014
Thirty four nose decorations from the tomb of the Lady of Cao has been analyzed by EDXRF-analysis
and transmission measurements. These nose decorations are made partially on gold, and partially on silver.
EDXRF-analysis showed that, while gold areas all show a similar composition, silver areas exhibit an erratic
composition, and also an unusual high percentage of gold, up to 35 %. To verify that this erratic composition
is not depending on surface enrichment processes, X-ray transmission measurements were carried out, which
gives the bulk composition of the samples. These last measurements completely confirm EDXRF-results.
Therefore the conclusion could be that a high quantity of gold was added intentionally to the silver alloys,
for not clear reasons, may be to avoid the oxidation process typical of high concentration silver in silver
alloys.
Keywords: Energy-dispersive X-ray fluorescence, Au-Ag-Cu alloy, Moche pre-hispanic culture.
Composición y espesor de las decoraciones nasales de oro y plata provenientes de la tumba
de la Dama de Cao determinados por la combinación del análisis EDXRF y las medidas de
transmisión de rayos X
Treinta y cuatro adornos de nariz de la tumba de la Señora de Cao han sido analizados por análisis de
EDXRF y medidas de transmisión. Estas decoraciones de nariz están hechas en parte en oro, y en parte en
plata. Análisis EDXRF mostró que, mientras que las áreas de oro todas muestran una composición similar,
las áreas de plata exhiben una composición irregular, y también un alto porcentaje inusual de oro, de hasta
35 %. Para verificar que esta composición errática no depende de los procesos de enriquecimiento en la
superficie, se llevaron a cabo medidas de transmisión de rayos-X, lo que da la composición en el bulk de las
muestras. Estas últimas mediciones confirman completamente los resultados de EDXRF. Por lo tanto, la
conclusión podría ser que una gran cantidad de oro fue añadida intencionalmente a las aleaciones de plata,
por razones no claras, se puede evitar los procesos de oxidación típica de alta concentración de plata en
aleaciones de plata.
Palabras claves: Fluorescencia de energía dispersiva de rayos X, aleacionesde Au-Ag-Cu, cultura pre hispánica Moche.
Energy-dispersive X-ray fluorescence, EDXRF-analysis,
is a technique which, in the case of metals, analyzes thin
surface layers. For example, when gold and silver-alloys are
analyzed, it typically interests a depth of microns up to a
maximum of tens of microns. Therefore it can give wrong
results or be affected by a large indetermination when the
sample composition is altered because of surface slide pa∗
tina, as often happens in the case of oxidation of silver
alloys, and sometimes in the case of gold-alloys rich on
copper or silver.
A complementary technique was therefore developed,
of bulk analysis, which use the same equipment employed
for EDXRF-analysis; the X-ray beam from the X-ray tube
is monochromatized by means of a tin secondary target,
[email protected]
1
2
Rev. Inv. Fis. 17, 141701102 (2014)
which K-lines bracket the silver-K discontinuity. The sample to be analyzed is positioned between the secondary
target and the detector. This technique is able to determine, by measuring the attenuation of tin-K rays, thickness and/or composition of gold and silver alloys having
a thickness of less than about 120 µm for gold and about
0.7 mm for silver. The method was tested with proper AuAg-Cu alloys with known composition and thickness, and
then applied to gold and silver artifacts from the tomb
of the Lady of Cao, belonging to the Moche pre-hispanic
culture from the North of Peru, dating about 300 AD.
Theoretical background
The attenuation coefficient of all elements versus
energy, in the range of X-rays, is characterized by a Kdiscontinuity (Kab ) and by three L-discontinuities (LI, LII
and LIII). The relative minimum and maximum of the attenuation coefficient are just below and above the energy
Kab of the discontinuity [1].
This fact can be usefully employed to measure in an
accurate manner the thickness of a metal sheet, but also,
for example, to selectively visualize single elements in radiography and tomography by differential attenuation [2].
To determine the thickness of a thin sheet of element a
-alone or in the form of an alloy-, a second element, b, can
be therefore employed, which X-rays (Kα and Kβ ) bracket
the photoelectric discontinuity K, see Figure 1. The intensity ratio of Kα /Kβ (or in a similar manner Lα /Lβ ) versus
thickness of element a is then given by
Kα
Kβ
=
a
Kα
Kβ
exp[∆µd(a)] ,
(1)
b0
where (Kα /Kβ )b0 is the ratio (Kα /Kβ )b in absence of
element a; ∆µ = µaβ − µaα is the difference of linear
attenuation coefficients of element a between energy of
Kα(Lα )-rays and Kβ (Lβ ) and d(a) is the thickness of
element a in cm.
For example, to measure the thickness of a silver sheet,
which K-discontinuity has an energy of 25.52 keV, a sheet
of tin can be employed, having K X-rays at 25.2 and 28.5
keV respectively (Figure 2). In this case Eq.(1) may be
written as
Sn
Kα
Kβ
= 5.8 exp[335.0d(Ag)]
(2)
where 5.8 = Sn(Kα /Kβ )-ratio in absence of Agabsorbers, this value was not corrected for the detector
efficiency, and, therefore, depends on the X-ray detector.
Figure 1: Attenuation and differential attenuation to determine the thickness of an element a or approximate composition
of an alloy of element a. A second element b may be employed,
emitting Kα and Kβ X-rays which bracket the photoelectric
discontinuity of element a (image at the right). When crossing
a sheet of element a (or alloy of element a) these K-X rays are
selectively absorbed according to their thickness.
The attenuation of Kα and Kβ -lines separately (or Lα
and Lβ -lines) emitted by element b can be employed to
determine the thickness of sheet a. This attenuation is
given by
[Kα ]
= exp[−µaα da ]
[Kα ]0
(3)
[Kβ ]
= exp[−µαβ da ]
[Kβ ]0
In Eqs.(3), [Kα ]0 and [Kβ ]0 indicate Kα and Kβ values
of element b, in absence of element a.
When sheet a is not a single element, for example Ag
or Au, but an Ag or Au-alloy, which are typically composed
by three elements, Ag-Cu-Au and Au-Ag-Cu, then Eqs.(1)
and (3) may be written as
Kα
Kβ b
= exp − [∆µca + ∆µ′ ca′ + ∆µ′′ ca′′ ]ρalloy d
Kα
Kβ b0
(4)
[Kα ]
= exp − (µaα ca + µa′ α ca′ + µa′′ α ca′′ )ρalloy d
[Kα ]0
(5)
[Kβ ]
= exp − (µαβ ca + µα′ β ca′ + µα′′ β ca′′ )ρalloy d
[Kβ ]0
(6)
∆µ, ∆µ′ and ∆µ′′ indicates the attenuation coefficient
difference, at energies of Kα and Kβ -rays of element b of
the three elements of the alloy respectively; ca , ca′ and
ca′′ are the concentration values (in % of weight) of the
three elements in the alloy; ρalloy in g/cm3 is the density
of the alloy and d its thickness. [Kα ]0 and [Kβ ]0 indicate
Kα and Kβ values of element b, with no element a. µa ,
3
Rev. Inv. Fis. 17, 141701102 (2014)
µa′ , µa′′ indicate the attenuation coefficient of the three
elements in the alloy, for example Au, Ag, Cu in a Au-alloy.
The density ρalloy of the alloy in g/cm3 is given by
1
cAg
cCu
cAu
=
+
+
.
ρalloy
ρAg
ρCu
ρAu
(7)
related to a thin surface layer and can be affected by surface processes which alter the surface composition and the
reliability of EDXRF-analysis [4].
Experimental setup
The experimental set-up is shown in Figure 3. It includes a Ag-anode X-ray tube working at 40 kV and 200 µA
maximum voltage and current, respectively [5], a Si-drift
X-ray detector [5] and a Sn-target, which monochromatize the X-ray tube output allowing a bulk analysis of thin
sheets of Ag or Au-alloys. The photons emitted by the Xray tube, filtered and collimated, irradiate the Sn-target,
(8)
producing by photoelectric effect Sn-K X-rays at 25.2 and
+ 41.5cAu ρalloy d 28.5 keV respectively. The Ag or Au-sheets to be measured are inserted between the Sn-target and the detector
(9)
entrance. The Si-drift detector entrance is collimated, in
order to approximate the good geometry conditions [6].
+ 30.0cAu ρalloy d
For a Ag-Cu-Au alloy, Eqs.(4),(5) and (6) may be written
as
α
Sn K
K
h βi = exp 31.5cAg − 5cCu − 11.5cAu ρalloy d
α
Sn K
Kβ
0
(SnKα )
= exp − 9.0cAg + 17.5cCu
(SnKα )0
(SnKβ )
= exp − 40.5cAg + 12.4cCu
(SnKβ )0
(10)
Each of the Eqs.(8), (9) and (10) can be employed
to determine the thickness of the alloy. The values of
mass attenuation coefficients were taken from the program XCOM [3], Figure 2.
Figure
Figure 2: Linear attenuation coefficient of silver, showing its
photoelectric discontinuity and the position of the Sn K-lines.
Sn-Kβ lines are more attenuated than Sn-Kα lines, and the
ratio Sn-Kα /Sn-Kβ increases versus Au-thickness.
Alternatively, when the thickness of the alloy is known
or can be measured, and has a value approximately less
than 0.7 mm for silver alloys, and less than 120 µm for
gold-alloys, then Eqs.(7) can be employed to determine,
with some approximation, the alloy composition, or, at
least, to confirm measurements carried out using EDXRFanalysis. That gives the possibility to check, with a simple
volume analysis based on transmission of monoenergetic
X-rays, analytical results from EDXRF-analysis, which are
3: Experimental set-up for the transmissionmeasurements on Ag or Au thin sheets. The X-ray tube emits
Bremsstrahlung radiation which is filtered and collimated. This
radiation induces photo-electric effect in a Sn-target, with emission of Sn-K rays, of 25.2 and 28.5 keV. The Ag or Au-sheet
of unknown thickness or composition is put between the Sntarget and the detector and selectively absorbs the Sn-K rays
according to ist thickness and composition.
Results ans discussion
The Figure 4 shows, as an example, the application of
the theoretical background described in previous section
to the analysis of 33 nose decorations on gold and silveralloys from the tomb of the Lady of Cao a Mochica queen
and religeous figure from the 300 A.D. approximately (an
example of these beautiful nose decorations in shown in
Figure 5).
4
Rev. Inv. Fis. 17, 141701102 (2014)
Figure 4: Attenuation of Sn-Kα line versus thickness of Ag, Au and Cu layers. Results on following standard samples are reported
(red colour): 1) d(Au)=23 µm (Sn-Kα / Sn-Kα0 = 0.147); 2) d(Au)=46 µm (Sn-Kα / Sn-K0α =0.019); 3) Au=90 %, Ag=10 % ,
d=100 µm (Sn-Kα / Sn-Kα0 =0.001); 4) Ag=90 %, Au=10 % , d=200 µm (Sn-Kα / Sn-Kα0 = 0.07); 5) Ag=80 %, Au=20 % ,
d=200 µm (Sn-Kα / Sn-Kα0 = 0.013); 6) Au=50 %, Ag=50 %, d=196 µm (Sn-Kα / Sn-Kα0 = 0.001); 7) Ag=40 %, Au=40 %,
Cu=20 %, d=130 µm (Sn-Kα /Sn-Kα0 = 0.0008); 8) Cu=100 %, d=335 µm (Sn-Kα / Sn-Kα0 = 0.0075); 9) Ag=90 %, Au=10 %,
d=180 µm (Sn-Kα /Sn-Kα0 = 0.105). Also typical results on nose decorations from the Lady of Cao are reported (black numbers).
Details on the nose decorations are reported in Table 1 and 2.
PACEB-F4
Gold areas
Numbers
2
11
13
17
23
EDXRF measurements
Au( %)
Ag( %)
Cu( %)
74.5
81.0
78.0
78.5
82.0
19.5
13.5
19.0
16.5
14.5
5.5
5.5
3.0
5.0
3.5
X-ray transmission
Au∼ 80 %,
Au∼ 80 %,
Au∼ 80 %,
Au∼ 75 %,
Au∼ 85 %,
Ag+Cu∼ 20 %,
Ag+Cu∼ 20 %,
Ag+Cu∼ 20 %,
Ag+Cu∼ 25 %,
Ag+Cu∼ 15 %,
d=90 µm
d=105 µm
d=100 µm
d=105 µm
d=90 µm
Table 1: EDXRF and X-ray transmission results on gold areas of nose decorations from the tomb
of the Lady of Cao.
5
Rev. Inv. Fis. 17, 141701102 (2014)
PACEB-F4
Numbers
2
3
6
8
10
11
12
13
17
23
29
EDXRF measurements
Au( %) Ag( %) Cu( %)
99.2
83.0
91.5
41.0
52.0
64.0
45.5
85.5
64.0
76.0
57.5
0.02
7.50
4.00
25.00
21.00
21.00
35.5
10.5
16.0
11.5
25.5
0.8
9.5
4.5
34.0
27.0
15.0
19.0
4.0
20.0
12.5
17.0
X-ray transmission
Ag∼ 99 %,
Ag∼ 85 %;
Ag∼ 88 %;
Ag∼ 40 %,
Ag∼ 50 %,
Ag∼ 60 %,
Ag∼ 50 %,
Ag∼ 85 %,
Ag∼ 60 %,
Ag∼ 75 %,
Ag∼ 60 %,
Au+Cu∼ 1 %, d=180 µm
Au+Cu∼ 15 %, d=350 µm
Au+Cu∼ 12 %, d=210 µm
Au+Cu∼ 60 %, d=170 µm
Au+Cu∼ 50 %, d=150 µm
Au+Cu∼ 40 %, d=95 µm
Au+Cu∼ 50 %, d=190 µm
Au+Cu∼ 15 %, d=350 µm
Au+Cu∼ 40 %, d=250 µm
Au+Cu∼ 25 %, d=230 µm
Au+Cu∼ 40 %, d=110 µm
Table 2: EDXRF and X-ray transmission results on silver areas of nose decorations from the tomb
of the Lady of Cao.
Figure 5: Nose decoration N.10, on gold and on silver-alloys. Following concentrations were determined by EDXRF-analysis,
gold: Au=78 %, Ag=18.5 %, Cu=3.5 %; silver: Ag=52 % , Au=27 %, Cu=21 %. Transmission measurements on the four iguanas
confirm these results, giving also dAg = 150 µm.
Energy-dispersive X-ray fluorescence analysis carried
out in 2013 gave following results. The gold composition is
approximately the same for all golden areas, i.e., Au=78 %,
Ag=17.5 %, Cu=4.5 %; also the thickness of the gold-leaf
seems to be the same, i.e. about 100 µm; the silver composition is completely erratic, Ag=(45-99) %, Au=(1-34) %,
Cu=(0-33) %; also the thickness of the silver sheets is erratic, ranging from about 100 µm to about 400 µm.
6
To test these results, and especially those concerning
the Ag-sheets, the method of X-ray transmission using a
Sn-secondary target was developed. This method is able to
determine the approximate composition of the three components of gold or silver-sheets (Ag-Au-Cu) when their
thickness is known, or the determine the thickness of these sheets when the composition is known, or, finally, to
check the approximate composition and thickness of the
sheets.
Conclusions
From the analysis of the 33 nose decorations from
the tomb of the Lady of Cao by using both EDXRFanalysis and X-ray transmission measurements, following
may be concluded. Transmission measurements using the
monoenergetic X-lines emitted by a Sn- secondary target
confirm the previous measurements carried out by using
energy-dispersive X-ray fluorescence analysis; it is therefore confirmed that the areas on silver have a very erratic
Referencias
[1] R. Cesareo, X-Ray Physics in: La Rivista del Nuovo
Cimento, (Ed. Compositori), Bologna (2000).
[2] R. Cesareo, Differential attenuation of X-rays : analytical applications , Nucl. Instrum. Methods in Phys.
Res. A239, 367 (1985).
[3] M.J. Berger and J.H. Hubbell, XCOM: Photon cross
sections on a personal computer; US Dept. of Commerce, NBSIR 87-3597.
Rev. Inv. Fis. 17, 141701102 (2014)
composition and thickness; these areas also contain a high
concentration of gold (up to 34 %).
The areas on gold have, at the contrary, a very similar composition and thickness, i.e., Au=78 %, Ag=17.5 %,
Cu=4.5 %.
Additional measurements would be required to better
understand the strange composition of silver areas and to
specifically analyze the soldering areas between gold and
silver areas.
Finally, transmission of monoenergetic X-rays could be
an useful method to complement energy dispersive X-ray
fluorescence analysis, especially in all cases where this last
method is affected by large uncertainties due to surface
enrichment processes.
Acknowlegdements
This work was carried out with the support of CONCYTEC of Perú and CNR of Italy.
[4] R. Cesareo, Analysis of silver alloys by elastic and
inelastic scattering of gamma rays, Nucl. Instrum.
Methods 179, 545 (1981).
[5] AMPTEK Inc., 6 De Angelo Drive, Bedford, MA
01730-2204, USA; www.amptek.com.
[6] R. Cesareo, C. Mancini, non destructive analysis of
silver alloys by means of low energy gamma-rays and
neutron transmission measurements; Int. J. Appl. Radiat. Isotopes 30, 589 (1979).
Análisis mineralógico de la fracción arcilla de suelos tropicales del Perú por
difractometría de rayos X y espectroscopia Mössbauer
Mirian E. Mejia∗ y Jorge A. Bravo
Facultad de Ciencias Físicas, Universidad Nacional Mayor de San Marcos, A.P. 14-0149, Lima 14, Perú
Recibido 08 mayo 2014 – Aceptado 10 junio 2014
El propósito de este trabajo fue la identificación y la caracterización de los principales minerales en las
fracciones arcilla de muestras de suelos tropicales que fueron seleccionadas de la Reserva Forestal de la
Universidad Agraria de la Selva, localizada en la Región de Huánuco, Perú, con énfasis en el estudio de los
sesquióxidos de hierro (óxidos, hidróxidos y oxidróxidos de hierro) y minerales de arcilla con sustitución de
hierro. Se utilizó el método químico de disolución selectiva utilizando ditionito-citrato-bicarbonato, DCB, [1]
para la disolución de óxidos de hierro cristalinos, lo cual favorece la identificación de minerales de arcilla.
Asimismo fueron utilizadas las técnicas analíticas de difractometría de rayos X, DRX, y espectroscopia
Mössbauer por transmisión, EMT, a temperatura ambiente, TA, y a 110 K para determinar la composición
mineralógica de las muestras. En este artículo presentamos solo los resultados obtenidos con dos muestras
seleccionadas por sus características contrastantes.
Palabras claves: fraccion arcilla, sesquióxidos de hierro, difractometria de rayos X, espectroscopia Mössbauer.
Mineralogical analysis of the clay fraction of tropical soils from Peru by X-ray diffractometry and Mössbauer spectroscopy
The purpose of this work was to identify and to some extent characterize the main minerals in the clay
fractions of soil samples from the Forest Reserve of the Universidad Agraria de la Selva, located in the Region
of Huánuco, Peru, with emphasis on the iron oxides and iron-bearing clay minerals, using chemical dissolutive
methods, such as dithionite-citrate-bicarbonate, DCB, [1] to dissolve preferentially crystalline iron oxides,
and analytical techniques such as X ray diffractometry, XRD, and transmission Mössbauer spectroscopy,
TMS, at room temperature, RT, and at 110 K was used to determine their mineralogical composition. This
paper details the results obtained with two selected samples with contrasting characteristics.
Keywords: clay fraction, iron oxides, X-ray diffractometry, Mössbauer spectroscopy.
En la Región Amazónica Peruana sólo el 2.9 % de los
suelos son actualmente usados como tierras de cultivo y el
7.6 % son usados como pastizales; y alrededor del 89.5 %
es potencialmente para explotación forestal. Las muestras
estudiadas en este trabajo fueron colectadas del área nativa de la Reserva Forestal de la Universidad Nacional de la
Selva, BRUNAS, con coordenadas geográficas de 9°09’ S y
75°35’O, localizada en el área tropical de Tingo María, Región de Huánuco, Perú, ver Figura 1, a una altitud de 1100
msnm, dentro de un área montañosa con lluvias anuales
de 3079 mm y una temperatura promedio de 23℃. De las
muestras estudiadas se seleccionaron las correspondientes
a Supte y Tornillo debido a sus características contrastantes, por el diferente porcentaje en contenido hierro y por
la presencia de hierro en estado superparamagnético. Las
∗
muestras de suelo fueron colectadas a una profundidad de
0.30 m desde la superficie del suelo. El análisis mineralógico de las fracciones arcillosas, que fueron separadas
por sedimentación de acuerdo al procedimiento descrito
por Jackson [1], se llevó a cabo usando difractometría de
rayos X, DRX [2,3] y espectroscopia Mössbauer por transmisión, EMT [4].
Debido a la superposición de algunos picos de reflexión
de rayos X del cuarzo y de minerales de arcilla, así como
también a la baja concentración de los minerales de arcilla
en la fracción arcillosa, es difícil distinguir las reflexiones
de los minerales de arcilla, aún más si éstos están recubiertos de sesquióxidos de hierro [5] y aluminio. La aplicación
de la técnica de DCB permite que las reflexiones de los
minerales de arcilla se intensifiquen. Por EMT es posible
[email protected]
1
2
obtener más información acerca de los minerales que contienen hierro por sustitución catiónica, indiferentemente
de su estado amorfo o cristalino, sin interferencia de otros
minerales que no contienen hierro.
Rev. Inv. Fis. 17, 141701401 (2014)
de los espectros se realizó con la ayuda del programa de
ajuste Normos [7]. Los parámetros hiperfinos obtenidos se
muestran en la Tabla 1.
Medidas de pH y determinación del valor Munsell
Los resultados de las medidas de pH de la muestra
Supte corresponde a un suelo ligeramente ácido, pH=6.4,
mientras que la muestra Tornillo corresponde a un suelo
relativamente ácido, pH=4.6. Con la ayuda de la cartilla
Munsell, edición 2009, se determinó el color de las muestras; para el caso de la muestra Supte le corresponde el
código Munsell 10 YR (7/4) asignado al color marrón muy
pálido, y para la muestra Tornillo le corresponde el código
Munsell 7,5 YR (6/3) asignado al color marrón claro.
Análisis por difractometría de rayos X
Figura 1: Mapa geológico de la región de Tingo María. Los
círculos rojos muestran el área en estudio.
Métodos Experimentales
Las dos muestras de suelos seleccionadas fueron etiquetadas como Supte y Tornillo. Las fracciones arcillosas
menores a 2 µ m de estas muestras fueron obtenidas por el
proceso de sedimentación o método del hidrómetro. Para
tal proceso se utilizó 50 g de muestra de suelo a la cual se
agregó unos 5 ml de un agente dispersante, hexametafosfato de sodio y carbonato de sodio, dejando embeber la
muestra por una noche; luego se agregó unos 700 ml de
agua destilada; la solución agua-suelo obtenida se agitó
por unos 15 min para después ser vertida en un bouyouco,
el cual se enrasó al nivel superior de 1250 ml con agua destilada; después de 7 h de reposo se sifoneó el sobrenadante
para ser llevado a secar en una mufla a 60℃.
Las fracciones arcillosas obtenidas fueron sometidas
a un tratamiento químico de disolución selectiva de
sesquióxidos de Fe cristalinos usando ditionito- citratobicarbonato según el método de Mehra Jackson [6]. Después de este tratamiento las muestras fueron lavadas para
eliminar las sales y secadas a una temperatura no superior de 45℃, obteniéndose un total de cuatro muestras,
las fracciones arcillosas de Supte y Tornillo con y sin tratamiento DCB.
Las muestras en polvo fueron analizadas por DRX.
La radiación utilizada fue de rayos-X provenientes de CoKα, aplicando 32.5 kV y 25 mA en los rangos de 4°<2θ
<80°a barrido continuo. Además, se utilizó un espectrómetro convencional para el analisis por EMT, consistente
de una fuente de 50 mCi de 57 Co en matriz de Rh. Los
espectros fueron tomados a temperatura ambiente (TA)
y a 110 K; se utilizó 250 mg y 100 mg de las muestras
para las medidas a TA y 110 K respectivamente. El ajuste
En la Figura 2 presentamos los difractogramas de DRX
de las fracciones arcillosas de Supte con y sin tratamiento
DCB. La fracción sin DCB muestra la ocurrencia de fases
no magnéticas tales como cuarzo y caolinita, y sesquióxidos de Fe ordenados magnéticamente como hematita y
goethita. En la fracción tratada con DCB se aprecia una
disminución en la intensidad de las reflexiones de la hematita, así como la ocurrencia de reflexiones características débiles de fases mineralógicas de clorita y partheita,
Ca2 Al4 Si4 O15 (OH)2 (H2 O)4 , lo cual indica que gracias al
tratamiento DCB fue posible observar reflexiones características débiles que no fue posible observar en la muestra
no tratada.
Figura 2: DRX de la fracción arcillosa Supte sin tratar y tratada con DCB. Los acrónimos son Pth= partheite, Cl= clorita,
Kao= caolinita, Q= cuarzo, Hm= hematita, Gth= goethita,
V= vermiculita, Mont= montmorillonita, Mus = moscovita.
En la Figura 3 se muestran los difractogramas de la
fracción arcillosa de la muestra Tornillo con y sin tratamiento DCB. A diferencia de la fracción arcillosa Supte,
esta muestra presenta menor concentración de la fase de
Rev. Inv. Fis. 17, 141701401 (2014)
cuarzo. En la fracción no tratada con DCB, se observa la
ocurrencia de alúmino silicatos como illita y moscovita, y
minerales interestratificados de caolinita-montmorillonita
y clorita-vermiculita-montmorillonta que siguen aún presentes después que la muestra fue tratada con DCB. Las
reflexiones de los sesquióxidos de Fe sufren disminución
en sus intensidades después del tratamiento con DCB. La
presencia de la fase partheita está también presente en
la fracción tratada como se observa en la muestra Supte. Cabe mencionar que no se pudo asignar las reflexiones
características observadas a 12.88°y 20.26°(2θ) a ningún
mineral comúnmente encontrado en un suelo.
Figura 3: DRX de la fracción arcillosa de la muestra de Tornillo
sin tratar y tratada con DCB. Los acrónimos son Pth= partheite, Cl= clorita, K= caolinita, Q= cuarzo, Hm= hematita,
Gth= goethita, V= vermiculita, Mont= montmorillonita, Mus
= moscovita.
Espectros Mössbauer
Los espectros Mössbauer de las fracciones arcilla con y
sin tratamiento DCB, fueron tomados a temperatura ambiente y a la temperatura T=110 K. Los correspondientes
espectros las muestras de Subte y Tornillo se muestran en
la Figuras 4.
Los espectros de las muestras Supte no tratada y tratada a TA fueron ajustados con una incipiente componente
magnética y dos dobletes asignados a sitios de Fe3+ ; los
dobletes de Fe3+ pueden ser debidos al hierro estructural de los minerales de arcilla y/o a los sesquióxidos de
hierro en estado superparamagnético. Como resultado del
tratamiento químico, el área total de resonancia decrece
3
alrededor del 62 %; la presencia del pequeño doblete a TA
está relacionado a la goethita en estado superparamagnético. El espectro a T=110 K de la muestra tratada con
DCB fue ajustada con un sexteto asignado a la hematita,
una distribución de campo magnético asignada a la goethita, un doblete paramagnético asignado al sitio de Fe3+
y dos dobletes paramagnéticos asignados a sitios de Fe2+ .
Para el caso de la muestra no tratada el ajuste por distribución contiene un área total de aproximadamente 72 %
que es asignada a la goethita. El tratamiento con DCB
causa que el área total de resonancia decrezca alrededor
del 47 % y afecta la distribución relativa de las áreas de
los sitios, mientras que el área relativa de la goethita disminuye proporcionalmente, en concordancia con la interpretación dada a los espectros tomados a TA. Los valores
correspondientes a los parámetros hiperfinos se muestran
para las muestras Supte y Tornillo en la Tabla 1.
En el caso de la muestra Tornillo, los espectros tomados a TA para la muestra no tratada y tratada, fueron
ajustados con dos sitios magnéticos y dos dobletes paramagnéticos; uno de los sitios magnéticos está caracterizado por un ancho de línea estrecho y un campo hiperfino
mayor; mientras que el segundo sitio magnético está caracterizado por un ancho de línea grande y un campo hiperfino menor, el cual está probablemente asociado a una
fase amorfa; ambos sextetos son asignados a la hematita;
uno de los dobletes fue asignado a un sitio de Fe3+ y el
otro, el cual es mucho más débil, se le asignó a un sitio
de Fe2+ . Para la muestra no tratada el área de los sextetos da cuenta de alrededor del 53 % del área total. El
tratamiento químico causa que el área total decrezca alrededor del 8 %, debido a la remoción del hierro de todos
los sitios; observándose en el espectro un incremento de
la intensidad relativa del sexteto de mayor campo hiperfino. Para el ajuste de los espectros tomados a 110 K, fue
necesario incluir un sitio magnético, dos dobletes y una
distribución de campo hiperfino. Uno de los dobletes fue
asignado al sitio de Fe3+ y el otro fue asignado al sitio de
Fe2+ . Los sitios de estos dobletes pueden estar localizados
en los minerales arcillosos; el doblete más intenso podría
estar asociado a moscovita, illita o minerales interestratificados, como se evidencia por DRX. Debido al tratamiento
con DCB se puede apreciar un crecimiento del área magnetica por sitio en alrededor de un 30 %, y una disminución
del área magnética asociada a la distribución, la cual está
asociada a la goethita. Los valores correspondientes de los
parámetros hiperfinos de la muestra Tornillo se muestran
en la Tabla 1.
4
Rev. Inv. Fis. 17, 141701401 (2014)
Figura 4: Espectros Mössbauer de la fracción arcilla de las muestras de suelo de Supte y Tornillo.
5
Rev. Inv. Fis. 17, 141701401 (2014)
Asignación
δ (mm/s)
2ε(mm/s)
∆Eq (mm/s)
Bhf (T)
A(mm/s)
A( %)
51.10
0.010
0.043
0.125
5.69
24.03
70.28
50.95
0.008
0.009
0.051
12.30
13.59
74.11
40.00
52.40
0.134
0.009
0.005
0.004
0.035
71.36
4.95
2.89
2.03
18.77
40.10
52.40
0.055
0.008
0.003
0.002
0.031
55.34
8.80
2.94
1.80
31.12
51.17
49.89
0.023
0.033
0.007
0.042
21.58
31.51
6.91
40.00
51.64
49.65
0.041
0.012
0.004
0,040
41.86
12.19
4.61
41,34
41.40
52.49
0.025
0.028
0.002
0.025
31.11
34.69
2.93
31.27
40.40
52.49
0.017
0.048
0.002
0.042
15.72
44.21
1.87
38.20
Supte sin tratamiento DCB y a T=300 K
Fe mag
Fe3+
Fe3+
0.39
0.37
0.36
-0.21
0.40
0.67
Supte con tratamiento DCB y a T=300 K
Fe mag
Fe3+
Fe3+
0.40
0.38
0.37
-0.25
0.48
0.65
Supte sin tratamiento DCB y a T=110 K
Dist. Gth
Fe mag
Fe2+
Fe2+
Fe3+
0.48
0.47
0.54
1.19
0.50
-0.25
-0.20
2.59
3.00
0.60
Supte con tratamiento DCB y a T=110 K
Dist. Gth
Fe mag
Fe2+
Fe2+
Fe3+
0.48
0.47
0.66
1.32
0.48
-0.25
-0.20
2.40
3.00
0.66
Tornillo sin tratamiento DCB y a T=300 K
Fe mag
Fe mag
Fe2+
Fe3+
0.37
0.38
1.43
0.34
-0.23
-0.23
2.23
0.61
Tornillo con tratamiento DCB y a T=300 K
Fe mag
Fe mag
Fe2+
Fe3+
0.38
0.42
1.48
0,35
-0.21
-0.34
2.22
0,63
Tornillo sin tratamiento DCB y a T=110 K
Dist. Gth
Fe mag
Fe2+
Fe3+
0.50
0.49
0.99
0.48
-0.23
-0.22
3.40
0.59
Tornillo con tratamiento DCB y a T=110 K
Dist. Gth
Fe mag
Fe2+
Fe3+
0.58
0.49
1.00
0.48
-0.23
0.22
3.41
0.59
Tabla 1: Parámetros hiperfinos Mössbauer a T=300K y a T=110 K de la fracción arcilla de las muestras de suelos de Supte y
Tornillo sin y con tratamiento DCB. Los valores de δ están referidos al Fe metálico.
6
Conclusiones
En los suelos tropicales como se observa en el caso
de la muestra de Tornillo, el efecto de una intensa intemperización causa la pérdida de Si, incrementando la
concentración de los sesquióxidos de Fe y Al. Esto podría
explicar la diferente composición mineralógica de los dos
suelos estudiados.
Los principales sesquióxidos de Fe encontrados en los
suelos estudiados han sido identificados como hematita y
goethita. En el caso de la muestra de Supte la hematita aparece como una componente magnética alrededor de
cinco veces menor respecto a la muestra de Tornillo.
La efectividad del tratamiento de disolución selectiva
sobre los sesquióxidos de Fe es clara, esto puede ser evaluado por la disminución de las áreas de absorción resonante
después del tratamiento DCB, particularmente concerniente a la disolución de goethita en el estado superparamagnético para ambas muestras. El doblete intenso de Fe3+ ,
para el caso de la muestra Supte, es asignado a la caolinita y esto es confirmado por los resultados de DRX. En
el caso de la muestra de Tornillo, el doblete más intenso podría estar asociado a la moscovita, illita o minerales
interestratificados, como se evidencia en DRX.
Los espectros de EMT a TA de las muestras sin tratar
indican que la muestra de Supte contiene el doble de hierro que la muestra de Tornillo. Por otro lado, los espectros
EMT a 110 K revelan otra característica contrastante entre las dos muestras por la presencia de una distribución de
tamaño de grano más fino para los sesquióxidos de hierro
Referencias
[1] M. L. Jackson: Soil chemical analysis, advanced course, second edition, University of Wisconsin, Madison
(1985).
[2] D. M. Moore y R. C. Reynolds (Eds.); X-Ray Diffraction and the Identification and Analysis of Clay Materials, Oxford University Press, Oxford (1997).
[3] Dorothy Carroll; Clay Minerals: A guide to their Xray identification, Special paper 126, The Geological
Society of America, Boulder (1969).
[4] T. C. Gibbs; Principles of Mössbauer Spectroscopy,
Halsted, London (1976).
Rev. Inv. Fis. 17, 141701401 (2014)
en la muestra de Supte que da lugar a la mayor presencia
de efectos superparamagnéticos en esta muestra.
Los espectros tomados a 110 K, para ambas muestras no tratadas y tratadas, revela la existencia de sitios
ocupados por Fe2+ , los cuales no son visibles en los espectros a TA. Esto podría ser producto de un proceso
de transferencia de electrones de valencia (inter valence
charge transfer, IVCT) [8]. Esto se puede dar en el caso
de un compuesto que contiene cationes vecinos del tipo
A3+ B2+ (de valencia mixta) y donde existe la posibilidad
de que un electrón de valencia del sitio B sea transferido al sitio A, creando A2+ B3+ ; ejemplos de compuestos
mineralógicos de valencia mixta son: magnetita, ilvaita, y
vivianita. Este proceso permite comprender algunas de las
propiedades físicas de los minerales de valencia mixta, ya
sea que dicho proceso ocurra como manifestación natural
o producido químicamente, activo a TA pero suprimido a
muy bajas temperaturas [8, 9]. Se requiere más estudios
sobre este fenómeno.
Agradecimientos
Los autores agradecen al Departamento de Química
de la Universidad Federal de Minas Gerais, Brasil, por la
colaboración en la toma de los espectros Mössbauer a 110
K y la obtención de los difractogramas de rayos X; así
también a la Facultad de Ciencias Físicas de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos por sus servicios en la
toma de los espectros Mössbauer a TA.
[5] R. M. Cornell y U. Schwertmann, The iron oxides:
Structure, properties, reactions, occurrence and uses,
VCH Publishers, New York (1996).
[6] O. P. Mehra y M. L. Jackson; Iron oxide removal from
soils and clays by a dithionite-citrate system buffered
with sodium bicarbonate; 7th Natl. Conf. on Clays and
Clay Minerals, (1960).
[7] R. A. Brand; Normos Mössbauer Fitting Program,
User’s guide, (1995).
[8] Paul R. Lear y Joseph W. Stucki; Clay and Clay Minerals 35(5), 373 (1987).
[9] R. B. Scorzelli, E. Baggio-Saitovitch y J. Danon; J.
Physique 37, C6-801 (1976).
Diseño aerodinámico de un túnel de viento de bajas velocidades
C. A. Quispe Gonzáles∗, W. J. Urcuhuaranga Esteban y J. E. Chiroque Baldera
E. A. P. de Ingeniería Mecánica de Fluidos, Facultad de Ciencias Físicas,
Universidad Nacional Mayor de San Marcos, Lima, Perú
Recibido 30 abril 2014 – Aceptado 18 junio 2014
El presente trabajo tiene como objetivo desarrollar el diseño aerodinámico y la determinación de las características geométricas de un túnel de viento de baja velocidad. Fue elegido un túnel de viento abierto
de tipo Eiffel, de acuerdo a las condiciones requeridas en la cámara de prueba, tales como el área de la
sección de ensayo y la velocidad máxima del aire en esta zona; se propone el esquema constructivo con los
elementos que conforman el túnel y la geometría de los mismos. Son efectuados los cálculos aerodinámicos
para determinar la velocidad, el área de paso y las pérdidas aerodinámicas en las secciones características de
la instalación. Se determina la potencia necesaria del ventilador y su selección de acuerdo a las condiciones
del mercado nacional.
Palabras claves: Túnel de viento, análisis aerodinámico, admisión del túnel, contracción del túnel, sección
de prueba, difusor, ventilador del túnel.
Aerodynamical design of a low velocities wind tunnel
This paper aims to develop the aerodynamical design and the geometric detrmination of a low veñocities
wind tunnel. Was elected an Eiffel type open wind tunnel, according to the required conditions in the
test chamber, such as the area and maximum air velocity in the test section; we propose the constructive
layout with the tunnel elements and the geometry of them. We performe calculations to determine the flow
veloctiy, the cross section and the aerodynamical losses in the characteristic sections of the instalation. We
determine the required fan power and it’s selection according to the local market conditions.
Keywords: Wind tunnel, aerodynamic analysis, tunnel admission, tunnel contraction, test section, difusor,
tunnel fan.
bargo, el túnel presenta el inconveniente del elevado costo
de instalación, especialmente para el ensayo de objetivos
de tamaño real. Hoy en día, la utilidad de un túnel de viento es obvia, ya existen túneles de viento de gran tamaño,
capaces de ensayar modelos a escala real y que funcionan
en una amplia gama de velocidades, como los túneles supersónicos. Las innovaciones introducidas, principalmente
en su construcción, planta de potencia y regulación, hacen
que sea altamente competitivo en costos y prestaciones,
así como adecuado para una gran variedad de aplicaciones,
como por ejemplo, ensayos aeronáuticos, ingeniería civil,
arquitectura, energías renovables, medio ambiente, entrenamiento deportivo e investigación y desarrollo agrícola.
No existe una información apropiada respecto al diseño y la construcción de túneles de viento, debido a la
diversidad de tipos de acuerdo a su configuración -circuito
abierto y cerrado-, de acuerdo al régimen de trabajo subsónico, transónico, supersónico e hipersónico-, así co-
En ingeniería, un túnel de viento o túnel aerodinámico
es una instalación de investigación en el que se obtienen
flujos de aire rectilíneo y uniforme a una velocidad determinada en la cámara de ensayos, se desarrolla para asistir a los estudios de los efectos del movimiento del aire
alrededor de los objetos sólidos. El primer túnel de viento fue construido por Wenham en 1871 y posteriormente
otros investigadores como Reynolds, Tsiolkovsky, Lilienthal, Langley, Prandtl, von Karman, entre otros, utilizaron
estos túneles en sus trabajos experimentales introduciendo
mejoras en su diseño [1].
Un túnel de viento llega a ser una herramienta útil
en la investigación de la mecánica de los fluidos teniendo
como principales ventajas la reducción del objeto de estudio a un modelo a escala, optimización en el diseño y
funcionamiento del modelo, repetitividad de los ensayos,
así como el tiempo y la economía, que generan ventajas
frente a las pruebas que se realizan en el campo. Sin em∗
[email protected]
1
2
mo por el diseño de la sección de prueba -sección cerrada
o sección abierta-. La gran mayoría de la bibliografía es
de tipo descriptivo de experiencias constructivas alrededor
del mundo. Pero entre la escasa bibliografía, existen trabajos importantes que son conclusiones de muchos años
de trabajo experimental y que sirven de referencia para
realizar proyectos de túneles de viento, como el trabajo de
Barlow et al. [3], Bell y Metha [4], Metha y Bradshaw [5]
y Pope y Goin [6]. Estas informaciones complementadas
con conocimientos de aerodinámica y mecánica de fluidos
nos permite aventurarnos en la ejecución de proyectos de
túneles de viento.
En el país, existen algunos túneles de viento, los cuales
generalmente son utilizados con fines didácticos en universidades e instituciones de formación profesional. La Universidad Nacional Mayor de San Marcos (UNMSM), en la
Escuela Académica Profesional de Ingeniería Mecánica de
Fluidos, se puede encontrar uno de estos túneles, el cual
a la fecha no ha podido ser puesto en funcionamiento.
Otras universidades, como la Universidad Tecnológica del
Perú, con el apoyo de la cooperación española; concluyó
hace poco la construcción de un túnel de viento con fines
didácticos.
La organización de cooperación técnica Internacional
Intermediate Technology Development Group (ITDG) ejecutó un proyecto de electrificación rural, mediante sistemas de micro-aerogeneradores individuales de 100 W, de
fabricación nacional mejorados técnicamente, fueron testados en un laboratorio en el km. 123.5 de la Panamericana Norte, Huacho, donde existe una presencia de vientos
en casi todo el año y se sitúa frente al mar. En el fueron efectuados muchos ensayos con un equipo de 100 y
500 W, los resultados obtenidos estaban más asociados
a la parte eléctrica, siendo bastante dificultoso obtener
resultados referidos a la parte mecánica y aerodinámica
debido a que no se podía controlar el régimen del viento.
Además, los gastos asociados a la parte experimental eran
onerosos, debido al elevado costo de estadía y pérdida de
horas hombre, ya que había ocasiones en que no soplaba
el viento.
Esta situación llevó a la necesidad de contar con un
túnel de viento que permita simular condiciones de flujos
de aire con bajas velocidades, que permitan simular condiciones de viento a diferentes velocidades y regímenes de
trabajo, siendo uno de los motivos el desarrollo del presente trabajo. ITDG firmó un convenio con la Universidad
Nacional de Ingeniería UNI para instalar y poner en operación este túnel de viento con cámara de ensayo de 1.20
m y que actualmente se encuentra operativo en el campus
universitario de la UNI. Cabe mencionar, que el diseño,
construcción e instalación del citado túnel estuvo a cargo de los autores de este paper, quienes pertenecen a la
UNMSM.
Rev. Inv. Fis. 17, 141701601 (2014)
Fundamentos teóricos
Un túnel de viento es un dispositivo bastante simple.
La mayoría de los diseños tienen seis componentes o secciones características como son las zonas de admisión, de
estabilización, de contracción, de prueba o de ensayo, el
difusor y la unidad de potencia o ventilador. Estas partes
se muestran en la Fig. 1. El diseño total, crea un flujo de
aire a alta velocidad y de baja turbulencia, que es dirigido a través de la sección de prueba y permite que en los
procesos de investigación se midan las interacciones, que
producen el conjunto flujo de aire–modelo, como las fuerzas resultantes, los coeficientes aerodinámicos, los efectos
de turbulencia, entre otros.
Figura 1: Partes características de un túnel de viento de tipo
abierto.
Cada componente o sección característica realiza una
función en el esquema, que se explica brevemente a continuación. La zona de admisión es prácticamente la entrada
al conducto principal del túnel y su función es evitar la
desestabilización de las corrientes de aire y la formación
y propagación de las turbulencia que se deben a cambios
abruptos de la velocidad del viento. La zona de estabilización es una zona de área constante en donde se encuentran
el corrector del flujo y las rejillas estabilizadoras. Permite
que el flujo entrante pueda pasar a la zona de contracción
como un flujo uniforme y de poca turbulencia. La zona
de contracción es una zona donde ocurre la disminución
del área de paso del túnel y su función es acelerar el flujo y disminuir las variaciones de velocidad. En esta zona,
el fluido se acelera hasta alcanzar la velocidad de diseño
en la zona de prueba. La sección de trabajo o sección de
prueba es la zona donde normalmente se instala el modelo
de estudio y en donde la velocidad del flujo alcanza su régimen de prueba, siendo las líneas de corriente uniformes y
paralelas. El difusor tiene la función principal de disminuir
la velocidad de salida del flujo, gracias a un incremento
del área de paso. Con esto, se aumenta paulatinamente la
presión y se disminuye la velocidad del flujo, lo cual hace disminuir las pérdidas por fricción. Finalmente, el aire
por si solo no va a pasar espontáneamente por el tunel
de viento. Para que el aire atraviese el tunel es necesario
inducir al aire a atravesar el túnel. Esto se logra con una
unidad de potencia, que en la mayoría de los casos es un
ventilador, que proporciona la fuerza necesaria para mover
3
Rev. Inv. Fis. 17, 1417011601 (2014)
el aire a través del túnel de viento.
Existen varias maneras de clasificar los túneles de viento. Atendiendo al tipo de configuración, los túneles pueden
ser: a) abierto, en donde un ventilador succiona el aire a
través del conducto del túnel y luego, expulsa el aire de
nuevo al exterior; b) cerrado, llamado también túnel de
recirculación porque el aire es forzado a circular en forma
indefinida por el interior del túnel. Otra forma de clasificación de los túneles es de acuerdo a su régimen de trabajo,
es decir, a la velocidad del aire en la zona de prueba, aquí
se clasifican como: a) subsónicos, en donde la velocidad
del aire en la zona de prueba no supera la velocidad crítica con número de Mach menores de 0.7, M < 0.7);
b) transónicos con 0.7 < M < 1.2; c) supersónicos con
1.2 < M < 5; y d) hipersónicos con M > 5. Por el diseño
de la sección de prueba, los túneles de viento se clasifican
como: a) con sección de ensayo cerrada, donde la sección
de prueba es una continuación de la sección de salida de
la zona de contracción y está limitada por paredes siendo generalmente una zona de sección constante; b) con
sección de ensayo abierta, donde la sección de ensayos no
está confinada por las paredes, el aire del interior del túnel
se mezcla con el exterior, disminuyendo casi totalmente el
problema de errores introducidos debido a la proximidad
de las paredes al modelo y su interferencia con el flujo.
Además de los aspectos descritos para el diseño de un
túnel de viento, cabe mencionar la influencia del modelo de prototipo que se pretende ensayar. Las paredes del
túnel deben estar bastante alejadas del modelo de prototipo para tener un perfil de flujo bastante similar al real,
puesto que si el cociente entre el área frontal del modelo y el área de la sección de ensayos es mayor que 0.075
-otros autores sugieren 0.1-, la obstrucción que supone el
modelo al paso del aire a mayores velocidades del flujo
entre el modelo y las paredes determina que los coeficientes de sustentación y de arrastre estimados se desvían de
los valores reales [7]. Por ello, es deseable que el área de
la sección de ensayos sea lo mayor posible, pero a mayor
área, el costo de la construcción y la potencia necesaria
en el ventilador aumentan considerablemente. Todo esto
hace que el tamaño del modelo sea condicionado por el
tamaño de la sección de ensayos disponible y por el límite
del cociente de las áreas frontales del modelo y la sección
de ensayos. El bloqueo del flujo ocurre durante las pruebas
con modelos relativamente grandes en la sección de túneles de tamaño limitado. Este bloqueo se define como el
radio de la sección frontal del modelo al área de la sección
de prueba. Se necesitan radios de bloqueo menores del
10 % de la sección a pesar de que muchas veces se excede este límite con creces. Para las pruebas aerodinámicas,
este bloqueo no debe ser mayor que el 5 %. La presencia
del modelo en la sección de prueba tiene como resultado
que al bloquear el flujo aumenta la presión en las paredes
del túnel. Por esta razón, los túneles de sección abierta
se emplean a menudo. Las correcciones por bloqueo son
todavía un tema de gran interés de investigación.
El movimiento del flujo compresible isoentrópico, que
pasa por el túnel de viento, puede escribirse como [8],
V dV +
dp
+ gdz = 0
ρ
(1)
siendo V es la velocidad del flujo, p es la presión estática, ρ la densidad, z es la altura respecto a un plano de
referencia y g es la constante gravitacional. Para muchos
procesos que envuelven gases, las fuerzas gravitacionales
pueden ser despreciadas gdz ≈ 0. Para el proceso isoentrópico, p/ρk = const, la Ec. (1) se integra resultando
V2
+
2
Z
V2
k p
dp
= const ⇒
+
= const .
ρ
2
k−1ρ
(2)
Si se considera que el flujo es incompresible ρ = const, la
Ec. (2) se transforma en
V2
p
+ = const .
2
ρ
(3)
Para el caso de un flujo adiabático sin rozamiento, la
velocidad local del sonido se expresa como a2 = (∂p/∂ρ).
Considerando un gas ideal con p/ρ = RT , se expresa
como una función continua de dos variables de la forma
z = f (x, y), además de las relaciones de Maxwell; la velocidad local del sonido a estas condiciones queda definida
como [9]
2
a =
a=
√
∂p
∂ρ
=k
s
kRT =
p
∂p
∂ρ
T
(4)
kp/ρ .
El número de Mach se define como la relación entre la velocidad del flujo y la velocidad local del sonido,
M = V /a, relacionando la energía cinética del flujo con la
energía potencial o energía molecular del gas, expresada
a través de la velocidad local del sonido. Se debe indicar,
que tanto V como a, cambian de sección en sección por
ser de carácter local. Los parámetros de estancamiento del
flujo pueden ser expresados a través del número de Mach
mediante las siguientes relaciones [8],
To
k−1 2
=1+
M ,
T
2
k
po
k − 1 2 k−1
,
= 1+
M
p
2
1
k − 1 2 k−1
ρo
= 1+
M
.
ρ
2
(5)
Los parámetros críticos del flujo, pueden ser expresados a
4
Rev. Inv. Fis. 17, 141701601 (2014)
través de las relaciones
T∗
2
=
M2 ,
To
k+1
k
k−1
2
p∗
,
=
po
k+1
1
k−1
ρ∗
2
=
.
ρo
k+1
(6)
y el gasto másico específico por unidad de área de un flujo a través de un conducto cualquiera, se expresa como
m̄ = ṁ/A = ρV , mientras que el gasto específico reducido q se obtiene al expresar un gasto másico específico
respecto al máximo valor del gasto específico, es decir,
q=
Otro criterio usado y similar al número M , es el coeficiente de velocidad λ o Mach crítico M ∗ , que relaciona
la velocidad del flujo con su velocidad crítica λ = M ∗ =
V /a∗ . Como en el flujo adiabático To = const, físicamente
el coeficiente de velocidad λ relaciona la energía cinética
del flujo con su energía total, expresada a través de la temperatura de estancamiento. La relación que existe entre λ
y M se determina mediante
1/2
V
V a ao
k−1 2
=
=
M
1
+
M
×
a∗
a ao a∗
2
1/2
k−1 2
k+1 2
2
,
M
1+
M
=
k+1
2
2
λ=
(7)
ρV
ρo ρ V
m̄
= ∗ ∗ = ∗
m̄MAX
ρ V
ρ ρ o a∗
1 1
k − 1 2 k−1
k + 1 k−1
1−
λ.
=
λ
2
k+1
(11)
Esta función q depende del coeficiente de velocidad λ
y del índice isoentrópico k, p
tiende a cero para dos valores,
para λ = 0 y λ = λMAX = (k + 1)/(k − 1); por lo tanto tiene un valor extremo. Cuando dq/dλ = 0 ⇒ λ = 1
Esto indica que la función q tiene un valor máximo para
λ = 1, siendo una función bivalente, esto es, q tiene dos
valores de λ, uno correspondiente al régimen subsónico y
el otro correspondiente al régimen supersónico, tal como
se muestra en la Fig. (2). La elección adecuada del valor
de λ se realiza en función de las condiciones del problema
planteado.
de esta expresión, Ec. (7), se observa que M =
0 ⇒ λ = p
0, si M = 1 ⇒ λ = 1 y si M =
∞ ⇒ λ =
(k + 1)/(k − 1), por lo que 0 ≤ λ ≤
[(k + a)/k − 1]1/2 . La relación inversa de M y λ se determina mediante
M=
V a∗ ao
V
=
=λ
a
a∗ ao a
k−1 2
1−
λ
k+1
−1/2
2
k+1
 1/2
1
λ2
k+1
= 
1−
×
k−1 2
λ
k+1
1/2

.
(8)
Los parámetros de estancamiento del flujo en función
del coeficiente de velocidad, se determina transformando
la Ec. (2) de la forma [8]
T
k−1 2
=1−
λ ,
To
k+1
k
(k − 1) 2 k−1
p
= 1−
λ
,
po
(k + 1)
1
(k − 1) 2 k−1
ρ
= 1−
λ
;
ρo
k+1
(9)
además, el gasto másico dado por ṁ = ρAV , se expresa
en función del coeficiente de velocidad λ como [10],
po A
ṁ = √
RTo
= const ;
r
1
2
k − 1 2 k−1
k
λ 1−
λ
k+1
k+1
(10)
Figura 2: Dependencia del coeficiente de gasto específico q
reducido en función de λ.
La función q permite enlazar la geometría del conducto con los parámetros del flujo. Como el gasto másico es
constante en cualquier sección del túnel. Al relacionar una
sección con área Ai y su sección crítica A∗ , se obtiene:
m̄ = ρi Ai Vi = ρ∗ A∗ V ∗ ⇒ q =
ρ i Vi
A∗
,
=
∗
∗
ρ V
Ai
(12)
así, la función q además de ser una función gasodinámica
es también una función geométrica, lo que permite resolver problemas en conductos de forma arbitraria.
El gasto másico m̄ es expresado particularmente como
una función del gasto másico reducido q. Esto es evidente
5
Rev. Inv. Fis. 17, 1417011601 (2014)
si se hace algunas transformaciones a la definición
m̄ = ρV A =
ρV A
A
m̄∗ = q ∗ m̄∗
ρ∗ V ∗ A∗
A
v
u k+1
u
k−1
po A t
2
k
= q√
k+1
ETo
(13)
y para un sistema aislado térmicamente T01 = T02 , la
ecuación se reduce a
A2 q2
p01
=
.
p02
A1 q1
(14)
La ecuación de Bernoulli para el flujo compresible es
más compleja que la ecuación de Bernoulli para el flujo
incompresible, ya que la densidad del gas no es constante
en el transcurso del flujo. Pero también es posible calcular
la presión del gas utilizando las ecuaciones del flujo incompresible, siempre que el número M no sea mayor que
0.3.
Las pérdidas en los conductos del sistema son debidas
a las transformaciones irreversibles que ocurren cuando se
mueve el fluido, en gran medida a la transformación de
energía mecánica en calor. Son dos los tipos de pérdidas
que se encuentran en un sistema de ductos, las pérdidas
por fricción y las pérdidas dinámicas.
Las pérdidas por fricción son debidas a la viscosidad
del fluido y se producen a lo largo de toda la longitud
del conducto y se calculan por la ecuación de DarcyColebrook [12],
∆pf =
f L ρV 2
,
DH 2
(15)
donde ∆pf representa las pérdidas por fricción en términos
de presión total, f es el factor de fricción; L es la longitud
del ducto, DH es el diámetro hidráulico; ρ es la densidad
del flujo y V la velocidad promedio. Dentro de la región
del flujo laminar el factor de fricción es solo una función
del número de Reynolds Re, siendo [12] f = 64/Re. Blasius consiguió un factor de fricción turbulento en tuberías
lisas en el intervalo 4.0 × 103 < Re < 105 , proponiendo la siguiente expresión flisa ≈ 0.3164Re−1/4 . A su vez,
Prandtl dedujo el factor√de fricción del régimen
turbulen√
to para tubería lisa, 1/ f = 2.0 log [Re f ] − 0.8. Von
Karman desarrolló una expresión para un flujo completamente
√ turbulento en tuberías muy rugosas de la forma
1/ f = −2.0 log [(ε/D)/3.7]. Para un flujo completamente turbulento, el factor de fricción depende del número
de Re, la rugosidad de la superficie del conducto y de las
protuberancias internas tales como juntas, articulaciones.
En la zona de transición rugosa el coeficiente de fricción
es calculado por la ecuación de Colebrook,
ε
2.51
1
√
√ = −2 log
+
,
(16)
3.7DH
f
Re f
siendo ε el factor de rugosidad absoluta del material, en
mm y Re el número de Reynolds. El número de Reynolds
es dado por Re = DH V /v, donde v es la viscosidad cinemática.
Las pérdidas dinámicas aparecen como resultado de
las perturbaciones del flujo causados por equipos montados en los conductos y por los accesorios que cambian la
dirección de la trayectoria del flujo de aire y de área. Estos
accesorios incluyen entradas y salidas, codos, transiciones,
cruces, etc. Una amplia investigación de estos fenómenos
con el fin de determinar los coeficientes de pérdidas han
llevado a obtener resultados en tres formas, tablas, curvas
y ecuaciones [13].
Coeficiente de pérdida local. El coeficiente adimensional
kp es usado para definir la pérdida de presión en un conducto porque este coeficiente tiene el mismo valor en corrientes dinámicas similares, es decir, secuencias con tramos geométricamente similares, iguales números de Re e
iguales valores de otros criterios necesarios para la similitud dinámica. Está basado sobre la relación de la pérdida
de presión total respecto a la presión de velocidad en la
sección transversal a la que se hace referencia, es decir,
∆pj
∆Pj
Kp =
,
(17)
=
ρV 2 /2
pv
siendo ∆pj la pérdida total de presión, ρ la densidad del
fluido, V la velocidad del fluido y pv la presión dinámica. Para todos los accesorios, excepto los cruces, se puede
calcular la pérdida total de presión ∆pj en una sección
mediante ∆pj = K0 pv,0 , siendo que el subíndice 0 está
referido a la sección transversal en la que se hace referencia a la presión dinámica pv,0 . También se debe indicar que
el flujo compresible puede ser tratado como flujo incompresible siempre y cuando la velocidad del flujo no supere
a su correspondiente número M = 0.3 [8].
Consideraciones geométricas del diseño
Debemos considerar las condiciones iniciales del flujo
a la entrada del túnel, pues el fluido a utilizar es el aire
atmosférico y dado que la altitud sobre el nivel del mar del
lugar de instalación es relativamente pequeña como para
ser tomada en cuenta, las propiedades del aire atmosférico serán tomadas a condiciones estándar a nivel del mar,
teniendo los siguientes datos de entrada [11],
Presión atmosférica
Temperatura atmosférica
Densidad
Constante del aire
Índice adiabático del aire
Calor específico
Viscosidad cinemática
p0 = 101.325 kPa
T0 = 20℃ = 293 K
ρ = 1.225 kg/m3
R = 287 J/kg-K
cp = 1.005 J/kg-K
k = 1.4
v = 1.46 × 10−5 m2 /s
Las condiciones iniciales en la zona de prueba o cámara
de prueba están dadas por
6
Rev. Inv. Fis. 17, 141701601 (2014)
Velocidad de diseño del flujo
14 m/s
Diámetro del área frontal del
modelo de ensayo
1.0 m
Diámetro a la salida del colector
1.4 m
Determinación de las dimensiones de la cámara
de prueba
Debido al tamaño del modelo, la cámara de prueba
debe de ser de tal tamaño, que las paredes no influyan sobre el modelo durante los ensayos y no introduzcan errores
en las mediciones. El bloqueo del flujo ocurre durante las
pruebas con modelos relativamente grandes en la sección
de túneles de tamaño limitado. Este bloqueo se define como el radio de la sección frontal del modelo al área de la
sección de prueba. Se necesitan radios de bloqueo menores
del 10 % de la sección a pesar de que muchas veces esto se
excede con creces. Por esta razón, los túneles de sección
abierta se emplean a menudo. El coeficiente de bloqueo
debe encontrarse entre 0.075 y 0.10 [7]. Así tenemos que
área frontal del modelo
dM
=
área de la zona de prueba
dZP
(18)
∈ [0.075 − 0.10],
siendo dM el diámetro frontal del modelo, que es igual a
1.00 m y dZP el diámetro de la zona de prueba. Entonces: (10/dZP ) = [0.075 − 0.10] ⇒ dZP ∈ [3.10 − 3.65]
m. Bajo este criterio, se optó por una sección de prueba
con diámetro hidráulico DH = 3.5 m. También se optó
por una sección de prueba de forma cuadrada, lo que facilita la instalación del modelo al tener un piso horizontal
y para instalar los instrumentos de medición. La longitud
de la cámara de prueba requiere de la definición previa
del diámetro de la sección de salida del colector y que es
anterior a la zona de prueba. Se optó por un diámetro a
la salida del colector ds,c con un área cerca del 200 % del
modelo, para evitar que la desuniformidad del flujo pueda
afectar el trabajo del modelo, este mismo diámetro debe
ser mantenido a la entrada del difusor. Así tenemos
dM
dS,C
2
= 2.0 ⇒ dS,C = 1.414dM = 1.414 m ,
(19)
finalmente, se optó como diámetro de salida del colector
dS,C = 1.40 m.
La longitud de la cámara de prueba, está en función
de la longitud del modelo y la distancia necesaria para eliminar el efecto de una expansión brusca. Según recomendaciones [12] el flujo al salir a una expansión brusca se
expande ocupando el mayor área posible. Al ser la cámara
de prueba una instalación estanca bajo similares condiciones de presión, las líneas de corriente del flujo tratarán de
expandirse al salir del colector. No existe información sobre
la longitud de reacomodo de las líneas de corriente, pero
en casos de ductos se asume que esta expansión ocurre a
una distancia no mayor que el diámetro menor que conforma la expansión brusca e igual a dS.C . Similar situación se
tiene para la contracción brusca que se originará a la entrada del difusor. Así, la longitud de la cámara de prueba
lC.P = 2lC.P + lM = 4.10 m, optándose finalmente por
lC.P = 4.50 m. Así, la cámara estanca que es la zona de
prueba, tendrá una sección cuadrada de 3.50 × 3.50 m2 y
una longitud de 4.50 m.
Consideraciones para el diseño del colector
El colector del túnel de viento propuesto está conformado por la admisión, la zona de estabilización y de contracción, a través del cual se lleva un flujo uniforme a la
zona de prueba. Generalmente, el diseño de la contracción es la parte más importante del circuito del túnel de
viento, aquí el flujo se acelera rápidamente, las líneas de
corriente están sometidas a una gran tensión, lo que reduce las variaciones del flujo medio y genera una gran razón
de contracción de las mismas. Pero, por ser un túnel de
baja velocidad, estas condiciones se atenúan. La decisión
de tener una entrada curva y de instalar una rejilla estabilizadora obedece a la necesidad de disminuir las pérdidas
por estabilización del flujo en el colector.
La razón de contracción se encuentra entre 6 a 9 para
túneles pequeños [5]. Debido a que las velocidades para
el presente proyecto no superan los 14 m/s, el problema
de la separación de la capa límite puede ser contrarrestada si es que se elige paredes con superficie de curvatura
convexa, sin puntos de inflexión, en donde el área de la
sección transversal irá disminuyendo suave y monótonamente, siendo conveniente elegir un perfil de forma parabólica. Así el diámetro efectivo de entrada al colector
es
dE.C
dS.C
2
∈ [6 − 9] ⇒ dE.C ∈ [2.45 − 3]dS.C
∈ [3.43 − 4.2] m .
(20)
Además, la recomendación para el grosor del anillo de
entrada, la curvatura que debe tener la admisión, indica
que debe tener entre [1/5 − 3/8] del diámetro de la cámara de estabilización; se asume un grosor de anillo de
entrada de 0.75 m, por lo que la sección de entrada es de
dE.C = 4.2 + 0.75 = 4.950 m.
La longitud de la zona de contracción se elige en base
a consideraciones constructivas y recomendaciones [4] que
indican que el rango de la longitud de contracción fluctúa
entre 0.9 y 1.8 veces el diámetro de entrada al colector,
las longitudes más cortas causan irregularidades en el flujo
a la salida. Así, lC ∈ [0.9−1.8]dE,C = [0.9−1.8]×4.95 =
[4.95 − 8.91] m optándose por una longitud de 4.5 m.
7
Rev. Inv. Fis. 17, 1417011601 (2014)
La zona de estabilización está conformada por una sola sección, donde es instalada una rejilla de alambres de
forma circular, para atenuar las irregularidades y las turbulencias generadas por la entrada del flujo de aire al colector. Esta malla de alambre, está instalada inmediatamente
después de la sección de entrada al colector. El colector se
muestra en la Fig. 3, donde la solución propuesta asume
que en un primer tramo, con longitud de 2 m, el colector tenga una sección de forma cuadrada, luego en una
longitud de dos metros se efectuará la transición suave de
la forma cuadrada a la circular, evitando incrementar las
pérdidas hidráulicas y finalmente, se tiene una sección circular de longitud de 50 cm en la salida. De esta forma, el
flujo saliente está reconformado con una sección similar a
la del modelo.
sección de entrada un poco mayor que la sección de salida
del colector, tomando como diámetro de entrada al difusor
dD = 1.45 m.
Según la información bibliográfica [4, 6], los difusores
son muy sensibles a los errores de diseño, puede causar
vibración en el túnel, oscilación del ventilador y variación
en la velocidad de la sección de pruebas. La geometría
de los difusores en túneles de viento es de forma de cono
truncado, en donde el área de cada siguiente sección es
mayor que la anterior. Generalmente se utiliza el concepto
de ángulo de abertura del difusor. Según algunos investigadores [7, 12] este ángulo no debe exceder de 7°. Otros
recomiendan que para difusores de túneles de viento el ángulo de expansión del difusor no debe exceder de 5° [5].
Para el presente trabajo, se decidió tomar un ángulo de
expansión del difusor de 5° en una longitud de 10 metros, limitado por las condiciones de espacio del lugar de
instalación. El difusor tendrá sección circular en toda su
longitud y en alguna sección de ella, se instalará el equipo
de fuerza, el ventilador, encargado de impulsar el aire a
través del túnel de viento.
Cálculo aerodinámico de los componentes
del tunel
En primer lugar, es necesario determinar preliminarmente el gasto másico a través del túnel, bajo las condiciones del diseño. Tomando los datos en la sección de
salida del colector, donde V = 14 m/s, dS.C = 1.4 m y la
densidad del aire ambiental ρ = 1.225 kg/m3 , utilizando
la expresión de continuidad en esta sección afectado por
un coeficiente de descarga CD = 0.983, se tiene:
m̄ = CD ρAV = 25.96 kg/s.
Figura 3: Detalle de la geometría del colector del túnel de
viento.
Esta solución tiene la ventaja que ayuda a disminuir las
pérdidas en las esquinas de la sección cuadrada, además
de uniformizar el flujo para que al incidir sobre el modelo,
pueda bañarlo en igual proporción respecto al eje de giro,
el modelo alineado con el eje del túnel de viento.
Consideraciones para el diseño del difusor
El difusor es una parte importante del túnel de viento,
pues aquí el flujo comienza a perder velocidad reponiendo
la presión. La reducción de la velocidad es necesaria ya que
el flujo es expulsado al medio ambiente, grandes velocidades pueden provocar cargas considerables en los apoyos
del sistema, debido al efecto de acción y reacción, y provocar altos niveles de ruido y vibración con la consiguiente
contaminación sonora. Se optó por diseñar un difusor con
(21)
Asumiendo que este gasto másico se hace crítico para
alguna sección del túnel de viento, se puede escribir
v
u k+1
u
∗
k−1
A po t
2
∗
ṁmx = ṁ = √
⇒
k
k+1
RTo
v
u √
k+1
u
∗
RT
ṁ
k + 1 k−1
ot1
∗
A =
. (22)
po
k
2
Sustituyendo los datos conocidos se obtiene A∗ = 0.1085
m2 .
Los parámetros críticos del flujo son
2
= 244.2 K,
(23)
T ∗ = T0
k+1
k
k+1
2
p∗ = p0
= 53.528 kPa,
(24)
k+1
1
k+1
2
= 0.776 kg/m3 .
(25)
ρ∗ = ρ0
k+1
8
Rev. Inv. Fis. 17, 141701601 (2014)
La velocidad crítica del flujo, para las condiciones dadas, es
√
a∗ = kRT ∗ = 313.24 m/s.
(26)
La secuencia de cálculo para el diseño de las características
del tunel de viento la describimos a continuación. i) Cada
elemento a calcular, colector y difusor, se divide en tramos
menores, por ejemplo, con ∆l = 0.50 m y se determina el
área para cada sección i-te. ii) Se calcula el coeficiente de
gasto q para cada sección i-te, con la relación qi A∗ /Ai .
iii) Luego, se determina el coeficiente de velocidad λi para
cada sección i-te, con ayuda de la siguiente relación
qi =
k+1
2
1
k−1
k+1 2
λi
1−
k+1
1
k−1
λi .
Esta expresión tiene dos raíces para λi , debiéndose tomar
el valor del régimen subsónico, λi < 1.0. El valor supersónico es desechado, puesto que en el túnel las velocidades
alcanzadas son subsónicas. iv) A continuación, se determina la velocidad del flujo en la sección i-te con Vi = λi a∗ .
v) También se calculan los parámetros de presión, temperatura y densidad, para cada sección i-te, con ayuda de las
siguientes relaciones,
k−1 2
λi ,
Ti = To 1 −
k+1
k
k − 1 2 k−1
pi = po 1 −
λi
,
k+1
1
k − 1 2 k−1
.
λi
ρi = ρo 1 −
k+1
En este caso, los parámetros hallados en este punto, corresponde a un proceso adiabático e isoentrópico. Por lo
tanto, estos parámetros son teóricos, específicamente en
lo que se refiere al cálculo de la caída de presión a lo largo
de cada componente del túnel. vi) Se calcula la presión
dinámica para cada sección i-te, siendo pdin−i = ρi Vi2 /2.
vii) Se procede a calcular el número de Reynolds para la
sección en análisis Re = DH V /v. viii) Con el número Re,
se calcula el factor de fricción, utilizando la ecuación apropiada para el régimen del flujo. Se recomienda utilizar la
ecuación de Colebrook, que no introduce errores sensibles.
1
ε
2.51
√ = −2 log
√ .
3.7DH Re f
f
ix) Para dos secciones contiguas del elemento dado, se determina el coeficiente de pérdida de presión Kperd , ya sea
para contracciones o expansiones continuas, mediante la
expresión Kperd = f L/D. x) A continuación, se determina la caída de presión para cada tramo determinado en el
punto anterior,
∆pi = Kperd
ρi Vi2
,
2
Siendo los valores ρi y Vi los correspondientes a la sección
de salida de cada tramo. xi) La caída de presión en todo
el elemento,
es la suma de las caídas parciales de presión
P
∆p =
∆pi . xii) La caída de presión ∆p se transforma
a la presión de una columna de agua usando 1 Pa≈ 0.102
mmH2 O. xiii) Si el elemento analizado no tiene una sección circular, adicionalmente se deberá calcular la pérdida
de presión por las esquinas, calculando primero el coeficiente de pérdida por medio de
4.55
Kesq = 0.10 +
,
(log10 Re)2.58
luego, la caída total de presión en el elemento no circular
será la suma de todas las caídas parciales de presión.
Caída de presión en el colector
En la Tabla 1 se muestran los resultados del cálculo
de las pérdidas por fricción para el colector del túnel de
viento, siguiendo la secuencia de cálculo explicada en la
subsección anterior. El colector fue dividido en 9 partes,
generando 10 secciones. Para el tramo de sección cuadrada y para el tramo de transición se calcularon las pérdidas
por fricción y las pérdidas por los efectos de esquina. Como se puede observar, el mayor componente de pérdida se
debe al efecto de esquina, el cual es mayor que la pérdida
debido a la fricción.
En el colector se instala una malla para estabilizar el
flujo. Esta malla también causa una caída de presión, la
cual es calculada con la expresión [5]:
55.2
kg = k0 +
;
ReD
2
1 − 0.95β
;
k0 =
0.95β
2
D
área abierta
= 1−
.
β=
área total
M
(27)
La pantalla está conformada por una malla de alambre
de sección circular de D = 3.175 mm que genera una malla cuadrada con lado M = 25.4 mm. Entonces, el coeficiente de área β = 0.7656 y k0 = 0.1405. Así, kg ≈ 0.141
y la caída de presión debido a la malla estabilizadora es
∆pg = Kg
ρ1 V12
= 0.2 Pa = 0.021 mmH2 O.
2
(28)
Caída de presión en la zona de prueba
La resistencia que encuentra el flujo al ingresar a la
zona de prueba se asemeja a una expansión brusca y el
coeficiente de pérdida [12] puede ser hallado en función
de la razón del diámetro menor DH1 respecto al diámetro
mayor DH2 , mediante la expresión
"
2 #2
DH1
= 0.7046 .
(29)
KEXP = 1 −
DH2
9
Rev. Inv. Fis. 17, 1417011601 (2014)
Además, existe una resistencia suplementaria por que
el ducto del colector no termina directamente en la sección
de entrada a la zona de prueba si no que está embutido
en ella, en una distancia de L = 1.0 m. Igual situación se
observa en el lado de la entrada del difusor. Esto provoca
una caída de presión adicional que es función de la longitud
embutida del tubo respecto a su diámetro y del espesor de
la pared del tubo respecto a su diámetro [13]. En la Fig. 4
se muestra el esquema de un conducto embutido en una
cámara plena.
palas del rotor fueron diseñadas aerodinámicamente para
ofrecer menor resistencia al paso del viento, por lo que
ρV 2
2
= 62.04 Pa = 6.32 mmH2 O.
∆pM = KM
(32)
Caída de presión en el difusor
La longitud total del difusor es LD = 10 m y el ángulo
de abertura adoptado es de α = 5° . De acuerdo a la Ec.
(14) se tiene que
p01
A2 q2
qED
ASC
=
⇒
=
=
p02
A1 q1
qSC
AED
qED = 0.06678,
dSC
dEC
2
(33)
la nueva sección crítica para el flujo en el difusor es
qED = A∗D /AED ⇒ A∗D = 0.1103.
(34)
y la nueva sección crítica para el flujo en el difusor es
Figura 4: Esquema para la pérdida para ductos embutidos en
cámaras plenas.
qED = A∗D /A : ED ⇒ A∗D = 0.1103 .
El coeficiente de pérdida es una función de t/D y L/D,
y están tabulados para diferentes condiciones. Para el presente caso t/DH1 = 0.001 y L/D = 0.714, lo cual da un
coeficiente Kduc ≈ 0.9 [13]. Este coeficiente se multiplica
por dos, considerando la entrada del colector y la salida
del difusor.
De igual manera, una vez que el fluido pasa por la
zona de prueba, para ingresar al ducto del difusor ocurre
una pérdida, que es similar a una contracción brusca. Para
este caso, el coeficiente de pérdida esta dado por [12],
KCONT = 0.5 1 − (DH1 /DH2 )2 = 0.42 .
(30)
Para efectuar el cálculo aerodinámico del difusor, este
fue dividido en 10 tramos de longitud L = 10 m cada uno,
sin contar el tramo donde estará instalado el ventilador.
Así, cada área posterior es calculada mediante
Así, la caída de presión total observada en la zona de prueba está dada por
ρV 2
2
= 363 Pa = 37 mmH2 O.
∆pZP = (2Kduc + KZP )
(31)
Durante la operación del túnel de viento, el modelo se
encuentra instalado en la zona de prueba, por lo tanto,
su presencia causa una caída de presión. No existen recomendaciones o datos experimentales que evalúen estas
pérdidas por lo que éstas deben asumirse en función de
la complejidad de la resistencia que el modelo ofrezca al
paso del flujo. Para el presente caso, se asumió que el aerogenerador ocasionará una resistencia que puede ser proporcional al coeficiente KM = 0.5, considerando que las
(35)
(36)
Di+1 = Di + 2L tan (α/2) ,
y el coeficiente de pérdida en el difusor se calcula mediante
KD =
f
+ 0.6 tan (α/2)
8 tan (α/2)
.
(37)
De manera similar al cálculo del colector se realiza el
cálculo de la caída de presión debido a la fricción que se
tiene en el difusor. Los resultados se presentan en la Tabla
2.
En realidad, el difusor puede ser dividido en dos partes. Una primera parte, hasta la sección de entrada del
ventilador, que trabaja a régimen de succión, con presión
negativa, y otro segundo tramo, desde la sección de salida
del ventilador hasta la sección de salida del difusor, que
trabaja a sobrepresión, presión estática positiva.
La caída de presión en todo el sistema del túnel de
viento es igual a la suma de caídas de presión en cada uno
de sus elementos,
∆pTotal = ∆pc + ∆pZP + ∆pM + ∆pD
= 481.2 Pa = 49.06 mm H2 O.
(38)
10
Rev. Inv. Fis. 17, 141701601 (2014)
Dimensionamiento del ventilador
La potencia requerida por el ventilador se calcula mediante [13],
P =
Qps
ṁps
=
= 14.4 kW.
1000η
1000ρη
La alternativa de fabricar un ventilador a la medida era
demasiado costoso comparado con la alternativa de elegir
uno de los ventiladores ya desarrollados por ITSA. Es evidente, que la elección lleva consigo el riesgo de sobredimensionar el ventilador, lo cual puede traer consecuencias
económicas durante la operación del túnel de viento. Como
era la solución más viable, se optó por elegir un ventilador
axial ITSA con las siguientes características: a) caudal a
libre descarga, 69,000 CFM; b) caudal de 2 pulgadas de
columna de agua, 50,000 CFM; c) Motor eléctrico trifásico de 30 HP, d) diámetro externo del ventilador axial,
1.50 m; e) Medida longitudinal del ventilador, 930 mm, f)
número de álabes del ventilador, 17.
Una vez determinadas las medidas geométricas de los
elementos que componen el túnel se procedió a elaborar
el plano de la vista general de la instalación, el cual se
muestra en la Fig. 5, que muestran también las medidas
referenciales del citado laboratorio.
Figura 5: Vista superior de la instalación del túnel de viento.
Conclusiones
El túnel de viento proyectado es de tipo Eiffel, de circuito abierto y zona de prueba abierta, para ensayar modelos de un diámetro de un metro y velocidades de viento
máxima de 14 m/s.
El túnel consta de 4 partes importantes, el colector con
la rejilla de estabilización, la zona de prueba y el difusor. El
equipamiento principal está conformado por un ventilador
y un variador electrónico de velocidad.
Dada la baja velocidad del flujo de aire en las secciones
a través del túnel de viento, el efecto de compresibilidad es
mínimo, por lo que bien hubiera sido posible diseñar aerodinámicamente el túnel considerando al flujo de aire como
incompresible. Las variaciones de densidad son mínimas
como muestran los cálculos efectuados en este trabajo.
Para determinar la forma del colector, se asumió una
contracción continua, sin cambio en la curva del perfil del
colector, siendo esta de forma cóncava lo que redujo muchos efectos contrarios, como la compresibilidad, desprendimiento dentro del túnel y formación de inestabilidades y
fuerte turbulencia.
Dada la baja velocidad de entrada al colector, no
fue necesario instalar una zona de estabilización (honeycombs) ya que sólo se requirió de una rejilla o malla de
alambre como zona de estabilización.
Las caídas de presión más significativas se encuentran
en la zona de prueba, debido a varios fenómenos asociados
a su configuración (zona de prueba abierta con similaridad
a expansión brusca a la salida del colector y contracción
brusca a la entrada del difusor, además de la presencia del
modelo). En esta zona se calculó una caída de cerca de 40
mm de H2 O, contra los 10 restantes en otros elementos
del túnel de viento. La pérdida total de presión fue cerca
de 50 mm H2 O.
Al estar el ventilador de tipo axial ubicado pasando la
zona de prueba, el túnel trabaja en un régimen de succión, con presión negativa corriente arriba del ventilador y
presión positiva corriente abajo del ventilador.
El difusor no pudo ser diseñado para llevar la velocidad de salida hasta valores cercanos a cero, debido a las
limitaciones de espacio que restringían la longitud del difusor. Esto provocó que se tenga un difusor corto, el aire
a la salida tiene valores cercanos de 4.5 m/s lo cual provoca ruido relativamente alto por la descarga a velocidad
relativamente alta.
Se pudo observar durante la etapa de pruebas de funcionamiento, que en la zona de prueba con condición del
sistema de aerogeneración instalado, la velocidad máxima
alcanzada por el flujo de aire fue de 14.60 m/s, que es un
poco mayor a la velocidad de diseño igual a 14 m/s. Esto
se debe a que como fue remarcado, no existe en el mercado nacional condiciones para la construcción de grandes
ventiladores sobre medida y tuvo que elegirse un ventilador muy cercano a las necesidades, pero que tiene una
designación de ventilación minera.
Para el caso de la prueba de funcionamiento en vacío,
la velocidad que alcanza el flujo de aire en el ventilador
es mayor que en la conclusión anterior, superando los 15
m/s. Esto se debe a que la presencia del ventilador causa
una caída de presión (parte de la energía es transformada
en energía mecánica).
El túnel fue testado en condiciones de diseño, instalándose y ensayándose un aerogenerador de 50 W, para
obtener la curva de potencia; obteniéndose resultados cercanos a los teóricos, expuestos en aerogeneración.
DH (m)
A (m2 )
q
λ
V (m/s)
T (K)
p (kPa)
ρ (kg/m3 )
pV (Pa)
Re × 10−5
f
Kesq
∆pf (Pa)
∆pesq (Pa)
∆pparc (Pa)
∆ptotal (Pa)
∆ptotal (mm H2 O)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4.950
24.503
0.00450
0.00285
0.89
293.0
101.325
1.225
0.488
3.0265
0.0147
0.156
0.00072
0.0764
0.0771
23.49
.
3.767
14.189
0.00778
0.00493
1.54
293.0
101.324
1.225
1.460
3.9839
0.0141
0.153
0.00273
0.2241
0.2268
.
.
3.277
10.737
0.01028
0.00652
2.04
293.0
101.322
1.225
2.554
4.5833
0.01385
0.152
0.0054
0.3881
0.3935
.
.
2.901
8.414
0.01312
0.00832
2.61
293.0
101.321
1.225
4.159
5.1774
0.01365
0.151
0.00979
0.6269
0.6367
.
2.39
2.584
6.675
0.01653
0.01048
3.28
293.0
101.319
1.225
6.599
5.8087
0.0135
0.150
0.01724
0.9872
1.0044
.
.
2.304
5.025
0.02196
0.01392
4.36
293.0
101.314
1.225
11.642
6.8812
0.01328
0.148
0.03355
1.7229
1.7565
.
.
2.052
3.758
0.02936
0.01862
5.83
293.0
101.305
1.225
20.830
8.1959
0.01309
0.146
0.06645
3.0498
3.1163
.
.
1.820
2.778
0.03972
0.02519
7.89
293.0
101.287
1.225
38.119
9.8328
0.01295
0.145
0.13565
5.5215
5.6572
.
.
1.603
2.019
0.05465
0.03465
10.85
292.9
101.254
1.224
72.109
11.9187
0.01284
0.143
0.28873
10.3315
10.6202
.
.
1.400
1.540
0.07164
0.04544
14.23
292.9
101.203
1.224
123.967
13.6512
0.01288
0.142
0.5701
17.6294
.
.
.
Rev. Inv. Fis. 17, 1417011601 (2014)
Sección
Tabla 1: Resultados del cálculo aerodinámico del colector.
Sección
DH (m)
A (m2 )
q
λ
V (m/s)
T (K)
p (kPa)
ρ (kg/m3 )
pV (Pa)
Re × 10−5
f
KD
∆pD (Pa)
∆ptotal (Pa)
∆ptotal (mm H2 O)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1.450
1.651
0.06679
0.04237
13.27
292.9
101.219
1.224
107.794
13.1802
0.01287
0.06305
6.80
32.50
.
1.537
1.856
0.05942
0.03769
11.81
292.9
101.241
1.224
85.310
12.4300
0.01285
0.06299
5.37
.
.
1.625
2.073
0.05321
0.03374
10.57
292.9
101.258
1.224
68.373
11.7590
0.01284
0.06296
4.31
.
.
1.712
2.301
0.04792
0.03038
9.52
293.0
101.270
1.225
55.438
11.1567
0.01284
0.06296
3.49
.
3.31
1.799
2.542
0.04339
0.02751
8.62
293.0
101.280
1.225
45.462
10.6178
0.01285
0.06299
2.86
.
.
1.886
2.795
0.03946
0.02502
7.84
293.0
101.288
1.225
37.607
10.1251
0.01286
0.06302
2.37
.
.
1.974
3.059
0.03605
0.02286
7.16
293.0
101.294
1.225
31.395
9.6790
0.01288
0.06308
1.98
.
.
2.061
3.336
0.03306
0.02096
6.57
293.0
101.299
1.225
26.394
9.2669
0.01290
0.06314
1.67
.
.
2.148
3.624
0.03043
0.01929
6.04
293.0
101.303
1.225
22.356
8.8897
0.01292
0.06319
1.41
.
.
2.235
3.925
0.02810
0.01781
5.58
293.0
101.306
1.225
19.058
8.5411
0.01295
0.06328
1.21
.
.
2.323
4.237
0.02603
0.0165
5.17
293.0
101.309
1.225
16.358
8.2218
0.01297
0.06334
1.04
Tabla 2: Resultados del cálculo aerodinámico del difusor.
11
12
Referencias
[1] D. D. Baals y W. R. Corliss; Wind Tunnels
of NASA, Scientific and Technical Information
Branch, NASA SP 440, USA (1981). Disponible en:
http://www.hq.nasa.gov/office/pao/History
/SP-440/contents.htm, accesado el 08 abril 2014.
[2] J. Katz, Annu. Rev. Fluid. Mech. 38, 27 (2006).
[3] J. B. Barlow, W. H. Rae y A. Pope; Low speed wind
tunnel testing, Wiley & Sons, New York (1999).
[4] J. H. Bell y R. D. Mehta; Contraction design for small
low-speed wind tunnel, NASA CR-177488, Washington D.C., National Aeronautics and Space Administration (1988).
[5] R. D. Mehta, P. Bradshaw; The Aeronautical Journal
of the Royal Aeronautical Society, Technical Notes, pp.
443-449, November (1999).
[6] A. L. Pope y K. Goin; Wind-tunnel Testing, Willey &
Sons, New York (1965).
Rev. Inv. Fis. 17, 141701601 (2014)
[7] I. Prada y Nogueira, El túnel de viento como herramienta de ensayo aerodinámico en la Fórmula I, Anales
de Mecánica y Electricidad, Asociación de Ingenieros
del ICAI, Madrid, Nov-Dic (2006).
[8] M. J. Zucrow y J. D. Hoffman; Gas Dymanic, Willey
& Sons, New York (1976).
[9] G. C. Oates, Aerothermodynamics of Gas Turbine and
Rocket propulsión, American Institute of Aeronautics
and Astronautics, USA (1984).
[10] M. E. Deich y A. E. Zariankin; Hidrogasodinámica,
Ed. Energoatomizdat, Moscú (1984).
[11] P. M. Gerhart, R. J. Gross y J. I. Hochstein; Fundamentos de Mecánica de Fluidos, Addison-Wesley Iberoamericana, México (1995).
[12] Crane Co, Engineering Department; Flow of Fluids
through valves, fittings and pipe, USA (1988).
[13] ASHRAE Handbook – Fundamentals (SI), American
Society of Heating Refrigerating and Air-Conditioning
Engineers, USA (2005).
Dinámica de los operadores de un campo escalar complejo bidimensional en la
representación de Heisenberg
Fulgencio Villegas Silva∗
Facultad de Ciencias Físicas, Universidad Nacional Mayor de San Marcos, A.P. 14-0149, Lima, Perú
Recibido 20 junio 2014 – Aceptado 08 julio 2014
Mostramos las ecuaciones de movimiento del operador de campo y momentum canónico que describen
el campo escalar complejo bidimensional, usándose para su representación el formalismo de Heisenberg.
Este análisis está basado en el lagrangiano del campo escalar complejo bidimensional invariante sobre la
simetría global SU(2) donde la matriz de transformación se expande en función de las matrices de Pauli y
se parametriza en función de los ángulos de Euler.
Palabras claves: Campo de Klein-Gordon, bosones, campo cuántico.
Dynamic of the complex two-dimensional scalar field operators in the Heisenberg representation
We show the motion equations of the field operator and canonical momentum that describe the complex
two-dimensional scalar field, using for it’s representation the Heisenberg formalism. This analysis is based
on the complex two-dimensional escalar field lagrangian which is invariant on the SU(2) global symmetry
where the transformation matrix is expanded in function of the Pauli matrices and is parameterized as a
function of the Euler angles.
Keywords: Klein-Gordon field, bosons, quantum field.
plejo de dos dimensiones, las ecuaciones dinámicas de sus
operadores.
La teoría cuántica de campos es una de las teorías más
fundamentales de la física, pues proporciona una metodología para estudiar los estados de energía de un sistema
de partículas y permite explicar e interpretar los autovalores de energía negativa, así como resolver el problema
de la causalidad relacionando la mecánica cuántica con la
relatividad especial [1].
En este contexto, el campo escalar complejo cumple
una función importante, al igual que el campo escalar real.
Gracias al campo escalar complejo podemos describir las
partículas como los piones cargados y los electrones. También nos permite desarrollar una estructura para un campo asociado a mesones complejos [2]. En la actualidad, se
usan campos escalares complejos para describir modelos
de expansión cosmológica, y en el ámbito de la física de
partículas es fundamental su contribución al estudio del
campo de klein-Gordon; existen propuestas teóricas para
extender el doblete del modelo estandard con un triplete
o con un singlete escalar complejo en el campo de Higgs,
proponiéndose así a una familia de bosones de Higgs [3].
Es un hecho que el estudio del campo escalar complejo
tiene consecuencias de mucho interés para la física.
En este trabajo calculamos, para el campo escalar com∗
El campo escalar complejo
Todo campo complejo está descrito por dos espacios
biunívocos independientes, el propio campo complejo φ y
su complejo conjugado φ∗ [4]. Un campo escalar complejo corresponde a un campo cargado, es decir, representa a
las partículas con carga q y a las antipartículas con carga
−q.
Se introduce un modelo de campo escalar complejo
invariante para el grupo U (1) representado por la función
densidad lagrangiana
L = ∂µ φ∂ µ φ∗ − V (φ) ,
2
∗
∗ 2
V (φ) = m φφ + λ(φφ )
(1)
(2)
donde m es la masa de la partícula cargada y λ es un
parámetro positivo.
La signatura de la métrica que usamos es (− + ++) y
consideramos el sistema de unidades ℏ = c = 1. Consideramos para el campo y su complejo conjugado un modelo
[email protected]
1
2
Rev. Inv. Fis. 17, 141701751 (2014)
de la forma
φ=
φ1 + iφ2
φ1 − iφ2
√
√
y φ∗ =
,
2
2
(3)
de tal manera que satisfagan la ecuación de Klein-Gordon.
Esta densidad lagrangiana, Ec.(1), es simétrica sobre
la transformación U(1) global
φ −→ φeiα
∗
(4)
∗ −iα
φ −→ φ e
(5)
.
Como α es una constante, entonces, el campo y su
derivada se transforman de la misma manera, es decir,
existe covariancia. Por lo tanto, para las transformaciones
infinitesimales tenemos que
δφ = −iαφ
1 µ
1
∂ φ1 ∂µ φ1 + ∂ µ φ2 ∂µ φ2 ,
2
2
1 2
∗
2
φ φ = (φ1 + φ2 ) ,
2
∂ µ φ∗ ∂µ φ =
∗
H=
Las variables canónicas φa y los conjugados canónicos
cumplen las tres relaciones de conmutación
y para el caso de las derivadas
∗
(8)
∗
δ(∂µ φ ) = −iα(∂µ φ ) .
(9)
La correspondiente corriente de Noether esta definida
por [5]
Jµ =
∂L δφ∗
∂L δφ
+
∂(∂ µ φ) δα
∂(∂ µ φ∗ ) δα
Jµ = ∂µ φ∗ iφ − ∂µ φiφ∗
[φa (~x, t), Πb (~
y , t)] = iδab δ 3 (~x − ~
y) ,
(19)
[φa (~x, t), φb (~
y , t)] = 0 ,
(20)
[Πa (~x, t), Πb (~
y , t)] = 0 .
(21)
El campo escalar complejo con dos componentes
Consideramos dos campos escalares complejos φ1 y φ2
cuyas densidades lagrangianas están dadas por
1 µ
(∂ φ1 ∂µ φ∗1 −
2
1
L = (∂ µ φ2 ∂µ φ∗2 −
2
L=
(10)
Jµ = i[∂µ φ∗ φ − φ∗ ∂µ φ∗ ]
Jµ = 2Im[φ∗ ∂µ φ] .
1 2
1
m (φa )2 − λ(φa φa )2
2
4
1 2
Ω (φa )2
2 (φ)
∂L
= φ̇a .
∂ φ̇a
L=
1 µ
m2
(∂ φa(x) )(∂µ φa(x) )∗ −
φa(x) φ∗a(x)
2
2
con a = 1, 2. Esta densidad lagrangiana es invariante sobre la simetría clásica global SU(2), por lo tanto, cumple
la relación de transformación
φa(x) −→ φ′a(x) = Aab φ(x)
(12)
donde A es una matriz unitaria 2 × 2. La matriz A la
expandimos en función de las matrices de Pauli (σj )ab
y la parametrizamos por medio de los ángulos de Euler:
φ, θ, ψ que son representados por θj con j = 1, 2, 3, de la
siguiente forma
(14)
(15)
(23)
Aab = [eiθj σj ]ab
(13)
Aab = [cos(iθ · σ) + i sen(iθ · σ)]ab
(24)
= [I cos θ + i(σ · n̂) sen θ]ab
Por definición de la densidad hamiltoniana tenemos que
H = Πa φ̇a − L
1
1
1
H = (Πa )2 + (∇φa )2 + Ω2(φ) (φa )2
2
2
2
(22)
(11)
donde Ω(φ) = m2 + 12 λ(φa )2 .
Sea Πa la variable canónica conjugada de φa , entonces
se cumple que [6]
Πa =
m2
φ1 φ∗1 ) ,
2
m2
φ2 φ∗2 ) ,
2
las cuales las expresamos en forma compacta como
La cuantización del campo escalar complejo puede realizarse usando las reglas de la cuantización canónica, para
ello usamos la relación (3) donde φ1 y φ2 son los campos
escalares reales, en términos de estos campos escalares
reales la densidad lagrangiana se escribe como
1
L = − (∂µ φa )2 −
2
1
L = − (∂µ φa )2 −
2
(17)
1 2
[Π + Π22 + (∂i φ1 )2 + (∂i φ2 )2 + m2 φ21 + m2 φ22 ]
2 1
1
+ λ(φ21 + φ22 )2 . (18)
4
(7)
δ(∂µ φ) = iα(∂µ φ)
(16)
entonces la densidad hamiltoniana, Ec.(15), toma la forma
(6)
δφ = iαφ
∗
Esta densidad hamiltoniana también se reescribe en forma explícita como una función de φ1 y φ2 considerando,
previamente, las siguientes relaciones
con n̂ =
~
θ
~ ,
|θ|
obteniendo
Aab = cos(|~
θ|)δab + in̂~σab sen |~
θ| .
(25)
Rev. Inv. Fis. 17, 141701751 (2014)
3
Los momentos canónicos se expresan como
∂L
1
∂L
= φ̇∗a
=
a
2
∂( ∂φ
)
∂
φ̇
a
∂t
∂L
1
∂L
= φ̇a
=
Π∗a =
∂φ∗
2
∂ φ̇∗a
∂( ∂ta )
Πa =
Derivando la expresión anterior con respecto al tiempo
obtenemos [7]
(26)
dfˆ(t)
= −i[fˆ(t) , Ĥ] ,
dt
(27)
y para calcular la densidad hamiltoniana usamos la relación (14), obteniéndose
considerando para nuestro caso fˆ(t) → φ̂a(x) obtenemos
la ecuación dinámica para φ̂a(x) como
2
H=
1 ∗
1
m
φ̇ φ̇a + |▽φa |2 +
|φa |2 ,
2 a
2
2
(28)
y promoviendo los campos a operadores obtenemos
Z
m2 †
1
1
φ̂ φ̂a ]d3 x . (29)
Ĥ = [ Π̂†a Π̂a + ∇φ̂†a ∇φ̂a +
2
2
2 a
Para calcular el cuadrimomento o momentum generalizado usamos la definición dada por
Z
Pµ =
T 0µ d3 x ,
(30)
V
donde T
luego
0µ
Pµ =
es la densidad de flujo de energía y momento,
Z V
Pµ =
1
2
Z
∂L k
∂L k ∗
∂ φ a d3 x ,
∂ φa +
∂ φ̇∗a
∂ φ̇a
(31)
(Π∗a ∂ k φa + Πa ∂ k φ∗a )d3 x .
(32)
V
La carga generalizada viene dada por
Z
Z
k
k
Qk = J0k d3 x = i (Πa σab
φb − Π†b σab
φ†a )d3 x , (33)
(38)
d
φ̂a(x) = −i[φ̂a(x) , Ĥ] ,
dt
Z
d
1
φ̂a(x) = −i [φ̂a(x) , Π̂†b(y) Π̂b(y) +
dt
2
1
m2 †
∇φ̂†b(y) ∇φ̂b(y) +
φ̂
φ̂b(y) ]d3 y ,
2
2 b(y)
(39)
Z
i
d
[φ̂a(x) , Π̂†b(y) Π̂b(y) ]d3 y ,
φ̂a(x) = −
dt
2
1
d
φ̂a(x) = Π†a(x) .
dt
2
(40)
La ecuación dinámica para el momentum canónico se
determina mediante
Z d
1 †
Π̂a(x) = −i
Π̂
Π̂b(y)
Π̂a(x) ,
dt
2 b(y)
m2 †
1
φ̂b(y) φ̂b(y)
d3 y ,
+ ∇φ̂†b(y) ∇φ̂b(y) +
2
2
Z
i
h
d
i
Π̂a(x) = −
▽y φ̂†b(y) Π̂a(x) , ▽y φ̂b(y) +
dt
2
h
i
2 †
m φ̂b(y) Π̂a(x) , φ̂b(y) ,
1
d
Π̂a(x) = (▽2 − m2 )φ̂†a .
dt
2
(41)
donde
k
k
Jµk = i(∂µ φ∗a σab
φb − ∂µ φb σab
φ†b )
(34)
y promoviendo los campos a operadores se obtiene
Z
k
k
Q̂k = i (Π̂a σab
φ̂b − Π̂†b σab
φ̂†b )d3 x .
(35)
Combinando las ecuaciones dinámicas (37) y (38) obtenemos como resultado la ecuación de Klein-Gordon
(∂µ ∂ µ + m2 )φ̂†a(x) = 0 .
Usando la transformada de Fourier determinamos el
operador de campo y el momentum canónico como
La ecuación dinámica de los operadores
En la representación de Heisenberg la evolución temporal de un sistema se describe por operadores dependientes del tiempo y por la función de onda fija en el tiempo.
Se considera el operador de acción como
Ŝ = e
−iĤt
fˆ(t) = Ŝ
−1
fˆŜ .
φ̂a(x) =
(37)
Z
d3 x
p
âa(k) eiωt+ik·x +
2ω(k)
(2π)3
b̂†a(k) e−iωt−ik·x
y
(36)
donde Ĥ es el hamiltoniano del sistema. Se introduciendo
un operador dependiente del tiempo f(t) tal que
(42)
Π̂a(x) =
Z
d3 x
(2π)3
respectivamente.
r
ω(k) †
âa(k) e−iωt−ik·x −
2
b̂a(k) eiωt+ik·x
(43)
,
(44)
4
Rev. Inv. Fis. 17, 141701751 (2014)
√
La frecuencia ω(k) = k2 + m2 se puede determinar usando la ecuación de Klein-Gordon [8]. Usando la
ecuacion (35) calculamos la carga generalizada, la cual se
expresa por
Q̂k =
k
σab
2(2π)3
Z h
i
aˆ† a (k), âb (k) −
h
i
bˆ† a (k), b̂b (k) d3 x .
(45)
Referencias
[1] L. Ryder; Quantum Field theory, segunda edición, 127129, Cambridge University Press (1996).
[2] F. Takehisa; Symmetry and its Braking in Quantum
Field Theory, 192-193, Nova Science Publishers, New
York (2007).
[3] A. Datta; Physics of the Large Hadron Collider, 48-54,
Springer-Verlag, New York(2009).
[4] H. Goldstein; Classical Mechanics, tercera edición,
696-703, Addison-Wesley (2002).
Conclusiones
En la representación de Heisenberg es posible calcular las ecuaciones dinámicas de los operadores de campo y
momentum canónico para un campo escalar complejo bidimensional; la combinación de las ecuaciones dinámicas de
estos operadores cumplen con la ecuación de klein-Gordon.
El campo escalar complejo se expande en términos de
los modos de frecuencia positiva para las partículas y de
frecuencia negativa para las antipartículas.
[5] F. Mandl y G. Shaw, Quantum Field Theory, Wiley &
Sons, New York (1984).
[6] F. Low; Classical Field Theory, 281-331, Wiley-VCH,
Berlin (2004).
[7] M. Razavy; Heisenberg’s Quantum Mechanics, 39-44,
World Scientific, Singapore (2011).
[8] S. Weinberg; The Quantum Theory of Fields, 293-294,
Cambridge University Press, Cambridge (1995).
Estrategia para el estimado de los coeficientes de absorción y esparcimiento en
medios participantes unidimensionales
M. Berrocal Tito∗1 , R. F. Carita Montero1 , J. A. Bravo1 y A. J. da Silva Neto2
1
2
Departamento de Ing. Mecánica y Energía, Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, Brasil
Recibido 30 marzo 2014 – Aceptado 15 junio 2014
En este trabajo se presenta una estrategia para la estimación de los coeficientes de absorción y de dispersión
en medios participantes de una dimensión. Se considera medios con el coeficiente de absorción en el
intervalo [0.1-1.0] y el coeficiente de esparcimiento entre [0.1-1.0]. El problema directo fue resuelto con
los métodos de ordenadas discretas y diferencias finitas. Para resolver el problema inverso se presenta la
siguiente estrategia que consiste en (a) encontrar la estimativa del coeficiente de absorción considerando el
coeficiente de esparcimiento con un valor aproximado a 0.01, (b) se estima el coeficiente de esparcimiento
utilizando el valor de coeficiente de absorción ya calculado. La función error es definida como la diferencia
entre el valor medido por el detector y el calculado por el problema directo. El algoritmo usado para la
solución es minimizar la distancia de Bregman sujeto a la función error. La distancia de Bregman fue
construida con la función relacionada a la entropía de Havdra-Charvát.
Casos de prueba con ruido aleatorio hasta 2 % en los datos medidos son presentados. Con la finalidad de
encontrar la mejor estimativa adoptamos como criterio de comparación de los resultados el error porcentual
medio cuadrático.
Palabras claves: problema inverso, distancia de Bregman, transferencia de calor, entropía de HavdraCharvát.
Strategy for the estimation of the scattering and absorption coefficients in one-dimensional
participating media
In this work a strategy for the estimation of absorption and scattering coefficients in one-dimensional
participating media is presented. Media are considered with the absorption coefficient in the range [0.1
to 1.0] and the scattering coefficient between [0.1-1.0]. The direct problem was solved with the discrete
ordinates and finite difference methods. In order to solve the inverse problem the following strategy consists
of (a) find the absorption coefficient considering the scattering coefficient with an approximate value. 0.01,
(b) find the scattering coefficient value using the absorption coefficient estimated in (a). The error function
is defined as the difference between the measured value by the detector and the calculated by the direct
problem. The algorithm used for the solution is to minimize the Bregman distance subject to the error
function. Bregman distance was constructed with a related function to the entropy of Havdra-Charvát.
Cases random noise tests to 2 % in the measured data are presented. In order to find the best estimate we
adopt as a criterion for comparison of the relative standard quadratic error.
Keywords: inverse problem, Bregman distance, heat transfer, entropy Havdra - Charvát.
do, llevando a problemas lineales de solución numérica más
simple, pero que poseen aplicaciones tecnológicas relevantes. Dos ejemplos de esta simplificación son la tomografía
computadorizada (Computerized Tomography, CT) [1], y
la tomografía computadorizada por emisión de fotón único (Single Photon Emission Computerized Tomography,
Diferentes tipos de radiación, tales como partículas
neutras, cargadas y fotones han sido usados para a identificación de objetos en la industria, en ensayos no destructivos, así como en la medicina, para diagnóstico y terapia.
En muchas de las técnicas usadas para la reconstrucción
de imágenes, el esparcimiento en el medio no es considera∗
[email protected]
1
2
Rev. Inv. Fis. 17, 141701851 (2014)
SPECT), [2].
Para los casos en que el esparcimiento no puede ser
despreciado, tal como en la tomografía óptica infrarroja
(Near Infrared Optical Tomography, NIROT), el modelo de reconstrucción de la imagen es más complejo y es
no lineal. El análisis de la tomografía se encuentra en el
mismo contexto del transporte de partículas neutras en
los reactores nucleares y en la transferencia de calor por
radiación térmica en los medios participantes, donde los
fenómenos físicos relevantes como la absorción, emisión y
esparcimiento son modelados por la ecuación de transferencia radiativa [3]. Este trabajo es parte de un proyecto
para estimar los coeficientes de absorción y esparcimiento
en medios de 2 dimensiones (2D) a partir de la solución
unidimensional (1D). El método de ordenadas discretas
tiene como desventaja la presencia del efecto rayo, cuando es empleado en un medio 2D [4, 5]. El efecto rayo no
se presenta en una dimensión. Siendo este el motivo que
se propone la aproximación 1D al 2 D [6].
Considerando Iwe e Iee los flujos que ingresan por
los puntos de frontera del segmento xe , Figura 1, calculamos la intensidad Ie en el centro de cada segmento xe ,
mediante
∆x = xe+1 − xe
y
∆Il,e = Iel,e − Iwl,e .
(3)
µl está dentro de los intervalos −1 ≤ µl ≤ 1. Entonces
el valor positivo o negativo de µl describe 2 cuadrantes,
Figura 2, en los cuales la radiación puede ser propagada o
sufrir esparcimiento.
El Problema Directo
La ecuación de transporte de radiación en coordenadas
cartesianas para un medio unidimensional en régimen permanente, considerando simetría azimutal, sin dependencia
espectral, en un medio isotrópico y sin fuentes está dado
por
dIl (x)
µl
+ σt (x)Tl (x) = Ql (x) ,
(1)
dx
donde
Ql =
Lo
X
σ s (x)
wm Im (x) ,
4π
m=1
con l = 1, 2, ..., L0 ; 0 ≤ x ≤ L y −1 ≤ µ1 ≤ 1, además
Il (x) es la intensidad de la radiación, x es la variable espacial, µl es el coseno de la dirección de propagación con
el eje x (coseno del ángulo polar), σ s (x) es el coeficiente de esparcimiento, σ a ()x es el coeficiente de absorción,
σt (x) = σ a (a) + σ s (x) es el coeficiente de extinción total.
La discretización del dominio angular se realiza en lo
ángulos sólidos Ωl , donde l = 1, 2, ..., L0 , y wl es el peso
de la cuadratura asociada a la dirección l. El ángulo sólido
Ωl alrededor del eje x va ser representada por los cosenos
directores µl [3].
La Figura 1, presenta el problema físico a resolver en
una placa larga de espesor Lx . El dominio espacial es discretizado en E intervalos regulares ∆x, como se aprecia en
la Figura 1, la longitud del medio Lx es igual a Lx = E∆x.
Producto de la discretización cada segmento espacial va
ser identificado por un subíndice e. El centroide del segmento e (ver Figura 1) es determinado por
xe = (2e − 1)
∆x
.
2
Figura 1: Medio en una dimensión (arriba). Discretización del
dominio espacial en diferencias finitas (medio). Aproximación
por diferencias (abajo).
Aproximando las derivadas por diferencias finitas en la
ecuación (1) obtenemos
∆Il,e
+ σt,e Il,e = Ql,e ; l = 1, 2, ..., L0 ,
(4)
∆x
y reemplazando la ecuación (3) en la ecuación (4), obtenemos
Iel,e − Iwl,e
µ1
+ σt,e Il,e = Ql,e ; l = 1, 2, ..., L0 , (5)
∆x
el valor de la intensidad Il,e puede ser aproximado a
µ1
Il,e = γIel + (1 − γ)Iwl,e con γ = 0.5
(6)
multiplicando la ecuación (5) por γ ∆x, obtenemos
(2)
µl (γIel,e − γIwl,e ) + γ∆xσt,e Il,e = γ∆xQl,e
(7)
3
Rev. Inv. Fis. 17, 1417011851 (2014)
donde l = 1, 2, ..., L0 .
La intensidad Il,e puede viajar por dos cuadrantes, ver
Figura 2. El cuadrante I indica una marcha para el este,
con los cosenos directores µl > 0. El cuadrante II indica
una marcha para el oeste con µl < 0. La intensidad Il,e
para cada marcha es descrita a continuación.
cualquier intensidad medida de un detector qe posicionado
en un elemento e puede ser escrita como una función de
la forma
qe,medido = Fk (σ a , σ s ) .
(14)
El problema inverso
Sean los vectores σ a y σ s formado por coeficiente de
absorción y del coeficiente de esparcimiento en cada elemento de área, que son las incógnitas del sistema,
a
σ a = (σ1a , σ2a , . . . , σE
)
Figura 2: Cuadrantes descritos por los cosenos directores µl .
El cuadrante I, ocurre para µl > 0, la dirección de Il,e
está en la dirección de Iw, luego
reemplazando la ecuación 8 en la ecuación 7, se tiene
2µ1 Iwl,e + ∆xQl,e
,
=
2µl + σt,e ∆x
Il,e
(9)
donde l = 1, 2, ..., L0 y e = 1, 2, ..., E.
Considerando las condiciones de frontera entre los
elementos de área adyacentes. Si e < E tenemos que
Iwe+1 = Iee .
En el cuadrante II, sucede para µl < 0, la dirección de
Il,e está en la dirección de Ie, luego
Iwl,e = 2Il,e − Iel,e ,
(10)
reemplazando la ecuación 10 en la ecuación 7, se tiene
Il,e =
−2µl · Iel,e + ∆xQl,e
−2µl + ∆xσt,e
(11)
donde l = 1, 2, ..., L0 y e = E, E − 1, ..., 1; considerando las condiciones de frontera entre los elementos de área
adyacentes.
Si e > 1, tenemos
Iee−1 = Iwe .
(12)
Para determinar Ie necesitamos de Ql,e , observamos
que Ql,e depende de Il,e . Por lo que es necesario utilizar un
procedimiento iterativo para la obtención de una solución
aproximada para Il,e . Sea h un contador de iteraciones.
La ecuación 9 puede ser escrita como
h
Il,e
h
h−1
2µl Iwl,e
+ ∆xQl,e
=
,
2µl + σt,e ∆x
donde
h−1
Ql,e
=
L−0
X
m=1
σS,e
h−1
wm · Im,e
y l = 1, 2, ...L0 ,
4π
Siendo E el número de elementos o segmentos en que
esta particionado el medio. Las intensidades medidas exk
perimentalmente se denotan por qmed
con k = 1, . . . , K,
donde K es el número total de datos experimentales.
La función error Gk (σ a , σ s ), es definida como la difek
rencia entre qmed
y la intensidad calculada por el problema
directo, Fk (σ a , σ s ),
(8)
Iel,e = 2Il,e − Iwl,e ,
(13)
s
σ s = (σ1s , σ2s , . . . , σE
) . (15)
k
Gk (σ a , σ s ) = qmed
− Fk (σ a , σ s ) .
(16)
El método de máxima entropía está basado en la minimización de la distancia de Bregman D, restringida a la
función error,
mı́n D(σ, σ0 ) = G(σ)
(17)
siendo la distancia de Bregman [7] construida con una
función convexa η,
D(σ, σ0 ) = η(σ) − η(σ0 ) − h∇η(σ0 ), σ − σ0 i ,
(18)
con
E
X
∂η h∇η(σ0 ), σ − σ0 i =
(σe − σ0e ) ,
∂σe σ=σ0
e=1
siendo σ0 una información a priori de valor σ.
En este trabajo para la construcción de la distancia de
Bregman se va utilizar la función convexa relacionadas a
las entropías de Havdra-Charvát [8], definida por
ηr (σ) =
E
X
σe − σee
, con r > 0 .
1−r
e=1
(19)
Para cada valor de r se tiene un η diferente, por tanto una
distancia de Bregman diferente que puede ser usada en la
construcción del lagrangiano
Lr (σ, σo , λ) = D(σ, σ0 ) +
K
X
[λk Gk (σ)]
(20)
k=1
donde λk son los multiplicadores de Lagrange, donde
k = 1, . . . , K; observe que la Ec. 20 presenta como incógnita el vector σ formado por los σe donde e = 1, 2, . . . , E.
Lo que da un total de (E + K) incógnitas.
De las Ecs. 18, 19 y 20 obtenemos el lagrangiano
4
Rev. Inv. Fis. 17, 141701851 (2014)
#
" E
K
E
E
X
X
X
X
1
r−1
r
r
[λk Gk (σ)] .
(1 − rσ0e )(σe − σ0e ) +
(σ0e − σ0e ) −
(σe − σe ) −
Lr (σ, σ0 , λ) =
1 − r e=1
e=1
e=1
(21)
k=1
Si r → 1,
" 2E
X
#
K
X
σe
L1 (σ, σ0 , λ) = −
(σe − σ0e − σe ln
[λk Gk (σ)] ,
)+
σ0e
e=1
k=1
cuando r = 1, la función η coincide con la entropía de
Shannon [11].
Para el estimado de las incógnitas σ a y σ s debemos
resolver las Ecs. (21) o (22) según sea el caso, buscamos
el punto crítico del lagrangiano, es decir, buscamos el σ ,
que haga tender a cero el lagrangiano. Para eso, igualamos
a cero as derivadas del lagrangiano con respecto a todas
sus incógnitas,
∂
L(σ, σ0 , λ) = 0,
∂σe
e = 1, 2, . . . , E ,
∂
L(σ, σ0 , λ) = 0,
∂λk
k = 1, 2, . . . , K.
(24)
Nuestro objetivo es encontrar las mejores condiciones
como son el mejor r, los mejores valores iniciales y el mínimo número de detectores a ser empleado, para estimar el
coeficiente de esparcimiento considerando datos con ruido
aleatorio. En todos los casos se considera que la intensidad
de la fuente es igual a 1.
t
En la Fig. 3, los detectores qE
y q1t , miden los flujos
r
r
transmitidos y los detectores q1 y qE los flujos reflejados.
Las intensidades de los detectores son calculadas por las
ecuaciones
wl Iel,E µl ,
l=1,µl >0
q1r
=
L0
X
l=1,µl <0
wl Iwl,1 µl ,
l=1,µl >0
r
qE
=
Lo
X
l=1,µl <0
(26)
−wl Iel,E µl .
Figura 3: Geometría usada para la posición de los detectores
Resultados
L0
X
Lo
X
(23)
Las ecuaciones 23 y 24 ofrecen (E +K) ecuaciones, por lo
que ahora tenemos un sistema formado de (E + K) incógnitas y (E + K) ecuaciones; para resolver este sistema de
ecuaciones, fue escrito un código en MATLAB. Este m-file
hace uso de las herramientas encontradas en el Toolbox
de optimización del MATLAB. La minimización de este
sistema fue obtenida con los algoritmos Quasi-Newton y
busca lineal.
t
qE
=
q1t =
(22)
(25)
−wl Iwl,1 µl
Es muy importante considerar la forma de cómo los
datos, medidos en los detectores, van a ser empleados,
pues ellos también influyen en el error para la estimación
de σ a y σ s .
Existen dos modos para ello, el primero, para la estimación del coeficiente de absorción se consideran las medidas
t
de 4 detectores, los transmitidos q1t y qE
y los reflejados
r
q1r y qE
. Mientras que en el segundo modo, para la estimación del coeficiente de esparcimiento se consideran solo
r
las medidas de los detectores reflejados q1r y qE
.
Buscando un número que nos indique la calidad de las
estimaciones de las incógnitas, definimos el error porcentual medio
v
u E uX σe,exacto − σe,calculado 2
EP = 100 %t
(27)
σe,exacto
e=1
donde el subíndice e indica un elemento discretizado del
dominio y E el número total de segmentos.
La validación de nuestro programa fue realizada comparando nuestros resultados con los resultados publicados [9, 10]. La Tabla 1, muestra el proceso de comparación.
La tabla 2 presenta el conjunto de ángulos y pesos,
LSH S10 , que discretiza el espacio angular, empleado en
este trabajo. Se observa que el método empleado en este trabajo y el método de elementos finitos combinado
con el LSH S10 son los valores más próximos a los valores
exactos.
5
Rev. Inv. Fis. 17, 1417011851 (2014)
σt
Valores
exactos
Armónicos
esféricos Pl
Elementos Finitos
LSH S10
Diferencias Finitas
LSH S10
Diferencias Finitas
Gauss-Legendre S20
0.0
0.1
0.5
1.0
5.0
1.0000
0.9157
0.7040
0.5532
0.2077
1.0000
0.9302
0.7273
0.5714
0.2105
1.0000
0.9138
0.7027
0.5530
0.2076
1.0000
0.9138
0.7026
0.5529
0.2078
1.0000
0.9145
0.7026
0.5517
0.2070
Tabla 1: Valores calculados de qmed para el problema propuesto por Fiveland [10].
Punto
Número
Ordenadas
µl
Pesos
wl
Punto
Número
Ordenadas
µl
Pesos
wl
1
2
3
4
5
0.1372719
0.5046889
0.7004129
0.8523177
0.9809754
2.0122
2.1071
0.5990
1.1872
0.3778
6
7
8
9
10
-0.1372719
-0.5046889
-0.7004129
-0.8523177
-0.9809754
2.0122
2.1071
0.5990
1.1872
0.3778
Tabla 2: Puntos de colocación y peso de la cuadratura LSHS10 , L0 = 10.
La estimación del coeficiente de absorción empleando
la función
ηr (σe ) =
(σe − σer )
1−r
en la construcción de la distancia de Bregman se comienza
encontrando el mejor valor de r. El mejor r va a depender de la información de los valores iniciales, del ruido en
las medidas de los detectores y del número de detectores a
ser empleados. Después de muchas pruebas se observó que
σ a,s ∼ 10−6 proporcionan mejores resultados para minimizar el sistema de Ecs. (23) y (24), cuando no se tiene
conocimiento alguno de los valores de las incógnitas.
Figura 4: Error porcentual en la estimación de σa empleando
diferentes valores r. Datos exactos.
Aquí se presentan dos casos para encontrar el mejor r
para estimar el σ a y σ s .
En el primer caso, se obtiene el mejor r para la estimación de σ a considerando un valor de σ s conocido para un
medio homogéneo dado. Para el cual empleamos los cuatro detectores que se consideran en el primer modo con
valor un inicial σ a,0 = 10−6 .
La Fig. 4(a) presenta los errores porcentuales en la estimación del coeficiente de absorción, AC, iguales a 0.1,
0.2, . . . , 1.0, usando datos de los detectores del primer
modo y sin ruido aleatorio. En la Fig. 4(b) se tiene r entre
1 a 20. Obsérvase que r = 10 es un buen valor para ser
utilizado en la construcción de la distancia de Bregman.
En la Fig. 5(a) y 5(b) se observan los resultados de
los errores porcentuales en la estimación de los coeficientes de absorción empleando valores de r ∈ [0.0, 1.0] y
r ∈ [1.0, 10.0] con datos a los cuales se han adicionado
ruido aleatorio hasta el 2 %, respectivamente.
Figura 5: Error porcentual al estimar los coeficientes de absorción , σa , empleando (a) r = [0.1 − 1], y (b) r = [1 − 20], con
2 % de error en los datos.
El segundo caso es la estimación de σ s con el σ a conocido para un medio determinado, para encontrar el mejor
r se considera dos posiblidades, la primera ocurre cuando
σ s > 0.1, aquí se emplea los detectores reflejados en el
segundo modo y un valor de los coeficientes de esparcimiento inicial de σ s,0 = 10−6 . La Fig.6, presenta el error
6
porcentual en la estimación del coeficiente de esparcimiento (sc) en el intervalo de [0.1 − 1.0], empleando diferentes
valores de r que varían entre 1 y 20. En la Fig. 6(a) se
emplearon datos exactos y en la Fig. 6(b) se emplearon
datos con ruido aleatorio hasta de 2 %. En este caso, un
buen resultado se obtuvo con r = 6, para datos exactos y
con ruido aleatorio. La segunda posibilidad ocurre cuando
σ s ≤ 0.1, en la cual se emplean solo detectores reflejados
y un valor de los coeficientes de esparcimiento inicial de
σ s,o = 10−6 . La Fig. 7, presenta el error porcentual al
estimar el coeficiente de esparcimiento (sc) en el intervalo
de [0.01 − 0.1], empleando diferentes valores de r que varían entre 1 y 20. En la Fig. 7(a) se emplearon los datos
exactos y en la Fig. 7(b) se grafican los datos con ruido
aleatorio de hasta 2 %. En este caso un buen resultado
se obtuvo con r = 3 , para datos exactos y con ruido
aleatorio.
Rev. Inv. Fis. 17, 141701851 (2014)
reales experimentales estos algoritmos se vuelven inestables e inciertos como sucede en el caso que presentamos
a continuación.
En el experimento simulamos los datos exactos de cuatro detectores y realizamos las estimaciones para σ s > 0.1.
En la Fig. 8(a) y (b) mostramos que los errores porcentuales son muy pequeños considerando que los datos mostrados en la Fig. 8(b) son datos incluyendo un ruido aleatorio
menor a 0.5 %. Pero estos errores porcentuales son muy
superiores a los errores porcentuales obtenidos en la Fig.
7(b) con ruido aleatorio de hasta 2 %.
Figura 8: Error porcentual obtenido con cuatro detectores en
la estimación de σs < 0.1
Figura 6: Error porcentual en la estimación de σs > 0.1, con
diferentes valores de r.
Los errores porcentuales de los dos primeros casos para estimar σ a y σ s , se disminuye si utilizamos los σ a y σ s
obtenidos después de una corrida, como valores iniciales
para resolver nuevamente el sistema de ecuaciones dados
por la Ecs. (23) y (24), este proceso se repite de manera
iterativa tal como se describe a continuación.
Para la estimación de σ a y σ s , para un medio homogéneo, siendo ambos desconocidos procedemos a (1)
minimizar las Ecs. (23) y (24) para la estimación de σ a
empleando los datos de cuatro detectores y considerando
σ a,0 = 10−6 , σ s = 0.001, r = 10 y calculamos
σ̄ a =
E
X
σea /E ;
e=1
Figura 7: Error porcentual en la estimación de σs < 0.1, con
diferentes valores de r.
Ahora calculamos el parámetro r, cuando los valores
iniciales de σ a y de σ s están entre el 10 y 15 %. Comparando los EP de las estimaciones de σ a y σ s , obtenidas
variando los valores de r entre 0 y 20, encontramos que el
mejor r fue para r = 4.
En todo este proceso, el objetivo es determinar un algoritmo que nos proporcione una buena estimación de los
coeficientes de absorción y esparcimiento al emplear datos con ruido aleatorio que simulen las medidas reales. Es
posible encontrar los valores de r, que ofrecen muy buenos resultados cuando usamos datos exactos, sin embargo,
cuando le adicionamos ruido aleatorio o utilizamos datos
(2) minimizamos las Ecs. (23) y (24) para la estimación
de σ s empleando los datos de los detectores reflejados,
con σ s,0 = 10−6 , σ̄ a obtenido del proceso anterior, r = 6
y calculamos
E
X
σ̄ s =
σes /E ;
e=1
(3) minimizamos nuevamente las Ecs. (23) y (24) para la
estimación de σ a empleando los datos de los cuatro detectores, con σ a,0 = σ̄ a , σ̄ s obtenido del proceso anterior,
r = 4 y calculamos
σ̄ a =
E
X
σea /E ;
e=1
(4) minimizamos las Ecs. (23) y (24) para la estimación de
σ s empleando los datos de los detectores reflejados, con
7
Rev. Inv. Fis. 17, 1417011851 (2014)
σ s,0 = σ̄ s , con σ̄ a obtenido del paso anterior, con r = 4
y calculando
E
X
σes /E ;
σ̄ s =
calculamos los dos coeficientes de los medios 1 y 2
σ̄1a =
e=1
los procesos (3) y (4) se repiten iterativamente hasta obtener los errores porcentuales razonablemente bajos.
En la Fig. 9, se presenta los errores porcentuales de
los procesos 1 hasta el proceso 6, para el estimado de los
coeficientes σ s y σ s , cuando se añade un ruido aleatorio
de hasta 2 % en los datos de los detectores.
σ̄2a =
E2
X
e=E1 +1
E1
X
σea
,
E1
e=1
σea
;
E2 − E1
(2) minimizar las Ecs. (23) y (24) para la estimación de
σ s empleando los datos de los detectores reflejados con
σ s,0 = 10−6 , σ̄1a y σ̄2a obtenidos en proceso anterior, con
r = 6 y calculando
σ̄ s =
E2
X
σes /E ;
e=1
(3) minimizar las Ecs. (23) y (24) para la estimación
de σ a empleando los datos de todos los detectores con
σ a,0 = 10−6 , σ̄ s obtenido del paso anterior, r = 4 y calculando nuevamente
σ̄1a =
σ̄2a =
E2
X
e=E1 +1
E1
X
σea
,
E1
e=1
σea
;
E2 − E1
(4) minimizar las Ecs. (23) y (24) para la estimación de
σ s empleando los datos de los detectores reflejados con
σ s,0 = 10−6 , con σ̄1a y σ̄2a obtenidos en el proceso anterior, con r = 4 y luego calculamos
σ̄ s =
E2
X
σes /E
e=1
a partir de aquí los procesos (3) y (4) se repiten iterativamente hasta alcanzar un mínimo en los errores porcentuales. Para todos los procesos hemos considerando un
ruido aleatorio menor a 1 % añadidos a las medidas de los
detectores.
Figura 9: Errores porcentuales obtenidos en la estimación de
σa y σs , ambos obtenidos entre 0.1 − 1.0 usando datos con
ruido aleatorio menores de 2 %.
a
Finalmente, procedemos a estimar los coeficientes σ
y σ s para un medio formado por dos capas. El medio está
esquematizado en la Fig. 10, donde las dos capas tiene
una interface común y estimamos los coeficientes de absorción σ1a en el medio 1, σ2a en el medio 2 y el coeficiente
de esparcimiento σ s para ambos medios.
En este caso el procedimiento de cálculo iterativo de
la estimación de los coeficientes de absorción y esparcimiento consiste en (1) minimizar las Ecs. (23) y (24) para
la estimación de σ a empleando los datos de los cuatro detectores, con σ a,0 = 10−6 , con σ s = 0.09, con r = 10 y
Figura 10: Geometría para el cálculo de los coeficientes de dos
medios.
La Fig. 11(arriba), muestra los errores porcentuales
obtenidos al estimar los coeficientes de absorción y esparcimiento para 7 procesos de iteración. Se observa que los
errores porcentuales disminuyen. La Fig. 11(medio) representa los resultados obtenidos para el coeficiente de absorción y esparcimiento, variando el medio 2, entre [0.1-1.0],
el coeficiente de absorción en el medio 1 se mantiene en 0.3
y el coeficiente de esparcimiento en 0.5. La Fig. 11(abajo)
muestra los resultados en la estimación del coeficiente de
absorción obtenidos en 10 casos con ruido aleatorio hasta
8
de 1 %. La placa 1 tiene σ = 0.3 y la placa 2 σ a = 0.7,
en ambas placas σ s = 0.5.
Rev. Inv. Fis. 17, 141701851 (2014)
Conclusiones
El empleo de la distancia de Bregman construída con
la funcional relacionada a la entropía de Havdra-Charvát
proporciona un conjunto de resultados para cada parámetro de r. Encontramos que, cuando no se tiene un conocimiento previo de los valores a ser estimados, un valor
óptimo para la estimación de del coeficinte de absorción
es r = 10 y para la estimación del coeficiente de esparcimiento, r = 6. Usando en ambos casos como valor inicial
del coeficiente respectivo 10−6 .
En el caso que se tenga un conocimiento previo de los
posibles valores de σ a y σ s , el valor óptimo del parámetro
r para la estimacións de los coeficientes de absorción y esparcimiento es r = 4. Esta información es empleada como
estrategia y descrita en los procesos de iteración descritos en la sección anterior. Los procesos iterativos 1-4 son
los más importantes y la repetición de los procesos 3 y 4
ayuda a mejorar nuestras estimaciones.
En un trabajo futuro pretendemos expandir el problema unidimensional para la estimación de σ a y σ s en un
medio bidimensional.
Agradecimientos
Figura 11: Resultados con ruido aleatorio hasta el 1 %.
Referencias
[1] G. T. Herman, Image Reconstruction from Projections: The Fundamentals of Computerized Tomography, Academic Press (1980).
M. J. Berrocal Tito y R. F. Carita Montero agradecen
al profesor N. C. Roberty por las discusiones acerca del
presente trabajo.
[6] M. J. Berrocal Tito, N. C. Roberty, A. J. Silva Neto, J.
B. Cabrejos; Anais V EMC 2002, pp. 284-294 (2002).
[7] L. M. Bregman, USSR Comp. and Math. Phys. J. 7,
200 (1967).
[2] F. Natterer y F. Wubbeling, Mathematical Methods
Image reconstruction, segunda edición, SIAM, Philadelphia (2001).
[8] J. Havdra y F. Charvat; Kybernetika 3, 30 (1967).
[3] F. M. Modest, Radioative Heat Transfer, McGraw-Hill,
Inc., New York (2013).
[9] S. Chandrasekhar, Radiative Transfer, Dover Publications, New York (1960).
[4] K. D. Lathrop, Nuclear Sci. and Eng. 32, 357 (1968).
[10] W. A. Fiveland, J. Heat transfer 109, 809 (1987).
[5] J. C. Chai, H. S. Lee y S. V. Pantakar; Numerical Heat
Transfer 24(B), 373 (1993).
[11] C. E. Shannon, Bell System Tech. J. 27, 379 (1948).
Pautas para los autores: http://www.rif-fisica.org
Título Título del artículo. En LATEX colocar:
15 Feb 09 & 6.0 & 6.1 & Sechura \\
\bottomrule
\end{tabular}
\captab{ ... . \label{tab1}}
\end{tab}
\title{Título del artículo}
Autores Colocar el nombre de cada autor tal como los identifica en su historial científico. En
LATEX colocar
Las figuras deben tener los captions respectivos que expliquen los pormenores o contexto
de las figuras. Por ejemplo
\author{1}{A. Legano}
\author{2}{Carlos Delgado}
Afiliaciones Instituciones a donde pertenecen los
autores. En LATEXcolocar
\affil{1}{Afiliación del primer autor}
\affil{2}{Afiliación del segundo autor}
Resumen Sea breve. En LATEX escribir del modo
siguiente:
\begin{document}
\maketitle
\begin{res}
Aquí va el resumen.
\clav{Palabras claves en español}
\end{res}
\tit{title in english}
\begin{abst}
The abstract stay here.
\key{The keywords here}
\end{abst}
Aquí comienza el tenor del artículo. Se sugiere usar el LATEX.
Introducción Escriba la introducción del artículo aquí. Se expone el estado del arte de los
antecedentes de la investigación realizada y
se cita la literatura más relevante en el área
de su trabajo.
Teoría o experimento Se describe la teoría utilizada o el procedimiento experimental realizado.
Resultados y análisis Se muestran los resultados teóricos, numéricos o experimentales.
Las tablas deben poseer los captions que describan los datos o el contexto de las tablas.
En LATEXescriba así
\begin{tab}
\begin{tabular}{lrrl}
\toprule
Fecha & NEIC & P.T. & Lugar \\
\midrule
02 Feb 09 & 6.0 & 5.8 & Pisco \\
% figura 1
\begin{fig}
\includegraphics[scale=0.45]{fig1.ps}
\capfig{ ... . \label{fig1}}
\end{fig}
Las figuras deben enviarse separadamente.
No incluir las figuras en el texto del artículo.
Se requiere que las figuras tengan una buena
resolución. Los formatos aceptados son Postscript, Encapsulated Postscript, PDF, svg.
Con alta resolución se aceptan los formatos
png, gif, jpeg, tiff, bmp.
Conclusiones Las conclusiones van aquí.
Agradecimientos Los agradecimientos por apoyo financiero, becas y contratos van aquí.
Se puede individualizar los agradecimientos
usando las iniciales de los nombres de los autores.
Referencias Las citas de la literatura deben indicarse en números arábigos encerrados entre
corchetes. Si usa el LATEX colocar de la forma
siguiente:
\begin{thebibliography}{5}
\bibitem{1} J.D. Mac Brayer, R.M. Swanson
y T.W. Sigmon; J. Electrochem.
Soc. \textbf{133}, 1242 (1986).
\bibitem{2} S. Das Sarma, G. Gervais y
Xiaoqing Zhou; arxiv:cond-mat 1007.1688.
\bibitem{3} Feng Duan y Jin Guojun;
Introduction to Condensed Matter
Physics; World Scientific, Singapore (2005).
\end{thebibliography}
Las referencias de artículos se presentan por
los nombres de los autores, iniciales de primeros nombres y apellido(s), el acrónimo de
la revista, volumen en negrita, página inicial
o código del artículo y el año entre paréntesis. Las referencias de libros son por autores
(nombres y apellido(s)), título del libro en
cursiva, páginas o volumen (si el autor considera necesario), editorial, ciudad (año). Las
tesis se deben referenciar como libros, donde
la editorial es la universidad.
Volumen 17
2014
Número 1
Materia condensada
Sistemas cristalinos bidimensionales. Two dimensional crystalline systems;
D. I. Arrieta, Y. E. Huamán, M. C. Gutiérrez, R. A. Montalvo y P. H. Rivera 141701101
Composition and thickness of gold and silver nose decorations from the tomb
of the Lady of Cao determined by combining EDXRF-analysis and X-ray
transmission measurements. Composición y espesor de las decoraciones nasales de oro y plata provenientes de la tumba de la Dama de Cao determinados por la combinación del análisis EDXRF y las medidas de transmisión
de rayos X ;
R. Cesáreo, G. Gigante, J. Fabián, S. Zambrano, R. Franco, A. Fernández y
A. Bustamante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141701102
Física de suelos
Análisis mineralógico de la fracción arcilla de suelos tropicales del Perú por
difractometría de rayos X y espectroscopia Mössbauer. Mineralogical analysis
of the clay fraction of tropical soils from Peru by X-ray diffractometry and
Mössbauer spectroscopy ;
Mirian E. Mejia y Jorge A. Bravo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141701401
Dinámica de fluidos
Diseño aerodinámico de un túnel de viento de bajas velocidades. Aerodynamical design of a low velocities wind tunnel ;
C. A. Quispe Gonzáles, W. J. Urcuhuaranga Esteban y J. E. Chiroque Baldera 141701601
Enseñanza de la física
Dinámica de los operadores de un campo escalar complejo bidimensional en
la representación de Heisenberg. Dynamic of the complex two-dimensional
scalar field operators in the Heisenberg representation;
Fulgencio Villegas Silva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141701751
Física computacional
Estrategia para el estimado de los coeficientes de absorción y esparcimiento
en medios participantes unidimensionales. Strategy for the estimation of the
scattering and absorption coefficients in one-dimensional participating media;
M. Berrocal Tito, R. F. Carita Montero, J. A. Bravo y A. J. Silva Neto . . . 141701851

Revista de Investigación de Física

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