Implementación de métodos numéricos en Mathematica de forma

Transcripción

Implementación de métodos numéricos
en Mathematica de forma funcional
José Luis Gómez Muñoz
Los comandos NestWhileList y Function
ã Se duplica el número, comenzando con 10, mientras el número sea menor que 100
NestWhileList@
Function@numero, 2 ∗ numeroD,
10,
Function@numero, numero < 100D
D
810, 20, 40, 80, 160<
ã Se le suma dos al número, comenzando con 6, mientras el número sea menor que 15
NestWhileList@
Function@z, z + 2D,
6,
Function@w, w < 15D
D
86, 8, 10, 12, 14, 16<
ã A la pareja de números se les suma {10,200} respectivamente, comenzando con la pareja {3,7},
mientras el primer elemento de la pareja sea menor que 50
NestWhileList@
Function@pareja, pareja + 810, 200<D,
83, 7<,
Function@pareja, pareja@@1DD < 50D
D
883, 7<, 813, 207<, 823, 407<, 833, 607<, 843, 807<, 853, 1007<<
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metodos09.nb
2
Método de Euler implementación funcional
ã Ecuación diferencial del tipo:
dy
= f Hx, yL
dx
y Hx0 L = y0
Método de Euler para obtener solución aproximada:
x j+1 = x j + h
y j+1 = y j + h * f Ix j , y j M
Un programa de Mathematica que implementa este método:
euler@f_, 8xo_, yo_<, xend_, h_D :=
NestWhileList@
H∗Método numérico: ∗L
Function@ parejaxy, parejaxy + 8h, h ∗ Apply@f, parejaxyD< D,
H∗Valores iniciales: ∗L
8xo, yo<,
H∗Condición para seguir calculando: ∗L
Function@ parejaxy, parejaxy@@1DD < xendD D
ã Ejemplo:
f@x_, y_D := 0.1 ∗ y ∗ H100 − yL;
datos = euler@f, 80, 50<, 2, 0.05D;
ListPlot@datos, AxesOrigin → 80, 0<, PlotLabel → y '@xD f@x, yDD
y£ HxL 0.1 H100 - yL y
100
80
60
40
20
0.5
1.0
1.5
2.0
metodos09.nb
3
ã Solución exacta
f@x_, y_D := 0.1 ∗ y ∗ H100 − yL;
sol = DSolve@8y '@xD f@x, y@xDD, y@0D 50<, y, xD;
exacta@x_D := y@xD ê. sol@@1DD;
Plot@exacta@xD, 8x, 0, 2<, AxesOrigin → 80, 0<, PlotLabel → exacta@xDD
Solve::ifun : Inverse functions are being used by Solve, so
some solutions may not be found; use Reduce for complete solution information. à
100. µ 2.7182810. x
1. + 2.7182810. x
100
80
60
40
20
0.5
1.0
1.5
2.0
metodos09.nb
4
ã Ejemplo:
k@x_D := 0.1 ∗
H1 + Sin@2 ∗ π ∗ x ê 1DL
;
2
ymax@x_D := 75 − 25 ∗ Cos@2 ∗ π ∗ x ê 1D;
f@x_, y_D := k@xD ∗ y ∗ Hymax@xD − yL;
datos = euler@f, 80, 50<, 2, 0.05D;
y£ HxL 0.05 y HsinH2 p xL + 1L H-25 cosH2 p xL - y + 75L
80
60
40
20
0.5
1.0
1.5
2.0
metodos09.nb
5
Método “Euler Mejorado”, implementación funcional
dy
= f Hx, yL
dx
y Hx0 L = y0
Método de Euler para obtener solución aproximada:
x j+1 = x j + h
k1 = h ◊ f Ix j , y j M
k2 = h ◊ f Ix j + h, y j + k1 M
y j+1 = y j +
k1 +k2
2
Un programa de Mathematica que implementa este método. Nótese el uso de Module adentro de
Function:
eulermejorado@f_, 8xo_, yo_<, xend_, h_D :=
NestWhileList@
H∗Método numérico: ∗L
Function@ parejaxy,
Module@8k1, k2<,
k1 = h ∗ Apply@f, parejaxyD;
k2 = h ∗ Apply@f, parejaxy + 8h, k1<D;
parejaxy + 8h, 0.5 ∗ Hk1 + k2L<D D,
H∗Valores iniciales: ∗L
8xo, yo<,
Function@ parejaxy, parejaxy@@1DD < xendD D
metodos09.nb
6
ã Ejemplo Euler Mejorado:
k@x_D := 0.1 ∗
H1 + Sin@2 ∗ π ∗ x ê 1DL
;
2
ymax@x_D := 75 − 25 ∗ Cos@2 ∗ π ∗ x ê 1D;
f@x_, y_D := k@xD ∗ y ∗ Hymax@xD − yL;
datos = eulermejorado@f, 80, 50<, 2, 0.05D;
y£ HxL 0.05 y HsinH2 p xL + 1L H-25 cosH2 p xL - y + 75L
80
60
40
20
0.5
1.0
1.5
2.0
ã Ejercicio para los estudiantes: De una manera similar a como se implementó Euler mejorado,
implementar el Método de Runge-Kutta de cuarto orden:
x j+1 = x j + h
k1 = h ◊ f Ix j , y j M
h
k1
2
h
2
k2
2
2
k2 = h ◊ f Ix j + , y j +
k3 = h ◊ f Ix j + , y j +
M
M
k4 = h ◊ f Ix j + h, y j + k3 M
y j+1 = y j +
k1
6
+
k2
3
+
k3
3
+
k4
6
Método de Euler de Orden Superior, implementación funcional
y HnL = f Ix, y, y ', y '', … , y Hn-1L M
y Hx0 L = y0
y ' Hx0 L = y '0
ª
y
Hn-1L
Hn-1L
Hx0 L = y0
Método de Euler (de orden superior) para obtener solución aproximada:
metodos09.nb
7
x j+1 = x j + h
y j+1 = y j + h ◊y ' j
y ' j+1 = y j + h ◊ y '' j
y '' j+1 = y j + h ◊ y ''' j
ª
y
Hn-1L
j+1
= y j + h ◊ y HnL j
y HnL j+1 = y j + h ◊ f Ix, y, y ', y '', … , y Hn-1L M
Un programa de Mathematica que implementa este método:
eulerOrdenSuperior@f_, listaini_, xend_, h_D :=
NestWhileList@
H∗Método numérico:∗L
Function@ listaxyderivs,
Module@8listaincrementos<,
listaincrementos =
Flatten@8h,
h ∗ listaxyderivs@@ 3 ;; Length@listaxyderivsD DD,
h ∗ Apply@f, listaxyderivsD<D;
listaxyderivs + listaincrementosD D,
H∗Valores iniciales:∗L
listaini,
Function@ listaxyderivs, listaxyderivs@@1DD <= xendD D
metodos09.nb
8
ã Euler de orden superior:
npuntos = 40;
x0 = 1.0;
xfin = 5.0;
y0 = 2.0;
v0 = − 1.0;
f@x_, y_, v_D := − v + 2 x − 3 y;
aproximados = eulerOrdenSuperiorBf, 8x0, y0, v0<, xfin,
mispuntos = aproximados@@All, 1 ;; 2DD;
ListPlot@mispuntos, PlotStyle → PointSize@LargeD,
PlotLabel → y ''@xD f@x, y, y '@xDDD
y££ HxL -y£ HxL + 2 x - 3 y
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
2
3
4
5
xfin − x0
npuntos
F;
metodos09.nb
9
ã Euler de orden superior:
npuntos = 40;
x0 = 1.0;
xfin = 5.0;
y0 = 2.0;
v0 = − 1.0;
a0 = 3.0;
f@x_, y_, v_, a_D := a − v + 2 x − 3 y;
aproximados = eulerOrdenSuperiorBf, 8x0, y0, v0, a0<, xfin,
mispuntos = aproximados@@All, 1 ;; 2DD;
ListPlot@mispuntos, PlotStyle → PointSize@LargeD,
PlotLabel → y '''@xD f@x, y@xD, y '@xD, y ''@xDDD
yH3L HxL y££ HxL - y£ HxL - 3 yHxL + 2 x
5
2
3
4
-5
-10
-15
-20
-25
5
xfin − x0
npuntos
F;

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