AMORTIZACION DE PRESTAMOS POR SISTEMA ALEMAN

AMORTIZACION DE PRESTAMOS POR SISTEMA ALEMAN

Título del trabajo:
AMORTIZACION DE PRESTAMOS POR SISTEMA DE
CUOTAS VARIABLES EN PROGRESION GEOMÉTRICA:
UN SISTEMA DE AMORTIZACIÓN PARA AMERICA LATINA
Autor:
CASALEGNO, CLAUDIO ANDRES
[email protected]
Facultad de Ciencias
Económicas y Estadística
Año 2016
Resumen:
El presente material expone la deducción algebraica de un sistema de amortización de
cuotas variables en progresión geométrica. La creación de nuevo conocimiento científico,
el plus que se añade por medio de este texto al campo del saber financiero, no es en
esencia la determinación de cálculo de estas cuotas o de su respectivo valor actual, ya
que la literatura financiera desde hace ya muchos años se encuentra ampliamente
familiarizada con este tipo de rentas. Lo que se expone como conocimiento nuevo es la
sistematización de los cálculos de las variables que intervienen en la evolución de este
tipo de operaciones, una metodología particular tendiente a simplificar su puntual
determinación. Por otra parte, se hace hincapié en la utilidad que presenta dicha
variabilidad de cuotas en este tipo de operaciones, como así también su sistematización,
a la hora de ser utilizada como herramienta de planificación financiera. Particularmente
se toma el caso de América Latina, con sus cuestiones de tipo estructural, como lo son
la escasez de capital, la falta de innovaciones tecnológicas y su acentuada dependencia
de inversiones extranjeras, explicando que este tipo de sistema resulta ser muy útil dada
su adaptabilidad a las tendencias o fases de los ciclos económicos, utilizándose en
épocas de expansión económica cuotas crecientes, tomando como fundamento las tan
mentadas cuestiones de apalancamiento, cuotas constantes en épocas de estabilidad y
cuotas decrecientes en períodos de contracción. Para finalizar y dar comprobación a los
desarrollos y fórmulas expuestas, se presenta un ejemplo numérico, un caso hipotético
de aplicación a las explotaciones vitivinícolas del noroeste argentino.
AMORTIZACION DE PRESTAMOS POR SISTEMA DE CUOTAS VARIABLES EN
PROGRESION GEOMÉTRICA:
UN SISTEMA DE AMORTIZACIÓN PARA AMERICA LATINA
Introducción: El Contexto Latinoamericano
Las economías latinoamericanas, a lo largo de toda su historia, no solo han demostrado
una marcada diversidad en lo que a aspectos políticos, geográficos, sociales, culturales
y demográficos respecta, sino también a lo que a decisiones de política económica se
refiere. Notoriamente Latinoamérica es una región tan diversa como inestable, bastará
con hacer un breve recorrido por su historia económica e institucional para comprobar la
veracidad de esta afirmación.
Durante los últimos años, en esta región, hemos podido observar que dicha inestabilidad
fue atemperada, en cierto modo, gracias a lo que desde siempre ha sido su principal y
fundamental fuente de ingresos y divisas: la exportación de commodities y materias
primas, mercancías que por cuestiones coyunturales experimentaron un incremento
temporal en sus cotizaciones, en muchos casos llegando a sus máximos niveles
históricos. Esta situación sin dudas reconoce su origen en el crecimiento conjunto de
todas las economías del sudeste asiático, fundamentalmente en el de China, principal
socio económico de esta región desde hace ya un par de décadas, propiciándose una
situación coyuntural de bonanza económica para la región.
Ahora bien, en la actualidad, dicha situación coyuntural ha perdido su vigencia. Se ha
demostrado que el modelo de crecimiento propuesto, basado en un alto nivel de consumo
interno y en el elevado precio de commodities y materias primas, tenía fecha de
vencimiento y ya no será capaz de seguir funcionando, tal como lo hizo durante años. Y
es aquí donde la “Teoría Del Subdesarrollo Y El Deterioro De Los Términos De
Intercambio” de Raúl Presbich se hace presente otra vez.
El grave problema que se presenta en la región es que nuestros países han seguido
sosteniendo a la agricultura tradicional como el principal motor del crecimiento
económico sin haber llevado a cabo un programa sustantivo de reemplazo de su fuente
genuina de divisas: una industrialización integrada y coordinada. Y es aquí en donde
el crecimiento económico latinoamericano muestra con un singular realismo los efectos
de la crisis económica mundial. La actualidad, con la disminución en el precio de las
materias primas y los commodities, trae aparejada una disminución de nuestro
crecimiento, niveles de inversión y empleo. Y es aquí donde la falta de industrialización y
de proyectos alternativos, que hubiesen aprovechado los recursos de la bonanza
económica para generar una industria capaz de sustentar el crecimiento futuro, se vuelve
notoria.
Otro problema de antaño que afecta nuestras economías es el flagelo de la inflación. A
lo largo de toda nuestra historia se puede observar una tendencia alcista en los precios
promedios de casi todos los bienes, cuya persistencia no es otra cosa que el fiel reflejo
de políticas macroeconómicas insuficientes, tendientes a abordar con efectividad el
comercio y la inversión internacional. El crecimiento deliberado de la base monetaria, las
fugas de capitales, la disminución en los niveles de reservas, la falta de inversión, se
traducirá en un ritmo de expansión perfectamente correlacionado de la inflación, que a
su vez empeorará el problema ya existente en las tasas negativas de interés, los escasos
niveles de ahorro y la licuación del poder adquisitivo de los mismos, perjudicando la
inversión, generando una mayor dependencia de capitales extranjeros y un sinnúmero
de desequilibrios que la economía va a terminar ajustando tarde o temprano. Este es sin
dudas nuestro pasado y presente, nuestra historia pendular.
IMPLICANCIAS DE ESTE NUEVO SISTEMA DE AMORTIZACIÓN
Creemos, con toda seguridad, que la realidad económica latinoamericana exige la
existencia de un sistema de amortizaron superador, capaz de brindar mayores
respuestas como herramienta de planificación financiera, dadas las diferentes
situaciones que presentan los vaivenes de las economías en esta parte del Globo, las
tendencias de los ciclos económicos, y demás problemas que agravan su situación por
cuestiones de tipo estructural.
Latinoamérica es una región extremadamente rica en lo que a factores productivos
respecta. Su abundancia de recursos naturales y de población en edad de trabajar, junto
a sus atractivos niveles de matriculación técnica y universitaria, la convierten en una tierra
de oportunidades para un sinnúmero de proyectos. Su deficiencia radica en la escasez
de capital y en nuevas tecnologías destinadas a aumentar la productividad de las
explotaciones económicas ya existentes y a financiar la creación de otras tantas. Es aquí
donde la “Teoría De Las Fases Del Crecimiento Económico” resulta ser nuestra
brújula, nuestra cruz del sur, en nuestra implacable búsqueda por alcanzar el camino del
crecimiento y desarrollo de nuestra región, proponiendo la acumulación acelerada de
capital a través de la utilización del ahorro doméstico e internacional. Por otra parte, la
escasez del factor capital a la que hemos hecho mención se relaciona directamente con
la “Teoría De La Madurez Económica”, la cual afirma que el capital como factor
productivo tiene una menor productividad cuanto mayor abundancia exista del mismo,
propio de la tan mentada “Ley De Los Rendimientos Decrecientes”, por lo que en las
economías emergentes, como es el caso de América Latina, el rendimiento del capital,
la utilidad marginal del último peso invertido, tiende a ser más elevado que en otras
economías del mundo. En otras palabras, la escasez de capital trae aparejado que la
utilidad marginal del último peso invertido sea mayor que en aquellos países en donde
existe abundancia de este factor, por lo que en las etapas de crecimiento de los ciclos
económicos, la evidencia indica que las inversiones en esta región generan altas tasas
de rentabilidad, resultando la financiación de nuevas empresas y de proyectos de
expansión por demás de exitosas. En este sentido, el concepto de apalancamiento
asume un papel trascendental.
Queda más que evidenciada la necesidad de financiamiento que poseen las inversiones
productivas en nuestra región, por lo que resulta imprescindible reunir los recursos
económicos necesarios para tales fines. Un problema aún sin solución es la falta de
confianza en las autoridades políticas y monetarias. El presente trabajo no pretende, ni
puede pretender, resolver esa cuestión. Nos limitaremos sólo a proponer un sistema de
amortización alternativo, que permita anticipar cobros como medida paliativa en
situaciones de incertidumbre, mantener cuotas constantes en situaciones de estabilidad;
o postergar el pago de obligaciones en situaciones de expansión, siempre dependiendo
de las distintas fases del ciclo económico que se este atravesando, persiguiendo como
máximo fin el reducir la incertidumbre y mejorar la captación de capital destinado al
financiamiento de inversiones productivas.
A modo de ejemplo, sabemos que en las fases de crecimiento del ciclo económico resulta
útil, por cuestiones de apalancamiento, postergar el pago de obligaciones a momentos
futuros, permitiendo a un empresa capitalizarse y expandirse, aprovechando
rentabilidades superiores a su costo de capital. En este sistema de amortización, que
permitiría planificar cuotas crecientes, constantes o decrecientes en progresión
geométrica, encontramos aplicación en los momentos iniciales de la vida de una
empresa, cuando la misma necesita capitalizarse, por lo que si el contexto económico así
lo justificare, en los casos de tomar fondos puede postergar el pago de grandes sumas a
momentos futuros, precisamente por las tan mentadas cuestiones de apalancamiento a
las que hemos hecho mención, pagando al principio una cuota mas pequeña y creciente.
El problema puede presentarse en el crecimiento exponencial de las cuotas. El mismo
problema de crecimiento lo presentan las tradicionales rentas de cuotas constantes
diferidas. La cuestión radica en que ese crecimiento sea cuidadosamente controlado a la
hora de planificar dicha operación. Bastará con mantener los valores de la razón dentro
de ciertos límites razonables.
Un destacado profesor de la cátedra de Costos de nuestra facultad, a quien no podríamos
dejar de hacer alusión en nuestro trabajo, enseñaba que el método de las amortizaciones
progresivas, en temas estrictamente contables, era muy útil en las etapas iniciales de la
vida de una empresa ya que el mismo permitía postergar dichas imputaciones a períodos
futuros para no castigar a los ejercicios presentes con amortizaciones excesivamente
grandes para el nivel de actividad. Encontramos en esta afirmación cierta analogía.
Cuando la razón de la progresión que vincula a cada cuota sea igual a uno (q=1) se
anularán ciertas variables y términos, coincidiendo las fórmulas de este sistema con las
del Sistema Francés, constituyendo de este modo, este último, un caso particular de
nuestro sistema. En situaciones de incertidumbre, cuando una institución financiera,
empresa u otro organismo de crédito desee cobrar lo más rápido posible, una cuota
decreciente en progresión geométrica puede resultar aún más útil que el propio Sistema
Alemán.
AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS POR SISTEMA DE CUOTAS VARIABLES EN
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Este Sistema Latinoamericano, como lo hemos denominado, al igual que los tradicionales
sistemas de amortización, se caracteriza por ser un conjunto de herramientas de cálculo
integradas, tendientes a sentar las bases metodológicas a utilizar al momento de
planificar la cancelación o pago de una deuda, siempre respetando los 2 principios
fundamentales sobre los que se sustenta toda la disciplina financiera:
•
•
El principio del Valor-Tiempo del dinero;
El principio de Equidad Financiera.
Posee, además, una particularidad que lo caracteriza: La forma de cálculo de sus cuotas,
variables en progresión geométrica, por lo que sus amortizaciones e intereses periódicos
variarán dependiendo del valor que asuma dicha razón.
Sin mayores preámbulos procederemos a su determinación.
CUOTA DE UN PERÍODO CUALQUIERA (CK)
Tal como sabemos, las cuotas serán variables en progresión geométrica, distintas en
todos los períodos, siempre que la razón que las vincula sea distinta de uno. Cuando la
misma asuma dicho valor, cada una de las fórmulas de este sistema de amortización
presentará una anulación en sus variables, coincidiendo con las fórmulas propias del
Sistema De Cuotas Constantes, convirtiéndose de esta manera el Sistema Francés en
un caso particular de nuestro Sistema.
VALOR ACTUAL DE LA RENTA (VV)
(Formula Conocida)
AMORTIZACIÓN DE UN PERÍODO CUALQUIERA ( tK )
Determinación De La Amortización Del Período 1: ( t )
Determinación De La Amortización Del Período 2: ( t2 )
Determinación De La Amortización Del Período 3: ( t3 )
Determinación De La Amortización Del Período 4: ( t4 )
Determinación De La Amortización Del Período 5: ( t5 )
Distribuyendo
Determinación De La Amortización Del Período 6: ( t6 )
Podemos apreciar que en cada una de las amortizaciones, la cantidad de términos se
corresponde al número de período del que se trate, por lo que también evidenciamos que las
mismas siguen un comportamiento de patrones, que determina reiteradas progresiones
geométricas en sus variables. Por cuestiones de síntesis expositiva, procederemos a
determinar t6 mediante este seguimiento de patrones, aceptando tal formula como válida,
para luego generalizar. Siguiendo el mismo razonamiento podríamos demostrar que:
Hemos determinado una a una las amortizaciones hasta t6 para evidenciar el patrón que
siguen cada uno de los términos que las componen. Podemos repetir el mismo
procedimiento de cálculo con cada amortización y por generalización llegaremos siempre a
la siguiente expresión
Amortización De Un Período Cualquiera En Función De La Amortización Del Período
Anterior
En función de los resultados obtenidos en páginas anteriores podemos afirmar que:
Aplicando el método de reducción, restamos ambas expresiones y simplificamos
Verificando lo anterior
Interés de un período cualquiera ( Ik )
Nótese que cuando la razón de la progresión q=1 la forma de determinación
de las amortizaciones es igual a la del sistema de cuotas constantes
A medida que la deuda se vaya cancelando en forma periódica, los intereses calculados
sobre los saldos de la misma serán variables y decrecientes, no obstante podrá ocurrir,
cuando la cuota sea creciente, que los valores de la misma sean inferiores a los
intereses periódicos adeudados, por lo que en esos casos se presentará lo que hemos
denominado “El fenómeno de las
Amortizaciones negativas”. En estos casos se dará una particularidad: los intereses
presentarán un comportamiento creciente durante un cierto tramo de la operación, al
igual que el saldo de la deuda subsistente.
Este fenómeno dependerá, en todos los casos, del valor que asuma la razón, la tasa de
interés y el plazo de la operación, ya que como veremos en las páginas siguientes, deberán
coincidir estos tres aspectos para que este fenómeno pueda darse.
Total Amortizado después de k pagos ( Tk )
El total amortizado, tal como sabemos, se compone de la suma de todas las
amortizaciones pagadas hasta un momento determinado. Matemáticamente se expresa
de la siguiente manera:
El desarrollo de esta expresión requiere de un procedimiento medianamente extenso,
que por cuestiones de espacio no podemos incluir en el presente trabajo. Abordaremos
el tratamiento de dicho tema recurriendo a un camino alternativo de menor extensión.
Esto será mediante generalización. Para ello comenzaremos determinando el total
amortizado después del sexto pago.
A saber:
Aclaración: El método utilizado en la siguiente página a los fines de realizar la
sumatoria de cada uno de los términos de las respectivas amortizaciones tiene por
objeto evitar la desagregación y agrupación de los mismos mediante la propiedad
distributiva del producto, las reglas de potenciación y la teoría de series numéricas,
por lo que al evidenciarse la relación que guardan los mismos se evitan formalidades
en su cálculo a los fines de adecuarla a la extensión exigida que debe guardar el
presente material.
(
Podemos observar que, a excepción
del
primer término
de
la sexta
amortización, y del último término de
todas las amortizaciones, cada uno de los
términos de las mismas guarda la misma relación:
Cada término se obtiene mediante la sumatoria de los términos de las amortizaciones
anteriores en los que el valor de la razón esta elevado a la misma potencia, multiplicando
dicho valor por la tasa de interés (i), a excepción del último término, el cual se obtiene
multiplicando el último término de la amortización anterior por uno mas la tasa de interés
(1+i).
Tenemos, pues, que cada uno de los términos de la expresión determinada en (**), a excepción del último, se vincula directamente con el valor
de la razón de la progresión.
Podemos evidenciar que
cuando la misma asuma el
valor de uno (q=1) dichos
términos se igualaran a cero.
El único término no afectado
resultará ser precisamente el
último de cada amortización,
coincidiendo de esta manera
el total amortizado con la
fórmula determinada por la
doctrina financiera para el
Sistema De Cuotas Constantes. Continuando con nuestro desarrollo:
CASOS PARTICULARES
AMORTIZACIÓN DE UN PERÍODO CUALQUIERA:
Partiendo de la fórmula que hemos determinado:
Reemplazamos:
INTERÉS DE UN PERÍODO CUALQUIERA:
TOTAL AMORTIZADO DESPUÉS DE K PAGOS:
Partiendo de la fórmula que hemos
determinado:
Remplazamos:
AMORTIZACIÓN DE UN PERÍODO CUALQUIERA EN FUNCIÓN DE LA AMORTIZACIÓN DEL PERÍODO ANTERIOR:
Caso particular
AMORTIZACIÓN DE UN PERÍODO CUALQUIERA:
Aplicando
el
mismo
procedimiento anterior:
INTERÉS DE UN PERÍODO CUALQUIERA:
Remplazamos
TOTAL AMORTIZADO DESPUES DE K PAGOS:
AMORTIZACIÓN DE UN PERÍODO CUALQUIERA EN FUNCIÓN DE LA AMORTIZACIÓN DEL PERÍODO ANTERIOR:
PROPOSICIONES QUE AFIRMAN VERDADES DEMOSTRABLES
A continuación presentaremos una serie de proposiciones cuya veracidad ya ha sido comprobada. La determinación algebraica de
los mismos será presentada en trabajos posteriores a los fines de sintetizar su presente exposición:
Proposición Nº 1: “Siempre que q= (1+i), se presentara el “Fenómeno de Las Amortizaciones Negativas” cuando n > i-1+1”.
Proposición Nº 2: Siempre que q= (1+i) y n > i-1+1, el momento a partir del cual las amortizaciones pasen de ser negativas a positivas coincidirá
con el momento k= n - i-1.
El valor de la amortización en estos casos será siempre cero y esto es consecuencia de que en dicho momento los intereses generados por la
deuda serán exactamente iguales al valor de la cuota.
Proposición Nº 3: Sea q= (1+i); n > i-1+1, existirá un período k= n - i-1, tal que los intereses del período k y (k+1) serán iguales.
Proposición Nº 4: Siempre que q= (1+i) y n > 2.i-1+1, existirá un período k = n – (2.i-1+1) en el que la cuota de dicho período será igual a la
amortización multiplicada por -1.
Proposición Nº 5: Siempre que q= (1+i) y n > 2.i-1+1, existirá un período k = n – (2.i-1 +1) en el que la amortización de dicho período será igual
a la amortización del período siguiente.
Proposición Nº 6: Siempre que q= (1+i) y n > 2.i-1+2, existirá un período k = n – (2.i-1+1) en el que el Total Amortizado correspondiente a los
períodos (k-1), k y (k+1) presentará una variación en progresión aritmética, siendo el valor de dicha razón “r” coincidente con el valor asumido
por la amortización del período k.
Proposición Nº 7: Siempre que q= (1+i), n > 2.i-1+1, el período k = n – (2.i-1+1) determina el momento en el que el decrecimiento de las
amortizaciones llega a su máximo, es decir que las amortizaciones negativas alcanzan su valor mínimo.
Proposición Nº 8: Siempre que q= (1+i), n > 3.i-1, existirá un período k = n – (3.i-1+1) que determinará el momento en el que la diferencia entre
las amortizaciones negativas alcanzara su máximo valor, en este punto la función de amortización presentará un cambio en su concavidad.
Proposición Nº 9: Siempre que q= (1+i), n > 3.i-1+1, el período k = n – (3.i-1+1) determinará el momento en el que las amortizaciones
correspondientes a los períodos (k-1), k y (k+1) presenten una variación en progresión aritmética. La proposición anterior determina que este
es el período en el que la diferencia entre las amortizaciones negativas alcanzará su máximo valor, siendo esta máxima diferencia la razón “r”
de dicha progresión.
Aclaración: La resolución de estos Proposiciones requiere de una extensión no permitida en el presente material, al igual que todo el tratamiento
que requiere este importante “Fenómeno de las Amortizaciones Negativas”, por tal razón los mismos serán objeto de otros trabajos que
presentaremos en las Jornadas de los próximos años. No obstante abordaremos una de las demostraciones alternativas de la proposición
número 2:
Proposición Nº 2: “Siempre que q= (1+i) y n > i-1+1, el momento a partir del cual las amortizaciones pasen de ser negativas a positivas coincidirá
con el momento k= n - i-1.”
Para demostrar este Proposición procederemos a determinar en qué momento las amortizaciones de algunos períodos se igualan a cero para
luego llegar a una conclusión mediante generalización.
Igualamos a cero la Amortización del período 1:
Realizamos el mismo procedimiento con la amortización del período 2:
Simplificando y dividiendo el resultado obtenido por la tasa de interés:
Mismo procedimiento con la Amortización del período 3:
Haremos lo mismo pero ahora con la Amortización del período 5:
Generalizando
El estudio del presente Proposición, al igual que el de todos los demás, puede
abordarse desde diferentes ópticas. A modo de ejemplo, un análisis gráfico de la
función de Amortización de un período cualquiera (tk), nos lleva a observar , en la
Figura 1.1, como la intersección de la función, con el eje de las abscisas, se
corresponde al valor de K= n – i-1.
El punto donde la recta tangente a dicha función se hace plana, en donde
encontramos un mínimo absoluto, se corresponde al momento K= n – ( 2. i-1+1 ).
El momento en donde esta función presenta un punto de inflexión se corresponde al
momento K= n – ( 3.i-1+1 ).
La determinación algebraica de estas proposiciones será presentada en trabajos
posteriores. Quedarán muchas cuestiones por tratar a la espera de una próxima
publicación, las que por cuestión de síntesis no hemos podido exponer en el presente
material. En la disertación, y para finalizar, presentaremos un breve ejemplo
numérico a los fines de dar comprobación a las fórmulas hasta aquí expuestas.