Una prueba constructiva del axioma de elección dependiente

Transcripción

dPAω
Resumen
“Plan d’attaque”
Una prueba constructiva del axioma de
elección dependiente en lógica clásica
Hugo Herbelin1, Étienne Miquey1,2
2
1
Team πr2 (INRIA), PPS, Université Paris-Diderot
Fac. de Ingenierı́a, Universidad de la República, Uruguay
15 de Marzo 2016
Informatique
IRIF
fondamentale
Étienne Miquey
Una prueba constructiva del axioma de elección dependiente en lógica clásica
1/ 24
Resumen
dPAω
En el capı́tulo anterior...
Étienne Miquey
2/ 24
dPAω
Resumen
La meta
1
Objetivo : definir un sistema de tipos para tener una prueba
del axioma de elección dependiente
2
Bonus : corrección del sistema sin meta-uso del axioma de
elección
3
Super-bonus : equiconsistencia con otro sistema lógico
Étienne Miquey
3/ 24
dPAω
Resumen
La meta
1
2
elección
3
Étienne Miquey
3/ 24
dPAω
Resumen
La meta
1
2
elección
3
Étienne Miquey
3/ 24
dPAω
Resumen
Teorı́a de tipos de Martin-Löf (1973)
Ingredientes
Γ, x : T ` p : A
∀I
Γ ` λx.p : ∀x T A
Γ, a : A ` p : B
→I
Γ ` λa.p : A → B
Γ ` p : A[t/x]
Γ`t:T
Γ ` (t, p) : ∃x T A
∃I
Γ ` p : ∃x T A(x)
∃E
Γ ` prf p : A(wit p)
Axioma de elección
ACA : ∀x A ∃y B P(x, y ) → ∃f A→B ∀x A P(x, f (x))
ACA := λH.(λx. wit(Hx),λx. prf(Hx))
:
∀x A ∃y B P(x, y ) → ∃f A→B ∀x A P(x, f (x))
Étienne Miquey
4/ 24
dPAω
Resumen
Lógica clásica vs tipos dependientes
En lógica clásica :
H0 :=callccα (1, φ(throwα (2, p)) : ∃xP(x)
Restricción a la elección numerable :
ACN : ∀x N ∃y B P(x, y ) → ∃f N→B ∀x N P(x, f (x))
Prueba :
Étienne Miquey
5/ 24
dPAω
Resumen
Prueba :
Étienne Miquey
5/ 24
dPAω
Resumen
Prueba :
Étienne Miquey
5/ 24
dPAω
Resumen
Prueba :
AC := λH.(λn. wit(Hn), λn. prf(Hn))
AC := λH.(λn.if n = 0 then wit H 0 else
λn.if n = 1 then wit H 1 else ... ,
λn.if n = 0 then prf H 0 else
λn.if n = 1 then prf H 1 else ... )
Étienne Miquey
5/ 24
dPAω
Resumen
Prueba :
AC := λH. let H0 = H 0 in
let H1 = H 1 in
...
(λn.if n = 0 then wit H0 else
λn.if n = 1 then wit H1 else ... ,
λn.if n = 0 then prf H0 else
λn.if n = 1 then prf H1 else ... )
Étienne Miquey
5/ 24
dPAω
Resumen
Prueba :
AC := λH. let H∞ = (H 0, H 1, . . . , H n, . . .) in
(λn.nth n H∞ , λn.nth n H∞ )
Étienne Miquey
5/ 24
dPAω
Resumen
Prueba :
AC := λH. let H∞ = cofix0fn (H n, f (S(n))) in
(λn.nth n H∞ , λn.nth n H∞ )
Étienne Miquey
5/ 24
dPAω
Resumen
dPAω
Ref : Hugo Herbelin (LICS’12)
A Constructive Proof of Dependent
Choice, Compatible with Classical Logic
Un sistema formal :
clásico : p, q ::= ... | catchα p | throwα p
con tipos dependientes :
fórmulas : A, B ::= ... | [a : A] → B | t = u,
términos : t, u ::= ... | wit p,
pruebas : p, q ::= ... | prf p
una compartimentación :
Γ ` p : ∃x T A(x) p Nef
Γ ` p : ∃x T A(x) Γ, x : T , a : A ` q : B
Γ ` dest p as ((x, a)) in q : B
call-by-value y sharing : p, q ::= ... | let a = q in p
con constructores inductivos y coinductivos :
p, q ::= ... | ind t of [p | (x, a).q] | cofixtbn p
pereza para el cofix
Étienne Miquey
6/ 24
dPAω
Resumen
Lenguaje
Términos
t, u ::= x | 0 | S(t) | rec t of [t | (x, y ).t] | λx.t | t u | wit p
Pruebas
p, q ::=
|
|
|
|
|
|
|
|
Étienne Miquey
a | () | ιi (p) | (p1 , p2 ) | (t, p) | λa.p | λx.p
case p of [a1 .p1 | a2 .p2 ]
split p as (a1 , a2 ) in q
dest p as (x, a) in q
let a = q in p
p q | p t | exfalso p
cofixtbx p | ind t of [p0 | (x, a).pS ]
refl | subst p q | prf p
catchα p | throwα p
7/ 24
dPAω
Resumen
Reglas de reducción
Términos :
wit(t, p)
(λx.t)u
rec 0 of [t0 | (x, y ).tS ]
rec S(t) of [t0 | (x, y ).tS ]
Étienne Miquey
B
B
B
B
t
t[u/x]
t0
tS [t/x][rec t of [t0 | (x, y ).tS ]/y ]
8/ 24
dPAω
Resumen
Call-by-value :
let a = ιi (p) in q
let a = (p1 , p2 ) in q
let a = (t, p) in q
let a = λx.p in q
let a = λb.p in q
let a = () in q
let a = b in q
B
B
B
B
B
B
B
let b = p in q[ιi (b)/a]
let a1 = p1 in let a2 = p2 in q[(a1 , a2 )/a]
let b = p in q[(t, b)/a]
q[λx.p/a]
q[λb.p/a]
q[()/a]
q[b/a]
case ιi (p) of [a1 .p1 | a2 .p2 ]
split(p1 , p2 ) as (a1 , a2 ) in q
dest(t, p) as (x, a) in q
prf(t, p)
(λa.p)q
(λx.p)t
subst refl p
ind 0 of [p0 | (x, a).pS ]
ind S(t) of [p0 | (x, a).pS ]
B
B
B
B
B
B
B
B
B
let ai = p in pi
let a1 = p1 in let a2 = p2 in q
let a = p in q[t/x]
p
let a = q in p
p[t/x]
p
p0
pS [t/x][ind t of [p0 | (x, a).pS ]/a]
Étienne Miquey
8/ 24
dPAω
Resumen
Lógica clásica :
F [exfalso p]
F [throwα p]
F [catchα p]
B exfalso p
B throwα p
B catchα F [p[F /α]]
exfalso exfalso p B exfalso p
exfalso throwβ p B throwβ p
exfalso catchα p B exfalso p[exfalso[]/α]
throwβ exfalso p
throwβ throwα p
throwβ catchα p
catchα throwα p
catchβ catchα p
Étienne Miquey
B
B
B
B
B
exfalso p
throwα p
throwβ p[β/α]
catchα p
catchβ p[β/α]
8/ 24
dPAω
Resumen
Cofix :
pereza :
Fc [] ::= case[] of [a1 .p1 | a2 .p2 ] | split[] as (a1 , a2 ) in q
| dest[] as (x, a) in q
Fc [cofixtax p] B let c = cofixtax p in Fc [c]
desplegamiento :
let a = cofixtx,b p in D[Fc [a]]
B let a = p[λy .cofixybx p/b][t/x] in D[Fc [a]]
control :
C [] ::= exfalso[] | throwβ [] | catchα []
let a = cofixtbx p in C [q] B C [let a = cofixtbx p in q]
Étienne Miquey
8/ 24
dPAω
Resumen
Fórmulas :
0=0
0 = S(u)
S(t) = 0
S(t) = S(u)
t A
νfx
Étienne Miquey
B
B
B
B
B
>
⊥
⊥
t=u
y
A[t/x][νfx
A/f (x) = 0]
8/ 24
dPAω
Resumen
Tipaje
Γ ` p : ∃x T A(x) pNef
Γ ` p : [a : A] ⇒ B
Γ`q:A a∈
/ FV (B) si q no es Nef
Γ ` p q : B[q/a]
Negative-elimination-free
N, M ::= ... | λa.p | (N, N) | ιi (N) | prf N | let a = M in N | ...
# catchα , throwα , cofixxbn p, p q, p t sólo dentro de λa.p o λx.p
Étienne Miquey
9/ 24
Resumen
Γ � p1 : A1
Γ � (p1 , p2 ) : A1 ∧ A2
Tipaje
Γ � p : A1 ∧ A 2
dPAω
Γ � p2 : A2
Γ, a1 : A1 , a2 : A2 � q : B[(a1 , a2 )/a]
∧I
Γ � p : Ai
Γ � ιi (p) : A1 ∨ A2
∨iI
a � FV(B) if p not N-elimination-free
a1 , a2 � FV(B)
∧E
Γ � split p as (a1 , a2 ) in q : B[p/a]
Γ � p : A1 ∨ A2
Γ, a(a
: B[ι2 (a2 )/a] a � FV(B) if p not N-elimination-free
a1 , a2 � FV(B)
Γ�p:⊥
Γ � Γ,
p :a2A : A2 �A p≡2 B
1 : :AA)
1 �∈ pΓ1 : B[ι1 (a1 )/a]
axiom
conv
�I
⊥E
∨E
Γ�a:A
p : Bp of [a1 .p1 | a2 .pΓ
:�
Γ � exfalso p : C
Γ Γ� �case
B[p/a]
2 ] �: ()
Γ � pΓ
�→
p2 :BA2 Γ � q : A a Γ� �FV(B)
p : Ai if q not N-elimination-free
1 :�Ap1 : [a :ΓA]
∧I
∨iI
→I
→E
Γ � (p1 , p2 ) : A1 ∧ A2
: A1 ∨ A2
Γ � λa.p : [a : A] → B
Γ �Γ p�qιi:(p)
B[q/a]
Γ, a : A � p : B
Γ � p : A1 ∧ A 2
Γ � p : A1 ∨ A2
Γ, a1 : A1 , a2 : AΓ
Γ �if pp: not
∀x AN-elimination-free
A 1 , ax2 )/a]
fresh in aΓ � FV(B)
2 �� qp :: B[(a
∀I
∀E
ΓΓ� �split
λx.p : p∀xasA (a1 , a2 ) in Γq �: B[p/a]
p t : A[t/x]
a1 , a2 � FV(B)
Γ, a1 : A1 � p1 : B[ιΓ1 (a
Γ, a2 : A2 Γ
� �p2p: :B[ι
∃x2 (a2 )/a]
p is N-elimination-free
� 1p)/a]
: A[t/x]
∃I
∃prf
E
Γ � (t, p) : ∃x
p 2:]A[wit
p/x]
Γ �A case p of [aΓ1 .p� 1prf
| a2 .p
: B[p/a]
∧E
a1 , a2 � FV(B)
∨E
Γ � p : ∃x AΓ, a : Γ,
� q : B[(x, a)/b]
if p notifN-elimination-free
a � FV(B)
Γ � p : [ax :fresh
A] →inB Γ Γ � qb :�AFV(B)
a � FV(B)
q not N-elimination-free
A �a p: A: B
∃E
→I
→E
Γ � dest p as (x, a) inΓq�: pB[p/b]
Γ � λa.p : [a : A] → B
q : B[q/a]
p : ∀x
x fresh inΓ Γ� p : A Γ �(α
A⊥⊥A) ∈ Γ
∀I
∀Ethrow
catch
Γ � p tα :pA[t/x]
Γ � catchαΓp�: λx.p
A : ∀x A
Γ � throw
:C
Γ, α : Γ
A⊥⊥� �p :p A: A
Fig. 1.
dPL: a classical predicate
strong existential
Γ�p
Γ �logic
p : with
A[t/x]
: ∃x
∃I
∃prf
E
Γ � (t, p) : ∃x A
Γ � prf p : A[wit p/x]
to express this dependency, underlining the fact that a
When known not dependent, we might shorten the
Ana)/b]
advantagex of
allowing
writing
of [aif: pA]not
→ N-elimination-free
B into the more conventional
A→
Γ can
� p :occur
∃x A in some
Γ, a :term
A � in
q : B.
B[(x,
fresh
in Γ
b � FV(B)
a � FV(B)
Étienne Miquey
9/ 24
dPAω
Resumen
Tipaje
The rules axiom, conv, � , ⊥ , ∧ , ∧ , ∨ , ∨ , → , → , catch, throw of Figure 1 and the following rules:
I
E
I
i
I
E
E
Γ, x : T � p : A
Γ�t:T
Γ � (t, p) : ∃xT A
Γ�t:T
Γ � pt : A[t/x]
Γ � p : ∃xT A
∃I
Γ � p : ∃xT A
E
Γ � p : ∀xT A
∀I
Γ � λx.p : ∀xT A
Γ � p : A[t/x]
I
Γ, x : T, a : A � q : B
Γ � dest p as (x, a) in q : B
Γ � prf p : A[wit p/x]
Γ�t:N
refl
Γ � refl : t = t
Γ�t:N
Γ�p:t=u
Γ, a : A � q : B
ind
Γ, f : T → N, x : T, b : ∀y f (y) = 0 � p : A
Γ�
Étienne Miquey
subst
Γ, x : T, a : A � q : A[S (x)/x]
Γ � let a = p in q : B[p/a]
Γ�t:T
x � Dom(Γ)
Γ � subst p q : A[u/x]
Γ � p : A[0/x]
∃E
∃prf
E
Γ � q : A[t/x]
Γ � ind t of [p | (x, a).q] : A[t/x]
Γ�p:A
∀E
cofixtbx p
:
νft x A
cut
f positive in A
νI
9/ 24
dPAω
Resumen
ind
Γ � ind t of [p | (x, a).q] : A[t/x]
Tipaje
Γ�p:A
Γ, a : A � q : B
cut
Γ � let a = p in q : B[p/a]
Γ�t:T
Γ, f : T → N, x : T, b : ∀y f (y) = 0 � p : A
Γ�
(x : T ) ∈ Γ
Γ, x : U � t : T
Γ�x:T
Γ � λx.t : U → T
Γ�t:N
Γ � t0 : U
cofixtbx p
:
f positive in A
νI
νft x A
Γ�t:U→T
Γ�u:U
Γ�t:N
Γ � tu : T
Γ, x : N, y : U � tS : U
Γ � rec t of [t0 | (x, y).tS ] : U
Fig. 4.
Γ�0:N
Γ � p : ∃xT A
Γ � S (t) : N
Γ � wit p : T
∃wit
E
dPAω : Classical arithmetic in finite types with strong existential
the derived computational content is not the one we
• if p, q, p1 and p2 are N-elimination-free th
want because of the use of non positive connectives in
prf p, ιi (p), (p1 , p2 ), (t, p), ind t of [p1 | (x, a).p
the second-order encoding, what justifies taking νI and
let a
=
p
in q, refl, subst p
its associated reduction rule as primitive. Indeed, with
case a of [a1 .p1 | a2 .p2 ], dest q as (x, a) in p a
a primitive notion of coinductive formula, it becomes
split q as (a1 , a2 ) in p are N-elimination-free
syntactically direct to see ν as a constructor of positive
formulae. In particular, and this is important later on
The resulting theory is then essentially Troelstr
to prove
the axioms of
countable
choice and
arithmetic
in all
finite clásica
types HAω (with9/equality
Étienne
Miquey
Una
prueba constructiva
del dependent
axioma de elección
dependiente
en lógica
24
dPAω
Resumen
Elección numerable
ACN := ??
: ∀n∃yP(n, y ) → ∃f ∀nP(n, f (n))
Étienne Miquey
10/ 24
dPAω
Resumen
ACN := λH.let a = cofix0bn (Hn, b(S(n))
in (λn. wit(nth(n, a)), λn. prf(nth(n, a))
: ∀n∃yP(n, y ) → ∃f ∀nP(n, f (n))
dónde
nth(n, a) := π1 (ind n of [a | (x, c).π2 (c)])
Proof :
# pizarrón
Étienne Miquey
10/ 24
dPAω
Resumen
ACN := λH.let a = cofix0bn (Hn, b(S(n))
in (λn. wit(nth(n, a)), λn. prf(nth(n, a))
: ∀n∃yP(n, y ) → ∃f ∀nP(n, f (n))
dónde
nth(n, a) := π1 (ind n of [a | (x, c).π2 (c)])
Proof :
# pizarrón
Étienne Miquey
10/ 24
dPAω
Resumen
Elección dependiente
DC
Étienne Miquey
:= ??
: ∀x∃yP(x, y )
→ ∀x0 ∃f (f (0) = x0 ∧ ∀nP(f (n), f (S(n))))
11/ 24
dPAω
Resumen
DC
:= λHλx0 .let b = s H x0 in
(λn. wit(nth(n, x0 , b)),
refl, λn.π1 (prf(prf(nth(n, x0 , b)))))
:
∀x∃yP(x, y )
→ ∀x0 ∃f (f (0) = x0 ∧ ∀nP(f (n), f (S(n))))
dónde
sax
:= cofixxbn dest b n as (y , c) in (y , (c, b y ))
nth(n, x0 , b) := ind n of
[b | (m, c).(wit(prf(c), π2 (prf(prf(c)))))]
Étienne Miquey
11/ 24
Resumen
dPAω
El drama
(Dónde se ve que en la vida nada es fácil)
Étienne Miquey
12/ 24
dPAω
Resumen
Propiedades
Subject reduction
Si Γ ` p : A y p B q, entonces Γ ` q : A.
Normalización
Si Γ ` p : A entonces p se normaliza.
Correción
0dPAω ⊥
Étienne Miquey
13/ 24
dPAω
Resumen
Propiedades
Subject reduction
Normalización
Correción
0dPAω ⊥
Étienne Miquey
13/ 24
dPAω
Resumen
Propiedades
Subject reduction
Normalización
Correción
0dPAω ⊥
Étienne Miquey
13/ 24
dPAω
Resumen
Corrección
Conservatividad
Si A es →-ν-wit-∀-free, y `dPAω p : A, entonces existe V tq
`HAω V : A
Conservatividad (bis)
Si A es Σ01 , `dPAω A implica `HAω A
Correción
0dPAω ⊥
Étienne Miquey
14/ 24
dPAω
Resumen
Corrección
Conservatividad
`HAω V : A
Proof :
Sea p : A un término de prueba cerrado. Por normalización, p se reduce
en :
V : ∗-freeness de A implica que V no contiene catchα , throwα , prf
/ FV (V )
D[V ] con D[] := let a = cofixtb,x p in D[] y a ∈
catchα D[V ] : necesariamente α ∈
/ FV (V )
Étienne Miquey
14/ 24
dPAω
Resumen
Corrección
Conservatividad
`HAω V : A
Proof :
Toda formula Σ01 es equivalente a una formula →-ν-wit-∀-free.
Correción
0dPAω ⊥
Étienne Miquey
14/ 24
dPAω
Resumen
Corrección
Conservatividad
`HAω V : A
Correción
0dPAω ⊥
Étienne Miquey
14/ 24
dPAω
Resumen
Normalización
Normalización
Si Γ `dPAω p : A entonces p se normaliza.
Proof ?
Si p no tiene cofixtx,b q, p termina
Si p no tiene catchα / throwα , p termina
Pero si tiene los dos...
# exploración infinita de una rama co-inductiva
# sub-secuencia sı́n backtrack
# y eso no puede ser !
Étienne Miquey
15/ 24
dPAω
Resumen
Normalización
Normalización
Proof ?
Étienne Miquey
15/ 24
dPAω
Resumen
Normalización
Normalización
Proof ?
Étienne Miquey
15/ 24
dPAω
Resumen
Normalización
Normalización
Proof ?
Étienne Miquey
15/ 24
dPAω
Resumen
Normalización
Normalización
Proof ?
Étienne Miquey
15/ 24
dPAω
Resumen
Propiedades
Subject reduction
Normalización
Conservatividad
If A is →-ν-wit-∀-free, and `dPAω p : A, then `HAω p : A
Corrección
0dPAω ⊥
Étienne Miquey
16/ 24
dPAω
Resumen
Propiedades
Subject reduction
Normalización
Conservatividad
Corrección
0dPAω ⊥
Étienne Miquey
16/ 24
dPAω
Resumen
Propiedades
Subject reduction
Normalización
Conservatividad
Corrección
0dPAω ⊥
Étienne Miquey
16/ 24
dPAω
Resumen
Propiedades
Subject reduction
Normalización
Conservatividad
Corrección
0dPAω ⊥
Étienne Miquey
16/ 24
dPAω
Resumen
Propiedades
Subject reduction
Normalización
Conservatividad
Corrección
0dPAω ⊥
Étienne Miquey
16/ 24
dPAω
Resumen
Le plan d’attaque (Rumbo a las peripecias)
Étienne Miquey
17/ 24
dPAω
Resumen
Continuación : aspecto computaciónal
Intuición
Continuación = reificación del futuro de la computación
Continuation-passing style (CPS)
Pasaje de una continuación a cada étapa del cálculo.
Técnica muy utilizada en compilación
Explicitación del control
# ejemplo : (a + b) + c
Muy útil para definir los operadores de control como cc !
Étienne Miquey
18/ 24
dPAω
Resumen
Intuición
Étienne Miquey
18/ 24
dPAω
Resumen
Intuición
Étienne Miquey
18/ 24
dPAω
Resumen
Continuación : aspecto lógico
lógica intuicionista + axioma clásica
Encaje en lógica intuicionista :
# traducción negativa :
A 7→ (A → ⊥) → ⊥
Cálculo clásico :
cálculo intuicionista + manipulación explicita de
continuaciones
“compilación” en un cálculo intuicionista :
# traducción CPS :
t : A 7→ JtK : (A → ⊥) → ⊥
Étienne Miquey
19/ 24
dPAω
Resumen
A 7→ (A → ⊥) → ⊥
continuaciones
t : A 7→ JtK : (A → ⊥) → ⊥
Étienne Miquey
19/ 24
dPAω
Resumen
A 7→ (A → ⊥) → ⊥
continuaciones
t : A 7→ JtK : (A → ⊥) → ⊥
Étienne Miquey
19/ 24
dPAω
Resumen
Normalización por CPS
Lenguaje 1 : λ-coso, reducción, tipaje
Lenguaje 2 : λ-cosa, reducción, tipaje, normalización
Normalización
Γ `1 p : A
⇒
p normaliza.
Proof :
1
Si Γ `1 p : A
2
Si p →1 q
entonces
entonces
JΓK `2 JpK : JAK
+
JpK →2 JqK
# si p no normalizaba, tampoco normalizarı́a JpK, absurdo !
Étienne Miquey
20/ 24
dPAω
Resumen
Normalización
Γ `1 p : A
⇒
p normaliza.
Proof :
Γ `1 p : A
1
Si
2
Si p →1 q
entonces
entonces
JΓK `2 JpK : JAK
+
JpK →2 JqK
Étienne Miquey
20/ 24
dPAω
Resumen
Normalización
Γ `1 p : A
⇒
p normaliza.
Proof :
Γ `1 p : A
1
Si
2
Si p →1 q
entonces
entonces
JΓK `2 JpK : JAK
+
JpK →2 JqK
Étienne Miquey
20/ 24
dPAω
Resumen
Normalización
Γ `1 p : A
⇒
p normaliza.
Proof :
Γ `1 p : A
1
Si
2
Si p →1 q
entonces
entonces
JΓK `2 JpK : JAK
+
JpK →2 JqK
Étienne Miquey
20/ 24
dPAω
Resumen
Interes :
método clásico, entre otras cosas para cálculo clásico
permite un entendimiento profundo
traducción de tipos !
sin meta-uso del axioma de elección ?
Inconvenientes :
muy técnico
nuestro lenguaje es poco estándar
Dificultad :
Étienne Miquey
20/ 24
dPAω
Resumen
Interes :
Inconvenientes :
muy técnico
Dificultad :
Étienne Miquey
20/ 24
dPAω
Resumen
Interes :
Inconvenientes :
muy técnico
Dificultad :
Étienne Miquey
20/ 24
dPAω
Resumen
Semantic artefacts
CPS : Ariola et al (FLOPS’12)
Classical Call-by-Need Sequent Calculi :
The Unity of Semantic Artifacts
Semántica operacional :
Cálculo big-step : variante del λ̄µµ̃-cálculo ?
Definición small-step
# reducción context-free
Traducción CPS : variante del λ-cálculo ?
Corrección computacional
Normalización :
Tipaje de la traducción : sistema F ?
Happy end ?
Étienne Miquey
21/ 24
dPAω
Resumen
Semantic artefacts
Normalización :
Happy end ?
Étienne Miquey
21/ 24
dPAω
Resumen
Semantic artefacts
Normalización :
Happy end ?
Étienne Miquey
21/ 24
dPAω
Resumen
Semantic artefacts
Normalización :
Happy end ?
Étienne Miquey
21/ 24
dPAω
Resumen
Semantic artefacts
Normalización :
Happy end ?
Étienne Miquey
21/ 24
dPAω
Resumen
Un avant-goût
Pizarrón : normalización por CPS del λc -cálculo
Étienne Miquey
22/ 24
dPAω
Resumen
Parentesis
Call-by-name :
(λa.p) ? (ccq) · π → p[ccq/a] ? π
CPS :
Jp ? πK := JpK JπK
Jλa.pK k := k (λa.JpK)
Jq · πK p := p JqK JπK
Call-by-value :
λa.p ? ccq · e
JA → BK := ¬¬(¬¬JAK → ¬¬JBK)
→ ccq ? [λa.p] · e
?
→ V ? λa.p · π → p[V /a] ? π
CPS :
Jq · πK p := JqK(λu.p u JπK)
JA → BK := ¬¬(JAK → ¬¬JBK)
Étienne Miquey
23/ 24
dPAω
Resumen
Parentesis
Call-by-name :
(λa.p) ? (ccq) · π → p[ccq/a] ? π
CPS :
Jq · πK p := p JqK JπK
Call-by-value :
λa.p ? ccq · e
JA → BK := ¬¬(¬¬JAK → ¬¬JBK)
→ ccq ? [λa.p] · e
?
→ V ? λa.p · π → p[V /a] ? π
CPS :
Jq · πK p := JqK(λu.p u JπK)
JA → BK := ¬¬(JAK → ¬¬JBK)
Étienne Miquey
23/ 24
Resumen
dPAω
En el próximo (y último capı́tulo)...
λ̄µµ̃ : un cálculo de secuentes
(Nuestra arma principal y su uso)
Étienne Miquey
24/ 24

Una prueba constructiva del axioma de elección dependiente

Transcripción

Documentos relacionados

Tres géne s nuev ero Ph vos lag hymat gartos urus En s cola piche e

Ficha técnica del CLA 180 - Mercedes-Benz