Conductancia Lineal a través de Puntos Cuánticos Acoplados

Conductancia Lineal a través de Puntos Cuánticos Acoplados

Revista Colombiana de Fı́sica,Vol. 40, No.2, Julio 2008
Conductancia Lineal a Travéz de Puntos Cuánticos Acoplados
R. Franco a , J. Silva-Valencia a y M. S. Figueira b
b Instituto
a Departamento de Fı́sica, Universidad Nacional de Colombia, A.A 5997, Bogotá -Colombia
de Fı́sica, Universidade Federal Fluminense, Av. Litorânea s/n, 24210 − 340 Niterói-Rio de Janeiro, Brasil.
Recibido 22 de Oct. 2007; Aceptado 16 de Jun. 2008; Publicado en lı́nea 25 de Jul. 2008
Resumen
Estudiamos el transporte electrónico a través de dos puntos cuánticos (QDs) acoplados en paralelo, empleamos el método del X-boson para el modelo de la impureza de Anderson. Calculamos la conductancia
lineal (LC) y el coeficiente de transmisión para diferentes regı́menes del sistema, en función de la energı́a de los QDs. Nuestros resultados muestran una supresión de la LC a bajas temperaturas; cuando el
acoplamiento entre los QDs es importante, es evidente una caida en el coeficiente de transmisión entorno al
valor de frecuencia que coincide con el valor de energı́a del QD acoplado lateralmente. Obtenemos además
la dependencia con la temperatura de la LC, para diferentes hibridizaciones entre los QDs y energı́a de uno
de ellos. Nuestros resultados son consistentes con los obtenidos por otros tratamientos teoricos en sistemas
similares y recobran los esperados para un QD inmerso en un canal balı́stico, cuando el acoplamiento entre
QDs es muy pequeño
Palabras Clave: Punto cuántico, Efecto Kondo, Resonancia Fano, X-boson
Abstract
We study the electronic transport through two parallel coupled quantum dots (QDs), employing the
X-boson treatment for the single impurity Anderson Model. We compute the linear conductance (LC) and
transmission coefficient for different regimes of the system, as function of the QDs energy. Our results
show a supression of the linear conductance at low temperatures; when the coupling between the QDs is
significant, a drop in the transmission coefficient is evident, at the energy value of the side-coupled QD.
We also obtain the temperature dependence of the LC, for different hibridizations between the QDs and
the energy of one of them. Our results are consistent with those obtained by other theoretical treatments
and recovers what is expected when the coupling between the QDs is weak.
Keywords: Quantum dot, Kondo effect, Fano resonance, X-boson
c
°2008.
Revista Colombiana de Fı́sica. Todos los derechos reservados.
1. Introducción
Recientemente se ha presentado intensa investigación, relacionada con transporte electrónico a través
de sistemas nanometricos. En particular, sistemas de
puntos cuánticos acoplados se han estudiado teorica [1]
y experimentalmente [2]; en estas nano-estructuras, la
presencia de efecto Kondo, bloqueamiento de Coulomb
y procesos de interferencia cuántica, originan una fı́sica
muy rica, que podria ser empleada en aplicaciones
tecnologicas en áreas como la spin-tronica y la computación cuántica [3]. En este trabajo estudiamos la conductancia lineal a través de dos QDs acoplados en paralelo, como se muestra en la Fig. 1. Uno de los QDs
(QD1) está inmerso en un hilo cuántico (QW) y el otro
QD2 está acoplado paralelamente al QD1 activo; debido
Franco et al. Conductancia lineal a travéz de Puntos Cuánticos Acoplados
QD
L
V1
V1
R
V2
Figura 1. Esquema de los 2 QDs acoplados en paralelo.
a que los niveles de energı́a en los dos QDs (Ed1 y Ed2 ),
la hibridización entre los dots (V2 ) y el acoplamiento
entre el QD1 y el QW (V1 ) pueden ser variados, es posible “sintonizar” diferentes regı́menes del sistema
gcσ (ω) =
ω+D
ω−D
i
(ω = ω + iη en este caso, con
η → 0 ), que representa el QW, nF (ω) es la función de
distribución de Fermi-Dirac, y µ = 0,0 es el potencial
quı́mico (energı́a de Fermi a bajas temperaturas). En la
ImGσ
00 (ω)
formula para la LC (Eq. 4)) ρ00,σ (ω) = −
, es
π
σ
la DOS asociada a la FG local G00 (ω), que es obtenida en términos de las GF de los QDs GσQDi (ω) y del
QW gcσ (ω), como Gσ00 (ω) = [gcσ (ω)V1 ]2 GσQD1 (ω) +
gcσ (ω)V1 ]2 GσQD1 (ω)V22 GσQD2 (ω) (5). Empleando el
método X-boson [4,5] las GF para los QDs son
Empleamos el hamiltoniano H = HL + HR + HD +
HT para describir el sistema de QDs, representado en la
Fig.1. El Hamiltoniano que describe el QW a izquierda
(L) y derecha (R) del QD1 es
X
Hα =
Ek,α c†k,α,σ ck,α,σ
(α = L, R), (1)
GσQD1 (ω) =
GσQD2 (ω) =
k,α
donde c†k,α,σ (ck,α,σ ) es un operador de creación (destrucción) de un electrón con energı́a Ek,α , momentum
k y spin σ en el canal α. Los QDs interactuantes se
describen por
X X
HD =
Edi,σ Xdi,σσ ,
(2)
−Dσ1
, (6)
ω − E˜d1 + V12 Dσ1 gcσ (ω)
ω − E˜d2 +
−Dσ2
´
³
V12 gcσ (ω)2 GσQD1 (ω)
V22 Dσ2
(7)
nuevamente ω = ω + iη, con η → 0+ ; la cantidad
Dσi =< Xdi,00 > +nQDi,σ es responsable por la correlación en la aproximación de cumulantes X-boson
[4,5], además E˜di = Edi + Λi, donde Λi renormaliza
las energı́as de los niveles localizados y es obtenido por
la minimización de la energı́a libre, calculada via GFs
[4-6].
i=1,2 σ
aqui empleamos el modelo de la impureza de Anderson caracterizado por un nivel localizado di con energı́a
Edi,σ , asociado a los QDs (empleamos di para indicar
los electrones localizados en el QDi (i = 1, 2)), en la
representación de los operadores de Hubbard [4-6]. El
Hamiltoniano de tunelamiento HT es
´
X X³
†
HT =
Vα Xd1,0σ
ck,α,σ + H.c.
(3)
3. Resultados y Discusión
En nuestros cálculos adoptamos los siguientes
πV 2
parámetros ∆ = 2D1 = 1, D = 100∆, la temperatura T y las energı́as de los QDs (Ed1 y Ed2 )
están en unidades de ∆. En la Fig. 2-Izquierda presentamos los resultados para la LC G vs Ed1 (energı́a
del QD1) para diferentes temperaturas, en la Fig. 2Derecha mostramos la LC G vs T (temperatura), para
varios régimenes, ligados con varios valores de Ed1 ; el
acoplamiento entre los QDs V2 = 10−5 V1 , es muy debil, por lo que se reproducen los resultados de un QD
inmerso en un hilo cuántico, en el lı́mite de muy fuerte
repulsión electrónica al interior del QD [7]. En la Fig.
3 (Izquierda y Centro), presentamos los mismos resultados de la Fig. 2, pero considerando una hibridización
finita entre los QDs (V2 = V1 ), para el mismo val-
α=L,R k,σ
X³
h
+
2. Modelo
+
−1
2D ln
´
†
V2 Xd2,0σ
Xd1,0σ + H.c. .
σ
La amplitud de tunelamiento V2 es responsable por el
tunelamiento entre los QDs, Vα describe el acoplamiento entre el QD1 y el QW α. Por simplicidad, asumimos acoplamientos simetricos (i.e. VL = VR = V1 ) y
QWs identicos a lado y lado del QD1. A bajas temperaturas y voltajes, la respuesta lineal en la conductancia está dada por la formula de Landauer [1,4,6] G =
R ¡ ∂nF ¢
2e2
− ∂ω ρ00,σ (ω)dω (4), donde ρc,σ (ω) =
hρσ
c (µ)
1
σ
π Imgc (ω) es la densidad de estados (DOS), asociada con la función de Green del canal de conducción
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rev.col.fis,vol.40,No 2(2008)
1.2
1.1
1.0
0.9
0.8
1.1
-5
-3
EQD2=∆, V2=10 V1, D=100∆, ∆=(πV1/2D)=1
T=10 ∆
-2
T=8 10 ∆
-1
T=5 10 ∆
T=∆
G(2e /h)
EQD1=∆
EQD1=-0.5∆
0.6
EQD1=-∆
EQD1=-1.7∆
0.7
2
2
EQD1=2.0∆
0.9
0.8
0.7
G(2e /h)
2
-5
V2=10 V1, EQD2=∆, D=100∆, ∆=(πV1 /2D)=1
1.0
0.5
0.4
0.6
0.5
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.0
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.0
-3
10
10
EQD1/∆
-2
-1
10
0
10
1
10
10
T/∆
Figura 2. Conductancia lineal (LC) vs energı́a del QD1 (G vs EQD1 = Ed1 ), para diferentes temperaturas (Izquierda). LC G vs temperatura
T , para diferentes regı́menes del sistema (QD1) (Derecha). La energı́a del QD2 EQD2 = Ed2 = ∆ está fija y el acoplamiento entre los QDs
es practicamente cero (V2 = 10−5 V1 ).
0.4
0.6
0.5
1.0
EQD1=2∆
T=∆
-1
T=3 10 ∆
-1
T=4 10 ∆
-1
T=5 10 ∆
EQD2=∆, V1=V2=1, D=100∆,
EQD1=0.0
0.3
EQD1=-∆
T(ω)
0.6
2
G(2e /h)
EQD2=∆, V1=V2, D=100∆, ∆=πV1 /2D=1
2
G(2e /h)
V2=0.2V1
V2=V1
V2=0.4V1
0.8
EQD1=-0.5∆
2
0.4
EQD1=0.0, EQD2=∆, T=∆, D=100∆
EQD1=∆
2
∆=πV1 /2D=1
0.3
0.2
0.4
0.2
0.1
0.2
0.1
0.0
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
0
1
EQD1/∆
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.0
-3
10
-2
10
-1
10
T/∆
0
10
1
10
0.0
-5.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
0.0
ω/∆
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figura 3. Los mismos resultados de la Fig. 2, pero considerando un acoplamiento finito entre los QDs V2 = V1 (Izquerda y Centro). Coeficiente
de transmisión T (ω) vs ω para diferentes acoplamientos entre los QDs (Derecha).
or de energı́a fija del QD2 (Ed2 = EQD2 = ∆), empleado en la Fig.2. La presencia de dos picos es evidente (Fig. 3-Izquierda), el mı́nimo entre los dos picos es una consecuencia del acoplamiento entre QDs;
una situación similar a la obtenida en el caso de un
QD acoplado lateralmente a un QW [4,6], en donde G
presenta un mı́nimo. En este caso tenemos una combinación de los “comportamientos” para un QD inmerso
y un QD lateralmente acoplado a un QW, se presenta
un máximo, como en el caso de un QD inmerso (vea
Fig. 2-Izquierda), que sufre un desdoblamiento en dos
picos, con un mı́nimo entre estos (vea Fig. 3-Izquierda),
este mı́nimo es caracterı́stico de la LC para un canal
de conducción acoplado lateralmente a un QD. Nuestros resultados, para las más bajas temperaturas, están
en acuerdo cualitativo con los obtenidos por E. Vernek
et. al [1], empleando la teoria de bosones esclavos para
U-finito (U-SBMFT), en una configuración más general de dos QDS acoplados en paralelo a temperatura
cero (T = 0); un acoplamiento no nulo entre los QDs
origina una supresión (un plateu) en la LC. La Fig. 3Centro muestra una disminución de la LC a bajas temperaturas, si comparada a los resultados obtenidos en la
Fig. 2-Derecha, esto está en acuerdo cualitativo con lo
reportado para el mismo sistema por Tae-Suk Kim et
al. [1] (aproximación non-crosing (NCA)), y con el re-
sultado para la LC obtenido por Chung-Hou et al. [1]
(grupo de renormalización numérico (NRG)), en una
configuración más general de QDs en paralelo, que incluye un acoplamiento J entre los spines de los electrones localizados en los QDs; cuando el acoplamiento J es importante, se presenta una caida en la LC.
En nuestro caso tenemos una hibridización entre los
QDs por la amplitud de tunelamiento V2 , que origina un acoplamiento J(ω) = −2V2 /(Ed2 ∆2 (ω)) via
transformación de Schrieffer-Wolff para el modelo de
la impureza de Anderson [8], ∆2 (ω) es la hibridización
efectiva ³
entre los QDs, y está dada por
´ ∆2 (ω) =
2 σ
2
σ
σ
−V2 Im [gc (ω)V1 ] GQD1 (ω) + gc (ω) , donde ω =
ω + iη, con η → 0+ . En la Fig. 3-Derecha, presentamos
el coeficiente de transmisión T (ω) = ρ00,σ (ω)/ρσc (µ)
vs ω para diferentes acoplamientos entre los QDs, existe
una supresión de T (ω), entorno a ω ∼ EQD2 , lo que
es consecuencia de un proceso de interferencia cuántica destructiva entre el canal de transmisión “directo”
a través del QD1, y el canal “resonante” asociado al
tunelamiento del QD1 al QD2. Este resultado está en
acuerdo con el obtenido Tae-Suk Kim et al. [1], empleando NCA en el mismo sistema; trabajos que emplean
otro tratamiento teorico para el modelo de la impureza
de Anderson (NRG), en una configuración similar de
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Franco et al. Conductancia lineal a travéz de Puntos Cuánticos Acoplados
QDs reportaron resultados similares (Chung-Huo et al.
y Luis G. G. Dias da Silva. et al. [1]), T (ω) cae entorno
a ω ∼ EQD2 = Ed2 , para acoplamientos significativos
entre los QDs; en el trabajo de Luis G. G. Dias da Silva. et. al [1], se calcula la DOS para el sitio del QD1
ρ11 (ω) y no el coeficiente de transmisión T (ω), pero es
sabido que ρ11 (ω) ∝ T (ω) [1,4].
18707 (Colombia), CNPq y FAPERJ grant “Primeiros
Projetos” (Brasil).
[1] Luis G. G. V. Dias da Silva et al., Phys. Rev.
Lett 97, 96603 (2006); Tae-Suk Kim et al., Phys. Rev.
B 63, 245326 (2001); E. Vernek et al., Physica E 34,
608 (2006); Chung-Hou Chung et al., preprint condmat 0607772 (2006).
[2] A. W. Holleitner et al., Science 297, 70 (2002); D.
M. Schröer et al., preprint cond-mat 06070441 (2006).
[3] D. Loss et al., Phys. Rev. A 57, 120 (1998); A. A.
Aligia et al. Phys. Rev. B 70, 075307 (2004).
[4] R. Franco et al., Phys. Rev. B 73, 195305 (2006);
Phys. Rev. B 67, 155301 (2003); Braz. J. Phys 36, 925
(2006).
[5] R. Franco et al., Phys. Rev. B 66, 045112 (2002);
J. Magn. Magn. Mat 226-230, 194 (2001); Physica A
308, 245 (2002).
[6] T. Lobo et al., Nanotechnology 17, 6016 (2006);
Physica B 384, 113 (2006); Braz. J. Phys. 36, 397
(2006); Braz. J. Phys. 36, 401 (2006).
[7] T. A. Costi, Phys. Rev. B 64, 241310 (2001).
[8] A. C. Hewson, T he Kondo P roblem to Heavy
F ermions, Cambridge Studies in Magnetism (Cambridge University Press, Cambridge-UK, 1993).
4. Resumen y Conclusión
La supresión de la LC G puede ser comprendida en
términos de proceso Fano de interferencia cuántica entre los canales de conducción directo (QW → QD1 →
QW) y un canal resonante asociado al tunelamiento al
QD2 y desde el QD2 al QD1 (QW → QD1 → QD2 →
QD1 → QW).
Agradecimientos
Agradecemos el soporte financiero de la Universidad Nacional de Colombia, proyectos DIB:8003144
y DIB:8003060, COLCIENCIAS-proyecto:1101-333-
277