2° AÑO DE BACHILLERATO PRAEM 2013

Transcripción

MINISTERIO DE EDUCACIÓN
DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN
GERENCIA DE SEGUIMIENTO A LA CALIDAD
DEPARTAMENTO DE EVALUACIÓN DE LOS APRENDIZAJES
PROYECTO DE REFUERZO ACADÉMICO
PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN
MEDIA
JUSTIFICACIÓN DE LAS
OPCIONES DE RESPUESTA DE LA
PRIMERA PRUEBA DE AVANCE
DE MATEMÁTICA
2° AÑO DE
BACHILLERATO
PRAEM 2013
Número de ítem: 1
Enunciado:
Selecciona el término general (o término n-ésimo) que corresponde a la
sucesión: 17, 15, 13,…
Opciones de respuesta:
A. 17-2n
B. 15-2n
C. 15+2n
D. 19-2n
Respuesta Correcta: D
Determina tanto el valor de la diferencia
𝒅 = −𝟐
como el producto de d(n-1)
correctamente. Y si conoce y aplica correctamente 𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + 𝒏 − 𝟏 𝒅.
Justificación de las opciones. Posibles causas por la que los estudiantes
seleccionaron una opción equivocada.
A. Al utilizar la fórmula y calcular el producto (n-1)d olvida multiplicar “d" por -1.
B. Calculó correctamente el valor de la diferencia, d; sin embargo, en el producto de
(n-1)d aplica incorrectamente la ley de los signos, -2(-1) = -2.
C. Invierte la manera de calcular el valor de “d”; es decir, 17 – 15, 15 –13.
Indicador de logro: 1.5 Calcula, con seguridad, el n-ésimo término de una sucesión
aritmética.
Justificación de las Opciones de Respuesta de la Primera Prueba de Avance de Matemática
Segundo Año de Bachillerato (PRAEM 2013)
2
Número de ítem: 2
Enunciado:
Una sucesión aritmética tiene el siguiente término general: 𝒂𝒏 = − 𝟒𝒏 + 𝟔𝟒,
¿cuál de las opciones corresponde al segundo y tercer término de dicha
sucesión?
A. 56 y 52
B. 60 y 56
C. 68 y 72
D. 72 y 76
Respuesta Correcta: A
Utiliza correctamente el término general e Identifica que primero debe sustituir para
n =2 y luego para n=3, y aplica correctamente la regla para operar enteros con igual o
diferente signo.
B. Confunde el cálculo del primer y segundo término con lo solicitado, aunque los
cálculos no tienen errores.
C. Además de confundir el primer y segundo término con lo solicitado, suma los
enteros con diferente signo cuando en realidad se restan.
D. Reconoce que debe calcular el segundo y tercer término de la sucesión, sin
embargo, aplica incorrectamente la regla para operar enteros.
Indicador de logro: 1.6 Utiliza con seguridad el término general al calcular cualquier
término de una sucesión aritmética.
3
Número de ítem: 3
Enunciado:
Se interpolan tres medios aritméticos entre 8 y -12, ¿cuál de los siguientes
términos representa uno de esos medios aritméticos?
A. -10
B. -7
C. -5
D. -4
Respuesta Correcta: B
Determinó
𝒅=
(−𝟏𝟐−𝟖)
(𝟑+𝟏)
correctamente
la
diferencia
para
interpolar
medios
aritméticos,
= −𝟓, luego genera los tres medios aritméticos: 3, -2, -7; -7 es uno de ellos.
A. Desconoce cómo obtener los medios aritméticos entre dos números dados, por eso
realiza la suma errónea de los datos proporcionados.
C. Resuelve parcialmente el ejercicio porque solo determinó la diferencia.
D. Suma correctamente los dos números enteros proporcionados, pero desconoce
cómo obtener un medio aritmético de una sucesión aritmética
Indicador de logro: 1.7 Identifica y calcula, con interés, todos los medios aritméticos
entre dos términos de una sucesión aritmética.
4
Número de ítem: 4
Enunciado:
Si el primer término de una sucesión aritmética es 1; la diferencia es 2, y la
suma de los “n” primeros términos es 900, ¿cuántos términos se han sumado
de esa sucesión?
A. 450
B. 90
C. 30
D. 9
Repuesta Correcta: C
Sustituyó correctamente los datos proporcionados tanto en la fórmula para determinar
cualquier término de la sucesión como en la fórmula para sumar los primeros términos
de una sucesión aritmética.
A. Desconoce cómo aplicar con precisión la fórmula para determinar la suma de los
primeros términos de una sucesión aritmética, por eso divide entre 2 dicha suma o
aplica el cálculo del término general de suma sucesión aritmética, pero con errores.
B. Considera que para obtener 900 se ha sumado 10 veces noventa, lo que evidencia
desconocer cómo utilizar el término general de una sucesión en combinación con la
fórmula de cálculo de la suma de los primeros términos de una sucesión
D. Desconoce cómo aplicar las sucesiones a este tipo de situaciones, razón por la cual
considera que se ha sumado 9 veces el número 100.
Indicador de logro explorado: 1.8 Aplica correctamente y con precisión la fórmula
para obtener la suma de los primeros términos de una sucesión aritmética.
5
Número de ítem: 5
Enunciado:
Doris debe sumar correctamente los primeros 1007 números impares, es decir,
1 + 3 + 5 + 7 +… + 2013, ¿cuánto es el total de dicha suma?
A. 2, 028, 098
B. 1, 014, 049
C. 3036
D. 2029
Repuesta Correcta: B
Resuelve correctamente el ejercicio sobre sucesiones aritmética, por eso sustituye
correctamente el primer y último término de la sucesión, así como la cantidad de
términos sumados, realiza todos los cálculos utilizando: 𝑆𝑛 =
(𝑎 1 + 𝑎 𝑛 )
𝑛
2
A. Comprende que son ejercicios de sucesiones aritméticas, aunque los cálculos que
realizó están correctos, olvidó dividir entre dos la cantidad de términos sumados de la
sucesión.
C. Suma todos los datos observados en el enunciado, posiblemente porque desconoce
como sumar los términos de una sucesión aritmética.
D. Suma los datos que observa en la sucesión, sin aplicar nada referido a la suma de
los primeros términos de una sucesión aritmética.
Indicador de Logro: 1.9 Resuelve, ejercicios y problemas sobre sucesiones
aritméticas, con interés y perseverancia.
6
Número de ítem: 6
Enunciado:
Un paciente del Hospital Rosales recibe en su receta médica la dosis de su
medicamento así: “100 mg (miligramos) el primer día, y 5 mg menos cada uno
de los siguientes”. Si el tratamiento dura doce días, ¿cuántos miligramos (mg)
tiene que tomar durante todo el tratamiento?
A. 45
B. 155
C. 870
D. 1140
Respuesta correcta: C
Las responden correctamente aquellos estudiantes que asocian correctamente cada
uno de los datos con las respectivas variables de las sucesiones aritméticas, así
A. Resuelve parcialmente correcta la situación, pero interpreta incorrectamente la
pregunta, por ello se quedan en el cálculo de los mg que recibirá en el doceavo día.
Cuando se le está pidiendo el consumo durante todo el tratamiento.
B. Este grupo de estudiantes es posible que reconozcan la presencia del primer
término de la progresión, pero interpretan incorrectamente el valor de la diferencia al
tomar la positiva, y la pregunta de la situación, ya que se pide el consumo en todo el
tratamiento, no el del doceavo día.
D. Quienes eligen esta opción desconocen el tipo de situación que se les presenta, por
ello lo resuelven haciendo uso de su “lógica”, y piensan que por ser 12 días, y si
recibiera 100 mg cada día, consumirá un total de 1200 mg del medicamento, pero
como se menciona de 5 mg menos, creen que cada día recibirá 95 mg, pero la
situación es clara al decir “5 mg menos cada uno de los siguientes”. 1200 – 60 ó 95 x
12 = 1140
Indicador de logro: 1.9 Resuelve, ejercicios y problemas sobre sucesiones
aritméticas, con interés y perseverancia.
7
Número de ítem: 7
Enunciado:
¿Cuál de las siguientes sucesiones es geométrica?
A.
1
,
2
3
5
1, 2, 2, 2, …
B. -8, -4, 0, 4, 8, …
C. 1, 2, 4, 8, 16, …
D. 21, 23, 25, 27, …
Comprende que al realizar las restas consecutivas, segundo término y primer término,
no obtiene una diferencia constante, pero, sí al realizar los cocientes, es decir, r = 2,
por lo cual concluye que esta sucesión es la geométrica.
A. Es posible que tenga una idea equivocada en relaciona que las sucesiones que
involucra fracciones corresponde a sucesiones aritméticas
B. Posiblemente tiene dificultades para encontrar la diferencia cuando algunos datos
son negativas, por eso al ver dicha variación, concluye erróneamente que se trata de
una sucesión aritmética.
D. Confunde el cálculo de la diferencia con el de la razón de una sucesión geométrica
Indicador de logro: 1.12 Establece, con claridad y seguridad, la diferencia entre una
sucesión aritmética y una geométrica.
8
Número de ítem: 8
Enunciado:
El término general 𝑎𝑛 = 2(−3)𝑛−1 para n: 1, 2, 3, …, permite calcular una de las
siguientes series, ¿cuál?
A. -6,-6, 36, 216, …
B. -6, -6, 18,-54 …
C. 2, -6, 18, …
D. 0,-6,-12, …
Utiliza correctamente el término general y dominio de las propiedades de
potenciación, y evalúan correctamente la expresión 𝑎𝑛 = 2(−3)𝑛−1
Para n=1
𝑎1 = 2 −3 1−1
𝑎1 = 2 −3 0
𝑎1 = 2(1)
𝑎1 = 2
Para n=2
𝑎1 = 2 −3 2−1
𝑎1 = 2 −3 1
𝑎1 = 2(−3)
𝑎1 = −6
Para n=3
𝑎1 = 2 −3 3−1
𝑎1 = 2 −3 2
𝑎1 = 2(9)
𝑎1 = 18
A. Al evaluar en el término general comete un error de transformar 2(−3)𝑛−1 en (−6)𝑛−1 ;
evidencia tener problema al tratar una potencia con el exponente cero, así (−6)𝑛−1 para
n=1, (−6)0 = −6
B. En el cálculo de los términos de la sucesión tienen problemas únicamente con el
exponente cero en 2(−3)𝑛−1 . para n=1, 2(−3)0 = −6; para n=2, 2(−3)1 = −6; para n=3,
2(−3)2 = 18; para n=4, 2(−3)3 = −54; etc.
D) Son los estudiantes que cometen el error de multiplicar la base por el exponente.
para n=1, 2(−3)0 =2 0 = 0; para n=2, 2(−3)1 = 2 −3 = −6; para n=3,
2(−3)2 = 2 −6 = −12; etc
Indicador de logro: 1.14 Utiliza, con seguridad, el término general para
calcular cualquier término de una sucesión geométrica.
9
Número de ítem: 9
Enunciado:
Si se intercalan 4 términos entre 4 y 972 de modo que formen una progresión
geométrica, ¿cuál opción presenta uno de los cuatro términos intercalados?
A. 364
B. 243
C. 242
D. 108
Respuesta correcta: D
Comprende que para intercalar debe determinar primero la razón, la cuál es 3
(𝑎𝑛 = 𝑎1 𝑟 𝑛−1 , 𝑎6 = 𝑎1 𝑟 6−1 , 972 = 4𝑟 6−1 , 243 = 𝑟 5 , 35 = 𝑟 5 → 𝑟 = 3), Además, basado en
que son seis términos en total los de la sucesión geométrica (porque son 4 términos los
que hay que intercalar entre 4 y 972). Utiliza la fórmula general (𝑎𝑛 = 𝑎1 𝑟 𝑛−1 ) y el valor
de 𝑎1 = 4, para determinar los cuatro términos intercalados, entre ellos 108 (𝑎4 = 𝑎1 𝑟 4−1 ,
𝑎2 = 4(3)3 , 𝑎2 = 4 27 = 108)que es uno de los presentados.
A. Desconocen cómo intercalar, por eso confunden la situación con la suma de términos
𝑆𝑛 = 𝑎1
(𝑟 𝑛 − 1 )
𝑟−1
de una progresión geométrica, aunque obtienen correctamente la razón de
la sucesión, calculan incorrectamente la suma. 𝑆10 =
el resultado por el primer término de la sucesión.
( 3 6 − 1 ))
2
porque olvidan multiplicar
B. Desconoce como intercalar términos entre dos dados o lo sabe incompleto, por ello
determinan en primer lugar el valor de la razón (r), y luego realizan el cociente entre el
último y primer término, olvidando que es válido si los términos son consecutivos
(972 ÷ 4 = 243)
C. Tienen dificultad para abordar una sucesión geométrica cuando se debe intercalar
términos, pero comprenden que el número buscado debe estar entre 4 y 972, entonces
realizan la resta de la mayor y menor cantidad (972 – 4), la cual es 968, este número lo
dividen entre 968 ÷ 4, que son los términos que debe intercalar, obteniendo 242.
Indicador de logro: 1.15 Identifica y calcula los medios geométricos entre dos
términos de una sucesión geométrica.
10
Número de ítem: 10
Enunciado:
La suma de los diez primeros términos de la sucesión geométrica: 768, 384,
192,... es
A. 1344
B. 1953.125 𝑥 10−6
C. 1534.5
D. −767.25
Comprende que para utilizar la fórmula apropiada debe determinar la razón (r), el valor
de 𝑎1 y n, lo cual le permite el cálculo de la suma de los términos solicitados utilizando la
fórmula 𝑆𝑛 = 𝑎1
(𝑟 𝑛 − 1 )
𝑟−1
, sustituye los respectivos valores 𝑆10 =
768( 0.5 10 −1)
0.5−1
A. Desconoce cómo aplicar la suma de los términos de una sucesión geométrica
𝑆𝑛 = 𝑎1
(𝑟 𝑛 − 1 )
,
𝑟−1
por eso suma de los datos que observa.
B. Utiliza la fórmula apropiada pero al utilizar 𝑆𝑛 = 𝑎1
(𝑟 𝑛 − 1 )
𝑟−1
Olvida multiplicar por 𝑎1 y
realiza r – 1 de forma inversa (1- r). Y se reduce a calcular 𝑆10 =
0.001953125 = 1953.125 x10−6
( 0.5 10 − 1 )
1−0.5
0.0009765625
1− 0.5
=
D. Al aplicar la fórmula olvida dividir por r-1 = - 0.5, y realiza el cálculo 𝑆10 =
768 (− 0.0009765625)=−767.25
768( 0.5 10 −1)
=
=
Indicador de logro: 1.16 Aplica, con precisión, la fórmula para la obtención de la
suma de los términos de una sucesión geométrica.
11
Enunciado:
Una empresa tiene dos depósitos de agua, A y B. Todos los días los empleados
sacan cierta cantidad de agua de cada uno. Del depósito A se extrajo 5 litros
el primer día; 10, el segundo; 20, el tercero y así sucesivamente. Del depósito
B se extrajo 2 litros el primer día; 4, el segundo; 8, el tercero y así
sucesivamente. El último día se extrajeron del depósito A 96 litros más que
del depósito B. ¿Cuántos litros de agua se extrajeron en total, de cada
depósito?
A. 110 y 14
B. 129 y 32
C. 160 y 64
D. 315 y 126
Aplica las sucesiones aritméticas y comprende que para realizar la suma de los litros de
agua extraídos de cada depósito debe conocer el último término de cada una de las
sucesiones, lo que implica construir el término general para cada una considerando la
condición: “El último día se extrajo del depósito A 96 litros más que del depósito B”.
Depósito A: tienen 𝑎𝑛 =96 + X, r =2, 𝑎1 = 5. Debe determinarse “X” y “n”.
Al sustituir en 𝑎𝑛 = 𝑎1 𝑟 𝑛−1 , se llega a tener que 𝑎𝑛 = 5(2)𝑛−1 , y al despejar en
5
2
96 + 𝑋 = 2 (2)𝑛 . Se tiene que 5 𝑥 + 96 = 2𝑛 .
Depósito B: tienen 𝑎𝑛 = X, r =2, 𝑎1 = 2. Debe determinarse “X” y “n”.
Al sustituir en 𝑎𝑛 = 𝑎1 𝑟 𝑛−1 , se llega a tener que 𝑎𝑛 = 2(2)𝑛−1 , luego 𝑋 = 2(2)𝑛−1
Y al simplificar 𝑥 = 2𝑛 .
2
Iguala ambas expresiones 5 𝑥 + 96 = 𝑥 se obtiene que x = 64.
El anterior dato lo sustituye en 𝑥 = 2𝑛 , se tiene que n=6.
Al determinar el último término de cada sucesión, se puede encontrar cuántos días se
estuvo sacando agua de los depósitos (n=6). Finalmente realiza la suma para cada
sucesión.
La suma 𝑆𝑛 = 𝑎1
(𝑟 𝑛 − 1 )
de
𝑟−1
los términos del depósito A es 315, y los de B son 126.
12
A. Desconoce que es una situación referida a las sucesiones geométricas por eso al
contar los litros presentados del segundo depósito nota que la diferencia es 96.
B. Aplica las sucesiones geométricas, pero al realizar la igualdad entre 𝑥 = 2𝑛 y
2
𝑥 + 96 = 2𝑛 olvida multiplicar 2 por cada término así 5𝑥 = 2 𝑥 + 96
5
: 5𝑥 = 2𝑥 + 96 llegando a 𝑥 = 32 con lo que concluye erróneamente que el último
término de la otra sucesión es 129.
C. Comprende parcialmente el problema, porque encuentra el último término de cada
sucesión, pero no es lo requerido por la situación.
Indicador de logro: 1.17 Resuelve correctamente y con interés, ejercicios y problemas
aplicando la sucesiones geométrica.
13
Enunciado:
¿Cuál es el valor de “x” para que x-1, x+1, 2(x+1) estén en progresión
geométrica?
1
A. 1 − 𝑥
B. 1
C. 2
D. 3
Repuesta Correcta: D
Aplica las sucesiones geométricas por eso realiza
2(𝑥+1)
𝑥+1
=2 y
𝑥+1
𝑥−1
= 𝑟 = 2, la iguala a 2 que
es la razón. Determinando de esta manera que x=3.
A. Lo abordan algebraicamente, olvidando que debe determinar el valor de “x” y no
parte del cociente entre el segundo y primer término. Olvidan que está resolviendo un
ejercicio en el campo de las sucesiones geométricas.
B. Aplica las sucesiones geométricas pero relaciona incorrectamente algunos datos, por
eso sustituye el valor de 1 en la serie de expresiones presentadas, encuentra la serie
0, 2, 4 y como
4
2
= 2 entonces el resto de términos que desconoce cumplirán con que su
razón es 2. Pasa por alto que el cociente entre el segundo y primer término no existe.
C. La seleccionan quienes realizan el cociente entre el tercer término y el segundo,
2(𝑥+1)
𝑥+1
=2 concluyendo que es el valor de la razón. Cuando es el valor de x.
Indicador de Logro: 1.17 Resuelve correctamente y con interés, ejercicios y
problemas aplicando la sucesiones geométrica.
14
Enunciado:
En un local de comida (comedor) se ofrece: tres tipos de carnes, cuatro tipos
de ensalada, cinco postres y seis bebidas. Si un plato completo consiste de una
porción de carne, una ensalada, un postre y una bebida, ¿De cuántas formas
distintas puede pedirse un plato completo?
A. 3
B. 18
C. 90
D. 360
Repuesta Correcta: D
Aplica correctamente el principio de la multiplicación: 3x4x5x6. Es posible que los
estudiantes que escogen ésta opción comprenden de lo que consta cada plato completo,
por ello al elegir el tipo de carne, tienen cuatro posibilidades de ensalada, y que por el
principio de la multiplicación son 3x4 =12 formas distintas en las que se puede pedir
estos, pero por cada éstas 12 posibilidades tiene cinco opciones de postre, y por el
mismo principio, tiene 12x5 = 60 posibilidades de escoger solo incluyendo tres de las
cuatro opciones. Pero se quiere un plato completo, entonces tiene todavía seis opciones
de bebidas, con lo cual un visitante a este local tendrá 60x6 = 360 formas distintas para
pedir un plato completo.
A. Desconoce cómo abordar estas situaciones, posiblemente considera que sólo hay tres
formas distintas de un plato de comida porque hay sólo tres tipos de carne.
B. Se equivoca al considerar que los eventos son independientes, y suma las opciones
del menú: 3+4+5+6 =18.
C. Desconoce cómo utilizar el principio de multiplicación, ya que las cantidades las
Multiplica 3x4x5x6, y este producto lo divide entre 4, porque lee que cada plato consta
de cuatro cosas.
Indicador
de
Logro:
2.2 Resuelve problemas, utilizando el principio de la
multiplicación con seguridad.
15
Enunciado:
Una máquina automática llena bolsas de plástico con una mezcla de
frijoles, brócoli y otras legumbres. La mayor parte de las bolsas contiene
el peso correcto, pero debido a variaciones en el tamaño de las verduras,
un paquete puede tener un peso ligeramente diferente. Una verificación
de 4,000 paquetes que se llenaron el mes pasado reveló lo siguiente:
Peso
Evento
Menor
A
Número
de
Paquetes
100
Probabilidad
Satisfactorio
B
3600
0.900
Mayor
C
300
0.075
4,000
1.000
0.025
¿Cuál es la probabilidad de que un determinado paquete tenga un
peso menor o mayor?
A. 400
B. 2.5 %
C. 0.050
D. 0.1
Interpretan correctamente el planteamiento, además tienen claro que es una situación
con dos eventos mutuamente excluyentes y hacen uso del principio de la suma, por lo
que proceden así: P(A U B) = P(A) + P(B) =0.025 + 0.075.
16
A. Desconocen u olvidan que la probabilidad de un evento oscila entre 0 y 1, e
interpretan
incorrectamente la
situación ya que no se ha solicitado determinen la
cantidad de paquetes que cumplen con que tenga un peso menor o mayor.
B. Este grupo de estudiantes se dejan llevar por lo de “un peso menor o mayor” y por
ello eligen 0,025 y multiplican por 100, muy lejos de mostrar cómo calcular la
probabilidad de dos eventos mutuamente excluyentes utilizando el principio de la suma.
C. Este grupo identifica los dos datos de los que habla la situación, pero consideran que
la probabilidad de que eso suceden se encuentra entre los dos datos mostrados en la
tabla, por eso realizan (0.075+ 0.025)/2. En realidad desconocen cómo abordar este tipo
de situaciones.
Indicador de Logro: 2.4 Calcular la probabilidad de dos eventos mutuamente
excluyentes utilizando el principio de la suma, con interés y confianza.
17
Enunciado:
En un saco se tienen dos pelotas rojas, cinco verdes, tres negras y cuatro
amarrillas. Si se extrae una pelota, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea
amarrilla o verde?
4
A. 10
B.
4
5
C.
1
2
D.
9
14
Este grupo de estudiantes comprende que debe realizar el planteamiento de cada
evento (A: aparece una pelota amarilla, B: aparece una pelota verde) y obtiene la
4
5
probabilidad para cada una (P(A): 14 y P(B) : 14 ); luego, por ser los eventos mutuamente
excluyentes P(A U B) = P(A) + P(B), con lo cual
P(A U B) =
verde.
4
14
+
5
14
=
9
14
lo cual es la probabilidad que la pelota extraída sea amarrilla o
Confunde la probabilidad de dos eventos mutuamente excluyentes con el cálculo de la
probabilidad clásica y calculan
4 𝑝𝑒𝑙𝑜𝑡𝑎𝑠 𝑎𝑚𝑎𝑟𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠
10 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑙𝑜𝑡𝑎𝑠.
A. La eligen aquellos estudiantes que presentan problemas para plantear la probabilidad
de solo un evento. Por eso realizan el cociente entre las pelotas amarrillas y las verdes.
B. La eligen aquellos estudiantes que presentan problemas para plantear la probabilidad
de solo un evento. Por eso realizan el cociente entre las pelotas amarrillas y las verdes.
C. La eligen aquellos estudiantes que todavía no trascienden el problema clásico del
lanzamiento de una moneda, ya que considera a los colores amarillos y verdes como los
únicos resultados posibles, y como solo un color saldrá, reproduce la idea de la moneda
1𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎 í𝑑𝑜
2 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠
Indicador de Logro: 2.4 Calcular la probabilidad de dos eventos mutuamente
excluyentes utilizando el principio de la suma, con interés y confianza.
18
Enunciado:
Si las empresas de transporte terrestre A, B, C, D y E ofrecen su servicio diario
entre San Salvador y San Miguel; y las empresas de aviación P, Q y R tienen
vuelos diarios entre los mismos departamentos. ¿De cuántas maneras
diferentes se puede viajar de San Salvador a San Miguel?
A. 15
B. 16
C. 8
D. 2
Repuesta Correcta: C
Son aquellos estudiantes que comprenden que este tipo de situaciones se resuelven por
el principio de la adición, por que las operaciones (viajar por vía terrestre o aérea) no
pueden realizarse simultáneamente, sino que o viaja por una de las cinco opciones de
vía terrestre o viaja en una de las tres opciones aéreas, es decir, se tienen 5 + 3 formas
diferentes para viajar de San Salvador a San miguel.
A. Son aquellos estudiantes que confunden el principio de la multiplicación con el
principio de la suma, sin darse cuenta que las dos operaciones son mutuamente
excluyentes (SOLO UNA DE ELLAS PUEDE OCURRIR). Por otro lado no hay que olvidar que
se está pidiendo las maneras diferentes de viajar de San Salvador a San Miguel.
B. Son aquellos estudiantes que consideran ida y vuelta en transporte terrestre (10) e ida
y vuelta de trasporte aéreo (6). Aunque aplican el principio de la adición, no interpretan
correctamente lo que la situación.
D. Son aquellos estudiantes que desconocen condición de uno de los principios más
básicos, como lo es el de la edición, por lo cual consideran que sólo existen dos formas
de viajar o lo hace por autobús (vía terrestre) o lo realiza por aire (avión).
Indicador de Logro: 2.5 Resuelve problemas, utilizando el principio de la suma con
seguridad
19
Enunciado:
¿De cuántas formas se pueden elegir dos libros de diferentes asignaturas entre
cinco libros distintos de ciencias, tres libros distintos de matemática y dos
libros distintos de psicología?
A. 12
B. 31
C. 60
D. 90
Repuesta Correcta: B
Comprende correctamente lo que se le plantea por ello aplica primero el principio de
multiplicación respetando las condiciones de la situación; sabe que puede elegir 2 libros,
uno de ciencias y uno de matemáticas, de 5 x 3 = 15 formas.
De manera análoga, puede elegir 2 libros, uno de ciencias y uno de psicología, de
5 x 2 = 10 formas y puede elegir dos libros, uno de matemática y uno de psicología, de
3 x 2 = 6 formas. Como estos conjuntos de selecciones son ajenos por pares, puede
utilizarse el principio de la suma para concluir que existen 15 + 10 + 6 = 31 formas de
elegir dos libros de diversas asignaturas entre los libros de ciencias, libros de matemática
y los libros de psicología.
A. Quienes elijen esta opción desconocen la aplicación combinada del principio de la
multiplicación y la suma, sólo logra identificar que involucra el principio de la
multiplicación.
C. Encuentra el producto de los datos que se le presentan, aplicando incorrectamente el
principio de la multiplicación 2x5x3x2 = 60.
D. Tiene cierta noción de compresión del problema, se da cuenta que son dos libros que
se escogerán, pero cometen el error de sumar todos los libros (10) y aplican el principio
de la multiplicación, 10x9 = 90.
Indicador de Logro: 2.6 Resuelve, con interés y confianza, problemas del entorno que
involucren la aplicación combinada de los principios de multiplicación y suma.
20
Enunciado:
¿Cuál es el resultado de simplificar
𝑚 −2 ! 𝑚
0! 𝑚 !
?
A. 0
𝑚 −2 !
0 !
B.
C.
1
𝑚 −1
D. 𝑚 − 2 !
Conoce y aplica correctamente las propiedades del factorial de cualquier número,
por esa razón aplica que 0! = 1 y que
𝑚! = 𝑚 𝑚 − 1 𝑚 − 2 … 3𝑥2𝑥1 = 𝑚 𝑚 − 1 (𝑚 − 2)! por tanto operan así:
𝑚 −2 ! 𝑚
0! 𝑚 !
=
𝑚 −2 ! 𝑚
0! 𝑚 𝑚 −1 (𝑚−2)!
=
1
1 (𝑚−1)
=
1
𝑚 −1
A. Desconoce que el factorial de cero es 1, además que la división entre cero no existe,
es decir, obtiene
es
𝑚 −2 !𝑚
.
0!
𝑚 −2 !𝑚
0!𝑚 !
porque operan 0! 𝑚! = 0 y concluye que al simplificar el resultado
B. Desconoce que el factorial de “m” tienen el desarrollo
𝑚! = 𝑚 𝑚 − 1 𝑚 − 2 … 3𝑥2𝑥1 = 𝑚 𝑚 − 1 ! = 𝑚 − 1 ! 𝑚, por eso realiza
decir cancela 𝑚 𝑐𝑜𝑛 m!.
𝑚 −2 ! 𝑚
0! 𝑚 !
=
𝑚 −2 !
0!
es
D. Desconoce m! es diferente a decir el numero “m”, aunque es posible que tenga claro
0! = 1 , el vacio mostrado lo lleva a una respuesta incorrecta.
Indicador de logro: 2.8 Simplifica, con precisión, expresiones que contienen
notación factorial.
21
Enunciado:
¿Cuántos arreglos de cinco elementos pueden formarse con las siguientes
figuras geométricas, si ninguna de ellas puede repetirse?
A. 21
B. 42
C. 120
D. 2520
n!
, porque ordena los elementos tomado grupos de
(n  k )!
posee el conjunto, por eso sustituye y opera así
Sabe que debe utilizar Pkn 
5
de
7
P
5

los
7
que
7!
7! 2! x3x4x5x6x7
 
 2520.
(7  5)! 2!
2!
A. Desconoce la diferencia entre una permutación y una combinación por eso considera
7!
que se trata de un ejercicio que se resuelve por combinaciones 𝐶57 = 5! 2!.
B. Aplica incorrectamente la fórmula para calcular el ordenamiento de los elementos de
un conjunto si se tomar parte de ellos
Pkn 
n!
, porque realiza
(n  k )!
7!
𝑃57 = 5! = 7𝑥6 = 42
D. Confunde el aplicar el ordenamiento de los elementos de un conjunto tomando parte
de los elementos con tomarlos todos, por eso realiza 5! = 120
Indicador de logro: 2.11 Soluciona, con autonomía y confianza, ejercicios que
involucren el ordenamiento de un conjunto de objetos diferentes, tomados todos o parte
de ellos.
22
Enunciado:
¿Cuál es el número de arreglos distintos que pueden formarse con las letras
de: “V, A, M, O, S, A, L, A, E, S, C, U, E, L, A”, si todas las letras son
tomadas a la vez?
A. 362, 880
B. 6,810, 804,000
C. 1,307,674,368,000
D. 1,816, 214,400
Respuesta Correcta: B
Reconoce que tiene un ejercicio que requiere resolverse por permutaciones. Nota que a
pesar que se le presentan 15 letras hay cuatro letras “A”; aparecen 2 letras “S” y lo
15!
4!2!2!2!
15
mismo sucede con la letra “L” y “E”. Con lo cual 𝑃4,2,2,2
=
=6,810, 804,000.
Formula: Para calcular el número de permutaciones de este tipo bastará dividir el
factorial del número total de símbolos, contando sus repeticiones, entre el número de
veces que se repite cada uno.
Pn 
n!
x! y! z!...
23
A. Se equivoca al calcular 9!, sin considerar la condicionante de las permutaciones
cuando las letras se repiten, por eso calcula el factorial de la cantidad total de letras
observadas, pero eliminando las que se van repitiendo.
C. Calcula 15! porque no diferencia entre obtener el número de permutaciones de un
conjunto cuyos elementos se repiten de otro que no.
D. Desconoce cómo resolver este tipo de variante de las permutaciones, por eso cuenta
solo una vez las letras que se repiten, y combina el total de letras con las 9 que
resultaron de su conteo sin repetición, por eso calcula 𝑃915 . Con esto estaría indicando
que tiene una idea equivocada de lo que significa determinar el número de
permutaciones posibles tomando parte de los elementos cuando hay repetición de los
elementos del conjunto.
Indicador de Logro:
2.13 Resuelve problemas aplicando permutaciones con
seguridad
24
Enunciado:
En una carrera de ciclismo participan 3 salvadoreños, 2 guatemaltecos, 1
nicaragüense, 3 panameños, 2 hondureños y 1 beliceño. El número de formas
en que es posible que clasifiquen tres de ellos de acuerdo a su llegada a la
meta es
A. 12
B. 36
C. 108
D. 1320
Comprenden que es una aplicación de permutaciones tomando parte de los elementos,
por eso cuenta el número de participantes (12) y como solo existen tres clasificaciones o
12!
9!
tres plazas para este grupo de personas calcula 𝑃312 =
= 1,320 otros pudieron aplicar
12x11x10.
A. No comprenden la situación, por eso solo suman el número de participantes.
B. Emplea equivocadamente como aplicar en situaciones de la vida cotidiana las
permutaciones por eso considera que por existir en una carrea
solo el primer,
segundo y tercer lugar en la carrera bastará con operar 3x12 =36.
C. Son aquellos que, equivocadamente, aplican de forma incorrecta el principio de la
multiplicación pues efectúan: 3x2x1x3x2x1 = 36 y este resultado lo multiplican por el
número de clasificaciones: 36x3
Indicador de Logro: 2.13 Resuelve problemas aplicando permutaciones con
seguridad.
25
Enunciado:
El valor de la expresión
C3
5
ó
 5
C(5.3) ó   es
3
 
A. 10
B. 60
C. 20
D.
5
6
Repuesta Correcta: A
Reconoce el cálculo de las combinaciones por eso reconoce la expresión y efectúa
5!
5 4  3! 5 4


 10.
3!(5  3)!
3!2!
2 1
B. Desconoce la diferenciación entre una expresión referida a combinaciones y una a
permutaciones por eso desarrolla la expresión dada como una permutación,
5!
5! 5  4  3  2!
 
 60
(5  3)! 2!
2!
C. Reconoce la expresión y efectúa
5! 5  4  3!

 20, equivocándose al no dividir por
3!
3!
2!.
D. Plantea la expresión
5!
5! 5
  .
3!2! 6! 6
Los errores observados son los siguientes: plantea correctamente la expresión, pero el
denominador lo efectúa incorrectamente, porque 3!x2! lo plantea como 6!; es decir
efectúa el producto de 3 por 2 y les coloca el signo de factorial. Luego comete otro
error, el signo de factorial lo interpreta como un factor y no como un operador, luego
lo simplifica y le queda finalmente
5
.
6
Indicador de Logro: 2.14 Interpreta, utiliza y explica con seguridad la combinación.
26
Enunciado:
Juan, Luis, Antonio y Pedro son amigos que se encontraron en una fiesta y se
saludaron calurosamente. ¿Cuántos apretones de mano se dieron entre todos?
A. 6
B. 3
C. 2
D. 12
Repuesta Correcta: A
Comprende que la situación que corresponde a las combinaciones; la cual puede que la resuelva
al menos de dos maneras: Por un lado, que interprete que Juan saluda a sus tres amigos. Luis
saluda a Antonio y Pedro, porque antes se saludó con Juan y por último Antonio saluda a Pedro,
obteniéndose de esta manera 6 saludos.
Otra forma de interpretar: hay 4 personas y en un saludo intervienen dos de ellas, es decir
 4
4!
4  3  2! 4  3
  


 6.
2
 2  2!(4  2)! 2!2 1
B. Desconoce que la situación se refiera a combinaciones por eso interpreta que Juan saluda a
sus tres amigos y ahí se terminaron los saludos.
C. Interpreta saludos entre pares de amigos, Juan con Luis y Antonio con Pedro.
D. La confunde con una permutación, considerando que el orden es importante, por eso obtuvo
que eran seis saludos y luego multiplica por dos ó bien en la expresión
resultando
 4
 
 2
no dividió por (4-2)!,
 4  4! 4  3  2!
   
 4x3  12 .
2!
 2  2!
Indicador de Logro: 2.15 Resuelve problemas aplicando las combinaciones con seguridad.
27
Enunciado:
Un sorbetero tiene en su carretón 4 distintos sabores de helado (fresa, vainilla,
coco y tamarindo). Los sorbetes que valen $0.50 están conformados por tres
cucharadas de helado, de los sabores que se deseen. ¿De cuántas formas
distintas el sorbetero puede ofrecer su producto?
A.
B.
C.
D.
20
4
12
8
Respuesta correcta: A
Comprende que se trata de combinaciones con repetición por eso considera que
puede colocar tres cucharadas de un solo sabor, pudiéndose dar cuatro sorbetes
distintos de un solo sabor (fff, vvv, ccc,ttt), puede poner tres cucharadas de distinto
sabor, generándose cuatro variedades distintas (fvc, fvt, fct, vct), o bien poner dos
cucharadas de un sabor y otra cucharada de otro sabor, generándose otras doce
variedades de presentación del sorbete (fcc, fvv, ftt, vff, vcc, vtt, cff, cvv,ctt, tff,
tvv,tcc)
B. Desconoce que trata una situación de ordenamiento con repetición por ello solo
toma en cuenta que puede hacer un sorbete poniendo tres cucharadas de un solo
sabor (fff, vvv, ccc,ttt) o bien tres cucharadas de distinto sabor (fvc, fvt, fct, vct).
C. Comprende incorrectamente la situación que se le plantea por eso solo toma en
cuenta que puede hacer sorbetes de dos sabores distintos una cucharada de un sabor
y dos cucharadas de otro sabor (fcc, fvv, ftt, vff, vcc, vtt, cff, cvv,ctt, tff, tvv,tcc)
D. Comprende parcialmente que se trata de ordenamiento con repetición por eso toma
en cuenta los sorbetes de un solo sabor (4) y los sorbetes de tres sabores (4) y
supone que el vendedor puede ofrecer ocho variedades distintas de su producto.
Indicador de logro: 2.18 Resuelve con seguridad problemas de aplicación sobre el
número de ordenamientos de objetos, entre los cuales hay repeticiones o no las hay.
28
Enunciado:
¿Cuál es el valor de “x” en la ecuación 4 x − 3 = 8 ?
A. 5
B. 6
C. 7
D.
9
2
Reconoce que este tipo de situación requiere la aplicación de la propiedad “Para x
diferente de cero, entonces ax = bx
correctamente 4 x − 3 = 8 en 2 2
x −3
si y sólo si
a = b “, por eso transforma
9
= 23 , luego 2 x − 3 = 3 llegando a obtener 𝑥 = 2.
A. Erróneamente considera que 42 es equivalente a 8. Por eso, aunque tiene claridad
de la propiedad (Para x diferente de cero, entonces ax = bx
si y sólo si
a = b),
plantea incorrectamente que 𝑥 − 3 = 2 con lo cual llega a x=5.
B. Aplica incorrectamente la propiedad “Para x diferente de cero, entonces ax = bx si
y sólo si
a = b “, por eso 4 x − 3 = 8 lo transforma en 4 x − 3 = 23 , e iguala los
exponentes x-3 = 3, obteniendo x=6.
C. Desconoce cómo aplicar las propiedades de las funciones exponenciales, por eso
iguala x-3 = 8 – 4 y obtiene x= 7.
Indicador de logro: 3.2 Identifica y aplica, con interés y seguridad, las propiedades
de la función exponencial.
29
Enunciado:
¿Cuál es la representación gráfica de y = 3−x ?
C.
A.
B.
D.
Identifica correctamente que y = 3−x =
1 x
3
lo cual es una función decreciente
30
A. Se equivoca al considerar que por tener ordenada igual a 3 en la gráfica, este
corresponda con la base de y = 3−x , cuando en realidad la gráfica corresponde a
y = 3x2x .
B. Se equivoca al considerar que y = 3x es igual a y = 3−x .
D. Se equivoca al considerar que y = 2x es igual a y = 3−x
Indicador de logro: 3.3 Selecciona, con seguridad, la escala apropiada para
representar la gráfica de una función exponencial.
31
Enunciado:
El valor de log2 64 es
A. 6
B. 8
C. 32
D. 128
Interpreta que el logaritmo base “a” de un número “b” es un valor “x” tal que si “a” se
eleva al exponente “x”, se obtiene el número “b”. Para la situación planteada, el
exponente al que se debe elevar la base 2, para obtener 64 es 6.
log2 64=x
64=2
6
2 =2
x
x
entonces x=6.
B. Desconoce como determinar el logaritmo de un número por esa razón lo asocia con
determinar raíz cuadrada de 64, por eso selecciona 8.
C. Interpreta incorrectamente que determinar el logaritmo equivale a simplificar los
datos observados, por eso obtiene 32.
D. Desconoce cómo abordar la expresión log2 64, por eso interpreta que si multiplica
64 por 2, obtendrá 128 como solución.
Indicador de logro: 3.9 Determina el logaritmo de un número dada la base.
32
Enunciado:
La expresión
log x
 3log z
3
es equivalente a
A.
x
log 
 9z 
B.
3 x 
log 3 
z 
C.
x

log  3z 
3

D.
log3 x  z 3 
Respuesta correcta: B
Reconoce que log
𝑥
3
3
es equivalente a log 𝑥 , además que 3 log 𝑧 es equivalente a log 𝑧 3 ,
además que la diferencia de logaritmos es equivalente al logaritmo de un cociente,
por lo tanto:
log x
1
 3 log x 
log x  log z 3
3
3
1
3
 log x  log z 3
 log 3 x  log z 3
3 x 

log 3 
z 
33
A. Aplica incorrectamente la propiedad de la potencia de un logaritmo
log x
 x
 3 log z  log x  9 log z  log 
3
 9z  ,
C. Considera que log (logaritmo) es un factor y aplica factor común
log, obtiene la
expresión presentada.
D. Reconoce que log
𝑥
3
es equivalente a log 3 x , además que
3 log z es equivalente a
log 𝑧 3 , pero desconoce que la diferencia de logaritmos es equivalente al logaritmo de
un cociente, por eso la diferencia de logaritmos la considera como la diferencia de los
argumentos.
Indicador de logro: 3.17 Resuelve ejercicios aplicando las propiedades de las
funciones logarítmicas.
34
Enunciado:
De la ecuación
log5 (2x  3)  log5 (11)  log5 (5) ,
el valor de x es crecimiento del
mercado nacional?
A. 26
B. 6.5
C.
D.
log5 11  log5 5  3
2
log5 16  3
2
Reconoce que está en presencia de una ecuación logarítmica, aplica en el miembro
derecho, la propiedad de la suma de logaritmos, quedando la ecuación de la forma
log5 (2x  3)  log5 (11 5) ,
luego como tiene una igualdad de logaritmos con la misma
base, iguala los argumentos 2x  3  55 , la cual al resolver le queda x= 26
B. Aplica incorrectamente la propiedad de la suma de los logaritmos, por lo tanto en el
miembro derecho reduce
log5 (11)  log5 (5)  log16 ,
luego iguala
log5 (2x  3)  log5 (16) ,
obteniendo 2x  3  16 , por último queda x=6.5
C. No comprende que está ante una ecuación logarítmica y procede como si fuera una
ecuación algebraica.
D. Aplica incorrectamente la propiedad de la suma de logaritmo y luego procede como
si fuera una ecuación algebraica.
Indicador de logro: 3.17 Resuelve ejercicios aplicando las propiedades de las
funciones logarítmicas.
35
Enunciado:
Si
q  qo 2
1600 t
representa la cantidad que hay en miligramos de radio
(elemento radioactivo) después de “ t ” años y
qo la
cantidad que inicialmente
había de dicho elemento radioactivo, ¿qué expresión resulta al despejar “ t ”?
A.
B.
C.
D.
q
ln 
 qo 
 1600ln 2
q
1600
2 qo
q  2qo
 1600
q  2qo  1600
Comprende que se trata de una situación que utiliza la función logarítmica por eso
aplica el logaritmo natural en ambos miembros,
q
ln   1600t ln2 ,
 qo 
demás factores, obtiene
despeja t, y
q
1600 t
 2
,
qo
pasa a dividir al miembro izquierdo a los
q
ln 
 qo   t
 1600ln 2
36
B. Tiene dificultad para identificar la aplicación de las propiedades de los logaritmos,
por eso Inicia pasando a dividir
qo
al miembro izquierdo resultando
q
 (2)1600 t
qo
, no interpreta que la variable a despejar es un exponente y la expresión
21600
la
entiende como un factor de “ t ” , lo pasa a dividir al miembro izquierdo, y obtiene que
q
2
1600
qo
t.
C. El alumno desconoce que si un factor de un término va pasar a otro miembro debe
hacerlo dividiendo o multiplicando, dependiendo como era su situación original, pero
en este caso lo pasa a restar como si fueran términos que se suman o restan en el otro
miembro de la ecuación, luego el -1600 si lo ve como factor de “t”, por lo tanto lo
pasa a dividir, llega a obtener
q  2qo
t
1600
D. En este caso desconoce que los factores que acompañan a la variable “t”, los
interpreta como términos que se suman o restan y que traslada al miembro contrario,
y llega a
q  2qo  1600t ,
expresión
q  2qo  1600  t
luego pasa a sumar el factor -1600, y obtiene la
Indicador de logro: 3.18 Resuelve con seguridad y confianza, problemas de
aplicación de la función logarítmica, en cooperación con otros.
37

2° AÑO DE BACHILLERATO PRAEM 2013

Transcripción

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DR EDUARDO BASURTO

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